MODELOS MATEMATICOS EN HIDROLOGIA JULIO SANCHEZ ORDOÑEZ BOCOTA , COLOMBiA DICIEMBRE. 1974
MODELOS MATEMATICOS EN HIDROLOGI.A
BOGOTA, COLOMBIA Diciembre 1974
JULIO SANCHEZ ORDOÑEZ Ingen iero Civil
I N D ICE
MODELOS MATEMATlCOS EN HIDROLOGIA
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INTRODUCCION .•.••••••••••••••••......•.•..... .•••••••••.•.. . 1
CAPITULO I - CONCEPTOS GENERALES
1.1 SISTEMAS HIDROLOGICOS ••.••. •••.• •••..•..••.•..•••.••• 3
1. 2 MODELOS DE SIMULACION •..••.. , .•.•••••••.••••.••••••• 5
1.2.1 Simulación - Generalidades................................ 5 1.2.2 Modelos Hidrológicos de simulación ......................... 8 1.2.3 Elementos de un modelo de simulación............ ........... 10 1.2.4 Aplicación de un modelo de simulación...................... 12
CAPITULO II - CLASIFICACION DE MODELOS HIDROLOGICOS
2.1 DETERMINISTlCOS y ESTOCASTICOS .... ....... •••••••• ..... 15
2.2 ANALlTlCOS y EMPIRICOS ........... ..... ................ 18
2.3 MODELOS A EMBALSES Y CON OPERADOR PLWIOHIDROLO GICO ............................... ~ ••••• ~ ................ o" 19
2.4 LINEALES Y NO LINEALES ...................... .......... 19
2.5 DESCRIPTIVOS Y CONCEPTUALES ................... ....... 19
CAPITULO 111 - MODELOS DETERMINISTlCOS
3.1 ANTECEDENTES ••••••••••.•.•••..•..••.••.•.. " ..••.•. ...• 23
3.2 SIMULACJON DE ESCURRIMIENTO EN ZONAS INUNDABLES (Modelo SOGREAH - UN ESC O .. . • .. .. .. .. • .. • ... . .. .. . .. .. • 25
3.2.1 Caracterfsticas del problema.. .. ........ .......... .. .... .... 25
A. Generalidades......................................... 25
3.2.2
3.2.3
3.2.4
3.2.5
3.3
3.3.}
3.3.2
11
B. Conñguracién de lo cuenca .... " .. ""."" ...... """"""" .. "" ........... ..
Desc:ripción del modelo ••••.••.••••....•. .. " ~ " .......................... " ..
A. B.
Leyes
Leyes
entre embalses fluviales •••••••• " " .. " " .. " .... " " " .. " " " .. " " entre embalses no fluviales ...... " .... "" .. """ ...... " .... " .. " .. "
Formulación matemática del modelo ,. " " "" .. " .... "" ...... " " .. " " " " " .. " .... A. B. C.
Hipótesis previ 0$ .. "" .... " .. " .... " .... " .. "" .. " " " .. " ........ " .. " " ............ "
Ecuación de continuidad .. " .. " .. " .. " .. """"" .... """" .. """"" .. """ .. " Ecuaciortes de descargas " .... " ........ " .... "" ........ " " " " " " "" " " " " " ....
página
26
26 26 29
31
31 31 32
Unión de tipo fluvial"" .... "" ............ " s." ...... " •• "" .... " .. """" .... " 32 lJrlión de tipo vertedero .... " .. "" .. "" .. " .. " .. "" .. " " " .. " "",, " " ...... "" 35
Desa.rrollo del m:odelo .... " ....... " .. "" ........ " ................ " A. B. C.
D.
D• 'b . ' " • ,strl uc Ion topo oglca .. "" ...... " .......... " .. " .... " ...... " .... " " " .... " Conformación de las motrices .. " .. " .......... " " ........... " .............. " .. Condiciones Irmites .. " .. " .... o. .... o.o.o.o. ....... o. .. o. ..... o. ............ .
Condiciones aguas Condiciones aguas
arriba abajo
.......................................
............ # ................... .
Técnica de solución ............ o. .................. 'o. .... .
Esquema de I programa de computador ......................... .
MODELO DE LA UNIVERSIDAD DE TEXAS (Modelo Stonford IV Mocfificodo) ................................................. .
Antecedentes ..................... . ................................... Caracterrsticas de I modelo ................................ .
A. B. C. D. E. F. G. H. I .
Origen ............ o. ............................... o. ............ o. ..... .
Almacenamiento de intercepción ................................ .. Almacenamiento superficial ..... 'o. .................. 'o. .. .
Infiltración ... ... , ........................................... .. ....... Fluio o través de la zona no saturada ......................... .. Flujo sllbsuPf!mcial ......... o. .............. .- ............................... ..
F luio subterráneo ......................................................... .. 1:.._ .. " .. ..' I;;vuporaclon y evapotransprraclon ..................................... .. Propaga.ciór, de descargas .......................................... ..
36 36 38 42 42 44
45
47
48
48
49
49 52 52 55 59 60 62 64-66
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3.3.3 Aplicaciones del modelo ••..•..•...••.•...•.•• ""............ 66
3.4 MODELO SSARR (Streamflow Synthesis ond Reservoir Regulotion).. 70
3.4. I General idodes ..••. . • • . . . • . . . . . . • . • . . . . . . . . . . • . • • . . . . . . • • . • 70
3.4.2 Evolucián histórica del modelo •.••• .. ••.• •.•...••.. •.•.•..•. 70 3.4.3 Características del programa SSARR.......................... 72
A. Conceptos hidrolágicos incluidos ..•.••.•....•••••.••••••• 72 B. Subdivisión de la cuenca............ • • . . • . •• . . . • . . . • . . 72 C. Intervalos de Nempo • • . • . . . . • . . • • . • • • . . . • • . •• •••••.•• . • 72 D. Datos de en trada ...•... . . . . . . • . . • . • . . . . . • . • . .. • . • • • . • • . 73 E. Usos del modelo................................. •.•••. 73
3.4.4 Tipos básicos de simulación empleados........................ 73 3.4.5 Transformación IIuvia-descarga.............................. 74
A. Determinación de lo precipitacián media en la cuenca •••••. B. Distribución de la lluvia ........................................ ....... .. C. Cá!eulo de la escorrentía total .••..••••••.•••...•.••.••• D. Cálculo de la humedad del suelo ....................... .. E. Determinación del flujo bose ........................... .. F. Separación de los flujos superficial y suhsuperficial •...•••. G. Propagación de las componentes ....•.....••.•••.••••..•• H. Definición de las características de la cuenca ........... ..
3.4.6 Propagacián en el cauce ................................... .
A. Ecuaciones básicos . ...................................... lO •• ' ... ..
B I .' .. . .. nterpretaclon geornetnca ................................... . C. Esquema de cálculo .................................. .. D. Propagacián con efecto de remanso ••..•....•.....•....•.
3.4.7 Aplicaciones prácticas del modelo ...••..•.••...•...•.•.•..•.
CAPITULO IV - MODELOS ESTOCASTlCOS
76 77 77 78 78 80 81 81
83
83 87 87 87
91
4.1 ALGUNOS ASPECTOS DE LOS EVENTOS HIDROLOGICOS •.•. 93
4.1.1 Procesos hidrológicos - Defin iciones .• . . • . . • . . • . .. • • • . . . • • ... 93 4.1.2 Características de los datos hidrológicos •..••.•... '" . ...••••• 93
111
IV
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4.1.3 Naturaleza de las magnitudes hidrolÓgicas.................... 96
4.2 APLICACIONES DE ESTADISTICA EN HIDROLOGIA •• , ••.••••
4 .. 2. 1 Nociones generales ....................................................... ~ .................. .. 4 2 2 D'st'b r ' • .... I rr uc OI'l8S emp. rl cas .................. .............................. lO ................ ..
4.2.3 Parámetros estadrsticos ....................................................................... ..
96
97 98 99
A. Medidas de tendencia central ••••....•••••.••.•••.•••••• 99 8:.. ~didas de d;spersión .. o......................................................... 100 C. Medidas de asimetrfa •••••• • . . • . . . . . • . • • . . • . • • .... • •.•. 100
4 2 4 C l · - • - 101 .... orre oClon y regreslon .................................................................... .
4.2.5 Distribuciones de probabilidad .................. o..... •••••••••• 104 A. Distribución normal ......... ............................... o ...................... ..
8. Distribución lognonnal ................................................. ' .............. .. C D• 'b .-.. .strl UClorl gcamma .................................................................. .. D. Esquema para selección de la distribución •••••.••.•..•.••
104 105 106 106
4.3 SELECCION DE UN MODELO PARA SINTETIZAR CAUDALES... 108
4.3.1 El modelo de Maricov......................................... 109
A. Caudales con distribución normal......................... 110 B. Caudales con distribución lognormal •••..•.•••••••• " ••• " 112 C. Caudales con distribución gamma ......•................. 112
4.3.2 Modelas estacionales de Markov .,... •••..• ••••••. .•••.•• ••• 112
A. Caudales con distribución normal y lognormal ••..•..•.•.•• 113 B. Caudales can distribución gamma •..•......•••••••..•.... 113
REFERENClAS •. ....... ...•.•.••. . ..•. ... ........ .••••... ................... 115
INTRODUCCION
En los úlHmos años se ha incrementado considerablemente el uso de computadores digitales en el análisis de datos hidrológicos paro diversidad de fines. En un principio los computadores se usaran básicamente paro labores rutinarios toles como conversión de do tos, propagación de hidrogramas, cálculo de remansos etc.; los avances logrados en la tecnolagía de computadores han tomado prácticos lo programación lineal y dinámico, por ejemplo, y avanzados técnicas estadísticos de análisis; el análisis numérico y los modelos matemáticos han aumentado su grado de sofisticación como resultado de la disponibi lidad de computadores cado vez más grandes y rápidos. -
Hasta antes del advenimiento de estos técnicos, los parámetras derivados analíticamente pora lo mayoría de los modelos matemáticos provenían de regresiones y correlaciones; estos porámetros estaban, par lo tonto, sujetos a condiciones de independencia, normali dad y linealidad, condiciones a los cuales no pueden restringirse los parámetros de lo mayoría de los sistemas hidrológicos, o tal punto que losporámetros tipo coeficiente de madelos tan restringidos pueden llegar o no tener ningún significado físico.
La simulación puede llevarse a cabo con mecan ismos analógicos o con computadores di gitales; en el primer coso lo simulación es posible usando la similitud que existe entrelos expresiones matemáticos que describen el flujo eléctrico yel flujo del aguo; en forma digital, el computador se usa paro resolver numéricamente toles ecuaciones. Cada uno de estos tipos tiene ventajas y desventajas, osi como campos de aplicación específicos, pero la computación digital es extremadamente útil en hidrología de superficie, por ejemplo poro resolver situaciones probabilísticos en los cuales las variables (precipitaciones y escurrimientos, por ejemplo), varían aleatoriamente dentro de límites proba bies. -
El presente trabajo hoce referencia o 'o simulación con computadores digitales, e ¡nclu ye lo descripción de algunos modelos de amplio uso, exponiendo sus fundamentos y con-: ceptos básicos.
I
CAPITULO
CONCEPTOS GENERALES
1.1 SISTEMAS HIDROLOGICOS
A través de la historia de la humanidad, el hambre siempre na estado lleno de curiosidad y se ha interrogado acerco del media ambiente donde vive. Con este deseo y curiosidad de conocer la naturaleza, lo noción de un cíc lo hidrológicose desarrolló desde épocas muy tempranos. Hacia fines del siglo I A.C., Marcus Vitruvius Pollio observó y describió lo siguiente: (ref 14) "El sol calienta el agua de los arroyos, rías, lagos y mares, formando vapores que se elevan paro formar nubes. Las nubes son transportadas por el vi en to y, por lo perturba ción que sufren cuando ascienden montañas y forman tempestades, se rompen y disperson sobre la tierra. Las vapores, nubes y exhalaciones que se elevan de la tierra parecen flotar gracias al intenso calor, los fuertes vientos, el aire húmedo y su gran proporción de agua. Así, cuando de la frialdad de la noche asis tida por lo oscuridad, los vientos se levantan y se forman las nubes en los lugO res húmedos, el sol en su ascenso golpea la tierra con gran poder, caliento er aire, y eleva las vapores y el rocío al mismo tiempo". Esta descripción es poética y algo mística, pero sin embargo refleja el primer concepto científico racia nal sobre el ciclo hidrológico. -
Los hidrólogos madernos consideran el ciclo hidrológico como un gran sistema hidrológico. Con el objeto de alcanzar propositos prácticos, la hidrología cien tmca debe ir más allá de hacer una descripción teórica pura de naturaleza cuo litativa de sus problemas, puesto que el hidróloga práctico reclama cantidadesy no estó interesado en cómo funciona el ciclo hidrológico ni en las expresiones matemáticos que rigen sus partes, sino en conocer las cantidades de aguo involucradas en él. Con el concepto de sistema, es posible dar un enfoque mós cuantitativo y racional o lo hidrología.
El concepto de sistema no es, por lo tanto, nuevo pora nosotros; sistemas de todas clases nos son comunes. Un sistema conlleva un grupo de elementos interde pendientes o interactuantes que conforman un tado un ificado. Por ejemplo, er sistemo solar, compuesto de una variedad de cuerpos celestes que operan como una unidad; el ecosistema, que relaciona los seres vivientes y el ambiente físico donde habitan; los sistemas del cuerpo humano (circulatorio, digestivo, etc. l,son
3
..
todos excelentes ejemplos de componentes inter-actuantes relacionados pera cons tltuir un sistema unificado.
Una característica importante de cualquier sisteme, es que sus componentes están relae:ionados entre sí de tal manera que un cambio en uno de ellos afectará a los demás, e implicará por lo tanto un reajuste total hacia un nuevo equilibrio. El análisis de un sistema implico, entonces, lo comprensión de las característicos de coda elemento y el conocimiento de cómo se relaciona con el sistema to tal; tal conocimiento nos llevará a predecir los principoles efectos resultantes -de cualquier cambio porticular en alguna componente específica del sistema.
El análisis de sistemes podría ser considerado como "anál isis de un cuerpo libre", puesto que siempre es necesario establecer las fronteros del sistema, cuya aeertoda delimitación es una clave importante pora el éxito del anólisis. Esto puede vel$e muy claramente en un ejemplo que se relaciono con la estabilidad de taludes ocurrido recientemente en lo costa de California. En estos óreas muchos de los álboles de raíces profundos fueron remplazados par pastos; e I pasto prote ge o lo superficie del suelo de lo erosión, pero las raíces profundas de los árbo-: les tenían dos influencias adicionales sobre el sistema: 1) extraían aguo desde -profundidades considerables y contribuían así a mantener un e levado grodo de hu medad en los taludes, y 2) las raíces eran un elemento estabilizante del suelo -profundo. Así, el retiro de los árboles produjo un reajuste en el sistema, que se tradujo en deslizamientos hasta alcanzar pendientes menores; es muy posible que un hidrálogo experimentodo, 01 mirar el sistema como un toda, hubiese podido prever estas reajustes. Aquellos que retiraron los árboles consideraron solo una porte de I si stema .
Un sistema se puede definir como un conjunto de elementos o procesos físicos, químicos o biológicos unidos o través de alguna forma de interdependencia, que actúo sobre un grupo de variables de entrado para convertirlos en las de salido.
Los sistemas hidrológicos naturales son tan complejos que aún no se han deserro lIado leyes exactas que puedan explicar completo y exactamente los fenómenoshidro/Ógíc:os naturales.
Codo uno de los elementos o procesos integrantes de un sistema hidrológico es el resultado de complicadas interrelaciones de muchos factores de gran variabili dad espacial y temparal, cuyos característicos físicas difícilmente pueden medir se o computarse directamente. -
Un sistema hidrolÓgico es físico, puesto que pertenece 01 mundo real, secuencial, porque consto de una entrado, solida y Un medio de trabajo (materia, energía o información) conocido como "throughput" que pasa o través del sistema; es además, dinámico porque recibe ciertos entrados cuantitativas y actúa de manera -controlado bajo restricciones definidas pora producir uno serie de solidos cuanti-
tativas.
la relación explícita entrada -salida de un sistema se puede reDresentar matemó ticamente por una ecuación del tipo:
y (t} -== 3 x (ti
donde Y (t) es la salida X (t) es la entrado % es el operador de tronsformoción o función de trarsferencía, que re
presenta la acción intemo del sistema sobre la entrado X t) para cO'1vertirla -en la salida Y (t). Un hidrograma unitario es un .. ¡emplo de op .. rodor de trons formación paro pasar de lluvias a descargas.
1.2 MODELOS DE SIMULACION
1.2.1 Simulación - generalidades
la simulación matemótica es una técnica para producir una serie de eventos a través de expresiones matemáticas que representan las situaciOnes del mundo frsico bajo estudio; los simulaciones generalmente son efectuados por computadores que aplican iterativamente esos expresiones, o partir de ciertas condiciones iniciales, y progresan en el tiempo, repitiendo las relaciones funcionales entre los diferentes elementos del sistema.
La simulación no es una técnico nueva; por este término se entiende el antiguo arte de la construcción de modelos destinados tanto a la apreciación estética -(pintura, escultura) como a los estudios científicos: modelos reducidos o analfti COSí desde el punto de vista científico, el objetivo fundamental de la simulaciÓn es el conocimiento del futuro.
Los métodos deductivos, por lo tanto, son clasificados dentro de la filosofía especulativa y han sido estudiados desde los filósofos griegos has!" el siglo XVII con Sir Francis Bacon.
Aparecieron entonces sistemos filosóficos que intentaron construir una física en lo cual la explicación científica era remplazodo por simples "nalogías con expe riencias de la vida diaria. En 1.620, Bacon reconoció las limitaciones de 10-filosofía especulativo como metodología de la predicción del futuro: "Lo razón sola no tiene ninguna capacidad de previsión; la consigue solamente en combinación COn lo observación. Los métodos de predicción de la razón están contenidos en las operaciones lógicas par medio de los cuales construimos un orden dentro de lo moterio observada y sacamos conclusiones, a trovés de inducciones lágicos". IReichenbach, 1. 95])
5
6
Es as( como la filosaffa cienttr.ca o método cientmco, puede desarrollarse en cuatro fases :
Primera fase: Identificación y observación del sistema f(sico de interés.
Segunda fase: Formulación de una hipótesis (o de un modelo) que intente expl.!. car los observaciones del sistema.
Ten:era fase: Predicción de I comportamiento del sistema en base a esta hipótesis, mediante deducciones matemáticas o lógicas (obtener soluc~ nes pora el modelo).
Cuarta fase: Realización de experiencias pora comprobar la validez de la hipótesis (o modelo).
Sin embargo, la experiencia demuestra que no siempre es posible la real izadón de estas cuatro fases en todos los sistemas, y es allr entonces donde la simulación puede ser un substituto útil para la fase o foses que están causando dificul tades. Como ejemplo de dificultades que pueden tomar impracticable en hidro= logfa alguna de las fases del método cientffico, pueden citarse :
En la primera fase: En general existen imposibilidades f(sicas o económicas pora Observar en el mundo real los procesos constitutivos de un sistema hidrológico o de reCUr505 hfdricos.
. En la segunda fase: Estos sistemas son muchas 'teces tan posible, al menos por ahora, describirlo exactamente con caso
complejos que es im-. ' . ecuaciones matematr-
En la ten:era Fase: En el caso de ser posible la representación matemática de un proceso, podrTa ser impracticable, sin emborgo, obtener una solución poro las ecuaciones a través de técnicas directas.
En la cuarta fase: Puede ser diffcil o sumamente costoso realizar experiencias válidas en los modelos que describen el sistema.
las observaciones de la entrada y la salida de I sistema deben usarse coma información adicional para determinar la estructura del mismo y los porámetros des conocidos; también es esencial para ello un conocimiento de la formo generar de las relaciones entre las cantidades individuales y sus valores ff,¡cos permisibles. ~(t la constl'\lCcián de un modelo significa lo determinación de un sistema óptimo de ecuaciones que correspondan de lo mejor manera posible a las funciones de entrado y salida observadas y o un conjunto dada de limitaciones. las leyes fundamentales de lo f(sica (ecuaciones de energfa, balances hfdricos, ecuaciones del movimiento, etc. \ y los resultados experimentales, sirven como base poro la identificación del sistema hidrológico.
la simulación numérica de los procesos hidrológicos que ocurren en uno cuenco ha surgido como un método potec,cialm"nte útil paro lo previsión de eventos hidrológicos, y como una herramienta poro mejorar notablemente la comprensión de tales procesos. Desde el punto de visto de aplicación a lo ingeniería, la hidro logía generolmente proporciona informacion"s como magnitud y frecuencia deavenidos, caudales de diseño de obras hidráulicos, Mc., mientros que desde el punto de visto de lo hidrología científico, el hombre estó interesado en i"crementar sus conocimientos sobre la estructuro intema de coda uno de los proc~sos físicos que ocurren en los distintos fos .. s del ciclo hidrológico.
los técnicos tradicionales de anólisis hidrológico han sido en g"'ne ro I fragmentarios, con métodos diferentes desarrollados poro cada problema específico. Losmétodos referentes a los problemas de avenidas, por ejemplo, se basan en el -análisis de series históricas, variaciones de lo fórmula "racional", variaciones del método del hidrograma unitario, anólisis de correlaciones y varias fórmulas específicos. En "stas métodos donde las características de las descargas se estiman o portir de lluvias, una de las mayores inexactitudes o incertezos es la determina ción de la lluvia neta (o "fectivo) y la manero como es afectada por los condrciones anteriores de la cuenca.
La simulación se ha definido como "el desarrollo y aplicación de modelos matemóticos para representar la vcriación temporol de la interacción de los procesos físicos". Lo simulación numérico ofrece un importante avance en la solución de problemas hidrológicos según se ve en las siguientes proposiciones:
o - En muchos lugares existen mejores y mós confiables registros de lluvias que de descargas.
b - En muchos lugares urbanos o rurales han ocurrido cambios en los cuencos en el tronscurso del tiempo; la simulación numérica basada en características fr sicas reales, ofrece la mejor posibilidad de evaluar los cambios en las desear gos originados por modificaciones de lo cuenca conocidas o anticipadas, naturoles o artificiales.
La simulación con computadores tiene las siguientes importantes ventajas:
a - El sistema puede probarse sin destruirlo.
b - Pueden probarse modificaciones propuestas de los sistemas existentes.
c - Pueden probarse muchos posibilidades en cortos perradas de tiempo.
d - Pueden ensayarse diseños hipot';ticos para estudios de factibilidad o comparación con sistemas alternativos.
e - Se incrementa el conocimiento interno del sistema estudiado.
7
•
1.2.2 Modelos hidrológicos de simulación
8
En el pasado se han usado ampliamente modelos hidráulicos para simular procesos hidrológicos, pero esto tal vez seo debido mós o tradición que o uno justificación técnico o económico, puesto que muchos de estos procesos no pueden representar se con modelos hidráulicos sin grandes distorsiones; además tanto paro la reproduc ción del proceso con la ayuda del modelo hidráulico como para lo simulación concomputadores electrónicos, es necesario un modelo matemático del proceso •
lo importancia de los modelos de simulación para la investigación cientrfiea fue establecido por Rosenblieth y Wiener (1.945): "Ninguno parte substancial del uni verso es tan simple que puedo ser comprendida y controlada sin abstracción. Lo abstracción es lo substitución de la porte del universo en estudio por un modelo semejante, aunque de estructura más simple. Las modelos constituyen por lo tonto, uno necesidad primordial de cualquier procedimiento cient(fico·.
Un modelo cient(fico puede definirse como uno abstracción de un sistema real que se presto o propósitos de predicción y cantrol. A través de él, un analista tendrfo condiciones para determinar en qué proporción las modificaciones de determinados aspectos del sistema afectarían otros aspectos o el sistema en conjun too En hidrología, el uso de modelos 5010 ha sido posible gracias o la octual -disponibilidad de computadores analÓgicos y digitales, la cual ha permitido desa rrollar, por ejemplo, complejos modelos de lo fose precipitación -escorrentía de! ciclo hidrológico.
Estos modelos basados en las leyes físicas que controlan los procesos constitutivas del sistema, son parcialmente subjetivos, puesto que prácticamente en ningún caso existe un método generalmente aceptado pora describir tales leyes físicas. Asr, las aproximaciones empíricas util izadas afectan no solamente lo exactl tud de la predicción logrado con el mode lo, sino lo respuesta aparente de otros componen tes del sistema hidrológico. Ademós, el criterio de exactitud o bondad del ojwii incide directamente en el número y clase de los parámetros "óptimos· que descri ben las características físicas de una cuenca dado. Por lo tanto los cualidadesdeseables en un mode lo contrastan entre s(:
a - El modelo deberá ser uno aproximación razonablemente precisa del sistema real y contener el mayor número posible de los aspectos importantes del mis-mo.
b - El modelo no debero ser tan complejo que se tome difícil de comprender o manipular.
El uso potencial más importante de un modelo es lo predicción paro propÓsitos de diseño. La bondad de un mode lo no está re (acionada solamente al criterio mismo del ajuste obtenido, sino o la sensibilidad de la predicción, cama canse-
cuencia de modificaciones en los parámetros usados. Estos dos medios de juzgar un modelo deben ser tenidos en cuenta tanto por el que construye un modelo como par el que lo uso. f"ingún modelo es perfecto y por eso, codo uno está en un estado contrnuo de evolución, y cada cambio meiora el esquema concebido originalmente.
Por lo tonto, deben tenerse muy ~n cuenta las limitaciones de la simulación nu mérica, tales como lo disponibilidad de datos de entrada adecuados; el procese de simulación en si, depende de las relaciones funcionales escogidas para repre sentar los procesos frsicos que ocurren en la cuenco y de los parámetros usodospara describir las características de lo misma. El arte de desarrollar un modelo de simulación satisfactorio estribo en alcanzar un grado apropiado de fidelidad en la reproducción de tos distintos procesos individuales y su interrelación, omitiendo los detalles insignificantes e innecesarios que sólo agregan complicación al modelo.
Los procesos hidrológicos, por tanto, deben considerarse como sistemas dinámicos con estructuras complejas y parcialmente desconocidas; así, el problema de simu larlos se puede esquematizar en tres etapas:
a - Delimitación del sistema dE' interés y establecimiento de los carocterísticas que lo identifican;
b - Expresión del fenómeno con relaciones matemáticos que reproduzcan los proc"sos físicos en formo aproximado; puede ocurrir qu~ el fenómeno no tenga ecuaciones que lo representen o que tenga E'cuaciones diferenciales capaces de simularlo con precisión; salvo este último caso, la descripción del fenómeno es forzosamente incompleta;
c - Determinación de los parámetros del modelo, los cuales vendrán a suplir esa deficiencia en la expresión matemática del proceso.
En resumen, el d,.sarrollo de un modelo matemático operativo requiere dos pasos. El primero es la creación dE' un modelo conceptual que represente los elementos y sistemas del mundo real;E'sta conceptualización se baso en lo información cono cida y en hipótesis relatívas o los componQntes del sistema y sus interrelacioneS; en general SE' formulo 'm términos de los datos disponibles.
El segundo paso es lo transición d4 1 modelo conceptual al modelo de computador propiamente dicho. Durante esto etapa se trotan de pxpresar en forma motemáti ca los procesos y relacion .. , identificados por el modelo conceptual. Es decir, -se trata de la convE'rsión de los conceptos relativos al mundo real, en términos que puedan programarse en un computador. Este paso generalmente implico más simplificaciones y por consiguiente pérdida de información que viene a sumarse o la yo ocurrido en el paso del mundo real al modelo conceptual.
9
La adquisici~ de datos adicionales usualmente signiflca uno mejora en el made lo conceptual, lo cual provee uno base paltl el perfeccionamiento del modelo de computador. La salida del modelo puede, por supuesto, compaltl!Se con las salí das observadas en el mundo real y, si existen discrepancias entre ellas, se reqü4t rirán ajustes tanto en el modelo conceptual como en el de computador. -
1.2.3 Elementos de un modelo de simulación
10
En el campo de la hidrología, los elementos de un modelo matemático pueden clasificarse en " cate garras (ref. 3) :
a - Componentes
b - Variables
c - Relaciones funcionales
d - Parámetros
0- Componentes: Son los elementos escogidos para integrar el modelo en funclén dé los Objetivos del mismo y de la importancia que se presume que estos elementos tengan sobre el sistema en conjunto; entre las componentes más comunes de modelos de simulación hidrolÓgica encontramos:
- Lluvia - Escurrimiento supe rficial - Evapotranspiracián - Demando de agua para consumo urbano - Demando de agua para irrigación - Reservas de agua en embalses
Demanda de agua para otros fines (generación de energía, etc)
b - Va r i a b I e s : Son una medida o representación cuantitativa de las componentes del sistema hídrica, que presentan variación espac ial o temporal; entre ellas podemos citar:
- Precipitación horaria dentro de un área específica - Escurrimiento medio mensual en una sección - Descargo instantánea en uno sección - Consumo horario de agua potable - Demando mensual de agua paro irrigación - Demanda instantánea de una planta hidroeléctrica
Pueden clasificarse estas variables dentro de tres grupos :
Va r i o b I e s e x ó gen o S : son los variables independien.tes o de entrada al mo delo y se suponen conocidas previamente; son independientes del sistemarepreseñ todo por el modelo, es decir actuantes en el sistema pero no influidas por él. Estas variables se pueden representar de dos moneros: como porámetros, dados porlas condiciones del problema y previamente determinados y lerdos por el computador cama dotas de entrada, o como variables estadísticos que pueden ser gene radas internamente par el computador en el desarrollo del modelo.
Voriab les endógenos o de sal ida: son los variables dependientes del sistema, generadas por lo interaccion entre las variables exógenos y las variables de estado, de acuerdo con los característicos operacionales del sistema.
Variables de estado: son las que describen el estado de un sistema o de uno de sus componentes a través del tiempo (puede ser al principia, 01 fin de un intervalo de tiempo dado, o aún durante el transcurso de un corto período). Estas variables interoctúon con los dos anteriores siguiendo los relaciones funciono les establecidas previamente. Por lo tanto, dependen no solo de los volares di una OMÓS variables exógenas relativas o un corto período de tiempo anterior, sino también de ciertas variables de salida del sistema en intervelos de tiempo anteriores.
En la simulación de lo propagación de descargas en un trecho de r(a, por ejemplo, lo descargo de entrado 01 trecho sería una variable exógena, el almacenamiento en e I mismo se río una variable de estado y la descarga de sal ida uno va riable endógeno.
c - Relaciones funcionales: se pueden presentar baja dos formas: 10$ identidQdes y las caracterfstkas operacionales.
Las identidades son definiciones o proposiciones relativas a las componentes del modelo; por ejemplo, se define como descarga afluente a un embolse en un período determinado, al volumen medio de agua por unidad de tiempo que captó el embolse en ese período.
Las carocterísticos operacionales corresponden o hipótesis generalmente expresa das o través de ecuaciones matemáticos que relacionan las variables exógenas y de estado de un sistema con sus variables endógenas; en los procesos estocásticos, los característicos operacionales toman la formo de funciones de densidad de probabilidad.
d - Po ráme t ros son elementos cuyo función es expresor (o través de los relaciones funcionales) cuantitativamente el proceso estudiado; pueden ser deter minados por tentativas, como en el coso del ajuste de modelos matemáticos plu= vio-hidrológicos o uno región determinado, o calculados por inferencia estadrsti ca en el caso de modelos de transformación pluvio-hidrométrica bosodos en una
11
regresión múltiple, o en el caso de la estimativa del valor esperado de una variable. &1 general, se consideran como parámetros las series históricas utilizadas como variables exógenas.
1.2.4 Aplicación de un modelo· de simulación
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La aplicación de un modelo hidrolÓgico de simulación o una cuenca particular se hace a través de un procedimiento de verificación donde se establecen los valores de ciertos parámetros paro un sistema típico particular. La verificación de un madelo se hace en dos etapas: la calibración o fijación de los valores de los porometros y la pruebo del madelo; para los dos se requieren datos del sistema prototipo.
La calibración significa la realización de una serie de modificaciones en los po rometros hasta obtener un ojuste o aproximación adecuados entre las funciones -de salida observada y calculada; de aquí se deduce, evidentemente, que la exoc: titud del modelo no puede exceder lo de los dotos históricos. .
la evaluación de los parámetros del madelo puede hacerse mediante cualquier procedimiento deseado. El procedimiento más racional (Hill, 1972) consiste en asignar a cado coeficiente o variable un valar inicial, valores extremos y un número de incrementos que cubran eso variación. Se hace variar la primera va riable a través del intervalo especificado, mientras se mantienen las demás eñ sus valores iniciales. Se escriben.los valores de la función objetivo o de salida y se almacena el valor que produzca el mfnimo. Después de completar el cielo para lo primero variable, se toma la segundo y se repite el procedimiento. Después de haber variada tados los coeficientes se escoge el con junto de valores que produjo cada mínimo local y con él se aplica el programo de simulación; lo función así obtenida se compara con lo mínimo obtenida en las pruebas pasa das. El vector que produce la m(nima función objetivo se selecciona como vec=tor inicial pora la próximo fase, y el proceso se repite hasta encontrar un vec tor que praduzca una razonable carrespondencia"entre las solidos observada ycalculada.
la calibroción del modelo se alcanza con un proceso de ajuste que establece los porámetros del madelo pora un coniunto particular de datos, de una unidad hidrolÓgica dada. La prueba del madela requiere el uso de un segundo conjunto de datos de lo misma unidad hidrológica, con el cual se aplica el modelo y se determina el grado de ajuste entre las datos observadas y calculados.
Es muy posible que estas pruebas indiquen la necesidad de efectuar ajustes, ya seo en los datos de entrodo o en lo estructuro mismo del modelo. Cuando se ha ya realizado una verificación adecuado, el modelo está listo para ser operado. -
El análisis de sensibilidad se llevo a coba mediante la modificación del valor de una voriable, mientras se mantienen constantes las demás, para observor los cam bias en las funciones de salida. Si cambios pequeños en un parámetro produceñ grondes cambios en la respuesto del modelo, se dice que el sistema es altamente sensib le a ese parámetro.
En esta forma es posible determinar lo importancia relativa de los parámetros y los funciones de entrada con respecto o la respuesta del sistema.
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CAPITULO 11
CLASIFICACION DE MODELOS HIDROLOGiCOS
2.1 MODELOS DETERMINISTICOS y ESTOCASTlCOS
Cuando los dos palabras estocástico y determinfstico se uson en hidrologfa y en recu/'5O$ h(dricos, y como ellas normalmente separan los dos enfoques más impor tantes de la hidrologfa, es conveniente una reflexión sobre la larga controver sia histórico en ffsica y filosoffa entre determinismo y probobili$ll1a, que com¡"en za desde la antiguo Grecia o aún antes de esa civilización.
Es suficiente el estudio de la historia de lo ffsica y la astroffsica para hacer evidente eso controversia. los representates de ambas escuelas, la detenninfsfi ca y la estocást ica, han estado batallando entre sf desde hace cerca de dos 0-: tres mil años; ambas escuelas existfan en la ciencia y lo fi losoffo griegas. Uno era la del mundo predeterminado, con átomos concebidos como pequei'las partrc:u las muy bien definidos; la otra consideraba que el caos aparente demando que -los fenómenos naturales estén sujetos a las leyes del azar y estima que el determini$ll1O es sólo un aspecto de lo qLe sucede en lo Naturaleza. Desde las9l'ie gos estas dos escue las se han remplazado y suplementado mutuamente. -
El concepto original de la ffsica de pequeñas part(culas discretas hasta el descubrimiento de la molécula, enfatizó el punto de vista determinfstico para 10-explicación de la estructura de la materia. Cuando se descubrió el movimiento Browniano, se demostró la existencia de un movimiento caótico de las moléculos de Ifquidos y gases para pequeñas escalas de tiempo y espacio; entonces la escala de espacio se redujo aún más hasta el tamaño del átomo. El concep to original de ffsica de partfculas determinfsticos se restableció y mantuvo has": to el descubrimiento del quantum, el cual revivió nuevamente el concepto de lo teorra estocástica sobre lo composición de lo materia. Cuando se penetró al in terior del ótomo, se volvió a tener en cuenta el concepto determinfstic:o para :: explicar $U estructura y la de la materia. Pero cuando los aceleradores de par t(culos fraccionaron los núcelos atómicos, se encontró un movimiento caótico -dentro de ellos y surgió una vez mós un tipo de planteamiento probabilrstico para lo explicación de la estructura de la materia.
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Estos contrnuos cambios también se extendieron a la mecánica de flurdos; al mi rar los procesos del flujo laminar a la luz del movimiento Browniano, las Irneasde flujo san consideradas camo procesos determinfstic:os, propiedad que vino a convertirse en la base paro el determinfsmo de la mecánica de flurdos; sin embargo, si se amplfa considerablemente lo escala del tiempa, el movimiento Brow niano mostrará los efectos aleatorios de las Ifneas de corriente. Cuando la velo cidad del agua se aumenta suficientemente, el flujo se convierte. en turbulento,como un proceso estocástico gobernado por las leyes del acaso. Cambiando las escalas de tiempo y espacio, ocurren virojes alternativos de la concepción deter mlnrstica a la estocástica, pora explicar los procesos de la mecánica de' flufdos:-
De manera similar, si vamos de la escala del tamaño de la tierra a una escala del orden de magnitud del sistema solar, se observa que los componentes de este sistema se mueven de una manera predeterminada; as( fué creado y mantenido el punto de vista determinfstica de la astronomfa, en el cual se basan mudtos principios ffsicas y filosóficos resultantes del movimiento en el sistema salar. Estos principios pueden haber dada origen a la creencia de que todo está predetermina do en la Naturaleza, o que sus leyes son siempre determinrsticos. Pero cuandose penetrá en el espacio profundo y se estudió el número de estrellas contenido en un espacio dado, a uno esc"ala muchrsimo mayar, fué muy diffcil -si no ¡mpo sible- describir determinfsticamente lo distribución de los cuerpos celestes. Se re-- ' currió entances o los principios estocásticos poro establecer la probabilidad de encontrar cuóntas estrellas pueden hallarse en un espocio dado y en un tiempo dada.
La anterior exposición sirve pora demostror cómo es posible encontrar fenómenos naturales en hldrologra que pueden ser estudiados y descritos determinfsticamente, siempre que puedon simplificarse, y cómo hay fenómenos que no pueden serla;en consecuencia, deben usarse métodos estocásticos y determinrsticos de investigación, análisis y descripción, paro un moyor entendimiento de los procesos hidrológicos naturales.
Existen, pues, dos criterios básicos para simular sistemos hidrológicos: el primero a través del uso de un "modelo determinfstico" cuya respuesta seo equivalente a la del sistema frsico. Un modelo es determinrstico cuando cualquiera que sea el valor de la variable tiempo, la respuesta a una entrada dado es siempre la mis ma, pora un mismo estado inicial del sistema.
&! un modelo determinrstico el problema se reduce básicamente a la determinación y aiuste de 'los parámetros que describen el sistema; por tal motivo estos mo delos son llamados también "paramétricos". Debe notarse sin embargo, que en -real ¡dad no es posible Formular un sistema hidrolÓgico natural en términos estrlc tameryte determinrsticos pa cuanto:
a - Existe variabilidad de los sistemas hidrológicos en el tiempo, debido o los -cambios introducidos por el hambre directa o indirectamente, y o los proce-
$OS naturales de erosión, cambios climóticos y otros que constituyen la evolu ción geomorfológica de la tierra;
b - Existe incerteza con respecto a las magnitudes y distribución espacial y tem poral de las entradas y salidas de los sistemas hidrológicos y con respecto (j los estados y propiedades de sus elementos interiores;
c - Existen dificultades en la formulación matemática de los complejos procesos no lineales de transferencia de maso y energra que constituyen el ciclo hidrolÓgico. La variabilidad temporal, o no estacionalidad, es de importancia en el estudio de sistemas hidrológicos puesto que un sistema en proceso de cambio no puede producir relaciones invariables entrada-salida, debido a que tales sistemas tienen "memoria", si se entiende por este término el efectoque las entradas anteriores tienen sobre la operación presente del proceso; estó asociada con todas las etapas intermedios cuya influencia es siempre transportada hacia adelante en el tiempo.
Por lo tanto, mientras estos modelos operan de un modo determinrstico sobre los datos de entrada que se les suministran, podemos a lo sumo hacer afirmaciones probabilfsticas respecto a las sal idas correspondientes. En otras palabras, el hecho de que el modela sea determinrstico no significa que el comportamiento del sistema hidrológico natural por él representado lo sea.
El segundo gran camino de simulación es la determinación de los pan:imetros esta drsticas que describen la respuesta de I sistema, para ser usados posteriormente enla generación de series de datos estadrsticamente indistinguibles de las series ob servadas; esta es la llamada simulación estocástica.
Un sistema se puede llamar probabilrstico cuando, a igualdad de estado inicial, la respuesta ante una misma entrada es aleatorio; por lo tanto, para una misma entrada pueden obtenerse salidas diferentes, siguiendo una determinada distribución de probabilidades. El sistema será llamado estocástico si, además, existe una relación secuencial (proceso en cadena) entre las OCUrrencias del fenómeno.
Un modelo estocástico es, pues, un tipo de modelo probabi/(stico.
En los modelos determinrstico se pretende simular de manera contrnuo en el tiem po uno sucesión de eventos hidrológicos, y lo comprobación de la validez del mo delo se hace por comparación con la sucesión de eventos observados; con los mo delos estocásticos no se busca uno simulación contrnua de eventos; su objetivo es, en general, la generación de series no observadas de igual probabilidad de ocurrencia que las observados.
Cada uno de los criterios expuestos tiene ventaias y limitaciones que los hacen aconsejables paro distintos tipos de problema. Los modelos parométricos general mente requieren datos de entrada con intervalos de tiempo cortos y sintetizan :'
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bien respuestas para incrementos del mismo orden. (datOs horarios o diarios), ro zón par la cual se usan ampliamente para simular eventos hidrolÓgicos con inter valos cortos de tiempo. La simulación estocástica se usa fundamentalmente paro predicciones can intervalos largos de tiempo, donde lo que interesa no es la res puesta instantánea del sistema sino los valares caracterfsticos; como las modelos estocásticos trabajan con información estadfstica, es muy difi'ci I modelar con ellos fenómenos instantáneos a de intervalos cortos de tiempo; par eso, la simulación estocóstica es usada principalmente para prOpÓsitos de planeamiento, para generar series "igualmente probables" de caudales medios mensuales, por ejemplo.
2.2 MODELOS ANALlTlCOS y EMPIRICOS
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Un modelo hidrológico es analrtico cuando está basada en las ecuaciones básicas de la hidrodinámica; también es llamado "de sistema distribuido". &, estos modelos el sistema se trota como un con junto de áreas distribuidas en el espacia, y se simula el comportamiento de las diferentes partes; son modelos en los cuales se analiza y se trata de seguir el proceso interno del sistema. El hecho de can siderar las coordenadas espaciales además del tiempo, implica que en estos mo':delos se trabaja con mós de una variable independiente. Eh el caso de que los relaciones den origen a diferenciales totales funciones de varias variables simul táneamente, se expresan o través de un sistema de ecuaciones diferenciales a efe rivadas parciales.
Las modelos empfricos o "de sistema bloque", están detArminados, en términos ge nerales, sólo por los datos de entrada y salida disponibles (lluvias y descargas eñ una cuenca, par ejemplo); en ellos las coordenadas de posición carecen de impar tancia y todas las partes del sistema simulado se tratan como si estuvieran localizados en un mismo punto del espacio. También suelen llamarse "de caja negra"porque no se siguen paso a paso los mecanismos que involucra el proceso interno del sistema. El modelo está constituido por un "bloque" que acepta datos de en trada y proparciona datos de salida, sin que interese conocer lo que sucede deñ tro del bloque; s/n embarga, el grado de empirismo puede conducir a distintos ti pos de "bloques"; en efecto, el bloque está constituido par el coniunto de algo ritmos que permiten sintetizar las datos de salida en función de 10$ datos de en-: trada; estos algoritmos pueden ser de cualquier fndale y tienen, en general, como única limitante la ecuación de continuidad. Por eiemplo, un modelo pluviohidro métrico que tiene como datos de entrada lluvias y cuyo "caja" está constituidapor un algoritmo que incluya coeficientes de pérdida, sin preocuparse par especificar el proceso que conduce a las pérdidas por infiltración, evaporación desde el suelo, evaporación desde los almacenamientos superficiales transitarios, etc., podra llamarse con propiedad "de caja negra"; no asf si los algoritmos permiten individualizar coda uno de los procesos.
En Hidrologra, a causa de que muchos procesos no san aún suficientemente conocidos, todos los modelos tienen algo de empirismo; incluso en las analfticos o
hidrodinámicos se puede llegar o un punto en donde es preciso acudir 01 empiris mo y originar así, en lo práctico, modelos denominados semi-empíricos.
2.3 MODELOS A EMBALSES Y CON OPERADOR PLI'VIOHIDROLOGICO ¡OPH)
Se clasifican así según el mecanismo de transformación de escorrentía en desear 90. En los primeros, eso transformación se hace a través de uno serie de fases,cada una de las cuales simula el paso del agua a través de un embolse, y está especificado por dos ecuaciones: lo de continuidad y uno ecuación de almacena mienta. En estos modelos lo escorrentía puede dividirse hasta en cuatro compo": nentes; sin embargo, lo subdivisión en más de dos componentes no siempre está justificado. En los modelos con OPH la transformación de escorrentía en desear 90 de salido se hace a través de un operador de transformación pluviohidrométrl ca tal como un hidragroma unitario. En ellos generalmente se consideran sólodos componentes del flujo, con un operador de transformación para cado fose.
2.4 MODElOS LINEALES Y NO LINEALES
Un modelo será lineal o no según el carácter de la función de transformación usada; en términos generales, un operador es lineal cuando, actuando sobre una determinada entrada, produce una salida proporcional a ello; si un operador de transFormación es independiente de lo entrada y la solido podemos decir que es lineal; el hidrograma unitario, por ejemplo, es un operador lineal. En otras po labras, un modelo lineal es aquel representado. por ecuaciones lineales; si se tia ta de modelos de optimización de recursos hfdricos, todas las restricciones, o por te de ellos, y la función objetivo, son lineales; por ejemplo: -
ecuaciones lineales: Y ~ 5X l + 6X2 + 7X3
ecuaciones no lineales Y ~ 5X~ + 6X 03 y = Log XI
2.5 MODELOS DESCRIPTIVOS Y CONCEPTUALES
Es otro manera de enfocar lo clasificación de modelos matemáticos. El modelo descriptivo usualm~nte se diseña para reproducir fenÓmp.nos observados mientros que el modelo conceptual se construye coro dilucidar la esencia de lo teoría que puede interpretor el fenómeno. En la práctica, la distinción entre los dos clases na es muy definida y a veces, en efecto, suelen combinarse. Sin embar go, los extremos de los dos clases de modelos son claromente reconocibles. -
En un modelo descriptivo d~ un sistemo hidrológico, la base mós común pora su
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20
formulación es la ecuación de continuidad o balance de masas. El modelo conceptual se fundamenta en un cierto concepto o teoría; por ejemplo, hoy modelos estocásticos que estón basados en la teoría de los procesos estocósticos.
Si denominamos por x (t) las variables de entrado y sal ida de tiempo t, un modelo matemático podría definirse por
[ d~ Jy.. 'O'y
f 1<0, "'t-(O''dT' j" 'i{T
donde g, 7 G, san porómetros estimados a portir de los datos.
un sistema en el
'1)
Cuando el sistema en estudio es muy campleio, puede ser ventajoso adoptar una forma más simple f * (.) de lo función f l.) de lo ecuación 11), y expresar la "falta de ajuste" del modelo mediante un residuo o error; entonces, lo ecuación (1), remplazando las derivados porcioles por diferencias finitas, se convierte en (2),
=0 2)
donde Et es el residuo en ~I tiempo. La acertada escogencia de la funciÓn.f* (.) es lo más importante en lo definición del modelo.
Clorke (ref. 19) ha propuesto ogrupor los diferentes modelos presentados en la literatura hidrológica en cuatro grandes categorías:
Estocástico Conceptual lEC) Estocástico Empírico (EE)
Determinístico - Conceptual (OC) Determinístico - Empírico 'DE)
Para modelar series hidrológicas es necesario usar modelos motemóticos que estén de acuerdo can los características del problema que va ° ser resuelto. EIescurrimiento en cursos de agua es un proceso estocástico, lo cual implica una total dependencia temporal de las valores aleatorios (descargas\. Si este poróme tro (tiempo) en una etapo dada asume todos los valores reoles, tendremos un prO ceso estocástico contínuo (descarga instantónea); pero si asume valores integrares que son múltiplos de alguna duración de tiempo (año, mes, etc.), entonces esta remos ante una secuencia aleatoria o un proceso aleatorio discreto (descargo me:: dio anual, mensual, etc.). Por tonto, si alguna de las variables 1-~, 'ff.., E. en la ecuación (2) es aleatoria, con distribución de probabilidades, el' modelo será Estocástico, me jor que estadrstico, poro enfatizar la dependencia temporal de los variables. Si todas las variables en la ecuación í2) estón libres de variaciones aleatorias, o sea que ninguno tiene distribución de probabilidades, el modeloserá considerado Detenninrstico. En otras palabras, si se toma en cuenta la po sibilidad de ocurrencia de los variables y el concepto de probabilidad se introdü
ce en la formulación del modelo, el modelo serÓ estocástico o probabilístico.
El modelo, por otra porte, serÓ conceptual o empírico, según que la formo de la función f* (.) en la ecuación (2) sea, o na, sugerida de acuerdo con los pro cesos físicos que actúon sobre las variables de entrada para converti rlas en las de solida.
Describir un modelo como conceptual requiere mucho menOs justificación que ca lificarlo de -estocástico; sin embargo, los propiedades estocásticas tanto de la lIü vio (variable de entradal, como de la descorga (salida), han sido ampliamenterecanocidas por varios autores: Sutcliffe 1] 966) I H utchinson (1970,1972), Dickinson (1967).
Como ejemplos de modelos dentro de cada uno de los grupos, podemos citar:
Modelos EC -
Modelos EE -
Modelos De -
Modelos DE -
a) Modelo de Dawdy - óDonnell (1965) b) Modelo de Nash-Suteliffe (1969) e) Modelo SSARR (1968)
a) Mode los de regresión descritos por Guillot (1973) b) Modelo'de Thomas - Fiering cl Modelo de Mandelbrat (1971) d) óDonnel (J 973) e) Hidrograma Unitario Instantáneo, con ardenodas
estimadas por mínimos cuadrodos (Snyder, 1955, óDonnell, 1966, Jenkins y Watts, 1968)
al Modelo de Freeze (J 971), b) Modelo hidráulico de Wooding (1966), el Ecuación de Laplace para flujo variado en acuiTe
ros no conFinados (Eagleson, 1970)
a) H idrograma Unitario Instantáneo, estimado par expansiones de series armónicas (óDonnefl, 1961)
b) Amorocho y Orl ob (1961) el Kulandaiswamy (1973.
21
CAPITULO ;[1
¡\\ODELOS DET ER/'v'IN IST[C es
3.1 ANTECEDENTES
Los primeros hidrólogos q..'e comenzaron o obsprvor los fenómenos naturales a fines del siglo XIX y comienzos del XX, descubrieron inmediatamente en las observacio nes de precipitaciÓn, evaporación y escurrimiento, un significante "ruido" o "es:. tocasticidod" en las series temporales observados; sin embargo, esto aleatoriedad de los fenómenos se asimiló a algún componente sistemótico de la naturaleza en la forma de periodicidades en las series; '!ste aspecto dió un gran impulso al anó lisis de las series hidrológicas desde el punto de vista determinístico, en buscade regularidades periódicas.
Una segundo ero de determinismo está ~n desarrollo actualmente, en la formade investigaciones de funciones de respuesta determinístico entre variables hidro lógicas aleatorias, se observo uno variable aleatoria y se busco una relaciÓn fun donal matemática determinístico o experimental entre esa variable y otro u oh-as variables. Un eiemplo típico os lo relación precipitaciÓn -escurrimiento en la -cual lo precipitaciÓn de entroda o una cuenco se convierte en lo salido (escurri miento) o trovés de funciones de respuesto fija a modelos determinísticos emprri COSi este tipo de respuesto hidrológico o reacción del sistemo, es la base de la actual era de desarrollo de los procesos hidrológicos desde este punto de visto.
Sin embargo, algunos conceptos determinísticos corrientemente usados influyen de manero significativo en el análisis de los procesos estocásticos naturoles y ocosio non dificultades de varios tipos.
En la literatura hidrológica se encuentro a menudo el concepto de que existe uno especie de rastro físico en los eventos hidrológicos (porte determinísticoJ, así como también algo de "ruido" '.porte estocástico). Con el tiempo, lo relaciÓn entre el rastro explicado por los [ey"s ffsicas, al "ruido" no explicado, tiende a -aumentari en otros polabras, el contínuo progreso en el conocimiento físico de los procesos hace que la porte desconocido vaya disminuyendo, "" lo medido en que se profundizo en el mecanismo físico que los controla; esto significa qu~ la expli cociÓn determinístico de las relaciones causa -efecto, será el resultado final de-
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24
las investigaciones, mientras que la explicación estocástico de los fenómenos oleo torios notun:lles desaparecerá con el tiempo como uno propiedad indeseable y tem-poral de estos fenómenos. -
Deben analizarse con especial cuidado los consideraciones emitidas en el párrafo anterior, pues éstas san, probablemente, uno de las equivocaciones básicas que se encuentran en las aproximaciones filosóficas a muchos problemas ffsicas en ge neral o geofísicos e hidrológicos en particular. -
Por ejemplo, en la determinación de la precipitación efectiva como eSCUrrImIento superficial en lo aplicación de un hidrograma unitario, se omite la aleatoriedad de la evaporación, infiltroción, parámetros de la cuenca y otros factores que intervienen; para aplicar uno aproximación determinrstica, se trota generalmente de esquivar el carácter aleatorio de los procesas naturales. Para aclarar esto, es suficiente contemplar el coso de la rugosidad de las superficies. Es un hechosim pie que la rugosidad de un terreno, o de una cuenca, es un factor decisivo en -la respuesta de una cuenca. Si se conservan iguales los demás factores geométricos de la cuenca, es fácil demostrar que la rugosidad tiene un efecto muy gron de sobre el hidrograma unitario. Entre más lisa sea la superficie y menor seo 10-profundidad de la capa de flujo superficial, menor será la retención; entre menor sea la rugosidad del lecho Fluvial y moyor la velocidad del flujo, menor será la profundidad y por lo tanto menor el almacenamiento y más rápida 'a salida, y el tiempo de concentroción y los efectos del almacenamiento serán pequellos. -Cuando hay vegetación (pastos) desarrollada en el área, mayor será la resistencia al flujo y mayor la capa de escurrimiento superficial. Esto cambiará el hidrograma unitario. La rugosidad de la cuenca se puede modificar en forma periódico y también aleatoriamente a causa de los contfnuos cambios de la vegetación debidos al clima y a los muchos factores aleatorias involucrodos. El con cepto del hidrograma unitario constante para uno cuenca es, pues, una concep ció" artificial para aplicar una aproximación determinrstico a un procesa hidro": lÓgica básicamente muy complejo; como se mostró oqur, la rugosidad cambiante presenta dificultades en la aplicación del concepto de uno respuesta unitaria -constante bajo condiciones naturales.
No obstante las premisas anotadas anteriormente, los modelos determinrsticos -orientados dentro de los principios establecidos, y aplicados racionalmente a los eventos aleatorios hidrológicos, son uno poderosa arma de amplia utilización en la actualidad que ha permitido resolver numerosos problemas prácticos y profundi zar notablemente no sólo en el conocimiento de los procesos ffsicos, sino tambi"en en su descripción matemática. A manero de ejemplo, se presentan 10$ fundamen tos de tres modelO$ que han sido probados y usados extensamente con resultadossatisfactoriO$
3.2 SIMULACION DE ESCURRIMIENT O .0. TRAVES DE UNA ZONA DE INUNDA
CION
(Modelo SOGREAH-UNESCO, usado en el delta del Mekong)
3.2.1 Características del problema
A. Genera I i dades
Los consideraciones siguientes se refieren al coso especrFico de lo simulación del escurrimiento en zonas inundables, donde 10$ modelos del tipo propagación sufren innumerables compl icaciones adicionales, ya que entran en juego fenómenos físicos e hidráulicos que aumentan el número de parámetros que deben tenerse en cuenta en el made lo .
la teoría fué desarrollada en el modelo SOGREAH-UNESCO paro ser aplica da en el delta del río Mekong, y una adaptación se usó con buenos resulta dos en el Centro de Hidrología Aplicada de Parto Alegre, Brasil, para l0si mulación del río CaL
Se presento aquí la solución matemáticJ dada 01 problema, en vista de lo similitud de condiciones presentado por e I río Magdalena en su zona inunda ble, como uno sugerencia del enfoque que podría darse para la formulaciónde un modelo matemático capaz de simular aceptablemenle el escurrimiento en esa zona, donde la abundancia de ciénagas y lagunas profusamente inter conectadas, con canales de flujo reversible según el estado del rfo, dificuf= to grandemente los onólisis tradicionales.
Los siguientes puntos resumen los característicos que son comunes o este tipo de problema :
o) Escurrimiento multidimensional (o multidirecciono l), causado como ya se anotó, por lo zona logunorio que actúa como amortiguador de las crecien tes.
b) Pequeñas velocidades, ya que el flujo en su mayoría se efectúo por los canales de drenaje principales, comportándose lo zona inundada como -una serie de embalses de almacenamiento.
cl Tres variables que entran en juega: dos de espacio Ilos coordenadas X e y de un punto cualquiero de lo cuenca), y e l tiempo t •
d) Condiciones límites conocidos aguas arriba yaguas abajo de la zona si mulada.
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e) Efecto posible de marea, ya que las zonas inundables normalmente (no siempre) se encuentran cer ca de lo desembocadura. Esto impl ica que los términ05 de inercia en los ecuaciones diferenciales que rigen los fenómenos, no pueden despreciarse.
f) Puede presentarse otra dificultad adicional: en ocasiones, el efecto de marea se comunica de manera compleja o través de una red de canales, o seo que lo zona de inundación que une el rfo al mar no se pre senta como una superficie contínua. -
B. Configuración de la cuenco
En la figura 1 se muestra un esquema de lo cuenca que va a ser simulada, lo cual se subdivide en una serie de subáreas con base en lo topografía y en la configuración gener~1 del escurrimiento (canales, ríos, carreteras, zonas de vegetación que pueden impedir la propagación del escurrimiento, diques y defensas yo construidas, etc.) (figuro 2) .
Cado una de estas subáreas será considerado como un embalse que intercam bia agua con las adyacentes, y sigue lo ecuación de continuidad y las leyes de descarga entre estos embalses. Esto solución permite analizar el escurrimiento como unidimensional solamente, entre cada por de embalses (aunque son dos sentidos posibles).
3.2.2 Descripción del modelo
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Evidentemente, el modelo estaro fundamentado en los leyes de intercambio entre cada par de embalses adyacentes, de los cuales reconoCf'mos lo existencia de dos clases: de tipa flwial y no fluvial.
A. Leyes entre embolses fluviales
Seron tratadas en esta forma las uniones entre embalses comunicados directo mente, sin ninguno barrera física de importancia, tales como trechos de ríos y canales, unión de canal y río, etc., ocasiones ~n los que rigen los leyes del movimiento uniforme en canales, obedeciendo por tonto lo ecuación de Strickler
Q¡k = kstr • A¡k • R¡k 2/3· }/2 (1)
donde Qik = caudal que pasa del embolse a! k
\
, , /
...... ~/:::::==::----.
\ , \
\ \
\ \
\ \
\ \ \ \ \
- ---- -- ..........
-e CI< ::> c:> ...
/ /
Q
" ~ "
.. • ~ ... ;; ... e
-o u " ~
.. Q e • ~ " E
i • ~ -
",'" :;:~ e § O e U .-
27
28
kstr = coeficiente de Strickler
Aik = área mojado de lo sección de poso entre dos embolses
Rik = radio hidráulico correspondiente a la sección Aik
J = pendiente de lo I rneo de aguo (= (Zk -Z i ) /L ik)
El valor de k str está defin ido por
21. 1
'lf;' siendo e lo rugosidad absoluta de las pared .. s del canal; existen tablas que dan el valor de k str en función de la naturaleza del material constitutivo de las paredes :
Canales con revestimiento de concreto
Conales con revestimiento de concreto liso
Galerras excavados en roco
Canales antiguos con vegetación
Canales de tierra
Canales de arena
R(os y arroyos : de fondo rocoso, rugoso .
de fondo medianamente rugoso
K = 53 a 57
K '" 80 a 90
K = 250 40
K = 43 a 52
K = 33 a 40
K = 50 Q 90
K = 20
K=20a28
Sin embargo, dada la dificultad para estimar su valor exactamente a causa del desconocimiento de los carocter(sticas frsicas de las secciones de paso, asr como de sus variaciones, kstr es tratado como un parámetro de aiuste del modelo.
En esta formo, para cada sección de paso (de tipo fluvial) deben conocerse los siguientes datos:
a) Un volar de "str
b) Un valor de Lik (distancia entre los puntos centrales de dos subáreas o embalses adyacentes)
c) Caracterrsticas geométricos de la sección de paso, con información sobre:
Z altura del aguo
Aik - área mojada
Rik - radia hidráulico correspondiente
d) Número de subdivisiones en cada sección de ooso, er. el caso "" que ésta puede subdividirse en otras más sencillas ver figura 3;.
B. Leyes entre embalses no fluviales
Se incluirá aquí lombi"n ,,1 caso de intercamio entre un emoolse fluvial y uno no fluvial; estomas anTe el caso de fluía sobre un vertedero, por locuol podremos denominar los secciones como de tipo v"rtedero. ¡ver figura ·fi
Para oolicar las ecuaciones del vertedero, distinguimos dos coses: v"rtedera ahogado y no ahogado, con las siguientes ~otaciones;
Seon f A Y 4D dos variables qU'l dependen de las características ffsicas
del vertedera, para caso ahogado y no ahogado respectivamente, tales que
iD = )"1 • e "9
h = "'2· D' 29
donde b longitud útil del vertedero
.1' = coeficiente de descargo del vertedero
Se ha estimado que ,r-o = :J, 386 ~A aproximadamente, ya que el coeficiente de descargo vorf" ,pgún la condición hidráulico de la secció" de ~ so. En lo tabla siguiente se resumen los ecuaciones pora coda uno de los dos cosos mencionados, con el siguiente significado:
~ = altura de la lámina en el embalse que cede agua '-k
Z· = altura de la lómina er- el embalse que recibe agua I
Zs = altura de la solera
REGIMEt'-' I CONDICION FORMULA DE CALCULO i
- ~
1Zk ~ Qik +D • ~Zk -Zs) 3/2 No ahogado .' . " - -s) = -, - -s
3
I - - ~ - - Qik ~A •
,Z¡ _ LSJ Zk -Li Ahogado ! :'k = -i - -s - - ·'51 I
29
I Zk
30
4
SUBDIVISION DE UNA SECCION DE PASO
l.
T 1
I lo
I ,
FIGURA 3
UNIONES TIPO VERTEDERO
FIGURA 4
Ahi
_1st i
Si ..1
FIGURA 5
EIftbCII •• i
i Zi
Así, los parámetros necesarios 01 modelo, poro este cálculo, seron
o - Número de vertederos en cado sección de paso
b - Paro cado vertedero: valores de ;; y b;./ seré tomado como parémetro de ajuste.
3.2.3 Formulación motemótica del modelo
A. Hipótesis previos
Para lo formulación de las ecuaciones que definen el comportamiento hidró~ !ico del sistema, aceptamos dos hipótesis previas:
a - La superficie del aguo se mantiene horizontal; suposición razonable pues to que la velocidad del flujo en las zonas inundados es muy reducida.
b - Relación biunívoca entre caudal y alturo; condición derivada de la anterior.
El problema podrá ser resuelto con el uso de dos ecuaciones: la de continui dad y la de descargos, ecuaciones que conformarán un sistema parabólico;" puesto que no se tendrén en cuenta los términos de inercia (no se considera efecto de mareo).
B. Ecuación de continuidad
Haciendo referencia o la figura 5, donde se ha representado un embolse i, si .1 hi es el aumento de altura en el interv<:rlo lH, tendremos que
s· , • llhi
donde
'= p. , + (2)
es lo precipitación caída en lo superficie del embolse i,
es la descargo media intercambiada con todos los embolses ad yacentes en el período t; t; entonces,
t t + 4 t Q ik = (1 - IX. ) Qik + oéQik 13)
donde los índices t y t + .i t señalan que Qik es calculado en los instantes t y t + á t respectivamente, yo( es un coeficiente odimensional de ponderación que depende de lo manera como varían los descargos durante el intervalo {j t; así, o( = _1_ significo que tomamos la descarga media
2
31
32
entre la del comienzo y la del final del intervalo,
&ttonces, ...., () Qik
+ ( a hi ) t fJ. hi +
+ ( ~Qik t 'J hk ) ~ hk ] (4)
Tomando las derivadas de primer orden (desarrollo en 5eries de potencias),
Al combinar (2) y (4) Y dividir por (\ t obtendremos
Si
At .1hi
Pi -- =
LIt 2 Q'k k '
remplazando (4) Y aceptando r/. igual poro todos los embalses,
Si áh' Pi 1 ~ Q'k +Z:- a Q¡k Ll hi - ,- -- k ' k
" ~i +
o{ 6 t ",,ot o<.
+~ d Qik .1 hk
k 'a hk
es decir
Si ] o:::- d Qik 1 [ P' 1 --,,-- Cl hi + ~ Ó hk = - - --' +z"Q'k c( <1 t k a hk oc A t k '
La ecuación (5) seró una de las qu-. conforman el sistema parabólico; la segunda, será la expresión de descarga del vertedero, (convención de siS nos: Qik = - Qki ),
C. EcuacionRs de descargas y sus derivadas
Unión de tipo fluvial
Como se dijo atrás, se opl ica la ecuación de Strickler en lo formo
Q'k = E 'k • k t * oQ • "-, hk I 1/2 , I sr I ¡ni - /' (6)
(5)
donde hi , hk son las alturas de los planos de aguo en lo porte cenlral
de cada sub órea i y k o
donde
é:. ik es el signo de (hi - hk): será positivo si hoy flujo de k hocio i y negativo en el coso contrario.
FQ es uno función que depO~dQ de la configuración geométrica de los pores de embalses, dada por
• R 2/3 FQ =
Lik es lo distancio entre los puntos centrales de los sub óreas i y k.
kstr es el coeficiente de Strickler
La tunción FQ se puede obtener por interpolación a portir de
ho + hk a - una tabla de valores hik = --,-'-.,-__
2
b - lo tabla correspondiente de FQ en función de hik; si tenemos
Q'ik = Qik () Q ik = k • a Q'ik kslr
entonces sIr 'O el hi hi
Según lo dirección del flujo, son posibles das casos:
Caso lo Cuando hi > hk, entonces é 0k = - 1 Y tendremos, derivando (6) :. I
OQ'ik
" hi
'O Q'ik
O hk
= -
=
él FQ "'b h i
(1 ~C
"O hk
'hi - hk/ 1/2 __ 1 FG /hi _ hk
/ - 1/2 2
1/2 + ~Q ./L o _ hk.' -1/2
, ni '
(7)
Coso 20 Cuando \ > hi , por lo cual E ik = 1, tendremos:
33
OQ'lk 'a hi
d FQ /hk
-h¡ /1/2 _ -2 FQ /hk -hi /-1/2 1} h¡
/hk -hi /1/2 +.2.. FQ / hk - h¡ / -112 2
f hi + hk teniendo en cuenta que FQ = (h ik) y hik = ~-2-';'':'';'
vemos que
(8)
o FQ O Fa = -* = 1
2 dFQ (pues ~ ~~ = -+) (9)
dI. ¡k
y = = 1
2
dFQ •
d hik (10)
remplazando (9) Y (1 O} en (7) y (8) tendremos:
o Q'ik 1 dFQ 11.. _ h /1/2 1 FQfhí-h~-1/2 = --'O hi 2 dhik
. I k -2'
(7' \
Q Q'¡k dFQ h ;1/2 1 FQ JI,. - h ;-1/2 'O hk
:: .. - / hi -2 dh ¡k k, +2" '1 k
OQ'ik I dFQ 1\ - h¡ / j/2 _ .2.. FQ fhk - 1..1-1/ 2
~ h· = -
2 dhik '2 I
I
(8' )
"O Q'ilo: 1 dFQ / hk - hi ; 1/2 1 FQfhk - ni 1 -1/2 = 2"dIiik + -o hk 2
Podemos ver que los rndi ces si llamamos
y k pueden intercambiarse en /hi - hl/ í
- 1 12 a la expresión
2 FQ hk - hi ¡ I
11 a la expresión 1 dFQ I hk - hi /1/2 y 2 dhik
lograremos uno solo expresión, cualquiera que sea el caso:
-o Q'ik E 'H· ~ - 1 + • 1I ik I
O Q'ik I t ik * I1 ~ +
"O hk
(10\
Unión de tipo vertedero
Con referencia a la notoción indicada en la figura 6, distinguimos 3 casos:
Caso 1. Cuando hm - h¡ < DHTOL, donde DHTOL, es un valor de tolerancia fijado adecuadamente, o bien hm < hs simplemente; entonces,
~
Coso 2. godo, por
o (ausencia de flujo)
~ O
Cuando (h¡ - hsl < 32
lo cual,
¿:.. 'k rD .
(hm - hs), tendremos regí men no aho-
(lJl
de acuerdo con lo expuesto antes, llamando A o lo derivada de Qik en (11), tendremos que
A ~ 3 2
3/2
Si es el embalse oguas arribo,
35
'" -A y '" o
mientros que si es el embalse aguas abajo,
= O y = A
2 Caso 3. Cuondo (hj - hs ) ~ T (hm - hs ) estamos en el caso de régi-men ahogodo y de acuerdo a lo expuesto en el numerol correspondiente,
y al igual que en el caso anterior, las derivadas san:
A = 2
1/2 1 1. (hm - h¡) -"2 'fN (h· - h ) (h h.) - 1/2 1 5 m - I
Resumiendo los considerociones anteriores, si bo,
= - A y = -
mientros que si es el embolse aguas abajo
= B y =
es el emba lse oguos arri-
B
A
3.2.4 Desarrollo del modelo
36
A. Distribución topológica
Paro plantear la solución· al problema, se dispone de sub óreas en una canfiguroción esquemótica de líneas (o filos) sucesivas, de tal manero que cual-
38
quier sub área de una línea pueda intercambiar agua solomente.con otros sub áreas de las dos líneas adyacentes o de la misma línea. Puede verse que existen varios configuraciones posibles, pero como el número de sub áreas de coda fila da el tomaí'lo de uno motriz que deberá invertirse, debe buscarse un número reducido de sub áreas en cada línea, de acuerdo con el ti po de computador d¡spon ib le.
Tomamos como ejemplo lo distribución topolÓgica mostrada en lo figura 7, suponiendo que corresponde a las etapas de cálculo 9, 10 y JI; cada cosilla represento uno sub área que intercambio aguo con sus vecinas, como indican los conexiones.
B. Conformación de los motrices
la formo general de lo ecuación de continuidad puede escribirse como:
[z k
-~ 1 ~h + ~ d G ik llh _ 1 [Pi + Z 0.1 ri. LI t i k ( el hk k ) - - T"Kt k ,k
donde Si represento el área de lo sub área i; multiplicando por r:i. y reordenando, obtenemos
S'1 l P' . <;;"" ] - _' L1 h¡ = - -' + L O'k lit Llt k '
(J 2\
Aplicando ahora lo ecuación (12) o coda sub áreo, obtendremos tantas ecua cianes cuantas sub áreas tengomos; así, lo 56 por e¡emplo, lÍen.; comunicacion con lo 51, 52, 57, 58 Y 59.
Sub área 56 = 56
k = 5 1, 52, 57,58 y 59
La ecuación (J 2\ produce :
eL ) 0 56,51 ¡; h
51
2056,57
Ó hS7 /j hS7 +
+ ri ) 056,58 O hS8
11 hS9 +í J_6_· -... hS6
(0 56,51 +056,52 +
Q + 56,57
Q + 56,59) - P56
Ót +
En formo similar se puede obtener uno ecuación para cada sub área; el sistema resultante se puede expresar en formo matricial asr:
h51 1 I h59
,
r h56 h60 hS2 I I
I h57 ' i
h53 ,
I h61 ¡ I + 11 - 111 =
1 hS3 h54 I h2 j l h55 j
-l P56 + ¿ Q56, k 1 (k = (51,52,57,58, 59) Ót k
, -l P57 +2: Q57,k) (k = 53,56,60,61) ! Ót k
I
l- [ ;:' +~ QS8, k 1 Ik "53,55,56,62) k
J
Donde cada una de los motrices 1, ¡ /, I i: son los siguientes
39
\
\ I
1
1
I \ \
1 :
d. OQ56,51 r:f. Q 56,52
~ h52 O O O O h51
O O r:f. ~ Q57, 53 O O
CJ h53 . aQ dQ
O O IX 58,53 O o( 58,55 o hS3 e hS5
11 :
t<.¿;: dQ56,k 556 !
o{ ~Q5,57 ~Q56,58 I - o( oh56 dI
" h57 Ó h58
k = 51,52,57,58,59
dQ 5S7 I ;, Q57,56 C(¿. S7,k -- O
o( ¡; h57 tl t I el FiS6 k = 53,56, 60, 61
21 QS8 56 ~Q58 k 558
a(~ '--Q( , O J hS8 á t o h56 k = 53, 55, 56, 62
1II
DI a Q56,59
o 1 o I o
" h59 i )Q I ~Q57 61 :
O Q( 57,60
I c< ' O
'2> h60 ti h61
, I ; dQ
O I O i O I oc 58,62
I ' el h62
40
Para simplificar, denominaremos las matrices de la siguiente manera:
• 1: Matriz precedente P (corresponde a la etapa precedente a la ac
tual en desarrollo)
11 : Matriz central C (etapa en actual desarrollo)
111: Motriz siguiente S (correspondiente a la próxima etapa)
Vector V: Matriz de los términos independientes.
En general, si tenemos que:
ni es el número de sub áreas de la etapa precedente
n' es el número de sub áreas de la etapa central, y I
nk es el número de sub áreas de la etapa siguiente, podemos escribir la ecuación matricial general como
Ah· 1 1, r .1h. 1 1,
, ~ hk, 1
Ah· 2 1, d h· 2 1, 6 hk 2 ,
[ pd x ......... + [ C¡] x .......
+ 1 Si I x . ......
'" [ Vi]
. . . . . . . . ......... . .......
11 h. . Ll h. áhk, nk 1, nI 1, ni
y las dimensiones de las matrices son
MATRIZ No. DE FILAS I No. DE COLUMNAS
P. ! n. I n· I I I
C. n· n· I I I
Si n· I
nk
V. n. I I
41
42
C. Condiciones Irmites
• Están representodos por las condiciones aguas arribo yaguas abajo, tenie~ do en cuento que las incógnitas del sistema son los h:
= VI
= V 2
~"~' .. ""'.".""""""" .. '.' .. """' ... '
P. , /;¡. 1 ,- + e i D. i+l = V. I
" •••• " .. , , ••• , w ••• , •• " ••••• " " w • " " " •• " ••• , •• , ,
v = n
Condiciones aguas arribo
Tomando como ejemplo el modelo aplicado en el rro Car, mencionado en A, tenemos como condiciones aguas arribo 3 entradas, representadas par las descargas que entran en (2), (3) y (4) (ver diagrama de la figura 8); pora facilitar lo comprensión del esquema, suponemos que esos descargos provienen de 3 sub óreas ficticios (O, -1 Y -2), La ecuación de continuidad aplicada a la sub área (4) proporciona:
5· L! h. = d t ~ Q ik + P. 1 , k • 1
o seo
54 ,h 4 = .1t [ 04 O , + ~,3 + Q4,8 \ ..L P,¡
como
Q. k Qik o( j Q¡k
6 h· ... o( d 0ik t. hk (4)
" = + ;; h· , ':3 hk ,
entonces
54 6 h4 .1 t
, Q4 O Q4 3 ... :1
:1 Q4 3 Ll h4
.,. 1
, = d 1'14 .ó t
• I I
, ...... , ,-, ,., \ -2 ' t -f } , 0\ ..... ' , I
''T' OO¡' , , , • , • , 4
)----{S
CONDICIONES AGUAS ARRIBA
FIGURA 8
70 71 ¿ I I , I , I , , I
I I
, .. 1, ,.1.,
(75) 74 176) .... ' '.'
f I , I I I f I I f I f
,.1., , ... 1." (771 17S' , I '.' ,-
CONDICIONES AGUAS ABAJO
FIGURA· 11
43
\
i \
44
·""
Ó Q4,3 ?Q
+ Il( .1 h3 + Q4 8 + ot 4,a¡jh4
?í h3 , ¿ h4
o(. ;, Q4 a
.1 h8) + P4
+ ,
ó ha t. t
qgrvpando y haciendo las siguientes convenciones:
" )4 -, ~ Q4,3 [~ ó 04 a .1 h4 el = o( tl h3 + ,
--:6tJ 75 h3 ¿ h4
SI = ()( ¿ Q4,a .6 ha
d ha
VI [ P4 Q4,O + °4,3 + Q4 8 1 = + J , Ót
podemos expresar la . ,
la formo ecuacloo en
=
quedando incluidas en VIlos condiciones de entrada al sistema (datos de descargas de entr<:lda a la zona de inundación l.
Condiciones aguas abajo
Al igual que para las condiciones aguas arriba, aquf se supone la existencia de sub áreas ficticias (o casillas), donde se conocen los niveles.
Siguiendo con el ejemplo referido antes, en la figur<:l 9 se muestr<:l el final del diagr<:lma topolÓgico, para las etapas 18 y 19. los niveles en las casillas 75, 76, 77 Y 78, que son conocidos, se incluyen en la última matriz, V¡9. Las matrices correspondientes a las dos últimas etapas serfan :
,
"
,~
D.
IXIJ Q6~, ~r I I ah., I
I ! ! :
I : I I
I , i
I
T
I I c( ;'Q92.14
0",2 i!l.' ¡~
OQ'12.7~ .1h -ri "h .." - Q'2 76
o ", J ,
eX. I ¡¡C/u 17
D~'3
0(*
~Q9<.'8 oh,.
El resto de ténninos en cada matriz se pncuentra normalmente; aqur sólo se han mostrado los que incluyen las sub áreas ficticias.
Técnico de solución
El problema se ha reducido ahora a la solución del sistema matricial
C 1 11 1 + 51 !J 2 = VI
P2 ~1 + C2 Ó 2 + S" lJ. 3 = Y2 ~
............. ~ .... ~ ........ ~ ....... ~ ......... . (13)
Pi t:" i-l + Ci fJ. i + Si IJ. i+l y. I
Si hacemos tendremos
.¡. ( l;¡ 2) en la primero ecuación del sistema (13),
45
III el -1
= - SI .1 2 + e -1 1
o sea Al !J. 2 = MI + W¡
si MI = -C1- 1 SI y
remplazando en la segunda ecuación de (13), obtenemos
o sea
de donde
si hacemos
M (P C2 ) -1 ( ) 2 = 2 MI + -S2
y
obtendremos finalmente
En las demás ecuaciones se continúa remplazando sucesivamente :
Vi' I = VI
tJ i = Mi Ll i+l + Wi con M¡ = p¡ Mi_1 + ei
W¡ = (Pi Mi-l + en -1 (Vi - Pi Wi-l)
Si tenemos por ejemplo, 19 etapas de cálculo, lo último ecuación será
con w e -1 19 = (P19 M18 + 19) (V19 -P19 W18)
En esto formo, se procede desde lJ 19 hacia atrás hasta LI 1 ' Y se obtie ne un valar paro codo matriz cada vez que asignamos volares o los paráme tros de ajuste; tendremos, entonces, 01 final de codo uno de estos procesos;los niveles alcanzadas por el aguo en codo sub área.
3.2.5 Esquema del programo de computador
El esquema general adjunto muestro lo secuencio de cálculos o través de los diferentes etapas :
Plt'EL I
114.." ----. I
S ______ J
'--¡~" .~.~.6:::_:-:-~- -1 IJlI""'·:, ..... " .. 1
______ J
Lee los parámetros en tarjetas y los grabo en el disco; se hoce un programo paro codo cree ido.
Lee los dotas de codo crecido (alturas de aguo en coda sub área) y algunos parámetros que varran con h. Si se tienen dotas cado 12 h., se descomponen en n, I:J. t
probando el modelo con los datos medidos:
12 horas y !J t = 12
N = t total de lo crecido
n Ll t
Hoce las interpolaciones necesarios paro calculas de 1/2 en 1/2 hora, los volares de los parámetros.
Modifico y grabo nuevamente alguno$ parÓmetros que yo están grabados y deben ser cambiados¡ se requiere lo llave porque no siempre es necesario esto operación.
Calculo, paro coda sección de paso, todas los motri-ces y encuentro los valores de h en el instante t + t¡ los entrego o través de SALID.
Grabo en el disco los valores de los olturas máximas de ogua en coda caja para comparar varias crecidas.
Es el programo que pruebo el resultado del modelo.
47
3.3 MODELO DE LA UNIVERSIDAD DE TEXAS
3.3.1 Antecedentes
48
Aunque el modelo Stanford IV es capaz de reproducir el escurrimiento adecuado mente, se pensó en la Univel'$idad de Texas que algunos de los procesos constitü tivos del modelo eran susceptibles de mejorane paro hacerlos más compatibles co;, los proc:esos ffsicos reales y utilizar parámetros con significado físico definido. En el modelo Stanford IV hay tres parámetros cuyos valores deben ser suministradas por el usuario, y son los valores del almacenamiento en las zonas superior e infe rior del suelo y el índice de infiltración, parámetros que están inter-relacionadOS, lo cual agrega considerable dificultod a lo determinación de sus valores.
Para mejorar el modelo se consideró que 105 conceptos de almacenamiento de depresión, infiltración, contenido de humedad del suelo y movimiento del agua dentro del suelo deberían ser modificados y adaptados más adecuadamente o los procesos conocidos de lo ffsica del suelo. Con esto en mente se efectuó un análisis intensivo del flujo en la zona no saturado del suelo, para desarrollar un programo de simulación modificado.
Entre las fuerzas que actúon para producir el movimiento del agua dentro del sue lo pueden tenene en cuenta las siguientes: (Remsan, 1962)
o - lo fuerzo gravitacional que siempre actúo en dirección vertical.
b - las fuerzas capilares
c - las fuerzas químicas y osmóticas
d - Fuerzas debidas a gradientres de presión po rcia I que actúon sobre el vapor de agua.
las fuerzas químicos y osmóticas generalmente originan movimientos muy lentos, por lo cual no se tienen en cuenta en el anólisis. El volumen de agua que se mueve en estado de vapor es iguolmente reducido comparado con el volumen líquido, por lo cual el estudio se limita a la consideración de las dos primeras fuanas mencionadas.
Se dedicó mucho tiempo 01 estudio del modelo de diferencias finitas de una ca lumna vertical de suelo, besado en el usa de una forma de la ecuación de Oo';y para flujo en la zona no saturada:
v = -K o(lf+y)
() y
y la ecuación de continuidad
(1)
donde
= " t
(2)
V es la velocidad en la dirección y, es decir, la rata de flujo a través de la unidad de área;
K es el coeficiente de permeabilidad del suelo en unidades L
T 'f es el potencial copilar o tensión copilar en unidades de longi
tud;
s es el contenido de humedad del suelo, y
y es la distancia vertical desde un plano arbitrario de referencia, considerado positivo hocio arriba.
La formo de lo ecuación resultante era oplicoble o lo zona no saturada pero no o lo zona saturado; ésto condujo o lo necesidad de determinar lo loco lizoción de la interfase entre los dos zonas como porte de lo solución, conuna forma apropiada de la ley de Darcy poro cada zona. Sin embargo, no se encontraron métodos satisfactorios para manejar este problema y evaluar las derivados por diferencias finitos en la región de la interfase, par locual fue abandonada esto I (neo de acción.
Estas dificultades podrían evitarle utilizando un método que no use formas di ferentes de la ley de Doreyen cado zona. Rubin (1966) ha hecho posibleésto con una combinación adecuada de permeabilidad, humedad del suelo y tensiÓn capilar; con esto técnico es posible desarrollar un modelo de infiltra ción más adecuado que el descrito en los páginas siguientes, lo cual puedeser objeto de futuras investigaciones.
3.3.2 Característicos del modelo
A. Origen
Poro desarrollar el modelo en lo Universidad de Texas se hizo uno utilización extensivo de los procesos del modelo Stonford IV, particularmente en lo relacionado COn la escorrentío superficial y lo propagación. El estudio del flujo en lo zona no saturada, deserHo atrás, se usó como guío para el proceso de cólculo del mencionado flujo. En las figuras 10 Y 11 se muestran esquemas del modelo Stanford IV y del modelo descrito aquí, cada una de cuyos fases de simulación será objeto de un comentario.
49
50
PRECIPITACION
EVA"ORACION
tHHt "OTENCIAL
AGUA SlPERFICIAl.
Al.MACENANTO SUPER FICIAL
ALMACENAMlE/j TO SUBTE-
RRANEO
\
Al.MACENA TO EN l.A
ZONA INFERIO
CORRIENTE
D í
DIAGRAMA ESOUEMATlCO DEL MODELO STANFORO IV
FIGURA 10
I
AREA AREA PERMEABLE IMPERMEABLE
ESCOR~NTIA
ALMACENAMIENTO
DE INTERCEPCION
'k\~
~ ",Vd/; ~..¡
ALMACE-! ALMACENAMIENTO NAMIENTO DE DEPRE- DE FLUJO 1--. ESCORRENTlA
SIDN ¡SUPERFICIAL
V ALMACENAMIENTO
EN LA CAPA SUPERIOR
L~L....-----' .------,
PARTE SUPERIOR '---------"'ALMACENAMIENTO DE LA CAPA INTERMEDIA
PARTE INFERIOR DE LA CAPA INTERMEDIA
ALMACENAMIENTO
SUBTERRANEO
~ FLUJO BASE
SUBSLf'ERFICI AL
1--. ESCORRENTI A
DIAGRAMA ESQUEMATICO DEL MODELO DE LA UNIVERSIDAD DE TEXAS
FIGURA 11
51
--~- _.
52
El programo de computador (Clabom y Moore, 1970) fue escrito para acomodarlo o lluvia medido en intervalos irregulares o aún en formo acumulada como en ciertos tipos de pluviómetros.
Estos datos se convierten 01 perrodo de tiempo especificado, que puede variar desde un minuto hasta un dfa. Puede prepararse un registro similar con los datos de descargas cuando los hay disponibles.
B. Almacenamiento de intercepción
Todo la precipitación que cae en el área permeable se .prapaga para simu-lar el almacenamiento de intercepción; el volumen de agua interceptado es tá controlado por un parámetro (VINSM) que varía mensualmente. Este pa-= rámetro puede estimarse como una función del tipo y densidad del material constitutivo de la capa superficial de suelo; en terrenos agrícolas, el almacenamiento de intercepción máximo puede ser pequeño cuando se hoce lo -siembra, y crece cuando se desarrollan las plantas; por otra parte, en áreas cubiertas can bosques perennes o en zonas urbanizadas, es sensiblemente -constante durante el año.
c. Almacenamiento superficial
El aguo que excede el máxima almacenamiento de intercepción llega hasta la superficie y puede caer en uno de das tipos de almacenamiento: el de -depresión y el de flujo superficial; el almacenamiento de depresión, es el volumen retenido en las depresiones de todo tamaña que tengo la cuenco.
Dentro del área permeable de la cuenco se pueden delimitar tres tipos de zo nos, como se muestra en lo figura 12. Estas zonas estón caracterizados ca=mo (A), áreas donde el flujo superficial alimenta directamente la corriente; (B), áreas donde el flujo superficial va o uno depresión; y (el, áreas de 01 macenamiento de depresión; éstos últimos varían desde surcos causados porpisodas hasta estanques y otras estructuras que retienen el flujo.
El área superficial del aguo almacenado en depresiones se considero como una función lineal del volumen del almacenamiento (figura 13). Lo lluvia que alcanza la superficie del suelo se divide en almacenamiento de flujo superfi cial (LS) y almacenamiento de depresión (DS) en base 01 área superficial decodo tipo de almacenamiento. L S se divide posteriormente en una parte que va directamente o la corriente y otra que va a los depresiones; la infiltración y lo evaporación, también fenómenos superficiales, se basan en el área superficial de cada tipo de almacenamiento.
TRES TIPOS DE AREAS EN LA CUENCA
Al Fluj-o superficial que d.,corvo directam.nte a la corriente
8) Flujo superficial que vo o un almacenamiento de deprllión
e) Almacenamienlo de dl"'"¡ón
FIGURA 12
Volumen del almacenamiento de depresión
Volumen máx.imo del almacenamiento de depr.,¡on
RELACION ASUMIDA ENTRE AREA Y VOLUMEN DEL ALMACENAMIENTO DE OEPRESION
FIGU RA 13
tl.,~ ........... "...... 'o H,.,.lot'~ Wail' Rn.e,ea 'ubllc.tl-., 'orl Col •• eo ........ '171
53
I
l,,~~"""
54
El modelo de flujo superficial es tomado del modelo Stanford IV, constituida por la ecuación de IZZARD (formo para flujo cuasiturbulenta) :
OLF ~ 64200 s
nL ( ~) 5/3 (1+0.6 (-&) 3\ 5/3 (3)
donde :
OLF es la rata de escorrentía en pulQ/hora por unidad de órea.
n es la rugosidad de Manning para flujo superficial (ROUGH).
L es la longitud del trecho donde hay escurrimiento superficial, en pies (VLENGH).
s es la pendiente del trecho anterior (SLOPE)
D es el almacenamiento en ft 3/ft, definido como el promedio al pr~ cipio y 01 final del período (OFSAVG).
De es el almacenamiento en ft 3/ft para uno condición de equilibrio (OFSEQU), definido por:
OFSEQU ~ 0.000818 .0.6 0.6
I n (4)
donde i es la intensidad de precipitación, en pulgadas por hora. Este modelo se basa en las siguientes relaciones empíricas entre flujo, profundidad y almacenamiento:
D Y ~ T [ 1+0.6 ~) 3] (5)
donde Y es lo profundidod,en pies, en el extremo inferior del plano del flujo.
Estas ecuaciones fueron desarrollodos DOr Línsley y Crawford (1966) y don buenos ajustes con los resultados obtenidos con la solución de la ecuación diferencial parcial del flujo variado por diferencias finitas.
El flujo superficia!' generado en la parte de la cuenca clasificada como contribución directo a la corriente, se acumula en la variable RO; la parte originada en las óreas que constituyen el almacenamiento de depresión se suma a éste. Las depresiones pequei'las se llenan rápidamente 01 principio de lo lluvia y comienzan o producir escurrimiento, lo que no sucede
con depresiones grandes, donde el escurrimiento comienza mucho tiempo des pués. En la figura 15 se muestra una relación tfpico entre el área que pro duce escurrimienta a través del almacenamiento de depresión y el volumende ese almacenamiento; la curva se asume como una parábola con vértice en el origen, y su ecuación puede escribirse:
= (.2. 'c
D s ) 0.5 DsMAX
donde Xa es la fracción del área originalmente designada como depresión o su área contribuyente pero que está ya produciendo escurrimiento.
DS es el volumen del almacenamiento de depresión, en pulgadas de profundidad.
DsMAX es el máximo OS, y
C es una constante, norma Imente con un va lar de 1.
La forma de esta relación varra de una cuenca a otra; sin embargo, parece que la parábola es adecuada para la mayorfa de las cuencas, según investigacianes efectuadas por Clabom y Moore (1970) •
D. Infiltración
La infiltración depende de: a) el agua disponible, es decir, la intensidad de precipitación, b) la capacidad del suelo para conducir el agua a través de la zona no saturada, y c) profundidad de la lámina de aguo que cubre el suelo, el espesor de la zona satura y su permeabilidad.
La ecuación (1) ?uede escribirse como
v = o (7)
donde Va es la tasa de infiltroción; esto ecuación es apl icable en las con diciones a) y b) dadas atrás, y Ó s/<)y debe considerarse como la variable dependiente.
En relación con la figura 15, la tasa de infiltración de la lluvia encharca da se puede calcular así:
55
--1---
56
r PONO - 'f OC
l SATOPH
donde PON O y SATOPH tienen el significado mostrado en la figura, y es el volar de la tensión en la interfase suelo-oire.
oc
Holtan (1967) propuso una ecuación de infiltración
f = a Fn
+ f p c (9)
donde f es la rata de infiltración cuando el abastecimiento no es el factor I imitante.
fc es la rata de infiltración constante, o permeabilidad saturada del suelo.
F p es el volumen total que puede inA Itrarse antes de alcanzar una [ata de infiltración constante,
a y n son constantes.
Holtan recomienda tomar para a el valor 0.62 y para n 1.387. Fp es una medida de los vacios que quedan en la columna de suelo en un tiempo dado, por lo cual es también una medida del agua en almacenamiento dentro de la columna. Como la ecuación de Holtan se aplica cuando existe exceso de lluvia, entonces
= - f c
donde el signo menos es una convención; si hacemos
K (PONO - If-' oc 1 = o sat SATOPH
(10)
( 11)
la ecuación de Holtan se aproximo trovés de datos experimentales que
ecuación (8). Holtan encontró a puede expresarse como
= KSo (12)
donde el subscrito cero indico evaluación en el tiempo cero,
- I AOI.FSF
o Almacenamiento de depresión Móximo alrnocblmiento de depr.aiQn
REL.ACION ASUMIDA ENTRE VOL.UMEN DEL. AL.MACENAMIENTO DE OEPRESION Y ESCURRIMIENTO. SUPERFICIAL. A PARTIR DE ESE AL.MACENAMlENTO
PONO , SATOPH
-----------
a. Perfil d.1 suelo
FIGURA '4
'" ~ '" ~ e ..
o Humedad del suelo S
b. Perfil de humedad
INFIL.TRACION DE LA L.L.UVIA RETENIDA EN DEPRESIONES
FIGURA 15
K,
S Zona de f~lroción
,/
1- L -1
MODEL.O IDEAL.IZADO DE FL.UJO SUBSUPERFICIAL.
FIGURA 16
57
58
K es el factor vegetativo dado en la tabla 1, Y
S es el espacio de poros disponible hasta una profundidad de 21 pulgadas.
TABLA
FACTOR VEGETATIVO DE HOLTAN
Cubierta
, gramaneas hierba y olfalfa forraies alfalfa maleza
Valor del factor K
1.00 0.70 0.45 0.35 0.30
La ecuación de Holtan se aplica particularmente para modelos del tipo de balance contrnuo en una cuenca, puesto que la variable independiente es el espacio poroso no saturado en la capo superior de suelo. Definida esta zona como la zona superior, la ecuación (9) se puede escribir
f = a (VZST - UZS) n + SATPRM
= e1 (VEST UZS)C2 + SATPRM (13)
donde
UZST es el espacia total de poros en la zona superior, dada en pulg 3/ pulg2 (porosidad por espesor)
UZS es el volumen normal de agua en lo zona superior, en pulg 3¡pulg2
SATPRM es la permeabilidad saturada de la zona superior, en pulgadas por hora.
C1 y C2 son constantes de entrada, correspondientes a las de Holtan
01 K Y n. Holtan no hizo ninguno concesión respecto al aguo que aban
dona la zona superior, es decir, el volumen de espacio poroso remanente
en un instante t después 'de comenzado e I aguacero, se ca Icu I ó como el espacio poroso disponible de to al instante t. El modelo de la cuenca re
flejará más exactamente el volumen real de aguo almacenada dentro de 1';zona superior. En consecuencia, esta zona puede tener menor espesor que las 21 pulgadas establecidas por Holtan. En tierras agrícolas la profundidad de cultivo alcanza siempre un valor razonable, mientras que en áreas no cultivados el espesor puede variar de medio pulgada, paro suelos muy compactos, hasta varias pulgadas en suelos arenosos. La presenc ia de una zona menos permeable interrumpe la zona superior. La ecuación (13) dá lo tasa de infiltración poro el período en que el abastecimiento no es el factor limitante, es decir, es lo infiltración potencial. Cuando lo intensidad de precipitación es menar que la infiltración potencial, toda la lluvia se infiltra; ésto disminuye el espacio porosa disponible, y en consecuencia dis minuye la infiltración potencial para el próximo período de tiempo. Rubin(1966) estableció que, para un abastecimiento uniforme menor que lo tasa de infiltración potencial, la columna de suelo eventualmente alcanza un es todo de equilibrio en sus áreas superiores donde el gradiente -
él K lJI +y)
oy
es justamente el adecuado para transferir el abastecimiento. Esto puede -también ocurrir en el modelo, cuando el flujo que entra en la zona superior es exactanente igual 01 que sale. La ecuación de Holtan, por cuanto no es exacta, no ofrece una bueno aproximación del proceso de infiltración, tanto en lo situación de la infiltración limitada por el abastecimiento, como en la de la infiltración limitada por las condiciones del suelo.
E. Flujo o través de la zona no saturada
Idealmente, se podría describir el flujo o través de la zona no saturado, con alguno formo de lo ecuación (1). Sin embargo, en un modelo de cuen ca ésto debe hacerse en formo aproximado. En los modelos de balance coo trnuo, se debe obtener el volumen de aguo paro codo intervalo de profun=didad; no obstante, cuando el número de estos intervalos aumenta, el tiempo necesario para real izar los cálculos también aumenta y rápidamente se encuentra un límite económico; por eso debe limitarse el número de tales zonas. Las 'variables independientes en la ecuación (1) se pueden e'scribir como funciones de lo humedad del suelo, S.
¡ji = f :S' (14)
K = 9 :S) ( 15)
59
60
la solución de la ecuación (1), debe dar
v = h (5) (16)
Se han propuesto varias formas para las funciones f (5) Y Y (5), Y han sido discutidas por Clabom y Moore (1970). El conjunto de funciones escogidas poro su usa en el programa de simulación es
K = Al (5+81 ) C1 + DI (17)
_ r = A2 (S+B2) C2 + D2 (18)
En la tabla 2 se muestran los valores de los coeficientes poro diferentes suelos ensayados, y se puede usar como gura pora determinar esos coeficientes.
El programa transfiere la humedad de una zona a la otro usando la ecuación (1) escrita en la forma
(19)
El valor de la permeabilidad es el promedio ponderado de la permeabilidad en cada zona como se determinó en la ecuación (17). El valor de '3of /ay se obtiene a parti r de
= (20)
donde los subscritos 1 y 2 hacen referencia a las dos zonas. El valor de 11' se encuentra con la ecuación (18); el valor de S poro cada zona se en
cuentra dividiendo la humedad total en la zona por su espesor.
F. Flujo subsuperficial (o hipodérmico)
El fenómeno del flujo subsuperficial, aunque observado frecuentemente en la Naturaleza, no ha sido estudiado en detalle; en la figura 16 se muestra un modelo simplificado del flujo subsuperficiol; la aparición de agua en la zona de filtración depende de la pendiente de la zona menos permeable, S, lo permeabilidad de esta zona en relación con la que estó encima, la profundidad de la zona menos permeable, y el órea contribuyente al proceso de flujo subsuperficial, es decir, la distancia L en la figura 16. Estas variables y tal vez otras se combinan poro convertir una porción del hidrograma de in-
TABLA 2 COEFICIENTES PARA APROXIMACIONES DE LA PERMEABILIDAD Y EL POTENCIAL CAPILAR
P E R M E A B I L I D A D
DESCRIPCION y FUENTE mox. Promedio R2 A B C D R. E.
, R. E. I
Limo Banks y Bawers (l962) 797,7 -O, 114 7,75 2,9. 10-9 0,400 0,139 0,949
Arcilla Phillip (1957)
-3, O· 10-7 Gardner (1958\ 3,37 -0,103 6,01 0,372 I O, 147 0,936 Watson !l967) 206,8 0,002 4,06 -6,9.10-4 0,231 , 0,091 0,919
I
Greda !
Hanks y Bowers (1962) 1677,2 0,044 8,70 -1,6'10-6 0,652 0,284 0,936
Arena seca
Liokopoulos (1966) 1,689 0,026 2,45 2,4'10-3 cO,233 0,079 0,899 ,
Arena húmeda Liakopoulos 11966 1,983 -0,00585 2,66 3 2'10-5 0,312 0,188 0,915
Vachaud (1966) 117,32 -0,1185 5,69 7' l' 10-4 0,187 0,068 0,954 , Remson (1965) 1,6·104 0,087 25,16 I 0'10-9
.~!790 . 1, 179 O 883 , - ------- --- -- - --~---
_l .. _._
p O T E N C I A L C A P I l A R
rO,063 r_7,Ú,cr -8,·11 1 0,014 10,004 1
-----Limo 0,061 0,963 Arcilla Da t os d a dos fa r ma de . -en ecuaClon Watsan -47,6 -0,047 -0,033 33,74 0,008 0,001 0,923 Greda 26,20 0,7745 - 23, 91 0,965 2,68 0,753 0,898 Arena seca 225,3 1, O - 11, 35 3,64 0,59 0,239 0,900 Vachaud 9,937 0,6555 - 21,28 1,207 1,765 0,478 0,894 Remson 249,76 0,816 - 30, 89 -2,653 0,480 0,167 0,909 - -----_.- _. - ._~. - -- -- - .. --_._-o-
¡ , ~,
62
filtración en el hidrograma de flujo subsuperficial. La formulación matemátiCG más simple del procesa serra entonces una que deteJminara el valumen del fluio subsuperficial y produjera el hidragrama subsuperficial propaganda este volumen; éste es el método usado en este modelo. El volumen del flujo subsuperficlal del nivel superior hacia la zona intermedia se determina con
donde
YINFlO = C16 (TlZS - CID VINST) b.t (21 )
YINFLO
TIZS
VINST
es el volumen de agua adicionada al procesa subsuperf..!, cíol durante el período lit.
es el volumen de agua almacenada en la mitad superior de la zona intermedia.
es el volumen total de la zona intermedia .
san parámetros de entrada que deben reflejar las diferencias en la permeabil idad de las dos zonas.
Cuando la cantidad (TIZS - C10 . VINST) es menor o igual a cero, VINFLO se hace cero. C10 parece ser un parámetro que establece el límite inferior del volumen de agua que debe estar presente para que el fluio subsuperficial pueda iniciarse. La forma del hidrograma del fluio hipodérmico está determinada por una función de retraso.
donde
(22)
X es el volumen de aguo descargada a la corriente desde el almacenamiento hipodérmico en el tiempo A. t
DEUNG es el volumen de agua en almacenamiento subsuperfic!al.
C14, C15 son parámetros de entrada.
La ecuación (22) no tiene explicación física; es probable que C15 pueda tomarse como cero; por analogía con las ecuaciones de propagación en cau cas, la salida deberá relacionarse al valumen de almacenamiento. -
G. Flujo subterráneo
Mucho de lo que se dijo sobre las dificultades de la modelación matemática
del proceso subsuperficial se aplica al flujo del agua subterránea. El modelo considera la posibilidad de flujo subterráneo directamente sobre la carrien te y también fluia hacia afuera de la cuenca. Este último Se detennina co=mo una función del agua almacenada en la porción saturada del perfil del su~ lo.
donde
23)
y es el volumen de agua que sale de la cuenca en el período l> t
GWS es el volumen de agua en almacenamiento subterráneo, y
C 13 es un parámetro de entrada.
El flujo que va directamente a la corriente se determina de manera similar.
donde
x = (GWS - C11 ) . (24)
X es el volumen de agua que fluye del sistema subterráneo a la corriente durante Ó t.
es el volumen de agua en almacenamiento subterráneo par debajo del cual na hay flujo hacia la corriente.
C12 es un parámetro de entrado.
Para el períado de flujo base del hidrogramo, la ecuación !24) es análoga a la ecuación comunmente usada, descompuesta
G. = k. G. 1 = ki r- (25) 1 1- V o
donde G.
1 es el flujo para el período de tiempo j- ésímo.
G. 1 es el flujo poro el período de tiempo Ii-n 1-
Go es el flu jo al comienzo del primer período de tiempo, y
k es la constan te de recesión.
63
64
Por la ecuac ión (24)
K = GWS + C11
GWS - Cll
(26)
Se ha notado que K no es constante, pero se acerca a cero cuando el almacenamiento subterráneo se aproxima a C 11' El efecto de variar la con s tante de recesión es incrementar o reducir la recesión dada por la ecuacióñ (25); ésto se acentúa con la remoción de un vol umen de agua subterrónea que sale de la cuenca.
H. Evaporación y evapotranspiración
El proc~ de evaporación depende en grado sumo de la energra reclbida en forma de radiación solar; la cantidad de energra recibida afecta tanto la ew poración total como su distribución temporal. Otros factores climáticos impor tantes en el proceso de evaporación son los vientos y la humedad re lativa; eT efecto combinado de estos factores se reflejará en la cantidad de aguo que se evapora desde un tanque. En consecuencia, el modelo hace uso de la -evaporación mensual de tanque para establecer la evaporación potencial men sual de la cuenca; de aquf se extrae un media diaria, y finalmente una tasa instantánea. Se asume que lo evaporación potencial comienza media hora -después de la salida del sol y va hasta una hora antes de la puesta, con su máximo a los tres cuartos de ese tiempo. Para estimar la tasa instantánea de evaporación potencial se usa una curva en forma de campana asimétrica a;us tada a estos tres puntos. La distribución temporal de la evaporación poten-clal concuerda bien con los datos suministrados por Bavel (1966), como se -muestra en la figura 17.
La evaporación tiene lugar primero en el almacenamiento de intercepción. Si no hay suficiente agua almacenada allr para satisfacer la evaporación potencial de este perrada, serán retiradas cantidades adicionales de agua, en orden, del alll\Qcenamiento de flujo superficial, almacenamiento de depresión y del almacenamiento en la zona superior del suelo. Se asume que la evaporación se real iza a ritmo potencial desde el almacenamiento superficial y el de depresión, asf como en la zona superior, en la cual disminu ye a medida que la zona decrece, por la dificultad del suelo para mantener la humedad de la superficie. Esta situación se aproxima en el modelo, usan do -
E = EVAPOT - ( UZS UZMIN) OC
-:U~Z:-:::S=-T --~U~Z-:-M~IN'-'-- (27)
1.0
.5
1.0
Aproximocion de una curva
sinusoidal '1
0600
/ í:
1200
Hora del dio
0600 1200
Horo del dia
Superficie de D9UQ
E vaporación medido
/
1800
Suelo húmldo
EvaporoctOn /medidO
1800
1400
2400
APROXIMACIOH DE UNA CURVA SINUSOIDAL PARA MEDIDAS DE EVAPORAC/ON (VAN BAVEL, 1966)
FIGURA 11
65
donde
E es lo toso de evaporación real de lo superficie del suelo.
EVAPOT es la evoporacieÍfl patencial
UES es el volumen corriente de agua almacenoda en la zona superior.
UZMIN es el volumen mínimo permitido en la zona superior.
UZST es el volumen total permitido en lo ZOna superior, y
oc 1', un parámetro que describe lo capacidad del suelo paro transportar aguo hacia lo superficie.
lo transpiración del aguo del suelo paro los necesidades de los planlcs parece ser independiente del contenido de humedad del suelo, cuando está por encima del punto de marchitez; en consecuencia, en los meses donde hay transpiración, uno cantidad adicional de aguo va o ser extraído de lo zona radicular (RTZONE); lo extraccieÍfl estó limitado por el punto de maTchi tez, asumido igual al volumen mínimo para cado zona. El espesor de la:ro na radicular no necesariamente coincide con lo zona superior, pues paraárboles de raíces profundas es mucho mayor. Así, la evaporación mensual medida en el tanque se aumenta con el uso consuntivo mensual (TRANPO).
l. Propagac ión de descargas
El escurrimiento para cada período de tiempo, calculado por el modelo en la forma descrita someramente, debe propagarse o través de lo cuenca paro producir el hidrograma de salida; paro ésto, se uso la técnico del gráfico de distribución empleado en el modelo Stanford IV. El flujo generado du rante un período se distribuye de acuerdo con los parámetros de entrada eñ intervalos futuros de escurrimiento, "S decir, el flujo que llega o lo corrien te durante el intervalo actual de tiempo, aparecerá en lo sección de con=trol distribuído en el tiempo.
El programo tiene capacidad para simular cuencas compuestos de varias sub cuencas o segmentos, en sentido aguas arribo -aguas abajo, por lo cual 10-cinto magnética que contiene los dotas de precipitación debe prepararse en ese sentidc, también.
3.3.3 Aplicaciones del modelo
Aunque los oportunidades pora apl icor el programo han sido I imitados, se ha -66
usado en dos cuencas de característicos bien diferentes y con distintas objetivos.
Lo primera aplicación se hizo a una cuenco pequeño (0.1 km2¡ cerca de Edwardsville, IHinois, U. S.A., para la cual se disponía de información suficiente para la estimación de los parámetros. Se perseguía un propósito muy especi'fi ca: seleccionar los parámetros doe la simulación con anticipación, can base en las características conocidas de la cu"nca. Se trota en realidad de una prueba muy severa del programa y de la habilidad para interpretar las características conoci das de lo cuenca en relación con los procesas físicos que se están simulando. -
Inicialmente se escogieron algunos hidrogramas típicos de los diferentes condicio nes encontradas en el modelo; en lo figuro 18 soe muestro uno comparación entrelos hidrogramos observado y calculado en uno situación típica.
Aunque los resultados podrían mejorarse, son aceptables dentro de los condiciones en que fué usado el modelo; análisis posteriores mostraron que los descargos en éste período fueron afectadas por fenómenos de deshielo, que no están contemplados en e I modelo.
La segunda aplicación se hizo en el arroyo Mukewater en Texas, U.S.A. (183 km 2), 01 cual había sido aplicado anteriormente el modelo Stonford IV, del cual se tomaron los parámetros comunes. Los resultados de la simulación para aguaceros individuales se muestron en las figuras 19 y 20 Y las descargas medias dio rias en la figuro 21.
Se puede observar que lo correspondencia entre descargas observadas y simuladas puede mejorarse si se tiene en cuenta la distribución espacial de las Iluvia¡¡,. hecho que, sin embargo, no ha sido contemplado ni en éste modelo, ni en el mo delo Stonford IV.
67
68
.,..------------, ti
... ••
.
'.
• • •
.--y-r "10 11 O .
COMPARACION DE DESCARGAS MEDIDA Y SIMULADA PARA EL AGUACERO DE
JUNIO 26, 1942
FIGURA 18
"---o
o
" AGUACERO DE' MAYO 11-13, 1957
'.eUItA l'
o o
o
.. o
o
1000
l.
AGUACERO DE MAYO 17 - 18, 1957
FIGURA 20
1.6 r
~ 14 o r 'O o
1.2 '" "5 "-
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e -<> ¡¡ 0.8 ~
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1000 ----- Simulada
1400
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400
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'-r-,
-.., rt-'- , I
Q h "A. , ,-
, -- 6.. 10 20 30
PRECIPITACION y ESCURRIMIENTO PARA MAYO 1957
FIGURA 21
... "....... c. "5.,. ......... rou ... H,drOIOey'; Wa.tef R •• g ..... c .. P"bllcCllion" Forl COllml ColOl'odo, 1971
69
3.4 MODELO S. S.A. R. R.
(Streamflaw Synthesis and Reservair Regulation)
3.4.1 Generalidades
Se trata de un modelo pluviohidrológico con propagación par embalses que permite transformar precipitación en descarga, trabajando con tres componentes de la escorrentfa: flujo superficial, subsuperficial y base (ver figuro 22). El modelo completo fué desarrollado poro sintetizar la respuesta de un complejo sistema flu vial a la entrada de precipitación y temperatura, además del efecto de regula-ción de estructuras construidas par el hombre.
3.4.2 Evolución histórica del modelo
El modelo SSARR, de caracterfsticas muy generales y de gran flexibilidad, fué concebido par David M. Rockwood* para sintetizar descargas y ser usado en pla neamienta y previsión operacional diaria de sistemas hfdricos. La versión origi-: nal del programa fué desarrollada para un computador IBM 650 en 1957, para sin tetizar descargas en la cuenca del rfo Columbia, diseñado especfficamente paralas condiciones de esta cuenca. Inicialmente fué formulado para simular escurrí miento de origen nival, y fué usado operacianalmente para previsión de escurrimiento en la mencionada cuenca durante el perfodo de aguas altas, asf comopa ra determinar avenidas de diseño para proyectos de embalses en el área. -
Con la experiencia asf adquirida, en 1960 se iniciaron trabajos para mejorar el programa lógico, tanto en lo que se refiere a técnicas hidrológicas como a lo utilización del computador. Esta "segunda generación" diseñada para un IBM 1920, se describió cama un modelo general para sfntesis de descargas que puede ser aplicado a cualquier cuenca sin limitaciones en cuanto a configuración, régimen hidrológico a sistema de embalses. El programa se usó extensivamente paro previsión de descargas, regulación de embalses, estudias de caudales de diseño y regulación de inundaciones en EE. UU., Alaska y Canadá; se aplicó en áreas de régimen combinado (pluvial-nival) y, en conexión con el programa de entrenamiento en análisis de sistemas del Comité del rfo Mekong, se utilizá en los tributarios de este rfo.
El programa actual es la "tercero generación", y es diseñado como un modelo hidrológico y de regulación de embalses, con aplicación o un ranga mucho mayor de condiciones que la versión anterior, y con notable perfeccionamiento pa ro simular procesos hidrológicos, técnicas de propagación en canales y métodosde regulación de embalses. Es completamente flexible en su capacidad para re-
*Jefe de la Sección de Hidrologfa e Hidráulico, North Pacific Division, U.S. Corps of Engenee rs.
70
LLUVIA
EvaporaciÓn
Flujo Total
Flujo Flujo Flujo Bose Subsuperficial Superficial
Prop iOn PropaqaciCn
OB OSS Os
O
Trocho 2 I
ESQUEMA DEL MODELO
FIGURA 22 ,
71
presentar relaciones frsicas de varias variables utilizando tablas previamente estructuradas; estas relaciones pueden ser lineales o nó y derivadas, ya seo de me diciones directas o de funciones generales, a través de coeficientes empfricos; para sintetizar las condiciones naturales del escurrimiento.
3.4.3 c.aracterrsticas del Programa SSARR
72
A.Conceptos hidrológicos inclurdos
Una cuenco de drenaje se puede separar en unidades hidrológicas homogéneas de un tamai'lo y carácter tales que pueden ser usadas como una representación lógica de una cuenca moyor y sus subóreas elementales; el almacenamiento en el cauce puede determinarse para trechos de rro y representar asr el retardo natural al escurrimiento que se encuentra en los sistemas naturales; en igual forma, el almacenamiento en lagos o embalses puede evaluarse de acuerdo con las condiciones especificadas de capacidad de los mismos. En esta forma, el escurrimiento puede ser determinado tanto para el cauce principal coma para 105 principales tributarios.
El pragrama elaborado para este madelo combina la evaluación de varias funciones hidrometeorolÓgicas que representan el praceso completo de simulación del escurrimiento; puede ser tan general que el escurrimiento puede sintetizarse ajustondo las diferentes parámetros de una cuenca particular que afecten la evaluación del volumen de agua de entrada (lluvia o nieve), la humedad del suelo, la evapatranspiración, el almacenamiento de depresión, almacenamiento superficial, subsuperficial o subterráneo, la infiltración o los acui'feros,tiem po de retardo de cada tipo de escurrimiento y efectos del almacenamiento enel cauce; cuando estos parámetras se han evaluado para una cuenca dada, representan la calibración de esa área particular o unidad homogénea.
B. Subdivisión de lo cuenca
El escurrimiento se puede sintetizar digitalmente a partir de una serie de subdivisiones de la cuenca, cada una de las cuales puede estor individualmente representada por su conjunto particular de coeficientes y funciones, y no hoy Ifmite para el número que de toles subdivisiones se quiera hocer. La descar 90 calculada de tadas estas pequeñas subdivisiones representa la entrado 01-sistema del canal fluvial donde es propagada y combinado para constituir el -flujo total en cualquier punto de interés.
C. Intervalos de tiempo
Los ecuaciones diferenciales que definen el flujo se resuelven por diferencias finitos; el incremento de tiempo poro propagación es determinado en codo coso particular (puede variar de tres horas a un dro) y se puede modificar en el
transcurso de una misma simulación _ Los volares de entrado de las variables hidrometeorológicas se darón según el intervalo de tiempo en el cual se requie ren los datos de sal ido y el programo sintetizará el escurrimiento pora cualquier duración total de tiempo, dependiendo del tipo de estudio. Por ejemplo, se pue den sintetizar descargos paro estudiar sus variaciones en períodos de un año 0-
mós en estudios hidrológicos de cuencas; poro sintetizar descargas de diseño a portir de lluvias o para previsión, pueden usarse períodos de unos pocos días -hasta varios meses de durac ión.
D. Datos de entrada
Los datos hidrometeorológicos que usa el programa se suministran en un gran número de formas poro permitir flexibilidod en el manejo de la gran cantidad de datos que generalmente requiere la simulación paramétrica. Estos datos son, precipitación diaria, temperatura media diaria del aire, a valores de variables hidrometeoro lógicas que afectan la fusión de la nieve, cuando es el coso.
Para operar el programa, es necesario proveer las condiciones iniciales, que representan las condiciones de todas las variables funciones del tiempo en el instante to , y que son suministrados en tarjetas especiales; en esta fanma, la síntesis puede comenzarse en cualquier instante deseado sin tener en cuenta las condiciones hidrológicas. Además, existe la posibilidad de ajustar los con diciones iniciales de valores previamente calculados, a condiciones observadas en un punto particular en el tiempo, propiedad muy adecuado en la operación del modelo poro previsión de descargas diarios.
E. Usos del Modelo
Como se dijo antes, el programa fué desarrollado para su utilización en cual quier estudio que incluyo el cómputo de descargos en uno comple jo cuencafluvial, o partir de lluvias (y fusión de nieve).
En ingeniería se puede usar paro cálculo de avenidas de diseño, estudios de regulación de embolses, previsión de crecidas y detenminación de normas de operación de embalses. También puede usarse poro extender períodos cortos de descargos en base a precipitaciones y en estudios poro detenminar relacio nes precipitación - escurrimiento y caracter(sticas del almacenamiento en 10-cuenco o través de procesos de tentativas.
3.4.4 Tipos básicos de simulación empleados en el modelo
En el esquema simplificado que se expone en el presente trabajo, se describen los dos tipos básicos de simulación que se incluyen en el modelo; la transformación lluvia - descarga (denominado también propagación en lo cuenco o propaga ción lluvia - descarga), y la propagación descargo - descargo o propagación eñ el couce.
73
la primera incluye todos los mecanismos de conversión de Ifuvia en descarga a través de cada uno de los procesos que constituyen el ciclo hidrológico y sinteti za el hidrograma generado por uno lluvia (no se considerará el problema de fu= sión de nieve) en un punto dado de la cuenca. La segunda toma como entrada ese hidrograma y lo propaga hasta otro punto del cauce, haciendo uso de las caracterrsticas hidráulicas y geométricas del mismo (ver figura 23).
3.4.5 Transformación lluvia - descarga
74
El modelo hidrológico utilizado en el programa SSARR considera los siguientesele mentas hidrológicos básicos que deben ser evaluados individualmente para cada sub área en que fué dividida la cuenca:
o - Precipitación neta en la cuenca; se determina ponderando los datos observa dos.
b - Incremento de humedad del suelo; se determino como un (ndice (variable temporal) que representa las variaciones de la humedad del suelo.
c - Evapotranspiración; se determina como evapotranspiración potencial expresada en fundon de los valores medios mensuales en la cuenca y ajus/adame dionte una reducción en los dfas de lluvia en función de su intensidad. -
d - Exceso de escurrimiento; se determina a partir de la precipitación neta del suelo, conformando asf la cantidad de agua que entra a cada una de los tres zonas de almacenamiento temporal.
e -
f -
Almacenamiento de retención; las pequei'las irregularidades de naje libre.
Almacenamiento de superficie; las capas superiores del suelo, ficial.
representa el retardo temparal causada por la superficie del suelo que na tienen dre-
representa el efecto de almacenamiento de causante de retardo en la componente super-
g - Almacenamiento subsuperficial ; representa el efecto de almacenamiento de los acufferos intermedios, causantes de retardo en la componente subsuperficial.
h - Almacenamiento subterráneo; representa el efecto de'la percolación profunda hacia los acurFeros inferiores y su retardo en el fluía base.
i - Tiempos de propagación; para calcular los efectos del retardo en cada una de las componentes del flujo.
ARa CUbierla por D lIuyiQ
ROP
, , , " '" /
Propa9Qción en la cuenca
Hidroqramo SintetiZado , __ -}---- IL __ ::::==- en A
PropoQOC¡ón dlscaroa • destorga
l~rQmQ _godo __ -... hasla B
TIPOS DE SIMULACION
" .... "
FI GURA 23
"" ",\ Diferentes funciones
posibles
~¿~~~ ________________________ --'SMI
FUNCION PARAMETRO ROP - SMI
FIGURA 24
75
76
j - Relaciones para separación del flujo; permiten calcular la porción del exc! so de agua que entra en cadO zona de almacenamiento.
Can el uso de estos fndices y relaciones, el modelo es una adecuada representación teórica de los procesos ffsicos del escurrimiento, que lo hace utili zable en grandes segmentos de cuenca teniendo en cuenta la disponibilidad de datos y otras limitaciones prácticas.
A. Determinación de la precipitación en la cuenca
La precipitación en la cuenca se calcula a partir de los datos diarios de un cierto número de pluviómetros, 05(:
Pd = Pl Wl + P2*W2 .... +P n * Wn ) •
s
donde p.
J = precipitación diaria en las n estaciones
W¡ = factor de ponderación (en %) de cada pluviómetro
S = núme ro tata I de estac iones
Pd = precipitación diaria ponderada de la cuenca
El factor de ponderación W depende del órea de influencia de cada pluvió metro, de la precipitación normal anual en esa parte de la subcuenca y efe la precipitación normal anual en cada estación, incluyendo asr la tendencia que pueda tener la precipitación. El factor se calcula asr:
donde
An • (NAPa) * N Wn =
(NAPn )
W = n factor de ponderación para la estación n
An = órea de influencia de la estación n, en % del total
NAPa = precipitación normal anual para el órea An
NAPn = precipitación normal anual en la estación n
N = número total de estaciones usadas para calcular la preci- ' pitación en la sub-órea.
B. Distribución de lo 11 uvia
Codo dfo se subdivide en perradas, no siempre iguales. Cuando no hoy plu viógrofos que permitan hacer el cómputo exacto, pueden hacerse estimocioñes basados en lo experiencia. Lo precipitación ponderado poro codo perrodo es entonces
donde
donde
WP = Pd * DIST
Wp = precipitación ponderado poro un perrada dado
DIST = distribución (en%) de lo lluvia diario poro ese periodo; puede calcularse así;
DIST = x TOO
precipitación registrado por un pluviógrofo durante el perÍodo
precipitación total en el día
C. Cólculo de lo escorrentío total
Lo porte del volumen total de agua de entrodo, disponible poro producir es currimiento superficial, subsuperficiol y base, se encuentro o partir de relo-ciones derivados empíricamente entre el Porcentaje de Escurrimiento ROP (Runoff Percent) y el Indice de Humedad del Suelo SMI (Soil Moisture Index). Poro uno cuenco particular, ésto relación se entrego 01 computador en formo de tabla.· El flujo total generado por período (RGP) estó dodo por
donde
RGP = ROP * WP
RGP = flujo total por período
WP = precipitación ponderado por perrada
ROP = % que indico qué porte de lo lluvia WP se convirtió en escorrentro. Es uno función del índice de humedad del sue lo, 5MI; ROP es uno función parámetro que puede tenerla formo indicado en la figuro 24; la formo de lo CUrvO
porte de lo aceptación de gue el mínimo ROP se obtiene poro el 5MI mínimo y consecuentemente poro el máximo. El máximo volar de SMI es el que debe o;ustarse en el ma dela.
77
78
D. Cálculo de la humedad del suelo
El índice de humedad del suelo SMI es una medida de la humedad del suela usada para determinar el escurrimiento. SMI se considera nula cuando la -cantidad de 'agua contenida en e l suelo alcanzo el punto de marchitez permanente; cuando la lluvia recarga la humedad del suelo, el valor de SMI aumenta hasta alcanzar un máximo valor considerado como la capacidad de compo. El valor de SMI al final de cado perrada se calcula mediante la ecuación
donde
SMI2 = SMII + (WP-RGP) -PH
24 * KE * ElI
SMI 1 = índice de humedad del suelo al comienzo del perrada
SMI = rndice de humedad del suelo al final del períado
PH = duración de I perrodo en horas
ElI = índice de evapotranspiración diaria expresada en base a la media mensual
K E = factor de reducción de la evaporación en d(as de lluvia, especificado al computador en forma de tabla de K E contra intensidad de precipitación. En la figura 25 puede apreciar se que K E es igual a 1 cuando no hay lluvia, par lo cuar SMI se reducirá durante el perrodo por el factor constante (PH/24) * ElI; K E es, entonces, otra función parámetra, de creciente con la intensidad de lluvia.
E. Determinación del flujo base
El volumen de agua que contribuye a la formación del flujo base es una función del Indice de Infiltración del Flujo Base, BII (base flow infiltration index), valor sintético representativo de la influencia ponderada del escurri miento precedente; éste dispositivo simula la elevada infiltración al princi: pio de una lluvia, con una disminución paulatina a medida que ésta progre so. La relación se suministra al computador como una función contínua enforma de tabla; el rndice de infiltración del flujo base se calcula para cada período con la ecuación
donde
BIII + (24* RG - BIII ) * PH TSBII + PH
2 BII = índice de infiltración del flujo base (en cm/24 h) al comien
zo de I período
1.0
0.5
KE
Varios funciones /, posibles
QO~------------------------~------'
FUNCION PARAMETRO KE - i
FIGURA 25
BFP
Vorias funciones
-..................... ~ posibles
>-< "- ....
...... "-,,
"- .... .... ......
FUNCION PARAMETRO BFP - BIl
FIGURA 26
mm/h
BU
79
80
RG
TSB 11
= rndice de infiltración del flujo base (en cm/24 h) 01 final del perrodo
= RGP/PH = escurrimiento en cm/hara
= tiempo de retardo, Ts (tiempo de almacenamiento) pora el cólculo del cambio de BII.
Puede asimilarse BII o un rndice de almacenamiento de depresión que man tiene el escurrimiento disponible poro percolación profundo. El flujo base (RB)se calculo entonces asr:
RB = RG * BFP
donde BFP es uno función del rndice de infiltración, BII, como puede verse en lo figuro 26; BFP es, entonces, el % del fuja total que se convierte en flujo base. Por lo tonto lo entrado poro el flujo superficial y subsuperfi cial RGS o flujo directo se calculo con: -
RGS = RG * (1. O - BFP) = RG-RB
F. Separación de los flujos superficial y subsuperficial
Para uno cuenco dado, lo relación del escurrimiento superficial RS con el flujo directo RGS se entrego 01 computador mediante uno tabla en lo cual se puede asumir cualquier tipo de relación, pero en general lo separación se baso en los siguientes consideraciones:
1. El mrnimo volar de lo componente superficial RS es el 10% del total RGS.
2. Lo componente subsuperficial alcanzo un móximo KSS y permanece cons tante pora volares de RGS mayores que el 200% de KSS.
3. Los volores usados comunmente se calculan as(:
RS = [ O. 1 + 0.2 (RGS/KSS) ] • RGS y :
si RS < KSS, RSS = RG - RS
si RS > KSS, RSS = KSS y RS = RGS - RSS
donde RS = componente superficial
RGS = fl ujo di recto
KSS = móximo valor de lo componente subsuperficial
]
En la figura 27 se aprecia una interpretación geométrica de estos índices y la figura 28 es un esquema representativo de lo separación de los diferentes volúmenes de agua.
G. Propagación de las componentes
Una vez calculodo el volumen de cada omponente, se convierte en m 3/$ -aSI !
OB =
055 =
os =
RBxAxl0 2
36
RSS x A x 102
36
RS x A x 102
36
A en Km 2
Hecho ésto, se efectúa la propagació-, de cada componente o través de una serie de embalses ficticios como se explicaró en la parte correspondiente o la propagación descargo - descargo; en esta forma, como se muestra en la figura 29, se ca' vi ,-te un hidrograma rectangular, representativo del volumen sintetizado para cada fase, en hidrogromos muy semejantes a los natura les; la modificación de la forma de esos hidrogramas estó determinada por el número de incrementos considerados y el tiempo de almacenamiento por incremento.
H. Definición de los características de la cuenco
El uso del modelo depende de la determinación de varios coeficientes y re lociones especrficas para una cuenco dada; algunas de esas relaciones soñ generales y ·oplicables a otras subcuencas dentro de la misma área y otras se determinan especiticamente para una sola cuenca.
El proceso básica para definir esas características es el uso del programa de computador en tentativas sucesivas hasta obtener el mejor ajuste a los datos históricos; éste proceso puede considerarse análogo al ajuste de un modelo reducido,modificando la rugosidad del canal, por ejemplo.
Los rangos de variación de algunas variables son conocidos con base en experiencias y análisis ya efectuados en los diferentes campos de lo hidrología; así, las tasas de evopotranspiración y la capacidad de infiltración de los sue los estón dentro de ciertos límites conocidos; las relaciones entre lo precipi=toción puntual (en un pluviómetrol y la precipitación media en uno cuenca, se conocen relativamente bien cuando se dispone de datos adecuados; sin embargo, como en la mayoría de las cuencas grandes no existen datos suficientes' en el modelo SSARR el término usodo es más bien un índice de lo
SI
RS,RGS
w.==~-i~-------L--------~------__________ -'RGS
INOICES OE SEPARACION OE FLU.JOS
FIGURA 27
Lluwla RG P RGS
RS
SEPARACION DE FL.U.JOS
FIGURA 28
82 ."', . .LL L",."
precipitación media en la cuenca. En un sentido similar se usa lo separación del Flujo en tres componentes, ya que es un concepto difícil de definir físicamente con exactitud y que, o pesar de ser hecho a través de funciones arbitrarias, se puede demostrar que mejora notablemente el comportamiento del modelo. Las tiempos de almacenamiento (Ts) son también forzosamente empíricos y se determinan, igualmente, por tentativas.
En resumen, los siguientes son las elementos y funciones que requieren ser definidos para representar el escurrimiento en el modelo de uno cuenca:
a - Estaciones de precipitación y foctores de panderaciPn de codo uno para calcular la lluvia media.
b - Reloción del índice de humedad d .. 1 suelo (5MI) con el porcentaje de escurrimiento (ROP), entregada en forma de tabla.
c - Indice de evapotranspiroción (ETI), expresado como evapotronspiración potencial media mensual.
d - Fadar de reducción de lo evaporación en días de lluvia expresado en forma de tabla, como uno función de la intensidad de precipitación.
e - Relación del índice de infiltración del flujo base (BII) con el parcentaje del flujo total que se convierte en flujo base (BFP), en formo de tabla.
f - Tiempo de retardo TSB 1I expresado como un solo volar en horas.
g - Relaciones de separación de flujos superficial y subsuperficial expresados en una tab la.
h - Coeficientes poro propagaci ón de los componentes, expresados como: o) número de incrementos (o embalses) y b) tiempo de almacenamiento por incremento, en horas, paro cada componente.
i - Area de la cuenco en km 2 .
3.4.6 Propagación en el cauce
A. Ecuaciones bósicas
Como todo modelo o embalses, utiliza la ecuación de continuidad y uno ley de descargo de los embolses:
83
o .
1
I •
/"
HlcIrOgramo inlciol
Q
TRANSFORMACION DE HIDROGRAMAS
FIGURA 29
Ta
Tli f--~
()j o
VARIACION DE Ta
FI!ilURA 30
Ecuación de continuidad:
11 + ' 2 2
o sea:
01 + ° 2 liS =---2 AT
° 1 + °2 1m -
2
l!.S
AT o = ds "'"'dt
(1)
Donde It de cambio
y 0t son lo entrada y sal ida respectivamente y ds/dl la rato del almacenamiento en el tiempo
Paro casos donde el almacenamiento es sólo función de lo salida como en lo gas o trechos cortos de río donde lo cuño de almacenamiento es desprecio:: ble en comparación con el prisma de almacenamiento, lo ecuación de desear go de los embolses es (ver figuro 30) :
s = Ts * O ó S = Ts * a (2)
donde Ts es el factor de proporcionalidad entre el almacenamiento y lo des carga de solido.
En el programo SSARR, la variación de Ts con la descarga se calcula con la ecuación
donde: Ts =
KTs =
a '" n =
KTs Ts = --on (3)
tiempo de almacenamiento poro un incremento dado, en horos
coefic ient,e que representa el tiempo de retardo de I trecho en cuestión (constante)
descarga al comienzo del período
coeficiente (O <: n <: 1 ) relativo o la variación del tiem po de almacenamiento en función de la descarga.
Diferenciando (3) tendremos:
nTs On-1 da + OndTs = O
d On-1 divi iendo por
nTs da + OdTs = O
85
i
\ ¡
\ 86
, \
1,j,i""', e' eh
o sea dTs '" _ ( Ts ) n dO e Q
(4)
Por otra parte, derivando (2) tendremos :
dS = Ts * dO
+ O dTs • dO
dt dt dO dt 15)
Remplazando (4) en (5)
dS '" Ts
dQ +Q (-~) dQ '" (l-n) Ts dO
dt dt O dt dt
(6)
Sí se toma entonces un valor de KTs que involucre la condición (1-n) de la ecuación (6), se puede reformular la ecuación como
dS Ts
dQ -- = dt dt
Y llevarla o la de continuidad (1) para dar :
1m 01 + 02 ~O - = Ts 6t 2
1m At 6t °1 lit 02 -- - = TsÜ2 - Ts01 2 -r
°2 (Ts + lit ) = (Ts - ~) 01 + Im .6. t -r 2
Ts - 6t --°2
2 1m <1t = °1 +
Ts +...M...... Ts + .M.-2 2
como llt Ts -
2 M +.M-
= 1 -Ts Ts+~
2 2
°2 = °1 tl.t
- °1 ) tendremos + ( 1m Ts + At
--z-(7)
que es la ecuación básica para hallar la descarga de salida 02 de un trecha cualquiera en un intervalo de tiempo t.t, conocida la de entrada 01 •
B. Interpretacián geométrica
En la figura 31 se representa un esquema de los hidragromas de entrada y salida y se puede visualizar fácilmente el significado de los términos de la ecuacián (7), la cual se usa en el programa SSARR en incrementos finitos de tiempo a través del número predeterminado de embalses poro obtener finalmente el hidrograma de salida, como se muestra en la figura 32.
C. Esquema de cálculo
El esquema de la figura 33 muestra e I proceso iterativo de cálculo usado en el programa de simulación; conocidas las condiciones iniciales representadas por la primera fila, se hace la propagación a través de un embalse durante un incremento de tiempo; al tratárse de un rra, éste se descompondrra en n trechos, cada uno de los cuales se asimila a un embalse; los pasos del pro-ceso son los siguientes: (figura 34) '.
a - Cálculo de : 11 + 12 1m =
2
b - Cálculo de : 1m - °1
c - Con 01 se encuentra Ts en la tabla que define esta relación.
d - = [ ~t
1 60 tH ( 1m - °1 ) , Ts + J
2
e - °2 = 01 + t::.o
Las valores de 01 y 02 se convierten entonces en los 11 e 12 para el siguiente embalse, y así puede continuarse el cálculo del cuadra por filas ca mo se hace normalmente, poro producir un perfil instantáneo del río ya que cada Irnea se refiere a un instante de tiempo determinado. El cálculo se puede hacer también por columnas para producir el hidragrama en una seccián dada del río.
D. Propagación con efecto de remanso
En casos normales, la propagación efectuada con el modelo SSARR se hace en circunstancias donde no hay efectos apreciables de las condiciones aguas
87
¡M
88
1,0
t,o
1 11' lit
t,
-"1IIo ..... OIliO di onlroda
1, l. I
f-111/. --l-
dO, dI
/
,.,,--.!Q!. dI
--- T,
}--- 111 -----i
¡Htdr_ di ootido
----¡
Im- 01 1
+
..................
, r, • .Al. •
... .... ... ....
INTERPAETACIOH HOMETRICA DE !.AS ECUACIONES
FIGURA 31
.... ....
I
~ O
1
2
1ft
Q
Hidro9rama de salida
----
OBTENCION DEL HIDROGRAMA DE SAL.IDA
FIGURA 32
O ¡ 1 1 2 n 1 n
Qo,o QI,O Qz,o Qn-I,o Qn,o
I Q 0,1 Q 1,1 Q2,1
¡ QO,2 Qt,2 j Qz,z I
¡
! I !
Qo,m Qn,m
l ConcflCionts límUes (Hidro9romo de entrado)
ESQUEMA DE CALCULO
FIGURA 33
Condiciones ..-.-..- ¡ni e i oles
89
90
t x
o
o ro 00
Il 01
IN ICIACION DE LAS ITERACIONES
fiGURA 34
HIDROGRAMAS DE LA CUENCA DEL RIO SE BANG HIEHG,LAOS FIGURA 35 ,
abajo, es decir donde hoy uno relación biunívoca entre nivel y descarga en cualquier lugar Q lo Jorgo del canal.
Hoy cosos, sin embargo, donde la descargo es afectada en diversos grados por los niveles en diferentes lugares, como en los trechos aguas arriba de embalses o de la desembocadura de afluentes importantes y en estuarios de ríos donde hoy efecto de marea.
En estos casos el modelo SSARR trobaja con una relación de tres variables entre nivel y descargo paro lo propagación, que puede expresarse en las formas:
donde
°1 = ¡ 'E 1 E2 ,
o °2 = i ,El, 02
°1 = descarga en el lugar
E 1 = nivel del aguo en el lugar
E2 = nivel del aguo en el lugar 2
°2 = descarga en el lugar 2
Estas relaciones específicas pueden derivarse de cólculos previos a partir de datos observados que relacionen descargos a niveles en -ciertos puntos especiales de observación.
3.4.7 Aplicaciones prócticas del modelo SSARR en síntesis de descargos
Para i1ustror la aplicación del modelo completo a lo cuenca del río Mekong, en lo figuro 35 se muestro el grado de ajuste obtenido en una porte de lo simulación del río Bang Hieng en Loas, can una cuenca de 3.600 km 2 de área, ajusta
do para un período de 4 años y cuyos resultados han sido considerados aceptables si se tiene en cuento lo gran deficiencia de información pluviométrica en eso -zona.
El mecanismo de propagación descarga - descarga del modelo SSARR fue usado igualmente can buen éxito en un modelo de simulación de descargas e<'I el río Bogotó (órea 1.418 km 2) (ref.12) y fué también involucrado coma elemento en un modelo desarrollado para sintetizar descargas a partir de lluvias en el río Cauco (área 13.000 km 2) (ref.6¡.
91
92
El modelo completo se aplicó paro lo reconstrucción de hidrogromos en lo cuen ca del r(o Mc Kenzie (óreo 4.800 Km2) con resultados satisfactorios en compara:" ción con otros modelos existentes y demostró ser adecuado paro fines de previsión de descargos, donde el tiempo de predicción es esencial y los dotas sOn generalmente insuficientes. Se debe hacer notar que el mejoramiento de los coeficientes a parómetros en uno cuenco dodo es un proceso cont(nuo, y uno de las ventajas del modelo es pennitir el perfeccionamiento de los técnicas sin alterar su estructura; el grado de refinamiento que puede obtenerse depende de la dísponibí I idad de datos básicos, osr como de lo iniciativo de las personas en la aplicaciOn de los d~tos al problema de s(ntesis de descorgos.
CAPITULO IV
MODELOS ESTOCASTICOS
4.1 ALGUNOS ASPKTOS DE LOS EVENTOS r'IDROLOGICOS
4.1.1 Procesos hidrológicos - definiciones
Las regiones de lo tierra donde se presentan fenómenos hidrológicos particulares, pueden denominarse ambientes hidrológicos, cualquiera de los cuales puede decirse que consiste en entrados de agua, respuestas del ambiente y almacenamien to de aguo ante esas entradas, y solidos de aguo.
Los procesos hidrológicos naturales son de naturaleza estocástico, o uno combinación determinístico - estocástico de procesos.
Los procesos determinísticos de lo hidrología SOn el resultado de leyes físicas,quí micos y biológicos, pero primordialmente de las leyes y regularidades de la me=cánica de fluídos y lo termodinámico.
Lo mayoría de los fenómenos hidrológicos en lo Naturaleza son procesos estocás ticas, o procesos gooemados por los leyes del ocaso. Estrictamente hablando, no hoy procesos determinísticos puros en el mundo natural; por eso, lo hidrología no puede ser íntegramente comprendido, descrito y aplicado aJecuadamente, sin el uso extensivo de métodos basados en lo teoría de prOOabili:lades. La precipitación anual, en un punto o sobre un área definido, lo descarga anual en uno estación, y otros procesos hidrológicos simi lores de volares anuales, son procesos estocásticos, siempre que no hoyo actividad humano artificial que influyo en -ellas.
El estudia de lo evolución de lo configuración de un sistema físico en el tiempo, presupone dos principios básicos:
a - Dado un sistema físico S, los efectos generados sobre el mismo Dar acción de lo influencio de cuerpos exteriores en intervalos de tiempo detenninados, se acumulan y constituyen las causes de ias variaciones de la configuración de S.
b - Dados dos configuraciones de un sistema Física S, existe uno probabilidad asociado al poso de lo primera modificación poro la segundo.
93
A portir de estos principios viene la definición de proceso aleatorio:
Se llama proceso aleatorio aquel poro el cual, o intervalos aleatorios o determinados de tiempo, corresponden cambios de estado del sistema frsico S asociados a leyes de probabilidades.
Proceso estocástico es el proceso aleatorio más general, en el cual lo distribución que caracteriza o cado instante lo variable aleatoria del pro<:eso es función del tiempo, o sea, varra de instante a instante. Paro su completo cono<:imiento, por tonto, es necesario que se muestre de qué manero la dis tribución que lo caracteriza es función del tiempo.
Procesos markavianos son procesos aleatorios independientes del tiempo, don de el valor de la variable aleatorio en el instante CerO determina estadrsti-: comente el valor de la variable en el instante 1, que o su vez lo determina en el instante 2 y asr sucesivamente. Este proceso es de gran importancia en el estudio de procesos hidrológicos, dado el grado de autocorreb::ión existente en algunas series temporoles hidrológicas.
Procesos probab i I rsticos son procesos a leatorios independientes de I tiempo, don de la secuencia de ocurrencia de las variables involucradas en un proceso -es ignorada y lo probabilidad de su ocurrencia se considera según uno distribución de probabilidades determinado, en lo cual las variables se toman como puramente aleatorios (no autocorrelacionadas).
Procesos ergódicos son procesos donde lo distribución de lo variable aleatoria es independiente del tiempo y, además de eso, dados n procesos iguales, el muestreo hecho en un único instante es estadrsticamente equivalente a un -muestreo hecho sobre un único proceso en n instantes distintas de tiempo. Son, por tanto, pro<:esos sin historia, donde las estructuras fundameñtales son independientes del tiempo.
El método de la estación-año es bosodo en la ergodicidod del proceso de deter minados tipos de precipitación. Dadas n regiones climáticamente hamogéneas,y si las causos de la precipitación en coda región ro dependen de las causas en los demás, el muestreo de los precipitaciones en 1 año en las n regiones 01 mismo tiempo, equivalen a n muestras (o n años) de precipitación en una única región, si el proceso de las precipitaciones fuero ergódico.
4.1.2 Caracterrsticas de los datos hidrológicos
94
Poro investigar las propiedodes de las variobles aleatorias con la distribución es pocial y temporal de lo contidad y cal idad del agua, hay cuotro tipos de datosdisponibles:
o - Datos históricos o cronológicos, u observaciones de procesos en e I tiempo, de las cuales resultan series hidrológicas temporoles discretos. Lo mayorro
de los datos hidrológicos actuales pertenecen a éste tipo;
b - Observaciones de campo a lo largo de I(neas o áreas determinadas, como la determinación de profundidades de agua subterráneo en estratos porosos. Uno parte sustancial de los datos actuales puede ser de este tipo;
e - Datos de laboratorio o experimentos de campo, usados principalmente en investigación.
d - Medidas simultáneas de dos a más variables aleatorias para establecer una relación entre ellas, principalmente para transferir información estadística en tre ellas.
Frecuentemente es útil hacer una distinción entre el valor verdadero, original y observado de una variable hidrológica. El valor verdadero de una observación nunca se conoce a causa de que el data obtenido, por inevitables errores en la observación, no es un valor exacto. El valor original es el producido por condiciones no modificadas de un ambiente; el valor observado es el resultado de varias investigaciones, registros o experimentos; es el valor usualmente publicado por tos servicios hidrológicos.
Los datos observados tienen errores en cado una de los cuatro fases de detección, transmisión, registro y procesamiento; los valores calculados siempre contienen -errores ya sea aleatorios o sistemáticos; en éste último caso se dice que son inconsistentes; los datos afectados por cambios ambientales, naturales o artificiales, son no homogéneos.
Los tres conceptos de errores aleatorios, sistemáticos y de no homogeneidad, son necescrios y útiles en las aplicaciones prócticas hidrológicas. Errores aleatorios hoy siempre en los datos; a menuda se asume que estos errores se distribuyen simé tricamente alrededor del valor verdadero, siguiendo una distribución normal; la .magnitud de estos errores se mide entonces o través de su desviación estóndar.
La inconsistencia es causada por errores sistemóticos en los datos hidrológicos; se define como lo diferencia entre los datos observados, con el error sistemótico inherente, y los valores verdaderos.
La no homogeneidad es la diferencia entre los valores verdaderos y los originales de una variable hidrológica; es causada por cambios introducidos en las condiciones naturales.
El anólisis de estos errores y sus efectos en los propiedades de las series, es indispensable cuando se requiere conocer el grado de confíabilidad de la información estadística hidrológica.
95
4.1.3 Naturaleza de los magnitudes hidrológicos
Es conveniente hacer uno distinción entre los términos "fenómeno hidrológico" (precipitación, evaporación, caudal, transporte de sedimentos, etc.), "variable hidrológico" que describe esos fenómenos (descargo instantáneo, mensual, anual, etc.), y"parámetros hidrológicos estadísticos", que describen los funciones de pro babilidod y procesos estocásticos de esos variables (medio, mediano, varianza, cae ficiente de variación, coeficiente de asimetría, coeficientes de correlación de : serie etc.). En lo mismo formo debe distinguirse entre uno varJoble básica (cau dal, intensidad de lluvia, etc.), y una variable derivado (valores diarios, mensuo les, anuales, picos, mínimos, volúmenes totales, etc.).
Uno de los objetivos de los numerosos análisis efectuados con lo aplicación de la teoría de probabilidades, matemático estadístico y procesos estocásticos, es el -desorrollo de procedimientos prácticos paro determinar los características de las variables aleatorios derivadas de las variables aleatorios básicos.
4.2 APLICACIONES DE ESTADISTICA EN HIDROLOGIA
96
Se incluyen en este capítulo algunos conceptos elementales de estadístico, con el único objeto de unificar criterios y aclarar las proposiciones que se haron mós adelante; es obvio que para mayores detalles se deberá recurrir o algunos de los numerosos textos existentes sobre lo materia.
La mayor parte de los datos hidrológicos disponibles actualmente conforman uno serie de muestros estadísticos de tamaño limitado; por tanto, lo estadístico mote mótico es lo principal herramienta poro extraer de esos muestras lo mayor centT' dad de inFormación posible, y deducir conclusiones sobre las características delas poblaciones hidrológicos de donde provienen esas muestros.
Los principios, posibilidades o limitociones de 105 métodos estadísticos en el com po de la hidrología, son más importantes que las complejos técnicas para opli-carlos o, en otras palabras, no son tan importantes los técnicas utilizadas, como las condiciones bajo las cuales ellas son válidas.
Los principales objetivos que se persiguen con lo aplicación de los principios e~ todísticos o la hidrología se pueden resumir así,
o - La interpretación de los observaciones;
b - Lo búsqueda de regularidades probabilísticas en los datos hidrológicos;
c - Lo extracción del máximo de información de los datos hidrológicos;
d - Lo presentación de la informoción hidrológica en form~ condensada, median te números, ecuaciones, gróficos y parámetros de grcrl aplicoc ión sobre tOOo-
en planeación, conservación, desarrollo y control de recursos hídricos.
El uso indebido de la estadística en hidrología puede causar interpretación errónea de los datos en los siguientes casos:
a - Esperar mucho mas de lo que los datos y métodos estadísticos pueden producir;
b - Creer que los mébdos estadísticos pueden de alguna manera remplazar la escasez y falta de confiabilidad de los datos, lo cual es impasible, y
c - Intentar remplazar la necesaria interpretación física de las fenómenos por proposiciones o cálculos estadísticos.
4.2.1 Nociones generales
Una reunión de individuos constituye una población; debe entenderse por indivi duo uno entidad que posee o no existencia propia; un hombre, un vegetal, unopresión atmosférica, una temperatura, un caudal, una estrella, san ejemplos de in dividuas; el conjunto de ltis estaturas de los hombres, las dimensiones de las es-= tre 1105, las presiones en Bogotó a las 06.00 horas, por e jemplo, son las poblacio nes. El estudio de estas poblaciones no se puede hacer analizando todos los iñ dividuos, puesto que el número de éstos es usualmente infinito \cama lOS'Couda=les de una estación dado), o fi"ito pero muy grande (cama el número de habitan tes de un país), o aún indeterminada (coma el número de estrellas); es imperioso, por tanto, estudiar un grupo d= individuas relativamente restringida, que constituye uno muestra de la pabloción, la cual debe ser extraída de tal manera que seauna imagen lo más fiel posible de la población de donde proviene; para que esto sea así, el número de individuos debe ser suficientemente grande y, por otra parte, los miembros deben ser escogidos al azar entre la población. De aquí se deduce que una extracción premeditada de ciertos individuos, tenderá a "ampli ficar" los características de la población comunes a esos individuos, mientras qüe dejaró de lado otras aspectos que poseen los miembros excluídos.
Los principales carocterísticas de una población están condensadas en una cierfa cantidad, usualmente pequeña, de números denominadas" parámetros", las cuales dan una descripción esquemótica de una población, los parámetros de una población na son directamente accesibles por no serlo la población misma; d¿ben, por tonto, encontrarse a través de una muestra de la población.
Una muestra está descrito, igualmente, por sus parómetros ¡media, desviación trpico, etc.), los cuales son calculables puesto que la muestra es totalmente conocido, pero Jo que interesa conocer son los parómetros de la población. En consecuencia, ya que la muestra es una imagen de la población, se dice que lospa rámelros de la muestra son estimaciones de los correspondientes a la población¡falta sober, entonces, con qué precisión ellos representan los valores reales de
97
I -~ ..
los parámetros de lo población, lo cual se hace ° trovés del estudio de los leyes de distribución de los estimadores.
4.2.2 Distribuciones empíricas (Distribuciones de frecuencia)
98
Los observaciones de uno variable pueden estor en formo de uno muestro de valores discretos o de un registro contínuo.
Poro una muestro de N volares Xi de uno variable discreto X, hoy n¡ valores de un evento K¡. Estos ni números son los frecuencias absolutas de X¡ eventos; los relaciones F¡ = n¡/N son sus frecuencias relativos. El gráfico de frecuencias muestro cómo los frecuencias (absolutos o relativos) se distribuyen sobre estos even tos discretos, y se representon usualmente en diagromas de barros. lo sumo de las frecuencias absolutos, ni' es N, y lo sumo de los frecuencias relativos es l. La frecuencia acumulado absoluta, N¡, de un evento discreto,está dado por
N¡ = ~ ni i = 1
y lo frecuencia ocumuloda relativo, F (X ¡), por
F (X i) = P (X ~ Xi) = 1
Ñ
i L ni
i = 11
El rango de una muestra es lo diferencio entre el mayor y menor volar observados; ° veces es útil clasificar los volares Xi en subgrupos, denominadas interva los de clase; el número de valores que caen dentro del intervalo ¡ es su frecueñ cia absoluto de clase, ni; usualmente el volar característica de codo clase es supunta media.
La frecuencia relativo, f¡, del intervalo' luto n¡ 01 tamaña de lo muestra, o seo
f¡ = n¡/N
es lo relación de su frecuencia abso
lo frecuencia relativa acumulada para el volar Xi es F (X) = N¡/N.
La gráfico a curva de frecuencias describe lo manero coma los frecuencias se distribuyen sobre sus intervalos de clase; paro evitar confusión, es necesario ocio ror siempre si se troto de frecuencias absolutas a relativos (densidodes de frecuer. cia). Si los frecuencias de cada intervalo se representan par barros horizontaleS, el gráfico se I lamo histograma de frecuencias; si los puntas medios de cada intervalo se unen con líneas rectas, se obtiene el polígono de frecuencias.
Si lo longitud de los intervalos tiende o cero, el polígono y el histograma de frecuencias tienden o uno curvo límite ideal, denominado Curvo de frecuencias.
4.2.3 Parámetros estadísticos
Como se dijo antes, los parámetros permiten dar uno descripcián cuantitativo esquemático de lo población estudiado; de uno muestro, sin emoarga, podemos o la sumo deducir estimaciones de esos parámetros. El conocimiento de la ley de repartición de esas estimaciones permite determinar el intervalo en el cual están comprendidos los parámetros de lo población.
Lo Curva de frecuenc ias asoc iodo a una muestra puede carac terizarse por:
o - Su posición; determinado por los denominados promedios 'medio, mediano, modo, medio geométrico, medio armónico), o medidos de tendencia centrol;
b - Lo dispersión de los diferentes observaciones 01 rededor del volar medio; los medidos de dispersión más generolmente empleados son lo desviación típico, el coeficiente de variación y lo desviación inter-cuartil.
c - Su asimetría o sesgo.
A. Medidos de tendencia central
Se llaman así porque tienden a situarse en el centro del conjunto de datos ordenados según su magnitud.
La medio aritmética es un valor alrededor del cual los valores observados varran de uno manero aleatorio; se represento por X y se define como
n
L =
X· I
x =--'----n
donde n es e I número de datos
Se llamo Mediana Me el valor de la variable tal que el número de observaciones poro las cuales el volar de X es inferior o "Ae es igual 01 nu mero poro el cual el volar de X es superior a Me.
El Modo es el valor de la variable correspondiente 01 máximo de la curvo Clel"recuencia; es el volar que se presento más frecuentemente.
99
100
Lo Medio Geométrico G de uno serie de n volares Xl, X2 •• ,Xn , está definido por
l/n G = (XIx X2 x X3 ---x Xn )
o, definido de otra manero, el logaritmo de lo medio geométrico de uno serie de volares es el volar medio de lo sumo de sus logaritmos.
Lo Medio Armónico H está definido por
1 1 '" n· "R"" = n L- (+)
donde ni es lo frecuencia del volar Xi
B. Medidos de dispersión
Los medidos de dispersión no sólo ayudan o describir uno distribución, sino que también praporcionon información sobre lo precisión con que lo medio de uno muestra caracteriza lo media de la población.
La desviación tfpica (o desviación estándar) se define como la rafz cuadrada del cuadrada medio de las desviaciones:
Se denomina varianza (02) al cuadrado de la desviación estándar.
El coeficiente de variación es un parámetro adimensional definido por la relacion entre la desviacion estándar y la media
=
C. Medidas de asimetrfa
cJ
X
El coeficiente de asimetrfa (o de sesgo) es un fndice de la falta de sime Ida de una distribucion; se define por
n
L (X¡ - Xl 3 ~ n i = 1 a = ______________ __
n
~ i = 1
21 1,5 (X -)() I
J
4.2.4 Correlación y regresión
Se define correlación como la asociación de dos o mós variables aleatorios que explica parcialmente la variación total de uno variable por la variación de otros variables aleatorias involucradas en esa asociación. Lo correlación es, pues, un proceso que define el grado de asociación entre dos o mós variables.
Esta asociación tiene dos extremos: el caso en que hay correlación total, equiva lente a una relación funcional, y el caso en que hoy ausencia de cualquier co: rrelación.
La Regresión represento uno ecuaclon matemática, que expresa la correlacián entre dos o más variables aleatorias. La ecuación de regresión puede ser cualquier función factible de aiustarse a una nube de puntos.
Si dos variables dadas como una serie de volares concurrentes IXi, vi; muestran una concentración alrededor de una curva imaginaria al graficarlos ¡ver figura 36), siempre habrá una distribución de Y valores para un valor dado Xi. El valor me dio Yo' de todos los valores Y para este intervalo X alrededor de Xi , es el va lar esperado de Y para el valor dado de X- Xi. Una curva aiustada a todos 105-
valores medios Yo, se denomina línea o curva de regresión de Yen X. Por otra parte, la curva aiustada a todos los valores esperados X, para un dado Y=Yi ,de fine la regresión de X en Y. Estas dos líneas no coinciden y tienen parómetros diferentes.
En hidrologfa son comunes dos tipos de regresión
a - Relaciones causa-efecto, donde una variable Y se relaciona correlativamen te o factores causales Xi, los cuales producen o afectan el resultado Y; -e iemplos típicos son las relaciones precipitación - escurrimiento, puesto que la lluvia es la causo bósica del escurrimiento, con factores como la geome trío de la cuenca, suelo, humedad, clima, etc., que afectan la relación be sica causa-efecto;
b - Relaciones de variables aleatorias que tienen por causa los mismos factores, tales como la asociacián correlativa de las descargas de ríos adyacentes.
El coeficiente de correlacián es una definición matemática de la asociación entre las variables, sin que esta definición implique, como ya se puntualizó, relación de causa a efecto. Asumamos que se tienen n observaciones simultáneas de las variables aleatorias X e Y, y denotamos por (Xi, Vi) el i-ésima par. El coeficiente de correlación r está dado por
lo n
L (X·-X) (Yi -YI ¿ Xi Yi-n XY I
= i=l i-l r
óx = n 0y n úx uy
101
102
y (l i t yi.)
y=I(.)
i i
'i yi
I I I
CONCEPTO DE REGRESION
FIGURA 36
0.8
03
0.1
1(.)
a- = 0.5
a- = 1.0 /
x
a- = 2.0
-3.0 -2.5 -2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
CURVAS DE DENSIDAD NORMAL DE PROBABILIDAD
FIGURA 37
x
donde Ux y ay son las desviaciones trpicas de X e y,
Es conveniente resaltar lo diferencia entre 105 términos correlación y regresión, yo que lo primera estó representada por un coeficiente, mientras que lo segunda do una ecuación que permite calcular los valores de una variable en términos de la otra.
Los datos usados en un onólisis de correlación deben ser razonablemente horno géneos; si la nube de puntos muestra un agrupamiento de puntos en dos o mas zonas, puede resultar una alta con:eloción aparente, pero debida solamente a la heterogel'\eidad de 105 datos; tales correlaciones se llaman falsas o apare~ tes.
Cuando se tiene una serie temporal hidrológica y se desea saber el grado de asociación que existe entre pares de volares separados k unidades de tiempo, se usa el coeficiente de correlación de serie o coeficiente de autocorrelación, calculado en la misma forma indicada atrós, con los valores de X e y siguientes:
X Y
Xl Xl+ k
X2 X 2+ k
X3 X3 + k ......
donde k es un número entero llamado perrada o retardo, el cual debe especificarse siempre que se habla de este tipo de correlación.
En el caso de caudales, éste coeficiente indica el grado de persistencia, es decir, la dependencia que presenta un caudal, de otro situado k unidades de tiempo atrás. Un ejemplo de persistencia es el hecho observado de que a caudales altos siguen generalmente caudales altos y a caudales bajos siguen también caudales bajos.
El valor del coeficiente de autocorre loción de orden 1 puede tomarse como un indicador de la cantidad de información agregado al estudio de un proc~ so, por coda valor de lo variable obtenida en observaciones.
Esta cantidad de información varra proporcionalmente al inverso del coeficien te de outocorrelación de orden 1. Asr, para un valor nulo, la cantidad deinformación es móximo, y nula para un valor unitario, en cada nuevo valar anexado a las observaciones. Asr, una serie temporal aleatoria (coeficiente de autocorrelación nulo) de una determinada extensión, presenta mayores in formaciones que una serie temporal no aleatoria (coeficiente de autocorrela ción no nulo) de igual extensión.
103
4.2.5 Distribuciones de probabilidad
104
Casi todas las distribuciones de variables aleatorias hidrológicos son de naturale za empírica, obtenidas a partir de datos observados muy limitados, y su mejordescripción se logra con el apropiado ajuste de funciones de distribución de pro babilidad. -
Las funciones de distribución de probabilidad de las variables hidrológicas básicas no pueden, en general, deducirse teóricamente, y las funciones verdaderas nunca se conocen; lo que se hace en lo mayoría de los casos es seleccionar una función y estimar sus parámetros o partir de lo muestra. Si se encuentro un ajuste aceptable, se asume que la misma función se apl ica a la poblacián de esa va riable.
Las funciones de distribución de probabilidades se pueden clasificar desde diferen tes puntos de vista, según se considere el aspecto estadístico o el físico; sin em- -bargo, se pueden dividir, en general, en funciones teóricas, semi-teóricas y em-
" . plflcas.
En hidrologra es posible encontrar ejemplos de aplicación de todas las funciones de distribución de probabilidad, tales como la hipergeometrica,binomial, de Poi-55on, y otras. La experiencia ha mostrado, no obstante, que sólo en limitado nú mero de ellas se puede aplicar adecuadamente a distribuciones hidrológicas empi ricas, y entre ellas están la normal (de Gauss), lognormal (de Galton), Gamma(particularmente en su forma de dos parámetros y la Pearson tipo 111).
Si se tiene en cuenta el hecho de que la mayoría de los registros de caudales, especi'ficamente, son sumamente cortos, las pruehas estadísticas rigurosas que exi gen gran cantidad de datos para estimar la bondad del ajuste no constituyen eñ este caso una ayuda significativa para seleccionar la distribución más adecuada. Se denomina bondad del ajuste al grado de precisión con que los valores de una variable aleatoria se ajustan o una distribución determinada. En la mayor parte de los casos la selección de la distribución se basa en la experiencia; a menudo se sabe que ciertos tipos de distribución se ajustan bien a determinadas variables hidrológicas; es corriente, también, que dos o tres funciones se ajusten igualmen te bien. -
Las distribuciones que, de acuerdo con la experiencia acumulada en el análisis de series de caudales, se ajustan mejor a estos datos, son la normal, lognormal con 2 parámetros y gamma con 2 parámetros, por lo cual se dará una rápida des cripción de coda una. -
A. Distribución normal
La función de densidad normal de probabilidad de Gauss", oe Gauss-Lapl~ ce) de una variable X es 'ver figura 37
f (X) = 6VZTT
e - (X"1!) 2/2 (í'2
donde Jl es el valor esperado (o medio) y ()2 lo varianza de lo variable X; lo fo""o dado en lo ecuación anterior se simbolizo por N (.)J. (J ),
con porámetros estimados o porti r de lo muestra disponible.
Con lo variable normalizado o reducido t = (X -./" ) / () , la ecuación es
f () = V2Tr
y representa una distribución con .JI' = O Y r:r 2 = 1, simbolizado por N (O, 1).
Se ha encontrado (ref. 24) que lo distribuc ión norma I se a justa bien a distn bueiones empfricas de precipitaciones anuales¡ sin embargo, la principal di ficultad teórica para el ajuste de esta distribución estriba en el hecho de -que una variable no""ol puede asumir cualquier valor entre - c:t) y + ct:> , mientras que lo moyorro de los variables hidrológicas asumen solo valore$ patitívos; sin embargo, si la medio es mayor que 3 \Í o 46"", lo probabilidad de que el valor X sea negativo es muy pequeña.
Los métodos más sencillos para dete""inar si una serie de caudales presento o nó una distribución normol son el papel de probabilidades y el éalculo del coeficiente de asimetrra.
Con el papel de probabilidad, se groficon los valores de los caudales contra el porcentaje de valores iguales o mayores a ellos, y se ajusto manual mente una curva; si ésto se aproxima o uno recto, se puede concluir quelos dotas se pueden representar por una distribución no""ol.
Además, si consideramos que el coeficiente de osímetrra de uno distribución normal es cero, mientras más se acerque o este valor el coeficiente de los caudales históricos, más se aproximo su distribución a lo no""ol.
B. Di s tri b uc ión lag - no r m o I
Cuando los logaritmos, In X, de uno variable X están normalmente distribuidas, se dice que lo variable X sigue uno distribución de probabilidades lag-normal; está representado por lo ecuación
f (X) = X<ínl/ 27r'
exp [ _~ (ln X ~n (Ín
f (X) = O para X <:. O
105
106
donde el índice n en./-'- n ritmos naturales, y /A n es ción estándar.
y o n indico que son deducidas de los 1090-la media de 1 n X así como 0n es su desvia
Se ha encontrado a través de uno amplia experimentación, que la función lognormal se ajusta bien a un gran número de distribuciones en hidrología, a causa de ser asimétrico y por otras de sus propiedades (ver figuro 38), en tre las cuales se destaco la de no producir caudales negativos por ejemplo"'; por cuanto los logaritmos no están definidos poro números negativos; ésto lo hoce muy recomendable cuando se hacen estudios en el ranga de caudales muy be jos (sequías).
Para determinar si una serie de caudales históricos presento uno distribución lognormol, se usan los mismos principios recomendados poro lo normal, pero trabajando con los logaritmos de lo variable.
c. Distribución Gamma
Lo integral 1 -X e dx
converge si c( > O Y se llamo la función gamma de o{ , y se puede calcular por expansión de series e integración numérico.
La variable continuo X, cuyo función de densidad de probabilidad es
/3« r (e(' ) f (X) = 1 ri- 1
X e- x/p
se dice que sigue uno distribución gamma de dos el parámetro de forma (ver figura 39). Su uso es como el de la 109Oormal.
parómetros, donde ex es tan común en hidrología
Mancovic (ref. 24) demostró que prácticamente no hay diferencio en el oju,! te de distribuciones lognormal y gamma a distribuciones empíricas de precipitaciones y caudales anuales.
D. Esquema para selección de lo distribución
Fiering y Jacksan (" Synthetic Streamflow". 1971) establecieron la secuencia de pasos que deben seguirse en lo selección de la distribución teórica que más se ajuste a una distribución empírico de caudales;
a - Examen de los registros históricos, para detectar posibles cambios origina dos por la actividad del hombre, o si los caudales han sido regulados eñ el pasado.
.. 2 f ( 1 )
- - - -(J"' 0.5 ---1\'0
0.4
-- ..... _-2 , 1 4
Seis curvos de probabilidad lognormol , '" n = 0.05, Y LOO, poro IT ~ = 0.5,
Y IT * = 0.1, 0.5 Y 2, poro ",. = O.
1.00
0.75
0.50
025
FIGURA 38
, ( 1 )
<1'2
a, I ~, 2
X
0.5 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0
Curvos de densidad de probabilidad gamma 2 poro ~= 2,
Y tres valores de f3 (O.50, 1, Y 2)
FIGIJ'flA 39
......... d. ",,"-"'UI ... SteU,t ... le H •• • 'l Vu .. le" Fort CoUiltl Colltt'.Oo 1972
107
b - Cólculo de lo medio X de los caudales poro un intervalo de tiempo considerado importante, (meses, años, etc).
c - Cólculo de lo desviación estándar de los dotos histáricos.
d - Cálculo del coeficiente de asimetría t x de lo muestro.
e - Cólculo de los logaritmos (Yi,) de los datos, así como su media, des vioción típico y el coeficiente de asimetría.
f - Graficar los valores de Xi en el pope I de probabilidades poro verificar si se puede ajustar una distribución normal; el cálculo de -t x ayu da a ésto verificación.
g - Si del poso anterior se deduce que los caudales no están distribuidos normalmente, se repite el paso f poro los volares de y i; si y i porece normal, es adecuado la distribución lognormol.
h - Si ninguna de los suposiciones anteriores se confirmo, son posibles varias oltemotivos. Si el coeficiente de asimetría es pronunciado y se deseo que éste seo reflejado en los caudales sintetizados con base en uno distribución, puede usarse la gamma. De otra forma, deben usarse técnicas teóricas de decisión pora elegir la distribución más apropio do. -
i - Cálculo del coeficiente de autocorreloción de orden 1 que puede ser calculado por
n-) n-) n
¿ X. Xi+) ( 2 X;) (2" x)
I n-) i=1 i=) i=2
rl =
[~ n- )
Xi) 2] O,5[~2 n r 2 I ('Z' 2 -~(¿ xi)2 X· X· n:r . I ,
,-) n . 2 ,-donde Xi son los caudales de la distribución empírica.
4.3 SELECCION DE UN MODELO PARA SINTETIZAR CAUDALES IreL 23)
108
Lo esencia de lo simulación es la reproducción del comportamiento de un sistema dado en codo uno de sus aspectos importantes. Así pues, en los programas de si muloción de sistemas de recursos hidráulicos de propósitos múltiples, se incluyenvariables tales como el déficit mensuol de energío y de irrigación y las dencien cias acumulados a lo larga del perrado de estudio, los oven idas máximos, los cos tos de irrigación, control de avenidas, generación de energía, costos de capital,mantenimiento y operación, beneficios netos, etc.
Pero, si bien es cierto que la simulación ofrece la ventaja de poder analizar el comportamiento de un sistema bajo muchas condiciones de operoción, por otro porte presento ciertos limitaciones, ya mencionados en el capftulo 1:
o - No lleva directamente o uno solución óptimo, aunque después de probor va rias combinaciones de variables, es posible escoger entre estas la que pro-: duce mayores beneficias, con mayores ventajas que los métodos convencionales;
b - Existe falta de flexibilidad en los procedimientos de operación del sistema, por cuanto paro cado forma de operación, es necesario un progroma diferente;
c - En general faltan registros de caudal lo suficientemente extensos paro que puedan considerarse como uno representación de la posible configuración de los caudales.
Todas los limitaciones tienen soluciones parciales, y aquí se consideraron sólo las correspondientes a registros de caudales.
Puede darse el coso de registros que, por su corto extensión, no incluyan perío dos cr(t¡cos de caudales muy altas o muy bajos. Sin embargo, o menos que eT registro sea sumamente corto,generalmente es suficiente para determinar parámetros estad(sticos confiables que puedan usarse dentro de un modelo generador de caudales.
Así se puede obtener una serie de caudales de lo extensión deseada, que repro duce las principales caracter(sticos de lo muestra, y que puede ser usada en ro simulación del sistema completo.
los caudales son una de los principales variables del modelo simulador; si se generan, par ejemplo, 500 años de datos, y el período de diseño es de 50 años, se tienen 10 posib les muestras paro usor.
4.3.1 El mode I o de Ma rkov
Entre los cosos extremos de los modelos puramente determinísticos y los purarnen te estocósticos, el modelo de Markov ocupo uno posición intermedio; en éstos úT timos, el estado de un sistema es completamente independiente de estados ante= riores, y obedece únicamente o los leyes de lo probabilidad; tiene mayor ventaja que los modelos determinfsticos en aquellos fenómenos donde los procesos básicos son complejos y sujetos a influencias que no pueden ser evaluadas exactamente.
El modelo de Markovocupa una posiciÓn de de~ndencia p?rcial entre los dos extremos de dependencia completa y completa independenCia; lo formo general
109
4.3.2
112
,L_rn 'pg
perrexlo siguiente seo alto, irÓ en su mayor parte drÓ lo tendencia de 105 caudales bajos.
o 105 ocuileros y se manten
B. Caudales con distribución lognormal
Cuando los caudales históricos tienen ésta distribución, se tendrá uno secuen cia de valores de logaritmos hi, h2, h3 ... hn y la ecuación de los caudales generados se ró
qi = exp (h i)
Debe recordarse que este procedimiento reproduce los parÓmetros de los logaritmos de los caudales, pero no preserva el coeficiente de asimetrra y el de correlación de serie de 105 caudales.
c. Caudales con distribución ,gamma
lo formo general de la ecuación
puede adoptarse a caudales que presenten distribución gamma, si se introdu cen
-t como coeficiente de asimetrra de lo muestro x
y "lE. como el coeficiente de asimetrra de la variable aleatorio.
~ se define como
~= 1_;3 ?t-x (1-/2) 1.5
Si ti tiene distribución N (0,1), se puede usar lo transformación:
é i = 2 - (1+ ~E
nt?: 6
~2 --)
36
3
y dorÓ valores aleatorios con distribución gamma con media cero, varianza unitaria y coeficiente de asimetrra '1-",.
Modelos estacionales de Markov
los modelos anteriores se recomiendan cuando se necesiton d ¡ les, pero cuando es necesario obtener caudales estacional cau a es anuo
es o mensuales ,
el mismo modelo de Markov que se seguirá usando se toma más complejo.
Es lÓgico que cuando se usan caudales estacionales, no pueden usarse una media y varianza únicas puesto que estos parámetros difieren de una estacián o otra; y ésto hace necesario el uso de dos subíndices, el primero de los cuales indica el afia de ocurrencia del evento y el segundo la estación dentro del afio dado; el segundo varía de 1 a n y se repite dclicamente, siendo n el número de estaciones de cada año.
Así, }-'-¡ indica la media de lo estacián j-ésima a lo larga de todos los m aflos de registro, es decir, la suma de los caudales de la estación y, dividida entre m¡ lo misma sucede con la desviacián estándar () i Y con JI', que es el cae ficiente de correlación entre pares de volares correspondientes o los estaciones-(j) y (¡-l).
A. Caudales con distribución normal y lognormol
En el primer caso el modelo generador se convierte en
~'()' 2 qi,i=/j + '~j_: (qi,i- 1 -~i-l)+ ti,jCfJ(1- )!
y do el caudal en el año i-ésimo y en la estación j-ésima, compuesta par:
- lo media de los caudales en lo estación j-ésimo,
- lo diferencio entre el caudal anterior de lo estación j -1 y su media, mul-tiplicada por el coeficiente de correlación y par (J /cr;¡-L
_ t. j, lo variable aleatoria nonnolmente distribuido. 1,
Cuando el índice j tiene el valor 1, el volar j-l debe sustituirse por n (12, en modelos mensuales), y se debe disminuir el índice i en 1.
Para caudales con distribución lognonnal se sigue exactamente el mismo procedimiento, con sus logaritmos.
8. Caudales con distribución gamma
Se tienen los parámetros ./'" j, <Jj,!'j definidos anterionnente¡ se calcu lo 1'" j, coeficiente de asimetría de los caudales de lo estación j, Se de fine ~ t, j' como
= [;tj _/0-1)3 Yj-l]
( 1 -ti 2 ] 1.5
113
114
Y se usa la transformación t· •• " 1, r, a partir de ti' ¡(normal) :
ti, .... I i = 2 t t· ti .
( 1 + " " 6
(/2t, i ) 3 2 36 - tt,; ¡J t, i
Asr ti 't- • es una variable con distribución gamma oon media cera, des • '." ~ 'do f" d . ~ Jo. • • 1-vlaclon estan r y cae IClente e asnnetna 4' t, '1 SI se usa ti,'" " en u-
gar de 'a\, i en el modelo generador,
p. 6'"' q' . "',u. + /, , 'ti ,/, cJ¡-l (q¡, ;-1 -/ H ) -t-I¡, ~, i o¡ (1- i 2) ~
producirá caudales con distribución gamma.