7/29/2019 Modelos Markov Discreto Resueltos http://slidepdf.com/reader/full/modelos-markov-discreto-resueltos 1/25 1 EJERCICIOS RESUELTOS FORMULACION DE MODELOS DE MARKOV DE TIEMPO DISCRETO Pregunta Nº1. Se quiere construir un modelo markoviano para estimar la dinámica de vida de un cultivo de ovas de salmón en la etapa de Maduración de la ova. En un estanque con agua dulce, se ponen N ovas fecundadas. Después de 8 días, las ovas que han sobrevivido se convierten en pequeños salmones, los cuales se traspasan a otros estanques para seguir su evolución. En este proceso de Maduración, algunas ovas se mueren. Se sabe que la distribución de probabilidades de una ova en esta etapa de desarrollo, es exponencial con media . Sea n X el número de ovas vivas al inicio del día n. Se pide: a) Diga cual es el rango de la variable (2 puntos) b) Obtenga la regla de transición (2 puntos) c) Obtenga la matriz P (2 puntos) Desarrollo Sea n X : número de ovas vivas al inicio del día n. Parten N ovas vivas, pero van muriendo día a día. a) N X n ,..., 2 , 1 , 0 b) Sea p: probabilidad de que una ova que está viva al inicio del día n lo esté al inicio de día n+1. Sea Ti : duración o vida de la ova i-ésima. e T P n T n T P p i i i 1 1 1 luego si hay j ovas vivas al día siguiente pueden haber j o menos. Luego p X Binomial X n n , 1 c) Matriz P: 0 1 2 . N-1 N 0 1 1 p 1 p 0 0 0 0 2 2 1 0 2 p 1 1 1 2 p p 2 p 0 0 0 . N-1 1 1 1 1 N p N N 2 1 2 1 N p p N N 3 2 1 3 1 N p p N N . 1 N p 0 N N p 1 1 1 1 N p p N N 2 2 1 2 N p p N N p 1 p
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EJERCICIOS RESUELTOSFORMULACION DE MODELOS DE MARKOV DE TIEMPO DISCRETO
Pregunta Nº 1. Se quiere construir un modelo markoviano para estimar la dinámica de vida de un
cultivo de ovas de salmón en la etapa de Maduración de la ova. En un estanque con agua dulce,se ponen N ovas fecundadas. Después de 8 días, las ovas que han sobrevivido se convierten enpequeños salmones, los cuales se traspasan a otros estanques para seguir su evolución. Eneste proceso de Maduración, algunas ovas se mueren. Se sabe que la distribución de
probabilidades de una ova en esta etapa de desarrollo, es exponencial con media . Sea n X
el número de ovas vivas al inicio del día n.
Se pide:a) Diga cual es el rango de la variable (2 puntos)b) Obtenga la regla de transición (2 puntos)
c) Obtenga la matriz P (2 puntos)
DesarrolloSea
n X : número de ovas vivas al inicio del día n. Parten N ovas vivas, pero van muriendo día a
día.
a) N X n ,...,2,1,0
b) Sea p: probabilidad de que una ova que está viva al inicio del día n lo esté al inicio de día n+1.
Pregunta Nº 2. Juan y Pedro tienen 2 monedas cada uno. Se disponen a enfrentar un juego enque, en cada oportunidad, cada jugador lanza una moneda de sus monedas. Si ambascoinciden, gana Juan y se queda con la moneda de Pedro. En caso contrario, gana Pedro. El
juego termina cuando uno de los jugadores gana las 4 monedas.
a) Obtenga la distribución de probabilidades del número de jugadas necesarias hasta queJuan logre tener 3 monedas por primera vez.
b) Explique como obtendría la distribución de probabilidades del número de jugadas hastaque el juego termina.
Desarrollo:
1.- Sean
X : nº de monedas de Juan.
a.- Se debe encontrar 3,2k
F que corresponde a la probabilidad de que se vaya por primera
vez del estado 2 a estado 3 en un número k de etapas. Por lo tanto : ??3,2 k F
Para obtener esta probabilidad se debe construir el modelo detalladamente, es decir encontrar el rango de
n X , la matriz P y opcionalmente el gráfico de red.
b.- El juego termina cuando se llega a que Juan tiene 0 ó 4 monedas. Lo que se preguntaentonces, es la probabilidad de que ocurra alguno de estos dos eventos, que son excluyentes.
Además Juan tiene al inicio del juego 2 monedas. Luego lo que se pregunta es:
4,20,22
k k k
F F
Del estado 2 al estado 0 y al estado 4 se puede llegar en etapas múltiplos de 2 solamente. Luego:
,...6,4,2;4
1
2
1
2
10,2
k F
k k
k
,...6,4,2;4
1
2
1
2
14,2
k F
k k
k
j
j j
j j
j j
j
k k
par k
F F
2
11
2
11
2
2 16
1
16
1
4
1
4
14,20,2
152
151
151
115
16115
161
16
11
11
16
11
1
4
1
16
1
16
1
16
10
00
0
j
j j
j
Pregunta Nº 3. Considere un cultivo que contiene inicialmente un solo glóbulo rojo. Después deuna cantidad de tiempo el glóbulo rojo muere y es reemplazado por dos nuevos glóbulos rojos o
bien por dos glóbulos blancos. Las probabilidades de estos eventos son41 y43
respectivamente. Subsecuentemente, cada glóbulo rojo se reproduce de la misma forma. Por otra parte, cada glóbulo blanco muere después de una unidad de tiempo sin reproducirse. Se
desea calcular la probabilidad de que el cultivo se extinga en algún momento.
Formule para tal efecto un modelo detallado e indique con precisión como lo utilizaría paraobtener la probabilidad pedida.
Desarrollo
Sea n X : numero de glóbulos rojos presentes en la etapa n.
2log
log;4
11
4
11 j
k k
i
i X j X
P
k ik
n
n
Esta Cadena de Markov es tal que existen dos clases:
01 C y ,...4,3,22 C la clase 2C es infinita.
La clase recurrente 1C es recurrente y la clase 2C es transiente. La clase 1C está compuesta
por un estado aperiodico. Por lo tanto, por la Proposición 2 vista en clases, se puede asegurar que existe distribución estacionaria. Además por la misma proposición se puede asegurar que
,...2,10 j j es decir 20 C j j y 10 C j j . Como la clase 1C tiene
un solo elemento 10 .
Entonces la probabilidad de que el cultivo se extinga alguna vez es uno.
Modelación de problemas en Cadenas de Markov de tiempo discreto
Pregunta Nº 5. Mediante un estudio realizado a la población de un país X durante los últimos 36meses, se obtuvieron los siguientes resultados concernientes al consumo promedio mensual por grupo familiar, distribuido por grupo económico:
Para la clase A: 5,22 0,35,2 5,30,3 0.45.3 5.40.4 0,55,4
Para la clase B: 1,18,0 4,11,1 7,14,1 0,27,1
Para la clase C: 2,00 4,02,0 6,04,0 8,06,0
Determine:
a) El consumo percápita esperado para el siguiente periódo en cada grupo económico deinterés estudiado, si el número de hijos distribuye uniformemente, U 4,0 , para la clase
A y, para las clases B y C sigue la siguiente distribución: 0 hijos (p=0.2), 1 hijo(p=0.3), 2 hijos (p=0.5). Además se conoce el vector inicial de probabilidades para cadacaso:Clase A: Cada estado tiene la misma probabilidad de ocurrencia.Clase B: La probabilidad de encontrarme en un estado cualquiera es el doble de la de
pertenecer a un nivel inmediatamente inferior.Clase C: El sistema se encuentra en el estado 4 con absoluta certeza.
Solución
Clase A
Sean
X : Consumo promedio familiar de consumidores clase A en el mes n
n X E = {1,2,3,4,5,6}
2
55.46
2
5.445
2
45.34
2
5.333
2
35.22
2
5.221
11
11111
X P X P
X P X P X P X P X E
6
2
1
1
1
1
)1(
X P
X P
X P
f
=
6 / 1
6 / 1
6 / 1
)0(
6
)0(
2
)0(
1
)1(
f
f
f
PT
1° Cálculo de P: Agrupando la información según los rangos definidos se tiene lo siguiente:
Estados 1 2 3 4 5 6 Total
Estados Rangos 5,22
0,35,2
5,30,3 0.45.3 5.40.4 0,55,4
1 5,22 0 1 2 0 0 0 3
2 0,35,2 1 3 2 0 0 0 63 5,30,3 1 1 2 1 1 0 6
4 0.45.3 0 1 0 3 3 1 8
5 5.40.4 0 0 0 2 1 3 6
6 0,55,4 0 0 0 3 1 2 6
Por lo tanto para la clase A se tiene que la matriz P es:
Pregunta Nº 6. Ud. Ha sido contratado por una importante empresa del sector minero comoconsultor, para realizar una evaluación de la rentabilidad y viabilidad para los siguientes dosperiódos de operación. Para ésto, el Gerente de Finanzas, Sr. Pedro Ramírez, le ha entregadouna extracto de los balances de los últimos 3 años, en el cual figura la siguiente información:
Una tienda vende un único producto, del cual mantiene inventarios en una bodega, I. Al comenzar cada semana, el gerente observa el inventario disponible en bodega. Si I
s, entonces, el gerente pide T-I unidades al proveedor (0<s<I), de manera de quedar con T unidades en bodega. El pedido es recibido de inmediato.Si I > s, el gerente no hace el pedido esa semana. Las demandas en cada semanason v.a.i.i.d. En una semana cualquiera, la demanda es de k unidades con
probabilidad k (k0). La demanda insatisfecha se pierde.
a.1) Muestre que el nivel de inventario al comienzo de cada semana (antes dehacer el pedido) se puede modelar como una cadena de markov. Indiqueclaramente cuáles son los estados que ha definido y calcule las probabilidades detransición. (Todo lo anterior para el caso s=2, T=4).a.2 Obtenga una relación de recurrencia entre el inventario al comienzo del día n,y el inventario al inicio del día n+1.
En lo siguiente considere 0<s<T arbitrarios.
b) Suponga que la llegada de clientes a la tienda queda bien descrita por un
proceso de Poisson de tasa (clientes/semana) y que cada cliente compra 1
unidad. Indique cuánto valen los valores 0, k k para este caso, y defina la
matriz P.
c) Suponga ahora que la demanda es determinística e igual a 1 en cada semana.(Note que la bodega puede comenzar con menos de s unidades. Modele estasituación.
Solución
a.1 )(n X : Inventario disponible al comienzo de la semana n, antes de hacer el
pedido.
a: antes de pedir d: después que ha llegado el pedido
Pregynta Nº7 : Considerar la siguiente política (k,Q) de gestión de inventarios. Sean
,........,21, D D las demandas en los periódos 1, 2,......, respectivamente. Si la demanda
durante un periódo excede el número de ítemes disponibles, la venta del producto serealiza como si existiera stock suficiente, pero se despacha solo el disponible. El restoes anotado como pendiente, de manera que se satisface cuando llega el siguiente
pedido de reposición del inventario. Denotemos por n Z (n=0,1,2,...) la cantidad deinventario disponible menos el n° de unidades pendientes antes de efectuar un pedido
de reposición de inventario al final del periódo n. El sistema parte vacío )0( 0 Z . Si
n Z es cero o positivo, no se dejan pedidos pendientes. Si n Z es negativo, entonces -
n Z representa el número de unidades de demanda retrasada y no queda inventario
disponible.
El pedido de reposición en general es Q. Pero, si al principio del periódo n, n Z < 1, se
efectúa un pedido de reposición de 2m, donde m es el menor entero tal que
12 m Z n
.
a) Obtenga P.b) Suponga que el costo de efectuar un pedido de reposición es (3+3m). El
costo de mantenimiento del stock es nC si n Z 0 , cero en caso contrario.
El costo de ruptura del stock es - nC , si n Z <0. Encontrar el costo medio
esperado por unidad de tiempo.
Solución:
n periódodelotér aldisponible Inventario Z n ___min___
1.- El Departamento de Marketing Cuantitativo de un prestigioso banco nacional está
desarrollando un modelo basado en Cadenas de Markov discretas, para estimar el número declientes en el estrato ABC1. El planteamiento es el siguiente:
Sean
X el número de clientes pertenecientes al segmento ABC1 el primer día hábil del mes n.
En el banco existen solamente dos segmentos para clasificar a los clientes ABC1 y C2.En total hay N clientes en el banco y que la probabilidad de que un cliente pase de ABC1 a C2
es 1 p y de C2 a ABC1 es 2 p . Suponga que los clientes no se retiran del banco, ni tampoco
ingresan nuevos clientes. Si se sabe que el primer día hábil de un mes hay 1n personas en el
segmento ABC1 :
¿ Cuál es la probabilidad de que en el primer día hábil del mes siguiente hayan 2n clientes en elmismo segmento ? 12 nn N (2 puntos)
2.- Sean
X el número de personas hospedadas en un cierto hotel al inicio del día n. Se sabe
que pueden llegar 0,1,2 ó 3 clientes en un día, con igual probabilidad. Además se sabe que eltiempo de permanencia de un cliente en el hotel es exponencial con media . El hotel tiene
capacidad solo para 4 personas y las que llegan cuando el hotel está lleno se van sin dejar reserva.Obtenga la matriz P. (2 puntos)
Indicación: Puede usar la siguiente aproximación d e d 1
3.- El ascensor de un edificio con tres pisos realiza viajes entre los pisos regularmente. Sean
X
el piso en que para el ascensor en la etapa n. Se sabe que la mitad de los viajes que parten delpiso 1 se dirigen a uno de los otros pisos con igual probabilidad. Si el ascensor parte en el piso 2el 25% de las veces termina en el piso 2. Por ultimo si su trayecto empieza en el tercer piso
siempre termina en el primer piso.
a) Obtenga la matriz P y el rango de la variable.
b) Obtenga
2
3;1;2
1
024
X X X X
P
c) Diga si existe distribución límite y si es así, calcúlela.d) Diga si existe distribución estacionaria y si es así calcúlela.
4.- Un agente comercial realiza su trabajo en tres ciudades A,B,C. Para evitar gastos trabajadurante un día en cada ciudad y alli se queda en la noche. Después de estar trabajando en la
ciudad C la probabilidad de tener que seguir trabajando en ella al día siguiente es 0,4; laprobabilidad de viajar a B es 0,4. Si el viajante duerme una noche en B con probabilidad 0,2deberá seguir trabajando en la misma ciudad al día siguiente y en el 60% de los casos viajará aC. Por último, si el agente trabaja en A un día permanecerá en esa ciudad con probabilidad 0,1 oirá a la ciudad B con probabilidad 0,3.
a) Si hoy el viajante está en la ciudad C ¿Cual es la probabilidad de que tenga que estar enla misma ciudad en 4 días más?
b) ¿Cuáles son los porcentajes de días que el viajante se encuentra en cada ciudad?c) ¿Cuál es la probabilidad de que un viajante vuelva a la ciudad A?
5.- Los consumidores de café en la VIII Región usan tres marcas A, B, C. EnMarzo de 2008 se hizo una encuesta en lo que entrevistó a las 8450 personas quecompran café y los resultados fueron:
Compra actual Marca A Marca B Marca C TotalMarca A = 1690 507 845 338 1690Marca B = 3380 676 2028 676 3380Marca C = 3380 845 845 1690 3380TOTALES 2028 3718 2704 8450
a) Si las compras se hacen mensualmente, ¿cuál será la distribución del mercado de
café en la VIII Región en el mes de junio?b) A la larga, ¿cómo se distribuirán los clientes de café?c) En junio, cual es la proporción de clientes leales a sus marcas de café?
6.- Una agencia de arriendo de vehículos ha definido la variable aleatoria Xt como el número deautomóviles disponibles en la agencia al empezar la semana t+1.
Sea Dt una variable aleatoria que representa la demanda por automóviles la semana t. Laagencia utiliza una política de reorden (s,S) con s=1 y S=3. No se acepta demanda pendiente.Sea Xo = 3 y suponga que la variable aleatoria Dt tiene distribución de Poisson con
a) Obtenga los valores de la variable Xtb) Exprese a través de una fórmula de recurrencia la relación entre xt y Xt+1
c) Encuentre la matriz P (valores númericos)d) Suponga ahora que el costo incurrido es un valor fijo de $ 110.000 por orden más un valor
variable de $ 25.000 por automóvil. Encuentre el costo esperado de inventario.
7.- Una empresa de transportes debe contratar un seguro para su flota de vehículos. Existen 4posibles seguros con valores P1, P2, P3, y P4. De modo que :P1 > P2 > P3 > P4.
El valor del seguro se paga al principio del año y depende del tipo de seguro contratadoel año anterior y de los accidentes cobrados a la compañía de seguros durante el año. Si duranteel año, el seguro contratado costó Pi y no se cobraron seguros, el seguro del año siguientecostará Pi + 1; en caso contrario (esto es si se cobraron seguros) el seguro costará P1. Si el añoanterior el seguro costo P4 y no hubo daños cobrados, el seguro costará este año también P4.
La empresa de transportes debe decidir, al final del año, si cobrará o no los daños
acumulados por sus vehículos durante el año. Si la empresa decide cobrar los daños, lacompañía de seguros se hace cargo de éstos, con excepción de un deducible, que vale Ri parael seguro i.
El daño total de la flota durante un año cualquiera es una variable aleatoria con funciónde distribución F y función de densidad f.
Defina Xn como el tipo de seguro contratado en el año n.
a) Obtenga la matriz de P de este proceso.b) Obtenga una expresión explícita para el vector distribución estacionaria de este proceso.c) Obtenga una expresión para el costo esperado anual de usar esta política en el largo plazo.
¿Cómo podría encontrar la política óptima para este caso?
8.- En la etapa inicial un jugador tiene MM$ 2. En las etapas 1,2..... participa en un juego en elque apuesta MM$ 1. Gana el juego con probabilidad p, y lo pierde con probabilidad (1-p). Sumeta es aumentar su capital a MM$ 4 y tan pronto como lo logre se retira. El juego también sesuspende si el capital del jugador se reduce a $0 .
a) Formule la matriz de probabilidades de transición en una etapa.
Si p=0.4
b) Calcule la probabilidad de que el jugador obtenga su objetivo de juntar MM$ 4 de capital.