Modelação, Identificação e Controlo Digital 2-Modelos em Controlo por Computador J. Miranda Lemos, A. Bernardino IST-Secção de Sistemas e Controlo 20 Modelos de Sistemas Amostrados Relógio D/A A/D G(s) Sistema u(kh) y(kh) u(t) y(t) Qual a função de transferência discreta “vista” pelo computador?
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Modelos de Sistemas Amostrados - users.isr.ist.utl.ptusers.isr.ist.utl.pt/~alex/micd0506/micd2b.pdf · 1 – Considere o modelo simplificado de um motor DC: a) Deduza, utilizando
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Modelação, Identificação e Controlo Digital 2-Modelos em Controlo por Computador
J. Miranda Lemos, A. Bernardino IST-Secção de Sistemas e Controlo
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Modelos de Sistemas Amostrados
Relógio
D/A A/DG(s)
Sistema
u(kh) y(kh)u(t) y(t)
Qual a função de transferência discreta “vista” pelo computador?
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Recorde-se que, para determinar a função de transferência, devemos:
• Aplicar um sinal à entrada do sistema, com condições iniciais nulas
• Observar a saída
• Determinar as transformadas Z da entrada e da saída correspondente
• Calcular a função de transferência como o quociente entre a transformada Z
da saída e a transformada Z da entrada
Que sinal de teste é mais conveniente aplicar?
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Método Escalão Invariante
Se aplicarmos um escalão discreto à entrada, à entrada do sistema contínuo
aparecerá também um escalão, o que facilita as contas
Relógio
D/A A/DG(s)
Sistema
u(kh) y(kh)u(t) y(t)
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Equivalência das saídas nos instantes de amostragem
� � ���� �� � � �=
�
���
��−� �
� �� ���� �
� ��� � � �=
�
���
��−
=��
A função de transferência discreta equivalente é
[ ][ ]� � ��
� ��� � �
� �
� �=
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Função de Transferência Discreta
Sendo u(kh) um escalão discreto, a sua transformada Z é:
[ ] � ��
� � =− −
�
� �
Portanto:
� �� � �� �� � �� � � �
�� ��� � ��
� ��� �� � �
� �� �
− −=
� �� �= = − � �� �� �� �
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Método Escalão Invariante (Conclusão)
Relógio
D/A A/DG(s)
Sistema
u(kh) y(kh)u(t) y(t)
Do ponto de vista do computador, i.e. entre a entrada e a saída discreta, este
sistema é equivalente a um SLIT discreto com função de transferência
� ���� �� � ��
� � � � � �= −�
���
���
���
��− −
=�
�� �
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Tabelas Auxiliares
TZ de sinais amostrados Equivalentes ZOH
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Modelo de sistema amostrado – Exemplo
Qual a função de transferência discreta (causal) que se obtém quando se amostra o
sistema contínuo com função de transferência
� �
� � � =
+ ?
Solução:
� ��
� � � � ��� � � �
� �= −
+�
���
���
��
�
��
− −=
� � �
Decompondo em fracções simples
� � � � � �+= −
+� �
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TL inversa do primeiro termo:
�� � �� ��� �
�→ = ≥
TL inversa do segundo termo:
�� � � ��� � �
�
−→ = ≥+
Amostrando nos instantes kh:
� � � ����� � �−= ≥
Cuja TZ é:
�
�� �
� ��
� − −=−
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Finalmente, a função de transferência discreta vem dada por:
� � � �� � � �= −
−−
−�
�
��−
− − −��
�
�
�
�
� �
� �
� �
�
�� �� �
=−−
− −
− −
�
�
�
�
A região de convergência deve ser escolhida por forma a que o sistema seja
causal.
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A resposta ao escalão do sistema contínuo coincide, nos instantes de
amostragem, com a resposta do sistema discretizado.
Isto não acontece para outro tipo de entradas, por exemplo uma sinusóide.
0 1 2 3 4 5 6 7 80
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Este facto motiva que se designe este método de discretização por método do
escalão invariante.
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Entradas Constantes por Troços (Zero-Order-Hold)
Se os sinais de entrada de um sistema provêm de um retentor de amostras de ordem
zero (zero-order-hold) então a saída dos sistemas contínuo e discreto equivalem-se
nos instantes de amostragem:
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10−1
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1u(t) = sin(t), h = 0.5s
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Transformação dos pólos
Na discretização com retentor de amostras de ordem zero os pólos são
transformados de acordo com uma transformação exponencial.
Um pólo em �� no contínuo é transformado num pólo � dado por:
��
� ��=
• Características de estabilidade são preservadas: semi-plano complexo
esquerdo é mapeado no interior do círculo unitário.
• Unicidade não é preservada: vários pontos do plano-s são mapeados
num mesmo ponto do plano-z (aliasing).
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Exemplo de transformação de pólos
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Sistema de 2ª ordem com pólos complexos conjugados
ωζω ω
�
�
�
� �
��� �+ +
Os pólos são transformados nas
raízes do polinómio
�
� �+ +
( ) � ��
�
�
�� ��= − −−ζω ζ ω�
� �
�
� �= − ζω
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Transformação dos zeros
A transformação dos zeros é mais complexa e não existe uma regra geral simples.
Para elevadas frequências de amostragem, um sistema contínuo com N polos e M
zeros finitos (si, j = 1,...,M), conduz a um sistema discreto com:
• N-1 zeros finitos (d = 1)
• M zeros em �� �
� �≈
• N-M-1 zeros tendem para as raízes dos polinómios da tabela: