Modelos de Randall Sundrum e Estabilizac¸˜ao do Raio da ...

UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARA

CENTRO DE CIENCIAS

DEPARTAMENTO DE FISICA

PROGRAMA DE POS-GRADUACAO EM FISICA

RAIMUNDO IVAN DE OLIVEIRA JUNIOR

Modelos de Randall Sundrum e Estabilizacao do

Raio da Dimensao Extra

FORTALEZA - CE

2017




Dissertacao de Mestrado apresentada ao Programa de

Pos-Graduacao em Fısica da Universidade Federal do

Ceara como requisito parcial para a obtencao do tıtulo

de Mestre em Fısica. Area de concentracao: Fısica da

materia condensada.

Orientador: Prof. Dr. Geova Maciel de Alencar Filho

Co-orientador: Prof. Dr. Ricardo Renan Landim de

Carvalho

FORTALEZA - CE

Dados Internacionais de Catalogação na Publicação Universidade Federal do Ceará

Biblioteca UniversitáriaGerada automaticamente pelo módulo Catalog, mediante os dados fornecidos pelo(a) autor(a)

O51m Oliveira Júnior, Raimundo Ivan de. Modelos de Randall Sundrum e estabilização do raio da dimensão extra / Raimundo Ivan de OliveiraJúnior. – 2017. 54 f. : il. color.

Dissertação (mestrado) – Universidade Federal do Ceará, Centro de Ciências, Programa de Pós-Graduaçãoem Bioquímica, Fortaleza, 2017. Orientação: Prof. Dr. Geová Maciel de Alencar Filho. Coorientação: Prof. Dr. Ricardo Renan Landim de Carvalho.

1. Geometria deformada. 2. Dimensões extras. 3. Escala Planck. 4. Escala TeV. I. Título. CDD 572




Dissertacao de Mestrado apresentada ao Programa dePos-Graduacao em Fısica da Universidade Federal doCeara como requisito parcial para a obtencao do tıtulode Mestre em Fısica. Area de concentracao: Fısica damateria condensada.

Aprovada em 15/09/2017

BANCA EXAMINADORA

Prof. Dr. Geova Maciel de Alencar Filho (Orientador)Universidade Federal do Ceara (UFC)

Prof. Dr. Roberto Vinhaes Maluf CavalcanteUniversidade Federal do Ceara (UFC)

Prof. Dr. Makarius Oliveira TahimUniversidade Estadual do Ceara (UECE)

Dedico esse trabalho a minha famılia, em especial minha mae.

AGRADECIMENTOS

A Deus por me dar forcas para seguir enfrentando os obstaculos.

A minha querida mae, Luzia Oliveira Lima, pelo apoio incondicional.

A minha namorada, Claudiane Chagas da Silva, pela paciencia e dedicacao.

Ao professor Dr. Makarius Oliveira Tahim, por me fazer acreditar que eu era capaz.

Ao professor Dr. Geova Maciel de Alencar Filho, pela paciencia e disponibilidade em

me ajudar.

Ao professor Dr. Carlos William de Araujo Paschoal, por me ajudar em um dos

momentos mais difıceis durante essa jornada.

A todos os integrantes do CREU: Raul Crowley, Rodrigo Almeida, Francisco Eman-

nuel, Wendel Macedo, Emanuel Wendel, Luis Felipe, Jason, Stanley Frota, Ancelmo Pi-

nheiro e Marcio, pela ajuda nos momentos de duvidas (nao foram poucos).

Ao CNPQ pelo apoio financeiro.

RESUMO

Nessa dissertacao estudamos os modelos Randall Sundrum Tipos I e II e a estabilizacaodo raio da dimensao extra. Tanto o tipo I quanto o II foram elaborados por Lisa Randalle Ramman Sundrum. O tipo I foi desenvolvido para resolver o problema da hierarquiade gauge ( grande discrepancia entre a escala de energia do modelo padrao (103 GeV )e a escala de energia da gravidade (1019 GeV ) . O tipo II trata, detalhadamente, ocomportamento da gravidade. Iniciamos falando dos modelos de dimensoes extra queantecederam os modelos de Randall Sundrum: Kaluza-Klein, Arkani-Hamed-Dimopoulos-Dvali (ADD) e o modelo de Rubakov (O Universo como uma parede de domınio). Emseguida, fazemos uma revisao dos trabalhos de Lisa Randall e Ramman Sundrum. Aposisso, focamos no problema da estabilizacao do raio. Esse problema surge no modelo tipoI. Por fim, explicamos a solucao dada para ele: O mecanismo de Goldberger Wise.

Palavras-chave: Geometria Deformada, Dimensoes Extras, Escala Planck, EscalaTeV, Branas.

ABSTRACT

In this dissertation we study The Randall Sundrum models type I and II and the sta-bilization of the radius of the extra dimension. Both the types were elaborated by LisaRandall and Ramman Sundrum. The type I was developed to solve the gauge hierarchyproblem (big discrepancy between the energy scale of the standard model(103GeV ) andthe energy scale of the gravity (1019GeV ) . The type II explain, in details, the beha-vior of the gravity. We begin speaking of the extra dimensions models that preceded theRandall Sundrum model: Kaluza Klein, Arkani-Hammed- Dimopoulus-Dvali (ADD) andthe Rubakov’s model ( The universe as a domain wall). Then, we make a review of theLisa Randall and Ramman Sundrum papers. After that,we focus on the problem of thestabilization of the radius. This problem arises in the type I model. Lastly, we explainthe solution that was created to it: The Goldberger Wise mechanism.

Keywords: Warp Geometry, Extra Dimensions, Planck Scale, TeV Scale, Branes.

LISTA DE FIGURAS

3.1 Potencial escalar em funcao do campo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.2 Solucao do tipo parede de domınio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.3 Densidade de energia da parede de domınio localizada em z=0 . . . . . . . 18

4.1 Simetria Orbifold . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214.2 Setup do modelo Randall Sundrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214.3 A geracao de uma hierarquia exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

5.1 Potencial Gravitacional V (z) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365.2 Localizacao do graviton em torno da brana de Planck . . . . . . . . . . . . 39

SUMARIO

1. Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

2. Modelo de Kaluza-Klein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2 Condicao Cilındrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.3 Decomposicao de KK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.3.1 Decomposicao do campo escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.3.2 Escala Pequena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3. Modelo ADD e o Universo Como uma Parede de Domınio . . . . . . . . . . . . . 113.1 Escala Natural de Energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.2 O Modelo ADD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.3 O Universo Como Uma Parede de Domınio . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.4 Densidade de Energia da Brana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

4. Modelo Randall-Sundrum Tipo I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204.1 A configuracao do Modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

4.1.1 A metrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214.2 Acao e Equacoes de Movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234.3 Implicacoes Fısicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

5. Modelo Randall Sundrum Tipo II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305.1 Modos Gravitacionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305.2 Equacoes de Einstein Linearizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315.3 Equacao Tipo Schrodinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

5.3.1 Modo-zero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375.3.2 Modos Massivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

5.4 Espectro Gravitacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415.5 Limite Newtoniano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

6. Estabilizacao do Raio da Dimensao Extra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 466.1 Mecanismo de Goldberger Wise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 466.2 Acao Proposta e equacoes de movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 476.3 O sistema gravidade-escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

7. CONCLUSOES E PERSPECTIVAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

REFERENCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

1

1. Introducao

A Fısica sempre tenta dar explicacoes para os fenomenos naturais atraves da cons-

trucao de modelos. Esses modelos sao versoes simplificadas da natureza, no intuito de

descreve-la da melhor maneira possıvel. Um dos mais bem sucedidos modelos ja cria-

dos na Fısica e o modelo padrao das partıculas elementares. Ele descreve as partıculas

elementares do nosso universo, bem como as interacoes entre elas [1].

De acordo com esse modelo existem quatro interacoes fundamentais na natureza, a

saber: Forte, fraca, eletromagnetica e gravitacional. Nele existem basicamente dois tipos

de partıculas: Os fermions e os bosons. Os primeiros sao partıculas com spin semi-inteiro

enquanto que os bosons tem spin inteiro. De maneira simples, os fermions sao as partıculas

que constituem a materia e os bosons sao as partıculas que transmitem as forcas.

Este modelo e uma teoria de campos consistente com a mecanica quantica e a re-

latividade especial [2]. Ele consegue descrever muito bem as interacoes forte, fraca e

eletromagnetica, mas falha ao tentar descrever a gravidade. Esse e apenas um de seus

problemas, ele possui muitos outros, de carater experimental e teorico. Os problemas

de carater experimental sao: Oscilacoes de neutrinos, assimetria materia-antimateria,

materia escura e inflacao cosmica. Os problemas de carater teorico sao: Origem da massa

das partıculas, excesso de parametros livres, problema de hierarquia da famılia de leptons

e problema da hierarquia de gauge.[1]

Neste texto trataremos basicamente do problema da hierarquia de gauge. Esse pro-

blema trata da grande discrepancia entre a escala de energia da interacao gravitacional

( 1019GeV ) e a escala de energia do modelo padrao(escala eletrofraca) (103GeV ). A

primeira e conhecida como escala de Planck. Nessa escala a interacao gravitacional seria

da mesma ordem que as outras tres interacoes na escala TeV , que e a escala de energia do

modelo padrao. De acordo com o modelo padrao existe uma partıcula que da massa para

2

todas as outras [2], o boson de Higgs. No entanto, o proprio boson de Higgs tem massa.

Surge entao a pergunta: Quem da massa para o boson de Higgs? (isso e um parametro

livre na teoria). Nos modelos de grande unificacao e necessario duas quebras espontaneas

de simetria, uma na escala TeV e outra na escala GeV . Dessa forma sao necessarios dois

bosons de Higgs; um com energia da ordem de (103GeV ) e outro com massa da ordem

de (1019GeV ). As razoes para essa disparidade de massa sao imposicoes experimentais,

isto e, a hierarquia MP lMw

∼ 1016 deve existir para reproduzir efeitos fısicos observaveis em

baixas energias.[2]

O grande Gap de energia entre a escala eletrofraca e a escala de Planck, necessita um

”fine tunning”da ordem de 16 dıgitos [3]. Mas o que significa o fine tunning? Basicamente

isso significa que temos que colocar os parametros a mao em ordem de conciliarmos a

teoria com a experiencia. Isso pode ser entendido melhor atraves de um ”toy model”.

Suponha que observamos uma partıcula atraves de um experimento e encontramos para

sua massa um valor de Mexp ≈ 1.100GeVc2

(massa experimenttal). No entanto, essa mesma

medida, de acordo com a teoria quantica de campos, tem que sofrer uma correcao da

ordem de 1019GeV . Isso independentemente da massa teorica (prevista na lagrangeana

classica). Naturalmente esperamos que a massa teorica da partıcula deveria coincidir,

aproximadamente, com o experimento Mexp ≈ Mteo. Mas um simples calculo nos mostra

que nao e isso o que acontece. A massa experimental e dada porMexp =Mteo+δmquantum,

onde δmquantum corresponde a correcao quanica. Dessa forma, Mteo ≈Mexp − δmquantum ≈

1.100GeV − 1019GeV . Isso mostra que um ajuste de 16 dıgitos se faz necessario. Isso nos

mostra que precisamos de teorias alternativas para explicar o problema da hierarquia de

gauge.[3]

Temos entao a pergunta: como gerar essa hierarquia de energias? Existem tres modelos

que propoe uma solucao para esse problema. O primeiro e o modelo Technicolor. este

modelo propoe uma Fısica de partıculas em que nao existem campos escalares como

partıculas fundamentais. Dessa forma o higgs nao existe e consequentemente a hierarquia

tambem nao. O segundo modelo e a supersimetria. Neste se propoe o acrescimo de

partıculas na teoria. Ele ainda esta sendo testado. Por fim, existem os modelos baseados

3

em dimensoes extras.

O primeiro modelo de dimensao extra criado para tentar resolver o problema da hi-

erarquia e o modelo de Arkani-Hamed Dimopoulos e Dvali (ADD) [4]. Em 1998 ADD

propuseram um modelo com duas dimensoes extras grandes, da ordem de 1mm, e uma

hipersuperfıcie onde nos vivemos. Eles consideravam que a gravidade se diluia no grande

volume da dimensao extra. Dessa forma a hierarquia, em 4D, entre a escala de Planck e a

escala elerofraca seria apenas aparente. No entanto, isso apenas transferiu a hierarquia de

um lugar para outro. Pois ao considerar uma dimensao extra grande resolvia a hierarquia

entre as escalas de energia, mas criava a hierarquia entre os tamanhos das dimensoes ex-

tras. Naturalmente esperava-se uma dimensao extra da ordem do comprimento de Planck

LP l ≈ 10−33cm . [5]

O outro modelo de dimensao extra foi criado por Lisa Randall e Raman Sundrum,

em 1999. Eles propuseram uma dimensao extra que, diferente da proposta de ADD, era

compacta. Nesse modelo existem duas branas, uma em que ”vive”a gravidade e outra

onde os campos do modelo padrao ficam confinados, nosso universo. A hierarquia entre as

escalas e gerada apenas com argumentos de geometria, atraves de um fator exponencial

que e colocado na metrica que descreve o modelo. Antes de estudarmos com detalhes o

modelo Randal Sundrum, veremos outros modelos de dimensoes extras que surgiram antes

do RS: O modelo de kaluza-Klein, Rubakov Shaposhnikov (Universo como uma parede

de domınio) e Arkani-Hamed, Dimopoulos e Dvali (ADD).

4

2. Modelo de Kaluza-Klein

Um dos primeiros modelos de dimensao extra foi criado por Theodor Kaluza e Oscar

Klein. A intencao desse modelo e unificar a gravidade com o eletromagnetismo. Isso e feito

supondo uma dimensao extra do tipo espaco. Nesse modelo o tensor metrico de um espaco

tempo curvo 5-dimensional e decomposto em um tensor metrico de um espaco curvo 4-

dimensional, o potencial vetor do eletromagnetismo e um campo escalar. A proposta do

modelo e muito boa, mas aparece inconsistencias muito fortes na teoria. A equacao de

movimento para o campo escalar φ so e consistente no caso em que FµνFµν = 0. O raio

de compactificacao dessa teoria e muito pequeno, o que faz com que a escala de energia

da teoria seja muito grande, impossibilitando a deteccao da dimensao extra. Isso motiva

o surgimento de outras teorias de dimensoes extras. Faremos nesse capıtulo uma breve

revisao da teoria de KK.

2.1 Introducao

Em 1914 Gunnar Nordstrom unificou o eletromagnetismo e a gravidade Newtoni-

ana [6]. Ele fez isso utilizando um tensor de energia momento totalmente simetrico em

um espaco de Minkowski de 5 dimensoes. Para nos, isso pode nao ser muito relevante,

uma vez que ele usou a relatividade Newtoniana, a qual sabemos que nao e correta. No

entanto, vale lembrar que ele fez isso antes do descobrimento da teoria da relatividade

geral.

Sete anos depois em 1921 o matematico Theodor Kaluza descobriu que o tensor metrico

de um espaco curvo 5-dimensional pode ser decomposto em um tensor metrico de um

espaco curvo 4-dimensional, o potencial vetor do eletromagnetismo e um campo escalar.

Kaluza enviou seu trabalho para Einstein que encorajou o mesmo a publica-lo.

Na teoria de Kaluza ele propoe uma condicao de cilindricidade (a metrica nao depender

5

da quinta dimensao), que nao era bem explicada pelo mesmo. E ai que entra o Fısico

Oscar Klein. Ele da uma explicacao sobre a condicao cilındrica propondo que a quinta

dimensao e pequena e periodica e compactada em forma de um cırculo. Se a quinta

dimensao e um cırculo, ela pode ser feita tao pequena que a metrica nao depende mais

dela.

A teoria de Kaluka-Klein (KK) buscava unificar a gravidade de Einstein com o ele-

tromagnetismo de Maxwell por meio da inclusao de uma dimensao extra do tipo espaco.

Dessa forma o conjunto completo das coordenadas em um espaco-tempo (4+ 1)− dimen-

sional seria (xµ, y) com µ = 0, 1, 2, 3 .

Nessa teoria o espaco 5-dimensional seria composto apenas pela gravidade [7]. Dessa

forma nao teriamos materia e as equacoes de Einstein em 5-D seriam:

GAB = 0. (2.1)

Aqui (A,B = 0, 1, 2, 3, 5) representam os ındices da metrica gAB em 5-D.

Ao considerarmos quatro coordenadas espaciais e uma do tipo tempo, pode-se dividir

a metrica da seguinte forma:

gµν(µ, ν = 0, ..., 3) a metrica do espaco tempo ordinario 4-dimensional;

gµ5 = g5ν um 4-campo vetorial;

g55 = φ um campo escalar. Dessa forma podemos parametrizar gAB, considerando

φ = 1, da seguinte forma:

gAB =

gµν + AµAν Aµ

Aν 1

(2.2)

e a metrica inversa:

gAB =

gµν −Aµ

−Aν 1 + AµAµ

. (2.3)

O tilde significa que a grandeza esta em 5-D.

6

2.2 Condicao Cilındrica

Em sua teoria Kaluza considerou uma condicao cilındrica [7]: a derivada da metrica

gAB com relacao a dimensao extra e nula

∂gAB

∂x5= 0. (2.4)

Segundo ele isso era devido ao fato de nao vermos a dimensao extra, todos os fenomenos

fısicos observaveis ocorrem em 4-D. Posteriomente Klein deu uma melhor explicacao para

essa condicao. Ele supos que a dimensao extra fosse compactada em um cırculo de raio

muito pequeno que nao poderia ser observado para energias menores que 1019GeV .

Podemos calcular o escalar de Ricci em 5-D da mesma forma que fazemos em 4-D.

Primeiro calculamos os simbolos de Christoffel, onde os termos nao nulos sao:

Γ5µν =

1

2

[

∇µAν +∇νAµ − AσFσµAν − AσF

σν Aµ

]

; (2.5)

Γσµ5 =

1

2F σµ ;

Γ5µ5 = −1

2AσF

σµ ;

Γσµν = Γσ

µν +1

2(AµF

σν + AνF

σµ );

Γσµσ = Γσ

µσ +1

2AσF

σµ .

Onde Fµν = ∂µAν − ∂νAµ e ∇ denota a derivada covariante. Com as conexoes em

maos os tensores de Ricci nao nulos sao:

R55 = −1

4FγηF

γη; (2.6)

Rµ5 = −1

2∇σF

σµ − 1

4AµFγηF

γη;

Rµν = Rµν −1

4

[

2(

Aµ∇σFσν + Aν∇σF

σµ

)

− F σµFνσ − F σ

ν Fµσ + AµAνFγηFγη]

.

7

De forma que o escalar de Ricci e dado por:

R = gABRAB = R +1

4FγηF

γη. (2.7)

Utilizando uma acao de Einstein Hilbert em 5-D,

S5D =

∫

d5x√

−gR. (2.8)

De 2.2 temos que detgAB = detgµν , logo√−g =

√−g, substituindo essa condicao e 2.7

em 2.8, obtemos:

S5D =

∫

d5x√−g

(

R +1

4FγηF

γη

)

. (2.9)

Podemos integrar a dimensao extra, obtendo uma acao puramente 4-dimensional

S4D = V

∫

d4x√−g

(

R +1

4FγηF

γη

)

. (2.10)

Onde V e o volume de S1. Ao variarmos a acao 2.10 encontramos

Gµν = 8πGTEMµν . (2.11)

Onde TEMµν = gµν

FαβFαβ

4− F α

µ Fνα e o tensor energia-momento do eletromagnetismo e

Fαβ = ∂αAβ − ∂βAα, corresponde ao tensor eletromagnetico de Maxwell.

Reduzimos assim a acao de Einstein-Hilbert 5-dimensional a soma de uma acao gra-

vitacional 4-dimensional e a acao de Maxwell [8]. Dessa forma o eletromagnetismo e a

gravidade em quatro dimensoes sao unificados, sendo diferentes aspectos da gravidade em

um espaco-tempo com uma dimensao extra compacta.

A teoria de KK parece totalmente consistente, mas ela nao e. Se para nossa metrica

inicial tivesemos considerado uma metrica em que nao fizessemos φ = 1 inicialmente, por

exemplo:

gAB =

gµν − k2φ2AµAν −kφ2Aµ

−kφ2Aν φ2

, (2.12)

8

Terıamos as seguintes equacoes de movimento:

Gµν =k2φ2

2TEMµν − 1

φ[∇µ(∂νφ)− gµν�φ] ; (2.13)

∇µFµν =−3∂µφ

φ;

�φ =k2φ3

4FµνF

µν .

Agora se escolhermos φ = cte , as duas primeiras equacoes acima sao exatamente a

equacao de Einstein e a equacao de Maxwell:

Gµν = 8πGTEMµν (2.14)

∇µFµν = 0.

No entanto, a terceira equacao so e consistente quando FµνFµν = 0.

Nao nos preocuparemos muito com as inconsistencias da teoria de KK. Vamos apre-

sentar a decomposicao de KK e encontrar a escala de energia natural dessa teoria. E essa

escala que motiva o surgimento dos cenarios de branas.

2.3 Decomposicao de KK

Em 1926 o Fısico Oscar Klein fez algums aperfeicoamentos na teoria de Kaluza. Ele

supos que a quinta dimensao deveria ter a topologia de um cırculo e a escala de compri-

mento muito pequena. Discutiremos agora os efeitos dessa hipotese.

Se a quinta dimensao tem a topologia de cırculo, um campo escalar φ(xµ, y) tem a

propriedade φ(xµ, y) = φ(xµ, y+2πR), onde R e o raio da dimensao extra. Na realidade,

qualquer campo sera periodico na dimensao extra. Assim podemos expandı-los em serie

de Fourier:

9

gµν(xµ, y) =

∑

n

g(n)µν (xµ)e

inyR ; (2.15)

φ(xµ, y) =∑

n

φ(n)(xµ)einyR ;

Aµ(xµ, y) =

∑

n

A(n)µ (xµ)e

inyR .

Onde n refere-se ao n-esimo modo de Fourier. Os campos sao independentes da dimensao

extra apenas para n = 0. Que e conhecido como modo zero.

2.3.1 Decomposicao do campo escalar

Por questao de simplicidade mostraremos a decomposicao do campo escalar sem massa

em modos de KK na quinta dimensao. A decomposicao para outros campos(vetorial,

tensorial e spinorial) e semelhante.

A acao para um campo escalar sem massa em 5-D e dada por:

S =

∫

d5x1

2

[

gMN∂Mϕ(xM)∂Nϕ(x

N)]

, (2.16)

onde gMN = ηµνdxµdxν + dy2 e a metrica 5-dimensional, com xM ∼ (xµ, y) e y ∈ S1.

Devido a periodicidade da dimensao extra, podemos expandir o campo em uma serie de

Fourier:

ϕ(xµ, y) =1√2πR

∞∑

−∞

φ(n)(xµ)einyR . (2.17)

Substituindo 2.17 em 2.16 obtemos

S =

∫

d4x1

2

∑

n

[

∂µφ(−n)∂µφ(n) +

n2

R2φ(−n)φ(n)

]

. (2.18)

Como ϕ(xµy) e real, temos φ(−n) = φ(n)† , de modo que a acao efetiva em 4-D e:

S =

∫

d4x

(

1

2∂µφ

(0)∂µφ(0) +∞∑

n=1

1

2

[

∂µφ(n)∂µφ(n)† +

n2

R2φ(n)φ(n)†

]

)

. (2.19)

10

Vemos que obtemos a acao efetiva para um campo escalar nao massivo em 4-D, o modo

zero da expansao, e uma serie infinita de campos cuja a massa e dada por m(n) =nR. Os

modos dessa expansao sao ditos modos de KK e a serie infinita de campos massivos e

chamada de torre de KK.

Se considerarmos um campo escalar massivo com massa m0 na quinta dimensao, a

massa dos modos de KK sera m2(n) = m2

(0)+(

nR

)2. Quando o numero de dimensoes extras

e arbitrario, temos m2(n) = m2

(0)+(

n1

R

)2+(

n2

R

)2+ ... . Cada modo carrega uma energia da

ordem de nR(massa de repouso), e assim, nao podem ser excitados para energias abaixo

desse patamar. Do ponto de vista quadrimensional cada modo de KK mn = nRpode ser

interpretado como um tipo diferente de partıcula.

2.3.2 Escala Pequena

Se R for muito pequeno, a energia necessaria para estimular modos com n 6= 0 seria

muito grande, fora do alcance experimental atual. Dessa forma, apenas o modo zero pode

ser detectado.

Poderemos observar a dimensao extra quando os aceleradores chegarem a energias

da ordem E ∼ 1R. Dessa forma para tentar explicar o fato de que ate agora nenhuma

dimensao extra foi observada, adota-se como escala de compactificacao a escala de Planck

LP l =

(

~G

c3

) 1

2

≈ 1, 6x10−35m. (2.20)

Dessa forma a massa dos estados excitados seria da ordem da escala de Planck,

MP ≈ 1019GeV . Tal escala de compactificacao impede que os experimentos atuais nos ace-

leradores de partıculas, que tem energias da ordem de 1TeV , detectem sinais da existencia

de outras dimensoes.

11

3. Modelo ADD e o Universo Como uma Parede de Domınio

No capıtulo anterior vimos que a escala de energia gerada no modelo de KK e muito

grande, impossibilitando a deteccao da dimensao extra. Dessa forma surgem outros mo-

delos de dimesoes extras propondo um tamanho maior para as mesmas. Um modelo

bastante conhecido e o modelo de Arkani-Hamed Dimopoulos e Dvali (ADD). Nele se

propoe a existencia de dimensoes extras grandes (≈ 1mm) dessa forma a escala de ener-

gia e menor e as dimensoes extras poderiam ser detectadas. Esse modelo nao obteve

sucesso pois as dimensoes extras nao foram detectadas e ele nao resolveu por completo o

problema que se propos, que era o problema da hierarquia. Ele resolveu o problema da

hierarqua entre as escalas de energia, mas criou outra hierarquia, agora entre os tama-

nhos das dimensoes extras. Neste capıtulo tambem falaremos de como gerar uma brana

(hipersuperfıcie 4-dimensional que e considerada como sendo o nosso universo). A brana

e gerada atraves da solucao tipo kink para a equacao de movimento de um campo escalar.

3.1 Escala Natural de Energia

Vimos que na teoria de KK nao e possıvel fazer a deteccao da dimensao extra. No

entanto, se compararmos a acao de Einstein-Hilbert em teorias n-dimensional com a

acao de Einstein-Hilbert usual em 4-D, podemos encontrar o tamanho para dimensao

extra. Consequentemente, encontramos a escala de energia em que os efeitos podem ser

detectados em quatro dimensoes. A acao de Eintein-Hilbert n-dimensional e [9]

S4+n ∼∫

d4+nx√

−g(4+n)R(4+n). (3.1)

A dimensao de massa de S4+n e −n−2. Mas como sabemos, a acao necessita ser adimen-

sional. Logo temos que multiplicar essa acao com uma potencia de n+2 para a escala de

12

Planck fundamental M∗. Dessa forma a acao de Einstein-Hilbert n-dimensional fica:

S4+n = −Mn+2∗

∫

d4+nx√

−g(4+n)R(4+n). (3.2)

Precisamos saber como a acao usual de Einstein-Hilbert

S4 = −M2PL

∫

d4x√

−g(4)R4 (3.3)

esta contida na expressao n-dimensional. Assumindo que o espaco-tempo 4-dimensional

e plano e que a dimensao extra e compacta. Temos as seguintes relacoes:

√

−g(4+n) = rn√

−g4 e R(4+n) = R4. (3.4)

Substituindo 3.4 em 3.2, temos

S4+n = −Mn+2∗

∫

dV rn∫

d4x√

−g4R4. (3.5)

O fator∫

dV rn e o volume da dimensao extra que e denotado por Vn. Assumindo a

compactificacao da dimensao extra como um toro Vn = (2πr)n . Temos entao,

S4+n = −Mn+2∗ Vn

∫

d4x√

−g4R4. (3.6)

Comparando 3.6 com 3.3, obtemos:

M2P l =Mn+2

∗ Vn =Mn+2∗ (2πr)n. (3.7)

Assumindo que os campos de gauge vivem na dimensao extra, podemos fazer um

procedimento parecido com o anterior para obtermos os acoplamentos de gauge. A acao

para campos de gauge em altas dimensoes pode ser escrita como

S(4+n) = −∫

d4+nx1

4g2∗FMNF

MN√

g(4+n). (3.8)

13

Onde g∗ e a constante de acoplamento dos campos de gauge em altas dimensoes. E

razoavel se pensar que a parte quadridimensional do Field-Strength esta inclusa no tensor

de altas dimensoes FMN . Fazendo novamente a integral na dimesnsao extra obtemos:

S4 = −∫

d4xVn4g2∗

FµνFµν√

−g4. (3.9)

Assim a relacao entre os acoplamentos dos gauges efetivos com os gauges em altas di-

mensoes e:

1

g2eff=Vng2∗. (3.10)

Vamos agora ver as consequencias de 3.7 e 3.10. Assumindo-se que a mesma Fısica

que da a intensidade do acoplamento gravitacional, tambem da o acoplamento de gauge,

g ∼ 1

Mn/2∗

. Dessa forma, temos

1

g24= VnM

n∗ ∼ rnMn

∗ (3.11)

M2P l = VnM

n+2∗ ∼ rnMn+2

∗ ,

isso nos leva a r ∼ 1MPl

. Dessa forma em uma teoria natural de altas dimensoes r ∼ 1MPl

.

Assim nao se tinha muita esperanca de encontrar evidencias de uma dimensao extra. Esse

era o pensamento que se tinha ate os anos 90. No entanto, esse resultado foi alcancado

considerando-se que todos os campos se propagam na dimensao extra. Se considerarmos

que os campos de gauge ficam localizados em uma hipersuperfıcie denominada brana,

podemos encontrar um tamanho maior para a dimensao extra.[9]

Se considerarmos que apenas a gravidade se propaga na dimensao extra, teremos um

valor maior para essa dimensao. Mas quao grande ela tem que ser? Considerando apenas

a gravidade se propagando na dimensao extra, teriamos uma nova Fısica apenas na escala

gravitacional. Assim as restricoes no tamanho da dimensao extra estariam ligadas as

medidas da gravidade.

A gravidade e muito difıcil de ser testada para distancias pequenas. Para grandes

distancias ela domina. Mas, a medida que vamos diminuindo a distancia ela vai perdendo

14

forca. Ate o presente momento ela so foi testada ate 0.1mm. Dessa forma a dimensao

extra tem que ser menor que isso uma vez que se ela fosse dessa ordem de grandeza ja

teriam encontrado evidencias dela.

Desde que temos a relacao M2P l ∼ Mn+2

∗ rn, se r > 1MPl

, a escala fundamental de

Planck M∗ seria reduzida para MP l. Quao baixo poderia M∗ ir? Se M∗ < 1TeV , isso

implicaria que a gravidade quantica devia ja ter detectado algum aspecto de dimensao

extra. Como nenhuma evidencia foi encontrada, tem-se que impor queM∗ ≥ 1TeV . Dessa

forma o valor mais baixo (maior valor possıvel para a dimensao extra) seria M∗ ∼ 1TeV .

Esse modelo e chamado de ”Modelo de Grandes Dimensoes Extras”e foi proposto por

Arkani-Hamed, Dimopoulus e Dvali (ADD).

3.2 O Modelo ADD

Quao grande seria o raio da dimensao extra se M∗ fosse da ordem de 1TeV ? Rever-

tendo a expressao M2P l ∼Mn+2

∗ rn. temos

1

r=M∗

(

M∗

MP l

) 2

n

= (1TeV )10−32

n , (3.12)

onde usamos M∗ ∼ 103GeV e MP l ∼ 1019GeV . Considerando que 1GeV −1 = 2x10−14cm,

obtemos r ∼ 2x10−17x1032

n cm.

Para n = 1 temos o absurdo resultado r = 2x1015cm, que claramente nao pode

ser possıvel. Para n = 2, obtem-se r = 2mm. Isso tambem nao seria possıvel pois o

experimento mais preciso realizado para a gravidade tem-se r ∼ 0, 2mm = 1012 1TeV

.

Para n > 2 o tamanho da dimensao extra e menor que 10−6cm, e isso pode ser um

tamanho possıvel para a dimensao extra. Assim para n ≥ 2 M∗ ∼ 1TeV e de fato uma

possibilidade que pode ser testada. SeM∗ fosse realmente da ordem de 1TeV nao existiria

Problema da Hierarquia. A interacao gravitacional seria mais fraca em 4-D porque ela se

dilui no grande volume da dimensao extra.

No modelo ADD sao consideradas 2 dimensoes extras compactadas em um 2-toro ou

2-esfera. Nesse modelo considera-se que os campos do modelo padrao estao localizados

15

na brana ate a ordem de energia da teoria (1TeV ). Acima dessa energia eles se propagam

para o Bulk (uma especie de volume 5-dimensional).

A largura da brana e dada por δ ∼ 1TeV

, de acordo com 3.12 r ∼ 1016TeV −1, uma

nova hierarquia surge. Agora nao mais uma hierarquia entre escalas de energia, mas sim

entre o tamanho da brana e o tamanho da dimensao extra.

3.3 O Universo Como Uma Parede de Domınio

Anteriormente falamos da materia ficar confinada em uma hipersuperfıcie denominada

de brana. Mas como e gerada essa brana? No capıtulo seguinte, onde falaremos do modelo

Randall- Sundrum, as branas sao colocadas a mao. Nao existe um processo que gere as

mesmas. No entanto, e possıvel gerar uma brana atraves de um campo escalar [10].

Consideremos um campo escalar φ = φ(xµ, z) cuja acao e dada por:

S =

∫

d4xdz

[

1

2

(

∂Aφ∂Aφ− V (φ)

)

]

. (3.13)

No intuito de obtermos uma solucao tipo kink, consideramos o seguinte potencial:

V (φ) =λ2

8(φ2 − v2)2. (3.14)

16

Figura 3.1: Potencial escalar em funcao do campo

Fonte: Adaptado Rubakov et al. [10].

Podemos observar que existem dois valores de menor energia φ = v e φ = −v. Para

φ = 0 temos um maximo instavel. Ao variarmos a acao 3.13, obtemos:

�5φ+dV (φ)

dφ= 0. (3.15)

Onde �5 = �− ∂2

∂z2,assim temos

�φ− ∂2φ

∂z2+λ2

2φ(φ2 − v2) = 0. (3.16)

Buscando obter uma solucao conhecida na literatura como parede de domınio, con-

sideramos uma solucao estacionaria e que dependa apenas da dimensao extra. Assim a

equacao de movimento reduz-se a:

−d2φ

dz2+λ2

2φ(φ2 − v2) = 0. (3.17)

A solucao para essa equacao tem a forma [7] :

φ(z) = tanh

(

λvz

2

)

. (3.18)

17

Graficamente temos:

Figura 3.2: Solucao do tipo parede de domınio

Fonte: Adaptado de Rubakov et al. [11].

Atente para o fato de que φ(z −→ −∞) = −v e φ(z −→ ∞) = v. E por isso que

essa solucao e conhecida como parede de domınio, porque ela separa os dois estados de

menor energia do campo. Ou seja, ela liga os dois estados fundamentais φ = v em z = ∞

e φ = −v em z = −∞. E comum tambem atribuir-se o nome de kink para essa solucao.

( um kink e um defeito topologico que separa dois espacos, cada um com um vacuo

diferente).

3.4 Densidade de Energia da Brana

Vamos agora ver qual e a densidade de energia desse kink. Seja H0 a Hamiltoniana ou

densidade de energia no 4-volume, podemos definir a densidade de energia no 3-volume

como:

σ =

∫ ∞

−∞

H0dz. (3.19)

18

Uma vez que H0 e a energia dividida por 4-volume.

Como e do nosso conhecimento, a hamiltoniana pode ser escrita da seguinte forma

H0 = πφ − L, onde π = ∂L∂φ

e o momento canonicamente conjugado a φ. Dessa forma,

temos para o campo escalar:

H0 =1

2(∂Aφ)

2 +λ2

8(φ2 − v2)2 (3.20)

observe que φ = v e φ = −v sao solucoes da equacao de movimento 3.17 com energia

zero, pois para essa solucao H0 = 0 . Considerando a solucao tipo kink para φ , 3.18

encontramos

H0 =1

4

λ2v4

cosh(λvz2), (3.21)

onde a representacao grafica e dada por:

Figura 3.3: Densidade de energia da parede de domınio localizada em z=0

Fonte: Adaptado de Alex et al. [7].

Dessa forma vemos que a energia esta concentrada em torno de z = 0. Quanto maior

for λ, maior a concentracao de energia e menor a expessura do kink. Podemos dizer que λ

e uma escala que pode ser entendida como o inverso da expessura da parede de domınio.

19

Agora que conhecemos H0 , podemos calcular a densidade de energia da parede de

domınio. De acordo com 3.19, temos:

σ =

∫ ∞

−∞

1

4

λ2v4

cosh(λvz2)dz =

2λv3

3. (3.22)

No limite λ −→ ∞ a expessura da parede de domınio vai a zero, isso se σ for mantido

constante. Nesse caso a parede de domınio da origem a uma estrutura denominada 3-

brana.

20

4. Modelo Randall-Sundrum Tipo I

Neste capıtulo estudamos o modelo Randall-Sundrum tipo I. Esse modelo foi criado

para resolver o problema da hierarquia, uma vez que o modelo ADD nao obteve sucesso.

Nesse modelo considera-se a existencia de uma dimensao extra, mas diferentemente do

modelo ADD, essa dimensao e compactada em um cırculo. Lisa Randall e Ramman

Sundrum propoem um fator de deformacao na metrica de Minkowski, e e justamente esse

fator que faz aparecer a hierarquia entre as escalas de energia.

4.1 A configuracao do Modelo

O modelo Randall Sundrum considera o espaco tempo com 5 dimensoes. Sendo quatro

do tipo espaco e uma do tipo tempo. Nesse modelo considera-se a existencia de duas p-

branas , onde p e o numero de coordenadas espaciais da brana, no nosso caso p = 3, e

uma dimensao temporal. Uma dessas branas e o nosso universo, enquanto que a outra e

um universo paralelo ao nosso. Esses dois universos possuem escalas de energia diferentes.

O primeiro estando na escala TeV e o segundo na escala GeV .

A dimensao extra e compactada em um cırculo [5] ver figura 4.1, parametrizada por

um angulo φ e com simetria (x, φ) → (x,−φ). Formalmente o modelo e construido no

S1/Z2 orbifold [12]. Onde S1 e a esfera unidimensional e Z2 e o grupo multiplicativo {1,–

1} [5]. Tomamos o domınio de φ como sendo de −π a π, mas a metrica fica completamente

definida se pegarmos apenas valores no intervalo 0 ≤ φ ≥ π. Os pontos fixos do orbifold

φ = 0 e φ = π sao os pontos onde estao localizadas as duas branas. De forma simples

podemos pensar essas branas como sendo as fronteiras do espaco tempo 5-dimensional

chamado de Bulk ver figura 4.2, com o nosso universo situado em φ = π e a outra brana

em φ = 0. Essas branas, caracterizadas por coordenadas xµ, suportam teorias de campos

(3 + 1) -dimensional. Dessa forma consideramos que os campos do modelo padrao estao

21

presos na brana localizada em φ = π e o unico campo que consegue se propagar na

dimensao extra e o campo gravitacional.

Figura 4.1: Simetria Orbifold

Fonte: Adaptado de Gabella et al. [5].

Figura 4.2: Setup do modelo Randall Sundrum


4.1.1 A metrica

O modelo e baseado na relatividade geral de Einstein, logo teremos que fazer uso das

ferramentas basicas dessa teoria. A primeira coisa que devemos ter em mente e: Qual e a

metrica que descreve esse modelo? Em um espaco tempo curvado, composto do tempo t,

22

a p-brana xi e a dimensao extra φ. A geometria do espaco-tempo curvado e descrito pela

metrica:

ds2 = gMNdxMdxN (4.1)

= gµνdxµdxν + 2gµφdx

µdφ+ gφφdφ2

= g00dt2 + 2g0idtdx

i + gijdxidxj + 2gµφdx

µdφ+ gφφdφ2

Onde os ındices Romanos maısculos (M,N, ..., p, p + 1) sao os ındices do Bulk (D =

p + 2), os ındices gregos (µ, ν, ... = 0, 1, ..., p) sao os ındices do espaco tempo da brana

e os ındices relacionados somente as coordenadas da membrana sao os ındices Romanos

minusculos (a, b, ...i, j, k, ..., p). A dimensao extra e transversa a brana.

Considera-se a metrtica como sendo diagonal. Ou seja, elementos da forma dxµdφ e

dtdxi sao eliminados. Isso se deve as simetrias que o modelo leva em consideracao. Termos

da forma dxµdφ sao eliminados devido a simetria orbifold, e termos da forma dtdxi sao

nulos devido as simetrias de reversao temporal (t→ −t) e espacial (xi → −xi).

Basicamente, vamos procurar solucoes para as equacoes de Einstein em 5D que estejam

de acordo com o mundo real. Ou seja, impomos que a metrica deve preservar a invariancia

de Poncare: O universo em 4D derivado dessa teoria deve ser plano e estatico. Isso nos

leva a propor um Ansatz para a metrica da forma:

ds2 = e−2σ(φ)ηµνdxµdxν + r2cdφ

2 (4.2)

Onde ηµν = dia(−1, 1, 1, 1) e a metrica de Minkowski. O fator exponencial e colocado

nessa metrica propositalmente. Veremos que ele e quem vai fazer com que surga a hie-

rarquia entre as escala TeV e GeV . Devido o fator exponencial depender da dimensao

extra, essa metrica e nao fatoravel. Ou seja, nao podemos escreve-la como um produto

da metrica de Minkowski com um manifold da dimensao extra.

23

As condicoes de contorno impostas sobre a metrica de fundo sao:

gvisµν ≡ gµν(xµ, φ = π) , gocuµν ≡ gµν(x

µ, φ = 0) (4.3)

Levando em consideracao a constante cosmologica em 5D Λ que, diferentemente da

constante cosmologica em 4D, nao precisa ser nula ou mesmo pequena. Vamos agora

mostrar qual a acao fundamental para esse modelo.

4.2 Acao e Equacoes de Movimento

A acao que descreve esse modelo satisfatoriamente e composta por tres partes: Uma

relativa a gravidade e outras duas referente as duas branas. Usamos os termos Svis e Socu

para representar as acoes nas branas visıvel e oculta, respectivamente.

S = Sgravidade + Svis + Socu (4.4)

Sgravidade =

∫

d4x

∫ π

−π

dφ√−g{−Λ + 2M3R}

Svis =

∫

d4x√−gvis{Lvis − Vvis}

Socu =

∫

d4x√−gocu{Locu − Vocu}

Para cada Lagrangeana na 3-brana temos um potencial de vacuo que funciona como

uma fonte de gravidade. O modelo foi inicialmente construido para a gravidade pura,

dessa forma nao vamos considerar que as branas possuam materia, logo Lvis = Locu = 0.

Usando o princıpio de Hamilton variamos a acao acima com relacao a metrica do Bulk.

Variando a acao gravitacional, obtemos:

δSgravidade =

∫

d4x

∫ π

−π

dφδgMN

(

Λ

2

√−ggMN + 2M3√−g

(

RMN − R

2gMN

))

(4.5)

24

A variacao das acoes nas branas visıvel e oculta tem como resultado:

δSvis = −∫

d4x

∫ π

−π

dφδgMN

(−1

2

√−gvisgvisµν δµMδ

νNVvis

)

δ (φ− π) (4.6)

δSocu = −∫

d4x

∫ π

−π

dφδgMN

(−1

2

√−gocugocuµν δµMδ

νNVocu

)

δ (φ)

Ao juntarmos as duas equacoes anteriores, obtemos a seguinte equacao de movimento:

√−g(

RMN − 1

2gMNR

)

= − 1

4M3[Λ√−ggMN + Vvis

√−gvisgvisµν δµMδ

νNδ (φ− π) + (4.7)

Vvis√−gvisgvisµν δ

µMδ

νNδ (φ)]

Essa e a equacao de Einstein 5-dimensional. O nosso objetivo agora e resolver essa

equacao usando o Ansatz para a metrica. A resolucao dessa equacao vai nos fornecer

a funcao σ(φ) que foi proposta na metrica. Esse fator de deformacao e o que vai ser

responsavel por gerar a hierarquia entre as duas escalas. O coeficiente rc presente na

merica e independente de φ , ele e o raio de compactificacao da dimensao extra. Usando

o nosso Ansatz para a metrica 4.2. Obtemos duas equacoes de movimento, uma referente

a dimensao extra e outra relacionada ao espaco 4-dimensional.

6σ′2

r2c=

−Λ

4M3, (4.8)

3σ′′

r2c=

Vocu4M3rc

δ(φ) +Vvis

4M3rcδ(φ− π). (4.9)

A solucao para a equacao 4.8 consistente com a simetria orbifold φ→ −φ e:

σ = rc |φ|√

−Λ

24M3(4.10)

,

Omitimos a constante aditiva que aparece por que ela pode ser englobada em um

rescalonamento de xµ. Claramente vemos que a solucao so faz sentido se Λ<0, o modelo

nao leva em consideracao solucoes oscilatorias. O espaco entre as duas branas e um trecho

25

da geometria AdS5. Basicamente esse e um espaco com constante cosmologica negativa.

Calculando a primeira e a segunda derivada dessa funcao obtemos:

σ′ = rcsng(φ)

√

−Λ

24M3(4.11)

σ′′ = 2rc

√

−Λ

24M3[δ(φ)− δ(φ− π)], (4.12)

substituindo 4.12 na 4.9 obtemos a seguinte relacao entre os pontenciais:

Vocu = −Vvis = 24M3k,Λ = −24M3k2, (4.13)

Onde M e um parametro de massa natural da quinta dimensao, Λ e a constante

cosmologica em 5-D e k e uma escala de energia da ordem da escala de Planck. Essas

relacoes entre os potenciais nas branas e o termo cosmologico do Bulk sao necessarios

para obter-se uma solucao que respeite a invariancia de Poincare em 4-D. Isso e tido na

teoria como um ”fine-Tunning”. Ou seja, sao termos colocados a mao no intuito de obter

um universo em 4-d estatico. Poderıamos escolher outros valores para Vvis e Vocu, sendo

perfeitamente possıvel obtermos um universo em 4-D nao plano. Apos substituirmos 4.10

em 4.2, obtemos nossa solucao final para a metrica do Bulk:

ds2 = e−2krc|φ|ηµνdxµdxν + r2cdφ

2. (4.14)

O raio de compactificacao rc e efetivamente uma constante de integracao nessa metrica.

4.3 Implicacoes Fısicas

Embora estejamos considerando uma dimensao extra em nosso modelo, evidencias

de dimensoes, alem das quatro que estamos adaptados, ainda nao foram encontradas

[12]. Portanto, precisamos ver quais as implicacoes Fısicas desse modelo. Em outras

palavras, quais os resultados que obtemos na teoria efetiva ao fazer a reducao dimensional?

Precisamos saber a relacao entre os parametros da teoria Fısica efetiva, de baixas energias

26

(TeV ), com os parametros associados com a quinta dimensao; M, k e rc.

O primeiro passo e encontrar flutuacoes sem massa em torno da nossa solucao 4.14.

Isso vai nos dar o campo gravitacional da nossa teoria efetiva[12]. Eles sao os modos-zero

dessa solucao e tem a forma:

ds2 = e−2kT (x)|φ|[ηµν + hµν(x)]dxµdxν + T 2(x)dφ2. (4.15)

Aqui, hµν representa flutuacoes tensoriais em torno do espaco de Minkowski e e chamado

de graviton na teoria efetiva em 4-D. Percceba que a metrica 4.15 e localmente igual a

metrica 4.14 , desde que qualquer metrica suave em 4-D,

gµν(x) ≡ ηµν + hµν(x), (4.16)

e localmente Minkokwskiana, enquanto que qualquer funcao real suave T (x) e localmente

constante.

O raio de compactificacao rc, e o valor esperado de vacuo do campo modular T (x).

Como em muitas teorias de dimensoes extras, e importante que o campo modular T (x)

seja estabilizado para um valor esperado de vacuo rc , com uma massa de pelo menos

10−4eV . Isso e um problema essencial da teoria; estabilizacao das distancias entre as duas

branas [13] [14]. Isso sera tratado com mais detalhes em um capıtulo seguinte.

Para entendermos se a supressao exponencial realmente e util para resolver o Pro-

blema da Hierarquia, precisamos saber como a escala efetiva da gravidade se comporta

com relacao a dimensao extra. Obtemos essa informacao ao analisarmos como a acao gra-

vitacional em 5-D contem a acao gravitacional em 4-D. Focamos no termo de curvatura,

pois com ele podemos obter a escala da interacao gravitacional. Substituindo 4.15 na

acao da gravidade e fazendo as mudancas necessarias na metrica, no seu determinante e

no tensor de Ricci: (gµν = ηµν + hµν , g = detgMN ,√−g = rce

−4krcφ√−g e R ⊃ e2krcφR)

obtemos:

Sefe ⊃∫

d4x

∫ π

−π

dφ2M3rce−2krc|φ|

√

−gR (4.17)

27

onde R e o tensor de Ricci 4-dimensional obtido apartir de gµν(x) , em contraste com

o tensor de Ricci R 5-dimensional, obtido de gMN(x, φ). Devido as flutuacoes em 4-D

nao dependerem de φ (os campos na teoria efetiva dependem apenas de x) , podemos

fazer a integracao explicita em φ e obtemos uma acao puramente 4-dimensional. Apos a

integracao em φ obtemos:

M2pl =

M3

k[1− e−2krcπ], (4.18)

este e um resultado importante.

Ele nos revela que a massa de Planck efetiva M2pl , depende fracamente de rc no limite

de grande krc. Embora a exponencial tenha um papel pouco importante na determinacao

da escala de Planck 4-dimensional, ela tem um papel muito importante na determinacao

do setor visıvel da massa.

Para determinar a lagrangeana dos campos de materia, precisamos saber o acopla-

mento dos campos nas 3-branas com os campos gravitacionais de baixa energia [12],

particularmente precisamos saber quem e gµν . Fazendo uma transformacao conforme na

metrica , temos:

gµν = e−2krcφgµν . (4.19)

E usando 4.3, obtemos:

gvisµν = e−2krcπgµν (4.20)

gvis = detgvisµν = e−8krcπg

√

−gvis =√

−e−8krcπg =√

−ge−4krcπ.

Vamos considerar um campo de Higgs fundamental, posssuindo a seguinte acao:

Svis ⊃∫

d4x√−gvis{gµνvisDµH

†DνH − λ(|H| − v20)2}, (4.21)

28

onde o parametro v0 e um parametro de massa. Fazendo uma renormalizacao na funcao

de onda H → ekrcπH e H† → ekrcπH† e utilizando as relacoes entre as metricas acima ,

obtemos:

Sefe ⊃∫

d4x√

−g{gµνDµH†DνH − λ(|H| − e−2krcπv20)

2}. (4.22)

Essa e a acao de um Higgs escalar normal , exceto pelo valor esperado de vacuo

(VeV) v2 = v20e−2krcπ que e exponencialmente suprimido. Como o (VeV) nos da todos os

parametros de massa no modelo padrao, isto significa que todos os parametros de massa

sao submetidos a uma supressao exponencial na segunda brana. Se o valor da massa do

Boson de Higgs e da ordem da escala de Planck, o boson de Higgs fısico pode ser suprimido

na escala TeV. Obtendo a seguinte massa Fısica:

m = m0e−krcπ (4.23)

A supressao exponencial pode ser melhor entendida fazendo-se a analise da figura:

Figura 4.3: A geracao de uma hierarquia exponencial


29

Em conclusao, podemos ver que em uma teoria onde todos os parametros da dimensao

extra (M ,Λ, Vocu, v ) sao determinados pela escala de planck, uma hierarquia exponencial

e gerada naturalmente entre a escala fraca e da gravidade. Dessa forma o modelo Randall

Sundrum fornece uma solucao original para o Problema da Hierarquia.

E importante notarmos que se tomarmos a segunda brana infinitamente distante da

segunda, a massa de Planck efetiva continua finita, veja 4.18. Isso nos revela que podemos

ter uma dimensao extra infinita e ainda continuamos a sentir a gravidade da maneira

normal. Dessa forma podemos dizer que a gravidade esta localizada em torno da brana em

φ = 0. Esse caso onde podemos considerar apenas uma brana, inicialmente, e conhecido

como modelo Randall Sundrum tipo II. A partir de agora voltaremos nossa atencao para

esse modelo.

30

5. Modelo Randall Sundrum Tipo II

O modelo Randall Sundrum tipo II lida, basicamente, com a gravidade. Veremos que

a gravidade como sentimos no nosso mundo e dada, quase que totalmente, pelo modo zero

de Kaluza-Klein (graviton). A contribuicao dos outros modos de K.K sao insignificantes,

pelo menos, para os experimentos que conseguimos realizar ate o momento. Veremos que

no limite Newtoniano, o modelo reproduz, em 4-D, o potencial Newtoniano. Mostrando

assim que o mesmo e consistente.

5.1 Modos Gravitacionais

Para entendermos como a gravidade funciona no modelo Randall Sundrum temos que

encontrar expressoes para os gravitons, que sao pequenas flutuacoes em torno da metrica

de fundo dada por:

ds2 = e−2k|y|ηµνdxµdxν + dy2, (5.1)

observe que fizemos a seguinte mudanca na metrica; dy = rcdφ e rc |φ| = |y|. As expressoes

explıcitas para o graviton serao encontradas atraves da solucao das equacoes de Einstein

linearizadas.

Por conveniencia, trabalharemos com uma metrica conformalmente plana ( proporci-

onal ao espaco plano). Para fazermos isso definimos uma nova variavel para a dimensao

extra, z, relacionada com y da seguinte forma:

dy2 ≡ e−2k|y|dz2, (5.2)

31

integrando essa equacao, obtemos como resultado:

e−2k|y| =1

(k |z|+ 1)2. (5.3)

Com essa nova coordenada a metrica e dada por

ds2 =1

(k |z|+ 1)2(ηµνdx

µdxν + dz2).

Para enfatizarmos o fato de a metrica ser conformalmente plana reescrevemo-a como

ds2 = e−2A(z)ηMNdxMdxN .

Usamos x5 = z e a funcao A(z) dada por:

e−2A(z) =1

(k |z|+ 1)2, (5.4)

e dessa forma A(z) = ln(k |z|+1). Como vamos precisar mais adiante, daremos a primeira

e a segunda derivada de A(z) :

A′(z) =sgn(z)k

k |z|+ 1(5.5)

e

A′′(z) =2k(δ(z)− δ(z − Lz))

k |z|+ 1− k2

(k |z|+ 1)2. (5.6)

5.2 Equacoes de Einstein Linearizadas

Para continuar nossos calculos vamos trabalhar com as equacoes de Einstein lineari-

zadas. Quando duas metricas estao relacionadas por uma transformacao conforme,veja

[15] por exemplo, gMN = e−2AgMN podemos usar a seguinte formula para os tensores de

32

Einsteins relacionados:

GMN(gMN) = G(gMN) + (n− 2)[∇MA∇NA+ ∇M∇NA− (5.7)

gMN(∇R∇RA− n− 3

2∇RA∇RA)],

onde n e o numero de dimensoes espaciais. Nesse caso a metrica perturbada tem a seguinte

forma

gMN = e−2A(ηMN + hMN) (5.8)

e n = 5, dessa forma o tensor de Einstein tem como resultado,

GMN = GMN + 3[∂MA∂NA+ ∂M∂NA− ΓRMN∂RA (5.9)

−gMN(∂R∂RA− ΓR

RS∂SA− ∂RA∂

RA)].

O simbolo de Christoffel de ordem linear e facilmente encontrado, basta aplicarmos

gNM = ηMN + hMN na sua forma tradicional, e encontramos:

ΓRMN =

1

2(∂Mh

RN + ∂Nh

RM − ∂RhMN), (5.10)

aqui usamos ηMN para levantar ındices. Para simplificar os calculos vamos trabalhar com

alguns gauges importantes. Sao eles: as flutuacoes nao tem componentes na dimensao

extra hM5 = 0, as flutuacoes que geram o graviton sao perpendiculares ao mesmo ∂µhµν =

0 e o traco dessas flutuacoes e nulo ηµνhµν = hµν = 0.

As flutuacoes em torno da metrica de Minkowski representam um tensor simetrico

5x5 , hMN . O mesmo possui 15 graus de liberdade. No entanto, levando em consideracao

os gauges acima ralatados, o numero de graus de liberdade das flutuacoes tensoriais se

reduz de 15 para 5. Ainda levando em consideracao esses gauges, o segundo sımbolo de

Christoffel em (5.9) anula-se. Enquanto que o primeiro se reduz a 12∂5hMN . Alem do

mais, o tensor de Eisntein para flutuacoes em torno da metrica plana veja [15], e dado

33

por :

GMN = −1

2∂R∂

RhMN . (5.11)

Nosso proximo passo e calcular a componente µν do tensor de Einstein linearizado.

Substituindo MN por µν, os simbolos de Christoffel e calculando as derivadas em (5.9) :

Gµν = −1

2∂R∂

Rhµν +3

2h′µνA

′ − 3(ηµν + hµν)(A′′ − A′2). (5.12)

Agora temos que calcular o outro lado da equacao de Einstein GMN = k2TMN . Ou

seja, temos que calcular o tensor de energia momento para a metrica pertubada. Tendo

atencao no fato de que o determinante da metrica induzida na brana esta relacionado com

o determinente da metrica completa por:

gMN = e−2AgMN (5.13)

g = e−2Agi

√−gi = eA√−g,

onde i = 1, 2 sao ındices referentes as duas branas. Os ındice 1 esta relacionado com a

brana oculta e o ıdice 2 com a brana visıvel. As acoes nas branas sao agora dadas por:

Socu = −∫

d4x√−geA(z)Vocu = −

∫

d4x

∫

dz√−geA(z)Vocuδ(z) (5.14)

Svis = −∫

d4x√−geA(z)Vvis = −

∫

d4x

∫

dz√−geA(z)Vvisδ(z − Lz).

Usando a definicao do tensor energia momento :

TMN = − 2√−gδSM

δgMN, (5.15)

34

podemos calcular os tensores de energia momento em cada brana. Sao eles:

T ocuµν = −eA(z)Vvisδ(z)gµν (5.16)

T visµν = −eA(z)Vocuδ(z − Lz)gµν .

Dessa forma, levando em consideracao a constante cosmologica Λ em 5-D, a segunda parte

da equacao de Eisntein e:

k2Tµν =1

4M3[−Λ− Vocue

A(z)δ(z)− VviseA(z)δ(z − Lz)]gµν . (5.17)

Lembrando das relacoes Vvis = −Vocu = 24M3k e Λ = −24M3k2 , bem como 5.5 , 5.6 e

5.8 temos:

k2Tµν = [6k2e−2A − Vvis4M3

e−A(δ(z)− δ(z − Lz))](ηµν + hµν) (5.18)

k2Tµν = [6A′2 − Vvis4M3

e−A(δ(z)− δ(z − Lz))](ηµν + hµν)

k2Tµν = 3(A′2 − A′′)(ηµν + hµν).

Juntando 5.12 com a equacao anterior:

−1

2∂R∂

Rhµν +3

2h′µνA

′(z) = 0. (5.19)

5.3 Equacao Tipo Schrodinger

Uma forma de resolver 5.19 e transformando-a numa equacao tipo Schrodinder. Para

fazermos isso temos que nos livrar das primeiras derivadas h′µν , atraves do seguinte rees-

calonamento:

hµν → eαAhµν , (5.20)

35

onde α e uma constante. Resolvendo a primeira parte da equacao 5.19 referente a ındices

da dimensao extra:

−1

2∂5∂

5hµν = −1

2eαA[αA′′hµν + 2αA′h′µν + α2A′2hµν + h′′µν ]. (5.21)

A parte relativa ao espaco tempo, ainda relacionado a primeira parte da equacao 5.19 e

dada por:

−1

2∂λ∂

λhµν = −1

2eαA∂λ∂

λhµν . (5.22)

O segundo termo de 5.19, fica

3

2h′µνA

′(z) =3

2eαA(αA′2hµν + h′µνA

′(z)). (5.23)

Juntando 5.21, 5.22 e 5.23 e apos algum algebrismo, chegamos em

−1

2∂R∂

R +

(

3

2− α

)

A′h′µν +

[(

3

2α− 1

2α2

)

A′2 − 1

2αA′′

]

hµν = 0 (5.24)

Escolhemos α = 32, de modo a anular h′µν , obtendo:

−1

2∂R∂

Rhµν +

[

9

8(A′)2 − 3

4A′′

]

hµν = 0 (5.25)

Fazemos agora uma reducao de Kaluza-Klein para quatro dimensoes. Para fazer isso,

precisamos aplicar uma separacao de variaveis. Escrevemos as flutuacoes gerais como uma

superposicao de modos :

hµν(x, z) =∞∑

n=0

hnµνψn(z), (5.26)

e fazendo a reducao chegamos nas duas equacoes:

�hnµν = m2nh

nµν (5.27)

36

e

−ψ′′n(z) +

[

9

4A′2(z)− 3

2A′′(z)

]

ψn(z) = m2nψn(z) (5.28)

A equacao 5.28 e uma equacao do tipo schrodinger com potencial dado por:

V (z) =15

4

k2

(k |z|+ 1)2− 3k(δ(z)− δ(z − Lz))

k |z|+ 1. (5.29)

O grafico do potencial de 5.29 tem a forma:

Figura 5.1: Potencial Gravitacional V (z)


As condicoes de contorno que as solucoes da equacao 5.28 vao obedecer, sao obtidas

integrando-se essa equacao para pequenos domınios em torno das branas. Para a brana

em z = 0 temos:

∫ 0+

0−

dz(−ψ′′n + V ψn) =

∫ 0+

0−

dzm2ψn

−ψ′n(0

+) + ψ′n(0

−)− 3kψn(0) = 0.

37

A funcao de onda tem que ser uma funcao par sob a transformacao z → −z, isso devido

a simetria orbifold. Dessa forma, a derivada primeira da funcao e ımpar: ψ′n(0

−) =

−ψ′n(0

+). A condicao de contorno na brana em z = 0 e entao:

ψ′n(0) = −3k

2ψn(0). (5.30)

De forma similar, chegamos a condicao de contorno na brana TeV :

ψ′n(Lz) = − 3k

2(kLz + 1)ψn(Lz). (5.31)

5.3.1 Modo-zero

O modo-zero e a solucao de uma equacao tipo Shcrodinger com mn = 0;

−ψ0 +

[

9

4A′2 − 3

2A′′

]

ψ0 = 0. (5.32)

Fazendo ψ0 = eλA e substituindo em 5.32, obtemos :

(

λ+3

2

)

A′′ + A′2

(

λ2− 9

4

)

= 0.

Isso nos mostra que λ = −32. Ou seja, ψ0(z) = e−

3

2A(z), ou ainda:

ψ0(z) = (k |z|+ 1)−3

2 . (5.33)

Vemos que o modo zero tem uma funcao de onda cujo pico ocorre em z = 0 [5]. Como

iremos ver, as interacoes gravitacionais sao mediadas predominatemente pelo modo-zero.

A gravidade e entao localizada na brana de Planck, enquanto que na brana TeV sentimos

apenas a ”cauda”dessa funcao de onda. Dessa forma, no modelo Randall-Sundrum, a

explicacao para a fraqueza da gravidade esta relacionada ao fato dela estar localizada

longe de onde vivemos. Isso contrasta com o modelo ADD, que explica a fraqueza da

gravidade devido ela se diluir no grande volume da dimensao extra.

Atraves de uma manipulacao simples podemos mostrar que o modo zero realmente e

38

localizado, veja figura abaixo. Para fazermos isso vamos considerar a acao de Einstein-

Hilbert em 5-D

∫

d5x√−gR, (5.34)

com o tensor de Ricci dado por sua forma linearizada R ∼ �h ∼ ηµν�hµν , e com as

devidas modificacoes no determinante da metrica devido a transformacao conforme.

O modo zero e normalizavel, isso significa que podemos fazer

∫ ∞

−∞

dz |ψ(z)|2<∞ (5.35)

∫

dze−3A

∫

d4xe−A√

−gηµν�hµν∫

dze−4A

∫

d4x√−gR.

Integrando na dimensao extra, obtemos:

∫ L

0

dze−4A =

∫ L

0

dze−4ln(k|z|+1) (5.36)

∫ L

0

dze−4A = −4

k{1 + (k |z|+ 1)[ln(k |z|+ 1)− 1]} .

Logo o graviton e localizado.

39

Figura 5.2: Localizacao do graviton em torno da brana de Planck


5.3.2 Modos Massivos

A funcao de onda para os modos massivos de KK e:

−ψ”n(z) +[

15

4

k2

(k |z|+ 1)2− 3k(δ(z)− δ(z − Lz))

k |z|+ 1

]

ψn(z) = m2nψn(z). (5.37)

Com excessao do modo zero, que tem energia zero, os outros modos de KK nao estao ne-

cessariamente localizados nas branas, dessa forma eles podem estar ao longo da dimensao

extra. Resolveremos agora a equacao 5.37 na regiao fora das branas.

Dessa forma a equacao 5.37, fica:

ψ′′n(z) +

(

m2n −

15k2

4(k |z|+ 1)2

)

ψn(z) = 0. (5.38)

Essa e uma equacao de bessel de segunda ordem, cuja solucao geral e dada por:

ψn(z) =

(

|z|+ 1

k

) 1

2

ζ2

[

mn

(

|z|+ 1

k

)]

. (5.39)

Onde ζ2 e combinacao linear das funcoes de Bessel de primeiro e segundo tipo. Logo nossa

40

solucao geral e dada por:

ψn(z) =

(

|z|+ 1

k

) 1

2{

anJ2

[

mn

(

|z|+ 1

k

)]

+ bnY2

[

mn

(

|z|+ 1

k

)]}

. (5.40)

Aqui an e bn sao coeficientes a serem determinados.

Para determinar esse coeficientes usamos os limites assintoticos de J2 e Y2 para peque-

nos valores de mn |z|, a condicao de contorno 5.30 e uma mudanca de variavel U = |z|+ 1k.

No limite assintotico para valores pequenos de mn |z| encontramos os valores de J2 e Y2

dados por:

J2

[

mn

(

|z|+ 1

k

)]

≈ m2n

8

(

|z|+ 1

k

)2

(5.41)

Y2

[

mn

(

|z|+ 1

k

)]

≈ − 1

π− 1

π

4

m2n

(

|z|+ 1k

)2 .

Com esses resultados e a mudanca de variavel U = |z|+ 1k, o que leva a dU

dz= sng(z),

e fazendo sng(z) = 1 , pois estamos considerando a regiao a direita da brana em y = 0,

encontramos os seguintes resultados para a funcao de onda e a derivada primeira dos

modos de KK :

ψn(z) =

(

|z|+ 1

k

) 1

2

{

anm2

n

8

(

|z|+ 1

k

)2

− bn

(

1

π+

1

π

4

m2n

(

|z|+ 1k

)2

)}

(5.42)

ψ′n(z) =

1

2

(

|z|+ 1

k

)− 1

2

{

anm2

n

8

(

|z|+ 1

k

)2

− bn

(

1

π+

1

π

4

m2n

(

|z|+ 1k

)2

)}

+ (5.43)

(

|z|+ 1

k

) 1

2

{

anm2

n

8

(

|z|+ 1

k

)

+ bn8

πm2n

1(

|z|+ 1k

)3

}

E usando a condicao de contorno 5.30, encontramos o seguinte valor para an:

an =4k2bnm2

nπ. (5.44)

41

Dessa forma ficamos com a funcao de onda dada por:

ψn(z) = Nn

(

|z|+ 1

k

) 1

2{

Y2

(

mn |z|+1

k

)

+4k2

m2nπJ2

[

mn

(

|z|+ 1

k

)]}

. (5.45)

Onde Nn e uma constante de normalizacao. Como kmn>1 o termo com J2 domina a

expressao da funcao de onda.

Usando a condicao de normalizacao∫ L

−L|ψ|2 dz = 1 , encontramos:

Nn =

√

π

2

πm5

2n

4k2√L. (5.46)

Dessa forma a aproximacao para a funcao de onda dos estados de KK no limite de grande

mn |z| e:

ψn(z) =cos(

mn |z| − 5π4

)

√L

. (5.47)

5.4 Espectro Gravitacional

Se considerarmos as duas branas, teremos duas condicoes de contorno. Dessa forma,

podemos quantizar as massas dos modos de KK. A derivada da funcao de onda 5.40, sem

considerar as aproximacoes feitas nos limites de grande e pequeno mn |z| e, de acordo com

[16], dada por:

ψ′n(z) = mn

(

|z|+ 1

k

) 1

2{

anJ1

[

mn

(

|z|+ 1

k

)]

+ bnY1

[

mn

(

|z|+ 1

k

)]}

+ (5.48)

−3

2

(

|z|+ 1

k

)− 1

2{

anJ2

[

mn

(

|z|+ 1

k

)]

+ bnY2

[

mn

(

|z|+ 1

k

)]}

.

Utilizando as condicoes de contorno 5.30 e 5.31, juntamente com a equacao acima,

obtemos a seguinte equacao:

J1

(mn

k

)

Y1

[

mn

(

|z|+ 1

k

)]

− Y1

(mn

k

)

J1

[

mn

(

|z|+ 1

k

)]

= 0. (5.49)

Voltando para a coordenada y, que efetivamente representa a distancia ao longo da di-

42

mensao extra, lembrando a equacao 5.4, temos:

z +1

k≈ ekz

k. (5.50)

Podemos escrever entao:

J1

[

mn

(

|z|+ 1

k

)]

≈ J1

(

mn

ekz

k

)

(5.51)

Y1

[

mn

(

|z|+ 1

k

)]

≈ Y1

(

mn

ekz

k

)

.

Na aproximacao para massas pequenas mn

k≪ 1, as funcoes de bessel do primeiro tipo

comportam-se, como:

J1

(mn

k

)

≈ mn

k(5.52)

Y1

(mn

k

)

≈ ln(mn

2k

) mn

k.

Numericamente −Y1(x) ≫ J1(x). Como mn

k≪ 1 o primeiro termo em 5.49 e nulo, e no

segundo, devido −Y1(x) ≫ J1(x) , temos que:

J1

[

mn

(

|z|+ 1

k

)]

= 0 (5.53)

J1

[

mn

ekL

k

]

= 0

Jn =mne

kL

k

mn = e−kLJnk

Onde Jn sao so zeros da funcao de bessel J1(Jn) = 0 .

Como k e um valor da ordem da escala de Plack, e o fator exp(−kL) na brana TeV

foi fixado para resolver o problema da hierarquia, as massas dos estados de KK sao da

ordem de TeV. Isso implica na possibilidade da observacao de ressonancias individuias

dos primeiros estados de KK em colisores de partıculas, em um futuro proximo.

43

5.5 Limite Newtoniano

Vamos verificar se as interacoes gravitacionais mediadas pelos modos gravitacionais

encontrados anteriormente estao de acordo com as leis de Newton. Para fazer isso, consi-

deramos um acoplamento mınimo da materia com a gravidade e procuramos valores para

as constantes de acoplamento.

A acao e composta por uma parte referente a gravidade, e uma parte devido as in-

teracoes entre a gravidade e a materia.

S = Sg +

∫

d4xdy√−gLM(Φ, gMN), (5.54)

onde Φ sao campos que residem na brana. Para pequenas perturbacoes em torno da

metrica de fundo:

gMN = e−2AηMN −→ g′MN = e−2A(ηMN + hMN). (5.55)

Expandimos a lagrangeana de materia em serie de Taylor ate primeira ordem;

LM(Φ, g′MN) = LM(Φ, gMN) + hµνδLM

δg′µν

∣

∣

∣

g′µν=gµν+O(h2). (5.56)

Usando a definicao do tensor de energia momento e a formula√

det(ηµν + hµν) = 1+ h2+

O(h2) onde h = gµνhµν e de 5.55 temos ;

√−g = e−A e√

−g′ = √−g[

1 +h

2+O(h2)

]

. (5.57)

Multiplicando ambos os lados de 5.57 pela lagrangiana de materia;

√

−g′L(Φ, g′MN) =√−g

[

LM(φ, gMN) + hµνδLM

δg′µν+h

2LM(Φ, gMN)

]

+O(h2). (5.58)

Utilizando o tensor energia momento chegamos ao resultado:

√

−g′L(Φ, g′MN) =√−g

[

LM(φ, gMN)−1

2hµνT

µν

]

. (5.59)

44

Aqui utilizamos o seguinte resultado em 5.59:

−1

2hµνT

µν = −1

2hµν

(

−LMgµν − 2δLM

δgµν

)

(5.60)

−1

2hµνT

µν =LMh

2+ hµν

δLM

δgµν

O termo de acoplamento da gravidade com a materia e hµνTµν . Fazendo uma decom-

posicao de KK, reescalonado o modo zero e acrescentando o termo da gravidade massiva

(gravidade de Pauli Fierz), gravidade devida aos modos massivos de KK. temos:

L(Φ, g′MN) = LM(Φ, gMN) +M3∑

n

LPF (hnµν(x))−

∑

n

e3

2Aψn(z)

2hnµν(x)T

µν . (5.61)

Fazendo uma redefinicao no campo, com o intuito de obter a constante de Newton corre-

tamente;

hnµν(x) −→1√M3

hnµν(x), (5.62)

obtemos:

LM(Φ, g) = LM(Φ, η) +M3∑

LPF (hnµν(x))−

∑ e3

2Aψn(z)

2√M3

hnµν(x)Tµν . (5.63)

De onde podemos tirar a constante de acoplamento da gravidade com a materia:

an =e

3

2Aψn(z)

2√M3

. (5.64)

Podemos agora calcular o potencial gravitacional entre duas partıculas com unidade

de massa na brana TeV. Isso e o potencial estatico gerado pela troca do modo zero e

dos modos massivos de KK. Como no caso da interacao Yukawa, criada para descrever as

interacoes nucleares entre protons e neutrons devido a troca de pıons. [17], este potencial

e dado por:

V (r) = −∞∑

n=0

a2n4π

e−mnr

r. (5.65)

45

Utilizando a equacao anterior, 5.64 e 5.33 podemos chegar na expressao para o poten-

cial devido o modo zero;

V0(r) = −Gn

r. (5.66)

Onde Gn e a constante de Newton, isso reproduz a gravidade em 4-D. Com a ajuda da

nossa aproximacao para a funcao de onda para os modos massivos de KK 5.47. temos

que o potencial mediado pelo nth graviton massivo na brana TeV e:

Vn(r) = −GN

rk3L2

zcos2(mn |Lz| −

5π

4)e−mnr. (5.67)

Para distancias da ordem 10−13 essa contribuicao ja se torna negligenciavel. para

identificarmos essa contribuicao na gravidade devido aos modos massivos, precisamos de

uma energia muito grande. Experimentos gravitacionais chegam a 1mm. Em conclusao,

a gravidade no modelo RS corresponde efetivamente a contribuicao do modo zero.

46

6. Estabilizacao do Raio da Dimensao Extra

Neste capıtulo trataremos de um dos problemas que surgem no modelo Randall Sun-

drum; a distancia entre as branas. O tamanho da dimensao extra e escolhido convenien-

temente para resolver o problema da hierarquia. Aqui apresentamos um mecanismo, no

qual o tamanho da dimensao extra e fixado dinamicamente.

6.1 Mecanismo de Goldberger Wise

Tratamos ate agora o raio da dimensao extra como um parametro. Ou seja, escolhemos

isso apropriadamente para resolver o problema da hierarquia. Isso gera alguns problemas.

Como o raio da dimensao extra nao e fixado dinamicamente, ele flutua, isso gera um

campo escalar sem massa na teoria efetiva [9]. Como os campos escalares na teoria efetiva

que conhecemos sao todos massivos, isto gera uma inconsistencia no modelo. Dessa forma

o raio da dimensao extra tem que ser estabilizado com o intuito de gerar um campo escalar

massivo na teoria efetiva.

A maneira mais simples e elegante de estabilizar o raio foi proposta por Goldenberg

Wise [13], e e conhecido como Mecanismo de Goldenberger Wise (GW). Se queremos

estabilizar o raio de maneira nao arbritaria, temos que fazer isso dinamicamente.

Suponhamos que existem diferentes forcas. Sendo que algumas delas forcam o raio

a ser muito grande, enquanto que outras forcam ele a ser muito pequeno. Espera-se

que essas forcas estabilizem-se em um certo valor, e dessa forma podemos encontrar um

mınimo estavel para o raio.

O mecanismo proposto por GW usa um campo escalar que se propaga ao longo da

dimensao extra. Em cada brana que limita a quinta dimensao existe um potencial para

este campo escalar. O mınimo para esses potenciais na brana TeV e na brana GeV sao

diferentes. Isso faz com que o valor esperado de vacuo do campo escalar mude ao longo

47

da quinta dimensao. Essa configuracao gera um potencial para o radion (como e chamado

o raio da dimensao extra) fazendo com que ele tenha massa.

Para descrever o mecanismo de GW com detalhes precisamos de um formalismo para

teorias com campos escalares no Bulk [18]. Isso se explica devido ao fato de que a reacao

da metrica a presenca do campo escalar no Bulk vai ser importante, dessa forma podemos

resolver as equacoes de Einstein e a equacao do campo escalar simultaneamente com o

intuito de termos controle sobre a reacao da metrica ao campo escalar do Bulk. No modelo

original de Goldberger Wise ele nao descreve essa reacao da metrica a presenca do campo

escalar.

6.2 Acao Proposta e equacoes de movimento

Chamando o campo escalar do Bulk de φ e considerando a seguinte acao:

S =

∫

d4xdy√−g

[

M3R− 1

2∂Mφ∂

Mφ− V (φ)− λp(φ)δ(y)− λT (φ).δ(y − L)

]

(6.1)

Onde λP e λT representam as tensoes nas branas de Planck e TeV, respectivamente.

Variamos essa acao com relacao a φ e dessa forma obtemos a equacao de movimento para

o campo escalar φ ;

1√−g∂M(√−ggMN∂Nφ) =

∂V (φ)

∂φ+∂λP (φ)

∂φδ(y) +

∂λT (φ)

∂φδ(y − L). (6.2)

A unica componente que nao se anula e a componente 55. E dessa forma obtemos:

φ′′ − 4A′φ′ =

∂V (φ)

∂φ+∂λP (φ)

∂φδ(y) +

∂λT (φ)

∂φδ(y − L). (6.3)

Para obtermos os tensores de energia momento, variamos a acao de materia:

Smat =

∫

d4xdy√−g

(

−1

2∂Mφ∂

Mφ− Vtot(φ)

)

. (6.4)

48

Variando essa acao com relacao a metrica obtemos:

δSmat = −1

2

∫

d4xdy√−gδgij

[

∂Mφ∂NφδMi δ

Nj − gij

(

1

2gMN∂Mφ∂Nφ+ Vtot(φ)

)]

. (6.5)

Comparando com a forma geral da variacao de uma acao de materia obtemos o tensor de

energia momento:

Tij = ∂iφ∂jφ− gij

(

1

2gMN∂Mφ∂Nφ+ Vtot(φ)

)

. (6.6)

De acordo com [18], consideramos o campo dependendo apenas da dimensao extra

φ = φ(y). Dessa forma obtemos os seguintes tensores de energia momento:

Tµν = −gµν(

1

2∂Mφ∂

Mφ+ Vtot(φ)

)

e T55 =(φ′)2

2− V (φ). (6.7)

Utilizando as equacoes de Einstein Gµν e G55 , obtemos:

A′2 =k2φ′2

12− k2V (φ)

6(6.8)

e

A′′ =k2

3φ′2 +

k2

3(λP (φ)δ(y) + λT (φ)δ(y − L)) . (6.9)

Integrando as equacoes 6.3 e 6.9 e usando a conservacao do tensor energia momento,

obtemos as seguintes condicoes de contorno:

A′∣

∣

∣

y+i

y−i

=k2

3λi(φ) (6.10)

e

φ′∣

∣

∣

y+i

y−i

=∂λi(φ)

∂φ. (6.11)

49

6.3 O sistema gravidade-escalar

As equacoes 6.3, 6.8 e 6.9 juntamente com as condicoes de contorno 6.10 e 6.11, formam

o sistema gravidade-escalar. Essas equacoes sao equacoes de segunda ordem nao-lineares

difıceis de serem resolvidas. No entanto, para potenciais especıficos da forma:

V (φ) =1

8

(

∂W

∂φ

)2

− κ2

6W (φ)2, (6.12)

ela se tornam faceis de serem resolvidas.

Potenciais dessa forma ocorrem em supergravidade. Com essa escolha de potencial

podemos ter equacoes de primeira ordem em φ e A, que sao faceis de serem resolvidas.

De 6.8 podemos isolar V (φ) e comparando com 6.12 obtemos:

φ′ =1

2

∂W

∂φe A′ =

k2

6W (φ). (6.13)

Dessa forma as condicoes de contorno ficam:

1

2

∂W

∂φ

∣

∣

∣

i=∂λi(φ)

∂φ(6.14)

e

1

2W (φ)

∣

∣

∣

i= λi(φ). (6.15)

Precisamos saber quem e W (φ). Podemos escolher um W (φ) que produz um V (φ)

com as propriedades necessarias que sao: potencial no Bulk com constante cosmologica

independente de φ e um termo de massa quadratico em φ . Assim W (φ) tem a seguinte

forma:

W (φ) =6k

κ2− uφ2. (6.16)

A metrica e uma funcao par de y, se tentarmos resolver as equacoes na geometria S1

Z2, A(y)

tem que ser par, logo A′(y) e ımpar. Nas equacoes anteriores temos que em uma delas

A′(y) e proporcional a W , isso significa que W tem que ser ımpar nas branas.

Para satisfazer a condicao de contorno 6.14, escolhemos os potenciais das branas da

50

seguinte froma:

λ(φ)± = ±W (φ). (6.17)

Onde φ± sao os valores do campo escalar nas branas. Denotamos φ+ = φp e φ− = φT .

Encontramos a solucao para φ usando a equacao 6.13, o resultado que obtemos e:

φT = φP e−ur. (6.18)

Consequentemente o valor de r e:

r =1

uln

(

φP

φT

)

. (6.19)

Dessa forma o valor de r e determinado pelas equacoes de movimento, e nao mais de forma

arbritaria. Usando a segunda equacao em 6.13, obtemos a reacao da metrica devido o

campo;

A(y) = ky +k2

12φ2P e

−2uy. (6.20)

O primeiro termo e o termo usual de deformacao do RS. Enquanto que o segundo e a

reacao da metrica ao campo escalar massivo.

Os valores de φP e φT sao determinados pelo Bulk e pelos potenciais nas branas, entao

φP

φTe um valor fixo. Como queremos gerar a hierarquia entre as escalas TeV e GeV temos

que ter certeza que kr ∼ 30 , assim:

30 ∼ k

uln

(

φP

φT

)

. (6.21)

kue pequeno, mas nao exponencialmente pequeno. Isso porque φP e φT sao da mesma

ordem.

51

7. CONCLUSOES E PERSPECTIVAS

Neste trabalho vimos alguns modelos de dimensoes extras com enfase aos modelos de

Randall Sundrum. Vimos que o primeiro trabalho que apresentava o conceito de dimensoes

extras foi apresentado por Kaluza-Klein. O intuito de KK em propor uma nova dimensao

para o espaco era a unificacao do eletromagnetismo com a gravidade. As ideias deles

eram boas, mas a teoria apresentava inconsistencias. Uma de suas inconsistencias foi

a escala de energia proposta na teoria. Isto implicava em um tamanho muito pequeno

para a dimensao extra. No entanto, o modelo inspirou o surgimento de novos modelos de

dimensoes extras, como o modelo ADD e o modelo de Rubakov.

No modelo ADD sao propostas duas dimensoes extras compactificadas em um 2-toro

ou 2-esfera. O modelo conseguiu explicar o problema da hierarquia, mas fez isso a custo

da introducao de uma nova hierarquia; a hierarquia entre o tamanho esperado para a

dimensao extra (comprimento de Planck) e o tamanho encontrado por ele. Tambem

vimos um pouco do modelo de Rubakov. Nesse modelo ele explica como gerar uma brana

atraves de uma solucao tipo kink para as equacoes de movimento de um campo escalar

que depende da dimensao extra.

Em seguida fizemos uma revisao dos modelos Randall Sundrum tipos I e II. Mostramos

a configuracao do modelo tipo I em que tem como objetivo a solucao do problema da

hierarquia. Apresentamos a metrica do modelo e suas implicacoes fısicas. No tipo II

fizemos detalhamente como e o comportamento da gravidade. Vimos que a mesma e obtida

da teoria atraves de pequenas pertubacoes na metrica de Minkowski. Essas pequenas

pertubacoes sao os gravitons. Os gravitons sao decompostos no modo zero (responsavel

pela interacao gravitacional em baixas energias) e nos modos massivos de Kaluza Klein

que contribuem muito pouco para a gravidade, pelo menos na escala de energia em que se

pode testa-la atualmente. Esses modos massivos de KK tambem podem ser interpretados

52

como diferentes partıculas na teoria efetiva, e a deteccao das mesmas pode ser encarada

como evidencia de dimensoes extras.

Por fim, vimos a estabilizacao do raio da dimensao extra. Esse problema surge no

modelo Randall Sundrum devido o fato de o tamnho da dimensao extra ser escolhida

arbitrariamente. Isso gera um campo escalar nao massivo na teoria efetiva. Logo o raio

da dimensao extra tem que ser estabilizado de forma dinamica. Uma proposta para essa

estabilizacao foi o mecanismo de Goldberger Wise. Ele propos um campo escalar massivo

no Bulk, que se propaga ao longo da dimensao extra. Esse campo tem diferentes mınimos

nas branas, esses dois mınimos se balanceiam e fazem com que a distancia entre as branas

assumam um valor estabilizado.

Como perspectiva futura buscamos fazer a localizacao de campos nos modelos de bra-

nas. Focaremos na localizacao dos campos de gauge, em especial o campo eletromagnetico.

A localizacao desses campos de gauge no modelo Randall Sundrum e um problema. Pro-

postas de solucao para esse problema ja existem na literatura, mas todas apresentam

algum defeito. Tentaremos propor uma solucao que nao apresente falhas.

53

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Modelos de Randall Sundrum e Estabilizac¸˜ao do Raio da ...

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