Modelos de mecanica quˆ anticaˆ baseados em calculo ...professor.ufabc.edu.br/~nelson.faustino/Pesquisa/Slides/NelsonPos... · Modelos de mecˆanica quanticaˆ Nelson Faustino Comec¸ando

Modelos demecanicaquantica

Nelson Faustino

Comecandopelas Equacoesde Maxwell

Passando aoOsciladorHarmonicoQuantico

Simetrias emtermos desuperalgebras deLie

Conexao comEstatısticaBayesiana

Modelos de mecanica quanticabaseados em calculo multivetorial

e estatıstica Bayesiana

Nelson Faustino

Centro de Matematica, Computacao e Cognicao, UFABC

[email protected]

Seminario da POSMAT da UFABC, 27 de fevereiro de 2018

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Nelson Faustino





1 Comecando pelas Equacoes de Maxwell

2 Passando ao Oscilador Harmonico Quantico

3 Simetrias em termos de superalgebras de Lie

4 Conexao com Estatıstica Bayesiana

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Nelson Faustino





Na figura abaixoEstatua em homenagem a Paul A.M. Dirac, Florida State University

”Negative energies and probabilities should not be considered asnonsense. They are well-defined concepts mathematically, like anegative of money, since the equations which express the importantproperties of energies and probabilities can still be used when they arenegative.”Paul A.M. Dirac, Bakerian Lecture. The Physical Interpretation ofQuantum Mechanics (1942)

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Nelson Faustino





Equacoes de MaxwellLeis fundamentais

Lei de Faraday: rot−→E = −iω

−→B

Lei de Ampere:rot−→H = iω

−→F +

−→J

Leis Materiais:−→F = ε(x)

−→E e

−→B = µ(x)

−→H .

Lei de Ohm:−→J = σ

−→E +

−→J 0

Campos de vectoriais com apropriedade solenoidal (i.e.divergencia nula):div−→E = 0 = div

−→H

Figure: Se−→E e−→J sao ortogonais,

pode-se verificar que para estes doiscampos de vectores existe uma variacaosinusoidal de amplitude.

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Nelson Faustino







−→B


−→F +

−→J


−→E e

−→B = µ(x)

−→H .


−→E +

−→J 0


−→H



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Nelson Faustino







−→B


−→F +

−→J


−→E e

−→B = µ(x)

−→H .


−→E +

−→J 0


−→H



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Nelson Faustino







−→B


−→F +

−→J


−→E e

−→B = µ(x)

−→H .


−→E +

−→J 0


−→H



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Nelson Faustino







−→B


−→F +

−→J


−→E e

−→B = µ(x)

−→H .


−→E +

−→J 0


−→H



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−→B


−→F +

−→J


−→E e

−→B = µ(x)

−→H .


−→E +

−→J 0


−→H



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Nelson Faustino







−→B


−→F +

−→J


−→E e

−→B = µ(x)

−→H .


−→E +

−→J 0


−→H



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Nelson Faustino







−→B


−→F +

−→J


−→E e

−→B = µ(x)

−→H .


−→E +

−→J 0


−→H



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Nelson Faustino






Abordagem usando formas diferencias: Oferece-nos uma orientacaoinestimavel para a discretizacao das equacoes de Maxwell.

Correspondencia entre campos de vectores e formasdiferenciais: rot→ d e div→ −d∗

Leis Topologicas: d−→B = 0 = d(iω

−→F +

−→J )

Leis Materiais:∫

Ω

−→B ∧−→E ′ = aε(

−→E ,−→E ′) and∫

Ω

−→H ∧−→B ′ = a1/µ(

−→B ,−→B ′)

Vantagem desta abordagem: Teoria discreta de cohomologia emcomplexos celulares (i.e. simplexes) garantem que as propriedadesestructurais essenciais das leis topologicas sao preservadas.

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Nelson Faustino









−→F +

−→J )

Leis Materiais:∫

Ω

−→B ∧−→E ′ = aε(

−→E ,−→E ′) and∫

Ω

−→H ∧−→B ′ = a1/µ(

−→B ,−→B ′)


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−→F +

−→J )

Leis Materiais:∫

Ω

−→B ∧−→E ′ = aε(

−→E ,−→E ′) and∫

Ω

−→H ∧−→B ′ = a1/µ(

−→B ,−→B ′)


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−→F +

−→J )

Leis Materiais:∫

Ω

−→B ∧−→E ′ = aε(

−→E ,−→E ′) and∫

Ω

−→H ∧−→B ′ = a1/µ(

−→B ,−→B ′)


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−→F +

−→J )

Leis Materiais:∫

Ω

−→B ∧−→E ′ = aε(

−→E ,−→E ′) and∫

Ω

−→H ∧−→B ′ = a1/µ(

−→B ,−→B ′)


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Nelson Faustino





Modelo Fısico

Equacao de Schrodinger Estacionaria

n∑j=1

− 12m

(aj )2F (x) +

n∑j=1

mω2

2(a†j )2F (x) = εF (x).

m - massa

ω- frequencia1

2m (aj )2 - termo energia cinetica

mω2

2 (a†j )2- termo energia potencial

ε - nıveis de energia (autovalores)

F (x)- estados proprios de energia (autovetores)

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Nelson Faustino





Modelo Fısico


n∑j=1

− 12m

(aj )2F (x) +

n∑j=1

mω2

2(a†j )2F (x) = εF (x).

m - massa

ω- frequencia1


mω2




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Nelson Faustino





Modelo Fısico


n∑j=1

− 12m

(aj )2F (x) +

n∑j=1

mω2

2(a†j )2F (x) = εF (x).

m - massa

ω- frequencia1


mω2




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Nelson Faustino





Modelo Fısico


n∑j=1

− 12m

(aj )2F (x) +

n∑j=1

mω2

2(a†j )2F (x) = εF (x).

m - massa

ω- frequencia1


mω2




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Modelo Fısico


n∑j=1

− 12m

(aj )2F (x) +

n∑j=1

mω2

2(a†j )2F (x) = εF (x).

m - massa

ω- frequencia1


mω2




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Nelson Faustino





Modelo Fısico


n∑j=1

− 12m

(aj )2F (x) +

n∑j=1

mω2

2(a†j )2F (x) = εF (x).

m - massa

ω- frequencia1


mω2




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Nelson Faustino





Modelo Fısico


n∑j=1

− 12m

(aj )2F (x) +

n∑j=1

mω2

2(a†j )2F (x) = εF (x).

m - massa

ω- frequencia1


mω2




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Nelson Faustino





Solucao da Equacao de Schrodinger

Fatoracao do Oscilador Harmonico

H =n∑

j=1

− 12m

(aj )2 +

n∑j=1

mω2

2(a†j )2

Operadores escada: a±j =√

mω2

(a†j ∓

1mωaj

). Estes operadores

permitem-nos obter a seguinte fatoracao:

H =12

n∑j=1

(a+

j a−j + a+j a−j

).

Simetrias de Heisenberg-Weyl: Conjunto de relacoes decomutacao

[a+j , a

+k ] = [a−j , a

−k ] = 0, [a−j , a

+k ] = δjk id.

Daqui resulta que H =n∑

j=1

a+j a−j +

n2

id.

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Nelson Faustino







H =n∑

j=1

− 12m

(aj )2 +

n∑j=1

mω2

2(a†j )2


mω2

(a†j ∓

1mωaj

). Estes operadores


H =12

n∑j=1

(a+

j a−j + a+j a−j

).


[a+j , a

+k ] = [a−j , a

−k ] = 0, [a−j , a

+k ] = δjk id.


j=1

a+j a−j +

n2

id.

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H =n∑

j=1

− 12m

(aj )2 +

n∑j=1

mω2

2(a†j )2


mω2

(a†j ∓

1mωaj

). Estes operadores


H =12

n∑j=1

(a+

j a−j + a+j a−j

).


[a+j , a

+k ] = [a−j , a

−k ] = 0, [a−j , a

+k ] = δjk id.


j=1

a+j a−j +

n2

id.

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Teoria Quantica de Campos (QFT)

Solucoes exatas da equacao de Schrodinger estacionaria podem serdeterminadas com base no segundo princıpio de quantizacao (tambemconhecido por quantizacao bosonica).

Espaco de Fock: Espacovetorial (F , 〈·|·〉) que satisfazos seguintes axiomas:

1 F : Algebra livre, geradaa partir dos geradorescanonicos a−j e a+

j , apartir do vetor de vacuoΦ tal que a−j Φ = 0.

2 〈·|·〉: Produto interno emF tal que 〈Φ|Φ〉 = 1 e a+

jseja o operador adjuntode a−j , i.e.〈a+

j x |y〉 = 〈x |a−j y〉.

Algebra de bosons: Espaco de Fock Fcujos geradores a+

j a−j satisfazem asrelacoes de comutacao, associadas aalgebra de Weyl-Heisenberg.

Lemma basico de QFT: Os vetores daforma

ηα :=

n∏j=1

(a†j )αj

Φ

formam uma base ortogonal em F .

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j x |y〉 = 〈x |a−j y〉.




ηα :=

n∏j=1

(a†j )αj

Φ


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j x |y〉 = 〈x |a−j y〉.




ηα :=

n∏j=1

(a†j )αj

Φ


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j x |y〉 = 〈x |a−j y〉.




ηα :=

n∏j=1

(a†j )αj

Φ


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j x |y〉 = 〈x |a−j y〉.




ηα :=

n∏j=1

(a†j )αj

Φ


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j x |y〉 = 〈x |a−j y〉.




ηα :=

n∏j=1

(a†j )αj

Φ


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Nelson Faustino












j x |y〉 = 〈x |a−j y〉.




ηα :=

n∏j=1

(a†j )αj

Φ


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j x |y〉 = 〈x |a−j y〉.




ηα :=

n∏j=1

(a†j )αj

Φ


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ExemplosAnel dos polinomios induzido por Rn

Monomios x = (x1, x2, . . . , xn) ∈ Rn:

xα = xα11 xα2

2 . . . xαnn

Anel R[x ]: Cada P(x) ∈ R[x ] e uma combinacao linear de xα’s.Polinomios de grau k sao todas as combinacoes lineares de xα’stais que |α| := α1 + α2 + . . .+ αn = k .Derivadas multi-ındice para ∂x := (∂x1 , ∂x2 , . . . , ∂xn ):

∂αx := ∂α1x1 ∂

α2x2 . . . ∂

αnxn ∈ End(R[x ]).

Propriedade: Para |α| > |β| obtemos

(∂x )βxα =α!

(α− β)!xα−β

Produto escalar:

〈P,Q〉 = [P(∂x )Q(x)]x=0

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xα = xα11 xα2

2 . . . xαnn


∂αx := ∂α1x1 ∂

α2x2 . . . ∂



(∂x )βxα =α!

(α− β)!xα−β

Produto escalar:

〈P,Q〉 = [P(∂x )Q(x)]x=0

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Nelson Faustino







xα = xα11 xα2

2 . . . xαnn


∂αx := ∂α1x1 ∂

α2x2 . . . ∂



(∂x )βxα =α!

(α− β)!xα−β

Produto escalar:

〈P,Q〉 = [P(∂x )Q(x)]x=0

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Nelson Faustino







xα = xα11 xα2

2 . . . xαnn


∂αx := ∂α1x1 ∂

α2x2 . . . ∂



(∂x )βxα =α!

(α− β)!xα−β

Produto escalar:

〈P,Q〉 = [P(∂x )Q(x)]x=0

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Nelson Faustino







xα = xα11 xα2

2 . . . xαnn


∂αx := ∂α1x1 ∂

α2x2 . . . ∂



(∂x )βxα =α!

(α− β)!xα−β

Produto escalar:

〈P,Q〉 = [P(∂x )Q(x)]x=0

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ExemplosFuncoes de Hermite em L2(Rn)

Produto interno em Rn:

〈f , g〉 =

∫Rn

f (x)g(x)dx

Distribuicao Normal N(0,1)– Funcao Gaussiana

Φ(x) = π−n4 e−

|x|22 satisfaz 〈Φ,Φ〉 = 1 & 1√

2(xj + ∂xj )Φ(x) = 0.

Usando integracao por partes– Operadores da formaa−j = 1√

2(xj + ∂xj ) e a+

j = 1√2

(xj − ∂xj ) (geradores da algebra deWeyl-Heisenberg) satisfazem 〈a−j f , g〉 = 〈f , a+

j g〉.

Base ortogonal de L2(Rn)– As funcoes geradas pela formula

operatorial ηα(x) =

n∏j=1

2−αj2(xj − ∂xj

)αj

Φ(x) correspondem as

funcoes de Hermite de ordem |α|.

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〈f , g〉 =

∫Rn

f (x)g(x)dx


Φ(x) = π−n4 e−

|x|22 satisfaz 〈Φ,Φ〉 = 1 & 1√

2(xj + ∂xj )Φ(x) = 0.


2(xj + ∂xj ) e a+

j = 1√2


j g〉.



n∏j=1


)αj



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Nelson Faustino







〈f , g〉 =

∫Rn

f (x)g(x)dx


Φ(x) = π−n4 e−

|x|22 satisfaz 〈Φ,Φ〉 = 1 & 1√

2(xj + ∂xj )Φ(x) = 0.


2(xj + ∂xj ) e a+

j = 1√2


j g〉.



n∏j=1


)αj



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Nelson Faustino







〈f , g〉 =

∫Rn

f (x)g(x)dx


Φ(x) = π−n4 e−

|x|22 satisfaz 〈Φ,Φ〉 = 1 & 1√

2(xj + ∂xj )Φ(x) = 0.


2(xj + ∂xj ) e a+

j = 1√2


j g〉.



n∏j=1


)αj



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Nelson Faustino





Nıveis de LandauOscilador Harmonico descrito em termos de simetrias de Weyl-Heisenberg

O Hamiltoniano12

(−∆ + |x |2

)=

n∑j=1

(−1

2∂2

xj+

12

x2j

)satisfaz as

seguintes propriedades:

Fatoracao:12

(−∆ + |x |2

)=

n∑j=1

(xj − ∂xj )(xj + ∂xj ) +n2

.

Espectro: Para |α| = k , ε = k + n2

sao os autovalores de12

(−∆ + |x |2

)associados aos

autovetores ηα(x).

Energia mınima: A menor energiade − 1

2 ∆ + 12 |x |

2 (igual a n2 ) esta

associada a funcao Gaussiana

Φ(x) = π−n4 e−

|x|22 .

Figure: Modelo atomico para o atomo dehidrogenio (Niels Bohr, 1914)

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Nelson Faustino






O Hamiltoniano12

(−∆ + |x |2

)=

n∑j=1

(−1

2∂2

xj+

12

x2j

)satisfaz as


Fatoracao:12

(−∆ + |x |2

)=

n∑j=1

(xj − ∂xj )(xj + ∂xj ) +n2

.



(−∆ + |x |2

)associados aos



2 ∆ + 12 |x |



Φ(x) = π−n4 e−

|x|22 .


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Nelson Faustino






O Hamiltoniano12

(−∆ + |x |2

)=

n∑j=1

(−1

2∂2

xj+

12

x2j

)satisfaz as


Fatoracao:12

(−∆ + |x |2

)=

n∑j=1

(xj − ∂xj )(xj + ∂xj ) +n2

.



(−∆ + |x |2

)associados aos



2 ∆ + 12 |x |



Φ(x) = π−n4 e−

|x|22 .


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Nelson Faustino






O Hamiltoniano12

(−∆ + |x |2

)=

n∑j=1

(−1

2∂2

xj+

12

x2j

)satisfaz as


Fatoracao:12

(−∆ + |x |2

)=

n∑j=1

(xj − ∂xj )(xj + ∂xj ) +n2

.



(−∆ + |x |2

)associados aos



2 ∆ + 12 |x |



Φ(x) = π−n4 e−

|x|22 .


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Nelson Faustino






O Hamiltoniano12

(−∆ + |x |2

)=

n∑j=1

(−1

2∂2

xj+

12

x2j

)satisfaz as


Fatoracao:12

(−∆ + |x |2

)=

n∑j=1

(xj − ∂xj )(xj + ∂xj ) +n2

.



(−∆ + |x |2

)associados aos



2 ∆ + 12 |x |



Φ(x) = π−n4 e−

|x|22 .


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O Hamiltoniano12

(−∆ + |x |2

)=

n∑j=1

(−1

2∂2

xj+

12

x2j

)satisfaz as


Fatoracao:12

(−∆ + |x |2

)=

n∑j=1

(xj − ∂xj )(xj + ∂xj ) +n2

.



(−∆ + |x |2

)associados aos



2 ∆ + 12 |x |



Φ(x) = π−n4 e−

|x|22 .


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Formulacao em termos de algebras de CliffordF. Sommen, An Algebra of Abstract Vector Variables, (1997), Portugalia Math.

Analise usando algebras de Clifford: Estudo de operadores que saoelementos da algebra

Alg

xj , ∂xj , ej : j = 1, . . . , n

,

1 xj e ∂xj satisfazem as relacoes de Weyl-Heisenberg[∂xj , ∂xk

]= [xj , xk ] = 0 and

[∂xj , xk

]= δjk I.

2 e1, e2, . . . , en sao os geradores canonicos da algebra de CliffordC`0,n:

ej ek + ek ej = −2δjk .

Derivada multivetorial: D =n∑

j=1

ej∂xj corresponde ao operador de

Dirac (embebimento do operador gradiente em C`0,n).

Operador de multiplicacao multivetorial: X : f(x) 7→n∑

j=1

ejxj f(x)

corresponde ao operador de multiplicacao pelo vetor de Clifford

x =n∑

j=1

xj ej .12 / 27


Nelson Faustino







Alg

xj , ∂xj , ej : j = 1, . . . , n

,


]= [xj , xk ] = 0 and

[∂xj , xk

]= δjk I.




j=1




j=1

ejxj f(x)


x =n∑

j=1

xj ej .12 / 27


Nelson Faustino







Alg

xj , ∂xj , ej : j = 1, . . . , n

,


]= [xj , xk ] = 0 and

[∂xj , xk

]= δjk I.




j=1




j=1

ejxj f(x)


x =n∑

j=1

xj ej .12 / 27


Nelson Faustino







Alg

xj , ∂xj , ej : j = 1, . . . , n

,


]= [xj , xk ] = 0 and

[∂xj , xk

]= δjk I.




j=1




j=1

ejxj f(x)


x =n∑

j=1

xj ej .12 / 27


Nelson Faustino





Representacao de sl(2,R)

Derivada radial: E =∑n

j=1 xj∂xj

Propriedades basicas:1 Fatoracao do Laplaciano: ∆ :=

∑nj=1 ∂

2xj

= −D2

2 Propriedades de Invariancia: [E ,X ] = X e [E ,D] = −D.3 Fatoracao da derivada radial: XD + DX = −2(E + n

2 id).

Representacao canonica de Analise Harmonica: p = − 12 ∆,

p† = 12 X 2 e q = E + n

2 I sao os geradores canonicos da algebrade Lie sl(2,R):[

p,p†]

= q,[q,p†

]= p†, [q,p] = −p.

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Nelson Faustino







j=1 xj∂xj


∑nj=1 ∂

2xj

= −D2


2 id).


p† = 12 X 2 e q = E + n


p,p†]

= q,[q,p†

]= p†, [q,p] = −p.

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Nelson Faustino







j=1 xj∂xj


∑nj=1 ∂

2xj

= −D2


2 id).


p† = 12 X 2 e q = E + n


p,p†]

= q,[q,p†

]= p†, [q,p] = −p.

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Nelson Faustino







j=1 xj∂xj


∑nj=1 ∂

2xj

= −D2


2 id).


p† = 12 X 2 e q = E + n


p,p†]

= q,[q,p†

]= p†, [q,p] = −p.

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Nelson Faustino







j=1 xj∂xj


∑nj=1 ∂

2xj

= −D2


2 id).


p† = 12 X 2 e q = E + n


p,p†]

= q,[q,p†

]= p†, [q,p] = −p.

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j=1 xj∂xj


∑nj=1 ∂

2xj

= −D2


2 id).


p† = 12 X 2 e q = E + n


p,p†]

= q,[q,p†

]= p†, [q,p] = −p.

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Nelson Faustino





Uma nova versao do Calculo de Landau-WeylD. Constales, N.F. & R.S. Kraußhar, J. Phys. A: Math. Theor. 44 135303 (2011)

Oscilador harmonico classico: H = 12 (−∆ + |x |2) = 1

2 (D2 − X 2)

Fatoracao alternativa do oscilador harmonico: Os operadoresD± = 1√

2(X ∓ D) satisfazem a propriedade D+D− + D−D+ = −2H.

Operador de Dirac esferico: Γ := −XD − E e um operadorradialmente independente, uma vez que [Γ,X 2] = 0.

Propriedades

Os operadores X ,D,E ,∆ e Γ satisfazem as seguintes relacoes:

XD + DX = −2E − nI, [E ,D] = −D, [E ,X ] = X[∆,X ] = 2D, XD = −E − Γ, [E , Γ] = 0

Γ = E + nI + DX , Γ,X = −(n + 1)X , Γ,D = −(n + 1)D,[E ,X 2] = 2X 2,

[Γ,X 2] = 0, [Γ,∆] = 0.

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2 (D2 − X 2)




Propriedades




[Γ,X 2] = 0, [Γ,∆] = 0.

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Nelson Faustino







2 (D2 − X 2)




Propriedades




[Γ,X 2] = 0, [Γ,∆] = 0.

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Nelson Faustino







2 (D2 − X 2)




Propriedades




[Γ,X 2] = 0, [Γ,∆] = 0.

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Nelson Faustino






Simetrias em termos de superalgebras de Lie:

Os geradores p,p†,q, r, r† da forma

p = − 12 ∆, p† = 1

2 X 2, q = 12

(E + n

2 I)

r† = 12√

2iX , r = 1

2√

2iD

correspondem a uma representacao da algebra ortosimplectica deLie osp(1|2) = osp(1|2)par⊕

[·,·] osp(1|2)ımpar. As relacoes decomutacao sao dadas por[

r†,p†]

= 0,[r†,p

]= r, [q,p†] = p†[

r,p†]

= r†, [r,p] = 0, [q, r] = −r[p,p†

]= q,

[q,p†

]= p†, [q,p] = −p

Observacao: osp(1|2)par = sl(2,R).

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Operador Eletromagnetico de Schrodinger emreticulados

Operador eletromagnetico de Schrodinger no reticulado hZn

Lhf(x) =1

2µ

n∑j=1

(2

qhf(x)− ah(xj )f(x + hej )− ah(xj − h)f(x − hej )

)+ q Φh(x)f(x).

µ - massa

q- carga eletrica

ah(x) =n∑

j=1

ejah(xj ) - potencial magnetico discreto.

Φh(x)- potencial eletrico discreto.

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Lhf(x) =1

2µ

n∑j=1

(2


)+ q Φh(x)f(x).

µ - massa

q- carga eletrica

ah(x) =n∑

j=1



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Lhf(x) =1

2µ

n∑j=1

(2


)+ q Φh(x)f(x).

µ - massa

q- carga eletrica

ah(x) =n∑

j=1



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Lhf(x) =1

2µ

n∑j=1

(2


)+ q Φh(x)f(x).

µ - massa

q- carga eletrica

ah(x) =n∑

j=1



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Lhf(x) =1

2µ

n∑j=1

(2


)+ q Φh(x)f(x).

µ - massa

q- carga eletrica

ah(x) =n∑

j=1



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Aproximacao assintotica do operador deSturm-Liouville


Lhf(x) = − h2

2µ

n∑j=1

∂

∂xj

(w(

xj

qh

)∂f∂xj

(x)

)+ V

(xh

)f(x) + O

(h3).

A aproximacao assintotica e satisfeita, desde que:

1 ah(x) =n∑

j=1

ej w(

1q

xj

h

)(1 + O (h)) .

2 qΦh(x) +1

2µ

n∑j=1

(2

qh− ah(xj )− ah(xj − h)

)= V

(xh

)+ O

(h3).

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Lhf(x) = − h2

2µ

n∑j=1

∂

∂xj

(w(

xj

qh

)∂f∂xj

(x)

)+ V

(xh

)f(x) + O

(h3).


1 ah(x) =n∑

j=1

ej w(

1q

xj

h

)(1 + O (h)) .

2 qΦh(x) +1

2µ

n∑j=1

(2


)= V

(xh

)+ O

(h3).

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Lhf(x) = − h2

2µ

n∑j=1

∂

∂xj

(w(

xj

qh

)∂f∂xj

(x)

)+ V

(xh

)f(x) + O

(h3).


1 ah(x) =n∑

j=1

ej w(

1q

xj

h

)(1 + O (h)) .

2 qΦh(x) +1

2µ

n∑j=1

(2


)= V

(xh

)+ O

(h3).

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Um Problema InversoEstados Vinculados vs. Potenciais Eletricos & Magneticos associados ao operadoreletromagnetico de Schrodinger

Dado um par de operadores (A+h ,A

−h ) com valores na algebra de Clifford

que satisfazem a propriedade de fatoracao

Lh =12(A+

h A−h + A−h A+h

),

sera possıvel determinar os potenciais eletricos e magneticos deLh, Φh(x) e ah(x) respetivamente, a partir dos k−estados vinculadosψk (x ; h) (k ∈ N0) de Lh?

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Fatoracao do operador de SchrodingerEletromagneticoRelacoes Isospectrais

Par de operadores escada

Considere agora o par (A+h ,A

−h ) de operadores escadas definidos por

A+h =

n∑j=1

ejA+jh with A+j

h =

√qh4µ

(ah(xj )T

+jh −

2qh

I)

A−h =n∑

j=1

ejA−jh with A−j

h =

√qh4µ

(2

qhI − ah(xj − h)T−j

h

).

Assumindo que o vetor de vacuum ψ0(x ; h) = φ(x ; h)s (s ∈ Pin(n)) euma solucao nula de A+

h , segue prontamente que o par de operadoresescada (A+

h ,A−h ) e iso-espectralmente equivalente ao par de

operadores (D+h ,Mh), com

D+h f(x) =

n∑j=1

ej∂+jh , Mh =

n∑j=1

ej

(hah(xj − h)2T−j

h −4

q2hI).

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Abordagem de Fatoracaoquasi-monomios vs. estados vinculados ao operador eletromagnetico de Schrodinger

Adicionalmente, para o caso em que os potenciais eletricos emagneticos sao determinados por

Φh(x) =h

8µ

n∑j=1

4q2h2

(φ(x ; h)2

φ(x + hej ; h)2 +φ(x − hej ; h)2

φ(x ; h)2

)

ah(x) =n∑

j=1

ej2

qhφ(x ; h)

φ(x + hej ; h)

segue diretamente da propriedade de fatoracao Lh = 12 (A+

h A−h + A−h A+h )

que Lh e o equivalente iso-espectral do anti-comutador MhD+h + D+

h Mh.De fato, a formula iso-espectral

φ(x ; h)−1Lh(φ(x ; h)f(x) = − q4µh

(MhD+h + D+

h Mh)

resulta naturalmente da combinacao da propriedade de fatoracao comas relacoes iso-espectrais mencionadas acima.

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Um resumo de alguns dos meus resultadospublicados recentemente em ’Applied Mathematics and Computation’ (2017)

A partir da condicao de energia associada ao espaco de Fock Fh

induzido pelo modulo de Clifford `2(hZn; C`0,n) := `2(hZn)⊗ C`0,n,para vetores vacuo da forma ψ0(x ; h) = φ(x ; h)s (s ∈ Pin(n)), aquantidade

Pr

n∑j=1

ejXj = x

= hnψ0(x ; h)†ψ0(x ; h)

pode ser considerada como uma lei discreta dequasi-probabibilidade no reticulado hZn, carregando um conjuntode variaveis aleatorias independentes e identicamente distribuıdas(i.i.d.) X1,X2, . . . ,Xn.Foi utilizada a formulacao de probabilidade Bayesiana baseadana nocao de quasi-probabilidade a la Dirac (podem existir valoresde probabilidade negativa) para calcular alguns exemplosenvolvendo as conhecidas distribuicoes de Poisson ehypergeometricas, bem como distribuicoes de quasi-probabilidadedistributions envolvendo as funcoes generalizadasMittag-Leffler/Wright (de calculo fracionario).

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Um resumo de alguns dos meus resultadospublicados recentemente em ’Applied Mathematics and Computation’ (2017)

A partir da condicao de energia associada ao espaco de Fock Fh

induzido pelo modulo de Clifford `2(hZn; C`0,n) := `2(hZn)⊗ C`0,n,para vetores vacuo da forma ψ0(x ; h) = φ(x ; h)s (s ∈ Pin(n)), aquantidade

Pr

n∑j=1

ejXj = x

= hnψ0(x ; h)†ψ0(x ; h)

pode ser considerada como uma lei discreta dequasi-probabibilidade no reticulado hZn, carregando um conjuntode variaveis aleatorias independentes e identicamente distribuıdas(i.i.d.) X1,X2, . . . ,Xn.Foi utilizada a formulacao de probabilidade Bayesiana baseadana nocao de quasi-probabilidade a la Dirac (podem existir valoresde probabilidade negativa) para calcular alguns exemplosenvolvendo as conhecidas distribuicoes de Poisson ehypergeometricas, bem como distribuicoes de quasi-probabilidadedistributions envolvendo as funcoes generalizadasMittag-Leffler/Wright (de calculo fracionario).

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ExemplosGeneralizacao da distribuicao de Poisson

hnφ(x ; h)2 =

n∏

j=1

Eα,β(

4q2−αh2

)−1 4xjh q

(2−α)xjh h−

2xjh

Γ(β + α

xjh

) , se x ∈ hZn≥0

0 , caso contrario

Observe que funcao generalizada de Mittag-Leffler

Eα,β(λ) =∑∞

m=0λm

Γ(β + αm)e bem definida para valores Re(α) > 0,

Re(β) > 0.1 Potencial eletrico discreto:

Φh(x) =h

8µ

n∑j=1

1qα

Γ(α + β + α

xjh

)Γ(β + α

xjh

) +Γ(β + α

xjh

)Γ(β − α + α

xjh

).

2 Potencial magnetico discreto:

ah(x) =n∑

j=1

ej

√√√√√ 1qα

Γ(α + β + α

xjh

)Γ(β + α

xjh

) .

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ExemplosGeneralizacao da distribuicao de Poisson

hnφ(x ; h)2 =

n∏

j=1

Eα,β(

4q2−αh2

)−1 4xjh q

(2−α)xjh h−

2xjh

Γ(β + α

xjh

) , se x ∈ hZn≥0

0 , caso contrario

Observe que funcao generalizada de Mittag-Leffler

Eα,β(λ) =∑∞

m=0λm

Γ(β + αm)e bem definida para valores Re(α) > 0,

Re(β) > 0.1 Potencial eletrico discreto:

Φh(x) =h

8µ

n∑j=1

1qα

Γ(α + β + α

xjh

)Γ(β + α

xjh

) +Γ(β + α

xjh

)Γ(β − α + α

xjh

).

2 Potencial magnetico discreto:

ah(x) =n∑

j=1

ej

√√√√√ 1qα

Γ(α + β + α

xjh

)Γ(β + α

xjh

) .

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Propriedade de AppellExtensao hipercomplexa dos polinomios de Charlier

1 Observacao: Para as escolhas de q = 2 e λ = 1h2 , o operador de

escada resultante da distribuicao de Mittag-Leffler

Mh =n∑

j=1

ej

((xj +

1h

)T−j

h −1h

I)

corresponde a uma

aproximacao envolvendo diferencas finitas do operador de

Clifford-Hermite xI − D = − exp

(|x |2

2

)D exp

(−|x |

2

2

).

2 Os quasi-monomios gerados a partir da formula operatorialmk (x ; h) = µk (Mh)k s (s ∈ Pin(n)), associadas as constantes

µ2m = (−1)m

( 12

)m( n

2

)m

(k = 2m) e µ2m+1 = (−1)m

( 32

)m( n

2 + 1)

m

(k =

2m + 1)

satisfaz a propriedade de Appell D+h mk (x ; h) = kmk−1(x ; h).

Estes quasi-monomios correspondem a uma extensaohipercomplexa para os polinomios de Poisson-Charlier.

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Propriedade de AppellExtensao hipercomplexa dos polinomios de Charlier

1 Observacao: Para as escolhas de q = 2 e λ = 1h2 , o operador de

escada resultante da distribuicao de Mittag-Leffler

Mh =n∑

j=1

ej

((xj +

1h

)T−j

h −1h

I)

corresponde a uma

aproximacao envolvendo diferencas finitas do operador de

Clifford-Hermite xI − D = − exp

(|x |2

2

)D exp

(−|x |

2

2

).

2 Os quasi-monomios gerados a partir da formula operatorialmk (x ; h) = µk (Mh)k s (s ∈ Pin(n)), associadas as constantes

µ2m = (−1)m

( 12

)m( n

2

)m

(k = 2m) e µ2m+1 = (−1)m

( 32

)m( n

2 + 1)

m

(k =

2m + 1)

satisfaz a propriedade de Appell D+h mk (x ; h) = kmk−1(x ; h).

Estes quasi-monomios correspondem a uma extensaohipercomplexa para os polinomios de Poisson-Charlier.

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Mais ExemplosA distribuicao generalizada de Wright

n∏j=1

1Ψ1

[(δ, γ)(β, α)

γγ

αα4

q1+γ−αh2

]−1

×

Γ(δ + γ

xjh

)Γ(β + α

xjh

) ααxj

h γ−γxj

h 4xjh q−

(1+γ−α)xjh h−

2xjh

Γ(

xjh + 1

) , x ∈ hZn≥0

0 , caso contrario

.

1 Note que a funcao de Wright 1Ψ1

[(δ, γ)(β, α)

λ

]corresponde a

uma serie de potencias, que e absolutamente convergente para

valores de |λ| < αα

γγe de |λ| =

αα

γγ, Re(β)− Re(δ) > 1

2 para o caso

de h2 >γ2γ

α2α

4q1+γ−α e de h2 =

γ2γ

α2α

4q1+γ−α , Re(β)− Re(δ) > 1

2

sempre que α− γ = −1.

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Distribuicoes Generalizas de WrightAlgumas observacoes adicionais

Para γ = δ = 1, a funcao de verossimilhanca acima coincide a,menos de uma constante, com a distribuicao de Mittag-Lefflerdefinida anteriormente. Adicionalmente, se α = Re(α) > 0, α→ 0+

e h >2q

, a funcao de verossimilhanca definida anteriormente

simplifica-se para

hnφ(x ; h)2 =

n∏

j=1

(1− 4

q2h2

)−1

q−2xjh h−

2xjh , if x ∈ hZn

≥0

0 , caso contrario

.

Para β = δ, a funcao de verossimilhanca da-nos a distribuicao dePoisson (α = γ = 1), bem como a distribuicao hipergeometricano reticulado hZn

≥0, de parametros λ = 4q2h2 (α→ 0+, γ = 1 e

h > 2q ).

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Distribuicoes Generalizas de WrightAlgumas observacoes adicionais

Para γ = δ = 1, a funcao de verossimilhanca acima coincide a,menos de uma constante, com a distribuicao de Mittag-Lefflerdefinida anteriormente. Adicionalmente, se α = Re(α) > 0, α→ 0+

e h >2q

, a funcao de verossimilhanca definida anteriormente

simplifica-se para

hnφ(x ; h)2 =

n∏

j=1

(1− 4

q2h2

)−1

q−2xjh h−

2xjh , if x ∈ hZn

≥0

0 , caso contrario

.

Para β = δ, a funcao de verossimilhanca da-nos a distribuicao dePoisson (α = γ = 1), bem como a distribuicao hipergeometricano reticulado hZn

≥0, de parametros λ = 4q2h2 (α→ 0+, γ = 1 e

h > 2q ).

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BibliografiaAlguns artigos adicionais

Faustino, Nelson (2013). Special Functions ofHypercomplex Variable on the Lattice Based on SU (1, 1).Symmetry, Integrability and Geometry: Methods andApplications 9, no. 0 : 65-18.

Faustino, N. (2014). Classes of hypercomplex polynomials ofdiscrete variable based on the quasi-monomiality principle.Applied Mathematics and Computation, 247, 607-622.

Faustino, Nelson (2017). Symmetry PreservingDiscretization Schemes through Hypercomplex Variables,Conference: 15th International Conference of NumericalAnalysis and Applied Mathematics , DOI:10.13140/RG.2.2.35900.74882

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Obrigado pela vossa atencao!Questoes e comentarios sao bem-vindos!

http://professor.ufabc.edu.br/∼nelson.faustino/

Figure: ’Selfie’ com Paul A.M. Dirac, Florida State University(Tallahassee), 15 de dezembro de 2014

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http://professor.ufabc.edu.br/~nelson.faustino/

Modelos de mecanica quˆ anticaˆ baseados em calculo ...professor.ufabc.edu.br/~nelson.faustino/Pesquisa/Slides/NelsonPos... · Modelos de mecˆanica quanticaˆ Nelson Faustino Comec¸ando

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