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Tema 5: Modelos probabilísticos 1
Bioestadística
Tema 5: Modelos probabilísticos
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Tema 5: Modelos probabilísticos 2
Variable aleatoria
El resultado de un experimento aleatorio puede serdescrito en ocasiones como una cantidad numérica .
En estos casos aparece la noción de variable aleatoriaFunción ue asi!na a cada suceso un n"mero.
#as variables aleatorias pueden ser discretas ocontinuas $como en el primer tema del curso%.
En las si!uientes transparencias vamos a recordarconceptos de temas anteriores& 'unto con su nuevadesi!nación. #os nombres son nuevos. #os conceptosno.
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Tema 5: Modelos probabilísticos (
Función de probabilidad $V. )iscretas%Función de Cuantía
Asigna a cada posible valor deuna variable discreta suprobabilidad .
*ecuerda los conceptos de+recuencia relativa , dia!rama debarras.-$x% o&/umatoria p$x%01
Ejemplo
"mero de caras al lan3ar ( monedas.
∑∈
=rec x
x p 1)(∑∈
=rec x
x p 1)(∑∈
=rec x
x p 1)(∑∈
=rec x
x p 1)(
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Tema 5: Modelos probabilísticos 4
Función de densidad $V. ontinuas%
)e+iniciónEs una +unción no ne!ativa de inte!ral 1.
-iénsalo como la !enerali3ación del6isto!rama con +recuencias relativaspara variables continuas.+$x% 7#a inte!ral de +$x%01
8-ara ué lo vo, a usar9unca lo vas a usar directamente.
/us valores no representan probabilidades.
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Tema 5: Modelos probabilísticos 5
8-ara ué sirve la +. densidad9Muc6os procesos aleatorios vienen descritos por variables de +orma
ue son conocidas las probabilidades en intervalos.
#a inte!ral de+inida de la +unción de densidad en dic6os intervaloscoincide con la probabilidad de los mismos.
Es decir& identi+icamos la probabilidad de un intervalo con el área ba'ola +unción de densidad.
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Tema 5: Modelos probabilísticos
Función de distribución
Es la +unción ue asocia a cada valor de unavariable& la probabilidad acumulada de los valores in+eriores o i!uales.
-iénsalo como la !enerali3ación de las+recuencias acumuladas. )ia!rama inte!ral .
; los valores extremadamente ba'os les correspondenvalores de la +unción de distribución cercanos a cero.
; los valores extremadamente altos les correspondenvalores de la +unción de distribución cercanos a uno.
#o encontraremos en los artículos , aplicaciones en +ormade & si!ni+icación&?
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Tema 5: Modelos probabilísticos @
8-ara ué sirve la +. distribución9ontrastar lo anómalo de una observación concreta.
/é ue una persona de altura 217cm es < anómala > por ue la +unción dedistribución en 217 es mu, alta ./é ue una persona adulta ue mida menos de 147cm es < anómala > por uela +unción de distribución es mu, ba'a para 147cm.
/é ue una persona ue mida 1@7cm no posee una altura nada extraAa puessu +unción de distribución es aproximadamente 7&5.
*elaciónalo con la idea de cuantil .
En otro contexto $contrastes de 6ipótesis% podremos observar unosresultados experimentales , contrastar lo ue son encon'unto con respecto a una 6ipótesis de terminada.
ntenta comprender la explicación de clase si puedes. /i no& i!nora estode momento. *evisita este punto cuando 6a,amos visto el tema decontrastes de 6ipótesis.
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Tema 5: Modelos probabilísticos I
;l!unos modelos de v.a.
Ja, v.a. ue aparecen con +recuencia en las iencias dela /alud.Experimentos dicotómicos.
Bernoulli
ontar éxitos en experimentos dicotómicos repetidos:Binomial-oisson $sucesos raros%
K en otras muc6as ocasiones?)istribución normal $!aussiana& campana&?%
El resto del tema estL dedicado a estudiar estasdistribuciones especiales.
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Tema 5: Modelos probabilísticos 17
)istribución de Bernoulli
Tenemos un experimento de Bernoulli si al reali3ar un
experimentos sólo son posibles dos resultados:D01 $éxito & con probabilidad p%D07 $fracaso & con probabilidad 01=p%
#an3ar una moneda , ue sal!a cara.p01 2
Ele!ir una persona de la población , ue esté en+ermo.p01 1777 0 prevalencia de la en+ermedad
;plicar un tratamiento a un en+ermo , ue éste se cure.p0I5N& probabilidad de ue el individuo se cure
omo se aprecia& en experimentos donde el resultado esdicotómico& la variable ueda per+ectamente determinadaconociendo el parLmetro p .
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Tema 5: Modelos probabilísticos 11
E'emplo de distribución de Bernoulli.
/e 6a observado estudiando 2777 accidentes de trL+icocon impacto +rontal , cu,os conductores no teníancinturón de se!uridad & ue (77 individuos uedaron consecuelas. )escriba el experimento usando conceptos dev.a.
/olución.#a noc. +recuentista de prob. nos permite aproximar la probabilidad detener secuelas mediante (77 277707&15015N
D0 es variable de Bernoulli
D01 tiene probabilidad p O 7&15D07 tiene probabilidad O 7&C5
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Tema 5: Modelos probabilísticos 12
E'emplo de distribución de Bernoulli.
/e 6a observado estudiando 2777 accidentes de trL+icocon impacto +rontal , cu,os conductores sí teníancinturón de se!uridad & ue 17 individuos uedaron consecuelas. )escriba el experimento usando conceptos dev.a.
/olución.#a noc. +recuentista de prob. nos permite aproximar la probabilidad de
uedar con secuelas por 17 277707&77507&5N
D0 es variable de
BernoulliD01 tiene probabilidad p O 7&775D07 tiene probabilidad O 7&II5
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Tema 5: Modelos probabilísticos 1(
PbservaciónEn los dos e'emplos anteriores 6emos visto cómo enunciar losresultados de un experimento en +orma de estimación deparLmetros en distribuciones de Bernoulli.
/in cinturón: p O 15Non cinturón: p O 7&5N
En realidad no sabemos en este punto si ambas cantidades sonmu, di+erentes o aproximadamente i!uales& pues en otros estudiossobre accidentes& las cantidades de individuos con secuelas6ubieran sido con se!uridad di+erentes.
-ara decidir si entre ambas cantidades existen di+erenciasestadísticamente si!ni+icativas necesitamos introducir conceptosde estadística in+erencial $extrapolar resultados de una muestra atoda la población%.
Es mu, pronto para resolver este cuestionamiento a6ora.Esperemos a las pruebas de D 2 .
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Tema 5: Modelos probabilísticos 14
)istribución binomial
Función de probabilidad
-roblemas de cLlculo si n es !rande , o p cercano a 7 o 1.
Media: G 0n p
Varian3a: H 2 0 n p
nk q pk
nk X P k nk ≤≤
== − 0 ,][
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Tema 5: Modelos probabilísticos 15
)istribución Binomial/i se repite un n"mero +i'o de veces& n & un experimento deBernoulli con parLmetro p & el n"mero de éxitos si!ue unadistribución binomial de parLmetros $n&p%.
#an3ar una moneda 17 veces , contar las caras.Bin$n017&p01 2%
#an3ar una moneda 177 veces , contar las caras.Bin$n0177&p01 2%)i+ícil 6acer cLlculos con esas cantidades. El modelo normal serL mLs adecuado.
El n"mero de personas ue en+ermarL $en una población de 577.777personas% de una en+ermedad ue desarrolla una de cada 2777personas.
Bin$n0577.777& p01 2777%
)i+ícil 6acer cLlculos con esas cantidades. El modelo de -oisson serL mLsadecuado.
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Tema 5: Modelos probabilísticos 1
;"n no conoces la
distribución normal& ni de-oisson.
)e cual uier +orma a uítienes la comparación entre
valores de p no mu, extremos , una normal de misma media, desviación típica& paratamaAos de n !randes $n (7%.
uando p es mu, pe ueAo esme'or usar la aproximacióndel modelo de -oisson .
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Tema 5: Modelos probabilísticos 1@
)istribución de -oisson
También se denomina de sucesos raros ./e obtiene como aproximación de unadistribución binomial con la misma media& paraQn !rande R $n (7% , Qp pe ueAo R $pS7&1%.
ueda caracteri3ada por un "nico parLmetro G$ ue es a su ve3 su media , varian3a .%Función de probabilidad:
,...2,1,0 ,!
][ === − k k
ek X P k
µ µ
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Tema 5: Modelos probabilísticos 1C
E'emplos de variables de -oissonEl n"mero de individuos ue serL atendido un día cual uiera en elservicio de ur!encias del 6ospital clínico universitario.
En MLla!a 6a, 577.777 6abitantes $n !rande%#a probabilidad de ue cual uier persona ten!a un accidente es pe ueAa&pero no nula. /upon!amos ue es 1 17.777Bin $n0577.777&p01 17.777% ≈ oisson $G0np057%
/ospec6amos ue di+erentes 6ospitales pueden tener servicios detraumatolo!ía de di+erente $al!unos presentan pocos& perocreemos ue a"n demasiados& en+ermos con secuelas tras laintervención%. Es di+icil compararlos pues cada 6ospital atiendepoblaciones de tamaAos di+erentes $ciudades& pueblos&?%
Tenemos en cada 6ospital n& nU de pacientes atendidos o nU individuos de lapoblación ue cubre el 6ospital.
Tenemos p pe ueAo calculado como +recuencia relativa de secuelas conrespecto al total de pacientes ue trata el 6ospital& o el tamaAo de lapoblación&?/e puede modelar mediante -oisson $G0np%
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Tema 5: Modelos probabilísticos 1I
)istribución normal o de auss
;parece de manera natural:Errores de medida.)istancia de +renado. ;ltura& peso& propensión al crimen?
)istribuciones binomiales con n !rande $n (7% , Qp nipe ueAoR $np 5% Qni !randeR $n 5%.
EstL caracteri3ada por dos parLmetros : #a media & G
, la desviación típica & H.
/u +unción de densidad es:
2
21
2
1)(
−−
= σ µ
π σ
x
e x f
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Tema 5: Modelos probabilísticos 27
$G& H%: nterpretación!eométrica
-odemos interpretarla media como un+actor de traslación .
K la desviación típica como un +actor de
escala & !rado dedispersión&?
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Tema 5: Modelos probabilísticos 21
$G& H%: nterpretación probabilista
Entre la media , unadesviación típicatenemos siempre lamisma probabilidad :
aprox. CN
Entre la media , dos
desviaciones típicasaprox. I5N
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Tema 5: Modelos probabilísticos 22
;l!unas características#a +unción de densidad es simétrica& mesoc"rtica , unimodal .
Media& mediana , moda coinciden.
#os puntos de in+lexión de la +un. de densidad estLn a distancia ! de G.
/i tomamos intervalos centrados en G& , cu,os extremos estLn?a distancia ! & tenemos probabilidad "#$a distancia % ! & tenemos probabilidad &'$
a distancia %(' ! tenemos probabilidad &&$
o es posible calcular la probabilidad de un intervalo simplementeusando la primitiva de la +unción de densidad& ,a ue no tiene primitivaexpresable en términos de +unciones QcomunesR.
Todas las distribuciones normales $G& H%& pueden ponerse mediante unatraslación G& , un cambio de escala H& como )*+,-. . Esta distribuciónespecial se llama normal tipificada .
Wusti+ica la técnica de tipi+icación& cuando intentamos comparar individuosdi+erentes obtenidos de sendas poblaciones normales.
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Tema 5: Modelos probabilísticos 2(
Tipi+icación)ada una variable de media G , desviación típica H& se denominavalor tipi+icado &3& de una observación x& a la distancia $con si!no% conrespecto a la media& medido en desviaciones típicas & es decir
En el caso de variable D normal & la interpretación es clara: ;si!na atodo valor de $G& H%& un valor de $7&1% ue de'a exáctamente lamisma probabilidad por deba'o.
os permite así comparar entre dos valores de dos distribucionesnormales di+erentes& para saber cuLl de los dos es mLs extremo.
σ
µ −= x z
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Tema 5: Modelos probabilísticos 24
E'emplo/e uiere dar una beca a uno de dos estudiantes de sistemas educativosdi+erentes. /e asi!narL al ue ten!a me'or expediente académico.
El estudiante ; tiene una cali+icación de C en un sistema donde la cali+icación de los
alumnos se comporta como $ &1%.El estudiante B tiene una cali+icación de C7 en un sistema donde la cali+icación de losalumnos se comporta como $@7&17%.
/olucióno podemos comparar directamente C puntos de ; +rente a los C7 de B& pero como
ambas poblaciones se comportan de modo normal& podemos tipi+icar , observar laspuntuaciones sobre una distribución de re+erencia $7&1%
omo X ; XB& podemos decir ue el porcenta'e de compaAeros del mismo sistema deestudios ue 6a superado en cali+icación el estudiante ; es ma,or ue el ue 6asuperado B. -odríamos pensar en principio ue ; es me'or candidato para la beca.
110
7080
21
68
=−=−=
=−=−=
B x
z
x z
B B B
A
A A A
σ
µ
σ
µ
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Tema 5: Modelos probabilísticos 25
8-or ué es importante la distribución normal9
#as propiedades ue tiene la distribución normal son
interesantes& pero todavía no 6emos 6ablado de por uées una distribución especialmente importante .
#a ra3ón es ue aun ue una v.a. no posea distribuciónnormal & ciertos estadísticos estimadores calculados
sobre muestras ele!idas al a3ar sí ue poseen unadistribución normal .
Es decir& ten!an las distribución ue ten!an nuestrosdatos& los Qob'etosR ue resumen la in+ormación de una
muestra& posiblemente ten!an distribución normal $oasociada%.
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Tema 5: Modelos probabilísticos 2
Veamos aparecer la distribución normal
omo ilustraciónmostramos una variableue presenta valores
distribuidos mLs o menosuni+ormemente sobre elintervalo 157=1I7.
omo es de esperar lamedia es cercana a [email protected] 6isto!rama no separece en nada a una
distribución normal con lamisma media ,desviación típica.
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Tema 5: Modelos probabilísticos 2@
; continuación ele!imosaleatoriamente !rupos de 17 observaciones de las anteriores ,calculamos el promedio.
-ara cada !rupo de 17 obtenemosentonces una nueva medición& uevamos a llamar promedio muestral .
Pbserva ue las nuevas cantidadesestLn mLs o menos cerca de lamedia de la variable ori!inal.
*epitamos el proceso un n"meroelevado de veces . En la si!uientetransparencia estudiamos ladistribución de la nueva variable.
Muestra
1Y 2Y (Y1C5 1I7 1@I1@4 1 I 1 (
1 @ 1@7 1 @
1 7 15I 152
1@2 1@I 1@C
1C( 1@5 1C(1CC 15I 155
1@C 152 1 5
152 1C5 1C5
1@5 152 152
-01 -"& -"# 2
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Tema 5: Modelos probabilísticos 2C
#a distribución de los promediosmuestrales sí ue tiene distribuciónaproximadamente normal .
#a media de esta nueva variable$promedio muestral% es mu, parecida a lade la variable ori!inal.
#as observaciones de la nueva variableestLn menos dispersas . Pbserva elran!o. -ero no sólo eso. #a desviacióntípica es aproximadamente Qrai3 de 17Rveces mLs pe ueAa. #lamamos errorestLndar a la desviación típica de estanueva variable.
)ada de lo anterior es casualidad .
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Tema 5: Modelos probabilísticos 2I
Teorema central del límite)ada una v.a. cual3uiera & si extraemos muestras detamaAo n& , calculamos los promedios muestrales & entonces:
dic6os promedios tienen distribución aproximadamente normal Z
#a media de los promedios muestrales es la misma ue la de la variableori!inal.
#a desviación típica de los promedios disminu,e en un +actor < raí3 de n >$error estLndar %.
#as aproximaciones anteriores se 6acen exactas cuando n tiende a in+inito.
Este teorema 'usti+ica la importancia de la distribución normal.
/ea lo ue sea lo ue midamos& cuando se promedie sobre una muestra!rande $ n41+ % nos va a aparecer de manera natural la distribución normal.
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Tema 5: Modelos probabilísticos (7
)istribuciones asociadas a la normaluando ueramos 6acer in+erencia estadística 6emos visto ue la
distribución normal aparece de +orma casi inevitable.
)ependiendo del problema& podemos encontrar otras $asociadas%:D2 $c6i cuadrado%t= studentF=/nedecor
Estas distribuciones resultan directamente de operar con distribucionesnormales. Típicamente aparecen como distribuciones de ciertosestadísticos.
Veamos al!unas propiedades ue tienen $super+icialmente%.
/obre todo nos interesa saber ué valores de dic6as distribuciones son./i!ni+icación& p=valores&?
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Tema 5: Modelos probabilísticos (1
6i cuadrado
Tiene un sólo parLmetrodenominado !rados de libertad .
#a +unción de densidad esasimétrica positiva. /ólo tienendensidad los valores positivos.
#a +unción de densidad se 6acemLs simétrica incluso casi!ausiana cuando aumenta eln"mero de !rados de libertad.
ormalmente consideraremosanómalos a uellos valores de lavariable de la .
8/17/2019 Modelo Probabilisticos Clase 5 (1)
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Tema 5: Modelos probabilísticos (2
T de student
Tiene un parLmetro denominado!rados de libertad.
uando aumentan los !rados delibertad& mLs se acerca a $7&1%.
Es simétrica con respecto al cero.
/e consideran valores anómalos losue se ale'an de cero $positivos o
ne!ativos%.
8/17/2019 Modelo Probabilisticos Clase 5 (1)
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Tema 5: Modelos probabilísticos ((
F de /nedecor
Tiene dos parLmetrosdenominados !rados delibertad.
/ólo toma valorespositivos. Es asimétrica.
ormalmente se consideran
valores anómalos los de lacola de la derec6a.
8/17/2019 Modelo Probabilisticos Clase 5 (1)
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Tema 5: Modelos probabilísticos (4
8 ué 6emos visto9En v.a. 6a, conceptos e uivalentes a los de temasanteriores
Función de probabilidad Frec. *elativa.Función de densidad 6isto!ramaFunción de distribución dia!r. nte!ral.Valor esperado media& ?
Ja, modelos de v.a. de especial importancia:BernoulliBinomial-oisson
ormal-ropiedades !eométricasTipi+icación
;parece tanto en problemas con variables cualitativas $dicotómicas&Bernoulli% como numéricas)istribuciones asociadas
T=studentD2F de /nedecor