Instrucciones para la preparacin de Ponencias para Informtica
2009
Goytisolo, R.; Moya, J.; Hernndez, D.; Crdenas, J.; Velzquez,
J.; Beltrn, W.; Alfonso, R.| Factor de forma en engranajes
asimtricos
MODELO MATEMTICO PARA EVALUAR LA INFLUENCIA DE LA COMPONENTE
RADIAL DE LA CARGA, LA FUERZA DE FRICCIN Y LA CORRECCIN DEL DENTADO
EN EL FACTOR DE FORMA DE LOS ENGRANAJES CILNDRICOS DE DIENTES
rectos ASIMTRiCOSDr. Rafael Goytisolo Espinosa1, Dr. Jorge Moya
Rodrguez2, Dr. Daniel Hernndez Ochoa3, Dr. Javier Antonio Crdenas
Oliveros4, Dr. Jos Alberto Velzquez Prez5, Ing. William Beltrn
Rodrguez1, Ing. Ral Alfonso Rodrguez11. Facultad de Ingeniera,
Universidad de Cienfuegos Carlos Rafael Rodrguez. Cuatro Caminos,
CP 59430. Cienfuegos, Cuba. [email protected]. Facultad de
Ingeniera Mecnica. Universidad Central de Las Villas. Carretera a
Camajuan, Km. 3 1/2, CP 54830. Santa. Clara. Villa Clara. Cuba.
[email protected]. Centro de Estudios CAD/CAM. Facultad de
Ingeniera. Universidad de Holgun Oscar Lucero Moya, Holgun, Cuba.
[email protected]
4. Universidad Politcnica Territorial del Estado Aragua Federico
Brito Figueroa, Venezuela.
5. Facultad de Ingeniera Mecnica Elctrica, Universidad
Veracruzana Sede Xalapa, Mxico.
Resumen: Los engranajes cilndricos de dientes rectos de perfil
asimtrico, han ido adquiriendo una gran difusin en los primeros aos
del actual siglo, sin embargo a pesar de que sobre estos
engranajes, tanto sus creadores: A. Kapalevich y A.S. Novikov, as
como otros especialistas en Cuba, Mxico y Venezuela han investigado
este tipo de transmisin, todava no se conocen todas las
particularidades de la influencia de sus parmetros y cualidades
geomtricas en la resistencia, a la fractura y no se ha investigado
la influencia de la fuerza de friccin actuante sobre el flanco ni
la correccin del dentado en la resistencia mecnica de la rueda
conductora y de la conducida. En el presente trabajo se hace una
primera incursin en el estudio de estos aspectos aun no
investigados, en primer lugar como un reconocimiento a esos
investigadores que han aportado su granito de arena en funcin de
avanzar en la ciencia de estos engranajes y como motivacin para
continuar avanzando en el conocimiento de los mismos.Palabras
Clave: Dientes rectos de perfil asimtrico, influencia de la fuerza
de friccin y de la correccin del dentado, factor de forma.1.
INTRODUCCIN.Un elemento muy importante que determina la resistencia
a la fractura de los dientes de los engranajes es el Factor de
Forma. En la Norma (ANSI AGMA, 2101-C95, 1995), (ANSI - AGMA,
908-B89 1995), (DIN, 1987) y en la Norma (ISO, 1996) se toma como
Factor de Forma el conocido Factor de Lewis, que slo considera la
geometra del diente, sin tomar en cuenta el efecto de la fuerza de
friccin en los valores del Factor de Forma. En la actual Norma
(GOST, 1989), no se emplea exactamente el Factor de Forma de Lewis,
sino que se emplea un Factor de Forma que tampoco incluye la
influencia del coeficiente de friccin. En la literatura tcnica
consultada slo en lo antigua Norma GOST (Dobrovolski, 1970) se
inclua la influencia de la fuerza de friccin en los valores de los
Factores de Forma reportados pero para un valor constante del
coeficiente de friccin y sin hacer referencia alguna a la
influencia que podan tener las variaciones de este coeficiente en
los valores del Factor de Forma y en la resistencia a la fractura
del dentado de las ruedas conductoras o conducidas. Dependiendo de
las condiciones de lubricacin el coeficiente de friccin puede tener
valores muy diversos que pueden variar desde valores muy pequeos
del orden de las centsimas o incluso de las milsimas en el caso de
la lubricacin elastohidrodinmica hasta valores en el orden de las
dcimas o incluso prximos a la unidad en el caso de la lubricacin
lmite (Goytisolo y Moya, 1976); (Fuentes, 1996). Con relacin a la
influencia de la fuerza de friccin y de la correccin del dentado se
han realizado investigaciones sobre los engranajes cilndricos de
perfil simtrico y sobre las transmisiones por tornillo sinfn
(Quiones, Goytisolo, Moya, 2005), (Soto, Moya y Goytisolo, 2007),
(Quiones, Goytisolo, Moya, 2007). Particularmente en el caso de los
engranajes de perfil asimtrico, sucede, que siendo esta transmisin
muy novedosa y actual (Kapelevich, 1987); (Novikov et al.,2008) no
se conocen aun completamente la influencia de todos los parmetros
geomtricos en la resistencia a la fractura y a pesar de que
investigadores de Cuba, Mxico y Venezuela han hecho aportes en este
sentido (Velzquez, Moya, Soriano, 2004); (Moya, Velzquez,
Arencibia, 2007); (Moya, Velzquez, Goytisolo, Machado, 2007);
(Moya, Machado, Velzquez, Hernndez, Fernndez y Sierra; 2010), sin
embargo, hay que destacar que en estos trabajos realizados sobre la
influencia de la geometra en la resistencia a la fractura no se ha
incluido en la expresin del factor de forma la tensin de compresin
provocada por la componente radial de la carga, ni se ha
investigado la influencia en los factores de forma de las ruedas
conductora y conducida de la fuerza de friccin ni de la correccin
del dentado.El Objetivo del presente trabajo es precisamente:
Desarrollar un Modelo Matemtico para el clculo del Factor de Forma
de los engranajes cilndricos con dientes rectos de perfil
asimtrico, que considere la influencia de la accin directa de
compresin de la componente radial de la carga sobre el diente, el
valor del coeficiente de friccin y los coeficientes de correccin
del dentado en las ruedas conductora y conducida, que permita
investigar la influencia de estos parmetros en la resistencia a la
fractura de los mismos.2. ContenidoSe ver primero cul es la
expresin del Factor de Forma de un diente de una rueda de dientes
asimtricos incorporando la tensin de compresin provocada por la
componente radial de la carga y la fuerza de friccin. La carga
especfica normal por unidad de ancho de la rueda ha sido expresada
por y acta a lo largo de la lnea de engranaje, como es conocido y
perpendicularmente a sta acta la fuerza de rozamiento dirigida
hacia el vrtice del diente, en el caso de las ruedas conductoras, o
hacia al pie del diente, en el caso de las ruedas conducidas. La
composicin de las fuerzas normal y de friccin, forman la carga
resultante inclinada un ngulo respecto a la direccin de , siendo
ste el ngulo de friccin. En la Figura 1 se muestra un diente de la
rueda conductora sobre la cual actan la carga especfica y la fuerza
resultante qr al componer sta con la carga especfica de friccin
qfr.
Figura 1 Cargas actuantes en la circunferencia exterior en el
momento final del contacto para la rueda conductora y tensiones que
surgen en el pie del diente
La carga especfica resultante considerando la fuerza de friccin
es:. La componente tangencial de esta carga es: y la componente
radial es:
La tensin resultante en el pie est compuesta por la tensin de
flexin provocada por la componente qT:; la tensin de flexin
provocada por la componente qR: y la tensin de compresin directa
provocada por la componente radial de la carga qR: , o sea:
La tensin de flexin provocada por la componente tangencial de la
carga especfica ser:
La tensin de flexin provocada por la componente radial de la
carga especfica ser:
Y la tensin de compresin directa provocada por la componente
radial es:
Sumando algebraicamente estas tensiones se obtiene la tensin
resultante en el pie del diente:
(1)Si se expresa la tensin resultante en funcin del Factor de
Forma segn la expresin siguiente:
(2)Entonces de la ecuacin (1) se tiene que:
(3) Donde el Factor de Forma queda expresado como sigue:
(4)Si por el contrario se expresa la tensin resultante en funcin
del Factor de Forma segn la expresin siguiente:
(5)El Factor de Forma quedar entonces expresado como sigue:
(6)En la Figura 2 a) se muestran las cargas que actan sobre un
diente de la rueda conductora en el instante en que sale del
contacto con la rueda conducida y en la Figura 2 b) se muestran las
cargas sobre un diente de la rueda conducida en el instante en que
entra en contacto con un diente de la rueda conductora Al
producirse el engranaje entre las dos ruedas, primeramente entra en
contacto el extremo o vrtice de la cabeza del diente de la rueda
conducida con el pie del diente de la rueda conductora, terminando
con el contacto del vrtice de la rueda conductora con el pie del
diente de la rueda conducida. En ambos casos la carga especfica
normal por unidad de ancho de la rueda ha sido expresada, como se
expres anteriormente, por y acta a lo largo de la lnea de engranaje
y perpendicularmente a sta acta la fuerza de rozamiento dirigida
hacia el vrtice del diente, en el caso de las ruedas conductoras, o
hacia al pie del diente, en el caso de las ruedas conducidas. La
composicin de las fuerzas normal y de friccin, forman la carga
resultante inclinada un ngulo respecto a la direccin de , siendo
ste el ngulo de friccin.
a) b)Figura 2 Cargas actuantes en la circunferencia exterior en
el momento final e inicial de contacto para la Rueda Conductora (a)
y para la Rueda Conducida (b) respectivamente.
Al trasladar la carga a lo largo de su lnea de accin, intercepta
el eje bisectriz del espesor de la cabeza del diente en el punto K.
Esta fuerza se descompone en este punto en sus componentes
rectangulares y . El ngulo que forma la carga con el eje T es .
Como se puede observar adems, el punto K de accin de la carga
resultante se encuentra desplazado del borde exterior de la cabeza
del diente una distancia x. Esta distancia tiene gran importancia
para le clculo de resistencia a la fractura de las transmisiones
analizadas, pues el momento flector en la base del diente depende
proporcionalmente de la altura hcrit. El espesor del diente en la
base se tom como Scrit., donde termina tericamente el perfil
evolvente y comienza a medirse la altura hcrit. El segmento x se
puede calcular por simples relaciones trigonomtricas,
obtenindose:
(7)Donde (Vase Figura 1):
,(8)
El ngulo es el ngulo de friccin y el signo: + o - se toman en
dependencia, si la rueda analizada es conducida o conductora
respectivamente.
El espesor del diente en la circunferencia exterior se calcula
por la expresin donde se ha despreciado el hecho de que el diente
est formado por dos flancos de diferente:
(9)
(10)
En estas expresiones = 20o y > 20o. Considerando que el
coeficiente de cizallamiento invertido sea cero, pues su influencia
en el Factor de Forma es insignificante; la expresin para el clculo
del radio exterior ser:
(11)
Donde: m, Z y ; son el mdulo, el nmero de dientes y el
coeficiente de correccin respectivamente.
Sustituyendo (5) y (6) en la expresin (4) del espesor del diente
en la circunferencia exterior:
(12)
el ngulo se calcula como:
(13)
Por la teora bsica de los engranajes se conoce que:
(14)
La involuta del ngulo es una constante pues se considera
(cremallera bsica) y su valor es: . La involuta de se puede
calcular como:
(15)
Finalmente la expresin para el ngulo es:
(16)
Teniendo los valores de se puede calcular el valor del ngulo
.
A continuacin se calcular la magnitud de la relacin hcrit. /m.
En la Figura 1 se puede apreciar que la altura hcrit. se encuentra
entre una circunferencia por encima de la circunferencia interior
en una magnitud de y otra circunferencia por debajo de la exterior
una magnitud x. Como la altura total de un diente es 2.25 m:
(17)
Sustituyendo x (1) se obtiene:
(18)
Conocido el valor de (6):
(19)
La relacin Scrit../m se calcula teniendo en cuenta que Scrit es
el espesor del diente en el pie, en la circunferencia que se
encuentra a una magnitud por encima del radio interior. Vale
aclarar adems que el clculo se realizar teniendo en cuenta que la
circunferencia base tenga un radio menor que la circunferencia
antes mencionada. Para el clculo de esta relacin se toma como base
la expresin del espesor de un diente para una circunferencia
cualquiera con radio :
Sucede que en el caso de los dientes asimtricos es espesor
Scrit. Est compuesto por la mitad del espesor del diente con = 20o
y la otra mitad del espesor del diente con el mayor que 20o. De
donde Scrit ser:
+
(20)
(21)
(22)
(23) (24)Luego con (17) y los conocidos valores de de (5) la
magnitud de la relacin Scrit/m ser:
(25)
Conociendo el valor de (18); la ser:
(26)
(27)
La excentricidad e se puede calcular como: e = Scrit 20o /2 -
Scrit =20o /2 (28)De esta forma han sido obtenidas las ecuaciones
que completan el Nuevo Modelo Matemtico para el clculo del Factor
de Forma en Engranajes Cilndricos de Dientes Rectos con Perfil
Asimtrico.. En las ecuaciones antes mencionadas c es el Coeficiente
de Radio del pie del diente (c = 0.4 para el anlisis de este
trabajo). El coseno del ngulo de friccin se calcula como sigue:
(29)
Procesando el Modelo en una hoja de clculo en Microsoft EXCEL
para las ruedas conductora y conducida respectivamente en sendas
hojas de clculo para una con nmero de dientes Z = 45, para obviar
la influencia de la trocoide y evaluando tres condiciones
diferentes desde el punto de vista del coeficiente de friccin y dos
desde el punto de vista del coeficiente de correccin del dentado,
se obtuvieron los resultados que se muestran a continuacin
TABLA No. 1 INFLUENCIA DE LA TENSIN NORMAL DE COMPRESIN
PROVOCADA POR LA COMPONENTE RADIAL DE LA CARGA, DEL COEFICIENTE DE
FRICCIN Y LA CORRECCIN DEL DENTADO EN EL FACTOR DE FORMA DELAS
RUEDAS DE DIENTES ASIMTRICOS
Coeficientede
correccinInfluencia de la tensin normal de compresin de la
componente radial de la carga.Coeficiente
de
friccin Valores del Factor de Forma
Z = 45 dientes y m = 4 mm
Rueda Conducida Rueda Conductora
yF YF yFYF
= 0Sin considerar la influencia de la tensin normal de compresin
de la componente radial de la cargaf = 00,4102,4390,4102,439
f = 0,150,4552,1980,3892,571
f = 0,450,6501,5380,4002,500
Considerando la influencia de la tensin normal de compresin de
la componente radial de la cargaf = 00,4072,4570,4062,463
f = 0,150,4642,1550,3762,660
f = 0,450,7201,3890,3722,688
= + 0,5Sin considerar la influencia de la tensin normal de
compresin de la componente radial de la cargaf =
00,5731,7450,5731,745
f = 0,150,6501,5390,5371,862
f = 0,450,9601,0420,5411,848
Considerando la influencia de la tensin normal de compresin de
la componente radial de la cargaf = 00,5661,7670,5661,767
f = 0,150,6611,5120,5151,942
f = 0,451,0960,9170,4992,004
Como se aprecia de la Tabla tanto la tensin de compresin de la
componente radial de la carga como el coeficiente de friccin y el
coeficiente de correccin influyen significativamente en el valor
del Factor de Forma del diente y de forma diferente en la rueda
conductora como en la conducida
Con un Modelo Matemtico similar a este, el Aspirante a Doctor de
la Universidad de Cienfuegos: M.Sc. Aisman Quiones Cherta en su
Tesis de Maestra (Quiones, 2005) para ruedas dentadas con dientes
simtricos, procesando el mismo en Microsoft EXCEL para las ruedas
conductora y conducida respectivamente en sendas hojas de clculo
para nmeros de dientes desde 10 hasta 1000 y evaluando tres
condiciones diferentes desde el punto de vista del coeficiente de
friccin, obtuvo los resultados que se muestran a continuacin:
Ausencia total de friccin, f = 0. Esta situacin idealizada se
corresponde con el caso de la lubricacin hidrodinmica de los
dientes, donde las condiciones geomtricas, cinemticas y de
viscosidad del lubricante son tan favorables que el espesor de la
pelcula excluye totalmente el contacto metal metal y el valor del
coeficiente de friccin es del orden de las milsimas, prcticamente
cero. O el caso de la lubricacin elastohidrodinmica propia de los
contactos bien lubricados excesivamente cargados donde las
cualidades de la pelcula lubricante no solo dependen de parmetros
geomtricos, cinemticos y viscosos, sino de la elasticidad de los
materiales en contacto, que provoca deformaciones de las
superficies y de la dependencia de la viscosidad del aceite no slo
de la temperatura sino del comportamiento viscosidad - presin del
mismo, aspectos estos que conducen finalmente a que la pelcula de
lubricante que se origina entre los pares en contacto sea muy fina,
pero extremadamente resistente limitando sensiblemente el contacto
metlico y reduciendo el valor del coeficiente de friccin a valores
muy pequeos en dependencia de la rugosidad superficial del par de
superficies en contacto. (Goytisolo y Moya, 1976); (Goytisolo y
Moya, 1977) Coeficientes de friccin de f = 0,2 y f = 0,5. Estos
valores son tpicos del rango en el que se mueve el coeficiente de
friccin en el caso de la lubricacin de pelcula lmite donde las
condiciones de lubricacin son ms desfavorables producto de: bajas
velocidades de deslizamiento, grandes cargas, elevadas rugosidades
superficiales, altas temperaturas de contacto, baja viscosidad,
escasos volmenes de lubricante, transmisiones por lo regular o
cerradas, con una lubricacin no muy eficiente, o abiertas a la
atmsfera, de poca importancia en las cuales dadas las mencionadas
condiciones, el espesor de la pelcula de lubricante no excluye el
contacto metlico entre las irregularidades aunque si es capaz de
limitar, en mayor o menor medida, el efecto adhesivo del contacto
reduciendo el valor del coeficiente de friccin al orden de las
dcimas o en el caso de contactos no lubricados con ruedas de
material plstico donde los coeficientes de friccin se mueven en
este rango. Coeficiente de friccin f = 0,8, prximo a la unidad.
Esta situacin tambin idealizada se corresponde con la situacin
extrema opuesta, o sea, ausencia casi total de lubricante,
superficies idealmente secas, con pares de contacto poco
compatibles (por ejemplo acero con acero), lo que permiti evaluar
el espectro completo de valores de coeficiente de friccin posibles
en las transmisiones por engranajes.
Se evaluaron en esa investigacin siete condiciones desde el
punto de vista del coeficiente de correccin del dentado que son.
(=-0,6; -0,3; 0,0; 0,3; 0,6; 1,0 y 1,4. Como resultado del
procesamiento se obtuvieron las Familias de Curvas que se muestran
en las Figuras. 3 a) y b) donde se puede apreciar la influencia
simultnea de los coeficientes de correccin y de friccin en el
Factor de Forma para las ruedas conductoras y para las ruedas
conducidas respectivamente de los engranajes con dientes rectos de
perfil simtrico.Figura 3 Influencia de los coeficientes de friccin
y de correccin en el factor de forma de las ruedas cilndricas de
dientes rectos simtricos
Le corresponde ahora al joven Aspirante de la Universidad de
Cienfuegos: Ing. William Beltrn Rodrguez, cuyos tutores son los
Doctores: Dr. Rafael Antonio Goytisolo Espinosa y Dr. Jorge Moya
Rodrguez y los restantes autores del presente trabajo sern, segn
aspiramos, sus colaboradores, el continuar perfeccionando este
Modelo y procesarlo para precisar la influencia de los factores
mencionados en la resistencia a la fractura de los dientes de las
ruedas cilndricas de perfil asimtrico.3. CONCLUSIONES1. Se elabor
un nuevo Esquema de Anlisis y un nuevo Modelo Matemtico para el
clculo de las tensiones volumtricas en el pie de los dientes de las
ruedas de engranajes de dientes rectos de evolvente de perfil
asimtrico. En este modelo se toman en cuenta las influencias
favorables de la tensin de flexin y de la tensin directa de
compresin de la componente radial de la carga sobre el diente. En
las cargas se incorpor la fuerza de friccin sobre el flanco, la
cual influye de forma diferente en la rueda conductora y en la
rueda conducida. En las ecuaciones del Modelo se ha incorporado
tambin el coeficiente de correccin del dentado con el objetivo de
poder evaluar su influencia en el Factor de Forma de estos
engranajes.2. El coeficiente de friccin influye significativamente
en la magnitud del Factor de Forma de las ruedas cilndricas de
dientes rectos de perfil asimtrico, hacindose necesario tomarlo en
cuenta en los clculos. Con el incremento del coeficiente de
friccin, debido al sentido desfavorable que tiene la fuerza de
friccin en las Ruedas Conductoras, disminuye el Factor de Forma,
elevndose las tensiones y disminuyendo por lo tanto la resistencia
a la fractura de los dientes. En las Ruedas Conducidas, el
incremento del coeficiente de friccin, dada la orientacin favorable
de la fuerza de friccin, produce el efecto contrario, aumentando el
Factor de Forma, lo que reduce las tensiones y favorece la
resistencia.3. REFERENCIAS BIBLIOGRFICAS1. ANSI/AGMA Standard
2101-C95, Fundamental Rating and Calculation Methods for Involute
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Maestra. Rafael Goytisolo Espinosa, Jorge Moya Rodrguez, Tutores,
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Humberto. Perfeccionamiento del diseo y del clculo de las
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Ciencias Tcnicas. UCLV: Autor: M.Sc. Luis Humberto Soto Berumen.
Tutores: Dr. Jorge Laureano Moya Rodrguez, Dr. Rafael Antonio
Goytisolo Espinosa20. Velzquez Prez, Jos Alberto. Influencia de la
geometra en la resistencia a la fractura de los dientes de los
engranajes plsticos cilndricos de dientes rectos. (2004). Tesis de
Doctor en Ciencias Tcnicas. UCLV: Autor: Ing. Jos Alberto Velzquez
Prez. Tutores: Dr. Jorge Laureano Moya Rodrguez, Dr. Juan F.
Soriano Pea.
VI Conferencia Cientfica de la Universidad de Holgun Oscar
Lucero MoyaVI Conferencia Cientfica de la Universidad de Holgun
Oscar Lucero Moya
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