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MODELO LINEAL MLTIPLE
Las relaciones entre las variables usadas para formular modelos
tericos de demanda, oferta, funciones de costo, funciones de
produccin, funciones de consumo, entre muchas otras, por lo general
involucran mas de dos variables.
Por lo tanto, se requiere ahora de un modelo ms general, es
decir, a partir del modelo simple:Debemos pasar a:
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EJEMPLO: Ingreso y EducacinHiptesis: En promedio se espera que
ms altos niveles de educacin estn asociados con ms altos
ingresos.
Pero el anterior modelo ignora el hecho de que la mayora de la
gente tiene ms altos ingresos cuando son mayores que cuando son
jvenes, independientemente de la educacin.
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Por tanto 1 est sobrestimando el impacto marginal de la
educacin. Una mejor especificacin del mdelo sera:Sin embargo, es
prudente observar que el ingreso tiende crecer menos rpido en los
aos ms avanzados que en los primeros aos. Entonces el modelo se
podr extender a:Se espera que 2 sea positivo y 3 sea negativo.
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Al igual que en el caso del modelo simple, es necesario
sustentar el modelo extendido con un conjunto de supuestos acerca
de cmo un conjunto de datos (muestra) ser producido por un proceso
de generacin de datos subyacente.Los supuestos son:1)Modelo lineal.
Implica linealidad en parmetrosEste supuesto no es tan restrictivo.
Recurdese que hay modelos aparentemente no lineales que s
satisfacen el supuesto de linealidad en parmetros, por ejemplo: el
logartmico, el cuadrtico, el translog y otros.
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2)
3)
4)
5)
6)Las Xs son fijas. No estocsticas.
7)n (# de observaciones) > k (# de coeficientes, incluyendo
el intercepto)8)Las Xs no estn linealmente relacionadas.
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(Homocedasticidad y No Autocorrelacin)
X es una matriz no estocstica de orden (n x k), es decir, cada
uno de sus valores es no aleatorio y fijo. Adems, la matriz (XX) es
no singular y sus elementos son fijos a medida que n . Es
decir:
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ESTIMACIN
Para el modelo mltiple, el principio Mnimo Cuadrtico Ordinario
se puede expresar como
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Estimacin de la Matriz Varianza-Covarianza:
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INFERENCIA ESTADSTICA
Para determinar la bondad de ajuste del modelo mltiple, se
requiere denotar la variacin en Y en Suma de Cuadrados Total (SCT),
Suma de Cuadrados Error (SCE) y Suma de Cuadrados de la Regresin
(SCR) mismas que se definen respectivamente como:
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En trminos matriciales estas sumas se definen como sigue:
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Una vez definidas las fuentes de variacin en Y, se puede definir
el coeficiente de determinacin ajustado.A partir de lo anterior el
coeficiente de determinacin ajustado se define como: es una mejor
media de la bondad de ajuste del modelo cuando se comparan modelos
que tienen diferente nmero de observaciones y/o de variables
independientes. Esto es as ya que toma en cuenta n y k. La R2 no
puede bajar a medida que k aumenta, al menos permanecer igual.
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Prueba de hiptesis acerca de coeficientes individuales:
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Relacin entre R2 y la prueba de F:Pruebas conjuntas sobre varios
coeficientes de regresin:
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Pruebas acerca de funciones lineales de los coeficientes de
regresin:
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Ejemplo:
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Prueba acerca de la igualdad de coeficientes de diferentes
regresiones (Cambio Estructural):
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IMPLEMENTACIN EMPRICA: COSTOS, CURVAS DE APRENDIZAJE Y ECONOMAS
DE ESCALA.Estimacin del efecto de las economas de escala y las
curvas de aprendizaje sobre los costos de produccin.Implicaciones
importantes en la estructura de mercado y en el bienestar econmico
ya que crean barreras que impiden la libre entrada al mercado,
protegiendo de una competencia efectiva de mercado a los que
entraron primero.Son factores importantes de inters para los
empresarios que buscan reducir sus costos de produccin.
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Las economas de escala reducen los costos unitarios o promedio a
medida que el nivel de producto aumenta por perodo de tiempo.En
presencia de Economas de escala, ya sea desde el punto de vista de
la MAX de ganancias o de la MIN de costos, es racional acelerar los
planes de inversin, reducir los precios, y alcanzar por lo tanto
niveles mas altos de produccin.Es claro que obtener valores
estimados de las economas de escala es un aspecto muy importante;
esta tarea se puede llevar a cabo utilizando mtodos
economtricos.
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Las curvas de aprendizaje tambin constituyen un determinante
importante de los costos de produccin. Los costos unitarios tienden
a caer a medida que pasa el tiempo y que se aumenta la experiencia
en el proceso productivo. Este fenmeno se observa en numerosas
operaciones de ensamble en lnea en donde las tareas se llevan a
cabo de una manera repetitiva.Los trabajadores tienden a aprender
de sus experiencias, reduciendo as el tiempo y los costos de mano
de obra que se requieren en el desempeo de sus labores.La nocin de
que tanto los costos como los precios unitarios tienden a declinar
sistemticamente en trminos reales a medida que la produccin
acumulada se incrementa, es muy importante tanto para el sector
privado como el pblico.
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Se puede pensar en una estrategia de precios y de mercado en la
que los productores asignan inicialmente un precio bajo que permita
una expansin en las ventas y una rpida penetracin en el mercado,
con las consecuencias de acumular rpidamente experiencia y explotar
as los efectos en la reduccin de costos de tal aprendizaje.En el
Sector Pblico se podra argumentar que debido a la existencia de
curvas de aprendizaje, se puede justificar que los gobiernos
proporcionen proteccin por tiempo limitado a las manufacturas
domsticas que compiten con extranjeros.Las curvas de aprendizaje
son entonces muy importantes en la formulacin de estrategias y
polticas. Cmo se estiman y se usan para pronosticar los costos de
produccin? Cmo estn relacionadas con las economas de escala?
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La existencia de economas a escala as como las reducciones en
los costos promedio de produccin al incrementar la escala
productiva estn relacionadas con las denominadas Curvas de
Aprendizaje.La curva de aprendizaje ms comnmente empleada posee la
siguiente forma:(1)
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dondect =Costo promedio real por unidad de produccin en el
perodo t (ajustado por inflacin utilizando un deflactor como el
implcito del PNB).c1 =Costo promedio inicial por unidad inicial de
produccin.nt =Produccin acumulativa hasta (pero sin incluir) el
perodo t.c =Elasticidad de los costos unitarios con respecto a la
produccin acumulativa (tpicamente negativo).ut =Trmino de error
estocstico que refleja la aleatoriedad en los procesos de costos de
produccin.
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La ecuacin anterior se puede expresar de la siguiente
manera:
(1)A fin de establecer la relacin con el proceso productivo se
incorpora una funcin de produccin que refleje las condiciones de
productividad de factores, en este caso se incorpora la funcin
Cobb-Douglas, la cual puede expresarse de la siguiente forma:
(3)Usando resultados de la teora microeconomica, la funcin de
costo dual de la funcin de produccin (3) es:
(4)
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donde
(5)r representa los rendimientos a escala .
Enseguida se efecta una transformacin logartmica a la funcin
anterior, quedando la funcin de la siguiente forma:
(6)Imponiendo la restriccin de homogeneidad de grado uno en
precios, se llega a:(7)
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Despejando de la ecuacin anterior 3/r y sustituyendo dentro de
la funcin de costo (6) se obtiene el siguiente resultado:
(8)donde
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La ecuacin (8) muestra la linealidad y simplicidad emprica de la
funcin de costo Cobb-Douglas. Un aspecto importante es que
manipulando los valores estimados a partir de esta ecuacin, se
puede regresar a los coeficientes originales de la funcin
Cobb-Douglas, 1, 2 y 3 de (3).
Con la finalidad de incluir en la funcin Cobb-Douglas el
concepto de curvas de aprendizaje, se sustituye la ecuacin (2)
dentro de la variable A, la cual refleja el estado de conocimiento
dentro de la funcin de produccin. De esta forma la variable A queda
expresada de la siguiente manera:
(9)
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Donde el parmetro c representa la elasticidad de la curva de
aprendizaje descrito en las primeras ecuaciones.
La funcin de costo con los efectos del aprendizaje incluidos
queda como:
(10)donde la descripcin de variables es semejante a la ecuacin
(6) pero el valor de k debe interpretarse de la siguiente
forma:
(11)
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Despus de algunos supuestos simplificadores, la funcin de costo
a estimar queda expresada como:
(12)Obsrvese que en caso de que se presenten rendimientos
crecientes a escala, el valor del parmetro r sera mayor que 1 y que
por lo tanto, (1 r)/r tomara un valor negativo.
La ecuacin (12) que muestra la estimacin de una funcin
Cobb-Douglas con rendimientos a escala no constantes, se puede
expresar de forma compacta como:
(13)
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Por otro lado, la ecuacin (2) de uso ms comn en la literatura
para estimar curvas de aprendizaje se puede expresar como:
(14)dondeObsrvese que la ecuacin anterior es igual a suponer
rendimientos constantes a escala sobre la ecuacin (13), es decir r
= 1.
Si se usa incorrectamente la ecuacin (14) para estimar una curva
de aprendizaje, se incurre en un sesgo por omitir variables.
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Para analizar el posible sesgo en que se incurre, es necesario
estimar una tercer ecuacin denominada como auxiliar, siendo
esta:
(15) En donde la relacin entre coeficientes se puede sealar de
la siguiente manera:
(16)La ecuacin anterior muestra el sesgo de estimacin, el cual
depende de los valores de 1 y 2. Ya que las variables yt y nt estn
positivamente relacionadas, 1 ser positivo. Por otra parte, el
valor de 2 depende de si existen rendimientos constantes,
crecientes o decrecientes. Entonces con una 1 positiva, esto
implica que:
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La interpretacin de los resultados es la siguiente: al omitir
incorrectamente variables como las que definen los rendimientos a
escala, se atribuyen a la elasticidad de la curva de aprendizaje
los efectos que en parte son debidos a los rendimientos a escala.
Por lo tanto es importante reconocer la presencia de este tipo de
error inherente a las estimaciones de estos modelos.
a) 1 1 mayor que 0r menor a 1Existen rendimientos decrecientes a
escalab) 1 1 igual a 0r igual a 1Existen rendimientos constantes a
escalac) 1 1 menor a 0r mayor a 1Existen rendimientos crecientes a
escala
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Adems, puesto que 1 y 1 son tpicamente negativos, 1 1 < 0
corresponde a que 1 tiene un valor absoluto mas pequeo que 1. En
tal caso, la estimacin de la ecuacin de la curva de aprendizaje
(14) rinde un valor estimado mas grande de la elasticidad de la
curva de aprendizaje (en valor absoluto) que si se incluyeran la
variable lnyt como en la ecuacin (13); por tanto en este caso la
elasticidad de la curva de aprendizaje se sobreestima en valor
absoluto.La interpretacin de este resultado es como sigue: Al
omitirse incorrectamente la variable lnyt, se atribuye a la
elasticidad de la curva de aprendizaje lo que de hecho es debido en
parte a los efectos de los rendimientos a escala. En el contexto de
la curva de aprendizaje, el sesgo por omitir una variable podra ser
muy importante.
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Los resultados de un listado computacional tpico de regresin
incluye pruebas estadsticas de t para cada uno de los coeficientes
estimados, al igual que una prueba estadstica de F para toda la
regresin.
Para probar la hiptesis nula de rendimientos constantes a escala
solo se requiere estimar la ecuacin (13) por MCO y realizar una
prueba de t sobre 2; la hiptesis nula es 2 = 0, mientras que la
hiptesis alternativa es 2 0.
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De manera similar, se puede probar la hiptesis nula de que el
efecto de las curvas de aprendizaje es cero. Teniendo estimada la
ecuacin (13) por MCO, esta prueba de hiptesis podra hacerse
mediante una prueba de t; la hiptesis nula es 1 = 0, mientras que
la hiptesis alternativa es 1 0.
Supngase, que se quisiera probar las dos hiptesis anteriores
simultneamente. En este caso la prueba conjunta de hiptesis de que
ambas, la elasticidad de la curva de aprendizaje es cero y los
rendimientos a escala son constantes correspondera a la prueba
conjunta H0 : 1 = 2 = 0; la hiptesis alternativa por supuesto sera
1 0, 2 0. Ntese que bajo la hiptesis nula conjunta la ecuacin (13)
se reduce a una ecuacin en la que el costo unitario real es
simplemente una regresin con un trmino constante; no quedan otros
regresores.
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Para realizar dicha prueba conjunta se debe emplear una prueba
estadstica de F en vez de pruebas estadsticas de t individuales.
Esto es debido a que las pruebas de t individuales generalmente no
son independientes; en contraste, el calculo llevado a cabo
mediante la prueba estadstica de F toma en cuenta apropiadamente la
dependencia entre las pruebas de hiptesis individuales. En este
caso particular la dependencia entre las pruebas de t individuales
depende primordialmente de la covarianza entre los valores
estimados MCO de y .
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Debido a que la prueba de F apropiadamente toma en cuenta la
dependencia entre las dos pruebas de t individuales, la inferencia
basada en la prueba estadstica de F no necesariamente va a
concordar con aquella basada en dos pruebas de t. Especficamente,
cualquiera de los siguientes seis casos seria posible:Se rechaza la
nula conjunta de F, pero no se rechaza cada nula por separado
basada en las pruebas de t individuales;Se rechaza la nula conjunta
de F, se rechaza una de las hiptesis individuales de t y no se
rechaza la otra hiptesis individual de t;Se rechaza la nula
conjunta de F, y se rechaza cada nula por separado de t
individual.
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4)No se rechaza la nula conjunta de F, y no se rechaza cada nula
de t individual;5)No se rechaza la nula conjunta de F, se rechaza
una de las hiptesis individuales de t y no se rechaza la otra
individual de t;6)No se rechaza la nula conjunta de F, pero se
rechaza cada nula individual de t.No obstante, en la prctica los
casos 1 y 6 rara vez ocurren mientras que los casos 2 y 3 son
relativamente comunes.