Modelo de pronóstico de demanda y optimización de ...

Modelo de pronóstico de demanda y optimización de programación de personal

para empresa Autolavado CASM

Juliana Sánchez Ramírez, John Fontecha

Departamento de Ingeniería Industrial, Universidad de los Andes, Bogotá, Colombia

Abstract: In this work we tackle the problem of scheduling of personal in a carwash

company subject to demand. Nonetheless, the demand is nondeterministic and it should

be predicted. To solve the problem, we used a procedure based on two parts, first a

forecasting model is used to predict the demand in different days of the week, then a MIP

was proposed to schedule the personal. Finally, a support decision tool was developed,

involving updating forecasts according to real demand, solving the scheduling problem

for a week and showing the results in a graph. We applied our methodology on a case

study for CASM Carwash company.

Resumen: En este trabajo vamos a abordar el problema de asignación de personal en un

auto lavado sujeto al cumplimiento de la demanda. Sin embargo, la demanda es no

determinista y debe ser pronosticada. Para resolver el problema usamos un procedimiento

desarrollado en dos partes, primero se usó un modelo de pronóstico con el fin de predecir

la demanda para cada uno de los días de la semana, después se propuso un modelo MIP

para asignar al personal. Finalmente se desarrolló una herramienta de apoyo a la decisión,

que por un lado involucra la actualización de los pronósticos de acuerdo a la demanda

real, y por otro lado resuelve el problema de asignación para una semana mostrando

gráficamente los resultados. Nuestro método fue aplicado en el caso de estudio de la

empresa Autolavado CASM.

1. Introducción

La programación óptima de un conjunto determinado de personal en diferentes tareas o

turnos de trabajo (Cela, 2002) es uno de los problemas más estudiados en la literatura,

autores como Harold Kuhn han desarrollado algoritmos iterativos como el método

húngaro, que mediante el uso matrices de costos permite resolver este tipo de problemas

de asignación (Kuhn, 1955), otros autores como Bechtold han empleado heurísticas

basadas en programación lineal y heurísticas construidas (Bechtold et al., 1991). Para este

tipo de problemas de asignación existe un amplio campo de estudio ya que una gran

cantidad de industrias requiere asignar su personal de acuerdo a turnos de trabajo

estipulados, por lo tanto, este problema ha sido aplicado en diversas organizaciones como

centros médicos, callcenters o aeropuertos (Ganguly et al., 2014).

Resolver problemas de asignación de personal facilita la coordinación de labores de todos

los empleados satisfaciendo los diferentes requerimientos que se deban cumplir en cada

caso en particular, de este modo también es posible disminuir excesos de carga en los

trabajadores o posibles tiempos ociosos. Así mismo la programación de personal puede

estar enfocada a cumplir distintos tipos de objetivos, como lo es minimizar costos,

maximizar las tasas de servicio o incluso múltiples objetivos a la vez. Es por esto que

dependiendo del objetivo que se desee optimizar se pueden obtener distintos problemas,

que pueden consistir en asignaciones lineales e incluso asignaciones cuadráticas o de

dimensiones superiores que implican diferentes niveles de complejidad (Cela, 2002).

No obstante, también es importante considerar que existe una gran variedad de problemas

de asignación de personal dependiendo de las restricciones que se incluyan, por ejemplo,

el horizonte de tiempo que se va a programar, la existencia de turnos predefinidos o no,

diferencias entre las habilidades del personal y días libres entre otros (Brusco, 2007). Ya

que de todo esto depende el tamaño del problema debido a que define la cantidad de

variables de decisión y restricciones, adicionalmente el tipo de industria o situación para

la cual se quiere programar el personal hace que el problema sea mucho más específico.

Otros aspectos a considerar son el tipo de demanda y tareas que se deben satisfacer en los

diferentes turnos, ya que pueden ser determinísticos, probabilísticos, estacionales, etc...

Esta variabilidad en la naturaleza de la demanda y las tareas depende en gran parte del

tipo de industria o situación que se está tratando. Sin embargo, dependiendo de la

naturaleza de dichos aspectos hay diversas metodologías que permiten realizar

pronósticos de demanda. Un ejemplo de pronósticos es el análisis de series de tiempo

propuesto por Box-Jenkins en el que se aplican modelos autorregresivos y de media móvil

que permiten caracterizar la serie de acuerdo a su tendencia, estacionalidad y demás

patrones, y mediante las funciones de autocorrelación se hallan los parámetros de los

pronósticos (Diem Ngo, 2013). Otro ejemplo de metodologías de predicción es el

procedimiento de Holt Winters el cual es útil para realizar pronósticos a corto plazo de

series de tiempo para ventas o demanda entre otros (Chatfield et al., 1988).

Teniendo en cuenta todas las consideraciones anteriores es claro que existe una amplia

variedad de problemas de asignación de personal, y así mismo diversas metodologías que

dependiendo del problema funcionan mejor y permiten hallar la solución óptima o una

solución cercana al óptimo (en el caso de heurísticas, si los problemas son muy

complejos). Algunas de las metodologías más conocidas son el método húngaro, modelos

de optimización lineales y heurísticas basadas en programación lineal, para otros casos

más complejos se han usado métodos de cortes enteros y heurísticas constructivas.

Debido a lo anterior es importante reconocer el tipo de problema que se va a resolver para

así seleccionar la metodología que mejor se ajusta a las necesidades de la situación.

Para resolver el problema de asignación de empleados en el caso de estudio se empleará

un modelo de programación lineal entera mixta similar al trabajo hecho por Gomar et al.

(2002), en el cual se incluirán todas las restricciones relativas al problema y se generará

la asignación de personal que minimiza los costos de contratación y la cantidad total de

empleados contratados en el horizonte de tiempo. En cuanto a la estimación de demanda

se realizarán pronósticos usando la metodología de Holt- Winters donde se identificarán

las diferentes series de tiempo obtenidas a partir de datos históricos y se actualizarán los

pronósticos a lo largo del tiempo.

El resto del documento se encuentra organizado de la siguiente manera: Definición formal

del problema, Metodología empleada para realizar la asignación de personal, aplicación

de la metodología en el caso de estudio Autolavado CASM, resultados obtenidos y

finalmente conclusiones y trabajo futuro.

2. Definición del problema

El problema de asignación de empleados incluye decisiones como contratar o no un

empleado, si los empleados contratados hacen horas extra y las estaciones en las que

trabajan los empleados contratados en cada franja horaria.

Formalmente este tipo de problemas se pueden definir a partir de un conjunto de

empleados disponibles ℰ = {1,2, … , 𝑛}, es decir la máxima cantidad de empleados

posible a contratar, un conjunto de días durante los cuales se quiere asignar a los

empleados 𝒟 = {1, 2, … , 𝑘} , es decir el horizonte de planeación, un conjunto de franjas

horarias o turnos de trabajo ℱ = {1,2, … , 𝑝} y un conjunto de estaciones de trabajo en las

cuales se debe distribuir al personal 𝒜 = {1, 2, … , 𝑠}. El parámetro 𝑑𝑖𝑏𝑙 representa la

demanda (pronosticada o conocida) en unidades de tiempo o unidades de producto para

cada día 𝑖 ∈ 𝒟 en cada estación de trabajo 𝑏 ∈ 𝒜 y cada franja horaria 𝑙 ∈ ℱ. El costo de

contratación 𝑐𝑚𝑖 del empleado 𝑚 ∈ ℰ el día 𝑖 ∈ 𝐷, este costo puede a su vez ser

independiente del empleado y el día en casos donde todos los empleados pueden realizar

las mismas actividades y no hay distinción entre los costos de acuerdo al día. El costo de

trabajar horas extra 𝑜𝑚𝑖 para cada empleado 𝑚 ∈ ℰ en el día 𝑖 ∈ 𝒟 que igual al costo de

contratación puede ser o no igual para todos los empleados en todos los días. Finalmente,

la duración 𝑛𝑙 en unidades de tiempo de cada una de las franjas de trabajo ya que

dependiendo de esto cambia el número de turnos en un día laboral.

Adicionalmente, dependiendo de si los empleados pueden realizar cualquier tipo de

actividad o no es importante tener en cuenta 𝑓𝑚𝑏 el tiempo o tasa de producción del

empleado 𝑚 ∈ ℰ en realizar la actividad de la estación 𝑏 ∈ 𝒜.

3. Metodología

3.1 Pronósticos de demanda

Es necesario tener en cuenta que hallar el mejor método de pronóstico no es una tarea

fácil ya que existen muchos tipos de problemas de predicción que dependen de una gran

variedad de consideraciones y objetivos, como las propiedades de los datos y el número

de series de tiempo a pronosticar entre otras (Chatfield et al., 1988). Para realizar el

pronóstico de la demanda en casos en los que esta no es conocida es importante analizar

la información histórica que se tenga disponible, de este modo al hacer un análisis gráfico

por ejemplo será posible identificar patrones estacionales o tendencias que permitan

obtener una idea de los métodos de pronósticos que se pueden usar.

Un ejemplo es el caso en el que la demanda es estacional y se repiten patrones cada cierto

periodo de tiempo, para este tipo de casos una opción es usar el método de Holt-Winters,

llamado método estacional de Winters el cual es una variante del suavizamiento

exponencial simple, donde se incluyen parámetros para actualizar la media, tendencia y

componente estacional, este método permite hacer pronósticos ajustados para periodos

cortos de tiempo (Chatfield et al., 1988). Para construir pronósticos mediante este método

es necesario primero inicializar los siguientes parámetros: 𝛼 que corresponde al

coeficiente de suavización del nivel o media de la serie, 𝛽 que es el parámetro de

suavización de la tendencia, 𝛾 que corresponde al coeficiente de suavización del índice

estacional, 𝑆0 que equivale al nivel o media de la serie de tiempo, 𝐺0 que corresponde a

la tendencia de la serie y 𝐶0 el índice estacional. Adicionalmente es necesario identificar

𝑚 el número de estaciones presentes en toda la serie de tiempo y la longitud de cada

estación 𝑁.

Existen diversos métodos de inicialización de los parámetros mencionados anteriormente,

uno es el método propuesto por Granger et al. (1986) que implica establecer 𝑆0 como el

promedio de las observaciones del primer año, 𝐺0 igual a cero y 𝐶0 comparando las

observaciones cíclicas del primer año. Otro método, propuesto por Makridakis et al.

(1982) consiste en usar “backcasting”, un método en el cual se revierte el orden de los

datos y se usan los más recientes para empezar el procedimiento, los datos del final (más

antiguos) se usan como valores iniciales. Un tercer método propuesto por Gardner (1986)

consiste en usar todos los valores de la serie ajustando una regresión lineal de todos los

datos para obtener los valores iniciales, donde 𝑆0 es el intercepto, 𝐺0 es la tendencia y 𝐶0

se obtiene a partir de todas las observaciones cíclicas (Chatfield et al., 1988). En cuanto

a los parámetros de suavizamiento (𝛼, 𝛽 𝑦 𝛾) existen dos métodos de inicialización

generales, el primero consiste en encontrar los parámetros que minimicen la suma

cuadrada de errores de los pronósticos respecto a los datos históricos y el segundo consiste

en estimarlos de acuerdo al juicio del modelador (Chatfield & Yar, 1988).

Teniendo los parámetros iniciales es posible aplicar las siguientes fórmulas para construir

el modelo de predicción:

𝑆𝑡 = 𝛼𝐷𝑡

𝐶𝑡−𝑁+ (1 − 𝛼)(𝑆𝑡−1 + 𝐺𝑡−1) (1)

𝐺𝑡 = 𝛽(𝑆𝑡 − 𝑆𝑡−1) + (1 − 𝛽)𝐺𝑡−1 (2)

𝐶𝑡 = 𝛾𝐷𝑡

𝑆𝑡+ (1 − 𝛾)𝐶𝑡−𝑁 (3)

𝐹𝑡,𝑡+𝜏 = (𝑆𝑡 + 𝜏𝐺𝑡)𝐶𝑡+𝜏−𝑁 (4)

Donde 𝑆𝑡 (1) equivale al nivel o media de la serie en el tiempo t, 𝐺𝑡 (2) corresponde a la

tendencia de la serie en el tiempo t y 𝐶𝑡 (3) es el el índice estacional en el tiempo t,

respecto a 𝐹𝑡,𝑡+𝜏 (4) este es el valor de la predicción para el periodo 𝑡 + 𝜏 siendo t la

ultima observación disponible de la serie de tiempo.

Continuando con el ejemplo de demanda estacional otro método apropiado a considerar

es el propuesto por Box et al. (1973) en el que se usan modelos autorregresivos y de

medias móviles para estimar componentes en los cuales los rezagos deban ser tenidos en

cuenta y los errores aleatorios de los periodos recientes. Para esto primero es necesario

identificar si la serie es estacionaria, es decir que su media a largo plazo no aumente ni

disminuya con el fin de incluir un componente de tendencia en caso de que exista, es

posible identificar la estacionariedad mediante la gráfica de la función de autocorrelación

parcial, en la cual también se pueden evidenciar comportamientos estacionales y su

periodo (Modelos para pronosticar la demanda de un producto de consumo masivo para

la limpieza del hogar en el mercado colombiano, 2003). Habiendo identificado estos

comportamientos es posible caracterizar la serie encontrando los parámetros p

(correspondiente al componente autorregresivo) y q (componente de media móvil), de

este modo se puede caracterizar la serie como ARMA (p, q). De acuerdo a lo anterior la

ecuación general de predicción para un modelo ARMA sería:

𝑍𝑡 = 𝜃0 + 𝜙1𝑌𝑡−1 + ⋯ + 𝜙𝑝𝑌𝑡−𝑝 − 𝜃1𝑎𝑡−1 − 𝜃2𝑎𝑡−2 − ⋯ − 𝜃𝑞𝑎𝑡−𝑞 + 𝑎𝑡 (5)

Donde 𝜃0 es el parámetro constante, cada 𝜙𝑛 es el parámetro del componente

autorregresivo de orden n, 𝑌𝑡−𝑛 es el valor de la serie de tiempo n periodos atrás, 𝜃𝑛 es el

parámetro del promedio móvil y 𝑎𝑡−𝑛 es el error aleatorio n periodos atrás (Modelos para

pronosticar la demanda de un producto de consumo masivo para la limpieza del hogar en

el mercado colombiano, 2003).

3.2 Formulación del modelo de programación lineal

Como parámetros adicionales para la formulación se tuvo en cuenta ℎ que equivale a la

duración en minutos de una hora extra, 𝑊 que para términos prácticos se usó como un

número muy grande y 𝑎 que corresponde a la cantidad máxima de días que puede trabajar

un empleado durante el horizonte de tiempo a programar.

Una vez se tienen los parámetros requeridos es necesario plantear las variables de decisión

que se van a emplear. Por un lado, está 𝑥𝑚𝑖𝑏𝑙, una variable binaria que toma el valor de 1

si el empleado 𝑚 ∈ ℰ trabaja el día 𝑖 ∈ 𝒟 en la estación 𝑏 ∈ 𝒜 durante la franja 𝑙 ∈ ℱ y

0 de lo contrario. La variable binaria 𝑦𝑚𝑖, que toma el valor de 1 si el empleado 𝑚 ∈ ℰ

trabaja el día 𝑖 ∈ 𝒟 y 0 de lo contrario. La variable entera 𝑝𝑚𝑖 que indica el número de

horas extra que trabaja el empleado 𝑚 ∈ ℰ el día 𝑖 ∈ 𝒟. Finalmente está la variable

binaria 𝑞𝑚, que toma el valor de 1 si el empleado 𝑚 ∈ ℰ es contratado alguno de los días

a programar.

Para resolver el problema se simplifica la metodología propuesta por Gomar et al. (2002)

ya que en este caso se asume que todos los trabajadores pueden realizar cualquier trabajo,

de modo que el programa entero mixto formulado es el siguiente:

𝑚𝑖𝑛 ∑ 𝑞𝑚

𝑚∈𝐸

(6.1)

min ∑ ∑ 𝑦𝑚𝑖 (𝑐𝑚𝑖)𝑚∈ℰ

+𝑖∈𝒟

∑ ∑ 𝑝𝑚𝑖 (𝑜𝑚𝑖)𝑚∈𝐸𝑖∈𝐷

(6.2)

s.a.

∑ 𝑥𝑚𝑖𝑏𝑙(𝑛𝑙)𝑚∈ℰ

+ ∑ 𝑝𝑚𝑖(ℎ)𝑚∈ℰ

≥ 𝑑𝑖𝑏𝑙 ∀ 𝑖 ∈ 𝒟, 𝑏 ∈ 𝒜 , 𝑙 ∈ ℱ (7)

∑ ∑ 𝑥𝑚𝑖𝑏𝑙 = 2𝑦𝑚𝑖 ∀𝑚 ∈ ℰ, 𝑖 ∈ 𝒟 (8)

𝑙 ∈ ℱ 𝑏 ∈ 𝒜

∑ 𝑥𝑚𝑖𝑏𝑙 ≤ 1 ∀𝑚 ∈ ℰ, 𝑖 ∈ 𝒟, 𝑙 ∈ ℱ (9)

𝑏 ∈ 𝒜

∑ 𝑦𝑚𝑖 ≤ 𝑎 ∀ 𝑚 ∈ ℰ𝑖∈𝒟

(10)

𝑝𝑚𝑖 ≤ 𝑦𝑚𝑖 ∗ 𝑊 ∀ 𝑖 ∈ 𝒟, 𝑚 ∈ ℰ (11)

𝑝𝑚𝑖 ≤ 1 ∀ 𝑖 ∈ 𝒟, 𝑚 ∈ ℰ (12)

𝑞𝑚(𝑊) ≥ ∑ 𝑦𝑚𝑖 ∀ 𝑚 ∈ ℰ (13)

𝑖∈𝒟

𝑥𝑚𝑖𝑏𝑙 ∈ {0,1} ∀ 𝑚 ∈ ℰ, 𝑖 ∈ 𝒟, 𝑏 ∈ 𝒜, 𝑙 ∈ ℱ (14)

𝑦𝑚𝑖 ∈ {0,1} ∀ 𝑚 ∈ ℰ, 𝑖 ∈ 𝒟 (15)

𝑝𝑚𝑖 ∈ {0,1} ∀ 𝑚 ∈ ℰ, 𝑖 ∈ 𝒟 (16)

𝑞𝑚 ∈ {0,1] ∀𝑚 ∈ ℰ (17)

En este caso el problema se modeló con dos funciones objetivo, en primer lugar, está la

función objetivo (6.1) que minimiza la cantidad total de empleados contratados en el

horizonte de programación, esto, debido a que es preferible contratar la menor cantidad

de empleados posible en caso de tener que pagar seguros por riesgos laborales. En

segundo lugar, se formuló la función objetivo (6.2) que minimiza el costo total de

contratación para el horizonte de tiempo programado cuando el empleado 𝑚 ∈ ℰ es

contratado el día 𝑖 ∈ 𝒟 y las horas extras hechas por el mismo. Para resolver este

problema con dos funciones objetivo el procedimiento consiste en resolver primero el

modelo minimizando la función (6.1), guardar el valor de dicha función objetivo como

una variable denominada 𝑟 y resolver el problema nuevamente pero ahora usando la

función objetivo (6.2) y agregando la restricción (18) la cual garantiza que no se asignen

más empleados en el horizonte de programación de los que se hallaron como solución

óptima en el primer problema resuelto.

∑ 𝑞𝑚

𝑚∈𝐸

≤ 𝑟 (18)

El conjunto de restricciones (7) garantiza el cumplimiento de la demanda para cada día

en cada estación de trabajo y turno laboral; el conjunto de restricciones (8) garantiza que

si un empleado es contratado en alguno de los dos turnos, deba ser contratado en el otro

turno también, esto para casos en los que los empleados trabajen únicamente por día

completo; El conjunto de restricciones (9) modela que cada empleado asignado

únicamente se programe a una estación de trabajo en cada franja horaria; Las restricciones

(10) garantizan que el número máximo de días que puede trabajar un empleado no se

exceda a lo largo del horizonte de planeación; Los conjuntos de restricciones (11) y (12)

garantizan que solamente los empleados contratados en un día específico puedan hacer

horas extra, así mismo se restringe la cantidad de horas extra realizadas, en este caso

máximo 1; El conjunto de restricciones (13) define la variable que indica si un empleado

es contratado a lo largo del horizonte de planeación; Finalmente, los conjuntos de

restricciones (14), (15), (16) y (17) garantizan la naturaleza de las variables de decisión.

3.3 Implementación del modelo de optimización y desarrollo de herramienta

Una vez se tiene todo el modelo de programación lineal formulado y los parámetros

necesarios es posible realizar la implementación en un optimizador lineal, en este caso se

optó por usar OpenSolver 2.8.3, un optimizador de código abierto para Microsoft Excel

que extiende el complemento Solver con optimizadores más poderosos mediante el uso

de Excel VBA (About Open Solver, 2016), ya que permite elaborar la interfaz mediante

un formulario en Visual Basic y enlazarla con la programación del modelo de

optimización. Las funciones de la herramienta desarrollada son: actualizar las demandas

de días pasados con el fin de actualizar los pronósticos futuros, ingresar parámetros

básicos como días laborales de la empresa, número máximo de días de trabajo por

empleado, fecha del lunes de la semana a programar y cantidad de empleados disponibles,

con base en los parámetros ingresados la herramienta muestra la asignación óptima de

personal encontrada que minimiza el número total de empleados contratados y los costos

de contratación.

Mediante macros en Visual Basic se implementan las restricciones y variables de decisión

en Microsoft Excel 2016, se realizan todos los procedimientos para agregar las

restricciones, función objetivo y celdas variables al complemento OpenSolver y

finalmente este es invocado para solucionar el problema. Es importante tener en cuenta

que para poder invocar OpenSolver desde las macros de Excel se debe habilitar el

complemento Solver y dentro de Visual Basic activar en el cuadro de referencias Solver

y OpenSolver. Como paso siguiente se construyó el formulario con los botones

correspondientes para actualizar demandas y asignar empleados, los cuales invocan los

métodos ya desarrollados y permiten visualizar los resultados de la asignación

gráficamente.

4. Caso de estudio (Autolavado CASM)

La empresa Autolavado CASM fundada en el año 1991 se encuentra ubicada en el

municipio Tabio, Cundinamarca. Esta empresa presta principalmente servicios de lavado

de vehículos para lo cual pueden llegar Automóviles y camperos o camionetas para lavado

general (externo e interno), lavado con motor (externo, interno y motor) y para lavado

exterior (externo únicamente), adicionalmente llegan motos y vehículos grandes como

compactadores, NPR, camiones de basura, entre otros. Teniendo en cuenta la información

anterior se clasificó la demanda de todos los tipos de vehículo en 8 categorías

(Automóviles general, automóviles exterior, automóviles motor, CC general, CC exterior,

CC motor, motos y Vehículos grandes). Adicionalmente y en menor medida en la empresa

se prestan servicios como cambio de aceite, montallantas y venta de algunos repuestos e

insumos automotores. Debido a que la actividad principal de la empresa es el servicio de

lavado de vehículos se tomó únicamente esta actividad para el desarrollo de la

programación de personal.

A lo largo del tiempo el negocio se ha mantenido en el mercado y el volumen de vehículos

atendidos es incierto, por lo que la demanda y los requerimientos de personal también lo

son. Actualmente la empresa labora los 7 días de la semana en horarios de 8 de la mañana

a 6 de la tarde y la asignación diaria de personal la lleva a cabo el propietario de acuerdo

a su experiencia. Se cuenta en total con 4 empleados disponibles asignados de la siguiente

manera: 2 empleados para los días lunes, martes, miércoles, jueves y viernes, y para los

días sábados, domingos y festivos se contratan 3 empleados. Los 4 empleados actuales

realizan cualquier tipo de tarea cualquier día de la semana, por lo que es posible que un

empleado lave y aspire vehículos en cualquier momento del día. Con la asignación actual

de empleados suele ocurrir que existen días en los cuales la demanda sobrepasa la

capacidad de atención, por lo que muchos clientes deben esperar largo tiempo para ser

atendidos, como consecuencia algunos se van o incluso los empleados deben trabajar

horas extra (máximo una hora por empleado), en otras ocasiones la situación es contraria

debido a que hay poca demanda y los empleados contratados no están lo suficientemente

ocupados a lo largo del día. En vista del problema mencionado surge la necesidad de

realizar la programación de personal partiendo de bases teóricas para así mejorar su

eficiencia.

En primer lugar, se analizó la información histórica de demanda (número de vehículos

que llegan al día por tipo de vehículo y servicio) durante los últimos 3 años (Mayo 2013

– Mayo 2016), del caso de estudio Autolavado CASM para cada una de las 8 series de

tiempo (Clasificaciones por tipos de llegadas) para pronosticar cada una de ellas. Con la

información anterior se identificaron comportamientos estacionales en la mayoría de

series de tiempo por lo que se elaboraron los pronósticos de las demandas mediante los

siguientes 2 métodos: Metodología de Box-Jenkins y Holt – Winters.

Para la metodología de Box - Jenkins que emplea modelos autorregresivos y de medias

móviles primero se identificó si las series eran estacionarias o no, es decir que su media

a largo plazo no aumente ni disminuya, esto con el fin de tener en cuenta la tendencia en

caso de que exista a la hora de pronosticar. Mediante la gráfica de la función de

autocorrelación parcial se identificó si las series eran estacionarias, luego se determinó

mediante la misma gráfica la existencia de estacionalidad de 7 periodos para todas las

series. El siguiente paso consistió en diferenciar las series (1, 7 y 8 periodos de acuerdo a

los análisis de las gráficas de autocorrelación) para modelar el comportamiento estacional

(Box t al., 1973). Los análisis mencionados se corrieron en el programa SAS, con los

resultados anteriores fue posible caracterizar cada una de las series como: ARMA (1,7)

cuyos pronósticos son dados por las siguientes ecuaciones:

𝑨𝒖𝒕𝒐𝒎ó𝒗𝒊𝒍𝒆𝒔 𝒈𝒆𝒏𝒆𝒓𝒂𝒍: 𝑍𝑡 = 0.045𝑍𝑡−1 + 𝑍𝑡−7 + 0.045𝑍𝑡−8 + 𝑎𝑡 − Ѳ7𝑎𝑡−7

𝑨𝒖𝒕𝒐𝒎ó𝒗𝒊𝒍𝒆𝒔 𝒆𝒙𝒕𝒆𝒓𝒊𝒐𝒓: 𝑍𝑡 = 0.037𝑍𝑡−1 + 𝑍𝑡−7 + 0.059𝑍𝑡−8 + 𝑎𝑡 − Ѳ7𝑎𝑡−7

𝑨𝒖𝒕𝒐𝒎ó𝒗𝒊𝒍𝒆𝒔 𝒎𝒐𝒕𝒐𝒓: 𝑍𝑡 = 0.033𝑍𝑡−1 + 𝑍𝑡−7 + 0.063𝑍𝑡−8 + 𝑎𝑡 − Ѳ7𝑎𝑡−7

𝑪𝑪 𝒈𝒆𝒏𝒆𝒓𝒂𝒍: 𝑍𝑡 = 0.07𝑍𝑡−1 + 𝑍𝑡−7 + 0.054𝑍𝑡−8 + 𝑎𝑡 − Ѳ7𝑎𝑡−7

𝑪𝑪 𝒆𝒙𝒕𝒆𝒓𝒊𝒐𝒓: 𝑍𝑡 = 0.014𝑍𝑡−1 + 𝑍𝑡−7 − 0.017𝑍𝑡−8 + 𝑎𝑡 − Ѳ7𝑎𝑡−7

𝑪𝑪 𝒎𝒐𝒕𝒐𝒓: 𝑍𝑡 = −0.016𝑍𝑡−1 + 𝑍𝑡−7 + 0.019𝑍𝑡−8 + 𝑎𝑡 − Ѳ7𝑎𝑡−7

Como validación final se verificó si el tamaño de la muestra era suficiente para hacer un

buen modelo, dado que los parámetros de un modelo ARMA estacional son (p, d, q) (P,

D, Q)m la cantidad mínima de observaciones requeridas es de p+q+P+Q+d+Md+1

(Hyndman et al., 2007) por lo que dicha cantidad es 1+7+1+7 = 16. De acuerdo a lo

anterior se confirma que el tamaño de la muestra analizada de 3 años es suficiente para

todas las series de tiempo (Hyndman et al., 2007).

Respecto a la metodología Holt–Winters el procedimiento es un más sencillo, primero se

identifica la estacionalidad de la serie que como ya vimos en el método Box-Jenkins es

7, luego se inicializaron los parámetros S0, G0 y los 7 periodos estacionales 𝐶𝑡 mediante

la ecuación de la regresión lineal de la serie de acuerdo a la metodología propuesta por

Gardner (1986), después se normalizaron los valores de los parámetros Cj y se calcularon

los valores de los parámetros St, Gt y Ct utilizando las fórmulas de Holt-Winters (Chatfield

et al., 1988). Respecto a los parámetros de suavizamiento 𝛼, 𝛽 𝑦 𝛾 su inicialización se

hizo minimizando la suma de cuadrados de los errores entre los pronósticos y los valores

reales. Para calcular los valores de los pronósticos se usó la fórmula: 𝐹𝑡,𝑡+𝜏 =

(𝑆𝑡 + 𝜏𝐺𝑡)𝑐𝑡+𝜏−𝑁 y de este modo se obtienen los valores de los pronósticos para los

siguientes 7 días.

Igual que en la metodología de Box-Jenkins se hizo una validación del tamaño mínimo

de la muestra, el cual para Holt-Winters debe ser igual a: siendo m el número de periodos

estacionales en un año m+5 es el tamaño mínimo de la muestra (Hyndman et al., 2007).

Para este caso en específico m es 52, por lo que se requieren mínimo 57 observaciones,

esto se cumple adecuadamente con la información histórica disponible.

Para las series de motos y vehículos grandes no se evidenció un comportamiento

estacional, por lo que se optó por probar ajuste a distribuciones probabilísticas y

compararlo con los resultados de Holt-Winters, el procedimiento que se llevó cabo

consistió en tomar cada serie de datos y mediante la herramienta input Analyzer del

software Arena se ajustó a una distribución, para la serie de motos se obtuvo: -0.5 +

Logn(1.12,0.855) y para la serie de vehículos grandes: Poisson(0.132) sin embargo,

ambas distribuciones se rechazaron bajo la prueba de significancia Chi2 por lo que para

estas dos series se usaron los pronósticos del método Holt-Winters ya que los resultados

del error cuadrático medio para los tres años no eran elevados.

Teniendo los resultados de las dos metodologías (ARMA y Winters) el paso siguiente

consistió en comparar ambos resultados y optar por la que mejor se ajustara a los valores

reales, para ello se estimaron los pronósticos de los tres años para los que se contaba con

información histórica mediante ambos métodos, se compararon los errores mediante el

MSE es decir tomar cada dato real, restarle el valor del pronóstico, elevar este valor al

cuadrado y sumar estos resultados, de modo que el método escogido es el que brinda un

menor MSE. A continuación, se muestra la tabla comparativa:

Automóviles General Automóviles Motor Automóviles Exterior

ARMA Winters ARMA Winters ARMA Winters

MSE 17.371 11.300 MSE 3.830 1.718 MSE 3.993 2.160

Tabla1. Comparación de pronósticos para Automóviles

CC General CC Motor CC Exterior

ARMA Winters ARMA Winters ARMA Winters

MSE 4.671 2.312 MSE 1.757 1.023 MSE 1.676 1.001

Tabla2. Comparación de pronósticos para Camperos y camionetas

Como muestran los resultados la metodología escogida para pronosticar las demandas es

Holt-Winters para todas las series de tiempo debido a que brinda mejores resultados con

menor MSE. Los pronósticos obtenidos se ajustan del siguiente modo a los valores reales,

adicionalmente se pueden observar los residuos estandarizados de los pronósticos a lo

largo del tiempo:

Automóviles general

Automóviles exterior

0

5

10

15

20

25

13

36

59

71

29

16

11

93

22

52

57

28

93

21

35

33

85

41

74

49

48

15

13

54

55

77

60

96

41

67

37

05

73

77

69

80

18

33

86

58

97

92

99

61

99

31

025

10

57

Nú

mer

o d

e ve

híc

ulo

s

Día

Valores reales Pronósticos

-6

-4

-2

0

2

4

0 200 400 600 800 1000

Res

idu

os

Día

Residuos estadarizados

0

2

4

6

8

10

13

36

59

71

29

16

11

93

22

52

57

28

93

21

35

33

85

41

74

49

48

15

13

54

55

77

60

96

41

67

37

05

73

77

69

80

18

33

86

58

97

92

99

61

99

31

025

10

57Nú

mer

o d

e ve

híc

ulo

s

Día

Valores reales Pronósticos

-6

-4

-2

0

2

4

6

0 200 400 600 800 1000Res

idu

os

Día

Residuos estandarizados

Automóviles con motor

CC general

CC exterior

0

2

4

6

8

13

36

59

71

29

16

11

93

22

52

57

28

93

21

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33

85

41

74

49

48

15

13

54

55

77

60

96

41

67

37

05

73

77

69

80

18

33

86

58

97

92

99

61

99

31

025

10

57Nú

mer

o d

e ve

híc

ulo

s

Día

Valores reales Pronósticos

-2

0

2

4

0 200 400 600 800 1000

Res

idu

os

Día

Residuos estandarizados

0

2

4

6

8

10

13

46

71

00

13

31

66

19

92

32

26

52

98

33

13

64

39

74

30

46

34

96

52

95

62

59

56

28

66

16

94

72

77

60

79

38

26

85

98

92

92

59

58

99

11

024

10

57Nú

mer

o d

e ve

híc

ulo

s

Día

Valores reales Pronósticos

-4

-2

0

2

4

6

0 200 400 600 800 1000Res

idu

os

Día

Residuos estandarizados

0

1

2

3

4

5

6

13

36

59

71

29

16

11

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22

52

57

28

93

21

35

33

85

41

74

49

48

15

13

54

55

77

60

96

41

67

37

05

73

77

69

80

18

33

86

58

97

92

99

61

99

31

025

10

57Nú

mer

o d

e ve

híc

ulo

s

Día

Valores reales Pronósticos

CC con motor

Motos

-6

-4

-2

0

2

4

6

0 200 400 600 800 1000Res

idu

os

Día

Residuos estandarizados

0

2

4

6

8

10

12

1

34

67

10

0

13

3

16

6

19

9

23

2

26

5

29

8

33

1

36

4

39

7

43

0

46

3

49

6

52

9

56

2

59

5

62

8

66

1

69

4

72

7

76

0

79

3

82

6

85

9

89

2

92

5

95

8

99

1

10

24

10

57

Nú

mer

o d

e ve

híc

ulo

s

Día

Valores reales Pronósticos

-5

0

5

10

15

0 200 400 600 800 1000

Res

idu

os

Día

Residuos estandarizados

0

1

2

3

4

5

13

36

59

71

29

16

11

93

22

52

57

28

93

21

35

33

85

41

74

49

48

15

13

54

55

77

60

96

41

67

37

05

73

77

69

80

18

33

86

58

97

92

99

61

99

31

025

10

57Nú

mer

o d

e ve

híc

ulo

s

Días

Valores reales Pronósticos

-4

-2

0

2

4

6

0 200 400 600 800 1000Res

idu

os

Día

Residuos estandarizados

Grandes

De acuerdo a las gráficas anteriores es posible observar que los residuos de distribuyen

aleatoriamente alrededor de cero a lo largo del tiempo, de modo que se puede afirmar que

los pronósticos son insesgados. Respecto al ajuste de los pronósticos en general en todas

las series se replica un comportamiento similar al de los valores reales excepto por el caso

de los automóviles con motor, ya que se observa que los pronósticos oscilan entre 1 y 2

únicamente mientras que los datos reales toman valores diferentes.

Habiendo realizado las estimaciones de demanda fue posible continuar con los

parámetros necesarios para realizar la formulación del modelo de programación lineal.

Para este caso se tenía:

𝐷𝑖: Conjunto de días laborales {Lunes, Martes, Miércoles, Jueves, Viernes,

Sábado y Domingo}

𝐹𝑙: Conjunto de franjas laborales {Mañana y tarde}

𝐸𝑚: Conjunto de empleados disponibles {1, 2, 3 y 4}

𝐴𝑏: Conjunto de estaciones de trabajo {Lavado y aspirado}

𝑑𝑖𝑏𝑙: Demanda pronosticada en minutos para el día 𝑖 en la estación 𝑏 durante la

franja 𝑙 (Obtenida multiplicando los pronósticos de arribos de cada tipo de llegada

por la duración de cada tipo de servicio en minutos)

𝑐𝑚𝑖: Costo por día de un trabajador = $30.000 (igual para todos los empleados

todos los días)

𝑜𝑚𝑖: Costo por hora extra de un trabajador = $4.000 (igual para todos los

empleados todos los días)

𝑛𝑙: Duración de la franja 𝑙 en minutos = 240 (igual para ambas franjas)

𝑊: Número muy grande = 9000000

0

1

2

3

13

36

59

71

29

16

11

93

22

52

57

28

93

21

35

33

85

41

74

49

48

15

13

54

55

77

60

96

41

67

37

05

73

77

69

80

18

33

86

58

97

92

99

61

99

31

025

10

57Nú

mer

o d

e ve

híc

ulo

s

Día

Valores reales Pronósticos

-4

-2

0

2

4

6

0 200 400 600 800 1000Res

idu

os

Día

Residuos estandarizados

ℎ: Minutos en una hora = 60

𝑎: Días hábiles por trabajador = 6 días

Respecto a las franjas laborales es importante mencionar que no se contaba con

información detallada de las horas de llegada de cada vehículo por lo que no fue posible

plantear turnos de menor duración, sin embargo, se tomó dicha información a lo largo de

un mes aproximadamente y se calculó la probabilidad de llegada de cada servicio para

horas de la mañana y horas de la tarde. En cuanto a las estaciones de trabajo también es

necesario tener en cuenta que actualmente los empleados realizan cualquier actividad en

cualquier momento por lo que se propuso dividir las tareas de lavado y aspirado para que

cada empleado sea asignado específicamente a una de estas actividades en cada franja del

día.

Con todos los parámetros disponibles se formuló e implementó el modelo de optimización

en Microsoft Excel y se resolvió mediante el complemento abierto OpenSolver, así

mismo se implementó el modelo de pronósticos seleccionado para cada serie de tiempo.

Con esto se construyó la interfaz, en la cual es posible actualizar las demandas diarias

para hacer pronósticos más acertados y con base en estos generar la asignación de

empleados que minimiza la cantidad total de empleados contratados y los costos de

contratación para una semana, cabe resaltar que los parámetros días laborales de la

empresa, cantidad de empleados disponibles y máximo número de días hábiles por

trabajador se pueden modificar mediante la interfaz en caso de que la empresa decida

modificarlos, esto con el fin de darle flexibilidad a la herramienta desarrollada.

5. Resultados

A continuación, es posible observar la visualización de la interfaz de la herramienta

desarrollada:

Figura 1. Interfaz principal de la herramienta

Figura 2. Módulo de asignación de empleados

Figura 3. Módulo de actualización de demandas

Figura 4. Visualización de resultados de asignación

Es posible observar en la figura 1 la interfaz principal de la herramienta a través de la cuál

es posible acceder a los módulos de asignación de empleados y actualización de

demandas, respecto al módulo de asignación (Figura 2) es posible ver que están

disponibles las opciones de selección de días hábiles de la empresa, ingreso de días

hábiles por empleado, cantidad de empleados y selección de la fecha correspondiente al

lunes de la semana que se quiere programar. Por otro lado, en la figura 3 se observa el

módulo de actualización de demandas en el cual es posible ingresar la cantidad de

llegadas por cada tipo de vehículo seleccionando la fecha de cada uno de los días a

actualizar. Finalmente, en la figura 4 es posible observar un ejemplo de los resultados

obtenidos de la asignación de empleados para una semana, donde se identifica la actividad

que realiza cada empleado en cada turno y día de la semana.

El tiempo computacional para la actualización de demandas es de aproximadamente 50

segundos mientras que para realizar la asignación de empleados es de aproximadamente

2 minutos bajo el escenario actual, en caso de modificar los parámetros este tiempo puede

aumentar o disminuir.

Comparando los costos de contratación del escenario actual y los resultados obtenidos a

través de la herramienta de programación de personal, se observa que los costos diarios

varían (Figura 5) algunos son mayores, otro iguales o menores y a largo plazo viendo los

costos acumulados de casi dos meses (Figura 6) la diferencia es de $30.000 siendo los

costos de la propuesta superiores.

Figura 5. Comparación costos diarios de contratación

Figura 6. Comparación costos acumulados de contratación

6. Conclusiones y trabajo futuro

De acuerdo a los resultados es posible observar que los costos acumulados de la propuesta

tienden a ser mayores que los costos de la política actual, por un lado, es posible atribuir

este hecho a las restricciones de cumplimiento de demandas, ya que en el modelo de

programación lineal es necesario cumplir con esta y para ello puede ser necesario

contratar más empleados que de costumbre. Es importante tener en cuenta que la

diferencia entre los costos acumulados no es significativa ($30.000 en dos meses) debido

a que viendo la gráfica de costos diarios, estos oscilan entre un mismo rango ($60.000 y

$90.000) para ambas alternativas, por lo que es posible concluir que la diferencia

importante está en cómo se asignan los empleados a lo largo de la semana, por ejemplo

con la propuesta actual se deben asignar 2 el miércoles y 3 el domingo, pero es posible

que la asignación óptima indique contratar 3 el miércoles y 2 el domingo, lo cual no tiene

repercusiones sobre los costos pero sí sobre el cumplimiento de la demanda. Así mismo,

50000550006000065000700007500080000850009000095000

3/1

0/2

01

6

5/1

0/2

01

6

7/1

0/2

01

6

9/1

0/2

01

6

11

/10

/20

16

13

/10

/20

16

15

/10

/20

16

17

/10

/20

16

19

/10

/20

16

21

/10

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16

23

/10

/20

16

25

/10

/20

16

27

/10

/20

16

29

/10

/20

16

31

/10

/20

16

2/1

1/2

01

6

4/1

1/2

01

6

6/1

1/2

01

6

8/1

1/2

01

6

10

/11

/20

16

12

/11

/20

16

14

/11

/20

16

16

/11

/20

16

18

/11

/20

16

20

/11

/20

16

22

/11

/20

16

24

/11

/20

16

26

/11

/20

16

Co

sto

dia

rio

de

con

trat

ació

n (

$)

Fecha

Comparación Propuesta vs. situación actual

Actual Propuesta

0500000

10000001500000200000025000003000000350000040000004500000

1/1

0/2

01

6

3/1

0/2

01

6

5/1

0/2

01

6

7/1

0/2

01

6

9/1

0/2

01

6

11

/10

/20

16

13

/10

/20

16

15

/10

/20

16

17

/10

/20

16

19

/10

/20

16

21

/10

/20

16

23

/10

/20

16

25

/10

/20

16

27

/10

/20

16

29

/10

/20

16

31

/10

/20

16

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1/2

01

6

4/1

1/2

01

6

6/1

1/2

01

6

8/1

1/2

01

6

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/20

16

12

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16

14

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16

16

/11

/20

16

18

/11

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16

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/11

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16

22

/11

/20

16

24

/11

/20

16

26

/11

/20

16Co

sto

s co

ntr

atac

ión

($)

Fecha

Costos acumulados de contratación (Oct-Nov)

Actual Total Propuesta total

existe un efecto que debido a la limitación de información no es posible cuantificar y es

el costo por demanda insatisfecha, ya que actualmente es sabido por el propietario que

hay ocasiones en las cuales no es posible cumplir con toda la demanda por insuficiencia

de personal, hecho que con la nueva propuesta se mitigaría en mayor medida ya que se

cuenta con suficiente personal cada uno de los días programados.

Otro aporte importante es la propuesta de división de actividades de trabajo, a pesar de

que no ha sido posible implementar esta propuesta para medir su impacto, es importante

considerar que una división de tareas permite a los empleados cumplir mejor la tarea

asignada, ya que muchas veces ocurre que están lavando un vehículo, pero deben

interrumpir esta actividad para aspirar otro que por algún motivo quedó sin aspirar, lo que

genera más demoras en los tiempos de terminación de los servicios. Los tiempos

computacionales de los procedimientos son completamente apropiados ya que si se quiere

asignar al personal de una semana solamente es necesario invertir aproximadamente 2

minutos, lo mismo ocurre para el caso de actualización de las demandas.

Como trabajo futuro sería interesante obtener información mucho más precisa de la

demanda (hora de llegada de los vehículos) con el fin de proponer franjas horarias de

menor duración que permitan hacer asignaciones más precisas. Debido al hecho

mencionado anteriormente no fue posible considerar dentro de las asignaciones las horas

de almuerzo de los empleados ya que no se sabía con certeza la hora de llegada de los

vehículos en la mañana y en la tarde. También es importante considerar aspectos como

días festivos ya que un lunes festivo la demanda es diferente a la de un lunes normal, por

cuestiones de simplicidad esto no se tuvo en cuenta a la hora de realizar el modelo.

Finalmente, sería importante considerar también otros métodos de pronóstico para las

series de demanda en las cuales no se observaron comportamientos precisos como lo es

el caso de automóviles con motor, esto permitiría refinar más los pronósticos de demanda.

Referencias

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