u u u u u u öu u u w äu z y ü u u v ü — ü u ü zß öß zu wu ü u ö ü v u u u ü u v ö wu u ü v ä ö x w ä zu u u uä uß u z zu ä z u z v w w — u w u zw y ü u w u ö ‘u y u u w y w w v v zw y u äz ü u u u ä u ä u u u u zö u u v v u u u ü u v u u üß u z x u u u wä äuß z zu v w ü y z ü ü ü w u „ ü u öß äu ü u ö u u ü w ö ä ö z u ä uu v zw u u zu zw y u öu ä u ö u ü u öu u zu v w v ß y ö u w u u u ä ö u w u u u u w w v zö w w u u y z w ü uu w u ü zu u z u y ö u ß ß ß ü u y ü u w u u u u — ö w ß u äz u ü ü u öu y ü u z w u u z u w ü öß ü u z u w ä u u u u u ö ö ä w w u u öu v u ö v u w w v ä u „ö w u z w u u öu ö w u zu ä z v z w u ü uß u u u u uß u ö z u u ü « zu z u z u ö w ü öß u w ö w u u z w u fl x x‚ u ü v u u z u wu fi ü u ü z fi u u — ß ö u z u ü ö u z w u u ä u zu u ä ü u — u
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ModellierungundBerechnungturbulenterStrömungenmitchemischer … · 2019. 12. 20. · Mischungswegansatz. Im Bild 2 sind die Konzentration aufder Mitte des Reaktors (r= 0) undder
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TECHNISCHE MECHANIK 3(1982)Heft4
Manuskripteingang: 11. 3. 1982
Modellierung und Berechnung turbulenter Strömungen mit chemischer
Reaktion in Festbettreaktoren
K. Till
l. Zur Problematik
In der chemischen Industrie werden häufig Reaktoren
eingesetzt, in denen sich ein Katalysator in Form einer
Feststoffschüttung befindet. Der Druckverlüst einer sol—
chen Schüttung ist für den technischen Prozeß eine cha-
rakteristische Größe. Hierzu wurden für eindimensional
durchströmte Schüttschichten viele Untersuchungen
durchgeführt, deren" Ergebnisse in der Literatur veröf-
fentlicht wurden. Bei Reaktoren mit ungünstigen Ein"
trittsverhältnissen können stark exotherme Reaktionen
Probleme im Eintrittsbereich bewirken. Um diesen Be-
reich näher zu untersuchen, muiä außer der Stoff- und
Energiebilanz zusätzlich die Impulsbilanz verwendet wer—
den. Zur Anwendung kommt ein zweidimensionales
mathematisches Modell.
Befindet sich in einem Reaktor ein Katalysator in Form
einer Schüttung, so werden an die Modellierung höhere
Forde‘rungen gestellt. Das System Feststoffphase und
Fluidphase stellt ein Zweiphasensystem dar, bei dem die
eine Phase nicht bewegt wird. Innerhalb des vielverzweig-
ten Kanalsystems gelten die Erhaltungssätze für Masse,
Impuls und Energie. Durch die ständigen Richtungsände-
rungen, Besehleunigungen und Verzögerungen des Fluids
liefern die konvektiven Glieder der lmpulsgleichung
einen Hauptanteil für den Druckverlust. Wollte man sich
an dieser Art der Modellierung orientieren, so müßte
man die genaue Lage der einzelnen Feststoffteile fixieren
und bei der numerischen Berechnung wäre ein äußerst
feines Gittemetz zu verwenden. Das Lückensystem be-
sitzt aber einen stochastischen Charakter. Beim Einfül-
len der Schüttgüter entstehen teilweise durch „Brücken-
bildung" größere Leerräume, über deren Lage keinerlei
Aussagen möglich sind. Damit ist eine genaue Bestim-
mung des Schütttmgswiderstandes nicht möglich. Die
Problematik der Wandgängigkeit erhöht die Kompliziert-
heit der ablaufenden Vorgänge. Dies ist bedeutungsvoll
bei Laborreaktoren, bzw. bei Reaktoren mit einem gerin-
gen Schlankheitsgrad.
Die Modellierung kann nach dem heutigen Stand der Er-
kenntnis das zufallsbedingt entstehende Poren- bzw.
Kanalsystem nicht beschreiben. Einerseits sind die Kon-
turen der Strömungskanäle nicht bekannt und anderer-
seits ist es nicht möglich, eine solch feine Gitterteilung
für eine numerische Lösung der Transportgleichungen zu
verwenden. Der Sachverhalt, daß in dem Kanalsystem
höhere Reibungswirkungen aufgrund des längeren Strö-
mungsweges auftreten, das Fluid an engeren Stellen be-
schleunigt und an erweiterten wieder verzögert wird, soll
als geeigneter Mittelwert in seiner integralen Wirkung auf
das Gesamtsystem einbezogen werden. Die Schütttmg
soll als Kontinuum betrachtet werden. Die Volumen-
elemente müssen demzufolge endliche Abmessungen be-
sitzen und mehrere Katalysatorkömer in ihrem Volumen
einschließen, so daß dieses groß ist gegenüber den cha-
rakteristischen Abmessungen des Katalysators, aber
klein gegenüber den Reaktorabmessungen.
Bei der Anwendung dieser Vorstellung auf ein Volumen—
element mit Kömern gleicher Eigenschaften besteht die
Schwierigkeit, daß die Erhaltungssätze nur Gültigkeit für
die Durchströmung des Kanalsystems haben. Für das Vo-
lumenelement kann jetzt die Geschwindigkeit, Druck,
Temperatur, Dichte oder Konzentration nur als Mittel-
wert für diesen größeren Schüttungsbilanzraum ermittelt
werden, aber nicht die Werte der Variablen in der Viel-
falt ihrer Veränderungen innerhalb des Volumenelemen-
tes.
2. Das mathematische Modell
2.1. Die Modellgleichungen
Zu einem Volume aelement gehören mehrere Lagen mit
Feststoffkömern. Im Inneren des Elementes finden stän-
dig Geschwindigkeitsschwankungen statt, die auch bei
einer laminaren Strömung vorliegen, da sie durch die
geometrische Lage der Festkörper verursacht werden.
Die Geschwindigkeitsveränderung kann als eine „örtliche
Schwankung" bezeichnet werden. Bei einer turbulenten
Strömung sind diese örtlichen Schwankungen zusätzlich
von zeitlichen Schwankungen überlagert. Der Einfluß
durch turbulente Wirkungen muß bedeutend sein, da
Ablöseeffekte hinter jedem einzelnen Korn auftreten.
Aus diesen Gründen soll sich die Variable «p zusammen-
setzen aus einem zeitlichen und örtlichen Mittelwert
über ein größeres Volumenelement G sowie einer örtli-"
Chen Schwankung cpo' und einer zeitlichen Schwan-
kung cp'.
W=a+tfld(xiat)+80'(xi‚t)-
Die Gleichungen für den Transport von Masse, Energie,
Impuls und die Stoffbilanzgleichung wurden fiir eine
Schüttung abgeleitet Führt man den Ansatz (l) fiir
die Variablen in die Transportgleichungen ein und beach—
tet, daß die örtliche und zeitliche Mittelung für die örtli-
che und zeitliche Schwankung den Wert Null ergeben, so
erhält man die Transportgleichung zur Beschreibung der
Vorgänge in einer Schüttung.
a _CD—+g(puj)=0 . (2)
41
aüi EJ- am ap am 3€,-
__+_——=_—+17 __..+__
p<at (I) an) öxi (an öxi
p 6(’ '><' '> (3)-—— “io+‘1i Iljo+uj03x1-
Für den Energie- und Stofftransport müßten die Fest-
stoffphase und die Fluidphase getrennt bilanziert wer-
den. Wenn die Vorgänge nicht in einer sehr kurzen Zeit
ablaufen und die Transportwiderstände fest-fluid ver-
nachlässigt werden können, kann durch Zusammenfas-
sung der Gleichungen für die zwei Phasen ein quasihomo-
genes Modell erstth werden.
Fiaf‘ [(PÄ‘+(1 (11'7\*]aT
pCP‘anj an FV—)Söx_i
p
+(1—<I>)'6R——:
a __._—
P ' —<u;o+u;>(T:‚+T'>öxJ-
(4)
F3C“) a <I>D"+1 <1>D* 3C“) 1 chi_. :_ _. + _Pq) axj ale F ( ) s] axj ( )
P a
‘5 QM “0‘ ))(u‚-o+uj> (5)
Für die Korrelationsbeziehungen in den Transportglei-
chungen sind geeignete Hypothesen zu formulieren.
Für die Impulsgleichung wird die zusätzliche Spannung
zerlegt in einen örtlichen, zeitlichen und einen gemisch-
ten Schwankungsterm. In Anlehnung an die Modellie-
rung von leeren durchströmten Räumen kann der zeitli-
che Anteil durch den Deformationstensor aus den zeit-
lich gemittelten Geschwindigkeiten dargestellt werden.
Die übrigen Terme können nicht durch einen Gradien-
tenansatz beschrieben werden, da das gemittelte Ge-
schwindigkeitsprofil für eine ausgebildete Strömung bis
auf den Wandbereich die Form eines Pfropfenprofils auf-
weist. Für den laminaren Fall kann für den örtlichen
Schwankungsanteil die DARCY-Beziehung und für das
Produkt aus Örtlichen und zeitlichen Schwankungen der
ERGUN-Ansatz verwendet werden.
"a <“1)<I> axj ‘° ‘ ’° u’ m axj öxi
(Ö)
-lei—f2u_i “49|
Das zusätzliche Transportglied in der Energiegleichung
stellt einen durch die Schüttung hervorgerufenen Wärme-
strom dar und läßt sich durch einen FOURIER—Ansatz
berechnen.
p ' CF
(I)
a <' + W +T'> ö (Asa—T 7— u- u- =— — .
axJ' Jo J o öXj ÖXj ( )
Der durch die Schüttung hervorgerufene Stoffstrom wird
durch einen Fick’schen-Ansatz ermittelt
p ö I I a
____ 5+: C(K)+C(K) =...DS
(I) ÖXj (“Jo “1X o ÖXj ( 3x,-
ad—K)
42
)' <8;
In der Energie- und der Stofftransportgleichung werden
die verschiedenen Transportkoeffizienten (Feststoff, lee-
rer Raum, Wechselwirkung) zu einem effektiven Koeffi-
zienten zusammengefaßt sowie für die Energieproduk-
tion durch chemische Reaktion und die Bildung einer
Komponente durch Reaktion entsprechende Beziehun-
gen eingefügt. Hierbei ist zu beachten, daß in den expe-
rimentellen Untersuchungen der reaktionskinetischen
Konstanten und den Beziehungen für die effektiven
Koeffizienten der konvektive Anteil in der Form
. .“ 6T . . . (g)p cP uJ axj , p uJ .
verwendet wird. Damit erhält man die Transportglei-
chungen für einen stationären Fall.
ö _- ‘0' 10gunk)“ ( )
_ a; a; a er. aü}puj—zcb ——+— ne<——+——
3in öxi ÖxJ' 3x3 Öxi
(11)
—lei—f23§ WI}
_aT _<I> a Ä aT) 2 A H (12)
PCpuja—xj“q>—m 3;;(ea—xj— 1'm R m]
_ac(K> <I> [a D 3cm)+2 Ma _ =- _ v Ö I
p“) an (Pm an( e 3in mk rm k]
(l3)
Zur Berechnung der turbulenten Koeffizienten kann ein
Mischungswegansatz
m=pFw ab
verwendet werden. Es besteht auch die Möglichkeit, ein
modifiziertes Zweiparametermodell zu verwenden [6].
Für die effektive Wärmeleitfähigkeit wird die Gleichung
x. = x2 + At (15)
mit
1* -
Ät = Re ' Pr = 1“ cP (16)
dk ' Prt Prt
verwendet. Für die darin enthaltene Ruhewärmeleitfähig.
keit wird näherungsweise eine Beziehung von Krupiczka
[1] empfohlen. Für den Mischungsweg 1* kann eine Glei-
chung von De Ligny [2]
1.0 dk « er. Ä1* : [0.129 _ ] ~ (17)
15.39+dt/dk 1+ 20
Re ' Pr
Verwendung finden.
Für den Stofftransport zeigte Leckzik [3] einen Zusam-
menhang zwischen den turbulenten Austauschgrößen
von Energie- und Stofftransport
Dt = (18)
Tabelle l
Di K ff" ten zur allgemeinen
6 ar be C 0’ dc « TergzrtZEiZhung
_ -3 4 9 Q a: J 99
2r" r” " ¢"?e "'¢[o%(w—f“)97$‘a7{£v)fi]*5
— 4 —.
’f 4’ W 4 - (-21)
t 1 Ae/cP ¢/¢,,, gnu-any,"
C770 4 De TOJZJ’MK rm MK
2’ 4 7+ ä 45 ¢ (Qg‘G'P)
K
~ 5’“ 2’ p 2*
5 4 Wä- ¢ ¢(9‘¢m‘d46?“s‘ F)
S
9‘ 9‘ 9|; 932.
G= z [(59% (WM
Mo!3
1*
q
P = 2,25-Tum '3- C
JD
Äus den allgemeinen Transportgleichungen wurden die
Gleichungen für eine stationäre, zweidimensionale Strö—
mung ohne Drall in Zylinderkoordinaten aufgestellt.
Schwierigkeiten können sich mit der numerischen Lö-
sung der Impulsgleichungen ergeben, da geringe Fehler
in der Druckberechnung zu großen Beschleunigungen
der Strömung führen._l_)ies kann durch die Einführung
einer Stromfunktion l/I, die die Kontinuitätsgleichung
identisch integriert
_ 1 W!w :._____ —
p'r ar(19)
— . _ 1 22p ‘ l' öz
und der Wirbelstärke
_ a? 8?20
w =_._ _ _—
öz at( )
umgangen werden.
Die Gleichungen können durch eine allgemeine Trans-
portgleichung in der Form
3
ha - ra {Ea—(o am 6 aa}
a a. Wm“? ‘ä
+r'd0=0 (21)
dargestellt werden. Die Koeffizienten sind der Tabelle 1
zu entnehmen.
r-e[r.(?)(f4+leml) — währe}; w]
2.2. Randbedingungen
Für den Eintrittseuerschnitt ist ein ausgebildetes Ge-
schwindigkeitsprofil vorzugehen. Aus diesem können
Werte für die Stromfunktion und die Wirbelstärke be-
rechnet werden. Bei Verwendung eines k-e-Modells für
die turbulenten Austauschgrößen werden aus der Ge-
schwindigkeit Werte für die kinetische Energie und die
Dissipationsrate berechnet [6]. Die Eintrittstemperatur
und Eintrittskonzentration werden als konstant über
dem Eintrittsquerschnitt angenommen.
Für die festen Wände wird ein Energietransport durch
die Rohrwand angenommen und durch eine Randbedin-
gung dritter Art
(22) ‚.
3T *
—)\e '5;- R :C‘w (Tw“Tw)
realisiert. Da die Wand stoffundurchlässig sein soll und
nicht an der Reaktion beteiligt ist, nimmt der Konzen-
trationsgradient normal zur Wand den Wert Null an. Für
die Wirbelstärke werden in Wandnähe Werte aus einem
speziellen Wandgesetz ermittelt '
Für den Abströmquerschnitt wird für alle Variablen
außer der Temperatur eine Abströmbedingung 3— = O
' z
formuliert.
Die Temperatur wird mit Hilfe eines Gradienten am Aus-
tritt berechnet.
Für die Symmetrieachse wird für alle Variablen eine
verwendet.
43
Symmetriebedingung der Form a— = 0
r
3. Überprüfung des mathematischen Modells
Das mathematische Modell wurde an experimentellen
Untersuchungen von Fiand [5] überprüft. Fiand unter-
suchte eine katalytische Nachverbrennung von CO
1
Eintrittsmassestrom: 1,1645 ' 103 kg/s
mittlere Geschwindigkeit: 0,7 m/s
Zusammensetzung des
Gasgemisches: 0,0 . C02
(Molanteil) 0,0190 CO
0,0492 02
0,9318 N2
w -L___9__° ow z/D-nz
6/6....
2/0-59
o as 4.0
Bild lHR
Gemessene und berechnete Werte der Konzentration von Koh-lendioxid
10 '
C/C„„„
r=0 r=R
0,5 -
0 I I
0 5 1/0 10
Bild 2
Die Konzentration in der Reaktormitte und an der Wand als
Funktion der Reaktorlänge
44
Die reaktionskinetischen Parameter sowie der Wärme.
übergangskoeffizient wurden dieser Arbeit entnommen.
Das Bild 1 zeigt gemessene und nachgerechnete Werte
55m
O
[K]
500‘ 1/0-31
r
4507
O
[ID-3,8
400 ‚
4O as HR —-’ ’0
Bild 3
Die Temperaturverteilung über dem Radius
550 '
[K] °
W-
r
‘50 _ r/R:0.95
400 . r
Bild 4
Die Temperatur in der Reaktonnitte und in Wandnähe
(r/R = 0,95) als Funktion der Reaktorlänge
fiir die Konzentration von C02. Diesem Bild ist zu ent-
nehmen, daß die Verwendung eines Zweiparametermo-
dells bessere Ergebnisse liefert als ein einfacher
Mischungswegansatz. Im Bild 2 sind die Konzentration
auf der Mitte des Reaktors (r = 0) und der Wand in Ab-
hängigkeit von der Reaktorlänge aufgetragen. Man er-
kennt, daß der Konzentrationsuntelschied zwischen der
Symmetrieachse und der Wand bis 40 % beträgt. In den
Bildern 3 und 4 ist der Vergleich zwischen berechneten
und gemessenen Temperaturen enthalten. Hier sind die
Differenzen größer. Es treten Abweichungen bis etwa
12 K auf. Diese Abweichungen können unterschiedliche
Ursachen haben. So wurde eine Wärmestrahlung nicht
berücksichtigt, obwohl diese bei Temperaturen von
400 . . . 550 K schon einen merklichen Beitrag liefert.
Eine weitere Ursache kann in der Ruhewärmeleitfähig-
keit liegen. Die verwendete Beziehung von Krupiczka
liefert Fehler bis 30 %. Genauere Gleichungen sind von
Zehner/Schlünder [4] bekannt. Gegenüber diesem Er-
gebnis weicht der von Fiand ermittelte Wert um 60%
ab. Eine weitere Schwierigkeit liegt in der Wärmeüber-
gangszahl aw. Hier wurden bei der Bestimmung die expe-