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MINISTRE DE LENSEIGNEMENT SUPRIEUR ET DE LA RECHERCHE
SCIENTIFIQUE
UNIVERSIT FERHAT ABBAS -STIF
Facult de Technologie
: Dpartement dlectrotechnique
Mmoire de Master No. Rf. : .//2012
Prsent au Dpartement dlectrotechnique
Domaine : Sciences et Technologie Filire : Automatique Spcialit
: Commande des processus industriels
Ralis par :
M. Belmahdi Mohamed Amine
Thme
Modlisation et commande adaptative dun bras manipulateur rigide
2 degr de libert
Soutenu le 27/06/2012 devant la commission dexamen compose de
:
M. ABDELAZIZ MOURAD M.C.A lUniversit de Stif Prsident
M. REFFOUFI SALIM M.A.A lUniversit de Stif Directeur du
Mmoire
M. BEKTACH ABDELDJABBAR M.A.A lUniversit de Stif Examinateur
M. BOURAHALA FAYAL M.A.A lUniversit de Stif Examinateur
-
Remerciements
Je remercie en premier lieu Allah le tout puissant pour mavoir
donn la force et la volont
daccomplir ce modeste travail.
Je tiens remercier, en tout premier lieu, Mr. REFFOUFI SALIM,
Directeur de ce mmoire,
Matre assistant au sein de notre dpartement, qui na pas hsit un
instant donner son accord pour
llaboration de ce travail en morientant par ses prcieux conseils
et ses encouragements.
Je remercie galement tous les membres du jury pour lintrt quils
ont port mon travail :
M. ABDELAZIZ MOURAD M.C.A
M. REFFOUFI SALIM M.A.A
M. BEKTACH ABDELDJABBAR M.A.A
M. BOURAHALA FAYAL M.A.A
Mes remerciements vont toute ma famille, je cite en particulier,
ma trs chre mre, mon pre,
mon frre et sa femme, mes surs qui mont toujours combl
daffection et de soutien moral.
Je tiens galement remercier trs chaleureusement mes amis
Abdenour, Ramzi et Soumia.
Sans oublier mes amis au sein de notre dpartement.
Je tiens remercier tous ceux qui mont fourni, de prs ou de loin,
leur aide afin que je puisse
mener ce travail terme.
Stif, le 20 /06 /2012
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SOMMAIRE
Sommaire
INTRODUCTION GNRALE
..............................................................................
1
Chapitre 01
.............................................................................................................................
2
MODLISATION DES ROBOTS INDUSTRIELS
................................................... 2
1.1. Les robots industriels
.......................................................................................................................................
2
1.1.1. Introduction
.............................................................................................................................................................
2
1.1.2. Historique
.................................................................................................................................................................
2
1.1.3. Classifications des robots industriels
...........................................................................................................
3
1.1.4. Applications
.............................................................................................................................................................
4
1.2. Robot manipulateur
..........................................................................................................................................
5
1.2.1. Constitution mcanique
......................................................................................................................................
5
1.2.1.1. Structure mcanique
................................................................................................................................
6
1.2.1.2. Les servomoteurs (Actionneurs)
...........................................................................................................
6
1.2.1.3. Les capteurs
..............................................................................................................................................
6
1.2.1.4. La partie
commande................................................................................................................................
7
1.3. Modlisation dun bras manipulateur
........................................................................................................
7
1.3.1. Modlisation
gomtrique.................................................................................................................................
8
1.3.1.1. Modle gomtrique direct
....................................................................................................................
8
1.3.1.2. Modle gomtrique inverse
................................................................................................................
11
1.3.2. Modlisation cinmatique
...............................................................................................................................
12
1.3.2.1. Modle cinmatique direct
...................................................................................................................
12
1.3.2.2. Modle cinmatique inverse
................................................................................................................
13
1.3.3. Modlisation dynamique
..................................................................................................................................
14
1.3.3.1. Formalisme de Lagrange
......................................................................................................................
15
1.3.3.2. Calcul de lnergie cintique
.................................................................................................................
15
1.3.3.3. Calcul de lnergie potentielle
..............................................................................................................
15
1.3.3.4. Formulation du modle dynamique
...................................................................................................
16
1.4. Conclusion
..........................................................................................................................................................
16
Chapitre 02
..........................................................................................................................
17
TECHNIQUES DE COMMANDES DES ROBOTS
................................................17
2.1. Introduction
.......................................................................................................................................................
17
2.2. Techniques de commande des
robots......................................................................................................
17
2.2.1. Commande classique
.........................................................................................................................................
18
-
SOMMAIRE
2.2.1.1. Avantages
................................................................................................................................................
18
2.2.1.2. Inconvnients
.........................................................................................................................................
18
2.2.1.3. Lois de commande
................................................................................................................................
19
2.2.2. Commande dynamique
.....................................................................................................................................
21
2.2.2.1. Avantages
................................................................................................................................................
21
2.2.2.2. Inconvnients
.........................................................................................................................................
22
2.2.2.3. Lois de commande
................................................................................................................................
22
2.2.3. Commande adaptative
......................................................................................................................................
24
2.2.3.1. Dfinition de la commande adaptative
..............................................................................................
24
2.2.3.2. Le principe
..............................................................................................................................................
24
2.2.3.3. Diffrentes commandes
adaptatives...................................................................................................
25
2.2.3.4. Approches pour lanalyse des (MRAS)
..............................................................................................
28
2.3. Conclusion
..........................................................................................................................................................
31
Chapitre 03
..........................................................................................................................
32
SIMULATION DE LA COMMANDE ADAPTATIVE
............................................32
3.1. Introduction
.......................................................................................................................................................
32
3.2. Modlisation du robot deux degrs de libert
..................................................................................
32
3.2.1. Modle gomtrique
..........................................................................................................................................
33
3.2.1.1. Paramtres de Denavit-Hartenberg modifie (DHM)
...................................................................
33
3.2.1.2. Calcul de la matrice du passage
...........................................................................................................
34
3.2.2. Modle cinmatique
...........................................................................................................................................
34
3.2.3. Modle dynamique
.............................................................................................................................................
34
3.2.3.1. Calcul de la matrice dinertie
................................................................................................................
34
3.2.3.2. Calcul de la matrice
.................................................................................................................
34
3.2.3.3. Calcul du vecteur des termes de gravit
.............................................................................................
35
3.2.4. Modle dynamique du robot deux DDL
..................................................................................................
35
3.3. La commande adaptative
..............................................................................................................................
35
3.3.1. Lestimation des paramtres par une loi de commande
adaptative .............................................. 35
3.3.2. Obtention de la loi adaptative avec une fonction qui vari
dans le temps .................................. 38
3.4. La trajectoire dsire
......................................................................................................................................
41
3.5. Rsultats de simulation
.................................................................................................................................
42
3.5.1. Simulation de schma bloc 1 sans la charge
............................................................................................
42
3.5.1.1. Changement des paramtres
................................................................................................................
44
3.5.2. Simulation de schma bloc 1 avec la charge
............................................................................................
45
3.5.3. Simulation de schma bloc 2 sans la charge
............................................................................................
47
3.5.3.1. Changement des paramtres
................................................................................................................
48
3.5.4. Simulation de schma bloc 2 avec la charge
............................................................................................
50
-
SOMMAIRE
3.6. Comparaison entre les deux commandes
...............................................................................................
51
3.6.1. Sans charge
............................................................................................................................................................
51
3.6.2. Avec charge
............................................................................................................................................................
52
3.7. Conclusion
..........................................................................................................................................................
52
CONCLUSIONS GNRALES
.............................................................................53
-
SOMMAIRE
Liste des figures
Figure 1-1 Robot chane simple
...........................................................................................................................................
6
Figure 1-2 Servomoteur
...........................................................................................................................................................
6
Figure 1-3 Capteurs de vitesse et position
............................................................................................................................
7
Figure 1-4 La partie commande du robot manipulateur
.....................................................................................................
7
Figure 1-5 Choix des repres de la mthode classique
........................................................................................................
9
Figure 1-6 Choix des rfrentiels de Denavit- Hartenberg
..............................................................................................
10
Figure 2-1 Schma classique dune commande PID
.........................................................................................................
18
Figure 2-2 Schma dune commande dynamique par dcouplage
non-linaire
............................................................ 21
Figure 2-3 Principe des systmes de commande adaptative
.............................................................................................
25
Figure 2-4 Schma bloc de la commande gain-scheduling
...............................................................................................
26
Figure 2-5 Schma bloc dun rgulateur auto-adaptatif
....................................................................................................
26
Figure 2-6 Structure de base de la commande adaptative avec le
MRAS
......................................................................
27
Figure 2-7 Le modle derreur
...............................................................................................................................................
29
Figure 2-8 Illustration de la mthode de Lyapunov
..........................................................................................................
30
Figure 3-1 Reprsentation du robot deux axes rotodes
................................................................................................
32
Figure 3-2 Le Puma 560
.........................................................................................................................................................
33
Figure 3-3 Le schma bloc de la loi de commande (3.29)
................................................................................................
38
Figure 3-4 Le schma bloc de la loi de commande (3.48)
................................................................................................
40
Figure 3-5 La trajectoire dsire et la vitesse dsire
....................................................................................
41
Figure 3-6 Les positions angulaires et lerreur de poursuite en
fonction du
temps...................................................... 42
Figure 3-7 Les vitesses angulaires et lerreur de vitesse en
fonction du temps
............................................................ 43
Figure 3-8 La commande pour chaque articulation U1 et U2
...........................................................................................
43
Figure 3-9 Les positions angulaires et lerreur de poursuite en
fonction du
temps...................................................... 44
Figure 3-10 Les vitesses angulaires et lerreur de vitesse en
fonction du temps
.......................................................... 44
Figure 3-11 La commande pour chaque articulation U1 et U2
.........................................................................................
45
Figure 3-12 Les positions angulaires et lerreur de poursuite en
fonction du temps
................................................... 46
Figure 3-13 Les vitesses angulaires et lerreur de vitesse en
fonction du temps
.......................................................... 46
Figure 3-14 La commande pour chaque articulation U1 et U2
.........................................................................................
47
Figure 3-15 Les positions angulaires et lerreur de poursuite en
fonction du temps
................................................... 47
Figure 3-16 Les vitesses angulaires et lerreur de vitesse en
fonction du temps
.......................................................... 48
Figure 3-17 Les positions angulaires et lerreur de poursuite en
fonction du temps
................................................... 48
-
SOMMAIRE
Figure 3-18 Les vitesses angulaires et lerreur de vitesse en
fonction du temps
.......................................................... 49
Figure 3-19 La commande pour chaque articulation U1 et U2
........................................................................................
49
Figure 3-20 Les positions angulaires et lerreur de poursuite en
fonction du temps
................................................... 50
Figure 3-21 Les vitesses angulaires et lerreur de vitesse en
fonction du temps
.......................................................... 50
Figure 3-22 La commande pour chaque articulation U1 et U2
.........................................................................................
51
-
SOMMAIRE
viii
Liste des tableaux
Tableau 3-1 Les paramtres de DHM
.................................................................................................................................
33
Tableau 3-2 Les paramtres du robot
..................................................................................................................................
41
Tableau 3-3 Rsultats des erreurs de position et de vitesse sans
la charge
....................................................................
51
Tableau 3-4 Rsultats des erreurs de position et de vitesse avec
la charge
....................................................................
52
-
SOMMAIRE
ix
Liste des Acronymes et Symboles
Acronymes :
EPFL cole Polytechnique Fdrale de Lausanne.
JPL Jet Propulsion Laboratory.
JIRA Japon Industrial Robot Association.
AFRI Association Franaise de Robotique Industrielle.
RIA Robot Institute of America.
AFNOR Association Franaise de NORmalisation.
DH Denavit Hartenberg.
DHM Denavit Hartenberg Modifi.
DDL Degr De Libert.
PID Proportionnel Intgral Driv.
PD Proportionnel Driv.
MRAS Systme Adaptative Modle de Rfrence.
Symboles :
q Vecteur des variables articulaires.
X Vecteur des variables oprationnelles.
Vecteur des vitesses articulaires.
Vecteur des vitesses oprationnelles.
La vitesse angulaire.
Vecteur des acclrations des articulations.
T La matrice de transformation entre les repres.
J(q) La matrice Jacobienne.
La matrice inertie.
-
SOMMAIRE
x
Vecteur des couples.
Matrice regroupant les forces centrifuges et de Coriolis.
Vecteur des forces de gravit.
Les forces ou les moments extrieurs exercs sur lorgane
terminal.
Lagrangienne.
nergie cintique.
nergie potentielle
Lerreur de position.
Lerreur de vitesse.
Lerreur dacclration.
La position angulaire.
La vitesse angulaire.
La fonction de Lyapunov.
m La masse du bras.
L La longueur du bras.
-
INTRODUCTION GNRALE
1
INTRODUCTION GNRALE
Quand on parle de robotique, plusieurs ides viennent lesprit de
chacun de nous.
Historiquement, nous pourrions nous rfrer aux premiers concepts
et automates de lantiquit ou
aux premiers robots comme des personnages de la mythologie.
Cest au sicle dernier que lclatement de la robotique
industrielle a amorc lexplosion
des thmes de recherche. A cette poque les robots taient conus en
respectant les contraintes
imposes par le milieu industriel, comme la rptabilit et la
prcision dans la ralisation des tches,
cest avec les dveloppements scientifiques, spcifiquement de
llectronique et de linformatique
mais aussi automatique, mathmatique, mcanique, matriaux, que la
technologie robotique a
progress. Les robots actuels sont dots dune intelligence qui
leur donne une certaine autonomie
qui va leur permettre de se diffuser dans de nouveaux
domaines.
Ce travail reprsente une introduction sur le domaine de la
robotique et principalement la
modlisation et la commande des robots manipulateur. Le mmoire
est constitu de trois chapitres,
chaque chapitre traite une partie de ce travail.
Dans le premier chapitre nous exposons une introduction sur les
robots industriels, les
lments constituants un robot manipulateur tels que la structure
mcanique, les actionneurs ou les
servomoteurs et les capteurs et aussi ce chapitre sera consacr
aux modlisations des robots aprs
avoir rappel les principes et les mthodes de la modlisation.
Le deuxime chapitre traite quelques techniques de commande des
robots manipulateurs telle
que la commande classique, la commande dynamique et la commande
adaptative.
Dans le dernier chapitre on va simuler la commande adaptative
pour un robot manipulateur
rigide deux degr de libert par deux lois de commande avec
prsentation des rsultats de
simulation.
Finalement une conclusion gnrale sur le contenu des trois
chapitres et les rsultats obtenus
par la simulation des deux lois de commande qui nous utilisent
dans le dernier chapitre.
-
CHAPITRE 01 MODLISATION DES ROBOTS INDUSTRIELS
2
Chapitre 01
MODLISATION DES ROBOTS INDUSTRIELS
1.1. Les robots industriels
La robotique a toujours t une technique charge dun contenu
motionnel, bien avant
quelle devienne une ralit industrielle et par lconomique, elle
tait prsente dans tous les
ouvrages danticipation. Dans le domaine industriel, lapproche
ntait pas trs diffrente.
Certains responsables ont souffert, dans les annes 60 et 70, de
la pression des ouvriers sur les
conditions de travail et de salaires. Il en est rsult le mythe
de lusine sans homme, qui a eu
plus dun adepte. Dans un tel contexte, deux solutions taient
proposes : lusine automatique,
ddie une production bien dtermine, ou lusine robotise, plus ou
moins prte excuter
nimporte quelle tche dans un domaine assez large. Il a t cr de
nombreuses usines
automatiques ddies.[1]
1.1.1. Introduction
Les robots industriels ont t dvelopps pour intervenir dans les
milieux risques, par
exemple dans lindustrie nuclaire ou dans des environnements
crant une forte corrosion. Un
robot industriel peut aussi servir au maniement d'objets lourds,
ce qui est une autre utilisation
trs courante. Les robots sont depuis longtemps utiliss dans les
chanes de montage de
l'industrie Automobile o ils remplacent les ouvriers dans les
tches pnibles et dangereuses.
1.1.2. Historique
L'origine du mot robot est issue du grecque "Robota" qui
signifie travail forc. Le terme de
robotique est apparu en 1942 dans l'uvre de l'crivain
ISAACASIMOV.
Le premier robot manipulateur industriel, appel Unimate, tait un
descendant direct des
tlmanipulateurs dvelopps pour les besoins du nuclaire. Cr par
George Devol dans les
annes 1950, il fut utilis pour travailler sur les chanes
d'assemblage de General Motors
partir de 1961.
Parmi les robots industriels, le KukaFamulus, qui date de 1973,
fut le premier robot 6
axes entrans de faon lectromcanique.
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CHAPITRE 01 MODLISATION DES ROBOTS INDUSTRIELS
3
Le Robot Delta, imagin en 1985 par Reymond Clavel, professeur
l'cole
Polytechnique fdrale de Lausanne (EPFL), possde un bras de
manipulation form de 3
paralllogrammes. Son brevet tombe dans le domaine public en 2007
et diffrents constructeurs
devraient alors sortir leur propre robot delta.
Le Jet Propulsion Laboratory (JPL) dveloppe un robot industriel
hexapode ( 6 pattes)
du nom de Lemur. Lemur aura pour mission de monter, assembler et
rparer des installations
spatiales. Pesant moins de 5 kg, il offre la possibilit
innovante dadapter diffrents outils sur
chacun de ses membres.[2]
1.1.3. Classifications des robots industriels
Dans la robotique, on peut distinguer les robots industriels,
composes d'un bras articule muni
d'un effecteur, et les robots mobiles qui peuvent se dplacer en
autonomie dans un
environnement.
Cependant, certains organismes, comme la JIRA (Japon Industrial
Robot Association) ou
l'AFRI (Association Franaise de Robotique Industrielle), ont
tabli des classifications plus
prcises, bases sur la spcificit fonctionnelle des robots.
La classification labore par la JIRA est la suivante :
Classe 1 : TELEMANIPULATEURS. Bras command par un oprateur
humain.
Classe 2 : MANIPULATEURS AVEC SEQUENCE FIXE. Contrle
automatique, mais
difficilement programmable.
Classe 3 : MANIPULATEURS AVEC SEQUENCE VARIABLE. Contrle
automatique,
reprogramme mcaniquement.
Classe 4 : ROBOTS PLAY-BACK . Squences qui sont excutes lorigine
sous la
supervision de ltre humain, mmorises puis rappeles pour tre
rejoues.
Classe 5 : ROBOTS AVEC CONTROLEUR NUMERIQUE. Les positions des
squences
sont contrles par des donnes numriques.
Classe 6 : ROBOTS INTELLIGENTS. Le robot peut grer son
environnement des
modifications arrivant durant l'excution.
La classification labore par l'AFRI est la suivante :
Classe A : TELEMANIPULATEURS. Manipulateur maitre/esclave.
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CHAPITRE 01 MODLISATION DES ROBOTS INDUSTRIELS
4
Classe B : MANIPULATEURS AUTOMATIQUES. Manipulateurs
automatiques avec
squences fixes et variable (Machines commandes numriques).
Classe C : ROBOTS PROGRAMMABLES. 1ere gnration de robots.
Classe D : ROBOTS INTELLIGENTS. 2me gnration de robots.
Ces classifications des seuls robots industriels en fonction du
type de commande ont bien
vieilli, puisque tous les robots modernes, quils soient poste
fixe ou mobile, sont conus avec
pour principal souci la dtection de lenvironnement, soit pour la
scurit des personnes et des
biens, soit pour une meilleure autonomie de leur comportement.
Ceci signifie quils sont tous
dots dun minimum de capteurs externes et quils se trouvent tous
dans la classe 6 de la JIRA
ou la classe D de lAFRI. Pourtant, tous ces robots sont loin
dtre identiques en performance.
On tentera plus loin de proposer une nouvelle classification qui
peut prendre ce phnomne en
compte.[2]
1.1.4. Applications
Les robots manipulateurs industriels sont utiliss pour raliser
des tches de dplacements
doutils, de manutention ou dassemblage. Ils se substituent
lhomme ou prolongent son action
en apportant prcision, rapidit ou capacit appliquer dimportants
efforts.
Parmi les applications les plus utilises dans la robotique
industrielle sont :
Le soudage robotis des chssis de voiture amliore la scurit car
un robot ne manque jamais
son point de soudure et les ralise toujours de la mme manire
tout au long de la journe .
peu prs 25% des robots industriels sont impliqus dans diffrentes
oprations de soudure.
Lassemblage occupe environ 33% des applications des robots
industries. Beaucoup de ces
robots peuvent tre trouvs dans lindustrie automobile et
lindustrie lectronique.
Lemballage et la pelletisation sont toujours des applications
mineures des robots industriels,
comptant seulement pour 2,8% des applications des robots.
Lindustrie agro-alimentaire est un champ dapplications vou jouer
un rle majeur dans le
futur, les constructeurs dveloppent une gamme spcifique de
produits pour ce domaine.
Les applications dans lindustrie pharmaceutique et dans les
biotechnologies constituent
galement un march davenir encore presque vierge.[2]
-
CHAPITRE 01 MODLISATION DES ROBOTS INDUSTRIELS
5
1.2. Robot manipulateur
Un bras manipulateur est le bras d'un robot gnralement
programmable, avec des
fonctions similaires un bras humain. Les liens de ce
manipulateur sont relis par des axes
permettant, soit du mouvement de rotation, ou de translation
(linaire) de dplacement.
Il peut tre autonome ou contrl manuellement et peut tre utilis
pour effectuer une
varit de tches avec une grande prcision. Les bras manipulateurs
peuvent tre fixes ou
mobiles (c'est--dire roues) et peuvent tre conus pour des
applications industrielles.
Gnralement, un robot manipulateur est considr comme un systme
articul rigide. Nous
avons trouv dans la littrature diffrentes dfinitions de ce
systme dynamique tel que :
Celle donne par JIRA (Japon Industrial Robot Association) : Un
robot est un systme
versatile dot dune mmoire et pouvant effectuer des mouvements
comme ceux dun
oprateur humain.
Celle donne par RIA (Robot Institute of America) : Un robot est
un manipulateur
fonction multiple programm pour raliser automatiquement des
taches varies
ventuellement rptitives.
Celle donne par AFNOR (Association Franaise de NORmalisation) :
Manipulateur
command en position, reprogrammable, polyvalent, plusieurs degrs
de libert, capable de
manipuler des matriaux, des pices, des outils et des dispositifs
spcialiss, au cours de
mouvements variables et programms pour lexcution dune varit de
tches. Il a souvent
lapparence dun ou plusieurs bras se terminant par un poignet.
Son unit de commande
utilise, notamment, un dispositif de mmoire et ventuellement de
perception et dadaptation
lenvironnement et aux circonstances. Ces machines polyvalentes
ont gnralement tudies
pour effectuer la mme fonction de faon cyclique et peuvent tre
adaptes dautres
fonctions sans modification permanente du matriel. [3]
1.2.1. Constitution mcanique
Un bras manipulateur est compos de quatre parties principales
:
a) Structure mcanique.
b) Les servomoteurs (Actionneurs).
c) Les capteurs.
d) La partie commande.
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CHAPITRE 01 MODLISATION DES ROBOTS INDUSTRIELS
6
1.2.1.1. Structure mcanique
Une structure mcanique qui sera le squelette du robot, peut tre
divise en deux parties
distinctes comme le montre la figure (1.1) :
a) Organe terminal : les tches qui sont dvolues aux robots sont
trs varies. Pour
chaque opration ou travail spcifique, lorgane terminal prend un
aspect particulier.
b) lment porteur : il est compos dun ensemble de corps souples
ou rigides lis par
des articulations, servant dplacer lorgane terminal dune
configuration une autre.
Figure 1-1 Robot chane simple
1.2.1.2. Les servomoteurs (Actionneurs)
Le second lment correspond aux servomoteurs qui vont permettent
au robot d'effectuer
rellement ses actions. Ces servomoteurs seront commands par la
partie commande en
interaction avec les informations transmises par les capteurs.
Le terme "servo" induit en effet un
asservissement effectu en fonction d'une comparaison avec le
rsultat souhait et la ralit
extrieure.
Figure 1-2 Servomoteur
1.2.1.3. Les capteurs
La troisime partie composante d'un robot correspond aux
diffrents capteurs sensoriels
quipant le robot pour une application particulire.
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CHAPITRE 01 MODLISATION DES ROBOTS INDUSTRIELS
7
Figure 1-3 Capteurs de vitesse et position
1.2.1.4. La partie commande
Quatrime le cerveau (La partie commande) : cette partie qui va
permette au robot d'analyser
les donnes provenant des capteurs et d'envoyer les ordres
relatifs aux servomoteurs.[4]
Figure 1-4 La partie commande du robot manipulateur
1.3. Modlisation dun bras manipulateur
Pour dvelopper une stratgie de commande performante pour un
robot, il est impratif de
connatre la cinmatique et la dynamique du manipulateur considr.
Pour cela on est souvent
amen dcrire les diffrentes relations mathmatiques qui permettent
de dfinir les
mouvements de ce dernier dans lespace.
Dans la pratique courante de robotique, la description du
mouvement dun robot
manipulateur dans lespace est ralise en fonction des modles de
transformation entre l'espace
oprationnel (dans lequel est dfinie la situation de l'organe
terminal) et l'espace articulaire
(dans lequel est dfinie la configuration du robot).
Parmi ces modles, on distingue :
Les modles gomtriques direct et inverse qui expriment la
situation de l'organe terminal
en fonction de la configuration du mcanisme et inversement,
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CHAPITRE 01 MODLISATION DES ROBOTS INDUSTRIELS
8
Les modles cinmatiques direct et inverse qui expriment la
vitesse de l'organe terminal en
fonction de la vitesse articulaire et inversement,
Les modles dynamiques dfinissant les quations du mouvement du
robot, qui permettent
d'tablir les relations entre les couples ou forces exercs par
les actionneurs et les positions,
vitesses et acclrations des articulations.
Dans le prsent chapitre, on prsentera quelques dfinitions
concernant ces modles ainsi
que la faon de leurs obtentions.
1.3.1. Modlisation gomtrique
1.3.1.1. Modle gomtrique direct
Le modle gomtrique direct permet de dterminer la position et
lorientation de lorgane
terminal du manipulateur par rapport un repre de rfrence en
fonction des variables
articulaires, le modle scrit :
(1.1)
O
Par exemple, si le manipulateur se dplace dans lespace on pose
m=6 (3 coordonnes pour
la position et 3 coordonnes pour la rotation). Sil se dplace
dans un plan on pose m=2 et si en
plus on est concern par la rotation on pose m=3.
La position de lorgane terminal peut tre dfinie par des
cordonnes cartsiennes,
cylindriques ou sphriques. Le choix dune structure particulire
est guid par les
caractristiques du robot, ainsi que par celle de la tche
raliser.[4]
Pour calculer le modle gomtrique du robot manipulateur, il
existe 3 mthodes, la
premire est la mthode classique, la deuxime est la convention de
DenavitHartenberg (DH)
et la troisime mthode est la convention de DenavitHartenberg
modifi (DHM).
a. La mthode classique
Le principe de cette mthode est bas sur les trois tapes
suivantes:
Fixer des repres chaque corps du robot. Figure (1-5).
Calculer les matrices homognes entre chaque corps
Calculer la matrice homogne entre la base du robot et lorgane
terminal.
(1.2)
-
CHAPITRE 01 MODLISATION DES ROBOTS INDUSTRIELS
9
Figure 1-5 Choix des repres de la mthode classique
b. Convention de Denavit-Hartenberg (DH)
La convention de Denavit et Hartenberg (DH 1955) est une mthode
systmatique. Elle
permet le passage entre articulations adjacentes dun systme
robotique. Elle concerne les
chanes cinmatiques ouvertes o larticulation possde uniquement un
degr de libert, et les
surfaces adjacentes restent en contact. Pour cet aspect
lutilisation des charnires ou des
glissires est indispensable. Le choix adquat des repres dans les
liaisons facilite le calcul des
matrices homognes de DH et permet darriver exprimer rapidement
des informations de
llment terminal vers la base ou linverse.[1]
Cette mthode est destine systmatiser la modlisation de n'importe
quel type de robot
srie.
Ses principaux avantages sont :
Simplification maximale du modle gomtrique.
tablissement d'une norme reconnue par tous.
Hypothse :
On peut reprsenter l'attitude d'un repre Ri par rapport un repre
Ri-1 l'aide de 4
paramtres uniques condition de fixer deux contraintes [5]
DH1 : l'axe de est l'axe de .
DH2 : l'axe coupe l'axe .
Le premier repre (X0,Y0,Z0) dans la premire articulation et le
dernier repre (Xn,Yn,Zn)
dans lorgane terminal.
-
CHAPITRE 01 MODLISATION DES ROBOTS INDUSTRIELS
10
Figure 1-6 Choix des rfrentiels de Denavit- Hartenberg
Les termes sont appels les paramtres de Denavit- Hartenberg.
i : cest langle entre Xi-1 et Xi mesur autour de Zi-1.
di : cest la distance entre Xi-1 et Xi mesur autour de Zi-1.
i : cest langle entre Zi-1 et Zi mesur autour de Xi.
ai : cest la distance entre Zi-1 et Zi mesur autour de Xi.
Dcomposition en 4 transformations lmentaires :
Rotation autour de z d'un angle .
Translation le long de z d'une longueur d.
Translation le long de x d'une longueur a.
Rotation autour de x d'angle .
Comme ces transformations sont faites par rapport au repre
courant, on a :
(1.3)
(1.4)
(1.5)
(1.6)
c. Convention de Denavit-Hartenberg modifie (DHM)
La mthode de DH modifie o le repre Ri est tel que l'axe zi est
suivant l'articulation n i et
-
CHAPITRE 01 MODLISATION DES ROBOTS INDUSTRIELS
11
non pas i+1.
Dans cette mthode le premier repre (X0,Y0,Z0) dans la base du
bras manipulateur et le
dernier repre (Xn,Yn,Zn) dans la dernire articulation.
Les paramtres de Denavit- Hartenberg modifie :
i : cest langle entre Xi-1 et Xi mesur autour de Zi.
di : cest la distance entre Xi-1 et Xi mesur autour de Zi.
i : cest langle entre Zi-1 et Zi mesur autour de Xi-1.
ai : cest la distance entre Zi-1 et Zi mesur autour de Xi-1.
(1.7)
(1.8)
(1.9)
(1.10)
La convention Denavit-Hartenberg cest la plus utilise pour
dterminer la position et
lorientation de lorgane terminal par rapport au repre de
rfrence, et la plus rpandue pour
exprimer le passage du repre Ri-1 au repre Ri.[5]
1.3.1.2. Modle gomtrique inverse
Le modle gomtrique inverse permet de dterminer le vecteur des
variables articulaires
partir du vecteur de coordonnes oprationnelles, le modle scrit
:
(1.11)
Cest--dire partir de position de lorgane terminale dans la
matrice , on cherche le
vecteur des variables articulaires .
(1.12)
-
CHAPITRE 01 MODLISATION DES ROBOTS INDUSTRIELS
12
Avec
1.3.2. Modlisation cinmatique
1.3.2.1. Modle cinmatique direct
Le modle cinmatique direct permet de dterminer la vitesse de
lorgane terminal dans
lespace oprationnel en fonction de la vitesse des variables
articulaires.[5]
Le modle est dcrit par lquation :
(1.13)
O
Lune des mthodes utilises pour le calcul de la matrice jacobenne
est la drivation du
modle gomtrique direct :
(1.14)
La 2me
mthode est propagation de la vitesse :
La dtermination du Jacobien consiste calculer les vitesses
linaires et angulaires en
fonction des vitesses articulaires, les calculs se propagent de
la base vers leffecteur. Chaque
lment du robot manipulateur est suppos rigide, son mouvement est
dcrit par les vecteurs des
vitesses angulaires et linaires. Ces vitesses seront dcrites
dans les repres associs aux
articulations ensuite dans le repre de base.[7]
1er tape : calcul des vitesses angulaires
et
La formule qui donne les vitesses angulaires
est :
(1.15)
La vitesse angulaire de larticulation n par rapport repre de
base est :
(1.16)
-
CHAPITRE 01 MODLISATION DES ROBOTS INDUSTRIELS
13
O
Avec
2me tape : calcul des vitesses linaires
et
La formule qui donne les vitesses linaires est :
(1.17)
La vitesse linaire de larticulation n par rapport au repre de
base est :
(1.18)
On a donc
alors le Jacobien est :
(1.19)
1.3.2.2. Modle cinmatique inverse
Le modle cinmatique inverse permet de dterminer la vitesse des
variables articulaires en
fonction de la vitesse des variables oprationnelles. Pour les
manipulateurs non redondants, le
modle scrit :
(1.20)
La solution de lquation (1.20) existe si est de rang plein, cela
est valable tant que le
manipulateur ne passe pas par une configuration singulire. Pour
les manipulateurs redondants,
le modle cinmatique inverse admet plusieurs solutions possibles.
Le choix dune parmi
plusieurs est guid par loptimisation dune fonction
objective.
Dans le cas rgulier le nombre de degr de libert (DDL) de lespace
de la tche est gale
nombre darticulations du bras manipulateur et la matrice J est
carre avec un dterminant non
nul.
Le modle cinmatique inverse est dtermine par le calcul de la
matrice inverse .
Si le bras manipulateur possde six DDL avec une poigne de type
rotule, la matrice prend
la forme :
-
CHAPITRE 01 MODLISATION DES ROBOTS INDUSTRIELS
14
(1.21)
Avec deux matrices carres inversibles.
Alors :
(1.22)
Linversion de est plus simple que linversion de .[7]
1.3.3. Modlisation dynamique
Un systme mcanique peut tre traduit sous forme dun modle
dynamique pour faciliter
son tude grce aux quations diffrentielles qui existent entre les
variables dtat du
mcanisme, leurs drivs et les forces extrieures agissant sur
chaque corps. [9]
La forme la plus gnrale du modle dynamique est :
(1.23)
O :
: La matrice inertie.
: Vecteur des couples.
: Matrice regroupant les forces centrifuges et de Coriolis.
: Vecteur des forces de gravit.
Cette quation exprime les couples (et/ou les forces) moteurs des
actionneurs des diffrentes
bras du robot manipulateur en fonctions des positions, des
vitesses et des acclrations
articulaires et des forces extrieurs exercer sur lorgane
terminal. Il exprime lquilibre entre
les couples dentranement et le couple de freinage dus aux
inerties, aux forces centrifuges et de
Coriolis ainsi quaux forces de gravitation. Ce modle est aussi
appel, modle dynamique
inverse. [1]
(1.24)
O :
: Vecteur des positions articulaires.
: Vecteur des vitesses articulaires.
: Vecteur des acclrations articulaires.
: Les forces ou les moments extrieurs exercs sur lorgane
terminal.
-
CHAPITRE 01 MODLISATION DES ROBOTS INDUSTRIELS
15
1.3.3.1. Formalisme de Lagrange
Le modle dynamique (1.24) est obtenu par lquation
dEuler-Lagrange (E-L) suivante :
(1.25)
O L la fonction de Lagrange donne par:
(1.26)
Avec
1.3.3.2. Calcul de lnergie cintique
Lnergie cintique totale du robot est :
(1.27)
O et llment est dfinit par :
(1.28)
: est la matrice homogne de transformation de repre repre .
Avec
(1.29)
: La masse du corps n i.
La matrice dinertie est symtrique et dfinie positive ( ), alors
lnergie
cintique dpend des variables articulaires et .[8]
1.3.3.3. Calcul de lnergie potentielle
Lnergie potentielle dun bras manipulateur est donne par :
(1.30)
O: (1.31)
Avec
Lnergie potentielle dpend de la variable articulaire .
-
CHAPITRE 01 MODLISATION DES ROBOTS INDUSTRIELS
16
1.3.3.4. Formulation du modle dynamique
En exploitant les relations (1.25) et (1.26) nous obtenons:
(1.32)
O : lexpression du couple
Avec :
(1.33)
Donc :
(1.34)
En remplaant (1.32) dans (1.34) et en utilisant la symtrie de
trouve :
(1.35)
Lutilisation des symboles de Christoffel :
(1.36)
Lquation du modle dynamique du robot manipulateur est:
1.4. Conclusion
Dans ce chapitre nous avons expos une introduction sur les
robots manipulateurs industriels
et ses classifications, la dfinition de quelques notions gnrales
relatives aux mcanismes des
robots manipulateurs chane simple et les diffrents modles
utiliss pour dcrire les
mouvements des articulations dun manipulateur et montr comment
calculer ces
modlisations (gomtrique, cinmatique et dynamique) auxquelles ils
sont ncessaires pour la
commande des robot manipulateurs.
-
CHAPITRE 02 TECHNIQUES DE COMMANDES DES ROBOTS
p. 17
Chapitre 02
TECHNIQUES DE COMMANDES DES ROBOTS
2.1. Introduction
La commande des robots manipulateurs a pour but de contrler le
dplacement des
actionneurs suivant une trajectoire programme, donc problme de
la commande des robots
manipulateurs peut tre formul comme la dtermination de lvolution
des forces gnralises
(forces ou couples) que les actionneurs doivent exercer pour
garantir lexcution de la tche tout
en satisfaisant certains critres de performance. Durant ces
trois dernires dcennies, en vue
damliorer les performances des manipulateurs, des recherches
avances ont permis de faire
merger de nouvelles techniques de commande non linaire pour les
applications aux robots
manipulateurs.
2.2. Techniques de commande des robots
Dans le cas o le modle exact du robot est parfaitement connu,
plusieurs stratgies de
commande peuvent tre appliques. Cependant, en pratique, cette
condition idale nest jamais
tout fait remplie vu les diffrentes perturbations agissant sur
le robot manipulateur, et les
incertitudes du modle, do la ncessit dadapter la commande.
Diffrentes techniques sont utilises pour la commande des bras
manipulateurs. La
conception mcanique du bras manipulateur a une influence sur le
choix de schma de
commande. Un robot manipulateur est une structure mcanique
complexe dont les inerties par
rapport aux axes des articulations varient non seulement en
fonction de la charge mais aussi en
fonction de la configuration, des vitesses et des
acclrations.[6]
Parmi les commandes des robots manipulateurs les plus utilises
dans les applications
industriels sont :
Commande classique.
Commande dynamique.
Commande adaptative.
-
CHAPITRE 02 TECHNIQUES DE COMMANDES DES ROBOTS
p. 18
2.2.1. Commande classique
La commande classique est lensemble des lois linaires de type
PID (proportionnel intgral
driv) gains constants, et le rgulateur standard (PID) est le
rgulateur le plus utilis dans
lindustrie, car il permet de rgler laide de ses trois paramtres
les performances
(amortissement, temps de rponse) dune rgulation dun processus
modlis par un deuxime
ordre. Pour laborer une commande PID, il faut considrer chaque
articulation du robot comme
un mcanisme indpendant et pouvant tre linaris dans une zone de
fonctionnement.[8]
Les paramtres du rgulateur PID sont le gain proportionnel Kp, le
temps intgral Ti et le
temps drivatif Td, les temps tant exprims en secondes.
La figure (2.1) prsente le schma dune commande classique
PID.
Figure 2-1 Schma classique dune commande PID
La commande classique tient le monopole dans le domaine
industriel mais elle prsente
certains inconvnients et certains avantages.
2.2.1.1. Avantages
Facilit dimplantation.
Faible cot (implantation, temps de calcul).
2.2.1.2. Inconvnients
Cette commande, fonde sur un modle linaire du robot
manipulateur, nest plus
acceptable pour les grands dplacements effectus des vitesses
importantes et
demandant une bonne prcision.
le terme intgral est indispensable pour liminer lerreur statique
en position due aux
forces de gravit. Cependant, pour une entre de type rampe,
lerreur statique subsiste.
-
CHAPITRE 02 TECHNIQUES DE COMMANDES DES ROBOTS
p. 19
la dynamique du manipulateur variant avec sa configuration, il
ne sera pas possible de
maintenir les performances du systme pour toutes les
configurations accessibles si les
coefficients du correcteur sone constants.[8]
2.2.1.3. Lois de commande
Si les forces de pesanteur sont compenses mcaniquement ou
autrement, la loi de
commande choisir est du type PD :
(2.1)
Dans le cas o les forces de pesanteur ne sont pas compenses, une
commande PID est
ncessaire et la loi correspondante est de la forme :
(2.2)
: Position dsire.
: Position relle.
: Vitesse dsire.
: Vitesse relle.
KP, KD, KI : matrices diagonales (nn) contenant les gains KPi,
KDi, KIi.
Limplantation de la commande PID ncessite la connaissance des
gains KPi, KDi, KIi de
chaque articulation.
Pour cela, on suppose que les quations dynamiques des
articulations sont dcouples et
linaires et en ngligeant les forces centrifuge et Coriolis ainsi
que les forces de pesanteur et de
frottement.
Lquation correspondant de chaque articulation prend la forme
:
(2.3)
O Ji : reprsente la partie fixe (ou maximale dans dautre cas) de
llment mij de la
matrice dinertie M(q).
Le modle est dautant plus raliste que le rapport de rduction est
important, que les
vitesses sont faibles et que les gains en position et en
vitesses sont grands.
On galisant lquation (2.3) avec une quation du systme (2.2) on
obtient :
(2.4)
-
CHAPITRE 02 TECHNIQUES DE COMMANDES DES ROBOTS
p. 20
La fonction de transfert en boucle ferme entre qi et qdi est
comme suit :
(2.5)
On remarque bien que,
donc, la prsence dune erreur.
En robotique, la pratique la plus courante consiste choisir les
gains de manire obtenir
comme ples dominants un ple double rel ngatif, dans le but
dobtenir une rponse sans
oscillations et rapide, lautre ple est choisi rel ngatif mais
loin des deux autres.
Lquation caractristique de la fonction de transfert (2.5) scrit
sous la forme :
(2.6)
Si on pose
;
;
.
Alors
(2.7)
Les ples choisis sont donc comme suit :
; ;
Do :
(2.8)
Avec K>0 et >0 .
Nous remarquons que les gains Kp ,KD , KI sont fonction de Ji
suppos constant, mais en
ralit Ji varie en fonction de la situation de lensemble du
robot, donc lamortissement nest
vraiment critique que pour la valeur de Ji choisie.[8]
Les commandes de type PID sont implantes dans tous les
contrleurs de robots industriels
actuels. Le systme est considr comme un systme linaire et
chacune de ses articulations est
asservie par une commande dcentralise de type PID gains
constants.
-
CHAPITRE 02 TECHNIQUES DE COMMANDES DES ROBOTS
p. 21
2.2.2. Commande dynamique
Ce type de commande est aussi connu sous le nom de commande par
dcouplage non
linaire ou couple calcul. La commande par dcouplage non linaire
commande dynamique
est un asservissement non linaire dont les paramtres utilisent
un modle de la dynamique du
robot, la mise en uvre de cette mthode exige le calcul en ligne
du modle dynamique et la
connaissance des valeurs numriques des paramtres inertiels et de
frottements ce qui ne
constitue plus maintenant une limite rdhibitoire grce aux
volutions technologiques en micro-
informatique et le dveloppement de techniques
d'identification.
La commande dynamique n'est pas dans tous les cas le type de
commande ncessaire pour
obtenir une bonne prcision et une bonne stabilit. En effet une
commande classique suffit
lorsque le robot manipulateur volue sans contraintes de
performance, de rapidit et de prcision
car dans ce cas, les inerties ont une influence moins
importante, Pour valuer ces performances,
nous comparons cette stratgie (commande dynamique) la commande
classique de type
PID.[12]
La figure (2-2) prsente le schma dune commande dynamique par
dcouplage non-
linaire.
Figure 2-2 Schma dune commande dynamique par dcouplage
non-linaire
Cette commande consiste transformer par un retour dtat le
problme de commande dun
systme non linaire en un problme de commande dun systme linaire,
ce qui permet ensuite
dappliquer les techniques classiques de la thorie de la commande
linaire.
La commande dynamique prsente des avantages comme elle prsente
des inconvnients.
2.2.2.1. Avantages
Bonne prcision de suivi.
Application aux robots rapides.
-
CHAPITRE 02 TECHNIQUES DE COMMANDES DES ROBOTS
p. 22
2.2.2.2. Inconvnients
Ncessit dune identification prcise des paramtres du robot.
Ncessit dun important temps de calcul.
Identification en ligne (paramtres de dernier corps).
Parmi les solutions apportes pour remdier aux problmes prcdents,
nous citons
lutilisation :
Des systmes informatiques performants.
Du formalisme de Newton-Euler pour lidentification en ligne.
Dun modle dynamique rduit.
La commande dynamique a t tudie par un ensemble de chercheurs
depuis une vingtaine
dannes dans le but de trouver une forme qui ne ncessite pas un
temps de calcul important.[8]
2.2.2.3. Lois de commande
Si lquation du modle est comme suit :
(2.9)
Lquation de la loi de commande sera donn par :
(2.10)
O :
(2.11)
Avec estims de ,
M : Matrice dinertie.
C : Matrice des termes Coriolis, centrifuges et de gravits.
: Couple de frottement.
Dans le cas o le modle dynamique est exact, lquation (2.11) nous
donne lquation de
lerreur .
(2.12)
-
CHAPITRE 02 TECHNIQUES DE COMMANDES DES ROBOTS
p. 23
Lquation de lerreur est dcoupl et linaire.
Le bon choix des constantes Kp, KD et KI fait tendre
asymptotiquement lerreur vers zro.
partir de lquation (2.12) nous dduisons la fonction de transfert
entre la position
dsire et la position relle mesure :
(2.13)
La fonction de transfert (2.13) est unitaire, donc la
trajectoire du robot doit suivre
exactement la trajectoire derreur de modlisation.
Le calcul de la commande dynamique dpend de la tche raliser
:
Si la charge est connue, sont identification se fait hors
ligne.
Si la charge nest pas connue lidentification en ligne est
obligatoire.
Si vecteur de commande u est obtenu par un correcteur
proportionnel drive et dune
anticipation en acclration. Il scrit donc :
(2.14)
En utilisant le fait que dans le cas parfait, le comportement de
lerreur est alors
caractris par lquation suivante :
(2.15)
Dans ce cas, lerreur se comporte comme un systme du second
ordre. La pulsation propre
et lamortissement sont alors rgls par les gains du correcteur
:
(2.16)
La prsence dun gain intgral est thoriquement inutile puisque le
systme asservi se
comporte comme un double intgrateur. Cependant, en pratique, le
gain intgral est utilis pour
diminuer linfluence des erreurs de modlisation puisque la
commande en couple calcul a
aussi tendance tre peu robuste face aux erreurs de
modlisation.[8]
Lorsque les erreurs de modlisation sont importantes, que ce soit
cause dincertitudes sur
les paramtres inertiels, soit cause des charges inconnues soit
cause des frottements.
Lquation de lerreur sera donne par la relation suivante :
-
CHAPITRE 02 TECHNIQUES DE COMMANDES DES ROBOTS
p. 24
(2.17)
Soit :
(2 .18)
O :
(2.19)
Couple de perturbation.
Nous dduisons que lerreur de modlisation constitue une
excitation pour lquation de
lerreur e. Remdier ce problme cest augmenter les gains , et
.
2.2.3. Commande adaptative
La commande adaptative a dbute dans les annes 50 comme solution
pour contrler les
processus fonctionnant sous des conditions et environnement
variables dans le temps. Dans les
annes 60 plusieurs contributions de thorie de la commande ont t
introduites dans le
dveloppement de la commande adaptative, comme par exemple
lapproche dtat et les
thories de stabilit. Au dbut des annes 70 les diffrentes mthodes
destimation ont t
introduites dans la commande adaptative. Lutilisation de la
commande adaptative a commenc
au dbut des annes 80 en parallle avec une rapide volution en
micro-lectronique qui permit
dimplmenter des rgulateurs adaptatifs sur des systmes a
microprocesseurs.[11]
2.2.3.1. Dfinition de la commande adaptative
La commande adaptative est un ensemble de techniques utilises
pour lajustement
automatique en temps rel des rgulateurs des boucles de commande
afin de raliser ou
maintenir un certain niveau de performances quand les paramtres
du procd commander
sont soit inconnus soit variantes dans le temps.[12]
2.2.3.2. Le principe
En principe, un systme de commande adaptative mesure un certain
indice de performance
du systme commander partir de lcart entre lindice de performance
dsir et lindice de
performance mesur. Le mcanisme dadaptation commande certains
paramtres du systme
ajustable ou introduit un signal supplmentaire de commande daprs
une certaine stratgie afin
de minimiser lindice de performance. La figure (2-3) reprsente
le principe gnral dun
systme dans une plage donne de commande adaptative.[13]
-
CHAPITRE 02 TECHNIQUES DE COMMANDES DES ROBOTS
p. 25
Figure 2-3 Principe des systmes de commande adaptative
2.2.3.3. Diffrentes commandes adaptatives
Bien quil existe plusieurs types de commande adaptatives nous
prsentons les plus
rpondues telles que :
Gain-Scheduling.
Rgulateur auto-adaptative.
Commande adaptative modle de rfrence.
Lensemble des commandes ont pour rles lajustement des paramtres
du rgulateur, mais
ils diffrent par la manire dajustement.[8]
a. Gain-Scheduling
Il est possible des fois de trouver des variables auxiliaires
qui ont une grande corrlation
avec le changement des paramtres dynamiques. Il est donc
possible de rduire les effets des
paramtres on ajustant le rgulateur et on se basant sur ces
variables auxiliaires.
Le problme du Gain-Scheduling est la dtermination des paramtres
auxiliaires, qui
ncessite la connaissance de la physique du systme commander.
Ce procd a la proprit de rpondre avec grande vitesse aux
variations processus.
La figure (2-4) donne un schma bloc de cette commande.
-
CHAPITRE 02 TECHNIQUES DE COMMANDES DES ROBOTS
p. 26
Figure 2-4 Schma bloc de la commande gain-scheduling
b. Rgulateur auto-adaptative
Dans le cas des systmes adaptatifs, il est suppos que les
paramtres du rgulateur sont
ajusts tout le temps et suivent les changements du processus.
Cependant il est difficile
danalyser la convergence et la stabilit de tels systmes.
Pour simplifier le problme, on suppose que le processus a ses
paramtres constants mais
inconnus. Lorsque le processus est connu, la procdure
dajustement du rgulateur spcifier les
paramtres ncessaires.
Le rgulateur auto-adaptatif est bas sur lide de sparer entre
lestimateur des paramtres
inconnus et la procdure dajustement.[8]
La figure (2-5) montre que les paramtres inconnus sont estims en
ligne utilisant les
mthodes destimation rcursives.
Figure 2-5 Schma bloc dun rgulateur auto-adaptatif
Les paramtres estims sont supposs prendre les valeurs relles et
les incertitudes de
lestimation ne sont pas considres.
Parmi les mthodes destimation des paramtres on cite :
Les approximations stochastiques.
Les moindres carrs.
Les moindres carrs tendu et gnraliss.
-
CHAPITRE 02 TECHNIQUES DE COMMANDES DES ROBOTS
p. 27
La variable instrumentale.
Le maximum de Likelihode.
La combinaison des mthodes destimations et dajustements des
paramtres permet davoir
des rgulateurs diffrentes proprits.
En gnral, on estime les paramtres de la fonction de transfert du
processus et les
perturbations et cela donne un algorithme adaptatif indirect.
Dans le cas o les paramtres du
rgulateur sont en fonction des paramtres du modle, lestimation
est dite indirecte.[8]
c. Commande Adaptative Modle de Rfrence (MRAS)
La commande adaptative avec modle de rfrence consiste adopter
lorgane de
commande dune faon ce que le processus se comporte comme le
modle de rfrence. La
dtermination dune loi de commande adaptative permet la repense
du systme de suivre celle
du modle mme en prsence des perturbations en agissant sur les
performances dynamiques du
systme. Le principe de cette commande est illustr dans la figure
(2-6) :
Figure 2-6 Structure de base de la commande adaptative avec le
MRAS
Lensemble du systme de commande a une premire boucle ordinaire
contenant le modle
de rfrence et le mcanisme dajustement des paramtres du
rgulateur.
Les deux nouvelles ides apportes par le MRAS sont :
Les performances sont fixes par le choix dun modle de
rfrence.
Lajustement des paramtres du rgulateur est bas sur lerreur :
. (2.20)
Le but de cette rgulation est la minimisation de lerreur entre
la sortie du modle de
rfrence et la sortie du processus .
Le problme dans le cas du (MRAS) consiste obtenir le mcanisme
dajustement des
paramtres du rgulateur qui stabilise le systme et rduit lerreur
zro [8].
-
CHAPITRE 02 TECHNIQUES DE COMMANDES DES ROBOTS
p. 28
2.2.3.4. Approches pour lanalyse des (MRAS)
La construction dun systme adaptatif modle de rfrence consiste
au :
Choix du modle de rfrence fixe les performances dsires.
Chois de la loi de commande.
Dtermination de la loi dadaptation.
Si le choix du modle de rfrence et la loi de commande est li aux
performances dsires,
la loi dadaptation doit assurer la stabilit du systme et la
tendance de lerreur vers zro. Parmi
les approches utilises comme mcanismes, nous notons :
Les rgles MIT (gradient).
La fonction de Lyapunov.
a. Approche du gradient
La mthode du gradient est utilise en premier lieu par Whitaker
dans son travail original.
Le dveloppement de cette approche envers le MRAS revient
utiliser les rgles de MIT.
Rgle de MIT
Soit lerreur entre et : et le vecteur des paramtres ajuster. Un
critre
minimiser est propos comme :
(2.21)
Par consquent pour que J soit petit il est raisonnable de
changer les paramtres dans le sens
ngatif du gradient de J c.--d. :
(2.22)
(2.23)
Sil est suppos que les paramtres changent plus lentement que les
autres variables du
systme, alors on peut calculer
dans ce cas en supposant constant.
Reprsente la sensibilit du systme et dtermine la vitesse
dadaptation des
paramtres. Le schma de la figure (2-7) reprsente le modle
derreur.
-
CHAPITRE 02 TECHNIQUES DE COMMANDES DES ROBOTS
p. 29
Figure 2-7 Le modle derreur
Le choix du critre est arbitraire, si on pose :
(2.24)
(2.25)
La rgle de MIT est performante si est choisi petit, mais sa
valeur peut dpendre de
lamplitude du signal et du gain du processus. En consquence, il
nest pas possible de donner
une limite qui assure la stabilit globale du systme. Il se peut
que le systme est stable pour des
valeurs et non pour dautres.
Une faon de remdier au problme prcdent est dutiliser les rgles
MIT modifies donns
par la formule.
(2.26)
Une autre faon de limiter carrment la vitesse de convergence est
dintroduire la fonction
de saturation :
(2.27)
Il arrive parfois que le choix de larges des valeurs pour y
provoque linstabilit.
Pour toutes ces raisons, le choix dune approche que se base sur
la stabilit semble
meilleure.[8]
-
CHAPITRE 02 TECHNIQUES DE COMMANDES DES ROBOTS
p. 30
b. Fonction de Lyapunov
Les recherches extensives menes dans le but de trouver une
mthode danalyse de stabilit,
qui assure la tendance de lerreur vers zro ont pu donner la
fonction de Lyapunov. La mthode
propose par Lyapunov est valable pour les systmes non-linaires
et dont lide est illustre en
figure (2-8).
Lnonc de la mthode est le suivant : lquilibre est stable si on
trouve une fonction relle
de lespace dtat, sa courbe enveloppe ltat dquilibre et la drive
de la variable dtat pointe
lintrieur de la courbe.
Figure 2-8 Illustration de la mthode de Lyapunov
Pour noncer Formellement les rsultats on considre lquation
diffrentielle suivante:
(2.28)
Avec
O x reprsente vecteur dtat de dimension n.
Soit la fonction Satisfaisant les conditions suivantes :
pour tout .
est diffrentiable en et .
est dfinie positive.
La condition suffisante pour une stabilit asymptotique uniforme
pour le systme (2.28) est:
(2.29)
Alors doit tre dfinie ngative :
La condition (2.29) fixera donc la loi dadaptation assurant par
suite la stabilit et la tendance de
lerreur vers zro. [8].
-
CHAPITRE 02 TECHNIQUES DE COMMANDES DES ROBOTS
p. 31
2.3. Conclusion
Dans ce chapitre nous avons prsente quelques techniques de
commande des robots
industriels telle que la commande classique, la commande
dynamique et la commande adaptative,
ces derniers sont les commandes les plus utilises dans
l'industrie. Nous nous sommes plus
particulirement intresss la commande adaptative des robots
manipulateurs car notre systme
possde un modle dynamique non linaire, paramtres inertiels
variables, couplage entre les
articulations et erreurs didentifications.
Le prochain chapitre nous prsenterons la simulation de la
commande adaptative pour un
robot manipulateur deux degrs de libert.
-
CHAPITRE 03 SIMULATION DE LA COMMANDE ADAPTATIVE
p. 32
Chapitre 03
SIMULATION DE LA COMMANDE ADAPTATIVE
3.1. Introduction
Lorsqu' un robot manipulateur doit tre command de manire rapide
et prcise, les
contraintes dynamiques doivent tre prises en compte. Il est
ncessaire de concevoir un systme
de commande plus sophistiqu qui prend en compte lensemble des
forces dynamiques
dinteractions. Le modle dynamique doit tre le plus complet
possible et les paramtres qui le
caractrisent doivent tre bien identifis. Le besoin une commande
adaptative vient compenser
contraintes quopposent certains types de commandes. La
simulation est effectue sur un bras
manipulateur deux degr de libert.
3.2. Modlisation du robot deux degrs de libert
Un robot deux degrs de libert et qui a deux articulations
rotodes.
Figure 3-1 Reprsentation du robot deux axes rotodes
m1 : masse du corps 1 ; m2 : masse du corps 2.
G1 : centre de masse du corps 1 ; G2 : centre de masse du corps
2.
L1 : longueur du corps 1 ; L2 : longueur du corps 2.
Lc1 : position du centre de masse G1 par rapport O1.
Lc2 : position du centre de masse G2 par rapport O2.
Ce bras est constitu de deux axes de masses respectives m1 et m2
de longueurs respectives
L1 et L2, les vecteurs numriques utiliss pour la simulation sont
celles des axes 2 et 3 du robot
-
CHAPITRE 03 SIMULATION DE LA COMMANDE ADAPTATIVE
p. 33
Puma 560. Figure (3-2).
Figure 3-2 Le Puma 560
Soit :
Vecteur des coordonnes oprationnelles donnant la position de
lorgane terminal.
Vecteur des coordonnes gnralises.
3.2.1. Modle gomtrique
Les positions des masses m1, m2 sont donnes par [8]:
(3.1)
(3.2)
Avec
3.2.1.1. Paramtres de Denavit-Hartenberg modifie (DHM)
Nous dfinissons les paramtres (DHM) de ce robot manipulateur 2
DDL comme suit :
Tableau 3-1 Les paramtres de DHM
joint d a V.A
1 q1 0 0 0 q1
2 q2 0 L1 0 q2
-
CHAPITRE 03 SIMULATION DE LA COMMANDE ADAPTATIVE
p. 34
3.2.1.2. Calcul de la matrice du passage
La matrice du passage globale est donne par :
(3.3)
3.2.2. Modle cinmatique
Le modle cinmatique appel aussi modle variation el permet de
calculer les vitesses ou la
variation de lorgane terminal en fonction des vitesses
articulaires.
(3.4)
(3.5)
3.2.3. Modle dynamique
3.2.3.1. Calcul de la matrice dinertie
Afin de calculer la matrice dinertie M(q), on calcule dabord ses
lments mij(q) par la
formule (1.28),[7] on a donc :
(3.6)
(3.7)
(3.8)
Avec :
(3.9)
mp: une masse dans lorgane terminal.
Telle que reprsente linertie par rapport laxe (Oi , Zi) du corps
Ci.
3.2.3.2. Calcul de la matrice
A partir de la relation (1.36) et la matrice M(q), on peut
calculer les lments de la
matrice :
(3.10)
(3.11)
-
CHAPITRE 03 SIMULATION DE LA COMMANDE ADAPTATIVE
p. 35
(3.12)
(3.13)
3.2.3.3. Calcul du vecteur des termes de gravit
Lnergie potentielle de chaque corps Cj (i=1,2) sobtient partir
de relation (1.31) et
(1.32).
(3.14)
(3.15)
3.2.4. Modle dynamique du robot deux DDL
Daprs les paragraphes prcdents, les matrices et le vecteur des
termes des gravits du
modle dynamique du bras manipulateur sont exprims comme suit
:
Matrice dinertie :
(3.16)
Matrice des forces centrifuge et Coriolis :
(3.17)
Vecteur des efforts gravitationnels :
(3.18)
Le modle dynamique est :
(3.19)
3.3. La commande adaptative
3.3.1. Lestimation des paramtres par une loi de commande
adaptative
En l'absence de frottement ou d'autres perturbations, le modle
dynamique d'un bras
manipulateur 2 DDL est:
(3.20)
O :
: La matrice dinertie (2 2).
-
CHAPITRE 03 SIMULATION DE LA COMMANDE ADAPTATIVE
p. 36
: Matrice regroupant les forces centrifuges et de Coriolis (2
2).
: Vecteur des forces de gravit (2 1).
: Vecteur de couple (2 1).
On pose :
(3.21)
O le terme dcrit une action de contrle qui garantit une
compensation
approximative des effets non linaires et les dcouplages des
articulations.[10].
: Vecteur de paramtres constants du robot (6 1).
: Matrice en fonction de positions, vitesses et acclrations (2
6)
Considrons la loi de commande avec K une matrice dfinie
positive.
(3.22)
Avec
(3.23)
(3.24)
(3.25)
Avec le terme est lquivalant de laction PD (proportionnel
driv).
: Vecteur (6 1) estim du vecteur .
: Matrice (2 2) estim de la matrice M.
: Matrice (2 2) estim de la matrice C.
: Vecteur (2 1) estim du vecteur G.
En substituant (3.25) dans (3.21), donne :
(3.26)
-
CHAPITRE 03 SIMULATION DE LA COMMANDE ADAPTATIVE
p. 37
O
La fonction de Lyapunov est dfinie par :
(3.27)
O
En utilisant la proprit et la drive de la fonction
de Lyapunov est :
(3.28)
La loi d'adaptation est choisie de telle sorte que , qui est
:
(3.29)
Avec donc lquation (3.28) devient (3.30) :
(3.30)
Lquation (3.29) peut aussi s'crire sous la forme suivante :
En intgrant les deux cts de l'quation (3.29)
(3.31)
O
Le schma bloc de la loi de commande adaptative (3.29) est donn
dans la figure 3-3.
Avec .
-
CHAPITRE 03 SIMULATION DE LA COMMANDE ADAPTATIVE
p. 38
Figure 3-3 Le schma bloc de la loi de commande (3.29)
Les lments de la matrice variable Y pour lquation (3.31) sont
:
(3.32)
3.3.2. Obtention de la loi adaptative avec une fonction qui vari
dans le temps
Dans le but de contrler la trajectoire du robot manipulateur, si
l'estimation de paramtre,
est dfinie comme une nouvelle commande dentre [10] :
(3.33)
O
Lutilisation de (3.33) dans le modle dynamique (3.25) est une
stratgie de commande
obtenu de telle sorte que les erreurs et l'estimation du sont
bornes.
preuve :
Afin dobtenir la loi d'estimation des paramtres dfinis dans
l'quation. (3.33) qui satisfait
la stabilit du systme en boucle ferm et assure les limites des
erreurs.
La fonction de Lyapunov propos :
(3.34)
-
CHAPITRE 03 SIMULATION DE LA COMMANDE ADAPTATIVE
p. 39
La drive de la fonction de Lyapunov est :
(3.35)
Avec
En utilisant la proprit et la drive de la fonction
de Lyapunov devient :
(3.36)
On a et donc les premiers termes de l'quation (3.36) sont
infrieurs ou gales
zro:
(3.37)
Pour la condition de stabilit, les derniers termes de l'quation.
(3.36) doivent tre gale
zro :
(3.38)
Pour cette quation (3.38), il est trs important de choisir la
fonction pour rsoudre cette
quation, et il n'y a pas une certaine rgle de choisir pour ce
systmes. Nous utilisons les
paramtres d'tat du systme pour la recherche de la fonction
approprie comme une solution
de lquation diffrentielle du premier ordre. Pour cela nous
choisissons, et de son driv tel
que [10] :
(3.39)
On remplace (3.39) dans (3.38) :
(3.40)
Avec et en divisant lquation (3.40) par :
(3.41)
En multipliant lquation (3.41) par
:
(3.42)
Nous pouvons crire lquation (3.42) comme suit :
(3.43)
-
CHAPITRE 03 SIMULATION DE LA COMMANDE ADAPTATIVE
p. 40
L'intgration des deux cts de l'quation (3.43) nous donne :
(3.44)
(3.45)
En divisant les deux cts de l'quation. (3.46) par
:
(3.46)
Avec : et le constant C=2 (3.47)
Par consquent, la loi d'adaptation des paramtres est :
(3.48)
(3.49)
(3.50)
Le schma bloc qui comprend l'adaptation des paramtres en
utilisant la loi de commande
(3.48) est illustr dans la figure (3-4).
Figure 3-4 Le schma bloc de la loi de commande (3.48)
Les lments de la matrice variable Y pour lquation (3.48) sont
:
-
CHAPITRE 03 SIMULATION DE LA COMMANDE ADAPTATIVE
p. 41
(3.51)
Les paramtres du robot 2 DLL sont prsents dans le tableau
3-2:
Tableau 3-2 Les paramtres du robot
m1 m2 l1 l2 lc1 lc2 I1 I2 g
10Kg 5 Kg 1m 1m 0.5m 0.5m 10/12 Kg.m2 5/12 Kg.m
2 9.81 m/s
2
Les lments du vecteur constant : [10]
(3.52)
3.4. La trajectoire dsire
La dynamique du robot exige dimposer des trajectoires
ralisables, ainsi la continuit en
position, vitesse et acclration offre au robot la possibilit de
poursuivre la trajectoire avec des
commandes ralisables.
Pour notre simulation, un polynme du troisime ordre est considr
comme une trajectoire
de rfrence , pour les deux articulations comme montre la figure
suivante. [7].
(3.53)
Avec :
Figure 3-5 La trajectoire dsire et la vitesse dsire
0 0.5 1 1.5 2 2.5 30
0.5
1
1.5
2
2.5
temps (s)
tht
a (ra
d)
0 0.5 1 1.5 2 2.5 30
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
temps (s)
dth
ta/d
t (ra
d/s)
thta
vitesse
-
CHAPITRE 03 SIMULATION DE LA COMMANDE ADAPTATIVE
p. 42
Les angles des articulations changent de 0 rad 2,5 rad en 3s et
la vitesse varie entre 0
rad/s et 1.25 rad/s pendant 1.5s et entre 1.25 rad/s et 0 rad/s
jusqu 3s, le temps
d'chantillonnage est 0,01 s.
3.5. Rsultats de simulation
Pour une comparaison de la loi de commande propose par le
contrleur connue (3.29) et le
contrleur (3.48) en utilisant les mmes paramtres tels que K et ,
les algorithmes de commande
dvelopps sont appliques au modle pour la mme trajectoire dsir
afin d'analyser les
performances de chaque loi de commande.
Dans cette simulation nous considrons que les perturbations
externes sont ngligeables.
3.5.1. Simulation de schma bloc 1 sans la charge
Les rsultats des positions et des vitesses relles et dsirs des
deux articulations et ses
erreurs sont prsents dans les figures (3.6) et (3.7) avec les
paramtres :
Figure 3-6 Les positions angulaires et lerreur de poursuite en
fonction du temps
0 0.5 1 1.5 2 2.5 30
0.5
1
1.5
2
2.5
temps (s)
Angle
(ra
d)
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-0.1
-0.08
-0.06
-0.04
-0.02
0
0.02
0.04
0.06
temps (s)
Err
eur
de p
ositio
n e
1 (
rad)
0 0.5 1 1.5 2 2.5 30
0.5
1
1.5
2
2.5
3
temps (s)
Angle
(ra
d)
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-0.02
-0.015
-0.01
-0.005
0
0.005
0.01
0.015
0.02
temps (s)
Err
eur
de p
ositio
n e
2 (
rad)
thd1
thr1
e1
thd2
thr2
e2
-
CHAPITRE 03 SIMULATION DE LA COMMANDE ADAPTATIVE
p. 43
Figure 3-7 Les vitesses angulaires et lerreur de vitesse en
fonction du temps
D'aprs la figure (3-6) nous remarquons que la valeur de l'erreur
maximale en rgime
transitoire pour la premire articulation est environ de 0.056
rad et pour la deuxime articulation
est environ de 0.015 rad avec les valeurs des paramtres sont
:
partir de la figure (3-7) on remarque que lerreur de la vitesse
pour la 1er articulation est
environ de 0.03 rad/s et 0.078 rad/s pour la deuxime
articulation.
La figure suivante reprsente la commande U pour les deux
articulations :
Figure 3-8 La commande pour chaque articulation U1 et U2
La deuxime articulation suit la trajectoire qui lui correspond
avec une erreur maximale de
position mieux que la premire articulation car la 1er
articulation comporte les deux segments,
par contre la 2me
articulation ne commande quun seul segment.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 30
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
temps (s)
la v
itesse (
rad/s
)
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
temps (s)
Err
eur
de v
itesse d
e1 (
rad/s
)
0 0.5 1 1.5 2 2.5 30
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
temps (s)
la v
itesse (
rad/s
)
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-0.08
-0.06
-0.04
-0.02
0
0.02
0.04
0.06
0.08
temps (s)
Err
eur
de v
itesse d
e2 (
rad)
thd1
thr1
de1
dthd2
dthr2
de2
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-40
-20
0
20
40
60
80
100
120
140
160
temps (s)
la c
om
mande U
(N
.m)
la commande U
u1
u2
-
CHAPITRE 03 SIMULATION DE LA COMMANDE ADAPTATIVE
p. 44
3.5.1.1. Changement des paramtres
On augmente les paramtres qui sont quivalant laction de
rgulation PD jusqu
130 pour le K et 60 pour , les rsultats des positions et des
vitesses avec ses erreurs seront
prsentes dans les figures (3-9) et (3-10).
Les paramtres sont :
Figure 3-9 Les positions angulaires et lerreur de poursuite en
fonction du temps
Figure 3-10 Les vitesses angulaires et lerreur de vitesse en
fonction du temps
0 0.5 1 1.5 2 2.5 30
0.5
1
1.5
2
2.5
temps (s)
Angle
(ra
d)
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-0.025
-0.02
-0.015
-0.01
-0.005
0
0.005
0.01
0.015
temps (s)
Err
eur
de p
ositio
n e
1 (
rad)
0 0.5 1 1.5 2 2.5 30
0.5
1
1.5
2
2.5
3
temps (s)
Angle
(ra
d)
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-6
-4
-2
0
2
4x 10
-3
temps (s)
Err
eur
de p
ositio
n e
2 (
rad)
thd1
thr1
e1
thd2
thr2
e2
0 0.5 1 1.5 2 2.5 30
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
temps (s)
la v
ite
ss
e (
rad
/s)
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
temps (s)
Err
eu
r d
e v
ite
ss
e d
e1
(ra
d/s
)
0 0.5 1 1.5 2 2.5 30
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
temps (s)
la v
ite
ss
e (
rad
/s)
0 0.5 1 1.5 2