Modélisation de l'incertitude spatiale pour l'inférence de ... · Comment modéliser la relation entre les deux? Fonction de réponse hémodynamique (HRF) ... Facteurs de nuisance

Modélisation de l'incertitude spatialepour l'inférence de groupe

en IRM fonctionnelle

Merlin Keller,

Groupe Spatial

11/12/08

Plan

I. L'imagerie par résonance magnétique fonctionnelle (IRMf)

II. L'inférence de groupe en IRMf

III. Modélisation de l'incertitude spatiale

Une expérience d'IRM fonctionnelle

● Acquisition d'une séquence d'images 3D de l'activité cérébrale

● Activité mesurée indirectement par son effet sur le réseau vasculaire ( effet BOLD )

Décours temporel en un voxel

En rouge : Temps d'occurrence (onsets) des stimuli

● On suppose que chaque stimulus induit localement un effet BOLD

● Comment modéliser la relation entre les deux?

Fonction de réponse hémodynamique (HRF)

● Décrit la réponse induite par un événement ponctuel● Souvent supposée connue à l'avance

Modèle linéaire général (GLM)

Yk = X

k +

k,

k ~ N(0,

k)

k: indice du voxel considéré

Yk

X1

X2

Modèle linéaire général (GLM)

On a implicitement supposé que les réponses aux différents événements :● sont identiques ( Stationnarité ) ● s'additionnent ( Linéarité )Régresseurs additionnels :● Conditions expérimentales multiples● Facteurs de nuisance

Yk = X

k +

k,

k ~ N(0,

k)

Yk

Contraste d'intérêt

● On s'intéresse à l'effet BOLD c'k au voxel k, en

réponse à un contraste de conditions expérimentales c.● Exemples : Stimulation – Repos, Condition 1 –

Condition 2, etc.● Le voxel k est dit :

– actif ( pour le contraste c ) si : c'k > 0

– inactif si : c'k = 0

– déactivé si : c'k ≤ 0

Test sur un contraste

● Q : Le voxel est-il actif ?

➔ Test de Student de H0: c'

k = 0 contre H

1: c'

k > 0

– Tk =

– Sous H0 : T

k ~ t

N-p

( N = nombre de scans, p = rg(X) )

– On rejette H0 au niveau si T

k > t

1-,N-p

kc'

Var c kc'

k k

k

k

Tests multiples

● Q : Quelles sont les aires cérébrales activées pour un certain contraste de conditions expérimentales?

➔ Calcul d'une carte de statistiques T, seuillage à t

1-,N-p

● Problème de comparaisons multiples :

– ≃ 50 000 voxels dans une image– Stratégies : Bonferroni, Théorie des champs

gaussiens, tests de permutation, ...

L'inférence de groupe en IRMf

● But : Généraliser les résultats individuels à la population d'intérêt

● Exemple : n sujets on participé à une expérience d'IRMf, et leur données ont été traitées séparément

Quel est la carte d'activation moyenne de la population parente?

?

L'inférence de groupe en IRMf

● Un défi majeur : La variabilité morphologique du cerveau humain

● Approche usuelle : recalage vers un “cerveau type” ( template )

● Suppose possible une correspondance point-par-point entre les images

● En pratique, n'est jamais “parfait”

L'inférence de groupe en IRMf

● Un défi majeur : La variabilité morphologique du cerveau humain

● Approche usuelle : recalage vers un “cerveau type” ( template )

● Suppose possible une correspondance point-par-point entre les images

● En pratique, n'est jamais “parfait”

Approche voxel-based (massivement univariée)

Principe : Après recalage, ou normalisation, vers un template, comparaison des images séparément en chaque voxel

● Approche standard (SPM, FSL)● Suppose les images parfaitement réalignées (en

pratique, lissage spatiale préalable des données)● Alternatives : Comparaison des images à un plus

haut niveau ( Thirion et al. (2007b), Xu et al. (2007), Tucholka et al. (2008), ... )

Résumé de l'approche voxel-based

a) Calcul d'une carte statistique pour tester en chaque voxel la présence d'un effet BOLD moyen positif

b) Calibration de la carte statistique pour détecter les régions activées

➔ Nécessite un modèle de la distribution des effets BOLD à travers les sujets

Modèle à effets aléatoires simple● Les effets individuels 1k , ... , nk

au voxel k sont

modélisés par des variables aléatoires i.i.d, e.g. Gaussiennes :

ik = k + ik , ik⁓ N( 0 , k² )

– k : Effet BOLD moyen dans la population au voxel k

– k : Variabilité de l'effet BOLD dans la population au voxel k

k 2k

k

1k nk...

Test sur l'effet moyen

● L'effet BOLD moyen est-il positif pour le voxel k?

➔ Test de Student de H0 :

k ≤ 0 contre H

1 :

k > 0

– Tk =

– Sous H0 : T

k ~ t

n-1

– On rejette H0 au niveau si T

k > t

1-,n-1

k

std( )k

k k

k

k

● Avantages :– Rend la détection d'activation simple à mettre en

oeuvre

– Approche de référence ( logiciel SPM )

● Limites : Suppose– les effets BOLD directement observés :

néglige les erreurs d'estimation

– les images parfaitement recalées : néglige les erreurs de normalisation spatiale

Modèle à effets aléatoires simple

Modèle intra-sujet

● ik effet BOLD (inconnu) du sujet i au voxel k

● ik estimé de ik (par GLM). Si le nombre de scans acquis N est assez grand :

ik = ik + ik , ik ⁓ N(0 , sik²), sik

supposé connu

ik ik

sik

Modèle mixte

● Inclut dans le modèle à effets aléatoires simple les modèles intra-sujets

1k 2k iknk......

sik

1k 2k

ik nk

k

k

Modèle mixte

● S'écrit sous forme d'un modèle hiérarchique :

ik = ik + ik , ik ⁓ N(0 , sik²)

ik = k + ik , ik⁓ N(0 , k²)

● Ou de manière équivalente :

ik = k + ik , ik

⁓ N(0 , k² + sik²)

● Si s1k² = ... = snk², on retrouve le modèle précédent

Test sur l'effet moyen● But : Tester H

0 :

k ≤ 0 contre H

1 :

k > 0

● Statistique de décision : Le rapport des vraisemblances maximales

( L(k,

k²) : vraisemblance

du modèle mixte )

– Pas d'expression explicite : Calcul par algorithme EM

– Loi sous H0 inconnue : Calibration par un test de

permutation

sup L(k,

k²)

k≤0

sup L(k,

k²)

k>0

R =

k k

k

FIAC dataset (Meriaux et al., 06)

Localizer dataset (Keller et al., 08)

Localizer dataset (Keller et al., 08)

Modèle mixte

● Avantages :– Prends en compte les erreurs d'estimation individuelles

– Permet un gain en sensibilité pour la détection d'activations (Meriaux06, Keller08a) par rapport à l'approche standard

● Limites :– Suppose toujours les images parfaitement recalées :

néglige les erreurs de normalisation spatiale.

Q : Peut-on inclure les erreurs de normalisation spatiale dans le modèle mixte?

Prise en compte de l'incertitude spatiale

● On ne suppose plus les images parfaitement recalées

– vl ∈ ℝ3 voxel de l'espace standard

– uil ∈ ℝ3 erreur de recalage du sujet i au voxel l (inconnue)

– vk = vl + uil voxel déplacé (uil discrétisé)

● Modèle inter-sujet :

i(vl) = (vl + uil) + il , il

⁓ N(0 , ²)

– i(vl) = il effet du sujet i au voxel l

– (vl + uil) = (vk) = k effet moyen au voxel k

vluil

vk

Modélisation du champ de déplacement● ui = (uil)1≤l≤p champ de déplacement du sujet i,

défini par :

– V' = (vk , ... , vk ) points de contrôle (voxels)

– K(l, k ) = K(∥vl – vk ∥) noyau d'interpolation

– wi = (wij)1≤j≤m paramètres de déplacement du champ i

● l = 1, ... , p : uil = ∑ K(l, kj) wij

(cf. Allassonière et al., 07)

● wi champ de Markov Gaussien (GMRF) sur V' :

p(wi) ∝ exp - ∑∥wij∥² - h ∑ wijt wij'

1 m

j=1

m

j=1

m

j ~ j'

12²

m m

Modèle complet

i = i + i ; i

⁓ N(0, Si²)

i = (V + ui) + i ; i ⁓ N(0, ²Ip)

ui = K wi ; wi ⁓ N(0, Q-1)

avec :

– Si² = diag(sil², 1≤l≤p )

– Q matrice de précision des wi : Q( j, j ) = -2 ; Q( j, j' ) = h 1{ j ~ j' }

● Vraisemblance complète :

f( , , w | , ²) = f( | ) p( | w, , ²) p(w)

Inférence Bayésienne

● But : Soit ( , ²) une loi a priori, déterminer :

( , ² | ) = ( , w , , ² | ) d dw

∝ f( , , w | , ²) ( , ²) d dw● Pas d'expression analytique...● Solution : Échantillonner ( , w , , ² | )

➔ ( t, w t , t, (²)t )1≤t≤B

➔ ( t, (²)t )1≤t≤B échantillon de ( , ² | )

∫∫

= min 1,

Échantillonnage a posteriori● Échantillonneur de Gibbs :

– Blocs : , w , ( , ²) – Tirages successifs dans ( |...), (w |...), ( , ² |...)

● Pb : (w | ...) ∝ p( | w, , ²) p(w) difficile à simuler● Metropolis-Hastings 'naïf' : w' tirée dans p(w), acceptée

avec probabilité

– Fruste (tirage dans l'a priori)

– Faible taux d'acceptation observé ( < 0.1 en moyenne)

– Semble difficile à améliorer en pratique

p( | w', , ²)p( | w, , ²)

Etude sur données simulées

Données :

● n = 30 images simulées suivant la loi f( i | , ²) (² fixé)

● Données volumiques (ici en coupe centrale)

Estimation des paramètres● ( t, (²)t )1≤t≤B échantillon de ( , ² | ) ; estimé par la moyenne a posteriori :

= ∑ t

– Dans le modèle mixte, sans incertitude spatiale– Dans le modèle complet

t=1

B1B

^

Signal initial Sans incertitude spatiale Avec incertitude spatiale

Détection de régions● Courbes ROC pour la détection

par seuillage des région où : > 0

● Régions détectées par seuillage optimal (minimisation du risque binaire)

Signal initial Sans incertitude spatiale Avec incertitude spatiale

Perspectives

● Méthode :– Améliorer l'échantillonnage des champs de déplacement

– Estimation du paramètre d'incertitude spatiale ² ● Applications :

– Détection des aires cérébrales impliquées dans une tâche donnée par sélection Bayésienne de modèle

– Application aux images anatomiques : Évaluation de l'incertitude de recalage

Bibliography (1/2)

● Allassonière et al. (2007) Toward a coherent statistical framework for dense deformable template estimation.

● Keller et al. (2008) A mixed-effect statistic for two-sample group analysis in fMRI. ISBI'08

● Keller et al. (2008) Dealing with spatial normalization errors in fMRI group inference using hierarchical modeling. Statistica Sinica, 18, 4, 1357-1374

● Meriaux et al. (2006) Combined permutation test and mixed-effect model for group average analysis in fMRI. Hum. Brain Mapping 27, 402-410

● Thirion et al. (2007) High level group analysis of fMRI data based on Dirichlet process mixture models. NeuroImage 35, 105-120

● Tucholka et al. (2008) Probabilistic Anatomo-Functional Parcellation of the Cortex : How many regions?

Bibliography (2/2)

● Xu et al. (2007) Bayesian spatial modeling of fMRI data : a multiple subject analysis. Tech. rep., University of Michigan, department of Biostatistics