7/25/2019 Modeling and Robust Control of Quadruped Robot
1/5
P r o c e e d i n g s
o f
t h e
2 0 0 7
I n t e r n a t i o n a l C o n f e r e n c e
o n
I n f o r m a t i o n
A c q u i s i t i o n
J u l y 9 - 1 1 ,
2 0 0 7 , J e j u
C i t y ,
K o r e a
M o d e l i n g a n d
R o b u s t
C o n t r o l
o f
Q u a d r u p e d R o b o t *
L e i S u n 2 , Y a j i n g Z h o u l , Wanming
C h e n 2 ,
H u a w e i
L i a n g
1 , T a o
M e i l
1 . C e n t e r f o r
B i o m i m e t i c S e n s i n g a n d C o n t r o l R e s e a r c h
I n s t i t u t e o f
I n t e l l i g e n t
M a c h i n e s ,
C h i n e s e A c a d e m y o f
S c i e n c e s ,
H e f e i
2 3 0 0 3 1 ,
C h i n a
2 . U n i v e r s i t y
o f
S c i e n c e
a n d T e c h n o l o g y o f C h i n a , H e f e i
2 3 0 0 2 1 ,
C h i n a
(
s u n u s t c @
1 2 6 . c o m
)
A b s t r a c t
-
T h e
9 - L i n k
d y n a m i c
m o d e l o f
a
q u a d r u p e d
r o b o t c o n t r o l p e r f o r m a n c e .
S e c o n d l y ,
m o t i o n o f a q u a d r u p e d
r o b o t
i s b u i l t
w i t h
L a g r a n g i a n
m e t h o d .
B u i l d i n g t h e m o d e l f r o m
s y s t e m u n d e r
t h e f o u r l e g s
f u l l
s u p p o r t
c a n
b e
r e g a r d e d a s
a
d y n a m i c
v i e w
. S i m p l i f y t h e c o n t r o l o f
a
q u a d r u p e d
r o b o t u n d e r t h e f o u r s y s t e m
u n d e r h o l o n o m i c
c o n s t r a i n t , a n d
t h i s
make t h e
c o n t r o l
l e g s
f u l l
s u p p o r t i n g
a s t h e p r o b l e m s o f t r a c k i n g
c o n t r o l o f
t h e more
c o m p l i c a t e d . R o b u s t c o n t r o l maybe
a
s u i t a b l e m e t h o d
t o
t r u c k
m o t i o n ,
a n d
t h e
s i m p l e
m o d e l
i s
g i v e . T h e
m o t i o n
o f t h e s o l v e t h e
p r o b l e m s ,
b u t t h e l i t e r a t u r e s
t h a t
u s e
r o b u s t c o n t r o l
r o b o t u n d e r f o u r
l e g s
f u l l s u p p o r t i n g i s
c o n t r o l l e d
b y
r o b u s t
t o
c o n t r o l t h e
q u a d r u p e d
r o b o t
i s
s p a r s e .
T h e
p a p e r
b u i l d
t h e
c o n t r o l . S e t t l i n g
t h e
e f f e c t o f t h e
e x t e r n a l
d i s t u r b a n c e a c t o n
t h e
m o t i o n m o d e l o f
a
q u a d r u p e d
r o b o t f r o m
s y s t e m
v i e w ,
a n d
q u a d r u p e d
r o b o t . S i m u l a t i o n s h o w s t h a t
t h e r o b u s t
c o n t r o l
S
m e t h o d i s e f f e c t i v e
w h e n
u s e d o n
t h e
q u a d r u p e d r o b o t u n d e r f u l l s i m p l i f y
t h e c o n t r o l
o f
a q u a d r u p e d r o b o t
u n d e r
t h e f o u r
l e g s
s u p p o r t i n g .
f u l l s u p p o r t i n g a s
t h e p r o b l e m s
o f
t r a c k i n g
c o n t r o l o f t h e
t r u c k
m o t i o n ,
a n d
g i v e s
t h e
s i m p l e
m o d e l b a s e d
o n
i t . T h e r o b u s t
I n d e x T e r m s
-
Q u a d r u p e d
r o b o t , r o b u s t c o n t r o l ,
L a g r a n g i a n ,
c o n t r o l m e t h o d i s
u s e d t o
c o n t r o l t h e r o b o t u n d e r f o u r
l e g s
f u l l
f u l l s u p p o r t .
s u p p o r t a n d s e t t l e t h e
i n f l u e n c e t h a t b r o u g h t
b y
t h e
e x t e r n a l
d i s t u r b a n c e .
I . I N T R O D U C T I O N
W a l k i n g
m a c h i n e h a s
t h e
a d v a n t a g e o v e r
t h e
w h e e l e d
I I .
DYNAMIC
MO EL
m a c h i n e
i n t h a t
i t
u s e d b u t
t h e
i s o l a t e d
p o i n t t o
s u p p o r t
t h e
t r u n k n o t
t h e c o n t i n u o u s t e r r a i n t h a t i s n e e d e d b y w h e e l e d
A .
M e c h a n i c a l
D e s i g n
m a c h i n e . I t
c a n
g e t
s t e a d y w a l k i n g o n u n e v e n t e r r a i n
a n d
T h e q u a d r u p e d r o b o t T I M - i h a s
b e e n d e s i g n e d
f o r
t h e
a v o i d t h e o b s t a c l e
b y k e e p i n g
c l e a r o f
i t ,
a n d
c a n g e t
s t u d y
o f
h o m e
r o b o t i c
p e t s . I t m u s t l o o k l i k e a p e t d o g
a n d
i t
o m n i d i r e c t i o n a l m o t i o n
b y k e e p i n g
t h e
t e r r a i n i n t a c t I t
c a n
h a s t h e n u r s e a b i l i t y a n d c a n c a r r y
a p a y l o a d .
c l i m b
s t a i r ,
s t r i d e
b r o o k ,
t r u d g e s w a m p . W a l k i n g
m a c h i n e
c a n
S o
we d e s i g n e d
a
q u a d r u p e d
r o b o t s h o w e d
i n F i g .
1 ,
t h e
c h o o s e
t h e
e f f e c t i v e s t a n d
p o i n t
o n
t h e
b a d l y t e r r a i n . S o i t
c a n
q u a d r u p e d
r o b o t i s 505mm h e i g h t ,
570mm l e n g t h a n d
250mm
f i n d s t a b l e s t a n d p o i n t e v e n o n
t h e r u g g e d m o u n t a i n .
w i d t h ,
t h e g r o s s
w e i g h t
o f b o d y i s
1 K
K g .
T h e
w e i g h o f a l e g i s
A l l
o f t h e a d v a n t a g e s
m a k e t h e
w a l k i n g
r o b o t
b e c o m e a
2 K g .
S o t h e
t o t a l
w e i g h t
i s
1 8 K g .
T w e l v e DOF
( D e g r e e o f
i m p o r t a n t
s t u d y b r a n c h
i n
t h e r o b o t
s t u d y i n g f i e l d . B e c a u s e
F r e e d o m )
d i s t r i b u t e
i n f o u r
l e g s
a v e r a g e l y .
E i g h t DOF a r e s e t
t h e
q u a d r u p e d
r o b o t
h a s
m o r e
c a r r y i n g
c a p a c i t y
a n d
g o o d
i n
f o u r
h i p
j o i n t s
a n d
f o u r
k n e e
j o i n t s ;
f o u r
p a s s i v e
DOF a r e
s t a b i l i t y
t h a n t h e b i p e d
r o b o t , a n d
h a s
t h e m o r e
s i m p l e
s e t i n
a n k l e j o i n t s
t o a c c o m m o d a t e b a d l y
t e r r a i n
u s i n g t h e
s t r u c t u r e t h a n t h e
6 - l e g g e d
r o b o t a n d 8 - l e g g e d
r o b o t . S o
s p r i n g
m e c h a n i s m f i x e d
o n
t h e b o t t o m o f f o o t .
q u a d r u p e d
r o b o t a r o u s e e x t e n s i v e
a t t e n t i o n .
T a k a s h i s t u d i e d
T h e h i p
j o i n t s
o f
t h e f o u r
l e g s a r e
d r i v e n b y a
1 5 W a t t
t h e
a t t i t u d e c o n t r o l o f
a
q u a d r u p e d
r o b o t
d u r i n g
t w o l e g s
Maxon
2 3 6 6 5 5 DC
s e r v o
m o t o r , r e d u c i n g
t h e s p e e d
d i r e c t l y
s u p p o r t i n g [ 1 ] .
He s i m p l i f i e d t h e q u a d r u p e d
r o b o t
a s a b y p l a n e t a r y
g e a r
r e d u c e r
b o x
( r e d u c t i o n
r a t i o n : 5 0 : 1 ) .
T o
r e a c t i o n - w h e e l
t y p e
i n v e r t e d
p e n d u l u m ,
a n d
t h e t r u n k
i s
m e a s u r e
t h e
t u r n
a n g l e
a n d
a n g u l a r v e l o c i t y
o f
m o t o r , t h e
r e g a r d e d
a s t h e r e a c t i o n - w h e e l ,
a n d
t h e
s u p p o r t i n g l e g s a s t h e
p h o t o e l e c t r i c
e n c o d e r
( M a x o n
1 1 0 5 1 4 )
i s u s e d . T h e f o u r
k n e e
i n v e r t e d
p e n d u l u m .
B u t t h e
r e a c t i o n - w h e e l t y p e i n v e r t e d
j o i n t s a r e
d r i v e n
b y
a 2 0 W a t t Maxon 2 3 6 6 6 9
DC
s e r v o
m o t o r ,
p e n d u l u m
m o d e l i s
t o o
s i m p l e
t o d e s c r i b e t h e q u a d r u p e d
r e d u c i n g
t h e
s p e e d b y t h e
p l a n e t a r y
g e a r
r e d u c e r
s y s t e m
i n
t h a t t h e q u a d r u p e d r o b o t i s a c o m p l i c a t e d
m o t i o n
b o x ( r e d u c t i o n
r a t i o n : 1 0 0 : 1 ) , a n d t h e p h o t o e l e c t r i c e n c o d e r s
s y s t e m .
C o s t a s
T z a f e s t a s
a d o p t
t h e a d a p t i v e i m p e d a n c e
a r e
i d e n t i c a l
t o
t h o s e
o f
t h e
h i p
j o i n t s . T h e i n c l i n o m e t e r
i s
t o
m e t h o d t o s o l v e t h e
m o d e l
e r r o r a n d u n c e r t a i n
p a r a m e t e r s o f
m e a s u r e
t h e d e f l e c t i o n
a n g l e b e t w e e n t h e
r o b o t s
s t a n c e
a n d
t h e
q u a d r u p e d
s y s t e m
[ 2 ] .
B . W . C h o i
d i s c u s s e d
t h e
m o t i o n
g r o u n d .
T o
g e t t h e
home
p o s i t i o n
o f
t h e
j o i n t
t h e
l i m i t
s w i t c h
p l a n
o f a
q u a d r u p e d s y s t e m .
T h e
f u z z y
c o n t r o l
m e t h o d i s u s e d
i s s e t . E v e r y
f o o t o f t h e r o b o t i s e q u i p p e d
b y a t o u c h s w i t c h i n
t o c o n t r o l t h e m o t i o n o f a q u a d r u p e d r o b o t b y D u a n e
W, o r d e r
t o m a k e
s u r e t h e
r o b o t s f o o t h a s
c o n t a c t e d t h e g r o u n d .
D a v i d
E . O r i n
a n d L u t h e r R . P a l m e r [ 4 ] , [ 5 ] , [ 6 ] . Many
r e s e a r c h e r s p a y
a t t e n t i o n
t o
t h e q u a d r u p e d r o b o t g a i t s [ 9 ] , [ 1 0 ] .
A
q u a d r u p e d
r o b o t
w i t h
M u l t i- d e g r e e s o f
f r e e d o m s i s a h i g h
n o n l i n e a r s y s t e m .
F i r s t l y ,
s o m e t i m e s t h e u n c e r t a i n p a r a m e t e r s
a n d
t h e e x t e r n a l
d i s t u r b a n c e
a p p l y a v e r y
a d v e r s e e f f e c t
o n
t h e
T h i s
w o r k i s
p a r t i a l l y
s u p p o r t e d
b y
N a t i o n a l S c i e n c e F u n d o f C h i n a [ G r a n t
N O . 5 0 2 7 5 1 4 1 a n d
6 0 4 7 5 0 2 7 ] .
1 - 4 2 4 4 - 1 2 2 0 - X / 0 7 / 2 5
. O O
C 2 0 0 7
IEEE 3 5 6
Authorized licensed use limited to: Khajeh Nasir Toosi University of Technology. Downloaded on December 21, 2009 at 05:04 from IEEE Xplore. Restrictions apply.
7/25/2019 Modeling and Robust Control of Quadruped Robot
2/5
B .
D y n a m i c
m o d e l
I n
m o s t
l i t e r a t u r e s ,
t h e
s i m p l e
i n v e r t e d
p e n d u l u m
m o d e l i s
u s e d t o
a n a l y z e
t h e
d y n a m i c p r o p e r t i e s
o f a
q u a d r u p e d
r o b o t ,
o r
o n l y
b u i l t t h e
m o d e l
o f a
l e g
o f
t h e
r o b o t . T h e m e t h o d s a r e
t o o
s i m p l e
fa
q u a d u p e d
r o o t ,
a n d some
p r o p e r t i e s
o f h t h e
q u a d r u p e d
c a n n o t
g e t
f r o m t h e i n v e r t e d
p e n d u l u m
m o d e l a n d
....
.
-..M.. . . . . . . . . . . . . . . _
. . . . -
2 -
E
t h
n
nerae
n e - e g
m o e . S o
t h i s
p a p e r
b u i t h h e
m o d e
a n d
M = g .
. 1 . . . . . . . . . . . . . . a
ay
e s i n
t h e
qdrobot
a
.s
r w
e n .
F i g . 2
i s t h e
s c h e m a t i c
o f t h e q u a d r u p e d
r o b o t m o d e l .
I t
c o n s i s t s
o f n i n e
l i n k s ,
t o r s o
( l i n k
3 )
a n d t w o l i n k s i n e a c h
l e g ( t h i g h
i a n s
h a n k )
Th e n i e
l
is
a r e conectd
v i a e i g
r o t a t i n g
j o i n t s :
f o u r
h i p j o i n t s
a n d
f o u r k n e e
j o i n t s ,
w h i c h
a r e
a n g l e l i n k
with
r e s p e c t
t o v
. r e g a r d e d
t o
b e i c t i o n
f e e
a n
e a c
j o i n t
i s
d r i v e n
b y
a n
.................
.i
n d w e n t
D
m t q r .
Theo u r l e g sm c
a
.x :
.o
to
. l e g . . . .
. . . . . .
moment
o f i n e r t i a
a n d
l e n g t h
o f
t h e
f o u r
t h i g h s
a n d
f o u r
F i g . n t
h e r o b o t T I M - i
s h a n k s a r e i d e n t i c a l .
~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ F g 2 s h m t c o f
he
u a d r u p e d
r o b o t m o d e l o l l w s
3 5
q, 0
l o w e
j o n t . v e l c i t e s , a c c l e r t i o s a d t r q u s ,
e s p c t i e l y
angle
f
l i n k
w i t
repc6oth
etcl
Sups
t h 6 n
onso h
o u
escnatwt
h
grondwhn hequdrpe
r bo ti sun er th f ur l es u l
3 5
Authorized licensed use limited to: Khajeh Nasir Toosi University of Technology. Downloaded on December 21, 2009 at 05:04 from IEEE Xplore. Restrictions apply.
7/25/2019 Modeling and Robust Control of Quadruped Robot
3/5
W h e r e
L i
i s t h e d i s t a n c e b e t w e e n
l e g
i + 1
a n d
1 , s o
s i n
+ / 2
s h O 2
+ 4 s i n O 4 + 5
s i n O 5
-
=
0
d i f f e r e n t i a t e
( 2 ) , w e
g e t e q u a t i o n
( 3 ) :
1 /
COS
1
+ / 2 C O S 0 2
-1 4
COS
4 - I 5
C O S O 5
=0
s i n 6 0 + 2 l s 2
s i n 2
+
s i n O 3
- 1 6
s i n 0 6 - b 7
s
2 n 7 - L 2 = O
2
I
o s O 1 + / 2
c o s O 2
+ 4 c o s O 0 3
-
c o s
0 6
- b 7 c o s O 7
=
0
/ I
S i l
+ / 2
S i l 2
+ 1 3
S i O
3 + 8
s i n O
+ b g
s i n O g
-L
=
0
S8
+1 S 2
+3
C
3 89O
-g O8
/ c o s 0 j + / 2 c o s O 2
+4
c o s O
0 - l ,
c o s O 0
- b g
c o s O 0
=
0
1 1 C O S 6 1
2 l C o S 2
0
1 4 c o s 6 4
l c o s 6 5
0
0 0 0
- 1 1 s i n 6 0 - 1 2 s i n 0 2
0
1 4 s i n 6 4
1 / s i n 6 0
0 0
0 0
8 5 4 l
l 1 c o s 6 l
4 2 c o s 6 2 4 3 c o s 6 3
0 0 6 6 7
7
0
( 3 )
1 1CS1
1 2
CO
2
1 3
CO
3
1 6
CO
6 1 7 C O 7 3
a o
- 1 / s i n 6 0
- 1 2 s i n 0 2 - 1 3 s i n 6 3
0 0
1 6 s i n 0 6 1 7 s i n 6 7
0
0
l l c o s 6 l
l 2 c o s 6 2
l c o s 6 3
0 0
0 0 l 8 c o s 6 8 l c o s 6 9
1
CO1
1 2
CO
2
1 3
CO
3
0
8
CO8
1 9
CO9
- / 1 s i n 6 0
- 1 2 s i n 0 2 - 1 3 s i n 6 3
0
0
0
0 1 l s i n 6
/ 9 s i n 0 6
P
= R 6
P=
R 6 + R 6
7
L a g r a n g i a n d y n a m i c e q u a t i o n
o f t h e q u a d r u p e d
r o b o t
T h e r e
i s
u n d e r f u l l s u p p o r t
i s
a s f o l l o w s :
D ( O )
+
H ( O , 6 ) .
+ G ( )
= J T ( ) ) L + I
( 4 )
i J
t 0 )
W h e r e
A
i s
6
x l
L a g r a n g i a n m u l t i p l i e r s ,
J i s
6x9
( R >
(J> (A
( 8 )
J a c o b i a n m a t r i x :
J
=
a c P
/
a 3 ,
s o t h e d y n a m i c
e q u a t i o n o f
0=
t h e
q u a d r u p e d
r o b o t
u n d e r
f u l l
s u p p o r t
i s a s f o l l o w s :
J
O0
J)
(D(S
S N(S S)= j T
( O ) A
+ T
( O )
0
N ( O
)
J
(5 ) C o m b i n i n g ( 5 ) , ( 6 ) , ( 7 ) and ( 8 ) , y i e l d s
U
~ ~ ( D O ( )
=
O
W h e r e
N ( O , )
= H ( O , ) 0 + G ( O ) .
+ =
J
J 1
) +
1 1 D ( T - N + J T A ) ] 9
I n o r d e r t o
a c h i e v e
t h e
s t a b l e
c o n t r o l
o f
t h e q u a d r u p e d
r o b o t u n d e r
f u l l
s u p p o r t ,
c o n t r o l l i n g
a l l o f t h e l i n k s t o t r a c k
t h e
a n t i c i p a n t
t r a c k i s
t h e
b e s t w a y . B u t
t h e q u a d r u p e d s y s t e m
F 1 1 , 3 x 3 F 2 , 3 x 6
AR
i s a
m u l t i p l e
v a r i a b l e
p o s i t i o n
c o n t r o l
s y s t e m ,
t h e c o n t r o l l e r
F
=
F F
w i l l b e c o m e m o r e
c o m p l i c a t e d
i f c o n t r o l
a l l
t h e
s t a t e s .
S o a 2 1 , 6 x 3
2 2 , 6 x 6 )
s i m p l e
m e t h o d m u s t
b e
a d o p t e d t o a c h i e v e
a s i m p l e
c o n t r o l l e r . S u p p o s e
t h e e n d
p o i n t s
o f t h e f o u r
l e g s c o n t a c t
( E 3
( R D - '
w i t h t h e
g r o u n d
w h e n
t h e
q u a d r u p e d r o b o t
i s u n d e r
t h e f o u r
E
=
1 , 3 x s
l e g s
f u l l
s u p p o r t ,
a n d
t h a t
n o s l i p p a g e
b e t w e e n t h e e n d p o i n t s
Y E 2 , 6 x 9 )
JD-)
a n d
t h e g r o u n d .
I n
t h i s
s i t u a t i o n ,
t h e
m o t i o n o f
t h e q u a d r u p e d
r o b o t c a n
b e
d e s c r i b e d
b y
t h e
m o t i o n
o f
t h e
t r u n k
( l i n k
3 ) .
T h e
S
jT
s i m i l a r m e t h o d
p r o p o s e d
i n
[ 7 ] i s u s e d ,
a n d t h e r e i s :
s
=
1 , 3 x 6
D - '
o
11
in
I s i
0+
a3
s i n 6 6
S 2 ,
6 x 6 j D j T
j 0
l
S l n
8 1
+
1 2
S l : n 0 2
+
a 3 S l n
8 3
From
( 9 ) ,
( 1 0 ) ,
t h e r e i s
p= ( X 3 ,
_ V ,
) T= 1 ,
COS
0 1 + I ) 2
COS
0 2
+ a , COS 0 3 ( ) .
c o s a )
{ P = ] t i k + E 6 ( T - N ) + S ) i
( 1 1 )
R
i s 3 X 9 m a t r i x ,
a n d R
=
P / O , y i e d s
0 O
=
F 2 . 1 k + E 2 ( T - N )
+ S 2 A .
3 5 8
Authorized licensed use limited to: Khajeh Nasir Toosi University of Technology. Downloaded on December 21, 2009 at 05:04 from IEEE Xplore. Restrictions apply.
7/25/2019 Modeling and Robust Control of Quadruped Robot
4/5
F r o m
t h e
s e c o n d e q u a t i o n
i n ( 1 ) ,
A
c a n
b e g o t ,
a n d
f
X
=
X 2
( 1 7 )
L x 2 = ( - 1 -
B ) x ,
+
( 1 + B ) x 2 + Cu + Cd
T h e n i i s p u t i n t o t h e
f i r s t e q u a t i o nn
1),Choosing
t h e
L y a p u n o v
f u n c t i o n
P =
-
S I S 2
l F ) P
+
( E l
-
S I S 2 l E ) ( T
-N)
V
=
( x T x ,
+
X T C '
x 2 ) / 2
( 1 8 )
=
BP+C(T-N)
D i f f e r e n t i a t e ( 1 8 ) ,
t h e r e
i s :
W h e r e
X
V = - x l
X 1
+ x 2
[ C ( x 2 - x ) + ( - C B + 1 ) x 1
+ u + d ]
B = F 1 I - S l S 2 2 I
,C=E
- S S 2
F r o m
r o b u s t
c o n t r o l
t h e o r y
w e
k n o w
t h a t
Frm
h r s 0
i f
V .