MODELE OPERATOROWE Modele operatorowe elementów obwodów wyprowadza się wykorzystując znane zależności napięciowo-prądowe dla elementów R, L, C oraz źródeł idealnych. Modele te opisują zależności pomiędzy transformatami napięć na elementach R, L, C i prądów płynących przez te elementy. Przyjmuje się umowę, że: - wielkości (przebiegi) czasowe oznacza się małymi literami, np. przebiegi czasowe prądu, napięcia: i(t), u(t) itp., - wszystkie wielkości (przebiegi) czasowe są określane dla czasu t ≥ 0 i mają transformaty Laplace’a.
25
Embed
MODELE OPERATOROWEstud.eti.elektr.polsl.pl/download/Stany nieustalone... · 2015-03-14 · MODELE OPERATOROWE Modele operatorowe elementów obwodów wyprowadza się wykorzystując
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
MODELE OPERATOROWE
Modele operatorowe elementów obwodów wyprowadza się
wykorzystując znane zależności napięciowo-prądowe dla elementów R,
L, C oraz źródeł idealnych. Modele te opisują zależności pomiędzy
transformatami napięć na elementach R, L, C i prądów płynących przez
te elementy.
Przyjmuje się umowę, że:
− wielkości (przebiegi) czasowe oznacza się małymi literami, np.
− wszystkie wielkości (przebiegi) czasowe są określane dla czasu t ≥ 0 i
mają transformaty Laplace’a.
Przyjęta metodyka postępowania jest podobna do stosowanej w anali-
zie stanów ustalonych w obwodach liniowych z wymuszeniami sinusoi-
dalnymi metodą symboliczną, gdzie elementom R, L, C przyporządko-
wuje się impedancje (admitancje) zespolone wiążące wartości zespolo-
ne skuteczne napięć i prądów tych elementów.
Prowadzone rozważania dotyczyć będą kolejno elementów R, L, C oraz
źródeł autonomicznych.
Rezystor R
Opis rezystora liniowego w dziedzinie czasu określa prawo Ohma:
u(t) = R i(t),
Po obustronnej transformacji Laplace’a powyższych wzorów oraz
wykorzystaniu twierdzenia o liniowości uzyskujemy:
U(s) = L[u(t)] = L[R i(t)] = R L[i(t)] = R I(s),
R
u(t)
i(t) R
U(s)
I(s)
a) b)
Wzory powyższe określają opis rezystora w dziedzinie transformat. Należy podkreślić, że ponieważ rezystor nie magazynuje energii pola elektrycznego, to jego opis zarówno w dziedzinie czasu, jak i w dziedzinie transformat nie zależy od warunków początkowych, których dla rezystora się nie określa.
Induktor L (Cewka indukcyjna)
Opis induktora L przedstawiony na rys. z warunkiem początkowym
== +
t 0i(t) i(0 ) stanowią w dziedzinie czasu równania:
=di(t)
u(t) Ldt
, + = 0i(0 ) i ,
= +∫t
0
0
1i(t) u(t)dt i
L.
Po obustronnej transformacie Laplace’a wzoru z wykorzystaniem twier-
dzeń o liniowości i o pochodnej transformaty uzyskujemy:
= = = = −
0
di(t) di(t)U(s) u(t) L L sL I(s) L i
dt dtL L L .
Wyznaczając z równania prąd I(s) w funkcji napięcia U(s):
= + 0i1I(s) U(s)
sL s
u(t)
i(t) L
0i)0(i ====++++
I(s)sL
0iL
U(s)
I(s) sL
s
i0
U(s)
a) b)
sL
U(s)
I(s)
d)c)
Model dla zerowego
warunku początkowego
=i(0) 0
Modele przedstawione na powyższych rys. są równoważne. W
szczególnym przypadku, gdy + = =0i(0 ) i 0 obowiązują równania:
= = LU(s) sL I(s) Z (s) I(s),
= = L
1I(s) U(s) Y (s)U(s)
sL,
gdzie:
LZ (s), LY (s) − impedancja i admitancja operatorowa induktora:
=LZ (s) sL,
=L
1Y (s)
sL.
Kondensator C
Dla kondensatora C z warunkiem początkowym =
= + = 0t 0u(t) u(0 ) u
obowiązują równania w dziedzinie czasu:
=du(t)
i(t) Cdt
, + = 0u(0 ) u ,
= +∫t
0
0
1u(t) i(t)dt u
C.
Po obustronnej transformacie Laplace’a i wykorzystaniu twierdzeń o
liniowości i transformacie całki uzyskujemy:
= = + = + = +
∫ ∫t t
00 0
0 0
u1 1 1U(s) u(t) i(t)dt u i(t)dt u I(s)
C C sC sL L L L .
Przekształcenie wzoru prowadzi do zależności:
= − 0I(s) sCU(s) u C
i(t)
u(t)
u(0+)
C I(s) sC
1 s
u0
U(s)
sC
1
I(s)
U(s)
sC
1
I(s)
U(s)
a) b)
d)c)
C u0 Model dla zerowego
warunku początkowego
=u(0) 0
W szczególności gdy + = =0u(0 ) u 0, a zatem dla zerowego napięcia na
kondensatorze w chwili komutacji obowiązują równania:
= = C
1U(s) I(s) Z (s)I(s)
sC,
= = CI(s) sCU(s) Y (s)U(s),
gdzie:
LZ (s), LY (s) − impedancja i admitancja operatorowa kondensatora:
=C
1Z (s)
sC,
=LY (s) sC.
Podsumowując, należy stwierdzić, że:
− jeżeli elementy L, C mają niezerowe warunki początkowe, to ich
modele operatorowe stanowią połączenia impedancji (admi-
tancji) operatorowych tych elementów i źródeł autonomicz-
nych napięciowych lub prądowych reprezentujących warunki po-
czątkowe,
− jeżeli warunki początkowe elementów L, C są zerowe, to ich mode-
le operatorowe stanowią impedancje (admitancje) operato-
rowe.
Źródła autonomiczne
Idealne źródła autonomiczne są opisane poprzez zależności czasowe
określające przebiegi napięć źródeł napięciowych (SEM) i prądów
źródeł prądowych (SPM). W dziedzinie transformat źródła te są
opisane poprzez transformaty Laplace’a przebiegów czasowych prądów
i napięć źródeł.
e(t)
j(t)
[e(t)]E(s) L=
[j(t)]J(s) L=
a)
c)
b)
d)
Impedancje i admitancje operatorowe układów SLS
Rozpatrzmy pojedynczą gałąź obwodu elektrycznego złożoną z
szeregowego połączenia elementów R, L, C z niezerowymi warunkami
początkowymi i źródła autonomicznego napięciowego e(t). W postaci
czasowej napięcie u(t) na gałęzi określa wzór:
= + + + +∫t
0
0
di(t) 1u(t) R i(t) L i(t)dt u e(t)
dt C,
oraz:
+ =C 0u (0 ) u , + = 0i(0 ) i .
Po transformacji Laplace’a równania z uwzględnieniem warunków po-
czątkowych uzyskujemy wzór:
= + − + + + =
= + + − + + =
= − + +
00
00
00
u1U(s) R I(s) sL I(s) Li I(s) E(s)
sC s
u1R sL I(s) Li E(s)
sC s
uZ(s) I(s) Li E(s).
s
Występujące we wzorze wielkości U(s), I(s), E(s) stanowią transforma-
ty Laplace’a przebiegów czasowych u(t), i(t), e(t). Wielkość Z(s):