Modèle de fromage / Modèle de hâloir Modèle de hâloir / Modèle de chaine du froid D Flick AgroParisTech
Modèle de fromage / Modèle de hâloir
Modèle de hâloir / Modèle de chaine du froid
D Flick
AgroParisTech
Modèle de fromage
)t0(f
)t0(f
)t0(f
)t0(a
)t0(a
)t0(a
A
m
T
v
H
T
fffaaa1f
fffaaa1f
fffaaa1f
A,m,T,v,H,Tfdt
dA
A,m,T,v,H,Tfdt
dm
A,m,T,v,H,Tfdt
dT
cas particulier : modèle différentiel
Modèle de hâloir Modèle de fromage
Ta, Ha, va
T’a, H’a, v’a
ouvertures porte
échanges
chaleur/eau
Version 1.0 : fromage = obstacle à l’écoulement
a.i a.ia HT , V
Modèle de hâloir Modèle de fromage
Ta, Ha, va
T’a, H’a, v’a
Version 1.1 : fromage = obstacle à l’écoulement
+ dégagement de chaleur et d’eau indépendant de Ta, Ha, va, Tf ….
Modèle de hâloir Modèle de fromage
Ta, Ha, va
T’a, H’a, v’a
Version 2.0 : fromage = obstacle à l’écoulement
+ dégagement de chaleur / conduction / échange avec l’air
+ échange d’eau avec l’air + cinétique d’affinage
Tf, Af
a.i a.ia HT , V
T’f, A’f
Modèle de hâloir Modèle de fromage
Ta, Ha, va
T’a, H’a, v’a
Version 2.1 : complexité due au rayonnement
Tf, Af
HT , V a.i a.ia
T’f, A’f
Modèle de hâloir Modèle de fromage
Ta, Ha, va , k
T’a, H’a, v’a, k
Version 2.2 : complexité due à l’écoulement turbulent
Tf, Af
ia.i a.ia k HT , V
T’f, A’f
t
va
va
2aaa vv2
1ket v
vcolorant
anémomètre
tdébit faible Re<2000
colorant
anémomètre
tdébit élevé Re>10000
vdye
Expérience de Reynolds
v v v '
v v
x
v v
y
v v
x
v v
y
p v
x
v
yx x x x x x x y x x
+ = -
x+ + g
terme supplémentaire
x' ' ' ' 2
2
2
2Reynolds Averaged Navier Stokes : RANS :
x2x
2
2x
2yxxxyxxx g+
y
v
x
v+
x
p-=
y
'v'v
x
'v'v+
y
vv
x
vv
x2x
2
2x
2yxxx g+
y
v
x
v+
x
p-=
y
xv
x
vv
Navier Stokes (quantité de mouvement selon ox):
Filtrage temporel :
terme supplémentaire
Contrainte visqueuse: fluctuations de Contrainte turbulente: fluctuations de vitesse de vitesse à l’échelle moléculaire à l’échelle des tourbillons
xyx y ana ie
x y tx y
xxx ana ie
x x tx
t ana ie
v
y
v
xv
v
y
v
x
v
xv
v
x
v v v v
v
v
log
log
log
' '
' '
( ) ' '
2 2
tt
t
v v
( )
: : viscosité cinématique
moléculaire (ou laminaire)
viscosité cinématique
turbulente
Approximation de Boussinesq
kinetic kinetic kinetic energy energy energy lD
heat
llk
Cascade énergétique de Kolmogorov
k²
C )CPC(k
=)v(
rSc
=)v(
-------- rTCPr
=)vTC(
cascadeenergy srorov' Kolmo Pk=)vk(
P
-------- pv=)vv(
0v
t2k12t
ii2
t
ti
qp2
t
tp
k2
k
t
ttk
2t
.
.
.
.
.
.
v: )I)3/k2()v(v(-
Equation de conservation de la masse, de la quantité de mouvement, de l’énergie cinétique turbulente (k), de l’énergie interne, de la masse d’un constituant et de la dissipation de k, en régime permanent :
Cascade de Kolmogorov
Aperçu des potentialités de la simulation numérique des écoulements, des transferts et des transformations
CFD : computational fluid dynamics
Logiciel Comsol : méthode des éléments finis
-géométrie 2D - sans rayonnement - sans prise en compte du rôle du CO2
- production de chaleur uniforme dans les fromages indépendant de la température
- fromage humide en surface, concentration en vapeur d’eau imposée en surface
- degré d’affinage régi par une équation différentielle
variant de 0 à 1 d’autant plus vite que T est grand ces approximations peu réalistes permettent néanmoins
d’illustrer les principaux phénomènes
- modèle de turbulence k-
- couche limites turbulentes : loi de paroi standard (logarithmique)
- maillage triangulaire : 23000 cellules
- solveur ségrégé ….
)A1(T
1
T
1
R
Eexpk
t
A
0
a0
Géométrie
Maillage
Vmax=1 m/s
pmax=1 Pa
Kmax=0.1 (m/s)²
Tmin=278.15 K
Tmin=281.5 K
degré d’affinage
Humidité absolue de l’air
min: 3 max: 6
g eau/kg air sec
( 0.17 à 0.33
mol /m3)
Flux évaporatoire
max: = 0.36 g/s/m²
= 0.02 mol/s/m²
(non réaliste)
Transfert thermique en régime transitoire: refroidissement de fromages initialement à 30°C
Achtung !Hypothèses simplificatrices
Sensibilité au maillage
Modèle de turbulence
…..
Modèle de hâloir Modèle de fromage
Ta, Ha, va , k
T’a, H’a, v’a, k
Tf mf Af
ia.i a.ia k HT , V
T’f m’f A’f
pour quoi faire : étudier l’influence de
Géométrie du hâloir, soufflage, empilement
des produits …
position du fromage
sur
Modèle de hâloir Modèle de fromage
Version 3.0 : complexité due à l’impossibilité de suivre chaque fromage
HT , V a.i a.ia
faa T , T , v
<T>a, <H>a ,<va>
<T>f, Af
''v/vv
Darcy-Forchheimer-Brinkman:
x
2
xx2x
2
2x
2yxxx vv
K
Fv
Kg+
y
v
x
v'+
x
p-=
y
vv
x
vv1
x2x
2
2x
2xxxx g+
y
v
x
v+
x
p-=
y
vv
x
vv
Navier Stokes (quantité de mouvement selon ox):
Filtrage spatial sur un volume élémentaire représentatif VER
termes supplémentaires
Version 3.0 : équilibre thermique local (non réaliste)
Version 3.1 : modèle à deux température afaf TT v hq
afTT
Version 3.1 : multi-échelle
r
T²r
r²rt
T
t,z,y,x,RrTt,z,y,x,RrT v hq
ff
afaf
t,z,y,x,0rT
t,z,y,x,rT
t,z,y,x,RrT
t,z,y,xT
f
f
f
a
Modèle de hâloir Modèle de fromage
Version 4.0 : complexité due à la turbulence en milieu poreux
Filtrage spatial et temporel
k', v fh
vv2
1'k' vv
2
1k' vv
22
Modèle de chaine du froid Modèle de hâloir Modèle de fromage
Complexité due à la succession des nombreux maillons de la chaine du froid
store
Modèles simplifiés
Tf
Tc
Te
Tf.b Tc.b
Tf.h Tc.h
.b
Ts.h Tm.h
Ts.b Tm.b
Complexité due aux aléas de la chaine logistique
k=0 k=1 k=2 k=3 k=4 k=5 k=6 k=7 k=K=8factry first dispatching second display shopping static ventilated mouth transport platform transport cabinet basket refrigerator refrigerator
store
hypermarket
Complexité due aux aléas de la chaine du froid
Position
Durée
Thermostat
Débit d’air froid
Température extérieure
Type d’équipement
store
aléatoires
0.2
0.8
0.8
0.2
0.68
0.28
0.04
k=1 k=2
k=3
k=4
k=5
k=K=60.5
1
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
product state variables :T and N
equipmentparameters
Text
Trad- Text
equipmentstate variables
Tload.1
Tload.2
equipmentstate variables
Tload.1
Tload.2
equipmentparameters
Text
H
equipmentparameters
Tth
Text
0.5
0.5
equipmentstate variable
DC/rear DC/front
Basket
Static Ref
Ventil Ref
Eating
0.2
0.8
0.8
0.2
0.68
0.28
0.04
k=1 k=2
k=3
k=4
k=5
k=K=60.5
1
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
product state variables :T and N
equipmentparameters
Text
Trad- Text
equipmentstate variables
Tload.1
Tload.2
equipmentstate variables
Tload.1
Tload.2
equipmentparameters
Text
H
equipmentparameters
Tth
Text
0.5
0.5
equipmentstate variable
DC/rear DC/front
Basket
Static Ref
Ventil Ref
Eating
InitialisationProduct state variable xi :=random (Px.law, Px. ,Px.)Product properties i :=random (P .law, P . ,P.)
Product of interest loop For i=1 to I
Random sample of 1st equipment, j:=1k:= random (Pk, j=1)
Equipment loop While kij≠K
Time loopWhile t<i.j+1
Random sample of product's location lik:=random(Pl,k)
Random sample of residence time tik :=random(Pt.law, Pt. ,Pt.,k,lik,ij)Calculate time at outlet of the equipment i,j+1 := i,j+ tik
Random sample of equipment's parameters i :=random(P.law, P. ,P.. ,k)
Random sample of time dependent unpredictable perturbationsn :=random (A), nk :=random (Ak)
Calculate product and equipment state variablesProduct evolution xi(t+t):= xi(t) + M-1 [ fk (xi , yik ,lik ,i ,ik , t) + n] t Equipment evolution yik(t+t):= yik(t) + Mk
-1 [ gk (xi , yik ,lik ,i ,ik , t) + nk] tt:=t+t
Random sample of the next equipment j:=j+1, k:= random(Pk, ki.j-1)
Post - processing
Initialisation of time ij:=0
Calculate steady state values of the equipment state variables 0,,,, ikiikikik lg νψyx
Initialisation of equipment state variables yik :=random(Py.law, ,Py.σ, k)
InitialisationProduct state variable xi :=random (Px.law, Px. ,Px.)Product properties i :=random (P .law, P . ,P.)
Product of interest loop For i=1 to I
Random sample of 1st equipment, j:=1k:= random (Pk, j=1)
Equipment loop While kij≠K
Time loopWhile t<i.j+1
Random sample of product's location lik:=random(Pl,k)
Random sample of residence time tik :=random(Pt.law, Pt. ,Pt.,k,lik,ij)Calculate time at outlet of the equipment i,j+1 := i,j+ tik
Random sample of equipment's parameters i :=random(P.law, P. ,P.. ,k)
Random sample of time dependent unpredictable perturbationsn :=random (A), nk :=random (Ak)
Calculate product and equipment state variablesProduct evolution xi(t+t):= xi(t) + M-1 [ fk (xi , yik ,lik ,i ,ik , t) + n] t Equipment evolution yik(t+t):= yik(t) + Mk
-1 [ gk (xi , yik ,lik ,i ,ik , t) + nk] tt:=t+t
Random sample of the next equipment j:=j+1, k:= random(Pk, ki.j-1)
Post - processing
Initialisation of time ij:=0
Calculate steady state values of the equipment state variables 0,,,, ikiikikik lg νψyxCalculate steady state values of the equipment state variables 0,,,, ikiikikik lg νψyx
Initialisation of equipment state variables yik :=random(Py.law, ,Py.σ, k)
InitialisationProduct state variable xi :=random (Px.law, Px. ,Px.)Product properties i :=random (P.law, P. ,P.)
Product of interest loop For i=1 to I
Random sample of 1st equipment, j:=1k:= random (Pk, j=1)
Equipment loop While kij≠K
Time loopWhile t<i.j+1
Random sample of product's location lik:=random(Pl,k)
Random sample of residence time tik :=random(Pt.law, Pt. ,Pt.,k,lik,ij)Calculate time at outlet of the equipment i,j+1 := i,j+ tik
Random sample of equipment's parameters i :=random(P.law, P. ,P.. ,k)
Random sample of time dependent unpredictable perturbationsn :=random (A), nk :=random (Ak)
Calculate product and equipment state variablesProduct evolution xi(t+t):= xi(t) + M-1 [ fk (xi , yik ,lik ,i ,ik , t) + n] t Equipment evolution yik(t+t):= yik(t) + Mk
-1 [ gk (xi , yik ,lik , i ,ik , t) + nk] tt:=t+t
Random sample of the next equipment j:=j+1, k:= random(Pk, ki.j-1)
Post - processing
Initialisation of time ij:=0
Calculate steady state values of the equipment state variables 0,,,, ikiikikik lg νψyx
Initialisation of equipment state variables yik :=random(Py.law, ,Py.σ, k)
InitialisationProduct state variable xi :=random (Px.law, Px. ,Px.)Product properties i :=random (P.law, P. ,P.)
Product of interest loop For i=1 to I
Random sample of 1st equipment, j:=1k:= random (Pk, j=1)
Equipment loop While kij≠K
Time loopWhile t<i.j+1
Random sample of product's location lik:=random(Pl,k)
Random sample of residence time tik :=random(Pt.law, Pt. ,Pt.,k,lik,ij)Calculate time at outlet of the equipment i,j+1 := i,j+ tik
Random sample of equipment's parameters i :=random(P.law, P. ,P.. ,k)
Random sample of time dependent unpredictable perturbationsn :=random (A), nk :=random (Ak)
Calculate product and equipment state variablesProduct evolution xi(t+t):= xi(t) + M-1 [ fk (xi , yik ,lik ,i ,ik , t) + n] t Equipment evolution yik(t+t):= yik(t) + Mk
-1 [ gk (xi , yik ,lik , i ,ik , t) + nk] tt:=t+t
Random sample of the next equipment j:=j+1, k:= random(Pk, ki.j-1)
Post - processing
Initialisation of time ij:=0
Calculate steady state values of the equipment state variables 0,,,, ikiikikik lg νψyxCalculate steady state values of the equipment state variables 0,,,, ikiikikik lg νψyx
Initialisation of equipment state variables yik :=random(Py.law, ,Py.σ, k)
InitialisationProduct state variable xi :=random (Px.law, Px. ,Px.)Product properties i :=random (P.law, P. ,P.)
Product of interest loop For i=1 to I
Random sample of 1st equipment, j:=1k:= random (Pk, j=1)
Equipment loop While kij≠K
Time loopWhile t<i.j+1
Random sample of product's location lik:=random(Pl,k)
Random sample of residence time tik :=random(Pt.law, Pt. ,Pt.,k,lik,ij)Calculate time at outlet of the equipment i,j+1 := i,j+ tik
Random sample of equipment's parameters i :=random(P.law, P. ,P.. ,k)
Random sample of time dependent unpredictable perturbationsn :=random (A), nk :=random (Ak)
Calculate product and equipment state variablesProduct evolution xi(t+t):= xi(t) + M-1 [ fk (xi , yik ,lik ,i ,ik , t) + n] t Equipment evolution yik(t+t):= yik(t) + Mk
-1 [ gk (xi , yik ,lik , i ,ik , t) + nk] tt:=t+t
Random sample of the next equipment j:=j+1, k:= random(Pk, ki.j-1)
Post - processing
Initialisation of time ij:=0
Calculate steady state values of the equipment state variables 0,,,, ikiikikik lg νψyx
Initialisation of equipment state variables yik :=random(Py.law, ,Py.σ, k)
InitialisationProduct state variable xi :=random (Px.law, Px. ,Px.)Product properties i :=random (P.law, P. ,P.)
Product of interest loop For i=1 to I
Random sample of 1st equipment, j:=1k:= random (Pk, j=1)
Equipment loop While kij≠K
Time loopWhile t<i.j+1
Random sample of product's location lik:=random(Pl,k)
Random sample of residence time tik :=random(Pt.law, Pt. ,Pt.,k,lik,ij)Calculate time at outlet of the equipment i,j+1 := i,j+ tik
Random sample of equipment's parameters i :=random(P.law, P. ,P.. ,k)
Random sample of time dependent unpredictable perturbationsn :=random (A), nk :=random (Ak)
Calculate product and equipment state variablesProduct evolution xi(t+t):= xi(t) + M-1 [ fk (xi , yik ,lik ,i ,ik , t) + n] t Equipment evolution yik(t+t):= yik(t) + Mk
-1 [ gk (xi , yik ,lik , i ,ik , t) + nk] tt:=t+t
Random sample of the next equipment j:=j+1, k:= random(Pk, ki.j-1)
Post - processing
Initialisation of time ij:=0
Calculate steady state values of the equipment state variables 0,,,, ikiikikik lg νψyxCalculate steady state values of the equipment state variables 0,,,, ikiikikik lg νψyx
Initialisation of equipment state variables yik :=random(Py.law, ,Py.σ, k)
InitialisationProduct state variable xi :=random (Px.law, Px. ,Px.)Product properties i :=random (P.law, P. ,P.)
Product of interest loop For i=1 to I
Random sample of 1st equipment, j:=1k:= random (Pk, j=1)
Equipment loop While kij≠K
Time loopWhile t<i.j+1
Random sample of product's location lik:=random(Pl,k)
Random sample of residence time tik :=random(Pt.law, Pt. ,Pt.,k,lik,ij)Calculate time at outlet of the equipment i,j+1 := i,j+ tik
Random sample of equipment's parameters i :=random(P.law, P. ,P.. ,k)
Random sample of time dependent unpredictable perturbationsn :=random (A), nk :=random (Ak)
Calculate product and equipment state variablesProduct evolution xi(t+t):= xi(t) + M-1 [ fk (xi , yik ,lik ,i ,ik , t) + n] t Equipment evolution yik(t+t):= yik(t) + Mk
-1 [ gk (xi , yik ,lik ,i ,ik , t) + nk] tt:=t+t
Random sample of the next equipment j:=j+1, k:= random(Pk, ki.j-1)
Post - processing
Initialisation of time ij:=0
Calculate steady state values of the equipment state variables 0,,,, ikiikikik lg νψyx
Initialisation of equipment state variables yik :=random(Py.law, ,Py.σ, k)
InitialisationProduct state variable xi :=random (Px.law, Px. ,Px.)Product properties i :=random (P.law, P. ,P.)
Product of interest loop For i=1 to I
Random sample of 1st equipment, j:=1k:= random (Pk, j=1)
Equipment loop While kij≠K
Time loopWhile t<i.j+1
Random sample of product's location lik:=random(Pl,k)
Random sample of residence time tik :=random(Pt.law, Pt. ,Pt.,k,lik,ij)Calculate time at outlet of the equipment i,j+1 := i,j+ tik
Random sample of equipment's parameters i :=random(P.law, P. ,P.. ,k)
Random sample of time dependent unpredictable perturbationsn :=random (A), nk :=random (Ak)
Calculate product and equipment state variablesProduct evolution xi(t+t):= xi(t) + M-1 [ fk (xi , yik ,lik ,i ,ik , t) + n] t Equipment evolution yik(t+t):= yik(t) + Mk
-1 [ gk (xi , yik ,lik ,i ,ik , t) + nk] tt:=t+t
Random sample of the next equipment j:=j+1, k:= random(Pk, ki.j-1)
Post - processing
Initialisation of time ij:=0
Calculate steady state values of the equipment state variables 0,,,, ikiikikik lg νψyxCalculate steady state values of the equipment state variables 0,,,, ikiikikik lg νψyx
Initialisation of equipment state variables yik :=random(Py.law, ,Py.σ, k)
0 5 10 15 20 25-5
0
5
10
15
20
25T
ime-
aver
aged
pro
duct
tem
pera
ture
in R
EF
(°C
)
Residence time in REF (days)
1<Nout/Nin<22<Nout/Nin<4
4<Nout/Nin<10
10<Nout/Nin<100
100<Nout/Nin<1000Nout/Nin >1000
4
2
Nout/Nin=100
Nout/Nin=2
Association de modèles déterministes et stochastiques
pour la prédiction de l’état d’affinage d’un fromage
????
Merci de votre attention