MODELAREA BAZAT PE ECUAII1. SISTEME DINAMICE CONTINUE
NELINIARE
Exemplul 3:Modelul de cretere echilibrat al lui
SolowIpoteze:
1. funcia de producie macroeconomic, de dou ori difereniabil,
omogen de grad unu;
nzestrarea tehnic a muncii;
venitul per capita;Calculul venitului per capita:
2.Fora de munc crete cu o rat constant n, care este independent
de variabilele celelalte ale sistemului:
3.Economiile sunt o pondere constant n valoarea venitului,
(S=sY), s este rata economiilor.
4. n echilibru, economiile sunt egale cu investiiile:
S(t)=I(t).
5. Investiiile brute sunt egale cu variaia stocului de capital
plus nlocuirea capitalului fix uzat:
Unde este rata amortizrii.Modelul:
nlocuind primele dou ecuaii n a treia, obinem:
Ecuaia de dinamic a capitalului sau investiia net.
Transformm modelul n mrimi per capita:
Atunci:
Ecuaia de dinamic a nzestrrii tehnice a muncii sau investiia net
n mrimi per capita:
Condiia iniial:
Putem rezolva ecuaia dinamic a capitalului per capita dac dm o
form analitic funciei de producie per capita.Presupunem c este o
funcie Cobb-Douglas omotetic (omogen de grad unu):
Ecuaia de dinamic a capitalului per capita va fi:
Ecuaia diferenial obinut este:
ecuaie diferenial neliniar, omogen, de tip Bernoulli.Rezolvarea
ecuaiei Bernoulli:Schimbarea de variabil:
Derivm n raport cu timpul:
Explicitm din relaia de mai sus:
mprim ecuaia de dinamic la :
nlocuim n ecuaia de mai sus:Obinem:
Adic o ecuaie liniar de ordinul unu, neomogen n cu soluia:
Considerm condiiile iniiale:
Atunci:
Sau:
Aceasta este traiectoria de evoluie a nzestrrii tehnice a
muncii.
Este traiectoria de evoluie a stocului de capital.Puncte
staionare:
Punctele fixe/staionare/de echilibru sunt:
i Modelul Solow are deci dou puncte fixe.
Nu poate fi global stabil, ntruct aceasta este o proprietate
posibil pentru sistemele cu un singur punct fix.
La sistemele cu mai multe puncte fixe
stabilitatea/instabilitatea se stabilete pentru fiecare punct fix n
parte: este stabilitate/instabilitate local, ntr-o vecintate a
punctului fix .
Pentru modelul Solow, primul punct fix este local instabil, iar
al doilea este local stabil:
Rezult c:
, deci este atractor
este repelor, ntruct traiectoria se deprteaz de acest punct fix,
cnd .
ntruct dintr-o vecintate a lui , traiectoria tinde ctre ,
sistemul este local stabil.
ntruct traiectoria tinde asimptotic ctre , sistemul este local,
asimptotic stabil.
Figura: Traiectoria nzestrrii pentru diferite valori iniiale ale
lui k(t).Tema 1:Determinai traiectoria nzestrrii tehnice a muncii,
a capitalului total, a populaiei totale, a venitului per capita i a
venitului total, cunoscnd datele:
, pentru T=10 ani.Investiie de compesare: investiii necesare
pentru nlocuirea capitalului fix uzat i pentru nzestrarea tehnic a
sporului populaiei.
sunt investiiile de compensare: compenseaz capitalul fix uzat i
nzestrarea tehnic a sporului populaiei.sf(k) sunt investiiile
brute, egale cu economile;
n punctul , investiia brut este egal cu investiia de
compensare:
Figura: Investiiile brute i investiiile de compensare
Pentru k= , , respectiv investiiile brute sunt egale cu
investiiile de compensare.
Dac , investiiile de compensare sunt mai mici dect investiiile
brute i stocul de capital per capita va crete.
Dac , investiiile de compensare devin mai mari dect investiiile
brute, ceea ce determin scderea stocului de capital per capita, cu
valoarea capitalului necesar nzestrrii sporului de for de munc i a
capitalului fix uzat.Am obinut rezultatele:
capitalul crete;
capitalul scade;
capitalul rmne la valoarea staionar, pe temen indefinit.Tem 2:
Aplicaie numericSe cunosc datele:
a) Calculai traiectoria nzestrrii tehnice a muncii pentru t=1-10
i facei graficul n EXCEL:
b) Calculai traiectoria stocului total al capitalului pentru
t=1-10 i facei graficul n EXCEL.
c) Calculai venitul per capita i venitul total i facei graficele
corespunztoare n EXCEL
d) Calcuai punctele fixe ale traiectoriei:
e) Calculai traiectoria de echilibru a stocului total al
capitalului i a venitului de echilibru pentru , facei graficele n
EXCEL:
f) Calculai investiiile brute i consumul pentru t=1-10, n mrimi
per capita, n mrimi totale i facei graficele.
Investiiile per capita i consumul per capita sunt respectiv: i
.
, sunt investiiile i respectiv consumul, n mrimi actuale.
g) Analizai efectele creterii ratei economiilor de la s0=0,3, la
s1=0,35.-asupra traiectoriei de echilibru;
-asupra consumului: stabilii numeric c dac , consumul crete ,
sau dac consumul scade.
Ecuaii difereniale neliniareAproximrile liniare ale ecuaiilor
difereniale neliniareConsiderm ecuaia:
f(.) este neliniar dar continu i difereniabil.n general, aceste
ecuaii nu se pot rezolva analitic.
Trebuie s gsim punctele fixe pentru , deci pentru.Presupunem f
este continu, difereniabil ntr-un interval deschis care-l conine pe
x = x (punctul fix).
Aproximm f folosind dezvoltarea Taylor:
este restul.Aproximarea liniar de ordinul unu are forma:
Dac punctul iniial este suficient de aproape de punctul fix x,
atunci
.
Dac x este chiar punctul fix, atunci i putem aproxima f(x) n
punctul x prin:
Exemplu:Modelul de cretere economic al lui Solow cu funcia de
producie Cobb-Douglas, rezolvat prin aproximare liniar.Ecuaia de
evoluie a stocului de capital per capita:
Punctele fixe sunt:
Dezvoltarea Taylor de ordinul unu n punctul fix :
Cu:
Considerm acum :Atunci :
Rezult c panta curbei pentru este
Rezult aproximarea liniar:
ntruct iar n i sunt pozitive, atunci funcia f(k) are pant
negativ n
i deci sistemul este local stabil, punctul fix este de tip
atractor.
Aproximarea de ordinul unu n jurul echilibrului este:
Este ecuaie diferenial liniar de ordinul unu.
Ecuaia omogen:
Soluia particular verific ecuaia neomogen:
Aplicm condiiile Cauchy:
Soluia:
Pentru aproximarea liniar, , respectiv este punct fix asimptotic
local stabil pentru aproximarea liniar.
////Tem: Cunoscnd datele din exerciiile precedente, folosind
aproximarea liniar i a ecuaiei de dinamic a nzestrrii tehnice a
muncii, calculai traiectoria nzestrrii tehnice a muncii, a
venitului per capita, a investiiilor i consumului per capita, ct i
a indicatorilor corespunztori n mrimi actuale. Facei graficele
traiectoriilor.Calculai deviaiile absolute i relative ale celor dou
soluii (traiectoria k(t) prin rezolvarea ecuaiei Bernoulli i prin
aproximarea liniar).
////Ecuaii difereniale de ordin superiorCazul generalEcuaie
diferenial de ordinul n, liniar, cu coeficieni constani,
neomogen:
Rezolvm ecuaia omogen:
Facem ipoteza c soluia are forma i o punem s verifice ecuaia
omogen:
mprim la , obinem ecuaia caracteristic:
Ecuaia caracteristic este o ecuaie algebric liniar, de grad n,
are n soluii care pot fi reale (diferite sau multiple) sau complexe
conjugate.Soluia general a ecuaiei omogene, cazul rdcinilor reale,
distincte:
unde A1 ,A2 ,An sunt constante generalizate arbitrare.Cazul
rdcinilor multiple de ordin m