Modelação de sistemas mecânicos - ipp.ptave.dee.isep.ipp.pt/~gris/teaching/SISEL/files/problemas/...SISEL - Sistemas Electromecânicos Modelação de sistemas mecânicos 4 10. Considere

Instituto Superior de Engenharia do Porto Departamento de Engenharia Electrotécnica

Licenciatura em Engenharia Electrotécnica e de Computadores

SISEL - Sistemas Electromecânicos

Exercícios de

Modelação de sistemas mecânicos

2006

SISEL - Sistemas Electromecânicos Modelação de sistemas mecânicos

1

1. Considere um elemento mecânico que apresenta a relação força f versus variação de deslocamento x = x1− x2 dada pela expressão f = ax + bx3 (a,b ∈ ℜ). Então, para pequenos valores de x o modelo linear desse elemento pode ser aproximado por:

A) Um atrito tal que f ≈ a dx/dt B) Uma mola tal que f ≈ a x C) Um atrito tal que f ≈ (a+b3)dx/dt D) Uma mola tal que f ≈ (a + b3) x 2. Considere o sistema mecânico representado na figura seguinte, onde f(t) é a força aplicada, x(t) é o deslocamento e K1 e K2 as constantes de rigidez das molas (lei de Hooke).

O sistema pode ser representado por um sistema equivalente simplificado com uma relação dada por f(t) = Keqx(t) tal que:

A) 21

21KKKK

Keq+

= B) 21

21KK

KKKeq +

=

C) 21 KKKeq += D) Outro resultado 3. Considere o sistema mecânico representado na figura, onde f(t) é a força aplicada, x(t) e y(t) são deslocamentos e K1 e K2 as constantes de rigidez das molas (lei de Hooke).

O sistema pode ser representado por um sistema equivalente simplificado com uma relação dada por f(t) = Keqx(t) tal que:

A) 21 KKKeq += B) 21

21KK

KKKeq +

=

C) 21

21KKKK

Keq+

= D) Outro resultado

K2

x(t)

f(t) K1

y(t)

f(t)

x2(t) x1(t)

K2

x(t)

f(t)

K1


2

4. Considere o sistema mecânico representado na figura.

O sistema pode ser substituído por um sistema equivalente com uma relação dada por )()( 13 xxKtf eq −= , em que:

A) 321

321

KKKKKKKeq

++= B)

321

321

KKKKKKKeq ++

+=

C) 32

1

11

KKK

Keq+

= D) 321

321 )(KKK

KKKKeq +++

=

5. Considere um elemento mecânico que apresenta a relação força f versus velocidade v indicada na figura.

Então, esse elemento corresponde a: A) Um atrito linear (ou viscoso) B) Um atrito não-linear, de Coulomb C) Uma mola não-linear D) Outro resultado 6. Considere um elemento mecânico que apresenta a relação força f versus velocidade v indicada na figura.

Então, esse elemento corresponde a: A) Um atrito linear (ou viscoso) f = α v B) Um atrito não-linear f = α v + sgn(v) β C) Um atrito não-linear f = sgn(α v) β D) Um atrito não-linear f = α v + β Nota: A notação sgn() representa a função sinal. Por exemplo, sgn(+3) = +1 e sgn(−2) = −1.

v

f

v

f α

β


3


O sistema pode ser substituído por um sistema equivalente com uma relação dada por )()( 13 xxBtf eq && −= , em que:

A) 321

321

BBBBBB

Beq++

= B) 321

321 )(BBB

BBBBeq ++

+=

C)

321

111

BBB

Beq+

= D) 321

321

BBBBBB

Beq +++

=


M1 M2

x1 x2

f

B1 B2

K

O respectivo modelo matemático vem:

A) ⎩⎨⎧

⋅+⋅+⋅=⋅+⋅+⋅=

22222

11111

0 xKxBxMxKxBxMf

&&&

&&& B)

⎩⎨⎧

⋅+⋅−⋅+⋅=⋅−⋅+⋅+⋅=

212222

211111

0 xKxKxBxMxKxKxBxMf

&&&

&&&

C) ( ) 111121 xKxBxMMf ⋅+⋅+⋅+= &&& D) Outro resultado


Então, o correspondente modelo matemático vem:

A) ( ) ( ) 22212111 xMxxKxxBxMf &&&&&& +−+−+= B) ( ) ( )

( ) ( )⎩⎨⎧

=+−+−+−+−+=

0222121

22212111xMxxKxxB

xMxxKxxBxMf&&&&

&&&&&&

C) ( ) ( )

( ) ( )⎩⎨⎧

=−+−−+−+=

222121

212111xMxxKxxB

xxKxxBxMf&&&&

&&&& D) Outro resultado

f(t)

B M1 M2

x2 x1

K


4

10. Considere o sistema mecânico representado na figura seguinte, onde f(t) é a força aplicada, x1(t) e x2(t) são deslocamentos e K e B as constantes de rigidez das molas e de atrito viscoso. Este sistema foi proposto para compensação de sistemas mecânicos.

Então a função de transferência X2(s)/F(s) vem:

A) ( )

( ) KBsK

BsKsFsX

42 22

+

+= B)

( )( ) KBsK

BsKsFsX

84 22

+

+=

C) ( )

( ) KBsK

BsKsFsX

48 22

+

+= D) Outro resultado

11. O modelo do sistema mecânico da figura vem:

A) ( ) ( )

⎩⎨⎧

++=−+−=

22222

21111

xKxBxMfxxBxxKf i

&&&

&& B)

( )( )⎩

⎨⎧

+++−=−=

22222211

11

xKxBxMxxBfxxKf i

&&&&&

C) ( )( )

⎪⎩

⎪⎨

⎧

++=−=−=

22222

211

11

xKxBxMfxxBfxxKf i

&&&

&& D) ( )( ) ( )

⎪⎩

⎪⎨

⎧

++=−+−=

−=

22222

21111

11

00

xKxBxMxxBxxK

xxKf

i

i

&&&

&&

12. Considere o sistema mecânico da figura.

O respectivo modelo vem:

A) ( )( ) ( )

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−+−=

−=

3

32212

211

00

xMxxBxxK

xxKf

&&

&& B) ( )( ) ( )

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−+−=

−=

3

32322

211

xMfxxBxxKf

xxKf

&&

&&

C) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )⎪

⎩

⎪⎨

⎧

+−+−=−−−=

−+−+=

332212

32212

322121

00

xMxxBxxKxxBxxK

xxBxxKKf

&&&&

&&

&&

D) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )⎪

⎩

⎪⎨

⎧

=−−−−−−+−=

−+−+−=

332322

332322

323222110

xMxxBxxKfxMxxBxxK

xxBxxKxxKf

&&&&

&&&&

&&

f(t)

2K

x2(t)

K

x1(t)

2K

B

B

f(t) K2

x2(t)

K1

x1(t)

M

x3(t)

f(t)

B1

M

x2

K1 xi

B2

x1 K2


5

13. Considere o sistema mecânico da figura.


A) ( ) ( )

( )( )⎪

⎩

⎪⎨

⎧

=−−−=

−+−=

3322

332

322110

xMxxKxMxxB

xxBxxKf

&&

&&&&

&&

B) ( )

( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

+=−=−=

323

32

211

xKxMfxxBfxxKf

&&

&&

C) ( ) ( )( ) ( )

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−−−=−+−=

3

32212

322110

xMfxxBxxKxxBxxKf

&&

&&

&&

D) ( )( ) ( )

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−+−=

−=

3

32212

211

00

xMxxBxxK

xxKf

&&

&&



A) ( ) ( )2112211 θθθθθ −++−= KJBT && B) ( )

( ) ( )⎩⎨⎧

=−+−−=

2211211

211

θθθθθθθ

&&&&

&&

JKBBT

C) ( ) ( )

⎩⎨⎧

θ=θ−θ+θ−θ=

2

211211&&

&&

JTKBT

D) Outro resultado



A) ( ) ( ) 222221211 θθθθθθ &&&&& BKJBT ++−+−= B) ( )

( )⎩⎨⎧

++=−−=

22222211

211

θθθθθθθ

&&&&&

&&

JBKBBT

C) ⎩⎨⎧

=++=

02221

11

θθθθ

KJBBT

&&&

& D) Outro resultado

J

θ2 T, θ1

B1

B2

K2

J θ2 T, θ1

B1

K1

B f(t) K2

x2(t)

K1

x1(t)

M

x3(t)


6



A) ( ) ( ) 2221211 θθθθθ KBKT +−+−= && B) ( )

( ) ( )⎩⎨⎧

−=+−−=

2112221

211

θθθθθθθ

KKBKT

&&

C) ( )⎩⎨⎧

=+−=

02221

11

θθθθ

KBKT

&& D) Outro resultado

17. Considere a transmissão mecânica representada na figura.

O correspondente modelo matemático vem:

A) ( ) ( )( ) ( )⎩

⎨⎧

θ−θ−θ−θ−θ+θ=θ−θ+θ−θ+θ+θ=

LmLmLLLL

LmLmmmmmmKBBJ

KBBJT&&&&&

&&&&&

0 B)

⎩⎨⎧

θ+θ+θ=θ+θ+θ+θ=

LLLLL

mmmmmmmKBJ

KBBJT&&&

&&&&

0

C) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )⎩

⎨⎧

θ−θ−θ−θ−θ+θ=θ−θ+θ−θ+θ++θ+=

LmLmLLLLm

LmLmmLmmLmmKBBJT

KBBBJJT&&&&&

&&&&& D) Outro resultado

J

θ2 T, θ1 K1

B

K2

K

θm θL

JL Jm

Bm BL

B Tm

motor carga transmissão


7

18. Considere a transmissão mecânica representada na figura onde: B e K são os coeficientes de atrito e de rigidez da transmissão Jm e JL são as inércias do motor e da carga Bm e BL são os coeficientes de atrito do motor e da carga Tm é o binário motor θm e θL são os deslocamentos angulares do motor e da carga ωm e ωL são as velocidades angulares do motor e da carga

Então, se ( ){ } ( )sTtTL mm = e ( ){ } ( )stL mm Ω=ω a correspondente função de transferência vem: A)

( )( )

( )( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( )KBBsKJJBBBBBsBJJBJBJsJJ

KsBBsJsTs

mLmLmLmLmLLmmLmL

LL

m

m

+++++++++++

+++=

Ω23

2

B) ( )( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( )KBBsKJJBBBBBsBJJBJBJsJJ

KBssTs

mLmLmLmLmLLmmLmLm

m

+++++++++++

+=

Ω23

C) ( )( )


KsBBsTs

mLmLmLmLmLLmmLmL

L

m

m

+++++++++++

++=

Ω23

D) Outro resultado 19. Considere a transmissão mecânica da figura onde:

Sabendo que a velocidade angular do motor vem dada por Ωm(s)/Tm(s), onde ( ){ } ( )sTtTL mm = e

( ){ } ( )stL mm Ω=ω , então para um degrau unitário de binário motor, Tm(s) = 1/s, verifica-se que:

( )( )


KsBBsJsTs

mLmLmLmLmLLmmLmL

LL

m

m

+++++++++++

+++=

Ω23

2

a) O transitório da velocidade do motor apresenta o declive indicado na figura: A) a = 1/Jm B) a = 1/(JmJL) C) a = 1/(Jm+JL) D) outro resultado b) O funcionamento em regime permanente (steady-state) da velocidade do motor Ωm,SS apresenta o valor: A) Ωm,SS = 1/(Bm+BL) B) Ωm,SS = K/(Bm+BL) C) Ωm,SS = 1/(BmBL) D) outro resultado

K

θm θL

JL Jm

Bm BL

B Tm


ωm(t)

tempo

declive=a

K

θm θL

JL Jm

Bm BL

B Tm



8

20. Considere a transmissão mecânica representada na figura onde: B e K são os coeficientes de atrito e de rigidez da transmissão Jm e JL são as inércias do motor e da carga Bm e BL são os coeficientes de atrito do motor e da carga Tm é o binário motor θm e θL são os deslocamentos angulares do motor e da carga ωm e ωL são as velocidades angulares do motor e da carga

Para ( ){ } ( )sTtTL mm = e ( ){ } ( )stL mm Ω=ω a função de transferência do sistema vem:

A) ( )( ) KsBsBsJ

BsJsTs

mLL

LL

m

m

++++

=Ω

2 B) ( )( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )KBBsKJJBBsBJBJsJJ

KsBsJsTs

mLmLmLLmmLmL

LL

m

m

+++++++++

=Ω

23

2

C) ( )( ) ( ) ( )sBBsJJsTs

mLmLm

m

+++=

Ω21 D) ( )

( )( )

( ) ( ) ( )[ ] ( )KBBsKJJBBsBJBJsJJKsBB

sTs

mLmLmLLmmLmL

Lm

m

m

+++++++

++=

Ω23

21. O modelo matemático do sistema mecânico da figura vem:

A) ( ) ( )

⎩⎨⎧

θ+θ+θ=θ−θ+θ−θ+θ=

222222

21121111&&&

&&&&

JKBTKBJT

B) ( ) ( )⎩⎨⎧

θ+θ+θ=θ−θ+θ−θθ=

222222211211

11&&&&&

&&

JKBKBJT

C) ( ) ( )

( ) ( )⎩⎨⎧

θ+θ+θ=θ−θ+θ−θθ−θ+θ−θ+θ=

222222211211

21121111KBJKB

KBJT&&&&&


22. O modelo matemático do sistema mecânico da figura vem:

A) ( ) ( )

⎩⎨⎧

θ+θ=θ−θ+θ−θ+θ=

2222

21121111KBT

KBJT&

&&&& B) ( ) ( )⎩

⎨⎧

θ+θ=θ−θ+θ−θθ=

2222211211

11KBKB

JT&&&

&&

C) ( ) ( )

( ) ( )⎩⎨⎧

θ+θ=θ−θ+θ−θθ−θ+θ−θ+θ=

2222211211

21121111KBKB

KBJT&&&


Kθm θL

JL Jm

Bm BL

Tm

motor cargaTransmissão flexível

J1

θ2 T, θ1

B2

K2

B1

K1

J1

θ2 T, θ1

B2

K2

B1

K1

J2


9

23. Considere uma engrenagem com razão de transformação n = N1/N2 que associa duas inércias, J1 e J2, conforme indicado no esquema seguinte.

Se a engrenagem promover uma adaptação da carga (‘inertia matching’), isto é, se 21 JJn = , então, para um binário motor aplicado TM a aceleração da carga 2ω& vem dada por:

A) M21

22

1 TJJ

=ω& B) M21

21 TJJ

=ω&

C) M212 TJJ=ω& D) Outro resultado 24. Considere uma engrenagem com razão de transformação n = N1/N2 que associa duas inércias, J1 e J2, e dois atritos lineares B1 e B2, conforme indicado na figura.

Para um binário aplicado T1 e um binário de carga TL pode esboçar-se o diagrama de blocos

tal que a função de transferência G(s) vem:

A) ( ) ( ) ( )2121

1BBsJJ

sG+++

= B) ( ) ( ) ( )221

221

1nBBsnJJ

sG+++

=

C) ( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=

221

221

1

BnB

sJnJ

sG D) Outro resultado

T2, ω2

T1

N2

N1 J1

J2 TM, ω1

TL

B1

B2

TM n−1 G(s)

TL ω2 T2

+

−

TM, ω1 T1

N2

N1 J1

J2

T2, ω2


10

25. Considere o sistema mecânico representado na figura, onde Tm e TL são, respectivamente, os binários aplicado pelo motor e solicitados pela carga.


A) ( )( )

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

+θ+θ=

θ−θ=θ−θ=

+θ=

LAB

m

TBJNN

T

KTBT

TJT

33332

2021

0111

111

&&&

&&

&&

B) ( )( )

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

+θ+θ=

θ−θ=θ−θ=

+θ=

LBA

m

TBJNN

T

KBT

TJT

33332

202

0111

111

0&&&

&&

&&

C) ( )( )

( )⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

+θ+θ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

θ−θ=θ−θ=

+θ=

LB

A

B

A

m

TBJNN

NN

T

KTBT

TJT

3333

2

1

2021

0111

111

&&&

&&

&&

D) ( )

( )

( )⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

+θ+θ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

θ−θ−=θ−θ=

+θ=

LA

B

m

TBJNN

T

KTTBT

TJT

3333

2

2

20221

0111

111

&&&

&&

&&

26. Considere o sistema mecânico da figura onde n = N1/N2.


A) ( ) ( )

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=θ=θθ+θ=

θ−θ+θ−θ=+θ+θ=

−−1

12

12

1

1

TnT,nJBT

BKTTBJT

Tm

LLLL

LTLT

mmmmm

&&&

&&

&&&

B) ( ) ( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

=θ=θθ+θ+θ−θ+θ−θ=

+θ+θ=

12

2

1

nTT,nJBBKT

TBJT

Tm

LLLLLTLT

mmmmm&&&&&

&&&

C) ( ) ( )

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=θ=θθ+θ=

θ−θ+θ−θ+θ+θ=

−−1

12

12

TnT,nJBT

BKBJT

Tm

LLLL

LTLTmmmmm&&&

&&&&&

D) ( ) ( )

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=θ=θθ+θ=

θ−θ+θ−θ=+θ+θ=

−−1

12

12

2

1

TnT,nJBT

BKTTBJT

Tm

LLLL

LTLT

mmmmm

&&&

&&

&&&

K

θL

JL

BL B

Bm T1

Jm

Tm, θm

motor

carga transmissão

N2

N1

T2, θT

J1

θ0 Tm, θ1 K2 B1

J3

B3

θ2, T2

TL, θ3

NA

NB

T1


11

27. Considere o sistema mecânico representado na figura, onde Tm e TL são, respectivamente, os binários aplicado pelo motor e solicitados pela carga.


A) ( ) ( )( ) ( )

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

+θ+θ=

θ−θ+θ−θ=θ−θ+θ−θ=

+θ=

LAB

m

TBJNN

T

KBTKBT

TJT

33332

2022021

0110111

111

&&&

&&

&&

&&

B) ( ) ( )

( ) ( )

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

+θ+θ=


+θ=

LBA

m

TBJNN

T

KBKBT

TJT

33332

202202

0110111

111

0&&&

&&

&&

&&

C) ( ) ( )( ) ( )

( )⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

+θ+θ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=


+θ=

LB

A

B

A

m

TBJNN

NN

T

KBTKBT

TJT

3333

2

1

2022021

0110111

111

&&&

&&

&&

&&

D) ( ) ( )

( ) ( )

( )⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

+θ+θ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

θ−θ−θ−θ−=θ−θ+θ−θ=

+θ=

LA

B

m

TBJNN

T

KBTTKBT

TJT

3333

2

2

20220221

0110111

111

&&&

&&

&&

&&

28. Considere o sistema mecânico representado na figura, de uma carga com massa M e atrito B accionada através de um motor e um parafuso com passo h. O motor desenvolve um binário T a velocidade angular ω e a carga desloca-se da distância (linear) x.

Então, se β = h/(2π) a equação dinâmica que descreve o sistema vem: A) ( ) ( )ωβ+ωβ= BMT & B) ( ) ( )ωβ+ωβ= 22 BMT &

C) ( ) ( )ωβ+ωβ= 22 BMT & D) Outro resultado

B

x(t) h

Motor M

T, ω

J1

θ0 Tm, θ1

B2

K2

B1

K1

J3

B3

θ2, T2

TL, θ3

NA

NB

T1


12

29. Considere o sistema mecânico representado na figura, com uma carga, constituída por uma massa ML, uma mola KL e um atrito BL, accionada através de um motor, com inércia Jm e atrito Bm. O motor desenvolve um binário Tm, um deslocamento angular θ e encontra-se acoplado a um parafuso com passo h. A massa da carga desloca-se da distância (linear) xL.

Então o modelo do sistema vem:

A)

( ) ( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

++−+−=π

=θ

=

θ+θ=

LLLLLL

m

mmm

xBxMxxBxxKf

hxf

TBJT

&&&&&

&

&

&&&

2 B)

( ) ( )⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

+=−+−=

π=

θ=

+θ+θ=

LLLL

LL

mmm

xBxMfxxBxxKf

hxfT

TBJT

&&&

&&

&

&

&&&

2

C)

( ) ( )⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

++−+−=π

=θ

π+θ+θ=

LLLLLL

mmm

xBxMxxBxxKf

hx

fhBJT

&&&&&&

&

&&&

2

2 D) Outro resultado

30. Considere o sistema mecânico representado na figura, de uma carga (constituída por uma mola KL e um atrito BL) accionada através de um motor (com inércia Jm) e um parafuso com passo h. O motor desenvolve um binário Tm, um deslocamento angular θ e a carga desloca-se da distância (linear) x.

Então o modelo do sistema (faça n = h/(2π)) vem: A) θ+θ+θ= LLmm KnBnJT 22 &&& B) θ+θ+θ= LLmm KBJnT &&&2

C) θ+θ+θ= LLmm KBJnTn &&&22 D) Outro resultado

carga Tm, θ h

Jm

x

motor

B

K

ML

Bm xL

BL

carga Tm, θ h

Jm

x

motor

BL

KL


13

31. Considere o sistema mecânico representado na figura constituido por uma carga com massa M e uma mola de rigidez K accionada através de um motor e um parafuso com passo h. Existe um atrito angular B no parafuso conforme indicado. O motor desenvolve um binário T para um deslocamento angular θ e a carga desloca-se da distância linear x.

Então, se β = h/(2π), a equação dinâmica que descreve o sistema vem: A) θβ+θβ+θβ= 222 KBMT &&& B) θ+θβ+θ= KBMT &&& 2

C) θβ+θ+θβ= 22 KBMT &&& D) Outro resultado 32. Considere o sistema da figura onde x1 e x2 e l1 e l2 representam, respectivamente, os deslocamentos e os comprimentos dos braços dos dois lados da alavanca.

Então, o respectivo modelo matemático vem: A) ( ) ( ) ( ) 1

2121

2121

212 xllKxllBxllMf ++= &&& B) 111 xKxBxMf ++= &&&

C) ( ) ( ) ( ) 12

2112

2112

21 xllKxllBxllMf ++= &&& D) Outro resultado 33. Considere o sistema mecânico da figura onde x1 e x2 e l1 e l2 representam, respectivamente, os deslocamentos e os comprimentos dos braços dos dois lados da alavanca.

Então, o respectivo modelo matemático vem: A) ( ) ( ) 1

2121

2121 xllKxllBxMf ++= &&& B) ( ) 111

212 xKxBxllMf ++= &&&

C) ( ) ( ) ( ) 12

1212

1212

12 xllKxllBxllMf ++= &&& D) Outro resultado

f(t)

l1

B

M l2 x2

K

x1

B

x(t)

h

Motor

M T, θ K

f(t)

l1

B

M l2

x2

K

x1


14

34. Considere o sistema mecânico da figura onde {x1, x2}, {f1, f2} e {l1, l2} representam, respectivamente, os deslocamentos, as forças e os comprimentos dos braços dos dois lados da alavanca.

Se n = l2/l1, então, o respectivo modelo matemático vem: A) ( ) ( ) ( ) 212

2112

2112

211 nfxKnKxBnBxMnMf ++++++= &&&

B) nf

xnK

KxnB

BxnM

Mf 212

2112

2112

211 +⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+= &&&

C) ( ) ( ) ( ) 22

1211211211 fnxKKxBBxMMf ++++++= &&& D) Outro resultado 35. Analise o sistema de suspensão automóvel representado na figura onde x0 (variável de saída) representa o deslocamento verificado pelos passageiros e x3 (variável de entrada) o deslocamento da parte do pneu em contacto com a estrada. A força f(t) representa a perturbação introduzida pelos efeitos aerodinâmicos. Para simplificar não considere efeitos gravitacionais.

Determine o correspondente modelo matemático. 36. Considere o sistema mecânico representado na figura. As forças f1(t) e f2(t) estão aplicadas a duas plataformas cujas massas são desprezáveis.

x3(t)

f2(t)

B1

K2

x1(t)

MB2

K1

x2(t)

f1(t)

Determine o modelo matemático do sistema

f1(t)

l1 l2 M1

B1 K1

x1 M2

B2 K2

x2 f2(t)


15

37. Analise o sistema mecânico representado na figura.

Determine o correspondente modelo matemático. 38. A figura seguinte representa um veículo (tractor) puxando um reboque através de um mecanismo de engate modelizado por um sistema mola-amortecedor. Os parâmetros e variáveis definidos são: M é a massa do reboque, K1 e B1 é o coeficiente, respectivamente, da constante da mola e do amortecedor do mecanismo de engate. B2 representa o coeficiente de atrito do reboque, x1(t) e x2(t) é o deslocamento, respectivamente, do veículo e do reboque e f1(t) é a força do veículo (tractor).

B1

x1(t)

M

B2

K1

x2(t)f1(t),

Reboque

Determine o modelo matemático do sistema. 39. Analise o sistema mecânico representado na figura onde o cabo enrola (sem ocorrerem fenómenos de deslizamento ou elasticidade) em torno de um cilindro com raio r1.

Determine o correspondente modelo matemático.


16

40. Considere o sistema da figura onde x1, x2 e x3 são deslocamentos e l1 e l2 representam os comprimentos dos braços dos dois lados da alavanca.

Determine o respectivo modelo matemático. 41. Considere o sistema mecânico da figura onde x1 e x2 e l1 e l2 representam, respectivamente, os deslocamentos e os comprimentos dos braços dos dois lados da alavanca.

Determine o respectivo modelo matemático e a função de transferência X2(s)/F(s).

f(t)

l1 M l2 x2

B2 x1

B1 K

f2(t)

f1(t)

l1

B

M1 l2

x2

K

x1

M2 x3

SISEL - Sistemas Electromecânicos Modelação de sistemas mecânicos (soluções)

1

Soluções 1. B para pequenos valores de x

2

0

3)(

)()0()(

bxadx

xdfdx

xdfxfxfx

+=

+≈=

2. C

)()()()()()( 2121 txKKtftxKtxKtf +=⇔+= 3. B

)()(

)()()()/)()(()())()(()(

/)()(

21

21

21

21122

1

txKK

KKtf

txKK

tfKtfKKtftxKtftytxKtf

Ktfty

+=⇔

⇔=+

⇔−=⇔−=

=

4. D

série - paralelo//

)()(

)//(

//

321

321321

3232

⊕−

+++

≡⊕

+≡

KKKKKK

KKK

KKKK

5. B 6. B 7. B 8. B 9. C 10. C

FKBsKKBsK

BsKXFKsBKsB

KBsX

XKBsXKBsXKBsXKBsF

KXXXKBsKXXXKBsF

)2()69()()3()(

)3()(0)()3(

2))((2))((

222222

21

21

221

121

+−+

+=⇔

+++−

+−=

⎩⎨⎧

+−+=+−+=

⇔⎩⎨⎧

=−++−+=

11. C 12. B 13. B


2

14. C 15. B 16. D

( )⎩⎨⎧

++=−=

2222

211

θθθθθ

KBJTKT

&&&

17. A 18. A (página 1.10 da sebenta) 19. a): A

( )( )sTssG

m

mΩ=)(

( ){ } ( )( ) )()( sTssGs

stL

mm

mm

=ΑΑ=ω&

O declive inicial é o valor da aceleração inicial. A solução é dada aplicando o teorema do valor inicial à expressão da aceleração. 19. b): A (teorema do valor final) 20. B

( )( )

222

2

12

2

))(()(

00)(0)(

0

KKsBsJKsBsJKsBsJs

T

s

TTKsBsJK

KKsBsJTKBJ

KBJT

LLmm

LL

m

m

mm

m

L

m

L

mm

LLLm

Lmmmm

LmLLLL

Lmmmmmm

−++++

++=

Ω

Θ=Ω

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ΘΘ

⇔⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ΘΘ

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡≡

⎪⎩

⎪⎨⎧

Θ+++Θ−=Θ−Θ++=

⇒⎩⎨⎧

−−+=−++= −AA

θθθθθθθθ

&&&

&&&

21. C 22. C 23. A

mm

M

M

TJ

JJ

JJn

TJnJ

n

nJn

JT

nnTTJT

TJT

1

212

21

22

12

22

12

21

222

11

2

1

1

=ϖ⇒⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

+=ϖ

ϖ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=⇒

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

ϖ=ϖ=

ϖ=

+ϖ=

&&

&&

&

24. C Passar J1 e B1 para o “secundário” da engrenagem, fazendo a correspondente divisão por n2.


3

25. A (T1 = T2) 26. D 27. A (T1 = T2) 28. C

FTx

hTxF

hx

β=βϖ=

⇒

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

π=βω=

π=

θ &&

)2(

2

29. B 30. A 31. C 32. A 33. A 34. A 35.

( )( ) ( )( ) ( ) )()(0

)()(0)(

32232212112122

21121101001011

10010000

xxKxxBxxKxxBxMxxKxxBxxKxxBxM

xxKxxBxMf

−+−+−+−+=−+−+−+−+=

−+−+=

&&&&&&

&&&&&&

&&&&

36.

221223212

2311313

2123111

)()()()(0

)()(

xBxxKxxKFxxKxxBxm

xxKxxBF

&

&&&&

&&

+−+−=−−+−+=

−+−=

37.

322333232

3232121

211

)(0

)(

)(

θ+θ−θ+θ+θ=

θ−θ+θ+θ=

θ−θ=

KBBJ

BBJT

KT

&&&&&

&&&&&

38.

2221

2112111 )()(xBxMf

xxKxxBf&&&

&&

+=−+−=

39.

111

121212

11111

θ=++=

+θ+θ=

rxxKxBxMf

frBJT&&&

&&&


4

40.

( ) ( )( ) ( ) 323232

3232212

21

12

12

xMxxKxxBxxKxxBxMf

nffnxx

lln

&&&&

&&&&

=−+−−+−+=

==

=

41.

( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( )KsBnBMsn

sFsX

nsX

KsBnBMssF

sXKsBnBMssFsKXssXBnBsXMssF

KxxBnBxMf

nxxlln

+++=⇔+++=

⇔+++=⇔+++=

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+++=

==

22

12

222

21

2

122

12

1122

112

1122

11

12

12

)()()(

)(

)()()()()()(

&&&

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