MODELAMIENTO, SIMULACIÓN E IMPLEMENTACIÓN DE LA ECUACIÓN DE CARDY EN EL FENÓMENO DE PERCOLACIÓN MODELING, SIMULATION AND IMPLEMENTATION OF THE CARDY EQUATION IN THE PERCOLATION PHENOMENON Luisa Fernanda Mahecha Mora 1 Harold Vacca González 2 Resumen: En el presente artículo se presenta el análisis, modelamiento, simulación e implementación de la ecuación de Cardy en el fenómeno de percolación; Se presenta el diseño de un circuito el cual sintetiza éste fenómeno; implementando la transformación de Schwarz- Christoffel se deduce la ecuación integral, se obtiene la solución de ésta de manera aproximada, solucionando su versión diferencial mediante el método Runge-Kutta utilizando un Toolbox de Matlab [1] e implementando la función hipergeométrica de Gauss. Para observar el comportamiento del circuito, se analiza la salida del sistema tanto en la simulación como en el montaje físico; además, implementando métodos numéricos, se aproximará obteniendo así una alternativa de solución y por último se comparará los resultados experimentales con los obtenidos teóricamente. Palabras clave: Modelamiento, Ecuaciones Diferenciales, Percolación, Cardy, Método numérico, transformación de Schwarz-Christoffel. Abstract: In this paper we present the analysis, modeling, simulation and implementation of the Cardy equation in the percolation phenomenon; The design of a circuit is presented, which synthesizes this phenomenon; The implementation of the Schwarz-Christoffel transformation is deduced from the integral equation, the solution is obtained in this approximate way, solving its differential version by means of the Runge-Kutta method using a Matlab Toolbox [1] and implementing the Gaussian hypergeometric function. To observe the behavior of the circuit, the 1 Estudiante Tecnología en Electrónica, Universidad Distrital Francisco José de Caldas; Correo electrónico: [email protected]2 MSc. En Matemática Aplicada, Docente Universidad Distrital Francisco José de Caldas; Correo electrónico: [email protected]
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MODELAMIENTO, SIMULACIÓN E IMPLEMENTACIÓN DE LA …repository.udistrital.edu.co/bitstream/11349/8392/1/MahechaMoraLuisaFernanda2018.pdfde diferentes aplicaciones de esta teoría;
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MODELAMIENTO, SIMULACIÓN E IMPLEMENTACIÓN DE LA ECUACIÓN DE CARDY EN EL FENÓMENO DE PERCOLACIÓN
MODELING, SIMULATION AND IMPLEMENTATION OF THE CARDY EQUATION IN THE PERCOLATION PHENOMENON
Luisa Fernanda Mahecha Mora 1 Harold Vacca González2
Resumen: En el presente artículo se presenta el análisis, modelamiento, simulación e
implementación de la ecuación de Cardy en el fenómeno de percolación; Se presenta el diseño
de un circuito el cual sintetiza éste fenómeno; implementando la transformación de Schwarz-
Christoffel se deduce la ecuación integral, se obtiene la solución de ésta de manera
aproximada, solucionando su versión diferencial mediante el método Runge-Kutta utilizando
un Toolbox de Matlab [1] e implementando la función hipergeométrica de Gauss. Para observar
el comportamiento del circuito, se analiza la salida del sistema tanto en la simulación como en
el montaje físico; además, implementando métodos numéricos, se aproximará obteniendo así
una alternativa de solución y por último se comparará los resultados experimentales con los
J. Cardy propuso una ecuación para la cantidad anterior que esta descrita por:
𝑢(𝑢 − 1)𝑑2𝜑
𝑑𝑢2+
2
3(1 − 2𝑢)
𝑑𝜑
𝑑𝑢= 0
(4)
Con condiciones de frontera evaluadas en 𝜑(0) = 0, 𝜑(1) = 1, de esta manera aclaramos que
la solución puede ser integral o ya sea por medio de la función hipergeométrica de Gauss, la
forma integral está dada de la siguiente manera:
𝜑(𝑢) = ∫𝑑𝑥
[𝑥(1 − 𝑥)]2 3⁄
𝑢
0
(5)
También se puede expresar por condiciones de operadores diferenciales[3]:
𝐿𝑛 = − ∑(𝑥𝑗−𝑥1)𝑛+1𝜕
𝜕𝑥𝑗
∞
𝑗≠1
(6)
Para el caso de la función hipergeométrica, encontramos esta solución también propuesta con
John Cardy[7]:
Aplicando la propiedad Γ(𝛼 + 1) = 𝛼Γ(α) función gama en (1), obtenemos la siguiente
expresión:
𝜋((𝑋1, 𝑋2), (𝑋3, 𝑋4)) =3Γ (
23)
Γ (13)
2 𝜂1 3⁄ 𝐹1(1
3,2
3,4
3; 𝜂)
(7)
𝜋((𝑋1, 𝑋2), (𝑋3, 𝑋4)) = 1 −3Γ (
23)
Γ (13)
2 (1 − 𝜂)1 3⁄ 𝐹1(1
3,2
3,4
3; 1 − 𝜂)
(8)
De esta manera, la percolación proporciona una prueba realmente importante de las ideas de
CFT gracias a que las simulaciones numéricas a gran escala se realizan más fácilmente, Cardy
en [7] cruza las probabilidades en el lenguaje de la teoría de campo conforme, y deriva
expresiones exactas. En La predicción de Cardy para πh para la percolación bidimensional
procede en dos pasos que son: identificar la probabilidad πh con la diferencia de dos funciones
de partición con límite condiciones para el modelo de Potts de 1 estado y usar la teoría de
campo conforme en c = 0 para obtener una expresión analítica para esta diferencia.[7]
Anteriormente mencionábamos la universalidad de la percolación, es por esto que hablaremos
de diferentes aplicaciones de esta teoría; en primer lugar tenemos método de Monte Carlo,
que en este caso se utilizará para analizar el modelo de percolación de sitios en una red
cuadrada homogénea de dos dimensiones, en [12] se desarrolló un algoritmo capaz de utilizo
una Nexys3 Spartan-6 FPGA. Para poder obtener la probabilidad de percolación de una red
de dimensión LxL, para distintas concentraciones, es necesario sortear una distribución
aleatoria de sitios ocupados dentro de la red, recorrer los LxL sitios de la red, detectar los
clúster existentes [13] y verificar si existe un clúster percolante. Para el método de Monte
Carlo, es necesario realizar el proceso varias veces para que el resultado sea confiable.
Figura 5:Curva de Probabilidad de percolación para diferentes valores[12]
.
Ahora bien, en la Figura 5 se muestra la probabilidad de percolación para dos redes con
diferentes valores de L. El punto donde ambas curvas se cortan indica el umbral de
percolación. Como se puede ver, este procedimiento requiere mucho tiempo cuando se lo
implementa con procesadores secuenciales.
El sistema tiene diferentes bloques, entre los cuales un generador random, un detector de
percolación que consiste como tal en identificar el tipo de percolación por condiciones de borde
periódicas, de esta manera, se debe determinar si existe un clúster perco|SSlante; para esto,
se supone que se parte de un borde lateral cualquiera, por ejemplo del borde izquierdo de la
red y se analiza si algún sitio ocupado de la primera columna pertenece a un clúster percolante
que asimila un camino eléctrico ente dos sitios extremos de la red, donde cada sitio del
clúster es conductor sólo si su estado está ocupado. Finalmente los otros dos bloques son de
control que consiste en sincronizar todas las tareas y se inicia con un reset del sistema, de
entrada salida que sirve para seleccionar los datos a trabajar y entrada salida serial que se
encarga de la comunicación con el PC. En la Figura 6 se observa el esquema del sistema
planteado.[12]
Figura 6: Esquema general del sistema.[12]
De esta manera al analizar el sistema se evidencia que el tiempo necesario para estabilizar la
salida del detector de percolación, es menor que el requerido por el generador para configurar
la red y varía con la ocupación de la misma. El caso más desfavorable en el detector se da
cuando se forma el clúster percolante de mayor longitud, que para una red de 2n x2n está
formado por 22n-1 sitios (lo que equivale a una ocupación del 50%). En el caso de una red de
32x32, el tiempo necesario para que se estabilice la señal de salida del detector, es el tiempo
que tarda en propagarse la señal a través de 512 sitios ocupados de la red. En la Figura 7 se
evidencia las curvas de percolación para 32x32 y 16x16
Figura 7: Curvas de Percolación para 32x32 y 16x16.[12]
En segundo lugar, se verá un tema muy interesante que es el mecanismo de percolación de la
red de nanotubos de carbono, realizado por Ming Zhang y Lei Wen que básicamente consiste
en estructuras de red que son utilizadas comúnmente como los canales de conducción de los
transistores de película delgada (TFT), la dependencia de la resistencia del canal en la longitud
del canal, la densidad de tubo, y la longitud promedio. En [14] se realizó un algoritmo capaz de
proporcionar los caminos reales de percolación. El material Nanotubos de carbono de pared
simple (SWNT) es muy prometedor para los transistores de película delgada (TFT) por sus
propiedades únicas, como la alta conducción de corriente, aunque el problema existente es
que dependiendo del umbral de percolación podría llegar a causar un corto circuito, todo el
canal puede ser considerado como un circuito de gran escala que consiste en resistencias
puras. Y el comportamiento de la red se puede dividir en dos partes, el tubo-tubo
interrelaciones contactos y los caminos de percolación. Por lo tanto, con el fin de predecir
cuantitativamente cómo la red geométrica características podrían afectar la percolación canal
y la conducción, se necesita un modelo analítico general para ser establecido con múltiples
variables independientes tales como la longitud de canal, longitud media de tubo y la densidad
del tubo. En la Figura 8 se mostrará la relación de resistencias con la utilización del método de
Monte-Carlo.
Figura 8: Cambio del circuito con la implementación de los nanotubos.[14]
A través de este proceso, todos los contactos tubo-tubo se encuentran en Figura 9 y se
almacena en una matriz adyacente. Sin embargo, hay muchos tubos independientes con sólo
una conexión a todos los otros tubos o ninguna, lo que significa que no participan en la
percolación de corriente y no deben ser considerados durante el cálculo de la resistencia total
del canal. Por lo tanto, en la siguiente etapa un algoritmo específico se implementa para
recortar todas las ramas inútiles de la red mediante las matrices de y los datos de la red se
traduce en un archivo de lista de conexiones y calcula el HSPICE.
Figura 9: La red recortado cortando las ramas inútiles iterativamente, (B) y (c) el zoom-en las figuras que muestran los tubos permanecido y sus puntos de contacto en diferentes aumentos local, (D) el circuito equivalente de (c). Hay tres tipos de contactos de cruce de percolación verdadera: Tipo de cabeza por cabeza (el izquierdo), tipo cruzado (el del medio) y el tipo de triple camino (de la derecha).[14]
3. DEDUCCIÓN ECUACIÓN DE CARDY
Utilizando la fórmula de mapeo conforme del semiplano superior sobre un polígono cerrado
propuesto por Schwarz-Christoffel [15] donde se toma n puntos sobre el eje real 𝑥1 < ⋯ < 𝑥𝑛,
por lo que sus imágenes 𝑤1 = 𝑓(𝑥1), … , 𝑤𝑛 = 𝑓(𝑥𝑛) sean los vértices de un polígono de n lados
bajo una función analítica.
A continuación se considera el mapeo 𝑤 = 𝑓(𝑧) = (𝑧 − 𝑥1)𝛼
𝜋⁄ en el semiplano superior 𝑦 ≥ 0
, donde 𝑥1 𝑦 𝛼 son números reales, 𝛼 comprendida entre 0 ≤ 𝛼 ≤ 2𝜋; éste mapeo se compone
de una translación 𝑇(𝑧) = 𝑧 − 𝑥1 y la función de poder real 𝐹(𝑧) = 𝑧𝛼
𝜋⁄ ; 𝑧 rota ∝
𝜋 a través del
origen para incrementar o disminuir su argumento 𝜃 de 𝑧 a un argumento 𝜃∝
𝜋 de 𝑤.
La curva parametrizada por 𝑤 = 𝑓(𝑡) es la imagen del eje real, con vector tangente 𝑓′(𝑡) que
forma un ángulo 𝑎𝑟𝑔𝑓′(𝑡) con el semieje real positivo, de esta manera, se debe encontrar
funciones en el cual su derivada en cada uno de sus intervalos presente un argumento
constante, así, solo cambie de argumento -por no ser analítica- en los puntos 𝑥𝑖, por lo tanto,
derivando 𝑓(𝑧) se tiene:
𝑓′(𝑧) =𝛼
𝜋(𝑧 − 𝑥1)(𝛼
𝜋⁄ )−1 (9)
Por consiguiente, 𝑓′(𝑧) ≠ 0, si 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦 y 𝑦 > 0, resulta que 𝑤 = 𝑓(𝑧) es un mapeo conforme
en cualquier punto con 𝑧 con 𝑦 > 0. Así consideramos una nueva función f(z), analítica en
𝑦 > 0 y cuya derivada sea:
𝑓′(𝑧) = 𝐴(𝑧 − 𝑥1)(𝛼1
𝜋⁄ )−1(𝑧 − 𝑥2)(𝛼2
𝜋⁄ )−1(𝑧 − 𝑥𝑛)(𝛼𝑛
𝜋⁄ )−1
(10)
Donde 𝛼1, 𝛼2, 𝛼3 son reales y A es una contante compleja, usualmente hay cierto grado de
libertad para escoger los puntos 𝑥𝑘 en el eje x, de esta manera, se podría simplicar el calculo
de 𝑓(𝑧). Como se decía anteriormente, el mapeo de Schwarz-Christoffel puede ser usado para
construir un mapeo sobre una región poligonal cerrada, para poder hacerlo, se requiere
implementar la formula usando 𝑛 − 1 de los 𝑛 ángulos interiores del polígono delimitado.
Una formula general para 𝑓(𝑧) es dada por la siguiente integral:
𝑓(𝑧) = 𝐴 ∫(𝑧 − 𝑥1)(𝛼1
𝜋⁄ )−1(𝑧 − 𝑥2)(𝛼2
𝜋⁄ )−1(𝑧 − 𝑥𝑛)(𝛼𝑛
𝜋⁄ )−1𝑑𝑧 + 𝐵 (11)
Donde A y B son constantes complejas; finalmente solo queda reemplazar y solucionar la
integral.
Ahora bien, se conoce en que consiste el mapeo de Schwarz-Christoffel por lo que se
procederá a deducir la ecuación integral de Cardy, para ello se implementará un mapeo
conforme del semiplano superior sobre una región poligonal cerrada de tres lados, de esta
manera, se definen los vértices: 𝑤0 = 0, 𝑤2 = 1 y 𝑤3 =1
2+
1
2√3𝑖 y los puntos 𝑥𝑛 del eje real,
además, se debe tener en cuenta que para implementar esta fórmula se tienen 𝑛 − 1 lados de
los ángulos interiores a éste, por lo tanto, al reemplazar 3 − 1 = 2, con esto, se tendrá libre
elección para definir los puntos 𝑥1 y 𝑥2, así 𝑥1 = 0 y 𝑥1 = 1.
Figura 10: Eje real con puntos 𝒙𝟏 = 𝟎,
𝒙𝟐 = 𝟏. Elaboración propia.
Figura 11: Mapeo conforme de un triangulo
equilátero. Elaboración propia.
Como el mapeo es sobre un triángulo equilátero se conoce el valor de sus ángulos, 𝛼1 = 𝛼2 =
𝛼3 =𝜋
3, ahora, se reemplaza estos valores en la formula general:
𝑓′(𝑧) = 𝐴(𝑧 − 0)−2
3⁄ (𝑧 − 1)−2
3⁄ (12)
Así se tendría que 𝑓′(𝑧):
𝑓′(𝑧) = 𝐴(𝑧)(−23⁄ )(𝑧 − 1)(−2
3⁄ ) (13)
De esta manera, se sabe que no existe una antiderivada de 𝑓′(𝑧) = 𝐴(𝑧 − 0)−2
3⁄ (𝑧 − 1)−2
3⁄
que pueda expresarse en términos de funciones elementales; como f’ es analítica en el dominio
𝑦 < 0, se sabe que existe una antiderivada en este dominio dada por la siguiente integral:
𝑓(𝑧) = 𝐴 ∫1
𝑆2
3⁄ (𝑆 − 1)2
3⁄𝑑𝑠 + 𝐵
𝑍
0
(14)
Ahora, se hallarán las constantes complejas A y B, evaluando 𝑓(0) para encontrar la constante
B, por lo tanto, evaluando:
𝑓(0) = 𝐴 ∫1
𝑆2
3⁄ (𝑆 − 1)2
3⁄𝑑𝑠 + 𝐵
0
0
(15)
𝐵 = 0
Para hallar la constante A, se evaluará 𝑓(1), luego reemplazando:
𝑓(1) = 𝐴 ∫1
𝑆2
3⁄ (𝑆 − 1)2
3⁄𝑑𝑠
1
0
(16)
Si Γ denota el valor de la integral, entonces:
Γ = 𝐴 ∫1
𝑆2
3⁄ (𝑆 − 1)2
3⁄𝑑𝑠
1
0
(17)
Así 𝐴 =1
Γ , de esta manera se obtiene la forma integral de la ecuación de Cardy que modela
el fenómeno de percolación:
4. MÉTODOS DE SOLUCIÓN
a. Método Runge-Kutta (RK)
El método de Runge-Kutta es un conjunto de métodos implícitos y explícitos para dar una
aproximación a la solución de las ecuaciones diferenciales ordinarias, la idea de RK es sustituir
el problema de valor inicial, de esta manera, sea (19) una ecuación diferencial ordinaria:
Con 𝑓: Ω ⊂ ℝ × ℝ𝑛 → ℝ𝑛 donde Ω es un conjunto abierto con la condición que el valor inicial
sea:
De están manera, Runge Kutta en su forma más general se puede expresar así:
Γ = ∫1
𝑆2
3⁄ (𝑆 − 1)2
3⁄𝑑𝑠
1
0
(18)
𝑦′ = 𝑓(𝑡, 𝑦(𝑡)) (19)
(𝑡0, 𝑦0) ∈ Ω (20)
Donde h representa el paso entre los números sucesivos y los coeficientes 𝑘𝑖 representan los
términos de aproximación, por lo tanto, el método tiene la siguiente forma: