MODELAMIENTO DEL FLUJO LINEAL 2D DE UN FLUIDO COMPRESIBLE Elaborado Por ANDRES DAVID HERRERA PALACIO ELKIN DANIEL PAEZ JACOBO GIRALDO LOPEZ GRUPO 14 Presentado a ABEL NARANJO JUAN MANUEL UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA SEDE MEDELLIN – FACULTAD DE MINAS SIMULACION DE YACIMIENTOS NOVIEMBRE 2012
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Modelamiento Del Flujo Lineal 2d de Un Fluido Compresible
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MODELAMIENTO DEL FLUJO LINEAL 2D DE UN FLUIDO COMPRESIBLE
Elaborado Por
ANDRES DAVID HERRERA PALACIO
ELKIN DANIEL PAEZ
JACOBO GIRALDO LOPEZ
GRUPO 14
Presentado a
ABEL NARANJO
JUAN MANUEL
UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA
SEDE MEDELLIN – FACULTAD DE MINAS
SIMULACION DE YACIMIENTOS
NOVIEMBRE 2012
INTRODUCCION.
En los últimos años la alta demanda de energía en la sociedad ha llevado a la industria
del petróleo a superar nuevos retos, cada día aumenta la necesidad por este preciado
recurso y los ingenieros han tenido que ir desarrollando nuevas tecnologías para suplir
esta demanda.
Una poderosa herramienta llamada simulación de yacimientos ha venido cobrando fuerza
en la industria gracias a que con ella el ingeniero tiene la posibilidad de entender mucho
mejor los diferentes fenómenos que trae consigo el desarrollo de un yacimiento de
petróleo, permitiendo predecir su comportamiento y realizar diferentes tipos de proceso
que a este se le puedan realizar con el fin de ahorrar costos y lograr adquirir un mejor
desempeño a la hora de producir.
La simulación de yacimientos tiene como objetivo específico y principal predecir la
distribución de presiones en el yacimiento con el tiempo. Estos patrones de distribución
también pueden ser determinados incluyendo pozos tanto productores como inyectores y,
mediante la ubicación estratégica de los mismos se puede determinar la mejor distribución
de presiones en el yacimiento.
DEFINICION DEL PROBLEMA
Se quiere analizar el comportamiento de la presión en un yacimiento de gas seco durante
un tiempo determinado, con un arreglo específico de pozos inyectores y productores y en
el cual las propiedades de los fluidos varían con el tiempo de producción e inyección.
Simularemos este fenómeno mediante flujo lineal en dos direcciones (2-D) durante un año
con reportes de caída de presión cada mes por el método de solución directo de
eliminación gaussiana y analizaremos si es viable este arreglo.
MODELO FISICO
En esta sección definiremos todos los parámetros a utilizar para el desarrollo de nuestro
simulador; se especificaran condiciones para la malla, el fluido y el yacimiento; estas se
muestran a continuación:
Geometría de flujo:
Se simulara con un flujo bidimensional, es decir el flujo se caracteriza por que se
puede realizar en un plano sin que exista paralelismo entre las direcciones, la
figura 1 ilustra este tipo de geometría.
Figura 1. Geometría de flujo bidimensional
Tipo de fluido:
Como el fluido es gas, entonces el tipo de fluido es compresible, es decir la
variación del volumen es función de la presión.
c=− 1V
d Vdp=f ( p )
y
x
Numero de fases:
Para este trabajo se simulara flujo monofásico.
Arreglo de pozos:
Ubicaremos a través de la malla un arreglo de 5 puntos, donde cuatro de ellos
serán inyectores y el restante será un pozo productor.
Propiedades de la Roca reservorio:
o Permeabilidades: Se asumió que la permeabilidad del reservorio tiene un
comportamiento anisotrópico y en cada dirección varían de forma lineal
para cada uno de los bloques (el número de bloques se definirá mas
adelante); en la tabla 1 se muestra la variación de permeabilidad en cada
o Espesor de la formación: 30 pies (constante para toda la formación).
o Porosidad de la formación: 0.15 (constante para toda la formación).
o Temperatura de la formación: 570° Ranking (constante para toda la
formación)
Propiedades del fluido:
Las propiedades del gas son función de la presión, temperatura y composición,
pero para este trabajo solo será función de la presión:
o Factor volumétrico del gas (Bg): Utilizamos la ecuación de estado (ver
modelo matemático).
o Viscosidad del gas: Para esta propiedad aplicamos la correlación de Lee,
A.L., Gonzalez, M.H. y Eakin, B.E.
o Factor de compresibilidad del gas: Trabajamos con los ajustes de las
curvas de Standing por el método de Brill, Z.P. y Beggs, H. D.
o Gravedad especifica del gas: 0.765 (constante para toda la formación).
Dimensionamiento de la malla:
Se utilizaron las siguientes dimensiones para malla de bloque centrado:
La longitud del yacimiento en la dirección Y= 1100 ft. Y en la dirección X= 1100 ft.,
como se tienen 11 bloques en cada dirección, el tamaño de paso para ∆Y= 100 ft y
∆X= 100 ft. El tamaño de paso en el tiempo es de 1 día, se asume que la
inclinación del yacimiento con respecto a la horizontal es de 0° y la ubicación de
los pozos se puede ver en la figura 2 y es la siguiente:
o Bloque (1,1): pozo productor= 1 MPCN/DIA
o Bloque (11,1): Pozo productor= 1 MPCN/DIA
o Bloque (6,6): Pozo productor= 5 MPCN/DIA
o Bloque (1,11): Pozo productor= 1 MPCN/DIA
o Bloque (11,11): Pozo productor= 1 MPCN/DIA
12
11 Bloqu
e
(1,11)
Bloque
(11,11)
10
9
8
7
6 Bloque
(6,6)
5
4
3
2
1 Bloqu
e (1,1)
Bloque
(11,1)
0
i→ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
j↑ Figura 2: esquematización de la malla de trabojo
Bloques Fantasma
Pozos Productores
Condiciones de frontera y condición inicial:
o Presión inicial = 3000 psi
o Condiciones de frontera: Condiciones tipo von neuman para yacimiento
cerrado y absorbidas, solo con 2 Nx y 2 My bloques fantasma.
o Constante para la transmisibidad: C= 1.127*10-3 para nuestras unidades
de trabajo que son: longitud: ft, área: ft2,k: mD, ɥ:cp, Q=BPD, P:psi,Ť
BPD/psi.
MODELO MATEMATICO
Como simularemos el flujo de un fluido compresible monofásico a través de un medio
poroso utilizaremos la ecuación fundamental de Darcy y la ecuación de difusividad; estas
ecuaciones en forma diferencial toman la siguiente forma para flujo lineal en 2-D:
Ecuación fundamental de Darcy lineal
En x:
ux=−k x
μ∂ p∂ x
En y:
u y=−k y
μ∂ p∂ y
Ecuación general de Difusividad lineal 2D:
Donde:
α: A si es 1D, H si es 2D, 1 si es 3D
∂∂ x (Hρ
k x
μ∂ p∂ x )+ ∂∂ y (Hρ
k y
μ∂ p∂ y )=H
∂ ( ρφ )∂ t
+H~q
En estas ecuaciones por ser un fluido compresible, las propiedades PVT dependen de la
presión, del tiempo y de la composición. Considerando que la composición es constante
para este trabajo, debemos una hallar una expresión para la densidad en función de la
presión y el tiempo, entonces de la definición de factor Volumétrico se tiene:
La densidad a condiciones de yacimiento se expresa como:
g CN gCN CNg CY
CN CN
CN
T PP ZT P T Z
T P
q
tp ~
K
→
Y remplazando en la ecuación de difusividad llegamos a:
∂∂ x ( kH
μBg
⋅∂P∂ x )+ ∂
∂ y ( kHμBg
⋅∂P∂ y )=HφT cn
Pcn T⋅ ∂∂ t (Pz )+H (qv )CN
Esta ecuación representa el flujo de un fluido altamente compresible a través de un medio
poroso en dos dimensiones, coordenadas cartesianas, expresadas en función del Bg,
presión, temperatura y gravedad especifica del gas.
Existen otros métodos para relacionar la densidad en función de la presión como son los
casos de la ecuación de estado y la pseudopresion, por motivos de comodidad y
practicidad utilizaremos el factor bolumetrico del gas para solucionar este problema.
CONDICIONES TIPO VON NEUMAN
En X=0
(q )x=0=( kAμ∂ p∂ x )x=0
=q xcero
En X=lX
(q )x=lx=( kAμ∂ p∂ x )x=lx
=qlxcero
En Y=0
(q )y=0=( kAμ∂ p∂ y ) y=0
=q ycero
En Y=lY
(q )y=ly=( kAμ∂ p∂ y )y=ly
=q lycero
Como se tiene yacimiento cerrado, entonces:
En X=0
(∂ p∂ x )x=0
=0
En X=lX
(∂ p∂ x )x=lx
=0
En Y=0
(∂ p∂ y )y=0
=0
En Y=lY
yN
j
1
1 ixN
j,i
1j,i 1j,1i
j,1i j,1i
1j,i
1j,1i
1j,1i 1j,1i
1i 1i
1j
1j
(∂ p∂ y )y=ly
=0
MODELO NUMERICO MALLA DE BLOQUE CENTRADO
A continuación se desarrollara la expansión en diferencias finitas de la ecuación de
difusividad en coordenadas cartesianas para una malla de bloque centrado con Nx por Ny
bloques, en la figura 3 se muestra el esquema para la expansión.
Figura 3. Sistema Bidimensional Cartesiana de N x Filas y
N y Columnas – Malla de
Bloque Centrado
La ecuación diferencial es:
∂∂ x ( kH
μBg
⋅∂P∂ x )+ ∂
∂ y ( kHμBg
⋅∂P∂ y )=HφT cn
Pcn T⋅ ∂∂ t (Pz )+H (qv )CN
(1)
ix
ji,
21i 21i
21ixx 21ixx a
a
21j
21j
jy
Sea:
U i=( kHμBg
⋅∂ p∂ x )i (2)
U j=( kHμBg
⋅∂ p∂ y ) j (3)
Entonces la ecuación puede se rescrita como:
∂U i
∂ x+∂U j
∂ y=
HφT cn
PcnT⋅ ∂∂ t ( P
z )+H (qv )CN(4)
Considere el i,j-esimo bloque de la malla como se ilustra en la figura 4:
Figura 4: Esquema del i ,j-ésimo Bloque de un Sistema Lineal – Malla de Bloque Centrado.
Entonces la ecuación anterior puede ser expandida por series de taylor tanto para i como para j alrededor de un punto a una distancia (x-a) de la siguiente forma:
Para X:
U ( x )=∑n=0
∞ U(n )(a ) (x−a )n
n! (5)
Para Y:
U ( y )=∑n=0
∞ U (n)(a ) ( y−a )n
n! (6)
Ahora realicemos una expansión a la función U(X) alrededor del punto a = Xi evaluando U
en X = Xi+1/2 = Xi + Δ Xi/2 por tanto (X-a) = Δ Xi/2
Entonces:
Ui+1
2
=U i +U i
'
1 ! ( Δxi
2 )+ U i' '
2 ! ( Δx i
2 )2
+U i
' ' '
3 ! ( Δxi
2 )3
+(7)
De manera análoga el para punto a = Xi evaluando U en X = Xi-1/2 = Xi - Δ Xi/2 por tanto (X-
a) = -Δ Xi/2,
Ui−1
2
=U i−U i
'
1 ! ( Δxi
2 )+ U i' '
2 ! ( Δxi
2 )2
−U i
' ' '
3! ( Δxi
2 )3
+(8)
Ahora restándole a la ecuación * la ecuación ** y resolviendo para U i'
llegamos a:
U i'=
Ui+1
2
−Ui−1
2
Δxi
−U i
' ' '
3 !(Δx i )2
4−…=
Ui+1
2
−Ui−1
2
Δx i
+Ric
U i'≃
Ui+1
2
−Ui−1
2
Δxi (9)
Donde Ric
es el error que se comete en la expansión centrada de segundo orden ya que la menor potencia a la que esta elevado delta de X es 2.
Siguiendo un procedimiento similar y resolviendo para Y llegamos a:
U j' =
Uj+1
2
−Uj−1
2
Δy j
−U j
' ' '
3 !(Δy j )2
4−…=
Uj+1
2
−Uj−1
2
Δy j
+R jc
U j' ≃
Uj+1
2
−Uj−1
2
Δy j (10)
Donde R jc
es el error de segundo orden ya que la menor potencia a la que esta elevado delta Y es 2.
Ahora remplazando (9) y (10) en (4) la ecuación queda:
En X:
∂∂ x ( kx H
μBg
⋅∂ p∂ x )i≃
( k x H
μBg)i+1
2, j[ 2 (Pi+1, j−Pi , j )
Δxi+1+Δx i]−( k x H
μBg)i−1
2, j[ 2 (Pi , j−Pi−1 , j )
Δxi+Δxi−1]
Δxi
En Y:
∂∂ y ( k y H
μBg
⋅∂ p∂ y )j≃
( k y H
μBg)i , j+1
2[ 2 (Pi , j+1−Pi , j )
Δy j+1+Δy j]−( k y H
μBg)i , j−1
2[ 2 (Pi , j−Pi , j−1 )
Δy j+Δy j−1]
Δy j
Las transmisibidades se pueden obtener de manera análoga a las que se obtienen en
fluidos incompresibles y levemente compresibles:
Nota: las transmisibidades se trabajan a un tiempo *, de la siguiente forma: T* donde:
* = n+1 si es implícita
* = n si es explicita.
Para este trabajo se toman las transmisibidades de forma implícita, además las transmisibidades se multiplican por una constante C definida en el modelo numerico.
Para el tiempo utilizamos una expansión en diferencias finitas progresiva:
Despejando Para cada dirección y reorganizando la ecuación llegamos a:
(11)
Donde Ɣi= (Vp*520)/(14.7*Tempcy).
Tomando la presión implícita y las transmisibidades implícitas finalmente llegamos a la ecuación:
(12)
La cual se aplica a cada uno de los bloques.
Ahora expandamos las condiciones de frontera. Como tenemos yacimiento cerrado entonces:
Para X = 0 Pn+1
1 , j−Pn+1
0 , j=0
Pn+1
1 , j=Pn+1
0 , j
Para X= lX:
Pn+1
Nx+1, j−Pn+1
Nx , j=0
Pn+1
Nx+1, j=Pn+1
Nx , j
Para Y= 0
Pn+1
i ,1−Pn+1
i ,0=0
Pn+1
i ,1=Pn+1
i ,0
Para Y= lY
Pn+1
i ,My+1−Pn+1
i , My=0
Pn+1
i ,My+1=Pn+1
i , My
SISTEMA DE ECUACIONES PARA MALLA DE BLOQUE CENTRADO CONDICIONES ABSORBIDAS YACIMIENTO CERRADO.
Bloques de la izquierda sin tomar esquinas (para todo i,j/ i=1 y 1<j<11)
Ti+1
2, j
n+1 Pi+1 , jn+1 +T
i , j+12
n+1 Pi , j+1n+1 −(T i+1
2, j
n+1 +Ti , j+1
2
n+1 +Ti , j−1
2
n+1 +γ ij
ΔtZi , jn+1 )Pi , j
n+1+Ti , j−1
2
n+1 Pi , j−1n+1 =−
γij
Δt ( Pi , j
Z i , j)n
+(Q vi , j )CN
Bloques de la derecha sin tomar esquinas (para todo i,j/ i=11 y 1<j<11)
Ti , j+1
2
n+1 Pi , j+1n+1 −(T i−1
2, j
n+1 +Ti , j+1
2
n+1 +Ti , j−1
2
n+1 +γ ij
ΔtZi , jn+1 )P i , j
n+1+Ti−1
2, j
n+1 Pi−1 , jn+1 +T
i , j−12
n+1 Pi , j−1n+1 =−
γij
Δt ( Pi , j
Z i , j)
n
+(Q vi , j )CN
Bloques inferiores sin tomar esquinas (para todo i,j/ j=1 y 1<i<11)
Ti+1
2, j
n+1 Pi+1 , jn+1 +T
i , j+12
n+1 Pi , j+1n+1 −(T i+1
2, j
n+1 +Ti−1
2, j
n+1 +Ti , j+1
2
n+1 +γ ij
ΔtZi , jn+1 )Pi , j
n+1+Ti−1
2, j
n+1 Pi−1 , jn+1 =−
γij
Δt ( Pi , j
Z i , j)n
+(Q vi , j )CN
Bloques superiores sin tomar esquinas (para todo i,j/ j=11 y 1<i<11)
Ti+1
2, j
n+1 Pi+1 , jn+1 −(T i+1
2, j
n+1 +Ti−1
2, j
n+1 +Ti , j−1
2
n+1 +γ ij
ΔtZi , jn+1 )P i , j
n+1+Ti−1
2, j
n+1 Pi−1 , jn+1 +T
i , j−12
n+1 Pi , j−1n+1 =−
γij
Δt ( Pi , j
Z i , j)
n
+(Q vi , j )CN
Esquina (1,1)
Ti+1
2, j
n+1 Pi+1 , jn+1 +T
i , j+12
n+1 Pi , j+1n+1 −(T i+1
2, j
n+1 +Ti , j+1
2
n+1 +γij
ΔtZ i , jn+1 )Pi , j
n+1=−γij
Δt ( Pi , j
Z i , j)n
+(Qvi , j )CN
Esquina (11,1)
Ti , j+1
2
n+1 Pi , j+1n+1 −(T i−1
2, j
n+1 +Ti , j+1
2
n+1 +γij
ΔtZ i , jn+1 )Pi , j
n+1+Ti−1
2, j
n+1 Pi−1, jn+1 =−
γ ij
Δt (P i , j
Z i , j)n
+ (Qvi , j )CN
Esquina(1,11)
Ti+1
2, j
n+1 Pi+1 , jn+1 −(T i+1
2, j
n+1 +Ti , j−1
2
n+1 +γij
ΔtZ i , jn+1 )Pi , j
n+1+Ti , j−1
2
n+1 Pi , j−1n+1 =−
γ ij
Δt (P i , j
Z i , j)n
+ (Qvi , j )CN
Esquina(11,11)
−(T i+12
, j
n+1 +Ti−1
2, j
n+1 +Ti , j+1
2
n+1 +Ti , j−1
2
n+1 +γij
ΔtZi , jn+1 )Pi , j
n+1+Ti−1
2, j
n+1 Pi−1 , jn+1 +T
i , j−12
n+1 Pi , j−1n+1 =−
γij
Δt ( Pi , j
Z i , j)n
+(Q vi , j )CN
Bloques centrales (para todo i,j/ i=1 y 1<j<11)
Ti+1
2, j
n+1 Pi+1 , jn+1 +T
i , j+12
n+1 Pi , j+1n+1 −(T i+1
2, j
n+1 +Ti−1
2, j
n+1 +Ti , j+1
2
n+1 +Ti , j−1
2
n+1 +γij
ΔtZ i , jn+1 )Pi , j
n+1+Ti−1
2, j
n+1 P i−1, jn+1 +T
i , j−12
n+1 Pi , j−1n+1 =−
γ ij
Δt (P i , j
Z i , j)n
+(Qvi , j )CN
CRITERIO DE BALANCE DE MATERIALES.
El criterio de balance de materiales nos permite validar la solución que se está obteniendo a un tiempo dado del sistema de ecuaciones que describe el comportamiento del yacimiento. Esto sigue siendo válido para el caso de un yacimiento de gas pero la ecuación para aplicar el criterio es diferente, dada la naturaleza del gas como fluido compresible.
Si el yacimiento es cerrado se puede decir que la producción de un yacimiento se debe a la compresibilidad del fluido y la formación; o sea
Fluidos producidos:
Mientras el yacimiento pasó del tiempo tn al tiempo tn+1, la expansión del volumen de fluido contenido en los poros, en PCN, está dada por
Por tanto el criterio de balance de materiales se puede plantear como:
MODELO DE SOLUCION.
Se debe organizar la matriz de tal forma que nos de el menor ancho de banda, en este informe se numero la malla por filas luego el ancho de banda es
2*(11) + 1 = 23.
Para este informe se plantea el método de solución directo Gauss el cual se explica a continuación:
Después de organizar la malla se organiza el sistema en forma matricial y se realiza eliminación gaussiana hasta que la matriz tome la siguiente forma:
|
1 a121 .. .. .. . . . . .. á1n
1
0 1 a232 .. . .. . . . . a2n
2
0 0 .1 .. a343 . .. . . . a3 n
3
. .. . . . .. . .. . . . . . ..0 0 0 0 1 an−1 , n
n−1 ..
0 0 .0 . . o .. . . . . 1
|
*¿
¿|
x1
x2
x3
. ..xn−1
xn
|=|
b11
b22
b33
.. .bn−1
n−1
bnn
|
Luego por sustitución regresiva se procede a solucionar el sistema encontrando asi las presiones al tiempo n+1 de la siguiente manera:
xn=bnn
(2.11)
xn−1=bn−1n−1−an−1, n
n−1 ∗xn
xn−2=bn−2n−2−an−2 , n−1
n−2 ∗xn−1−an−2, nn−2 ∗xn
x i=bii− ∑
j=i+1
n
aiji x j ∀ i=n−1 , 1
.
DIAGRAMA DE FLUJO SIMULADOR.
ASUMIR
PN+1 = PN
CALCULAR PROPIEDADES PVT
RESOLVER SISTEMA DE ECUACIONES POR ELIMINACION GAUSSIANA