MODELAGEM DE TRANSFORMADORES TRIFÁSICOS DE DISTRIBUIÇÃO PARA ESTUDOS DE FLUXO DE POTÊNCIA FABRÍCIO LUIZ SILVA DISSERTAÇÃO SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DA COORDENAÇÃO DOS PROGRAMAS DE PÓS-GRADUAÇÃO DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE FEDERAL DE JUIZ DE FORA COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE MESTRE EM CIÊNCIAS EM ENGENHARIA ELÉTRICA. Aprovada por: __________________________________________________ Prof. Márcio de Pinho Vinagre, D.Sc - Orientador - UFJF. __________________________________________________ Prof. José Luiz Resende Pereira, Ph.D. __________________________________________________ Prof. Paulo Augusto Nepomuceno Garcia , D.Sc. __________________________________________________ Prof. Sandoval Carneiro Junior, Ph.D. JUIZ DE FORA, MG – BRASIL SETEMBRO DE 2004
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MODELAGEM DE TRANSFORMADORES TRIFÁSICOS DE DISTRIBUIÇÃO
PARA ESTUDOS DE FLUXO DE POTÊNCIA
FABRÍCIO LUIZ SILVA
DISSERTAÇÃO SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DA COORDENAÇÃO DOS
PROGRAMAS DE PÓS-GRADUAÇÃO DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE
FEDERAL DE JUIZ DE FORA COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS
PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE MESTRE EM CIÊNCIAS EM ENGENHARIA
ELÉTRICA.
Aprovada por:
__________________________________________________ Prof. Márcio de Pinho Vinagre, D.Sc - Orientador - UFJF.
__________________________________________________ Prof. José Luiz Resende Pereira, Ph.D.
__________________________________________________ Prof. Paulo Augusto Nepomuceno Garcia , D.Sc.
__________________________________________________ Prof. Sandoval Carneiro Junior, Ph.D.
JUIZ DE FORA, MG – BRASIL SETEMBRO DE 2004
ii
SILVA, FABRÍCIO LUIZ
Modelagem de Transformadores
Trifásicos de Distribuição para Estudos de
Fluxo de Potência [Juiz de Fora] 2004
XV, 99 p. 29,7 cm, il. (UFJF, M.Sc.,
Engenharia Elétrica, 2004)
Tese – Universidade Federal de Juiz de
Fora
1. Modelagem de Transformadores Trifásicos
2. Fluxo de Potência Trifásico
3. Sistemas de Distribuição
I. UFJF II. Título (Série)
iii
A minha noiva Lucimare e em especial
minha filha Ana Letícia
iv
AGRADECIMENTOS
Ao Professor Márcio de Pinho Vinagre pela excelente orientação e amizade
durante todo o trabalho, o que foi de fundamental importância para o meu
aprimoramento profissional.
A minha mãe Elza Domingos e minha tia Dalva Faria pelo apoio e incentivo
durante a realização deste trabalho.
Ao LABSPOT (Laboratório de Sistemas de Potência da Faculdade de Engenharia
Elétrica da Universidade Federal de Juiz de Fora), pela disponibilidade de utilização de
recursos computacionais.
Ao LABSEL (Laboratório de Sistemas Eletrônicos da Faculdade de Engenharia
Elétrica da Universidade Federal de Juiz de Fora), pela disponibilidade de utilização de
recursos técnicos.
Ao amigo Leandro Ramos Araújo pelas discussões técnicas e pelo apoio na
implementação computacional.
Aos colegas do curso de mestrado em Engenharia Elétrica da UFJF, pelo apoio à
realização deste trabalho.
Ao corpo docente do curso de mestrado em Engenharia Elétrica da UFJF, pelos
conhecimentos obtidos durante o curso.
Ao CNPq pelo suporte financeiro.
Aos meus familiares e amigos, pelo incentivo durante toda a realização do curso.
v
Resumo da Dissertação apresentada à UFJF como parte dos requisitos necessários para
a obtenção do grau de Mestre em Ciências (M.Sc.)
MODELAGEM DE TRANSFORMADORES TRIFÁSICOS DE DISTRIBUIÇÃO
PARA ESTUDOS DE FLUXO DE POTÊNCIA
FABRÍCIO LUIZ SILVA
Setembro / 2004
Orientador: Márcio de Pinho Vinagre, D.Sc.
Programa: Engenharia Elétrica
Este trabalho propõe um modelo matemático para representar os transformadores
trifásicos de distribuição em estudos de fluxo de potência utilizando coordenadas de
fase. O transformador trifásico é representado por uma matriz de admitância obtida
através da análise de seu circuito magnético equivalente. O modelo exige como dados
de entrada, as reatâncias de dispersão, a reatância de magnetização e as resistências dos
seus enrolamentos, parâmetros estes obtidos por ensaios normalizados pelos fabricantes.
As várias possibilidades de conexões dos transformadores trifásicos são facilmente
representadas pela matriz de incidência nodal apropriada. Além disso, não há limitações
na representação de transformadores de núcleo envolvido ou envolvente. O modelo
apresenta uma grande robustez numérica, além de permitir a representação de
transformadores trifásicos de três enrolamentos e a utilização de impedâncias de
aterramento em ambos os lados do transformador, de tal forma que o condutor neutro
possa ser detalhadamente representado.
O modelo de transformador proposto foi incorporado ao fluxo de potência trifásico pelo
método de injeção de correntes (MICT) implementado em MATLAB. A metodologia
proposta foi testada e comparada com resultados experimentais obtidos em laboratório,
permitindo assim a validação do modelo.
vi
Abstract of Dissertation presented to UFJF as a partial fulfillment of the requirements
for the degree of Master of Sciences (M.Sc.).
THREE-PHASE DISTRIBUTION TRANSFORMERS MODELING TO LOAD
FLOW STUDIES
FABRÍCIO LUIZ SILVA
September / 2004
Supervisor: Márcio de Pinho Vinagre, D.Sc.
Department: Electrical Engineering
This work proposes a mathematical model to represent three-phase distribution
transformers for load flow studies using phase-coordinates. The three-phase
transformers are represented by admittance matrix obtained from transformers
equivalent magnetic circuit analysis. As input data, the model requires the leakage
reactance, magnetizing reactance and resistances of the transformer windings; these
parameters are easily obtained from standard tests. Using node incidence matrix easily
represents the various possible three-phase transformers connections. Moreover, there
are no restrictions for representation of either the core-type or shell-type transformers.
The model presents numerical robustness and also permits the representation of the
three-winding transformers and the utilization of the grounding impedance on both sides
of the transformer, in such a way that the neutral conductor can be represented.
The transformer model proposed has been incorporated in a three-phase power flow
using the current injection method (TCIM) in MATLAB. The proposed model has been
implemented and the results compared with the ones obtained from laboratory tests, in
order to validate the model.
vii
Índice
Lista de Figuras.................................................................................................................x
Lista de Tabelas...............................................................................................................xii
Capítulo I - Introdução ..................................................................................................... 1
Os sistemas de distribuição de energia elétrica em geral são grandes e complexos,
e as empresas distribuidoras de energia elétrica procuram cada vez mais operá-los de
forma otimizada, buscando a redução dos custos operacionais assim como a redução das
perdas de energia. Em paralelo aos aspectos anteriormente descritos, a crescente
penetração da informática em todas as atividades econômicas, a automação de linhas de
produção juntamente com complexos processos industriais, vêm tornando crescentes as
exigências dos consumidores em relação à qualidade e à confiabilidade dos serviços de
fornecimento de energia elétrica. Dentro deste cenário têm-se elevado o número de
medições e simulações com o objetivo de assegurar a mais completa integridade dos
sistemas de distribuição de energia elétrica.
A análise destes sistemas através de medições permite verificar o exato estado da
rede elétrica, porém para que as medidas efetuadas sejam confiáveis necessita-se da
experiência prévia de técnicos e engenheiros, além de equipamentos sofisticados que
normalmente possuem um custo elevado. Devido ao tamanho dos sistemas de
distribuição torna-se praticamente inviável a instalação de equipamentos de medição em
todos os pontos do mesmo, restringindo assim consideravelmente o seu estudo.
Com o desenvolvimento dos programas voltados para o estudo dos sistemas
elétricos de potência, a análise através de simulações apresenta-se como uma alternativa
eficiente, pois possibilita avaliar todo o sistema, desde as subestações de distribuição até
os ramais secundários que interligam os consumidores ao mesmo. Estas ferramentas
permitem ainda avaliar o sistema para diferentes cenários, onde se podem fazer
previsões quanto ao estado da rede elétrica com grande precisão.
Porém, para que seja feito um estudo consistente dos sistemas de distribuição
através de simulações são necessárias ferramentas robustas, onde o cálculo do fluxo de
potência se destaca como sendo uma das ferramentas mais utilizadas no estudo do
planejamento, controle e operação dos sistemas elétricos de potência. Além disso, é
Capítulo I - Introdução
2
imprescindível que os vários componentes destes sistemas (condutores,
transformadores, geradores, cargas, etc) sejam representados por modelos matemáticos
adequados que reproduzam seus comportamentos reais. Os parâmetros de entrada
requeridos pelos modelos também são importantes, pois dados incorretos levarão aos
usuários dos programas resultados errôneos, podendo ocasionar sérios erros na operação
e planejamento dos sistemas de distribuição.
Dentre os dispositivos que compõem tais sistemas, o transformador pode ser
considerado como sendo o equipamento mais comum. Contudo, a incorporação dos
transformadores em ferramentas de análise de sistemas elétricos trifásicos pode ser
problemática devido ao grande número destes equipamentos na rede, à variedade de
conexões e às formas de representação (DUGAN, 2003). Assim, o impacto dos
inúmeros transformadores no estudo dos sistemas de distribuição de energia elétrica é
significante, pois os mesmos afetam as perdas no sistema, os métodos de aterramento,
as estratégias de proteção, etc.
Devido à grande importância dos modelos de transformadores trifásicos na análise
computacional, demandando cada vez mais o desenvolvimento de novas ferramentas
para o estudo dos sistemas elétricos de distribuição, surge assim, uma motivação para o
desenvolvimento de modelos mais abrangentes de transformadores.
I.2 Revisão Bibliográfica
Muitos modelos de componentes dos sistemas de distribuição são limitados à
análise de sistemas trifásicos equilibrados. Estes modelos são construídos supondo que
o sistema trifásico opera em condições de equilíbrio e desta forma adota-se uma
modelagem monofásica (seqüência positiva) para o problema. Considerando o circuito
monofásico equivalente na análise, são muitos os trabalhos que apresentam algoritmos
de solução do fluxo de potência, bem como modelos de componentes dos sistemas
elétricos, entre os quais se destacam TINNEY (1967); DOMMEL (1970); STOTT
(1974); MONTICELLI (1983) e DA COSTA (1999).
Entretanto, para sistemas de distribuição de energia elétrica, a simplificação
adotada não é suficiente para sua correta avaliação, pois estes sistemas são em geral
altamente desequilibrados, devido as diferentes cargas conectadas as fases, a assimetria
Capítulo I - Introdução
3
das linhas sem transposição e da existência de circuitos monofásicos, bifásicos e
trifásicos. Sendo assim é de fundamental importância o desenvolvimento de ferramentas
e modelos de componentes para a análise dos sistemas elétricos trifásicos (CHEN e
DILLON, 1974); (CHENG, 1995); (GARCIA, 2000); (GARCIA, 2001) e
(MAYORDOMO, 2002).
A referência CHEN e DILLON (1974) propõe um modelo de transformador
trifásico que possibilita representar as suas várias conexões comuns. Neste modelo os
transformadores trifásicos são representados por bancos de transformadores
monofásicos, desprezando-se assim o acoplamento magnético existente entre as fases do
transformador. Devido a algumas simplificações adotadas durante a elaboração deste
modelo, o mesmo apresenta certa dificuldade numérica em representar os
transformadores trifásicos cujos enrolamentos estejam conectados em delta.
Buscando solucionar os problemas numéricos apresentados pelo modelo de
transformador trifásico desenvolvido em CHEN e DILLON (1974) a referência CHEN
et al (1991) apresenta um aperfeiçoamento deste modelo de transformador, onde os
autores utilizam uma técnica de implementação na qual é usado um método de injeção
de correntes, possibilitando assim que a ligação dos enrolamentos do transformador em
delta possa ser representada. Em CARNEIRO E MARTINS (2003) foi desenvolvido um
trabalho que compara a matriz de admitância de barras que representa o transformador
obtido com o modelo descrito em CHEN E DILLON (1974) com uma matriz cujos
elementos foram determinados através de medições, onde pode ser verificado que as
aproximações feitas em tal modelo apresentam valores que são de certa forma
aceitáveis.
Em GORMAN e GRAINGER (1992a) e (1992b) os transformadores trifásicos são
modelados a partir da análise de seu circuito magnético equivalente, onde o mesmo é
representado por uma matriz de permeância dividida em duas componentes: uma
relacionada com o núcleo ferromagnético e a outra relacionada com os caminhos de
dispersão. Neste modelo para se determinar a matriz de admitância de barras que
representa o transformador é necessário conhecer o valor da permeabilidade magnética
do núcleo, seu comprimento médio e a sua área. Estes parâmetros em muitos casos não
são conhecidos e são difíceis de se obter, o que dificulta o uso do modelo.
No modelo desenvolvido em DUGAN e SANTOSO (2003) os transformadores
trifásicos são modelados em coordenadas de fase, onde se utiliza como parâmetros de
Capítulo I - Introdução
4
entrada as impedâncias próprias e mútuas entre as bobinas do transformador obtidas
através de medições e expressas em Ohms.
Nos sistemas de distribuição e industriais são encontrados diferentes tipos de
conexões para os transformadores trifásicos visando atender os seus inúmeros
consumidores e otimizar a operação e o planejamento do sistema. Sendo assim, para que
os modelos de transformadores trifásicos possam ser utilizados sem nenhuma limitação
quanto ao tipo de ligação de seus enrolamentos, os mesmos devem permitir que todas
estas conexões sejam representadas.
Com este objetivo a referência CHEN e CHANG (1996) propõe um modelo de
transformador trifásico que também permite representar as ligações delta aberto e Scott.
Neste modelo os transformadores trifásicos são considerados como ideais e as suas
cargas e perdas são agrupadas de maneira que o conjunto seja representado por cargas
equivalentes. Para conexões de transformadores diferentes das apresentadas no trabalho,
devem ser determinadas as novas equações que representam o transformador.
Nas referências CHEN et al (1996); DUGAN (2004) e KERSTING (2004) são
modelados os transformadores monofásicos com derivação central conectados em banco
trifásico possibilitando a alimentação de cargas monofásicas e trifásicas
simultaneamente.
Em CHEN e GUO (1996) é dada atenção especial às ligações delta aberto, Scott,
Le Blanc e Modified-Woodbridge, onde o circuito equivalente para o transformador é
obtido em componentes simétricos.
Na referência BARAN e STATON (1997) é proposto um método para inclusão
dos transformadores de distribuição na análise de alimentadores baseado em injeções de
correntes atualizadas usando-se o procedimento de ‘forward-backward sweep’.
Em HONG e WANG (1997) são investigados os impactos das diferentes
conexões dos transformadores trifásicos e dos modelos de cargas em um sistema de
potência desequilibrado. O modelo de transformador proposto no trabalho é derivado de
uma nova matriz de impedância primitiva constituída por elementos de seqüência
positiva, negativa e zero. São avaliados os modelos de carga do tipo potência constante
e impedância constante.
Os transformadores de três enrolamentos são encontrados freqüentemente em
aplicações onde existe a necessidade de utilização de duas tensões. Em OOMEN e
KOHLER (1999) é apresentado um modelo de transformador de três enrolamentos onde
o mesmo é modelado como um sistema de três barras na qual são desprezadas as
Capítulo I - Introdução
5
impedâncias mútuas entre o secundário e o terciário. De outra maneira, no modelo
apresentado em MOORTHY e HOADLEY (2002) os transformadores são modelados
em coordenadas de fase onde se podem representar os transformadores de dois e três
enrolamentos incorporando os efeitos dos acoplamentos entre as fases.
Em IRVING e AL-OTHMAN (2003) é desenvolvido um modelo de
transformador que permite representar as suas várias configurações de impedâncias de
aterramento do ponto neutro, onde os transformadores trifásicos são representados por
bancos de transformadores monofásicos.
I.3 Objetivos da Dissertação
Observa-se uma grande quantidade de artigos técnicos que enfocam a modelagem
dos transformadores, evidenciando a grande importância dos modelos de
transformadores trifásicos no estudo dos sistemas de distribuição. A maioria dos
modelos de transformadores quando incorporados em ferramentas para análise trifásica
destes sistemas apresentam alguma dificuldade, seja devido a problemas numéricos
inerentes a simplificações adotadas durante a modelagem, seja pela necessidade de
muitos parâmetros de entrada para o modelo. Esta dissertação tem como objetivo a
apresentação de um modelo geral que permita representar os transformadores trifásicos
de distribuição de dois ou três enrolamentos com suas inúmeras formas de conexões
para análise de sistemas trifásicos equilibrados e desequilibrados. Como o banco
trifásico de transformadores, matematicamente, é um caso particular do transformador
trifásico a modelagem aqui apresentada também se aplica a bancos trifásicos de
transformadores, mais freqüentes em sistemas de transmissão de energia elétrica.
I.4 Principais Contribuições da Dissertação
As principais contribuições desta dissertação podem ser resumidas nos seguintes
pontos:
Capítulo I - Introdução
6
• A modelagem proposta permite determinar a matriz de admitância
primitiva completa para representar os transformadores trifásicos através
da análise de seu circuito magnético equivalente;
• A necessidade de apenas alguns parâmetros dos transformadores como
dados de entrada, os quais podem ser obtidos por ensaios normalizados por
fabricantes, o que facilita o uso do modelo de transformador trifásico
proposto;
• O desenvolvimento de um modelo geral que permite representar tanto os
transformadores trifásicos de dois ou três enrolamentos e os bancos de
transformadores monofásicos quanto as diferentes conexões dos
transformadores de distribuição, além de se poder representar mais do que
um enrolamento por fase;
• A possibilidade de representar as impedâncias de aterramento de
transformadores;
• O desenvolvimento de um modelo matemático robusto
computacionalmente podendo ser inserido nos programas para o cálculo
do fluxo de potência sem alterar a eficiência dos métodos de solução;
• A elaboração de um método para determinar a matriz de admitância nodal
em p.u., não deixando dúvidas quanto aos valores que devem ser
escolhidos como bases para o transformador, evitando assim o uso
inadequado de bases.
I.5 Estrutura da Dissertação
Além deste capítulo, esta dissertação contém mais quatro capítulos e um apêndice,
os quais serão descritos sucintamente a seguir.
O Capítulo II apresenta as várias características importantes que devem ser
observadas durante a modelagem de transformadores e também uma breve revisão dos
principais modelos de transformadores trifásicos disponíveis na literatura.
No Capítulo III são apresentados os conceitos da modelagem do transformador
trifásico proposto por este trabalho. É apresentado também um exemplo numérico com
o objetivo de ilustrar a metodologia proposta.
Capítulo I - Introdução
7
No Capítulo IV são apresentados e discutidos os resultados referentes às
aplicações do modelo de transformador trifásico proposto em estudos de fluxo de
potência utilizando-se pequenos sistemas testes desenvolvidos em laboratório.
E finalmente no Capítulo V encontram-se as principais conclusões deste trabalho,
considerações finais e sugestões para trabalhos futuros.
No Apêndice A é apresentada uma revisão sobre o método de solução do fluxo de
potência trifásico por injeção de correntes (MICT), pois esta foi à ferramenta utilizada
para a análise dos sistemas trifásicos descritos neste trabalho.
Capítulo II
Técnicas Usuais para Modelagem de Transformadores Trifásicos para Estudos de Fluxo de Potência
II.1 Considerações Iniciais
Atualmente, o grande interesse em se representar os sistemas de potência por seus
modelos trifásicos têm levado a importantes debates com o objetivo de estabelecer
regras para a sua correta modelagem. Estes debates envolvem discussões a respeito de
qual seria a melhor ferramenta de análise dos sistemas elétricos, colocando em
confronto a modelagem utilizando o método dos componentes simétricos e a
modelagem em coordenadas de fase. Têm se discutido também como os programas para
análise dos sistemas de potência devem ser desenvolvidos, seja com os seus parâmetros
expressos em valores reais da rede (volts, amperes, ohms) ou expressos em valores por
unidade (p.u.) (DUGAN, 2003).
O tradicional sistema por unidade e o método dos componentes simétricos foram
desenvolvidos para facilitar os cálculos manuais para os sistemas trifásicos com
diferentes níveis de tensão. Muitos engenheiros defendem a idéia de que a melhor
maneira de representar o sistema elétrico é utilizando o sistema p.u. Por outro lado estão
os que se opõem ao uso destas metodologias na representação dos sistemas de potência,
tendo como premissa que a forma correta de se trabalhar com o sistema elétrico é
utilizando a sua modelagem em coordenadas de fase com os parâmetros da rede
expressos por seus valores reais. Entre as principais vantagens oferecidas por tais
metodologias, citadas em DUGAN (2003), pode-se destacar o fato de que estes valores
são características dos equipamentos, não estando sujeitos a alterações providas de
aplicações do mesmo, como também elimina a chance de confusão devido à escolha de
valores ambíguos para as bases do sistema.
Segundo DUGAN (2003), com o grande avanço dos microcomputadores,
permitindo efetuar os cálculos de maneira rápida e precisa por mais complexos que
estes sejam e a constante busca em aproximar os valores obtidos através de simulações e
Capítulo II – Técnicas Usuais para Modelagem de Transformadores Trifásicos para Estudos de Fluxo de Potência
9
medições, cria-se uma perspectiva de que a modelagem utilizando coordenadas de fase,
com os parâmetros da rede elétrica expressa por seus verdadeiros valores, seja
escolhida.
Como ainda não existe uma regra que defina a melhor ferramenta para
modelagem dos sistemas elétricos de potência, são muitos os modelos matemáticos que
visam representar os transformadores trifásicos. O objetivo deste capítulo é,
basicamente, apresentar as principais características que devem ser observadas durante a
elaboração de um bom modelo de transformador, a metodologia normalmente
empregada na modelagem, bem como alguns dos principais modelos de
transformadores trifásicos, de maneira a permitir uma comparação e a compreensão das
principais contribuições do modelo de transformador trifásico proposto por este
trabalho.
II.2 Aspectos Básicos Sobre Modelagem de Transformadores Trifásicos
O procedimento adotado na modelagem de transformadores deve ser adequado de
forma a possibilitar a representação fiel dos vários tipos de transformadores trifásicos
existentes. Normalmente os transformadores são modelados em termos de seus
componentes simétricos. São utilizadas como parâmetros de entrada as suas
impedâncias de dispersão, obtidas através do teste de curto-circuito, expressas em
valores por unidade (p.u.). Em estudos de fluxo de potência os efeitos não lineares da
saturação do núcleo ferromagnético podem ser desprezados. Segundo KERSTING et al
(1999) as principais características que devem ser observadas nos modelos de
transformadores trifásicos são:
• Os modelos de transformadores trifásicos para estudos de fluxo de
potência devem satisfazer as leis de Kirchhoff de tensão e corrente, bem
como as relações existentes entre estas grandezas elétricas nos dois lados
do transformador;
• Os modelos de transformadores trifásicos devem ser capazes de
representar as suas várias formas de conexões;
• Caso exista qualquer mudança no ângulo de fase das grandezas elétricas,
entre primário e secundário resultante de uma conexão em particular, o
Capítulo II – Técnicas Usuais para Modelagem de Transformadores Trifásicos para Estudos de Fluxo de Potência
10
modelo de transformador deve ser capaz de representar esta diferença de
fase naturalmente, sem a introdução de fatores extras, por exemplo: o
aparecimento inesperado do termo 3 , ou fatores complexos ( 6πj
e e
6π
je−
), forçando o resultado correto;
• Por fim, é de extrema importância, que os modelos de transformadores
trifásicos utilizados nas ferramentas de análise dos sistemas elétricos
apresentem tensões e correntes que se aproximem ao máximo das
grandezas elétricas do equipamento real.
II.3 Representação dos Transformadores Trifásicos no Problema de Fluxo de Potência
Nas ferramentas trifásicas desenvolvidas para análise dos sistemas de distribuição,
os transformadores trifásicos são representados por uma matriz de admitância de barras
que contém as admitâncias próprias e mútuas entre as fases do transformador e a
informação de como as bobinas dos transformadores estão conectadas. A Figura 1
apresenta um transformador trifásico entre as barras K e M representado por sua matriz
admitância de barras.
YABC
A
K
B C A B C
M
Primário SecundárioMatrizAdmitância de
Barras
Barra
Figura 1 – Diagrama para representar os transformadores trifásicos
Capítulo II – Técnicas Usuais para Modelagem de Transformadores Trifásicos para Estudos de Fluxo de Potência
11
Uma forma eficiente de obter a matriz que representa o transformador é utilizando
a teoria da matriz primitiva de Kron. Por meio desta metodologia os transformadores
trifásicos são representados a partir de uma matriz de admitância primitiva ( primY ), a
qual é obtida sem levar em consideração a maneira como as bobinas dos
transformadores estão conectadas. Os vários tipos de ligações trifásicas para os
transformadores são representados facilmente pela matriz de incidência nodal ( A ).
Desta forma a matriz de admitância de barras que representa os transformadores
trifásicos com suas respectivas conexões pode ser determinada por um simples produto
de matrizes ( tbarra primY A Y A= ).
Para que se possa compreender como os modelos de transformadores trifásicos
que são apresentados neste trabalho foram desenvolvidos, esta metodologia será descrita
detalhadamente a seguir.
II.3.1 Matriz Admitância Primitiva
Nos sistemas de distribuição de energia elétrica são encontrados inúmeros
transformadores, onde estes assumem comportamentos diferentes devido ao seu aspecto
construtivo e tipos de ligações. Quanto ao aspecto construtivo os transformadores
utilizados nos sistemas trifásicos podem ser trifásicos ou constituídos de bancos de
transformadores monofásicos. Nos primeiros os enrolamentos dos transformadores
estão envoltos ou envolvidos em um único núcleo ferromagnético, de maneira que
exista um total acoplamento magnético entre as fases do transformador. A Figura 2
ilustra alguns tipos de núcleos empregados na construção de transformadores trifásicos.
Os bancos de transformadores são constituídos de três transformadores
monofásicos, agrupados de forma a serem usados como se fosse um transformador
trifásico.
Capítulo II – Técnicas Usuais para Modelagem de Transformadores Trifásicos para Estudos de Fluxo de Potência
12
(a) (b)
(c)
Figura 2 – Tipos de configurações de núcleos trifásicos. (a) Núcleo trifásico de três pernas (b) Núcleo trifásico de quatro pernas (c) Núcleo trifásico de cinco pernas
Independentemente do tipo de núcleo empregado na construção dos
transformadores trifásicos, para um transformador com um enrolamento no primário e
um enrolamento no secundário para cada fase, comumente chamado de transformador
trifásico de dois enrolamentos, a matriz de impedância primitiva que o representa é dada
pela Equação (2.1), onde para transformadores construídos em núcleos trifásicos esta
matriz apresenta-se cheia, ou seja, com todos os seus elementos diferentes de zero.
p p p p p p s p s p s
p p p p p p s p s p s
p p p p p p s p s p s
s p s p s p s s s s s
s p s p s p s s s s s
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A A B A C A A A B A C
B A B B C B A B B B C
C A C B C C A C B C C
primA A A B A C A A B A C
B A B B B C B A A B C
C A C B C C C A C B A
Z Z Z Z Z Z
Z Z Z Z Z Z
Z Z Z Z Z ZZ
Z Z Z Z Z Z
Z Z Z Z Z Z
Z Z Z Z Z Z
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥
= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
(2.1)
Capítulo II – Técnicas Usuais para Modelagem de Transformadores Trifásicos para Estudos de Fluxo de Potência
13
Onde:
CBA e , : Representam as fases;
sp e : Representam as grandezas do primário e do secundário respectivamente.
Em bancos de transformadores monofásicos, como os enrolamentos das fases
estão envoltos ou envolvidos em núcleos distintos, as impedâncias mútuas entre as fases
diferentes são nulas, como mostra a Equação (2.2).
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
p p s
p p s
p p s
s p s
s p s
s p s
A A A
B B B
C C C
primA A A
B B A
C C A
Z Z
Z Z
Z ZZ
Z Z
Z Z
Z Z
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥
= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
(2.2)
A Equação (2.1) pode ser escrita na sua forma compacta, como mostra a Equação
(2.3).
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡= ABC
sABCsp
ABCps
ABCpABC
prim ZZZZ
Z (2.3)
A matriz de admitância primitiva é calculada por:
( ) 1
prim primY Z−
= (2.4)
Para que se obtenha bons resultados nas simulações todos os elementos que
compõem a matriz de impedância primitiva devem ser determinados. Estes elementos
podem ser obtidos através de medições energizando-se o enrolamento x ( [ ], ,x A B C∈ )
do lado y ( [ ],y p s∈ ) e aplicando-se curto circuito nos demais enrolamentos (GARCIA,
2001). Desta forma todos os elementos da matriz de impedância primitiva serão
calculados pela Equação (2.5).
Capítulo II – Técnicas Usuais para Modelagem de Transformadores Trifásicos para Estudos de Fluxo de Potência
Para representar as conexões dos transformadores o autor propõe um novo método
de implementação, com o objetivo de evitar qualquer problema referente à ligação delta,
onde o transformador tem os seus enrolamentos primário e secundário conectados à
referência antes que a eles sejam aplicadas as suas verdadeiras conexões, como mostra a
Figura 6.
Capítulo II – Técnicas Usuais para Modelagem de Transformadores Trifásicos para Estudos de Fluxo de Potência
25
N1:1 Y1
Y1
Y1
N1:1
N1:1
1: N2
1: N2
1: N2
Estrela Delta
Yw
Yprim
Figura 6 – Esquema de ligação para um transformador trifásico de dois enrolamentos conectado em Y-
Delta.
A matriz admitância de barras que representa o transformador é dada por:
( ) ttt
primbarra ANBZANBY 1−= (2.18)
Onde:
B: É uma matriz de incidência com dimensões (m x m-1), cujos elementos são
compostos por 1, -1 e 0;
A: É a matriz de incidência nodal, como descrita na seção II.3.2;
N: É uma matriz diagonal, quadrada, de ordem m que contém como elementos
diferentes de zero, o inverso do número de espiras dos enrolamentos.
O modelo elaborado por DUGAN e SANTOSO (2003) não apresenta fatores que
forçam o aparecimento do resultado correto como em CHEN e DILLON (1974), mas o
mesmo exige que todas as impedâncias próprias e mútuas entre os enrolamentos do
transformador sejam conhecidas, parâmetros estes, como mencionado anteriormente,
Capítulo II – Técnicas Usuais para Modelagem de Transformadores Trifásicos para Estudos de Fluxo de Potência
26
são difíceis de se obter devido ao grande número de transformadores presentes nos
sistemas de distribuição.
II.5 Sumário do Capítulo
Este capítulo apresenta primeiramente, as principais características que um bom
modelo de transformador trifásico deve apresentar. Foi descrita uma metodologia muito
utilizada para incorporar os transformadores no problema de fluxo de potência
utilizando coordenadas de fase. Os transformadores trifásicos são comumente
representados por uma matriz de admitância de barras, na qual podem ser inseridas as
características do núcleo ferromagnético e de seus enrolamentos, bem como a maneira
em que estes estão conectados.
Em seguida são apresentados alguns dos principais modelos de transformadores
trifásicos existentes na literatura. Os modelos visam representar os bancos de
transformadores monofásicos e os transformadores trifásicos de dois e três
enrolamentos, onde podem ser observadas todas as particularidades que envolvem a
representação dos transformadores trifásicos.
Capítulo III
Modelo de Transformador Trifásico Proposto
III.1 Considerações Iniciais
A metodologia que utiliza matrizes primitivas para representar os transformadores
trifásicos tem se apresentado como uma ferramenta matematicamente robusta e de fácil
implementação. No intuito de contribuir com as ferramentas para análise dos sistemas
de distribuição, que normalmente são altamente desequilibrados, exigindo que a rede
elétrica seja representada por seus modelos completos, apresenta-se neste capítulo um
novo modelo de transformador trifásico baseado nesta mesma metodologia onde o
mesmo difere dos demais modelos apresentados até aqui, principalmente quanto à forma
de obter a matriz de admitância primitiva, bem como ao cálculo da mesma em valores
por unidade.
A seguir são descritos detalhadamente os conceitos utilizados na elaboração do
modelo de transformador trifásico proposto por este trabalho.
III.2 Modelo Proposto para Representar os Transformadores Trifásicos de Distribuição
III.2.1 Determinação da Matriz Admitância Primitiva para o Transformador Trifásico
O primeiro passo para se determinar o modelo de transformador descrito neste
trabalho, é a obtenção de sua matriz de admitância primitiva. Esta matriz não representa
uma conexão particular do transformador e pode ser obtida através da inversão da
matriz impedância primitiva. Neste trabalho iremos considerar um transformador
trifásico de distribuição, com núcleo de três pernas e com dois enrolamentos no
secundário para cada fase. Desta maneira é possível representar os transformadores
trifásicos de três enrolamentos e ligações como a estrela ziguezague.
Capítulo III – Modelo de Transformador Trifásico Proposto
28
A Figura 7 ilustra o circuito magnético equivalente para este transformador. Os
pontos marcados nas bobinas indicam o sentido positivo da tensão induzida.
VAs
IBp
IBs
IBtIAt
IAs
IAp ICp
ICs
ICt
VBp
VBt
VAp
VAt
VCp
VCt
VBs VCs
Figura 7 – Circuito magnético equivalente para um transformador trifásico de três enrolamentos.
Por inspeção pode-se observar que o circuito magnético da Figura 7 pode ser
representado por uma matriz de impedância primitiva contendo as impedâncias próprias
e mútuas entre as fases do transformador, como mostra a Equação (3.1).
Ap ApBp ApCp ApAs ApBs ApCs ApAt ApBt ApCt
BpAp Bp BpCp BpAs BpBs BpCs BpAt BpBt BpCt
CpAp CpBp Cp CpAs CpBs CpCs CpAt CpBt CpCt
AsAp AsBp AsCp As AsBs AsCs AsAt AsBt AsCt
BsAp BsBp BsCp BsAs Bprim
Z Z Z Z Z Z Z Z ZZ Z Z Z Z Z Z Z ZZ Z Z Z Z Z Z Z ZZ Z Z Z Z Z Z Z ZZ Z Z Z ZZ = s BsCs BsAt BsBt BsCt
CsAp CsBp CsCp CsAs CsBs Cs CsAt CsBt CsCt
AtAp AtBp AtCp AtAs AtBs AtCs At AtBt AtCt
BtAp BtBp BtCp BtAs BtBs BtCs BtAt Bt BtCt
CtAp CtBp CtCp CtAs CtBs CtCs CtAt CtBt Ct
Z Z Z ZZ Z Z Z Z Z Z Z ZZ Z Z Z Z Z Z Z ZZ Z Z Z Z Z Z Z ZZ Z Z Z Z Z Z Z Z
⎡⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎤⎥⎥⎥⎥⎥
⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎦
(3.1)
Onde:
, e p s t : Representam as grandezas do primário, secundário e terciário
respectivamente.
, e A B C : Representam as fases.
Capítulo III – Modelo de Transformador Trifásico Proposto
29
Na Equação (3.1) somente as impedâncias da diagonal principal da matriz
possuem parte real, devido às resistências dos enrolamentos do transformador, como
mostra a Equação (3.2).
p p p p p p p s p s p s p t p t p t
p p p p p p p s p s p s p t p t p t
p p p p p p p s p s p s p t p t p t
s p s p s p s s
A A A B A C A A A B A C A A A B A C
B A B B B C B A B B B C B A B B B C
C A C B C C C A C B C C C A C B C C
A A A B A C A A
prim
R jX jX jX jX jX jX jX jX jX
jX R jX jX jX jX jX jX jX jX
jX jX R jX jX jX jX jX jX jX
jX jX jX R jX
Z
+
+
+
+
=s s s s s t s t s t
s p s p s p s s s s s s s t s t s t
s p s p s p s s s s s s s t s t s t
t p t p t p t s t s t s t t t t t t
A B A C A A A B A C
B A B B B C B A B B B C B A B B B C
C A C B C C C A C B C C C A C B C C
A A A B A C A A A B A C A A A B A C
jX jX jX jX jX
jX jX jX jX R jX jX jX jX jX
jX jX jX jX jX R jX jX jX jX
jX jX jX jX jX jX R jX jX jX
jX
+
+
+
t p t p t p t s t s t s t t t t t t
t p t p t p t s t s t s t t t t t t
B A B B B C B A B B B C B A B B B C
C A C B C C C A B B C C C A C B B B
jX jX jX jX jX jX R jX jX
jX jX jX jX jX jX jX jX R jX
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥
+⎢ ⎥⎢ ⎥
+⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
(3.2)
Escrevendo a Equação (3.1) na sua forma compacta, utilizando submatrizes
contendo as impedâncias primitivas dos ramos, tem-se:
ABC ABC ABCp ps pt
ABC ABC ABC ABCprim sp s st
ABC ABC ABCtp ts t
Z Z ZZ Z Z Z
Z Z Z
⎡ ⎤⎢ ⎥
= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
(3.3)
Para que o modelo de transformador proporcione bons resultados é necessário que
os valores de todas estas impedâncias sejam conhecidos. Considerando a natureza
recíproca da impedância mútua, o que torna a matriz da Equação (3.1) simétrica, para
determinar todos os elementos desta matriz, basta conhecer os elementos da parte
triangular superior. As resistências dos enrolamentos do transformador podem ser
obtidas a partir da folha de dados do transformador ou determinadas facilmente por
medição direta da resistência ou através do ensaio de curto-circuito. Para determinar as
reatâncias serão feitas as seguintes considerações em relação às indutâncias próprias e
mútuas do transformador:
• Indutâncias próprias dos enrolamentos primário, secundário e terciário.
Ap Bp CpL L L= = (3.4)
Capítulo III – Modelo de Transformador Trifásico Proposto
30
As Bs CsL L L= = (3.5)
At Bt CtL L L= = (3.6)
• Indutâncias mútuas entre os enrolamentos primário e secundário, primário e
terciário e secundário e terciário de mesma fase.
ApAs BpBs CpCsL L L= = (3.7)
ApAt BpBt CpCtL L L= = (3.8)
AsAt BsBt CsCtL L L= = (3.9)
• Indutâncias mútuas entre os enrolamentos de fases diferentes.
ApBp BpCp CpApL L L= = (3.10)
AsBs BsCs CsAsL L L= = (3.11)
AtBt BtCt CtAtL L L= = (3.12)
ApBs ApCs BpAs BpCs CpAs CpBsL L L L L L= = = = = (3.13)
AsBt AsCt BsAt BsCt CsAt CsBtL L L L L L= = = = = (3.14)
ApBt ApCt BpAt BpCt CpAt CpBtL L L L L L= = = = = (3.15)
A indutância é definida como sendo o enlace de fluxo dividido pela corrente
elétrica que o produz (COMPTON, 1943):
LIλ
= (3.16)
O enlace de fluxo em um enrolamento k será :
1
M
k i ii
Nλ φ=
=∑ (3.17)
Onde:
Capítulo III – Modelo de Transformador Trifásico Proposto
31
M é o número de espiras do enrolamento k;
Φi é fluxo que atravessa a i-ésima espira.
O fluxo magnético é a razão entre a força magnetomotriz e a relutância do circuito
magnético.
NIφ =ℜ
(3.18)
Desta forma, sem considerar o tipo de núcleo ou o número de bobinas do
transformador as indutâncias próprias e mútuas podem ser obtidas de acordo com as
Equações (3.19) e (3.20) respectivamente.
2
pp dNL L= +ℜ
(3.19)
2
mNL = ±ℜ
(3.20)
Onde:
dL : É a indutância de dispersão.
As indutâncias próprias são compostas de duas parcelas: uma devido ao fluxo de
dispersão e a outra devido ao fluxo de magnetização. Devido ao caráter construtivo do
núcleo trifásico, algumas indutâncias mútuas em um transformador possuem sinais
negativos. Esta particularidade será observada nas indutâncias mútuas entre os
enrolamentos de fases diferentes.
Substituindo o circuito magnético que representa o transformador trifásico de três
enrolamentos mostrado na Figura 7 pelo seu análogo elétrico como ilustra a Figura 8,
onde é considerado que o fluxo magnetizante de projeto leva a uma relutância constante
(Compton, 1943), cada perna do circuito magnético pode ser modelada por uma
relutância 1R em série com uma força magnetomotriz; esta é dada pelo produto do
número de espiras pela corrente elétrica que nela circula ( NI ).
Capítulo III – Modelo de Transformador Trifásico Proposto
32
R1 R1R1
N p IAp N p ICpN p IBp
N s IAs N s ICsN s IBs
N t ICtN t IBtN t IAt
Figura 8- Circuito magnético equivalente para um transformador trifásico com um enrolamento no primário e dois enrolamentos no secundário para cada fase.
Desta forma utilizando-se os conceitos anteriormente descritos as indutâncias
denotadas nas Equações (3.4) a (3.15), serão determinadas de acordo com as equações
a seguir:
• Indutâncias próprias.
2
1
23
fmf d mf
NL L
R= + (3.21)
• Indutâncias mútuas de mesma fase.
1
2 , com 3
f gmfmg
N NL f g
R= ≠ (3.22)
• Indutâncias mútuas de fases diferentes.
1
1 , com 3
f gmfng
N NL m n
R= − ≠ (3.23)
Onde:
,m n : Representam as fases A,B ou C.
Capítulo III – Modelo de Transformador Trifásico Proposto
33
,f g : Representa o primário (p), secundário (s) ou terciário (t) do transformador.
N : É o número de espiras de cada bobina.
Como pode ser observado pela Equação (3.22), para um transformador com este
tipo de núcleo, a indutância de magnetização vista do primário em relação ao secundário
pode ser expressa pela Equação (3.24).
1
23
p sM
N NL
R= (3.24)
Nas Equações (3.21), (3.22) e (3.23) a relutância 1R é uma variável indesejável,
visto que, para se determinar a mesma deve-se conhecer a permeabilidade do material
ferromagnético do qual o núcleo do transformador foi fabricado, seu comprimento
médio e sua área, parâmetros importantes no projeto do transformador mas
indisponíveis nas folhas de dados do transformador. Para contornar esta dificuldade,
explicita-se a relutância 1R na Equação (3.24), substituindo-a nas equações (3.21),
(3.22) e (3.23) e multiplicando-as por jω as reatâncias primitivas serão calculadas
pelas equações:
2f
mf dmf Mp s
NjX jX jX
N N= + (3.25)
, com f gmfmg M
p s
N NjX jX f g
N N= ≠ (3.26)
1 , com 2
f gmfng M
p s
N NjX jX m n
N N= − ≠ (3.27)
Onde:
dX : É a reatância de dispersão.
MX : É a reatância de magnetização vista do primário.
Com as manipulações feitas anteriormente pode-se determinar a matriz de
impedância primitiva da Equação (3.1) bastando-se conhecer as reatâncias de dispersão,
Capítulo III – Modelo de Transformador Trifásico Proposto
34
a reatância de magnetização e as resistências dos enrolamentos. Estes parâmetros são
facilmente obtidos pelos ensaios de curto-circuito e de circuito aberto ou fornecidos
pelos fabricantes. O número de espiras dos enrolamentos dos transformadores
normalmente não são conhecido, mas, devido ao fato de se operar somente com razões
entre espiras nas Equações (3.25) a (3.27), pode-se considerar que tais relações são
iguais as próprias tensões em suas bobinas.
A matriz de admitância primitiva que representa o transformador é dada pela
Equação (3.28).
1
prim primY Z −= (3.28)
III.2.2 Representação das Impedâncias de Aterramento de Transformadores
Em configurações nas quais os enrolamentos dos transformadores são ligados em
estrela, o ponto comum da ligação, ou ponto neutro, pode apresentar as seguintes
características em relação ao nó terra:
1. Neutro do transformador não aterrado;
2. Neutro do transformador aterrado por impedâncias;
3. Neutro do transformador solidamente aterrado.
Para que o modelo possa retratar os transformadores com precisão, estes tipos de
ligações devem ser representados (IRVING, 2003). Uma forma eficaz de representar
estas conexões é acrescentar linhas e colunas adicionais na Equação (3.1) o que leva à
Equação (3.29).
Capítulo III – Modelo de Transformador Trifásico Proposto
35
0 0 00 0 00 0 00 0 0
Ap ApBp ApCp ApAs ApBs ApCs ApAt ApBt ApCt
BpAp Bp BpCp BpAs BpBs BpCs BpAt BpBt BpCt
CpAp CpBp Cp CpAs CpBs CpCs CpAt CpBt CpCt
AsAp AsBp AsCp As AsBs AsCs AsAt AsBt AsCt
BsAp BsBp
prim
Z Z Z Z Z Z Z Z ZZ Z Z Z Z Z Z Z ZZ Z Z Z Z Z Z Z ZZ Z Z Z Z Z Z Z ZZ Z
Z =
0 0 00 0 00 0 00 0 0
BsCp BsAs Bs BsCs BsAt BsBt BsCt
CsAp CsBp CsCp CsAs CsBs Cs CsAt CsBt CsCt
AtAp AtBp AtCp AtAs AtBs AtCs At AtBt AtCt
BtAp BtBp BtCp BtAs BtBs BtCs BtAt Bt BtCt
CtAp CtBp CtCp CtAs CtBs
Z Z Z Z Z Z ZZ Z Z Z Z Z Z Z ZZ Z Z Z Z Z Z Z ZZ Z Z Z Z Z Z Z ZZ Z Z Z Z Z 0 0 0