INSTITUTO MILITAR DE ENGENHARIA 1 O ¯ TEN JOSÉ CARLOS LEÃO VELOSO SILVA MODELAGEM, CONTROLE E SIMULAÇÃO DA DINÂMICA ELETROMECÂNICA DE UMA MICRO USINA HIDRELÉTRICA NA AMAZÔNIA Dissertação de Mestrado apresentada ao Curso de Mestrado em Engenharia Elétrica do Instituto Militar de Engenharia, como requisito parcial para obtenção do título de Mestre em Ciências em Engenharia Elétrica. Orientador: Paulo César Pellanda, Dr. ENSAE, Maj QEM Co-orientador: José Carlos Cesar Amorim, Dr. INPG Rio de Janeiro 2003
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MODELAGEM, CONTROLE E SIMULA˙ˆO DA DIN´MICA … · instituto militar de engenharia 1o ten josÉ carlos leˆo veloso silva modelagem, controle e simula˙ˆo da din´mica eletromec´nica
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INSTITUTO MILITAR DE ENGENHARIA
1O¯ TEN JOSÉ CARLOS LEÃO VELOSO SILVA
MODELAGEM, CONTROLE E SIMULAÇÃO DA DINÂMICA
ELETROMECÂNICA DE UMA MICRO USINA
HIDRELÉTRICA NA AMAZÔNIA
Dissertação de Mestrado apresentada ao Curso deMestrado em Engenharia Elétrica do Instituto Militarde Engenharia, como requisito parcial para obtenção dotítulo de Mestre em Ciências em Engenharia Elétrica.
Orientador: Paulo César Pellanda, Dr. ENSAE, MajQEMCo-orientador: José Carlos Cesar Amorim, Dr. INPG
Rio de Janeiro
2003
c2003
INSTITUTO MILITAR DE ENGENHARIAPraça General Tibúrcio, 80-Praia VermelhaRio de Janeiro-RJ CEP 22290-270
Este exemplar é de propriedade do Instituto Militar de Engenharia, que poderá incluí-lo em base de dados, armazenar em computador, microfilmar ou adotar qualquer formade arquivamento.
É permitida a menção, reprodução parcial ou integral e a transmissão entre bibliote-cas deste trabalho, sem modificação de seu texto, em qualquer meio que esteja ou venhaa ser fixado, para peqsquisa acadêmica, comentários e citações, desde que sem finalidadecomercial e que seja feita a referência bibliográfica completa.
Os conceitos expressos neste trabalho são de responsabilidade do(s) autor(es) e do(s)orientador(es).
S586 Silva, José Carlos L.V.Modelagem, Controle e Simulação da Dinâmica Eletromecânica de Uma
Micro Usina Hidrelétrica na Amazônia. / José Carlos Leão Veloso Silva. -Rio de Janeiro : Instituto Militar de Engenharia, 2003.
136 p. : il., graf., tab.
Dissertação (mestrado) - Instituto Militar de Engenharia - Rio de Janeiro,2003.
1. Modelagem Matemática de SEP. 2. Projeto de reguladores de tensão ede velocidade. 3. Simulação não-linear. I. Instituto Militar de Engenharia.II. Título.
CDD 629.8312
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INSTITUTO MILITAR DE ENGENHARIA
1O¯ TEN JOSÉ CARLOS LEÃO VELOSO SILVA
MODELAGEM, CONTROLE E SIMULAÇÃO DA DINÂMICA
ELETROMECÂNICA DE UMA MICRO USINA HIDRELÉTRICA NA
AMAZÔNIA
Dissertação de Mestrado apresentada ao Curso de Mestrado em Engenharia Elétricado Instituto Militar de Engenharia, como requisito parcial para obtenção do título deMestre em Ciências em Engenharia Elétrica.
Orientador: Paulo César Pellanda, Dr. ENSAE, Maj QEMCo-orientador: José Carlos Cesar Amorim, Dr. INPG
Aprovada em 19 de dezembro de 2003 pela seguinte Banca Examinadora:
Paulo César Pellanda, Dr. ENSAE, Maj QEM do IME - Presidente
José Carlos Cesar Amorim, Dr. INPG do IME
Mário Cesar Mello Massa de Campos, Dr. ECP do CENPES
Antonio Eduardo Carrilho da Cunha, Dr. Eng do IME
Rio de Janeiro2003
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A meus pais, Paulo e Vera; a meus irmãos, Ana Paulae José Paulo; a minha avó Dulce; e a meus familia-res e amigos, por me mostrarem que "Vale a Pena...".
"Os que lançam as sementes entre lágrimas, ceifa-rão com alegria.Chorando de tristeza sairão, espalhando suas semen-tes; cantando de alegria voltarão, carregando os seusfeixes!" (Sl. 125)
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AGRADECIMENTOS
Ao Exército Brasileiro, ao Instituto Militar de Engenharia, e em especial ao Depar-
tamento de Engenharia Elétrica, pela oportunidade que me deram de realizar este curso
de Mestrado.
Aos professores do Grupo de Sistemas de Controle deste Instituto, e de modo todo
especial aos professores Coronel Geraldo Magela Pinheiro Gomes e Major Roberto Ades,
pelos ensinamentos, paciência, compreensão e amizade. Ao Coronel Pinheiro e ao Major
Ades a minha mais sincera gratidão.
Ao professor Glauco Nery Taranto (COPPE/UFRJ) pelo conhecimento transmitido,
pelas sugestões e esclarecimentos fundamentais dados em relação a sistemas de potência.
Ao professor e membro da banca examinadora, Capitão Antônio Eduardo Carrilho
da Cunha (IME), pelas diversas dúvidas que me sanou, por sua solicitude e pela valiosa
contribuição dada a este trabalho.
Ao professor Mário Cesar Mello Massa de Campos (CENPES) pelos conhecimentos
transmitidos na cadeira de Introdução à Neuro-Computação e durante a confecção desta
dissertação, sobretudo com relação à lógica fuzzy, tópico fundamental deste trabalho.
Por sua amizade e gentileza em aceitar participar da banca, contribuindo em muito para
o aprimoramento desta dissertação.
Aos companheiros de mestrado, e em particular a meus caros amigos 10 Ten Trajano
Alencar de Araújo Costa, do Departamento de Engenharia Mecânica, pelas mais variadas
explicações e conselhos, e por seu apoio; 10 Ten José Julimá Bezerra Júnior e 10 Ten
Alberto Mota Simões, ambos do Grupo de Sistemas de Controle do Departamento de
Engenharia Elétrica, pelo enorme privilégio que me deram de suas amizades.
Aos meus familiares, por me fazerem prosseguir, mesmo quando tudo parece concorrer
para que eu pare.
Ao professor José Carlos Cesar Amorim (IME), por sua co-orientação, sobretudo nos
assuntos relativos ao sistema hidráulico, e por ter acreditado em mim sendo um grande
incentivador deste trabalho.
Ao professor Major Paulo César Pellanda (IME), pela confiança em mim depositada
ao aceitar orientar esta dissertação, e pela forma como a conduziu, estando sempre ao
meu lado nos momentos mais difíceis, sacrificando, inclusive, horas de descanso com sua
família. Ao Major Pellanda o meu mais profundo respeito, admiração e agradecimento.
Esta dissertação descreve a modelagem da dinâmica eletromecânica de um SistemaElétrico de Potência (SEP) de geração isolada, tendo-se como referência uma Micro UsinaHidrelétrica pertencente ao Exército Brasileiro instalada na Amazônia. O projeto de re-guladores de tensão e de velocidade também é abordado neste trabalho, sendo o desem-penho de ambos avaliado por intermédio de simulações computacionais realizadas combase nos modelos não-lineares das plantas elétrica e hidráulica.
Os desenvolvimentos relacionados ao regulador de tensão dividem-se em três partesprincipais: a linearização analítica do sistema elétrico em diferentes pontos de operação;a obtenção de reguladores para os modelos linearizados do sistema a partir de técnicas decontrole linear; e o emprego de um método de interpolação (ou tabelamento) dos ganhosdesses reguladores via lógica fuzzy.
O projeto do regulador de velocidade envolve a implementação de vários diagramasde bloco e de metodologias que permitem a execução das simulações desejadas.
A simulação não-linear de toda a dinâmica do SEP é baseada no uso do pacote S-Function do programa Matlab/Simulink, responsável por resolver as Equações Algébrico-Diferenciais (EAD) que modelam esse sistema. A S-Function é ainda aplicada na line-arização do sistema elétrico via perturbação numérica. Esse resultado é comparado,com base na teoria referente a valores singulares de matrizes e sistemas, com o obtidoanaliticamente. É constatada a equivalência dos dois métodos.
Com relação ao controle das oscilações eletromecânicas em sistemas elétricos isolados,os resultados deste trabalho mostram claramente que a abordagem normalmente adotadana prática pode não proporcionar a melhor qualidade da energia gerada.
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ABSTRACT
This dissertation describes the electromechanical dynamics modelling of an IslandingPower System. A Micro Hydroelectric Station belonging to the Brazilian Army installedin the Amazon Forest is used as a reference. The design of voltage and frequency regu-lators is also exploited in this work. Their performance are evaluated through computa-cional simulations that are based on the nonlinear models of the electric and hydraulicplants.
The development related to the voltage regulator is threefold: the analytical line-arization of the electric system at different operating conditions; the design of a set ofregulators corresponding to the set of linearized models through linear control techniques;and the application of a gain scheduling control method to these regulators that is basedon a fuzzy logic approach.
The design of the frequency regulator involve the implementation of several blockdiagrams and methodologies that allow the running of the desired simulations.
The nonlinear simulation of the overall Power System dynamic is performed by usingthe S-Function package, which is responsible for solving the Differential Algebraic Equa-tions (DAE) that model the system. The S-Function is also used to linearize the electricalsystem model via a numerical perturbation strategy. Through the use of singular valueconcept applied to matrices and systems, this result is compared with that obtained bythe analytical method. The equivalency of both methods is verified.
Regarding to the control of electromechanical oscillations in Islanding Power System,the results of this work clearly show that the approach normally adopted in practice maynot provide the best quality of the generated energy.
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1 INTRODUÇÃO
1.1 POSICIONAMENTO E MOTIVAÇÃO
Um sistema elétrico de potência (SEP) pode ser resumidamente definido como sendo
aquele cuja função essencial é converter uma dada modalidade energética, obtida a par-
tir de uma fonte primária (que pode ser hidráulica, nuclear, fóssil, etc.), em energia
elétrica, transportando-a ao consumidor. Para tanto, uma quantidade significativa de
dispositivos, dinâmicos ou estáticos, são necessários, dentre os quais: turbinas, geradores
elétricos, transformadores, linhas de transmissão e/ou de distribuição. A diversidade
destes elementos e a natureza não linear de alguns deles tornam a modelagem e o con-
trole tarefas complexas. Esta complexidade, quando se trata de SEP de grande porte
com várias unidades geradoras interligadas entre si, é ainda mais crítica.
Vastos são os estudos e trabalhos desenvolvidos e publicados no campo do controle
aplicado à estabilidade de sistemas elétricos de potência interligados, os quais estão pre-
sentes, possivelmente, em quase todos os países do mundo, sendo os responsáveis por
levar energia elétrica aos mais variados tipos de consumidores, movimentando economias
e proporcionando desenvolvimento e conforto a seus povos. Por estes fatos, compreende-
se facilmente porque este tipo de sistema tem sido alvo de tanta pesquisa. Na área de
controle ela se volta, entre outras direções, ao desenvolvimento de teorias, técnicas e
componentes que estabilizem o SEP. A estabilidade pode ser vista como a manutenção
do sincronismo entre máquinas e de níveis de tensão e freqüência próximos a valores
nominais, em situação normal ou não de operação 1.
Há casos, contudo, como o brasileiro, em que o sistema interligado não abrange a
totalidade do território. Povoados ou comunidades são privados de energia elétrica e
de suas benécies e uma fonte local de eletricidade deve ser provida. Muitas vezes, estes
sistemas locais são de pequeno porte e não estão conectados a nenhum outro, sendo então
denominados isolados ou tipo "ilha". As publicações disponíveis referentes a este tipo de
sistema elétrico com geração isolada, particularmente no que se refere ao seu controle,
1Naturalmente, dependendo da natureza e da intensidade do distúrbio ou da anormalidade, a desejada
estabilidade pode não ser conseguida, a não ser através de medidas mais drásticas como, por exemplo, o
corte de cargas.
17
são bem menos pródigas. Se por um lado a questão do sincronismo entre máquinas passa
a não mais existir, por outro, o problema do controle de tensão e de freqüência em níveis
compatíveis permanece.
No contexto acima descrito se insere a presente dissertação: um estudo mais deta-
lhado de sistemas elétricos de potência isolados, passando desde sua modelagem mate-
mática até o projeto de sistemas de controle de tensão e de freqüência, tomando-se como
base um SEP real pertencente ao Exército Brasileiro e instalado na Amazônia.
Em alguns casos não basta uma aplicação direta ou uma mera adaptação ou sim-
plificação das técnicas de controle utilizadas em sistemas interligados. Para estes sis-
temas, por exemplo, trabalha-se muito com a chamada estabilidade a pequenos sinais
ou pequenos distúrbios, situação em que parte-se para uma linearização dos modelos
matemáticos em torno de um determinado número de pontos de operação; o mesmo,
entretanto pode não ser conveniente para SEP isolados, onde grandes distúrbios são mais
comumente encontrados, já que uma única usina geradora terá que "absorver" toda e
qualquer variação na operação, como perdas de cargas, de linhas, faltas, etc. Em virtude
disto, para sistemas com geração isolada, simulações do modelo não-linear são, certa-
mente, mais representativas dos fenômenos reais.
Técnicas de controle aplicáveis em sistemas Lineares Invariantes no Tempo (LIT) são
válidas apenas para pequenas perturbações em torno de pontos de operação. Para sis-
temas não-lineares, dois recursos têm sido utilizados: as simulação no domínio do tempo
através de métodos de integração numérica, e os chamados métodos diretos, que se valem
de funções de energia, estas sendo um tipo possível de função de Lyapunov (ver KUN-
DUR (1994)). Enquanto os métodos diretos oferecem condições de se chegar a modelos
de controladores que atendam aos requisitos estabelecidos para a operação de um SEP,
as simulações constituem-se, apenas, em resultados gráficos, em sua maioria, da resposta
de um sistema. Sua importância, então, está em constatar se determinados controladores
projetados responderam ou não de maneira eficiente. Em caso negativo, ajustes tem que
ser feitos no controle até que as simulações apresentem resultados satisfatórios. Méto-
dos baseados em funções de energia, apesar de suas vantagens evidentes, ainda são muito
conservativos. A tendência atual tem sido buscar um método híbrido que mescle os bene-
fícios dos dois acima citados. Neste trabalho os métodos diretos não-lineares não foram
tratados, sendo os controladores obtidos por métodos lineares e testados em simulações.
Esta dissertação, como já dito, está pautada em um sistema de potência do Exército
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Brasileiro, uma micro usina hidrelétrica (MUH) 2(ver ELETROBRÁS (2000), HARVEY
(1993)) situada na localidade de Pari-Cachoeira, no extremo oeste do estado do Ama-
zonas, próxima à fronteira com a Colômbia. Ela possui uma capacidade de geração de,
aproximadamente, 100KVA e foi construída com o objetivo de oferecer aos militares e
seus familiares, que lá vivem, um mínimo de infra-estrutura, antes inexistente. Vale
ressaltar que esta usina, a exemplo das demais existentes, a maioria em regiões isoladas
de fronteira da Amazônia, abastece, também, e gratuitamente, comunidades locais, o
que tem provocado, inclusive, um fluxo migratório para esta região, dadas as potenciali-
dades trazidas com a chegada da energia elétrica. Outro fato relevante foram as análises
e experiências feitas pelo Exército com outras fontes de energia locais, como: painéis
fotovoltaicos, grupo-geradores a diesel e usinas termelétricas a lenha, conforme relatado
em HUSS (1994). De todas elas, seja por motivos econômicos e/ou ambientais, a que se
mostrou mais promissora foi a MUH.
Embora o provimento de energia elétrica em regiões tão distantes e carentes já tenha
sido um enorme e importante avanço, isto não impede que melhorias na qualidade desta
tensão gerada sejam buscadas. Sabe-se que em algumas usinas, pelo menos, nas mais
antigas, e portanto, mais rústicas, o sinal elétrico possui oscilações de tensão e freqüência
indesejadas. Isto pode ser explicado pelo fato de parâmetros dos reguladores de tensão,
ou Reguladores Automáticos de Tensão (RAT), ou AVR (Automatic Voltage Regulator),
e dos reguladores de velocidade serem ajustados para, apenas, um determinado ponto de
operação. Ao se afastar deste ponto, o desempenho dos controladores sofre normalmente
um declínio, prejudicando a qualidade dos sinais de saída do gerador elétrico. Assim, a
possibilidade de o estudo desenvolvido nesta dissertação contribuir para um aprimora-
mento da qualidade da energia fornecida, mediante o projeto de controles mais eficientes,
se tornou um importante agente motivador.
1.2 OBJETIVOS
O presente trabalho tem por objetivo modelar e simular o comportamento dinâmico
de um SEP isolado, com vistas ao projeto de reguladores de velocidade e de tensão
que favoreçam a estabilidade e o desempenho do sistema para variadas condições de
operação. Espera-se, também, que os conhecimentos adquiridos possam auxiliar em
2A denominação micro central hidrelétrica (MCH) é equivalentemente adotada em diversas literaturas
referentes a este tema.
19
estudos presentes ou futuros do Exército Brasileiro no que se refere às suas micro usinas
hidrelétricas.
1.3 ORGANIZAÇÃO
Esta dissertação está organizada em seis capítulos, incluindo esta introdução.
No Capítulo 2 é apresentada a configuração do sistema elétrico a partir de um dia-
grama unifilar. É desenvolvida toda a modelagem matemática do SEP, relativa às plantas
elétrica e hidráulica, necessária aos capítulos posteriores, sendo ainda especificados ma-
teriais e parâmetros da MUH do Exército, referência para todo o estudo desenvolvido.
O Capítulo 3 aborda a linearização das equações do sistema elétrico bem como todo
o procedimento necessário, iniciando com a definição dos pontos de operação, para se
chegar às realizações em espaço de estados deste sistema (uma para cada ponto de ope-
ração). Em cima dos modelos linearizados são projetados reguladores de tensão, sendo
seus desempenhos avaliados por simulação. Um RAT final é desenvolvido mediante o
tabelamento (ou interpolação) de ganhos destes reguladores.
A modelagem do sistema hidráulico em diagrama de blocos, no ambiente de simu-
lação Matlab/Simulink, é apresentada no Capítulo 4. Os diagrama são feitos com base
nas equações pertinentes desenvolvidas no Capítulo 2. Também no quarto capítulo é
apresentado o projeto do regulador de velocidade. A resposta da partida deste sistema,
para uma situação de operação em vazio do gerador, é simulada.
O modelo não-linear completo do sistema de potência, também em ambiente Simulink,
é discutido no Capítulo 5. Inicialmente, apresenta-se o método empregado para a solução
das chamadas Equações Algébrico-Diferenciais (EAD) do sistema elétrico. Em seguida,
com todo o SEP modelado, são simuladas as respostas da freqüência e da tensão de
saídas do gerador a partir de variações de carga. Ainda neste capítulo é feita a lineari-
zação do sistema elétrico por perturbação numérica, permitindo uma comparação com a
linearização analítica apresentada no Capítulo 3.
Finalmente, o Capítulo 6 apresenta um resumo conclusivo dos resultados alcançados
ao longo de todo o trabalho, procurando dar uma maior ênfase àqueles que acredita-se
terem uma contribuição maior a dar para trabalhos futuros. Algumas críticas e sugestões
de estudos em torno do mesmo tema são oferecidas.
20
2 CONFIGURAÇÃO DO SEP EM ESTUDO E SUA MODELAGEM
MATEMÁTICA
Este capítulo apresenta a configuração do SEP, com base, conforme já salientado
na introdução, na MUH de Pari-Cachoeira. Isto é feito a partir do chamado diagrama
unifilar. As informações contidas neste diagrama são suficientes para as análises que serão
procedidas e incluem dados dos seguintes elementos: gerador elétrico, transformadores e
impedâncias de linhas e cargas. Com relação ao tipo de carga considerada dispensou-se
uma atenção maior. A seu respeito são feitos alguns comentários explicativos na Seção
2.1.1.
A representação unifilar pressupõe um equilíbrio entre as três fases do sistema, con-
sideração esta que permanecerá válida ao longo do trabalho, e que é comumente utilizada
em trabalhos similares. A partir do unifilar é montada uma matriz denominada admitân-
cia nodal, que estabelece uma relação entre as tensões e correntes injetadas nas diver-
sas barras representadas. Assim são obtidas, facilmente, as equações da rede elétrica,
necessárias para modelagem matemática do SEP. A modelagem completa do sistema de
potência engloba, ainda, equações da dinâmica do gerador elétrico e da turbina hidráulica,
que são também desenvolvidas neste capítulo. São especificados, ainda, materiais e va-
lores de parâmetros da usina geradora, valores estes, em sua maioria, apresentados em
grandezas por unidade (pu), o que exige a definição de determinados valores de refe-
rência ou valores base, o que é feito. A grande parte destes dados foi obtida mediante
informações dos próprios fabricantes, por tabelas constantes em STEVENSON (1978),
ou por profissionais, que, direta ou indiretamente atuaram no projeto e/ou execução da
MUH. Aqueles dados que não puderam ser colhidos de nenhuma fonte foram retirados
de KUNDUR (1994) com as considerações de validade necessárias.
2.1 CONFIGURAÇÃO DO SEP
O diagrama unifilar do sistema elétrico estudado é mostrado na Figura 2.1. Os
símbolos apresentados são representativos dos seguintes elementos, identificados da es-
querda para a direita: gerador elétrico com seus terminais ligados a uma primeira barra;
transformador de distribuição elevador de tensão; linha de distribuição principal com
sua impedância; uma segunda barra de onde partem três derivações; em cada ramal de
21
derivação tem-se a linha com a respectiva impedância, um transformador abaixador de
tensão e a carga. Os três ramais correspondem, respectivamente, à linha que abastece a
unidade militar, à linha que alimenta a vila militar e à linha alimentadora da comunidade
indígena. Vale ressaltar que esta configuração é um retrato muito próximo da realidade
encontrada em Pari-Cachoeira -AM. Uma descrição mais detalhada dos componentes
acima citados é dada na Seção 2.4.1.
1 2
3 4
5
quartel
vila militar
comunidade
FIG. 2.1: Diagrama unifilar do sistema elétrico em estudo.
2.1.1 COMENTÁRIOS SOBRE A CARGA
O conhecimento pleno de todas as cargas que compõe um determinado sistema de
potência é algo difícil de ser alcançado, de tal forma que sua modelagem precisa também
o será. Este fato é facilmente explicável dada a enorme variedade de tipos de cargas e
de regimes de operação possíveis. Assim sendo, torna-se quase imperativa uma série de
simplificações para se chegar a um modelo para as cargas, as quais podem ser divididas
em duas grandes classes: cargas estáticas e dinâmicas.
As cargas estáticas são aquelas que podem ser definidas por funções algébricas da
tensão e da freqüência em qualquer instante de tempo. Três são os tipos básicos que as
representam: cargas à potência constante, à corrente constante ou à impedância cons-
tante. As cargas dinâmicas, por sua vez, são modeladas por equações diferenciais, sendo
um exemplo os motores de indução, muito comuns em consumidores industriais.
Devido às já mencionadas simplificações, e levando-se em conta que os consumidores
da MUH de Pari-Cachoeira têm características muito mais residenciais, o tipo de carga
22
considerado neste trabalho foi impedância constante. As cargas dinâmicas existentes
foram consideradas não significativas.
Cargas a impedância constante podem ser inseridas na própria matriz admitância
nodal facilitando alguns cálculos que se utilizam das equações de rede. Isto poderá ser
melhor compreendido no Capítulo 3.
2.2 MODELAGEM DO SISTEMA ELÉTRICO
O modelo matemático do sistema elétrico está baseado nas equações algébrico -
diferenciais (EAD) do gerador e nas equações algébricas da rede elétrica, ambas pos-
suindo não-linearidades devido à necessária conversão realizada entre dois referenciais:
um síncrono (R− I), do sistema, e outro da máquina (d− q), que gira junto com seu ro-
tor. Esta transformação de referenciais serve para compatibilizar as equações do gerador
e da rede. Uma melhor compreensão destes fatos se dará com o desenvolvimento destas
equações, que passam a ser apresentadas a seguir.
2.2.1 MODELO DO GERADOR ELÉTRICO
As equações da máquina são apresentadas em MARTINS (1990), sendo também
utilizadas em PELLANDA (1993). Elas são as seguintes:
E′
q =1
T′
d0
[
Efd −(
Xd − X′
d
)
Id − E′
q
]
(2.1)
E′′
d =1
T′′
q0
[(
Xq − X′′
q
)
Iq − E′′
d
]
(2.2)
E′′
q =1
T′′
d0
[
E′
q −(
X′
d − X′′
d
)
Id − E′′
q
]
(2.3)
ω =1
2H(Pmec − Pe) (2.4)
δ = ω0 (ω − 1) (2.5)
0 = −E′′
d + Vd + RaId − X′′
q Iq (2.6)
0 = −E′′
q + Vq + RaIq + X′′
d Id (2.7)
A menos das constantes de tempo, que são dadas em mili-segundos (ms), e da veloci-
dade angular síncrona ω0, igual a 2πfs radianos elétricos por segundo (rad/s), sendo fs
a freqüência síncrona em Hertz (no caso 60 Hz), todos os demais parâmetros são dados
em por-unidade (pu). Estes parâmetros são abaixo definidos:
23
• Efd : tensão de campo (no sistema pu não-recíproco3);
• E′′
d e E′′
q : componentes dos eixos d (direto) e q (de quadratura) da tensão subtran-
sitória interna do gerador elétrico;
• E′
q : componente do eixo q da tensão transitória interna da máquina;
• Xd e Xq: reatâncias dos eixos d e q da máquina;
• X′
d: reatância transitória do eixo da máquina;
• X′′
d e X′′
q : reatâncias subtransitórias dos eixos d e q do gerador;
• Vd e Vq: componentes dos eixos d e q da tensão de saída da máquina;
• Id e Iq: componentes dos eixos d e q da corrente de saída do gerador;
• T′′
d0 e T′′
q0: constantes de tempo subtransitórias de circuito aberto dos eixos d e q do
gerador;
• T′
d0: constante de tempo transitória de circuito aberto do eixo d do gerador;
• ω: velocidade angular do rotor do gerador;
• ω0: velocidade angular síncrona (rad/s);
• H: constante de inércia por unidade (pu), definida como a energia cinética (em
Watts.segundos) na velocidade angular síncrona de rotação do rotor do gerador,
ωom (em radianos mecânicos por segundo), dividida pela potência base, Pbase; ou
seja:
H =1
2
Jω20m
Pbase
(2.8)
onde, J é o momento de inércia combinado do gerador e da turbina a ele acoplado;
• Pmec: potência mecânica aplicada ao eixo do rotor do gerador;
• Pe: potência elétrica de entre-ferro do gerador, dada por:
Pe = Pt + RaI2t (2.9)
3Para maiores detalhes a respeito dos sistemas pu recíproco e não-recíproco ver KUNDUR (1994).
24
sendo, Pt a potência ativa de saída do gerador, Ra sua resistência de armadura, e
It o módulo da corrente de saída da máquina; Pt e It são dados, respectivamente,
pelas seguintes expressões:
Pt = VdId + VqIq (2.10)
It =√
(
I2d + I2
q
)
(2.11)
• δ: ângulo do rotor ou de carga, definido como o ângulo entre o eixo R do referencial
(R − I) e o eixo q do referencial (d − q)
Uma observação importante deve ser feita com relação à EQ. 2.4, chamada equação
de movimento ou de swing. Sua formulação mais correta dar-se-ia com a substituição dos
parâmetros Pmec e Pe por Tmec e Te, respectivamente, correspondendo os dois últimos aos
torques mecânico e elétrico. Entretanto, quando se trabalha com o modelo linearizado,
ou quando se considera a velocidade de rotação do rotor igual (ou muito próxima) a sua
velocidade síncrona em pu, os termos potência e torque praticamente se igualam podendo
ser intercambiáveis, sendo que a literatura referente ao assunto costuma apresentar a
equação de movimento como aqui foi visto. Nos Capítulos 4 e 5, que modelam a turbina
hidráulica e o SEP em suas formas não lineares, respectivamente, a devida correção será
feita de tal forma a se trabalhar com Tm e Te.
A conversão entre os sistemas de referência (R − I) e (d − q) é mostrada abaixo:[
Vd
Vq
]
=
[
senδ − cos δ
cos δ senδ
][
VR
VI
]
(2.12)
[
VR
VI
]
=
[
senδ cos δ
− cos δ senδ
][
Vd
Vq
]
(2.13)
[
Id
Iq
]
=
[
senδ − cos δ
cos δ senδ
][
IR
II
]
(2.14)
[
IR
II
]
=
[
senδ cos δ
− cos δ senδ
][
Id
Iq
]
(2.15)
sendo V e I a tensão e a corrente no gerador, respectivamente.
Substituindo as EQ. 2.9, 2.10 e 2.11 na EQ. 2.4 chega-se a uma nova formulação dada
por:
ω =1
2H
[
Pmec − VdId − VqIq − Ra
(
I2d + I2
q
)]
(2.16)
25
e operando com a EQ. 2.12 nas EQ. 2.16, 2.6 e 2.7, com relação aos parâmetros Vd e Vq,
obtêm-se os seguintes resultados:
ω =1
2H[Pmec − (VRsenδ − VI cos δ) Id −
− (VR cos δ + VIsenδ) Iq − Ra
(
I2d + I2
q
)
] (2.17)
0 = −E′′
d + VRsenδ − VI cos δ + RaId − X′′
q Iq (2.18)
0 = −E′′
q + VR cos δ + VIsenδ + RaIq + X′′
d Id (2.19)
As EQ. 2.1, 2.2, 2.3, 2.5, 2.17, 2.18 e 2.19, com as quais se trabalhará ao longo
dos próximos capítulos, modelam completamente, para os propósitos desta dissertação,
o comportamento dinâmico do gerador síncrono.
2.2.2 MODELO DA REDE ELÉTRICA
Através de um olhar mais cuidadoso nas equações do gerador, acima descritas, pode-
se perceber que existem 5 (cinco) equações diferenciais com suas 5 variáveis: E′
q, E′′
d , E′′
q ,
ω e δ; e 2 (duas) equações algébricas com 4 (quatro) variáveis: VR, VI , Id e Iq. Portanto o
número de incógnitas é superior ao número de equações. As responsáveis por solucionar
este problema serão as formulações algébricas da rede elétrica, que justamente relacionam
as tensões e as correntes injetadas nas diversas barras do sistema de potência.
A modelagem matemática da rede elétrica está toda baseada em sua configuração.
Para o caso tratado neste trabalho ela é definida pela FIG. 2.1. Percebe-se que as li-
nhas foram modeladas, apenas, por impedâncias série, o que pode ser feito sem nenhum
problema por tratar-se de linhas curtas, com comprimentos muito inferiores a 80 km.
Ainda a partir desta figura monta-se a expressão a seguir, denominada equação de rede,
que nada mais é do que um conjunto de equações de nó, muito usadas para solução de
circuitos elétricos, formatadas matricialmente:
I = Y V (2.20)
onde o vetor I corresponde às injeções de corrente nas barras, Y é a denominada matriz
admitância nodal, e o vetor V representa as tensões nas barras.
26
A EQ. 2.20 pode ser detalhada para o caso particular do sistema em estudo, resul-
tando em:
I1
0
0
0
0
=
y11 y12 y13 y14 y15
y21 y22 y23 y24 y25
y31 y32 y33 y34 y35
y41 y42 y43 y44 y45
y51 y52 y53 y54 y55
V1
V2
V3
V4
V5
(2.21)
A representação de injeção de corrente só é feita na barra 1 devido à presença do gerador
a ela conectada, ou seja, ela é exatamente a corrente de saída do gerador. Na matriz
admitância nodal estão presentes as admitâncias que chegam ou unem as barras, inclusive
de cargas tipo impedância constante (que é o caso considerado aqui). Salienta-se que os
índices de todos os elementos da expressão acima são uma referência direta à barra ou às
barras correspondentes. Uma explicação detalhada de como é feita a montagem da EQ.
2.21 é dada em KUNDUR (1994). Em ASSIS (2002) tem-se o exemplo para o caso de
um sistema tipo máquina-barra infinita.
As variáveis da EQ. 2.21 (corrente, admitâncias e tensões) podem ser entidades com-
plexas. Neste trabalho é adotada uma abordagem onde as partes real e imaginária são
separadas 4. A separação é possível de ser feita por uma simples manipulação algébrica
conforme exemplificado abaixo:[
IR
II
]
=
[
G −B
B G
][
VR
VI
]
(2.22)
onde, os índices R e I fazem referência às partes real e imaginária, respectivamente,
correspondendo, exatamente, aos eixos do referencial (R− I); G e B são a condutância e
susceptância da admitância considerada. Assim sendo, cada elemento do vetor de injeção
de correntes, inclusive os nulos, passa a ter a dimensão 2x1; da matriz de admitâncias, a
dimensão 2x2; e do vetor de tensões, também a dimensão 2x1.
Aplicando a EQ. 2.22 na EQ. 2.21, chega-se a uma nova formulação a ser empregada,
cuja dimensão será, portanto, o dobro da primeira. Isto poderá ser visto no próximo
capítulo.
4Tal procedimento evita o aparecimento de resíduos imaginários nos valores numéricos dos elementos
das matrizes do modelo de estado do sistema, pois passa-se a manipular somente grandezas reais.
27
Enfatiza-se, ainda, que a equação da rede, EQ. 2.21, é montada com base no referen-
cial externo (R − I).
A equação da rede associada às da máquina, acima discutidas, modelam comple-
tamente o sistema elétrico. Um formato mais adequado, a partir do qual é possível
encontrar a realização em espaço de estados de seu modelo linearizado, será desenvolvido
em um capítulo posterior.
2.3 MODELAGEM DO SISTEMA HIDRÁULICO
O sistema hidráulico de um SEP é composto pelos seguintes elementos básicos: reser-
vatório, conduto forçado, turbina e atuadores (incluindo o regulador de velocidade), res-
ponsáveis pela abertura e fechamento do distribuidor da mesma. O modelo dos atu-
adores será discutido no Capítulo 4. As equações da planta hidráulica estão baseadas
nas seguintes hipóteses simplificadoras: conduto inelástico, fluido (água) incompressível
e inexistência de chaminé de equilíbrio. Dadas as características do SEP do Exército
considerado, estas simplificações mostram-se perfeitamente aceitáveis. Ressalte-se que,
de fato, não há chaminé de equilíbrio na usina.
Duas são as equações principais (KUNDUR, 1994) que modelam o sistema hidráulico
(para maiores detalhes sobre máquinas hidráulicas ver também MACINTYRE (1983)):
a primeira relacionada à coluna d’água, e a segunda à turbina, respectivamente:
U = − 1
TW
(H − H0) = − 1
TW
[
(
U
Atg
)2
− H0
]
(2.23)
Pmec = (P − PL)Pru = (U − UNL) HPru = (U − UNL)
(
U
Atg
)2
Pru (2.24)
Todos os parâmetros das duas formulações acima estão em pu, a menos do tempo de
partida da água, TW , dado em segundos (s). Estes são assim definidos:
• Pmec: potência mecânica de saída da turbina (aplicada ao rotor do gerador);
• PL: perda de potência fixa da turbina, onde:
PL = UNLH (2.25)
• UNL: velocidade da água sem carga; tomando-se o regime de estado estacionário
para uma condição sem carga, da EQ. 2.23 tira-se que:
UNL = AtgNL (H0)1/2 (2.26)
28
• P : potência total da turbina, onde:
P = UH (2.27)
• U : velocidade da água no conduto forçado;
• H: altura da coluna d’água,da superfície do reservatório até o distribuidor da
turbina (não confundir com a constante de inércia H);
• H0: valor nominal de H considerado;
• g: abertura real do distribuidor da turbina;
• At: ganho da turbina dado por:
At =1
gFL − gNL
(2.28)
sendo gFL e gNL as aberturas do distribuidor a plena carga e sem carga, respecti-
vamente. O produto de At por g define um outro parâmetro, G, que é a abertura
ideal do distribuidor, ou seja:
G = Atg (2.29)
• TW : tempo de partida da água ou constante de tempo de inércia da água, dado
por:
TW =LUr
agHr
(s) (2.30)
sendo L o comprimento do conduto (em metros), Ur a velocidade da água de refe-
rência ou base (em m/s), ag a aceleração da gravidade (em m/s2), e Hr a altura
da coluna d’água de referência ou base (em metros);
• Pru: potência de referência (ou base) da turbina por unidade, dada por:
Pru =KWbase(turbina)
KWbase(gerador)=
Pr
Pbase
(2.31)
A modelagem da planta hidráulica estaria completa se, além das EQ. 2.23 e 2.24, fosse
incluído o modelo matemático dos atuadores. A apresentação deste modelo, porém, foi
reservada para o Capítulo 4 para permitir uma abordagem conjunta com o regulador de
velocidade, tratado no mesmo capítulo.
29
2.4 VALORES BASE, ESPECIFICAÇÃO DE MATERIAIS E DADOS DE PARÂME-
TROS
Esta seção define e especifica os materiais e parâmetros do SEP analisado. Estas
informações retratam fielmente a realidade encontrada na MUH em estudo. As grandezas
base consideradas do sistema elétrico e do sistema hidráulico também são explicitadas.
2.4.1 SISTEMA ELÉTRICO
O sistema elétrico possui as seguintes características gerais: geração em baixa tensão
(220 V), transmissão da energia em média tensão (13,8 KV), atendimento às cargas em
baixa tensão (220 V). Estes valores são de linha e nominais. A potência de geração
aproximada é de 100 KW. Com esses dados reais optou-se por escolher os seguintes
valores base:
• potência base (Pbase):
Pbase = 100 KW
• tensão base na baixa tensão (vbase): igual a tensão fase-neutro de pico nominal
vbase =
(
220√3
)√2 ≈ 179, 6 V
• corrente base na baixa tensão (ibase): definida como a corrente de pico de linha
ibase =Pbase
(3/2) vbase
≈ 371, 13 A
• impedância base na baixa tensão(zbase):
zbase =vbase
ibase
≈ 0, 484 Ω
• tensão base na alta (média) tensão (Vbase): obtido pela relação entre as tensões
nominais de linha no primário e no secundário do transformador
Vbase = vbase
13, 8
220103 ≈ 11, 268 KV
• corrente base na alta (média) tensão (Ibase):
Ibase =Pbase
(3/2) Vbase
≈ 5, 916 A
30
TAB. 2.1: Valores dos parâmetros do gerador elétrico. As grandezas em pu estão nabase 480V/105 KW.
Sejam, agora, os requisitos de desempenho do sistema (para a função de transferência
já definida) assim estipulados:
• tempo de subida, Tr, inferior ou igual a 0,5 segundos;
• sobre-sinal (overshoot), Mp, menor do que 10 por cento;
A primeira medida no projeto do RAT foi a inserção de um integrador na malha
direta do sistema, com vistas à eliminação do erro de estado estacionário quando do
fechamento da malha. Um aspecto importante a ser ressaltado é que, neste momento, a
tensão de campo(∆Efd) passa a corresponder ao sinal de saída do RAT. A entrada passa
a ser um sinal-referência (∆Vref ) para a tensão terminal do gerador, conforme mostrado
na FIG. 3.3.
Após algumas simulações foi constatado que com um ganho de 40 já se atendia à
especificação de Tr, mas não à de Mp. A modelagem em ambiente Simulink do sistema
elétrico em malha fechada com o RAT em questão, e o resultado da simulação para uma
entrada em degrau com amplitude de 0,05 pu em ∆Vref são mostrados nas FIG. 3.4 e
3.5, respectivamente.
Na FIG. 3.4 percebe-se a presença de um bloco tipo PID (proporcional-integral-
derivativo), que representa o RAT (a menos do ganho, externo ao bloco). É fácil deduzir
que, dadas as características do regulador de tensão considerado até o momento (inte-
grador), os parâmetros referentes às partes proporcional e derivativa foram considerados
nulos.49
FIG. 3.3: Diagrama em blocos de malha fechada da planta elétrica com o RAT,mostrando os sinais da tensão de referência (∆Vref ), da tensão de campo (∆Efd) e da
tensão terminal do gerador (∆Vt).
FIG. 3.4: Modelo em Simulink do sistema elétrico em malha fechada.
Visando eliminar (ou reduzir) o overshoot constatado na FIG. 3.5, e tendo-se em
mente a teoria relativa à análise de sistemas de controle pelo método do lugar das raízes
(root locus), OGATA (1990), um zero foi locado à direita do pólo que está à esquerda
da origem e mais próximo a ela, ou seja o pólo −5, 022. Isto foi feito para que o pólo do
integrador fosse atraído pelo zero ora inserido (no ponto −4). Com isso, o RAT passou
a ser modelado pela seguinte função de transferência:
s + 4
s= 1 +
4
s(3.51)
Ou seja, obteve-se um regulador tipo proporcional-integral (PI). Foi mantido o ganho
externo de 40. O resultado da simulação para a mesma entrada de 0,05 pu em ∆Vref é
mostrado na FIG. 3.6.50
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
tempo (s)
delta
|V1|
FIG. 3.5: Resposta de ∆|V1| para uma entrada ao degrau de 0,05 pu em ∆Vref , com umregulador tipo I (integrador)- primeiro ponto de operação.
Um segundo teste foi feito a fim de avaliar a eficiência do controle. Foi aplicado um
sinal de entrada tipo pulso, de 0,05 pu de amplitude e largura de 1 segundo. O resultado
pode ser visto na FIG. 3.7.
Percebe-se que os resultados evidenciados nas FIG. 3.6 e 3.7 foram satisfatórios,
atendendo às exigências de desempenho do sistema previamente definidos. Caso se deseje
uma melhoria desse desempenho pode-se aumentar o ganho, ou aproximar ainda mais,
pela direita, o zero (do regulador) do pólo −5, 022 (do sistema).
Exatamente o mesmo raciocínio foi seguido com relação ao demais pontos de opera-
ção. A TAB. 3.2 traz os parâmetros usados para a sintonia dos reguladores de tensão, os
quais estão modelados pela seguinte FT genérica:
G
(
P +I
s
)
(3.52)
onde, G se refere ao ganho externo, P ao termo proporcional, e I ao integral.
Os resultados obtidos com estes reguladores são mostrados da FIG. 3.8 à FIG. 3.19.
Por elas fica claro que a resposta da tensão terminal (módulo) do gerador, para uma
entrada tipo pulso (amplitude de 0,05 pu e duração de 1 segundo) em ∆Vref , atende aos
requisitos de desempenho já definidos, em todos os pontos de operação (à exceção do 100
e 130 pontos, que foram descartados). Observe-se que a saída (∆|V1|) segue, ou rastreia,
a entrada-referência (∆Vref ), como era de se desejar.
51
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
delta
|V1|
tempo (s)
FIG. 3.6: Resposta de ∆|V1| para uma entrada ao degrau de 0,05 pu em ∆Vref , com umregulador tipo PI (proporcional - integral)- primeiro ponto de operação.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5−0.01
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
tempo (s)
delta
|V1|
FIG. 3.7: Resposta de ∆|V1| para uma entrada tipo pulso de 0,05 pu e duração de 1segundo em ∆Vref , com um regulador tipo PI (proporcional - integral)- primeiro ponto
de operação.
52
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5−0.01
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
tempo (s)
delta
|V1|
FIG. 3.8: Resposta de ∆|V1| para uma entrada tipo pulso de 0,05 pu e duração de 1segundo em ∆Vref , com um regulador tipo PI (proporcional - integral)- segundo ponto
de operação.
TAB. 3.2: Valores dos parâmetros dos reguladores.Pontos de operação G P I
FIG. 3.9: Resposta de ∆|V1| para uma entrada tipo pulso de 0,05 pu e duração de 1segundo em ∆Vref , com um regulador tipo PI (proporcional - integral)- terceiro ponto
de operação.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5−0.01
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
tempo (s)
delta
|V1|
FIG. 3.10: Resposta de ∆|V1| para uma entrada tipo pulso de 0,05 pu e duração de 1segundo em ∆Vref , com um regulador tipo PI (proporcional - integral)- quarto ponto de
operação.
54
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5−0.01
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
tempo (s)
delta
|V1|
FIG. 3.11: Resposta de ∆|V1| para uma entrada tipo pulso de 0,05 pu e duração de 1segundo em ∆Vref , com um regulador tipo PI (proporcional - integral)- quinto ponto de
operação.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5−0.01
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
tempo (s)
delta
|V1|
FIG. 3.12: Resposta de ∆|V1| para uma entrada tipo pulso de 0,05 pu e duração de 1segundo em ∆Vref , com um regulador tipo PI (proporcional - integral)- sexto ponto de
operação.
55
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5−0.01
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
tempo (s)
delta
|V1|
FIG. 3.13: Resposta de ∆|V1| para uma entrada tipo pulso de 0,05 pu e duração de 1segundo em ∆Vref , com um regulador tipo PI (proporcional - integral)- sétimo ponto de
operação.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5−0.01
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
tempo (s)
delta
|V1|
FIG. 3.14: Resposta de ∆|V1| para uma entrada tipo pulso de 0,05 pu e duração de 1segundo em ∆Vref , com um regulador tipo PI (proporcional - integral)- oitavo ponto de
operação.
56
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5−0.01
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
tempo (s)
delta
|V1|
FIG. 3.15: Resposta de ∆|V1| para uma entrada tipo pulso de 0,05 pu e duração de 1segundo em ∆Vref , com um regulador tipo PI (proporcional - integral)- nono ponto de
operação.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5−0.01
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
tempo (s)
delta
|V1|
FIG. 3.16: Resposta de ∆|V1| para uma entrada tipo pulso de 0,05 pu e duração de 1segundo em ∆Vref , com um regulador tipo PI (proporcional - integral)- décimo primeiro
ponto de operação.
57
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5−0.01
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
tempo (s)
delta
|V1|
FIG. 3.17: Resposta de ∆|V1| para uma entrada tipo pulso de 0,05 pu e duração de 1segundo em ∆Vref , com um regulador tipo PI (proporcional - integral)- décimo segundo
ponto de operação.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5−0.01
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
tempo (s)
delta
|V1|
FIG. 3.18: Resposta de ∆|V1| para uma entrada tipo pulso de 0,05 pu e duração de 1segundo em ∆Vref , com um regulador tipo PI (proporcional - integral)- décimo quarto
ponto de operação.
58
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5−0.01
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
tempo (s)
delta
|V1|
FIG. 3.19: Resposta de ∆|V1| para uma entrada tipo pulso de 0,05 pu e duração de 1segundo em ∆Vref , com um regulador tipo PI (proporcional - integral)- décimo quinto
ponto de operação.
59
3.4.1 COMPARAÇÕES
Um resultado interessante a ser apresentado diz respeito à seguinte comparação:
resposta do sistema elétrico com seu regulador sintonizado para o ponto de operação em
questão versus resposta deste sistema quando seu controlador está sintonizado para outro
ponto de operação. Observe-se que os RAT a serem utilizados são aqueles expressos pela
EQ. 3.52 cujos parâmetros foram dados na TAB. 3.2.
Considere-se o seguinte caso para a primeira simulação comparativa, mostrada na
FIG. 3.20:
• entrada tipo pulso, de amplitude 0,05 e largura de 1 segundo, em ∆Vref ;
• resposta (∆|V1|) para o sistema elétrico linearizado no terceiro ponto de operação
com seu RAT sintonizado para ele (linha contínua do gráfico);
• resposta para o sistema elétrico linearizado no terceiro ponto de operação com
seu RAT sintonizado para o décimo quinto ponto de operação (linha tracejada do
gráfico);
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5−0.01
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
tempo (s)
delta
|V1|
RAT p/ pnt. op. 15RAT p/ pnt. op 3
FIG. 3.20: Respostas de ∆|V1| para uma entrada tipo pulso de 0,05 pu e duração de 1segundo em ∆Vref , com um regulador sintonizado no terceiro e outro no décimo quinto
ponto de operação- sistema linearizado no terceiro ponto de operação.
Pela FIG. 3.20 fica evidenciada a deterioração da resposta do sistema pelo surgi-
mento de overshoots indesejáveis no início e no final do pulso, alcançando valores pouco
60
superiores a 13 por cento, quando seu RAT está sintonizado para o décimo quinto ponto
de operação.
Uma segunda comparação é feita nas seguintes condições:
• entrada tipo pulso, com amplitude 0,05 e largura de 1 segundo, em ∆Vref ;
• resposta (∆|V1|) para o sistema elétrico linearizado no décimo quinto ponto de
operação com seu RAT sintonizado para ele (linha contínua do gráfico);
• resposta para o sistema elétrico linearizado no décimo quinto ponto de operação
com seu RAT sintonizado para o terceiro ponto de operação (linha tracejada do
gráfico);
Os resultados estão apresentados na FIG. 3.21.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5−0.01
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
tempo (s)
delta
|V1|
RAT p/ pnt. op. 3RAT p/ pnt. op 15
FIG. 3.21: Respostas de ∆|V1| para uma entrada tipo pulso de 0,05 pu e duração de 1segundo em ∆Vref , com um regulador sintonizado no terceiro e outro no décimo quinto
ponto de operação- sistema linearizado no décimo quinto ponto de operação.
Pode ser tirada a seguinte conclusão da FIG. 3.21: com o regulador ajustado para
o terceiro ponto de operação o sistema respondeu mais lentamente, não alcançando,
sequer, o valor 0, 05 da amplitude do pulso de entrada. O gráfico da FIG. 3.22 mostra a
evolução do erro (percentual) inserido com este RAT, em relação à entrada de referência,
no período de 0, 5 a 1 segundo. Ou seja:
erro (percentual) =0, 05 − ∆|V1|
0, 05× 100 (3.53)
61
0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 11.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
5.5
6
6.5
tempo (s)
erro
(%)
FIG. 3.22: Evolução temporal do erro percentual de ∆|V1| em relação à entrada dereferência (∆Vref ), com o regulador sintonizado para o terceiro ponto de operação e o
sistema linearizado no décimo quinto.
O objetivo destas comparações foi mostrar que a sintonia do RAT em apenas um
ponto de operação, conforme feito na prática nas MUH do Exército Brasileiro, possui o
inconveniente de se ter o desempenho do sistema depreciado quando ele estiver operando
fora deste ponto. Uma solução possível para minimizar este problema é discutida na
seção a seguir.
3.5 INTERPOLAÇÃO DE GANHOS DOS RAT VIA LÓGICA DIFUSA
O método da lógica difusa (fuzzy) pode ser empregado para a interpolação dos ganhos
de reguladores de tensão, projetados por técnicas lineares a partir da linearizção do
modelo dinâmico do sistema em torno de pontos de operação, como discutido na Seção
3.4. Esta é uma técnica que se enquadra dentro de uma classe maior denominada controle
por tabelamento de ganhos (gain scheduling).
Esta seção não tem por finalidade uma discussão mais aprofundada a respeito da
teoria de lógica fuzzy nem de técnicas de tabelamento de ganhos. Conhecimentos especí-
ficos a respeito destes temas foram assimilados em vistas à obtenção de um regulador
de tensão final a ser utilizado nas simulações não lineares de capítulos posteriores. Para
um estudo mais detalhado destes assuntos o leitor pode recorrer às referências citadas:
Vila Militar: potência ativa (p24)=0,3; potência reativa (q24)=0,225;
Comunidade Local: potência ativa (p34)=0; potência reativa (q34)=0;
0 50 100 150 200 250 3000.6
0.7
0.8
0.9
1
1.1
1.2
tempo (s)
freq.
ger
ador
(w)
FIG. 5.7: Resposta da freqüência de saída do gerador, ω (em pu)- variações de carga acada 45 segundos.
102
0 50 100 150 200 250 3000
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
tempo (s)
tens
ao s
aida
ger
ador
(Vt)
FIG. 5.8: Resposta da tensão de saída do gerador, Vt (em pu)- variações de carga acada 45 segundos.
0 50 100 150 200 250 3000.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
tempo (s)
aber
t. di
strib
. (g)
FIG. 5.9: Resposta da abertura do distribuidor, g (em pu)- variações de carga a cada 45segundos.
103
0 50 100 150 200 250 3000.6
0.7
0.8
0.9
1
1.1
1.2
tempo (s)
freq.
ger
ador
(w)
FIG. 5.10: Resposta da freqüência de saída do gerador, ω (em pu)- variações de carga acada 60 segundos.
0 50 100 150 200 250 3000
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
tempo (s)
tens
ao s
aida
ger
ador
(Vt)
FIG. 5.11: Resposta da tensão de saída do gerador, Vt (em pu)- variações de carga acada 60 segundos.
104
0 50 100 150 200 250 3000.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
tempo (s)
aber
t. di
strib
. (g)
FIG. 5.12: Resposta da abertura do distribuidor, g (em pu)- variações de carga a cada60 segundos.
0 50 100 150 200 250 3000
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
tempo (s)
tens
ao s
aida
ger
ador
(Vt)
FIG. 5.13: Resposta da tensão de saída do gerador, Vt (em pu)- utilização do RATprojetado para o sétimo ponto de operação (variações de carga a cada 45 segundos).
105
Os desempenhos do regulador de tensão fuzzy (Simulação 1) e do RAT (utilizado
para a Simulação 3) são comparados mediante a resposta da tensão de saída do gerador
verificada em cada simulação (FIG. 5.8 e 5.13). O resultado desta comparação é mostrado
nas FIG. 5.14, 5.15, 5.16, 5.17 e 5.18. Cada figura abrange um determinado intervalo de
tempo englobando, principalmente, os momentos de variação das cargas. Desta forma,
uma melhor avaliação comparativa pode ser feita.
1 2 3 4 5 6
0.7
0.8
0.9
1
1.1
1.2
1.3
tempo (s)
tens
ao s
aida
ger
ador
(Vt)
RAT fuzzyRAT pnt. op 7
FIG. 5.14: Comparação das respostas da tensão de saída do gerador, Vt (em pu),obtidas com o regulador fuzzy e com o RAT do sétimo ponto de operação- início da
operação do SEP.
106
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1.1
tempo (s)
tens
ao s
aida
ger
ador
(Vt)
RAT fuzzyRAT pnt. op 7
FIG. 5.15: Comparação das respostas da tensão de saída do gerador, Vt (em pu),obtidas com o regulador fuzzy e com o RAT do sétimo ponto de operação- primeira
variação de carga (45 segundos).
80 85 90 95 1000.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
tempo (s)
tens
ao s
aida
ger
ador
(Vt)
RAT fuzzyRAT pnt. op 7
FIG. 5.16: Comparação das respostas da tensão de saída do gerador, Vt (em pu),obtidas com o regulador fuzzy e com o RAT do sétimo ponto de operação- segunda
variação de carga (90 segundos).
107
132 134 136 138 140 142
0.9
0.95
1
1.05
1.1
tempo (s)
tens
ao s
aida
ger
ador
(Vt)
RAT fuzzyRAT pnt. op 7
FIG. 5.17: Comparação das respostas da tensão de saída do gerador, Vt (em pu),obtidas com o regulador fuzzy e com o RAT do sétimo ponto de operação- terceira
variação de carga (135 segundos).
176 178 180 182 184 186 1880.9
0.92
0.94
0.96
0.98
1
1.02
1.04
1.06
tempo (s)
tens
ao s
aida
ger
ador
(Vt)
RAT fuzzyRAT pnt. op 7
FIG. 5.18: Comparação das respostas da tensão de saída do gerador, Vt (em pu),obtidas com o regulador fuzzy e com o RAT do sétimo ponto de operação- quarta
variação de carga (180 segundos).
108
Uma análise dos resultados apresentados nas FIG. 5.7 a 5.18 permite que se chegue
a algumas conclusões:
• o regulador de velocidade não apresentou um desempenho muito satisfatório; em-
bora ele tenha sido capaz de estabilizar a freqüência de saída do gerador, ω, em seu
valor nominal (1 pu), percebe-se o surgimento de oscilações neste sinal com picos
de até 25 por cento, aproximadamente (FIG. 5.7 e 5.10); em sistemas de geração
isolada, como o abordado neste trabalho, o controle da velocidade de rotação do
gerador é crítico, merecendo um estudo mais aprofundado;
• o regulador de tensão obtido com o emprego de lógica fuzzy apresentou bons re-
sultados; pelas FIG. 5.8 e 5.11 nota-se o surgimento de picos de tensão apenas nos
momentos de variação de carga;
• a utilização de um RAT projetado para um único ponto de operação (no caso,
sétimo ponto) ocasionou uma piora na resposta da tensão de saída do gerador,
FIG. 5.13, se comparada com a resposta gerada com o RAT implementado com
lógica fuzzy; na FIG. 5.14, por exemplo, tem-se um overshoot de cerca de 28 por
cento e um tempo de acomodação próximo a 4 segundos na resposta de Vt, quando
utiliza-se o RAT do sétimo ponto de operação; já na FIG. 5.15 vê-se um overshoot
de quase 50 por cento e um tempo de acomodação de 3 segundos, aproximadamente,
para a resposta de Vt, contra um overshoot próximo a 10 por cento e um tempo de
acomodação inferior a 1 segundo com o RAT empregando fuzzy;
5.3 LINEARIZAÇÃO DO MODELO MATEMÁTICO DO SISTEMA ELÉTRICO POR
PERTURBAÇÃO NUMÉRICA
Uma outra aplicação para a S-Function diz respeito à linearização de modelos ma-
temáticos por perturbação numérica. No contexto deste trabalho, este recurso numérico
visa, apenas, validar as linearizações das equações do sistema elétrico feitas analitica-
mente(Capítulo 3). Os métodos adotados para se chegar a esta validação, passam a ser
discutidos abaixo.
O diagrama em Simulink utilizado para se proceder à linearização do sistema elétrico
via perturbação numérica é mostrado na FIG. 5.19. Perceba-se que as entradas Efd e Pmec
(o leitor deve atentar para o fato de que, neste instante, voltou-se a utilizar o parâmetro
Pmec e não Tmec; isto se justifica pelo seguinte fato: assim como as linearizações analíticas
abordadas no Capítulo 3, a linearização por perturbação numérica foi feita considerando,
109
para a equação de movimento, os parâmetros relativos às potências mecânica e elétrica,
ao invés dos respectivos torques), e as saídas ω e Vt são definidas por símbolos que
representam portas de entrada e de saída, respectivamente. Dentro do subsistema sist-ele
(FIG. 5.20) encontra-se o bloco S-Function, que executa o programa onde são descritas
as equações não-lineares do sistema elétrico, a exemplo do que foi feito na Seção 5.1.
Este programa é apresentado no Apêndice 8.1.4. Comparando-o com o programa do
Apêndice 8.1.3, algumas pequenas diferenças podem ser notadas. Elas dizem respeito às
inicializações das variáveis de estado, das variáveis de entrada e das variáveis algébricas.
FIG. 5.19: Diagrama em blocos do sistema elétrico utilizado para linearização porperturbação numérica.
Já foi visto que a linearização de um sistema é feita em torno de pontos de operação.
No caso do sistema elétrico tratado neste trabalho estes pontos foram definidos no Capí-
tulo 3. Com base nestas definições podem ser calculados os valores das diversas variáveis
inerentes ao modelo do sistema elétrico para cada ponto de operação de interesse. As
variáveis algébricas são calculadas diretamente pelo programa do Apêndice 8.1.1. Já as
variáveis de estado e de entrada podem ser obtidas a partir das equações não lineares
deste sistema apresentadas na Seção 2.2.1. Tudo isto está implementado no programa
do Apêndice 8.1.5. Saliente-se que, com relação às variáveis de estado e de entrada, as
seguintes notações utilizadas neste programa e na Seção 2.2.1 são equivalentes: efd e Efd;
e2lq e E′′
q ; e2ld e E′′
d ; elq e E′
q. As equivalências para as demais variáveis ou já foram
descritas em capítulos anteriores ou, por serem evidentes, não são comentadas.
110
Os valores destas variáveis são passados para o programa do Apêndice 8.1.4 através
da janela de diálogo do bloco S-Function, mostrada na FIG. 5.21. Observe-se que são
definidos dois vetores: o primeiro contendo as variáveis de estado, e o segundo, R0, as
demais variáveis. Este vetor R0 está descrito no programa do Apêndice 8.1.5.
Estando inicializadas as variáveis do sistema para o ponto de operação considerado, a
linearização é executada pelo comando linmod. Observando-se a sintaxe deste comando,
definido no programa do Apêndice 8.1.5, percebe-se que através dele são obtidas as ma-
trizes Ap, Bp, Cp e Dp da realização em espaço de estados do sistema elétrico linearizado
por perturbação numérica em um dado ponto de operação. Encontrando-se os auto-
valores da matriz Ap em cada ponto de operação, poderá ser constatado que eles são
praticamente idênticos aos autovalores da matriz A, da realização do sistema linearizado
analiticamente (Seção 3.3) para os mesmos pontos de operação.
O método adotado neste trabalho para se comparar os resultados das linearizações
analítica e numérica está baseado no conceito dos chamados valores singulares de uma
matriz ou sistema (ZHOU, 1998).
Dada uma matriz de transferência genérica G(s), para s = jω, o i-ésimo valor singular
de G, em uma dada freqüência ωk, pode ser definido matematicamente por:
σi =√
λiG(jωk)G∗(jωk) (5.14)
sendo, λi o auto valor i da matriz e ∗ o símbolo do transposto conjugado da matriz. O
maior valor singular da matriz G, para a mesma freqüência, é dado por:
σmax = σ =√
λmaxG(jωk)G∗(jωk) (5.15)
Defina-se σm como sendo o limitante superior, ou supremo (sup), do maior valor
singular da matriz G(jω) para toda a faixa de freqüência ω, onde ω ∈ <+. Ou seja:
σm = supσ[G(jω)] , ω ∈ <+ (5.16)
Sejam Ga(i)(jω) e Gp(i)(jω), respectivamente, as matrizes de transferência do sistema
elétrico linearizado analítica e numericamente em torno de um determinado ponto de
operação i. Aplicando a EQ.5.16 para a diferença entre estas duas matrizes tem-se que:
Empregando-se a EQ. 5.17 para todos os quinze pontos de operação definidos na Seção
3.2 pode-se chegar ao gráfico mostrado na FIG. 5.22. Observe-se que os comandos em
111
Matlab referentes à EQ. 5.17, bem como aqueles responsáveis pela plotagem do citado
gráfico constam do programa do Apêndice 8.1.5.
Pode-se mostrar que o valor de σm de uma matriz de transferência genérica G(jω)
é também o limitante superior de |G(jω)| para toda a faixa de freqüência considerada.
Aplicando esta teoria ao resultado apresentado na FIG. 5.22 pode-se concluir que: para
todos os quinze pontos de operação, estando o maior valor de σm em torno de 2 × 10−6,
então |Ga(jω) − Gp(jω)|, para ω ∈ <+, está limitado por este valor para os mesmos
pontos de operação, donde pode-se afirmar que a linearização por perturbação numérica
coincidiu com a limearização analítica de modo a validá-la.
112
FIG. 5.20: Diagrama em blocos do subsistema sist-ele utilizado para a linearização do sistema elétrico via perturbação numérica.
113
FIG. 5.21: Janela de diálogo do bloco S-Function. Inicialização das variáveis do sistemaelétrico.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
x 10−6
Pontos de Oper.
Sig
ma(
Ga−
Gp)
FIG. 5.22: Gráfico de σm para Ga(jω)−Gp(jω), em todos os quinze pontos de operação.
114
6 CONCLUSÃO
6.1 RESUMO E ANÁLISE DOS PRINCIPAIS RESULTADOS ALCANÇADOS
A presente dissertação teve como objetivo principal a modelagem do comportamento
dinâmico do sistema de potência considerado e o projeto de reguladores de tensão e de
velocidade. O desempenho destes sistemas de controle pôde ser avaliado a partir dos
resultados das simulações realizadas, que passam a ser comentados.
O regulador de tensão final foi obtido pelo tabelamento de ganhos, via lógica fuzzy,
dos reguladores projetados para pontos de operação específicos (Capítulo 3). O desem-
penho deste RAT pôde ser levantado pela simulação da operação do sistema de potência
frente a variações de potência ativa e reativa consideráveis (Capítulo 5). Como visto
nas FIG. 5.8 e 5.11, o desempenho deste regulador pode ser considerado bastante satis-
fatório: tempo de resposta frente às variações de carga em torno de 0, 7 segundos (pior
caso) e overshoot nulo (naturalmente, ocorreram picos de tensão nos instantes de vari-
ação de carga). O resultado positivo deste regulador ficou ainda mais evidente nas FIG.
5.14, 5.15, 5.16, 5.17 e 5.18, que mostraram uma comparação com um outro regulador
projetado para um único ponto de operação.
Pela simulação mostrada na FIG. 5.7 percebe-se uma variação na freqüência de saída
do gerador acentuada, denotando um desempenho relativamente fraco do regulador de
velocidade frente a alterações de carga com aquela magnitude 11. A FIG. 5.10 mostra
que o regulador foi capaz de levar a freqüência a seu valor nominal em um tempo inferior
a 60 segundos.
6.2 RESUMO DA CONTRIBUIÇÃO
Em termos gerais, acredita-se que as ferramentas de modelagem e análise desenvolvi-
das neste trabalho possam servir como subsídio para implementações práticas de novas
estratégias de controle conjunto de freqüência e tensão para as micro usinas hidrelétricas
do Exército Brasileiro, e para o sistema didático existente no Laboratório de Hidráulica
11Deve-se levar em conta, porém, que em sistema de geração isolada como este, as variações de fre-
qüência são bem mais críticas se comparadas com sistemas interligados de grande porte.
115
do Instituto Militar de Engenharia (IME).
Com relação ao controle das oscilações eletromecânicas em sistemas elétricos isolados,
um tema muito pouco abordado na literatura, os resultados deste trabalho mostram
claramente que a abordagem normalmente adotada na prática está longe de proporcionar
a melhor qualidade da energia gerada.
Pode-se ressaltar, também, a descrição do equacionamento do sistema elétrico se-
gundo a formulação aumentada, e a obtenção das matrizes de estado do sistema linea-
rizado (incluindo as rotinas pertinentes em Matlab apresentadas nos Apêndices 8.1.1 e
8.1.2). O emprego da técnica de tabelamento de ganhos via lógica fuzzy para se chegar
ao regulador de tensão final talvez possa ser alvo de mais investigações, inclusive para se
constatar a viabilidade ou não de sua utilização prática em sistemas de potência.
A metodologia proposta para a simulação dos diversos componentes (ou subsistemas)
do SEP e para a integração entre eles (Capítulos 4 e 5) pode ser adotada em trabalhos
correlatos que façam uso do mesmo ambiente de simulação (Simulink).
Outra contribuição desta dissertação está no método de solução de equações algébrico-
diferenciais e de linearização de sistemas (não-lineares) via perturbação numérica, ambos
descritos no Capítulo 5 e baseados na S-Function do Simulink.
6.3 CRÍTICAS E PERSPECTIVAS
Este trabalho foi pautado em um sistema de potência de características simples:
gerador-carga (tipo impedância constante). Estudos baseados em SEP mais complexos,
envolvendo, por exemplo, geradores em paralelo e cargas dinâmicas podem ser feitos.
Simulações mais abrangentes, que levem em conta a ocorrência de curtos-circuitos na
linha e a atuação de relés de proteção nela instalados, também podem ser objeto de
pesquisa.
O controle de freqüência para sistemas de geração isolada se mostrou algo complexo
merecendo estudos mais aprofundados como o apresentado em MANSOOR (2000). As
mesmas técnicas utilizadas para o regulador de tensão (linearização e tabelamento de
ganhos) podem ser empregadas para o regulador de velocidade, por exemplo.
Esta dissertação não abordou técnicas de controle mais sofisticadas indicadas para sis-
temas não-lineares, como os chamados métodos diretos baseados em funções de Lyapunov.
A aplicação de tais métodos em sistemas de potência isolados e uma possível compara-
ção com aqueles aqui adotados fica como sugestão para trabalhos futuros, ressaltando-se,
ainda, a possibilidade de se estudar o desenvolvimento de um método híbrido.
116
7 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
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ZHOU, K. e DOYLE, J. C. Essentials of Robust Control. Prentice Hall, 1998.
118
8 APÊNDICES
119
8.1 APÊNDICE 1: PROGRAMAS MATLAB
8.1.1 DEFINIÇÃO DOS PONTOS DE OPERAÇÃO E PARÂMETROS DO SISTEMA
ELÉTRICO- SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DE REDE
function [Y,I1,V1]=sol_eqrede
% 1) Relação das Potências das Cargas que Definem os Pontos de Operação