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Modelación hidrológica empleando isoyetas de relieve, una aproximación Geoestadística

Climate Variability and Change Hydrological ImpactsFifth FRIEND World Conference held at Havana, Cuba

November 2006

PRESENTA:

ALFONSO GUTIÉRREZ LÓPEZ

Orígenes de la geoestadística:

Sichel (1947-1949): Observó la naturaleza asimétrica de la distribución del contenido de oro en la mina sudafricanas, la ajusto a una distribución Lognormal y desarrollo las fórmulas básicas para esta distribución (consideraba a los datos como independientes).

Krige (1951): Propuso una variante del método de medias móviles que puede considerarse equivalente al del krigeado simple.

Matheron (1961): Planteó la teoría y las ecuaciones elementales del problema.

Matheron (1962): Considera a la geoestadística como la aplicación de la teoría de las variables regionalizadas.

Variable regionalizada: Es una variable distribuida en el espacio de forma que presenta una estructura de correlación.

Descripción de la variable regionalizada:

Matemáticamente: Se define como función z(x) que adopta un punto “x” en el espacio.

Las variaciones o fluctuaciones erráticas de la variable regionalizada impiden su tratamiento o descripción mediante una forma continua(análisis univariado).

Matheron (1971): Introduce el método basado en la teoría de las funciones aleatorias.

En el estudio de las variables aleatorias regionalizadas es importante presentar conceptos que se señalan en (Journel y Huijbregts, 1978; David, 1977)

Estos conceptos son:

Región: se refiere al espacio en el cual existe y se estudia el fenómeno natural.

Localización: Es el punto de una región en la cual se define una variable aleatoria regionalizada.

Soporte Geométrico: Está determinado por el elemento físico sobre el cual se realiza la determinación de la variable aleatoria regionalizada.

Finalidad de las variables regionalizadas

• Establecer las bases teóricas que permitan establecer las características estructurales de los fenómenos naturales.

• Proporcionar el medio para resolver los problemas de estimación espacial de parámetros que se presenten a partir de una muestra fragmentada.

(Journel y Huijbregts, 1978), construyen el modelo asumiendo condiciones de estacionaridad.

I. Estacionaridad Estricta. Se dice que Z(x) es estrictamente estacionaria si la función de distribución de probabilidades de las variables aleatorias regionalizadas Z(xi) son iguales entre sí, independiente de la localización xi, lo que requiere que los momentos de distinto orden para cada variable aleatoria regionalizada sean completamente independientes de la localización xi. Esta condición como su nombre lo indica es demasiado restrictiva al estudiar la mayoría de los fenómenos encontrados en la práctica.

II- Estacionaridad de Segundo Orden. Si la varianza de Z(xi) existe, entonces se define como el momento de segundo orden y será también una función de la localización xi.

Si la varianza de las variables Z(xi) y Z(xj) existe entonces la covarianza(Cov) de las éstas también existe y es función de las localizaciones xi y xj.

El variograma se define como la varianza de la diferencia Z(xi) - Z(xj).

� (h) = 1/2n � [Z(xi) - Z(xi + h)]2

donde.� (h); es el variogramah; es la separación de los variables medidas Z(xi) y Z(xj). n; es el número de pares.

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]{ },xmxZxmxZEx,xC jjiiji −−=

( )[ ] ( ) ( )[ ]{ }22 xmxZExZVar −==σ

Si bien la geoestadística nace de la imposibilidad de una descripción determinística de la naturaleza, y por tanto de la necesidad del tratamiento estocástico, causada por la insuficiencia de datos, (Carrera, 1996).

En la hidrología, es muy común que la cantidad datos de las variables hidrológicas obtenidas sean insuficientes para describir adecuadamente el problema. Debido a este problema se tiene que recurrir al análisis estructural.

(Gotway y Cressie, 1993), han desarrollado algunas investigaciones en últimos años sobre el análisis, existiendo mayor interés en las estimaciones a nivel local que a nivel global (Rivoirard y Guiblin, 1997).

La estimación espacial requiere de una función que describa la variabilidad espacial de la variable analizada, esta función es llamada Variograma Experimental.

Para el ajuste del Variograma, primeramente se necesita que la muestra cumpla con los siguientes requisitos:

a) Que tenga una distribución espacial homogénea.

b) Que su distribución de probabilidad sea aproximadamente normal.

c) Que no se vea afectada por valores atípicos (outliers) tanto distribucionales como espaciales.

d) que no exista tendencia, es decir que sea estacionaria al menos la media (Díaz, 2002).

Análisis Estructural

El análisis estructural consiste en encontrar una función que describa el grado de correlación espacial de la propiedad que se estudia

Según, (Armstrong y Carignan, 1997) el análisis estructural está compuesto por:

• El cálculo del semivariograma experimental. • Ajuste a un modelo teórico conocido.

El cálculo del semivariograma experimental es la herramienta geoestadística más importante en la determinación de las características de variabilidad y correlación espacial del fenómeno estudiado

Aplicación del análisis estructural en las ciencias de la tierra

• En la cartografía, la hidrogeología, el medio ambiente, los campos forestales, el análisis de imágenes, para la elección de la red de muestreo.

• El petróleo, para la caracterización de yacimientos.

• En la pesca, en la estimación de provisiones de peces, de variables condicionantes, profundidad, temperatura del agua.

• En la geofísica marina, en los problemas de filtrar perturbaciones temporales que mezclan el magnetismo espacial, en las características de su cartografía.

• La Salud, en la distribución espacial de enfermedades.

• La ingeniería civil, en la construcción de obras de grandes dimensiones, que exigen del conocimiento de la variabilidad espacial de propiedades del terreno.

• Los materiales, en la previsión de propiedades físicas de los materiales.

• Forestales, análisis del estudio exploratorio de reservas forestales.

Definición del variograma experimental

El semivariograma experimental se estima en base a los datos y a la estructura del fenómeno. En principio, si sólo se dispone de los datos, el semivariograma se estimaría directamente con:

Donde: es el semivariograma experimental, Z(xi) son los valores experimentales en los puntos xi, en los que se dispone datos tanto en xicomo en xi+h; N(h) es el número de pares de puntos separados por una distancia h.

[ ]�=

−+≅)(

1

2* )()()(2

1)(

hN

iii xZhxZ

hNhγ

* )(hγ

Definición del variograma experimentalParámetros del variograma experimental y modelo teórico

Donde:

Elementos básicos del modelo teórico

Donde:

Ajuste del variograma experimental

Aplicación del variograma por kriging, para la obtención de isoyetas de relieve

Procedimiento

1.- Análisis y depuración de la información (datos singulares)

2.- Datos de entrada (localización y variable analizada “x,y,z”), en formato *.dat.

3.- Obtención del variograma experimental.

4.- Ajuste de los modelos óptimos teóricos a los variogramas de lluvia y de relieve.

5.- Aplicación del modelo óptimo del relieve a la interpolación de la precipitación.

6.- Validación del modelo presentado.

Aplicación, para la obtención de isoyetas de relieve

La zona de estudio esta ubicada dentro de la cuenca del río Amacuzac, con una de cuenca 7,821 km2, tiene una red pluviométrica que consta de 82 estaciones.

LOCALIZACIÓN

ZONA DE ESTUDIO

Distribución del relieve en la zona de estudio

Ajuste de los modelos teóricos al variograma de precipitación.

Isolíneas de precipitación por Kriging, con el modelo cúbico

( )7532 750537587 hhhhCh ...)( −+−=γ

Malla introducida en el análisis del variograma de topografía, 200 x 200

nhCh =)(γ

Isolíneas de relieve por Kriging, con el modelo lineal

Comparación de entre las isoyetas tradicionales y de relieve

Validación cruzada

Número de puntos en el análisis

Ajuste de los datos residuales de la validación cruzada a una distribución normal

Datos residuales de la validación cruzada

Comparación de entre metodologías tradicionales

Promedio aritmético es de 965mm.

Polígonos de Thiessen de 975 mm.

Isoyetas tradicionales 980.6 mm.

Isoyetas obtenidas con la topografía es de 994.6 mm.

La diferencia de 14 mm entre los métodos de Isoyetas, proporciona un volumen anual de 109 Mm3 adicionales.

Conclusiones

El modelo de topografía aplicado en interpolación por Kriging afecta significativamente la distribución de las isoyetas. Haciendo que los volúmenes calculados se aproximen a la realidad física.

Se refuerza la hipótesis de que la topografía es el principal generador de precipitación para una cuenca.

Las isoyetas de relieve deben ser herramienta básica en los balances hidrológicos.

La geoestadística es un conjunto de herramientas que nos ayuda a tomardecisiones y no un proceso automático de predicción.

La geoestadística siempre debe estar orientada hacia un objetivo. En la hidrología, es conseguir la mayor representatividad física del fenómeno estudiado, mediante la interpolación óptima.

La geoestadística ofrece soluciones óptimas a problemas de estimación espacial.

GRACIAS