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Janeiro de 2009
Modelação da Transmissão de Ruído de Impacto de Baixa Frequência em Pavimento de Madeira
MARTINHO MONTEIRO DE BARROS GIRÃO MARQUES
Dissertação para obtenção do Grau de Mestre em
ENGENHARIA CIVIL
Júri
Presidente: Prof. Augusto Gomes Martins Orientador: Prof. Albano Luís Rebelo da Silva das Neves e Sousa
Vogais: Prof. Jorge Miguel Silveira Filipe Mascarenhas Proença
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AGRADECIMENTOS
Queria agradecer ao meu Orientador, o Professor Albano Neves e Sousa, a oportunidade que
me deu em poder fazer esta tese, em segundo lugar, agradecer-lhe a sua disponibilidade,
assim como as preciosas ajudas que me foi dando, que tornaram esta dissertação num
trabalho aliciante e motivador. Muito obrigado.
Queria também agradecer a disponibilidade da sua secretária Alexandra Baixo.
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RESUMO
No actual contexto de sustentabilidade ambiental e energética, tem vindo a impôr-se, na
Europa, uma tendência para reforçar a utilização de materiais facilmente recicláveis. A madeira
inclui-se nesse conjunto de materiais, pelo que, recuperando técnicas de construção mais
tradicionais, começa a ser mais frequente a sua utilização como material estrutural em edifícios
de menor dimensão.
Nestes casos, como já acontecia nos edifícios construídos até ao final do séc.XIX, e como
também acontece nos edifícios de estrutura mista aço/betão, o isolamento a ruído de
percussão constitui um problema, por vezes, de difícil resolução.
De facto, nestes pavimentos leves de madeira, a sua flexibilidade combinada com as
características dos compartimentos dos edifícios correntes e com as características dinâmicas
das acções de percussão (impacto) correntes em edifícios, cria condições de campo sonoro
modal, na gama das baixas frequências, as quais impedem a aplicação dos métodos clássicos
de acústica de edifícios para medição e previsão de campos sonoros.
Nesta dissertação é testado um método analítico de previsão da transmissão de ruído de
percussão em pavimentos vigados de madeira, o qual se baseia em análise modal. O método é
comparado com outro método numérico (elementos finitos), previamente validado, com o
objectivo de identificar os seus limites de aplicação.
Palavras Chave:
Baixa frequência; Som; Vibração; Baixa frequência; Pavimentos; Madeira; Mobilidade.
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ABSTRACT
In the scope of environmental and energetic sustainability, a trend to increase the use of
material easily recyclable materials has been increasing in Europe. As wood is included in this
set of materials, old construction techniques are being recovered, and this material starts to be
used more often as a structural material in small buildings.
In these cases, as used to occur in buildings older than our century, and also as occurs in
buildings with steel/concrete composite structures, impact sound isolation, is, sometimes, a
problem which is hard to solve. Indeed, in this type of lightweight floors, its flexibility, combined
with the characteristics of current rooms and with the dynamic characteristics of current impact
forces, creates conditions for modal sound fields at low frequencies.
Thus, the classical methods of room and building acoustics are no longer applicable.
In this thesis, an analytical method for the prediction of impact sound transmission through
wood joist floors, based in natural mode analysis, is tested. The method is compared with
another numerical method (finite elements) previously validated, in order to identify its limits of
validity.
Keywords:
Sound; Vibration; Low frequency; Floors, Wood; Mobility.
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INDICE
RESUMO............................................................................................................ iii ABSTRACT ........................................................................................................ v 1. INTRODUÇÃO ............................................................................................... 1
1.1. MOTIVAÇÃO ....................................................................................................... 1 1.2. OBJECTIVOS ...................................................................................................... 2 1.3. ESTRUTURA DA DISSERTAÇÃO ...................................................................... 2
2. MODELAÇÃO ANALÍTICA DA VIBRAÇÃO DE PLACAS .............................. 5 2.1. INTRODUÇÃO..................................................................................................... 5 2.2. EQUAÇÃO DA ONDA DE FLEXÃO EM PLACAS............................................... 5 2.3 PLACA HOMOGÉNEA SIMPLESMENTE APOIADA ........................................... 8
2.3.1 Descrição do modelo................................................................................................... 8 2.3.2 Implementação do modelo ........................................................................................ 12
2.4 PLACA ORTOTRÓPICA SIMPLESMENTE APOIADA ...................................... 13 2.4.1 Descrição do modelo................................................................................................. 13 2.4.2 Implementação do modelo ........................................................................................ 16
3. VALIDAÇÃO DO MODELO.......................................................................... 17 3.1. INTRODUÇÃO................................................................................................... 17 3.2. ENSAIOS DE LABORATÓRIO DE MAYR E NIGHTINGALE............................ 17
3.2.1. Descrição geral......................................................................................................... 17 3.2.2. Pavimento de teste em Plexiglas ............................................................................. 20 3.2.3. Pavimento de teste em madeira............................................................................... 21
3.3. VALIDAÇÃO NUMÉRICA .................................................................................. 22 3.3.1. Descrição do processo de validação........................................................................ 22 3.3.2. Pavimento homogéneo............................................................................................. 22 3.3.3. Pavimentos ortotrópicos leves.................................................................................. 26
3.4. VALIDAÇÃO DO MODELO ANALÍTICO ........................................................... 32 3.4.1. Pavimento de teste em Plexiglas ............................................................................. 33 3.4.2. Pavimento de teste de madeira................................................................................ 36
3.5. CONCLUSÕES.................................................................................................. 39 4. ANÁLISE PARAMÉTRICA ........................................................................... 41
4.1. INTRODUÇÃO................................................................................................... 41 4.2. DIMENSIONAMENTO ESTRUTURAL DE PAVIMENTOS DE MADEIRA ........ 41 4.3. ANÁLISE PARAMÉTRICA................................................................................. 43
4.3.1. Análise preliminar ..................................................................................................... 45
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4.3.2. Identificação de comportamentos tipo...................................................................... 49 4.4. DEFINIÇÃO DO CRITÉRIO DE VALIDADE DO MODELO ANALÍTICO........... 67 4.5. CONCLUSÃO .................................................................................................... 69
5. CAMPO SONORO ....................................................................................... 71 5.1. INTRODUÇÃO................................................................................................... 71 5.2. DESCRIÇÃO DO MODELO .............................................................................. 71
5.2.1. Solução da equação homogénea da onda sonora................................................... 73 5.2.2. Acoplamento entre o campo de vibração e o campo sonoro................................... 74
5.3. CASO DE ESTUDO........................................................................................... 80 5.4. IMPLEMENTAÇÃO DO MODELO ANALÍTICO................................................. 80 5.5. CONCLUSÃO .................................................................................................... 80
6. CONCLUSÃO............................................................................................... 83 6.1. SUMÁRIO E CONCLUSÕES ............................................................................ 83 6.2. TRABALHOS FUTUROS................................................................................... 83
7. BIBLIOGRAFIA ............................................................................................ 85 7.1. LIVROS, TESES, OU ARTIGOS ....................................................................... 85 7.2. SÍTIOS NA INTERNET ...................................................................................... 86 7.3. REGULAMENTAÇÃO........................................................................................ 86
ANEXO 1.......................................................................................................... 87 ANEXO 2........................................................................................................ 165
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GLOSSÁRIO DE SÍMBOLOS
B – rigidez de flexão de uma viga ;
B’ – rigidez de flexão em placas (Nm2/m);
B’ – rigidez de flexão na forma complexa em placas (Nm2/m);
B’0 – módulo adiabático de volume (Pa);
Cmn – factor de acoplamento estrutura-fluido;
D – módulo de rigidez do material (N/m2);
D – módulo de rigidez em forma complexa do material (N/m2);
E – módulo de elasticidade (N/m2);
Eeq – módulo de elasticidade equivalente para uma placa homogénea (N/m2);
F – força (N);
F(t) – força dinâmica vertical induzida pela acção humana
G – módulo de distorção (N/m2); também utilizado como peso estático de um indivíduo;
I – momento de inércia (m4);
I’ – momento de inércia em placas (m4/m);
Ieq – momento de inércia equivalente numa placa homogénea (m4);
JJ - momento de inércia de torção
Lp – nível de pressão sonora (dB);
M – momento flector ou torçor (Nm);
M’ – momento por unidade de área (Nm/m2);
N – número de modos do sistema de vibração;
NF – número de forças aplicadas numa placa;
P – pressão instantânea (Pa);
Patm – pressão atmosférica ≈ 1.013 × 105 Pa do nível do mar;
P0 – pressão instantânea estática do ar (Pa);
Q – esforço transverso por unidade de comprimento (N/m);
RH – humidade relativa (%);
S – área de todas as superfícies envolventes do compartimento (m2);
Si – área da superfície de um elemento do compartimento (m2);
T – período (s);
Tp – período do passo;
TR – tempo de reverberação (s);
V – volume (m3);
Va – volume aparente (m3);
a – dimensão segundo o eixo x (m); também utilizado como aceleração (m/s2);
b – dimensão segundo o eixo y na placa (m);
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x
c – dimensão segundo o eixo z na placa (m), ou velocidade de propagação do som em meio sólido (m/s);
c0 – velocidade de propagação sonora no ar (m/s);
f – frequência (Hz);
g – aceleração gravitica ≈ 9.8 m/s2;
h – espessura da placa (m);
j – constante = -1;
k – número de onda (rad/m);
kp – factor de impacto dinâmico
ls – comprimento do passo (m)
m’ – massa (kg/m);
m’’ – massa por unidade de área numa placa (kg/m2);
p – pressão sonora (Pa);
s – condensação volúmica do ar;
t – tempo (s);
tp – duração de contacto (s);
v – velocidade (m/s);
vs – velocidade de marcha (m/s)
Δ – variação;
ΔG – Coeficientes de amplitudes das componentes harmónicas da força dinâmica;
Χ – termo fonte (m-1s-1);
Φ – termo fonte de velocidade potencial (m/s);
Ψ – velocidade potencial (m/s);
Σ – operador de soma;
α __
– coeficiente de absorção sonora média das superfícies do compartimento
αi – coeficiente de absorção sonora das superfícies do compartimento; também utilizado como coeficiente
de amplitude da componente harmónica;
χ – curvatura por flexão (m-1);
δ – coeficiente de absorção temporal (s-1); também utilizado como símbolo de Kronecker;
ε – deformação (também utilizado como coeficiente de amortecimento);
iφ – ângulo de desfasamento da componente harmónica
γ – razão do calor especifico = 1.402 do ar;
η – factor de perdas;
λ – comprimento de onda (m); também utilizado como tensor das tensões principais
λB – máximo comprimento de onda por flexão numa placa (m);
ϕlmn – funções forma do campo sonoro de compartimentos;
ϕm1n1 – funções forma do campo de vibração de placas;
μ – deslocamento paralelo ao eixo x (m);
ν – Coeficiente de Poisson;
π – constante = 3.141592654…;
θ – temperatura (ºC);
ρ – massa volúmica (kg/m3);
ρa – massa volúmica aparente (kg/m3);
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ρ0 – densidade estática do ar (kg/m3);
σ – tensão (N/m2);
σij – tensor das tensões faciais num elemento sólido (N/m2);
υ – parâmetro de viscosidade do material (s);
ω – velocidade angular (rad/s);
ωlmn – frequências próprias do campo sonoro de compartimentos (rad/s);
ωlmn – frequências próprias na forma complexa do campo sonoro de compartimentos (rad/s);
ωm1n1 – frequências próprias do campo de vibração de placas (rad/s);
ωm1n1 – frequências próprias na forma complexa do campo de vibração de placas (rad/s);
ξ – deslocamentos laterais paralelos ao eixo y (m);
ζ – deslocamentos laterais paralelos ao eixo z (m);
∂ – diferencial infinitesimal;
∇ – operador divergência;
∇2 – operador Laplaciano tridimensional;
Λm1n1 – norma, conforme indicado na equação (21)
∫ – operador de integral.
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1. INTRODUÇÃO
1.1. MOTIVAÇÃO
A transmissão de ruído de baixa frequência (20 a 200 Hz) é um problema que não pode ser
resolvido com recurso às teorias clássicas da acústica de espaços fechados. De facto, no
domínio das baixas frequências, os campos sonoros apresentam um comportamento modal (e
não difuso), ocorrendo, portanto, um forte acoplamento modal com os campos vibratórios
instalados nas superfícies da envolvente dos espaços.
Assim, as normas actualmente existentes, quer para a medição, quer para a previsão da
transmissão sonora, não se aplicam à transmissão de ruído de baixa frequência [N.1 - N.2]. No
entanto, no que se refere à medição da transmissão sonora em laboratório, a norma
EN 140 [N.1] apresenta um anexo relativo à medição nas bandas de terços de oitava de 50 e
80 Hz. Neste anexo são indicados alguns cuidados a ter de modo a criar ambientes sonoros
quase difusos que permitam a aplicabilidade dos métodos de medição preconizados para as
bandas de terços de oitava de 100 a 3150 Hz.
No que se refere à previsão da transmissão de ruído de baixa frequência, existem alguns
métodos disponíveis, os quais foram apresentados em trabalhos de investigação relativamente
recentes [1 a 3]. Estes métodos podem ser numéricos (Método dos Elementos Finitos - MEF)
ou analíticos (Método de Análise Modal). No que se refere à análise da transmissão de ruído
de percussão, Neves e Sousa [3], propõe, com base em trabalhos anteriores [4 a 10], o método
analítico de análise modal, o qual foi validado experimentalmente para pavimentos,
homogéneos pesados com diferentes tipos de revestimento.
Embora o método proposto seja também aplicável a pavimentos heterogéneos (com
ortotropia), não foi efectuada qualquer validação experimental. A ausência de validação
experimental é particularmente crítica no caso dos pavimentos ortrotópicos leves, como é o
caso dos pavimentos de madeira tradicionais ou dos pavimentos mistos com laje de betão
colaborante com uma estrutura metálica de suporte utilizados em construções mais recentes.
Neste tipo de pavimentos, de elevada mobilidade e com frequências próprias de vibração muito
baixas, é mais difícil prever, quer a energia de impacto que é efectivamente transmitida à
estrutura, quer a energia sonora radiada para os compartimentos inferiores.
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2
Neste contexto, existe a necessidade de identificar correctamente os limites de aplicação do
método de análise modal na previsão de campos sonoros gerados por forças de impacto
aplicadas sobre pavimentos de madeira.
1.2. OBJECTIVOS
A presente dissertação tem como objectivo principal validar a aplicação do método analítico de
análise modal à previsão de campos sonoros de baixa frequência gerados em compartimentos
correntes de habitação pela vibração de pavimentos ortotrópicos leves. Uma vez que estes
campos sonoros dependem, em larga medida, do campo de vibração dos pavimentos, o
processo de validação em causa é, essencialmente, relativo à previsão do campo de vibração
gerado nos pavimentos por forças de impacto.
A validação do método será efectuada de forma numérica e experimental. No último caso,
serão utilizados resultados de ensaios obtidos por outros investigadores, tais como Mayr e
Nightingale [11]. No que respeita à validação numérica, serão comparados os resultados do
método analítico proposto com os resultados obtidos por aplicação do MEF.
O processo de validação descrito deverá fornecer os limites de aplicação do método analítico e
permitirá ainda identificar os parâmetros que condicionam a aplicação do método.
1.3. ESTRUTURA DA DISSERTAÇÃO
De modo a cumprir os objectivos da presente dissertação optou-se por organizar o texto da seguinte forma:
• Capítulo 2: Descreve o método analítico proposto para a previsão de campos de
vibração gerados em pavimentos homogéneos ou ortotrópicos por forças de
impacto pontuais.
• Capítulo 3 Descreve o processo de validação experimental e numérico, o qual se aplica
a dois casos de estudo referidos na bibliografia [11]. Para cada caso de
estudo serão apresentados os resultados experimentais disponíveis, os quais
se comparam com os resultados obtidos por aplicação do MEF. Uma vez
validado o MEF, as simulações numéricas obtidas serão utilizadas para aferir
o grau de aproximação da modelação analítica.
• Capítulo 4 Apresenta a análise efectuada com o objectivo de identificar os parâmetros
que condicionam a validade do método analítico e define limites de validade
para o método.
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3
• Capítulo 5 Descreve o método analítico proposto para a previsão de campos sonoros
gerados por pavimentos em vibração.
• Capítulo 6 Apresenta as principais conclusões do estudo e indica possíveis trabalhos
futuros sobre o tema.
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5
2. MODELAÇÃO ANALÍTICA DA VIBRAÇÃO DE PLACAS
2.1. INTRODUÇÃO
Neste capítulo é descrito o método analítico proposto por Neves e Sousa [3], com base numa
combinação de métodos propostos por outros autores, como Leissa [7], Warburton [8],
Cremer [9] e Hearmon [10], para a previsão de campos de vibração gerados em pavimentos
homogéneos ou ortotrópicos por forças de impacto pontuais.
2.2. EQUAÇÃO DA ONDA DE FLEXÃO EM PLACAS
A equação de movimento que caracteriza o comportamento vibratório de uma placa é apenas
influenciada por ondas de flexão, dado que, na análise da transmissão sonora, se observa
serem estas as mais importantes.
Em seguida, é determinada a equação diferencial de movimento de uma placa fina no plano y-
z, com deslocamentos, μ (m), perpendiculares a este e paralelos ao eixo x. Os deslocamentos
laterais ξ (m) e ζ (m) ocorrem paralelamente ao eixo y e z, respectivamente.
As vibrações, geradas numa dada estrutura por um impacto, dão origem a campos de
deformação pequenos, pelo que é possível considerar a hipótese dos pequenos
deslocamentos. Em estado plano de tensão, as extensões segundo x são nulas e os
deslocamentos laterais ξ e ζ são desprezáveis. Torna-se assim possível analisar o campo de
deformações, e εz = ∂μ / ∂z, e de tensões σy e σz (N/m2) segundo o plano médio da placa, na
sua configuração indeformada.
Por outro lado, a lei de Hooke é válida, isto é, o campo de deformações, εy e εz, relaciona-se
com o campo de tensões, σy e σz, através do módulo de elasticidade, E (Pa), do material
constituinte. Em estado plano de tensão, a aplicação da lei de Hooke, tendo em conta o efeito
de Poisson, conduz a: Eεz = σy - νσz e Eεz = σz - νσy, onde ν é o coeficiente de Poisson do
material. As expressões anteriores e as relações de compatibilidade, εy = -x χy = -x ∂2μ / ∂y 2 e
εz = -x χz = -x ∂2μ / ∂z 2, em que χy e χz são as curvaturas segundo a direcção y e z,
respectivamente, conduzem às seguintes expressões,
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6
σy = E1 - ν 2 ( )εy + νεz = - E
1 - ν 2 ⎝⎛
⎠⎞∂ 2μ
∂y 2 + ν ∂ 2μ∂z 2 ; (1.a)
σz = E
1 - ν 2 ( )εz + νεy = - E1 - ν 2 ⎝
⎛⎠⎞∂ 2μ
∂z 2 + ν ∂ 2μ∂y 2 . (1.b)
Conforme indicado na Figura 1, os momentos flectores numa placa de espessura h (m)
segundo y e z são dados por
M'yz = -⌡⌠
-h/2
h/2
σy x dx = - B' ⎝
⎛⎠⎞∂2μ
∂y2 + ν ∂μ2
∂z2 ; M'zy = -⌡⌠
-h/2
h/2
σz x dx = - B' ⎝
⎛⎠⎞∂2μ
∂z2 + ν ∂μ2
∂y2 ; (2)
onde o sinal negativo corresponde a compressões acima da linha neutra e
B' = E1-ν 2⌡⌠
-h/2
h/2
x2 dx = E
1-ν 2 h3
12 = EI´
1-ν 2 (3)
é a rigidez de flexão do elemento de placa.
Figura 1 - Esforços e tensões num elemento de placa.
Os momentos torçores podem ser determinados por
M'yy = -M'zz = ⌡⌠-h/2
h/2
τyzx dx = -2G
⎝⎜⎜⎛
⎠⎟⎟⎞∂2μ
∂y∂z⌡⌠-h/2
h/2
x2 dx = -B' ( )1-ν
∂2μ∂y∂z , (4)
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7
onde G é o módulo de distorção, o qual é dado por
G = E2( )1+ν =
E( )1-ν2( )1-ν 2 . (5)
Para baixas frequências, os comprimentos de onda de flexão são grandes quando comparados
com a secção transversal dos elementos estruturais dos edifícios correntes. Portanto, a energia
cinética utilizada no movimento de rotação é desprezável face à energia cinética utilizada no
movimento de translação transversal. Os esforços transversos podem assim ser determinados
a partir do equilíbrio dos momentos do elemento de placa da Figura 1. Estes esforços são
dados por
Qy = ∂M´yz
∂y + ∂M´zz
∂z = B'∂∂y⎝⎛
⎠⎞∂2μ
∂y2 + ∂2μ∂z2 = B'
∂∂y ∇2μ ; (6.a)
Qz = ∂M´zy
∂z + ∂M´yy
∂z = B'∂∂y⎝⎛
⎠⎞∂2μ
∂y2 + ∂2μ∂z2 = B'
∂∂z ∇2μ ; (6.b)
onde ∇2 é o operador Laplaciano.
A relação entre os esforços transversos e o movimento transversal é estabelecida pela
segunda lei de Newton, expressa por
- ∂Qy
∂y - ∂Qz
∂z = m'' ∂2μ∂t 2 , (7)
onde m’’ (kg/m2) é a massa por unidade de área da placa e t (s) é o tempo ao longo do qual
decorre a vibração
Introduzindo as equações (6.a) e (6.b) na equação (7), obtém-se
-B' ∇4μ = m'' ∂2μ∂t 2 , (8)
que corresponde à equação geral das ondas de flexão em placas. Esta equação será
posteriormente utilizada para o desenvolvimento de uma expressão para o cálculo do campo
de vibrações induzido numa placa por uma força de impacto pontual.
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8
2.3 PLACA HOMOGÉNEA SIMPLESMENTE APOIADA
2.3.1 Descrição do modelo
O elemento estrutural mais simples para a análise dinâmica do efeito de um impacto consiste
numa placa homogénea de espessura constante, simplesmente apoiada em todo o seu
contorno. Nestas condições, existe uma solução exacta para a mobilidade pontual da placa,
isto é, para a função de transferência entre uma força de impacto e o campo de velocidades
gerado na placa. Esta solução poderá ser posteriormente generalizada para outras condições
de apoio.
Para a determinação da velocidade num dado ponto da placa, considera-se que o campo de
deslocamentos, μ(y,z,t), se desenvolve através de uma função harmónica no tempo, dada por
μ(y,z,t) = μ(y,z)ejωt, (9)
onde j = -1 e ω (rad/s) é a velocidade angular da onda sonora.
A equação (8) da onda de flexão na placa pode ser então escrita na forma
∇4μ(y,z) - k4μ(y,z) = 0, (10)
onde k4 = ω2 (m''/B' ) é o número de onda de flexão, que caracteriza a periodicidade da onda no
espaço e no tempo. A sua forma inicial é k = ω / c ,onde c (m/s) é a velocidade com que uma
onda se propaga sem alteração de fase.
A solução desta equação diferencial depende apenas da definição dos parâmetros geométricos
da placa, como a espessura, as condições de apoio, e as características do material
constituinte, nomeadamente a massa volúmica, ρ (kg/m3), o coeficiente de Poisson, e módulo
de elasticidade.
Pelo método de Rayleigh [6], é possível determinar a função da deformada modal da placa a
partir das funções da deformada modal de vigas fictícias, dispostas segundo as direcções y e z
da placa, de largura unitária e com condições de apoio idênticas às da placa. As funções de
forma da placa são então dadas por
μm1n1(y,z) = μm1
(y) μn1(z), (11)
onde μm1 e μn1
são as funções de forma das vigas.
Numa placa rectangular, de largura b (m) e comprimento c (m), como a representada na
Figura 2, os deslocamentos segundo o eixo z terão de ser nulos em todo o seu contorno, assim
como os momentos flectores. Para que as deformadas modais das vigas sejam compatíveis, os
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9
deslocamentos μm1(y) e μn1
(z) terão de ser nulos nas coordenadas y = 0, y = b, z = 0, e z = c.
Para as mesmas coordenadas, também as segundas derivadas das funções forma terão de ser
nulas.
Uma vez que as funções μm1(y) e μn1
(z) têm variáveis independentes, a equação (8) poderá ser
resolvida para cada direcção y e z, também de uma forma independente. Assim, para a
direcção y, a equação (8) é dada por
-B' ∂4μy
∂y 4 = m'' ∂2μy
∂t 2 , (12)
Figura 2 - Dimensões da placa rectangular homogénea.
As deformadas modais μm1(y) da viga fictícia têm a forma
μm1 = C1sen(Ky)+C2cos(Ky)+C3senh(Ky)+C4cosh(Ky), (13)
onde K é uma constante. As funções μm1(y) são determinada de uma forma análoga.
Resolvendo-se a expressão (13) para as condições de fronteira atrás indicadas, obtêm-se as
funções dos deslocamentos modais da placa,
μm1n1(y,z) = Am1n1
sen⎝⎛
⎠⎞m1πy
b sen⎝⎛
⎠⎞n1πz
c , (14)
onde Am1n1 são constantes de integração.
As frequências fundamentais da placa podem então ser determinadas pela substituição da
equação (14) na equação (10), obtendo-se
ωm1n1 = π2 B'
m'' ⎣⎡
⎦⎤
⎝⎛
⎠⎞m1
b
2
+⎝⎛
⎠⎞n1
c
2
. (15)
A determinação das frequências próprias de um elemento estrutural baseia-se no princípio de
conservação de energia num sistema a oscilar em regime livre. O regime forçado é imposto
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10
pela introdução de uma parcela p(y,z,t) no lado esquerdo da equação (7), a qual corresponde à
actuação de uma força externa num ponto (y,z) da placa, com direcção perpendicular a esta e
intensidade variável em função do tempo. A equação (8) é então reescrita como
B'∇4μ(y,z,t) + m'' ∂2μ(y,z,t)
∂t 2 = p(y,z,t). (16)
Para se obter uma equação que exprima a velocidade de um dado ponto da placa devida a
essa força, introduz-se a relação vx(y,z,t) = jωμ(y,z,t). A equação (16) transforma-se assim em
B' ∇4vx(y,z) - m'' ω2 vx(y,z) = jω p(y,z). (17)
A solução da equação (17) é dada por
vx(y,z) = ∑m1n1 = 1
∞
[ ]Am1n1 ϕm1n1
(y,z) , (18)
em que ϕm1n1(y,z) = sen(m1πy / b) sen(n1πz / c) são as funções de forma que satisfazem as
condições de fronteira de uma placa simplesmente apoiada.
Substituindo as equações (15) e (18) em (17) obtém-se, tendo em conta a equação (10),
∑m1n1 = 1
∞
[ ]Am1n1(ω2
m1n1 - ω2)ϕm1n1
(y,z) = ωm'' p(y,z). (19)
A constante de integração Am1n1é determinada por multiplicação de ambos os membros da
equação (19) por ϕm1n1 e posterior integração na área da placa. Tendo em conta a condição de
ortogonalidade dos modos de vibração, obtém-se
Am1n1 = j ωm'' ⋅
⌡⌠0
b
⌡⌠0
c
p(y,z) ϕm1n1
(y,z)dydz
( )ω 2m1n1
- ω2 Λm1n1
, (20)
onde
Λm1n1 = ⌡⌠
0
b
⌡⌠0
c
ϕ 2
m1n1(y,z)dydz. (21)
Para uma placa simplesmente apoiada, Λm1n1 = bc / 4.
Considerando que a acção externa corresponde a uma força pontual, aplicada no ponto (y0, z0),
de amplitude F = p(y,z)dydz, a função p(y,z) é dada por
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11
p(y,z) = Fδ(y - y0) δ(z - z0), (22)
onde δ(y - y0) é a função de Dirac, tal que δ(y - y0) = 1, se y = y0, ou δ(y - y0) = 0, se y ≠ y0. A
funçãoδ(z - z0) é similar.
Introduzindo as equações (20) a (22) em (18) obtém-se a expressão
vx(y, z) = j 4 ω Fm'' b c ∑
m1,n1 = 1
∞
⎣⎢⎡
⎦⎥⎤ϕm1n1
(y, z) ϕm1n1(y0, z0)
ω 2m1n1
- ω 2 , (23)
a qual fornece a velocidade pontual de uma placa homogénea, simplesmente apoiada, sem
perdas por amortecimento. O efeito de amortecimento no sistema pode ser considerado pela
adição, às forças elásticas, de forças viscosas, proporcionais à derivada no tempo da
deformação. A lei de Hooke toma assim a forma
σ(t) = D ⎣⎡
⎦⎤ε(t) + υ
dε(t)dt , (24)
onde D e υ são, respectivamente, a rigidez e o parâmetro de viscosidade do material
constituinte. Para ε(t) = ε cos(ωt), a equação (24), depois de alguma manipulação matemática,
é dada por
σ(t) = D ε 1 + ω2υ2 + cos[ ]ωt + arctg(ωυ) . (25)
Deste modo, para a variação periódica da deformação, o principal efeito do amortecimento é a
produção de uma diferença de fase entre a deformação e a tensão. Isto pode ser expresso, em
notação complexa, por uma rigidez complexa D = D1 + j D2, obtendo-se
σ(t) = Re( )Dε ejωt = ε [ ]D1cos(ωt) - D2sen(ωt) . (26)
Se o factor de perdas da placa for definido como η = D2/D1, em que η = ωυ para o modelo de
viscosidade descrito anteriormente, então D = D1(1 + jη). Assim, a rigidez de flexão da placa é
dada, em notação complexa, por
B' = E1 - ν 2
h3
12 (1+ jη) = B' (1 + jη) . (27)
Page 25
12
A introdução da equação (27) na equação (10) obriga a que as frequências próprias, ωm1n1
tenham também de ser expressas em notação complexa por ωm1n1 = ωm1n1
1 + jη.
Assim, a equação que descreve a velocidade de um dado ponto da placa é expressa por
vx(y, z) = j 4 ω Fm'' b c ∑
m1,n1 = 1
∞
⎣⎢⎡
⎦⎥⎤ϕm1n1
(y, z) ϕm1n1(y0, z0)
ω 2m1n1
(1 + j η) - ω 2 . (28)
2.3.2 Implementação do modelo
Com o apoio de um programa computacional, a equação (28) pode ser resolvida com relativa
facilidade.
O programa de execução é composto por uma fase de leitura de dados, input, uma fase de
tratamento dos dados, e uma última fase de apresentação dos resultados obtidos, output.
A fase de tratamento de dados organiza-se em duas partes. A primeira parte determina os
modos de vibração da placa, sendo estes posteriormente contados, ordenados e armazenados
numa matriz com a forma [(m1, n1, ωm1n1)×Nplaca].
O parâmetro Nplaca corresponde ao número de modos da placa considerados, o qual depende
da frequência máxima que será analisada. Neste estudo são analisadas as frequências
compreendidas entre os 18 Hz e os 225 Hz, que correspondem aos limites inferior e superior
das bandas de terços de oitava de 20 e 200 Hz, respectivamente. As frequências abaixo dos
20 Hz têm importância reduzida para o presente estudo por se situarem foram do intervalo de
frequências audíveis do ser humano. Quanto às frequências acima dos 200 Hz, observa-se
que, para as dimensões correntes dos compartimentos dos edifícios de habitação, o campo
sonoro instalado já não apresenta características modais.
Uma vez que, de acordo com a equação (28), o campo de vibração da placa resulta do
somatório de contribuições de cada modo de vibração, é necessário considerar um intervalo de
frequências mais largo. Considera-se suficiente admitir uma frequência quatro vezes superior
ao limite anteriormente estabelecido, pelo que a frequência máxima adoptada será de 900 Hz
(4 × 225 Hz).
A segunda parte corresponde à resolução da equação (28). Esta parte implica a soma de Nplaca
parcelas para cada frequência compreendida entre os 18 Hz e os 225 Hz.
O método, descrito pela equação (28), para a definição do campo de vibração de uma placa
homogénea induzido por uma força de impacto pontual foi validado numérica e
experimentalmente por Neves e Sousa [3] e apresenta a vantagem de ser extremamente
rápido, em baixas frequências, por envolver um número relativamente baixo de operações.
Page 26
13
2.4 PLACA ORTOTRÓPICA SIMPLESMENTE APOIADA
2.4.1 Descrição do modelo
A ortotropia pode resultar das propriedades anisotrópicas dos materiais do pavimento ou de
diferentes secções geométricas do pavimento nas duas direcções principais de flexão. Os
pavimentos de madeira contêm ambos os tipos de ortotropia. Assumindo que, quer o
revestimento, quer as vigas são do mesmo material e tendo em conta que estas componentes
do pavimento funcionam de forma separada nas diferentes direcções, a anisotropia do material
pode ser desprezada e, portanto, apenas terá de ser considerada a ortotropia geométrica.
Em estudos anteriores sobre a vibração de pavimentos vigados de madeira foram identificados
três domínios de frequência distintos que requerem a utilização de diferentes métodos de
previsão [12-14].
Para frequências altas e comprimentos de onda muito menores do que a distância entre vigas,
a ligação do revestimento às vigas é pontual e, por esse motivo, a resposta do pavimento é
controlada pelas propriedades do revestimento.
Para frequências médias e comprimentos de onda da mesma ordem de grandeza da distância
entre vigas, o revestimento do pavimento comporta-se como estando ligado às vigas ao longo
de todo o comprimento destas e o número de onda do pavimento corresponde ao de uma viga
fina com rigidez idêntica à da placa ortotrópica nessa direcção.
Para baixas frequências e comprimentos de onda muito maiores do que a distância entre vigas
é provável que o revestimento e as vigas se movam de forma conjunta e, portanto, o sistema
pode ser modelado com recurso à teoria da placa equivalente, i.e, modelando a laje reforçada
pela vigas como uma placa anisotrópica equivalente [9, 12-16]. Este modelo de placa
equivalente deve ser definido de forma que os números de onda para ondas de flexão possam
ser estimados com precisão suficiente.
Orrenius e Finnveden [14] observaram que existem modos de vibração do pavimento que
correspondem ao revestimento e às vigas a vibrarem em conjunto (modos “rígidos”) também a
frequências mais altas, o que parece indicar que, mesmo para estas frequências mais
elevadas, a teoria da placa equivalente fornece estimativas razoáveis dos números de onda
correspondentes à propagação de ondas associadas a modos rígidos.
Em seguida, é apresentada a equação de movimento para placas ortotrópicas que se
desenvolvem no plano yz. As expressões (1.a) e (1.b) são agora dadas por
Page 27
14
σy = 1
1 - νyνz ( )Eyεy + νyEzεz = - x
1 - νyνz ⎝⎛
⎠⎞Ey
∂2μ∂y2 + νyEz
∂2μ∂z2 ; (29.a)
σz = 1
1 - νyνz ( )Ezεz + νzEyεy = - x
1 - νyνz ⎝⎛
⎠⎞Ez
∂2μ∂z2 + νzEy
∂2μ∂y2 ; (29.b)
onde Ey e Ez correspondem aos módulos de elasticidade das duas direcções principais. O
coeficiente de Poisson na direcções y e z são dados por νy e νz, respectivamente. Como
consequência da necessidade de simetria das condições tensão-deformação, é normalmente
aceite a hipótese de que νyEz = νzEy = Eyz. De acordo com Nightingale [13], esta condição pode
não ser verificada em placas reforçadas com vigas, e portanto, nessas situações, o número de
onda na direcção principal já não é controlado apenas pela rigidez de flexão nessa direcção.
Os momentos flectores que resultam das equações (29) são dados por
M'yz = -⌡⌠
-h/2
h/2
σy x dx = B'y
∂μ2
∂y2 + B'0 ∂μ2
∂z2 ; (30.a)
M'zy = ⌡⌠
-h/2
h/2
σz x dx = -B 'z
∂ 2μ∂z2 - B'0
∂ 2μ∂y2 ; (30.b)
onde B'y = Ey h3/[ ]12 (1 - νyνz) e B'z = Ez h3/[ ]12 (1 - νyνz) são os módulos de rigidez de flexão da
placa equivalente com a espessura uniforme h; e B'0 = Eyz h3/[ ]12 (1 - νyνz) .
Os momentos torçores são calculados de acordo com as expressões
M'yy = -M'zz = ⌡⌠
-h/2
h/2
τyz x dx = -2
G h3
12 ⋅∂ 2μ∂y∂z = -2 B 'yz
∂ 2μ∂y∂z . (31)
Em resultado do equilíbrio estático de momentos e da segunda lei de Newton, obtém-se a
equação geral de flexão para placas ortotrópicas, a qual é dada por
B'y ∂ 4μ(y, z, t)
∂y 4 + 2 H ∂ 4μ(y, z, t)∂ y2∂ z2 + B'z
∂ 4μ(y, z, t)∂ z4 + m''
∂ 2μ(y, z, t)∂ t 2 = p( )y, z, t (32)
onde H = B'0 + 2 B'yz representa a relação tensão-deformação no plano da placa ortotrópica e a
rigidez de corte transversal.
De acordo com autores como Bares [17], Panc [18] e Szilard [19], o módulo de corte no plano
yz, pode ser estimado por G = EyEz / [ ]2 ( )1 + νyνz . Como definido por Timoshenko [15],
Panc [18] e Thomas [20], os valores de G deverão ser confirmados por ensaios de laboratório,
ou seja, deverá ser usado um factor de correcção G0. No caso de lajes vigadas de madeira,
tem-se (νy ≈ νz) ≈ ν ⇒ νyνz ≈ ν.
Page 28
15
Figura 3 - Tipo de modelação adoptada.
De acordo com Cremer [9] e Timoshenko [15], a teoria acima descrita fornece apenas uma
aproximação grosseira da resposta em vibração do pavimento ilustrado na Figura 3, sendo, por
isso, necessário melhorar a precisão do modelo. Assumindo que as vigas estão orientadas
segundo a direcção y (com comprimento b) e tomando o módulo de elasticidade Ez do
revestimento como módulo de elasticidade do material da placa equivalente (E), as rigidezes
da laje podem ser calculadas através das expressões seguintes:
B'y = E Ijws
; (33)
B 'z = E ws h
3
s
12 ⎣⎡
⎦⎤ws - wj + ⎝
⎛⎠⎞hs
ht
3
⋅wj
; (34)
B'0 = 0; B 'yz = G h
3
s12 +
GJj2 ws
; (35)
onde Ij (m4) corresponde ao momento de inércia de uma viga (secção em T), calculada através
da largura efectiva assumida como ws; e Jj (m4) corresponde ao momento de inércia de torção
que pode ser obtido em qualquer tabela técnica. Nas equações acima descritas, o módulo de
corte G é igual a G0 E[ ]2 (1 + ν) .
Para placas homogéneas simplesmente apoiadas, de espessura constante, o campo de
velocidades vx(y,z) gerado por uma força pontual de amplitude F é dado pela expressão (28),
onde as frequências modais do pavimento ωm1n1 são agora dadas por
ωm1n1 =
π2
m''
m41 B'yb4 +
2 m21 n
21 H
b2c2 + n4
1 B'zc4 . (36)
ωlmn ≈ ωlmn(1 + jη / 2) (37)
O factor de perdas η na expressão (28) é dado por
ws
wj
ws
wj wj
hj
hs
Page 29
16
η = 0,015 + 2 α -
31/4 π3/2 c cL hs
f + Nj Bj
2b B'w , (38)
onde Bj é a rigidez de flexão de uma viga e B´
w é a rigidez de flexão da parede de suporte. O
primeiro termo da equação (38) corresponde às perdas internas do material e o segundo e
terceiro termos correspondem a aproximações, dadas por Craik [21], para as perdas por
acoplamento que ocorrem, a baixas frequências, no perímetro do pavimento, ao longo do
contacto linear piso/parede (eixo y) e dos contactos pontuais viga/parede (eixo z).
2.4.2 Implementação do modelo
Com o apoio de um programa computacional, a equação (28), com as alterações impostas
pelas expressões (36) e (38), pode, mais uma vez, ser resolvida com relativa facilidade.
Em geral, o modelo pode ser implementado de forma idêntica à descrita na secção 2.3.2.
Contudo, uma vez que a expressão (28), na sua forma original, foi desenvolvida para secções
homogéneas, é necessário, no caso das placas ortotrópicas, proceder a uma homogeneização
prévias da secção segundo o eixo y.
Page 30
17
3. VALIDAÇÃO DO MODELO
3.1. INTRODUÇÃO
No presente capítulo é descrito o processo de validação do modelo apresentado em 2.4 para
previsão do campo de vibração de uma placa ortotrópica sujeita a uma força de impacto
pontual.
A forma ideal de validar o método consiste na realização de ensaios comparativos em
laboratório ou in situ. Uma vez que os ensaios in situ envolvem uma quantidade demasiado
grande de incertezas e que os ensaios em laboratório não poderiam ser, actualmente,
realizados nas instalações do Departamento de Engenharia Civil do Instituto Superior Técnico,
optou-se por recorrer a resultados de ensaios disponíveis na bibliografia. Infelizmente, a
bibliografia encontrada foi escassa, limitando-se a informação disponível para análise aos
resultados dos testes laboratoriais realizados por Mayr e Nightingale [11] em placas
ortotrópicas de Plexiglas (placa monolítica de vidro acrílico) [W.1] e de madeira.
Assim, a validação do método processar-se-á em duas fases. Primeiro, os resultados
experimentais de Mayr e Nightingale [11] serão utilizados para validar directamente o Método
dos Elementos Finitos. Para tal será utilizado o programa comercial de análise estrutural,
SAP2000 [22]. De seguida, o MEF, entretanto validado, servirá para validar, indirectamente, o
método analítico descrito em 2.4.
3.2. ENSAIOS DE LABORATÓRIO DE MAYR E NIGHTINGALE
3.2.1. Descrição geral
Mayr e Nightingale [11] efectuaram medições da mobilidade pontual de pavimentos de teste em
Plexiglas e em madeira.
O pavimento de teste em Plexiglas (Figura 4) é constituído por uma placa com 2,40 × 1,20 m2,
com uma espessura de 12 mm, reforçada com vigas espaçadas de 40 cm. As vigas têm uma
secção transversal rectangular com 18,7 mm de largura por 235 mm de altura e estão ligadas à
placa por 16 parafusos igualmente espaçados.
Foram consideradas as seguintes propriedades do material: ρ = 1190 kg/m3; E = 3,3 GPa; e
ν = 0,37.
Todos os bordos da placa foram considerados livres.
Page 31
18
I1
H1
G1
F1
E1
D1
C1
B1
A1
0
0,4
0,8
1,2
0 0,4 0,8 1,2 1,6 2 2,4
z (m)
y (m)
Figura 4 - Localização dos pontos de medição para o pavimento de teste em Plexiglas.
O pavimento de madeira testado (Figuras 5 e 6) é constituído por placa de revestimento e vigas
de diferentes tipos de madeira. O revestimento é constituído por placas de aglomerado de
fibras de madeira com 4,55 × 4,95 m2, com uma espessura de 21 mm, ligadas a 7 vigas de
pinho por parafusos espaçados de 20 cm. As vigas têm uma secção transversal com 96 mm de
largura e 192 mm de altura.
Figura 5 – Solução construtiva do pavimento de teste em madeira.
Foram consideradas as seguintes propriedades dos materiais: ρrevestimento = 668 kg/m3;
ρvigas = 400 kg/m3; Erevestimento = 2 GPa; Evigas = 11 GPa; νrevestimento = 0,30 e νvigas = 0,25.
Todos os bordos da placa de revestimento foram considerados simplesmente apoiados.
A mobilidade pontual dos dois pavimentos de teste acima descritos foi medida por Mayr e
Nightingale [11] nos pontos indicados nas Figuras 4 e 6.
Page 32
19
G2
F2E2D2
H2
C2B2A2
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
4,5
0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0
z (m)
y (m)
Figura 6 - Localização dos pontos de medição para o pavimento de teste em madeira.
Os valores reais das mobilidades pontuais medidas por Mayr e Nightingale [11] foram
comparados com os valores característicos da mobilidade pontual (mobilidade característica)
das placas de revestimento e das vigas presentes em cada pavimento de teste.
As mobilidades características dos pavimentos correspondem às mobilidades pontuais obtidas
em pavimentos com a mesma configuração mas de dimensões infinitas em planta. Pode
constatar-se que as mobilidades características são valores (limites) para os quais tendem os
espectros de mobilidade pontual dos pavimentos. As mobilidades características afastam-se
mais do espectro da mobilidade pontual dos pavimentos nas baixas frequências, onde os
pavimentos exibem um comportamento modal, dependente das suas dimensões em planta.
Nas altas frequências, onde o comportamento dinâmico dos pavimentos pode ser definido
como estatístico e independente das suas dimensões em planta, a mobilidade característica
constitui uma boa aproximação do espectro da mobilidade pontual dos pavimentos.
As mobilidades características de uma viga e de uma placa são dadas, respectivamente, por
Re{Yc,j}= 1
4 cB m'j ; (39)
Re{Yc,s} = 1
8 B's m''s ; (40)
onde cB, dada por
cB = λB f , (41)
Page 33
20
é a velocidade de propagação das ondas de flexão numa viga de massa m’j (kg/m). O
comprimento de onda de flexão, λB, em placas é dado por
λB = B'm''
2πf (m). (42)
3.2.2. Pavimento de teste em Plexiglas
Na estrutura de Plexiglas foram definidos 4 pares de pontos idênticos (A1 e I1; B1 e H1; C1 e G1;
D1 e F1) e um ponto (E1) que marca o eixo de simetria em relação aos restantes pontos de
medição. Desta forma, existem 2 pontos de medição que se encontram em cima de uma viga
de reforço (pontos A1 e I1) e um ponto (E1) que se encontra sobre a placa de piso,
precisamente a meia distância entre vigas. Os pontos A1 a I1 estão distanciados 0,05 m uns
dos outros (Figura 4).
Os resultados experimentais de Mayr e Nightingale [11] mostram que é a distância do ponto de
medição à viga de reforço mais próxima que determina a mobilidade pontual do pavimento.
Assim, nos pontos A1 e I1 o comportamento registado nas baixas frequências será próximo do
comportamento de uma viga infinita, tendendo nas altas frequências, para o comportamento de
placa infinita, o que mostra claramente que, para frequências mais altas, o revestimento
funciona de forma completamente independente da viga (Figura 7). De uma forma mais
precisa, como demonstrado por Mayr e Nightingale [11], a mobilidade do pavimento é, em
virtude do exposto, determinada pela distância do ponto de medição ao ponto de ligação da
viga à placa de revestimento (parafuso).
1,E-06
1,E-05
1,E-04
1,E-03
1,E-02
100 125 160 200 250 315 400 500 630 800 1000 1250 1600 2000 2500 3150 4000 5000 f (Hz)
Re{Y } (m/Ns)
Ponto A1 Ponto B1 Ponto C1 Ponto D1Ponto E1 Ponto F1 Ponto G1 Ponto H1Ponto I1 Yc,j Yc,s
Figura 7 – Valores reais do espectro de mobilidade pontual do pavimento de teste em
Plexiglas em bandas de terços de oitava [11].
Page 34
21
No ponto E1 o pavimento deverá apresentar um comportamento dinâmico próximo do da placa
infinita. Nos pontos restantes, o comportamento dinâmico do pavimento deverá situar-se entre
estes dois limites: viga e placa infinitas.
3.2.3. Pavimento de teste em madeira
No pavimento de teste em madeira, foram seleccionados pontos de medição de uma forma
mais aleatória. No entanto, as conclusões retiradas da análise das mobilidades pontuais
medidas são semelhantes às obtidas por análise do pavimento em Plexiglas (Figura 8).
1,E-06
1,E-05
1,E-04
1,E-03
1,E-02
50 63 80 100 125 160 200 250 315 400 500 630 800 1000 1250 1600 2000 2500 f (Hz)
Re{Y } (m/Ns)
Ponto A2 Ponto B2 Ponto D2 Ponto E2
Ponto G2 Yc,j Yc;s
Figura 8 - Valores reais do espectro de mobilidade pontual do pavimento de teste em madeira
em bandas de terços de oitava [11].
Na Figura 9 são apresentados os valores reais do espectro de mobilidade pontual em banda
estreita obtidos nos pontos B2 e D2 do pavimento de teste em madeira.
1,E-06
1,E-05
1,E-04
1,E-03
1,E-02
20 70 120 170 220 f (Hz)
Re{Y } (m/Ns)
Ponto B2 Ponto D2
Figura 9 - Valores reais do espectro de mobilidade pontual do pavimento de teste em madeira
em banda estreita [dados fornecidos por Andreas Mayr [11].
Page 35
22
3.3. VALIDAÇÃO NUMÉRICA
3.3.1. Descrição do processo de validação
A validação numérica do modelo de cálculo descrito na secção 2.4 foi efectuada por
comparação com modelos de elementos finitos construídos com base num programa comercial
[22]. Num primeira fase, com o objectivo de confirmar a correcta utilização do programa de
cálculo automático, optou-se por testar um pavimento homogéneo submetido a uma força de
impacto pontual. Os resultados fornecidos pelo MEF puderam ser validados por comparação
com os resultados obtidos com o modelo analítico descrito na secção 2.3, o qual foi
previamente validado experimentalmente por Neves e Sousa [3].
Uma vez validado o MEF para pavimentos homogéneos, foram construídos modelos de
elementos finitos relativos aos pavimentos de teste descritos em 3.2, os quais, após validação
por comparação com os resultados experimentais obtidos por Mayr e Nightingale [11],
permitiram definir um processo adequado de construção de modelos de pavimentos
ortotrópicos leves.
Em seguida, são descritos os modelos de elementos finitos acima referidos.
3.3.2. Pavimento homogéneo
A avaliação, pelo MEF, do campo de vibração de um pavimento uniforme sujeito à acção de
uma força de impacto pontual pode ser efectuada de diferentes formas. No presente trabalho,
onde se pretende determinar funções de mobilidade pontual do pavimento, ou seja, funções de
transferência entre a força de impacto e a vibração num determinado ponto do pavimento,
optou-se por efectuar uma análise no domínio do tempo. Desta forma, a força dinâmica
exercida no pavimento foi introduzida no programa de cálculo automático através de um sinal
no tempo (impulso apresentado na Figura 10) com um espectro correspondente constante e de
valor unitário (Figura 11).
A resposta do pavimento foi assim obtida em diferentes pontos na forma de sinais no tempo, os
quais foram posteriormente convertidos em espectros de velocidade por aplicação do algoritmo
FFT (Fast Fourier Transform). Estes espectros correspondem aos espectros de mobilidade
desejados.
O MEF pode ser aplicado com base em integração no tempo ou em análise modal. Neste
trabalho, tendo em conta o objectivo de validação do método analítico de análise modal, optou-
se por aplicar o MEF também com base na análise modal. Este procedimento tem a vantagem
de permitir identificar de forma mais directa os modos de vibração dos pavimentos e os
eventuais desvios registados entre o método numérico e o método analítico.
Page 36
23
5,00E-01
1,00E+00
1,50E+00
0 50 100 150 200 250
f (Hz)
F (N)
Figura 10 – Espectro de força de impacto aplicada no pavimento.
0,00E+00
5,00E-01
1,00E+00
1,50E+00
2,00E+00
0,000 0,001 0,002
t (seg)
F (N)
Figura 11 – Impulso da força de impacto aplicada no pavimento.
A opção por uma análise modal no programa de elementos finitos exige alguns cuidados,
nomeadamente, na escolha do número de modos de vibração a calcular. Uma vez que o
método numérico de Elementos Finitos, bem como o método analítico proposto, recorre à
análise modal, a resposta da placa vibrante resulta da sobreposição dos efeitos de cada modo
de vibração. Assim, a precisão da resposta aumenta com o número de modos de vibração
considerado. Uma vez que se pretende obter uma resposta fiável no domínio das baixas
frequências (20-200 Hz) quer em banda estreita, quer em bandas de 1/3 de oitava, onde o
limite superior da banda de 200 Hz se situa a 225 Hz, é necessário efectuar a análise, pelo
menos, até 900 Hz, conforme foi explicado em 2.3.2.
Page 37
24
Tendo em conta as observações acima indicadas, optou-se por modelar um pavimento de
betão armado, simplesmente apoiado, com 5,00 × 4,00 m2 de área e 20 cm de espessura.
Consideraram-se as seguintes propriedades do betão armado:
• Massa volúmica ρ = 2400 kg/m3, onde é contabilizada a massa do betão (2300 kg/m3)
e a massa da armadura ordinária (100 kg/m3 de betão);
• Módulo de elasticidade E = 30 GPa;
• Coeficiente de Poisson ν = 0,2;
• Factor de perdas dado por
η = 0,01 + 1f , (43)
onde a primeira parcela corresponde às perdas internas de energia de vibração sob a
forma de calor e a segunda parcela a uma aproximação das perdas ocorridas no
perímetro do pavimento por transmissão a outros elementos estruturais [21]. O
coeficiente de amortecimento introduzido no modelo numérico, ζ, é um parâmetro de
amortecimento que se relaciona com o factor de perdas por ζ = η / 2.
O pavimento foi modelado com elementos de casca do tipo “Shell – Thin” [22], sendo este o
tipo de secção mais corrente na modelação de elementos estruturais planos. Considerando os
limites de aplicabilidade do método numérico, foi definida uma malha de elementos
rectangulares de largura não superior a um sexto do menor comprimento de onda analisado.
Foram utilizados elementos de 30 cm de largura, pelo que a regra atrás enunciada foi cumprida
com uma margem bastante confortável. Na Figura 12 é ilustrado o modelo do pavimento.
Figura 12 - Modelo do pavimento de betão armado.
Na Figura 13 são apresentados os espectros de mobilidade obtidos para análises efectuadas
até aos 450, 900 e 1800 Hz. Observa-se que, de facto, quando se passa de uma frequência
máxima de 450 Hz para 900 Hz, a resposta do pavimento é alterada para frequências
superiores a 35 Hz. No entanto, quando se utiliza uma frequência máxima de análise de
1800 Hz, não se registam alterações na resposta do pavimento para frequências inferiores a
225 Hz, o que confirma a regra descrita em 2.3.2.
Page 38
25
1,E-05
1,E-04
1,E-03
1,E-02
1,E-01
5 15 25 35 45 55 65 75 85 95 105 115 125 135 145 155 165 175 185 195 205 215 f (Hz)
Re{Y } (m/Ns)
1800Hz 900Hz 450Hz
Figura 13 – Efeito da sobreposição modal.
Para efeitos de validação deste modelo, foram calculados os espectros das velocidades em
dois pontos do pavimento de betão armado, definidos pelas coordenadas (y, z) = (y0, z0) =
(1,50; 1,25) m e (y, z) = (y0, z0) = (2,50; 2,00) m. As Figuras 14 e 15 mostram as magnitudes
das funções de transferência entre a força de impacto exercida no pavimento e a velocidade
obtidas com o MEF e com o método analítico descrito na secção 2.3.
1,E-05
1,E-04
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1,E-01
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 f (Hz)
Re{Y } (m/Ns)
MEF Análise Modal
Figura 14 - Amplitude da mobilidade calculada no ponto (y, z) = (1,50; 1,25) m com os
métodos numérico e analítico. Para ambos os pontos, observa-se que a magnitude da mobilidade obtida através do método
numérico se aproxima bastante dos valores teóricos. Os modos de vibração do pavimento
surgem também em frequências semelhantes às obtidas teoricamente. Como exemplo, o modo
(m1,n1) = (1,1), doravante designado apenas por modo (1,1), surge nas frequências 33,4 Hz e
33,5 Hz para o método MEF e analítico, respectivamente.
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26
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1,E-01
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 f (Hz)
Re{Y} (m/Ns)
MEF Análise Modal
Figura 15 - Amplitude da mobilidade calculada no ponto (y, z) = (2,50; 2,00) m com os métodos numérico e analítico.
Essencialmente, estes resultados permitem concluir que os procedimentos adoptados na
utilização do SAP2000 [22] para a modelação numérica do pavimento estão correctos,
podendo, assim, ser seguidos para a modelação de estruturas mais complexas.
3.3.3. Pavimentos ortotrópicos leves
A modelação de pavimentos ortotrópicos constituídos por placas finas reforçadas por vigas
deve ter em conta dois aspectos fundamentais. Um destes aspectos é a posição do centro de
gravidade das diferentes componentes do pavimento, a qual é importante para definir
correctamente as suas propriedades mecânicas, em particular, a rigidez de flexão.
O outro aspecto a ter em conta na modelação é a ligação das vigas de reforço à placa, a qual é
importante principalmente nas frequências mais altas. No entanto, com o objectivo de eliminar
o maior número possível de eventuais fontes de erro, optou-se, neste trabalho, por modelar a
ligação pontual das vigas de reforço à placa. Para tal, foram utilizados, no programa
SAP2000 [22], elementos “constraint” caracterizados por serem indeformáveis à flexão e à
compressão, o que garante uma ligação perfeitamente rígida. Estes elementos rígidos foram
definidos entre pontos no centro de gravidade da viga e pontos no centro de gravidade da
placa, os quais se situam tão próximo quanto o permitido pelas condicionantes da malha
adoptada das posições reais dos parafusos no pavimento testado experimentalmente.
3.3.3.1. Pavimento de teste em Plexiglas
Tendo em conta os aspectos de modelação acima referidos, optou-se por modelar o pavimento
de teste de Plexiglas, na zona de interesse, com elementos de placa quadrados de 5×5 cm2
ligados a vigas modeladas com elementos de barra com 5 cm de comprimento por elementos
Page 40
27
rígidos (parafusos) espaçados, em geral, de 10 cm. Fora da zona de interesse do pavimento
optou-se por uma malha de elementos de placa quadrados de 10×10 cm2, reduzindo, dessa
forma, significativamente a dimensão do modelo e o tempo de cálculo, sem perda de precisão.
A ligação entre os elementos de placa de diferentes dimensões foi efectuada tendo em atenção
a necessidade de garantir a continuidade e compatibilidade entre o nós da malha, de acordo
com a Figura 16
Figura 16 - Compatibilização da malha de elementos finitos de placa na zona de transição.
Na Figura 17 é ilustrada a diferença de mobilidades obtida pelo MEF para um pavimento de
teste diferente do pavimento de Plexiglas modelado com uma malha apertada em toda a área e
com uma malha mais larga nas zonas exteriores à zona de controlo da mobilidade.
1,E-07
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0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 f (Hz)
Re{Y } (m/Ns)
Malha mais apertada Malha mais larga
Figura 17 - Comparação de espectros de mobilidade obtidos pelo MEF com diferentes
malhas de elementos de placa.
Page 41
28
Na Figura 18 é apresentada a modelação de uma viga de reforço, incluindo os parafusos de
ligação à placa de piso.
Figura 18 – Vista de uma viga de reforço (█), com indicação dos parafusos (█) de ligação
à placa (█).
Apesar de o pavimento em Plexiglas testado experimentalmente apresentar os bordos da placa
de piso livre (FF), optou-se por modelar, além desta situação, também a situação de placa de
piso simplesmente apoiada no bordo (SS). Tal deve-se ao facto de o método analítico a validar
ter sido desenvolvido para placas simplesmente apoiadas e também ao facto de a generalidade
dos pavimentos existentes apresentar o bordo apoiado em paredes. Por outro lado, desta
forma, é possível avaliar a influência das condições de apoio do bordo da placa de piso no
desempenho do pavimento. Na figura 19 é apresentado o modelo tridimensional do pavimento
de teste em Plexiglas com o bordo simplesmente apoiado.
Figura 19 – Modelo tridimensional do pavimento de teste em Plexiglas com o bordo
simplesmente apoiado.
Na Figura 20 são apresentados os espectros da parte real da mobilidade obtidos com o MEF
para os pontos A1 a I1, em ambos os modelos (FF e SS). Para efeitos de validação do modelo é
apresentado, na Figura 21, uma comparação entre os espectros em bandas de terços de oitava
da parte real das mobilidades medidas experimentalmente no pontos A1, C1 e E1 com os
espectros correspondentes obtidos com o MEF para os casos de placa de piso com bordos
livres e simplesmente apoiados.
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29
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100 125 160 200 250 315 400 500 630 800 1000 f (Hz)
Re{Y } (m/Ns)
Yc,j Yc,s Y(A1;I1)_FF Y(B1;H1)_FFY(C1;G1)_FF Y(D1;F1)_FF Y(E1)_FF Y(A1;I1)_SSY(B1;H1)_SS Y(C1;G1)_SS Y(D1;F1)_SS Y(E1)_SS
Figura 20 - Espectros da parte real da mobilidade obtidos com o MEF para os pontos A1 a I1, em ambos os modelos (FF e SS).
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100 125 160 200 250 315 400 500 630 800 1000 f (Hz)
Re{Y } (m/Ns)
Yc,j Yc,s Y(A1)_FF Y(C1)_FFY(E1)_FF Y(A1)_SS Y(C1)_SS Y(E1)_SSY(A1;Medição) Y(C1;Medição) Y(E1;Medição)
Figura 21 - Comparação entre os espectros da parte real das mobilidades medidas experimentalmente no pontos A1, C1 e E1 com os espectros correspondentes obtidos com o MEF para ambos os modelos (FF e SS).
A Figura 21 mostra que os resultados obtidos com os dois modelos não diferem
significativamente, o que permite concluir que as condições de apoio do bordo da placa de piso
não são muito importantes para o desempenho do pavimento, podendo, por isso, de uma forma
simplificada, considerar-se, na generalidade dos casos, os bordos simplesmente apoiados.
Esta simplificação é considerada no modelo analítico proposto. Paradoxalmente, a Figura 21
mostra que os resultados obtidos com o modelo de placa de piso simplesmente apoiado são
mais próximos dos resultados experimentais do que os obtidos com o modelo de placa de piso
com bordos livre.
Page 43
30
Em geral, a parte real da mobilidade prevista com o MEF é superior à medida
experimentalmente, mas a forma do espectro, ou seja, a evolução da mobilidade com a
frequência, é semelhante para os valores previstos e medidos. A maior mobilidade dos
pavimentos modelados, bem como a semelhança de desempenho entre os pavimentos com
bordos livres e simplesmente apoiados, explica a maior convergência, relativamente aos
resultados obtidos por via experimental, dos resultados obtidos com o modelo simplesmente
apoiado, o qual é um pouco mais rígido.
Na Tabela 1 são apresentadas as diferenças, em dB, entre os valores medidos e previstos da
parte real da mobilidade do pavimento. Observe-se que o erro diminui com a frequência e com
a distância às vigas. A fiabilidade dos valores apresentados para as bandas de terços de oitava
centradas nas frequências de 250 a 1000 Hz é menor devido à insuficiente sobreposição
modal, no entanto, o erro é geralmente baixo. Tal pode dever-se ao facto de, para frequências
mais elevadas, o pavimento apresentar um comportamento mais difuso e menos modal.
Ponto
Frequência (Hz) A1;I1 B1;H1 C1;G1 D1;F1 E1
100 -9,7 -4,0 -5,4 -5,2 -4,9 125 -8,2 -7,7 -6,5 -5,6 -5,1 160 -7,9 -5,2 -1,9 -0,3 0,3 200 -8,4 -5,6 -0,9 2,6 3,9 250 -3,7 -5,1 -3,5 0,7 2,9 315 7,4 -3,7 -3,1 2,6 6,3 400 -1,1 1,5 3,2 6,3 5,9 500 -5,3 3,8 4,6 2,3 2,9 630 -3,9 2,0 1,6 0,9 0,9 800 4,2 -0,6 -0,7 -0,4 -0,9 1000 8,0 2,7 2,3 3,5 5,8
Tabela 1 - Diferenças, em dB, entre o valor da parte real da mobilidade obtida experimentalmente e numericamente.
3.3.3.2. Pavimento de teste em madeira
Para o pavimento de madeira foi utilizada uma malha de elementos finitos semelhante à
utilizada na modelação do pavimento de teste em Plexiglas. Mais uma vez, o revestimento foi
modelado com elementos de placa quadrados de 5×5 cm2 e as vigas foram modeladas por
elementos de barra de 5 cm de comprimento ligados rigidamente na posição dos parafusos aos
elementos de placa.
Uma vez que o pavimento de teste em madeira apresenta os bordos da placa de piso
simplesmente apoiados, apenas este caso foi modelado. Nas Figuras 22 a 24 são
apresentados os espectros em bandas de terços de oitava da parte real da mobilidade do
pavimento obtidos por via experimental e com recurso ao MEF.
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1,E-02
50 63 80 100 125 160 200 250 315 400 500 630 800 f (Hz)
Re{Y } (m/Ns)
Yc,j Yc,s Y(A2)_EXP Y(A2)_MEF
Y(B2)_MEF Y(B2)_EXP Y(C2)_EXP Y(C2)_MEF
Figura 22 - Espectros da parte real da mobilidade do pavimento obtidos por via experimental e com recurso ao MEF nos pontos A2 a C2.
1,E-06
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50 63 80 100 125 160 200 250 315 400 500 630 800 f (Hz)
Re{Y } (m/Ns)
Yc,j Yc,s Y(D2)_EXP Y(D2)_MEF
Y(E2)_EXP Y(E2)_MEF Y(F2)_EXP Y(F2)_MEF
Figura 23 - Espectros da parte real da mobilidade do pavimento obtidos por via
experimental e com recurso ao MEF nos pontos D2 a F2.
1,E-06
1,E-05
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1,E-02
50 63 80 100 125 160 200 250 315 400 500 630 800 f (Hz)
Re{Y } (m/Ns)
Yc,j Yc,s Y(G2)_EXP
Y(G2)_MEF Y(H2)_EXP Y(H2)_MEF
Figura 24 - Espectros da parte real da mobilidade do pavimento obtidos por via
experimental e com recurso ao MEF nos pontos G2 e H2.
Page 45
32
Constata-se que o modelo permite prever com suficiente rigor a mobilidade do pavimento quer
em pontos próximos da viga quer em pontos afastados da viga. Nos pontos A2 e B2, o modelo
fornece valores mais elevados de mobilidade mas permite estimar correctamente o crescimento
da mobilidade com a frequência. Note-se que estes pontos se situam bastante próximos do
bordo do pavimento, sendo pois natural que o apoio realmente existente confira algum grau de
encastramento.
Na Tabela 2 são apresentadas as diferenças obtidas, em bandas de terços de oitava, entre os
valores da parte real da mobilidade obtidos com o MEF e através da medição em laboratório.
As conclusões retiradas da análise da Tabela 1, relativamente ao pavimento de teste em
Plexiglas, mantêm-se relativamente à Tabela 2.
Ponto Frequência
(Hz) A2 B2 D2 E2 G2
50 -8,4 0,8 0,8 -4,0 -5,1 63 -6,1 2,5 -2,7 -2,1 -7,0 80 -7,8 1,0 -6,0 -0,5 -8,2 100 -7,2 -0,9 -1,8 3,5 -8,2 125 -9,5 0,6 -0,2 -1,5 -13,2160 -10,5 -5,8 -3,8 -2,9 -10,3200 -13,2 -8,6 -1,8 -1,1 -9,3 250 -6,6 -6,9 4,6 2,3 -6,5 315 6,0 -0,7 3,2 4,0 -1,1 400 0,9 7,3 1,0 5,5 3,8 500 -1,7 -2,4 2,4 1,0 -0,7 630 0,0 -1,5 1,4 -0,5 -0,8 800 3,0 4,9 8,2 4,5 4,4
1000 10,9 11,5 15,5 11,7 12,0
Tabela 2 - Diferenças, em dB, entre o valor da parte real da mobilidade obtida experimentalmente e numericamente.
3.4. VALIDAÇÃO DO MODELO ANALÍTICO
Uma vez que o modelo analítico descrito na secção 2.4 considerou apenas a ortropia
geométrica, definindo uma placa equivalente com o módulo de elasticidade da placa de piso
(Es), torna-se necessário efectuar uma homogeneização da secção a considerar na direcção
das vigas de reforço.
O procedimento de homogeneização que conduziu a melhores resultados baseia-se na
determinação da altura equivalente (heq) da viga de reforço constituída pelo material da placa
de piso que possui a mesma frequência própria (fs) que a viga original simplesmente apoiada.
Page 46
33
Para aplicar este procedimento, considerou-se o sistema ilustrado na Figura 25.
Figura 25 – Sistema dinâmico equivalente ao de uma viga simplesmente apoiada.
A rigidez do sistema é dado por
s = 6EIL3 (N/m). (44)
A frequência própria do sistema é então dado por
fs =
1(2π)
sm = h
4πL2Eρ (Hz). (45)
Assim, a altura da viga equivalente resulta da igualdade
hj,eq
4πL2Es
ρs = hj
4πL2Ej
ρj , (46)
onde os índices “s” e “j” se aplicam à placa de piso e à viga originais, respectivamente. A
solução da equação (46) é dada por
hj,eq
= hj Ej ρsEs ρj
(m). (47)
3.4.1. Pavimento de teste em Plexiglas
Tendo em conta o procedimento descrito acima, foi possível aplicar o modelo analítico de
previsão da mobilidade do pavimento apresentado em 2.4. Para o caso do pavimento de teste
de Plexiglas foram consideradas as seguintes propriedades:
m=ρAL (kg)
L(m) L(m)
Secção de área A(m2)
Page 47
34
• b = 1,20 m;
• c = 2,40 m;
• hs = 0,012 m;
• ws = 0,40 m;
• wj = 0,0187 m;
• hjeq = 0,247 m;
• Es = 3,3 GPa;
• ν = 0,37;
• ρ = 1190 Kg/m3;
• η = 0,015;
• G0 = 0,25 (como recomendado por Neves e Sousa [3]).
Nas Figuras 26 a 30 são apresentados os espectros em bandas de 1/3 de oitava da parte real
da mobilidade do pavimento obtidos com o modelo analítico para os pontos A1 a E1,
respectivamente. Os resultados obtidos para os pontos F1 a I1 não são apresentados por serem
idênticos em virtude da simetria do problema. São também apresentados, para efeitos de
comparação, os espectros obtidos por vias experimental e numérica (MEF), bem como os
espectros correspondentes à mobilidades características das vigas e da placa de piso.
1,E-06
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100 125 160 200 f (Hz)
Re{Y } (m/Ns)
Resultado Experimental MEF (FF)MEF (SS) Análise ModalYc,j Yc,s
Figura 26 - Espectros da parte real da mobilidade obtida, no ponto A1, por via
experimental, numérica (MEF) e analítica (análise modal).
As Figuras 26 a 30 mostram que o método analítico subestima a mobilidade do pavimento,
condicionando-a às mobilidade das vigas. De facto, a precisão do modelo é adequada para
mobilidades previstas sobre as vigas ou suficientemente próximo destas (Figuras 26 e 27), mas
é fraca para mobilidades a prever em pontos afastados das vigas (Figuras 29 e 30).
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35
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100 125 160 200 f (Hz)
Re{Y } (m/Ns)
Resultado Experimental MEF (FF)MEF (SS) Análise ModalYc,j Yc,s
Figura 27 - Espectros da parte real da mobilidade obtida, no ponto B1, por via
experimental, numérica (MEF) e analítica (análise modal).
1,E-05
1,E-04
1,E-03
1,E-02
100 125 160 200 f (Hz)
Re{Y } (m/Ns)
Resultado Experimental MEF (FF)MEF (SS) Análise ModalYc,j Yc,s
Figura 28 - Espectros da parte real da mobilidade obtida, no ponto C1, por via
experimental, numérica (MEF) e analítica (análise modal).
1,E-05
1,E-04
1,E-03
1,E-02
100 125 160 200 f (Hz)
Re{Y } (m/Ns)
Resultado Experimental MEF (FF)MEF (SS) Análise ModalYc,j Yc,s
Figura 29 - Espectros da parte real da mobilidade obtida, no ponto D1, por via
experimental, numérica (MEF) e analítica (análise modal).
Page 49
36
1,E-05
1,E-04
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100 125 160 200 f (Hz)
Re{Y } (m/Ns)
Resultado Experimental MEF (FF)MEF (SS) Análise ModalYc,j Yc,s
Figura 30 - Espectros da parte real da mobilidade obtida, no ponto E1, por via experimental,
numérica (MEF) e analítica (análise modal).
3.4.2. Pavimento de teste de madeira
Para a aplicação do método analítico descrito em 2.4 ao pavimento de teste em madeira, foram
consideradas as seguintes propriedades
• b = 4,55 m;
• c = 4,96 m;
• hs = 0,021 m;
• ws = 0,78 m;
• wj = 0,10 m;
• hjeq = 0,60 m;
• Es = 2,0 GPa;
• ν = 0,30;
• ρ = 668 Kg/m3;
• η = 0,015;
• G0 = 0,25 (como recomendado por Neves e Sousa [3]).
Nas Figuras 31 a 38 são apresentados os espectros em bandas de 1/3 de oitava da parte real
da mobilidade obtidos por via experimental, numérica e analítica.
Mais uma vez, a precisão do modelo é adequada para pontos localizados sobre as vigas ou
próximo destas (Figuras 34 e 36 a 38) e insuficiente para pontos afastados das vigas (Figura
35). Neste caso de estudo, a precisão do modelo analítico é até superior à do MEF. No caso
dos pontos A2 e C2, o modelo subestima em demasia a mobilidade do pavimento devido à
proximidade do bordo apoiado.
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Re{Y } (m/Ns)Resultado Experimental MEF Análise Modal Yc,j Yc,s
Figura 31 - Espectros da parte real da mobilidade obtida, no ponto A2, por via
experimental, numérica (MEF) e analítica (análise modal).
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50 63 80 100 125 160 200 f (Hz)
Re{Y } (m/Ns)Resultado Experimental MEF Análise Modal Yc,j Yc,s
Figura 32 - Espectros da parte real da mobilidade obtida, no ponto B2, por via
experimental, numérica (MEF) e analítica (análise modal).
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50 63 80 100 125 160 200 f (Hz)
Re{Y } (m/Ns)Resultado Experimental MEF Análise Modal Yc,j Yc,s
Figura 33 - Espectros da parte real da mobilidade obtida, no ponto C2, por via
experimental, numérica (MEF) e analítica (análise modal).
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38
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50 63 80 100 125 160 200 f (Hz)
Re{Y } (m/Ns)
Resultado Experimental MEFAnálise Modal Yc,jYc,s
Figura 34 - Espectros da parte real da mobilidade obtida, no ponto D2, por via
experimental, numérica (MEF) e analítica (análise modal).
1,E-05
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1,E-03
1,E-02
50 63 80 100 125 160 200 f (Hz)
Re{Y } (m/Ns)
Resultado Experimental MEFAnálise Modal Yc,jYc,s
Figura 35 - Espectros da parte real da mobilidade obtida, no ponto E2, por via
experimental, numérica (MEF) e analítica (análise modal).
1,E-05
1,E-04
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1,E-02
50 63 80 100 125 160 200 f (Hz)
Re{Y } (m/Ns)
Resultado Experimental MEFAnálise Modal Yc,jYc,s
Figura 36 - Espectros da parte real da mobilidade obtida, no ponto F2, por via
experimental, numérica (MEF) e analítica (análise modal).
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39
1,E-05
1,E-04
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50 63 80 100 125 160 200 f (Hz)
Re{Y } (m/Ns)
Resultado Experimental MEFAnálise Modal Yc,jYc,s
Figura 37 - Espectros da parte real da mobilidade obtida, no ponto G2, por via
experimental, numérica (MEF) e analítica (análise modal).
1,E-05
1,E-04
1,E-03
1,E-02
50 63 80 100 125 160 200 f (Hz)
Re{Y } (m/Ns)
Resultado Experimental MEFAnálise Modal Yc,jYc,s
Figura 38 - Espectros da parte real da mobilidade obtida, no ponto H2, por via
experimental, numérica (MEF) e analítica (análise modal).
3.5. CONCLUSÕES
A precisão dos modelos de elementos finitos cresce com a distância do ponto de medição à
viga de reforço. No caso do pavimento de teste em Plexiglas, apesar de os bordos da placa
serem, de facto, livres, foi obtida uma maior precisão na previsão da mobilidade obtida com um
modelo simplesmente apoiado.
Pelo contrário, a precisão do modelo analítico de análise de modos naturais baseado na
abordagem de Timoshenko [15] diminui com a distância do ponto de medição às vigas de
reforço. No caso do pavimento de madeira, a precisão da mobilidade prevista no ponto H2
Page 53
40
(sobre uma viga de reforço) é surpreendente, mas a mobilidade prevista a meio do vão entre
vigas de reforço aproxima-se da mobilidade característica da viga, a qual é muito inferior à da
placa de piso.
Considera-se que, mantendo a abordagem de Timoshenko [15], não é possível melhorar a
precisão do modelo, pois a contribuição das vigas de reforço, quando estas forem muito mais
rígidas do que a placa de piso, conduzirá sempre a mobilidades subestimadas do pavimento
em pontos afastados das vigas.
Assim, nos capítulos seguintes é efectuado um estudo no sentido de perceber, nas situações
correntes, qual a influência das vigas no desempenho dinâmico dos pavimentos ortotrópicos
leves, nomeadamente dos pavimentos vigados de madeira. O objectivo final é determinar o
campo de aplicação do modelo analítico descrito em 2.4.
Page 54
41
4. ANÁLISE PARAMÉTRICA
4.1. INTRODUÇÃO
Neste capítulo é efectuado um estudo para identificar os parâmetros que condicionam a
validade do método analítico proposto em 2.4. Para tal, foi analisado um conjunto de
pavimentos vigados de madeira de dimensões correntes, com características idênticas às que
poderiam ser esperadas de um dimensionamento efectuado conforme o EC5 [N.3], sendo
utilizado o MEF para controlo da validade dos resultados obtidos com o modelo analítico. As
dimensões em planta dos pavimentos estudados foram seleccionadas com base nas regras de
disponibilidade de espaços correntemente utilizadas em habitação [23, N.4].
4.2. DIMENSIONAMENTO ESTRUTURAL DE PAVIMENTOS DE MADEIRA
Nesta secção são apresentados os critérios de dimensionamento de um pavimento de madeira
definidos no EC5 [N.3].
Para o dimensionamento de pavimentos de madeira, é necessário definir, em primeiro lugar, as
acções actuantes, podendo para tal ser utilizado o R.S.A [N.5]. Uma vez definida a carga a
suportar pelos pavimentos, deve ser efectuada uma análise em Estado Limite Último, no
sentido de avaliar a capacidade resistente da estrutura, e em Estado Limite de Utilização, no
sentido de avaliar a deformação estrutural em serviço. Estas análises dependem das
propriedades resistentes do material, as quais podem ser retiradas da Norma EN 338 [N.6]. De
acordo com o EC5 [N.3], o valor de dimensionamento da resistência da madeira é dado por
Xd = kmod⋅Xk
γM , (48)
onde: Xk representa o valor característico da resistência do material; γM é um factor de
segurança normalmente considerado igual a 1,3 para madeira maciça; e kmod é um factor
parcial de segurança que depende da duração da acção, conforme indicado na Tabela 3.
Acção permanente
Acção de longa de duração
Acção de média duração
Acção de curta duração
Acção instantânea
0,6 0,7 0,8 0,9 1,1
Tabela 3 - Valores kmod.
Page 55
42
Assim, para Estado Limite Último, o valor de dimensionamento do momento resistente de uma
secção estrutural em madeira deverá ser dado por
Mrd = W⋅fm,d1,0 (Nm), (49)
onde W = b⋅h2 / 6 (m3) representa o módulo de flexão da secção e fm,d (N/m2) é o valor de
dimensionamento da tensão resistente de flexão do material.
O valor de dimensionamento do esforço tranverso resistente é dado por
Vrd = Av⋅fv,d1,0 (N), (50)
onde Av = b⋅h / 6 (m2) é a área de corte da secção e fv,d (N/m2) é o valor de dimensionamento
da tensão de corte do material.
A avaliação da deformação estrutural em Estados Limites de Utilização deve ser efectuada
com base na combinação de acções quase permanente. O módulo de elasticidade a considerar
deverá ser afectado por um factor de segurança, de acordo com
Ed = EγM (N/m2). (51)
A deformação a calcular deverá ser a deformação instantânea, dada por
δinst = 5⋅p⋅L4
384⋅Ed⋅I .....(m), (52)
onde: p (N/m) é o valor da carga actuante; L (m) é o comprimento da viga; e I (m4) é o
momento de inércia da secção da viga; afectada de um parâmetro de contabilização de
deformações secundárias. Esse parâmetro é dado por
δfinal = δinst⋅ ( )1+ψ2⋅kdef ....(m), (53)
onde kdef é um factor de deformação que depende da classe de serviço do material e Ψ2 é o
valor reduzido das acções variáveis presentes na combinação quase permanente.
O valor global da deformação, δfinal, deve ser comparado com um valor máximo admissível, o
qual, no pior dos casos, é dado por
δmáx = L300 ....(m). (54)
Page 56
43
4.3. ANÁLISE PARAMÉTRICA
Nesta secção foram calculadas as mobilidades de 39 pavimentos de madeira (Tabela 4)
dimensionados conforme se descreve em 4.2.
Numa primeira fase foram considerados dois conjuntos de pavimentos com:
• ν = 0,30;
• ρ = 750 Kg/m3;
• η = 0,015;
• G0 = 0,25;
e com restantes propriedades mecânicas situadas no limite dos valores esperados. Assim, um
conjunto de pavimentos corresponde ao que se definirá como pavimentos rígidos (pavimentos
8 a 20 na Tabela 4), e o outro conjunto corresponde aos pavimentos flexíveis (pavimentos 22 a
34 na Tabela 4). Para os pavimentos rígidos foram consideradas as seguintes propriedades:
• Es = Ej = 27,0 GPa;
• ws = 0,35 m; wj = 0,10 m;
• hs = 0,022 m; hj = 0,198 m.
Para os pavimentos flexíveis foram consideradas as seguintes propriedades:
• Es = Ej = 7,0 GPa;
• ws = 0,40 m; wj = 0,05 m;
• hs = 0,022 m; hj = 0,078 m.
Para cada conjunto de pavimentos, fez-se variar as dimensões em planta de maneira a cobrir
um intervalo de relações b/c entre 0,5 e 2,0. Recorde-se que se consideram sempre as vigas
orientadas ao longo da dimensão b (segundo y). Considerou-se para as vigas um comprimento
mínimo de 2,0 m e um comprimento máximo de 5,0 m.
Além destes 26 pavimentos, foram ainda analisados, numa fase posterior, outros 13
pavimentos, nos quais se fez variar:
• ρ (caso 35);
• Es e Ej (casos 1 a 3, 5, 7 e 36 a 39);
• hs (casos 1, 7, 35, 36 e 38 a 39);
• wj (casos 1 a 7 e 35 a 39);
• hj (casos 1 a 7 e 35 a 39).
A mobilidade do pavimento foi calculada em todos os casos analisados num ponto sobre uma
viga e num ponto entre vigas, ambos próximos de um terço do comprimento da diagonal do
pavimento. Os resultados obtidos são apresentados, na sua totalidade, no Anexo 1.
Page 57
44
(Ponto P1j) (Ponto P1s) Caso ρ (kg/m3) ν b (m) c (m) Es (GPa) hs (m) ws (m) Ej (GPa) wj (m) hj (m) hj,eq (m)y0 (m) z0 (m) y0 (m) z0 (m)
1 750 0,30 3,0 4,0 27 0,05 0,40 3 0,05 0,050 0,017 1,00 1,60 1,00 1,40 2 750 0,30 3,0 4,0 27 0,022 0,40 7 0,05 0,078 0,040 1,00 1,60 1,00 1,40 3 750 0,30 3,0 4,0 27 0,022 0,40 7 0,05 0,100 0,050 1,00 1,60 1,00 1,40 4 750 0,30 4,0 3,5 7 0,022 0,40 7 0,1 0,078 0,078 1,35 1,60 1,35 1,40 5 750 0,30 3,0 4,0 3 0,022 0,40 3 0,05 0,078 0,078 1,00 1,60 1,00 1,40 6 750 0,30 3,0 4,0 7 0,022 0,40 7 0,05 0,078 0,078 1,00 1,60 1,00 1,40 7 750 0,30 3,0 4,0 27 0,012 0,40 7 0,05 0,078 0,040 1,00 1,60 1,00 1,40 8 750 0,30 2,0 4,0 7 0,022 0,40 7 0,05 0,078 0,078 0,65 1,60 0,65 1,40 9 750 0,30 2,5 4,0 7 0,022 0,40 7 0,05 0,078 0,078 0,85 1,60 0,85 1,40
10 750 0,30 4,0 6,0 7 0,022 0,40 7 0,05 0,078 0,078 1,35 2,40 1,35 2,20 11 750 0,30 3,0 4,0 7 0,022 0,40 7 0,05 0,078 0,078 1,00 1,60 1,00 1,40 12 750 0,30 4,0 5,0 7 0,022 0,40 7 0,05 0,078 0,078 1,35 2,00 1,35 1,80 13 750 0,30 3,5 4,0 7 0,022 0,40 7 0,05 0,078 0,078 1,10 1,60 1,10 1,40 14 750 0,30 4,0 4,0 7 0,022 0,40 7 0,05 0,078 0,078 1,30 1,60 1,30 1,40 15 750 0,30 4,0 3,5 7 0,022 0,40 7 0,05 0,078 0,078 1,35 1,60 1,35 1,40 16 750 0,30 5,0 4,0 7 0,022 0,40 7 0,05 0,078 0,078 1,65 1,60 1,65 1,40 17 750 0,30 4,0 3,0 7 0,022 0,40 7 0,05 0,078 0,078 1,35 1,60 1,35 1,40 18 750 0,30 6,0 4,0 7 0,022 0,40 7 0,05 0,078 0,078 2,00 1,60 2,00 1,40 19 750 0,30 4,0 2,5 7 0,022 0,40 7 0,05 0,078 0,078 1,35 1,20 1,35 1,00 20 750 0,30 4,0 2,0 7 0,022 0,40 7 0,05 0,078 0,078 1,30 0,80 1,30 0,60 21 750 0,30 4,0 5,0 27 0,022 0,35 27 0,1 0,198 0,198 1,35 1,75 1,35 1,55 22 750 0,30 2,0 4,0 27 0,022 0,35 27 0,1 0,198 0,198 0,65 1,40 0,65 1,20 23 750 0,30 2,5 4,0 27 0,022 0,35 27 0,1 0,198 0,198 0,85 1,40 0,85 1,20 24 750 0,30 4,0 6,0 27 0,022 0,35 27 0,1 0,198 0,198 1,35 2,10 1,35 1,90 25 750 0,30 3,0 4,0 27 0,022 0,35 27 0,1 0,198 0,198 1,00 1,40 1,00 1,20 26 750 0,30 4,0 5,0 27 0,022 0,35 27 0,1 0,198 0,198 1,35 1,75 1,35 1,55 27 750 0,30 3,5 4,0 27 0,022 0,35 27 0,1 0,198 0,198 1,15 1,40 1,15 1,20 28 750 0,30 4,0 4,0 27 0,022 0,35 27 0,1 0,198 0,198 1,35 1,40 1,35 1,20 29 750 0,30 4,0 3,5 27 0,022 0,35 27 0,1 0,198 0,198 1,35 1,40 1,35 1,20 30 750 0,30 5,0 4,0 27 0,022 0,35 27 0,1 0,198 0,198 1,65 1,40 1,65 1,20 31 750 0,30 4,0 3,0 27 0,022 0,35 27 0,1 0,198 0,198 1,35 1,05 1,35 0,85 32 750 0,30 6,0 4,0 27 0,022 0,35 27 0,1 0,198 0,198 2,00 1,40 2,00 1,20 33 750 0,30 4,0 2,5 27 0,022 0,35 27 0,1 0,198 0,198 1,35 1,05 1,35 0,85 34 750 0,30 4,0 2,0 27 0,022 0,35 27 0,1 0,198 0,198 1,35 1,70 1,35 1,50 35 1190 0,37 1,2 2,4 3 0,012 0,40 3 0,0187 0,235 0,235 0,80 1,20 0,80 1,00 36 750 0,30 3,0 4,0 27 0,1 0,40 7 0,05 0,100 0,050 1,00 1,60 1,00 1,40 37 750 0,30 3,0 4,0 7 0,022 0,35 27 0,1 0,198 0,390 1,00 1,40 1,00 1,20 38 750 0,30 3,0 4,0 7 0,012 0,40 27 0,05 0,078 0,250 1,00 1,60 1,00 1,40 39 750 0,30 3,0 4,0 7 0,012 0,35 27 0,1 0,198 0,390 1,00 1,40 1,00 1,20
Tabela 4- Propriedades físicas usadas nas diferentes modelações
Page 58
45
4.3.1. Análise preliminar
Ao contrário do sucedido na validação experimental efectuada no Capítulo 3, onde o método
analítico para previsão da mobilidade do pavimento subestimou o valor desta grandeza em
pontos afastados das vigas de reforço, o que não aconteceu com o MEF, foram observados, na
primeira fase da análise paramétrica, vários casos em que a mobilidade prevista para essas
zonas dos pavimentos pelo método analítico e pelo MEF foi semelhante. Em seguida são
apresentados, de forma ilustrativa, dois desses casos, nomeadamente os casos 19 e 24.
4.3.1.1. Caso 19
O caso 19 está caracterizado na Tabela 5. Para facilitar a leitura, optou-se por reproduzir na
Tabela 5 os valores das variáveis relevantes.
ρ (kg/m3) ν b (m) c (m) Es (GPa) hs (m) ws (m) Ej (GPa) wj (m) hj (m) hj,eq (m)
750 0,30 4,0 2,5 7 0,022 0,40 7 0,05 0,078 0,078 Tabela 5 - Parâmetros de caracterização do pavimento correspondente ao caso 19.
Nas Figuras 39 e 40 são apresentados os espectros em banda estreita obtidos com o método
analítico e com o MEF para o valor real da mobilidade num ponto sobre uma viga e num ponto
afastado das vigas.
1,E-06
1,E-05
1,E-04
1,E-03
1,E-02
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 f (Hz)
Re{Y } (m/Ns)
MEF AM Yc,s Yc,j
Figura 39 - Previsões dos espectros em banda estreita do valor real da mobilidade do
pavimento 19 obtidas sobre a viga com o método analítico e com o MEF. Nas Figuras 41 e 42 é apresentada a conversão em bandas de terços de oitava dos espectros
das Figuras 39 e 40. Observa-se que a aproximação entre os dois métodos é, ao contrário do
esperado, maior no ponto afastado das vigas do que sobre a viga. Quando se comparam estes
espectros com os analisados no Capítulo 3, constata-se que a principal diferença entre o
pavimento 19 e os pavimentos estudados experimentalmente reside na posição relativa das
mobilidades características das vigas e da placa de revestimento.
Page 59
46
1,E-06
1,E-05
1,E-04
1,E-03
1,E-02
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 f (Hz)
Re{Y } (m/Ns)
MEF AM Yc,s Yc,j
Figura 40 - Previsões dos espectros em banda estreita do valor real da mobilidade do
pavimento 19 obtidas entre vigas com o método analítico e com o MEF.
1,E-05
1,E-04
1,E-03
1,E-02
12,5 16 20 25 32 40 50 63 80 100 125 160 200 f (Hz)
Re{Y } (m/Ns)
MEF AM Yc,s Yc,j
Figura 41 - Previsões dos espectros em bandas de 1/3 de oitava do valor real da mobilidade do
pavimento 19 obtidas sobre a viga com o método analítico e com o MEF.
1,E-05
1,E-04
1,E-03
1,E-02
12,5 16 20 25 32 40 50 63 80 100 125 160 200 f (Hz)
Re{Y } (m/Ns)
MEF AM Yc,s Yc,j
Figura 42 - Previsões dos espectros em bandas de 1/3 de oitava do valor real da mobilidade do
pavimento 19 obtidas entre vigas com o método analítico e com o MEF.
Page 60
47
4.3.1.2. Caso 24
Os parâmetros relevantes para a caracterização do pavimento 24 são reproduzidos, para
facilitar a leitura, na Tabela 6.
ρ (kg/m3) ν b (m) c (m) Es (Gpa) hs (m) ws (m) Ej (Gpa) wj (m) hj (m) hj,eq (m)
750 0,30 4,0 6,0 27 0,022 0,35 27 0,1 0,198 0,198 Tabela 6 Parâmetros de caracterização do pavimento correspondente ao caso 24.
Nas Figuras 43 e 44 são apresentados os espectros em banda estreita obtidos com o método
analítico e com o MEF para o valor real da mobilidade num ponto sobre uma viga e num ponto
afastado das vigas.
1,E-07
1,E-06
1,E-05
1,E-04
1,E-03
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 f (Hz)
Re{Y } (m/Ns)
MEF AM Yc,s Yc,j
Figura 43 - Previsões dos espectros em banda estreita do valor real da mobilidade do
pavimento 24 obtidas sobre a viga com o método analítico e com o MEF.
1,E-07
1,E-06
1,E-05
1,E-04
1,E-03
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 f (Hz)
Re{Y } (m/Ns)
MEF AM Yc,s Yc,j
Figura 44 - Previsões dos espectros em banda estreita do valor real da mobilidade do
pavimento 24 obtidas entre vigas com o método analítico e com o MEF.
Page 61
48
Nas Figuras 45 e 46 são apresentadas as conversões em bandas de terços de oitava dos
espectros das Figuras 43 e 44. Neste caso observa-se que a aproximação entre os dois
métodos é muito boa quer para o ponto afastado das vigas quer para o ponto localizado sobre
a viga, embora se mantenha a tendência já anteriormente demonstrada pelo MEF para
conduzir a valores mais elevados de mobilidade. Mais uma vez, quando se comparam estes
espectros com os analisados no Capítulo 3, constata-se que a principal diferença entre o
pavimento 24 e os pavimentos estudados experimentalmente reside na posição relativa das
mobilidades características das vigas e da placa de revestimento. No entanto, enquanto que no
caso 19 a mobilidade da viga de reforço era significativamente superior à mobilidade da placa
de revestimento no intervalo de frequências de interesse, para o caso 24 isso só acontece
abaixo dos 20 Hz, mantendo-se a mobilidade da viga abaixo da mobilidade da placa acima
dessa frequência, o que configura uma situação mais próxima dos casos experimentais, onde a
mobilidade da viga de reforço era significativamente menor do que a da placa.
1,E-07
1,E-06
1,E-05
1,E-04
1,E-03
1,E-02
12,5 16 20 25 32 40 50 63 80 100 125 160 200 f (Hz)
Re{Y } (m/Ns)
MEF AM Yc,s Yc,j
Figura 45 - Previsões dos espectros em bandas de 1/3 de oitava do valor real da mobilidade do
pavimento 24 obtidas sobre a viga com o método analítico e com o MEF.
1,E-07
1,E-06
1,E-05
1,E-04
1,E-03
1,E-02
12,5 16 20 25 32 40 50 63 80 100 125 160 200 f (Hz)
Re{Y } (m/Ns)
MEF AM Yc,s Yc,j
Figura 46 - Previsões dos espectros em bandas de 1/3 de oitava do valor real da mobilidade do
pavimento 24 obtidas entre vigas com o método analítico e com o MEF.
Page 62
49
4.3.1.3. Conclusões da análise preliminar
A análise preliminar dos casos de estudo parece indicar que a fiabilidade do modelo analítico é
próxima da fiabilidade do MEF sempre que a mobilidade característica das vigas de reforço do
pavimento se aproxima da mobilidade característica da placa de revestimento, podendo
eventualmente exceder este valor. À primeira vista poderá parecer estranho que, em
pavimentos correntes de madeira, as vigas de reforço sejam tão ou menos rígidas do que a
placa de revestimento, no entanto, conforme se demonstra com os casos apresentados na
Tabela 4, para pavimentos de madeira dimensionados de acordo com os regulamentos e
normas estruturais em vigor, as vigas de reforço não têm, de facto, uma rigidez muito
significativa.
Assim, conclui-se que o modelo analítico poderá em geral ser aplicado com segurança na
estimativa da previsão da mobilidade de pavimentos vigados de madeira correntes. Na secção
seguinte é apresentado um estudo destinado a confirmar esta conclusão.
4.3.2. Identificação de comportamentos tipo
Com base nas conclusões da análise preliminar, segundo as quais a fiabilidade do método
analítico parece depender da posição relativa das mobilidades características das vigas de
reforço e da placa de revestimento do pavimento, opta-se por separar os casos de estudo em
três comportamentos típicos:
• Comportamento tipo A – mobilidade característica da viga superior à da placa;
• Comportamento tipo B - mobilidade característica da viga semelhante à da placa;
• Comportamento tipo C - mobilidade característica da viga inferior à da placa.
Nas Figuras 47 a 49 são esquematizados estes três tipos de comportamento.
1,E-05
1,E-04
1,E-03
1,E-02
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 f (Hz)
Re{Y } (m/Ns)
Yc,j Yc,s
Figura 47 - Comportamento tipo A.
Page 63
50
1,E-05
1,E-04
1,E-03
1,E-02
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 f (Hz)
Re{Y } (m/Ns)
Yc,j Yc,s
Figura 48 - Comportamento tipo B.
1,E-05
1,E-04
1,E-03
1,E-02
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 f (Hz)
Re{Y } (m/Ns)
Yc,j Yc,s
Figura 49 - Comportamento tipo C.
4.3.2.1. Comportamento tipo A
O comportamento tipo A foi observado nos pavimentos 1 a 21. A análise dos resultados obtidos
nestes pavimentos (ver Anexo 1) sugere ainda a subdivisão deste tipo de comportamento em
cinco subtipos consoante a concordância, em banda estreita, entre as primeiras frequências
próprias de vibração identificadas pelo MEF e pelo método analítico. Assim, os cinco subtipos
podem ser caracterizados da seguinte forma:
• Subtipo 1 – boa concordância (casos 2 e 6);
• Subtipo 2 – primeiras frequências próprias obtidas analiticamente tipicamente abaixo
dos 20 Hz e frequências correspondentes obtidas pelo MEF em geral
próximas dos 20 Hz (casos 5, 10, 12 a 20);
Page 64
51
• Subtipo 3 - primeiras frequências próprias obtidas analiticamente próximas dos 20 Hz
e frequências correspondentes obtidas pelo MEF em geral situadas entre
os 30 Hz e os 40 Hz (casos 7, 9 e 11);
• Subtipo 4 - primeiras frequências próprias obtidas analiticamente próximas dos 20 Hz
e frequências correspondentes obtidas pelo MEF em geral situadas entre
os 40 Hz e os 50 Hz (casos 1, 3 e 4);
• Subtipo 5 - primeira frequência própria obtida analiticamente próxima dos 30 Hz e
frequência correspondente obtida pelo MEF próxima dos 120 Hz (caso 8).
Em seguida são apresentados espectros do valor real da mobilidade ilustrativos de cada um
destes subtipos.
Para ilustrar o subtipo 1 do comportamento tipo A foi seleccionado o pavimento 6. Os
parâmetros relevantes para a sua caracterização são reproduzidos na Tabela 7.
ρ (kg/m3) ν b (m) c (m) Es (GPa) hs (m) ws (m) Ej (GPa) wj (m) hj (m) hj,eq (m)
750 0,30 3,0 4,0 7 0,022 0,40 7 0,05 0,078 0,078 Tabela 7 - Parâmetros de caracterização do pavimento correspondente ao caso 6.
Nas Figuras 50 e 51 são apresentados os espectros em banda estreita obtidos com o método
analítico e com o MEF para o valor real da mobilidade num ponto sobre uma viga e num ponto
afastado das vigas. Nas Figuras 52 e 53 é apresentada a conversão em bandas de terços de
oitava dos espectros das Figuras 50 e 51. Observa-se uma boa concordância geral entre os
dois métodos, sendo, no entanto, a mobilidade do pavimento obtida pelo método analítico
subestimada para frequências superiores a 80 Hz tanto sobre a viga como entre vigas.
1,E-05
1,E-04
1,E-03
1,E-02
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 f (Hz)
Re{Y } (m/Ns)
MEF AM Yc,s Yc,j
Figura 50 - Previsões dos espectros em banda estreita do valor real da mobilidade do
pavimento 6 obtidas sobre a viga com o método analítico e com o MEF.
Page 65
52
1,E-05
1,E-04
1,E-03
1,E-02
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 f (Hz)
Re{Y } (m/Ns)
MEF AM Yc,s Yc,j
Figura 51 - Previsões dos espectros em banda estreita do valor real da mobilidade do
pavimento 6 obtidas entre vigas com o método analítico e com o MEF.
1,E-05
1,E-04
1,E-03
1,E-02
12,5 16 20 25 32 40 50 63 80 100 125 160 200 f (Hz)
Re{Y } (m/Ns)
MEF AM Yc,s Yc,j
Figura 52 - Previsões dos espectros em bandas de 1/3 de oitava do valor real da mobilidade do
pavimento 6 obtidas sobre a viga com o método analítico e com o MEF.
1,E-05
1,E-04
1,E-03
1,E-02
12,5 16 20 25 32 40 50 63 80 100 125 160 200 f (Hz)
Re{Y } (m/Ns)
MEF AM Yc,s Yc,j
Figura 53 - Previsões dos espectros em bandas de 1/3 de oitava do valor real da mobilidade do
pavimento 6 obtidas entre vigas com o método analítico e com o MEF.
Page 66
53
O subtipo 2 do comportamento tipo A pode ser ilustrado pelo pavimento 5, cujos parâmetros
relevantes para a sua caracterização são reproduzidos na Tabela 8.
ρ (kg/m3) ν b (m) c (m) Es (GPa) hs (m) ws (m) Ej (GPa) wj (m) hj (m) hj,eq (m)
750 0,30 3,0 4,0 3 0,022 0,40 3 0,05 0,078 0,078 Tabela 8 - Parâmetros de caracterização do pavimento correspondente ao caso 5.
Nas Figuras 54 e 55 são apresentados os espectros em banda estreita obtidos com o método
analítico e com o MEF para o valor real da mobilidade num ponto sobre uma viga e num ponto
afastado das vigas. Nas Figuras 56 e 57 é apresentada a conversão em bandas de terços de
oitava dos espectros das Figuras 54 e 55.
1,E-06
1,E-05
1,E-04
1,E-03
1,E-02
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 f (Hz)
Re{Y } (m/Ns)
MEF AM Yc,s Yc,j
Figura 54 - Previsões dos espectros em banda estreita do valor real da mobilidade do
pavimento 5 obtidas sobre a viga com o método analítico e com o MEF.
1,E-06
1,E-05
1,E-04
1,E-03
1,E-02
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 f (Hz)
Re{Y } (m/Ns)
MEF AM Yc,s Yc,j
Figura 55 - Previsões dos espectros em banda estreita do valor real da mobilidade do
pavimento 5 obtidas entre vigas com o método analítico e com o MEF.
Page 67
54
1,E-05
1,E-04
1,E-03
1,E-02
12,5 16 20 25 32 40 50 63 80 100 125 160 200 f (Hz)
Re{Y } (m/Ns)
MEF AM Yc,s Yc,j
Figura 56 - Previsões dos espectros em bandas de 1/3 de oitava do valor real da mobilidade do
pavimento 5 obtidas sobre a viga com o método analítico e com o MEF.
1,E-05
1,E-04
1,E-03
1,E-02
12,5 16 20 25 32 40 50 63 80 100 125 160 200 f (Hz)
Re{Y } (m/Ns)
MEF AM Yc,s Yc,j
Figura 57 - Previsões dos espectros em bandas de 1/3 de oitava do valor real da
mobilidade do pavimento 5 obtidas entre vigas com o método analítico e com o MEF
A concordância entre os dois métodos é, em geral, muito boa tanto sobre a viga como entre
vigas, embora neste último caso se note, mais uma vez, uma tendência do método analítico
para subestimar a mobilidade para frequências acima dos 80 Hz. Note-se que, uma vez que os
espectros em bandas de terços de oitava da mobilidade são apresentados apenas para bandas
de frequência central superior a 12,5 Hz, não é possível identificar a discordância causada
nessa gama de muito baixas frequências pela diferença entre as primeiras frequências próprias
do pavimento obtidas pelos dois métodos.
Page 68
55
Para ilustrar o subtipo 3 do comportamento tipo A foi seleccionado o pavimento 7, cujos
parâmetros relevantes para a sua caracterização são reproduzidos na Tabela 9.
ρ (kg/m3) ν b (m) c (m) Es (GPa) hs (m) ws (m) Ej (GPa) wj (m) hj (m) hj,eq (m)
750 0,30 3,0 4,0 27 0,022 0,40 7 0,05 0,048 0,040 Tabela 9 - Parâmetros de caracterização do pavimento correspondente ao caso 7.
Nas Figuras 58 a 61 são apresentados os espectros em banda estreita do valor real da
mobilidade obtidos num ponto sobre uma viga e num ponto afastado das vigas com os dois
métodos e as correspondentes conversões em bandas de terços de oitava. Observa-se uma
boa concordância entre os dois métodos para frequências superiores a 30 Hz. Ao contrário do
que se sucedeu nos subtipos 1 e 2, o método analítico deixa de subestimar a mobilidade do
pavimento para a região mais alta do intervalo de frequências de interesse, em particular no
que se refere à mobilidade medida entre vigas. Abaixo dos 30 Hz, a mobilidade prevista pelo
método analítico aproxima-se da mobilidade característica das vigas, a qual é
significativamente superior à mobilidade característica da placa. O MEF fornece um modelo
globalmente mais rígido, o qual só é excitado dinamicamente para frequências próximas dos
30 Hz. Desta forma, os dois métodos divergem significativamente abaixo dos 30 Hz.
1,E-06
1,E-05
1,E-04
1,E-03
1,E-02
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 f (Hz)
Re{Y } (m/Ns)
MEF AM Yc,s Yc,j
Figura 58 - Previsões dos espectros em banda estreita do valor real da mobilidade do
pavimento 7 obtidas sobre a viga com o método analítico e com o MEF.
Page 69
56
1,E-05
1,E-04
1,E-03
1,E-02
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 f (Hz)
Re{Y } (m/Ns)
MEF AM Yc,s Yc,j
Figura 59 - Previsões dos espectros em banda estreita do valor real da mobilidade do
pavimento 7 obtidas entre vigas com o método analítico e com o MEF.
1,E-06
1,E-05
1,E-04
1,E-03
1,E-02
12,5 16 20 25 32 40 50 63 80 100 125 160 200 f (Hz)
Re{Y } (m/Ns)
MEF AM Yc,s Yc,j
Figura 60 - Previsões dos espectros em bandas de 1/3 de oitava do valor real da mobilidade do
pavimento 7 obtidas sobre a viga com o método analítico e com o MEF.
1,E-06
1,E-05
1,E-04
1,E-03
1,E-02
12,5 16 20 25 32 40 50 63 80 100 125 160 200 f (Hz)
Re{Y } (m/Ns)
MEF AM Yc,s Yc,j
Figura 61 - Previsões dos espectros em bandas de 1/3 de oitava do valor real da mobilidade do
pavimento 7 obtidas entre vigas com o método analítico e com o MEF.
Page 70
57
O subtipo 4 do comportamento tipo A pode ser ilustrado pelo pavimento 1. Os parâmetros
relevantes para a sua caracterização são reproduzidos na Tabela 10.
ρ (kg/m3) ν b (m) c (m) Es (GPa) hs (m) ws (m) Ej (GPa) wj (m) hj (m) hj,eq (m)
750 0,30 3,0 4,0 27 0,05 0,40 3 0,05 0,050 0,017 Tabela 10 - Parâmetros de caracterização do pavimento correspondente ao caso 1.
Nas Figuras 62 a 65 são apresentados os espectros em banda estreita do valor real da
mobilidade obtidos num ponto sobre uma viga e num ponto afastado das vigas com os dois
métodos e as correspondentes conversões em bandas de terços de oitava.
1,E-07
1,E-06
1,E-05
1,E-04
1,E-03
1,E-02
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 f (Hz)
Re{Y } (m/Ns)
MEF AM Yc,s Yc,j
Figura 62 - Previsões dos espectros em banda estreita do valor real da mobilidade do
pavimento 1 obtidas sobre a viga com o método analítico e com o MEF.
1,E-07
1,E-06
1,E-05
1,E-04
1,E-03
1,E-02
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 f (Hz)
Re{Y } (m/Ns)
MEF AM Yc,s Yc,j
Figura 63 - Previsões dos espectros em banda estreita do valor real da mobilidade do
pavimento 1 obtidas entre vigas com o método analítico e com o MEF.
Page 71
58
Uma vez que o modelo de elementos finitos só é excitado dinamicamente para frequências
próximas dos 50 Hz, observa-se uma discordância significativa entre os dois métodos abaixo
dessa frequência. Tal como ocorreu no subtipo 3, a mobilidade prevista pelo método analítico
é, nessa zona do espectro, francamente superior à mobilidade característica da placa de piso,
embora não atinja a mobilidade característica das vigas, a qual é muito elevada. Acima dos
50 Hz, apesar da boa concordância entre o valor médio das mobilidades previstas pelos dois
modelos, os espectros fornecidos por cada método de previsão diferem significativamente na
forma, ou seja, nas frequências naturais excitadas.
1,E-07
1,E-06
1,E-05
1,E-04
1,E-03
1,E-02
12,5 16 20 25 32 40 50 63 80 100 125 160 200 f (Hz)
Re{Y } (m/Ns)
MEF AM Yc,s Yc,j
Figura 64 - Previsões dos espectros em bandas de 1/3 de oitava do valor real da mobilidade do
pavimento 1 obtidas sobre a viga com o método analítico e com o MEF.
1,E-07
1,E-06
1,E-05
1,E-04
1,E-03
1,E-02
12,5 16 20 25 32 40 50 63 80 100 125 160 200 f (Hz)
Re{Y } (m/Ns)
MEF AM Yc,s Yc,j
Figura 65 - Previsões dos espectros em bandas de 1/3 de oitava do valor real da mobilidade do
pavimento 1 obtidas entre vigas com o método analítico e com o MEF.
Para ilustrar o subtipo 5 do comportamento tipo A foi seleccionado o pavimento 8. Os
parâmetros relevantes para a sua caracterização são reproduzidos na Tabela 11.
Page 72
59
ρ (kg/m3) ν b (m) c (m) Es (GPa) hs (m) ws (m) Ej (GPa) wj (m) hj (m) hj,eq (m)
750 0,30 2,0 4,0 7 0,022 0,40 7 0,05 0,078 0,078 Tabela 11 - Parâmetros de caracterização do pavimento correspondente ao caso 8.
Nas Figuras 66 a 69 são apresentados os espectros em banda estreita do valor real da
mobilidade obtidos num ponto sobre uma viga e num ponto afastado das vigas com os dois
métodos e as correspondentes conversões em bandas de terços de oitava.
1,E-06
1,E-05
1,E-04
1,E-03
1,E-02
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 f (Hz)
Re{Y } (m/Ns)
MEF AM Yc,s Yc,j
Figura 66 - Previsões dos espectros em banda estreita do valor real da mobilidade do
pavimento 8 obtidas sobre a viga com o método analítico e com o MEF.
1,E-06
1,E-05
1,E-04
1,E-03
1,E-02
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 f (Hz)
Re{Y } (m/Ns)
MEF AM Yc,s Yc,j
Figura 67 - Previsões dos espectros em banda estreita do valor real da mobilidade do
pavimento 8 obtidas entre vigas com o método analítico e com o MEF. O caso 8 corresponde a um pavimento com um vão de apenas 2,0 m. Este pavimento é
caracterizado por parâmetros em tudo idênticos aos do pavimento 9, cujo comportamento
dinâmico se inclui no subtipo 3 do comportamento tipo A. Apesar de se esperar um aumento
das frequências próprias do sistema estrutural, parece exagerado o aumento para cerca de
Page 73
60
120 Hz indicado pelo MEF. Uma vez salientado este aspecto, podem repetir-se as conclusões
da análise do subtipo 4 tendo apenas o cuidado de substituir a frequência de 50 Hz por 120 Hz.
1,E-06
1,E-05
1,E-04
1,E-03
1,E-02
12,5 16 20 25 32 40 50 63 80 100 125 160 200 f (Hz)
Re{Y } (m/Ns)
MEF AM Yc,s Yc,j
Figura 68 - Previsões dos espectros em bandas de 1/3 de oitava do valor real da mobilidade do
pavimento 8 obtidas sobre a viga com o método analítico e com o MEF.
1,E-06
1,E-05
1,E-04
1,E-03
1,E-02
12,5 16 20 25 32 40 50 63 80 100 125 160 200 f (Hz)
Re{Y } (m/Ns)
MEF AM Yc,s Yc,j
Figura 69 - Previsões dos espectros em bandas de 1/3 de oitava do valor real da mobilidade do
pavimento 8 obtidas entre vigas com o método analítico e com o MEF.
A análise do comportamento tipo A mostra que, além da posição relativa das mobilidades
características das vigas de reforço e da placa de revestimento do pavimento, também as
frequências correspondentes aos primeiros modos de vibração influenciam o comportamento
dinâmico do pavimento. Observa-se que, quando a mobilidade característica das vigas excede
a da placa de piso, o método analítico conduz em geral a frequências próprias mais baixas.
O pavimento 21 (ver Anexo 1) corresponde a um caso extremo, não expectável, onde a
mobilidade característica das vigas de reforço é muito superior à da placa de revestimento.
Neste caso, as mobilidades obtidas com o método analítico sobre a viga e entre vigas
Page 74
61
aproximam-se da mobilidade característica da placa. Pelo contrário, o MEF aproxima ambas
das mobilidades da mobilidade característica da viga.
4.3.2.2. Comportamento tipo B
O comportamento tipo B foi observado nos pavimentos 22 a 35. A análise dos resultados
obtidos nestes pavimentos (ver Anexo 1) indica que, tal como no comportamento tipo A, em
geral, as primeiras frequências próprias obtidas com o método analítico são mais baixas do que
as obtidas com o MEF. Consequentemente, as mobilidades previstas pelo método analítico
para frequências inferiores à primeira frequência própria determinada pelo MEF são superiores
às mobilidades determinadas numericamente. Acima desta frequência, os modelos de
elementos finitos apresentam maior mobilidade. Nota-se também que as mobilidades previstas
pelo MEF para as mais altas frequências do intervalo de interesse tendem para as mobilidades
características da placa de revestimento, o que não acontece com as mobilidades previstas
pelo método analítico. Uma vez que, para o comportamento tipo B, a mobilidade característica
das vigas é, em termos médios ao longo do intervalo de frequências analisado, apenas
ligeiramente inferior à mobilidade característica da placa de revestimento, conclui-se que, ao
contrário do que sucedeu nos pavimentos analisados experimentalmente, a aproximação do
método analítico é ainda aceitável.
Para ilustrar o comportamento tipo B foi seleccionado o pavimento 30, cujos parâmetros
relevantes para a sua caracterização são reproduzidos na Tabela 12.
ρ (kg/m3) ν b (m) c (m) Es (GPa) hs (m) ws (m) Ej (GPa) wj (m) hj (m) hj,eq (m)
750 0,30 5,0 4,0 27 0,022 0,35 27 0,1 0,198 0,198 Tabela 12 - Parâmetros de caracterização do pavimento correspondente ao caso 30.
Nas Figuras 70 a 73 são apresentados os espectros em banda estreita do valor real da
mobilidade obtidos num ponto sobre uma viga e num ponto afastado das vigas com os dois
métodos e as correspondentes conversões em bandas de terços de oitava.
1,E-07
1,E-06
1,E-05
1,E-04
1,E-03
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 f (Hz)
Re{Y } (m/Ns)
MEF AM Yc,s Yc,j
Figura 70 - Previsões dos espectros em banda estreita do valor real da mobilidade do
pavimento 30 obtidas sobre a viga com o método analítico e com o MEF.
Page 75
62
1,E-07
1,E-06
1,E-05
1,E-04
1,E-03
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 f (Hz)
Re{Y } (m/Ns)
MEF AM Yc,s Yc,j
Figura 71 - Previsões dos espectros em banda estreita do valor real da mobilidade do
pavimento 30 obtidas entre vigas com o método analítico e com o MEF.
1,E-07
1,E-06
1,E-05
1,E-04
1,E-03
1,E-02
12,5 16 20 25 32 40 50 63 80 100 125 160 200 f (Hz)
Re{Y } (m/Ns)
MEF AM Yc,s Yc,j
Figura 72 - Previsões dos espectros em bandas de 1/3 de oitava do valor real da mobilidade do
pavimento 30 obtidas sobre a viga com o método analítico e com o MEF.
1,E-07
1,E-06
1,E-05
1,E-04
1,E-03
1,E-02
12,5 16 20 25 32 40 50 63 80 100 125 160 200 f (Hz)
Re{Y } (m/Ns)
MEF AM Yc,s Yc,j
Figura 73 - Previsões dos espectros em bandas de 1/3 de oitava do valor real da mobilidade do
pavimento 30 obtidas entre vigas com o método analítico e com o MEF.
Page 76
63
O pavimento 35 (ver Anexo 1) constitui um caso particular do comportamento tipo B pois,
apesar de também exibir valores semelhantes das mobilidades características das vigas de
reforço e da placa de revestimento do pavimento, ao contrário do que ocorreu com os
pavimentos 22 a 34, as primeiras frequências próprias determinadas pelo MEF são bastante
inferiores às determinadas analiticamente. Consequentemente, o espectro da mobilidade
previsto pelo método analítico é subestimado em practicamente todo o intervalo de frequências
de interesse.
4.3.2.3. Comportamento tipo C
O comportamento tipo C foi observado nos pavimentos 36 a 39. A análise dos resultados
obtidos nestes pavimentos (ver Anexo 1) sugere ainda a subdivisão deste tipo de
comportamento em dois subtipos consoante a aproximação, em termos médios ao longo do
intervalo de frequências analisado, entre as mobilidades obtidas pelo MEF e pelo método
analítico. Assim, os dois subtipos podem ser caracterizados da seguinte forma:
• Subtipo 1 – mobilidade prevista pelo MEF significativamente superior, em média, à
mobilidade prevista analiticamente (casos 36 e 37);
• Subtipo 2 – boa aproximação (casos 38 e 39).
Para ilustrar o subtipo 1 do comportamento tipo C foi seleccionado o pavimento 36, cujos
parâmetros relevantes para a sua caracterização são reproduzidos na Tabela 13.
ρ (kg/m3) ν b (m) c (m) Es (GPa) hs (m) ws (m) Ej (GPa) wj (m) hj (m) hj,eq (m)
750 0,30 3,0 4,0 27 0,01 0,40 7 0,05 0,10 0,05 Tabela 13 - Parâmetros de caracterização do pavimento correspondente ao caso 36.
Nas Figuras 74 a 77 são apresentados os espectros em banda estreita do valor real da
mobilidade obtidos num ponto sobre uma viga e num ponto afastado das vigas com os dois
métodos e as correspondentes conversões em bandas de terços de oitava.
Os espectros obtidos configuram uma situação relativamente próxima dos casos
experimentais, onde a mobilidade prevista pelo método analítico é condicionada pela
mobilidade característica das vigas de reforço do pavimento quer em medições sobre uma viga
quer num ponto afastado das vigas. As mobilidades previstas pelo MEF para ambos os pontos
acompanham a mobilidade característica da placa de piso. Uma vez que este comportamento é
diferente do obtido experimentalmente, optou-se por, no caso 37, diminuir o módulo de
elasticidade da placa de revestimento de 27 para 7 GPa. Desta forma, a mobilidade prevista
numericamente passou a acompanhar a mobilidade característica das vigas até aos 30 Hz,
tendendo depois para a mobilidade característica da placa, ou seja, reproduziu-se o
comportamento obtido experimentalmente.
Page 77
64
1,E-06
1,E-05
1,E-04
1,E-03
1,E-02
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 f (Hz)
Re{Y } (m/Ns)
MEF AM Yc,s Yc,j
Figura 74 - Previsões dos espectros em banda estreita do valor real da mobilidade do
pavimento 36 obtidas sobre a viga com o método analítico e com o MEF.
1,E-06
1,E-05
1,E-04
1,E-03
1,E-02
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 f (Hz)
Re{Y } (m/Ns)
MEF AM Yc,s Yc,j
Figura 75 - Previsões dos espectros em banda estreita do valor real da mobilidade do
pavimento 36 obtidas entre vigas com o método analítico e com o MEF.
1,E-06
1,E-05
1,E-04
1,E-03
1,E-02
12,5 16 20 25 32 40 50 63 80 100 125 160 200 f (Hz)
Re{Y } (m/Ns)
MEF AM Yc,s Yc,j
Figura 76 - Previsões dos espectros em bandas de 1/3 de oitava do valor real da mobilidade do
pavimento 36 obtidas sobre a viga com o método analítico e com o MEF.
Page 78
65
1,E-06
1,E-05
1,E-04
1,E-03
1,E-02
12,5 16 20 25 32 40 50 63 80 100 125 160 200 f (Hz)
Re{Y } (m/Ns)
MEF AM Yc,s Yc,j
Figura 77 - Previsões dos espectros em bandas de 1/3 de oitava do valor real da mobilidade do
pavimento 36 obtidas entre vigas com o método analítico e com o MEF.
O subtipo 2 do comportamento tipo C pode ser ilustrado pelo pavimento 39. Os parâmetros
relevantes para a sua caracterização são reproduzidos na Tabela 14.
ρ (kg/m3) ν b (m) c (m) Es (GPa) hs (m) ws (m) Ej (GPa) wj (m) hj (m) hj,eq (m)
750 0,30 3,0 4,0 7 0,012 0,35 27 0,1 0,198 0,390 Tabela 14 - Parâmetros de caracterização do pavimento correspondente ao caso 39.
Nas Figuras 78 a 81 são apresentados os espectros em banda estreita do valor real da
mobilidade obtidos num ponto sobre uma viga e num ponto afastado das vigas com os dois
métodos e as correspondentes conversões em bandas de terços de oitava.
1,E-07
1,E-06
1,E-05
1,E-04
1,E-03
1,E-02
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 f (Hz)
Re{Y } (m/Ns)
MEF AM Yc,s Yc,j
Figura 78 - Previsões dos espectros em banda estreita do valor real da mobilidade do
pavimento 39 obtidas sobre a viga com o método analítico e com o MEF.
Page 79
66
1,E-07
1,E-06
1,E-05
1,E-04
1,E-03
1,E-02
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 f (Hz)
Re{Y } (m/Ns)
MEF AM Yc,s Yc,j
Figura 79 - Previsões dos espectros em banda estreita do valor real da mobilidade do
pavimento 39 obtidas entre vigas com o método analítico e com o MEF.
1,E-07
1,E-06
1,E-05
1,E-04
1,E-03
1,E-02
12,5 16 20 25 32 40 50 63 80 100 125 160 200 f (Hz)
Re{Y } (m/Ns)
MEF AM Yc,s Yc,j
Figura 80 - Previsões dos espectros em bandas de 1/3 de oitava do valor real da mobilidade do
pavimento 39 obtidas sobre a viga com o método analítico e com o MEF.
1,E-06
1,E-05
1,E-04
1,E-03
1,E-02
12,5 16 20 25 32 40 50 63 80 100 125 160 200 f (Hz)
Re{Y } (m/Ns)
MEF AM Yc,s Yc,j
Figura 81 - Previsões dos espectros em bandas de 1/3 de oitava do valor real da mobilidade do
pavimento 39 obtidas entre vigas com o método analítico e com o MEF.
Page 80
67
As Figuras 78 a 81 mostram uma situação em que a mobilidade medida sobre uma viga ou
num ponto afastado das vigas é completamente distinta na generalidade do intervalo de
frequências de interesse. Este comportamento é correctamente reproduzido pelo MEF mas não
pelo método analítico, o qual subestima a mobilidade da placa de revestimento. Tal como
ocorreu nos casos estudados experimentalmente, a mobilidade característica das vigas de
reforço é significativamente à da placa de revestimento em todas as frequências analisadas, o
que vem reforçar a conclusão preliminar relativa à inviabilidade do método analítico neste tipo
de casos.
4.4. DEFINIÇÃO DO CRITÉRIO DE VALIDADE DO MODELO ANALÍTICO
Na secção 4.3 foram identificados como parâmetros de controlo da fiabilidade do modelo
analítico as mobilidades características da placa de piso e das vigas de reforço, bem como as
primeiras frequências próprias do pavimento. Uma vez que este último parâmetro só pode ser
calculado correctamente pelo método analítico para os pavimentos com comportamento do
subtipo 1 do tipo A, optou-se por tentar identificar um critério de definição prévia da validade do
modelo apenas baseado nas mobilidades características das suas componentes.
Assim, tendo em conta que os melhores resultados fornecidos pelo modelo analítico foram
obtidos para pavimentos com comportamento do tipo A ou B, ou seja, para mobilidades
características das vigas de reforço iguais ou superiores às da placa de revestimento, e que a
mobilidade característica das vigas decresce com a frequência, pode definir-se como campo de
aplicação do modelo o intervalo de frequências limitado superiormente por uma frequência
crítica, fc, que satisfaça a condição
Re{Yc,s / Yc,j} = C, (55)
onde C é uma constante a definir.
Tendo em conta que a mobilidade dos pavimentos ortotrópicos leves tende a acompanhar a
mobilidade das vigas de reforço, quando estas são mais rígidas do que a placa de
revestimento, para as frequências mais baixas, e a mobilidade da placa, nas mesmas
condições, para as frequências mais altas, pode considerar-se ainda, com base nos resultados
obtidos nos casos de estudo, que, em geral, o modelo analítico é válido para frequências
inferiores ou iguais à frequência em que a mobilidade medida entre vigas passa a exceder
ligeiramente a mobilidade sobre uma viga. Uma vez que a análise visual efectuada na secção
4.3 incidiu sobre espectros de mobilidade apresentados em escala logarítmica, entende-se que
uma relação Re{Ys / Yj} ≈ 5 corresponde ao referido aumento “ligeiro” da mobilidade das vigas.
Page 81
68
Se a relação Re{Ys / Yj} for apresentada em função da grandeza adimensionalizada
Re{Yc,s / Yc,j}, poderá ser obtido, por inspecção visual, o valor de C necessário para definição
do limite superior do intervalo de frequências em que o modelo analítico pode ser aplicado com
fiabilidade. Uma vantagem adicional de relacionar Re{Ys / Yj} com Re{Yc,s / Yc,j} decorre do
facto de valores reduzidos de Re{Yc,s / Yc,j} corresponderem a comportamentos do tipo A,
enquanto que valores elevados dessa grandeza correspondem a comportamentos do tipo C.
As curvas adimensionalizadas esperadas serão do tipo indicado na Figura 82 para pavimentos
com comportamento do tipo A e B. Os pavimentos com comportamento do tipo C, conforme se
observou na secção 4.3, estão fora do campo de aplicação do modelo analítico proposto.
1,00E-01
1,00E+00
1,00E+01
0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,1
Re{Yc,s /Yc,j }
Re{Ys/Yj}
Curva tipo ACurva tipo B
Figura 82 - Andamento da função
Uma vez que as curvas obtidas, em consequência do comportamento marcadamente modal
apresentado pelos pavimentos estudados na gama das baixas frequências, embora seguindo
as tendências ilustradas na Figura 82, são bastante mais irregulares, dificultando, por isso, a
identificação visual da constante C correspondente a Re{Ys / Yj} ≈ 5. Assim, optou-se por, para
cada tipo e subtipo de comportamento, obter, por regressão polinomial, uma curva de
aproximação relativa às médias das curvas adimensionalizadas obtidas a partir dos resultados
fornecidos pelo MEF.
Na Figura 83 é ilustrado este procedimento para o pavimento de estudo 1.
Desta forma foi possível calcular automaticamente para todos os casos de estudo os valores
de C. A frequência fc pode então ser obtida por substituição das equações (39) e (40) na
equação (55), através de
Page 82
69
fc= 2π B´
s m´´s
Bjm´
j m´
j
3 C2....(Hz). (56)
y = 1,3142x6 + 1,9423x5 - 17,566x4 + 21,695x3 - 6,1978x2 - 0,4832x + 1,1628R2 = 0,4562
1,E-01
1,E+00
1,E+01
0 Re(Yc,s/Yc,j )
Re(Ys/Yj )
Re{Ys/Yj} Poly. (Re{Ys/Yj})
Figura 83 – Curva adimensionalizada para determinação de C obtida para o pavimento 1.
No Anexo 2 são apresentadas as curvas adimensionalizadas para o cálculo de C relativas a
todos os pavimentos analisados na secção anterior. Estas curvas conduziram, para cada tipo e
subtipo de comportamento, aos seguintes valores de C:
• Comportamento tipo A: C ≤ 0,03;
• Subtipo 1 do comportamento tipo A: C ≤ 0,8;
• Subtipo 2 do comportamento tipo A: C ≤ 0,25;
• Subtipo 3 do comportamento tipo A: C ≤ 0,35;
• Subtipo 4 do comportamento tipo A: C ≤ 0,028;
• Subtipo 5 do comportamento tipo A: C ≤ 0,7;
• Comportamento tipo B: C ≤ 1,20.
4.5. CONCLUSÃO
Neste capítulo foi efectuado um estudo aplicado a 39 pavimentos vigados de madeira que
identificou a relação entre mobilidades características das vigas de reforço e da placa de
revestimento como o parâmetro fundamental para a definição da fiabilidade do método analítico
de previsão da mobilidade pontual de pavimentos ortrotrópicos descrito no Capítulo 2.
Assim, antes da aplicação deste método a um determinado pavimento, deve ser verificado
qual o tipo de comportamento que o caracteriza (A,B ou C) e em função do resultado, deve ser
adoptada a constante C definida em 4.4 que permitirá calcular, através da equação (56), o
valor da frequência máxima até à qual poderá ser aplicado o modelo analítico.
Page 83
70
Uma vez definida a gama de frequências em que o método analítico proposto para a previsão
da mobilidade de pavimentos leves de madeira é válido, é possível determinar o campo sonoro
gerado num compartimento corrente, com planta rectangular, por uma força de impacto de
intensidade conhecida aplicada no pavimento superior. No capítulo seguinte é descrito o
modelo analítico proposto para prever o referido campo sonoro.
Page 84
71
5. CAMPO SONORO
5.1. INTRODUÇÃO
A modelação do campo sonoro induzido num compartimento pela vibração do pavimento
superior constitui um problema cuja resolução pode ser dividida em duas fases. A primeira fase
foi descrita no Capítulo 2, onde se procedeu à modelação do campo de vibração do pavimento.
A segunda fase é descrita no presente capítulo, no qual se procederá à modelação do campo
sonoro do interior do compartimento, tendo em conta, o campo de vibração do sistema
estrutural do pavimento com o campo sonoro.
Será utilizado método analítico para a previsão de campos sonoros gerados por pavimentos
em vibração, proposto por Neves e Sousa [3] com base no trabalho de Pretlove [5] e Khilman
[4]
Apesar destas condicionantes, neste capítulo é modelado analiticamente, recorrendo à análise
modal, o campo sonoro do compartimento tendo em consideração o campo de vibração do
sistema estrutural do pavimento.
5.2. DESCRIÇÃO DO MODELO
O campo sonoro no interior de um compartimento resulta da sobreposição de um grande
número de ondas sonoras simples (esféricas ou planas), as quais se propagam através de um
fluído compressível e sem perdas. No caso de compartimentos de dimensões correntes, as
ondas sonoras são de pequena amplitude, pelo que a variação da densidade do ar devida às
as flutuações de pressão sonora é, também, pequena quando comparada com o valor estático
da densidade do ar. Se as flutuações de pressão e de densidade ocorrerem sem transferência
de calor, o processo acústico é adiabático e
PP0
= ⎝⎛
⎠⎞ρ
ρ0
γ
; (57)
p = P - P0 = B0 ⎝⎛
⎠⎞ρ - ρ0
ρ0 = B0⋅sv , (58)
Page 85
72
onde: p (Pa) é a pressão sonora; P e P0 (Pa) são as pressões instantânea e estática totais,
respectivamente; ρ e ρ0 (kg/m3) são as massas volúmicas do ar instantânea e estática,
respectivamente; γ é a razão dos calores específicos do ar γ = (cp / cv), a qual, para as
condições de temperatura e pressão normais, toma o valor de 1,4012; s = -ΔV / V = Δρ / ρ0 é a
condensação volúmica do ar, a qual é muito pequena; e B0 = ρ0 ( ∂P / ∂ρ )ρ0, em Pa, é o módulo
adiabático de volume (compressibilidade).
Uma vez que as variações de massa volúmica e pressão, as quais são consideradas variáveis
independentes, dependem do tempo, é possível relacionar a velocidade de uma partícula de ar,
v, com a massa volúmica instantânea do ar. Para tal, considera-se um elemento infinitesimal
dV = dx dy dz fixo no espaço. Devido à conservação de massa, a taxa à qual a massa flui para
o interior do elemento através de uma superfície é igual à taxa ( ∂ρ / ∂t ) dV, à qual a massa no
interior do volume do elemento aumenta. Assim, obtém-se
∂ρ∂t + ∇⋅( )ρv = 0 , (59)
onde ∇ é o operador divergência: ∇⋅(ρv) = div(ρv).
Escrevendo ρ na forma ρ = ρ0 (1 + sv) e considerando que a variação de ρ0 no tempo e no
espaço é suficientemente pequena, então a equação (59) pode ser simplificada para
∂2ρ∂t2 + ∇⋅⎝
⎛⎠⎞ρ0
∂v∂t ≈ 0 , (60)
Assumindo que o elemento dV, cuja massa infinitesimal é ρ dV, se movimenta como o fluido, é
possível aplicar o teorema da quantidade de movimento, obtendo-se a expressão de Euler
∇⋅⎝⎛
⎠⎞ρ0
∂v∂ t ≈ - ∇
2p , (61)
onde ∇2 = ∇⋅∇ é o operador Laplaciano tridimensional.
Introduzindo as equações (58) e (61) na equação (60), obtém-se a equação que governa a
propagação das ondas sonoras num fluido
∇2p = 1
c02⎝⎛
⎠⎞∂2p
∂ t2 , (62)
Page 86
73
onde c0 (m/s) é a velocidade do som, definida por c02 = B0 / ρ0. Assumindo que o ar é
essencialmente ar seco, a velocidade de propagação do som, pode ser aproximada por
c0 = 33,14 1 + θ273,15 , (63)
em que θ (ºC) é a temperatura do ar.
5.2.1. Solução da equação homogénea da onda sonora
Em seguida é deduzida a solução da equação homogénea da onda sonora em meios fluidos
sem perdas para um compartimento com a configuração ilustrada na Figura 84.
Figura 84 - Dimensões do compartimento com forma rectangular. Assume-se que todas as paredes são rígidas, ou seja, a sua impedância é muito superior à do
ar através do qual se propagam as ondas sonoras. Portanto, a velocidade das partículas do ar
na direcção normal às paredes é zero sobre as paredes. Assumindo, que a velocidade é uma
função harmónica do tempo, v = v0ejωt, a equação (61) pode ser escrita na forma
∇p = - jωρ0v , (64)
pelo que as condições de fronteira da equação (62) são dadas por:
∂p(0,y,z,t)∂x =
∂p(a,y,z,t)∂x =0 ; (65.a)
∂p(x,0,z,t)∂y =
∂p(x,b,z,t)∂y =0 ; (65.b)
∂p(x,y,0,t)∂z =
∂p(x,y,c,t)∂z =0 . (65.c)
Page 87
74
Assumindo que a pressão sonora instantânea também é uma função harmónica no tempo,
p(x,y,z,t) = p(x,y,z) ejωt a equação (62) adquire a forma
∇2 p(x,y,z) + k2p(x,y,z) = 0 , (66)
onde k = ω / c0 representa o número de onda.
As soluções da equação (66) para as condições de fronteira (65) são obtidas pelo método de
separação de variáveis. Após alguma manipulação matemática, obtém-se
plmn(x,y,z) = Almn cos⎝⎛
⎠⎞lπx
a cos⎝⎛
⎠⎞mπy
b cos⎝⎛
⎠⎞nπz
c , (67)
onde Almn são constantes de integração.
Embora as condições iniciais de p(x,y,z,t) = p(x,y,z)ejωt não tenham sido definidas, estas
existem, sendo portanto necessário encontrar uma solução que as satisfaça. Esta solução
pode ser obtida aplicando-se o princípio da sobreposição de efeitos, segundo o qual, a soma
das soluções plmn(x,y,z) é também uma solução de p(x,y,z). Assim, p(x,y,z,t) é dada por uma
série de Fourier, ou seja, por uma série de funções de forma dos modos acústicos
p(x,y,z,t) = ∑l,m,n = 0
∞
⎣⎡
⎦⎤Almn cos⎝
⎛⎠⎞lπx
a cos⎝⎛
⎠⎞mπy
b cos⎝⎛
⎠⎞nπz
c ejωt . (68)
As frequências próprias correspondentes são obtidas por introdução da equação (68) na
equação (62), o que conduz a
ωlmn = c0π ⎝⎛⎠⎞l
a
2
+ ⎝⎛⎠⎞m
b
2
+ ⎝⎛⎠⎞n
c
2
. (69)
5.2.2. Acoplamento entre o campo de vibração e o campo sonoro
É necessário encontrar uma solução para o campo sonoro excitado pelo movimento oscilatório
induzido por uma força pontual numa das superfícies da envolvente do compartimento, neste
caso, no pavimento superior.
Tal como já foi referido na secção anterior, a propagação das ondas sonoras num meio fluido
contínuo, compressível e sem perdas, é dada pela equação (62). De acordo com Kihlman [4],
esta equação pode ser escrita em função do potencial da velocidade, Ψ (x,y,z,t), através de
Page 88
75
∇ 2Ψ (x,y,z,t) - 1
c20 ∂2Ψ (x,y,z,t)
∂t2 . (70)
Considerando um compartimento com geometria idêntica ao da Figura 84, onde todas as
paredes são rígidas, à excepção de uma, em x = a, que exibe um campo de velocidades,
f(y, z) ejωt as condições de fronteira a satisfazer pela equação (70) são:
∂∂xΨ (0,y,z,t) = 0 e ∂∂xΨ (a,y,z,t) = vx(y,z,t) = f(y,z)ejωt ; (71.a)
∂∂yΨ (x,0,z,t) = 0 = ∂∂yΨ (x,b,z,t) = 0 ; (71.b)
∂∂zΨ (x,y,0,t) = 0 = ∂∂zΨ (x,y,c,t) = 0 . (71.c)
Introduzindo o termo Φ(x,y,z,t), a equação (70), escrita em termos de Ψ(x,y,z,t), com condições
de fronteira não homogéneas, pode ser transformada numa equação, em termos de uma
solução particular Ψ1(x,y,z,t), com condições de fronteira homogéneas, em que
Ψ1 (x,y,z,t) = Ψ (x,y,z,t) - Φ(x,y,z,t) . (72)
O termo Φ(x,y,z,t) satisfaz as mesmas condições de fronteira que Ψ(x,y,z,t), ou seja:
∂∂xΦ (0,y,z,t) = 0 e ∂∂xΦ (a,y,z,t) = f(y,z)ejωt ; (73.a)
∂∂yΦ (x,0,z,t) = 0 = ∂∂yΦ (x,b,z,t) = 0 ; (73.b)
∂∂zΦ (x,y,0,t) = 0 = ∂∂zΦ (x,y,c,t) = 0 . (73.c)
Na função Φ(x,y,z,t), t pode ser considerado um parâmetro porque a análise se restringe a
funções harmónicas no tempo. Assumindo que, para as condições de fronteira (73), Φ(x,y,z)
satisfaz a equação de Laplace, ∇2Φ(x,y,z) = 0, a qual é separável, então as suas soluções são
dadas por Kihlman [4] como
Page 89
76
Φ (x,y,z,t) = ∑n,m=0
∞
Amn 2 cosh⎣⎡
⎦⎤
⎝⎛
⎠⎞mπ
b
2
+ ⎝⎛
⎠⎞nπ
c
2
cos⎝⎛
⎠⎞mπy
b cos⎝⎛
⎠⎞nπz
c x ejωt , (74)
onde Amn são constantes de integração. Introduzindo a equação (74) na equação (73.a) para
x = a e multiplicando-se ambos os termos da equação resultante pela função ortogonal
cos(mπy / b) cos(nπz / c), obtém-se, após integração na superfície do pavimento,
Amn = 2Cmn
bc C1 sinh( )C1a , (75)
onde C1 = (mπ / b)2 + (nπ / c)2 e Cmn é dado por
Cmn = ⌡⎮⌠
0
b
⌡⎮⌠
0
c
f(y,z) cos⎝
⎛⎠⎞mπy
b cos⎝⎛
⎠⎞nπz
c dydz . (76)
Como Φ(x,y,z) satisfaz a equação de Laplace, introduzindo a equação (72) em (70), obtém-se
∇ 2Ψ1 (x,y,z,t) - 1c2
0 ∂2Ψ1(x,y,z,t)
∂t2 = 1c2
0 ∂2Φ(x,y,z,t)
∂t2 = -Χ(x,y,z,t) , (77)
onde o termo Χ (x,y,z,t) é dado por uma série de funções de forma
Χ (x,y,z,t) = ∑n,m=1
∞
Amn 2ω2
c20
cosh⎣⎡
⎦⎤
⎝⎛
⎠⎞mπ
b
2
+ ⎝⎛
⎠⎞nπ
c
2
cos⎝⎛
⎠⎞mπy
b cos⎝⎛
⎠⎞nπz
c x ejωt . (78)
Como definido anteriormente, as condições de fronteira da equação (77) são homogéneas e
podem ser escritas como
∂∂xΨ1 (0,y,z,t) = ∂∂xΨ1 (a,y,z,t) = 0 ; (79.a)
∂∂yΨ1 (x,0,z,t) = ∂∂yΨ1 (x,b,z,t) = ∂∂zΨ1 (x,y,0,t) = ∂∂zΨ1 (x,y,c,t) = 0 . (79.b)
Portanto, o potencial da velocidade Ψ1(x,y,z,t) pode também ser escrito como uma expansão
de Fourier dada por,
Page 90
77
Ψ1 (x,y,z,t) = ∑l,m,n=0
∞
[ ]A1,lmnϕlmn(x,y,z) ejωt , (80)
onde φlmn(x,y,z) são as funções de forma que satisfazem a equação homogénea da onda
sonora,
∇2ϕlmn (x,y,z,t) - 1c2
0 ∂2ϕlmn(x,y,z,t)
∂t2 = 0 . (81)
Para condições de fronteira análogas às definidas pelas equações (79), as funções φlmn(x,y,z)
têm a forma,
ϕlmn (x,y,z,t) = cos⎝⎛
⎠⎞lπx
a + cos⎝⎛
⎠⎞mπy
b + cos⎝⎛
⎠⎞nπz
c , (82)
sendo as frequências próprias correspondentes dadas pela equação (69).
Introduzindo as equações (69), (80) e (82) na equação (77) e multiplicando ambos os lados da
equação resultante a função φlmn(x,y,z), obtém-se, após integração volúmica e tendo em conta
as condições de ortogonalidade, a solução estacionária de Ψ1(x,y,z,t), dada por
Ψ1 (x,y,z,t) = ∑l,m,n=0
∞
⎣⎡
⎦⎤8c2
0Χlmnϕlmn(x,y,z)abc(ω2
lmn - ω2) ejωt , (83)
onde Χlmn é dado por
Χlmn = Amn ω2
c20 (-1)lbc sinh( C1a)
2 C1⎣⎡
⎦⎤1 +
1C1
⎝⎛⎠⎞lπ
a
2 . (84)
O potencial da velocidade, Ψ(x,y,z,t), que satisfaz a equação (70), também pode ser escrito
como uma série de funções de forma, que satisfazem condições de fronteira homogéneas.
Logo, as funções de forma e as frequências próprias podem ser dadas pelas equações (69) e
(82) respectivamente. A equação (72) pode ser agora escrita na forma
∑l,m,n=0
∞
( )A2,lmnϕ(x,y,z)ejωt - Ψ1(x,y,z,t) = Φ(x,y,z,t) . (85)
Page 91
78
Introduzindo as equações (74), (75), (83) e (84) na equação (85) e multiplicando ambos os
lados da equação resultante pela função ortogonal φlmn(x,y,z), obtém-se, após integração
volúmica e tendo em conta as condições de ortogonalidade, a constante
A2,lmn = 8c2
0(-1)lCmn
abc( )ω2lmn - ω2 . (86)
A solução estacionária de Ψ(x,y,z,t) é então dada por
Ψ(x,y,z,t) = ∑l,m,n=1
∞
8c20(-1)lCmnϕlmn(x,y,z)abc( )ω2
lmn - ω2 ejωt . (87)
O campo de pressões sonoras pode ser calculado, com base na equação (64) e na definição
de potêncial da velocidade, fazendo
p(x,y,z,t) = - jωρ0Ψ(x,y,z,t) . (88)
Através das equações (87) e (88) é possível estabelecer, para uma dada frequência, ω, uma
relação entre o campo de vibração de uma parede e o campo sonoro no interior de um
compartimento. O campo sonoro total é determinado por sobreposição modal.
A solução (87) foi desenvolvida para compartimentos sem perdas. No entanto, a solução
também pode ser utilizada para salas com pequenas perdas, através da introdução de
frequências próprias na forma complexa, as quais, como observado em 2.3.1 são dadas por
ωlmn ≈ ωlmn(1 + jη / 2) , (89)
em que η é o factor de perdas do compartimento. O factor de perdas pode ser obtido a partir do
tempo de reverberação, TR (s), do compartimento, através de
η = ln10
6
ωlmnTR ≈
13,8ωlmnTR
. (90)
O tempo de reverberação pode ser calculado pela expressão de Sabine
TR = 0,161V
Sα . (91)
Page 92
79
onde: V (m3) e S (m2) são, respectivamente, o volume e a área total das superfícies
envolventes da sala; e α é o coeficiente de absorção sonora médio da sala. Este coeficiente é
calculado através do coeficiente de absorção, αi, do material de cada superfície Si, utilizando-
se a fórmula
α = 1S ∑
i
n
Siαi . (92)
Para baixas frequências, a absorção sonora das superfícies das paredes e pavimentos
correntes nos edifícios de habitação é pequena. Por outro lado, nessa gama de frequências, a
variação dos coeficientes de absorção das superfícies numa sala é pequena. A norma EN
12354 [N.6] afirma que, desde que os compartimentos tenham geometria regular e absorção
sonora distribuída uniformemente, a equação (91) pode ser utilizada para as baixas
frequências, onde a atenuação do ar é muito baixa e a presença de objectos de dimensão
corrente é desprezável (inferior aos comprimentos de onda em análise).
Introduzindo a equação (91) em (90), obtém-se
ωlmn ≈ ωlmn⎝⎛
⎠⎞1 + j
6,9 ωlmnTR
= ωlmn + j 6,9TR
= ωlmn + jδ , (93)
onde δ = 6,9 / TR representa um coeficiente de absorção temporal.
O campo sonoro gerado pela vibração de uma placa, no interior de um compartimento com
pequenas perdas é dado então pela expressão
p (x,y,z,t) = -jωρ0∑l,m,n=1
∞
8c20(-1)lCmnϕlmn (x,y,z)
abc[ ](ω2lmn - jδ) - ω2 ejωt . (94)
Neste trabalho é analisado apenas o caso em que o pavimento se encontra simplesmente
apoiada. Neste caso, o parâmetro Cmn é determinado pela introdução, na equação (76), do
campo de velocidades vx(y,z) gerado por uma força pontual aplicada no pavimento ortotrópico
determinado conforme descrito em 2.4. Após integração obtém-se o factor de acoplamento
Cmn = j4ωFπ2 m'' ∑
m1,n1=1
∞
ϕm1n1(y0,z0)
ω2m1n1
(1 + jη) - ω2 ⋅ [ ](-1)
m1
+m
-1 [ ](-1)n1+n
-1
m1n1⎣⎡
⎦⎤
⎝⎛
⎠⎞m
m1
2
-1 ⎣⎡
⎦⎤
⎝⎛
⎠⎞n
n1
2
-1 . (95)
Page 93
80
O campo de pressões sonoras de um compartimento, gerado pela vibração de compartimento
ortotrópico, é obtido pela introdução da expressão (95) na expressão (94).
O modelo analítico apresentado foi experimentalmente validado num estudo desenvolvido por
Neves e Sousa [3]. O método é adequado para o cálculo de campos sonoros em salas
rectangulares com uma das superfícies sujeita a uma força de impacto pontual.
5.3. IMPLEMENTAÇÃO DO MODELO ANALÍTICO
Analogamente ao modelo teórico descrito na secção 2.4, o modelo descrito pela equação (112)
também é de fácil implementação num programa computacional.
Neste caso, a fase de tratamento de dados divide-se em três partes. A primeira parte determina
os modos de vibração da placa, sendo estes posteriormente contados, ordenados e
armazenados numa matriz, tal como foi descrito na secção 2.4.2. Na segunda parte são
determinados os modos acústicos do compartimento, os quais são posteriormente contados,
ordenados e armazenados numa matriz com a forma [(l, m, n, ωlmn) × Nsala], onde Nsala é o
número de modos acústicos do compartimento considerado. Como já foi referido, neste estudo,
são analisadas as frequências compreendidas entre os 18 e os 225Hz. Porém, de acordo com
a equação (94), o campo sonoro no compartimento resulta do somatório de contribuições de
cada modo acústico do compartimento e de cada modo de vibração da placa, sendo assim
necessário considerar um intervalo de frequências mais extenso, com uma frequência máxima
de 900 Hz. A terceira parte corresponde à resolução da equação (94). Esta parte implica a
soma de Nplaca×Nsala parcelas, para cada frequência compreendida entre os 18 Hz e os 225 Hz.
Apesar do número exaustivo de operações, a aplicação do método analítico através de um
programa computacional tem a vantagem de ser bastante rápida.
5.4. CASO DE ESTUDO
Para ilustrar a aplicação do modelo apresentado nas secções anteriores, é apresentada, em
seguida, a previsão da função de transferência entre a pressão sonora gerada num ponto no
interior de um compartimento por uma força de impacto pontual aplicada sobre o pavimento 30,
cujas propriedades mecânicas se recordam na Tabela 15.
ρ (kg/m3) ν b (m) c (m) Es (GPa) hs (m) ws (m) Ej (GPa) wj (m) hj (m) hj,eq (m)
750 0,30 5,0 4,0 27 0,022 0,35 27 0,1 0,198 0,198 Tabela 15 - Parâmetros de caracterização do pavimento 30.
Considerou-se a força de impacto aplicada nas coordenadas (y0, z0) = (1,65; 1,40) m. O
espectro da magnitude da pressão sonora foi avaliado no ponto com as coordenadas (x, y, z) =
Page 94
81
(0.40; 0,40; 0,40) m, situado num canto inferior do compartimento em análise, para o qual se
admitiu um pé-direito (altura livre), a = 2,70 m. Coonsiderou-se um coeficiente de absorção
sonora médio das superfícies e objectos do compartimento, α = 0,02, o que constitui um valor
corrente em baixas frequências. Para avaliar a propagação sonora no ar, foram admitidas as
seguintes condições de temperatura e humidade relativa:
• θ = 22,5 ºC;
• RH = 50 %.
Nas Figuras 85 e 86 são apresentados os espectros, em banda estreita e em bandas terços de
oitava, da magnitude da função de transferência entre a força de impacto em (y0, z0) e a
pressão sonora em (x, y, z).
1,E-05
1,E-04
1,E-03
1,E-02
1,E-01
1,E+00
1,E+01
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 f (Hz)
Mag{p/F } (m-2)
Campo Sonoro
Figura 85 - Espectro, em banda estreita, da magnitude da função de transferência entre a
força de impacto em (y0, z0) e a pressão sonora em (x, y, z).
1,E-04
1,E-03
1,E-02
1,E-01
1,E+00
1,E+01
12,5 16 20 25 32 40 50 63 80 100 125 160 200 f (Hz)
Mag{p/F} (m-2)
Campo Sonoro
Figura 86 - Espectro, em bandas de terços de oitava, da magnitude da função de transferência
entre a força de impacto em (y0, z0) e a pressão sonora em (x, y, z).
Page 95
82
5.5. CONCLUSÃO
Neste capítulo foi descrita a modelação analítica do campo sonoro gerado por uma força de
impacto aplicada numa das paredes do compartimento, o qual foi validado experimentalmente
em estudos anteriores.
Foi apresentado um caso de estudo para ilustração da aplicação do método. No entanto, a
análise dos resultados carece de um estudo prévio do efeito, na avaliação dos campos
sonoros, introduzido pelo erro decorrente da utilização do modelo analítico proposto para a
previsão do campo de vibração de pavimentos ortotrópicos leves. Este trabalho fica, no
entanto, fora do âmbito da presente dissertação, sendo, por esse motivo, remetido para um
eventual trabalho futuro.
Page 96
83
6. CONCLUSÃO
6.1. SUMÁRIO E CONCLUSÕES
Na presente dissertação foi desenvolvido um método analítico baseado em análise de modos
naturais para previsão da mobilidade pontual de pavimentos ortotrópicos leves, nomeadamente
de pavimentos vigados de madeira. A validação do método foi efectuada com base na
utilização do Método dos Elementos Finitos, o qual foi previamente validado por comparação
directa com resultados obtidos experimentalmente por Mayr e Nightingale [11].
Concluiu-se que o método analítico proposto não é adequado à modelação de todos os tipos
de pavimentos de madeira. Foi então efectuada uma análise de 39 pavimentos diferentes com
o objectivo de identificar os parâmetros mais importantes para a validade do modelo.
A análise paramétrica permitiu concluir que os pavimentos vigados de madeira podem ser
divididos em três tipos básicos de comportamento dinâmico, os quais são caracterizados pela
relação entre as mobilidades características das vigas de reforço e da placa de revestimento do
pavimento. Concluiu-se que o método analítico fornece previsões com precisão suficiente,
principalmente em bandas de terços de oitava, quando a mobilidade característica das vigas de
reforço é próxima ou superior à mobilidade característica da placa de piso.
Tendo em conta, adicionalmente, o comportamento típico da mobilidade dos pavimentos de
madeira, o qual se aproxima da mobilidade característica das vigas nas frequências mais
baixas e da mobilidade característica da placa nas frequências mais altas, foi definido um
critério de verificação prévia da validade do modelo.
Uma vez conhecido o campo de aplicação do modelo analítico, foi possível desenvolver, com
segurança, um método analítico, também baseado na análise de modos naturais, para a
previsão do campo sonoro gerado em salas de dimensãoes e geometria correntes por forças
de impacto pontuais aplicadas no pavimento de madeira superior.
6.2. TRABALHOS FUTUROS
O trabalho desenvolvido na presente dissertação ficaria mais completo com a execução das
seguintes tarefas:
• Construção de curvas adimensionais para definição do critério de validade do modelo
com base em métodos estatísticos adequados;
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84
• Validação experimental do método global proposto para previsão da função de
transferência entre a força de impact exercida no pavimento ortotrópico leve e a
pressão sonora gerada num ponto do compartimento inferior.
• Análise do efeito na avaliação dos campos sonoros introduzido pelo erro decorrente da
utilização do modelo analítico proposto para a previsão do campo de vibração de
pavimentos ortotrópicos leves.
Estas tarefas poderão constituir trabalhos a desenvolver no futuro no âmbito deste tema de
estudo.
Page 98
85
7. BIBLIOGRAFIA
7.1. LIVROS, TESES, OU ARTIGOS
[1] Maluski, S.: “Low frequency sound insulation in dwellings”, Tese de Doutoramento,
Sheffield Hallam University, Sheffield, Reino Unido, 1999
[2] Vieira de Melo, G. “Measurement and prediction of sound absorption of room surfaces
and contents at low frequencies”, Tese de Doutoramento, Universidade Federal de Santa
Catarina, Florianópolis, Brasil, 2002
[3] A. Neves e Sousa: “Low frequency impact sound transmission in dwellings”, Tese de
Doutoramento, University of Liverpool, Reino Unido, 2005
[4] T. Kihlman: “Sound radiation into a rectangular room. Applications to airborne sound
transmission in buildings”, Acustica 18 (11), 11-20 (1967)
[5] A.J. Pretlove: “Free vibrations of a rectangular panel backed by a closed rectangular
cavity”, Journal of Sound and Vibration, Vol. 2 (3), pp. 197-209 (1965)
[6] J.W.S. Rayleigh: “The theory of sound – Vol. 1”, Dover Publications; EUA, 1945
[7] A. Leissa: “Vibration of plates”, Acoustical Society of America, Columbus, Ohio, 1993
[8] G.B. Warburton: “The vibration of rectangular plates”, Actas do Institute of Mechanical
Eng., Série A, Vol. 168 (12), pp. 371-384 (1954)
[9] L. Cremer, M. Heckl, E.E Ungar: “Structure-Borne Sound – Structural Vibrations and
Sound Radiation at Audio Frequencies – 2nd Edition”, Springer-Verlag, Berlim, 1973
[10] R.F.S Hearmon: “Frequency of flexural vibration of rectangular orthotropic plates with
clamped or supported edges”, Journal of Applied Mechanics 26 (3-4), 537-540 (1959)
[11] A.R Mayr, T.R.T. Nightingale: “On the mobility of joist floors and periodic rib-stiffened
plates”, Actas do Inter-Noise 2007, Istambul, Turquia, 2007
[12] J. Brunskog, P. Hammer: “Prediction models for impact sound insulation on timber floor
structures: a literature survey”, Building Acoustics 7 (1), pp. 89-112 (2000)
[13] T.R.T. Nightingale, R.E. Halliwell, G. Pernica: “Estimating in-situ material properties of a
wood joist floor: Part 1 – Measurements of the real part of bending wavenumber”, Building
Acoustics 11 (3), pp. 175-196 (2004)
[14] U. Orrenius, S. Finnveden: “Calculation of wave propagation in rib-stiffened plate
structures”, Journal of Sound and Vibration 198 (2), pp. 203-224 (1996)
Page 99
86
[15] S. Timoshenko; S. Woinowski-Krieger: “Theory of plates and shells”, McGraw-Hill, EUA,
1959
[16] M.E. Biancolini, C. Brutti, L. Reccia: “Approximate solution for free vibrations of thin
orthotropic rectangular plates”, Journal of Sound and Vibration 288 (1-2), pp. 321-344
(2005)
[17] R. Bares: “Tables for the analysis of plates, slabs and diaphragms - German-English
Edition”, Bauverlag, Gmbh. Wiesbaden und Berlin, Alemanha, 1971
[18] V. Panc: “Theories of elastic plates”, Noordhoff International, Holanda, 1975
[19] R. Szilard: “Theory and analysis of plates – Classical and numerical methods”, Prentice-
Hall Inc., Englewood Cliffs, New Jersey, EUA, 1974
[20] W.H. Thomas: “Shear and flexural deflection equations for OSB floor decking with point
load”, Holz als Roh und Werkstoff 60, pp. 165 – 180 (2002)
[21] R. Craik: “Sound transmission through buildings using statistical energy analysis”,
Cambrigde, Reino Unido, 1996
[22] CSI: “SAP2000 User´s Manual”, Computers and Structures, Inc, Berkeley, Califórnia,
EUA, 2007
[23] Neufert : A arte de projectar em arquitectura – Gustavo Gili, S.A
7.2. SÍTIOS NA INTERNET
[W.1] http://www.plexiglas.de
7.3. REGULAMENTAÇÃO
[N.1] EN 140: Acoustics – Measurement of sound insulation in buildings and of building
elements, International Organization for Standardisation;
[N.2] EN 12354: Building Acoustics – Estimation of acoustic performance of buildings from the
performance of elements, International Organisation for Standardisation;
[N.3] EC5 Parte 1.1: Design of timber structures; General rules and general rules for buildings
[N.4] RGEU: Regulamento Geral das Edificações Urbanas – Porto Editora
[N.5] RSA: Regulamento de Segurança e Acções para Estruturas de Edifícios e Pontes – Porto
Editora
[N.6] EN 338: Structural timber; Strength classes
Page 100
87
ANEXO 1
Resultados de todos os casos corridos para a modelação paramétrica
Page 101
88
(Ponto P1j) (Ponto P1s) Caso ρ (kg/m3) ν b (m) c (m) Es (GPa) hs (m) ws (m) Ej (GPa) wj (m) hj (m) hj,eq (m)y0 (m) z0 (m) y0 (m) z0 (m)
1 750 0,30 3,0 4,0 27 0,05 0,40 3 0,05 0,050 0,017 1,00 1,60 1,00 1,40 2 750 0,30 3,0 4,0 27 0,022 0,40 7 0,05 0,078 0,040 1,00 1,60 1,00 1,40 3 750 0,30 3,0 4,0 27 0,022 0,40 7 0,05 0,100 0,050 1,00 1,60 1,00 1,40 4 750 0,30 4,0 3,5 7 0,022 0,40 7 0,1 0,078 0,078 1,35 1,60 1,35 1,40 5 750 0,30 3,0 4,0 3 0,022 0,40 3 0,05 0,078 0,078 1,00 1,60 1,00 1,40 6 750 0,30 3,0 4,0 7 0,022 0,40 7 0,05 0,078 0,078 1,00 1,60 1,00 1,40 7 750 0,30 3,0 4,0 27 0,012 0,40 7 0,05 0,078 0,040 1,00 1,60 1,00 1,40 8 750 0,30 2,0 4,0 7 0,022 0,40 7 0,05 0,078 0,078 0,65 1,60 0,65 1,40 9 750 0,30 2,5 4,0 7 0,022 0,40 7 0,05 0,078 0,078 0,85 1,60 0,85 1,40
10 750 0,30 4,0 6,0 7 0,022 0,40 7 0,05 0,078 0,078 1,35 2,40 1,35 2,20 11 750 0,30 3,0 4,0 7 0,022 0,40 7 0,05 0,078 0,078 1,00 1,60 1,00 1,40 12 750 0,30 4,0 5,0 7 0,022 0,40 7 0,05 0,078 0,078 1,35 2,00 1,35 1,80 13 750 0,30 3,5 4,0 7 0,022 0,40 7 0,05 0,078 0,078 1,10 1,60 1,10 1,40 14 750 0,30 4,0 4,0 7 0,022 0,40 7 0,05 0,078 0,078 1,30 1,60 1,30 1,40 15 750 0,30 4,0 3,5 7 0,022 0,40 7 0,05 0,078 0,078 1,35 1,60 1,35 1,40 16 750 0,30 5,0 4,0 7 0,022 0,40 7 0,05 0,078 0,078 1,65 1,60 1,65 1,40 17 750 0,30 4,0 3,0 7 0,022 0,40 7 0,05 0,078 0,078 1,35 1,60 1,35 1,40 18 750 0,30 6,0 4,0 7 0,022 0,40 7 0,05 0,078 0,078 2,00 1,60 2,00 1,40 19 750 0,30 4,0 2,5 7 0,022 0,40 7 0,05 0,078 0,078 1,35 1,20 1,35 1,00 20 750 0,30 4,0 2,0 7 0,022 0,40 7 0,05 0,078 0,078 1,30 0,80 1,30 0,60 21 750 0,30 4,0 5,0 27 0,022 0,35 27 0,1 0,198 0,198 1,35 1,75 1,35 1,55 22 750 0,30 2,0 4,0 27 0,022 0,35 27 0,1 0,198 0,198 0,65 1,40 0,65 1,20 23 750 0,30 2,5 4,0 27 0,022 0,35 27 0,1 0,198 0,198 0,85 1,40 0,85 1,20 24 750 0,30 4,0 6,0 27 0,022 0,35 27 0,1 0,198 0,198 1,35 2,10 1,35 1,90 25 750 0,30 3,0 4,0 27 0,022 0,35 27 0,1 0,198 0,198 1,00 1,40 1,00 1,20 26 750 0,30 4,0 5,0 27 0,022 0,35 27 0,1 0,198 0,198 1,35 1,75 1,35 1,55 27 750 0,30 3,5 4,0 27 0,022 0,35 27 0,1 0,198 0,198 1,15 1,40 1,15 1,20 28 750 0,30 4,0 4,0 27 0,022 0,35 27 0,1 0,198 0,198 1,35 1,40 1,35 1,20 29 750 0,30 4,0 3,5 27 0,022 0,35 27 0,1 0,198 0,198 1,35 1,40 1,35 1,20 30 750 0,30 5,0 4,0 27 0,022 0,35 27 0,1 0,198 0,198 1,65 1,40 1,65 1,20 31 750 0,30 4,0 3,0 27 0,022 0,35 27 0,1 0,198 0,198 1,35 1,05 1,35 0,85 32 750 0,30 6,0 4,0 27 0,022 0,35 27 0,1 0,198 0,198 2,00 1,40 2,00 1,20 33 750 0,30 4,0 2,5 27 0,022 0,35 27 0,1 0,198 0,198 1,35 1,05 1,35 0,85 34 750 0,30 4,0 2,0 27 0,022 0,35 27 0,1 0,198 0,198 1,35 1,70 1,35 1,50 35 1190 0,37 1,2 2,4 3 0,012 0,40 3 0,0187 0,235 0,235 0,80 1,20 0,80 1,00 36 750 0,30 3,0 4,0 27 0,1 0,40 7 0,05 0,100 0,050 1,00 1,60 1,00 1,40 37 750 0,30 3,0 4,0 7 0,022 0,35 27 0,1 0,198 0,390 1,00 1,40 1,00 1,20 38 750 0,30 3,0 4,0 7 0,012 0,40 27 0,05 0,078 0,250 1,00 1,60 1,00 1,40 39 750 0,30 3,0 4,0 7 0,012 0,35 27 0,1 0,198 0,390 1,00 1,40 1,00 1,20
Tabela 16 - Propriedades físicas usadas nas diferentes modelações
Page 102
89
Caso 1 – Comportamento Tipo A
ρ (kg/m3) ν b (m) c (m) Es (Gpa) hs (m) ws (m) Ej (Gpa) wj (m) hj (m) hj,eq (m)
750 0,30 3,0 4,0 27 0,05 0,40 3 0,05 0,050 0,017 Tabela 17 - Parâmetros de caracterização do pavimento.
P1sP1j
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
0 0,4 0,8 1,2 1,6 2 2,4 2,8 3,2 3,6 4
c (m)
b (m)
Figura 87 - Localização dos pontos de medição.
1,E-07
1,E-06
1,E-05
1,E-04
1,E-03
1,E-02
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 f (Hz)
Re{Y } (m/Ns)
MEF AM Yc,s Yc,j
Figura 88 - Previsões dos espectros em banda estreita obtidas sobre a viga.
1,E-07
1,E-06
1,E-05
1,E-04
1,E-03
1,E-02
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 f (Hz)
Re{Y } (m/Ns)
MEF AM Yc,s Yc,j
Figura 89 - Previsões dos espectros em banda estreita obtidas entre vigas.
Page 103
90
1,E-07
1,E-06
1,E-05
1,E-04
1,E-03
1,E-02
12,5 16 20 25 32 40 50 63 80 100 125 160 200 f (Hz)
Re{Y } (m/Ns)
MEF AM Yc,s Yc,j
Figura 90 - Previsões dos espectros em banda terços de oitava obtidas sobre a viga.
1,E-07
1,E-06
1,E-05
1,E-04
1,E-03
1,E-02
12,5 16 20 25 32 40 50 63 80 100 125 160 200 f (Hz)
Re{Y } (m/Ns)
MEF AM Yc,s Yc,j
Figura 91 - Previsões dos espectros em banda terços de oitava obtidas entre vigas.
Page 104
91
Caso 2 – Comportamento Tipo A
ρ (kg/m3) ν b (m) c (m) Es (Gpa) hs (m) ws (m) Ej (Gpa) wj (m) hj (m) hj,eq (m)
750 0,30 3,0 4,0 27 0,022 0,40 7 0,05 0,078 0,040 Tabela 18 - Parâmetros de caracterização do pavimento.
P1sP1j
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
0 0,4 0,8 1,2 1,6 2 2,4 2,8 3,2 3,6 4
c (m)
b (m)
Figura 92 - Localização dos pontos de medição.
1,E-06
1,E-05
1,E-04
1,E-03
1,E-02
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 f (Hz)
Re{Y } (m/Ns)
MEF AM Yc,s Yc,j
Figura 93 - Previsões dos espectros em banda estreita obtidas sobre a viga.
1,E-06
1,E-05
1,E-04
1,E-03
1,E-02
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 f (Hz)
Re{Y } (m/Ns)
MEF AM Yc,s Yc,j
Figura 94 - Previsões dos espectros em banda estreita obtidas entre vigas.
Page 105
92
1,E-05
1,E-04
1,E-03
1,E-02
12,5 16 20 25 32 40 50 63 80 100 125 160 200 f (Hz)
Re{Y } (m/Ns)
MEF AM Yc,s Yc,j
Figura 95 - Previsões dos espectros em banda terços de oitava obtidas sobre a viga.
1,E-05
1,E-04
1,E-03
1,E-02
12,5 16 20 25 32 40 50 63 80 100 125 160 200 f (Hz)
Re{Y } (m/Ns)
MEF AM Yc,s Yc,j
Figura 96 - Previsões dos espectros em banda terços de oitava obtidas entre vigas.
Page 106
93
Caso 3 – Comportamento Tipo A
ρ (kg/m3) ν b (m) c (m) Es (Gpa) hs (m) ws (m) Ej (Gpa) wj (m) hj (m) hj,eq (m)
750 0,30 3,0 4,0 27 0,022 0,40 7 0,05 0,100 0,050 Tabela 19 - Parâmetros de caracterização do pavimento.
P1sP1j
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
0 0,4 0,8 1,2 1,6 2 2,4 2,8 3,2 3,6 4
c (m)
b (m)
Figura 97 - Localização dos pontos de medição.
1,E-06
1,E-05
1,E-04
1,E-03
1,E-02
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 f (Hz)
Re{Y } (m/Ns)
MEF AM Yc,s Yc,j
Figura 98 - Previsões dos espectros em banda estreita obtidas sobre a viga.
1,E-06
1,E-05
1,E-04
1,E-03
1,E-02
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 f (Hz)
Re{Y } (m/Ns)
MEF AM Yc,s Yc,j
Figura 99 - Previsões dos espectros em banda estreita obtidas entre vigas.
Page 107
94
1,E-06
1,E-05
1,E-04
1,E-03
1,E-02
12,5 16 20 25 32 40 50 63 80 100 125 160 200 f (Hz)
Re{Y } (m/Ns)
MEF AM Yc,s Yc,j
Figura 100 - Previsões dos espectros em banda terços de oitava obtidas sobre a viga.
1,E-06
1,E-05
1,E-04
1,E-03
1,E-02
12,5 16 20 25 32 40 50 63 80 100 125 160 200 f (Hz)
Re{Y } (m/Ns)
MEF AM Yc,s Yc,j
Figura 101 - Previsões dos espectros em banda terços de oitava obtidas entre vigas.
Page 108
95
Caso 4 – Comportamento Tipo A
ρ (kg/m3) ν b (m) c (m) Es (Gpa) hs (m) ws (m) Ej (Gpa) wj (m) hj (m) hj,eq (m)
750 0,30 4,0 3,5 7 0,022 0,40 7 0,1 0,078 0,078 Tabela 20 - Parâmetros de caracterização do pavimento.
P1sP1j
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
0 0,4 0,8 1,2 1,6 2 2,4 2,8 3,2
c (m)
b (m)
Figura 102 - Localização dos pontos de medição.
1,E-06
1,E-05
1,E-04
1,E-03
1,E-02
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220f (Hz)
Re{Y } (m/Ns)
MEF AM Yc,s Yc,j
Figura 103 - Previsões dos espectros em banda estreita obtidas sobre a viga.
1,E-06
1,E-05
1,E-04
1,E-03
1,E-02
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 f (Hz)
Re{Y } (m/Ns)
MEF AM Yc,s Yc,j
Figura 104 - Previsões dos espectros em banda estreita obtidas entre vigas.
Page 109
96
1,E-06
1,E-05
1,E-04
1,E-03
1,E-02
12,5 16 20 25 32 40 50 63 80 100 125 160 200 f (Hz)
Re{Y } (m/Ns)
MEF AM Yc,s Yc,j
Figura 105 - Previsões dos espectros em banda terços de oitava obtidas sobre a viga.
1,E-06
1,E-05
1,E-04
1,E-03
1,E-02
12,5 16 20 25 32 40 50 63 80 100 125 160 200 f (Hz)
Re{Y } (m/Ns)
MEF AM Yc,s Yc,j
Figura 106 - Previsões dos espectros em banda terços de oitava obtidas entre vigas.
Page 110
97
Caso 5 – Comportamento Tipo A
ρ (kg/m3) ν b (m) c (m) Es (Gpa) hs (m) ws (m) Ej (Gpa) wj (m) hj (m) hj,eq (m)
750 0,30 3,0 4,0 3 0,022 0,40 3 0,05 0,078 0,078 Tabela 21 - Parâmetros de caracterização do pavimento.
P1sP1j
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
0 0,4 0,8 1,2 1,6 2 2,4 2,8 3,2 3,6 4
c (m)
b (m)
Figura 107 - Localização dos pontos de medição.
1,E-06
1,E-05
1,E-04
1,E-03
1,E-02
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 f (Hz)
Re{Y } (m/Ns)
MEF AM Yc,s Yc,j
Figura 108 - Previsões dos espectros em banda estreita obtidas sobre a viga.
1,E-06
1,E-05
1,E-04
1,E-03
1,E-02
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 f (Hz)
Re{Y } (m/Ns)
MEF AM Yc,s Yc,j
Figura 109 - Previsões dos espectros em banda estreita obtidas entre vigas.
Page 111
98
1,E-05
1,E-04
1,E-03
1,E-02
12,5 16 20 25 32 40 50 63 80 100 125 160 200 f (Hz)
Re{Y } (m/Ns)
MEF AM Yc,s Yc,j
Figura 110 - Previsões dos espectros em banda terços de oitava obtidas sobre a viga.
1,E-05
1,E-04
1,E-03
1,E-02
12,5 16 20 25 32 40 50 63 80 100 125 160 200 f (Hz)
Re{Y } (m/Ns)
MEF AM Yc,s Yc,j
Figura 111 - Previsões dos espectros em banda terços de oitava obtidas entre vigas.
Page 112
99
Caso 6 – Comportamento Tipo A
ρ (kg/m3) ν b (m) c (m) Es (Gpa) hs (m) ws (m) Ej (Gpa) wj (m) hj (m) hj,eq (m)
750 0,30 3,0 4,0 7 0,022 0,40 7 0,05 0,078 0,078 Tabela 22 - Parâmetros de caracterização do pavimento.
P1sP1j
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
0 0,4 0,8 1,2 1,6 2 2,4 2,8 3,2 3,6 4
c (m)
b (m)
Figura 112 - Localização dos pontos de medição.
1,E-05
1,E-04
1,E-03
1,E-02
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 f (Hz)
Re{Y } (m/Ns)
MEF AM Yc,s Yc,j
Figura 113 - Previsões dos espectros em banda estreita obtidas sobre a viga.
1,E-05
1,E-04
1,E-03
1,E-02
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 f (Hz)
Re{Y } (m/Ns)
MEF AM Yc,s Yc,j
Figura 114 - Previsões dos espectros em banda estreita obtidas entre vigas.
Page 113
100
1,E-05
1,E-04
1,E-03
1,E-02
12,5 16 20 25 32 40 50 63 80 100 125 160 200 f (Hz)
Re{Y } (m/Ns)
MEF AM Yc,s Yc,j
Figura 115 - Previsões dos espectros em banda terços de oitava obtidas sobre a viga.
1,E-05
1,E-04
1,E-03
1,E-02
12,5 16 20 25 32 40 50 63 80 100 125 160 200 f (Hz)
Re{Y } (m/Ns)
MEF AM Yc,s Yc,j
Figura 116 - Previsões dos espectros em banda terços de oitava obtidas entre vigas.
Page 114
101
Caso 7 – Comportamento Tipo A
ρ (kg/m3) ν b (m) c (m) Es (Gpa) hs (m) ws (m) Ej (Gpa) wj (m) hj (m) hj,eq (m)
750 0,30 3,0 4,0 27 0,012 0,40 7 0,05 0,078 0,040 Tabela 23 - Parâmetros de caracterização do pavimento.
P1sP1j
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
0 0,4 0,8 1,2 1,6 2 2,4 2,8 3,2 3,6 4
c (m)
b (m)
Figura 117 - Localização dos pontos de medição.
1,E-06
1,E-05
1,E-04
1,E-03
1,E-02
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 f (Hz)
Re{Y } (m/Ns)
MEF AM Yc,s Yc,j
Figura 118 - Previsões dos espectros em banda estreita obtidas sobre a viga.
1,E-05
1,E-04
1,E-03
1,E-02
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 f (Hz)
Re{Y } (m/Ns)
MEF AM Yc,s Yc,j
Figura 119 - Previsões dos espectros em banda estreita obtidas entre vigas.
Page 115
102
1,E-06
1,E-05
1,E-04
1,E-03
1,E-02
12,5 16 20 25 32 40 50 63 80 100 125 160 200 f (Hz)
Re{Y } (m/Ns)
MEF AM Yc,s Yc,j
Figura 120 - Previsões dos espectros em banda terços de oitava obtidas sobre a viga.
1,E-06
1,E-05
1,E-04
1,E-03
1,E-02
12,5 16 20 25 32 40 50 63 80 100 125 160 200 f (Hz)
Re{Y } (m/Ns)
MEF AM Yc,s Yc,j
Figura 121 - Previsões dos espectros em banda terços de oitava obtidas entre vigas.
Page 116
103
Caso 8 – Comportamento Tipo A
ρ (kg/m3) ν b (m) c (m) Es (Gpa) hs (m) ws (m) Ej (Gpa) wj (m) hj (m) hj,eq (m)
750 0,30 2,0 4,0 7 0,022 0,40 7 0,05 0,078 0,078 Tabela 24 - Parâmetros de caracterização do pavimento.
P1sP1j
0
0,5
1
1,5
2
0 0,4 0,8 1,2 1,6 2 2,4 2,8 3,2 3,6 4
c (m)
b (m)
Figura 122 - Localização dos pontos de medição.
1,E-06
1,E-05
1,E-04
1,E-03
1,E-02
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 f (Hz)
Re{Y } (m/Ns)
MEF AM Yc,s Yc,j
Figura 123 - Previsões dos espectros em banda estreita obtidas sobre a viga.
1,E-06
1,E-05
1,E-04
1,E-03
1,E-02
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 f (Hz)
Re{Y } (m/Ns)
MEF AM Yc,s Yc,j
Figura 124 - Previsões dos espectros em banda estreita obtidas entre vigas.
Page 117
104
1,E-06
1,E-05
1,E-04
1,E-03
1,E-02
12,5 16 20 25 32 40 50 63 80 100 125 160 200 f (Hz)
Re{Y } (m/Ns)
MEF AM Yc,s Yc,j
Figura 125 - Previsões dos espectros em banda terços de oitava obtidas sobre a viga.
1,E-06
1,E-05
1,E-04
1,E-03
1,E-02
12,5 16 20 25 32 40 50 63 80 100 125 160 200 f (Hz)
Re{Y } (m/Ns)
MEF AM Yc,s Yc,j
Figura 126 - Previsões dos espectros em banda terços de oitava obtidas entre vigas.
Page 118
105
Caso 9 – Comportamento Tipo A
ρ (kg/m3) ν b (m) c (m) Es (Gpa) hs (m) ws (m) Ej (Gpa) wj (m) hj (m) hj,eq (m)
750 0,30 2,5 4,0 7 0,022 0,40 7 0,05 0,078 0,078 Tabela 25 - Parâmetros de caracterização do pavimento.
P1sP1j
0
0,5
1
1,5
2
2,5
0 0,4 0,8 1,2 1,6 2 2,4 2,8 3,2 3,6 4
c (m)
b (m)
Figura 127 - Localização dos pontos de medição.
1,E-06
1,E-05
1,E-04
1,E-03
1,E-02
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 f (Hz)
Re{Y } (m/Ns)
MEF AM Yc,s Yc,j
Figura 128 - Previsões dos espectros em banda estreita obtidas sobre a viga.
1,E-06
1,E-05
1,E-04
1,E-03
1,E-02
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 f (Hz)
Re{Y } (m/Ns)
MEF AM Yc,s Yc,j
Figura 129 - Previsões dos espectros em banda estreita obtidas entre vigas.
Page 119
106
1,E-06
1,E-05
1,E-04
1,E-03
1,E-02
12,5 16 20 25 32 40 50 63 80 100 125 160 200 f (Hz)
Re{Y } (m/Ns)
MEF AM Yc,s Yc,j
Figura 130 - Previsões dos espectros em banda terços de oitava obtidas sobre a viga.
1,E-06
1,E-05
1,E-04
1,E-03
1,E-02
12,5 16 20 25 32 40 50 63 80 100 125 160 200 f (Hz)
Re{Y } (m/Ns)
MEF AM Yc,s Yc,j
Figura 131 - Previsões dos espectros em banda terços de oitava obtidas entre vigas.
Page 120
107
Caso 10 – Comportamento Tipo A
ρ (kg/m3) ν b (m) c (m) Es (Gpa) hs (m) ws (m) Ej (Gpa) wj (m) hj (m) hj,eq (m)
750 0,30 4,0 6,0 7 0,022 0,40 7 0,05 0,078 0,078 Tabela 26 - Parâmetros de caracterização do pavimento.
P1jP1s
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
0 0,4 0,8 1,2 1,6 2 2,4 2,8 3,2 3,6 4 4,4 4,8 5,2 5,6 6
c (m)
b (m)
Figura 132 - Localização dos pontos de medição.
1,E-06
1,E-05
1,E-04
1,E-03
1,E-02
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 f (Hz)
Re{Y } (m/Ns)
MEF AM Yc,s Yc,j
Figura 133 - Previsões dos espectros em banda estreita obtidas sobre a viga.
1,E-06
1,E-05
1,E-04
1,E-03
1,E-02
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 f (Hz)
Re{Y } (m/Ns)
MEF AM Yc,s Yc,j
Figura 134 - Previsões dos espectros em banda estreita obtidas entre vigas.
Page 121
108
1,E-05
1,E-04
1,E-03
1,E-02
12,5 16 20 25 32 40 50 63 80 100 125 160 200 f (Hz)
Re{Y } (m/Ns)
MEF AM Yc,s Yc,j
Figura 135 - Previsões dos espectros em banda terços de oitava obtidas sobre a viga.
1,E-05
1,E-04
1,E-03
1,E-02
12,5 16 20 25 32 40 50 63 80 100 125 160 200 f (Hz)
Re{Y } (m/Ns)
MEF AM Yc,s Yc,j
Figura 136 - Previsões dos espectros em banda terços de oitava obtidas entre vigas.
Page 122
109
Caso 11 – Comportamento Tipo A
ρ (kg/m3) ν b (m) c (m) Es (Gpa) hs (m) ws (m) Ej (Gpa) wj (m) hj (m) hj,eq (m)
750 0,30 3,0 4,0 7 0,022 0,40 7 0,05 0,078 0,078 Tabela 27 - Parâmetros de caracterização do pavimento.
P1sP1j
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
0 0,4 0,8 1,2 1,6 2 2,4 2,8 3,2 3,6 4
c (m)
b (m)
Figura 137 - Localização dos pontos de medição.
1,E-06
1,E-05
1,E-04
1,E-03
1,E-02
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 f (Hz)
Re{Y } (m/Ns)
MEF AM Yc,s Yc,j
Figura 138 - Previsões dos espectros em banda estreita obtidas sobre a viga.
1,E-06
1,E-05
1,E-04
1,E-03
1,E-02
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 f (Hz)
Re{Y } (m/Ns)
MEF AM Yc,s Yc,j
Figura 139 - Previsões dos espectros em banda estreita obtidas entre vigas.
Page 123
110
1,E-05
1,E-04
1,E-03
1,E-02
12,5 16 20 25 32 40 50 63 80 100 125 160 200 f (Hz)
Re{Y } (m/Ns)
MEF AM Yc,s Yc,j
Figura 140 - Previsões dos espectros em banda terços de oitava obtidas sobre a viga.
1,E-06
1,E-05
1,E-04
1,E-03
1,E-02
12,5 16 20 25 32 40 50 63 80 100 125 160 200 f (Hz)
Re{Y } (m/Ns)
MEF AM Yc,s Yc,j
Figura 141 - Previsões dos espectros em banda terços de oitava obtidas entre vigas.
Page 124
111
Caso 12 – Comportamento Tipo A
ρ (kg/m3) ν b (m) c (m) Es (Gpa) hs (m) ws (m) Ej (Gpa) wj (m) hj (m) hj,eq (m)
750 0,30 4,0 5,0 7 0,022 0,40 7 0,05 0,078 0,078 Tabela 28 - Parâmetros de caracterização do pavimento.
P1jP1s
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
0 0,4 0,8 1,2 1,6 2 2,4 2,8 3,2 3,6 4 4,4 4,8
c (m)
b (m)
Figura 142 - Localização dos pontos de medição.
1,E-06
1,E-05
1,E-04
1,E-03
1,E-02
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 f (Hz)
Re{Y } (m/Ns)
MEF AM Yc,s Yc,j
Figura 143 - Previsões dos espectros em banda estreita obtidas sobre a viga.
1,E-06
1,E-05
1,E-04
1,E-03
1,E-02
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 f (Hz)
Re{Y } (m/Ns)
MEF AM Yc,s Yc,j
Figura 144 - Previsões dos espectros em banda estreita obtidas entre vigas.
Page 125
112
1,E-05
1,E-04
1,E-03
1,E-02
12,5 16 20 25 32 40 50 63 80 100 125 160 200 f (Hz)
Re{Y } (m/Ns)
MEF AM Yc,s Yc,j
Figura 145 - Previsões dos espectros em banda terços de oitava obtidas sobre a viga.
1,E-05
1,E-04
1,E-03
1,E-02
12,5 16 20 25 32 40 50 63 80 100 125 160 200 f (Hz)
Re{Y } (m/Ns)
MEF AM Yc,s Yc,j
Figura 146 - Previsões dos espectros em banda terços de oitava obtidas entre vigas.
Page 126
113
Caso 13 – Comportamento Tipo A
ρ (kg/m3) ν b (m) c (m) Es (Gpa) hs (m) ws (m) Ej (Gpa) wj (m) hj (m) hj,eq (m)
750 0,30 3,5 4,0 7 0,022 0,40 7 0,05 0,078 0,078 Tabela 29 - Parâmetros de caracterização do pavimento.
P1jP1s
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
0 0,4 0,8 1,2 1,6 2 2,4 2,8 3,2 3,6 4
c (m)
b (m)
Figura 147 - Localização dos pontos de medição.
1,E-06
1,E-05
1,E-04
1,E-03
1,E-02
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 f (Hz)
Re{Y } (m/Ns)
MEF AM Yc,s Yc,j
Figura 148 - Previsões dos espectros em banda estreita obtidas sobre a viga.
1,E-06
1,E-05
1,E-04
1,E-03
1,E-02
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 f (Hz)
Re{Y } (m/Ns)
MEF AM Yc,s Yc,j
Figura 149 - Previsões dos espectros em banda estreita obtidas entre vigas.
Page 127
114
1,E-05
1,E-04
1,E-03
1,E-02
12,5 16 20 25 32 40 50 63 80 100 125 160 200 f (Hz)
Re{Y } (m/Ns)
MEF AM Yc,s Yc,j
Figura 150 - Previsões dos espectros em banda terços de oitava obtidas sobre a viga.
1,E-05
1,E-04
1,E-03
1,E-02
12,5 16 20 25 32 40 50 63 80 100 125 160 200 f (Hz)
Re{Y } (m/Ns)
MEF AM Yc,s Yc,j
Figura 151 - Previsões dos espectros em banda terços de oitava obtidas entre vigas.
Page 128
115
Caso 14 – Comportamento Tipo A
ρ (kg/m3) ν b (m) c (m) Es (Gpa) hs (m) ws (m) Ej (Gpa) wj (m) hj (m) hj,eq (m)
750 0,30 4,0 4,0 7 0,022 0,40 7 0,05 0,078 0,078 Tabela 30 - Parâmetros de caracterização do pavimento.
P1jP1s
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
0 0,4 0,8 1,2 1,6 2 2,4 2,8 3,2 3,6 4
c (m)
b (m)
Figura 152 - Localização dos pontos de medição.
1,E-06
1,E-05
1,E-04
1,E-03
1,E-02
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 f (Hz)
Re{Y } (m/Ns)
MEF AM Yc,s Yc,j
Figura 153 - Previsões dos espectros em banda estreita obtidas sobre a viga.
1,E-06
1,E-05
1,E-04
1,E-03
1,E-02
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 f (Hz)
Re{Y } (m/Ns)
MEF AM Yc,s Yc,j
Figura 154 - Previsões dos espectros em banda estreita obtidas entre vigas.
Page 129
116
1,E-05
1,E-04
1,E-03
1,E-02
12,5 16 20 25 32 40 50 63 80 100 125 160 200 f (Hz)
Re{Y } (m/Ns)
MEF AM Yc,s Yc,j
Figura 155 - Previsões dos espectros em banda terços de oitava obtidas sobre a viga.
1,E-05
1,E-04
1,E-03
1,E-02
12,5 16 20 25 32 40 50 63 80 100 125 160 200 f (Hz)
Re{Y } (m/Ns)
MEF AM Yc,s Yc,j
Figura 156 - Previsões dos espectros em banda terços de oitava obtidas entre vigas.
Page 130
117
Caso 15 – Comportamento Tipo A
ρ (kg/m3) ν b (m) c (m) Es (Gpa) hs (m) ws (m) Ej (Gpa) wj (m) hj (m) hj,eq (m)
750 0,30 4,0 3,5 7 0,022 0,40 7 0,05 0,078 0,078 Tabela 31 - Parâmetros de caracterização do pavimento.
P1sP1j
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
0 0,4 0,8 1,2 1,6 2 2,4 2,8 3,2
c (m)
b (m)
Figura 157 - Localização dos pontos de medição.
1,E-06
1,E-05
1,E-04
1,E-03
1,E-02
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 f (Hz)
Re{Y } (m/Ns)
MEF AM Yc,s Yc,j
Figura 158 - Previsões dos espectros em banda estreita obtidas sobre a viga.
1,E-06
1,E-05
1,E-04
1,E-03
1,E-02
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 f (Hz)
Re{Y } (m/Ns)
MEF AM Yc,s Yc,j
Figura 159 - Previsões dos espectros em banda estreita obtidas entre vigas.
Page 131
118
1,E-05
1,E-04
1,E-03
1,E-02
12,5 16 20 25 32 40 50 63 80 100 125 160 200 f (Hz)
Re{Y } (m/Ns)
MEF AM Yc,s Yc,j
Figura 160 - Previsões dos espectros em banda terços de oitava obtidas sobre a viga.
1,E-05
1,E-04
1,E-03
1,E-02
12,5 16 20 25 32 40 50 63 80 100 125 160 200 f (Hz)
Re{Y } (m/Ns)
MEF AM Yc,s Yc,j
Figura 161 - Previsões dos espectros em banda terços de oitava obtidas entre vigas.
Page 132
119
Caso16 – Comportamento Tipo A
ρ (kg/m3) ν b (m) c (m) Es (Gpa) hs (m) ws (m) Ej (Gpa) wj (m) hj (m) hj,eq (m)
750 0,30 5,0 4,0 7 0,022 0,40 7 0,05 0,078 0,078 Tabela 32 - Parâmetros de caracterização do pavimento.
P1jP1s
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
5
0 0,4 0,8 1,2 1,6 2 2,4 2,8 3,2 3,6 4
c (m)
b (m)
Figura 162 - Localização dos pontos de medição.
1,E-06
1,E-05
1,E-04
1,E-03
1,E-02
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 f (Hz)
Re{Y } (m/Ns)
MEF AM Yc,s Yc,j
Figura 163 - Previsões dos espectros em banda estreita obtidas sobre a viga.
1,E-06
1,E-05
1,E-04
1,E-03
1,E-02
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 f (Hz)
Re{Y } (m/Ns)
MEF AM Yc,s Yc,j
Figura 164 - Previsões dos espectros em banda estreita obtidas entre vigas.
Page 133
120
1,E-05
1,E-04
1,E-03
1,E-02
12,5 16 20 25 32 40 50 63 80 100 125 160 200 f (Hz)
Re{Y } (m/Ns)
MEF AM Yc,s Yc,j
Figura 165 - Previsões dos espectros em banda terços de oitava obtidas sobre a viga.
1,E-05
1,E-04
1,E-03
1,E-02
12,5 16 20 25 32 40 50 63 80 100 125 160 200 f (Hz)
Re{Y } (m/Ns)
MEF AM Yc,s Yc,j
Figura 166 - Previsões dos espectros em banda terços de oitava obtidas entre vigas.
Page 134
121
Caso 17 – Comportamento Tipo A
ρ (kg/m3) ν b (m) c (m) Es (Gpa) hs (m) ws (m) Ej (Gpa) wj (m) hj (m) hj,eq (m)
750 0,30 4,0 3,0 7 0,022 0,40 7 0,05 0,078 0,078 Tabela 33 - Parâmetros de caracterização do pavimento.
P1jP1s
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
0 0,4 0,8 1,2 1,6 2 2,4 2,8
c (m)
b (m)
Figura 167 - Localização dos pontos de medição.
1,E-06
1,E-05
1,E-04
1,E-03
1,E-02
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 f (Hz)
Re{Y } (m/Ns)
MEF AM Yc,s Yc,j
Figura 168 - Previsões dos espectros em banda estreita obtidas sobre a viga.
1,E-06
1,E-05
1,E-04
1,E-03
1,E-02
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 f (Hz)
Re{Y } (m/Ns)
MEF AM Yc,s Yc,j
Figura 169 - Previsões dos espectros em banda estreita obtidas entre vigas.
Page 135
122
1,E-05
1,E-04
1,E-03
1,E-02
12,5 16 20 25 32 40 50 63 80 100 125 160 200 f (Hz)
Re{Y } (m/Ns)
MEF AM Yc,s Yc,j
Figura 170 - Previsões dos espectros em banda terços de oitava obtidas sobre a viga.
1,E-05
1,E-04
1,E-03
1,E-02
12,5 16 20 25 32 40 50 63 80 100 125 160 200 f (Hz)
Re{Y } (m/Ns)
MEF AM Yc,s Yc,j
Figura 171 - Previsões dos espectros em banda terços de oitava obtidas entre vigas.
Page 136
123
Caso 18 – Comportamento Tipo A
ρ (kg/m3) ν b (m) c (m) Es (Gpa) hs (m) ws (m) Ej (Gpa) wj (m) hj (m) hj,eq (m)
750 0,30 6,0 4,0 7 0,022 0,40 7 0,05 0,078 0,078 Tabela 34 - Parâmetros de caracterização do pavimento.
Nota: Não consegui modelar e retirar os resultados
P1jP1s
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
5
5,5
6
0 0,4 0,8 1,2 1,6 2 2,4 2,8 3,2 3,6 4
c (m)
b (m)
Figura 172 - Localização dos pontos de medição.
Page 137
124
Caso 19 – Comportamento Tipo A
ρ (kg/m3) ν b (m) c (m) Es (Gpa) hs (m) ws (m) Ej (Gpa) wj (m) hj (m) hj,eq (m)
750 0,30 4,0 2,5 7 0,022 0,40 7 0,05 0,078 0,078 Tabela 35 - Parâmetros de caracterização do pavimento.
P1jP1s
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
0 0,4 0,8 1,2 1,6 2 2,4
c (m)
b (m)
Figura 173 - Localização dos pontos de medição.
1,E-06
1,E-05
1,E-04
1,E-03
1,E-02
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 f (Hz)
Re{Y } (m/Ns)
MEF AM Yc,s Yc,j
Figura 174 - Previsões dos espectros em banda estreita obtidas sobre a viga.
1,E-06
1,E-05
1,E-04
1,E-03
1,E-02
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 f (Hz)
Re{Y } (m/Ns)
MEF AM Yc,s Yc,j
Figura 175 - Previsões dos espectros em banda estreita obtidas entre vigas.
Page 138
125
1,E-05
1,E-04
1,E-03
1,E-02
12,5 16 20 25 32 40 50 63 80 100 125 160 200 f (Hz)
Re{Y } (m/Ns)
MEF AM Yc,s Yc,j
Figura 176 - Previsões dos espectros em banda terços de oitava obtidas sobre a viga.
1,E-05
1,E-04
1,E-03
1,E-02
12,5 16 20 25 32 40 50 63 80 100 125 160 200 f (Hz)
Re{Y } (m/Ns)
MEF AM Yc,s Yc,j
Figura 177 - Previsões dos espectros em banda terços de oitava obtidas entre vigas.
Page 139
126
Caso 20 – Comportamento Tipo A
ρ (kg/m3) ν b (m) c (m) Es (Gpa) hs (m) ws (m) Ej (Gpa) wj (m) hj (m) hj,eq (m)
750 0,30 4,0 2,0 7 0,022 0,40 7 0,05 0,078 0,078 Tabela 36 - Parâmetros de caracterização do pavimento.
P1jP1s
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
0 0,4 0,8 1,2 1,6 2
c (m)
b (m)
Figura 178 - Localização dos pontos de medição.
1,E-06
1,E-05
1,E-04
1,E-03
1,E-02
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 f (Hz)
Re{Y } (m/Ns)
MEF AM Yc,s Yc,j
Figura 179 - Previsões dos espectros em banda estreita obtidas sobre a viga.
1,E-06
1,E-05
1,E-04
1,E-03
1,E-02
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 f (Hz)
Re{Y } (m/Ns)
MEF AM Yc,s Yc,j
Figura 180 - Previsões dos espectros em banda estreita obtidas entre vigas.
Page 140
127
1,E-05
1,E-04
1,E-03
1,E-02
12,5 16 20 25 32 40 50 63 80 100 125 160 200 f (Hz)
Re{Y } (m/Ns)
MEF AM Yc,s Yc,j
Figura 181 - Previsões dos espectros em banda terços de oitava obtidas sobre a viga.
1,E-05
1,E-04
1,E-03
1,E-02
12,5 16 20 25 32 40 50 63 80 100 125 160 200 f (Hz)
Re{Y } (m/Ns)
MEF AM Yc,s Yc,j
Figura 182 - Previsões dos espectros em banda terços de oitava obtidas entre vigas.
Page 141
128
Caso 21 – Comportamento Tipo A
ρ (kg/m3) ν b (m) c (m) Es (Gpa) hs (m) ws (m) Ej (Gpa) wj (m) hj (m) hj,eq (m)
750 0,30 4,0 5,0 27 0,022 0,35 27 0,1 0,198 0,198 Tabela 37 - Parâmetros de caracterização do pavimento.
P1jP1s
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
0 0,35 0,7 1,05 1,4 1,75 2,1 2,45 2,8 3,15 3,5 3,85 4,2 4,55 4,9
c (m)
b (m)
Figura 183 - Localização dos pontos de medição.
1,E-06
1,E-05
1,E-04
1,E-03
1,E-02
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 f (Hz)
Re{Y } (m/Ns)
MEF AM Yc,s Yc,j
Figura 184 - Previsões dos espectros em banda estreita obtidas sobre a viga.
1,E-06
1,E-05
1,E-04
1,E-03
1,E-02
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 f (Hz)
Re{Y } (m/Ns)
MEF AM Yc,s Yc,j
Figura 185 - Previsões dos espectros em banda estreita obtidas entre vigas.
Page 142
129
1,E-06
1,E-05
1,E-04
1,E-03
1,E-02
12,5 16 20 25 32 40 50 63 80 100 125 160 200 f (Hz)
Re{Y } (m/Ns)
MEF AM Yc,s Yc,j
Figura 186 - Previsões dos espectros em banda terços de oitava obtidas sobre a viga.
1,E-06
1,E-05
1,E-04
1,E-03
1,E-02
12,5 16 20 25 32 40 50 63 80 100 125 160 200 f (Hz)
Re{Y } (m/Ns)
MEF AM Yc,s Yc,j
Figura 187 - Previsões dos espectros em banda terços de oitava obtidas entre vigas.
Page 143
130
Caso 22 – Comportamento Tipo B
ρ (kg/m3) ν b (m) c (m) Es (Gpa) hs (m) ws (m) Ej (Gpa) wj (m) hj (m) hj,eq (m)
750 0,30 2,0 4,0 27 0,022 0,35 27 0,1 0,198 0,198 Tabela 38 - Parâmetros de caracterização do pavimento.
P1jP1s
0
0,5
1
1,5
2
0 0,35 0,7 1,05 1,4 1,75 2,1 2,45 2,8 3,15 3,5 3,85
c (m)
b (m)
Figura 188 - Localização dos pontos de medição.
1,E-07
1,E-06
1,E-05
1,E-04
1,E-03
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 f (Hz)
Re{Y } (m/Ns)
MEF AM Yc,s Yc,j
Figura 189 - Previsões dos espectros em banda estreita obtidas sobre a viga.
1,E-07
1,E-06
1,E-05
1,E-04
1,E-03
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 f (Hz)
Re{Y } (m/Ns)
MEF AM Yc,s Yc,j
Figura 190 - Previsões dos espectros em banda estreita obtidas entre vigas.
Page 144
131
1,E-07
1,E-06
1,E-05
1,E-04
1,E-03
1,E-02
12,5 16 20 25 32 40 50 63 80 100 125 160 200 f (Hz)
Re{Y } (m/Ns)
MEF AM Yc,s Yc,j
Figura 191 - Previsões dos espectros em banda terços de oitava obtidas sobre a viga.
1,E-07
1,E-06
1,E-05
1,E-04
1,E-03
1,E-02
12,5 16 20 25 32 40 50 63 80 100 125 160 200 f (Hz)
Re{Y } (m/Ns)
MEF AM Yc,s Yc,j
Figura 192 - Previsões dos espectros em banda terços de oitava obtidas entre vigas.
Page 145
132
Caso 23 – Comportamento Tipo B
ρ (kg/m3) ν b (m) c (m) Es (Gpa) hs (m) ws (m) Ej (Gpa) wj (m) hj (m) hj,eq (m)
750 0,30 2,5 4,0 27 0,022 0,35 27 0,1 0,198 0,198 Tabela 39 - Parâmetros de caracterização do pavimento.
P1jP1s
0
0,5
1
1,5
2
2,5
0 0,35 0,7 1,05 1,4 1,75 2,1 2,45 2,8 3,15 3,5 3,85
c (m)
b (m)
Figura 193 - Localização dos pontos de medição.
1,E-07
1,E-06
1,E-05
1,E-04
1,E-03
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 f (Hz)
Re{Y } (m/Ns)
MEF AM Yc,s Yc,j
Figura 194 - Previsões dos espectros em banda estreita obtidas sobre a viga.
1,E-07
1,E-06
1,E-05
1,E-04
1,E-03
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 f (Hz)
Re{Y } (m/Ns)
MEF AM Yc,s Yc,j
Figura 195 - Previsões dos espectros em banda estreita obtidas entre vigas.
Page 146
133
1,E-07
1,E-06
1,E-05
1,E-04
1,E-03
1,E-02
12,5 16 20 25 32 40 50 63 80 100 125 160 200 f (Hz)
Re{Y } (m/Ns)
MEF AM Yc,s Yc,j
Figura 196 - Previsões dos espectros em banda terços de oitava obtidas sobre a viga.
1,E-07
1,E-06
1,E-05
1,E-04
1,E-03
1,E-02
12,5 16 20 25 32 40 50 63 80 100 125 160 200 f (Hz)
Re{Y } (m/Ns)
MEF AM Yc,s Yc,j
Figura 197 - Previsões dos espectros em banda terços de oitava obtidas entre vigas.
Page 147
134
Caso 24 – Comportamento Tipo B
ρ (kg/m3) ν b (m) c (m) Es (Gpa) hs (m) ws (m) Ej (Gpa) wj (m) hj (m) hj,eq (m)
750 0,30 4,0 6,0 27 0,022 0,35 27 0,1 0,198 0,198 Tabela 40 - Parâmetros de caracterização do pavimento.
P1jP1s
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
0 0,35 0,7 1,05 1,4 1,75 2,1 2,45 2,8 3,15 3,5 3,85 4,2 4,55 4,9 5,25 5,6 5,95
c (m)
b (m)
Figura 198 - Localização dos pontos de medição.
1,E-07
1,E-06
1,E-05
1,E-04
1,E-03
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 f (Hz)
Re{Y } (m/Ns)
MEF AM Yc,s Yc,j
Figura 199 - Previsões dos espectros em banda estreita obtidas sobre a viga.
1,E-07
1,E-06
1,E-05
1,E-04
1,E-03
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 f (Hz)
Re{Y } (m/Ns)
MEF AM Yc,s Yc,j
Figura 200 - Previsões dos espectros em banda estreita obtidas entre vigas.
Page 148
135
1,E-07
1,E-06
1,E-05
1,E-04
1,E-03
1,E-02
12,5 16 20 25 32 40 50 63 80 100 125 160 200 f (Hz)
Re{Y } (m/Ns)
MEF AM Yc,s Yc,j
Figura 201 - Previsões dos espectros em banda terços de oitava obtidas sobre a viga.
1,E-07
1,E-06
1,E-05
1,E-04
1,E-03
1,E-02
12,5 16 20 25 32 40 50 63 80 100 125 160 200 f (Hz)
Re{Y } (m/Ns)
MEF AM Yc,s Yc,j
Figura 202 - Previsões dos espectros em banda terços de oitava obtidas entre vigas.
Page 149
136
Caso 25 – Comportamento Tipo B
ρ (kg/m3) ν b (m) c (m) Es (Gpa) hs (m) ws (m) Ej (Gpa) wj (m) hj (m) hj,eq (m)
750 0,30 3,0 4,0 27 0,022 0,35 27 0,1 0,198 0,198 Tabela 41 - Parâmetros de caracterização do pavimento.
P1sP1j
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
0 0,35 0,7 1,05 1,4 1,75 2,1 2,45 2,8 3,15 3,5 3,85
c (m)
b (m)
Figura 203 - Localização dos pontos de medição.
1,E-07
1,E-06
1,E-05
1,E-04
1,E-03
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 f (Hz)
Re{Y } (m/Ns)
MEF AM Yc,s Yc,j
Figura 204 - Previsões dos espectros em banda estreita obtidas sobre a viga.
1,E-07
1,E-06
1,E-05
1,E-04
1,E-03
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 f (Hz)
Re{Y } (m/Ns)
MEF AM Yc,s Yc,j
Figura 205 - Previsões dos espectros em banda estreita obtidas entre vigas.
Page 150
137
1,E-07
1,E-06
1,E-05
1,E-04
1,E-03
1,E-02
12,5 16 20 25 32 40 50 63 80 100 125 160 200 f (Hz)
Re{Y } (m/Ns)
MEF AM Yc,s Yc,j
Figura 206 - Previsões dos espectros em banda terços de oitava obtidas sobre a viga.
1,E-07
1,E-06
1,E-05
1,E-04
1,E-03
1,E-02
12,5 16 20 25 32 40 50 63 80 100 125 160 200 f (Hz)
Re{Y } (m/Ns)
MEF AM Yc,s Yc,j
Figura 207 - Previsões dos espectros em banda terços de oitava obtidas entre vigas.
Page 151
138
Caso 26 – Comportamento Tipo B
ρ (kg/m3) ν b (m) c (m) Es (Gpa) hs (m) ws (m) Ej (Gpa) wj (m) hj (m) hj,eq (m)
750 0,30 4,0 5,0 27 0,022 0,35 27 0,1 0,198 0,198 Tabela 42 - Parâmetros de caracterização do pavimento.
P1jP1s
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
0 0,35 0,7 1,05 1,4 1,75 2,1 2,45 2,8 3,15 3,5 3,85 4,2 4,55 4,9
c (m)
b (m)
Figura 208 - Localização dos pontos de medição.
1,E-07
1,E-06
1,E-05
1,E-04
1,E-03
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 f (Hz)
Re{Y } (m/Ns)
MEF AM Yc,s Yc,j
Figura 209 - Previsões dos espectros em banda estreita obtidas sobre a viga.
1,E-07
1,E-06
1,E-05
1,E-04
1,E-03
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 f (Hz)
Re{Y } (m/Ns)
MEF AM Yc,s Yc,j
Figura 210 - Previsões dos espectros em banda estreita obtidas entre vigas.
Page 152
139
1,E-07
1,E-06
1,E-05
1,E-04
1,E-03
1,E-02
12,5 16 20 25 32 40 50 63 80 100 125 160 200 f (Hz)
Re{Y } (m/Ns)
MEF AM Yc,s Yc,j
Figura 211 - Previsões dos espectros em banda terços de oitava obtidas sobre a viga.
1,E-07
1,E-06
1,E-05
1,E-04
1,E-03
1,E-02
12,5 16 20 25 32 40 50 63 80 100 125 160 200 f (Hz)
Re{Y } (m/Ns)
MEF AM Yc,s Yc,j
Figura 212 - Previsões dos espectros em banda terços de oitava obtidas entre vigas.
Page 153
140
Caso 27 – Comportamento Tipo B
ρ (kg/m3) ν b (m) c (m) Es (Gpa) hs (m) ws (m) Ej (Gpa) wj (m) hj (m) hj,eq (m)
750 0,30 3,5 4,0 27 0,022 0,35 27 0,1 0,198 0,198 Tabela 43 - Parâmetros de caracterização do pavimento.
P1jP1s
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
0 0,35 0,7 1,05 1,4 1,75 2,1 2,45 2,8 3,15 3,5 3,85
c (m)
b (m)
Figura 213 - Localização dos pontos de medição.
1,E-07
1,E-06
1,E-05
1,E-04
1,E-03
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 f (Hz)
Re{Y } (m/Ns)
MEF AM Yc,s Yc,j
Figura 214 - Previsões dos espectros em banda estreita obtidas sobre a viga.
1,E-07
1,E-06
1,E-05
1,E-04
1,E-03
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 f (Hz)
Re{Y } (m/Ns)
MEF AM Yc,s Yc,j
Figura 215 - Previsões dos espectros em banda estreita obtidas entre vigas.
Page 154
141
1,E-07
1,E-06
1,E-05
1,E-04
1,E-03
1,E-02
12,5 16 20 25 32 40 50 63 80 100 125 160 200 f (Hz)
Re{Y } (m/Ns)
MEF AM Yc,s Yc,j
Figura 216 - Previsões dos espectros em banda terços de oitava obtidas sobre a viga.
1,E-07
1,E-06
1,E-05
1,E-04
1,E-03
1,E-02
12,5 16 20 25 32 40 50 63 80 100 125 160 200 f (Hz)
Re{Y } (m/Ns)
MEF AM Yc,s Yc,j
Figura 217 - Previsões dos espectros em banda terços de oitava obtidas entre vigas.
Page 155
142
Caso 28 – Comportamento Tipo B
ρ (kg/m3) ν b (m) c (m) Es (Gpa) hs (m) ws (m) Ej (Gpa) wj (m) hj (m) hj,eq (m)
750 0,30 4,0 4,0 27 0,022 0,35 27 0,1 0,198 0,198 Tabela 44 - Parâmetros de caracterização do pavimento.
P1jP1s
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
0 0,35 0,7 1,05 1,4 1,75 2,1 2,45 2,8 3,15 3,5 3,85
c (m)
b (m)
Figura 218 - Localização dos pontos de medição.
1,E-07
1,E-06
1,E-05
1,E-04
1,E-03
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 f (Hz)
Re{Y } (m/Ns)
MEF AM Yc,s Yc,j
Figura 219 - Previsões dos espectros em banda estreita obtidas sobre a viga.
1,E-07
1,E-06
1,E-05
1,E-04
1,E-03
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 f (Hz)
Re{Y } (m/Ns)
MEF AM Yc,s Yc,j
Figura 220 - Previsões dos espectros em banda estreita obtidas entre vigas.
Page 156
143
1,E-07
1,E-06
1,E-05
1,E-04
1,E-03
1,E-02
12,5 16 20 25 32 40 50 63 80 100 125 160 200 f (Hz)
Re{Y } (m/Ns)
MEF AM Yc,s Yc,j
Figura 221 - Previsões dos espectros em banda terços de oitava obtidas sobre a viga.
1,E-07
1,E-06
1,E-05
1,E-04
1,E-03
1,E-02
12,5 16 20 25 32 40 50 63 80 100 125 160 200 f (Hz)
Re{Y } (m/Ns)
"MEF" AM Yc,s Yc,j
Figura 222 - Previsões dos espectros em banda terços de oitava obtidas entre vigas.
Page 157
144
Caso 29 – Comportamento Tipo B
ρ (kg/m3) ν b (m) c (m) Es (Gpa) hs (m) ws (m) Ej (Gpa) wj (m) hj (m) hj,eq (m)
750 0,30 4,0 3,5 27 0,022 0,35 27 0,1 0,198 0,198 Tabela 45 - Parâmetros de caracterização do pavimento.
P1jP1s
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
0 0,35 0,7 1,05 1,4 1,75 2,1 2,45 2,8 3,15 3,5
c (m)
b (m)
Figura 223 - Localização dos pontos de medição.
1,E-07
1,E-06
1,E-05
1,E-04
1,E-03
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 f (Hz)
Re{Y } (m/Ns)
MEF AM Yc,s Yc,j
Figura 224 - Previsões dos espectros em banda estreita obtidas sobre a viga.
1,E-07
1,E-06
1,E-05
1,E-04
1,E-03
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 f (Hz)
Re{Y } (m/Ns)
MEF AM Yc,s Yc,j
Figura 225 - Previsões dos espectros em banda estreita obtidas entre vigas.
Page 158
145
1,E-07
1,E-06
1,E-05
1,E-04
1,E-03
1,E-02
12,5 16 20 25 32 40 50 63 80 100 125 160 200 f (Hz)
Re{Y } (m/Ns)
MEF AM Yc,s Yc,j
Figura 226 - Previsões dos espectros em banda terços de oitava obtidas sobre a viga.
1,E-07
1,E-06
1,E-05
1,E-04
1,E-03
1,E-02
12,5 16 20 25 32 40 50 63 80 100 125 160 200 f (Hz)
Re{Y } (m/Ns)
MEF AM Yc,s Yc,j
Figura 227 - Previsões dos espectros em banda terços de oitava obtidas entre vigas.
Page 159
146
Caso 30 – Comportamento Tipo B
ρ (kg/m3) ν b (m) c (m) Es (Gpa) hs (m) ws (m) Ej (Gpa) wj (m) hj (m) hj,eq (m)
750 0,30 5,0 4,0 27 0,022 0,35 27 0,1 0,198 0,198 Tabela 46 - Parâmetros de caracterização do pavimento.
P1jP1s
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
5
0 0,35 0,7 1,05 1,4 1,75 2,1 2,45 2,8 3,15 3,5 3,85
c (m)
b (m)
Figura 228 - Localização dos pontos de medição.
1,E-07
1,E-06
1,E-05
1,E-04
1,E-03
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 f (Hz)
Re{Y } (m/Ns)
MEF AM Yc,s Yc,j
Figura 229 - Previsões dos espectros em banda estreita obtidas sobre a viga.
1,E-07
1,E-06
1,E-05
1,E-04
1,E-03
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 f (Hz)
Re{Y } (m/Ns)
MEF AM Yc,s Yc,j
Figura 230 - Previsões dos espectros em banda estreita obtidas entre vigas.
Page 160
147
1,E-07
1,E-06
1,E-05
1,E-04
1,E-03
1,E-02
12,5 16 20 25 32 40 50 63 80 100 125 160 200 f (Hz)
Re{Y } (m/Ns)
MEF AM Yc,s Yc,j
Figura 231 - Previsões dos espectros em banda terços de oitava obtidas sobre a viga.
1,E-07
1,E-06
1,E-05
1,E-04
1,E-03
1,E-02
12,5 16 20 25 32 40 50 63 80 100 125 160 200 f (Hz)
Re{Y } (m/Ns)
MEF AM Yc,s Yc,j
Figura 232 - Previsões dos espectros em banda terços de oitava obtidas entre vigas.
Page 161
148
Caso 31 – Comportamento Tipo B
ρ (kg/m3) ν b (m) c (m) Es (Gpa) hs (m) ws (m) Ej (Gpa) wj (m) hj (m) hj,eq (m)
750 0,30 4,0 3,0 27 0,022 0,35 27 0,1 0,198 0,198 Tabela 47 - Parâmetros de caracterização do pavimento.
P1jP1s
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
5
0 0,35 0,7 1,05 1,4 1,75 2,1 2,45 2,8
c (m)
b (m)
Figura 233 - Localização dos pontos de medição.
1,E-07
1,E-06
1,E-05
1,E-04
1,E-03
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 f (Hz)
Re{Y } (m/Ns)
MEF AM Yc,s Yc,j
Figura 234 - Previsões dos espectros em banda estreita obtidas sobre a viga.
1,E-07
1,E-06
1,E-05
1,E-04
1,E-03
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 f (Hz)
Re{Y } (m/Ns)
MEF AM Yc,s Yc,j
Figura 235 - Previsões dos espectros em banda estreita obtidas entre vigas.
Page 162
149
1,E-07
1,E-06
1,E-05
1,E-04
1,E-03
1,E-02
12,5 16 20 25 32 40 50 63 80 100 125 160 200 f (Hz)
Re{Y } (m/Ns)
MEF AM Yc,s Yc,j
Figura 236 - Previsões dos espectros em banda terços de oitava obtidas sobre a viga.
1,E-07
1,E-06
1,E-05
1,E-04
1,E-03
1,E-02
12,5 16 20 25 32 40 50 63 80 100 125 160 200 f (Hz)
Re{Y } (m/Ns)
MEF AM Yc,s Yc,j
Figura 237 - Previsões dos espectros em banda terços de oitava obtidas entre vigas.
Page 163
150
Caso 32 – Comportamento Tipo B
ρ (kg/m3) ν b (m) c (m) Es (Gpa) hs (m) ws (m) Ej (Gpa) wj (m) hj (m) hj,eq (m)
750 0,30 6,0 4,0 27 0,022 0,35 27 0,1 0,198 0,198 Tabela 48 - Parâmetros de caracterização do pavimento.
P1jP1s
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
5
5,5
6
0 0,35 0,7 1,05 1,4 1,75 2,1 2,45 2,8 3,15 3,5 3,85
c (m)
b (m)
Figura 238 - Localização dos pontos de medição.
Nota: Não consegui modelar e retirar os resultados
Page 164
151
Caso 33 – Comportamento Tipo B
ρ (kg/m3) ν b (m) c (m) Es (Gpa) hs (m) ws (m) Ej (Gpa) wj (m) hj (m) hj,eq (m)
750 0,30 4,0 2,5 27 0,022 0,35 27 0,1 0,198 0,198 Tabela 49 - Parâmetros de caracterização do pavimento.
P1jP1s
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
0 0,35 0,7 1,05 1,4 1,75 2,1 2,45
c (m)
b (m)
Figura 239 - Localização dos pontos de medição.
1,E-07
1,E-06
1,E-05
1,E-04
1,E-03
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 f (Hz)
Re{Y } (m/Ns)
MEF AM Yc,s Yc,j
Figura 240 - Previsões dos espectros em banda estreita obtidas sobre a viga.
1,E-07
1,E-06
1,E-05
1,E-04
1,E-03
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 f (Hz)
Re{Y } (m/Ns)
MEF AM Yc,s Yc,j
Figura 241 - Previsões dos espectros em banda estreita obtidas entre vigas.
Page 165
152
1,E-07
1,E-06
1,E-05
1,E-04
1,E-03
1,E-02
12,5 16 20 25 32 40 50 63 80 100 125 160 200 f (Hz)
Re{Y } (m/Ns)
MEF AM Yc,s Yc,j
Figura 242 - Previsões dos espectros em banda terços de oitava obtidas sobre a viga.
1,E-07
1,E-06
1,E-05
1,E-04
1,E-03
1,E-02
12,5 16 20 25 32 40 50 63 80 100 125 160 200 f (Hz)
Re{Y } (m/Ns)
MEF AM Yc,s Yc,j
Figura 243 - Previsões dos espectros em banda terços de oitava obtidas entre vigas.
Page 166
153
Caso 34 – Comportamento Tipo B
ρ (kg/m3) ν b (m) c (m) Es (Gpa) hs (m) ws (m) Ej (Gpa) wj (m) hj (m) hj,eq (m)
750 0,30 4,0 2,0 27 0,022 0,35 27 0,1 0,198 0,198 Tabela 50 - Parâmetros de caracterização do pavimento.
P1jP1s
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
0 0,35 0,7 1,05 1,4 1,75
c (m)
b (m)
Figura 244 - Localização dos pontos de medição.
1,E-07
1,E-06
1,E-05
1,E-04
1,E-03
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 f (Hz)
Re{Y } (m/Ns)
MEF AM Yc,s Yc,j
Figura 245 - Previsões dos espectros em banda estreita obtidas sobre a viga.
1,E-07
1,E-06
1,E-05
1,E-04
1,E-03
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 f (Hz)
Re{Y } (m/Ns)
MEF AM Yc,s Yc,j
Figura 246 - Previsões dos espectros em banda estreita obtidas entre vigas.
Page 167
154
1,E-07
1,E-06
1,E-05
1,E-04
1,E-03
1,E-02
12,5 16 20 25 32 40 50 63 80 100 125 160 200 f (Hz)
Re{Y } (m/Ns)
MEF AM Yc,s Yc,j
Figura 247 - Previsões dos espectros em banda terços de oitava obtidas sobre a viga.
1,E-07
1,E-06
1,E-05
1,E-04
1,E-03
1,E-02
12,5 16 20 25 32 40 50 63 80 100 125 160 200 f (Hz)
Re{Y } (m/Ns)
MEF AM Yc,s Yc,j
Figura 248 - Previsões dos espectros em banda terços de oitava obtidas entre vigas.
Page 168
155
Caso 35 – Comportamento Tipo B
ρ (kg/m3) ν b (m) c (m) Es (Gpa) hs (m) ws (m) Ej (Gpa) wj (m) hj (m) hj,eq (m)
1190 0,37 1,2 2,4 3 0,012 0,40 3 0,0187 0,235 0,235 Tabela 51 - Parâmetros de caracterização do pavimento.
P1jP1s
0
0,5
1
0 0,4 0,8 1,2 1,6 2 2,4
c (m)
b (m)
Figura 249 - Localização dos pontos de medição.
1,E-06
1,E-05
1,E-04
1,E-03
1,E-02
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 f (Hz)
Re{Y } (m/Ns)
MEF AM Yc,s Yc,j
Figura 250 - Previsões dos espectros em banda estreita obtidas sobre a viga.
1,E-06
1,E-05
1,E-04
1,E-03
1,E-02
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 f (Hz)
Re{Y } (m/Ns)
MEF AM Yc,s Yc,j
Figura 251 - Previsões dos espectros em banda estreita obtidas entre vigas.
Page 169
156
1,E-06
1,E-05
1,E-04
1,E-03
1,E-02
12,5 16 20 25 32 40 50 63 80 100 125 160 200 f (Hz)
Re{Y } (m/Ns)
MEF AM Yc,s Yc,j
Figura 252 - Previsões dos espectros em banda terços de oitava obtidas sobre a viga.
1,E-06
1,E-05
1,E-04
1,E-03
1,E-02
12,5 16 20 25 32 40 50 63 80 100 125 160 200 f (Hz)
Re{Y } (m/Ns)
MEF AM Yc,s Yc,j
Figura 253 - Previsões dos espectros em banda terços de oitava obtidas entre vigas.
Page 170
157
Caso 36 – Comportamento Tipo C
ρ (kg/m3) ν b (m) c (m) Es (Gpa) hs (m) ws (m) Ej (Gpa) wj (m) hj (m) hj,eq (m)
750 0,30 3,0 4,0 27 0,1 0,40 7 0,05 0,100 0,050 Tabela 52 - Parâmetros de caracterização do pavimento.
P1sP1j
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
0 0,4 0,8 1,2 1,6 2 2,4 2,8 3,2 3,6 4
c (m)
b (m)
Figura 254 - Localização dos pontos de medição.
1,E-06
1,E-05
1,E-04
1,E-03
1,E-02
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 f (Hz)
Re{Y } (m/Ns)
MEF AM Yc,s Yc,j
Figura 255 - Previsões dos espectros em banda estreita obtidas sobre a viga.
1,E-06
1,E-05
1,E-04
1,E-03
1,E-02
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 f (Hz)
Re{Y } (m/Ns)
MEF AM Yc,s Yc,j
Figura 256 - Previsões dos espectros em banda estreita obtidas entre vigas.
Page 171
158
1,E-06
1,E-05
1,E-04
1,E-03
1,E-02
12,5 16 20 25 32 40 50 63 80 100 125 160 200 f (Hz)
Re{Y } (m/Ns)
MEF AM Yc,s Yc,j
Figura 257 - Previsões dos espectros em banda terços de oitava obtidas sobre a viga.
1,E-06
1,E-05
1,E-04
1,E-03
1,E-02
12,5 16 20 25 32 40 50 63 80 100 125 160 200 f (Hz)
Re{Y } (m/Ns)
MEF AM Yc,s Yc,j
Figura 258 - Previsões dos espectros em banda terços de oitava obtidas entre vigas.
Page 172
159
Caso 37 – Comportamento Tipo C
ρ (kg/m3) ν b (m) c (m) Es (Gpa) hs (m) ws (m) Ej (Gpa) wj (m) hj (m) hj,eq (m)
750 0,30 3,0 4,0 7 0,022 0,35 27 0,1 0,198 0,390 Tabela 53 - Parâmetros de caracterização do pavimento.
P1sP1j
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
0 0,35 0,7 1,05 1,4 1,75 2,1 2,45 2,8 3,15 3,5 3,85
c (m)
b (m)
Figura 259 - Localização dos pontos de medição.
1,E-06
1,E-05
1,E-04
1,E-03
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 f (Hz)
Re{Y } (m/Ns)
MEF AM Yc,s Yc,j
Figura 260 - Previsões dos espectros em banda estreita obtidas sobre a viga.
1,E-06
1,E-05
1,E-04
1,E-03
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 f (Hz)
Re{Y } (m/Ns)
MEF AM Yc,s Yc,j
Figura 261 - Previsões dos espectros em banda estreita obtidas entre vigas.
Page 173
160
1,E-06
1,E-05
1,E-04
1,E-03
1,E-02
12,5 16 20 25 32 40 50 63 80 100 125 160 200 f (Hz)
Re{Y } (m/Ns)
MEF AM Yc,s Yc,j
Figura 262 - Previsões dos espectros em banda terços de oitava obtidas sobre a viga.
1,E-06
1,E-05
1,E-04
1,E-03
1,E-02
12,5 16 20 25 32 40 50 63 80 100 125 160 200 f (Hz)
Re{Y } (m/Ns)
MEF AM Yc,s Yc,j
Figura 263 - Previsões dos espectros em banda terços de oitava obtidas entre vigas.
Page 174
161
Caso 38 – Comportamento Tipo C
ρ (kg/m3) ν b (m) c (m) Es (Gpa) hs (m) ws (m) Ej (Gpa) wj (m) hj (m) hj,eq (m)
750 0,30 3,0 4,0 7 0,012 0,40 27 0,05 0,078 0,250 Tabela 54 - Parâmetros de caracterização do pavimento.
P1sP1j
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
0 0,4 0,8 1,2 1,6 2 2,4 2,8 3,2 3,6 4
c (m)
b (m)
Figura 264 - Localização dos pontos de medição.
1,E-06
1,E-05
1,E-04
1,E-03
1,E-02
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 f (Hz)
Re{Y } (m/Ns)
MEF AM Yc,s Yc,j
Figura 265 - Previsões dos espectros em banda estreita obtidas sobre a viga.
1,E-06
1,E-05
1,E-04
1,E-03
1,E-02
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 f (Hz)
Re{Y } (m/Ns)
MEF AM Yc,s Yc,j
Figura 266 - Previsões dos espectros em banda estreita obtidas entre vigas.
Page 175
162
1,E-06
1,E-05
1,E-04
1,E-03
1,E-02
12,5 16 20 25 32 40 50 63 80 100 125 160 200 f (Hz)
Re{Y } (m/Ns)
MEF AM Yc,s Yc,j
Figura 267 - Previsões dos espectros em banda terços de oitava obtidas sobre a viga.
1,E-06
1,E-05
1,E-04
1,E-03
1,E-02
12,5 16 20 25 32 40 50 63 80 100 125 160 200 f (Hz)
Re{Y } (m/Ns)
MEF AM Yc,s Yc,j
Figura 268 - Previsões dos espectros em banda terços de oitava obtidas entre vigas.
Page 176
163
Caso 39 – Comportamento Tipo C
ρ (kg/m3) ν b (m) c (m) Es (Gpa) hs (m) ws (m) Ej (Gpa) wj (m) hj (m) hj,eq (m)
750 0,30 3,0 4,0 7 0,012 0,35 27 0,1 0,198 0,390 Tabela 55 - Parâmetros de caracterização do pavimento.
P1sP1j
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
0 0,35 0,7 1,05 1,4 1,75 2,1 2,45 2,8 3,15 3,5 3,85
c (m)
b (m)
Figura 269 - Localização dos pontos de medição.
1,E-07
1,E-06
1,E-05
1,E-04
1,E-03
1,E-02
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 f (Hz)
Re{Y } (m/Ns)
MEF AM Yc,s Yc,j
Figura 270 - Previsões dos espectros em banda estreita obtidas sobre a viga.
1,E-07
1,E-06
1,E-05
1,E-04
1,E-03
1,E-02
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 f (Hz)
Re{Y } (m/Ns)
MEF AM Yc,s Yc,j
Figura 271 - Previsões dos espectros em banda estreita obtidas entre vigas.
Page 177
164
1,E-07
1,E-06
1,E-05
1,E-04
1,E-03
1,E-02
12,5 16 20 25 32 40 50 63 80 100 125 160 200 f (Hz)
Re{Y } (m/Ns)
MEF AM Yc,s Yc,j
Figura 272 - Previsões dos espectros em banda terços de oitava obtidas sobre a viga.
1,E-06
1,E-05
1,E-04
1,E-03
1,E-02
12,5 16 20 25 32 40 50 63 80 100 125 160 200 f (Hz)
Re{Y } (m/Ns)
MEF AM Yc,s Yc,j
Figura 273 - Previsões dos espectros em banda terços de oitava obtidas entre vigas.
Page 178
165
ANEXO 2 Gráficos para as equações tipo A e B
Caso 1
0,01
0,1
1
10
100
0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06
Re{Yc,s/Yc,j}
(-)
Re{Ys/Yj}Equação
Figura 274 - Curva do critério de validade.
Caso 2
0,01
0,1
1
10
100
0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06
Re{Yc,s/Yc,j}
(-)
Re{Ys/Yj}Equação
Figura 275 - Curva do critério de validade.
Page 179
166
Caso 3
0,01
0,1
1
10
100
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2
Re{Yc,s/Yc,j}
(-)
Re{Ys/Yj}Equação
Figura 276 - Curva do critério de validade.
Caso 4
0,01
0,1
1
10
100
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3
Re{Yc,s/Yc,j}
(-)
Re{Ys/Yj}Equação
Figura 277 - Curva do critério de validade.
Page 180
167
Caso 5
0,01
0,1
1
10
100
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2
Re{Yc,s/Yc,j}
(-)
Re{Ys/Yj}Equação
Figura 278 - Curva do critério de validade.
Caso 6
0,01
0,1
1
10
100
0,04 0,24 0,44 0,64 0,84 1,04 1,24 1,44
Re{Yc,s/Yc,j}
(-)
Re{Ys/Yj}Equação
Figura 279 - Curva do critério de validade.
Page 181
168
Caso 7
0,01
0,1
1
10
100
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6
Re{Yc,s/Yc,j}
(-)
Re{Ys/Yj}Equação
Figura 280 - Curva do critério de validade.
Caso 21
0,01
0,1
1
10
100
0 1 2 3 4 5 6 7
Re{Yc,s/Yc,j}
(-)
Re{Ys/Yj}Equação
Figura 281 - Curva do critério de validade.
Page 182
169
Caso 36
0,01
0,1
1
10
100
0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06
Re{Yc,s/Yc,j}
(-)
Re{Ys/Yj}Equação
Figura 282 - Curva do critério de validade.
CURVAS COM EQUAÇÕES DE CADA SUBTIPO DO COMPORTAMENTO TIPO A SUBTIPO 1 caso 6
y = -977,51x6 + 2325,8x5 - 2061,8x4 + 851,41x3 - 166,92x2 + 13,987x + 0,7011R2 = 0,5439
1,E-01
1,E+00
1,E+01
0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0
Re{Yc,s/Yc,j}
Re{Ys/Yj }
Re{Ys/Yj} Poly. (Re{Ys/Yj})
Page 183
170
SUBTIPO 2 caso 5
y = 3815,6x6 - 12270x5 + 15175x4 - 8908x3 + 2435x2 - 245,48x + 4,8509R2 = 0,0529
1,E-02
1,E-01
1,E+00
1,E+01
1,E+02
0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0
Re{Yc,s/Yc,j}
Re{Ys/Yj }
Re{Ys/Yj} Poly. (Re{Ys/Yj})
SUBTIPO 3 caso 7
1,E-02
1,E-01
1,E+00
1,E+01
1,E+02
0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0
Re{Yc,s/Yc,j}
Re{Ys/Yj }
Re{Ys/Yj} Poly. (Re{Ys/Yj})
Page 184
171
SUBTIPO 4 caso 1
y = -3E+12x6 + 3E+11x5 - 1E+10x4 + 2E+08x3 - 2E+06x2 + 5927,6x - 2,7199R2 = 0,1307
1,E-02
1,E-01
1,E+00
1,E+01
1,E+02
0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05
Re{Yc,s/Yc,j}
Re{Ys/Yj }
Re{Ys/Yj} Poly. (Re{Ys/Yj})
SUBTIPO 5 caso 8
y = -75,74x6 + 206,36x5 - 189,37x4 + 67,448x3 - 3,3292x2 - 3,1918x + 1,7975R2 = 0,337
1,E-02
1,E-01
1,E+00
1,E+01
1,E+02
0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0
Re{Yc,s/Yc,j}
Re{Ys/Yj }
Re{Ys/Yj} Poly. (Re{Ys/Yj})