Page 1
i
MODEL PERTUMBUHAN POPULASI
TUNGGAL
Makalah
Diajukan Untuk Memenuhi Salah Satu Syarat
Memperoleh Gelar Sarjana Sains
Program Studi Matematika
Oleh:
Maria Etik Damayanti
NIM: 093114005
PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UNIVERSITAS SANATA DHARMA
YOGYAKARTA
2014
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 2
ii
MAKALAH
MODEL PERTUMBUHAN POPULASI
TUNGGAL
Oleh:
Maria Etik Damayanti
NIM: 093114005
Telah disetujui oleh:
Pembimbing
Hartono, Ph.D . Tanggal 18 Juli 2014
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 3
iii
Makalah
Model Pertumbuhan Populasi Tunggal
Dipersiapkan dan ditulis oleh:
Maria Etik Damayanti
NIM: 093114005
Telah dipertahankan di depan Panitia Penguji
pada tanggal 24 Juli 2014
dan dinyatakan telah memenuhi syarat
Susunan Panitia penguji
Nama Lengkap TandaTangan
Ketua Lusia Krismiyati Budiasih, M.Si.
Sekretaris Sudi Mungkasi, Ph.D.
Anggota Hartono, Ph.D.
Yogyakarta, 24 Juli 2014
Fakultas Sains dan Teknologi
Universitas sanata Dharma
Dekan,
(P.H. Prima Rosa,S.Si.,M.Sc)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 4
iv
HALAMAN PERSEMBAHAN
Karya ini adalah tugu peringatan akan kesetiaan Tuhan Yesus dan Bunda Maria
dalam hidupku.
“Janganlah hendaknya kamu kuatir tentang
apapun juga, tetapi nyatakanlah dalam segala hal
keinginanmu kepada Allah dalam doa dan
permohonan dengan ucapan syukur.”
(Filipi 4:6)
Karya ini aku persembahkan untuk:
Orang-orang terkasih: Bapak, Ibu, Fiyan
Orang-orang terhebat: sahabat-sahabat matematika 2009
Orang-orang terbaik: mas Diko dan keluarganya
Orang-orang termanis: sahabat-sahabat kos Banana
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 5
v
PERNYATAAN KEASLIAN KARYA
Saya menyatakan dengan sesungguhnya bahwa makalah yang saya tulis ini
tidak memuat karya atau bagian karya orang lain, kecuali yang telah disebutkan
dalam kutipan dan daftar pustaka, sebagaimana layaknya karya ilmiah.
Yogyakarta, 18 Juli 2014
Penulis
Maria Etik Damayanti
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 6
vi
LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN
PUBLIKASI KARYA ILMIAH UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS
Yang bertanda tangan di bawah ini, saya mahasiswa Universitas Sanata Dharma :
Nama : Maria Etik Damayanti
Nomor Mahasiswa : 093114005
Demi pengembangan ilmu pengetahuan, saya memberikan kepada Perpustakaan
Universitas Sanata Dharma karya ilmiah saya yang berjudul :
MODEL PERTUMBUHAN POPULASI TUNGGAL
beserta perangkat yang diperlukan (bila ada). Dengan demikian saya memberikan kepada
Perpustakaan Universitas Sanata Dharma hak untuk menyimpan, me-ngalihkan dalam
bentuk media lain, mengelolanya dalam bentuk pangkalan data, mendistribusikan secara
terbatas, dan mempublikasikannya di Internet atau media lain untuk kepentingan
akademis tanpa perlu meminta ijin dari saya maupun memberikan royalti kepada saya
selama tetap mencantumkan nama saya sebagai penulis.
Demikian pernyataan ini yang saya buat dengan sebenarnya.
Dibuat di Yogyakarta
Pada tanggal : 28 Agustus 2014
Yang menyatakan
( Maria Etik Damayanti )
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 7
vii
ABSTRAK
Topik yang dibahas dalam makalah ini adalah model pertumbuhan
kontinu. Model ini bertujuan mengadakan pendugaan untuk memperbaiki keadaan
pada suatu populasi (disebut model pendugaan). Pertama-tama akan dimodelkan
dengan pertumbuhan eksponensial. Kemudian akan diperluas dengan
menggunakan pertumbuhan logistik. Pada pertumbuhan logistik, memasukkan
batas untuk populasinya sehingga tidak akan tumbuh secara tak berhingga. Maka,
jumlah populasinya akan selalu terbatas pada suatu nilai tertentu. Dalam makalah
ini, model pertumbuhan populasi yang dibahas hanya dibatasi untuk model
pertumbuhan populasi tunggal.
Dalam penerapannya terdapat tiga model pertumbuhan yang akan dibahas,
yaitu model pertumbuhan eksponensial, model pertumbuhan logistik dan model
pertumbuhan terbatas dengan pemanenan. Model pertumbuhan eksponensial
dihasilkan solusi yang berbentuk fungsi monoton (naik atau turun). Model
pertumbuhan logistik dikembangkan dengan memperhatikan parameter daya
dukung yang bergantung pada waktu. Selanjutnya akan dikaji model pemanenan
dengan menentukan fungsi panen yang seimbang. Persamaan model ini dianalisis
untuk mengetahui kestabilan sistem.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 8
viii
ABSTRACT
Topics covered in this paper is a continuous model of population growth.
This model aims to predict the state in a population (called the prediction model).
First we will describe the exponential growth model. Then it is expanded to a
logistic growth model. In logistic growth model, we put a limit to the population
so it will not grow infinitely. Thus, the amount of the population will always be
limited to a certain value. In this paper, the population growth model discussed is
only limited to a single.
In practice there are three models of population growth that will be
discussed, namely the model of exponential growth, logistic growth model and
limited growth model with harvesting. The Exponential growth model produce a
solution in the form of monotone functions (up or down). The Logistic growth
model was developed by taking into account the carrying capacity parameters that
depend on time. Furthermore, the model will be assessed by determining the
balance of the crop harvesting function. Then, the model equations are analyzed to
determine the stability of the system.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 9
ix
KATA PENGANTAR
Puji syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yesus Kristus yang selalu
menyertai dan membimbing penulis sehingga penulis mampu menyelesaikan
makalah ini dengan lancar. Makalah ini dimaksudkan untuk memenuhi salah satu
syarat dalam menyelesaikan pendidikan Strata 1 (S1) dan memperoleh gelar
Sarjana Sains pada Program Studi Matematika di Universitas Sanata Dharma
Yogyakarta.
Penulis menyadari bahwa proses penulisan makalah ini melibatkan banyak
pihak. Oleh karena itu pada kesempatan ini penulis sudah selayaknya
mengucapkan terima kasih kepada:
1. Lusia Krismiyati Budiasih, S.Si., M.Si. selaku Ketua Program Studi
Matematika atas dukungannya.
2. Hartono, Ph.D. selaku dosen pembimbing yang telah sabar dalam
membimbing, memberi pengetahuan dan memberi saran-saran kepada
penulis selama penulisan makalah ini.
3. Romo, Bapak dan Ibu dosen yang telah memberikan pengetahuan kepada
penulis selama proses perkuliahan ini.
4. Kedua orang tuaku dan adikku yang senantiasa selalu memberikan doa dan
dukungan.
5. Teman-teman Matematika 2009: Yohana, Idut, Ochie, Jojo, Sekar, Erlika,
Dimas dan Doweek, terima kasih untuk kebersamaan selama proses
kuliah, saling berbagi dalam suka maupun dalam duka dan semangat yang
selalu diberikan kepada penulis. Kalian hebat.
6. Mas diko yang selalu memberikan semangat dan sebagai tempat curahan
hati.
7. Romo-romo Sarikat Jesus Kolsani: Romo Bayu, Romo Tomy dan Romo
Marko yang selalu memberikan keteguhan hati dalam proses
menyelesaikan penulisan makalah ini.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 10
x
8. Teman-teman Flater Sarikat Jesus Kolsani: Flater Tama, Flater Heri, Flater
Suryadi, Flater Dimas, Flater Eko yang selalu memberikan dukungan
beserta doa-doanya.
9. Teman-teman kos Banana: Rosa, Yustin, Rina, Deta, Yani, Nanik dan
mbak Icot yang selalu menjadi tempat curahan hati dalam proses penulisan
makalah ini
10. Semua pihak yang tidak dapat disebutkan satu persatu yang terlibat dalam
proses penulisan makalah ini.
Penulis menyadari bahwa masih banyak kekurangan dalam penulisan
makalah ini. Oleh karena itu, penulis mengharapkan saran dan kritik demi
penyempurnaan makalah ini. Akhirnya, penulis berharap semoga makalah ini
dapat berguna bagi para pembaca.
Yogyakarta, 18 Juli 2014
Penulis
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 11
xi
DAFTAR ISI
Halaman
HALAMAN JUDUL ……………………………………………………………… i
HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING ………………………………….. ii
HALAMAN PENGESAHAN …………………………………………………….. iii
HALAMAN PERSEMBAHAN ………………………..…………………….…… iv
PERNYATAAN KEASLIAN KARYA …………………………………….……. v
ABSTRAK ………………………………………………………………………… vi
ABSTRACT ……………………………………………………………………..… vii
KATA PENGANTAR ………………………………………………………….…. viii
PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH….…….....… x
DAFTAR ISI ………………………………………….………………………….... xi
DAFTAR GAMBAR …………………………………………………….…….….. xiii
BAB 1 PENDAHULUAN……………………………………………………….... 1
A. LATAR BELAKANG ………………………………………...………………. 1
B. RUMUSAN MASALAH ………………………………………………….…... 5
C. BATASAN MASALAH …………………………………………………….… 6
D. TUJUAN PENULISAN ………………………………………….………….… 6
E. MANFAAT PENULISAN ……………………………………………………. 6
F. METODE PENULISAN ………………………………………………….…… 7
G. SISTEMATIKA PENULISAN ………………………………….………….…. 7
BAB II MODEL MATEMATIKA DAN PERSAMAAN DIFERENSIAL .….….. 9
2.1 PENGERTIAN, TUJUAN DAN JENIS MODEL ……………...…………… 9
2.2 LIMIT ………………………………………………………………………… 11
2.3 KONTINUITAS ……………………………………………………………… 13
2.4 TURUNAN …………………………………………………………………… 14
2.5 INTEGRAL ………………………………………………………………...… 37
2.6 PERSAMAAN DIFERENSIAL …………………………………...………… 40
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 12
xii
BAB III MODEL PERTUMBUHAN POPULASI TUNGGAL ……………….… 55
3.1 PENDAHULUAN ………………………………………………………….… 55
3.2 MODEL PERTUMBUHAN EKSPONENSIAL …………………………...… 56
3.3 MODEL PERTUMBUHAN LOGISTIK …………………………………..… 62
3.4 MODEL PERTUMBUHAN TERBATAS DENGAN PEMANENAN ……… 70
BAB IV APLIKASI MODEL …………………………………………………...… 80
4.1 PENDAHULUAN………………………………………………………….….. 80
4.2 MEMODELKAN PERKEMBANGAN TEKNOLOGI ……………………… 80
4.3 KEPADATAN BERGANTUNG PADA KELAHIRAN …………………….. 84
4.4 MODEL PANENAN ………………………………………………………….. 86
4.5 MEMANCING DENGAN BATASAN ………………………………………. 88
BAB V PENUTUP …………………………………………………………………. 92
A. KESIMPULAN ………………………………………………………………… 92
B. SARAN ………………………………………………………………………… 94
DAFTAR PUSTAKA ……………………………………………………………… 95
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 13
xiii
DAFTAR GAMBAR
Halaman
Gambar 1.1 Diagram masuk-keluar populasi ……………………………………… 2
Gambar 2.1 Grafik nilai-nilai ekstrim yang terjadi pada titik-titik kritis ………….. 21
Gambar 2.2 Grafik naik dan turun ………………………………………………… 27
Gambar 2.3 Grafik kemiringan ……………………………………………………. 28
Gambar 2.4 Grafik kecekungan …………………………………………………… 30
Gambar 2.5 Grafik nilai maksimum, minimum dan ekstrim lokal ………………... 33
Gambar 3.1 Grafik yang menyatakan laju perubahannya semakin bertambah ……. 59
Gambar 3.2 Grafik yang menyatakan laju perubahannya stabil …………………... 60
Gambar 3.3 Grafik yang menyatakan laju perubahannya semakin berkurang …….. 60
Gambar 3.4 Grafik populasi laju pertumbuhan per-kapita ………………………… 68
Gambar 3.5 Grafik yang menunjukkan solusi kesetimbangan …………………….. 69
Gambar 3.6 Grafik untuk model pertumbuhan logistik …………………………… 70
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 14
1
BAB I
PENDAHULUAN
A. LATAR BELAKANG
Setiap makhluk hidup selalu mengalami perubahan dari waktu ke waktu,
dimulai dari kelahiran, pertumbuhan, hingga kematian. Untuk menggambarkan
pertumbuhan suatu populasi, diperkenalkan suatu model pertumbuhan yang
disebut model pertumbuhan eksponensial. Dalam model pertumbuhan
eksponensial ini diasumsikan tidak ada penundaan waktu pada proses
pertumbuhan populasi. Selain itu pada model ini dihasilkan solusi yang berbentuk
fungsi monoton (naik atau turun), dimana dapat ditafsirkan bahwa jumlah
populasi akan terus bertambah (tidak pernah berkurang) atau akan terus berkurang
(tidak pernah bertambah).
Dalam kenyataannya, sepanjang waktu lingkungan atau daya dukung
lingkungan dapat berubah. Populasi tidak dapat terus bertambah secara
exponensial dari waktu ke waktu karena adanya keterbatasan sumber daya
dan/atau adanya persaingan dengan spesies lainnya. Dalam makalah ini,
permasalahan tersebut akan diselesaikan dengan model populasi tunggal dengan
memperhitungkan persaingan atau sumber daya terbatas yang diamati dalam
populasi. Pada populasi tunggal terdapat beberapa macam model pertumbuhan
diantaranya: model pertumbuhan eksponensial, model pertumbuhan logistik dan
model pertumbuhan terbatas dengan panenan.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 15
2
Model pertumbuhan eksponensial merupakan model pertumbuhan yang
sangat sederhana. Pada model ini individu berkembang dengan tidak dibatasi oleh
lingkungan seperti kompetisi dan keterbatasan suplai makanan. Laju perubahan
populasi dapat dihitung jika banyaknya kelahiran, kematian dan migrasi diketahui.
Dinamika populasi dapat dihampiri dengan model ini hanya untuk periode waktu
yang pendek saja.
Secara umum model populasi dapat digambarkan sebagai berikut:
kelahiran kematian
Gambar 1.1: Diagram masuk-keluar populasi.
Bagan tersebut mengarah ke dalam persamaan yang menggambarkan perubahan
populasi,
{
} = ,
- - ,
-.
Persamaan tersebut akan dikembangkan dengan beberapa asumsi dan
kemudian proses kelahiran dan kematian dinyatakan ke dalam simbol.
Asumsi dapat dirumuskan sebagai berikut:
1. Populasi cukup besar sehingga perbedaan antara individu dapat diabaikan.
2. Kelahiran dan kematian kontinu dalam waktu.
3. Laju kelahiran per-kapita dan laju kematian per-kapita konstan dalam
waktu.
4. Dalam pengembangan model, pada mulanya imigrasi dan emigrasi
diabaikan, selanjutnya akan dimasukkan kemudian.
dunia
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 16
3
Dimisalkan jumlah populasi pada saat t adalah X(t) dan populasi awal
bernilai , dengan laju kelahiran per-kapita adalah dan laju kematian
perkapita adalah . Tujuannya adalah untuk menemukan ukuran populasi pada
waktu t. Langkah pertama adalah menentukan persamaan populasi. Diasumsikan
bahwa penduduk hanya dapat berubah karena kelahiran atau kematian, imigrasi
atau emigrasi diabaikan. Juga, diasumsikan bahwa perubahan populasi setiap saat
sebanding dengan jumlah penduduk waktu itu. Karena laju kelahiran per-kapita
diasumsikan konstan, maka laju kelahiran adalah laju kelahiran per-kapita
dikalikan besarnya populasi saat itu. Demikian juga, untuk laju kematian adalah
laju kematian perkapita dikalikan besarnya populasi saat itu. Ini dapat ditulis,
,
- = X( t ),
,
- = X( t ).
Dari kedua persamaan di atas dapat diperoleh
dt
dX X - X.
Selanjutnya akan dibahas secara umum mengenai model pertumbuhan
logistik, yang menggunakan kaidah logistik (logistic law) yaitu bahwa persediaan
logistik ada batasnya. Model ini mengasumsikan bahwa pada masa tertentu
jumlah populasi akan mendekati titik kesetimbangan (equilibrium). Pada titik ini
besarnya laju kelahiran per-kapita dan besarnya laju kematian per-kapita dianggap
sama, sehingga grafiknya akan mendekati konstan (zero growth). Model ini akan
diperluas untuk memasukkan laju kematian tambahan karena pembatasan sumber
daya, dan dengan demikian pertumbuhan dibatasi.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 17
4
Dengan asumsi bahwa laju kematian per-kapita adalah tidak konstan,
maka laju kematian per-kapita akan meningkat seiring dengan peningkatan
populasi. Dengan asumsi bahwa laju kematian per-kapita bergantung linear pada
suatu populasi, maka dapat dinyatakan sebagai berikut:
{
} ( )
Dimana adalah laju kematian per-kapita dan adalah laju kematian per-
kapita yang bergantung pada suatu populasi. Perhatikan bahwa untuk , laju
kematian per-kapita mendekati , sedangkan dengan meningkatnya besarnya
populasi maka laju kematian per-kapita akan meningkat. Bentuk linear ini
merupakan bentuk yang paling sederhana untuk laju kematian per-kapita yang
bergantung pada peningkatan besarnya populasi. Laju kematian adalah laju
kematian perkapita dikalikan besarnya populasi saat itu yang dinyatakan sebagai
berikut:
,
-
Sehingga diperoleh
Dengan menyatakan laju reproduksi populasi, maka diperoleh
model pertumbuhan yang bergantung pada kepadatan suatu populasi yang
dinyatakan sebagai berikut:
Dengan
maka
, sehingga persamaan tersebut menjadi
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 18
5
Maka secara umum laju pertumbuhan yang bergantung pada suatu populasi
dinyatakan sebagai berikut:
K
XrX
dt
dX1
Selanjutnya akan dibahas model pertumbuhan populasi terbatas dengan
panenan. Pengaruh pemungutan panenan pada suatu populasi secara teratur atau
konstan sangatlah penting bagi banyak industri. Salah satu contohnya adalah
industri perikanan. Persamaan akan dirumuskan dalam laju panenan yang konstan
pada model logistik sehingga dapat ditulis,
{
} = ,
- - ,
- –
{
} - {
}.
Dengan asumsi laju panenan adalah konstan, maka model di atas dapat dinyatakan
ke dalam persamaan diferensial,
hK
XrX
dt
dX
1
Di mana h adalah laju panenan yang dianggap konstan (banyaknya tangkapan per
satuan waktu, atau kematian akibat panenan per satuan waktu).
B. RUMUSAN MASALAH
Pokok permasalahan yang akan dibahas dalam tulisan ini yaitu:
1. Bagaimana model pertumbuhan eksponensial dari suatu populasi tunggal ?
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 19
6
2. Bagaimana model pertumbuhan logistik dari suatu populasi tunggal?
3. Bagaimana model pertumbuhan terbatas dengan panenan dari suatu
populasi tunggal?
C. BATASAN MASALAH
Model pertumbuhan populasi yang dibahas dalam tulisan ini yaitu model
populasinya tunggal.
D. TUJUAN PENULISAN
Tujuan penulisan ini adalah untuk memperoleh penyelesaian pertumbuhan
populasi tunggal dengan beberapa macam model pertumbuhan yaitu: model
pertumbuhan eksponensial, model pertumbuhan logistik dan model
pertumbuhan terbatas dengan panenan.
E. MANFAAT PENULISAN
Memperoleh pengetahuan tentang penyelesaian pertumbuhan populasi
tunggal.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 20
7
F. METODE PENULISAN
Metode yang digunakan penulis adalah metode studi pustaka, yaitu dengan
mempelajari buku-buku yang berkaitan dengan model matematika untuk
menyelesaikan masalah pertumbuhan populasi tunggal.
G. SISTEMATIKA PENULISAN
BAB I PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
B. Rumusan Masalah
C. Batasan Masalah
D. Tujuan Penulisan
E. Manfaat Penulisan
F. Metode Penulisan
G. Sistematika Penulisan
BAB II MODEL MATEMATIKA DAN PERSAMAAN DIFFERENSIAL
A. Pengertian, Tujuan dan Jenis Model
B. Limit
C. Kontinuitas
D. Turunan
E. Integral
F. Persamaan Diferensial
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 21
8
BAB III MODEL PERTUMBUHAN POPULASI TUNGGAL
A. Pendahuluan
B. Model Pertumbuhan Eksponensial
C. Model Pertumbuhan Logistik
D. Model Pertumbuhan Terbatas dengan Panenan
BAB IV APLIKASI MODEL
A. Pendahuluan
B. Memodelkan Perkembangan Teknologi
C. Kepadatan Bergantung pada Kelahiran
D. Model Panenan
E. Memancing dengan Batasan
BAB V PENUTUP
A. Kesimpulan
B. Saran
DAFTAR PUSTAKA
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 22
9
BAB II
MODEL MATEMATIKA DAN PERSAMAAN DIFFERENSIAL
Pada Bab sebelumnya telah dibahas gambaran secara umum mengenai
pertumbuhan populasi tunggal. Pertumbuhan tersebut berkaitan dengan model
matematika untuk menyelesaikan masalah pertumbuhan populasi tunggal.
Penyelesaian tersebut antara lain: limit, turunan, integral dan persamaan
diferensial biasa. Untuk Subbab 1 pada Bab II ini akan dibahas mengenai
pengertian, tujuan dan jenis model.
2.1 Pengertian, Tujuan dan Jenis Model
Definisi 2.1.1
Model adalah gambaran (tiruan, perwakilan) suatu obyek yang disusun
berdasarkan tujuan tertentu.
Obyek di sini dapat berupa suatu sistem, suatu perilaku sistem, atau suatu
proses tertentu. Dalam pembahasan ini yang dimaksud dengan sistem adalah suatu
himpunan beserta relasi antar unsur-unsurnya yang disusun dengan tujuan
tertentu. Model hanya menirukan sebagian dari segi obyek sesuai dengan tujuan
penyusunan model dengan maksud supaya lebih mudah dikenali, dipelajari dan
dimanipulasi lebih lanjut.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 23
10
Tujuan penyusunan model dapat dibedakan atas 3 kategori sebagai berikut:
1. Guna mengenali keadaan, sifat, atau perilaku sistem dengan cara mencari
keterkaitan antara unsur-unsurnya. Model ini disebut dengan model
keterkaitan.
2. Guna mengadakan pendugaan untuk dapat memperbaiki keadaan obyek.
Model hasilnya disebut model pendugaan.
3. Guna mengadakan optimisasi bagi obyek. Modelnya disebut model
optimisasi.
Pada umumnya penyusunan model kategori kedua dan ketiga harus
melalui kategori pertama dulu. Jadi dengan salah satu tujuan di atas sebagai
pedoman, model yang disusun akan berfungsi untuk menirukan atau
menggambarkan keadaan atau perilaku sistem yang diamati semirip mungkin.
Model dapat dibagi menurut jenisnya yaitu sebagai berikut:
1. Model fisis yaitu model yang biasanya cukup mirip dengan obyek dari segi
fisis, misalnya bentuknya, atau polanya.
Model fisis dapat dibedakan menjadi 2 bagian, yaitu:
a) Model ikonik yaitu model yang biasanya menekankan keadaan statis
obyek atau keadaan dinamis sesaat.
Contoh model ikonik: peta timbul, patung dsb.
b) Model analog yaitu model yang biasanya meminjam sistem lain yang
mempunyai kesamaan sifat dengan obyek.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 24
11
Contoh model analog: pola baju, denah rumah dsb.
2. Model simbolik (model matematika) yaitu model yang menggunakan
lambang-lambang (simbol) matematika atau logika untuk menyajikan perilaku
obyek, maka ini disebut model matematika. Model ini dapat dianggap
sebagai usaha abstraksi terhadap obyek lewat cara analisis atau numeris dalam
bentuk persamaan-persamaan matematika. Bila penyelesaian ditemukan maka
hasil ini dapat digunakan sebagai alat prediksi atau kontrol terhadap obyek.
Untuk kerja yang besar proses matematika dapat dibantu oleh perangkat
komputer. Model matematika yang dituliskan dalam bahasa komputer disebut
model komputer.
Subbab selanjutnya akan dibahas mengenai limit. Dalam subbab ini akan
dibahas mengenai pengertian limit secara intuisi dan limit sepihak yang akan
digunakan untuk membahas pada subbab kontinuitas dan turunan.
2.2 Limit
Definisi 2.2.1 (Pengertian Limit Secara Intuisi)
Mengatakan bahwa ( ) berarti bahwa bilamana dekat dengan ,
tetapi tidak sama dengan , maka ( ) dekat ke .
Contoh 2.2.1
Carilah ( ).
Penyelesaian
Bilamana dekat , maka dekat terhadap . Dapat dituliskan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 25
12
( )
Definisi 2.2.2 (Definisi Limit secara Formal)
Mengatakan bahwa ( ) berarti bahwa untuk tiap yang
diberikan, terdapat yang berpadanan sedemikian sehingga | ( ) |
asalkan bahwa | | ; yaitu
| | | ( ) |
Contoh 2.2.2
Buktikan bahwa
Bukti
Andaikan diberikan . Pilih
. Maka | | mengimplikasikan
|
| |
( )( )
| | | | ( )| | |
●
Limit-limit Sepihak. Bila suatu fungsi mempunyai lompatan, maka limit
tidak ada pada setiap titik lompatan. Untuk fungsi-fungsi yang demikian berlaku
limit-limit sepihak. Anggaplah lambang berarti bahwa mendekati
dari kanan atau , dan sebaliknya jika berarti bahwa mendekati
dari kiri atau . Berikut adalah definisi mengenai limit kanan dan limit kiri.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 26
13
Definisi 2.2.3 (Definisi Limit Kanan dan Limit Kiri)
Mengatakan bahwa ( ) berarti bahwa bilamana dekat tetapi pada
sebelah kanan , maka ( ) dekat ke . Hal yang serupa, mengatakan bahwa
( ) berarti bahwa bilamana dekat tetapi pada sebelah kiri , maka
( ) adalah dekat ke .
Subbab selanjutnya akan dibahas mengenai kekontinuan pada suatu
interval. Pada subbab ini mencakup mengenai kekontinuan itu sendiri.
2.3 Kontinuitas
Definisi 2.3.1
Andaikan terdefinisi pada suatu selang terbuka yang mengandung . Dinyatakan
bahwa kontinu di jika
( ) ( )
Contoh 2.3.1
Andaikan ( )
. Definisikan di agar kontinu di titik itu!
Penyelesaian:
( )( )
( )
Karena itu, akan didefinisikan ( ). ●
Jika tidak kontinu di , dapat dikatakan bahwa diskontinu di atau
punya satu diskontinuitas di . Dari definisi 2.3.1 mensyaratkan tiga hal yang
harus dipenuhi agar fungsi yang didefinisikan kontinu pada c, yaitu:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 27
14
i. ( ) terdefinisi (yaitu berada di daerah asal );
ii. ( ) ada (sehingga haruslah terdefinisi pada suatu selang terbuka
yang memuat );
iii. ( ) ( )
Selanjutnya akan dibahas mengenai turunan. Pada subbab ini akan
membahas mengenai turunan itu sendiri dan penerapannya seperti, kemonotonan,
kecekungan, nilai maksimum, nilai minimum, dan nilai ekstrim.
2.4 Turunan
Definisi 2.4.1
Turunan fungsi adalah fungsi lain ’ (dibaca “ aksen”) yang nilainya
pada sebarang bilangan adalah
( )
( ) ( )
jika limitnya ada.
Contoh 2.4.1
Carilah ( ) jika ( ) √
Penyelesaian
( )
( ) ( )
√ √
Dengan merasionalkan pembilangnya,
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 28
15
( )
0√ √
√ √
√ √ 1
(√ √ )
(√ √ )
(√ √ )
√ √
√
Jadi, turunan dari diberikan oleh ( ) ( ⁄ √ ). Daerah asalnya adalah
( ). ●
Definisi 2.4.2
Jika , maka definisi di atas ekivalen dengan
( )
( ) ( )
Teorema 2.4.1 (Keterdiferensialan Mengimplikasikan Kekontinuan)
Jika ( ) ada, maka kontinu di .
Bukti
Perlu diperlihatkan bahwa ( ) ( ).
( ) ( ) ( ) ( )
( )
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 29
16
maka,
( )
0 ( ) ( ) ( )
( )1
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
Proses pencarian turunan suatu fungsi langsung dari definisi turunan yakni
dengan menyusun hasil bagi dengan selisih
( ) ( )
dan menghitung limitnya dapat memakan waktu yang banyak. Oleh karena itu,
akan dikembangkan cara-cara untuk memperpendek proses dan untuk mencari
turunan semua fungsi yang tampaknya rumit dengan cepat.
Mengingat kembali bahwa turunan suatu fungsi adalah fungsi lain .
Ketika menurunkan , artinya mendiferensialkan . Biasanya menggunakan
simbol untuk menandakan operasi diferensial. Simbol menyatakan
mengambil turunan (terhadap peubah ). Maka, dapat dituliskan ( ) ( ).
Teorema 2.4.2 (Aturan Fungsi Konstanta)
Jika ( ) dengan suatu konstanta, maka untuk sebarang ( ) ;
yakni
( )
Bukti
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 30
17
( )
( ) ( )
Teorema 2.4.3 (Aturan Fungsi Identitas)
Jika ( ) , maka ( ) ; yakni
( )
Bukti
( )
( ) ( )
Teorema 2.4.4 (Aturan Pangkat)
Jika ( ) , dengan bilangan bulat positif, maka ( ) ; yakni
( ) )
Bukti
( )
( ) ( )
( )
( )
[ ( )
]
Di dalam kurung, semua suku kecuali yang pertaa mempunyai sebagai faktor,
sehingga masing-masing suku ini mempunyai limit nol bila mendekati nol. Jadi
( )
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 31
18
adalah Operator Linear.
Teorema 2.4.5 (Aturan Kelipatan Konstanta)
Jika suatu konstanta dan suatu fungsi yang terdiferensiasikan, maka ( ) ( )
( ); yakni,
( ) ( )
jika dinyatakan dalam kata-kata, suatu pengali konstanta dapat dikeluarkan dari
operator .
Bukti
Andaikan F(x)=k∙f(x), maka
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
Teorema 2.4.6 (Aturan Jumlah)
Jika dan adalah fungsi-fungsi yang terdiferensialan, maka ( ) ( )
( ) ( ); yakni,
( ) ( ) ( ) ( )
Jika dinyatakan dalam kata-kata, turunan dari suatu jumlah adalah jumlah dari
turunan-turunan.
Bukti
Andaikan ( ) ( ) ( ) maka
( )
( ) ( ) ( ) ( )
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 32
19
0 ( ) ( )
( ) ( )
1
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
Sebarang operator disebut linear jika untuk semua fungsi dan :
a. ( ) ( ), untuk setiap konstanta ;
b. ( ) ( ) ( )
Teorema 2.4.7 (Aturan Selisih)
Jika dan adalah fungsi-fungsi yang terdiferensiasikan, maka ( ) ( )
( ) ( ); yakni,
( ) ( ) ( ) ( )
Jika dinyatakan dalam kata-kata, turunan dari suatu selisih adalah selisih dari
turunan-turunan.
Bukti
( )
( ) ( ) ( ) ( )
0 ( ) ( )
( ) ( )
1
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 33
20
Contoh 2.4.2
Tentukan turunan dari .
Penyelesaian
( ) ( ) ( ) (Teorema 2.4.7)
( ) ( ) ( ) (Teorema 2.4.6)
( ) ( ) ( ) (Teorema 2.4.5)
(Teorema 2.4.4, 2.4.3, dan 2.4.2) ●
Dalam kehidupan sehari-hari, seringkali dihadapkan masalah untuk
mendapatkan cara terbaik dalam melakukan sesuatu. Sebagai contoh, seorang
petani ingin memilih kombinasi tanaman yang dapat menghasilkan keuntungan
besar. Seringkali dari masalah tersebut dapat dirumuskan sehingga melibatkan
pemaksimuman atau peminimuman suatu fungsi pada suatu himpunan. Metode-
metode kalkulus menyediakan sarana untuk memecahkan permasalahan tersebut.
Dengan demikian, akan ditentukan nilai maksimum dan minimumnya.
Definisi 2.4.3 (Maksimum dan Minimum)
Misalkan , daerah asal , mengandung titik . Dapat dikatakan bahwa
i. ( ) adalah nilai maksimum pada jika ( ) ( ) untuk semua di
;
ii. ( ) adalah nilai minimum pada jika ( ) ( ) untuk semua di ;
iii. ( ) adalah nilai ekstrim pada jika ia adalah nilai maksimum atau nilai
minimum;
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 34
21
iv. Fungsi yang ingin dimaksimumkan atau diminimumkan adalah fungsi
obyektif.
Teorema 2.4.8 (Teorema Keberadaan Maks-Min)
Jika kontinu pada interval tertutup , maka mencapai nilai maksimum dan
nilai minimum.
Nilai-nilai ekstrim dari fungsi yang didefinisikan pada interval tertutup seringkali
terjadi pada titik-titik kritis, seperti pada gambar di bawah ini.
Gambar 2.1: Grafik nilai-nilai ekstrim yang terjadi pada titik-titik kritis
Namun, walaupun Teorema di atas secara intuitif sangat masuk akal, namun sukar
dibuktikan sehingga pembuktiannya diabaikan.
Contoh 2.4.3
Carilah titik-titik kritis dari ( ) pada *
+.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 35
22
Penyelesaian
Titik-titik ujung adalah
dan 2. Untuk mencari titik stasioner dengan
menyelesaikan ( ) untuk , diperoleh dan . Tidak ada
titik singular. Jadi, titik-titik kritisnya adalah
●
Teorema 2.4.9 (Teorema Titik Kritis)
Misalkan didefinisikan pada interval yang memuat titik . Jika ( ) adalah
nilai ekstrim, maka haruslah berupa suatu titik kritis; dengan kata lain, adalah
salah satu dari
i. titik ujung dari ;
ii. titik stasioner dari ; yakni titik di mana ( ) ; atau
iii. titik singular dari ; yakni titik di mana ( ) tidak ada.
Bukti untuk kasus maksimum
Lihatlah kasus maksimum di mana ( ) adalah nilai maksimum pada
dan misalkan bahwa bukan titik ujung atau pun titik singular. Maka harus
dibuktikan bahwa adalah titik stasioner.
Karena ( ) adalah nilai maksimum, maka ( ) ( ) untuk semua dalam ;
yaitu
( ) ( )
Jadi jika , sehingga , maka
( ) ( ) ( )
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 36
23
sedangkan jika , maka
( ) ( ) ( )
Tetapi ( ) ada, karena bukan titik singular. Sehingga, diperoleh ( ) dan
( ) . Jadi dapat disimpulkan bahwa ( ) .
Bukti untuk kasus minimum
Pada kasus minimum di mana ( ) adalah nilai minimum pada dan
misalkan bahwa bukan titik ujung atau pun titik singular. Maka harus dibuktikan
bahwa adalah titik stasioner.
Karena ( ) adalah nilai minimum, maka ( ) ( ) untuk semua dalam ;
yaitu
( ) ( )
Jadi jika , sehingga , maka
( ) ( ) ( )
sedangkan jika , maka
( ) ( ) ( )
Tetapi ( ) ada, karena bukan titik singular. Sehingga, diperoleh masing-
masing ( ) dan ( ) . Jadi dapat disimpulkan bahwa ( ) .
Contoh 2.4.4
Mencari nilai-nilai maksimum dan minimum dari
( )
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 37
24
pada *
+.
Penyelesaian:
1. Langkah pertama mencari tititk-titik kritis yaitu dengan cara mencari turunan
dari fungsi tersebut.
( )
( )
( )
( )
Dari perhitungan tersebut, diperoleh titik kritisnya, yaitu
.
2. Kemudian dicari nilai fungsi saat
sebagai berikut
Saat
(
)
Saat ( )
Saat ( )
Saat ( )
Maka, diperoleh nilai maksimumnya, yaitu (dicapai pada
dan
) dan nilai minimumnya yaitu (dicapai pada ). ●
Dalam Subbab 2.4 ini, terdapat pembuktian Teorema Kemonotonan (Teorema
2.4.12) yang menggunakan Teorema Nilai Rata-rata (Teorema 2.4.10).
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 38
25
Teorema 2.4.10 (Teorema Nilai Rata-rata untuk Turunan)
Jika kontinu pada selang tertutup dan terdiferensialan pada titik-titik dari
( ), maka terdapat paling sedikit satu bilangan dalam ( ) dengan
( ) ( )
( )
Bukti
Pembuktian bersandar pada analisis dari fungsi ( ) ( ) ( ). Di sini
( ) adalah persamaan garis yang melalui ( ( )) dan ( ( )). Karena
garis ini mempunyai kemiringan ( ) ( ) ( ) dan melalui titik
( ( )), bentuk kemiringan titik untuk persamaannya adalah
( ) ( ) ( ) ( )
( )
Ini kemudian menghasilkan rumus untuk ( ), yaitu
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
Perhatikan bahwa ( ) ( ) dan bahwa untuk dalam ( )
( ) ( ) ( ) ( )
Jika diketahui bahwa terdapat suatu bilangan dalam ( ) yang memenuhi
( ) , pembuktian akan selesai. Karena persamaan yang terakhir mengatakan
( ) ( ) ( )
yang setara dengan kesimpulan teorema tersebut.
Untuk melihat bahwa ( ) untuk suatu dalam ( ), alasannya
sebagai berikut. Jelas kontinu pada , karena merupakan selisih dua fungsi
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 39
26
kontinu. Jadi, menurut Teorema Keberadaan Maks-Min, harus mencapai baik
nilai maksimum ataupun nilai minimum pada . Jika kedua nilai ini kebetulan
adalah , maka ( ) secara identik adalah pada , akibatnya ( )
untuk semua dalam ( ), jauh lebih banyak daripada yang kita perlukan.
Jika satu nilai maksimum atau nilai minimum berlainan dengan , maka
nilai tersebut dicapai pada sebuah titik-dalam , karena ( ) ( ) .
Sekarang mempunyai turunan di setiap titik dari ( ), sehingga dengan
Teorema Titik Kritis, ( ) .
Contoh 2.4.5
Andaikan ( ) pada . Carilah semua bilangan yang
memenuhi kesimpulan Teorema nilai Rata-rata.
Penyelesaian
Dengan menurunkan persamaan, diperoleh ( ) dan
( ) ( )
( )
.
Kemudian diselesaikan dengan atau, secara ekuivalen,
dari persamaan kuadrat. Terdapat dua penyelesaian (
√ ) yang berpadanan dengan dan . kedua bilangan
tersebut dalam selang ( ). ●
Banyak orang yang masih bingung dalam memutuskan di mana suatu
fungsi itu naik atau turun. Mungkin ada yang menyarankan dengan menggambar
grafiknya dan memperhatikannya. Tetapi sebuah grafik biasanya digambar dengan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 40
27
membuat beberapa titik dan menghubungkan titik-titik tersebut dengan kurva
mulus. Tetapi cara tersebut masih kurang meyakinkan, karena titik-titik tersebut
mungkin akan bergoyang di antara titik-titik yang dibuat.
Definisi 2.4.4 (Kemonotonan)
Misalkan terdefinisi pada interval (terbuka, tertutup, atau tak satupun). Dapat
dikatakan bahwa:
i. naik pada jika, untuk setiap pasang bilangan dan dalam ,
( ) ( )
ii. turun pada jika, untuk setiap pasang bilangan dan dalam ,
( ) ( )
iii. monoton murni pada jika naik pada atau turun pada .
Definisi di atas diperlihatkan dalam grafik di bawah ini:
Gambar 2.2: Grafik naik dan turun
Ingat kembali bahwa turunan pertama ( ) memberi kemiringan dari garis
singgung pada grafik di titik . Kemudian, jika ( ) maka garis singgung
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 41
28
naik ke kanan. Demikian juga, jika ( ) , maka garis singgung menurun ke
kanan. Dapat dilihat pada gambar di bawah ini,
Gambar 2.3: Grafik kemiringan
Teorema 2.4.11 (Teorema Kemonotonan)
Misalkan kontinu pada interval dan terdiferensialkan pada setiap titik-dalam
dari .
i. Jika ( ) untuk semua titik di dalam , maka naik pada .
ii. Jika ( ) untuk semua titik di dalam , maka turun pada .
Bukti (i)
Andaikan bahwa kontinu pada dan bahwa ( ) di setiap titik di bagian
dalam . Tinjaulah dua titik sebarang dan dari dengan . Menurut
Teorema Nilai Rata-rata yang diterapkan pada selang , terdapat sebuah
bilangan dalam ( ) yang memenuhi
( ) ( ) ( )( )
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 42
29
Karena ( ) , dapat dilihat bahwa ( ) ( ) yakni, ( ) ( ).
Ini yang dimaksud bahwa naik pada .
Bukti (ii)
Andaikan bahwa kontinu pada dan bahwa ( ) di setiap titik di bagian
dalam . Tinjaulah dua titik sebarang dan dari dengan . Menurut
Teorema Nilai Rata-rata yang diterapkan pada selang , terdapat sebuah
bilangan dalam ( ) yang memenuhi
( ) ( ) ( )( )
Karena ( ) , dapat dilihat bahwa ( ) ( ) yakni, ( ) ( ).
Ini yang dimaksud bahwa turun pada .
Contoh 2.4.6
Tentukanlah di mana ( ) ( )⁄ naik dan di mana turun.
Penyelesaian
Dengan menurunkan persamaan di atas diperoleh
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )( )
( )
Karena penyebut selalu positif, ( ) mempunyai tanda sama dengan pembilang
( )( ). Titik-titik pemisah, dan , menentukan tiga selang
( ) ( ) ( ). Bilamana ditemukan bahwa ( ) pada selang
yang pertama dan yang ketiga dan bahwa ( ) pada selang tengah. Dapat
disimpulkan dari Teorema Kemonotonan (Teorema 2.4.11) bahwa turun pada
( dan ), naik pada . ●
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 43
30
Definisi 2.4.5
Misalkan terdiferensialkan pada interval terbuka . Dapat dikatakan bahwa (dan
grafiknya) cekung ke atas pada jika naik pada dan dikatakan bahwa cekung
ke bawah pada jika turun pada .
Definisi di atas diperlihatkan dalam gambar di bawah ini:
Gambar 2.4: Grafik kecekungan
Teorema 2.4.12 (Teorema Kecekungan)
Misalkan terdiferensial dua kali pada interval terbuka I.
i. Jika ( ) untuk semua dalam , maka f cekung ke atas pada .
ii. Jika ( ) untuk semua dalam , maka cekung ke bawah pada
Bukti (i)
Andaikan bahwa terdiferensialkan dua kali pada dan bahwa ( ) , naik
dalam beberapa interval terbuka yang memuat . Tinjaulah dua titik sebarang
dan dari dengan . Menurut Teorema Nilai Rata-rata yang diterapkan
pada selang , terdapat sebuah bilangan c dalam ( ) yang memenuhi
( ) ( ) ( )( )
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 44
31
Karena naik, ( ) ( ), maka ( ) ( )( ) ( )
( )( ) ( ). Tetapi, ( ) ( )( ) ( ) adalah persamaan
garis singgung di . Jadi kurva yang terbentang di atas garis singgung adalah
cekung ke atas.
Bukti (ii)
Andaikan bahwa terdiferensialkan dua kali pada dan bahwa ( ) , turun
dalam beberapa interval terbuka yang memuat . Tinjaulah dua titik sebarang
dan dari dengan . Menurut Teorema Nilai Rata-rata yang diterapkan
pada selang , terdapat sebuah bilangan dalam (a,b) yang memenuhi
( ) ( ) ( )( )
Karena naik, ( ) ( ), maka ( ) ( )( ) ( )
( )( ) ( ). Tetapi, ( ) ( )( ) ( ) adalah persamaan garis
singgung di . Jadi kurva yang terbentang di bawah garis singgung adalah cekung
ke bawah.
Contoh 2.4.7
Di mana ( ) ⁄ (( )) cekung ke atas dan di mana cekung ke bawah?
Penyelesaian
Contoh ini sama seperti contoh 2.4.6, bahwa turun pada ( dan )
dan naik pada . Untuk menganalisa kecekungan perlu dihitung .
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )( )( )( )
( )
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 45
32
( ) ( )( ) ( )( )
( )
( )
( )
( )
Karena penyebut selalu positif, maka harus diselesaikan ( ) dan
( ) . Titik-titik pemisah √ dan √ . Tiga titik pemisah itu
menentukan empat selang. Dapat dilihat pada gambar di bawah ini.
Dapat disimpulkan bahwa cekung ke atas pada ( √ ) dan bahwa cekung ke
bawah pada ( √ ) dan ( √ ).
Definisi 2.4.6
Andaikan , daerah asal , memuat titik . Dapat dikatakan bahwa:
i. ( ) nilai maksimum lokal jika terdapat selang ( ) yang memuat
sedemikian sehingga ( ) adalah nilai maksimum pada ( ) ;
ii. ( ) nilai minimum lokal jika terdapat selang ( ) yang memuat
sedemikian sehingga ( ) adalah nilai minimum pada ( ) ;
iii. ( ) nilai ekstrim lokal jika ia berupa nilai maksimum lokal atau nilai
minimum lokal.
Definisi di atas diperlihatkan dalam grafik di bawah ini:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 46
33
Gambar 2.5: Grafik maksimum, minimum dan ekstrim lokal
Teorema 2.4.13 (Uji Turunan Pertama untuk Ekstrim Lokal)
Andaikan kontinu pada selang terbuka ( ) yang memuat titik kritis .
i. Jika ( ) untuk semua dalam ( ) dan ( ) untuk semua
dalam ( ) maka ( ) adalah nilai maksimum lokal .
ii. Jika ( ) untuk semua dalam ( ) dan ( ) untuk semua
dalam ( ) maka ( ) adalah nilai minimum lokal .
iii. Jika ( ) bertanda sama pada kedua pihak , maka ( ) bukan nilai
ekstrim lokal .
Bukti (i)
Karena ( ) untuk semua dalam ( ) maka menurut Teorema
kemonotonan (Teorema 2.4.11) naik pada ( ). Berarti ( ) nilai maksimum
di ( ). Karena ( ) untuk semua dalam ( ) maka menurut Teorema
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 47
34
Kemonotonan (Teorema 2.4.11) turun pada ( ). Berarti ( ) nilai maksimum
di ( ). Jadi dapat disimpulkan bahwa ( ) adalah maksimum lokal.
Bukti (ii)
Karena ( ) untuk semua dalam ( ) maka menurut Teorema
kemonotonan (Teorema 2.4.11) turun pada ( ). Berarti ( ) nilai minimum
di ( ). Karena ( ) untuk semua dalam ( ) maka menurut Teorema
Kemonotonan (Teorema 2.4.11) naik pada ( ). Berarti ( ) nilai minimum di
( ). Jadi dapat disimpulkan bahwa ( ) adalah minimum lokal.
Bukti (iii)
Karena ( ) untuk semua dalam ( ) maka menurut Teorema
Kemonotonan (Teorema 2.4.11) naik pada ( ). Berarti ( ) nilai maksimum
di ( ). Karena ( ) untuk semua dalam ( ) maka menurut Teorema
kemonotonan (Teorema 2.4.11) naik pada ( ). Berarti ( ) nilai maksimum
di ( ). Sebaliknya, karena ( ) untuk semua dalam ( ) maka
menurut Teorema Kemonotonan (Teorema 2.4.11) turun pada ( ). Berarti
( ) nilai minimum di ( ). Karena ( ) untuk semua dalam ( )
maka menurut Teorema kemonotonan (Teorema 2.4.11) turun pada ( ).
Berarti ( ) nilai minimum di ( ). Jadi dapat disimpulkan bahwa ( ) bukan
nilai ekstrim lokal .
Contoh 2.4.8
Carilah nilai ekstrim lokal dari fungsi ( ) pada ( ).
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 48
35
Penyelesaian
Fungsi polinomial kontinu di mana-mana, dan turunannya, ( ) ada
untuk semua . Jadi satu-satunya titik kritis untuk adalah penyelesaian tunggal
dari ( ) , yakni . Karena ( ) ( ) untuk , turun
pada ( dan karena ( ) untuk , naik pada ). Karena
itu, menurut Teorema Uji Turunan Pertama (Teorema 2.4.13), ( ) adalah
nilai minimum lokal . Karena 3 adalah satu-satunya bilangan kritis, tidak
terdapat nilai ekstrim lain. ●
Teorema 2.4.14 (Uji Turunan Kedua untuk Ekstrim Lokal)
Andaikan dan ada pada setiap titik selang terbuka ( ) yang memuat , dan
andaikan ( ) .
i. Jika ( ) , ( ) adalah nilai maksimum lokal .
ii. Jika ( ) , ( ) adalah nilai minimum lokal .
Bukti (i)
Menurut definisi dan hipotesis,
( )
( ) ( )
( )
dapat disimpulkan bahwa terdapat interval ( ) (mungkin pendek) di sekitar
dengan
( )
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 49
36
Tetapi pertaksamaan ini mengimplikasikan bahwa ( ) untuk
dan ( ) untuk . Jadi, menurut Uji Turunan Pertama, ( ) adalah
nilai maksimum lokal.
Bukti (ii)
Menurut definisi dan hipotesis,
( )
( ) ( )
( )
sehingga dapat disimpulkan bahwa terdapat interval ( ) (mungkin pendek) di
sekitar dengan
( )
Tetapi pertidaksamaan ini mengimplikasikan bahwa ( ) untuk
dan ( ) untuk . Jadi, menurut Uji Turunan Pertama, ( ) adalah
nilai minimum lokal.
Contoh 2.4.9
Untuk ( ) , gunakanlah Teorema Uji Turunan Kedua untuk
mengenali ekstrim lokal.
Penyelesaian
Perhatikanlah bahwa
( ) ( )
( )
Jadi ( ) dan ( ) .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 50
37
Karena itu, menurut Teorema Uji Turunan Kedua, ( ) adalah nilai minimum
lokal. ●
Pada bab sebelumnya telah dibahas mengenai turunan. Dalam tiap kasus,
operasi kedua melepaskan operasi pertama, dan sebaliknya. Oleh karena itu,
kasus-kasus pada turunan mempunyai kasus-kasus kebalikannya, balikannya
tersebut disebut antiturunan atau integrasi.
2.5 Integral
Definisi 2.5.1
Kita sebut suatu antiturunan pada selang jika ( ) ( ) pada yakni,
jika ( ) ( ) untuk semua dalam . (Jika suatu titik ujung , ( ) hanya
perlu berupa turunan sepihak).
Teorema 2.5.1 (Aturan Pangkat)
Jika adalah sebarang bilangan rasional kecuali , maka
∫
dengan adalah sebarang konstanta.
Bukti
Untuk mengembangkan suatu hasil berbentuk
∫ ( ) ( )
cukup dengan menunjukkan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 51
38
( ) ( )
Dalam kasus ini
0
1
( )
Contoh 2.5.1
Carilah antiturunan yang umum dari ( ) ⁄ .
Penyelesaian
∫ ⁄ ⁄
⁄
Integral Tak-tentu adalah Linear. Ingatlah kembali dari Subbab Turunan bahwa
adalah suatu operator linear, yaitu
a. ( ) ( )
b. ( ) ( ) ( ) ( )
c. ( ) ( ) ( ) ( )
Ternyata bahwa ∫ juga memiliki sifat operator linear.
Teorema 2.5.2 (Integral Tak-Tentu adalah Operator Linear)
Andaikan dan mempunyai anti turunan (integral tak tentu) dan andaikan
suatu konstanta. Maka:
i. ∫ ( ) ∫ ( ) ;
ii. ∫ ( ) ( ) ∫ ( ) ∫ ( ) ;
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 52
39
iii. ∫ ( ) ( ) ∫ ( ) ∫ ( ) .
Bukti (i)
Cukup mendiferensialkan ruas kanan, maka akan diperoleh integran dari ruas kiri
[ ∫ ( ) ] ∫ ( ) ( )
Bukti (ii)
Sama seperti cara bukti (i), cukup dengan mendiferensialkan ruas kanan, maka
akan diperoleh integran dari ruas kiri
[∫ ( ) ∫ ( ) ] ∫ ( ) ∫ ( )
( ) ( )
Bukti (iii)
Sama seperti cara bukti (i) dan (ii), cukup dengan mendiferensialkan ruas kanan,
maka akan diperoleh integran dari ruas kiri
[∫ ( ) ∫ ( ) ] ∫ ( ) ∫ ( )
( ) ( )
Contoh 2.5.2
Hitunglah dengan menggunakan kelinearan integral!
∫( ⁄ )
Penyelesaian
∫( ⁄ ) ∫ ⁄ ∫ ∫
⁄
●
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 53
40
Dalam subbab selanjutnya akan dibahas mengenai persamaan diferensial.
Persamaan ini mengembangkan metode pemisahan peubah untuk mencari suatu
solusi.
2.6 Persamaan Diferensial
Definisi 2.6.1
Persamaan diferensial adalah persamaan yang memuat derivatif atau
diferensial dari satu atau lebih fungsi.
Persamaan diferensial bermula dari penyelidikan hukum-hukum yang
mengatur dunia fisika. Istilah persamaan “diferensial” diperkenalkan oleh
Gottfried Leibniz (1646-1716) yang bersama-sama Newton dikenal sebagai
penemu kalkulus. Banyak teknik untuk menyelesaikan persamaan diferensial yang
dikenal para matematikawan dalam abad ke tujuh belas. Tidak sampai abad ke
sembilan belas, Augustin Louis Cauchy (1789-1857) mengembangkan teori
umum persamaan diferensial yang bebas dari gejala-gejala fisika.
Seperti yang telah dijelaskan di atas, persamaan diferensial adalah suatu
persamaan yang memuat derivatif atau diferensial dari satu atau lebih fungsi.
Contoh 2.6.1
Beberapa contoh persamaan diferensial:
1.
2. ( )
3. ( )
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 54
41
4. ( )
5.
6.
7.
8.
●
Persamaan diferensial dapat diklasifikasikan dalam banyak cara. Jika
fungsi yang belum diketahui dalam persamaan diferensial bergantung pada hanya
satu variabel bebas maka persamaan itu disebut persamaan diferensial biasa.
Persamaan 1 sampai 6 adalah contoh persamaan diferensial biasa di mana
menyatakan fungsi yang belum diketahui (variabel tak bebas) dan menyatakan
variabel bebas. Jika fungsi yang belum diketahui bergantung pada dua atau lebih
variabel bebas maka persamaan disebut persamaan diferensial parsial. Persamaan
7 dan 8 adalah contoh persamaan diferensial parsial.
Selanjutnya persamaan diferensial dapat juga diklasifikasikan sesuai
dengan tingkat derivatif tertinggi yang muncul dalam persamaan itu.
Definisi 2.6.2
Tingkat persamaan diferensial adalah tingkat derivatif tertinggi yang
muncul dalam persamaan.
Persamaan diferensial berdasarkan tingkatnya dapat diklasifikasikan menjadi tiga
tingkatan, yaitu:
a. Persamaan diferensial tingkat pertama
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 55
42
Bentuk umum:
( )
b. Persamaan diferensial tingkat kedua
Bentuk umum:
( )
c. Persamaan diferensial tingkat ke-
Bentuk umum:
( ( ))
Catatan: ( )
.
Di mana adalah suatu fungsi real dengan argumen-argumen ( )
Definisi 2.6.3
Persamaan diferensial biasa tingkat ke- disebut linear dalam jika
persamaan diferensial itu dapat ditulis dalam bentuk:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
di mana dan adalah fungsi-fungsi kontinu pada suatu interval yang
memuat dan ( ) pada interval itu. Fungsi ( ) disebut fungsi-fungsi
koefisien.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 56
43
Definisi itu menyatakan bahwa persamaan diferensial biasa adalah linear jika
syarat-syarat berikut dipenuhi:
1. Fungsi yang belum diketahui dan derivatif-derivatifnya secara aljabar
hanya berderajat satu.
2. Tidak ada hasil kali yang berkaitan dengan fungsi yang belum diketahui
dan derivatif-derivatifnya atau dua atau lebih derivatif.
3. Tidak ada fungsi transendental dari dan seterusnya.
Persamaan diferensial yang tidak linear disebut nonlinear.
Contoh 2.5.6
a. Persamaan diferensial linear:
,
.
b. Persamaan diferensial biasa tingkat pertama
( ) adalah nonlinear karena derivatif pertama fungsi yang belum
diketahui berderajat tiga.
adalah nonlinear karena berkaitan dengan hasil kali fungsi yang
belum diketahui derivatifnya.
adalah nonlinear dalam fungsi , tetapi persamaan ini
menjadi linear jika kita mempertukarkan peranan dan dan sebagai fungsi
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 57
44
variabel . Persamaan yang diketahui dapat dinyatakan dalam bentuk
yang linear dalam .
c. Persamaan diferensial biasa tingkat kedua
adalah nonlinear karena adalah fungsi transendental dari
fungsi yang belum diketahui. ●
Definisi 2.6.4
Penyelesaian persamaan diferensial tingkat ke- pada interval
adalah suatu fungsi yang mempunyai semua turunan yang diperlukan, yang jika
menggantikan ( ) menjadikan persamaan diferensial itu suatu identitas.
Contoh 2.6.2
Buktikan bahwa adalah penyelesaian dari dan
tunjukkan batas-batas penyelesaiannya!
Penyelesaian:
Dari diperoleh . Dengan memasukkan dan ke dalam
, diperoleh ( ) . Karena ruas kiri sama
dengan nol untuk semua maka fungsi adalah penyelesaian dari
pada interval ( ). ●
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 58
45
Definisi 2.6.5
Suatu fungsi real ( ) disebut penyelesaian eksplisit persamaan
diferensial ( ( ) pada , jika
( ( ) ( ) ( ) ( )( )) pada .
Definisi 2.6.6
Suatu relasi ( ) disebut penyelesaian implisit dari persamaan
diferensial ( ( ) pada , jika ( ) menentukan
sekurang-kurangnya satu fungsi f pada sedemikian rupa sehingga ( )
adalah penyelesaian eksplisit pada interval ini.
Dalam makalah ini diperlukan beberapa cara dalam menyelesaikan persamaan
diferensial, yaitu
1. Persamaan Diferensial Dengan Bentuk ( )
Dalam kalkulus, persamaan diferensial dengan bentuk ( ) dapat
diselesaikan dengan ∫ ( ) Jadi penyelesaian ( ) diperoleh
dengan mengintegralkannya, meskipun pengintegralannya belum tentu sederhana.
Contoh 2.6.5
Tentukan penyelesaian umum dari
( )( )
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 59
46
Penyelesaian:
Penyelesaian dapat ditulis sebagai
∫
( )( )
Integral dapat dihitung dengan memecah integran menjadi jumlah dua pecahan
parsial yang berbentuk
( )( )
Kedua ruas dikalikan dengan ( )( ) dihasilkan ( )
( )
Untuk menentukan , ambil , sehingga atau
Untuk menentukan , ambil , sehingga atau
Pecahan parsial yang dimaksud adalah
( )( )
Jadi,
∫(
*
| | | |
Karena ada suku-suku logaritma, maka konstanta dapat diganti dengan bentuk
Jadi, penyelesaiannya menjadi
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 60
47
( )
| | ●
2. Persamaan Diferensial Variabel Terpisah
Perhatikan persamaan diferensial tingkat pertama yang dapat ditulis dalam
bentuk derivatif sebagai
( )
Jika ( ) dapat ditulis sebagai
( ) ( )
( )
maka persamaan diferensial di atas mempunyai bentuk diferensial
( ) ( )
Karena kedua bentuk umum ini dapat dipertukar.
Suatu persamaan diferensial yang dapat dibawa ke dalam bentuk
( )
( )
atau ekuivalen dengan
( ) ( )
disebut persamaan diferensial yang dapat dipisahkan.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 61
48
Dapat dilihat bahwa pada persamaan di atas variabel-variabel dan
“dipisahkan” dan bersesuaian dengan diferensial-diferensialnya. Proses
penyesuaian ( ) dengan dan ( ) dengan , disebut pemisahan variabel
(separasi variabel). Setelah variabel-variabel dipisahkan, penyelesaian umum
persamaan tersebut dapat disajikan dalam bentuk implisit oleh
∫ ( ) ∫ ( )
Contoh 2.6.3
Selesaikan persamaan ( ) .
Penyelesaian:
Persamaan di atas belum dalam bentuk terpisah, tetapi, variabel-variabel dapat
dipisahkan dengan membagi masing-masing suku dengan ( )
Persamaan tersebut menjadi
Dengan mengintegralkan masing-masing suku diperoleh penyelesaian implisit
| | ( )
Penyelesaian tersebut dapat disederhanakan menggunakan sifat logaritma.
Diperoleh
| | ( )
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 62
49
adalah bentuk lain penyelesaian. Penyelesaian di atas dapat disederhanakan lagi
dengan mengambil konstanta sebarang dalam bentuk | | sehingga
| | ( ) | |
dan diperoleh penyelesaian implisit yang lebih sederhana, yaitu
( )
3. Persamaan Diferensial Linear Tingkat Pertama
Persamaan diferensial linear tingkat pertama yang didefiniskan pada
mempunyai bentuk
( ) ( ) ( ) ( ) (1)
untuk semua dalam .
Dengan membagi persamaan ini dengan ( ) maka diperoleh
( ) ( ) (2)
yang disebut bentuk baku persamaan diferensial linear tingkat pertama.
Untuk menyelesaikan persamaan diferensial linear tingkat pertama, pertama-tama
kalikan kedua sisi dengan faktor integrasi, yaitu
∫ ( )
Persamaan diferensial menjadi
∫ ( ) ∫ ( ) ( ) ∫ ( ) ( )
Sisi kiri adalah turunan hasil kali ∫ ( ) , maka persamaannya mengambil
bentuk
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 63
50
( ∫ ( ) ) ∫ ( ) ( )
Integrasi kedua sisi menghasilkan
∫ ( ) ∫( ( ) ∫ ( ) )
Penyelesaian umumnya menjadi
∫ ( ) ∫( ( ) ∫ ( ) )
Contoh 2.6.4
Selesaikan persamaan linear
Penyelesaian:
Ubahlah persamaan dalam bentuk baku maka diperoleh
Dalam persamaan ini ( ) sehingga faktor pengintegral
( ) ∫
Kalikan persamaan diferensial baku dengan maka diperoleh
atau dalam bentuk diferensial
Ruas kiri persamaan ini adalah diferensial dari hasil kali
sehingga persamaan dapat ditulis
( )
Dengan mengintegralkan kedua ruas diperoleh
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 64
51
atau
●
4. Persamaan Diferensial Bernouli
Persamaan diferensial nonlinear yang dapat diubah menjadi persamaan
diferensial linear tingkat pertama dengan menggunakan substitusi yang cocok
adalah persamaan diferensial Bernoulli.
Definisi 2.6.7
Suatu persamaan yang berbentuk
( ) ( ) disebut persamaan
diferensial Bernoulli.
Jika atau , persamaan diferensial adalah linear. Jika dan ,
persamaan Bernoulli dapat dibawa ke dalam persamaan diferensial linear dengan
menggunakan teorema berikut.
Teorema 2.6.1
Jika dan maka persamaan diferensial ( ) ( ) dapat
diubah menjadi persamaan diferensia linear dengan transformasi .
Bukti
Mula-mula kalikan persamaan diferensial dengan , diperoleh
( ) ( )
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 65
52
Misalkan , maka
( )
atau
Masukkan nilai-nilai ini ke dalam persamaan diferensial yang diketahui maka
diperoleh
( ) ( )
yang merupakan persamaan diferensial linear dalam dan .
Contoh 2.6.6
Selesaikan persamaan diferensial Bernoulli
Penyelesaian:
Dalam persamaan ini sehingga persamaan dikalikan dengan dan
diperoleh
Misalkan maka
atau
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 66
53
Dengan memasukkan nilai-nilai ke dalam persamaan diperoleh
Kemudian semua ruas dikalikan dengan dan diperoleh
yang merupakan bentuk baku persamaan diferensial linear dalam x dan v.
Faktor pengintegral persamaan ini adalah
∫
Setelah persamaan linear dikalikan dengan , maka diperoleh
atau
atau
( )
Kedua ruas diintegralkan menjadi
∫ ( ) ∫
Kemudian diganti dengan sehingga diperoleh
Persamaan di atas dapat ditulis dengan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 67
54
√ ●
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 68
55
BAB III
MODEL PERTUMBUHAN POPULASI TUNGGAL
3.1 Pendahuluan
Dalam bab ini, akan dikembangkan model yang menggambarkan
pertumbuhan dan penurunan populasi tunggal. Dalam penerapan pemodelan
matematika terdapat beberapa model pertumbuhan, namun yang akan dibahas
adalah model pertumbuhan kontinu. Model pertumbuhan kontinu meliputi model
eksponensial dan model logistik yang masing-masing mempunyai kelemahan dan
kelebihan.
Awalnya akan dimodelkan pertumbuhan eksponensial. Pada pertumbuhan
eksponensial laju perubahan populasi dapat dihitung jika banyaknya kelahiran,
kematian dan migrasi diketahui. Kemudian model pertumbuhan akan diperluas
untuk memperhitungkan pertumbuhan bergantung pada kepadatan (pertumbuhan
logistik). Model ini memasukkan batas untuk populasinya sehingga jumlah
populasi dengan model ini tidak akan tumbuh secara tak berhingga. Laju
pertumbuhan populasi terbatas akan ketersediaan makanan, tempat tinggal, dan
sumber hidup lainnya. Dengan asumsi tersebut, jumlah populasi dengan model ini
akan selalu terbatas pada suatu nilai tertentu.
Selanjutnya akan dibahas mengenai pertumbuhan terbatas dengan
pemanenan. Laju pertumbuhan populasi dengan pemanenan adalah laju
pertumbuhan populasi dengan daya dukung lingkungan yang bergantung waktu.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 69
56
3.2 Model Pertumbuhan Eksponensial
3.2.1 Model Umum
Secara umum model populasi dapat digambarkan seperti pada persamaan di
bawah ini,
{
} = ,
- - ,
-. (3.1)
Persamaan tersebut akan dikembangkan dengan beberapa asumsi dan kemudian
proses kelahiran dan kematian dinyatakan ke dalam simbol.
3.2.2 Model asumsi
Ketika dihadapkan pada populasi yang besar, diasumsikan bahwa setiap
individu dalam populasi mempunyai kemungkinan yang sama untuk lahir dan
menganggap bahwa setiap individu memiliki kemungkinan yang sama untuk mati
dalam interval waktu tertentu. Dengan demikian masuk akal untuk membahas
tentang laju kelahiran per-kapita per satuan waktu dan laju kematian per-kapita
per satuan waktu.
Asumsi tersebut dapat dirumuskan sebagai berikut:
1. Populasi cukup besar sehingga perbedaan acak antara individu dapat
diabaikan.
2. Kelahiran dan kematian kontinu sepanjang waktu.
3. Laju kelahiran per-kapita dan laju kematian per-kapita konstan sepanjang
waktu.
4. Dalam pengembangan model, mula-mula imigrasi dan emigrasi diabaikan
tetapi akan dimasukkan dikemudian.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 70
57
3.2.3 Merumuskan persamaan diferensial
Dimisalkan jumlah populasi pada saat t adalah X(t) dan populasi awal
bernilai , dengan laju kelahiran per-kapita adalah dan laju kematian perkapita
adalah . Tujuannya adalah untuk menemukan ukuran populasi pada waktu t.
Langkah pertama adalah menentukan persamaan populasi. Diasumsikan bahwa
penduduk hanya dapat berubah karena kelahiran atau kematian, imigrasi atau
emigrasi diabaikan. Juga, diasumsikan bahwa perubahan populasi setiap saat
sebanding dengan jumlah penduduk waktu itu.
Karena laju kelahiran perkapita diasumsikan konstan, maka laju
kelahiran keseluruhan setiap waktu adalah laju kelahiran per-kapita dikalikan
besarnya populasi saat itu. Demikian juga, untuk laju kematian keseluruhan
adalah laju kematian perkapita dikalikan besarnya populasi saat itu. Ini dapat
ditulis,
,
- = X( t ),
,
- = X( t ). (3.2)
Dari kedua persamaan di atas diperoleh
( ) (3.3)
(Dengan catatan bahwa ( ) dapat ditulis sebagai , karena jelas bahwa adalah
fungsi dari .)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 71
58
Sekarang sudah diperoleh persamaan diferensial yang menyatakan laju
perubahan populasi ( ) Maka diperlukan suatu kondisi awal untuk mendapatan
penyelesaian tunggal.
3.2.4 Penyelesian persamaan diferensial
Sekarang kita akan menyelesaikan persamaan (3.3) untuk pertumbuhan
populasi yang kontinu. Dimisalkan , maka
Kita menyatakan bahwa adalah laju pertumbuhan atau laju reproduksi populasi.
∫
∫
( )
( )
dengan , maka
( )
Misal , maka
( )
( )
Dengan menerapkan kondisi awal ( ) untuk memperoleh nilai
konstan , maka diperoleh penyelesaian persamaan diferensial yaitu
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 72
59
( )
(3.4)
Dari persamaan di atas terdapat tiga kasus, yaitu:
1. Untuk
Jika mendekati tak hingga, maka ( ) mendekati tak hingga.
Untuk dan , maka gambarnya sebagai berikut:
Gambar 3.1: Grafik yang menyatakan laju perubahannya semakin
bertambah.
2. Untuk ( )
Jika mendekati tak hingga, maka ( ) adalah konstan.
Untuk , maka gambarnya sebagai berikut:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 73
60
Gambar 3.2: Grafik yang menyatakan laju perubahannya stabil.
3. Untuk
Jika mendekati tak hingga, maka ( ) mendekati .
Untuk dan , maka gambarnya sebagai berikut:
Gambar 3.3: Grafik yang menyatakan laju perubahannya semakin
berkurang.
Jelas bahwa hal ini menggambarkan pertumbuhan atau peluruhan eksponensial
yang bergantung pada .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 74
61
3.2.5 Interpretasi dari parameter
Dari laju kematian, dapat dibuat pendekatan angka kematian dengan
mengalikan laju kematian dengan panjang interval waktu. Pendekatan ini biasanya
lebih baik jika interval waktunya pendek. Maka dapat ditulis
{
} ( )
Dimisalkan bahwa individu akan meninggal setelah waktu , dengan
adalah harapan hidup rata-rata. Kemudian, dimisalkan ( ) dan
sedemikian sehingga diperoleh
Oleh karena itu diperoleh
yang memberikan pendekatan untuk sebagai kebalikan pada harapan hidup rata-
rata.
3.2.6 Contoh model pertumbuhan eksponensial
Tentukan waktu populasi mempunyai ukuran berganda!
Penyelesaian:
( ) ( )
di mana T adalah waktu yang diperlukan untuk ukuran berganda. Maka,
digunakan penyelesaian (3.4),
( )
( )
( )
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 75
62
di mana
Maka, waktu yang diperlukan populasi berganda adalah ⁄
3.3 Model Pertumbuhan Logistik
3.3.1 Merumuskan persamaan differensial
{
} = ,
- - ,
- (3.5)
Diasumsikan laju kelahiran per-kapita konstan pada , maka
,
- X( t ).
Dengan asumsi bahwa laju kematian per-kapita adalah tidak konstan,
maka laju kematian per-kapita akan meningkat seiring dengan peningkatan
populasi. Dengan asumsi bahwa laju kematian per-kapita bergantung linear pada
suatu populasi, maka dapat dinyatakan sebagai berikut:
{
} ( ).
Laju kematian adalah laju kematian perkapita dikalikan besarnya populasi
saat itu yang dinyatakan sebagai berikut:
,
- (3.6)
Jadi,
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 76
63
Dengan menyatakan laju reproduksi, maka diperoleh model
pertumbuhan yang bergantung pada kepadatan suatu populasi yang dinyatakan
sebagai berikut:
( ) (3.7)
( )
Penyelesaian dapat ditulis
∫
( )
Integral dapat ditulis dengan memecah integran menjadi jumlah dua pecahan
parsial yang berbentuk
( )
Kedua ruas dikalikan ( ) maka dihasilkan
( )
( )
Untuk menentukan A, ambil , sehingga diperoleh
.
Untuk menentukan B, ambil – , substitusikan dengan
, sehingga
diperoleh
.
Pecahan parsial yang dimaksud adalah
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 77
64
( )
( )
Kemudian semua ruas diintegralkan
∫
( ) ∫
∫
∫
Terlebih dahulu akan dihitung
∫
∫
Dengan cara substitusi:
Misal :
,
,
Maka:
∫
∫
∫
Jadi, dapat diintegralkan untuk memperoleh
| |
| |
( | | | |)
.
| |
| |/
Dengan , maka
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 78
65
.| |
| |/
| |
| |
Dengan , maka
| |
| |
| |
| |
| | | |
( )
( )
[ (
*]
Dengan
, di mana , maka
( ) ( )
Jika , maka diperoleh
( )
Dengan keadaan awal ( ) diperoleh bahwa ( ) dan
( ) ⁄
Cara lain untuk mengartikan persamaan ini yaitu dengan memisahkan laju
kematian menjadi laju kematian normal dan laju kematian ekstra karena anggota-
anggota dari populasi bersaing satu sama lain untuk sumber daya yang terbatas.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 79
66
Maka dapat ditulis
{
} = ,
- - {
} - {
}
Untuk laju kelahiran dan laju kematian normal per-kapita, diasumsikan
konstan yaitu dan . Jika diberikan ( di mana adalah konstan positif ),
maka laju kematian ekstra adalah tlaju kematian ekstra per-kapita dikalikan
dengan jumlah populasi pada saat itu. Maka diperoleh
{
}
dengan adalah konstan positif.
3.3.2 Persamaan Logistik
Dengan
, persamaan diferensial (3.7) menjadi
yang dapat ditulis menjadi
(
) (3.8)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 80
67
Model ini termasuk ke dalam persamaan diferensial nonlinear. Ini adalah
persamaan logistik dan juga sebagai model pertumbuhan terbatas atau model
bergantung kepadatan. Untuk dan maka diperoleh nilai populasi
yang positif.
3.3.3 Interpretasi dari parameter
Dengan melihat kembali pada bab 3.1 untuk pertumbuhan populasi yang kontinu
Bentuk umum persamaan diferensial untuk pertumbuhan dapat ditulis
( )
dengan ( ) merepresentasikan laju pertumbuhan per-kapita bergantung
populasi. Ini adalah persamaan logistik dari laju pertumbuhan per-kapita
bergantung populasi, dan dari persamaan (3.8) dapat diidentifikasikan ( )
sebagai
( ) (
)
Dapat dilihat bahwa ( ) suatu fungsi linear dari , dan akan mendekati
nol jika populasi mendekati kapasitas tampung . ( ) mendekati saat jumlah
populasi mendekati nol. Bentuk ini dapat disamakan sebagai garis lurus, yang
melewati titik- titik saat dan saat . Jika maka
kita mempunyai dan populasi ( ) menurun mendekati kapasitasnya.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 81
68
Gambar 3.4: Grafik untuk populasi tingkat pertumbuhan per-kapita dinyatakan
sebagai garis lurus.
3.3.4 Penyelesaian Equilibrium dan Kestabilan
Dengan melihat persamaan (3.2) sangat tepat untuk memodelkan
pertumbuhan populasi dalam kondisi ideal. Namun juga harus dikenali bahwa,
sebuah lingkungan memiliki sumber daya yang terbatas. Banyak populasi dimulai
dengan bertambah secara eksponensial, tetapi grafik populasi tersebut akan
mendatar pada saat populasi tersebut mendekati (kapasitas tampung) atau
menurun menuju jika populasi tersebut melampaui .
(
*
Ingat bahwa apabila nilai jauh lebih kecil dibandingkan , maka ⁄
mendekati 0 sehingga ⁄ . Jika maka ⁄ bernilai negatif
sehingga ⁄ .
Ada dua kemungkinan penyelesaian equilibrium yang memenuhi
persamaan di atas yaitu dan , karena pada kedua kasus tersebut,
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 82
69
salah satu faktor pada bagian sebelah kanan adalah nol. Jika populasi tersebut
adalah 0 atau besarnya sama dengan (kapasitas tampung), maka populasinya
akan tetap sama. Dua solusi konstanta ini disebut dengan solusi keseimbangan
(ekuilibrium). Jika populasi awal ( ) berada antara dan maka ruas kanan
persamaan di atas bernilai positif, sehingga ⁄ dan populasinya
meningkat. Akan tetapi jika populasi tersebut melampaui kapasitas tampungnya
( ), maka ⁄ bernilai negatif, sehingga ⁄ dan populasinya
menurun. Ingat bahwa pada kedua kasus ini, jika populasinya mendekati kapasitas
tampung ( ), maka ⁄ , sehingga populasinya cenderung tidak akan
berubah. Jadi, diperkirakan bahwa solusi persamaan diferensial logistik tersebut
memiliki grafik seperti di bawah ini:
Gambar 3.5: Grafik yang menunjukkan solusi kesetimbangan.
Tampak bahwa pada gambar 3.5, untuk grafik bergerak menjauh dari
solusi kesetimbangan dan bergerak ke arah solusi kesetimbangan .
Untuk mengetahui kecekungan pada grafik fungsi di atas maka diperlukan analisis
turunan kedua dari , yaitu
X=K
X=0
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 83
70
(
* (
* (
*
Dengan menggunakan Teorema Kecekungan (Teorema 2.4.12) pada kalkulus,
maka diperoleh hasil bahwa
1. Jika , maka
dan cekung ke atas.
2. Jika , maka dan
cekung ke bawah.
Sebagai contoh untuk dan , maka grafiknya menjadi:
Gambar 3.6: Grafik untuk model petumbuhan logistik.
3.4 Model Pertumbuhan Terbatas dengan Pemanenan
Pada perindustrian pengaruh pemanenan pada suatu populasi secara teratur
sangatlah penting. Salah satu contohnya adalah industri perikanan. Dengan adanya
model matematika, industri dapat memperhitungkan waktu yang tepat untuk
memanen ikan. Dengan demikian keuntungan yang diperoleh juga akan maksimal.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 84
71
3.4.1 Merumuskan persamaan
Model logistik untuk laju panenan yang konstan
{
} ,
- {
}
{
} {
} (3.9)
Jika ( ) adalah laju pertumbuhan dengan daya dukung lingkungan yang
bergantung waktu, dan adalah laju panenan yang konstan (banyaknya tangkapan
per satuan waktu atau kematian akibat panen per satuan waktu). Sehingga
diperoleh persamaan model pemanenan sebagai berikut:
( )
di mana ( ) (
) sehingga persamaan differensialnya menjadi:
(
) (3.10)
3.4.2 Penyelesaian persamaan diferensial
Pertama – tama persamaan di atas dapat ditulis dalam bentuk pemfaktoran
(
*
dengan dan konstan positif.
(
)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 85
72
Untuk menghasilkan real, maka hanya akan dibahas dua kasus:
a. Jika ( ) ⁄ maka ( ) ⁄ . Diperoleh
⁄ .
Sehingga
mempunyai 2 akar real, yaitu :
√
√
dan
√
Penyelesaian dapat ditulis sebagai
∫
(
)
∫
Integral dapat dihitung dengan memecah integran menjadi jumlah dua pecahan
parsial yang berbentuk
( ) ( )
( )( )
Maka diperoleh
( ) ( )
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 86
73
( ) ( )
Ambil maka
Ambil ( ) maka ( ) , sehingga diperoleh
(
√
)
(
√
)
Karena , maka
(
√
)
(
√
)
( ( √
) ( √
))
( √
√
)
√
√
√
dan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 87
74
√
Pecahan parsial yang dimaksud adalah
√
√
( )√
( )√
Kemudian semua ruas diintegralkan
∫
∫
( )√
∫
( )√
∫
√
∫
( )
√
∫
( )
Misal :
maka,
∫
√
∫
√
∫
∫
√
√
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 88
75
∫
( )
√
( )
√
∫
( ) ( )
√
Jadi diperoleh
∫
( )( )
√
maka,
∫
(
)
∫
∫
( )
∫
| || |
√
| |
| |
√
√
| |
| |
dengan √
| |
| |
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 89
76
dengam .
| | ( | | )
( )
( )
Jadi, diperoleh persamaan
( ) (3.11)
b. Jika ( ) ⁄ maka ( ) ⁄ .
Diperoleh ⁄
Sehingga,
mempunyai akar kembar, yaitu :
Untuk
, maka
√
Karena mempunyai akar kembar, maka penyelesaiannya adalah
∫
∫
( )
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 90
77
Misal:
∫
∫
∫
(
*
∫
(
)
Sehingga
∫
(
)
∫
∫
∫
(
)
(
) (
) (
)
Sehingga diperoleh persamaan:
( )
(3.12)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 91
78
3.4.3 Contoh untuk pertumbuhan terbatas pada pemanenan
Misal:
, ⁄ , ( )
Selesaikan persamaan diferensial berikut ini!
(
*
Penyelesaian:
( )
( )( )
Persamaan di atas dapat ditulis sebagai berikut:
∫
( )( ) ∫
Integral dapat ditulis dengan memecah integran menjadi jumlah dua pecahan
parsial yang berbentuk
( )( )
( )
( )
Kedua ruas dikalikan ( )( ) maka dihasilkan
( ) ( )
( ) ( )
Untuk menentukan A, ambil ( ) maka , sehingga diperoleh
⁄ .
Untuk menentukan B, ambil ( ) , substitusikan dengan maka
, sehingga diperoleh ⁄ .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 92
79
Pecahan parsial yang dimaksud adalah
( )( )
( )
( )
( )( )
(
( )
( )*
Kemudian semua ruas diintegralkan
∫
( )( )
∫(
( )
( )* ∫
∫(
( )* ∫(
( )*
∫
( ( ) ( ))
|
| ⁄
Di mana c adalah konstan. Dimisalkan , maka
|
| ⁄
Sekarang disubstitusikan untuk kondisi awal
|
|
maka penyelesaiannya adalah
( ) ⁄
⁄
Sehingga persamaannya menjadi
( ) |
| ⁄
| | ⁄
●
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 93
80
BAB IV
APLIKASI MODEL
4.1 Pendahuluan
Dalam menjelaskan proses pemodelan pada bab 3, dijelaskan tentang
bagaimana merumuskan suatu model matematika dari masalah yang terjadi pada
bidang biologi berdasarkan data-data yang didapat. Model matematika seringkali
berbentuk persamaan diferensial, yakni, sebuah persamaan yang mengandung
suatu fungsi yang tak diketahui dan beberapa turunannya.
Di dalam dunia nyata sering dijumpai bahwa perubahan-perubahan telah
terjadi dan ingin meramalkan perilaku pada waktu yang akan datang berdasarkan
pada berubahnya nilai-nilai sekarang. Sekarang akan dimulai dengan mempelajari
beberapa contoh tentang bagaimana persamaan diferensial muncul ketika
memodelkan fenomena biologi. Beberapa contoh yang akan dibahas dalam
makalah ini diantaranya adalah model penyebaran teknologi, model kepadatan
bergantung pada kelahiran, model panenan, model memancing dengan kuota
tertentu.
4.2 Memodelkan Perkembangan Teknologi
Model untuk perkembangan teknologi sangat mirip dengan model
pertumbuhan populasi logistik. Misalkan ( ) merupakan jumlah orang yang
mengikuti perkembangan teknologi. Maka ( ) memenuhi persamaan diferensial
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 94
81
(
*
di mana adalah total populasi orang. Ini diasumsikan bahwa laju penerimaan
perkembangan teknologi sebanding dengan jumlah orang yang mengikuti
perkembangan teknologi dan jumlah populasi orang yang tidak mengikuti
perkembangan teknologi.
a. Akan dicari bentuk yang berhubungan dengan populasi yang tidak mengikuti
perkembangan teknologi, yaitu
(
*
Dari persamaan di atas dapat dilihat bahwa populasi yang tidak mengikuti
perkembangan teknologi adalah ⁄ .
b. Misal , , . Akan dicari berapa lama waktu
yang dibutuhkan agar perkembangan teknologi itu menyebar ke dari
populasi, yaitu
Persamaan di atas sesuai dengan bentuk umum persamaan diferensial Bernouli
( ) ( )
Misal:
( )
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 95
82
( )
Persamaan di atas diubah ke
(turunan rantai)
Kedua ruas dikalikan
Langkah selanjutnya menggunakan persamaan diferensial linear tingkat 1
( ) , sehingga faktor pengintegral menjadi ( ) ∫ .
Kedua ruas dikalikan , maka persamaan menjadi:
Ruas kiri dari persamaan di atas menghasilkan diferensial hasil kali:
( )
Sehingga persamaan menjadi
( )
Kedua ruas diintegralkan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 96
83
∫ ( )
∫
(
*
Maka rumusnya menjadi
Pada saat maka persamaan menjadi
( )
Sehingga, lamanya waktu yang diperoleh yaitu
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 97
84
( )
( )
Jadi, lamanya waktu yang dibutuhkan agar perkembangan teknologi itu menyebar
ke 80% dari populasi adalah tahun.
4.3 Kepadatan bergantung pada kelahiran.
Banyak populasi berkurang tingkat kelahiran per-kapitanya ketika
kepadatan populasinya bertambah, sedemikian sehingga akan bertambahnya
tingkat kematian per-kapita.
Misal:
Kepadatan bergantung pada tingkat kelahiran ( )
Kepadatan bergantung pada tingkat kematian ( )
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 98
85
Diberikan dengan
( ) ( )
dan
( ) ( )( )
dengan adalah kapasitas dari populasi, adalah tingkat kelahiran per-kapita,
adalah tingkat kematian per-kapita dan , di mana adalah parameter
yang menyatakan derajat kepadatan bergantung kelahiran atau kematian.
Akan ditunjukkan bahwa bentuk tersebut ekuivalen dengan persamaan diferensial
logistik
(
*
Persamaan diferensial yang didapat untuk model ini adalah
( ) ( )
.( ( )
* ( ( )( )
*/
.
( ( )
*/
.
(
*/
(
*
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 99
86
(
*
( ( ) ( )
*
( ) (
*
( ) (
*
Misal: ( ) , maka
(
*
Jadi terbukti bahwa ( ) dan ( ) ekuivalen dengan persamaan diferensial
logistik.
4.4 Model Panenan
Diberikan model pemanenan dari subbab 3.3,
(
*
a. Akan ditunjukkan bahwa terdapat kesetimbangan tak nol, dengan nilai yang
lebih besar diberikan oleh
( √
)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 100
87
Maka penyelesaiannya yaitu
Kesetimbangan terjadi di mana ⁄
(
*
(
*
Kemudian dicari nilai dengan rumus ABC.
√
√
√
√
√
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 101
88
( √
)
Diperoleh hasil
. √
/ dan
. √
/
Kemudian akan dihitung nilai dari populasi kesetimbangan dengan ,
dan ⁄ .
Untuk
( √
)
( √
⁄
)
Untuk
( √
)
( √
⁄
)
b. Jika laju pemanenan lebih besar dari suatu nilai kritis ⁄ , maka
nilai kesetimbangan tak nol tidak ada dan populasi cenderung punah.
4.5 Memancing dengan batasan.
Bencana yang disebabkan oleh pemancingan yang berlebihan akan
menyebabkan punahnya populasi, pemerintah mengenakan batasan yang
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 102
89
bervariasi bergantung pada perkiraan populasi pada suatu waktu tertentu. Jika
fungsi ( ) adalah fungsi linear dari ukuran populasi ( ) ( ) modelnya
yaitu
( )
(
)
Jenis panenan ini disebut sebanding atau upaya panenan yang konstans. Ini
muncul dalam model perikanan, di mana ini sering diasumsikan bahwa , jumlah
dari tangkapan ikan per satuan waktu, adalah sebanding dengan , upaya dalam
menangkap ikan. Upaya menangkap ikan ini mungkin terukur, sebagai contoh,
jumlah dari sampan untuk menangkap ikan pada waktu yang diberikan.
Asumsinya bahwa tangkapannya sebanding dengan upaya yang mungkin
ditanyakan berdasarkan bahwa upaya lebih keras per tangkapan ikan mungkin
diperlukan jika populasi ikan sangat kecil, tetapi ini menimbulkan hipotesis yang
masuk akal untuk kebanyakan perikanan yang nyata.
Jika populasinya diatur oleh model logistik model panenannya adalah
(
)
a. Akan ditunjukkan bahwa satu-satunya kesetimbangan tak nol, yaitu
(
*
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 103
90
Maka penyelesaiannya adalah
(
)
( )
.
( )/
Sehingga diperoleh dua kesetimbangan yaitu
( )
( )
( )
( )
(
*
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 104
91
Jadi, terbukti bahwa satu-satunya kesetimbangan tak nol adalah
(
*
b. Laju pemanenan dapat menjadi punah jika
dengan
(
)
maka
(
)
atau
(
( ))
Sehingga laju pemanenan dapat menjadi punah jika (
).
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 105
92
BAB V
PENUTUP
A. Kesimpulan
Pertumbuhan populasi tunggal dapat diselesaikan dengan beberapa
macam model pertumbuhan yaitu model pertumbuhan eksponensial, model
pertumbuhan logistik dan model pertumbuhan terbatas dengan panenan.
1. Model Pertumbuhan Eksponensial
Pada model pertumbuhan eksponensial, individu berkembang dengan
tidak dibatasi oleh lingkungan seperti persaingan antar individu dan
keterbatasan suplai makanan. Seperti yang sudah dijelaskan dalam bab III
subbab 3.2, model populasinya dapat digambarkan ke dalam persamaan
seperti di bawah ini
Dengan ( ) adalah jumlah populasi pada saat dan populasi awal bernilai
. adalah tingkat kelahiran per-kapita dan adalah tingkat kematian per-
kapita. Dalam model pertumbuhan eksponensial ini dihasilkan solusi yang
berbentuk fungsi monoton (naik atau turun), di mana dapat ditafsirkan bahwa
jumlah populasi akan terus bertambah (tidak pernah berkurang) atau akan
terus berkurang (tidak pernah bertambah).
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 106
93
2. Model Pertumbuhan Logistik
Model pertumbuhan logistik adalah pengembangan dari model
eksponensial. Model populasinya dapat digambarkan dalam persamaan di
bawah ini
(
*
Persamaan di atas adalah persamaan logistik yang memperhitungkan
pertumbuhan bergantung pada kepadatan. Model ini memasukkan batas untuk
populasinya sehingga jumlah populasinya tidak akan tumbuh secara tak
berhingga. Laju pertumbuhan populasinya terbatas pada lingkungan yang
meliputi ketersediaan makanan, tempat tinggal dan sumber hidup lainnya.
Dengan demikian, jumlah populasinya akan selalu terbatas pada suatu nilai
tertentu.
3. Model Pertumbuhan Terbatas dengan Pemanenan.
Laju pertumbuhan pada model logistik dengan daya dukung
lingkungan merupakan fungsi dari waktu, dan memberikan hasil yang berbeda
dengan tingkat pertumbuhan pada model logistik dengan daya dukung
konstan. Perbedaan tingkat pertumbuhan ini akan mempengaruhi perbedaan
besarnya populasi pada saat yang sama sehingga akan mempengaruhi
besarnya hasil panen. Model populasinya dapat digambarkan dalam
persamaan di bawah ini
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 107
94
( )
Dengan ( ) (
) adalah laju pertumbuhan dengan daya dukung
lingkungan yang bergantung waktu dan adalah laju panenan yang konstan.
B. Saran
Berdasarkan hasil pembahasan dan proses penulisan Tugas Akhir ini,
terdapat beberapa saran yang akan dikemukakan, yaitu:
1. Pada model pertumbuhan logistik, pertumbuhan tidak hanya secara
kontinu saja, tetapi juga bisa secara diskret.
2. Model pertumbuhan tidak hanya bisa diselesaikan dengan ketiga cara
seperti di atas, tetapi juga bisa dengan model pertumbuhan dengan waktu
tunda.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Page 108
95
DAFTAR PUSTAKA
1. Barnes, B. & G. Robert-Fulford. 2009. Mathematical Modelling With Case
Studies. Cambridge: Cambridge University Press.
2. Brauer, F. & C. Castillooo-Chaves. 2001. Mathematical Models in Population
Biology and Epidemology. NY: Springer-Verlag.
3. Murray, J.D. 1993. Mathematical Biology. SpringerVerlag, Heidelberg Berlin.
4. Purcell, E.J., Dale Varberg & Steven E.Rigdon. 2003. Kalkulus.
Edisi ke-Delapan. Jakarta: Penerbit Erlangga.
5. Stewart, James. 2011. Kalkulus. Edisi ke-Lima. Jakarta: Penerbit Salemba
Teknika.
6. Wrede, R. & Murray R.Spiegel. 2007. Kalkulus Lanjut. Edisi ke-Dua.
Jakarta: Penerbit Erlangga.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI