Model Optimalisasi Jaringan Max Flow

Model Optimalisasi Jaringan

Lima Jenis Masalah Jaringan yang Penting

1. Masalah lintasan terpendek

2. Masalah minimum spanning tree

3. Masalah aliran maksimum

4. Masalah aliran biaya minimum

5. Metode jaringan untuk mengoptimalkan suatu projek

pertukaran antara waktu dan biaya

Contoh

Gambar. Sistem jalan pada Seervada ParkKeterangan :

O: gerbang masuk taman; T: stasiun yang mempunyai tempat yang indah; A, B, C, D, E: stasiun lainnya yang dengan fasilitas terbatas.

O

A

B

C

D

E

T2

5

4

4

13

72

45

71

Tiga masalah pada sistem jalan Seervada Park.

1. Menentukan rute dari pintu gerbang O ke stasiun T. Menggunakan jarak

terpendek.

2. Jaringan telpon harus ditanam di dalam tanah untuk menciptakan

komunikasi telpon diantara semua stasiun termasuk pintu gerbang.

Menggunakan masalah minimum spanning tree.

3. Pada musim liburan, banyak orang ingin naik trem dari O ke T sehingga

melebihi kapasitas. Banyaknya trem di setiap lintasan dibatasi

perharinya, sehingga rute akan beroperasi tanpa mempertimbangkan

jarak. Menggunakan masalah aliran maksimum.

Terminologi pada Jaringan

Gambar Jaringan distribusi Unlimited Co.

Jaringan terdiri dari :

• Simpul, ditunjukan oleh lingkaran A, B, C, D, dan E.

• Busur atau cabang, pada gambar diatas ada 7 busur. Diberinama menggunakan simpul yang dihubungkannya misal AC, AB, DE.

A

B

C

D

E

• Busur yang mengalir satu arah disebut busur terarah. Misal AC.

• Jika busur diperbolehkan mengalir pada dua arah disebut busur tak

berarah sering disebut link.

• Jaringan yang hanya mempunyai busur terarah disebut jaringan terarah.

Jaringan yang semua busurnya tak terarah disebut jaringan tak terarah.

• Jaringan yang memiliki busur campuran atau semuanya tidak terarah dapat

dikonversi menjadi jaringan terarah.

• Lintasan antara 2 simpul adalah sejumlah urutan busur yang

menghubungkan kedua simpul tersebut. Contoh lintasan yang

menghubungkan O dan T.

• Lintasan terarah dari simpul i ke j adalah sejumlah busur

penghubung yang arahnya menuju simpul j. Misal A B C

E.

• Lintasan tak terarah dari simpul i ke j adalah sejumlah busur

penghubung yang arahnya menuju ataupun menjauhi simpul

j. Misal B C A D.

• Siklus sebuah lintasan yang bermula dan berakhir pada simpul

yang sama.

• Siklus terarah, misal DE ED.

• Siklus tak terarah, misal AB – BC – AC karena ABCA.

Masalah Lintasan TerpendekAlgoritma Masalah Lintasan Terpendek

Tujuan pada iterasi ke-n: menemukan simpul ke-n yang terdekat dengan simpul asal

(diulang untuk n=1,2,3,…) sampai simpul terdekat ke-n menjadi tujuannya.

Input pada iterasi ke-n: Simpul n-1 yang terdekat dengan simpul asal (diselesaikan pada

iterasi sebelumnya), lintasan dan jaraknya dari simpul asal yang terpendek.[simpul-

simpul ini termasuk simpul asal disebut simpul terselesaikan].

Kandidat untuk simpul terdekat ke-n: setiap simpul terselesaikan yang terhubung langsung

melalui sebuah link ke satu atau lebih simpul tak terselesaikan, memberikan satu

kandidat-yaitu simpul tak terselesaikan dengan link penghubung terpendek.

Penghitungan simpul terdekat ke-n: Untuk setiap simpul terselesaikan dan kandidatnya,

tambahkan jarak diantaranya dan jarak lintasan terpendek dari simpul asal sampai

simpul terselesaikan. Kandidat dengan total jarak terkecil adalah simpul terdekat ke-n,

dan lintasan terpendek adalah yang menghasilkan jarak ini.

Penerapan Algoritma Lintasan Terpendek ke Masalah Seervada Park.

n

Simpul Terselesaikan yang terhubung secara langsung

dengan Simpul TakTerselesaikan

Simpul TakTerselesaikan yang Terhubung Paling

Dekat

Total JarakSimpul

Terdekat ke-n

Jarak MinimumHubunganTerakhir

1 O A 2 A 2 OA

2,3

O C 4 C 4 OC

A B 2 + 2 = 4 B 4 AB

4

A D 2 + 7 = 9

E 7 BEB E 2+2+3=7

C E 4+4=8

5

A D 5+4=9

B D 2+2+4=8 D 8 BD

E D 2+2+3+1=8 D 8 ED

6

D T 2+2+4+5=13

T 13 DTE T 2+2+3+7=14

Lintasan terpendek: TDEBAO atau TDBAO ( dilihat dari tujuan)

Penerapan Lainnya :

1. Minimalisasi total jarak tempuh seperti pada contoh.

2. Minimalisasi total biaya

3. Minimalisasi total waktu

Masalah Minimum Spanning Tree

Gambar. Bukan spanning tree

O

A

B

C

D

E

T

Masalah Minimum Spanning Tree

Gambar. Bukan spanning tree

O

A

B

C

D

E

T

Masalah Minimum Spanning Tree

Gambar. Spanning tree

O

A

B

C

D

E

T

Algoritma Masalah Minimum Spanning Tree

1. Pilih sebuah simpul secara sembarang, kemudian hubungkan

simpul tersebut, yaitu tambahkan link ke simpul yang

tertentu yang terdekat.

2. Temukan simpul tak terhubung yang terdekat pada simpul

terhubung dan kemudian hubungkan simpul tersebut. Ulangi

langkah ini sampai semua simpul tersambung.

3. Memecah pertalian, Bila terjadi seri untuk simpul terdekat

tertentu ( langkah 1), atau simpul tak terhubung terdekat

(langkah 2) boleh dihubungkan sembarang.

• Contoh penerapan pada Seervada Park

O

A

B

C

D

E

T2

5

4

4

13

72

45

71

• Contoh penerapan pada Seervada Park

O

A

B

C

D

E

T2

5

4

4

13

72

45

71

• Contoh penerapan pada Seervada Park

O

A

B

C

D

E

T2

5

4

4

13

72

45

71

• Contoh penerapan pada Seervada Park

O

A

B

C

D

E

T2

5

4

4

13

72

45

71

• Contoh penerapan pada Seervada Park

O

A

B

C

D

E

T2

5

4

4

13

72

45

71

• Contoh penerapan pada Seervada Park

O

A

B

C

D

E

T2

5

4

4

13

72

45

71

Masalah Aliran Maksimum

O

A

B

C

D

E

T5

7

4

4

25

31

49

61

Gambar. Masalah Aliran Maksimum pada Seervada Park

Algoritma Augmenting Path untuk Masalah Aliran Maksimum

1. Cari augmenting path dengan menemukan beberapa lintasan terarah dari

sumber ke sasaran pada jaringan residual dimana setiap busur pada lintasan

in memiliki kapasitas residual positif.

2. Cari kapasitas residual c* setiap busur pada augmenting path tersebut

dengan menemukan kapasitas residual minimum dari busur pada jalur ini.

Tambahkan aliran pada jalur ini sebedar c*.

3. Kurangi kapasitas residual dari setiap busur pada augmenting path ini.

Tambahkan kapasitas residual sebesar c* setiap busur ini pada arah

berlawanan dengan augmenting path tersebut. Kembali ke langkah 1.

Penerapan Algoritma pada Aliran Maksimum SeervadaPark

Iterasi 1: Satu dari beberapa lintasan adalah OBET yang mempunyai

kapasitas residual min{7,5,6}=5. Dengan menggunakan aliran residual

sebesar 5 dihasilkan :

O

A

B

C

D

E

T5

2

04

20

3

1

49 5

1

5

51

5

50

0 0

0

0

0

4

0

0

Penerapan Algoritma pada Aliran Maksimum SeervadaPark

Iterasi 2: Tugaskan aliran sebesar 3 ke augmenting path OADT. Jaringan

residual yang dihasilkan adalah:

O

A

B

C

D

E

T2

2

04

20

0

1

46 5

1

5

51

8

83

3 3

0

0

0

4

0

0

Penerapan Algoritma pada Aliran Maksimum SeervadaPark

Iterasi 3: Tugaskan aliran sebesar 1 ke augmenting path OABDT.

Jaringan residual yang dihasilkan adalah:

O

A

B

C

D

E

T1

2

04

20

0

0

35 5

1

5

51

9

94

3 4

1

0

0

4

0

1

Penerapan Algoritma pada Aliran Maksimum SeervadaPark

Iterasi 4: Tugaskan aliran sebesar 2 ke augmenting path OBDT. Jaringan

residual yang dihasilkan adalah:

O

A

B

C

D

E

T1

0

04

20

0

0

13 5

1

7

51

11

114

3 6

3

0

0

4

0

1

Penerapan Algoritma pada Aliran Maksimum SeervadaPark

Iterasi 5: Tugaskan aliran sebesar 1 ke augmenting path OCEDT.

Jaringan residual yang dihasilkan adalah:

O

A

B

C

D

E

T1

0

13

20

0

0

12 5

0

7

51

12

124

3 7

3

1

0

3

1

1

Penerapan Algoritma pada Aliran Maksimum SeervadaPark

Iterasi 6: Tugaskan aliran sebesar 1 ke augmenting path OCET. Jaringan

residual yang dihasilkan adalah:

O

A

B

C

D

E

T1

0

22

20

0

0

12 6

0

7

50

13

134

3 7

3

1

0

2

2

1

Penerapan Algoritma pada Aliran Maksimum SeervadaPark

Iterasi 7: Tugaskan aliran sebesar 1 ke augmenting path OCEBDT.

Jaringan residual yang dihasilkan adalah:

O

A

B

C

D

E

T1

0

31

21

0

0

01 6

0

7

40

14

144

3 8

4

1

0

1

3

1

Penerapan Algoritma pada Aliran Maksimum SeervadaPark

Solusi Optimal :

O

A

B

C

D

E

T

3

2

67

4

14

144

3 8

4

1

3

1

Masalah Aliran Biaya Minimum

Contoh :

A

B

C

D

E

[50]

[40]

[-30]

[-60]

2 32

4

31

0

9

(uAB=10)

(uCE=80)