-
i
MODEL MATEMATIS
UNTUK PENYEBARAN PENYAKIT TIDUR
MAKALAH
Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat
Memperoleh Gelar Sarjana Sains
Program Studi Matematika
Disusun oleh:
Fransisca Ratri Susanti
NIM: 103114010
PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UNIVERSITAS SANATA DHARMA
YOGYAKARTA
2014
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
ii
A MATHEMATICAL MODEL FOR THE SPREAD
OF SLEEPING SICKNESS
A PAPER
Presented As Partial Fulfillment of the Requirements
To Obtain the Sarjana Sains Degree of
Mathematics Study Program
Written by:
Fransisca Ratri Susanti
Student ID: 103114010
MATHEMATICS STUDY PROGRAM MATHEMATICS DEPARTMENT
FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGI
SANATA DHARMA UNIVERSITY
YOGYAKARTA
2014
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
iii
MAKALAH
MODEL MATEMATIS
UNTUK PENYEBARAN PENYAKIT TIDUR
Disusun oleh:
Fransisca Ratri Susanti
NIM : 103114010
Telah disetujui oleh:
Dosen Pembimbing Makalah,
(Lusia Krismiyati Budiasih, S.Si., M.Si.) Tanggal: 22 Juli
2014
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
iv
MAKALAH
MODEL MATEMATIS
UNTUK PENYEBARAN PENYAKIT TIDUR
Dipersiapkan dan ditulis oleh:
Fransisca Ratri Susanti
103114010
Telah dipertahankan di depan Panitia Penguji
pada tanggal 23 Juli 2014
dan dinyatakan telah memenuhi syarat
Susunan Panitia Penguji
Nama Lengkap Tanda Tangan
Ketua Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc. …………….
Sekretaris Sudi Mungkasi, S.Si., M.Math.Sc., Ph.D. …………….
Anggota Lusia Krismiyati Budiasih, S.Si., M.Si. …………….
Yogyakarta, 26 Agustus 2014
Fakultas Sains dan Teknologi
Universitas Sanata Dharma
Dekan,
P.H. Prima Rosa, S.Si., M.Sc
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
v
HALAMAN PERSEMBAHAN
“Janganlah hendaknya kamu kuatir tentang apapun juga, tetapi
nyatakanlah dalam segala hal keinginanmu kepada Allah dalam
doa dan permohonan dengan ucapan syukur.” (Filipi 4:6)
tugas akhir ini kupersembahkan kepada
Keluarga, Sahabat, Teman dan Paguyuban
yang telah memberi dukungan, semangat serta doa
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
vi
PERNYATAAN KEASLIAN KARYA
Saya menyatakan dengan sesungguhnya bahwa makalah yang saya
tulis ini tidak
memuat karya atau bagian karya orang lain, kecuali yang telah
disebutkan dalam
kutipan dan daftar pustaka, sebagaimana layaknya karya
ilmiah.
Yogyakarta, 22 Juli 2014
Penulis,
Fransisca Ratri Susanti
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
vii
ABTRAK
Penyakit tidur adalah penyakit yang disebabkan oleh parasit
trypanomiasis
yang dapat menginfeksi manusia melalui gigitan lalat tsetse.
Penyebaran lalat
tsetse dapat diilustrasikan dalam model matematika yang
bergantung pada
populasi lalat dan manusia dengan asumsi-asumsi tertentu. Model
tersebut berupa
suatu sistem persamaan diferensial dengan lima variabel, yang
menyatakan
banyaknya vektor pada masa inkubasi, banyaknya vektor
terinfeksi, banyaknya
vektor rentan, banyaknya manusia terinfeksi dan banyaknya
manusia sembuh.
Sistem persamaan diferensial dapat diselesaikan secara numeris
dengan
menggunakan metode Runge-Kutta.
Banyaknya vektor pada masa inkubasi dan terinfeksi mengalami
penurunan dan stabil mendekati nol. Banyaknya vektor rentan
mengalami
kenaikan yang cukup tinggi dan konvergen menuju ke titik
kritisnya. Banyaknya
manusia terinfeksi dan banyaknya manusia sembuh pada awalnya
mengalami
kenaikan, namun pada waktu tertentu banyaknya manusia terinfeksi
dan sembuh
mengalami penurunan mendekati nol dan banyaknya manusia kembali
pada
kelompok rentan.
Kata Kunci: penyebaran penyakit tidur, sistem persamaan
diferensial, titik
kesetimbangan, kestabilan, metode Runge-Kutta
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
viii
ABSTRACT
Sleeping sickness is a disease caused by a trypanomiasis
parasite which
can infectious human by the biting tsetse fly. The spread of
tsetse fly can be
illustrated in a mathematical model which dependent on the
population of flies
and humans with certain assumptions. The model is in the form of
a system of
differential equations with five variables, which specifies the
number of
incubating vectors, the number of infected vectors, the number
of susceptible
vectors, the number of infected humans and the number of removed
humans.
System of differential equations can be solved numerically using
the Runge-Kutta
method.
The number of incubating vectors and infected has decreased and
stable
approach to zero. The number of susceptible vectors has to high
increase and
converges toward the critical point. At the number of infected
and the number of
removed humans at the beginning increase, but at certain times
the number of
humans infected and removed decreased approach to zero and the
number of
humans return to the susceptible stage.
Keywords: spread sleeping sickness, system of differential
equations,
equilibrium point, stability, Runge-Kutta method
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
ix
LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN
PUBLIKASI KARYA ILMIAH UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS
Yang bertandatangan di bawah ini, saya mahasiswa Universitas
Sanata Dharma
dengan:
Nama : Fransisca Ratri Susanti
NIM : 103114010
Demi pengembangan ilmu pengetahuan, saya memberikan karya ilmiah
saya
kepada Perpustakaan Universitas Sanata Dharma dengan Judul:
MODEL MATEMATIS UNTUK PENYEBARAN PENYAKIT TIDUR
beserta perangkat yang diperlukan, bila ada. Dengan demikian,
saya memberikan
hak untuk menyimpan, mengalihkan ke dalam bentuk media lain,
mengelolanya
dalam bentuk pangkalan data, mendistribusikannya secara
terbatas, dan
mempublikasikannya di internet atau media lain untuk kepentingan
akademis
tanpa perlu meminta izin dari saya maupun memberikan royalti
kepada saya
selama tetap mencantumkan nama saya sebagai penulis kepada
Perpustakaan
Universitas Sanata Dharma.
Demikian pernyataan ini saya buat dengan sebenarnya.
Dibuat di Yogyakarta
Pada tanggal 22 Juli 2014
Yang menyatakan,
Fransisca Ratri Susanti
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
x
KATA PENGANTAR
Puji dan Syukur kepada Tuhan Yang Maha Esa, atas segala berkat
dan
Rahmat-Nya yang diberikan, sehingga dapat menyelesaikan makalah
ini.
Dalam menulis makalah ini, penulis menemukan banyak kesulitan,
namun
atas bantuan dan dukungan dari banyak pihak akhirnya penulis
dapat
menyelesaikan makalah ini. Oleh karena itu, penulis ingin
mengucapkan terima
kasih kepada:
1. Ibu Paulina Heruningsih Prima Rosa, S.Si., M.Sc., selaku
Dekan Fakultas
Sains dan Teknologi, Universitas Sanata Dharma.
2. Bapak Y.G. Hartono, S.Si., M.Sc., Ph.D., selaku Ketua Program
Studi
Matematika yang sudah membantu dalam proses menyusun makalah
ini.
3. Ibu Lusia Krismiyati Budiasih, S.Si., M.Si., selaku dosen
pembimbing
makalah yang dengan sabar memberi bimbingan, meluangkan waktu
dan
pikiran dalam menyusun makalah ini.
4. Bapak Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc., selaku dosen pembimbing
akademik
sekaligus dosen penguji yang telah memberikan masukan dan saran
atas topik
untuk makalah ini.
5. Bapak Sudi Mungkasi, S.Si., M.Math.Sc., Ph.D., selaku dosen
penguji yang
telah memberikan pengarahan dan sarannya untuk makalah ini.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
xi
6. Bapak dan Ibu dosen Program Studi Matematika telah memberikan
ilmu yang
sangat bermanfaat bagi penulis.
7. Keluarga dan sahabat yang telah memberikan dukungan dalam
segala hal.
8. Teman-teman seperjuangan Prodi Matematika angkatan 2010
dalam
kebersamaan, semangat, doa dan segala bantuan kepada
penulis.
9. Kakak-kakak dan adik-adik angkatan mahasiswa Matematika yang
turut
memberikan semangat, doa dan segala bantuan kepada penulis.
10. Semua pihak yang tidak dapat disebutkan satu per satu, yang
telah berperan
dalam penulisan makalah ini.
Yogyakarta, 22 Juli 2014
Penulis
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
xii
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL
..........................................................................................
i
HALAMAN JUDUL DALAM BAHASA INGGRIS
........................................ ii
HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING
................................................. iii
HALAMAN PENGESAHAN
............................................................................
iv
HALAMAN PERSEMBAHAN
.........................................................................
v
PERNYATAAN KEASLIAN KARYA
.............................................................
vi
ABSTRAK
.....................................................................................................
vii
ABSTRACT
.....................................................................................................
viii
PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH ................
ix
KATA PENGANTAR
........................................................................................
x
DAFTAR ISI
.....................................................................................................
xii
DAFTAR TABEL
...............................................................................................
xiv
DAFTAR GAMBAR
..........................................................................................
xv
BAB I PENDAHULUAN
.....................................................................................
1
A. Latar Belakang
..........................................................................................
1
B. Rumusan Masalah
.....................................................................................
3
C. Batasan Masalah
.......................................................................................
4
D. Tujuan Penulisan
.......................................................................................
4
E. Manfaat Penulisan
.....................................................................................
4
F. Metode Penulisan
......................................................................................
4
G. Sistematika Penulisan
...............................................................................
5
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
xiii
BAB II LANDASAN TEORI
...............................................................................
7
A. Sistem Linear dan
Matriks.........................................................................
7
B. Sistem Persamaan Diferensial
...................................................................
16
C. Metode Runge kutta
..................................................................................
40
BAB III MODEL PENYEBARAN PENYAKIT
................................................. 44
A. Penyebaran Penyakit Tidur
.......................................................................
44
B. Model Kompartemen
................................................................................
46
C. Model Matematika Tentang Gigitan Vektor
............................................. 51
D. Dinamika Populasi Vektor
........................................................................
54
E. Dinamika Populasi Manusia
.....................................................................
74
F. Analisis Dinamika Populasi Vektor dan Manusia
.................................... 79
BAB IV PENUTUP
..............................................................................................
82
A. Kesimpulan
...............................................................................................
82
B. Saran
.......................................................................................................
83
DAFTAR PUSTAKA
...........................................................................................
84
LAMPIRAN
.......................................................................................................
85
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
xiv
DAFTAR TABEL
Tabel 2.1 Sifat Kestabilan
.....................................................................................
33
Tabel 3.1 Nilai Parameter untuk Ilustrasi
.............................................................
60
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
xv
DAFTAR GAMBAR
Gambar 1.1 Lalat Tsetse Tampak dari Atas
.......................................................... 2
Gambar 1.2 Lalat Tsetse Tampak dari Samping
................................................... 2
Gambar 2.1 Grafik Kemiringan Garis Singgung y=f(x)
........................................ 16
Gambar 2.2 Node 0 21
.............................................................................
27
Gambar 2.3 Titik Pelana 0 1 , 02
..............................................................
28
Gambar 2.4 Titik Star 0 21
.......................................................................
29
Gambar 2.5 Improper Node 0 21
..............................................................
29
Gambar 2.6 Titik Spiral 0
.............................................................................
31
Gambar 2.7 Titik Spiral 0
.............................................................................
31
Gambar 2.8 Center i1 , i2
..................................................................
32
Gambar 2.9 Bidang fase x1 dan x2
.........................................................................
40
Gambar 3.1 Siklus Perpindahan Parasit: Manusia dan Lalat
................................ 46
Gambar 3.2 Model Kompartemen Vektor
............................................................ 49
Gambar 3.3 Model Kompartemen Vektor pada Model
........................................ 50
Gambar 3.4 Model Kompartemen Manusia
.......................................................... 50
Gambar 3.5 Bidang Fase aiVV
..............................................................................
67
Gambar 3.6 Bidang Fase siVV
..............................................................................
67
Gambar 3.7 Bidang Fase saVV
..............................................................................
70
Gambar 3.8 Grafik Dinamika Populasi Vektor
..................................................... 73
Gambar 3.9 Grafik Dinamika Populasi Manusia
.................................................. 78
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
xvi
Gambar 3.10 Grafik Dinamika Populasi Vektor dan Manusia
............................. 80
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
1
BAB I
PENDAHULUAN
A. LATAR BELAKANG
Penyakit tidur adalah salah satu penyakit yang menyebar
karena
gigitan lalat. Penyakit tidur yang disebut juga dengan
trypanosomiasis
penularannya melalui gigitan lalat tsetse. Penyakit tidur
menyebar di kawasan
Afrika. Pada tahun 1996, diperkirakan bahwa antara 20.000 dan
25.000 orang
meninggal akibat penyakit tersebut setiap tahunnya, dan risiko
epidemi yang
parah terus ada. Nama penyakit yang terdengar aneh itu tidak
kalah bahayanya
dengan penyakit lain, misal malaria dan AIDS. Penyakit ini
dapat
menyebabkan kematian jika tidak segera diobati, karena terjadi
peradangan
getah bening.
Lalat tsetse sepintas terlihat tidak ada bedanya dengan lalat
lain pada
umumnya. Namun, jika diamati dengan seksama, lalat tsetse masih
dapat
dibedakan. Lalat tsetse memiliki ciri-ciri yang tidak ditemukan
pada lalat lain.
Ciri-ciri tersebut adalah adanya moncong panjang seperti jarum
di kepalanya.
Warna tubuhnya bervariasi antara kecoklatan dan kemerahan.
Panjangnya 6-
15 mm. Menurut Jan A. Rozendaal lalat tsetse betina tidak
bertelur tetapi
menghasilkan larva. Larva berkembang di dalam rahim selama 10
hari dan
disimpan serta tumbuh di tanah lembab atau pasir di
tempat-tempat teduh,
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
2
biasanya di bawah semak-semak, kayu, batu-batu besar dan
menopang akar.
Larva mengubur diri dan segera berubah menjadi pupa. Lalat
muncul 22-60
hari kemudian, tergantung pada suhu. Lalat betina berkembang
biak
menghasilkan larva setiap 10 hari. Masa hidupnya sekitar 30
hingga 90 hari.
Gambar1.1 Lalat Tsetse Tampak dari Atas
Sumber: Wikipedia.org 24 Oktober 2013
Gambar 1.2 Lalat Tsetse Tampak dari Samping
Sumber: Encyclopedia Britannica 24 Oktober 2013
Penyakit tidur menyebar melalui siklus sederhana, seperti
penyebaran
penyakit-penyakit lain yang perantaranya adalah serangga
misalnya malaria.
Ketika lalat tsetse menghisap darah dari orang yang telah
terinfeksi oleh
penyakit tidur, mikroba trypanosome akan ikut terhisap dan
tinggal di dalam
tubuh lalat tsetse. Jika lalat tersebut kemudian menghisap darah
orang yang
sehat, mikroba trypanosome dalam tubuh lalat tsetse tersebut
akan masuk ke
dalam aliran darah dari orang tersebut sehingga orang yang
bersangkutan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
3
menjadi terinfeksi oleh lalat itu. Selain melalui lalat tsetse,
penyakit tidur ini
dapat menular melalui tranfusi darah.
Beberapa metode untuk pencegahan penyakit tidur, antara lain
peningkatan mortalitas lalat yakni penyemprotan menggunakan
insektisida,
penjebakan, pengobatan dan isolasi individu yang terinfeksi. Hal
ini dapat
digunakan untuk upaya pencegahan, karena lalat memiliki harapan
hidup lebih
pendek dan memiliki waktu lebih sedikit untuk menginfeksi
manusia.
Dari fenomena penyebaran parasit penyakit tidur dapat disusun
strategi
pengendalian penyebaran penyakit, sehingga perlu mempelajari
model
penyakit. Pengendalian penyebaran penyakit tidur dapat
dimodelkan dengan
model matematika. Model ini memiliki peran penting dalam
penyebaran
penyakit tidur untuk membantu menyelesaikan masalah tersebut
dengan
asumsi-asumsi tertentu. Model epidemik adalah model matematika
yang dapat
mengontrol dan mengetahui penyebaran penyakit pada suatu daerah
tertentu
dalam waktu singkat dan frekuensi meningkat. Model penyebaran
penyakit
tidur ini menggunakan model yang bersifat stokastik
(probabilistik) karena
tidak adanya informasi keadaan obyek pada masa mendatang secara
pasti.
B. RUMUSAN MASALAH
1. Bagaimana sistem memodelkan penyebaran penyakit tidur pada
lalat dan
manusia?
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
4
2. Bagaimana ilustrasi model matematika penyebaran penyakit
tidur dengan
nilai parameter yang diberikan pada populasi lalat dan
manusia?
C. BATASAN MASALAH
Pembatasan masalah dalam tulisan ini pada kestabilan
penyebaran
penyakit tidur terhadap dinamika populasi vektor dan
manusia.
D. TUJUAN PENULISAN
Tujuan penulisan ini adalah untuk memahami prinsip persamaan
diferensial dengan konsep dinamika populasi dalam memodelkan
penyebaran
penyakit tidur yang diilustrasikan dengan nilai-nilai parameter
yang diberikan.
E. MANFAAT PENULISAN
Manfaat yang dapat diambil dari tulisan ini adalah untuk
memperoleh
pengetahuan tentang penyelesaian numerik permasalahan penyebaran
penyakit
tidur dengan model matematika.
F. METODE PENULISAN
Metode yang digunakan penulis adalah metode studi pustaka, yaitu
dengan
mempelajari jurnal–jurnal serta buku-buku yang berkaitan dengan
model
matematika untuk menyelesaikan masalah penyebaran penyakit tidur
dalam
persamaan diferensial.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
5
G. SISTEMATIKA PENULISAN
BAB I PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
B. Rumusan Masalah
C. Batasan Masalah
D. Tujuan Penulisan
E. Manfaat Penulisan
F. Metode Penulisan
G. Sistematika Penulisan
BAB II LANDASAN TEORI
A. Sistem Linear dan Matriks
B. Sistem Persamaan Diferensial
C. Metode Runge kutta
BAB III MODEL PENYEBARAN PENYAKIT
A. Sistem Linear dan Matriks
B. Model Kompartemen
C. Model Matematika Tentang Gigitan Vektor
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
6
D. Dinamika Populasi Vektor
E. Dinamika Populasi Manusia
F. Analisis Dinamika Populasi Vektor dan Manusia
BAB IV PENUTUP
A. Kesimpulan
B. Saran
DAFTAR PUSTAKA
LAMPIRAN
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
7
BAB II
LANDASAN TEORI
A. SISTEM LINEAR DAN MATRIKS
Definisi 2.1 Sistem Persamaan Linear
Sistem persamaan linear adalah suatu himpunan berhingga dengan m
persamaan
dalam n variabel nxxx ,...,, 21 .
Definisi 2.2 Penyelesaian Sistem persamaan Linear
Suatu bilangan terurut nsss ,...,, 21 disebut penyelesaian dari
sistem jika
nn sxsxsx ,...,, 2211 adalah penyelesaian setiap persamaan pada
sistem.
Matriks adalah suatu susunan bilangan yang berbentuk persegi
panjang.
Cara menuliskan ukuran suatu matriks dengan m baris dan n kolom.
Bentuk
matriks A berukuran m x n dan elemen aij berada pada baris i dan
kolom j
dituliskan seperti di bawah ini:
i
a...a...aa
a...a...aa
a...a...aa
a...a...aa
j
mnmjmm
inijii
nj21
n1j1211
Baris
Kolom
21
21
2222
1
A
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
8
Definisi 2.3 Operasi Baris Elementer
Operasi Baris Elementer terhadap suatu matriks A adalah salah
satu dari yang
berikut:
Operasi I: Kalikan baris i dengan ii RR kk 0
Operasi II: Tukarkan baris i dengan baris j ji RR
Operasi III: Gantilah baris j dengan jumlah antara baris itu
sendiri dengan k kali
baris i jij RRR k
Simbol-simbol di dalam tanda kurung di atas digunakan untuk
menerangkan rincian penyederhanaan baris tertentu. Tanda panah
menandakan
penggantian, iR menyatakan baris ke-i pada matriks yang sedang
disederhakankan,
sedangkan jR menyatakan baris ke-j pada matris yang sama. Proses
pengubahan
suatu matriks menjadi matriks lain melalui pengolahan dasar
baris disebut baris
tereduksi.
Definisi 2.4 Matriks Eselon Baris tereduksi
Matriks Eselon Baris tereduksi ialah suatu matriks yang memenuhi
keempat
sifat berikut:
1) Jika suatu baris matriks mempunyai setidaknya satu elemen
tidak nol, maka
elemen tidak nol yang pertama (kepala baris) adalah 1.
2) Baris nol, jika ada, ditempatkan terakhir.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
9
3) Di dalam dua baris tidak nol yang berurutan, elemen 1 yang
menjadi kepala
baris di baris yang lebih bawah berada lebih ke kanan
dibandingkan dengan
kepala baris di baris yang lebih atas.
4) Jika di dalam suatu kolom terdapat kepala baris,
elemen-elemen lain di dalam
kolom itu nol semuanya.
Matriks yang demikian ini dikatakan berada dalam bentuk eselon
baris.
Teorema 2.1
Setiap matriks ekuivalen baris dengan sebuah matriks tunggal
yang berada dalam
bentuk eselon baris tereduksi.
Contoh 2.1
Selesaikan sistem persamaan berikut dengan cara operasi baris
elementer:
552
23
22
zyx
zyx
zyx
Penyelesaian:
Sistem persamaan tersebut bila dituliskan dalam bentuk matriks,
yaitu:
5512
2311
2211
Dengan operasi ))1(( 212 RRR dan 313 )2( RRR menghasilkan:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
10
1110
0500
2211
Kemudian mengalikan baris ketiga dengan -1 ))1(( 33 RR dan
dilanjutkan
dengan penukaran baris 2 dan baris 3 )( 32 RR , sehingga
menghasilkan:
0500
1110
2211
Dari hasil operasi baris elementer di atas diperoleh
persamaan:
0 5z -
1
22
zy
zyx
Dengan demikian, dapat diselesaikan dengan substitusi langkah
mundur, sehingga
diperoleh hasil 0zdan 1 ,3 yx
Definisi 2.5 Minor Elemen
Jika A adalah suatu matriks n x n, maka sub-matriks berukuran
(n-1) x (n-1) yang
diperoleh dari matriks A, dengan cara menghapus baris baris ke-i
dan kolom ke-j
disebut dengan Minor Elemen (i, j) dari matriks A dan
dilambangkan Mij atau
Mij(A).
Definisi 2.6 Determinan Matriks
Jika matriks A berukuran n x n, determinan matriks A
didefinisikan sebagai:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
11
n
j
j
j
ja1
1
1
1 )det()1()det( MA (2.1)
Contoh 2.2
Misalkan suatu matriks A berukuan 2 x 2 atau
2221
1211
aa
aaA maka determinan
matriks A sebagai berikut:
21122211
2221
1211det aaaa
aa
aa
(2.2)
Misal matriks A berukuran 3 x 3, maka akan diperoleh determinan
matriks
dengan menggunakan persamaan (2.1), yaitu:
3231
2221
13
3331
2321
12
3332
2322
11
13
31
1312
21
1211
11
11
333231
232221
131211
detdetdet
)det()1()det()1()det()1(
det)det(
aa
aaa
aa
aaa
aa
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
MMM
A
Dari persamaan (2.2) diperoleh:
312213332112322311322113312312332211
312232211331233321123223332211
)()()()det(
aaaaaaaaaaaaaaaaaa
aaaaaaaaaaaaaaa
A
(2.3)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
12
Definisi 2.7 Invers Matriks
A adalah matriks persegi dan jika matriks B berukuran sama dapat
dicari
sedemikian sehingga AB = BA = I, maka A disebut invertible
(dapat dibalik) dan
B disebut invers dari A yang dilambangkan dengan A-1
.
Contoh 2.3
Hitung invers matriks A berkut:
21
53A
Penyelesaian :
Jika suatu matriks 2x2, misal
dc
baA , maka invers matriks dapat dihitung
menggunakan rumus:
31
52
31
52
5(1)-3(2)
1
)det(
11-
ac
bd
ABA
Cek, apakah AB = BA = I
AB =
10
01
31
52
21
53= I
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
13
BA =
10
01
21
53
31
52= I
Karena AB = BA = I, maka berdasarkan definisi B adalah invers
dari matriks A.
Teorema 2.2
Matriks A yang berukuran n x n punya invers jika dan hanya jika
0)det( A
Definisi 2.8 Nilai Eigen dan Vektor Eigen
Misalkan A adalah sebuah matriks n x n. Sebuah matriks tak nol x
berukuran n x
1 sedemikian sehingga Ax=λx disebut vektor eigen dari A,
sedangkan skalar λ
disebut nilai eigen dari A.
Contoh 2.4
Carilah nilai eigen dan vektor eigen dari matriks A.
Penyelesaian:
Pilih λ sedemikian sehingga det(A-I) = 0, jadi didapat:
63
32A
7,3 73214
3362
63
32det
00
01
63
32detdet
21
2
IA
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
14
Dengan demikian, diperoleh dua nilai eigen, yaitu 31 dan 72
.
Untuk mencari vektor eigen dari matriks A, akan diselesaikan
dengan persamaan
(A-I)x = 0 untuk 1= 3 dan 2 = -7.
i. Vektor eigen untuk 1= 3
Dengan operasi baris tereduksi, diperoleh:
1
33
adalah 3untuk eigen, vektor hasildiperoleh demikian,Dengan
3 maka Misalkan
2
1)1(
1
12
cc
c
x
x
cxcx
x
ii. Vektor eigen untuk 2 = -7
0
0
93
31
0
0
363
332
2
1
2
1
x
x
x
x0xIA
21
2
21
RR)3(R(-1)RR
3
ditulisdapat atau
00
031
:persamaandiperoleh atas di tereduksibaris operasi hasil
dari
000
031
093
031
093
031
21211
xx
x
xx
0
0
13
39
0
0
763
372
2
1
2
1
x
x
x
x0xIA
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
15
Dengan operasi baris tereduksi, diperoleh:
Jadi, didapatkan dua vektor eigen, yaitu:
3
1dan
1
3)2()1(
xx
3
1
3
13/1
adalah -7untuk eigen vektor diperoleh Jadi,
3
1 maka Misalkan
3
1
ditulisdapat atau
00
03/11
:persamaandiperoleh tereduksibaris operasi hasil Dari
000
03/11
013
03/11
013
039
2
1)2(
2
12
21
2
21
RR)3(RR)
9
1(R 21211
cc
c
x
x
xdx
xx
x
xx
x
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
16
B. SISTEM PERSAMAAN DIFERENSIAL
B.1 Turunan
Definisi 2.9 Kemiringan Garis Singgung
Gambar 2.1 Grafik Kemiringan Garis Singgung y = f(x)
Garis singgung pada grafik y=f(x) pada titik P (x, f(x)),
yaitu
ada. inilimit jika
)()(lim
0tan
x
xfxxfm
t
(2.4)
Didefinisikan turunan sebagai berikut:
Definisi 2.10 Turunan
Turunan fungsi f adalah fungsi yang nilainya di setiap bilangan
sebarang x di
dalam daerah asal f didefinisikan oleh:
y
x 0
f(x)
x
f (x+ x )
m
x x1
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
17
x
xfxxfxf
x
)()(lim)(
0
'
Asalkan limit ini ada, turunan fungsi f dilambangkan 'f
(2.5)
Turunan berkaitan dengan laju perubahan suatu populasi. Berawal
dari
kecepatan yang merupakan laju perubahan jarak terhadap waktu.
Perubahan
dalam koordinat x, dapat dituliskan dengan cara sebagai
berikut:
12 xxx (2.6)
Dimana Δ menunjukkan perubahan besaran, yang dihitung dengan
mengurangkan nilai awal dari nilai akhir. Oleh karena itu,
selang waktu dari
21 ke tt adalah
t 12 tt (2.7)
Kecepatan rata-rata (v), yaitu perpindahan x dibagi selang waktu
t
dapat dinyatakan sebagai berikut:
12
12
t
x
tt
xxv
(2.8)
Kecepatan sesaat adalah limit dari kecepatan rata-rata untuk
selang waktu
mendekati nol. Kecepatan sesaat sama dengan besarnya perubahan
sesaat dari
posisi terhadap waktu, atau dapat dituliskan sebagai:
lim 0 dt
dx
t
xv
t
(2.9)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
18
Limit dari 0tuntuk
t
xdisebut sebagai turunan (derivative) dari x terhadap t
yang dituliskan sebagai dt
dx.
B.2 Persamaan Diferensial
Definisi 2.11 Persamaan Diferensial
Persamaan diferensial adalah persamaan yang mengandung derivatif
(turunan)
satu atau beberapa fungsi yang tidak diketahui.
Persamaan diferensial diklasifikasikan menjadi dua kasus,
yaitu
Persamaan Diferensial Biasa dan Persamaan Diferensial
Parsial.
Definisi 2.12 Persamaan Diferensial Biasa
Jika fungsi yang tidak diketahui tergantung pada satu variabel
bebas saja maka
persamaan diferensial yang terbentuk disebut dengan persamaan
diferensial
biasa.
Contoh 2.5
Sebagai contoh untuk persamaan diferensial biasa, yaitu:
4505.0
2.08.9
pdt
dp
vdt
dv
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
19
Definisi 2.13 Persamaan Diferensial Parsial
Jika fungsi yang tidak diketahui tergantung pada beberapa
variabel bebas maka
persamaan diferensial yang terbentuk disebut dengan persamaan
diferensial
parsial.
Contoh 2.6
Contoh yang khas dari persamaan diferensial parsial pada
persamaan panas dan
persamaan gelombang.
Klasifikasi Persamaan Diferensial Berdasarkan Orde
Persamaan diferensial memiliki orde (tingkat) dan derajat
(pangkat)
tertentu. Orde persamaan diferensial didefinisikan tingkat dari
derivatif tertinggi
yang muncul dalam persamaan diferensial. Sedangkan derajat suatu
persamaan
diferensial adalah pangkat turunan tertinggi dalam persamaan
diferensial.
Klasifikasi Persamaan Diferensial Berdasarkan Kelinearan
Berdasarkan kelinearan ada dua sifat, yaitu linear dan non
linear. Suatu
persamaan diferensial dikatakan linear jika tidak ada perkalian
antara variabel-
),(),(
yakni Gelombang,Persamaan
),(),(
yakni, panasPersamaan
2
2
2
22
2
22
t
txu
x
txua
t
txu
x
txu
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
20
variabel tak bebas dan derivatif-derivatifnya. Dengan kata lain,
semua
koefisiennya adalah fungsi dari variabel-variabel bebas.
Sedangkan sifat non
linear bila dalam beberapa variabel tak bebas dikatakan tidak
linear dalam
variabel tersebut. Sebagai contoh:
Contoh 2.7
Persamaan Diferensial Linearitas
)cos(24 ''' xyxyy Linear
)cos(24 ''' xyyyy Tidak linear karena memuat 'yy
)sin(2
2
uvut
v
x
u
Linear pada v tetapi tidak linear
pada u karena memuat sin (u). Jadi
persamaan tersebut tidak linear
)sin(2
2
txyt
y
t
x
Linear pada setiap variabel tak
bebas x dan y, tetapi tidak linear
dalam himpunan {x,y}. Jadi
persamaan tersebut tidak linear
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
21
Klasifikasi Persamaan Diferensial Berdasarkan Homogenitas
Bentuk dari persamaan diferensial biasa dapat dinyatakan
sebagai:
)()()( ' xgyxqyxp (2.10)
Persamaan diferensial dikatakan homogen bila g(x) =0.
Persamaan
diferensial dikatakan nonhomogen bila g(x) tersebut dapat
berbentuk fungsi
exponensial, trigonometri, ataupun fungsi polynomial dan 0)( xg
.
Definisi 2.14 Penyelesaian Persamaan Diferensial
Penyelesaian dari persamaan diferensial ),...,,,( )1(''')( nn
yyytfy pada interval
t adalah suatu fungsi sedemikian sehingga )(),...,(),(''' ttt n
ada dan
memenuhi:
)](),...,(),(,[)( 1' ttttft nn (2.11)
Contoh 2.8
Selesaikan Persamaan Diferensial Orde 1 berikut:
axdt
dx
(2.12)
Persamaan (2.12) dapat ditulis sebagai:
dtax
dx
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
22
dtaxdx
makakan diintegral ruas kedua Bila
atau
ln
diperoleh sehingga
catx
cat eKKex dengan (2.13)
Jika diketahui nilai awal 0)0( xx dan bila disubstitusikan ke
persamaan (2.13)
dan diperoleh Kx 0 , sehingga persamaan (2.13) menjadi:
atextx 0)(
Jadi, penyelesaian Persamaan Diferensial Orde 1 adalah atextx
0)(
Titik setimbang (equilibrium point) diperoleh jika 0' dt
dxx . Dalam
kasus 0, ' aaxx maka titik setimbangnya:
0
atau
0 0'
x
aaxx
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
23
B.3 Sistem Persamaan Diferensial
Definisi 2.15 Sistem Persamaan Diferensial
Sistem persamaan diferensial adalah suatu sistem yang memuat n
persamaan
diferensial dengan n buah fungsi yang tidak diketahui.
Definisi 2.16 Sistem Homogen
Sistem homogen dari n persamaan diferensial linear orde satu
dengan koefisien
real, secara umum dapat ditulis, sebagai:
(2.14)
Sistem persamaan (2.13) dapat ditulis sebagai x' = Ax,
dengan
Sebuah sistem disimulasikan dengan orde 1 persamaan diferensial
biasa
(2.15)
nnnn
n
n
m aaa
aaa
aaa
tx
tx
tx
t
21
22221
11211
2
1
,
)(
)(
)(
)( Ax
2211
22221212
12121111
nnnnnn
nn
nn
xaxaxax
xaxaxax
xaxaxax
).,,,(
),,,(
21
2111
nnn
n
xxxtFx
xxxtFx
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
24
Definisi 2.17 Penyelesaian Sistem Persamaan Diferensial
Sistem Persamaan Diferensial x' = Ax, A matriks n x n memiliki
penyelesaian
pada I:
-
25
Gangguan pada sistem tidak memberikan pengaruh terhadap
kestabilan
suatu sistem sehingga jika sistem tersebut stabil terhadap suatu
gangguan maka
sistem akan stabil untuk gangguan yang ada.
Titik kritis dikatakan stabil jika untuk semua 0 ada 0
sedemikian
sehingga setiap penyelesaian )(tx dimana 0t , memenuhi 0)0( x
,
ada untuk semua t positif dan memenuhi 0)( xt untuk semua 0t
.
Titik kritis dikatakan stabil asmptotik jika stabil dan jika
ada
00 sedemikian sehingga penyelesaian )(tx memenuhi 00)0( x
maka 0)(lim x
t
t .
Penyelesaian 0x dari 0Ax dengan A adalah matriks berukuran 2 x
2,
sesuai dengan penyelesaian kesetimbangan dan disebut dengan
titik kritis. Misal
A matriks non singular atau 0 ,0)det( xA adalah satu-satunya
titik kritis
untuk sistem x' = Ax. Suatu penyelesaian dari x' = Ax adalah
fungsi vektor x =
(t) yang memenuhi persamaan diferensial dan dapat dilihat
sebagai representasi
parametrik pada kurva 21xx . Kurva tersebut dapat dianggap
sebagai trayektori
(lintasan) yang dilalui oleh partikel bergerak dengan laju
perubahan dt
dx yang
ditentukan oleh persamaan diferensial.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
26
Definisi 2.21 Bidang Fase
Bidang 21xx dari suatu sistem persamaan yang dinyatakan sebagai
diferensial
terhadap t.
Untuk menganalisis sistem x' = Ax harus mempertimbangkan
beberapa
kasus yang tergantung pada sifat dari nilai eigen dari A. Ada
lima kasus untuk
nilai eigen, yang diklarifikasikan sebagai berikut:
Kasus 1: Nilai Eigen Real Tidak Sama tetapi Tanda Sama
Pada kasus ini, penyelesaian umumnya adalah
(2.16)
dimana, 21 dan keduanya positif atau keduanya negatif.
Misalkan
0 21 dan vektor eigen adalah (2)(1)dan VV . Oleh karena itu, x 0
sebagai
t untuk semua penyelesaian, dengan mengabaikan nilai 21 dan cc
.
Jika penyelesaian dimulai dengan titik awal, pada garis melalui
(1)V maka
0 1 c dan penyelesaian tetap pada garis. Demikian pula, jika
titik awal pada garis
melalui (2)V , penyelesaian dapat ditulis sebagai:
(2.17)
Karena 0- 21 untuk 0 2 c , t
ec 21)1(1
V diabaikan, dan dibandingkan
dengan membesar. untuk (2)2 tc V
ttecec 21 )2(2
)1(
1
VVx
)2(2)1(1)2(2)1(1 21221 VVVVx ceceecec tttt
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
27
Jadi, semua penyelesaian bersinggungan dengan (2)V pada titik
ktitis x = 0
kecuali untuk penyelesaiannya tepat pada garis yang melalui (1)V
. Jenis titik kritis
ini disebut node atau nodal sink.
Gambar 2.2 Node 0 21
Kasus 2: Nilai Eigen Real Berbeda Tanda
Pada kasus ini, penyelesaian umumnya adalah
(2.18)
dimana, 0 1 dan 02 . Misalkan vektor eigen adalah (2)(1)dan VV
dapat
dilihar pada gambar 2.2.
Satu-satunya penyelesaian yang mendekati titik kritis pada titik
asal adalah
penyelesaian dimulai garis yang ditentukan oleh (2) V . Jenis
titik kritis ini disebut
titik pelana.
ttecec 21 )2(2
)1(
1
VVx
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
28
Gambar 2.3 Titik Pelana 0 1 , 02
Kasus 3: Nilai Eigen Sama
Misalkan 21 . Ada dua subkasus tergantung memiliki dua
vektor
eigen atau bebas linear atau hanya satu, diklarifikasikan
sebagai berikut:
a) Dua Eigen Vektor Bebas Linear
Pada kasus ini, penyelesaian umumnya adalah
(2.19)
Dengan demikian, setiap lintasan terletak pada garis yang
melewati titik
asal, seperti yang terlihat dalam gambar 2.4 di bawah ini. Titik
kritis pada titik
asal disebut node proper atau titik star.
tr ecec )2(2)1(
1 VVx
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
29
Gambar 2.4 Titik Star 0 21
b) Satu Eigen Vektor Bebas Linear
Pada kasus ini, penyelesaian umumnya adalah
(2.20)
Ketika nilai eigen ganda hanya memiliki satu nilai eigen yang
bebas linear, titik
kritis disebut improper node atau degenerate node.
Gambar 2.5 Improper Node 0 21
ttt etecec ηVVx 21
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
30
Kasus 4: Nilai Eigen Kompleks dengan Bagian Real Tak Nol
Misalkan nilai eigen i , dimana dan bilangan real dengan
0dan 0 . Perhatikan pada sistem berikut:
atau dapat ditulis sebagai:
212
211
xxx
xxx
(2.21)
Koordinat polar r, dapat diberikan dengan:
Dengan mendiferensialkan persamaan di atas, diperoleh:
Mensubtitusikan ke persamaan (2.21), sehingga didapat:
penyelesaian diferensialnya adalah:
Persamaan ini adalah persamaan parametrik dalam koordinat polar
dari
lintasan solusi untuk sistem x' = Ax. Karena 0 , berarti menurun
saat t
membesar, maka arah gerak lintasan searah jarum jam. Jika 0 ,
maka r 0
xx
12
2
2
2
1
2 tan, xxxxr
21122122211 sec, xxxxxxxxxrr
,rr
)0(,, 00 tcer t
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
31
bila t , sedangkan jika 0 maka r . Jadi lintasan berbentuk
spiral,
yang mendekati titik asal tergantung pada tanda , dan titik
kritis disebut titik
spiral.
Gambar 2.6 Titik Spiral 0
Gambar 2.7 Titik Spiral 0
Kasus 5: Nilai Eigen Kompleks dengan Bagian Real Nol
Misalkan nilai eigen i , dimana dan 0 real. Perhatikan pada
sistem berikut:
atau dapat ditulis
12
21
xx
xx
Pada kasus 4 menggunakan koordinat polar r, , sehingga
menyebabkan:
xx
0
0
0, tcr
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
32
Dengan demikian, lintasan berbentuk lingkaran dengan pusat di
titik asal yang
melintasi searah jarum jam jika 0 dan berlawanan jarum jam jika
0 . Titik
kritis disebut center.
Gambar 2.8 Center i1 , i2
Dari kelima kasus di atas dengan memeriksa gambar yang
berkorespondensi dapat diamati bahwa:
1. Setelah waktu lama, masing-masing lintasan menunjukkan salah
satu dari tiga
jenis perilaku. Saat t , setiap lintasan mendekati titik kritis
x=0, berulang
kali melintasi kurva tertutup yang mengelilingi titik kritis
atau menjadi tidak
terbatas.
2. Dilihat secara keseluruhan, pola lintasan dalam setiap kasus
relatif sederhana.
Untuk lebih spesifik, melalui setiap titik 00 , yx pada bidang
fase hanya ada
satu lintasan, sehingga lintasan tidak saling silang.
Kadang-kadang tampak
bahwa banyak lintasan melewati titik kritis x=0. Bahkan,
satu-satunya
penyelesaian equilibrium x=0. Penyelesaian lain yang muncul
melewati titik
awal, sebenarnya hanya mendekati titik ini saat t atau t .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
33
3. Dalam setiap kasus himpunan semua lintasan sedemikian
sehingga salah satu
dari tiga situasi terjadi, seperti berikut:
a. Semua lintasan mendekati titik kritis x=0, saat t . kasus ini
terjadi
jika nilai-nilai eigen adalah real dan negatif atau kompleks
dengan bagian
real negatif. Titik awal merupakan nodal sink atau spiral
sink.
b. Semua lintasan tetap dibatasi tetapi tidak mendekati titik
awal saat t .
Kasus tersebut terjadi jika nilai eigen murni imajiner. Titik
awal
merupakan center.
c. Semua lintasan dan kemungkinan semua lintasan kecuali x=0
menjadi
tidak terbatas saat t . Kasus ini terjadi jika salah satu
nilai-nilai eigen
positif atau nilai-nilai eigen memiliki bagian real positif.
Titik awal ini
merupakan nodal source, spiral source, atau titik pelana.
Sifat kestabilan dari sistem linear x' = Ax dengan 0)-det( IA
dan
0)det( A dirangkum dalam tabel 2.1 berikut:
Tabel 2.1 Sifat Kestabilan
Nilai Eigen Tipe dari Titik Kritis Kestabilan
021 Node Tidak Stabil
021 Node Stabil Asimpotik
21 0 Titik Pelana Tidak Stabil
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
34
021 Proper atau improper
node
Tidak Stabil
021 Proper atau improper
node
Stabil Asimpotik
i21, Titik Spiral
Tidak Stabil
Stabil Asimpotik
0
0
ii 21 , Center Stabil
Kestabilan suatu sistem persamaan diferensial dapat ditentukan
dengan
melihat bentuk bidang fasenya.
Contoh 2.9
Carilah penyelesaian umum dari sistem:
xx
30
02'
Dari matriks tersebut matriks koefisiennya adalah diagonal
matriks. Jadi, bentuk
skalar sistem di atas dapat ditulis sebagai berikut:
2
'
2
1
'
1
3
2
xx
xx
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
35
Setiap persamaan meliputi hanya satu variabel tidak diketahui,
jadi didapatkan
penyelesaian seperti berikut:
t
t
ecx
ecx
3
22
2
11
Dapat ditulis penyelesaian dalam bentuk vektor, yaitu
tt
t
t
ececec
ec 32
2
13
2
2
1
1
0
0
1
x
Contoh di atas terdiri dari dua penyelesaian independen dari
sistem yang
diberikan dalam bentuk fungsi exponensial perkalian dengan
vektor.
Langkah-Langkah Mencari Penyelesaian Umum
Dalam sistem persamaan diferensial akan dicari penyelesaian
umumnya
untuk mengetahui kestabilan pada bidang fase, dalam bentuk
seperti pada
persamaan (2.14). Berikut adalah langkah-langkah dalam mencari
penyelesaian
umum sistem persamaan diferensial:
1. Memisalkan penyelesaian dalam bentuk teVx , dimana dan vektor
V
harus ditentukan.
2. Mensubtitusikan teVx ke Axx' sehingga diperoleh:
0
I)V-A
AVV
AVV
(
tt ee
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
36
3. Mencari vektor eigen untuk setiap nilai eigen
4. Mensubtitusikan vektor eigen yang diperoleh ke dalam
pemisalan pada
langkah (1)
Contoh 2.10
Carilah penyelesaian umum dari sistem persamaan berikut dan
gambarkan bidang
fasenya untuk memperlihatkan lintasan kestabilannya.
21
'
2
21
'
1
4 xxx
xxx
Penyelesaian:
Sistem di atas dapat ditulis sebagai:
xx
14
11'
Sehingga diperoleh:
2
1 ;
14
11
x
xxA
Akan dicari vektor dan nilai eigen dari A. Misalkan V adalah
vektor eigen dan λ
adalah nilai eigen dari A.
Misalkan x = Vert maka (A-λI)V = 0
0
0
14
11
2
1
v
v
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
37
Penyelesaian untuk mencari nilai eigen dengan det(A-λI)=0
didapat λ 1 = 3 dan λ2 = -1
i. Vektor eigen untuk λ1 = 3
Diselesaikan dengan operasi baris tereduksi didapat:
)1)(3(324)1(14
1122
0
0
24
12
0
0
314
131
2
1
2
1
v
v
v
v0VIA
2
1
2
12
1
3untuk eigen vektor diperoleh sehingga
2
1 maka Misalkan
2
1atau
00
02
11
:persamaandiperoleh
000
02/11
024
02/11
024
012
2
1
1
12
21
2
21
p
p
p
v
v
pvpv
vv
v
vv
(1)V
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
38
ii. Vektor eigen untuk λ2 = -1
Diselesaikan dengan operasi baris tereduksi didapat:
2
1
2
12
1
2untuk eigen vektor diperoleh
2
1 maka Misalkan
2
1
2
12
s
s
s
v
v
svsv
(2)V
Untuk penyelesaian persamaan x = Vert adalah
0
0
24
12
0
0
114
111
2
1
2
1
v
v
v
v0VIA
.2
1
atau
00
02/11
:persamaanDiperoleh
000
02/11
024
02/11
024
012
21
2
2
1
vv
v
vv
t
t
et
et
2
1)(
2
1)(
)2(
3)1(
x
x
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
39
Dengan demikian, diperoleh penyelesaian umumnya adalah
Untuk mengambarkan bidang fasenya, akan dituliskan sebagai:
1
3
12
3
11
3
1
2
1
2
22
:diperolehakan atau
2
1)(
maka 0 Jika
xecx
ecx
ecx
xt
c
t
t
t
x
1
3
22
3
21
3
2
2
1
1
22
:diperolehatau
2
1)(
maka 0 Jika
xecx
ecx
ecx
xt
c
t
t
t
x
tt ecec
tctct
2
1
2
1
)()()(
2
3
1
)2(
2
)1(
1 xxx
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
40
Gambar 2.9 Bidang fase x1 dan x2
Pada gambar 2.9 menunjukan bentuk bidang fase yang disebut
bentuk titik pelana.
Titik pelana selalu tidak stabil, bila t membesar akan menjauhi
titik pusat (0,0)
dan tampak pada titik (0,0) tidak stabil.
C. METODE RUNGE-KUTTA ORDE 4
Kebanyakan permasalahan dalam bidang keteknikan dan sains
memerlukan penyelesaian simulasi dari sistem persamaan
diferensial daripada
persamaan tunggal. Secara umum sistem persamaan diferensial
direprentasikan
sebagai berikut:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
41
,...,,,
.
.
.
,...,,,
,...,,,
21
2122
2111
nn
n
n
n
xxxtfdt
dx
xxxtfdt
dx
xxxtfdt
dx
(2.22)
Metode Runge-Kutta Orde 4 mempunyai skema sebagai berikut:
226
43211 kkkkh
xx kk (2.23)
dengan,
),(
)2
,2
(
)2
,2
(
),(
31,4
2,3
1,2
,1
khxhtfk
kh
xh
tfk
kh
xh
tfk
xtfk
kkss
kkss
kkss
kkss
(2.23a)
(2.23b)
(2.23c)
(2.23d)
Contoh 2.11
Selesaikan sistem persamaan diferensial berikut dengan
menggunakan metode
Runge-Kutta Orde 4, dengan asumsi
. 5.0dan ]2,0[dengan ,6 dan,4,0 21 htxxt
122
11
1.03.04
5.0
xxdt
dx
xdt
dx
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
42
Penyelesaian:
45.62
5.0)8.1(6
2
5.32
5.0)2(4
2
8.1)4(1.0)6(3.04)6,4,0(
2)4(5.0)6,4,0(
2,12
1,11
22,1
11,1
hkx
hkx
fk
fk
42875.62
5.0)715.1(6
2
5625.32
5.0)75.1(4
2
1.715)45.6,5.3,25.0(
1.75)45.6,5.3,25.0(
2,22
1,21
22,2
11,2
hkx
hkx
fk
fk
6.8576701.631794-1.715125)2(1.7151.86
0.56(0.5)
3.1152341.554688-1.78125)-2(-1.752-6
0.54(0.5)
631794.1)857563.6,109375.3,5.0(
1.554688)857563.6,109375.3,5.0(
857563.6)5.0)(78125.1(6
109375.3)5.0)(78125.1(4
1.715125)42875.6,5625.3,25.0(
1.78125)42875.6,5625.3,25.0(
2
1
22,4
11,4
2,32
1,31
22,3
11,3
x
x
fk
fk
hkx
hkx
fk
fk
kemudian langkah selanjutnya untuk
)0.2(dan ),0.2(),5.1(),5.1(),0.1(),0.1( 212121 yyyyyy
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
43
didapat:
t x1 x2
0 4 6
0.5 3 6.9
1.0 2.25 7.715
1.5 1.6875 8.44525
2.0 1.265625 9.094087
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
44
BAB III
MODEL PENYEBARAN PENYAKIT
Bab ini akan membahas mengenai dinamika populasi vektor dan
manusia
yang terjangkit penyakit tidur untuk memodelkan penyebaran
penyakit tidur.
A. PENYEBARAN PENYAKIT TIDUR
Tsetse adalah carrier (pembawa) parasit Trypanosomiasis, Tsetse
tidak
menghasilkan racun dan tidak berbahaya sebelum lalat tersebut
tertular parasit
Trypanosomiasis. Lalat ini menghisap darah. Apabila darah
korbannya telah
terinfeksi Trypanosomiasis maka Tsetse akan tertular parasit
tersebut dan dapat
menyebarkan ke korban-korban berikutnya yang dihisap darahnya,
karena air liur
dari lalat ini ikut masuk ke dalam lubang gigitan saat ia
menghisap darah.
Parasit Trypanosomiasis, menyebabkan demam, migrain dan
menimbulkan kantuk yang luar biasa. Korban dapat tertidur yang
disebut dengan
Sleeping Sickness), dan bila tidak segera disembuhkan maka
korbannya tidak akan
pernah bangun lagi (meninggal). Binatang ataupun manusia dapat
terinfeksi
parasit ini dan juga dapat saling menularkan dengan perantara
lalat tsetse.
Lalat tsetse merupakan vektor bagi penyakit tripanosomiasis.
Gejala dan
tanda penyakit yang disebabkan tripanosomiasis ini dapat
bervariasi dan
umumnya dibagi atas 3 fase :
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
45
1. Fase awal (Initial stage)
Ditandai dengan timbulnya reaksi inflamasi lokal pada daerah
gigitan
lalat tsetse. Reaksi inflamasi dapat berkembang menjadi bentuk
parut (
primary chancre). Reaksi inflamasi ini biasanya mereda dalam
waktu 1-2
minggu.
2. Fase penyebaran (Haemoflagellates stage)
Setelah fase awal mereda, parasit masuk ke dalam darah dan
kelenjar
getah bening (parasitemia). Gejala klinis yang sering muncul
adalah demam
yang tidak teratur, sakit kepala, nyeri pada otot dan
persendian. Tanda klinis
yang sering muncul antara lain: Lymphadenopati, lymphadenitis
yang terjadi
pada bagian posterior kelenjar cervical (Winterbotton’s sign),
papula dan rash
pada kulit. Pada fase ini juga terjadi proses infiltrasi
perivascular oleh sel-sel
endotel, sel limfoid dan sel plasma, hingga dapat menyebabkan
terjadinya
pelunakan jaringan iskemik dan perdarahan di bawah kulit
(ptechial
haemorhagic). Parasitemia yang berat (toksemia) dapat
mengakibatkan
kematian pada penderita.
3. Fase kronik (Meningoencephalitic stage)
Pada fase ini terjadi invasi parasit ke dalam susunan saraf
pusat dan
mengakibatkan terjadinya meningoenchepalitis difusa dan
meningomyelitis
yakni demam dan sakit kepala. Terjadi gangguan pola tidur,
insomnia pada
malam hari dan mengantuk pada siang hari. Gangguan
ekstrapiramidal dan
keseimbangan otak kecil menjadi nyata. Pada kondisi yang lain
dijumpai juga
perubahan mental yang sangat nyata. Gangguan gizi umumnya
terjadi dan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
46
diikuti dengan infeksi sekunder oleh karena immunosupresi.
Jumlah lekosit
normal atau sedikit meningkat. Bila tercapai stadium tidur
terakhir, penderita
sulit dibangunkan atau mengalami kematian. Penyakit tidur ini
juga diperberat
oleh penyakit lain seperti malaria, disentri, pneumonia atau
juga kelemahan
tubuh.
B. MODEL KOMPARTEMEN
Perpindahan / penyebaran penyakit tidur dapat diilustrasikan
pada gambar
3.1 berikut:
Gambar 3.1 Siklus Perpindahan Parasit: Manusia dan Lalat
Keterangan :
= Lalat yang terinfeksi = Manusia yang terinfeksi
= Lalat sehat = Manusia sehat
waktu
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
47
Pada gambar tersebut dapat diamati bahwa lalat tsetse yang
terinfeksi oleh
penyakit tidur akan menginfeksi manusia yang sehat. Manusia
tersebut terkena
parasit dan selanjutnya menjadi terinfeksi. Manusia yang sudah
terinfeksi digigit
oleh lalat sehat, sehingga lalat tersebut menjadi terinfeksi
penyakit. Manusia yang
terinfeksi penyakit dapat sembuh dari penyakit atau akan mati.
Namun, dalam
model ini diasumsikan bahwa setelah terinfeksi manusia akan
sembuh. Dan lalat
yang terinfeksi akan kembali menginfeksi manusia yang sehat.
Siklus ini akan
berlangsung secara terus-menerus.
Model ini memiliki dua variabel (dan karenanya dalam bahasa
epidemiologi disebut model dua kompartemen), yakni lalat yang
terinfeksi dan
manusia yang terinfeksi. Banyaknya lalat dan manusia yang rentan
(tidak
terinfeksi) diketahui karena banyaknya lalat dan manusia
keseluruhan
diasumsikan konstan.
Penyebaran penyakit tidur akan dimodelkan dengan persamaan
yang
berkaitan dengan variabel dan parameter. Lalat disebut dengan
istilah “vektor”
karena sebagai sarana penyebaran parasit. Ada masa inkubasi bagi
manusia dan
lalat. Masa inkubasi manusia adalah masa saat penyakit masuk ke
dalam tubuh
sampai saat timbul gejala penyakit. Sedangkan masa inkubasi pada
vektor adalah
masa saat vektor akan terinfeksi oleh penyakit tidur tersebut.
Ketika lalat tsetse
menggigit manusia yang terinfeksi penyakit tidur, lalat memasuki
masa inkubasi
namun belum bisa membawa parasit. Lalat tsetse mempunyai masa
inkubasi
sekitar 25 hari dan harapan hidupnya sekitar 45 hari.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
48
Misalkan V(t) adalah total banyaknya vektor pada waktu t, Vs(t)
adalah
banyaknya vektor rentan (dapat terinfeksi penyakit ), Vi(t)
adalah banyaknya
vektor pada masa inkubasi, dan Va(t) adalah banyaknya vektor
terinfeksi aktif,
maka
aktif i terinfeksyang
vektor banyaknya
inkubasi masa pada
vektor banyaknya
rentanvektor
banyaknya
vektor
banyaknya
atau dapat ditulis sebagai
)( )( )( tVtV(t)VtV ais (3.1)
Demikian pula dimisalkan H(t) adalah total banyaknya manusia,
Hs(t)
adalah banyaknya manusia yang rentan terhadap penyakit, Ha(t)
adalah banyaknya
manusia yang terinfeksi penyakit, dan Hr(t) adalah banyaknya
manusia sembuh,
maka
sembuh manusia
banyaknya
penyakit i terinfeks
manusia banyaknya
rentan manusia
banyaknya
manusia
banyaknya
atau dapat ditulis sebagai:
)()( )( )( tHtHtHtH ras (3.2)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
49
Siklus penyebaran penyakit pada vektor diilustrasikan pada
gambar
sebagai berikut,
Gambar 3.2 Model Kompartemen Vektor
Vektor yang rentan akan memasuki masa inkubasi sekitar 25 hari
dan
vektor dapat mengalami kematian dengan laju m. Pada masa
inkubasi, vektor juga
dapat mengalami kematian dengan laju m, dan vektor akan kembali
memasuki
masa rentan dengan laju b, serta vektor akan memasuki tahap
terinfeksi dengan
laju q. Pada saat vektor masuk dalam tahap terinfeksi, vektor
dapat mengalami
kematian dengan laju m, dan vektor juga akan kembali memasuki
masa rentan
dengan laju b.
Namun, dalam model penyebaran penyakit tidur dalam makalah ini,
pada
vektor diasumsikan bahwa vektor yang berada pada tahap
terinfeksi tidak kembali
sembuh atau kembali ke masa rentan. Model ini juga diasumsikan
bahwa vektor
pada tahap rentan tidak masuk ke masa inkubasi. Serta model ini
tidak
q waktu
m waktu
m waktu
b waktu b
waktu
m waktu
k(Vc – V(t))
Rentan
Vs (t)
Terinfeksi
Va (t)
Inkubasi
Vi(t)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
50
mempertimbangkan banyaknya vektor yang mengalami migrasi,
sehingga model
kompartemen vektor menjadi seperti ditunjukkan dalam Gambar
3.3:
Gambar 3.3 Model Kompartemen Vektor pada Model
Sedangkan siklus penyebaran penyakit pada manusia
diilustrasikan
pada Gambar 3.4:
Gambar 3.4 Model Kompartemen Manusia
Setelah masa inkubasi manusia yang singkat yaitu sekitar 12
hari, manusia
memasuki tahap terinfeksi penyakit, dimana manusia terinfeksi
oleh parasit ketika
Terinfeksi
Ha (t)
Sembuh
Hr (t)
Rentan
Hs (t)
b waktu
r1
r2
Inkubasi
Vi(t)
Rentan
Vs (t)
b waktu
q waktu
m waktu
m waktu
Terinfeksi
Va (t)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
51
digigit oleh vektor. Ketika manusia masuk tahap terinfeksi
penyakit, manusia
memasuki tahap sembuh dengan laju r1, dan kembali memasuki masa
rentan
dengan laju b. Pada saat manusia masuk dalam tahap sembuh,
manusia kembali
memasuki masa rentan dengan laju r2. Ketika manusia kembali
memasuki masa
rentan, manusia dapat memasuki kembali ke tahap terinfeksi.
C. MODEL MATEMATIKA TENTANG GIGITAN VEKTOR
Vektor menggigit manusia rata-rata tiga hari sekali (Shier,
1999) sehingga
dalam model ini akan mempertimbangkan model kontinu dimana unit
waktu
adalah tiga hari. Banyaknya vektor menggigit didekati dengan
banyaknya manusia
yang ditandai dengan timbulnya gejala-gejala penyakit. Pada
model penyebaran
penyakit tidur ini menggunakan simbol-simbol untuk menghitung
suatu
probabilitas, yaitu:
τ1 = Probabilitas vektor menggigit seorang manusia selama unit
waktu (tiga hari).
τ2 = Probabilitas vektor rentan yang akhirnya menjadi terinfeksi
setelah
menggigit seorang yang terinfeksi.
τ3 = Probabilitas seorang manusia rentan yang digigit oleh
vektor terinfeksi dan
akhirnya menjadi terinfeksi.
Dalam model gigitan vektor diasumsikan bahwa seekor vektor
dari
sekumpulan A0 vektor akan menggigit seorang manusia dengan
probabilitas
sebesar τ1. Misalkan τ1= 0.2, artinya dalam 10 kali pertemuan
vektor dengan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
52
manusia, kemungkinan vektor akan menggigit sebanyak 2 kali. Dari
persamaan
(3.2), diasumsikan bahwa banyaknya manusia yang mungkin digigit
seekor vektor
bergantung pada banyaknya manusia yang rentan dan terinfeksi
sehingga dapat
ditulis persamaan sebagai berikut:
)( )( )( )( tHtHtHtH ras (3.3)
Diasumsikan juga bahwa proporsi vektor yang akan menggigit
adalah w
yang nilainya di antara 0 dan 1. Vektor menggigit manusia tiga
hari sekali dengan
probabilitas sebesar τ1. Banyaknya manusia yang terinfeksi
didekati oleh
banyaknya vektor yang menginfeksi manusia. Banyaknya manusia
terinfeksi yang
mendapat pengobatan maka sistem kekebalan tubuh akan meningkat
sehingga
manusia menjadi sembuh. Probabilitas seorang manusia sembuh yang
digigit oleh
wA0 vektor adalah:
mengigitakan yang
vektorbanyaknya
mengigit tidak yang
vektor proporsi
digigitdapat yang
manusia banyaknya
infeksikan mengakibattidak
yangktor gigitan ve proporsi
digigitdapat yang
manusia banyaknya
eksidan terinfdigigit yang
manusia banyaknya
terinfeksidan tidak digigit yang
manusia banyaknya
kembali infeksi tidak ter tetapi
digigit yang i terinfeksmanusia banyaknya
digigitdapat yang
manusia banyaknya
pengobatanmendapat yang
i terinfeksmanusia banyaknya
sembuh yang
manusia asprobabilit
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
53
Atau dapat dinyatakan sebagai:
1)()(
1)()()(
0
1wAwtHtH
wtHtHtH
r
r
r
1)()(
)()(
0
w
wAtHtH
tHtH
r
r
(3.4)
Dari persamaan (3.4) populasi vektor samaran dapat didekati oleh
banyaknya
vektor menggigit yang mengakibatkan terinfeksi yaitu:
w
wAA
1
0 (3.5)
Banyaknya vektor yang menggigit seorang manusia terinfeksi
didekati oleh
banyaknya manusia yang terinfeksi. Probabilitas bahwa vektor
menggigit seorang
manusia yang terinfeksi yaitu:
infeksikan mengakibat yang
menggigit vektor banyaknya
terinfeksidan tidak digigit
yang manusia banyaknya
penyakit i terinfeks
manusia banyaknya
digigitdapat yang
manusia banyaknya
penyakit terinfeksi
manusia banyaknya
terinfeksidan tidak i terinfeksmanusia
menggigit yang vektor banyaknya
i terinfeksmanusia seorang
menggigit yang vektor banyaknya
i terinfeksyang manusia seorang
menggigit vektor asprobabilit
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
54
)()(
)(
AtHtH
tH
r
a
(3.6)
Banyaknya vektor yang menggigit seorang manusia rentan didekati
oleh
banyaknya manusia yang rentan. Probabilitas vektor menggigit
seorang manusia
yang rentan yaitu:
rentandan tidak rentan manusia
menggigit yang vektor banyaknya
rentan manusia seorang
menggigit yang vektor banyaknya
rentan yang manusia seorang
menggigit vektor asprobabilit
AtHtH
tH
r
s
))()((
)(
digigitdapat yang
manusia banyaknya
rentan yang
manusia banyaknya
))()((
)()()(
AtHtH
tHtHtH
r
ra
(3.7)
D. DINAMIKA POPULASI VEKTOR
Dinamika populasi vektor merupakan ilmu yang mempelajari
tingkat
pertumbuhan dan penurunan atau perubahan banyaknya vektor dalam
populasi.
Dalam model penyebaran penyakit tidur pada vektor
diasumsikan:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
55
1. Banyaknya vektor konstan
2. Vektor hanya menggigit manusia
3. Vektor menggigit manusia rata-rata 3 hari sekali
4. Vektor rentan terhadap penyakit
5. Vektor mempunyai masa inkubasi 25 hari
Untuk memahami dinamika populasi vektor, didefinisikan:
Vs(t) = banyaknya vektor yang rentan ( dapat terinfeksi penyakit
)
Vi(t) = banyaknya vektor pada masa inkubasi
Va(t) = banyaknya vektor yang terinfeksi aktif
Model penyebaran penyakit tidur pada vektor secara umum
diasumsikan
memiliki mekanisme migrasi yang sederhana, yaitu selama interval
waktu dt,
pertumbuhan alami dari banyaknya vektor rentan disebabkan oleh
migrasi.
Migrasi hanya terjadi pada kelompok vektor yang rentan.
Banyaknya vektor yang
mengalami migrasi dipengaruhi oleh nilai Vc, yakni nilai kritis
dari total populasi
vektor. Bila total populasi vektor tersebut di bawah dari nilai
kritis maka akan
mengalami imigrasi dan bila di atas dari nilai kritis maka akan
mengalami
emigrasi. Banyaknya vektor yang mengalami migrasi menjadi vektor
rentan dapat
diukur dari besarnya arus migrasi dikalikan dengan selisih nilai
kritis dari total
populasi vektor dengan total populasi vektor, atau dapat
dinyatakan sebagai
berikut:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
56
vektor
populasi total
vektorpopulasi
totaldari kritis nilai
migrasi arus
besarnya
rentan vektor menjadi
migrasi mengalami yang
vektor banyaknya
))(( tVVk c (3.8)
Vektor pada masa inkubasi saat pertama kali menggigit manusia
yang
terinfeksi, vektor itu menjadi terinfeksi. Banyaknya vektor pada
kelompok masa
inkubasi dimisalkan V(t)b dengan b laju kelahiran vektor, vektor
yang berisiko
terinfeksi juga sebanyak V(t)b.
Perubahan banyaknya vektor pada suatu kelompok adalah
banyaknya
vektor yang masuk dalam kelompok tersebut dikurangi dengan
banyaknya vektor
yang keluar dari kelompok tersebut. Persamaan perubahan untuk
banyaknya
vektor pada masa inkubasi selama waktu t adalah
kematian mengalami
inkubasi masa pada
vektorbanyaknya
rentan menjadi
inkubasi masa pada
vektorbanyaknya
i terinfeksmenjadi
inkubasi masa pada
vektorbanyaknya
inkubasi masamasuk
vektorbanyaknya
inkubasi masa darikeluar
vektorbanyaknya
inkubasi masamasuk
vektorbanyaknya)(
t
tVi
mtVbtVqtVbtV iii )()()()(
))(()()( mqtVbtVtV ii (3.9)
btVtV i )()( merupakan perubahan banyaknya vektor terinfeksi dan
rentan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
57
inkubasi masamasuk
vektorbanyaknya
i terinfeksyang manusia
menggigit vektor asprobabilit
i terinfeksmenjadi
rentan vektor asprobabilit
btVArHtH
tH
r
a )()()(
)( 2
(3.10)
Dengan demikian,
)()(
)()()( )(
)()(
)()()()(
2
2
AtHtH
tHbtVbtVbtV
AtHtH
tHbtVbtVtV
r
a
i
r
a
i
AtHtH
tHbtV
r
a
)()(
)(1)( 2
(3.11)
Pada saat 0t , laju perubahan banyaknya vektor pada masa
inkubasi adalah
dt
dV
t
tV iit
)(lim
0
= )()())()((
)()( 2 mqtVAtHtH
tHbtVi
r
a
(3.12)
Berdasarkan asumsi pada model ini, perubahan banyaknya vektor
yang
terinfeksi hanya melewati tahap terinfeksi dan kematian.
Persamaan perubahan
untuk banyaknya vektor yang terinfeksi adalah sebagai
berikut:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
58
mtVqtV
t
tV
ai
a
)()(
kematian mengalami yang
rinfeksi vektor tebanyaknya
i terinfeks tahapke
masuk inkubasi masa pada
vektorbanyaknyaperubahan
i terinfeks tahapdarikeluar
vektorbanyaknya
i terinfeks tahapkemasuk
vektorbanyaknya)(
mtVqtVtVtV aas )()()()( (3.13)
Pada saat 0t , laju perubahan banyaknya vektor yang terinfeksi
adalah
dt
tdV
t
tV aat
)()(lim
0
mtVqtVtVtV aas )()()()( (3.14)
Persamaan perubahan untuk banyaknya vektor rentan adalah
kematian mengalami yang
rentan vektor banyaknya
rentan vektor menjadi
migrasi mengalami yang
vektor banyaknya
rentan tahapkemasuk
inkubasi masa pada
vektor banyaknya
rentan tahapkekeluar
vektor banyaknya
rentan tahapkemasuk
vektor banyaknya)(
t
tVs
mtVtVVkbtV sci )())(()( (3.15)
Dari persamaan (3.12) diperoleh:
)())((
)()(
)()()(
)( 2 mtVtVVkAtHtH
tHbtVbtV
t
tVsc
r
as
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
59
= mtVtVVkAtHtH
tHbtV sc
r
a )())(()()(
)(1)( 2
(3.16)
Pada saat 0t , laju perubahan banyaknya vektor rentan adalah
)()(
lim0 dt
tdV
t
tV sst
)())(()()(
)(1)( 2 mtVtVVk
AtHtH
tHbtV sc
r
a
(3.17)
Bila faktor migrasi diabaikan maka persamaan (3.17) akan
menjadi:
mtVAtHtH
tHbtV
dt
tdVs
r
as )()()(
)(1)(
)( 2
(3.18)
Dari persamaan (3.12), (3.14), dan (3.18) membentuk sistem
persamaan
diferensial, yaitu:
)())()((
)(1)(
)(
)()()()()(
)()())()((
)()()(
2
2
mtVAtHtH
tHbtV
dt
tdV
mtVqtVtVtVdt
tdV
mqtVAtHtH
tHbtV
dt
tdV
s
r
as
aas
a
i
r
ai
Untuk mendapatkan gambaran pemodelan penyebaran penyakit tidur
pada
vektor ini, diberikan suatu contoh ilustrasi dari bentuk sistem
persamaan
diferensial biasa di atas. Dengan penghitungan yang
diilustrasikan terhadap total
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
60
banyaknya manusia diasumsikan konstan sejumlah 300 manusia.
Banyaknya
manusia rentan, terinfeksi penyakit, dan sembuh masing-masing
adalah 100
manusia, serta nilai-nilai parameter model yang digunakan
dirangkum dalam
Tabel 3.1 (Shier, 1999).
Tabel 3.1 Nilai Parameter untuk Ilustrasi
Parameter Deskripsi Nilai
H total banyaknya manusia 300
Hs banyaknya manusia rentan 100
Ha banyaknya manusia terinfeksi penyakit 100
Hr banyaknya manusia sembuh 100
τ1 probabilitas vektor menggigit seorang manusia 0.1
τ2 probabilitas vektor rentan menjadi terinfeksi 0.1
τ3 probabilitas seorang manusia rentan digigit
oleh vektor terinfeksi
0.1
q laju perubahan vektor pada masa inkubasi
masuk ke tahap terinfeksi
0.12 per
hari
r1 laju perubahan manusia terinfeksi masuk ke
tahap sembuh
0.0075
per hari
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
61
r2 Laju perubahan manusia sembuh masuk ke
tahap rentan
0.0075
per hari
b
laju kelahiran vektor
1/15 per
hari
m
laju kematian vektor
1/15 per
hari
A0 sekumpulan vektor 100
w proporsi gigitan vektor yang menyebabkan
infeksi
0.5
Dari menggunakan nilai-nilai parameter tersebut didapat sistem
persamaan
diferensial dengan unit waktu 3 hari, sebagai berikut:
sai
i VVVdt
dV001.0001.062.0.0
(3.19)
022.004.0 aia VV
dt
dV
(3.20)
sai
s VVVdt
dV001.0022.0022.0
(3.21)
Dari persamaan di atas didapat:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
62
s
a
i
V
V
V
001.0022.0022.0
0022.004.0
001.0001.0062.0
'V
Untuk menyelesaikan system persamaan di atas, misalkan:
s
a
i
V
V
V
VA ,
001.0022.0022.0
0022.004.0
001.0001.0062.0
Sehingga, sistem di atas dapat ditulis sebagai AVV ' .
Penyelesaian dari sistem
tersebut diperoleh dengan mencari nilai eigen dan vektor eigen
dari A. Misalkan
B adalah vektor eigen dan λ adalah nilai eigen dari A, maka
penyelesaian sistem
persamaan diferensial tersebut adalah V = Bert
.
Nilai eigen dan vektor eigen dari A diperoleh melalui (A-λI)B =
0, yaitu:
0
0
0
001.0022.0022.0
0022.004.0
001.0001.0062.0
3
2
1
b
b
b
(3.22)
Nilai eigen merupakan penyelesaian dari det(A-λI)=0, yaitu
0
001.0022.0022.0
0022.004.0
001.0001.0062.0
Dengan menggunakan perintah MATLAB diperoleh tiga nilai eigen,
yaitu
λ1 = -0.063, λ2 = -0.022, dan λ3 = 0
i. Vektor eigen untuk λ1 = -0.187
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
63
Dari persamaan (3.22), dengan mensubtitusikan λ1 = -0.063
diperoleh:
0
0
0
062.0022.0022.0
004.004.0
001.0001.0001.0
0
0
0
063.0001.0022.0022.0
0063.0022.004.0
001.0001.0063.0062.0
0-
3
2
1
3
2
1
b
b
b
b
b
b
BIA
Penyelesaian sistem di atas diperoleh dengan operasi baris
elementer, terhadap
matriks koefisien, sehingga didapat:
000
100
011
062.0022.0022.0
004.004.0
001.0001.0001.0
Dengan demikian,
0
0
0
000
100
011
atau
000
100
011
3
2
1
b
b
b
0B
Dari penyelesaian di atas, diperoleh persamaan:
0
0
3
2121
b
bbbb
Misal cb 2 maka cb 1 , sehingga diperoleh vektor eigen dengan
nilai eigen λ1
= -0.187 adalah:
0
1
1
0
3
2
1
(1) cc
c
b
b
b
B
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
64
ii. Vektor eigen untuk λ2 = -0.022
Dari persamaan (3.22), dengan mensubtitusikan λ2 = -0.022
diperoleh:
0
0
0
022.0022.0022.0
0004.0
001.0001.004.0
0
0
0
022.0001.0022.0022.0
0022.0022.004.0
001.0001.0022.0062.0
0-
3
2
1
3
2
1
b
b
b
b
b
b
BIA
Penyelesaian sistem di atas diperoleh dengan operasi baris
elementer, terhadap
matriks koefisien, sehingga didapat:
Dengan demikian,
0
0
0
000
110
001
atau
000
110
001
3
2
1
b
b
b
0B
Dari penyelesaian di atas, diperoleh persamaan:
3232
1
0
0
bbbb
b
Misal cb 3 maka cb 2 , sehingga diperoleh vektor eigen dengan
nilai eigen λ2
= -0.067 adalah: