Bab 2: Model Matematis Sistem Dinamis EL303 Sistem Kendali _____________________________________________________________________________ Teknik Elektro ITB [EYS- 98] hal 1 dari 28 _____________________________________________________________________________ MODEL MATEMATIS SISTEM DINAMIS DAN SISTEM KENDALI • PENDAHULUAN • KLASIFIKASI SISTEM • MODEL MATEMATIS SISTEM FISIS • PEMODELAN STATE SPACE
28
Embed
MODEL MATEMATIS SISTEM DINAMIS DAN SISTEM · PDF fileBab 2: Model Matematis Sistem Dinamis EL303 Sistem Kendali
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Bab 2: Model Matematis Sistem Dinamis EL303 Sistem Kendali_____________________________________________________________________________
Teknik Elektro ITB [EYS- 98] hal 1 dari 28_____________________________________________________________________________
MODEL MATEMATIS SISTEM DINAMIS DAN
SISTEM KENDALI
• PENDAHULUAN
• KLASIFIKASI SISTEM
• MODEL MATEMATIS SISTEM FISIS
• PEMODELAN STATE SPACE
Bab 2: Model Matematis Sistem Dinamis EL303 Sistem Kendali_____________________________________________________________________________
Teknik Elektro ITB [EYS- 98] hal 2 dari 28_____________________________________________________________________________
PENDAHULUAN
• Untuk analisis dan desain sistem kendali, sistem fisis harusdibuat model fisisnya.
• Model fisis harus dapat menggambarkan karakteristik dinamissistem tsb secara memadai.
• Model matematis diturunkan dari hukum-hukum fisis sistemybs.- Dinamika sistem mekanis dimodelkan dengan hukum-hukum
Newton.- Dinamika sistem elektrik dimodelkan dengan hukum-hukum
Kirchoff, Ohm.
• Model matematis suatu sistem: kumpulan persamaan yangmenggambarkan dinamika suatu sistem secara memadai.
• Model matematis dapat meningkat akurasinya denganmemodelkan secara lebih lengkap, bila diperlukan dalamanalisis yang teliti.
• Perlu kompromi antara kesederhanaan model dengan akurasihasil analisis.
Bab 2: Model Matematis Sistem Dinamis EL303 Sistem Kendali_____________________________________________________________________________
Teknik Elektro ITB [EYS- 98] hal 3 dari 28_____________________________________________________________________________
• Kesederhanaan model dicapai dengan memperhatikan faktor-faktor penting saja dalam pemodelan.
- Pemodelan dengan persamaan differential (bukan parsial),akan menghilangkan sifat-sifat nonlinear tertentu danparameter-parameter terdistribusi yang mungkin ada padasistem.
- Pemodelan suatu komponen pada frekuensi rendah tidakdapat digunakan pada frekuensi tinggi.
• Suatu sistem yang memiliki model matematis sama tidak selalumenggambarkan model fisis yang sama (Misal: analogi sistemmekanis dengan sistem elektrik).
• Dua pendekatan analisis :- Fungsi Alih (Tradisional, untuk sistem SISO)- State Space (Modern, untuk sistem modern, misal MIMO)
Bab 2: Model Matematis Sistem Dinamis EL303 Sistem Kendali_____________________________________________________________________________
Teknik Elektro ITB [EYS- 98] hal 4 dari 28_____________________________________________________________________________
KLASIFIKASI SISTEM
- LINEAR VS NONLINEAR
- TIME-INVARIANT VS TIME-VARYING
- CONTINUOUS-TIME VS DISCRETE-TIME
- DETERMINISTIC VS STOCHASTIC
- LUMPED- VS DISTRIBUTED - PARAMETERS
- TRANSFER FUNCTION VS STATE SPACE
Bab 2: Model Matematis Sistem Dinamis EL303 Sistem Kendali_____________________________________________________________________________
Teknik Elektro ITB [EYS- 98] hal 5 dari 28_____________________________________________________________________________
- LINEAR VS NON-LINEAR
- Sistem fisis umumnya bersifat nonlinear dalam tingkattertentu.
- Untuk daerah kerja yang kecil, sistem nonlinear dapatdianggap linear (piece-wise linearisation)
- Sistem linear : berlaku hukum superposisi:- respons suatu sistem terhadap beberapa input berbeda
merupakan kombinasi respons masing-masing input.
- Pengujian kelinearan suatu sistem melalui input sinusoidal.
- Dalam beberapa hal elemen-elemen nonlinear sengajadisertakan dalam sistem kendali untuk optimasi unjuk kerja.- Relay on-off dipakai pada sistem kontrol optimal waktu,
sistem kendali pesawat dan sistem peluru kendali.
Daerah linear
Bab 2: Model Matematis Sistem Dinamis EL303 Sistem Kendali_____________________________________________________________________________
Teknik Elektro ITB [EYS- 98] hal 6 dari 28_____________________________________________________________________________
TIME-INVARIANT VS TIME-VARYING
- Sistem time-invariant memiliki parameter-parameter yangkonstan, tak tergantung waktu.
- Respons nya tak tergantung pada saat kapan input diberikan.
- Sistem time-varying memiliki satu atau lebih parameter yangberubah terhadap waktu.
- Respons nya tergantung pada waktu diberikan input.
- Contoh Sistem Kendali Time-varying:Sistem kendali pesawat ruang angkasa : bobotnya berkurangakibat konsumsi bahan bakar.
CONTINUOUS-TIME VS DISCRETE-TIME
- Sistem kontinyu waktu : memiliki semua variabel / sinyalyang kontinyu terhadap waktu.
- Sistem diskrit waktu : memiliki satu atau lebih variabel /sinyal yang diskrit terhadap waktu.
Bab 2: Model Matematis Sistem Dinamis EL303 Sistem Kendali_____________________________________________________________________________
Teknik Elektro ITB [EYS- 98] hal 7 dari 28_____________________________________________________________________________
DETERMINISTIC VS STOCHASTIC
- Sistem deterministik memiliki respons terhadap suatu inputyang dapat ditebak dan berulang / konsisten.
- Sistem stokastik: respons terhadap input yang sama tidakselalu menghasilkan output yang sama.
LUMPED- VS DISTRIBUTED – PARAMETERS
- Pemodelan komponen yang sederhana bila dapat dianggapbahwa parameter-parameter komponen tsb dapat dimodelkansecara terkumpul disatu titik.
- Dicirikan dengan persamaan differensial biasa.
- Pemodelan parameter terdistribusi lebih tepat digunakan,misalnya pada sistem transmisi.
- Dicirikan dengan persamaan differensial parsial.
Bab 2: Model Matematis Sistem Dinamis EL303 Sistem Kendali_____________________________________________________________________________
Teknik Elektro ITB [EYS- 98] hal 8 dari 28_____________________________________________________________________________
TRANSFER FUNCTION VS STATE SPACE
- Analisis sistem sederhana, SISO yang bersifat linear,kontinyu, time-invariant, lumped-parameters, deterministik,dapat dilakukan melalui pendekatan tradisional (fungsi alih)yang merupakan domain frekuensi kompleks. Alat bantuanalisis dan perancangan dapat berupa Root Locus (domainwaktu), Bode Plot atau Nyquist (domain frekuensi).
- Untuk sistem modern yang kompleks dan berakurasi tinggi(ditandai dengan MIMO, non-linear, time-varying, optimal,robust) harus digunakan pendekatan state space yang bersifatdomain waktu.
Bab 2: Model Matematis Sistem Dinamis EL303 Sistem Kendali_____________________________________________________________________________
Teknik Elektro ITB [EYS- 98] hal 9 dari 28_____________________________________________________________________________
Model Matematis untuk Rangkaian Elektrik(1)
Dalam bentuk Laplace : (anggap kondisi mula = 0)
Fungsi alih :
Hukum Fisis : KirchoffPersamaan dinamis sistem/ Persamaan differensial
Ldidt
Ric
idt ei+ + =∫1
1
cidt eo=∫
L R
c eoeii
)()(
)()(
)()(
)()(1
2 ssEcsI
sRsIsLIs
ssECsI
sEsIsC
i
oo
=++
=→=
)()(1
)()( sEsICs
sRIssLI i=++
1
1
)(1
)(
)(
)(2
2 ++=
++
=RCsLCssI
CRsLs
CsI
sEsE
i
o
Bab 2: Model Matematis Sistem Dinamis EL303 Sistem Kendali_____________________________________________________________________________
Teknik Elektro ITB [EYS- 98] hal 10 dari28_____________________________________________________________________________
Model Matematis untuk Rangkaian Elektrik (2)
i2(t)L2 e0(t)C
R L1
e(t)i1(t)
+-
}i i t i t
i Cd t
dt
c
ce
= −
=
1 2
0
( ) ( )
( ) i i Cddt
e1 2
0 3− = ( )
e t Ri Ldidt
e
e Ldidt
( ) ( )
( )
= + +
=
1 11
0
0 22
1
2
Bab 2: Model Matematis Sistem Dinamis EL303 Sistem Kendali_____________________________________________________________________________
Teknik Elektro ITB [EYS- 98] hal 11 dari28_____________________________________________________________________________
Transformasi Laplace :
E s sL I s I sE ssL0 2 2 20
2
2 2( ) ( ) ( ) ( )( )
( )− → =
I s I s sC E s1 2 0 3( ) ( ) ( ) ( )− =
( )E s R sL I s E s( ) ( ) ( ) ( )= + +1 1 0 1
I sE s E s
R sL10
1
1( )( ) ( )
( )=−+
( ) & ( ) ( )1 2 3→
E s E sR sL
E ssL
sC E s( ) ( ) ( )
( )−+
− =0
1
0
20
( )( )( )
SL E s sL E s R sL E s
R sL sLsC E s2 2 0 1 0
1 20
( ) ( ) ( )( )
− − +
+=
( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )[ ]
( ) ( )
sL E s R s L L E s R sL s L C E s
sL E s s L C R sL s L L R E s
E sE s
sL
s L C R sL s L L R
2 1 2 0 12
0
22
1 1 2 0
0 2
22 1 1 2
2
2
− + + = +
= + + + +
=+ + + +
( )
( ) ( )
( )
( )
( )=+ + + +
sL
s L L C s L CR s L L R2
31 2
22 1 2
Bab 2: Model Matematis Sistem Dinamis EL303 Sistem Kendali_____________________________________________________________________________
Teknik Elektro ITB [EYS- 98] hal 12 dari28_____________________________________________________________________________
Model Matematis untuk Rangkaian Elektrik (3)
Persamaan Rangkaian:
Diperoleh:
-
+
R1
i1
R2
eoei
i0ex
i2Op Amp ideal :Zin = ~
Sehingga i0 = 0
ex ~0 virtual ground,sehingga
i i1 2=
e eR
e eR
eR
eR
i x x o i o−=
−⇒ =
−
1 2 1 2
eRR
eo = − 2
1
:
Bab 2: Model Matematis Sistem Dinamis EL303 Sistem Kendali_____________________________________________________________________________
Teknik Elektro ITB [EYS- 98] hal 13 dari28_____________________________________________________________________________
Model Matematis untuk Rangkaian Elektrik (4)
-
+
R1
i1
R2
eoei
ex
i3
ci2
eR
Cdedt
eR
i o o
1 2
= − −
1
1
)(
)(
sehingga
)()(
)(
21
2
21
+
−=
−−=
CsRRR
sE
sE
R
sEssCE
RsE
i
o
oo
i
223
2
11
321
~
~
)(
~
R
e
R
eei
dtde
C
dteed
Ci
Re
Ree
i
iii
oox
o
ox
i
ixi
−−=
−
−=
−=
+=
Bab 2: Model Matematis Sistem Dinamis EL303 Sistem Kendali_____________________________________________________________________________
Teknik Elektro ITB [EYS- 98] hal 14 dari28_____________________________________________________________________________
Model Matematis untuk Sistem Mekanis:Translasi(1)
Laplace :
pada t < 0 : sistem tak bergerakpada t = 0 gerobak di gerakandengankecepatan konstan
dndt
kons= tan
y = output relatif terhadapground
k
m
n input
y output
b
( )md ydt
bdydt
dndt
k y n
md ydt
bdydt
ky bdndt
kn
2
2
2
2
+ −
+ −
+ + = +
( ) ( )
kbsmskbs
sUsY
sUkbssYkbsms
+++
=
+=++
2
2
)(
)(
)()(
Bab 2: Model Matematis Sistem Dinamis EL303 Sistem Kendali_____________________________________________________________________________
Teknik Elektro ITB [EYS- 98] hal 15 dari28_____________________________________________________________________________
Model untuk Sistem Mekanis : Translasi(2)
Hukum Newton kedua :
Laplace :
Diperoleh Fungsi Alih:
Ambil :f = d(t) , sehingga F(s) = 1; m= 1; b=2; k = 1
k
m gaya luar f
b
x
ma F= ∑M = massa, (kg)A = percepatan, m / s2
F = gaya, N
md xd
bdxdt
kx f2
2++ + =
ms X s bs X s kX s F s2 ( ) ( ) ( ) ( )+ + =
X sF s ms bs k
( )
( )=
+ +1
2
X ss s s s
( )( )( )
=+ +
=+ +
1
2 1
1
1 12
Bab 2: Model Matematis Sistem Dinamis EL303 Sistem Kendali_____________________________________________________________________________
Teknik Elektro ITB [EYS- 98] hal 16 dari28_____________________________________________________________________________
Model Matematis untuk Sistem Mekanis: Rotasi
J = momen inersia beban kg m2
α = percepatan sudut beban rad / s2
T = torsi yang diberikan pada sistem Nm
J Tα = ∑
JT w
b
ω = kecepatan sudut rad / sθ = simpangan sudut (rad)
Tbdtd
J
Tdtd
bdtd
J
=+
=+
ωω
θθ
:atau
2
2
Bab 2: Model Matematis Sistem Dinamis EL303 Sistem Kendali_____________________________________________________________________________
Teknik Elektro ITB [EYS- 98] hal 17 dari28_____________________________________________________________________________
Model Matematis untuk Generator DC :
ο Kecepatan konstan nο Arus output ia dapat dikontrol dari besarnya arus if
KVL pada kiri/input :
Substitusi (3) -à (2):
dt
de
k
L
k
eRe g
g
f
g
gff +=
if
Rf
LfefzLea
LgRg
iaeg
nif = arus medan ia = arus jangkar
f
g
ik
nke
⋅=
⋅⋅=
2
1
φ
φ } fgg ike ⋅= (1)
Konstanta generator
e R i Ld
dtf f f f
if= + ( )2
ie
kf
g
g
= ( )3
(1) :
Bab 2: Model Matematis Sistem Dinamis EL303 Sistem Kendali_____________________________________________________________________________
Teknik Elektro ITB [EYS- 98] hal 18 dari28_____________________________________________________________________________
Dalam Laplace:
KVL pada loop kanan/ouput
Atau:
Substitusi :
[ ]
ff
g
f
g
gffg
f
sLR
k
sE
sE
sEsLRk
sE
+=
+=
)(
)(
:FungsiAlih
)(1
)(
Laa
iaggaga
ziedt
dLLRiee
⋅=
+++−=− ;
ieza
a
L
=
)()()(
1)( sEsz
sL
sz
RsE
dtde
z
Le
z
Ree
dtde
z
LR
ze
ee
aL
g
L
gg
a
L
ga
L
gatg
a
L
gg
L
aga
++=
++=
++−=−
Bab 2: Model Matematis Sistem Dinamis EL303 Sistem Kendali_____________________________________________________________________________
Teknik Elektro ITB [EYS- 98] hal 19 dari28_____________________________________________________________________________
Diperoleh:
Sehingga :
=
z sz s
E sL
La
( )
( )( )
E sE s
z sz s R L s
a
g
L
L g g
( )
( )
( )
( )=
+ +
E sE s
E s
E sx
E sE s
a
f
g
f
a
g
( )
( )
( )
( )
( )
( )=
=+ + +
R
R sLfx
z sz s R sLg
g L
L g
( )
( )
Bab 2: Model Matematis Sistem Dinamis EL303 Sistem Kendali_____________________________________________________________________________
Teknik Elektro ITB [EYS- 98] hal 20 dari28_____________________________________________________________________________
Model Matematis untuk Motor DC denganPengontrolan Arus Jangkar
em = tegangan terinduksi
If = konstan
sehingga
ia = arus jangkar
em
LmRm
iaea
τ θo(t)
inersiaJ
simpangan sudut
B= dampingLf
If
Ef = konstanif = arus medan
rangkaian jangkar
e k nm = ⋅ ⋅1 φ n= kecepatan rotasi (putaran)motor
φ = ⋅k i f2 φ = konstan
e k n kddtm e e
o= ⋅ =θ
Ke = konstanta tegangan motor
Bab 2: Model Matematis Sistem Dinamis EL303 Sistem Kendali_____________________________________________________________________________
Teknik Elektro ITB [EYS- 98] hal 21 dari28_____________________________________________________________________________
Persamaan rangkaian :
Persamaan Beban
Torsi yang dihasilkan motor : sebanding dengan fluksi v (yangdalam hal ini konstan) dan sebanding dengan arus jangkar ia
sehingga :
( )
e R i Lddt
e
e R i Lddt
kddt
E s R sL I s k s s
a m a mia
m
a m a mia
eo
a m m a e o
= + +
= + +
= + +
θ
θ( ) ( ) ( )
T = kT . ia
KT = konstansta torsi motor
T Jddt
Bddt
o= +2
2
θ θ
atau :
( ) )()( 2 sBJssIk osaT Θ+= -
( ) ( ) ( )Θo
a m m m m e T
sE s
kT
J L s R J L B s R B k k s
( )=
+ + + +2 2
Bab 2: Model Matematis Sistem Dinamis EL303 Sistem Kendali_____________________________________________________________________________
Teknik Elektro ITB [EYS- 98] hal 22 dari28_____________________________________________________________________________
Dengan definisi :
Diperoleh:
TLRa
m
m
= → Konstanta waktu jangkar
TJ Rk km
m
e T
= → Konstanta waktu motor
γ = →R Bk k
m
e T
Faktor redaman
( )( ) ( ) ( )[ ]
Θ s
a a m m a
sE s
k
s T T s T T s=
+ + + +
1
12 γ γ
Bab 2: Model Matematis Sistem Dinamis EL303 Sistem Kendali_____________________________________________________________________________
Teknik Elektro ITB [EYS- 98] hal 23 dari28_____________________________________________________________________________
Model Matematis untuk Motor DC denganPengontrolan Arus Jangkar :
Fluksi oleh arus medan :
Torsi T :
Tegangan Back EMF:
Tegangan EMF: proporsional terhadap fluksi (konstan) &kecepatan sudut putaran poros motor.
ψ ψ= ⋅ →k if f Konstan untuk if konstan
T k i k i k i k ii a i a f f a= ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅φk = konstanta motor - torsi
ia = arus jangkar
eb
LaRa
iaea
Τ
inersia
θ simpangan sudut pores motor rad
back emf volt
J
moren
motor + beban
b = kref gesekan motor + bebanNm / rad/s
kg m2if konstanarus medan
torsi yang dihasilkan motor, Nm
dtd
ke bb
θ⋅=
Bab 2: Model Matematis Sistem Dinamis EL303 Sistem Kendali_____________________________________________________________________________
Teknik Elektro ITB [EYS- 98] hal 24 dari28_____________________________________________________________________________
Persamaan input :
Persamaan output :
abaaa
a eeiRdtdi
L =++
dtd
bdtd
JikT a
θθ+=⋅=
2
2
Bab 2: Model Matematis Sistem Dinamis EL303 Sistem Kendali_____________________________________________________________________________
Teknik Elektro ITB [EYS- 98] hal 25 dari28_____________________________________________________________________________
Model Matematis untuk Sistem Generator-MotorWard-Leonard
Generator dc mendrive motor dc dengan pengontrolan arus jangkar
Konfigurasi dasar :
Fungsi alih :
Persamaan Loop kanan :
J
Rf
Lfif
ef
RgLg Rm
Lm
eg em
ia
B
θo
If
Ef
ngenerator dc
servo motor
( )( )
E s
E s
k
R sLg
f
g
f f
=+
( ) ( )( ) ( )[ ]
e R R i L Lddt
kddt
E s R R s L L I s k s s
g g m a g min
eo
g g m g m a e o
= + + + +
= + + + +
θ
( ) ( ) ( )Θ
Bab 2: Model Matematis Sistem Dinamis EL303 Sistem Kendali_____________________________________________________________________________
Teknik Elektro ITB [EYS- 98] hal 26 dari28_____________________________________________________________________________
Persamaan Beban :
atau :
sehingga :
= ……………………..
( )( )
)()(
)()(
2
2
2
2
sk
BJssI
sBsJssIkdt
dB
dd
JT
oT
sa
oaT
oo
Θ+
=
Θ+=⋅
++
=θθ
( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ]Θo
gm g m g m g m g e T
sE s
kT
s J L L s R R J L L B s R R B k k
( )
( )=
+ + + + + + + +2
( ) ( )e e R R R L L L sehinggaa g m m g m m g→ ⋅ → + → +; ,
( )Θ Θo
f
o
g
g
f
se s
sE s
xE s
E s( )
( )
( )
( )
( )=
Bab 2: Model Matematis Sistem Dinamis EL303 Sistem Kendali_____________________________________________________________________________
Teknik Elektro ITB [EYS- 98] hal 27 dari28_____________________________________________________________________________
Model Matematis untuk Motor DC denganPengontrolan Arus Medan
Torsi yang dihasilkan motor :
sehinggaT = kT . if
Pers beban :
Pers loop kiri / input :
if = arus medanif
Rf
Lfef Ea
Ia = arus jangkar konstan
B
θo(t)J
T konsa~ tanφ =~ i f
iJ
kTddt
Bddtf
o o= +2
2
θ θ
T Jddt
Bddt
o o= +2
2
θ θ
Bab 2: Model Matematis Sistem Dinamis EL303 Sistem Kendali_____________________________________________________________________________
Teknik Elektro ITB [EYS- 98] hal 28 dari28_____________________________________________________________________________