Mode-Filtering Analysis Method of Space and Time Harmonic ...

Extended Summary 本文は pp.516–522

Mode-Filtering Analysis Method of Space and Time Harmonic WaveComponents of Magnetic Fields in Rotating Machinery

Kenji Miyata Member (Hitachi, Ltd.)

Kazumasa Ide Senior Member (Hitachi, Ltd.)

Kazuo Shima Member (Kanazawa Institute of Technology)

Keywords: rotating machinery, magnetic field analysis, finite element method, space harmonic wave, time harmonic wave

We propose a new analysis method of harmonic wave compo-nents of magnetic fields in rotating machinery. First, the transientanalysis of nonlinear magnetic field is excuted taking into accountan eddy current field by using the finite element method. The fieldon the sliding surface is expanded into a number of harmonic wavecomponents. Figures 1 and 2 indicate the transient behaviors of theamplitudes and phases of the harmonic waves on the sliding surface.The amplitude of the 1st mode is very large (11.43±0.09 mWb) andso is not shown in Fig. 1. The 1st mode is a fundamental one of therotating machinery which is followed by the harmonic waves of oddnumber mode, while the harmonic waves of even number mode arenot synchronized with the fundamental mode.

In the next process, the magnetic permeability obtained by thetransient analysis is embedded on all the magnetic finite elementsin the FEM analysis, and the harmonic wave components are seton the sliding surface as the boundary condition. All magnetomo-tive force of permanent magnets and coil currents is switched off,and individual fields on the harmonic wave boundary condition areanalysed taking into account eddy current fields for the rotor andstator spaces. For the robust analysis, the eddy current term shouldbe added to the right hand side source term with iterative calcu-lations. Figure 3 shows the magnetic flux lines and magnet eddycurrent density of the 2nd mode at 691st step. On the other hand,all magnetomotive force is switched on, and the source mode fieldis analysed under the boundary condition of zero field on the slid-ing surface. The sum magnetic field of the harmonic modes and thesource mode agree well with the original transient field. The fieldsof source mode and the harmonic modes are visualized in animationstyle showing the transient behaviors.

The field analysis requires only linear magnetic field analysis,and therefore the cpu time of the harmonic mode analysis is only10–20 times longer than that of the original transient wave analy-sis despite computing a large number of calculations for rotor andstator spaces.

Figure 4 shows the time-averaged eddy current loss for the con-ventional transient analysis (A), the loss obtained by the sum fieldof the source mode and 0-30 harmonic wave modes (B), the sum ofthe losses of the source mode and 0-30 harmonic wave modes (C),and the loss of the source mode and the harmonic wave mode(S,0, 1, 2, 3,. . . , 10). The value of (B) has approximately the samevalue as (A). However, the value of (C) is 1.6 times larger than thevalue of (A) because all the negative effects of the coupling termsbetween the harmonic waves are neglected. But, the eddy currentlosses of the harmonic waves can be used as indicators to comparethe relative effects to eddy current field.

The mode separation of magnetic field will contribute to the studyof reducing the harmful harmonic wave components for the rotatingmachinery.

Fig. 1. Transient behavior of space harmonic wave am-plitudes

Fig. 2. Transient behavior of phases of space harmonicwaves

Fig. 3. Magnetic flux lines and eddy current density of2nd mode at 691st step (Jmin = −1.52 × 105 A/m2,Jmax = 1.59 × 105A /m2)

Fig. 4. Time-averaged eddy current loss (A: Conven-tional transient analysis, B: Loss obtained by the sumfield of s and 0-30modes, C: Sum of s and 0-30modes’losses, S: Source mode)

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論 文

回転機における時間・空間高調波磁場成分に関する分析法

正 員 宮田 健治∗ 上級会員 井出 一正∗

正 員 島 和男∗∗

Mode-Filtering Analysis Method of Space and Time Harmonic Wave Components ofMagnetic Fields in Rotating Machinery

Kenji Miyata∗, Member, Kazumasa Ide∗, Senior Member, Kazuo Shima∗∗, Member

We propose a new analysis method of harmonic wave components of magnetic fields in rotating machinery. Using

the magnetic permeability obtained by the transient analysis of nonlinear magnetic field, the harmonic wave com-

ponents of the magnetic field are individually calculated both in the spaces of rotor and stator under the boundary

condition that the harmonic wave components obtained by the transient analysis are set on the sliding surface. The

mode separation of magnetic field will contribute to the study of reducing the harmful harmonic wave components for

the rotating machinery.

キーワード：回転機，磁場解析，有限要素法，空間高調波，時間高調波

Keywords: rotating machinery, magnetic field analysis, finite element method, space harmonic wave, time harmonic wave

1. はじめに

回転機に発生する磁場分布には複数の高調波成分が含ま

れている。この複数の高調波成分のうち，いくつかの特定の高調波成分が，振動・騒音を引き起こし，基本周波数成分ならびに高調波成分は鉄損や永久磁石の渦電流損をもたらす (1) (2)。従って，回転機の高効率・低騒音化のためには，

回転機内に発生する時間・空間高調波を低減させることが重要となる。通常の磁場解析のみでは，解析結果として得られる磁場分布は複数の高調波成分すべてが重畳された状態で得られ

るため，このままでは損失や振動・騒音の発生要因となる高調波成分を特定することは困難であり，高調波成分に関する分析処理を必要とする。解析対象が非線形磁気特性を有するため，各高調波成分は相互に強く結合しており，各高

調波に関する現象を独立に取り扱えない。このことが，回転機における高調波分析を厄介なものにしている。回転機の代表的な磁場解析法では，回転子と固定子間の

エアギャップの中央部にスライド面と称する円筒状の境界

∗（株）日立製作所〒319-1292 日立市大みか町 7-1-1Hitachi, Ltd., Hitachi Research Laboratory1-1, Omika, Hitachi 319-1292

∗∗ 金沢工業大学工学部電気系〒921-8501 石川県石川郡野々市町扇が丘 7-1Kanazawa Institute of Technology7-1, Ohgigaoka, Nonoichi, Ishikawa 921-8501

面を設定し，この面を境に回転子は回転座標系で解析され

る。これまでは，このスライド面上の磁場成分を回転方向に高調波分離することがなされてきた (3)。このような分析では，分析の切り口がスライド面上に限定されているため，求めた高調波のようすまでは特定できても，その発生原因

が回転機のどの部分にあるかを突き止めるのは困難である。これに対し，山崎ら (4) (5) は二次元の回転機磁場解析結果において，スライド面上の磁束密度分布を抽出し，それを時間高調波，あるいは時間・空間高調波（時間高調波をさら

に空間的な調波成分に分解したもので，空間高調波を時間的な調波成分に分解したものと考えても良い）に展開して，三次元空間におけるスライド面上に磁束密度の各高調波成分が与えられるように磁気ベクトルポテンシャル成分を境

界条件として与え，回転子を周波数空間で解析する方法を提案した。この方法を用いると，高調波成分毎に回転子内部のようすを知ることができ，高調波成分毎に損失分析ができる。また近似的に三次元効果を解析に取り込んだ高速

解析が可能であり，回転機の損失解析として有用である。一方，筆者らは，スライド面上の高調波成分を境界場とし，解析空間全体を回転子空間および固定子空間に分離して，回転機内の高調波磁場分布をそれぞれ個別に解く方法

を提案した (6)～(9)。この方法は，スライド面上の場を空間高調波展開し，各高調波成分をスライド面上に境界条件として設定するという考え方の面で山崎らの方法と共通である

が，過渡解析で求めた透磁率分布を用いて，回転子空間および固定子空間それぞれ個別に磁場解析するという点が異

c© 2008 The Institute of Electrical Engineers of Japan. 516

回転機における時間・空間高調波磁場

なる。本方法は，空間高調波のみに限らず，スライド面上の場を空間高調波と時間高調波の合成場とみなし，時間・

空間高調波成分に分解して解析することもできる。この方法を用いれば，解析空間全体にわたって，非線形磁気特性を考慮した高調波磁場の影響をビジュアルに観察することが可能になる。また，渦電場を高調波ごとに分離解析する

ことにより，渦電流に関する各高調波の相対的な寄与度を分析できる。ここでは，空間高調波成分に関する分析法，ならびに時間・空間高調波成分に関する分析法について説明する。また，

空間高調波成分に関する分析法の具体例として IPMモータに関する解析結果を示す。

2. 分析方法

有限要素法で磁場解析する場合の一般的な方法として，磁気ベクトルポテンシャル Aを用いた A法で記述すると，

変位電流の影響が無視できる準静的な場の基礎方程式は，

rot

(1μ

rot A)+ σ∂A∂t= J0 + rot

(M0

μ

)· · · · · · · · · · (1)

となる。ここに，μは透磁率，σは導電率，J0 はコイルの電流密度ベクトルである。なお，磁石に関しては，便宜上，B = μH + M0 とした。M0 は磁石の残留磁化であり，残留磁束密度と同値のベクトル量である。

辺要素有限要素法 (10)～(13) で解析する場合，磁気ベクトルポテンシャル Aは，ベクトル基底関数 Ni を用いて，

A =∑

i

aiNi · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · (2)

で表現できる。ここに，ai は各要素の辺に割り当てられた

値であり，A法の辺要素有限要素法では，この aiを未知変数とした連立方程式を解く。また，回転軸方向に関して，辺の中心が同じ位置 zk に属するスライド面上の ai の集合を{ai; zk}と略記する。図 1には，ここに提示する分析方法の流れを示す。まず第 1ステップとして，通常通りに回転機磁場の過渡解析を実施する。回転機を構成する磁性材料は概ね非線形磁気特性を有するため，時間とともに変化する透磁率分布をタイ

ムステップ毎に保存しておく。つぎに第 2ステップとして，タイムステップ毎にスライド面上の {ai; zk}を用いて，回転方向に空間高調波展開する。

a (θ, t) =∞∑

n=0

an (t) cos n(θ − ϕn) · · · · · · · · · · · · · · · · · (3)

ここで，θは回転方向の電気角，an (t)は n次成分の振幅，

ϕnは θ = 0における n次成分の位相を nで割ったものである。特に三次元の場合は，スライド面上では辺の長さを同一にし，回転移動ですべての辺が重なるような関係になるようにメッシュ分割しておけば，容易に空間高調波展開が

できる。二次元解析では，二次元メッシュを回転軸方向に1層分引き上げた三次元メッシュで，回転軸に垂直な二次

図 1 本分析方法における解析の流れFig. 1. Flow chart of the presented modal field analysis.

元平面に平行な辺上の未知数をすべて 0にした解析と等価

であり，未知変数が配置される辺は回転軸方向に平行な辺のみになる。このため，スライド面上のメッシュ分割が等間隔になっていれば，容易に空間高調波展開ができる。最後に第 3ステップとして，磁場分布に関するモードフィ

ルタリング解析と称する各モードの磁場解析を実施する。モードフィルタリング解析では，最初の過渡解析で得られた各要素の透磁率データを，タイムステップ毎に各要素に与える。モードフィルタリング解析は，ソース成分磁場解

析ならびに高調波成分磁場解析からなる。ここで，ソース成分磁場解析とは，磁場のソースとしてコイル電流や磁石磁化を与え，境界条件としてスライド面上の {ai; zk}を 0に

して，回転子空間および固定子空間において，個別に実施する線形磁場解析のことである。一方，高調波成分磁場解析とは，ソース成分磁場解析とは逆に，コイル電流および磁石磁化を 0にし，(3)式の第 n次成分である an cos n(θ−ϕn)

をスライド面上の {ai; zk}に関する境界条件とし，回転子空間および固定子空間において，個別に実施する線形磁場解析のことである。ソース成分磁場解析は，コイル電流や磁石磁化を式に直

接含めて場を解析している。これに対して，高調波成分磁場解析は，コイル電流や磁石磁化を式に直接含めず，それによって発生したスライド面上の高調波成分を境界条件とすることで，コイル電流や磁石磁化がもたらす高調波の場

を間接的に解析する。本手法によるモード分離法は，スライド面の場に関するモード分離を切り口にしたものであり，各モードが同一の透磁率を用いているため，重ね合わせると元の場が再現できる仕組みになっている。

数式で表現すると次のようになる。磁気ベクトルポテンシャル Aは

A = AS +

∞∑n=0

An · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · (4)

電学論 D，128 巻 4 号，2008 年 517

に展開できる。ここに，AS はソース成分（Sモード成分），An は n次の高調波成分（n次モード成分）であり，それぞ

れが満たす方程式を，

rot

(1μ

rot As

)= J0 + rot

(M0

μ

)− σ∂As

∂t· · · · · · · · · (5)

rot

(1μ

rot An

)= −σ∂An

∂t· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · (6)

とする。これらの支配方程式は，各モードの渦電流項が近

似的に電流保存則を満足することを前提としている。実際は，渦電流の総和が電流保存則を満足すれば良いので，これは，各モードの渦電流項に対して，強い条件を課していることに相当する。これは，各モードの渦電流項を近似的

に分析するためのひとつの方法である。導電率 σがつく渦電流項は，通常の磁場解析では (1)式のように左辺に置いて時間発展形で解く。しかし，ここでは，渦電流項を右辺に移項し，反復更新することで，安定

な解を得ることができる。これに関する数学的な理由は不明であるが，スライド面に設定する場の値には既に渦電流の影響が含まれており，各タイムステップにおいて，その境界条件のもとで解を求めるということと関係しているも

のと思われる。Sモード成分 AS のソース項は，(5)式の右辺そのものであるのに対して，n次モード成分 Anのソース項は，スライド面における境界場である。透磁率固定の線形解析である

ため，(6)式について n = 0～∞の総和をとり，(5)式と合わせると，(4)式により元の (1)式になる。n次モード成分Anは，透磁率 μならびに境界場を通して，他の成分と結合

している。モードフィルタリング解析は，透磁率を固定した線形解析であり，さらに回転子空間と固定子空間を分離して解くため，短時間で計算することが可能である。数十の高調波

に関して解析を実施しても，それに要する計算時間の合計は，第 1ステップにおける通常の過渡解析にかかる計算時間の数倍あるいは 10～20倍の計算時間で済む。

(3)式はさらに

a (θ, t) =∞∑

n=0

∞∑k=−∞

ank cos(nθ − kωt − ϕnk) · · · · · · · · (7)

のように時間・空間高調波に展開することもできる。ここ

で，ωは基本時間高調波の各周波数，ank は n次空間・k次時間高調波成分の振幅，ϕnk は θ = 0，t = 0における n次空間・k 次時間高調波成分の位相である。この場合，磁気ベクトルポテンシャル Aは

A = AS +

∞∑n=0

∞∑k=−∞

Ank · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · (8)

と表現でき，時間・空間高調波成分 Ank に関する方程式を

rot

(1μ

rot Ank

)= −σ∂Ank

∂t· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · (9)

とし，境界条件としてスライド面上の {ai; zk}を (7)式の第(n, k)成分である ank cos(nθ + kωt + ϕnk)にして，回転子空

間および固定子空間において，個別に線形磁場解析を実施する。この場合，境界場が正弦波状に時間変化していても，透磁率 μが時間変化するため，時間・空間高調波成分 Ank

そのものは正弦波状に変化するわけではない。このため，

(9)式の右辺の渦電流項は，時間微分表現で解析する必要がある。エアギャップの場は，回転子と固定子を電磁的に連結しており，トルクや磁気加振力と密接に関係している。また，

エアギャップの場の変動は，同期機における回転子内部の場に変動をもたらし，回転子内部に鉄損をもたらす。このため，エアギャップ内に位置するスライド面上の場を空間高調波あるいは時間・空間高調波展開して，各成分を境界条

件とする場に展開する本分析法は，磁気加振力や鉄損の原因であるエアギャップの場を成分毎に分析する一種のフィルタの役目をしている。フィルタリングされた複数の場と回転機構造との関係を探ることは，磁気加振力や鉄損低減

のための回転機構造の改良につながる可能性がある。

3. 解 析 例

ここでは，4極 6スロットの IPMモータを解析対象とし

た二次元解析例を示す。図 2は解析に用いたメッシュ分割図である。2周期構造をしているため，解析モデルは，1周期分に相当する 1/2モデルとした。要素数は 8682，節点数

は 8942である。回転子の位置は，1ステップ目の位置を表示してある。解析に用いた IPM モータの諸量を表 1に示す。回転子に埋め込まれた永久磁石は，ネオジム磁石であり，渦電流の影響を見るために 6.94 × 105 S/mの導電率を

与えた。固定子の内壁から内側に厚み 0.48 mmのエアギャップ領域を設定し，半径方向に 4分割，周方向に 180分割の四角形要素群を構成した。また，このエアギャップ領域の中心

部（半径 27.76 mmの位置）にスライド面を設けた。回転子を図 2に示す位置から 1度刻みで 720度まで回転

図 2 IPMモータのメッシュ分割図Fig. 2. Finite element model of IPM motor (Number ofelements: 8682, Number of nodes: 8942).

518 IEEJ Trans. IA, Vol.128, No.4, 2008

回転機における時間・空間高調波磁場

表 1 IPMモータの諸量Table 1. Parameters of IPM motor.

図 3 スライド面上の場 {ai; zk}とその空間高調波Fig. 3. Field {ai; zk} on the sliding surface and its spaceharmonic waves.

させて過渡解析し，スライド面上の {ai; zk}を 30次までの空

間高調波に展開した。図 3には，初期時刻における {ai; zk}ならびに各空間高調波のようすを示す。横軸は回転子の周方向の位置を示しており，0度および 180度は，図 2の A

点および B点の位置に相当する。1次の基本モードが最大

であることは当然のことながら，0次モードも無視できない存在である。図 4には 0次モードの時間変化のようすを示す。0次モードは，正負に時間変動し，時間平均値は 0になる。図 5および図 6には，高調波の振幅と位相の時間変化

のようすを示す。図 5には 1次の基本モードの振幅は 2桁程度大きいため示していないが，11.43± 0.09 mWbでほとんど一定である。 これに対して，2次以上の高調波の振幅は大きく変動する。本解析は渦電流場を伴っており，図 4

および図 5が示すように，270度回転すると定常状態に達する。図 6の高調波の位相は (3)式に示した ϕnである。奇数次の空間高調波の位相は，ゆらぎながらも基本モードに追随して同期がとれているが，偶数次の空間高調波の位相

は，基本モードからずれ，同期はとれていない。特に 2次の空間高調波は，基本モードとは逆方向に位相が進む。

691ステップ目における磁束線と渦電流密度分布のようすを図 7に示し，スライド面上の各空間高調波分布を境界

条件として求めた Sモード並びに 0次～5次モードの磁束線と渦電流密度分布のようすを図 8～図 14 に示す。それ

図 4 0次の空間高調波の時間変化Fig. 4. Transient behavior of 0th mode amplitude.

図 5 各空間高調波振幅 an の時間変化Fig. 5. Transient behavior of space harmonic waveamplitudes.

図 6 各空間高調波位相 ϕn の時間変化Fig. 6. Transient behavior of phases of space harmonicwaves.

図 7 磁束線と渦電流密度分布（691ステップ目）Fig. 7. Magnetic flux lines and eddy current density at691st step (Jmin = −2.74 × 105 A/m2, Jmax = 2.18 ×105 A/m2).

電学論 D，128 巻 4 号，2008 年 519

図 8 Sモードの磁束線と渦電流密度分布（691ステップ目）

Fig. 8. Magnetic flux lines and eddy current density ofS-mode at 691st step (Jmin = −1.35 × 105 A/m2, Jmax =1.04 × 105 A/m2).

図 9 0次モードの磁束線と渦電流密度分布（691ステップ目）

Fig. 9. Magnetic flux lines and eddy current densityof 0th mode at 691st step (Jmin = −6.44 × 102 A/m2,Jmax = 1.25 × 103 A/m2).

図 10 1次モードの磁束線と渦電流密度分布（691ステップ目）

Fig. 10. Magnetic flux lines and eddy current densityof 1st mode at 691st step (Jmin = −5.00 × 104 A/m2,Jmax = 4.39 × 104 A/m2).

図 11 2次モードの磁束線と渦電流密度分布（691ステップ目）

Fig. 11. Magnetic flux lines and eddy current densityof 2nd mode at 691st step (Jmin = −1.52 × 105 A/m2,Jmax = 1.59 × 105 A/m2).

図 12 3次モードの磁束線と渦電流密度分布（691ステップ目）

Fig. 12. Magnetic flux lines and eddy current densityof 3rd mode at 691st step (Jmin = −8.55 × 104 A/m2,Jmax = 8.53 × 104 A/m2).

図 13 4次モードの磁束線と渦電流密度分布（691ステップ目）

Fig. 13. Magnetic flux lines and eddy current densityof 4th mode at 691st step (Jmin = −1.48 × 105 A/m2,Jmax = 1.48 × 105 A/m2).

図 14 5次モードの磁束線と渦電流密度分布（691ステップ目）

Fig. 14. Magnetic flux lines and eddy current densityof 5th mode at 691st step (Jmin = −4.37 × 103 A/m2,Jmax = 4.34 × 103 A/m2).

図 15 30次までのすべてのモードを合成した場の磁束線と渦電流密度分布（691ステップ目）

Fig. 15. Magnetic flux lines and eddy current densityobtained by the sum of S-mode and 0-30th modes at 691ststep (Jmin = −2.45×105 A/m2, Jmax = 2.63×105 A/m2).

520 IEEJ Trans. IA, Vol.128, No.4, 2008

回転機における時間・空間高調波磁場

ぞれのモードの磁束線の分布ならびに渦電流密度分布のようすが詳細にわかるように，磁束線表示と渦電流密度のス

ケーリングは各モードそれぞれ個別に設定してある。また，磁石における渦電流は，紙面に対して手前側に流れる場合を赤系統の色で，向こう側に流れる場合を青系統の色で表示してある。濃色ほど渦電流密度が高いことを示しており，

それぞれの渦電流密度の最小値および最大値を各図に Jmin

および Jmaxとして示してある。なお，解析では，1個の磁石内で渦電流の総和が 0になる拘束条件を課している。同期している 1次モードにおいて，渦電流が発生しているの

は，スライド面における 1次モードの境界場の振幅が一定ではなく微小変動していること，ならびにロータコアの透磁率が時間的に変動していることによるものである。回転子・固定子間のエアギャップで 2次以上の空間高次

の磁束密度分布が存在していても，回転子内部（磁石およびその内径側鉄心）には空間高次の場はとどかない。このため，空間高次モードにおける磁石の渦電流密度分布に，空間的に高次の分布が見られない。これは，磁石の透磁率が

小さく磁束が通りにくくなっており，磁石の外側鉄心で空間高次磁束が短絡しているためと思われる。このように，各モード別に機内の磁束線分布や渦電流密度分布を把握することができる。これらの磁束線や渦電流

密度に関して解析は線形であり，重ね合わせの原理が有効である。これらの各モードを合成した磁束線を図 15に示す。図 15と図 7の磁束線図は，同じスケーリングで表示さ

れており，両者はほとんど一致している。これは，Sモード並びに 0次から 30次までの空間高調波による場をすべて合成すると，元の場が再現できることを意味している。一方，渦電流密度分布に関しては，691ステップにおいて，通

常解析の場合，−2.74 × 105～2.18 × 105 A/m2 であるのに対して，モード合成の方は，−2.41× 105～2.60× 105 A/m2

となっており，再現性がよくない。これに関する明確な理由は見つかっていない。

ここでは紙面の都合上，691ステップ目の磁束線のみの表示にとどめてあるが，各モードに関して，磁束線の時間的な振舞いがビジュアルに観察できる。図 6に示したように，偶数次のモードは基本モードとは非同期のため，回転

機内に埋め込まれたネオジム磁石の中を偶数次モードの磁場が大きく変動する。奇数次のモードは基本モードにほぼ同期しているため，回転子に乗った回転座標系で観察した場合，回転子内の奇数次モードの場は，わずかに揺らぐの

みである。このため，偶数次モードの方が奇数次モードよりも，ネオジム磁石の中の渦電流への寄与は大きい。図 16には時間平均渦電流損を示しており，各モードに関する量のほかに，通常解析のものAと，30次までのすべて

のモードを合成して得られた場によって算出したものB，30

次までのすべてのモードそれぞれ個別に算出した時間平均渦電流損の和 Cを示す。図 4，図 5に示すように今回の渦

電流場は，270ステップ目以降，十分に定常に達するので，時間平均渦電流損は，1周期を形成する 669ステップ目か

図 16 時間平均渦電流損Fig. 16. Time-averaged eddy current loss (A: Conven-tional transient analysis, B: Loss obtained by the sumfield of s and 0-30modes, C: Sum of s and 0-30modes’losses, S: S-mode).

ら 698ステップ目までの平均値を算出した。この図が示すように，2次，4次の偶数次のモードの渦電流損が比較的大きいことがわかる。なお，特異的に 3次の奇数次モードの

渦電流損も比較的大きい。これは，図 6に示すように 3次モードが基本モードに同期はしているものの，位相が大きく揺らいでいるためである。30次までのすべてのモードを合成して得られた場を用いて算出した時間平均渦電流損Bは，

通常の過渡解析のものであるAに対して，やや小さめに出ている。また，30次までのすべてのモードについて個別に算出した時間平均渦電流損の合計は，図 16のCに示すよう

に，通常の過渡解析の値に比べて約 1.6倍大きい。これは，渦電流損の算定において，渦電流密度ベクトルを J とし，各モードの渦電流密度ベクトルを Jn (n = s, 0, 1, 2, · · · · · ·)とおくと，

|J |2 =∣∣∣∣∣∣∣∑

n

Jn

∣∣∣∣∣∣∣2

=∑

n

|Jn|2 +∑n�m

∑m

Jn Jm · · · · · · (10)

の最後の項である異なるモード同士の積の項が負の値として加算されるためである。このように，各モードの渦電流損の総和は，通常解析の渦電流損とは異なるものの，各モードの渦電流損の値を相対的に比較することにより，渦電流

損に関する各高調波の相対的な寄与度を分析できる。なお，1タイムステップあたりの計算時間は，通常解析で

0.70 s/stepに対して，モードフィルタリング解析では，通常解析の約 14倍の 9.84 s/stepであった。用いた計算機は，

Intel Core2 Windows マシン（クロック周波数：2.4 GHz）である。モード計算では，Sモードも含めて，回転子・固定子分離して解析しており，64ケースの線形磁場解析を実行した。なお，渦電流がなければ，渦電流解析のための反

復計算が不要になるため，モードフィルタリング解析の計算時間は 8.05 s/stepとなり，やや短くなる。ここでは，空間高調波に関して例示したが，時間・空間高調波に関しても，同様な解析が可能である。このように，

従来主流であるスライド面上の場のモード展開による場の特性分析は，ここで示した方法により，解析空間全体にわ

電学論 D，128 巻 4 号，2008 年 521

たる高調波特性分析に拡張でき，よりビジュアルな分析が可能になる。渦電流がない場合は，この分析は厳密であり，

渦電流がある場合は，渦電流保存則を各空間高調波成分にまで個別に課しているため，あくまでも近似的な分析法である。

4. ま と め

回転機内の磁場を高調波磁場成分にモード展開する新しい分析方法を提案した。本方法は，磁性材料の非線形磁気特性を考慮したものであり，スライド面上の場をモード分

離して，個別に境界条件付けすることにより，回転機内の磁場を高調波磁場成分にモード展開できる。本分析法により，渦電流発生の主原因となる高調波のモード次数を特定できるばかりでなく，高調波磁場分布の時間変化のようす

を回転子および固定子の両空間において，ビジュアルに見ることができるため，高調波発生原因究明のひとつの手段となり得る。（平成18年9月6日受付，平成19年10月11日再受付）

文 献

（ 1） 回転機の三次元電磁界解析高度化調査専門委員会：「回転機の電磁界解析高度化技術」,電学技報,第 942 号 (2004)

（ 2） 回転機の電磁界解析高精度モデリング技術調査専門委員会：「回転機の電磁界解析高精度モデリング技術」,電学技報,第 1044 号 (2006)

（ 3） H. Mikami, K. Ide, K. Arai, M. Takahashi, and K. Kajiwara: “Analysis ofhigher harmonic components in magnetic fields on three phase squirrel-cageinduction motors considering higher harmonics in the secondary current”,Trans. IEE of Japan, Vol.116-D, No.2, pp.158–166 (1996) (in Japanese)三上浩幸・井出一正・新井啓治・高橋身佳・梶原憲三：「高調波二次電流を考慮した三相かご形誘導電動機の機内高調波磁場解析」,電学論 D, 116, 2, pp.158–166 (1996)

（ 4） K. Yamazaki and S. Watari: “A study on loss analysis of synchronous per-manent magnet motors using combination of 2-D and 3-D finite elementmethod”, The Papers of Joint Technical Meeting on Static Apparatus andRotating Machinery, IEE Japan, SA-03-74/RM-03-76 (2003) (in Japanese)山崎克己・渡伸次郎：「三次元・二次元併用有限要素法による永久磁石同期電動機の損失解析に関する検討」,電学静止器・回転機合同研資, SA-03-74/RM-03-76 (2003)

（ 5） K. Yamazaki and H. Satou: “Loss analysis of synchronous permanent mag-net motors using combination of 2-D and 3-D finite element method—Comparison between proposed method and full 3D analysis—”, The Papersof Joint Technical Meeting on Static Apparatus and Rotating Machinery,IEE Japan, SA-04-59/RM-04-83 (2004) (in Japanese)山崎克己・佐藤寛之：「三次元・二次元併用有限要素法による永久磁石同期電動機の損失解析—フル三次元解析との比較—」,電学静止器・回転機合同研資, SA-04-59/RM-04-83 (2004)

（ 6） 井出一正・宮田健治・島 和男：「回転電機の磁界解析プログラム,装置及び方法」,特願 2002-366020（出願日：2002 年 12 月 18 日）

（ 7） 島 和男・井出一正・宮田健治：「回転電機の磁界解析プログラム」,公開特許公報特開 2004-341828（出願日：2003 年 5 月 15 日）

（ 8） 宮田健治・井出一正・島 和男・谷 正之：「回転電機の磁界解析プログラム」,公開特許公報特開 2004-245814（出願日：2003 年 5 月16 日）

（ 9） K. Miyata, K. Ide, and K. Shima: “Proposed analysis method of space andtime harmonic wave components of magnetic fields in rotating machinery”,The Papers of Technical Meeting on Rotating Machinery, IEE Japan, RM-05-111 (2005) (in Japanese)宮田健治・井出一正・島 和男：「回転機における時間・空間高調波磁場分布の分析方法の提案」,電学回転機研資, RM-05-111 (2005)

（10） J.C. Nedelec: “Mixed Finite Elements in R3”, Numer. Math., Vol.35,pp.315–341 (1980)

（11） A. Bossavit: “Whitney forms: a class of finite elements for three-dimensional computations in electromagnetism”, IEE Proc., Vol.135, No.8,pp.493–500 (1988)

（12） 五十嵐一・亀有明久・加川幸雄・西口磯春・A.ボサビ：「新しい計算電磁気学基礎と数理」,倍風館 (2003)

（13） 高橋則雄：「三次元有限要素法磁界解析技術の基礎」,オーム社 (2006)

宮 田 健 治 （正員） 1957年 1月 5日生。1981年 3月東京大

学大学院理学系研究科物理学専攻修士課程修了。

同年 4月（株）日立製作所入社。日立研究所勤務。

電磁界数値解析に関する研究に従事。現在，同所

主任研究員。工学博士。日本物理学会会員。

井 出 一 正 （上級会員） 1964年 1月 5日生。1988年 3月東

北大学大学院工学研究科電気及通信工学専攻博士

前期課程修了。同年 4月（株）日立製作所入社。現

在，研究開発本部日立研究所モータイノベーショ

ンセンタ長。主に回転機の研究開発に従事。工学

博士。日本磁気学会，IEEE会員。1993 年，2001

年電気学会論文賞，2003 年オーム技術賞受賞。

島 和 男 （正員） 1970 年 9 月 21 日生。1995 年 3 月京都

大学大学院工学研究科電気工学第二専攻博士前期

課程修了。同年 4月（株）日立製作所入社。2005

年 4月より金沢工業大学工学部講師。回転機の研

究に従事。工学博士。IEEE，日本工学教育協会会

員。1997年，1999年，2002年電気学会論文発表

賞受賞。

522 IEEJ Trans. IA, Vol.128, No.4, 2008