Page 1
Modelisation de la stabilite des blocs rocheux isoles sur
la paroi des excavations souterraines avec prise en
compte des contraintes initiales et du comportement non
lineaire des joints
Rima Ghazal
To cite this version:
Rima Ghazal. Modelisation de la stabilite des blocs rocheux isoles sur la paroi des excavationssouterraines avec prise en compte des contraintes initiales et du comportement non lineaire desjoints. Sciences de la Terre. Ecole Nationale Superieure des Mines de Paris, 2013. Francais.<NNT : 2013ENMP0007>. <pastel-00934081>
HAL Id: pastel-00934081
https://pastel.archives-ouvertes.fr/pastel-00934081
Submitted on 21 Jan 2014
HAL is a multi-disciplinary open accessarchive for the deposit and dissemination of sci-entific research documents, whether they are pub-lished or not. The documents may come fromteaching and research institutions in France orabroad, or from public or private research centers.
L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, estdestinee au depot et a la diffusion de documentsscientifiques de niveau recherche, publies ou non,emanant des etablissements d’enseignement et derecherche francais ou etrangers, des laboratoirespublics ou prives.
Page 3
T
H
È
S
E
INSTITUT DES SCIENCES ET TECHNOLOGIES
École doctorale nO398 : Géosciences et Ressources Naturelles
Doctorat ParisTech
T H È S E
pour obtenir le grade de docteur délivré par
l’École nationale supérieure des mines de Paris
Spécialité
« Technique et Economie de l’exploitation du Sous-sol »
présentée et soutenue publiquement par
Rima GHAZALle 26 février 2013
Modélisation de la stabilité des blocs rocheux isolés sur la paroi desexcavations souterraines avec prise en compte des contraintes initiales et du
comportement non linéaire des joints
* * *Stability modeling of isolated rock blocks at the surface of underground excavations
taking into account initial stresses and non-linear joint behavior
Directeur de thèse : Michel TIJANICo-encadrement de la thèse : Faouzi HADJ-HASSEN
JuryM. A. MILLARD, Professeur, Ecole Polytechnique RapporteurMme V. Merrien-SOUKATCHOFF, Professeur, Ecole des mines de Nancy RapporteurM. J.-P PIGUET, Professeur, Ecole des mines de Nancy PrésidentM. D. BILLAUX, Docteur, ITASCA ExaminateurM. T. YOU, Ingénieur, GEOSTOCK ExaminateurM. M. TIJANI, Directeur de recherches, MINES ParisTech ExaminateurM. F. HADJ-HASSEN, Docteur, MINES ParisTech Examinateur
MINES ParisTechCentre de Géosciences
35 rue Saint Honoré, 77305 Fontainebleau, France
Page 5
♠s très rs ♠ ②t t ss♥ ③
♠é♠♦r r ❲ïé
Prs ♥ ♠s r♥ ♥s ♠ ♠é♥♦
♦é Ps ♥s és ♦s
❱① ♦rs t♦t ♣♦r ♠♦ ♥t é♦r
t ♠s rs s♦♥rs s♦♥t ♣s ♦rs q s r♦s
rs r ②♥
Page 7
♠r♠♥ts
tt tès été té ♥tr é♦s♥s Prs s♥ éq♣
é♦♦ ♥é♥r t é♦♠é♥q t♥s à r♠rr ♥s s qqs ♥s ♣srs
♣rs♦♥♥s q ♦♥t ♦♥tré rt♠♥t ♦ rrèr s ♦sss à résst tr
♥ ♣r♠r r♠r ♣r♦♦♥é♠♥t ♠♦♥ rtr tès ♥ ♣♦r ♠♦r
é t ♥♦ré t♦t ♦♥ tt tès ♣♣♦rt s♥tq ♠é♠♦r ♥rt ♣ ♦r
♦r s♥s s ♦♥trt♦♥ r ss ♣♦r ♦♥♥ q ♠ été ss♥t ♣♦r ♣r♦rssr t
♣♦r séérté r st t②sr ♣r♦tté r♠r ♠♦♥ ♠îtr tès ♦③
ss♥ q ♥é é tt tès t ♠ ♥♦ré à ♦♠♠♥r ♦t♦rt r
ss ♣♦r ♠♦r t♦♦rs ♥té à r ♣s ♦♥ s♣èr q ♥♦s rr♦♥s s ♥s ♠①
é♦♣♣és ♣s ♠♦♥ st ♥tr é♦s♥s ♥ ♣① qêtr très r♦♥♥ss♥t à ♠s
① ♥r♥ts ♣♦r rs r♥s qtés ♠♥s t ♣♦r r s♣♣♦rt ♦♥t♥ srt♦t r♥t
♣ér♦ ♦r ♠r
♦rs ss ①♣r♠r ♠ r♦♥♥ss♥ à ♥♥ rtr ♥tr é♦s♥s ♠♥
♦t③ t rtr t ♠ ♥s qà ♥s♠ s rrs t♥♥s t srétrs
♥tr ♣♦r r r① t ♣♦r ♠♦r ♣r♦ré s ♠rs ♦♥t♦♥s tr
r♠r r t q étt t♦♦rs s♣♦♥ ♣♦r ♠♣♣♦rtr s érs ♦♥r♥♥t
é♦rt♦♥ ♠s ♥ ♣♥s ss ♥ ♣rtr à ♦♠♥q ❱sss tr♥
r tr♥ ♥t♥ t rP♦♠è♥ Ptt♠rt
rss ♠s s♥èrs stt♦♥s ① ♠♠rs r② ♣♦r ♦r ♣té ér ♠♦♥ tr
♦t♦rt t ♦r sssté à ♠ s♦t♥♥ r♠r qsPrr Pt q ♠ t ♦♥♥r
♣résr r② rss é♠♥t ♥ r♥ ♠r à ♠s r♣♣♦rtrs ♥ r t ❱ér♦♥q
rr♥♦t♦ q ♦♥t ♦rré tr t ② ♦♥t ♣♣♦rté rs ♦♠♠♥trs ♣ré① r
ss ① ①♠♥trs rr② ❨♦ t ♥ ① ♣♦r ♦r ♣té rr tt tès t ♣♦r
rs qst♦♥s ♥térss♥ts ♦rs s♦t♥♥
r♥t tt tès ♦s♦♥ êtr ♥ ♦♥tt ér♥ts s♦étés q ♦♥t ♦♥tré à
♥rr tr rss t♦t ♠ rtt à s♦été ts q ♠ ♦r♥ s♦♥ ♦
ss ♣rtèr♠♥t r♦♥♥ss♥t à ♥ r ♣♦r ♦r s à st♥ ♠♦♥ tr
t ♣♦r s ♣t♥ à ré♣♦♥r à ♠s ♠s r♠♣s qst♦♥s r♠r ss ♠♥t
s♦été ♦s♥ q ♠ ♦r♥ ♦ ❯❲ r é♠♥t à s♦été ♦st♦
q ♠♦♥tré ♥térêt ♣♦r tt tès t ♠ ♦r♥ s ♦♥♥és ♣♣t♦♥ sr ♥ s ré
r♠r ♥ ♣rtr ♦s tr ♣♦r ♥♦s é♥s t ♣♦r ♠♦r à ♣srs
r♣rss s♥ s♦été
♦rs r♠rr ♠s rs ♦ès t ♠s ♦rt♦r ♦♥t ♣rés♥ rr♦sé
♦r t ♦♥♥ ♠r s ♦r♥és tr ♦③♠ r ♥s ♦r♥t
s ♦s ♥♦♥ ♠ t♥ t ❳♥❨ ②♦ r♦
r ♣rtèr♠♥t ♥ ♥tsq ♠r ♣♦r ♦r t♦♦rs s ♦♦♥♥r ♠s ♦s ♥
sts r ♣♦r t♦s ♥♦s é♥s s♥tqs t ♠① t ♣♦r t♦t ♠ ♦t♦♥ rts
♣♦sts tt ♠té ât sr r♦ ♣rrr ♥♦r t ♥♦r
♠s très rs ♠s ❨s♠♥ st rérès ♥ ①♥r ♦rs
t ♦rs ♠r ♠♥t ♦r été ♣♦r ♠♦ s r②♦♥s s♦ t♦t ♦♥ ♠♦♥ sé♦r
à Prs ♦s éts rr rt♥tr♦♥t t♦♦rs ♥s ♠ ♠é♠♦r
Page 8
♠s ♠s rés♥s q ♠♦♥t ♦rt r ♥tss t r ♠sq rss ♠s
r♠r♠♥ts ♣♦r s ① ♥♥és ♦r♠s ♣ssés à ♠s♦♥ rés r ♣rtèr♠♥t
à ♥ t ♥r♦♥
t à ♦r♥t ♠r ♣♦r ♠♦r ♦♠♣♥é ♥s ♠s ♥trs séè♥s t ♣♦r s ♠rs
♥éss ♠ss
♥♠♥t rss t♦t ♠ r♦♥♥ss♥ à ♠s ♣r♥ts ②t t ♠ t ♠♦♥ rèr ss♥
♣♦r r s♦t♥ t t♦♥ ♦♥st♥ts ❱♦s êts ♣♦r ♠♦ ♣s q♥ ♠ ♥ é
r é tt tès é ss à ♠ r♥♠èr r ♦♠♠ té♠♦♥ ♠ rtt
t ♠ r♥ st♠ ê♠ s éts tr♦♣ ♦♥ ♣♦r r r♥r r♦r s ♠é♠♦r
♠ ♦♠♣♥é t♦t ♦♥ tt tès t ♠♦♠♣♥r ♥♦r ♣♦r ♦♥t♠♣s
Page 9
és♠é
rs♠♥t ♥ té s♦trr♥ ♥s ♥ ♠ r♦① s♦♥t♥ ♥tr♥ ♦r♠t♦♥
♦s à sr ①t♦♥ ss♣ts t♦♠r t sr s ♥sttés ♠♦ést♦♥
♥ t strtr ♥ ♣r♥♥t ♥ ♦♠♣t t♦s s ♦s stés t♦r ①t♦♥ t rs ♥tr
t♦♥s st ♥ ♣r♦è♠ ♦r à s ♦♥rt♦♥ é♦♠étrq tr♠♥s♦♥♥ très ♦♠♣①
t ♦♠♣♦rt♠♥t ♥♦♥ ♥ér s ♦♥ts
♦♠♠ ♥stté st s♦♥t ♠♦ré ♣r t ♦s stés ♥ sr
①t♦♥ ♣♣r♦ s ♦s s♦és ♦♥stt ♥ s♠♣t♦♥ r♠♥t ♦♣té ♦♥sst
à étr q ♦ ②♥t ♥ r ♥é♣♥♠♠♥t s trs ♥ ♦♥sér♥t q st r
t q rst ♠ss r♦s st r t ① é♥♠♦♥s t♦ts s ♠ét♦s ①st♥ts
sés sr tt ♣♣r♦ ♣rés♥t♥t ♣srs ♥ss♥s ♦♥t ♣s ♠♣♦rt♥t st ♥♦♥ ♣rs
♥ ♦♠♣t s ♦♥tr♥ts ♥ts ç♦♥ r♦rs
❯♥ ♥♦ ♠ét♦ ♦♣t♥t ♣♣r♦ s ♦s s♦és st ♣rés♥té ♥s tt tès s
t♦rq r♠♥t ♦ st ♣rs ♥ ♦♠♣t ♥ ♦♥sér♥t q ♣ss étt ♥t ♥t
①t♦♥ à étt ♥ ♣rès ①t♦♥ s t ♣r é♦♥♥♠♥t r ♦ s
♦rts sr s s ♥ ♦♥tt ♠ss r♦s s♦♥t ♦rs ♠♦és ♥ rs♣t♥t éqr s
♦rs t s ♠♦♠♥ts s ♦s ♦♠♣♦rt♠♥t ♥♦r♠ t ♥ s♠♥t s ♦♥ts t ♠♦♠♥t
♦r♣s s♦ ♦ ♥ ♦tt ♥s à ♥ s②stè♠ éqt♦♥s ♦♥t s ss ♥♦♥♥s s♦♥t s
trs tr♥st♦♥ t r♦tt♦♥ ♦ s ♦♥tr♥ts ♥s sr s s s♦♥t ♦rs éts
♥♠érq s ♥térs sr st té ♥ ♠♥t s s ♦ ♥ s éé♠♥ts
♦♥♥s t ♥ ts♥t s ♣♦♥ts ss st ♥s ♣♦ss étr t♦t ♦r♠ é♦♠étrq
♦ q s♦t ♦♥① ♦ ♦♥
① ♠♦ès sés sr tt ♠ét♦ s♦♥t ♣rés♥tés ♣r♠r ♠♦è ♦♥sèr ♥ ♦♠♣♦r
t♠♥t ♥ér éstq s ♦♥ts ét♦♥ stté s t ♦rs ♣♦str♦r ♥ ér♥t
s s rtèrs ♣stté ♦r♦♦♠ t ♦♥tt ♥tér s♦♥t ♦és ♠♦è st é
♣r r♣♣♦rt à ♥ ♠♦è ①t ts♥t ♠ét♦ s é♠♥ts ♥s s éts ♣r♠étrqs
♠♦♥tr♥t ♥♥ s rtés s ♦♥ts t s ♦♥tr♥ts ♥ts sr stté ♦ s
♦♠♣rs♦♥s s ♠ét♦s ♦♥♥t♦♥♥s s ♦s s♦és s♦♥t é♠♥t tés ♥ ♠t
♥ é♥ ♥ ♣rt s ♥ss♥s s ♠ét♦s t tr ♣rt t qs ♥ s♦♥t ♣s
t♦♦rs sértrs ♦♠♠ st ♦♠♠♥é♠♥t ♠s
①è♠ ♠♦è ♦♥sèr ♥ ♦♠♣♦rt♠♥t ♥♦♥ ♥ér s ♦♥ts ♣s r♣rés♥tt
rété ②♣r♦q ♥s rt♦♥ ♥♦r♠ t ést♦♣stq ♥ s♠♥t t♥ s
♦♥ts st ss ♣rs ♥ ♦♠♣t ♠ét♦ ♥♠érq ♦♣té ♣♦r rés♦r s②stè♠ ♥♦♥ ♥ér
♦♥sst ♥ ♥ ♥tért♦♥ ①♣t ♥s t♠♣s ♥é♠tq ♦rrs♣♦♥♥t t① é♦♥
♥♠♥t s ♣s ér♠♥t ♦♥st♥ts st rrêté ès ♦rs q ♦♠♣tté
♥tr ♦♥tr♥ts sttq♠♥t ♠sss t ♣stq♠♥t ♠sss ♥st ♣s ♣♦ss ♥♦♥
♥érté ♥ésst tr ♥ ♥♦♠r éé ♣s é♦♥♥♠♥t ♠s t♠♣s rst
très rs♦♥♥ ♠ét♦ ♦♥r♥♦♥♥♠♥t st ♣♣qé ♣♦r ér stté t s♦
tè♥♠♥t ♥éssr s éts ♣r♠étrqs ♠♦♥tr♥t q ♠♦è ♥♦♥ ♥ér st ♣s ♣rt♥♥t
q ♠♦è ♥ér ♣rs ♥ ♦♠♣t ♥ s♦tè♥♠♥t ♥ ♣rtr s ♦♦♥s tr♥t
♥ trt♦♥ st ss ♥téré ♦ t réstt st ♦♠♣ré à ♠ét♦ ♦♥r♥
♦♥♥♠♥t ♠ét♦ s é♠♥ts st♥ts ♣♣qé à ♥ s ♦ ♣r♠t r ♥♦
♠♦è t ♠♦♥trr q ②♣♦tès rté ♦ st sértr ♣r r♣♣♦rt à ♥
r♦ é♦r♠
Page 10
Pr st ♥♦ ♠ét♦ st ♣♣qé à ét stté ♥ ♥s♠ ♦s t♦r
♥ ①t♦♥ s♦trr♥ P♦r tstr s té ♥s s é♥ér réstt st ♦♠♣ré
♠ét♦ s é♠♥ts st♥ts tsé ♣♦r ♠♦ésr ♥ ♥s♠ ♦s
♥trss♥t ♥tr ① ♥ ♠♦♥tr q♥ tért ♥♦ ♠ét♦ ♣r é♠♥t♦♥s
ssss s ♦s ♥sts ♦ ♥ ♣r rr♦♣♠♥t ♦s ♥ts ♣r♠t r♥r
♦♠♣t s ♥trt♦♥s ♥tr ♦s P♦r ①♠♣ été réstt st sértr ♣r r♣♣♦rt
①t q ♣r♥ ♥ ♦♠♣t t♦s s ♦s r♥èr ♣♣t♦♥ ♦♥r♥ ♥②s ♥ s
ré t ♦ ♥s ♥ té ♠♥é
Page 11
❯
ttrs r♦♠♥s
②♠♦ é♥t♦♥ ❯♥té
~a ❱tr ♥tr é♥ss♥t rt♦♥ ♦♦♥
♦és♦♥ ❬P❪
P ♣té ♠①♠ s♦tè♥♠♥t ❬P❪
❱r ♦♥trô é♣ss♠♥t rtèr ♣♦r ♠♦è
♦♥ ♥ér
❬P❪
♦ ❨♦♥ ❬P❪
E tr rté s♦tè♥♠♥t ❬♠−1❪
e0 r♠tr ♠①♠ ♦♥t ❬♠❪
tr sérté
FS ♦r s♦tè♥♠♥t ❬❪
F (~σ) ♦♥t♦♥ r ❬P❪~F0 ❱rt♦♥ s ♦rts ①térrs ss♥t sr ♦ ♥tr étt ♥t
♥t ①t♦♥ t étt ♥ ♣rès ①t♦♥
❬❪
G tr rté s②stè♠ ♥ér ♥s ♠♦è ♦♥
♥ér
❬♠−1❪
H0 tr ♥ ♦ s②♠étrq ♥ st♥ ♥tr r t
s♦♠♠t ♦♣♣♦sé
❬♠❪
Pr♦♦♥r ①t♦♥ ♠sré à ♣rtr ♠r ❬♠❪
H ♥sr ♦ ♦♠♣♦rt♠♥t ♥ér éstq ♦♥t ❬♠−1❪
I ♥sr ♥té
K0 ♣♣♦rt s ♦♥tr♥ts ♥ts ♦r③♦♥ts sr s ♦♥tr♥ts
♥ts rts
Kb té ① ♦♦♥ ❬♠−1❪
Kn té ♥♦r♠ ♦♥t ♠♦è ♦♠♣♦rt♠♥t ♥♦r♠ ♥ér
♦♥t
❬♠−1❪
Page 12
Kn0 té ♥♦r♠ ♦rrs♣♦♥♥t à ♥ ♦♥tr♥t ♥♦r♠ ♥ ♠♦è
♦♠♣♦rt♠♥t ♥♦r♠ ②♣r♦q ♦♥t
❬♠−1❪
Kn (σn) té ♥♦r♠ ♦rrs♣♦♥♥t à ♥ ♦♥tr♥t ♥♦r♠ σn ♠♦è
♦♠♣♦rt♠♥t ♥♦r♠ ②♣r♦q ♦♥t
❬♠−1❪
Kt té t♥♥t ♦♥t ❬♠−1❪~M0 ❱rt♦♥ s ♠♦♠♥ts ①térrs ss♥t sr ♦ ♥tr étt ♥t
♥t ①t♦♥ t étt ♥ ♣rès ①t♦♥
❬♠−1❪
N ♦♠r ♣s
~n ❱tr ♥tr ♥♦r♠ à sr ♦ t ré rs ①térr
♥s ♠♦è
P P♦s ❬❪
P (~σ) P♦t♥t ♣stq ❬P❪
Pe Prss♦♥ à éqr ♣♣qé sr s♦tè♥♠♥t ❬P❪
ps Prss♦♥ s♦tè♥♠♥t ♣♣qé sr sr r ❬P❪
pf Prss♦♥ ♣♣qé sr sr s s♦♥t♥tés ❬P❪
psmin Prss♦♥ s♦tè♥♠♥t ♠♥♠ ♣♦r ♦r stté ❬P❪
psmax Prss♦♥ s♦tè♥♠♥t ♠①♠ ❬P❪
R tr rté s②stè♠ ♥ér ♥s ♥ér ❬♠−1❪~U ❱tr é♣♠♥t ♣♦♥t réér♥ ♦ ❬♠❪
~u ❱tr é♣♠♥t ♥ ♣♦♥t ♦♥♥é ♦ ❬♠❪
un é♣♠♥t ♥♦r♠ ♥ ♣♦♥t ♦♥♥é ♦ ❬♠❪
~ut ❱tr é♣♠♥t t♥♥t ♥ ♣♦♥t ♦♥♥é ♦ ❬♠❪~W ❱tr r♦tt♦♥ ♦ ❬r❪
~x ❱tr ♣♦st♦♥ ♥ ♣♦♥t ♦ ♣r r♣♣♦rt à ♦r♥ ♥tr
réér♥ ♦
❬♠❪
ttrs rqs
②♠♦ é♥t♦♥ ❯♥té
α ♠♥ s♦♠♠t ♣♦r ♥ ♦ s②♠étr ♥ t♦t ❬❪
~ε s♦♥t♥té é♣♠♥t ♦rsq♦♥ ♣ss ♦ été rs
①térr s♦ ♠♠♦
❬♠❪
φ ♥ r♦tt♠♥t ❬❪
φmin ♥ r♦tt♠♥t ♠♥♥ ♣♦r ♦r éstté ♥ t♦t ♣♦♥t
♦ ♥ s♣♣♦s♥t ♥ ♦és♦♥ ♥
❬❪
λ ① ér♠♥t ♦ é♦♥♥♠♥t r ♦
r♥t ♥tr λ = 0 à étt ♥t ♥t ①t♦♥ t λ = 1 à étt
♥ ♣rès ①t♦♥
λcrit ① é♦♥♥♠♥t rtq ♣♦r q rtèr ♣stté
st tt♥t ♥ ♥ ♣♦♥t ♦
λglob ① é♦♥♥♠♥t ♦ ♣♦r q ♦♠♣♦rt♠♥t ♦
st s♥t♠♥t ♠♦é
λinst ① é♦♥♥♠♥t ♣♦r q ♦ ♥t ♥st
ρ ss ♦♠q ❬♠−3❪
σ0 ♥sr s ♦♥tr♥ts ♥ts ❬P❪
Page 13
∆~σ ❱rt♦♥ s ♦♥tr♥ts ♥ ♥ ♣♦♥t ♦ ♥tr étt ♥t t
étt ♥
❬P❪
σn ♦♥tr♥t ♥♦r♠ à étt ♥ ♥ ♥ ♣♦♥t ♦ ❬P❪
~σt ❱tr ♦♥tr♥t t♥♥t à étt ♥ ♥ ♥ ♣♦♥t ♦ ❬P❪
~τ ❱tr ♥tr tr ♦♥tr♥t t♥♥t ♥ ♥ ♣♦♥t ♦ ❬P❪
ΣJ ♥s♠ s srs s♦♥t♥tés ♥ ♦ ♦♥♥é
ΣL ♥s♠ s srs rs ♥ ♦ ♦♥♥é srs ♥ ♦♥tt
①t♦♥
∂Ω r♦♥tèr é♠t♥t ♦ ∂ΩΣJΣL
ν ♦♥t P♦ss♦♥
ψ ♥ t♥ ❬❪
Page 15
♥tr♦t♦♥
tté s ♦s ♠t♣s t s♦és tt rt
♥tr♦t♦♥
ét♦s ♦s ♠t♣s
ét♦ s é♠♥ts st♥ts ♣♣r♦ ②♥♠q
Pr♥♣ t ②s
étt♦♥ t st♠♥t s ♦♥tts
Pr♦è♠s ♠♦rtss♠♥t
♦♥s♦♥
♣♣r♦s é♥rétqs
ét♦ ♥②s s é♦r♠t♦♥s s♦♥t♥s
ét♦ ♦
♦♥s♦♥
ét♦s ♦s s♦és
ét♦ s ♦s és
ét♦ ssq s ♦s és
ét♦ s ♦s és ♥tr♦t♦♥ s ♦♥tr♥ts
ét♦ s ♦s és ♥tr♦t♦♥ r♦tt♦♥
t ♥ s②stè♠ ♦s ♠t♣s ♣♣r♦ s ♦s és
♦♥s♦♥
ét♦s étr♠♥sts
ét♦ étr♠♥st r② t r♦♥
ét♦ ♦
♦♥s♦♥
ét♦ ①t♦♥
Pr♥♣ ♠ét♦ ①t♦♥
Page 16
s ♦rts ét♣ ♥t
ts ♣r♠étrqs
♦♠♣rs♦♥ s ♠♦ès ♥♠érqs
♣♣t♦♥ à ♥ ♦
♦♥s♦♥
②♥tès
♦è ♥ér
♥tr♦t♦♥
é♦♣♣♠♥t ♥♦ ♠♦è
qt♦♥s éqr
♦s ♦♠♣♦rt♠♥t s ♦♥ts
♦♠♥t ♦ ♥ ♦r♣s s♦ tr♥st♦♥ t r♦tt♦♥
②stè♠ ♥ér
♥tért♦♥ ♥♠érq
♥tt♦♥ stté
♥ r♦tt♠♥t rtq
tr sérté
♥ t① é♦♥♥♠♥t rtq
Prss♦♥ s♦tè♥♠♥t
t ♥②tq s ♣r♠ètrs
t r♣♣♦rt s rtés Kn/Kt
t ♣r♠ètr K0
❱t♦♥ ♥
t strt♦♥ s ♦♥tr♥ts
t ♠♦♠♥t ♦
t tr sérté
♦♠♣rs♦♥ ♥tr ér♥ts ♦s
t ♥②tq ♦♠♣rt ♥ ♦ s②♠étrq ♥
t
tt ♥t
tt ♥
t ♠ét♦ ①t♦♥
tt ♥t
tt ♥
t ♠ét♦ étr♠♥st
t ♠ét♦ s ♦s és
♦♠♣rs♦♥ ♥tr s ♠ét♦s
tr sérté
♦rs s♦tè♥♠♥t
♦♥s♦♥
ts ♣r♠étrqs ♥ t ♦♠♣rs♦♥s
t ♥ ♦ t♦t
♥♥ ♣♦st♦♥ ♦ à ♣r♦ r
t ♥ ♦♥t♦♥ ♣♦st♦♥
Page 17
t ♦ ♦rrs♣♦♥♥t à θ = 45
t ♦ ♦rrs♣♦♥♥t à θ = 90
t ♥ ♦ ♥♦♥ s②♠étrq
♦♥s♦♥
②♥tès
♦è ♦♥ ♥ér
♥tr♦t♦♥
é♦♣♣♠♥t ♠♦è ♦♥ ♥ér
♥♦♥é é♥ér ♣r♦è♠
♦ ré♦♦q ♠♣é♠♥té
Ps éstq ♥♦♥ ♥ér
Ps ♣stq ss♠♥t
s é♦♠♥t
és♦t♦♥ ♥♠érq ♣r♦è♠
és♦t♦♥ ♥s t♠♣s ♥é♠tq
s ♥térs sr
♥tt♦♥ stté
① ér♠♥t rtqs
λcrit
λglob
λinst
Prss♦♥ s♦tè♥♠♥t Pmin
♠♥s♦♥♥♠♥t s♦tè♥♠♥t
♣♣t♦♥ ♠ét♦ ♦♥r♥♦♥♥♠♥t
é♥értés sr ♠ét♦ ♦♥r♥♦♥♥♠♥t
ét♦ ♦♥r♥♦♥♥♠♥t ♣♦r
♥tr♦t♦♥ s♦tè♥♠♥t ♥s
♥♥ srétst♦♥ sr s réstts
①♠♣ été
srétst♦♥ t♠♣♦r
srétst♦♥ s♣t
ts ♣r♠étrqs
t ♥ ♦ s②♠étrq s ♦♥tr♥ts ♥ts s♦tr♦♣s
♦♥r♥♦♥♥♠♥t ♥ éstté
♦♥r♥♦♥♥♠♥t ♥ ést♦♣stté
t ♥ ♦ ♥♥é s ♦♥tr♥ts ♥ts ♥♦♥ s♦tr♦♣s
t s t① é♦♥♥♠♥t λcrit t λglob
t ré♣rtt♦♥ rtèr ♥ ♦♥t♦♥ t① é♦♥♥♠♥t
t t♥
♦rs ♦♥r♥♦♥♥♠♥t ♣♦r ♣srs ♣♦♥ts r
♣♣t♦♥ ♠♥s♦♥♥♠♥t s♦tè♥♠♥t
♦t♦♥s ♣rtqs sr s♦tè♥♠♥t s ♦s
t ♥ sé♠ ♦♦♥♥
♣♣t♦♥ ♠ét♦ ♦♥r♥♦♥♥♠♥t
Page 18
♦♠♣rs♦♥ s ♠ét♦s à éqr ♠t
♣rs ♥ ♦♠♣t s♦tè♥♠♥t ♥s
②♥tès
❱♣♣t♦♥s
❱ ♥tr♦t♦♥
❱ ♦♠♣rs♦♥ ♥tr t ♣♦r ♥ ♦ s♦é
❱ t é♣♠♥t
❱ ♦♠♣rs♦♥ s ♦♥tr♥ts
❱ ❱t♦♥ ♣rs ♥ ♦♠♣t s♦tè♥♠♥t ♥s
❱ ♦♥s♦♥
❱ t ♥ r s♦trr♥ t
❱ Prés♥tt♦♥ s ét
❱ ♦ést♦♥
❱ ♦① s ♠ts ♠♦è
❱ ♦è r
❱ ♦è é♦r♠
❱ ♦ést♦♥
❱ é♣ért♦♥ s ♦s à sr t♥♥
❱ t♦♥ stté
❱ ♦♠♣rs♦♥ s réstts r
❱ ♦ést♦♥ ♦s ♠t♣s
❱ tért ♣r é♠♥t♦♥s ssss ♦s ♥sts t ♦♠
♣rs♦♥ r
❱ ♦♠♣rs♦♥ réstt é♦r♠
❱ r♦♣♠♥t ♦s
❱ ♦♥s♦♥
❱ t ♥ s ré t ♦s
❱ Prés♥tt♦♥ s ét
❱ é♥ért♦♥ é♦♠étr
❱ t
❱ ②♥tès
♦♥s♦♥s t ♣rs♣ts
♥♥①s
ét♦s é♥ért♦♥ s ♦s
é♥ért♦♥ s s♦♥t♥tés
é♥ért♦♥ s ♦s
ét♦ r♣rés♥tt♦♥ r♦♥tèr
♣♣r♦s t♦♣♦♦qs ré♥ts
ét♦ s♦♥s ssss s♣
ét♦ srétst♦♥ s♣
é♥ért♦♥ ♦s ♥ ♥♦♠r ♣réétr♠♥é s
♦♥s♦♥
rrs r♥r ♣♦r s rtés s ♦♥ts
Page 19
té ♥♦r♠ t r♠tr ♠①♠
té t♥♥t
♦♥s♦♥
♥tért♦♥ ♥♠érq
é♥értés sr s ♥térs sr
Pr♦♣rétés s ♣♦♥ts ss t ♦♥t♦♥s ♥tr♣♦t♦♥ ♣♦r ér♥ts éé
♠♥ts réts
P♦♥ts ss t ♦♥t♦♥s ♥tr♣♦t♦♥ ♣♦r ♥ tr♥
P♦♥ts ss t ♦♥t♦♥s ♥tr♣♦t♦♥s ♣♦r ♥ rré
éér♥s
Page 21
❯
t ♦s stés à ♣r♦ s ①t♦♥s s♦trr♥s st ♥ ♣r♦è♠ ♦r♥t ♥s s
♠① r♦① rtrés ♥ t ♥trst♦♥ s s♦♥t♥tés sr ♥ ①t♦♥
♦♥t à ♦r♠t♦♥ ♦s ss♣ts s é♣r ♦♥ rs s rs t
sr s ♥sttés ♥s strtr ♥②s ♦♠♣♦rt♠♥t s ♦s st ss♥t ♣♦r
♦sr rt♦♥ ♦♣t♠ ①t♦♥ t ♠♥s♦♥♥r s♦tè♥♠♥t
s ♠ét♦s ①ts q ♠♦és♥t t♦s s ♦s t♦r ①t♦♥ ♥s q rs ♥tr
t♦♥s s♦♥t ss③ ♦rs à ♠ttr ♥ ÷r à s é♦♠étr tr♠♥s♦♥♥ ♦♠♣①
strtr t ♥♦♥ ♥érté ♣r♦è♠ Pr rs ① ♥rtts ts ♦♥r♥♥t s
♣r♦♣rétés s ♠tér① ♥s s ♠① s♦trr♥s rtrés s♦t♥t s ♥rtts rts
à ♠♣♠♥t t à strt♦♥ s s♦♥t♥tés Pr ♦♥séq♥t ♠ê♠ s ♥ ♠ét♦ ①t
st tsé réstt rstr ♥rt♥ ♥é♥r ♣réèr ♦rs ♦r r♦rs ♥ ♠ét♦ s♠♣é
q ♦♥♥ ♥ réstt sértr
s♠♣t♦♥ ♣s ♦r♥t ♦♥sst à étr q ♦ sté à sr ①t♦♥
♥ ♦♥sér♥t q st r t q st ♥t♦ré ♣r ♥ ♠ss r♦s r t ① st
♣♣r♦ s ♦s s♦és ♥ s♣♣♦s q stst♦♥ s ♦s étés ♥♠♥t ♣r♠t
ssrr stté t♦t strtr é♥♠♦♥s ♣♣rt s ♠ét♦s ♥s ttértr
♦♣t♥t tt ♣♣r♦ ♥♦r♥t st♦rq r♠♥t ♦ Pr ♦♥séq♥t s ♦♥tr♥ts
♥ts t s ♦s ♦♠♣♦rt♠♥t s ♦♥ts ♥ s♦♥t ♣s ♣rss ♥ ♦♠♣t P♦r str tt s♠
♣t♦♥ st ♦♠♠♥ r q s ♦♥tr♥ts ♥ts ♥ s♦♥t ♣s éés ♥s s ♠①
r♦① ♦ù s ♥sttés ♦s ♦♥t s♦♥t t q t♦t ♠♥èr st ♣s sértr
s ♥♦rr ♥ ♣rt s stt♦♥s ♥ s♦♥t ♣s r♦rss t ♠t♥t tst♦♥ ♣♣r♦
à ♥ ♦♠♥ ♣♣t♦♥ rstr♥t t tr ♣rt ♥♦♥ ♣rs ♥ ♦♠♣t s ♦♥tr♥ts ♥
ts r♥ ♣r♦è♠ ♥étr♠♥é s ♠ét♦s ♦♥t ♦rs r♦rs à s ②♣♦tèss s♣♣é♠♥trs
♣♦r sr♥r tt ♥étr♠♥t♦♥ ♠♦♠♥ts ♠tés à tr♥st♦♥ ♦rts ♥♦r♠s sr
q ♥♦♥ ♣rs ♥ ♦♠♣t éqr s ♠♦♠♥ts. . . trs ♠ét♦s q ♥tèr♥t
♦♠♣♦rt♠♥t s ♦♥ts ♥ ♦♥sèr♥t ♣s st♦rq s ♦rts ç♦♥ r♦rs t s♦♥t ♠tés
à s s ♣rtrs ♦s
Page 22
❯
t tès st r♣r♥r ♣r♦è♠ stté s ♦s ♣♣r♦ s ♦s
s♦és ♣rès ♦r ♠♦♥tré s ♥ss♥s s ♠ét♦s ①st♥ts ❯♥ ♥♦ ♠♦è ♦♥sér♥t
st♦rq s ♦rts sr s s ♦ st é♦♣♣é ① rs♦♥s ♠♦è s♦♥t ♣r♦♣♦sés
♣r♠èr ♥ ♦♠♣♦rt♠♥t ♥ér éstq s ♦♥ts t ①è♠ ♥ ♦♠♣♦rt♠♥t
♥♦♥ ♥ér ♣♥ tès s ♣rés♥t ♦rs ♦♠♠ st
♣tr st ♦♥sré à ♥ r ♦r♣q s ♠ét♦s ①st♥ts ♣♦r ♥②s
stté s ♦s t♦r s ①t♦♥s s♦trr♥s ♦s ♦♠♠♥ç♦♥s ♣r ♣rés♥tr s
♠ét♦s ♦s ♠t♣s q ♦♥sèr♥t s♠t♥é♠♥t t♦s s ♦s t♦r ♥ ①t♦♥ ♥
♣r♥♥t ♥ ♦♠♣t rs ♥trt♦♥s r ♦♠♣①té st ♠s ♥ é♥ ♥ str r♦rs
à ♣♣r♦ s ♦s s♦és tt ♣♣r♦ st ♦rs ①♣té ♥ ♠♦♥tr♥t q ♣r♦è♠ st
♥étr♠♥é s st rés♦ ♥ ♦♥sér♥t ♥q♠♥t s éqt♦♥s éqr ♥st s ér♥ts
♠ét♦s ♦s s♦és s♦♥t ♣rés♥tés ♥ ♥sst♥t sr rs ♠ts ♠ét♦ s ♦s és
♠ét♦ ①t♦♥ t ♠ét♦ étr♠♥st Pr♠èr♠♥t ♦♥r♥♥t ♠ét♦ s ♦s
és ♥♦s ♣rés♥t♦♥s ♣r♦ér ♥②s sé ss♥t♠♥t sr é♦♠étr ♦ t sr
rt♦♥ s ♦rs q ② s♦♥t ♣♣qés t q ♥ésst r ♥ ♥②s ♥é♠tq ♣r♦r
♣♦r ♦sr ♠♦ ♠♦♠♥t ♠té à s♠♣s tr♥st♦♥s ♦s ♠♦♥tr♦♥s q s t♥tts
♠é♦rt♦♥ q ② ♦♥t été ♣♣♦rtés ♣rs ♥ ♦♠♣t r♦tt♦♥ t s ♦♥tr♥ts ♥ts ♥
s♦♥t ♣s ss③ r♦rss ♦s ♣rés♥t♦♥s ss qqs éts t♦♥ ♥s q rt♥s
♣r♦érs é♦♣♣és ♣♦r étr ♥ ♥s♠ ♦s ♥trss♥t ♥tr ① tt ♠ét♦
①è♠♠♥t s ♣♣r♦s étr♠♥sts q ♦♥sèr♥t q♥ ♣rt s ♦♥tr♥ts sr s s
♦ ♣t êtr ♦♥♥ ♣r s ♦♥♥és ①térrs ♦ ♣r s ♣♣r♦①♠t♦♥s s♦♥t ♣rés♥tés
♦s ♠♦♥tr♦♥s q r ♣♣t♦♥ st ♥q♠♥t ♣♦ss ♣♦r s s très ♣rtrs ♦s
r♦sè♠♠♥t ♠ét♦ ①t♦♥ q ♣r♠t ♣rs ♥ ♦♠♣t ♦♠♣♦rt♠♥t s ♦♥ts
st ①♣té t ss ♥ss♥s s♦♥t ♥②sés s éts ♣r♠étrqs tés ♥s r
tt ♠ét♦ s♦♥t rés♠és ♣♦r ♠ttr ♥ é♥ ♦rt ♥♥ s rtés s ♦♥ts t s
♦♥tr♥ts ♥ts sr stté ♥ ♥②s♥t t♦ts s ♠ét♦s ♥♦s rr♦♥s à ♦♥s♦♥
q♥ ♥ ♣r♠t rés♦r ♣r♦è♠ ♠é♥q s♠♣ ♦ s♦é ç♦♥ r♦rs
♣tr ♣rés♥t ♥ ♥♦ ♠ét♦ ♦♣t♥t ♣♣r♦ s ♦s s♦és q ♦♥ és♥
♣r ♥ ♣rt♥t t q s ♦♥tr♥ts ♥ts sr s ♦♥ts s♦♥t ♦♥♥s à étt
♥t ♥t ①t♦♥ ♣ss à étt ♥ ♣rès ①t♦♥ st ♠♦ésé ♣r ér♠♥t s
s ♦rrs♣♦♥♥ts ♦ s ♦rts sr s s ♥♦♥ rs s♦♥t ♦rs étr♠♥és ♥ ♦♥sér♥t
s♠t♥é♠♥t s éqt♦♥s éqr s ♦s ♦♠♣♦rt♠♥t ♥érs éstqs s ♦♥ts t
♠♦♠♥t ♦r♣s s♦ tr♥st♦♥ t r♦tt♦♥ ♦s ♠♦♥tr♦♥s q ♠ét♦ ♥♠érq
é♦♣♣é st ♣♦ss étr ♥♠♣♦rt q é♦♠étr ♦ ♥ q q s♦t s ♦♠
♣①té s rtèrs q♥tt♦♥ stté ♦ s♦♥t étés t♦♥ ♠ét♦
st t ♣r ♦♠♣rs♦♥ à ♥ ①t ts♥t ♠ét♦ s é♠♥ts ♥s Pr rs ♥
s♠♣ ①♠♣ ♦ s②♠étrq ♥ ♣r♠t ♠ttr ♥ é♥ s ér♥s ♥tr ♥♦
♠ét♦ t s ♠ét♦s ssqs ♦s s♦és s éts ♣r♠étrqs ♥ s♦♥t ♥♥
tés ♣♦r ♠♦♥trr ♥♥ s ♦♥tr♥ts ♥ts s rtés s ♦♥ts t ♣♦st♦♥
♦ t♦r ①t♦♥ sr ♦♠♣♦rt♠♥t ♦ s réstts s♦♥t ♦♠♣rés à ①
♠ét♦ s ♦s és
♣tr ♣rés♥t ♥ ♠é♦rt♦♥ ♠ét♦ ♥ ② ♥tér♥t ♥ ♦♠♣♦rt♠♥t
♥♦♥ ♥ér s ♦♥ts ♣s rést ♦s ♦♥sér♦♥s q ♦♥tr♥t ♥♦r♠ st ♥ ♦ ②♣r♦
q ♥ ♦♥t♦♥ é♣♠♥t ♥♦r♠ ♣rs ♥ ♦♠♣t s stt♦♥s é♦♠♥t ♥s
rt♦♥ t♥♥t ♥♦s ♦♥sér♦♥s ♥ ♦ ♦♠♣♦rt♠♥t ést♦♣stq ♦♠♠ rtèr
Page 23
❯
♣stté rtèr ♦r♦♦♠ t ♦♠♠ ♣♦t♥t ♣stq rtèr ♦♦♠ ss♦é à
t♥ ♠ét♦ ♥♠érq ♦♣té ♣♦r rés♦r ♣r♦è♠ ♥♦♥ ♥ér st ♥ ♠ét♦
♥tért♦♥ ①♣t s ♣s ér♠♥t ♦♥st♥ts ❯♥ ét ♣r♠étrq ♦♥r♥♥t
♥♦♠r ♣s t t s ♠s st té s rtèrs ♣♦r r ♥stté
♦ s♦♥t ss ♣rés♥tés ♠ét♦ ♦♥r♥♦♥♥♠♥t ♣♣qé ♣♦r ét ♥ ♦ s♦é
st été ♥ ♠♦♥tr♥t q ♣r♠t st♠r s♦tè♥♠♥t ♥éssr s éts s♥sté
sr s ♣r♠ètrs ♠é♥qs s ♦♥ts s♦♥t tés t s réstts s♦♥t ♦♠♣rés à ① ♠♦
è ♥ér Pr rs ♥ ♠ét♦ ♣♦r ♥tért♦♥ ♥ s♦tè♥♠♥t ♥s ♦
♥ s♥t ♣♣ à s ♦ ♦♠♣♦rt♠♥t st ♣r♦♣♦sé ♥ ♣rtr ♥♦s é♦♣♣♦♥s ♠tr
rté rt à ♠s ♥ ♣ ♦♦♥s tr♥t ♥ trt♦♥ ❯♥ ①♠♣ ♣♣t♦♥
s♦tè♥♠♥t ♣r♠t ♦♠♣rr ♣♣r♦ ♦♥r♥♦♥♥♠♥t à ♣♣r♦ ♥tért♦♥
s♦tè♥♠♥t ♥s ♦
♣tr ❱ ♦♠♠♥ ♣r ♥ ét t♦♥ ♥♦ ♠♦è ♣r r♣♣♦rt à ♠ét♦
s é♠♥ts st♥ts ♣♣qé ♣♦r ♥ ♦ s♦é ♥ ♠♦♥tr♥t q ♣rs ♥ ♦♠♣t ♥ r♦
r st sértr ♣r r♣♣♦rt à ♥ r♦ é♦r♠ ♠ét♦ ♥tért♦♥ s♦tè♥♠♥t
♥s st ss é ♥st ♠ét♦ s é♠♥ts st♥ts st tsé ♣♦r étr
stté ♥ té s♦trr♥ ①é ♥s ♥ ♠ r♦① ♥tr♣té ♣r ♣srs ♠s
s♦♥t♥tés ♦ st tsé ♣♦r é♥ért♦♥ é♦♠étr t ♣♦r ét
stté s ♦s ♠ét♦ st ♣♣qé ♣♦r étr ♥ à ♥ s ♦s ♥
♦♥tt ①t♦♥ t s réstts s♦♥t ♦♠♣rés à ① s s térts ♣r
é♠♥t♦♥s ssss ♦s ♥sts ♦ ♣r rr♦♣♠♥t ♦s s♦♥t ss tés
♠ét♦ t st érr s s t♥qs ♣r♠tt♥t r♥r ♦♠♣t ♥♥
♥stté rt♥s ♦s sr trs ♥♠♥t ♠ét♦ st ♣♣qé ♣♦r
r♣r♦r t ♦s q ♥s ♥ s ré ♥ t♦t ♥ té st♦
Page 25
P
❯P
♥tr♦t♦♥
t s ♦s st ♥ ♣r♦è♠ ♦r♥t ♥s s tés s♦trr♥s ①és ♥s s ♠①
r♦① rtrés ♠♦ést♦♥ stté s ♦s st ss♥t ♥ ♣ré♦r s♦tè♥♠♥t
♣s ♦♥♥ ♦ ♦sr rt♦♥ ①t♦♥ ♣s sértr ♦rs ♣s
♦♥♣t♦♥ ♦tr ét ♦♥r♥ s ♠sss r♦ss rs ♥tr♣tés ♣r ♣srs s♦♥t♥tés
♦ù é♦r♠t♦♥ s②stè♠ ss♥t♠♥t ♥ s s♦♥t♥tés t ♥♦♥ ♣s ♥
♠tr r♦s Psrs ♠ét♦s ①st♥t s♥t ♥sté rtrt♦♥ t
♣rés♦♥ réstt q ♦♥ s♦t ♦r
♥②s stté ♥ ♠ rtré ♣r ♦♠♦é♥ést♦♥ ♥ ♦♥sér♥t ♥ ♠ ♦♥t♥
♥st ♣♣r♦♣ré q ♦rsq ♥sté s s♦♥t♥tés st éé ss♥ ❬❪ r
t♦♥ ❬❪ ♥♦t♦♥ ♦rt ♦ ♥sté ♣t êtr ♣résé ♠♥èr q♥ttt ♣r
①♠♣ ♥ ♦♥t♦♥ ♥ r♣♣♦rt ♥tr ① ♦♥rs ♥ st♥ rtérstq ssrt♦♥
s♣♠♥t ♠♦②♥ t ♠♦②♥♥ s ♦s t ♥ ♦♥r ♣rt♥♥t ♣♦r ♦r s♦trr♥
été ♥ ♣r♦è ♦rs à ♠♦ést♦♥ ♥ ♠ ♦♥t♥ ♥ ♦♣t♥t ♣♦r ♠ s
♣r♦♣rétés ♠é♥qs éq♥ts à r♦ rtré ♦ ❬❪ ♥ t ♥s
s ♦♠♣♦rt♠♥t s②stè♠ s♣♣r♥t à ♥ r♦ q s rtérstqs
♠é♥qs t t♦t t ♦♠♠ ♥ ♠ ♦♥t♥ é♦r♠ s ♦s q ♣♦rr♥t tr s♦♥t
très ♣tts ♠♥s♦♥s t ♥ ♣rés♥t♥t ♣s rsq ♠r ♦♣t♦♥ ♠ ♦♥t♥ ♣t
êtr é♠♥t tsé ♥s s ♣rés♥ ♥ ♥♦♠r rét s♦♥t♥tés ♥s trr♥
s éé♠♥ts ♦♥ts s♦♥t ♦rs ♥tr♦ts ♥s ♠♦è ♦♠♠ ♥s ♠ét♦ s é♠♥ts ♥s
♦ ❱P ❬❪
Page 26
P ❯P
♥s s ♦ù trr♥ st ♠♦②♥♥♠♥t rtré tst♦♥ ♥ ♣♣r♦ s♦♥t♥ ♥t
♥éssr ♦♠♠ ♥qé ♥s r s②stè♠ t ♦♠♠ ♥ ss♠ ♦s q
sss♥t s ♠♦♠♥ts tr♥st♦♥ t r♦tt♦♥ Pr ♦♥séq♥t ♣♣r♦①♠t♦♥ ♣r ♥
♠ ♦♥t♥ ♥st ♣s r♣rés♥tt rété ♥s ♦♥t①t st ♥éssr ♦♥sérr
♣rés♥ t♦ts s s♦♥t♥tés stté s②stè♠ st ré ♣r stté s ♦s
stés ♥ sr r t ♥tt♦♥ s ♦s st ss♥t ♣♦r
s♦tè♥♠♥t Pr rs ♣♦r ♥ ♥②s r♦rs r trtr ♣r♦è♠ ♥ ♦♥sér♥t
s♦♥ rtèr tr♠♥s♦♥♥ t♥t ♦♥♥é q strt♦♥ s s♦♥t♥tés st ré♠♥t ♥
♥①st ♣s st♦♥ ♣rtèr q ♣r♠tt r♥r ♦♠♣t ♦♠♣♦rt♠♥t ♥tér
strtr ♥s ♥s q st ♥♦s ♥♦s ♥térssr♦♥s ♣r♥♣♠♥t ① ♠ét♦s ♥②s ♥
r ♦ést♦♥ ♣r ♠ ♦♥t♥ ♦ s♦♥t♥ ♣rès rt♦♥ ❬❪
té ♣r♥♣ ♥ ♣r♦è♠ ♥ ♠ s♦♥t♥ ♥t é♦♠étr ♦♠♣①té
♠♥t ♦rsq é♥ért♦♥ s ♦s s t ♥ Pr ♦♥séq♥t s ♠ét♦s ♠♦ést♦♥
q ♣r♥♥♥t ♥ ♦♠♣t t♦s s ♦s s♦♥t ss③ ♦rs t♥t ♣s q s ♥rtts rts
① ♦♥♥és ♣r♦è♠ ♥ésst♥t ♥tr♣r♥r ♣srs s s tés t♥qs s♦♥t
ss ♣rés♥ts ♥s st♦♥ é♦♠étr t s ♦♥tts ♥tr s ♦s s ♠ét♦s s ♣s
♦♠♠♥é♠♥t tsés ♣♦r ♠♦ésr ♥ ♠ s♦♥t♥ ♥ ♣r♥♥t ♥ ♦♠♣t t♦tté s
♦s s♦♥t s ♠ét♦s s é♠♥ts srts ts♥t ♥ ♣♣r♦ ②♥♠q ♠ét♦ ♦
é♥rétq ♠ét♦ t ♠ét♦ ♦ ♦t♦♥s q ♣r♦è♠ stté s
♦s st ♥q♠♥t été ♥s tt tès ♣♦r s ♦♥t♦♥s r♠♥t sttq
❯♥ s♠♣t♦♥ ♣r♦è♠ ♦♥sst à ♦♥sérr ♥q♠♥t s ♦s ♥ ♦♥tt ①
t♦♥ t à étr ♥ ♥é♣♥♠♠♥t s trs st ♠ét♦ s ♦s s♦és ♥
ét♥t ♥ ♦ t♦t rst ♠ss st ♦♥séré r t ① r str ♣ss
♥ ♠ s♦♥t♥ à ♥ ♠ ♦ù ♦♥ ♦♥sèr s ♦s stés à sr ①t♦♥ ♥
♠♥t Psrs ♠ét♦s ♣♥t êtr ssés ♥s tt té♦r ♠ét♦ s ♦s és
♠ét♦ ①t♦♥ t trs ♠ét♦s étr♠♥sts r t st ♦♥♥r ♥ ré♣♦♥s
r♣ t ♦♥srt à qst♦♥ stté
♥♦♥s q tr♠ ♦ é ②♦ été ♥t♠♥t tsé ♣r ♦♦♠♥ t
❬❪ ♣♦r és♥r ♥ ♦ rtq sté à sr ♥ ①t♦♥ t ♦♥t ♥stté st ss
♣t sr ♥stté trs ♦s stés t♦t t♦r ♥s tt tès ♥♦s és♥♦♥s ♣r
♠ét♦ s ♦s és é♦♣♣é ♣r ♦♦♠♥ t t ♣r trs trs q ♥♦s
tr♦♥s ♣s tr t q ♦♥sst à étr s ♦s stés à sr ①t♦♥ ♥ s s♥t
ss♥t♠♥t sr r ♦♥rt♦♥ é♦♠étrq ♥s ♦r♠t♦♥ ssq tt ♠ét♦
s ♦♥t♦♥s ♥ st t ♦♠♣♦rt♠♥t ♠é♥q s ♦♥ts ♥ s♦♥t ♣s ♣rs ♥ ♦♠♣t ❯♥ ss
ttrts st ♣♦ssté étr s ♦s ♥ ♦♥sér♥t s ♦♠♥s♦♥s ♦♥ts s♥s ♥♦r♠t♦♥
Page 27
ét♦s ♦s ♠t♣s
r ♦ést♦♥ ♥ ♠ s♦♥t♥ ♣r ♠ét♦ s ♦s s♦és
sr rs s♣♠♥ts
♠ét♦ ①t♦♥ ♣r♠t ♥tr♦r étt s ♦♥tr♥ts ♥ts ♥s ét♦♥
stté ♠s s♦♥ é♦♣♣♠♥t été ♠té ♣♦r s s très s♠♣s é♦♠étr ♠ét♦♦♦
♣♦r s♦tr s ♦♥ts st ♠ê♠ ♦♥tst
trs ♣♣r♦s étr♠♥sts ♦♥sèr♥t q s ♦♥tr♥ts sr s s ♦ ♣♥t êtr
♦♥♥s ♣r ♥ ♣ré♠♥r ♥♦t♠♠♥t ♥ éstté ♥s ♥ ♠ ♦♥t♥
♣tr ♣r♠t r ♥ ♥②s rtq s ♠ét♦s stté s ♦s ♥ ♥t s
♠ét♦s ①ts sq① ♠ét♦s s♠♣trs t st ♠♦♥trr ♥ ♣rt ♦♠♣①té
s ♠ét♦s q ♦♥sèr♥t t♦s s ♦s t r ♥trt♦♥s t tr ♣rt s s♠♣t♦♥s
①sss s ♠ét♦s ♦s s♦és ♣rés♥ts ♥s ttértr ♣♣r♦ s ♦s s♦és st
♣t ♥ s♣♣♦s♥t q ♦♥♥ s réstts ♦♥srtrs ss ♣♣t♦♥s sqà ♥♦s ♦rs
♠♥q♥t rr s♥tq t ♥♦r♥t s♦♥t s ♣r♠ètrs ss♥ts ts q s ♦♥tr♥ts
♥ts ♥ q ♣r♦è♠ s♠ êtr s♠♣ ♦♥ ♥ét q♥ s ♦ à ♦s ♥
♠ét♦ r♦rs ♥ ♥♦r été ♣é à ♥♦tr ♦♥♥ss♥ st ♥ r♠t♦♥ ♦rt q
sr sté ♠s q ♦t rstr ♠♦éré ♣r t q ♥ ♦♥r♥ q s ♦♠♥ts ♣és
q ♦♥t été ♦♥stés ♣♦r ét ♦r♣q ♣rés♥t tès
ét♦s ♦s ♠t♣s
♣r♦è♠ stté s ♦s ♥st ♣s ♥ ♣r♦è♠ ♥étr♠♥é ♦♥ ♦♥♥t ①t♠♥t
s ♦♥♥és ♦♥r♥♥t strt♦♥ é♦♠étrq s s♦♥t♥tés s ♦♥tr♥ts ♥ts s ♣r♦
♣rétés ♠é♥qs r♦ t s ♦♥ts t st♦rq s ♦♥t♦♥s ① ♠ts ♣r♦è♠
♣t êtr rés♦ t s é♣♠♥ts t ♦♥tr♥ts ♥s és rés♦t♦♥ ♥②tq ♣r♦
è♠ ét♥t ♣s s♦♥t ♦♠♣① ♦♥ r♦rs à s ♠ét♦s ♥♠érqs tst♦♥
♠ét♦ s é♠♥ts ♥s st ♣♦ss ♠s ♥st ♣s ♣té à ♥r ♣r♦è♠s ♥t♠♥t
♦♥ç ♣♦r s ♠① ♦♥t♥s é♦t♦♥ s ♦♥tts ♥ ♣t ♣s êtr éré ♦rsq r♥s
é♣♠♥ts ♦♥t ♣s tst♦♥ tt ♠ét♦ ♥ésst r ♥ ♠♦è ♣ré♠
♥r ♣♦r é♥ért♦♥ s s♦♥t♥tés t s ♥trst♦♥s s ♠ét♦s s é♠♥ts
srts ♦r♠és ①♣t♠♥t ♠ét♦ s é♠♥ts st♥ts ♦ ♠♣t♠♥t ♥②s
s é♦r♠t♦♥s s♦♥t♥s s♦♥t s ♣s tsés ♥s ♦♠♥ s ♠① r♦① s
♦♥t♥s ♥ ❬❪ ♠ét♦ s é♠♥ts st♥ts é♦♣♣é ♥t♠♥t ♣♦r
s②stè♠s ②♥♠qs été ♣té ♣♦r s②stè♠s ♥ sttq ♥ ts♥t s ♠ê♠s
Page 28
P ❯P
♦r♠t♦♥s ②♥♠qs ♠ét♦ t ♠ét♦ ♦ ♠♦♥s ♦♥♥ ts♥t
s ♣♣r♦s sttqs sés sr ♠♥♠st♦♥ é♥r ♣♦t♥t s②stè♠ ♦s Pr
rs t♦ts s ♠ét♦s ♣♣qés à s ♠♦ès tr♠♥s♦♥♥s s♦♥t ♥ r♥ ♦♠♣①té
t ♣♥t ♣rés♥tr rt♥s éts ♥s q st ♥♦s ♣rés♥tr♦♥s rè♠♥t s ♣r♥♣s
♠ét♦s tsés ♣♦r ♠♦ést♦♥ ♥ ss♠ ♦s r♦① stés t♦r ♥ ①
t♦♥ s♦trr♥ ♥ ♠tt♥t ♥t sr s tés ♥ ♦♠♣r♥♥t t♦s s ♦s ♥s
tt ♣rés♥tt♦♥ ♠ét♦ s é♠♥t st♥ts st ♣s é♦♣♣é r sr tsé ♥s
♣tr ❱
ét♦ s é♠♥ts st♥ts ♣♣r♦ ②♥♠q
Pr♥♣ t ②s
♠ét♦ s é♠♥ts st♥ts st♥t ♠♥t t♦ ♣r♠t ♠♦ést♦♥ ♥
s②stè♠ s♦♥t♥ ♦r♠é ♣r ♥ ss♠ ♦s r♦① rs ♦ é♦r♠s tt ♠ét♦
st ssé ♥s té♦r s ♠ét♦s é♠♥ts srts ①♣ts ❯♥ ♣♣r♦ ②♥♠q
st tsé ♣♦r rés♦r ♣r♦è♠ ♥♠érq ♥ ②♥♠q ♦ ♥ sttq ♥s tt r ♥♦s
♥♦s ♥térssr♦♥s ♥q♠♥t ① ♦s rs ♥s s sttq
s éqt♦♥s ②♥♠qs ♠♦♠♥t ♥ tr♥st♦♥ t ♥ r♦tt♦♥ s♦♥t ♦r♠és ①♣t♠♥t
t rés♦s ♣r ♥ ♠ét♦ ér♥ ♥ ts♥t ♥ ♥♦t♦♥ t♠♣s rt q ♦ï♥
t♠♣s ré ♦rsq r ♣r♦è♠ st ②♥♠q
ér♥ ♥ ♣♣r♦ ♦♥t♥ ♦ù s s♦♥t♥tés ♥tr♦ts à éé♠♥ts ♦♥ts
rst♥t ♥rs ♥s ♠ét♦ s ♦♥tts ♥tr s ♦s s♦♥t ♠s à ♦r à q ②
♥s r♥t ♣r♦sss s ♦s ♣♥t ♥trr ♥ ♦♥tt t trs q ét♥t
♥t♠♥t ♥ ♦♥tt s sé♣rr
♦♥r♥♥t rés♦t♦♥ ♥♠érq ♦r♥té tt ♠ét♦ ♣r r♣♣♦rt à trs ♠ét♦s
q ♣ss♥t ♣r rés♦t♦♥ ♥ s②stè♠ ♥ér ♦♥t ♠tr ♦t êtr r♦r♠é à q
♥♠♥t ♦♥♥tté st q st♦ t ♠♥♣t♦♥ ♠trs st été ♥ ts♥t ♥
♠ét♦ r①t♦♥ ②♥♠q ♥ ❬❪ ♥ sttq t st étr♠♥r ♥s♠
s é♣♠♥ts q ♦♥t r♠♥r s②stè♠ à éqr ♥ rs♣t♥t s ♦s ♦♥sttts s
s♦♥t♥tés t s éé♥t r♣érr s ♦s ♥sts
q ② s rés♠ ♣rès rt ❬❪ ♣r s ét♣s r♣rés♥tés ♥s r
t é♥♦♥és ♣rès
P♦r q ♦ s♦♠♠ s ♦rs ♦♥♥s ♣♣qés sr ♦ st é st
♦rs ♣r♦♥♥t ♦♥tts trs ♦s ♥s q ♣♦s ♦ t trs é♥ts
♦rs ①térrs ss♥t sr ♦ s♦♠♠ s ♠♦♠♥ts st é♠♥t é ♥tr
rté ♦ ♥ ♥s t♦rsr s ♦rts ①rés sr ♦
s éqt♦♥s ②♥♠q s♦♥t ♣♣qés t ♥térés ①♣t♠♥t ♥s t♠♣s ré
♦ rt ♥ ts♥t ♥ ♣r♦ér ér♥ ♥ ♥tr ♦t♦♥s q ♥s ♥ s
sttq éqr ♦t êtr rs♣té à t♦t ♠♦♠♥t s♦♠♠s s ♦rs t ♠♦♠♥ts ♥s
st ♥♦r♥ s rs rs s ♦rs ss♥t sr q ♦ q t q s ♥
s♦♥t ♣s ♥s t q♥ éért♦♥ ♦ s♠♣♦s tst♦♥ s éqt♦♥s ②♥♠qs
♥ t♠♣s rt st ♦rs ♥q♠♥t ♥ st ♥♠érq ♣♦r r s tsss t
é♣♠♥ts q ♦♥t r♠♥r s②stè♠ à éqr tss é♣♠♥t ♥tr
q ♦ st ①♣r♠é ♥ ♦♥t♦♥ tss ② ♣réé♥t s♦♠♠ s ♦rs t
♥ré♠♥t t♠♣s ♥ st ♠ê♠ ♣♦r tss r♦tt♦♥ ♦ ♥ré♠♥t
Page 29
ét♦s ♦s ♠t♣s
t♠♣s st ♦s ss③ ♣tt ç♦♥ à ssrr stté ♥♠érq ♥st é♣♠♥t
♥tr ♦ st ét ♥s q s r♦tt♦♥ ♥♦ ♣♦st♦♥ ♦ st ♦rs ♠s à
♦r
♦♥♥ss♥t s é♣♠♥ts t♦s s ♦s s é♣♠♥ts rts ♥ s ♦♥tts
s♦♥t éts ♥ ♣♣q♥t s ♦s ♦♠♣♦rt♠♥t s ♦♥ts s ♥♦s ♦rs ♥
s ♦♥tts s♦♥t és r♥t tt ét♣ ss ♦♥♥tté s ♦♥ts st éré s
♣♦♥ts ♣♣t♦♥ s ♦rs ♦♥tt ♣♥t ♥r ♥♦① ♦♥tts êtr éttés
t trs ♥♥és ♦t♦♥s q s ① ♦s s♦♥t s♣és ♥ st♥ ♥érr à ♥ r
rtq ♣réé♥ ♥ ♦♥tt st étté ♠ê♠ s s ① ♦s ♥ s t♦♥t ♣s ♥s
r♥r s ♥ ♦r ♦♥tt ♥ st ttré t st s r♥t ét♣ s♥t
♥ rt♦r♥ ♥♦ à ét♣ ♣r♠èr s ♥♦s ♦rs ♦♥tt s♦♥t tsés
♣♦r ét♦♥ s ♦rs ①térrs ss♥t sr q ♦
r ②s ♠ét♦ s é♠♥ts st♥ts ♣♦r s ♦s rs
s ♠♦♠♥ts s ♦s rést♥t ♣r♦♣t♦♥ ♥s s②stè♠ ♥ ♣rtrt♦♥ ♣♣qé
sr s ♦rs ♠♦è stté s②stè♠ st tt♥t ♦rsq s♦♠♠ s ♦rs ♥
q ♦ s♥♥ ♦ tt♥t ♥ très r ♥s s ♦ù tt ♦r tt♥t ♥ r
♦♥st♥t ♥♦♥ ♥ s②stè♠ ♥ ♣t ♣s rrr à ♥ étt éqr ①st ♥ ré♦♥ ♠♦è
q ♥tr ♥ ♣stté ♦ ♠♦♥s ♥ ♦ q s ét ♠ss r♦s
étt♦♥ t st♠♥t s ♦♥tts
tst s ♦♥tts s t ♥tr s ♦s étr♠♥és ♦♠♠ ét♥t ♦s♥s ♥s ♦
❬❪ s♣ tr♠♥s♦♥♥ st sé ♥ s s ♦s ♦s♥s s♦♥t ① q ♥trst♥t
♥ ♠ê♠ tst ♥st ♣s t à q tért♦♥ ♠s à q ♦s q ♥ré♠♥t
é♣♠♥t ♦ é♣ss ♥ rt♥ ♠t ♣réé♥
Page 30
P ❯P
♥ ♠ét♦ ♣♥ ♦♠♠♥ st tsé ♣♦r tr étt♦♥ s ♦♥tts ♥
❬❪ st ♥ ♣♥ q ♥trst s♣ ♥tr ① ♦s ♦s♥s ♦♥♣t st
stré ♥ ♥s r s ♦rs ♦♥tt ①st♥t ♥tr s ① ♦s ss t♦♥t
♣♥ ♦♠♠♥ rést♥t s ♦rs ♦♥tt st ♣♣qé ♣♦♥t réér♥ ♦sé ♥
♣♥ ♦♠♠♥ ♠♦♠♥t s ♦rs ♦♥tt st ♥ ♥ ♣♦♥t st ♥ ♣♦♥t
réér♥ q ♣♥ ♦♠♠♥ st s r♦tt♦♥s ♦♠♣♦s♥t ♥♦r♠ ♦r ♦♥tt
s ♣r♦tt sr ♥♦r♠ ♣♥ ♦♠♠♥ t ♦♠♣♦s♥t t♥♥t st ♦♥t♥ ♥s ♣♥
s ♦s s♦♥t rs ♦ é♦r♠s q ♦♥tt st srétsé ♥ s♦s♦♥tts ♦ù s
♦rs ♥trt♦♥ s♦♥t ♣♣qés ♥s ❬❪ ♦rsq st ♦s rs tt sré
tst♦♥ ♦♥sst à tr♥r q ♥ r♥t ss s♦♠♠ts ♥tr ① ♦rsq st ♦s
é♦r♠s ♥ ♠ ♦♠q ♥ tétrèrs st té s s s♦♥t ♦♥ ♠és ♥ tr♥s
s ♣♦♥ts ♥tr♥s
♦rt♠ ♣r♠tt♥t ♣♦st♦♥♥♠♥t t ♠♦♠♥t ♣♥ ♦♠♠♥ st ①s♠♥t
sé sr é♦♠étr t s♣♣q à q ♥tr t♠♣s ♥ ♣rè ♠é♥q
P♦r ① ♦s ♦s♥s q ♥ s♦♥t ♣s ♥♦r éttés ♦♠♠ ét♥t ♥ ♦♥tt ♣♥ ♦♠♠♥
st ♣é ♥t♠♥t à ♠st♥ ♥tr s ① ♥tr♦ïs s ♦s ♥♦r♠ ②♥t ♠ê♠
rt♦♥ q r♦t r♥t s ① ♥tr♦ïs ♣♥ st ♥st ♥ tr♥st♦♥ ♣s ♥
tért♦♥ r♦tt♦♥s ♥♦r♠ ♣♦r str s ♣♦st♦♥ t s ♥♦r♠ ç♦♥ à stsr s
♦♥t♦♥s s♥ts ♥ ♣rt ♠①♠sr ért ♥tr ♣♥ ♦♠♠♥ t ♥÷ ♣s ♣r♦
t tr ♣rt ♠♥♠sr r♦r♠♥t ♥tr ♣♥ ♦♠♠♥ t ♥÷ ♣s r♥
r♦r♠♥t
s ♦rs ①st♥t ♥ ♦♥tt ♣♥ ♦♠♠♥ st s st♠♥ts s♣♣é♠♥trs
❯♥ tr♥st♦♥ é à tr♥st♦♥ ♠♦②♥♥ s ① ♦s st ♣♣qé sr ♣♦♥t réér♥
s ① ♦s sss♥t ♥ r♦tt♦♥ ♣♦♥t réér♥ st ♥ tr♥st♦♥ ♣r♦♣♦rt♦♥♥
à r♦tt♦♥ rt ♥tr s ① ♦s ♠t♣é ♣r ♥ ♦♥st♥t ♠♣rq tt ♦♥st♥t
♣r♠t r♥r ♦♠♣t t q ♠♦♠♥t ♣♦♥t réér♥ ♦rs ♥ r♦tt♦♥ rt
s ① ♦s ♦t ss é♣♥r trs trs q s♠♣♠♥t é♦♠étr ♦t♠♠♥t ♦t
êtr té ♣r ♥tr ♥tr t ♣r s ♦♥tr♥ts ♥♦r♠s s rté ♥♦r♠ ♦♥t
♥ é♣♥ ♦♠♠ ♥s s ♥ ♦ ♦♠♣♦rt♠♥t ♥♦r♠ ②♣r♦q
Pr rs ♣sq ♣♦♥t réér♥ st ♣♦♥t ♥ q ♦r ♦♥tt st
♣♣qé ♦t ♣♣rt♥r ① ① s s ♦s ♦♥sérés ♣rès s ① r♥rs st♠♥ts
t♦♠ à ①térr ♥ s ① s t r♠♥r à tt ♣r ♥ tr sér
st♠♥ts térts
♥ ♦♥s♦♥ ♣♦st♦♥ ♣♥ ♦♠♠♥ é♣♥ é♦♠étr s ♦s t ♣♦st♦♥
♦r ♦♥tt rést♥t sr ♣♥ ♥st ♣s rt♠♥t é à ré♣rtt♦♥ s ♦♥tr♥ts sr s
♦♥tts ♣s s ♥ré♠♥ts s ♦rs ♥♦r♠s t t♥♥ts ♥ s ♥trs
é♣♥ rt♦♥ ♣♥ ♦♠♠♥ ♥ t é♣♠♥t é ♥ ♥ ♦♥tt st
♣r♦té ♥♦r♠♠♥t t t♥♥t♠♥t ♣♥ ♦♠♠♥ s ♥ré♠♥ts s ♦♥tr♥ts ♥♦r♠s t
t♥♥ts és ♣rès s ♦s ♦♠♣♦rt♠♥t ♦♥t s♦♥t ♣r♦♣♦rt♦♥♥s ① ♣r♦t♦♥s
♥♦r♠s t t♥♥ts s é♣♠♥t rts ♥tr ① ♦s sr r ♣♥ ♦♠♠♥ ♦♠♠
rt♦♥ ♣♥ ♦♠♠♥ ♣t êtr ér♥t rt♦♥ s ① s ♥ ♦♥tt ♦♥♥é
s ♥ré♠♥ts s ♦♥tr♥ts ♣t ♥ ♣s êtr ss③ r♣rés♥tt rété ♦t♦s ♥
s♣♣♦s♥t q ♦♥ rst ♥ ♣tts é♣♠♥ts s ♣♣r♦①♠t♦♥s s♦♥t ♥ s
P♦r s ♦s rs srétst♦♥ ♥ tr♥s ♥ r♥t s s♦♠♠ts s s ♦s rs
♣t êtr ♥ss♥t ♥s s ♦s à r♥s ♠♥s♦♥s t ♦rs tst♦♥ ♦♥ts ♥
Page 31
ét♦s ♦s ♠t♣s
r étr♠♥t♦♥ ♣♥ ♦♠♠♥ ♥s ♠ét♦ s é♠♥ts st♥ts ♣rès ♥♦t tst♦♥ ❬❪
rtèr r♣tr ❯♥ srétst♦♥ ♣s ♥ srt ♥éssr ♣♦r étr♠♥r s ③♦♥s r♣tr
♣s ♣résé♠♥t ♥ r♥ ♥s s ♠♦ést♦♥ s ♦♥ts à ♦♠♣♦rt♠♥t ♥ér
tt srétst♦♥ st
Pr♦è♠s ♠♦rtss♠♥t
♦♠♠ s éqt♦♥s ②♥♠q s♦♥t ♣♣qés ♣♦r rés♦r ♥ ♣r♦è♠ sttq ♥
♠♦rtss♠♥t st ♥éssr ♣r♠t ♠♣êr ♥ s②stè♠ éstq ♦sr ♥é♥♠♥t
♥ t ♥ étt sttq s♥ q s tsss t s éért♦♥s s♦♥t ♥s r ♣♣r♦
②♥♠q s♥s ♠♦rtss♠♥t s s♦♠♠ s ♦rs st ♥ éért♦♥ st ♥ tss
t s②stè♠ été sr é à s tss é ♥s ② ♣réé♥t ♦r r ♥
♣t ♦♥ ♦r ♥ rést♥t s ♦rs ♥ s♥s ♣♦r t♥t q étt s♦t sttq
Psrs t②♣s ♠♦rtss♠♥ts s♦♥t ♣rés♥ts ♥s ttértr t ♥s s ♦s é♠♥ts
st♥ts ♥ ❬❪ ❬❪ ♠ét♦ ♣s sq st ♥tr♦t♦♥ ♦rs
♣r♦♣♦rt♦♥♥s à tss s ♦s t②♣ ♠♦rtss♠♥t ♠♦♥tré q st s♦r ♣srs
♣r♦è♠s ♥ ❬❪ trs s♦t♦♥s ♠♦rtss♠♥t ♦♥t été é♦♣♣és t s♦♥t tsés
t♠♥t ♠s ♥ s♦♥t ♣s ♣♦r t♥t ♦♣t♠s tst♦♥ ♠♦rtss♠♥t ♦ ♣
t ♦ ♣t ♠♣♥ ♥t ♦♠♠ ♣♦r ♣r♠r t②♣ ♠♦rtss♠♥t ♥tr♦t♦♥
♦rs sqss q s♦♥t s♦r rrrs ♥s s ré♦♥s ♥ r♣tr tst♦♥ ♠♦rtss
♠♥t ♦ ♦ ♠♣♥ ♥tr♦t s ♦rs ♣r♦♣♦rt♦♥♥s ① ♦rs s ♦s ♥♦♥ éqrés
t rt♦♥ ♦♣♣♦sé tt r♥èr ♠ét♦ ♣r♠t rés♦r t♦s s ♣r♦è♠s s ♣♣r♦s
♣réé♥ts ♠s s♦♥ ♣♣t♦♥ ♠♦♥tré q s♦t♦♥ ♣♦rrt êtr s♦s ♠♦rt ♥s ♣♣
t♦♥ ♣rés♥té ♣r ♥ ❬❪ s tr♦s t②♣s ♠♦rtss♠♥t s♦♥t ♦♠♣rés sr ♥ ①♠♣ ♥
♥ ♦t ♥ q ♠ê♠ ♣♦r ♥ ①♠♣ s♠♣ s tr♦s ♠ét♦s ♦♥r♥t rs s rs
ér♥ts tr♦sè♠ ét♥t ♣s ♣r♦ s♦t♦♥ é ♥s ♦ ❬❪
①è♠ t②♣ ♠♦rtss♠♥t st tsé ♣r ét ♣♦r s s♦t♦♥s sttqs t tr♦sè♠ t②♣
st ♦♥sé ♣♦r s s ♦ù ♥ ♥♠♥t rt r♠♥t
♥s ♥tr♦t♦♥ ♥ ♠♦rtss♠♥t st ♠ê♠ ♥tr q tr♥s♦r♠t♦♥ ♥ ♣r♦è♠
Page 32
P ❯P
sttq ♥ ♥ ♣r♦è♠ ②♥♠q st st ♥ t♥q ♥♠érq t tt r♠t♦♥
♣t êtr ①♣té ♥ sé♠ts♥t ♠té♠tq♠♥t stt♦♥ ♥ ♣t r♣rés♥tr ♣r♦è♠
sttq r à rés♦r ♣r ♥ été s②♠♦q F (X) = 0 ♥s q X r♣rés♥t s ♥♦♥♥s
é♣♠♥ts s ♦s ♦rts ♥tr♦s. . . t F st ♥ ♦♥t♦♥ ♦♥♥ à ♥ q trt s
♦s ♣②sqs s♦♠♠ s ♦rs ①rés sr q ♦ ♦s ♦♠♣♦rt♠♥t s ♦♥ts. . . ♦♠♠
♥♦s rr♦♥s ♣r st st ♥s q ♣r♦è♠ sttq st ♦r♠é t ♦ré ♥s s ♦s
♦♠♠ ❬❪ r ♣♥ ♣r♠♥t ♠té♠tq st t♦♦rs ♣♦ss r♠♣r
♣r♦è♠ F (X) = 0 ♣r ♥ ♣r♦è♠ ♥s q ♦♥ r ♥ ♦♥t♦♥ Y (t) ♠ê♠ ♥tr q
X t ∈ R t♠♣s t q ér MY +CY +F (Y ) = 0 ♦ qq ♦s ♣s ♦♠♣①
♥s tt éqt♦♥ ér♥t ♦rr ① ♦♥ ♥tr♦t tss Y = dY/dt t éért♦♥ Y
♥♦♥♥ Y st ♦♥sst ♦♥ à ♦sr ♦♥♥♠♥t s②stè♠ ér♥t ♠trs M
t C ♥s s srt s♦rt q Y∞ = limt→∞
Y (t) ①st ♦rs ♦♥ r ♦ré♠♥t F (Y∞) = 0
♦♥ X = Y∞ st ♥ s s♦t♦♥s ♥♦tr ♣r♦è♠ sttq ♦♠♠ ♣r♦è♠ ♥s t♠♣s
st rés♦ ♣r ♥ ♠ét♦ ♥♠érq ♣s à ♣s ♦♥t st à rqr ♥ st Yn t q
F(
limn→∞
Yn
)
= 0 st ♦♥ ♥ ♣r♦éé tért ♣r♠ t♥t trs t q ♥ ♦t ♠s êtr
sté ♥ s♥t q st ♣s r♣rés♥tt rété ♠s ♥ r♣♣♥t s♠♥t q s♦♥t
♦srt♦♥ s ♣é♥♦♠è♥s rés ♥s♣ré s ♠té♠t♥s t s ♥♠ér♥s ♣♦r ♣r♦♣♦sr s
♦rt♠s
♦♥s♦♥
♠ét♦ s é♠♥ts st♥ts été ♥t♠♥t ♦♥ç ♣♦r rés♦r ♥ ♣r♦è♠ ②♥
♠q ♥ ②♥♠q tt ♣♣r♦ st ♣rt♠♥t sté t ♦♥stt ♥ ♦♥♥ r♣rés♥tt♦♥
♦♠♣♦rt♠♥t s ♦s ♥ sttq ♦♥ r ♥s♠ s ♦rs q r♠♥r s②stè♠
à éqr s tsss s ♦s ♥t êtr ♥s ♥s s tst♦♥ s éqt♦♥s
②♥♠q ♥st ♣s ♦rs sté ♥s s♥s ♦ù s éqt♦♥s ♥①♣q♥t ♣s rété ♦♠
♣♦rt♠♥t s②stè♠ ♥ t tst♦♥ trs ♦♥t♦♥s q♦♥qs rt été ♣rt♠♥t
♣♦ss t♥t qs s♦♥t ér♦ss♥ts t qs ♣r♠tt♥t r♠♥r s②stè♠ à éqr
Pr rs ♥tr♦t♦♥ ♥ ♠♦rtss♠♥t st ♥éssr ♣♦r ♦♥rr rs ♥ s♦t♦♥
q s♦t t②♣ ♠♦rtss♠♥t ♦s ♦♥ ♥tr♦t s ♦rs s♣♣é♠♥trs ♥s ♠♦è
q ♥♦♥t ♥ ♥tr♣rétt♦♥ ♣②sq st ♥q♠♥t ♥ st ♥♠érq ♣♦r ♠♥r
s ♦st♦♥s s②stè♠
♥♦♥s q ♥s ♣♣t♦♥ éqt♦♥ r ♥ r♦tt♦♥ ♠♦♠♥t ♥rt tsé ♥
sttq ♥s ♦ ❬❪ ♣♦r s ♦s rs st ♥ ♠♦♠♥t ♥rt ♠♦②♥ ♣♣qé ♣♦r
s tr♦s rt♦♥s r♦tt♦♥ st éq♥t à r q ♦r♠ é♦♠étrq ♦ st ♥
s♣èr
♣♦♥t é♦♠étrq st♦♥ s ♦♥♥ttés st ♥ ♣r♦è♠ ss③ ♦♠♣① ê♠
s ♠ét♦ ♣♥ ♦♠♠♥ ♣r♠t ♠♥r ♥♦♠r ♦♣ért♦♥s à r ♣r♦ér
st♠♥t ♣♥ ♦♠♠♥ st ss③ ♦♠♣qé t ♥ésst ♣r♦s ♥tr♦t♦♥ ♦♥ts
♦rrtrs ♠♣rqs ♥ ♦tr ♣♦str q s ♦s ♣♥t s♥tr♣é♥étrr st ♥ ♠♦②♥ r♥r
♦♠♣t é♦r♠té s ♦♥tts ♦t♦s ♦rsq s ♦rs ♥♦r♠s ♦♥tts s♦♥t très
éés ♥tr♣é♥étrt♦♥ ♣t ♥r très r♥ ♣♦r êtr ♣t t ♦t êtr rrêté
♣♦r ♥tr♦r s ♦rrt♦♥s ♦♠♠ ♣r ①♠♣ ♠♣♦sr ♥ rté ♥♦r♠ ♣s éé ♣♦r s
♦♥ts ♥ ❬❪
♥♥ t♠♣s ♣t êtr rt♠♥t éé t ♠♥t ♦♠♣①té ♠♦è
Page 33
ét♦s ♦s ♠t♣s
srt♦t s s ♣r♦♣rétés ♥♦♥ ♥érs s♦♥t tsés s ♦♥♥és sr rtrt♦♥ ét♥t s♦♥t ♣
♣r♦①♠és s réstts ①ts ♥ s♦♥t ♣s r♥ts st ♦♥ ♥éssr r ♣srs s♠t♦♥s
♣♦r rér ♥ ♥rtt q ♠♥t ♥♦r ♣s t♠♣s
♣♣r♦s é♥rétqs
ét♦ ♥②s s é♦r♠t♦♥s s♦♥t♥s
♠ét♦ s♦♥t♥♦s ♦r♠t♦♥ ♥②ss st ssé ♥s té♦r s ♠é
t♦s s é♠♥ts srts ts♥t ♥ ♣♣r♦ ♠♣t tt ♠ét♦ ♣r♠t ♠♦ést♦♥
♣r♦è♠s s♦♥t♥s ♣r ♥ ♣♣r♦ é♥rétq ❯♥ ♥ré♠♥t s ♣s t♠♣s
♦rrs♣♦♥♥t ① ♥ré♠♥ts r♠♥t st tsé ♥s s s s♦t♦♥s sttqs ♦ ②
♥♠qs stté ♥ ss♠ ♦s r♦① ♥trss♥t ♥tr ① ♣t êtr été ♥
s♣♣♦s♥t ♥ r♦ é♦r♠ ♦s ♥♦s ♥térss♦♥s é♦♣♣♠♥t ♠ét♦ ♥
❬❪ t ❬❪
s éqt♦♥s éqr s♦♥t érés ♣r ♠♥♠st♦♥ é♥r ♣♦t♥t s②stè♠
♦s tt é♥r st s♦♠♠t♦♥ s é♥rs ♣♦t♥ts s♥ts é♥r é♦r♠t♦♥ ♣r♦
t ♣r s ♦♥tr♥ts éstqs é♥r ♣♦t♥t s ♦♥tr♥ts ♥ts q s♦♥t s ♦♥tr♥ts
♦rrs♣♦♥♥t ② ♣réé♥t s ♦rs ♦rs ♦♠ ♣♦♥ts ♥rt é♥r
♣♦t♥t ♣r♦♥♥t ♥ rss♦rt à rté éé ss♦é à ♥ ♣♦♥t ① t é♥r é♦r♠t♦♥
ss♦é ① ♦♥tts ♥tr s ♦s ♥ t ♦♥ ss♦ à ♥ ♦♥tt t②♣ ♥÷ ♦ ♥÷♥÷
♦ t♦t ♦♠♥s♦♥ s t②♣s ♦♥tt ♥ rss♦rt ♣♦ssé♥t ♥ rté ♥♦r♠ t ♥ rté
t♥♥t rtèr ♣stté ♥st ♣s é♣ssé ♦♥ é♥r é♦r♠t♦♥ ss♦é
à rt♦♥ ♥♦r♠ t t♥♥t rtèr st tt♥t ♥ ss♠♥t st s♣♣♦sé ♦r
♦r r♦tt♠♥t st ♦rs é ♥s q é♥r ♣♦t♥t ♦rrs♣♦♥♥t ♥ ♦♥sér♥t q
st ♥ ♦r ♣♦♥t
s♦t♦♥ s②stè♠ éqt♦♥s éqr st ♦♥tr♥t ♣r ♥ s②stè♠ ♥éqt♦♥s ss♦és
à ♥é♠tq s ♦s ♣s ♣é♥étrt♦♥ ♥tr s ♦s t ♣s trt♦♥ ♥ ♣s rtèr
r♦tt♠♥t ♦♦♠ ♦t êtr rs♣té s t ç♦♥ ♥ré♠♥t q ♣s
t♠♣s s é♣♠♥ts s♦♥t és ♣r rés♦t♦♥ s éqt♦♥s éqr s ♦♥t♦♥s és
à ♥é♠tq t r♦tt♠♥t ♥ s♦♥t ♣s ststs ①t♦♥ rt♥s ♣♦♥ts st ♠♣♦sé
t ♥ ♥♦ s②stè♠ éqt♦♥s éqr st ♦r♠é ♣r♦sss st ré♣été ç♦♥ tért
sqà rrr à stsr s rtèrs ♠♣♦sés ♦r r
♠ét♦ ts ♥ ①♣rss♦♥ ♣♦②♥♦♠ ♣r♠r ♦rr ♣♦r ♦r♠r ♦♥t♦♥
é♣♠♥t s ♦s ♥ s♣♣♦s♥t q s é♣♠♥ts ♥ré♠♥t① s♦♥t ss③ ♣tts Pr
♦♥séq♥t s é♦r♠t♦♥s t s ♦♥tr♥ts s♦♥t ♥♦r♠s ♥ ♥ ♦ ♦♥♥é t
❬❪ st ♦♥ r♣rés♥tr s rs ♦♥t♦♥s ♥ s♦trr♥ s é♦♣♣♠♥ts ré♥ts
♦♥t ♥tr♦t s ♦r♠t♦♥s ♦♥t♦♥ é♣♠♥t ♦rr s♣érr ②♥ t
❬❪ ♠s s♣♣♦s ♥ t♠♣s ♣s éé
♠ét♦ ♣♥ ♦♠♠♥ st tsé ♥ ♣♦r étt♦♥ s ♦♥tts t ❬❪
♥ ❬❪ s ♦♠♣t♦♥s q ② s♦♥t ss♦és s♦♥t ♦rs s ♠ê♠s q s ♥s
♠ét♦ ♥s s ♦♥tts ♦♥r♥♥t ♥ ♣♦♥t ♦ s ♦♠♥s♦♥s ♦♥♥♥t
s ♦♥tts ôté t ♣♥ ss♠♥t ♥st ♣s ♣♥ ♦♠♠♥ ♦♠♠ ♣♦r
♠ét♦ ♠s ♣♥ ♦♥♦♥ P♦r s trs s ♦♥tt ♣♦♥t♣♦♥t
♣♦♥tôté t ôtéôté ♣♥ ♦♠♠♥ st ♣♥ ss♠♥t ♦rsq ♥ ♥ ♦♥tt
♣♦♥t ♣♦♥t é♣ss ♥ rss♦rt ♥ rté ♦♥♥é st ♣♣qé ♥♦r♠♠♥t à
Page 34
P ❯P
r ②s térts ♣♦r ♥ ♣s t♠♣s ♦♥♥é ♥ré♠♥t r♠♥t ♥s ♠ét♦
é♥r ss♦é à rss♦rt st é t ♠♥♠sé st♥ ♥tr ♣♦♥t t ♦t
êtr ♥ ♣rès ♥ré♠♥t é♣♠♥t ♠ê♠ ♣r♥♣ st ♣♣qé ♣♦r s trs t②♣s
♦♥tt ♥ ts♥t st♥ ♣r r♣♣♦rt ♣♥ ♦♠♠♥
Pr ♦♥séq♥t s rtés ♥♦r♠ t t♥♥t ss♦és ♦♥tt s♦♥t ♠♣♦sés ♣♦r s♠r
étt ♥♦♥ ss♠♥t t ♥♦♥ ♣é♥étrt♦♥ ♥tr s ♦s ♠s ♥ s♦♥t ♣s r♣rés♥tts s
rtés rés s ♦♥ts r♦① ♥ ♣s t♥ ♥st ♣s ♥s ♥s ♠♦è
♠ét♦s s ♥ts ♣r r♣♣♦rt à ♠ét♦ s é♠♥ts st♥ts ♣rès ♥
❬❪ s ♣s rt♠♥t ♣s éés ♥ ♥tért♦♥ ♥②tq s ♠trs rté s
éé♠♥ts t ♦♥r♥ tt♥t ♣♦r s s qs sttqs s♥s tst♦♥ ①ss s ②s
ré ss ♥ts r ♥♦♥é♥♥t t♠♣s éé ♥ ♠♦è é♠♥ts
srts srt♦t ♦rsq é♦♠étr ♣r♦è♠ st ♦♠♣① t s ♦♥ ♦♥sèr s é♦r♠t♦♥s
♥♦♥ ♥♦r♠s ♥ q ♦
♥♠♥t ♥ q ♠ét♦ t été tsté t é ①t♥s♠♥t ♣♦r s ♠♦ès ♥
♥ ♥ ♦♦♥ ❬❪ s t♦♥s ♥ s♦♥t ♠tés à qqs s s♠♣és
s♦♥t ♥ ②♥♠q ♥s ❬❪ ♣♣q ♠ét♦ ♣♦r s t t ss♠♥t
♥ ♦ ♥ ♦♥sér♥t s ♥s r♦tt♠♥t ♥s t ♥ ts♥t s éqt♦♥s ②♥♠q
♣♦r t♦♥ trs ①♠♣s ②♥♠qs ss♠♥t ♥ ♦ ♦♥ ♥ ♣♥ ♠♦♠♥t
♥ ♦ ♣♦sé sr ♥ ♦♥t♦♥ q st ♥ éért♦♥ t ♦s♦♥ ♣srs ♦s ♦♥t été
ss és ♣r t ❬❪ s ♦♠♣rs♦♥s s tsts ♦rt♦r ♦♥r♥♥t
stté ♥ ♦ s♦é ❨♥ ❬❪ ♦♥t ♠♦♥tré s ♠ê♠s ♠♦s ♠♦♠♥ts s ♣♦r
Page 35
ét♦s ♦s ♠t♣s
t♦rs♦♥ ♠s ♥ ♠sr q♥ttt ♠♦♠♥t ♥ été t ♥♦tr ♦♥♥ss♥ ♥
t♦♥ ♣♦r ♥ ♠♦è ♦♠♣r♥♥t ♣srs ♦s t♦r ♥ té s♦trr♥
♥ été ♥tr♣rs ♣♦r s s r♠♥t sttq
ét♦ ♦
♠ét♦ ♦ ♦r♥ ❬❪ r ❬❪ r ❬❪ ♣r♠t
♠♦ésr ♥ ss♠ ♦s rs s♦♠s à ♥ r♠♥t sttq ♣rs ♥ ♦♠♣t
r t♦♥ ré♣r♦q ♣r♦ér tsé st ♥ ♣r♦ér sttq s ♦s ♥trss♥t ♥tr
① à éé♠♥ts ♦♥ts ♦sés ♥ s ♥trs s ♦s ♦♠♣♦rt♠♥t ♠é♥qs
ss♦és ① ♦♥ts ♣r♠tt♥t ér s ♦rts ♥ ♦♥t♦♥ s é♣♠♥ts rts ♥tr s ♦s
t st tr♦r ♠♣ é♣♠♥ts q ér éqr s②stè♠ ♦s ♠♣
é♣♠♥ts ♦t êtr ♥é♠tq♠♥t ♠ss t s ♥ ♣♣q♥t ♣r♥♣ ♠♥♠♠
é♥r ♣♦t♥t t♦t tt é♥r ♣♦t♥t st s♦♠♠ é♥r é♦r♠t♦♥
strtr é♥r é♦r♠t♦♥ s ♦♥ts ♥s s ♦ù r♦ st r t é♥r
♣♦t♥t s ♦r ①térrs t s ♦rs ♦♠qs ♣r♦sss s t ♣r ♥ré♠♥ts
r♠♥t ①térr q ét♣ ♥ré♠♥t é♣♠♥t q r♠è♥ s②stè♠ à étt
éqr st rré ❯♥ ♣r♦ér tért ♣r ♠♦t♦♥ sss ♠tr rté
♦ st tsé ♣♦r sr♥r s ♣r♦è♠s ♥♦♥ ♥érté é♦♠étrqs t ♠é♥qs
♥s rs♦♥ ♦r♥ ♠ét♦ ❬ ❪ ♦♥ é♦r♠t♦♥ ♠♦②♥♥ ♦♥t à
q ♥ré♠♥t r♠♥t t ♦♥ ♠♣ ♦♥tr♥ts st ♥♦r♠ ♥ ♥ ♦♥t
♦♥♥é s trs é♣♠♥t s♦♥t és ç♦♥ à r♠♥r ♦ à éqr ♠s ♣sq
s ♦♥tr♥ts s♦♥t ♥♦r♠s sr s s ré s ♠♦♠♥ts s♣♣é♠♥trs rts ♥s
♥ré♠♥t s♥t ♥ ♣rt ♠♣ é♣♠♥t ♦♥tr ♦♥ à ♥♥r éséqr
♥t ♣r tt ♥♦r♠st♦♥ s ♦♥tr♥ts s ♠♦♠♥ts réss ♣♥t s♠r ♦rs
s ét♣s t r♥r ♦♥r♥ s②stè♠ à tt♥r ♥ ♦tr ♦♥t ss♦é à
♥tr ① ♦s ♦♥♥és st t♦♦rs ♣♦rté ♣r ♥ s ① ♦s ♦① ♦ ♥ qst♦♥
é♣♥ ♠♥èr ♥♠ér♦tr s ♦s ♥s ♠ss tt é♥t♦♥ ♥ sr ♠♦♠♥t
♦ t sr ♠♦ést♦♥ r♣tr ♥ t ♠♦♠♥t s ♦s t ♣stt♦♥ s
♦♥tr♥ts é♣♥♥t s ♦♥tr♥ts ♥♦r♠s t t♥♥ts ♥ ♥tr ♦♥
rt♦♥ ♦s ♦♥t
♥s rs♦♥ ♠é♦ré ♦ ❬❪ ♠♣ é♦r♠t♦♥ ♥ré♠♥t ♥♦r♠ st r♠
♣é ♣r é♣♠♥t rt t♦t ♥tr s s s ♦s ♥ ♥trt♦♥ ♥s s ♦rts
♦♥tt s♦♥t éés ♥ t♥♥t ♦♠♣t s ♦♥tr♥ts ♦s sr s ♦♥ts ♥ésst sr♣
t♦♥ à q ét♣ é♣♠♥t t♦t s ♦s ♣♦r ♦r ès é♣♠♥t rt
t♦t ① ♥trs ❯♥ ré rté st ♦té ♦♥t q st ♣♦ssté r♦tt♦♥ t♦r
♥♦r♠ ♦♥t ♥ ♣s s ♦rts ♦♥tt és t♥♥♥t ♦♠♣t éqr s ♠♦♠♥ts
① ♥trs rté s ♦s ❯♥ tr ♠♦t♦♥ ♦♥r♥ ♣♦st♦♥ ♦♥t ♥s ♥♦
rs♦♥ ♦♥t ♣ss ♣r ♠ ♠♣ é♣♠♥t rt s s ♥é♣♥♥
♥♠ér♦tt♦♥ s s
s ♠é♦rt♦♥s r♥♥t t♠♣s ♣s éé t ♦♥r♥ ♥st ♣s s②sté♠tq à
♥ st é à ①st♥ ♥ s♦t♦♥ ♥é♠tq ♣♣r♦ ♣♦ssè é♠♥t
♣srs ♠tt♦♥s t♥ ♥st ♣s ♣rs ♥ ♦♠♣t ♦rs q ♣t ♦r ♥ rô étr♠♥♥t
♥s stté s ♦s é♥t♦♥ s ♦♥tts st très s♠♣st s ♦♥tts t②♣ s♦♠♠t
s♦♠♠t ♥①st♥t ♣s ♣r♦sss ♣t ♥ ♣s ♦♥rr ♦rsq s ♦s s s
Page 36
P ❯P
très ♣tts s tr♦♥t ♥s ♠♦è t qs sss♥t ♥ ♠♦♠♥t r♦tt♦♥ ♥ ♦tr
étt♦♥ ♥♦① ♦♥tts ♥st ♣s ♣rs ♥ ♦♠♣t ♥s ♠ét♦
Pr rs s♠♥t tr♠ ♣r♠r ♦rr é♦r♠t♦♥ ♣r r♦tt♦♥ ♣r st rt♥
♥s ♦r♠t♦♥ ♠tr é♦r♠t♦♥ q ♣r♠t ♣ss ♥ ét♣ à tr
♣r♦t sss s ♠trs ♥♦♥ ♦rt♦♦♥s ♣♦rrt ♠r s rrrs sr é♣♠♥t s
s♦♠♠ts ♦ t ♦♥ ♥ rt♥ ç♦♥ ♥r ♥ é♦r♠t♦♥ ♦ ❯♥ ç♦♥ é♠♥r
s rrrs st ssttr ♠tr é♦r♠t♦♥ ♣r ♥ ♠tr ♦rt♦♦♥ q s♦t ♣s
♣r♦ ♣♦ss ♦t♦s tt ♦rrt♦♥ ♦♠♣q ♣r♦ér ♥♦r ♣s
♦♥s♦♥
♦s ♦♥s ♠♦♥tré s tés ss♦és à tst♦♥ s ♠ét♦s ♥♠érqs ♣♦r
étt éqr ♥ ♥s♠ ♦s ♥ ♣r♥♥t ♥ ♦♠♣t rs ♥trt♦♥s st ss♥
t♠♥t s ♠ét♦s s é♠♥ts srts ♦♣t♥t s ♦r♠t♦♥s sttqs ♦ ②♥♠qs
♥é♣♥♠♠♥t t q s ♣r♦érs ♣♥t êtr ♦♥tsts srt♦t ♥ ♣
♣r♦ ②♥♠q t t étr ♣srs ♦s ♥ ♠ê♠ t♠♣s ♣rés♥t ♣srs ♠tt♦♥s
♦♠♠♥s à t♦ts s ♠ét♦s
• t♠♣s très éé srt♦t ♦rsq s ♥♦♥ ♥értés s♦♥t ♥tr♦ts
• té st♦♥ s ♦♥tts srt♦t ♣♦r s t②♣s s♣é① ♦♥tt ♦♠♠ s♦♠♠t
s♦♠♠t t ôtés♦♠♠t
• ♠s r♣rés♥tt♦♥ s ♦♥tr♥ts sr s s s ♦s rs
• ♥tr♦t♦♥ ♦♥ts ♦rrtrs q ♦♥r♥♥t s♦t ♣♦st♦♥ ♦r ♦♥tt s♦t
r♦tt♦♥ ♦ ♦rsq st ①♣r♠é ♣r ♥ ♦r♠t♦♥ ♣r♠r ♦rr
rès s♦♥t s ♦♥♥és é♦♠étrqs s s♦♥t♥tés s ♣r♦♣rétés ♠é♥qs ♠ été
t s ♦♥t♦♥s ♥ts ♥ s♦♥t ♣s ♦♥♥s ç♦♥ ①t t ♦♥ r♦rt à s ♣♣r♦①♠t♦♥s
♥s ♥ ♠ r♦① rtré ♥ s♦trr♥ s ♣♣r♦①♠t♦♥s ♦♥r♥♥t srt♦t s s♦♥t♥
tés Pr ♦♥séq♥t ♠ê♠ s ♠ét♦ tsé st ①t ét♦♥ stté ♥ st ♣s
♥éssr♠♥t P♦r ♦r s réstts s ♥rtt s ♦♥♥és ♥ésst r ♣srs
s q ♦rt ♥♦r ♣s ♣r♦ér
P♦r ♥ ♥é♥r q ♦rt ♦r ♥ st♠t♦♥ r♣ stté ♥ s♠♣t♦♥
♣r♦è♠ sèr êtr ♥éssr à ♦♥t♦♥ q réstt s♦t sértr ♥♦t♦♥ ♦ s♦é
été ♦♥ç ♥s t t ♦♥sst à étr ♥ s ♦ ♥é♣♥♠♠♥t s trs Psrs
♠ét♦s s♦♥t ssés ♥s tt té♦r t r♦♥t ♦t ♣rr♣ s♥t
ét♦s ♦s s♦és
♣r♦é♠tq é♥ér é♥q s ♦s ♠♦♠♥t sttq ♦ ②♥♠q ♥
♥s♠ s♦s rs ♦ é♦r♠s s ♦s ré♦♦qs ♦♠♣①s ♥♦♥ s♠♥t ♣♦r s
♥trt♦♥s ♦♥ts ♠s ss ♣♦r s♦ st tr♦♣ é♥ér ♣♦r ré♣♦♥r à rt♥s ♠♥s
♣rtqs s tstrs ♥♦t♦♥ ♠♥s♦♥♥♠♥t ♥ é♥t s♦tè♥♠♥t s♥ ①t
♠♥t q ♦♥♣tr ♦r ♥ t ♣s ♠♦♠♥ts rts très ♠♣♦rt♥ts ♥tr s
♦s st à rét♦♥ s♦trr♥ ♥ r ♥s ♣r♦è♠ é♥ér ♠é♥q s ♦s
♥♦s r♦♥s ♥ s♦t♦♥ ♣r♦ éqr ♥t ♣rtrt♦♥ st tt ♣r♦♣rété
♣r♦è♠ ♣♦sé q st ♠① ①st♥ s ♠ét♦s ♦s s♦és q ♦♥sst♥t ♥s r
♣r♥♣ é♥ér ♦♠♠♥ à ①♣♦tr t q s♦t♦♥ rré sé ♣r ♥str st t
Page 37
ét♦s ♦s s♦és
q s é♣♠♥ts s ♦s à ♣rtr ♥ étt réér♥ s♦♥t très s à é étr
s ♦s ♥ ♣r ♥ t ♣♥♥t q ♦♥ s♥térss à ♥ ♦ t s♦é ♦♥ è ♠♦♠♥t s
trs Pr rs ①♣ér♥ ré ♦ s s♠t♦♥s ♥♠érqs ♣r♠t ♠tr ét
s ♦s à ① q s♦♥t stés à ♣r♦ s s s♦trr♥s s♦t ♥♠♥t s♦t ♥ s
rr♦♣♥t ♣♦r ♦t♥r ♥ ♦ ♦♠ ♠①♠ ♥ ♥s♠ ♦s q st ♥ ♠♦♠♥t
♦r♣s s♦ ♥s t♦s s s ♦♥ s r♠è♥ à ét ♠♦♠♥t t éqr ♥ s♦
r ♥ ♦♥tt ♥ s♦ ♠♠♦
♥étr♠♥t♦♥ ♣r♦è♠ ♣r♦è♠ stté ♥ ♦ s♦é st ♥étr♠♥é s ♦♥
ts ♥q♠♥t s éqt♦♥s éqr ♦♥sér♦♥s ♥ ♦ ♣♦②érq sté à sr ♥
♦rtr s♦trr♥ ②♥t n s ♥ ♦♥tt ♠ss r♦① t m s rs n ≥ 3
t m ≥ 1 ♣rès ①t♦♥ ♦ st s♦♠s à s♦♥ ♣♦s à trs é♥ts ♦rs ①térrs
♦♥♥s t ① ♦♥tr♥ts ♥♦♥♥s ss♥t sr s s ♦♥tt P♦r ♣♦♦r ér stté
♦ t ♦♥♥tr s ♦♥tr♥ts ♣♣rt s ♠ét♦s ♦s s♦és ♦♥sèr♥t ♥
s ♦r ♥♦♥♥ ♣♦r q ♥ ♦♥tt ♠ss s s rs ♥ s♦♥t s♦♠ss à
♥ ♦♥tr♥t s s ♥ s♦tè♥♠♥t ② st ♣♣qé ♥s s♣ tr♠♥s♦♥♥ ♥♦♠r
t♦t ♥♦♥♥s séè ♦♥ à 3n ♦♠♣♦s♥ts ♣♦r q tr ♦r
s éqt♦♥s éqr ♥ ss♥t ♣s ♣♦r r ♥étr♠♥t♦♥ ♥ t ♥♦s s♣♦s♦♥s
♥ s②stè♠ éqt♦♥s éqt♦♥s éqr ♣♦r s ♦rs t éqt♦♥s éqr ♣♦r s
♠♦♠♥ts ♦rs q ♥♦♠r ♥♦♥♥s séè ♠♦♥s à st ♥s s ♥♦♥♥s
♦ tr♠♥s♦♥♥ ♣s s♠♣ ♥ tétrèr
♥s s ♦ù ♦♥ s ♠t à tst♦♥ s éqt♦♥s éqr s s♠♣t♦♥s s♣♣é
♠♥trs s♠♣♦s♥t ♣♦r r tt ♥étr♠♥t♦♥ s ♣♣r♦s s♣♦♥s ♦s s♦és q
♦♣t♥t s♦♥t ♥ à éqr ♠t ♣r♠tt♥t ♦♥t♦r♥r tt ♥étr♠♥t♦♥
♣srs ç♦♥ ér♥ts q ♥ s♦♥t ♣s rs ss③ ♦♥♥♥ts
♥s ♠ét♦ s ♦s és ♦♦♠♥ t ❬❪ ♦♥ ♠t ♥♦♠r trs
♦rs ♥♦♥♥s à ① ♥♦♥♥s P♦r ♥②s ♠é♥q st ♣rééé ♣r ♥ ♥②s
♥é♠tq q ♣r♠t étr♠♥r à ♣rtr é♦♠étr ♦ s♦♥ ♠♦ ♠♦♠♥t ♥
s♣♣♦s q s ♦rs s♦♥t ♥s sr s s q s ét♥t t q ss♠♥t ♦ ♣t ♦r
sr ♥ ♠①♠♠ ① s ♥s tt ♠ét♦ s ♦♥tr♥ts ♥ts ♥♥tr♥♥♥t ♣s
♥s ét♦♥ stté ♦
trs ♠ét♦s éqr ♠t ♣♥t êtr ssés ♥s té♦r s ♠ét♦s étr
♠♥sts r s s♣♣♦s♥t q s ♦♥tr♥ts sr s s s ♦s ♣♥t êtr st♠és ♣rès
①t♦♥ ♥ é♥ér ♦♥ ts ♥ ♣rt ♥♦r♠t♦♥ ♣r♦♥♥t ré♣rtt♦♥
s ♦♥tr♥ts t♦r ①t♦♥ ♥ ♠ ♦♥t♥ ♥s ♠ét♦ r② t r♦♥
❬❪ s♦♥t s ♦♥tr♥ts ♥♦r♠s q♦♥ ts t ♥s ♠ét♦ ♦ ♥ t
♥ ❬❪ s♦♥t s ♦♥tr♥ts ♦r③♦♥ts ♣rès ♦♥ s trs ♦♠♣♦s♥ts
ç♦♥ à rs♣tr éqr ♦ ♦ ç♦♥ à tt♥r éqr ♠t ♥ ♦t♥t ♥ ♦r
rr♠♥t
trs ♠ét♦s q♦♥ és♥r ♣r ♠ét♦s ①t♦♥ ts♥t s éqt♦♥s ♦♠
♣♦rt♠♥t s ♦♥ts ♣♦r r ♥étr♠♥t♦♥ ♣r♠t ♥tr♦r t s ♦♥tr♥ts ♥
st sr ♦ s ♣♣r♦s rst♥t t♦t♦s ♠tés à s s ét très s♠♣s ♦s t♦t
①t♦♥ s♦♠s à s ♠♦♠♥ts tr♥st♦♥ ♣s s s♦♥t♥tés ♥ s♦♥t s♦tés
q ♣r ♣♦s t ♥♦♥ ♣s ♣r ♣r♦sss ①t♦♥
♥s t♦ts s ♣♣r♦s ♦♥ ♥ s ♦r ♣r ♦♥♥ss♥ tt ♦r ♥
Page 38
P ❯P
♣r♠t ♣s r s ♦♥tr♥ts ♥ t♦t ♣♦♥t t ♦♥ ér étt stté ♠♥èr
♦rrt ♣rs ♥ ♦♠♣t ♥ s ♦r ♣r s♣♣♦s q s ♦♥tr♥ts s♦♥t ♥♦r♠s
♥ étt éqr ♠t s trt ♦♥ ♣r ♣stt♦♥ ♥tèr ♦ ♥s
rt♥s ♣♣r♦s t♦ts s s ♦ ét♦♥ stté s t ♣r ♦♠♣rs♦♥
♣♦s ♦ à ♦r rr♠♥t q r♠♥r à éqr ♠t ♦ ♥ ♣r ♦♠♣rs♦♥
♦r t♥♥t t sr ♥ à ♦rrs♣♦♥♥t à ♣stt♦♥ ♥ ♦tr s
♣♣r♦s ♥ s♥térss♥t ♣s ♥ é♥ér à érr éqr s ♠♦♠♥ts
st ♣rr♣ ①♣♦s s ér♥ts ♠ét♦s ♦s s♦és s♣♦♥s ♥s tté
rtr ♥ ♠tt♥t ♥t sr rs ér♥ts t ♠t♣s ♠tt♦♥s ♠ré t♦s s ♦rts q ♦♥t
été ♦r♥s ♣♦r s ♠é♦rr
ét♦ s ♦s és
ét♦ ssq s ♦s és
s ♠ét♦s é♦♠étrqs à éqr ♠t ♦♥t été é♦♣♣és ès s ♥♥és ♣♦r étr
stté s ts r♦① ♥tr♣tés ♣r s s♦♥t♥tés ♦ t r② ❬❪ ♦r♠
é♦♠étrq s ♦s étt ♠té à s tétrèrs ♦ à s èrs ♥ s r t
♣♦ssté ssr sr ♥ ♦ ① s
tt té♦r été ét♥ ♣s tr ♥s s ♥♥és ♣♦r ♥②sr ss s ♦s ♣♦②érqs
♥s s ♠① s♦trr♥s s ♦s ♣♥t ♦r ♥ ♥♦♠r rtrr s ♦♥tt t
s rs ♣♦ssté ♦r s s ♥tr♥ts ♦r s ♦r♠s ♥♦♥ ♥tèr♠♥t ♦♥①s
❲rrt♦♥ ❬❪ ♦♦♠♥ t ❬❪ té♦r s ♦s és ♥♣♣♦rt ré♠♥t
♥ ♥♥♦t♦♥ ♦♥♠♥t à ♥②s ssq éqr ♠t ♠s s♦♥ ♦r♥té ♥t
s ♦r♠t♦♥ ♠té♠tq t s ♣té à étr ♣srs ♦♠♥s♦♥s ♦♥ts ç♦♥
s♠♣
❯♥ ♦ é és♥ ♥ ♥s♠ ♦s q st t q s st st ♦rs rst
♠ss st ♦r r ♥ s♣♣♦s ♦♥ q ♥stté ♠ss r♦s ♦♠♠♥ ♣r
♠♦♠♥t ♦ é sté à sr ①t♦♥ t ♦♦♠♥ ❬❪ tr♠
♣s s♣éq♠♥t és♥ t♦t ♦ ♥ ♦♥tt ①t♦♥ q ♣rés♥t ♥ ♥stté
r ①♠♣ ♥ ♦ é ③♦♥ ré ♣rès ♦♦♠♥ ❬❪
♠ét♦ ♥②s stté s ♦s é♦♣♣é ♣r ♦♦♠♥ t ❬❪ t ❲rrt♦♥
❬❪ st é♥ à ♦r♥ ♣r té♦r s ♦s ♦ t♦r② ♠s ♣♦r st♥r s
trs ♠ét♦s ♦s s♦és ♥♦s és♥♦♥s ♥s tt tès ♣r té♦r s ♦s és
été ♦r♠é t♦r♠♥t ♣r ❲rrt♦♥ ❬❪ t ♥ ts♥t ♣r♦t♦♥ stéré♦r♣q ♣r
♦♦♠♥ t ❬❪ stté ♦ st été ♥ ♦♥sér♥t ♥q♠♥t s ♦rs ts
ss♥t sr ♦ ♣♦s ♦rs à s ♣rss♦♥s ♦rs ②♥♠qs ♦rs s♦tè♥♠♥t
Page 39
ét♦s ♦s s♦és
t s ♦rs ♣sss ♦rs s♦tè♥♠♥t ♣ss s rt♦♥s s s♦♥t♥tés t s s
s ①t♦♥
ét st sé é♥ér♠♥t ♥ tr♦s ét♣s ♥ ♣r♠èr ét♣ ♣r♠t étr♠♥r s
♦ st ♠♦ ♥ ①è♠ ét♣ ♣r♠t étr♠♥r s♦♥ ♠♦ ♠♦♠♥t t ♥ tr♦sè♠
ét♣ ♣r♠t ér s stté
♥s rs♦♥ ♥t tt ♠ét♦ s ♠♦♠♥ts s♦♥t ♠tés à tr♥st♦♥ t t♦t
♣♦ssté r♦tt♦♥ st ♥♦ré s ♦♥tr♥ts ♥ st ♥ s♦♥t ♣s ♣rss ♥ ♦♠♣t ♥ s♣♣♦s♥t
q♦♥ st à ♣r♦♦♥r
é♥ért♦♥ s ♦s t ♦♠♥s♦♥s ♦♥ts ét stté ♥ ♦ ♣r ♠ét♦
s ♦s és st ♣♦ss s é♦♠étr ♦ st ♥ é♥ ♠s ss s ♦♥ s♣♦s ♥q
♠♥t s rt♦♥s s s♦♥t♥tés ss♣ts ♦r♠r ♦ s♥s s ♦♥♥és ♦♥r♥♥t r
♠♣♠♥t s♣éq ♦ r s♣♠♥t ♥s ♣r♠r s ♣srs ♠ét♦s ①st♥t ♣♦r
é♥ért♦♥ s ♦s ç♦♥ étr♠♥st ♦r ♥♥① ♣♦r s ♠ét♦s é♥ért♦♥ s
♦s ♥s ①è♠ s ♠ét♦ stéré♦r♣q ♦♦♠♥ t ❬❪ ♣r♠t ♥②sr
stté s♥s ♥ésstr é♥érr s ♦s
♦♦♠♥ t ♦♥t é♦♣♣é s ♥♦t♦♥s s♦ss♣s ♥ ♣♥ ♣②r♠s ♦♥ts
t ♣②r♠s ♦ q ♣r♠tt♥t ♥②sr ♣r s ♦s s♠♣s ts♥t ♣r♦t♦♥
stéré♦r♣q t♦s s ♦s q ♣♥t êtr ♦r♠és ♣r ♥ ♦♠♥s♦♥ ♦♥♥é ♦♥ts ♣♦♥t
♥trstr sr r
❯♥ ♣♥ ♦rrs♣♦♥♥t à ♥ s♦♥t♥té s s♣ ♥ ① s♦ss♣s s♦ss♣
s♣érr ♦♥t♥t ♥♦r♠ ♣♥ q ♦r♠ ♥ ♥ ♦r t♥q tsé
♦♥sst à é♣r s ♦♥ts ♣♦r qs ♣ss♥t ♣r ♥ s ♦r♥ ❯♥ ♣②r♠ ♦♥t JP
st ♥trst♦♥ ♥ ♦♠♥s♦♥ s♦ss♣s ♦♥ts ♣ss♥t ♣r ♥ ♠ê♠ ♣♦♥t P♦r ♥
♥♦♠r n ♦♥ts ①st ♦♥ 2n ♣②r♠s ♦♥ts ❯♥ ♣②r♠ ♦ BP st ♥trst♦♥
♣②r♠ ♦♥t JP ♠s♣ é♠té ♣r ①t♦♥ t ♦♥t♥♥t r♦ s
♣♥s ♦♥ts ♥s s♣ tr♠♥s♦♥♥ s ♣r♦tt♥t ♥ ♥ r ♣r ♣r♦t♦♥ stéré♦r♣q
♣r♦t♦♥ s t ♣r ♣♦♥t ♦ ♥érr s♣ s♣érr st r♣rés♥té ♣r ♥térr
r ♦rs q s♣ ♥érr s ♣r♦tt à ①térr r ét s ♥trst♦♥s rs
♣r♠t ssr ♥ s ♣②r♠s ♦♥ts ♦♥ tr♠♥♦♦ ♦♦♠♥ t ♦rs
és♥t♦♥ s ♣②r♠s ♦♥ts s♦ss♣ s♣érr ♥ ♣♥ i st és♥é ♣r s②♠♦
Ui ♦ ♣r ♥♦♠r t s♦s s♣ ♥érr st és♥é ♣r Li ♦ ♣r ♥♦♠r
r r♣rés♥t ♥ ①♠♣ ♣r♦t♦♥ stéré♦r♣q ♣②r♠s ♦♥ts ♦rrs
♣♦♥♥ts à ♥trst♦♥ s♦ss♣s tr♦s s♦♥t♥tés P P t P ♥ r♣rés♥t ss
♥ ♦ ♦rrs♣♦♥♥t à ♥ s ♣②r♠s ♦♥ts
s st♥s ♥tr s s♦♥t♥tés ♥♦♥t ♣s à êtr ♦♥♥s ♣sqs s♦♥t r♠♥és à ♦r♥
st ♥térêt ♣r♥♣ tt ♣♣r♦ t♦♣♦r♣q ♦♥ ♥ ♣s s♦♥ é♥érr ç♦♥
étr♠♥st s s♦♥t♥tés ♥s ♠ss r♦s ♣♦r r stté ♥ ♣s
♦rsq s st♥s ♥ s♦♥t ♣s ♦♥♥s ♦ù q ② s ♥rtts sr ♣♦st♦♥ s s♦♥t
♥tés tt t♥q ♣r♠t étr t♦s s ♦s ss♣ts êtr ♦r♠és ♣r ♥ ♦♠♥s♦♥
♦♥♥é ♦♥ts ♥trst♥t ♥ ♦♠♥s♦♥ ♦♥♥é srs rs ét s 2n ♣♦sstés st
s♣♣♦sé êtr ♣s sértr q ét s ♦s ♦r♠és ç♦♥ étr♠♥st ♣r s n ♦♥ts
❯♥ ♦s ♦ é♠té ♦♥ ♣t ♣♣qr ♥♠♣♦rt q ♠ét♦ ét stté s
① ♦♣ért♦♥s étr♠♥t♦♥ ♦ t ♥②s s♦♥ éqr s♦♥t t♦t♠♥t ♥é♣♥♥ts
s tr♦ q s trs q ♦♥t é ♥♦t♦♥ ♦ é ♦♥t ss ♣r♦♣♦sé ♥ t♥q
Page 40
P ❯P
011
P1
P3
P2001
000 100
110
101
010
111
r Pr♦t♦♥ stéré♦r♣q tr♦s sérs s♦♥t♥tés t é♥t♦♥ s ér♥ts ♣②r♠s ♦♥ts P ♦ à r♦t st ♥ ①♠♣ ♦ ♦rrs♣♦♥♥t à ♣②r♠ ♦♥t ♥ ♣♦♥té ♦
♥②s stté q ♥♦s ♦♥s ♣♣é ♠ét♦ s ♦s és t q ♣ss ♣r tr♦s ét♣s
♣r♠èr ét♣ ♥②s ♠♦té st ♥é♣♥♥t ♦r t ss♥t sr ♦
P♦r ①è♠ ét♣ ♥②s ♥é♠tq st ♦♥♥tr rt♦♥ tt ♦r s
① ♣r♠èrs ét♣s s♦♥t r♠♥és à ♥ s ét♣ ♥s ♠ét♦ ❲rrt♦♥ ♥s
♦♥♥ss♥ ♠♥s♦♥ ♦ ♥st ♣s ♥éssr ♣♦r s ét♣s ♥②s stté
♠é♥q tr♦sè♠ ét♣ ♥ésst ♦♥♥tr ♣♦s ♦ ♣sq ♥tr♥t ♥s
♦r s♦tè♥♠♥t ♥ s♥ ♦♥♥és sr st♥ ♥tr s s♦♥t♥tés ♦
♦♠ ♠①♠ st é ♥ r♠♥♥t s s♦♥t♥tés ♣s r♥ ért st♥s ♥tr
s ♠s ç♦♥ à ♥trstr sr ①t♦♥ ♥ é♥ér ♦ ♠①♠ st ♠té à
♥ ♦r♠ ♣②r♠ t♦ts s s ♥ts à r♦ ♣ss♥t ♣r ♥ ♠ê♠ ♣♦♥t ❬❪ ♠s
rt♥s trs ♦♥t é♦♣♣é s ♣♣r♦s ♣♦r r ♦ ♠①♠ ♦r♠ ♥♦♥♣②r♠
♦♥③á③P♦ t ❬❪ ♥é♥③í③ t ❬❪
♥②s ♠♦té ❯♥ ♥②s ♠♦té ♣réè t♦t ét stté ❯♥ ♦ st
♠♦ s st ♣ ①r ♥ ♠♦♠♥t s♥s ♦♥sérr s ♦rs q s♦♥t ♣♣qés
♥ és♥♥t ♣r tr ~ni ♥♦r♠ ♥tr à i ré rs ♥térr ♦ ♥ ♦ st
♠♦ s ①st ♥ rt♦♥ ♠♦♠♥t ~s t q ∀i, ~ni.~s ≥ 0 ♥s ♥ s s♥t ♥q♠♥t
sr s rt♦♥s s s ♦ ♣r r♣♣♦rt à sr r ♣t êtr éré ♠♦ ♦ ♥♦♥
♥s r♥r s ♥ ♥②s s♣♣é♠♥tr ♥st ♥éssr t ♦ st éré st q
q s♦t ♦r q st ♣♣qé
♥t ♦♦♠♥ t ❬❪ ♥ ♦ st ♥ t ♠♦ s BP = ⊘ t JP 6= ⊘ r
str ♥ ♣♦r ① s♦♥t♥tés s ♣②r♠s ♦♥ts ♦rrs♣♦♥♥ts ♥trst♦♥
sr r ♣r♠t é♥r s ♣②r♠s ♦ ♥ ♦t♥t ♦rs ♥ ♦ ♥♦♥ ♠♦ t ♥
tr ♠♦
♦rsq t♦ts s ♦♠♥s♦♥s s s♦ss♣s ♦♥ts s♦♥t étés tt ♥②s ♣r♠t
rér ♥♦♠r ♣②r♠s ♦♥ts ♣♦r sqs ♦♥ t ♥ ét stté ♣s ♣♦ssé
P♦r s ♦s ♠♦s ♥étr♠♥t♦♥ s ♦rs rét♦♥ sr s s st é ♥ s♥t
ét ♥ ♥ ♥②s ♥é♠tq s ♥ ♥②s ♠é♥q
♥②s ♥é♠tq ♥②s ♥é♠tq ♣♦r t étr♠♥r rt♦♥ ♠♦♠♥t
♦ ♥ ♦♥sér♥t ♥q♠♥t s é♦♠étr t s ♦rs ts ss♥t sr ♦ ♥ és♥
♣r ~A rést♥t s ♦rs ts st t♦ts s ♦rs ♦♥♥s ss♥t sr ♦ t
Page 41
ét♦s ♦s s♦és
r ①♠♣ ♥ ♥ ♦ ♥♦♥ ♠♦ t ♥ ♦ ♠♦
♣r ~P ♣♦s ♦ tr ~si st tr ♥tr ss♠♥t sr i t ~sij tr
♥tr ss♠♥t sr ♥trst♦♥ s s i t j
①st ♥q♠♥t tr♦s ♠♦s ♠♦♠♥t ♥ tr♥st♦♥ ♣♦sss strés ♥s r
r ♦s ♠♦♠♥t t ♦rs rét♦♥s ♣rès té♦r s ♦s és
s ♦♥t♦♥s rts à s ♠♦s s♦♥t ①♣♦sés ♣rès
• t r ♦ s♦è♠♥t é♦♠♥t
∀i, ~A.~ni > 0
s ~A. ~P > 0 ♦rrs♣♦♥ à t r t s ~A. ~P < 0 ♦rrs♣♦♥ à ♥ s♦è♠♥t
• ss♠♥t sr ♥ i~A.~ni ≤ 0
∀j 6= i, ~si.~nj > 0
• ss♠♥t sr ① s i t j
∀k 6= i et k 6= j, ~sij .~nk > 0
~si.~nj > 0
~sj .~ni > 0
• ♥ ♠♦♠♥t ♥s t♦s s s ♦ù s ♦♥t♦♥s ♣réé♥ts ♥ s♦♥t ♣s érés
♠♦♠♥t ♦ ♥st ♣s ♣♦ss t st éré êtr st s♥s ♦♥ ♦r à ♣ssr ♣r
♥②s ♠é♥q
♦t♦♥s q ♦♦♠♥ t ❬❪ ♦♥t é♦♣♣é é♠♥t s ♠ét♦s ♣r ♣r♦t♦♥ stéré♦r♣q
♣♦r étr♠♥r rt♦♥ ♠♦♠♥t
Page 42
P ❯P
♥ s♣♣♦s♥t q s ♦rs rét♦♥ ss♥t ♥q♠♥t sr s s ss♠♥t t qs
s♦♥t ♥s sr s s q s ét♥t r♦ tt ♥②s ♥é♠tq ♣♦r réstt
rér ♥♦♠r ♥♦♥♥s ♥s ♣r♦è♠ t r♥r étr♠♥é
♥②s ♠é♥q tst♦♥ s éqt♦♥s éqr s ♦rs ♣r♠t r s ♦rs
rét♦♥ sr s s ♦♥tt st ♥st ♣♦ss ér ♥ tr sérté ♥
és♥ ♣r Ni ♦♠♣♦s♥t ♥♦r♠ ♦r rét♦♥ ss♥t sr i ♣♦st ♥ ♦♠
♣rss♦♥ t ♣r ~Ti tr ♦♠♣♦s♥t t♥♥t tt ♦r ♥ ①♣♦s ♣rès s ①♣rss♦♥s
s ♦rs rét♦♥ ♣♦r s ér♥ts ♠♦s ♠♦♠♥t
• t r ♦ s♦è♠♥t
∀i, Ni = 0 et Ti = 0
❯♥ ♦ ♥ t r st s♣♣♦sé s étr ♦♠♣èt♠♥t ♠ss r♦s s ♦rs ♥♦r♠s
♥ s ss s s♦♥t ♥s st é ♥st t s♦♥ ♦♥t sérté st ♥
• ss♠♥t sr ♥ i
Ni = − ~A.~ni
Ti =∥
∥
∥− ~A− (− ~A.~ni).~ni
∥
∥
∥, ♦ tr♠♥t, Ti = ~A.~si
=ciSi +Ni tanφi
Ti
♦ ss sr ♥ ♣r éqr ♦r rét♦♥ sr tt st(− ~A) ♥ ♥ ét
♦r ♥♦r♠ t t♥♥t ss♥t sr tt ♦ st é ♥st s ♦r t♥♥t
é♣ss rtèr tsé ♦♥t sérté st é ♥ ts♥t rtèr ♦r♦♦♠
ci ♦és♦♥ ♥ i φi ♥ r♦tt♠♥t t Si sr ♦♥séré
• ss♠♥t sr ① s i t j
Ni =−( ~A ∧ ~nj)(~ni ∧ ~nj)
||~ni ∧ ~nj ||
Nj =−( ~A ∧ ~ni)( ~nj ∧ ~ni)
||~ni ∧ ~nj ||
Tij = ~A.~sij
=ciSi + cjSj +Ni tan(φi) +Nj tan(φj)
Tij
♦ ss sr ① s s éqt♦♥s éqr s ♦rs ♥ ss♥t ♣s à s ss
♣♦r r s ♦rs rét♦♥ éqt♦♥s t ♥♦♥♥s ♥ ts ②♣♦tès s♣♣é♠♥tr
q t q s ♦rs t♥♥ts ♦♥t ♠ê♠ rt♦♥ q rt♦♥ ss♠♥t t ♦♥ r
à r s♦♠♠ s ♦rs t♥♥ts t ♥♦♥ ♣s s ① ♦rs ♥♠♥t ♥♦♠r
♥♦♥♥s st ♦rs rét à Ni Nj t Tij ♥ ♦♥sér♥t ① éqt♦♥s éqr ♥s
rt♦♥ ♣r♣♥r à ~sij t ~nj ♣s ♥s rt♦♥ ♣r♣♥r à ~sij t ~ni ♦♥ ♦t♥t
s ①♣rss♦♥s s ♦rs ♥♦r♠s t ♦r t♥♥t
P♦r s ér♥ts s ss♠♥t tr sérté ♣t êtr éé tr♠♥t ♥ s♣♣♦s♥t
q ♦r t♥♥t tt♥t éqr ♠t ♦♥ ♦r rr♠♥t Pl ♦rrs♣♦♥♥t
Page 43
ét♦s ♦s s♦és
ré s♥t ~A ∥
∥
∥
~A∥
∥
∥<
∥
∥
∥
~Pl
∥
∥
∥ ♦rs ♦ st st ①♣rss♦♥ tr sérté st ♦rs
=
∥
∥
∥
~Pl
∥
∥
∥
∥
∥
∥
~A∥
∥
∥
♠rq sr ♥♦♥ ♣rs ♥ ♦♠♣t t♥ t♥ ♥st ♣s ♣rs ♥ ♦♠♣t
♥s ♠ét♦ ssq s ♦s és ♥s ♣rr♣ ♥♦s ♠♦♥tr♦♥s q ♦♥sért♦♥
♥ ♥ t♥ ♥ ♥♥ sr rt♦♥ ♠♦♠♥t t sr stté ♦
♥s s ss♠♥t sr ① s ♦♥ s♣♣♦s ♥s ♠ét♦ ssq éqr ♠t
q ♠♦♠♥t s♥t rt♦♥ ♥ ♥trst♦♥ s s ss♠♥t
st ♥ rété ♥ s♦t♦♥ ♣r♠ trs s♦t♦♥s ♣♦sss ♥ t s ♦♥ ♦♥sèr ♥ ♥
t♥ ♣♦r q i st ♣♦ss r ♥ tr rt♦♥ ♠♦♠♥t s♥t
♥ t ❬❪ t ♥ ❬❪ tt rt♦♥ s ♥ rés♦♥t s éqt♦♥s
s♥ts ♣♦r ♥ ss♠♥t sr s s ♥♦r♠s ♥térrs ~n1 t ~n2 t ♥ t♥ ψ1
t ψ2
~s.~n1 = sinψ1 , ~s.~n2 = sinψ2 et ‖~s‖ = 1
P♦r t♦t rt♦♥ ♠♦♠♥t ♣r♦è♠ ♣t êtr rés♦ ♥ ♦♥sér♥t q s ♦rs
t♥♥ts sr s s ss♠♥t ♦♥t ♠ê♠ rt♦♥ q ♣r♦t♦♥ tr é♣♠♥t
sr s s ♥ é♠♦♥tr q ♦♥t sérté st r♠♥t ♥♥é ♣r ♥ t♥
♦rsq ♦és♦♥ st ♥ r ♠♦♥tr ♣♦r ♥ ①♠♣ ♦ ss♥t sr ① s
é♦t♦♥ ♦♥t sérté ♥ ♦♥t♦♥ ♥ t♥ q st ♠ê♠ sr s ①
s
r Prs ♥ ♦♠♣t t♥ t ①♠♣ é♦t♦♥ tr sérté♥ ♦♥t♦♥ ♥ t♥ ♣rès ♥ ❬❪
P♦r ♥ ♦ ss♦é ♦ù ♥ t♥ st à s r ♠①♠ é à ♥
r♦tt♠♥t ♦♥t sérté st ♠①♠ ♥ t ♥ tr♠ ♥②s ♠t ♥ ❬❪
é♠♦♥tr q st ♥ ♦r♥ s♣érr s♦t♦♥ P♦r ♥ ♥ t♥ ♥ ♦♠♠
♥s s ♥②s ♦♥♥t♦♥♥ ♦♥t sérté st ♠♥♠ s♦t♦♥ s ♦s
és ♦♥♥ ♦♥ ♥ s♦t♦♥ ♣r ♦r♥ ♥érr ♣ss♠st
①st ♥ ♣♦stt ♣r♥♣ ♠①♠♠ ❬❪ q t q s ♠♦♠♥t
♦ st ♠♠♥♥t s ♦♥tr♥ts s ré♣rtss♥t ç♦♥ à é♦♣♣r ♠①♠♠ résst♥
ss♠♥t ♥s s ♠①♠♠ t♥ t s♦t♦♥ ♦r♥ s♣érr st
s♦t♦♥ ♦rrs♣♦♥♥t ♦ ♥♦r♠té ♠tér ss♦é ♦t♦s ①st ♥ s ♦♥trr ♣s
réq♥t q t q ss♠♥t ♦ s t ♥s ♥ ♥r♦♥♥♠♥t ♦♥tr♥ts q ♣rés♥t
Page 44
P ❯P
♠♦♥s résst♥ ♥s s s♦t♦♥ ♦♥♥t♦♥♥ ♣r ♦r♥ ♥érr st s♦t♦♥
♦rrs♣♦♥♥t ♥♥ s ♦♥ ♦♥sèr t♥ ♦♠♠ ♥ ♣r♦♣rété ♠é♥q s♦♥t♥té
♣tôt q♥ ♦♥t♦♥ ♠é♥q ♥ s♦t♦♥ ♥tr♠ér ♣t êtr tr♦é ♥s s ♥
t♥ st ♥ ♥tré ♣r♦è♠ q ♦♥ ♦♥♥t à ♣rtr sss s♠♥t ♦rt♦r
♦ ♥ st
♦♠♣rs♦♥ s trs sérté ♥ ts♥t ♠ét♦ ♦♥♥t♦♥♥ t ♠ét♦
♦r♥ s♣érr ♥ t♥ ♠ê♠ r q ♥ r♦tt♠♥t ♠♦♥tré q
♠ét♦ trt♦♥♥ ♦♥♥ s réstts r♠♥t ♥érrs r♣♣♦rt q ♠ét♦ ♣r
♦r♥ s♣érr ♦rsq ♦és♦♥ st ♦♥séré ♥ ♠♦♥tr q ♠ét♦ ssq s
♦s és ♣t êtr ①ss♠♥t ♦♥srt ♥ésst♥t ♥t♠♥t ♥ s♦tè♥♠♥t sr♠♥
s♦♥♥é
♦s é♦♣♣és Psrs ♦s sés sr té♦r s ♦s és ♦♥t été é♦♣♣és
♣s s ♥♥és sqà ♥♦s ♦rs t ♠♦♥tr ♥ st ♥♦♥ ①st s ♦s
♠♦rté s rt♦♥s ♥tr s ♦s ♦♥r♥ ♣rt é♥ért♦♥ s ♦s ♥ ♠é♦rt♦♥
♦♥♠♥t ♥s ♣r♥♣ ♥ été sqà ♣rés♥t ♥tr♦t ♣rs ♥ ♦♠♣t
r♦tt♦♥ été ♥sé ♣r qqs ♦s ♠s s ♠tt♦♥s ♥ t ♥②s ♦♥t êtr ①♣♦sés
♥s ♣rr♣
♦s és♥♦♥s ♣r é♥ért♦♥ étr♠♥st s s♦♥t♥tés t ♥tr♦r s s♦♥t♥tés
♥ ♣r ♥ t ♣r é♥ért♦♥ sttstq ♦rsqs s♦♥t é♥érés à ♣rtr ♦s strt♦♥
q ♦♥r♥♥t t♦s ♦ qqs ♥s s ♣r♠ètrs s♥ts ♣♥ rt♦♥ ♣♥
t s♣♠♥t ♣♣r♦ ♥♦♥ s♣éq s♥ q ♣♦st♦♥ ♣rés s s♦♥t♥tés ♥st ♣s
♦♥♥ t ♦♥ ét ♦r♠t♦♥ s ♦s ♣r ♦♠♥s♦♥s s s♦♥t♥tés é♥ért♦♥
st♦stq s s♦♥t♥tés s♥ tst♦♥ ♦s strt♦♥ ♣♦r étr s ♦s
ç♦♥ ♣r♦st s♥s s é♥érr ①♣t♠♥t
♦s ♦s és
♦♠ ♦ é♥ért♦♥ s s♦♥t♥tés é♦♠étr ♦ ♦tt♦♥t rs ♦r♠s
♦s ❬❪ étr♠♥st P♦②èr q♦♥q ♦♥① ❬❪
♣♣r♦ ♥♦♥ s♣éqP♦②èr ♣②r♠
♦♥①♠♠ s
tr♥ ❬❪ ttstq étrèr
r♠♥♦♦ ❬❪t♦stq
P♦②èr q♦♥q ♦♥♥s ♣s♦ïs
❯♥ ❬❪ ♣♣r♦ ♥♦♥ s♣éq étrèr ♠①♠ ♦♥
s♦♦ ❬ ❪étr♠♥st ♦ sttstq
P♦②èr q♦♥q ♥♥s ♦ ♣♦②♦♥s
❲ ❬❪ étr♠♥st étrèr ♦♥♣♥tèr ♦ ①èr
str ❬ ❪ ♣♣r♦ ♥♦♥ s♣éq ♦ ♠①♠ ♥♦♥ ♣②r♠ ♦♥étrèr ♦ ♣♥tèr
♥r♦ ❬❪ttstq P♦②èr q♦♥q ♦♥
♦r♠ sq
❱t♦♥ ♠ét♦ ♦♥r♦♥tt♦♥ s réstts ♠ét♦ s ♦s és s
①♣ér♠♥tt♦♥s t s ♦srt♦♥s ♥ st st ♥éssr ♣♦r r t ér ss ♠ts
Page 45
ét♦s ♦s s♦és
sss ♦rt♦r
❲rrt♦♥ ❬❪ tsté ♦rt♦r stté ♥ ss♠ ♦s ♥ ♦r♠
s♦♠s ♥q♠♥t à r ♣♦s ♦♥ ♦rt♠ ♥téré ♥s ♦ ♦s ❬❪ été é
♣r ♦♠♣rs♦♥ s réstts ①♣ér♠♥t① ♣♦r ♣♣rt s s ♦t♦s tst ♠♦♥tré
qqs ♦s q ♦♥t été stsés ♣r r♦tt♦♥ ♦rs q ♣ré r ss♠♥t trs
♦s ♦♥trr ♦♥t été tr♦és sts s♥t ♦rt♠ ♦rs q♦♥ ♦sré r ét♠♥t
♠♦è ♣r ♥ ♦♠♥s♦♥ ♣é♥♦♠è♥s r♦tt♦♥ t s♠♥t ♥♠♥t qqs
♦s q ét♥t s♣♣♦sés êtr sts s♥t ♦♥t été ♣♦ssés ♣r s ♦s ♥sts ♥ts
❨♥ t ❬❪ ♦♥t tsté ♥ ♠♦è ♣②sq ♦♥stté ♣r ♥ s ♦ tétrérq ♦♥t
① srs s♦♥t ♥ ♦♥tt ♥ s♣♣♦rt rt♦♥ ♥♥s♦♥ s♣♣♦rt ♣r♠s
r s ér♥ts ♠♦s r♣tr tr♦és ♣r ♠ét♦ s ♦s és s ♥stté
♣r ss♠♥t t♦rs♦♥♥ ♥ ♣s été tr♦é ♣r ♣♣t♦♥ ♠ét♦
s ①♣ér♥s ♣r♠tt♥t ♠ttr ♥t sr ♠♣♦rt♥ ♣rs ♥ ♦♠♣t r♦
tt♦♥ ♥s q t s ♦s ♥ts ♥s s rst♥t ♣♦rt♥t ♠tés r s
♥ ♣r♥♥♥t ♣s ♥ ♦♠♣t t s ♦♥tr♥ts ♥ st s ♦s tstés ♥ét♥t s♦♠s à ♥
♦♥♥♠♥t
s rés
s s st♦rqs t ♦s ♥ rq ❩ ♣♥ s♠ ♥s ré♦♥ ♣♣♦
♥t♦ ♥tr ♥s ré♦♥ ♥t rs à ♥r ♦♥t été ss étés ♣r ♠ét♦ s
♦s és ❨♥ t ❬❪ tr sérté ♥érr à ♥té st ♥ ♦r
s réstts ♥stté ♦srés
trs s st♦rqs t ♦s ♥s s t♥♥s ① tts ❯♥s ♦♥t été ss étés
♥♥ t♥♥s ♦♦r♦ t ♠r♥ ♣ t♥♥ ♥t② ♥♥ss ♣r t③♦r t
♦♦♠♥ ❬❪ ♠ét♦ s ♦s és rtqs t s réstts ét♥t stss♥ts ♥
é♥ér
♦t♦s s s éts rst♥t ♠tés à s ①♠♣s ①t♦♥s s♦trr♥s à ♣r♦
♦♥r ♦ù s ♦♥tr♥ts ♥ st s♦♥t très s ss s ♥②ss ♦♥t été ts ♣rès ♦♥stt
t ♥♦♥ ♥ rtèr ♣rét
♦♥s♦♥ ♠ét♦ s ♦s és st ♥ ♠ét♦ à éqr ♠t ts♥t ss♥t♠♥t
é♦♠étr ♦ ♥ r à tr♦r é♣♠♥t ♦ ♥ s s♥t sr ②♣♦tès
rté ♦♥t ♠♦♠♥t st ♥q♠♥t ♣♦ss s tr é♣♠♥t ♥ ♣r♦t
sr ♣♦st ♦ ♥ ♥♦r♠ ♥térr ♣♣qé à q ♦ ♠♦♠♥t
♦ s ♠t ♦rs à tr♦s ♣♦sstés ♥ tr♥st♦♥ t ss♠♥t sr ♥ ♦ ss♠♥t sr
① s ♥s ♦♥t♦♥ s♦♥ ♥tér srs ♦♥tt rs ♦♥♥ à ♥
s♠♣ ♣r♦è♠ é♦♠étr
Pr rs ♦♥ r à tr♦r ♥ ♠♣ ♦♥tr♥ts sr s s q éqr s ♦rs ①té
rrs ss♥t sr ♦ ♠♣ ♦♥tr♥ts ♦t êtr sttq♠♥t ♠ss t ét♦♥
stté s t ♥ ér♥t s st ♣stq♠♥t ♠ss ♥ ♦tr ♦♥ ♠t ②♣♦tès
♥♦♥ sté q s ♦♥tr♥ts s♦♥t ♥♦r♠s sr q ♣r♦è♠ st ♦rs étr♠♥é
ét ♥é♠tq t ♣ré q ♣r♠t rér s ♥♦♥♥s ① ♦♥tr♥ts q ①st♥t
sr s s ss♠♥t ♥ ♣♣q♥t s éqt♦♥s éqr s ♦rs st ♦rs ♣♦ss
étr♠♥r rést♥t s ♦♥tr♥ts sr q ♦r rét♦♥ ♦t♦s s éqt♦♥s
éqr s ♠♦♠♥ts s♦♥t ♥♦rés tt ♣♣r♦ ♣t êtr ssé ♦♠♠ ♥ ♣♣r♦ sttq
♣r ♥térr rs été ♠♦♥tré q ♣rs ♥ ♦♠♣t ♥ ♥ t♥ ♦♥♥rt
Page 46
P ❯P
♥ ét♦♥ stté ♣s ♦♣t♠st
♥s tt ♣♣r♦ ♥ s ♦♥tr♥ts ♥ts ♥ st♦rq ♦ ♥ s♦♥t ♣rs ♥ ♦♠♣t
♣♦ssté t♥ ♥st ♣s ♥♦♥ ♣s ♦♥séré tt ♥②s st éq♥t à ♦♥sérr
q♦♥ ♣ ♦ ♥s s ♥ t q♦♥ ét ♣rès ♦r râé s♥s ♣r♥r ♥ ♦♠♣t
t ♦♥♥♥t ①ré ♣r r♦ t♦t t♦r Pr ♦♥séq♥t ♠♣ ♦♥tr♥ts tr♦é à
♥ st ♥ ♠♣ rs♠ ♥q♠♥t à s s ♦♥t♦♥s ♥é♠tqs ♠s ♥st
♣s ♥éssr♠♥t r
P♦r strr tt ♥ss♥ ♣r♥♦♥s s ♥ ♦ ♥ ♠♦♠♥t é♦♠♥t ♦ t
r ♦ ♣rès té♦r s ♦s és st éré ♥st t ♦♥♥♠♥t q
♣t ①rr ♠ss r♦s t♦r st ♥éé ♦rs q ♣t ♦r ♥ rô ♠♣♦rt♥t
stst♦♥ ❯♥ tr ①♠♣ srt ♥ ♦ tr♦é st ♥ ss♠♥t ♣rès tt té♦r
♠s q ♣♦rt♥t ①rt ♥ ♠♦♠♥t s♠♥t rs s♣
qs ♣♣r♦s ♦♥t t♥té r ① ♠ts ♠ét♦ ♥s ét ♥é♠tq
♥ ② ♥tr♦s♥t s ♠♦♠♥ts r♦tt♦♥ ♦ ♥s ét ♠é♥q ♥ ♦t♥t s ♦♥tr♥ts
t♦r ①t♦♥ ① ♦rs ts ss♥t sr ♦ s ♣♣r♦s rst♥t ♣♦rt♥t ♠tés t
s♦♥t ♣r♦s ♣ r♦rss trs ♣♣r♦s ♦♥t ré à r♥r ♥ ♦♠♣t t ♥stté
♥ ♦ sr s ♦s ♥ts ♦ts s t♥tts ♠é♦rt♦♥ ♦s ♥strs ①st♥ts
♦♥t ♦♥t s rrs à ♣r♦♣♦sr trs t♥qs t ♦♥ trs ♦s ♦ trs rs♦♥s
♦s q sr♦♥t ♣rés♥tés ♣rès
ét♦ s ♦s és ♥tr♦t♦♥ s ♦♥tr♥ts
♠ét♦ s ♦s és ♥ ♣r♥ ♣s ♥ ♦♠♣t t s ♦♥tr♥ts ♥ st ♥s r♦
s ♦♥tr♥ts ♣♦rt♥t ♣♥t ♦r ♥ t sts♥t sr s ♦s r♦① ♥ ♣r♦♦♥r ♦
é♥t♠♥t ♥ t ésts♥t ♦♥s♥ts tt ♥ss♥ srt♦t ♣♦r s s ①
t♦♥s s♦trr♥s s rrs ♦♥t ss②é ♥tr♦r s ♦♥tr♥ts ♥s ♥②s s ♦s és
♦s ❯❲ ❬❪ t ❬❪
♥s ♦ ❯❲ ❬❪ ♥ ♠♦è ①t♦♥ ♥ ♦♥tr♥tsé♦r♠t♦♥s ts♥t
♠ét♦ s éé♠♥ts r♦♥tèrs st é♥éré ②♣♦tès s é♦r♠t♦♥s ♣♥s ①t♦♥
st ♦♥é ♦♠♠ ♥ r ♦ ♥ t♥♥ t st ♥ ♥s st♦♥ r♦t ♥ ♦♥sèr
q ♠ st ♦♥t♥ s♥s s♦♥t♥tés t ♦♥ strt♦♥ s ♦♥tr♥ts ♣rès
①t♦♥ s ♦♥tr♥ts ♥♦r♠s s♦♥t ♥térés sr s s ♦ été ♦♥ ♥ ♦r
♥♦r♠ ♣r Ni =´
Si
(
σ ~ni)
· ~ni dS ♠♠♥t ♥s ♠♦è ♦♥t♥ ①t♦♥ tsé
♣♦r s ♦♥tr♥ts s s s ♦s ♥ ♦♥t ♣s rô ♦♥ts ♠s s♦♥t ♥q♠♥t s
srs é♦♠étrqs ♠é♥q♠♥t rs s ♦rs ♥♦r♠s s♦♥t ♥st ♦tés à s♦♠♠
s ♦rs ts ss♥t sr ♦ ♣♦r r ♥♦s ♦r t ~A′ = ~A+∑
Ni ~ni
♣rtr ♠♦♠♥t ♦♥ ♣r♦è à ♥②s ♥é♠tq étr♠♥t♦♥ rt♦♥
♠♦♠♥t ♥♦ ♦r t ♥ s♥t ♠ét♦♦♦ ssq s ♦s és P♦r
♥②s ♠é♥q s ♦rs ♥♦r♠s s♦♥t s tr♦és ♣r ♠♦è ♦♥t♥ t ♥♦♥ ♣s s
tr♦és à st ♥②s ♥é♠tq Pr ♦♥séq♥t s ①st♥t sr t♦ts s s t ♥♦♥
s♠♥t sr s s q ss♥t ♦♠♠ ♥s ♠ét♦ ♦♥♥t♦♥♥ ♦r r s ♦rs
résst♥ts s♦♥t ♦♥ ss és sr t♦ts s s t ♥s ①♣rss♦♥ ♦♥t sérté
s s♦♥t ♣r♦tés sr rt♦♥ ss♠♥t s ♦rs t♥♥ts s♦♥t és ♦♠♠ ♥s
♠ét♦ ssq ♣r ♣r♦t♦♥ ♥♦ ♦r t ~A′ sr rt♦♥ ♠♦♠♥t
T = ~A′.~s
Page 47
ét♦s ♦s s♦és
r strt♦♥ ♣♣r♦ ❯❲ ♦♥tr♥ts ♣♦r ♥ ♦ ♥ t ♦♠♣rs♦♥ ♣♣r♦ ssq
♥s ♥s s t r ♦♥t sérté ♥st ♣s ♥ P♦r t♦s s s
♠♦♠♥t s ♣r ①♣rss♦♥ s♥t
=
∑
i=1,m
(ciSi +Ni tan(φi)) cos(θi)
~A′.~s
♥ θi st ♥♥s♦♥ rt♦♥ ss♠♥t ~s ♣r r♣♣♦rt ♦♥t i
cos(θi) =(~s− (~s.~n).~n).~s
||(~s− (~s.~n).~n).~s||
i = 1, n st ♥♠ér♦ ♦ ♥ ♦♥tt ♠ss r♦s n ét♥t ♥♦♠r
t♦t s s ♦♥tt
st ♥ ♠ét♦ q r♣rés♥t ♥ ♣t ① ♠ts té♦r s ♦s és ♠s
♠♥q rr ♣♦r s rs♦♥s s♥ts
• s ♦♥tr♥ts st t ♥ ♦♥sér♥t ♥ ♠ ♦♥t♥ ♦ù t ♣rés♥ s
s♦♥t♥tés sr rstrt♦♥ s ♦♥tr♥ts ♥st ♣s ♣rs ♥ ♦♠♣t
• ♠♦è ♥ ♠ ♦♥t♥ ♣♦r s ♦♥tr♥ts ♣t êtr t ♦ s♥s rté
♦rs q ♣♦s ♦ st ♣rs ♥ ♦♠♣t ♦rs s ♦rs ts
• ♠♥t ♥ ♣rt ♥♦r♠t♦♥ ♦♥r♥♥t s ♦♥tr♥ts st ré s ♦♥tr♥ts
♥♦r♠s sr s s
• s ♦rs t♥♥ts ①st♥t sr t♦ts s s r st ♥étr♠♥é ♥ rét
♥♦♠r ♥♦♥♥s ♥ ♦♥sér♥t ♥q♠♥t ♥ ♦r t♥♥t q t ♥s rt♦♥
ss♠♥t t q ér éqr s ♦rs ♥s tt rt♦♥ ♣r♠t r ♥
tr sérté ♥s tt rt♦♥ ♦t♦s éqr t♦t ♦ ♥st ♣s ♥éssr
♠♥t ssré ♥ t ♣♦r q ♦ s♦t ♥ éqr t érr éqt♦♥ ~A′ + ~T = ~0
♥ ♥t T ç♦♥ ♦♣té tt éqt♦♥ st ♥q♠♥t ssré ♥s s ♦ù ~s
♠ê♠ rt♦♥ q ~A′ ♦♥ ♥s s ♥ ♠♦♠♥t t r st s r♣rés♥té
♥s r P♦r trs s ♦ù ~A′ ♥ ♣s ♠ê♠ rt♦♥ q ~s éqr ♥st ♣s
ssré t s♦t♦♥ ♥st ♣s sttq♠♥t ♠ss ♦t st st ♦rs sr
Page 48
P ❯P
• t ♠ê♠ r ♣♣ à ♥ tr ♣♣r♦ ♠ ♦♥t♥ ♣♦r étr♠♥r ♠♣ s
♦♥tr♥ts ts ♣rès ①t♦♥ s♥s ♣rs ♥ ♦♠♣t s s♦♥t♥tés t ♣r♦s s♥s
t♥r ♦♠♣t rté ♠♦♥tr r♠♥t q ♦♥ ♣rt ♥ étt ♦♥tr♥ts q ♥st ♣s
♦ré♠♥t ♣stq♠♥t ♠ss t q st ♠ê♠ ♣r♦s ♥♦♥ ♠ss sttq♠♥t
trs trs ♦♥t ss t♥té ♥r t s ♦♥tr♥ts ts ♥s r ♦♠♠ ♥s
♦ ❬❪ ♣♦r s ♦s q ♦♥t s s rs ♦r③♦♥ts ♦ rts t♥sr s
♦♥tr♥ts ♣rès ①t♦♥ st st♠é ♥ ♦♥sér♥t q t♦t ♦♥ s s ♦ ♦♠♣♦s♥t
♣r♣♥r à r st ♥ t ♥ ♥é♥t rté ♦♠♠ ♠♦♥tr r
♥ t ♥ r ♥ ①t♦♥ ♦♥tr♥t r st ♥ t ♦♥tr♥t
♦rt♦r st ♠①♠ st t ♦ût ♥s tt ♠ét♦ ♦♥ s♣♣♦s q ♦♠♣♦s♥t
♦rt♦r st ♦♥st♥t t♦t ♦♥ s s ♦ Pr st ♠ê♠ ♣r♦ér q
❯❲ st ♦♣té ♣♦r étr♠♥t♦♥ ♠♦ ♠♦♠♥t t tr
sérté s ér♥ st q ♥ s s ss♠♥t ♦♥ ♦t ① ♦rs ♥♦r♠s
♣r♦♥♥t s ♦♥tr♥ts ♥ st s ♦rs ♥♦r♠s tr♦és ♣r♦ér ssq ♣r♦♥♥t
♦r t ♥t ♣rs ♥ ♦♠♣t s ♦♥tr♥ts
♥s tt ♠ét♦ ♦♠♠ ♥s ❯❲ rté ♥st ♣s ♣rs ♥ ♦♠♣t
♥s st♠t♦♥ s ♦♥tr♥ts ♦rs q ♣♦s st ♥tr♦t ♥s rst Pr rs
♦♠♠ ♦♥ s♣♣♦s ♥ strt♦♥ ♥♦r♠ s ♦♥tr♥ts sr s s ♦ ♣rès ①t♦♥
tt st♠t♦♥ ♥st ♣s r♦rs s t ♦ st r♥ ♥ ♦tr ss êtr
s r ①t♦♥ ♥st ♣s ♦r③♦♥t ♦ rt
xx
yy
0
xx
zz
0
yy
zz
x
y
z
r Prs ♥ ♦♠♣t s ♦♥tr♥ts ♥ st ♥s ♦ ♣rès ♥♦ttst♦♥ ❬❪
ét♦ s ♦s és ♥tr♦t♦♥ r♦tt♦♥
♠ét♦ s ♦s és été é♦♣♣é ♥t♠♥t ♥ tr♥st♦♥ ♥s qqs éts
♦♥ t♥té ♣s tr ② ♥r ♥ ♥②s ♥ r♦tt♦♥ ♥ t rst ❬❪ Prst ❬❪
♦♥ t ♦♦♠♥ ❬❪ ♦♥ t ♦♦♠♥ ❬❪ ♦♦♠♥ ❬❪ Pöts t
rt ❬❪ ❲♥s♦r t ♦♠♣s♦♥ ❬❪
♥ é♥ér ♦♠♠ sé♠ts r s ♣♦sstés s♥ts r♦tt♦♥ ♣♦r ♥ ♦
tétrérq s♦♥t ①♣♦rés
• r♦tt♦♥ t♦r ♥ ôté r
• r♦tt♦♥ t♦r ♥ ① ♣ss♥t ♣r ♥ s♦♠♠t ♣♣rt♥♥t à r
• ss♠♥t t♦rs♦♥♥ r♦tt♦♥ t♦r ♥ ① ♥♦r♠ à ♥ ♦♥t ♦ t ♣ss♥t ♣r
♥ s♦♠♠t ♣♣rt♥♥t à r
Page 49
ét♦s ♦s s♦és
♦tt♦♥ t♦r ♥ ôté ♦tt♦♥ t♦r ♥ ① ♣ss♥t♣r ♥ s♦♠♠t
♦tt♦♥ t♦rs♦♥♥
r ♦s r♦tt♦♥ ♠ét♦ s ♦s és
♥②s stté ♥ r♦tt♦♥ st sé ♦♠♠ ♥②s ♥ tr♥st♦♥ ♥ tr♦s ét♣s ♦s
r♣rés♥t♦♥s ♥ r ♣rç s ét♣s ♥ s♣♣②♥t sr ét ♦♥ t ♦♦♠♥ ❬❪
té ♣♦r ♥ ♦ tétrérq ♥ r
♥②s ♠♦té ♥ r♦tt♦♥ ♥ s s♥t ♥q♠♥t sr rt♦♥ s s ♦
♦♥ étr♠♥ s ♦ ♣t ①r ♥ ♠♦♠♥t r♦tt♦♥ ♥ é♠♦♥tr q s ♥ ♦
tétrérq ♥st ♣s ♠♦ ♥ tr♥st♦♥ ♥ st ♣s ♥ r♦tt♦♥
étr♠♥t♦♥ ♠♦ r♦tt♦♥ ♥②s ♠♦ r♦tt♦♥ é♣♥ rt♦♥
♦r t ♣r r♣♣♦rt ① s♦♥t♥tés q é♠t♥t ♦ t ♣r r♣♣♦rt à s r
P♦r ♥ r♦tt♦♥ t♦r ôté r i ♦♥t ♥♦r♠ ♥térr st ~ni t
s♥t q r ♣♦r ♥♦r♠ ♥térr ~nf ♦♥t♦♥ st ~A.~ni < 0 ; ~A.~nf < 0
P♦r ♥ r♦tt♦♥ t♦r ♥ ① ♣ss♥t ♣r ♥ s♦♠♠t ♦ ♥trst♦♥
r s ① s i t j ♦♥t♦♥ st ~A.~ni < 0 ; ~A.~nj < 0 ; ~A.~nf < 0
♦♥r♥♥t ♠♦ ♠♦♠♥t st étr♠♥r à tt ét♣ ♣♦st♦♥
①t ① r♦tt♦♥ ♠s ♦♥ ts s ♦♥t♦♥s ♥é♠tqs ♣♦r rstr♥r
♠♣ s ♣♦sstés
♥②s stté ♠é♥q tt ♥②s ♣r♠t étr♠♥r s ♥ ♦ st st
sàs ♠♦ r♦tt♦♥ q été ttré tr ♦r t ~A t s♦♥ ♣♦♥t
♣♣t♦♥ I s♦♥t ♦♥♥s ♦♥ ♣t r ♠♦♠♥t t♦r t♦t ① tr rtr~d ♥♦r♠é t ♣ss♥t ♣r ♥ ♣♦♥t B ♣r éqt♦♥ M =
(−→BI ∧ ~A
)
· ~d ♦ st é ♥sts ♠♦♠♥t s ♥ ♠♦♠♥t rs s♣ ♥s s ♥ ♦r t ♣ss♥t ♣r
♥tr♦ï ♦ ♣♦s ♦♥ st s ♣r♦érs s♥ts
P♦r r♦tt♦♥ t♦r ♥ ôté ♦♥ é♥t ♥ ♣♥ ♠é♥ ♦ ♣ss♥t ♣r s♦♥
♥tr♦ï t ♣r ôté ♦♥r♥é ♥♦r♠ ~nm ré rs s♦♠♠t ♦ q ♥♣
♣rt♥t ♣s à sr r ♦r r ♦r t ~A ♣♦s ♥s
s ♣♣rt♥t à ♣♥ ♦ st ♥s ♥ étt éqr ♠t ~A s tr♦ ♥s
♠s♣ ♥ ♦♥t♥♥t ♣s ~nm éqt♦♥ ~A.~nm < 0 st éré ♦ st é
♥st
P♦r r♦tt♦♥ t♦r ♥ s♦♠♠t ♦♥ é♥t s ① ♣♥s ♠é♥s rts ① ①
ôtés ♦rrs♣♦♥♥t s♦♠♠t s ♣♥s ♠é♥s s♥trst♥t ♥ ♥ tr ~p ♦r
r tr r♦tt♦♥ st é♥ ♦♠♠ ét♥t ~d = ± ~A ∧ ~p ~d ♣♣rt♥t à
s♣ r♦tt♦♥ ♥é♠tq♠♥t ♠ss é♥ r♥t ♥②s ♥é♠tq ét♣
♦rs ♦ st ♥st ♣r r♦tt♦♥ t♦r tr
Page 50
P ❯P
st r♦tt♦♥ t♦r ♥ s♦♠♠t t ♦♥t♦♥ ♣réé♥t ♥st ♣s éré ♦rs
♠♦ ♠♦♠♥t st ♥ r♦tt♦♥ t♦rs♦♥♥ ~d ♦rt♦♦♥ à ♥ ♦
à ♦♥t♦♥ q ~d ♣♣rt♥♥ ss à s♣ r♦tt♦♥ ♠ss
♦tt♦♥ t♦r ♥ ôtés♠♥t
♦tt♦♥ t♦r ♥ ① ♣ss♥t ♣r ♥ s♦♠♠t
r é♥t♦♥ s ♣♥s ♠é♥s ♦rsq ♦r t ♣ss ♣r ♥tr♦ï ♦
és♠♦♥s s ér♥ts ♣♣r♦s ♣♦r ♥②sr r♦tt♦♥ ♦♠♠ ♦♥ éà ♦♥
t ♦♦♠♥ ❬❪ ♦♥t é♦♣♣é ♥ ♠ét♦ t♦r ♣♦r ♥②sr r♦tt♦♥ ♦s
tétrérqs ♥ r
♥ t rst ❬❪ ♦♥t été ♥q♠♥t ♣♦ssté r♦tt♦♥ ♣r s♠♥t
r♦tt♦♥ t♦r ♥ ôté ♣♦r ♥ ♦ ♣♦②érq à n s
Pöts t rt ❬❪ ♦♥t ①♠♥é s ♦s ♦r♠s é♦♠étrqs rtrrs ♠s r
♥②s st ♠té à ♣r♠èr ét♣ ét ♠♦té ♥ r♦tt♦♥
♦♥♦♥ ❬❪ tsé ②♥♠q s ♦r♣s s♦s ♥s t ♥♦r♣♦rr t♦t t②♣
r♠♥t ♥s ét r♦tt♦♥ ♣r♠t ♥tr♦r s ♦♣s t s ♦rs q ♥ s♦♥t
♣s ♣♣qés ♥tr rté ♦ t q ① sés ♣r s♦tè♥♠♥t ♣r s ♣rss♦♥s
①térrs ♦ ♣r s é♦♠♥ts s s ♦s tétrérqs s♦♥t étés é♠♦♥tré
q ♥s rt♥s s s ♦s tr♦és sts ♥ r♦tt♦♥ s ♣♦♥t ♣♣t♦♥ ♦r st
♥tr♦ï ♦ sèr♥t ♥sts s♥t s ♠ét♦
♣rs ♥ ♦♠♣t r♦tt♦♥ st ♠♣♦rt♥t ♥s ♥②s stté s ♦s été
♠♦♥tré ♣r ♦♥ t ♦♦♠♥ ❬❪ t ♦♥♦♥ ❬❪ q♥ ♦ st ♥ tr♥st♦♥ ♣t sérr
êtr ♥st ♥ r♦tt♦♥ ss ♦rsq tr♥st♦♥ t r♦tt♦♥ s♦♥t ♣♦sss t♥♥ à
r♦tt♦♥ st ♦♠♥♥t s résst♥ r♦tt♠♥t st éé ♦t♦s s ♣♣r♦s é♦♣♣és
♣♦r étr r♦tt♦♥ s♦♥t rt♠♥t ♦♠♣①s ♣♦r êtr ♥térés ♥s ♥ ♦
♥ t ♣r♠ s ♦s ①st♥ts s♠♥t qqs ♥s ♣r♥♥♥t ♥ ♦♠♣t r♦tt♦♥
♦ ❳ ❬❪ ♦♥sèr ♥②s stté ♣r r♦tt♦♥ s♠♥t ♣rès ♥tr♦t♦♥ ♥
♦♦♥♥ ♦ ❬❪ ♦♥sèr ♥ ♣♦ssté ♠♦♠♥t ♣r r♦tt♦♥ ♥q♠♥t
s tr sérté ♣r tr♥st♦♥ st s♣érr à ♥té ss s ♠♦s r♦tt♦♥ s♦♥t ♠tés
à ♥ r♦tt♦♥ t♦r ♥ ① ♥♦r♠ à ♦ tétrérq ♣ss♥t ♣r ♥ s s♦♠♠ts
♦ ss♠♥t t♦rs♦♥♥ ♦ à ♥ r♦tt♦♥ t♦r ♥ ① ♦ ♦ ❬❪ ♣♣q
♠ét♦ ♥ t rrst ❬❪ ♣♦r étr stté ♥ r♦tt♦♥ ♣♦r s ♠♦ s♠♥t
♥ ♦♥s♦♥ s ér♥ts ♠ét♦s é♦♣♣és s♦♥t sés sr ♥ ♥②s é♦♠étrq t
♥é♠tq ♦ ♥ ♦♥sér♥t ♥ ♦r t t ♥s rt♥s s ♥ ♠♦♠♥t t ♥ ♣s
ré♣rtt♦♥ s ♦♥tr♥ts sr s s ♦ ♥st ♣s ♣rs ♥ ♦♠♣t ♦rs q s
étr♠♥♥t ♠♦♠♥t é♥ér ♦ t ♣rtèr♠♥t s r♦tt♦♥ ♥ t s ♦♥tr♥ts
s♦♥t ♥étr♠♥és r r ♦♥♥ss♥ ♥ésstrt s♣♦sr s ♦s ♦♠♣♦rt♠♥t s ♦♥ts
r♦ é♥t♠♥t ♥ ♣s s ♦s r♦tt♠♥t ♥ s ôtés t s s♦♠♠ts
Page 51
ét♦s ♦s s♦és
♣r♦ér ♦♣té ♥s ♠ét♦ s ♦s és ♦♥sst ♦rs à é♦♣r ♣r♦è♠ ♦
st été ♦r ♥ tr♥st♦♥ ♥ ♦♥sér♥t ♠♦♠♥t t ♥ t s st tr♦é st st
tsté ♥ r♦tt♦♥ ♦és♦♥ t résst♥ à trt♦♥ s♦♥t s♣♣♦sés êtr ♥s ♣♦r r♥r
♥②tq r♦tt♦♥ ♣♦ss ♥ ♣s ♣♣rt s ♥②ss s ♠♦s r♦tt♦♥ rés
s♦♥t ts ♣♦r s ♦s tétrérqs tr♥s♣♦st♦♥ ♣♦r s ♦s ♣♦②érqs ét♥t ♦♠♣①
♥②tq♠♥t ♥②s ts ♦s s ♠t à s♠♣ ét r ♣♦ssté r♦tt♦♥ s♥s
rrr à ♦♥r sr r stté ♥②s stté ♥ r♦tt♦♥ ♥st ♦♥ ♣s ♣♣ ♣♦r
s ♣s é♥ér ♦
♥♥ ♠ré r ♦♠♣①té ♥ s ♠ét♦s éà tés ♥ ♣r♠t ♣r♥r ♥ ♦♠♣t
s ♠♦♠♥ts tr♥st♦♥ t r♦tt♦♥ s♠t♥és ♦ étr ♥ ♦ ♦r♠ é♦♠étrq
rtrr r ♦♥♥ss♥ ♦♠♣♦rt♠♥t ♦ ♥ésstrt ♦♥♥tr s ♦♥tr♥ts
sr ss s ét ♥ r♦tt♦♥ ♥st ♦♥ q♥ ♦♠♣é♠♥t ♥②s ♥ tr♥st♦♥
♠ét♦ ssq s ♦s és q s à rér ss ♥ss♥s ♥ ♦♠♣①♥t ♣♣r♦ ♠s
s♥s r♥r ♥ ♣s r♦rs ♥ ♣s ♦♠♣èt
t ♥ s②stè♠ ♦s ♠t♣s ♣♣r♦ s ♦s és
Psrs ♣♣r♦s ts♥t té♦r s ♦s és ♦♠♠ ♠ét♦ ♥②s stté ♦♥t
été é♦♣♣és ♣♦r étr ♥ ♥s♠ ♦s ♥ ♣r♥♥t ♥ ♦♠♣t ♥ ♠♥èr ♦ ♥ tr
rs ♥trt♦♥s
♥ t rrst ❬❪ ♦♥t é♦♣♣é ♥ ♠ét♦ ♥ ♣♦r étr ♥ s②stè♠ ♣srs
♦s s ♦♥t tsé s té♦rè♠s t♦♣♦♦ t té♦r s r♣s ♣♦r ♦♣t♠sr r
♦rt♠ q ♦♥sst à é♠♥r s ♦s tr♦és ♥sts ♥ rétér♥t t♥t ♦s sqà
q t♦s s ♦s ♥sts s♦♥t é♠♥és t ♦rt♠ ♣r♠t r♥r ♦♠♣t ♥♥
♥stté ♥ ♦ sr s ♦s ♥ts
❲♦♦ ❬❪ é♦♣♣é ♥ ♠ét♦ ♣♦r ét ♦s és s♦♥rs ♥ ts♥t
♣r♦t♦♥ stéré♦r♣q
♠ét♦ s r♦♣s és ❨r♠ t ❱r ❬❪ été é♦♣♣é ♣♦r
étr ♥ s②stè♠ ♣srs ♦s ♥ ♥ r♦♣♥t rt♥s ♦s ♥ts ♣♦r ♦r♠r ♥ s
♦ ♥ t ♦♥ ♠♦♥tr q s ♥ ♦ ♦♥♥é st tr♦é st s♦♥ ss♦t♦♥ ♥ ♦ ♣srs
trs ♦s ♥ts ♠♦s ♣t ♦♥♥r ♥ r♦♣ ♦s ♥st ♦♠♠ str ①♠♣
r ét s r♦♣s ♦s ♦♥♥ s réstts ♣s sértrs q ét
q ♦ à ♣rt ♣r♦ér st ss ♠ê♠ ♣r♥♣ q ♥ t rrst ❬❪ à
s♦r q s ♥ ♦ ♦ ♥ r♦♣ ♦s st é ♥st st é♠♥é t ♦♥t♥ ♥
ç♦♥ tért sqà tr♦r t♦s s ♦s ♥sts é♠♠♥t ♦r♦♦③ t ❬❪ ♦♥t
ét♥ tt ♠ét♦ ♣♦r ét ♥ s②stè♠ ♦s ♥ s ♠ét♦s r♦♣s és ♦♥t
sr à ♥②s s ♥sttés ♦s ♥ s ♣♥ts r♦ss ♠s r♥ ♥♠♣ê s
♣♣qr ♣♦r s ①t♦♥s s♦trr♥s
♥s s ér♥ts ♠ét♦s stté été té ♣♣r♦ ♠é♥q é
♥♦♠♠é té♦r s ♦s és ♣♥♥t s ♣♥t é♠♥t êtr ♣♣qés ♥ ts♥t
♥ tr ♠ét♦ ♥②s ♠é♥q ♦s s♦és
♦♥s♦♥
♠ét♦ s ♦s és st ♥ ♠ét♦ ttr②♥t ♣♦r ♥é♥r ♣r q ♣r♠t
♦♥♥r ♥ ré♣♦♥s r♣ à qst♦♥ stté s♥s ♦r s♦♥ ♦♣ ♥♦r♠t♦♥s ♥
Page 52
P ❯P
r ét♦ s r♦♣s és ♥ ♣rès ❨r♠ t ❱r ❬❪
♦♥♥és st ♦♥♥tr é♦♠étr ♦ sté à sr ①t♦♥ t rt♦♥
♦r ss♥t sr ♦ é♥ér♠♥t ♣♦s ♥q♠♥t ♣♦r étr♠♥r ♥ ♦♥t
sérté ♦rsq ♣♦st♦♥ s s♦♥t♥tés ♥st ♣s ♦♥♥ ♣rés♦♥ ét st t♦♦rs
♣♦ss ♥ ♦♥sér♥t ♣srs ♦♠♥s♦♥s ♦♥ts t ♦ ♦♠ ♠①♠ st srt♦t
tt ♣♦ssté q r♥ tt ♠ét♦ très ♣♦♣r ♣s s ♥♥és été à ♦r♥
é♦♣♣♠♥t ♣srs ♦s q ♦♥t ♣♦r s r♥t ♦r♠ é♦♠étrq s ♦s ♦
♠ét♦ ♦♣té ♣♦r r é♥ért♦♥ ss ♣t♦♥ r q tst♦♥ tt ♠ét♦ ç♦♥
r st ♣r ét ①st♥ trs ♠ét♦s ♣s r♦rss t q s♦♥t ss ♣rtqs t
♣r♦s s♦♥ tstr
♦t♦s s ♦♥ rr ♣rès ♣♣r♦ s ♦s és ♦♥ s r♥ ♦♠♣t q s ②♣♦tèss
♦rts s♦♥t ♦♣tés ♣♦r r à ♥étr♠♥t♦♥ ♣r♦è♠ ♠♦ ♠♦♠♥t ♦
st étr♠♥é ♣ré ♣r ♥ ét ♥é♠tq ♥ s s♥t ♥q♠♥t sr rt♦♥
♦r ss♥t sr ♦ t sr s s s♦♥t♥tés ♥ s♣♣♦s q s ♦♥tr♥ts ♣rés♥ts
♥s r♦ ♥ ♣♥t ♦r ♥ ♥♥ sr ♠♦♠♥t ♦ s ♠♦s ♠♦♠♥t
s♦♥t ♠tés à s tr♥st♦♥s t ♠ê♠ ♦rsq ♥②s ♥ r♦tt♦♥ st ♣rs ♥ ♦♠♣t ♣♣r♦
rst ss③ ♠té ♣sq s♣♣♦s q s ♦♥tr♥ts ♥ts ♥♥♥♥t ♣s t♥♥ à
r♦tt♦♥ ♥ ♣s s éqt♦♥s éqr s ♦rs s♦♥t érés ♠s s éqt♦♥s éqr s
♠♦♠♥ts ♥ s♦♥t ♣s ♦♥sérés
♣♦♥t ♥ à r♣tr ♦♥ r à tr♦r ♥ ♥s♠ r♠♥ts
①térrs t q s ♦♥tr♥ts sr s s ♦ s♦♥t sttq♠♥t ♠sss t ér♥t
rtèr r♣tr ♥s s ♦♥ ♦♥sèr q♥ ♣rt s s♦tt♦♥s ①térrs st
♥ ♦♥♥ ♦rs ts sr ♦ ♥ ♣r♥♥t ♦♠♠ ♥♦♥♥s s ♥térs s ♦♥tr♥ts
sr q q st éq♥t à ♦♥sérr s ♦♥tr♥ts ♥♦r♠s ♣r ♦♥ rr à
étr♠♥r ♥ ♠♣ ♦♥tr♥ts ♥ s♠ ♦rs rét♦♥ ♥q ♠♦②♥♥♥t ②♣♦tès
q s ♦♥tr♥ts s♦♥t ♥s sr s s q s ét♥t ♠ss r♦s ♥ ♣t é♠♦♥trr
q st ♥ s♦t♦♥ ♣r ♦r♥ ♥érr s tt s♦t♦♥ st ♥q♠♥t t ♥s s♥s
♥ét♦♥ ♥s s s s♦tt♦♥s ①térrs s♦♥t s♣érrs à s tr♦és ♦♥ ♣t r♠r
♣r sérté q ♦ ♥st ♠s ♥ éqr s s s s♦tt♦♥s ♣♣rt♥♥♥t à ♥s♠
tr♦é ♦♥ t q ♦ st ♣♦t♥t♠♥t st ♥ t s ♠♣ é♣♠♥t ♥st ♣s ét
♣ré ♣r s ♦s é♦♠étrqs ♥ tr s♦t♦♥ s s♦tt♦♥s t s é♣♠♥ts st
♣♦ss ♠ét♦ s ♦s és st ♥ ♠ét♦ q s à ♦♥♥r s♦t♦♥ ♣s ♦♣t♠st ♠s
tt s♦t♦♥ ♥st ♣s ♣s r♥t ♥ rr ♥s ♣tr s♥t q ♦♥sérr st♦rq
r♠♥t sr ♦ ♠♦♥tr q ♣rs ♥ ♦♠♣t s ♦♥tr♥ts ♦♥♥ ♣r♦s ♥ réstt
Page 53
ét♦s ♦s s♦és
♣s sértr q ♠ét♦ s ♦s és
rt♥s ♣♣r♦s ts♥t ♠ét♦ s ♦s és ♦♥t t♥té ② ♥tr♦r ♥ ♣rs ♥
♦♠♣t s ♦♥tr♥ts ♥ts ♦t♦s s t♥tts ♥ s♦♥t ♣s r♦rss s ♦♥tr♥ts s♦♥t
és ♥ ♦♥sér♥t ♥ ♠ ♦♥t♥ t rst st ♠ê♠ ♣r♦ér ♦♣té ♣r
♠ét♦ s ♦s és
♥♠♥t ♥ q ♣r♦è♠ stté ♥ ♦ s♠ êtr s♠♣ ♣r r♣♣♦rt à ét
♣srs ♦s ♥ ♠ê♠ t♠♣s ♣♣r♦ s ♦s és s rt à ♣srs ♠tt♦♥s srt♦t
♦rsq st ♣♣qé ♥s s ♠① r♦① s♦trr♥s ♦ù s ♦♥tr♥ts ♥s r♦ t
♦♠♣♦rt♠♥t s ♦♥ts t♥t stté ♦
♥s ♣rr♣ s♥t ♥♦s ①♣♦r♦♥s trs ♣♣r♦s qés étr♠♥sts ♦ù ♥
♣rt s ♦♥tr♥ts st s♣♣♦sé êtr ♦♥♥ t ♦♥ r à tr♦r tr ♣rt q ssr
éqr ♦
ét♦s étr♠♥sts
♥ és♥ ♣r ♠ét♦s étr♠♥sts s ♠ét♦s q s♣♣♦s♥t q s ♦♥tr♥ts ss♥t
sr ♦ ♣rès ①t♦♥ ♣♥t êtr st♠és ♦ és ♥ ♣rt ♥♦♠r ♥♦♥♥s st
♦rs ss♠♠♥t rét ♣♦r q ♣r♦è♠ ♥♥ étr♠♥é ①tt s ♣♣r♦s
é♣♥ ♦rs té ♠♣ s ♦♥tr♥ts étr♠♥é ♣ré ♥ rr ♣r rs
qs ♥♦♥t été é♦♣♣és q ♣♦r s s s♠♣s é♦♠étrs ♦s
ét♦ étr♠♥st r② t r♦♥
st ♥ ♣♣r♦ ♣rés♥té ♣r r② t r♦♥ ❬❪ t qé étr♠♥st
♣sq♥ ♣rt s ♦♥tr♥ts ss♥t sr ♦ st s♣♣♦sé ♦♥♥ ♥t ♣r♦ér à ♥②s
stté
♥ ♦♥sèr ♥ ♦ tétrérq ♦♥t s♦♠♠t st sté à ♣♦♠ s s ♦♥tr♥ts
♥s r♦ s♦♥t éés ♥ ♦♥sér♥t ♥ ♠ éstq ♦♥t♥ ♥ s ♦♥tr♥ts
♥♦r♠s ♥ s s ♣s ♦♥ s ♥tèr ç♦♥ à ♦r ♥ ♦r ♥♦r♠ ♣r t
st tr♦r ♦r rr♠♥t q r♠♥r ♦ à éqr ♠t ♥s tt ♠ét♦
t étt st rtérsé ♣r ♥ ♣stt♦♥ s♠t♥é t♦ts s s ♣s ♦♥ ♠♣♦s q
rt♦♥ ♦r t♥♥t ♥ ♥ ♦♥♥é s♦t ♠ê♠ q sstr
♥ s♦♠♠t tt s♦♠♠t ét♥t s♦♠♠t ♦ ♥térr à r♦ ♦♠♠
sé♠ts r
s éqt♦♥s éqr s ♦rs ♣r♠tt♥t étr♠♥r ♦r rr♠♥t rt Fa
q s ♣r Fa =∑
i=1,3
Ni(bzi tanφi + cosαi)
♥s tt ①♣rss♦♥ bzi st ♦♠♣♦s♥t rt tr ♥tr ~bi ré s♥t
sstr ♥ s♦♠♠t i ♦♠♠ ♥qé ♥s r αi st ♣♥
i t φi s♦♥ ♥ r♦tt♠♥t
tr sérté s t ♦rs ♣r r♣♣♦rt =Fa
P P ét♥t ♣♦s ♦
tt ♠ét♦ ♣r♠t ♥ rt♥ ç♦♥ ♥r s ♦♥tr♥ts ♥ st ♥s ♥②s ♠s
♣♦ssè ♣srs ♠ts
• s ♦♥tr♥ts ♥♦r♠s s♦♥t és ♥ s♣♣♦s♥t q s s♦♥t♥tés ♥♦♥t ♥ t sr
strt♦♥ s ♦♥tr♥ts
Page 54
P ❯P
• s s s♦♥t s♣♣♦sés ♣str ♥ ♠ê♠ t♠♣s ♦rs q ♥ ♣s ♥éssr♠♥t
tt ②♣♦tès ♥st ♣s ♥ t ss③ sértr ♣sq♥ ♦ ♣t ♥r ♥st s ♥
s ss s ♣sté
• rt♦♥ s ♦rs t♥♥ts st ♠♣♦sé st ♥ ②♣♦tès ♥♦♥ sté q s
st à ♠♥r ♥♦♠r ♥♦♥♥s
• t sts♥t t♥ st ♥♦ré ♥s q ♣♦ssté r♦tt♦♥ ♦
• ♥ ♦♥sèr ♥ ♦r ♣r q st éq♥t à ♦♥sérr ♥ ré♣rtt♦♥ ♥♦r♠ s
♦♥tr♥ts ♣r
• tr sérté tt ç♦♥ ♥ ♠♣♦s♥t ♥ rt♦♥ rt ♦r
rr♠♥t s♣♣♦s q ♣♦s st s tr rsq ♥ ♣s tt ♣♣r♦ ♥
♣t ♣s êtr tr♥s♣♦sé ♣♦r s ♦s q ♥ s♦♥t ♣s stés sr t♦t r ♦ ♦♥t
♠♦ ♠♦♠♥t s♣♣r♥trt à ♥ ss♠♥t ♣tôt qà ♥ t
r ét♦ étr♠♥st r② t r♦♥ ❬❪
ét♦ ♦
♦ ♥ t ♥ ❬❪ st ♥ ♦t à és♦♥ q ♦r à tstr
♣♦ssté ♥tr♦r s s♦♥t♥tés ♣♥s ♦ ♣rts ♣♥s ç♦♥ étr♠♥st ♦ s♦♥
s ♦s ♣r♦té rtrrs é♥r s♦trr♥ r t♦t ♣t ♦ ♥ ♦ ♥s
q s ♦♥♥és ♥éssrs ♣♦r ♥ ♥②s stté rté rtérstqs ♠é♥qs s
♦♥ts s ♦s tétrérqs ♦r♠és sr t♦t r ♣r t♦ts s ♦♠♥s♦♥s ♣♦sss
s s♦♥t♥tés ♥tr♦ts s♦♥t étés r ♠♦♥tr ♥ ①♠♣ ♦s é♥érés
♦ ♣r♦♣♦s ♥ st rtèrs stté éts ♣r s ①♣rts t tés ♣r s ♦
srt♦♥s ♥s s rs ♠♥èrs st ♣ré♣r♦r♠♠é s♥rt ♥ ♦♥t♦♥ étt rt
t ♦♠♣r♥ ♥tr trs s ♥♦t♦♥s ♦ ♦é ♦♥t s♦♠♠t ♥st ♣s à ♣♦♠
s ♣tt ♦♠ tr ♥♦♠♣t ①t♥s♦♥ s ssrs ♦s ♠♦tés
s st ♥é♥r q t s rtèrs q ♣rt♥♥ts ♣♦r s été t ♦ s
♦♥t♥t r♣érr s ♦s ♥ ♦♥t♦♥ s rtèrs q s♦♥t ♥é♣♥♥ts t s♥r t♦s s
♦s ♥sts s♥t q♥ ♦ st éré ♥st ♦rsq ♦ ♥ s rtèrs tés
st s rtèrs s♣♦♥s ♦♠♣r♥
• ♦♥t♦♥ ♥é♠tq ♣rs ♥ ♦♠♣t ♥ ♥ t♥ ψ
♥ ♦ st ♠♦ s ∃~s /∀i, ~s · ~ni ≥ sinψi‖~s‖ • ♦♥t♦♥ ♠é♥q q ts ♥ r♦tt♠♥t φ
♥ ♦ st st s ∀i / ‖σ ~ni − σ ~ni · ~ni‖ ≤ − tanφi(
σ ~ni · ~ni
)
Page 55
ét♦s ♦s s♦és
♦ù σ st ♠tr ♠♣ s ♦♥tr♥ts t ~ni st ♥♦r♠ ①térr à ♦♥tt
i ♦
st ♣r q rtèr ♠é♥q s♣♣♦s q s ♦♥tr♥ts ts σ s♦♥t ♦♥♥s
q été ssé ♥s tt ét ♦r♣q ♥s té♦r s ♠ét♦s étr♠♥sts P♦r
r ♥é♥r ré ét s trs ♦ ♦♥t ♣r♦♣♦sé ♥ t♥q st♠t♦♥
σ q ♥ ♠♥♠♠ ♦♥♥és é♥èr ♥ ♠♣ ♦♥tr♥ts ♦♠♣ts s éqt♦♥s
éqr s trs ♦♥t ♣r♦té ♦r♠ ♠♣ ♦♥t♦♥ ♥ ôt z t rtèr
♦♥① rtèr ss♠♥t rtèr ♦♦♠ ♣♦r ♣r ♦rrt♠♥t rté σ
♦♥ ♥
♥ s♥s♣r♥t ♣r é♠♥ts ♥s ♦♥ ♠t q ♦s♥ ♣r♦ ♠tr
s ♦♥tr♥ts rst ♦♥ ♣rès ①t♦♥ s ♦♥tr♥ts s♠♥t s♦♥t ♦♥ ♥s ♥
és♥♥t ♣r z ôt ♠sré à ♣rtr s ♦ tétrérq sté sr t♦t r
♣r g > 0 ♥t♥sté rté ré ♥s s♥s z < 0 ♣r ρ ♠ss ♦♠q ♦ t ♣r
σxx t σyy s ♦♥tr♥ts ♦r③♦♥ts ♦r♥s ♥♦r♠s ♠tr s ♦♥tr♥ts s①♣r♠ ♣r
σ = diag(σxx , σyy , ρgz) tt ♠tr ér s éqt♦♥s éqr ♥ ♦rs t ♥ ♠♦♠♥ts
t ♦♥t♦♥ ♠t ♥ z = 0 ♦ st ♥s t s ♦♥tr♥ts rts s♦♥t
♥s
♥ r♠rq r♠♥t q s ♦♥tr♥ts ♣r♥♣s s♦♥t ① ♦♠♣rss♦♥s σxx t σyy t ♥
trt♦♥ ρgz Pr ♦♥séq♥t sàs rtèr ♦♦♠ t ♥é♣♥♠♠♥t ♦r♥tt♦♥
♣♦r êtr ♣ss♠st ♠♦♠♥t ét♦♥ rtèr ♠é♥q st ♣r♥r
trt♦♥ ♠①♠ ρgH ♦ù H st tr tétrèr ♥s rs♦♥ t ♦
♦♥ ♦s z = H/3 ♥tr ♥rt tt ♦♥sért♦♥ st éq♥t rtèr
♠é♥q ♣r r♣♣♦rt à ♥ ♦♥tr♥t ♠♦②♥♥
r ét♦ ♦ é♥ért♦♥ s ♦s t♦t t st♠t♦♥ s♦♥tr♥ts ♣♦r ♥ ♦ ♦♥♥é
P♦r ♦♥r ♦ ♣rés♥t s ♣r♥♣s ♥ss♥s tés ♣rès
• ♦r♠ é♦♠étrq ♦ st ♠té tétrèr
• s éqt♦♥s éqr ♠tt♥t ♥ ♥♥té s♦t♦♥ ♦♥t ♦♣té ♥s
♥t q ♣♣r♦ ♦♣té ♣♦r st♠r s ♦♥tr♥ts ♥st q ♣♦r s ♦s
Page 56
P ❯P
t♦t ♥ ♣s été ét♥ ♣♦r ét s ♦s sr s ♣r♠♥ts r
• ❯♥ r♥èr ss q ♦♥ rtr♦ ss ♥s s trs ♦s st ♦♥♥ st♠t♦♥
♠♣ s ♦♥tr♥ts ts ♦s♥ ♦ r♥r ♣♦♥t t st♠♥t ♦t
♣rés♥t tès
♦♥s♦♥
♥s s ♠ét♦s étr♠♥sts ♦♥ s♣♣♦s q♥ ♣rt ♠♣ s ♦♥tr♥ts ss♥t sr
♦ ♣rès ①t♦♥ st ♦♥♥ à ♥ ♥s ♠ét♦ ♦ st s ♦♥tr♥ts
♦r③♦♥ts t ♥s ♠ét♦ r② t r♦♥ st s ♦♥tr♥ts ♥♦r♠s ① s ♦
s ♦♥tr♥ts s♦♥t s♦♥t és à ♣rtr ♥ ♠♦è ♦♥t♥ ①t♦♥ ♥ éstté s♦♥t
st♠és ♥ s♥s♣r♥t ♥ éstq P♦r r ♥étr♠♥t♦♥ s ♠ét♦s ♦♣t♥t
s ②♣♦tèss s♣♣é♠♥trs ♥s ♠ét♦ r② t r♦♥ ♦♥ s♣♣♦s q rt♦♥
s ♦rs t♥♥t st ♥ ♦♥♥ t st sstr ♥ s♦♠♠t tt
②♣♦tès ♥st ♣s sté ♣②sq♠♥t ♣♦r t ♥q♠♥t rér s ♥♦♥♥s ♥s
♣r♦è♠ ♦t♦s s ♦ ♣♦ssè ♣s tr♦s s ♦♥tt ♣r♦è♠ st ♥♦
♥étr♠♥é ♥ ♣s ♦♥ s♣♣♦s ♥ ré♣rtt♦♥ ♥♦r♠ s ♦♥tr♥ts sr q t ♦rs
à r♣tr ♦♥ s♣♣♦s ♣stt♦♥ s♠t♥é t♦ts s s ♥s ♠ét♦
♦ st♠t♦♥ s ♦♥tr♥ts ♥ ♣rtr s♣♣♦st♦♥ q s ♦♥tr♥ts rts
sr ♦ r♥t ♥ér♠♥t ♥ ♦♥t♦♥ rté ♥st q ♣♦r s ♦s stés t♦t
r
♥ ♦♣t♥t s ♣♣r♦s étr♠♥sts éqr ♦ st rs♣té ♣♥♥t ♠ê♠ s ♦♥
st♠ q ♣♣r♦ s ♦rs ♥♦♥♥s st r♦rs té s♦t♦♥ é♣♥
té ♣rt ♣réé♥ ♠♣ s ♦♥tr♥ts ♥ t ♦♠♣♦rt♠♥t s ♦♥ts
♥st ♣s ♣rs ♥ ♦♠♣t ♥s s ♠ét♦s ♦rs q ♣t ♦r ♥ ♥♥ sr ré♣rtt♦♥ s
♦♥tr♥ts ♥♥ s ♠ét♦s étr♠♥sts ♦♥♥♥t ♥ ré♣♦♥s à qst♦♥ stté ♠s
s réstts s♦♥t à ♣r♥r ♣rét♦♥ s ♦s sés sr s ♠ét♦s ♥ qs s♦♥t
♦♥① s♦♥t à tsr ♣r s ♥é♥rs q ♥ ♦♥♥ss♥t s ♠tt♦♥s s♦♥t s ♦ts
à és♦♥
ét♦ ①t♦♥
♥ és♥ ♣r ♠ét♦ ①t♦♥ ♠ét♦ q t ♥tr♥r ♦♠♣♦rt♠♥t s ♦♥ts
♥s stté s ♦♥tr♥ts ♥ s s s♣♣♦sés êtr ♦♥♥s à ét♣ ♥t
q ♦rrs♣♦♥ s♦♥t à étt s ♦♥tr♥ts ♣rès ①t♦♥ ♥s ♥ ♠ ♦♥t♥
s♦♥t ♠♦és ♦r r①és ♣rès ♦t ♥ ♦r s♣♣é♠♥tr ♣♦s ♣r ①♠♣ ç♦♥
à rs♣tr éqr ♦ t s ♦s q réss♥t ♦♠♣♦rt♠♥t s ♦♥ts
Pr♥♣ ♠ét♦ ①t♦♥
♠ét♦ été ♥t♠♥t é♦♣♣é ♣♦r ♥ ♦ s②♠étrq ♥ sté sr t♦t ♥
①t♦♥ ♣♥ r② ❬❪ r♦r t r② ❬❪ ét ♥②tq st sé ♥ ①
ét♣s ♦♠♠ ♠♦♥tr r
Pr♠èr ét♣ s ♦♥ts s♦♥t ♥♥♠♥t rs r ♣rés♥ st ♥♦ré ♠ss r♦s
st s♦tr♦♣ ♦♠♦è♥ t éstq tr♥s♠tt♥t ♥ ♦r ♦r③♦♥t F0x ① s ♦ ♣♦s
♦ ♥t ♣s r♥t tt ét♣ éqr ♦ st ♦rs ssré r F0x ♣t êtr
Page 57
ét♦s ♦s s♦és
r ét♦ ①t♦♥ ♣♦r ♥ ♦ s②♠étrqs ♥
♠♣♦sé ç♦♥ ♠♣rq ♦ é à ♣rtr ♥ ♠♦è ①t♦♥ éstq ♦♥t♥ s♥s
♣rs ♥ ♦♠♣t ♣♦s
❯♥ ♦♥t♦♥ ♥t rt à ♥♦♥♣stt♦♥ ♦♥t s♠♣♦s r♥t tt ♣r♠èr ét♣
t s①♣r♠ ♣r ♥été α < φ ♥s s ♦ù ♦és♦♥ st ♥ ♥s tt ①♣rss♦♥ α st
♠♥ s♦♠♠t ♦ t φ ♥ r♦tt♠♥t ♥ t s N0 st ♦♠♣♦s♥t ♥♦r♠
F0x sr ♥ ♦ ♦♠♣♦s♥t t♥♥t st T0 = N0 tanα ♦♥t♦♥ ♥♦♥
♣stt♦♥ ♦♥t s①♣r♠ ♣r T0 < N0 tanφ
①è♠ ét♣ s ♦♥ts s♦♥t é♦r♠s ♦rs q ♠ss r♦s st r ♣♦s P
♦ t r♥t tt ét♣ t ♦ s é♣ ç♦♥ à rétr éqr ♥ s♦t♥t
♦♠♣♦rt♠♥t s ♦♥ts s ♦rts r♥t sr s s ♥ s♥t s ♦s ♦♠♣♦rt♠♥t ♥érs
♦rté♣♠♥t s ♦♥ts s ♥♦① ♦rts és ♣r♠tt♥t ssrr éqr ♦
♦s ♦♥s s① ♥♦♥♥s s ♦rts sr q N1 T1 N2 T2 t s ♦♠♣♦s♥ts ♦r③♦♥t
t rt é♣♠♥t Ux t Uy
♣r♦è♠ st étr♠♥é ♣sq ♥♦s s♣♦s♦♥s s① éqt♦♥s ① éqt♦♥s éqr
♦r③♦♥t t rt t ① éqt♦♥s ♦♠♣♦rt♠♥t ♦♥t ♥ q ♦
♥s s à s s②♠étr ♣r r♣♣♦rt à ① rt s ♦rts sr s ① s s②♠étrqs
s♦♥t é① t ♦♠♣♦s♥t ♦r③♦♥t é♣♠♥t st ♥ ♥s ♥♦♠r ♥♦♥♥s st
rét à N T t U ♣r♦è♠ st rés♦ ♥ ♦♥sér♥t s éqt♦♥s s♥ts
• éqt♦♥ éqr rt
2T cosα− 2N sinα−W = 0
• s éqt♦♥s ♦♠♣♦rt♠♥t s ♦♥ts
N = N0 −Kn S Un t T = T0 −Kt S Ut
♥s s éqt♦♥s Kn t Kt s♦♥t s rtés ♥♦r♠ t t♥♥t s ♦♥ts t S = H0/ cosα
st ♦♥r s é♣♠♥ts ♥s rt♦♥ ♥♦r♠ à t ♥s rt♦♥
t♥♥t s♦♥t rs♣t♠♥t Un = U sinα t Ut = U cosα
♦♥t sérté rt à ♣stt♦♥ ♥ ♥ st ♦rs =N tanφ+ cS
T
❯♥ tr ♠ét♦ ét♦♥ stté ♦♥sst à ♠♣♦sr ♥ ♦r R s♣♣é♠♥tr
♣♦s P tt ♦r st é ç♦♥ à r♠♥r ♦ à étt éqr ♠t
♥ q ♦rt t♥♥t tt♥t r ♦rrs♣♦♥♥t à ♣stt♦♥ ♦♥t
T = N tanφ+ cS tr sérté st ♥st éé ♣r =P +R
P
♦t♦♥s q st ♣♦ss ♣r♥r ♥ ♦♠♣t t♥ ♥s s♦rt ❬❪
Page 58
P ❯P
♥tr♦t t t♥ ♥s s♦t♦♥ ♥②tq ♥ ♠♦♥t ♦♠♣♦s♥t ♥♦r♠
é♣♠♥t ♦♠♠ st
Un = U sinα− Ut tanψ
é♣♠♥t ♥♦r♠ st ♥s rét t ♦rt ♥♦r♠ ♠♥t t♥ ♦♥ ♥ t
sts♥t sr ♦
s ♦rts ét♣ ♥t
Psrs trs ♦♥t é s ♦rts N0 t T0 ss♥t sr s s ♦ r♥t
♣r♠èr ét♣ ♥ ts♥t s s♦t♦♥s ♥②tqs ♦ ♥♠érqs strt♦♥
s ♦♥tr♥ts éstqs t♦r ♥ ①t♦♥ rr ♥s ♥ ♠ ♥♦♥ rtr r
♦r t r② ❬❪ s♦rt ❬❪ ♦♥♦♥s t ❬❪ ♦♠♦s t ❬❪
♦♠♦s t ❬❪ s rt♦♥s é♦♠étr ♦ t étt s ♦♥tr♥ts ♥ts
♥t ①t♦♥ ♦♥t été étés
s♦rt ❬❪ ♦♥séré s ♦♥tr♥ts ♥ts ②r♦sttqs s rs N0 t T0s♦♥t és ♣r ♥tért♦♥ s ♦♥tr♥ts ♣rès ①t♦♥ sr s s ♦ tr♥s♦r♠t♦♥
s ♦♥tr♥ts ♦♥♥ r F0x t ♥ r ♥ ♣♦r ♦r rt ♥t F0z
♦♥♦s t ❬❪ ♦♥t ♦♥séré ♥ étt ♥t ♦♥tr♥ts ♥♦♥ ②r♦sttqs s
♦♥tr♥ts ♥ts ♦r③♦♥ts t rts ♥ s♦♥t ♣s és s s♦t♦♥s rstrt♦♥
s ♦♥tr♥ts s♦♥t ♦♥♥és ♣r s éqt♦♥s rs t st st ♠ê♠ q
s♦rt ❬❪ ♦ r② ❬❪
♦♠♦s t ❬❪ ♦♥t ♦♥séré ♥ étt ♥t ♦♥tr♥ts ♥♦♥ ②r♦sttqs ♥♥és
s ♦♥tr♥ts ♥ts s♠♥t ♥ s♦♥t ♣s ♥s ♥s s ♥tért♦♥ s ♦♥tr♥ts
rts sr s ① s ♦ ♥st ♣s ♥ ♥ ♦rs s ♦rts F0z rt♦♥s
♦♣♣♦sés sr s ① s ♥s éqr s ♦rs rts st rs♣té ♠s st ♥ é♥t
q éqr s ♠♦♠♥ts ♥st rs♣té q ♣♦r ♥ ♣♦st♦♥ ♦♥♥é F0x t F0z sr s s
♦ ♦♠♠ sèr r tt ♣♦st♦♥ st ♣♦rt♥t ♥♦♥♥ t st st
t ♦♠♠ s s ♦♥tr♥ts ét♥t ♥♦r♠é♠♥t ré♣rts sr s s ♥s ①è♠ ét♣
♦r rr♠♥t st étr♠♥é ♥ ♦♥sér♥t q ♥ s ① s ♦
♣sté ♦♠♠ ♦ st s②♠étrq ♦s st ♦ù F0z st ré rs rt
♣♦st ♥s tt ét♣ st ss t s♥s s s♦r éqr s ♠♦♠♥ts
♦♠♦s t ❬❪ ♦♥t ♣♣qé s ♦♥sért♦♥s ♣réé♥ts ♣♦r ♥ ♦ ♥♦♥ s②♠étrq ①
♦rs rr♠♥t ♦rrs♣♦♥♥t à ♣stt♦♥ s ① s s♦♥t és rs♣t♠♥t t
♠♦♥s éé st ♦s
r ét♦ ①t♦♥ ♥s s ♦♥tr♥ts ♥ts ♥♥és
Page 59
ét♦s ♦s s♦és
♣r♥♣ ♣♦r s s st ♠ê♠ q r② ❬❪ ①♣♦sé ♥s ♣rr♣
♣réé♥t ♥s ①è♠ ét♣ s éqt♦♥s ♦♠♣♦rt♠♥t s ♦♥ts t éqr s ♦rs
s♦♥t ♣♣qés ♣♦r ♦♥♥tr s ♦rts sr s s P♦r ♦ ♥♦♥ s②♠étrq ér♥
réstt r② ❬❪ st q ♦♠♣♦s♥t ♦r③♦♥t é♣♠♥t Ux ♥st ♣s ♥ P♦r
s ♦♥tr♥ts ♥♥és ♦♠♣♦s♥t F0z ♥st ♣s ♥
♦♥♥t s♥r q ♥s t♦s s s ♦ st s♦♠s ♥q♠♥t à ♥ ♠♦♠♥t
tr♥st♦♥ ♥ t ♦♥ ♦♥sèr ♥ ♦r ♥q ♣r q st éq♥t à ♦♥sérr ♥
strt♦♥ ♥♦r♠ s ♦♥tr♥ts ♥ q Pr ♦♥séq♥t st à ♥érté
♦ ♦♠♣♦rt♠♥t s ♦♥ts t♦s s ♣♦♥ts ♥ ♠ê♠ ♣♦ssè♥t ♠ê♠ é♣♠♥t
♦rrs♣♦♥ ♦♥ à ♥ ♠♦♠♥t tr♥st♦♥ s♥s ♣rs ♥ ♦♠♣t ♥ é♥t r♦tt♦♥
st ♠♣♦rt♥t ♥♦tr ss q rté ♥♥tr♥t ♣s ♥s s ♦♥tr♥ts és
tqs ♦rs q ♣♦s ♣♣rt r♥t ①è♠ ét♣ st ♦♠♠ s ♦♥ s♣♣♦st q
rté ♥♥♥ ♣s ré♣rtt♦♥ s ♦♥tr♥ts ♠s ♣♦r rô ♥q♠♥t s♦tr
♦♠♣♦rt♠♥t s ♦♥ts
♥s s ♣♣r♦s rtèr ♣stté sr s s ♥st ♣s t♦♦rs éré ♣♦r s ♦♥tr♥ts
éstqs r♥t ♣r♠èr ét♣ r s s ♦♥tr♥ts ♥ s♦♥t ♣s ♣stq♠♥t ♠s
ss r♥t ♣r♠èr ét♣ ♦ ♣t êtr rt♠♥t éré ♥st t ♣ss à
①è♠ ét♣ st sr
♥♠♥t ♥ q s ♦♥tr♥ts ♥ st t ♦♠♣♦rt♠♥t ♦♥t s♦♥t ♣rs ♥ ♦♠♣t ♥s
♠ét♦ ♦♣té ♥st ♣s ss③ r♦rs ♥ ré ♥ st♦rq t ♣ss ♥tr
♦♥tr♥ts ♥ts t ♦♥tr♥ts ♥s ♣r ♥ é♦♠♣♦st♦♥ ♥ ① ét♣s ♦rs q♥ rété
♣♦s ♦ t s ♦♥ts ♥tr♥♥♥t ès ét ①t♦♥
ts ♣r♠étrqs
s éts ♣r♠étrqs ♥tr♣rss ♥s s ér♥ts ♣♣t♦♥s ♠ét♦ ①t♦♥
♦♥t ♦t ① réstts ①♣tés ♣rès
• ♦rsq s ♦♥tr♥ts ♥ st ♠♥t♥t ♦r rr♠♥t ♠♥t s♦rt
❬❪ ♥s s ♦♥tr♥ts ♥♦♥ ②r♦sttqs ♠♥tt♦♥ ♦♥tr♥t ♥t
♦r③♦♥t é♠♥t ♥ t sts♥t ♦♥♦s t ❬❪
• ♦r rr♠♥t st ♣s éé ♦rsq ♥ s♦♠♠t ♦ ♠♥ ♦♥♦s t
❬❪ s ♦s étr♦ts s♦♥t ♦♥ ♣s sts
• ♠♥tt♦♥ r♣♣♦rt s rtésKn/Kt ♥ t ésts♥t sr ♦ s♦rt ❬❪
♦♥♦s t ❬❪ r♦r t r② ❬❪ t t st t♥t ♣s ♠rqé q ♠♥
s♦♠♠t α st ♣tt ♣r r♣♣♦rt à ♥ r♦tt♠♥t φ été ♠♦♥tré ♣r r♦r t
r② ❬❪ q r éé r♣♣♦rt ♦♥stt ♥ ♦r♥ s♣érr s♦t♦♥
♦r rr♠♥t t q♥ r é à ♥té ♦♥stt ♥ ♦r♥ ♥érr st ♦rs
♣s ♣r♥t ♥s s♦t♦♥ ♥②tq tsr s r♣♣♦rts éés Kn/Kt
• tr sérté =P +R
P♠♥ ♦rsq t ♦ ♠♥t ♣♦r s
♦♥tr♥ts ♥ts ♦r③♦♥ts ♦♥st♥ts r♦r t r② ❬❪
• s éts ♦♥♦s t ❬❪ t s♦rt ❬❪ ♦♥t ♠♦♥tré q ♦rsq ♠♥ s♦♠♠t
♦ ♠♥ ♦ st ♣s étr♦t t sts♥t t♥ st ♣s ♠rqé
Page 60
P ❯P
♦♠♣rs♦♥ s ♠♦ès ♥♠érqs
♠ét♦ ♣réé♥t ♣♣qé ♣♦r ♥ ♦ s②♠étrq à sr r ♣♥ été ♦♠♣ré à
s ♠♦ès ♥♠érqs ♥ é♣♠♥t s♦♥t♥ r♦r t r② ❬❪ ♦ ♥ é♠♥ts
st♥ts ♦♠♦s t ❬❪ ♥s s ♠♦ès ♦♥ ♦♥sèr ♥ r♦ é♦r♠ ♠♦
❨♦♥ E s ① ét♣s ♠♦è ♥②tq s♦♥t s♠és tt ♦♠♣rs♦♥ ♥
♣s srr ♦♥ à tstr ♠ét♦♦♦ ♦♣té ♥s s ♠ét♦s ①t♦♥ ♠s s ♣tôt
à ♠♦♥trr q s ②♣♦tèss rté ♦ t ♥ strt♦♥ ♥♦r♠ s ♦♥tr♥ts
♥ s s s♦♥t s
Pr♠èr♠♥t ♦♥ ♦♥sèr ♥q♠♥t ♣rés♥ ♦♥tr♥ts ♦r③♦♥ts à ét♣ ♥t
♦rsq s rs α t φ s♦♥t ♣r♦s ♦ st éà ♣r♦ éqr ♠t s rs
s ♦rs rr♠♥t s♥t s ① ♠ét♦s ♥②tq t ♥♠érq s♦♥t ♣r♦s ♥é♣♥
♠♠♥t rt♦♥ E/Kn ♦ Kn/Kt r♦r t r② ❬❪ ♦rsq r φ
♠♥t ♣r r♣♣♦rt à α réstt ♥♠érq é♣♥ s rtés rts
r♦ t ♦♥t t ♦♥ r♣♣♦rt E/Kn P♦r ♥ r♣♣♦rt E/Kn s♦t♦♥ ♥②tq
srst♠ ♦r rr♠♥t ♦rsq r♣♣♦rt ♠♥t strt♦♥ s ♦♥tr♥ts ♥
s s ♥t ♣rsq ♥♦r♠ t s♦t♦♥ r♦ é♦r♠ s♣♣r♦ s♦t♦♥
♥②tq r♦ ♥♦♥ é♦r♠ r♦r ❬❪ ♦♠♦s t ❬❪
①è♠♠♥t ♦♥ ♦♥sèr ♣rés♥ ♦♥tr♥ts rts à étt ♥t ♥s s♦t♦♥
♥♠érq r♦r t r② ❬❪ rést ♥ ♥ ♠♥t♦♥ ♦r rr♠♥t t ♦♥
♥ t ésts♥t sr ♦ ♥s s♦t♦♥ ♥②tq ♣sq♦♥ ♥ s ♦r ♣r
éqr ♦ r♥t ♣r♠èr ét♣ ♠♣♦s t q ♦rt rt s♦t ♥
♣réé♥t r② ❬❪ ♥s ♣rs ♥ ♦♠♣t s ♦♥tr♥ts rts ♥st ♦rs ♣s ♣♦ss
♥s s♦t♦♥ ♥②tq Pr rs ♣rés♥ s ♦♥tr♥ts rts ♥ts ♣♦r t
térr strt♦♥ s ♦♥tr♥ts t♦r ①t♦♥ t ♠♥r s ♦rts F0x és
s♦t♦♥ ♥②tq rsq ♦rs srst♠r stté ♦ srt♦t ♦rsq r♣♣♦rt ♥tr
s ♦♥tr♥ts rts t ♦r③♦♥ts ♥ts ♠♥t
♠ê♠ t②♣ ♦♠♣rs♦♥ été ss t ♣♦r ♥ ♦ ♥♦♥ s②♠étrq s♦♠s à s ♦♥tr♥ts
♥ts ♥♦♥ ②r♦sttqs ♥♥és ♥ r ♦r③♦♥t ♦♠♦s t ❬❪ ♥s
♠♦è ♥♠érq ♥ é♠♥ts st♥ts ♦ t ♠ss r♦s s♦♥t s♣♣♦sés êtr rs
s réstts ♦r rr♠♥t ♦t♥s s♦♥t ss③ ♣r♦s ♥tr ♠♦è ♥②tq t
♠♦è ♥♠érq
♣rès s éts ♥♦s r♠rq♦♥s q té s♦t♦♥ ♥②tq ♣♦r s ♦s à
sr ♣♥ st ♥q♠♥t r ♣♦r s rs éés ♠♦ ❨♦♥ r♦ t ♣♦r
s ♦♥tr♥ts rts ♥ts ♥s ♣r♠èr s♣♣♦st♦♥ st ♣t ♣sq st
②♣♦tès ♥t ♥♦tr ét r♦ st r ♦t♦s ♣rs ♥ ♦♠♣t ♦♥tr♥ts
rts ♥s ♥st ♣s r♣rés♥tt ♥ s é♥ér t ♦♥stt ♥ ♠tt♦♥ ♠r
♣♣t♦♥ ♠ét♦ ♥②tq
s réstts èr♥t ♥♦r ♣s ♥tr s♦t♦♥ ♥②tq t ♥♠érq ♣♦r s ♦ à
sr r ♦r♠ rr ♦♠♦s t ❬❪ ♦r rr♠♥t st srst♠é ♥s
♠♦è ♥②tq ♦rsq♦♥ ♦♥sèr ♥q♠♥t s ♦♥tr♥ts ♦r③♦♥ts t ♥♦r ♣s ♥s
s ♦♥tr♥ts ♥ts ♥♦♥ ②r♦sttqs ♥♥és ♦ ♥♦♥ ♣t êtr ttré t
q trt♦r s ♦♥tr♥ts t♥ à sr ♦r♠ t♥♥ ① ♥t♦rs sr r
♦s ♦sr♦♥s ♦rs ♥ ♣stt♦♥ ♣rt s s ♦♥t ♥s ♠♦è ♥♠érq q♥
♦♥ s♣♣r♦ r ♠ê♠ ♣♦r ♥ r éé E ♥②tq srst♠ ♦♥
Page 61
ét♦s ♦s s♦és
stté ♦ ♥s s ①t♦♥s rrs ♣♦r t♦t t②♣ r♠♥t ♥t ♦
r rté r♦
♥♥ s s réstts s♦t♦♥ ♥②tq s♣♣r♦♥t s♦t♦♥ ♥♠érq ♣♦r s
s sr ♣♥ srt♦t ♣♦r s ♦♥tr♥ts ♥ts ♦r③♦♥ts ♣♦r s sr r
rr s♦t♦♥ ♥②tq srst♠ stté q q s♦t t②♣ r♠♥t
♣♣t♦♥ à ♥ ♦
♠ét♦ ①t♦♥ été ♣♣qé à ét ♥ ♦ ♥ ♦♦♠♥ t ❬❪
❨♦ t ♦♦♠♥ ❬❪ s♦♥ ssq ♥ ① ét♣s st ♦♣té t ♣r♥♣
st ♠ê♠ q ♥ ♥s ♣♣r♦ ❨♦ t ♦♦♠♥ ❬❪ à ér♥ s ♠ét♦s
①♣♦sés ♣réé♠♠♥t ♦♥ ♦♥sèr ♥ ré♣rtt♦♥ s ♦♥tr♥ts ♥♦♥ ♥♦r♠s sr
♦ tr♠♥t t s ♦♥tr♥ts ♥ s♦♥t ♣s r♠♣és ♣r ♥ s ♦rt ♣r
♥s ♣r♠èr ét♣ s♦t♦♥ s ♦♥tr♥ts ♥s ♥ ♠ éstq ♥ é♦r♠t♦♥ ♣♥
t♦r ♥ ①t♦♥ ②♥rq ♥s ♥ ♠ ♥♦♥ rtr st tsé s♥s ♣r♥r ♥ ♦♠♣t
♣rés♥ s ♦♥ts s ♦♥tr♥ts ♥♦r♠s t t♥♥ts s♦♥t éts sr s s ♠és
♦
♥s ♣♣r♦ ♦♦♠♥ t ❬❪ ♦♥ ♦♥sèr ♥ ♦r ♥♦♥♥ ♣r r♥t
①è♠ ét♣ ♣r♦è♠ rst ♥étr♠♥é ♣sq♦♥ ♥♦♥♥s ♦♠♣♦s♥ts
♦r ♣r t ♦♠♣♦s♥ts é♣♠♥t t éqt♦♥s éqt♦♥s éqr t
éqt♦♥s ♦♠♣♦rt♠♥t ♣r P♦r r à ♥étr♠♥t♦♥ ♣r♦è♠ ♦♥ ♦♥sèr
q ♣stt♦♥ s t s♠t♥é♠♥t sr t♦ts s s t ♦♥ ♥ ♦r s♦tè♥♠♥t
♦ rr♠♥t ♦rrs♣♦♥♥t ♥s q♥ tr é♣♠♥t ♦rrs♣♦♥♥t s ♠tt♦♥s
tt ♣♣r♦ s♦♥t s ♠ê♠s q s s trs ♣♣r♦s ♥
♥s ♠ét♦ ❨♦ t ♦♦♠♥ ❬❪ ♥ é♣♠♥t rt rs s st ♠♣♦sé sr
♦ ♥s ①è♠ ét♣ rt♦♥ s ♦♥tr♥ts ♥ q ♠ st
é ♥ ts♥t s ♦s ♦♠♣♦rt♠♥t s ♦♥ts t♥ s ♦♥ts st ♣rs ♥ ♦♠♣t
♦♠♣♦rt♠♥t ♥♦r♠ ♦♥t ♣t êtr ♥ér ♦ ②♣r♦q t s ♦♥tr♥ts t♥♥ts
s♦♥t ♠tés ♣r rtèr ♣stté ♠♣♦sé st t ♣♦r ♣srs ♥ré♠♥ts é♣
♠♥t rt rs s ♦r rr♠♥t ♦rrs♣♦♥♥t st ♦♣♣♦sé ♥tér Q s
♦♥tr♥ts ss♥t sr s s ♦ tt ♦r st ♥érr ♣♦s ♦ st é ♥ étt
éséqr ♥st ♣♦r é♣♠♥t ♦rrs♣♦♥♥t ♥s s ♦♥trr ♦ st ♥s ♥
étt éséqr st ♣♦ssè ♥ ♠r sérté stté é♥ér ♦ st é
♥ é♥t ♦r rr♠♥t ♣♦r ♣srs é♣♠♥ts és
♦t♦♥s q ♥s rt ❨♦ t ♦♦♠♥ ❬❪ ♥♦s r♠rq♦♥s q éqr ♦ ♥st
♣s rs♣té ♥s ♣r♠èr ét♣ ♣sq ♦r rr♠♥t ♥st ♣s ♥
st ♦♥trt♦r t q♥ éstq s ♦♥tr♥ts s♥s rté st té ♥ ♣t
ttrr éséqr à ♥ ♦rrt♦♥ s ♦♥tr♥ts t♥♥ts ②♥t é♣ssé rtèr à étt
♥t s ♦rs rr♠♥t és ♥s ①è♠ ét♣ ♥ s♦♥t ♦♥ ♣s r♣rés♥tts
stté ♦ ♣sq♥ ♣rt ♦♥tr à ♦rrr éséqr ♠♣♦sé ♦ r♥t
♣r♠èr ét♣ ♥ ♦tr s ♦rs rr♠♥t ♦rrs♣♦♥♥t à ♥ é♣♠♥t rt
♦ é♣♠♥t ♥ ♦rrs♣♦♥ ♣s ♥éssr♠♥t é♣♠♥t ♥ ♦ ♥s ♥ ♠♣
♦♥tr♥ts rtrr
♥♠♥t ♥ q ♦♥ ♦♥sèr ♣srs ♦♥tr♥ts ♣r s ét ♣♦ssè ♣srs ♠
tt♦♥s ♥ ♣t ♣s êtr ♣♣qé à ♥ ♦ ♦♥t ♦♥ ♥♦r rt♦♥ é♣♠♥t ♥ ♣s
Page 62
P ❯P
stté st é ♥ ts♥t ♥ tr éséqr (Q + P )/P ♦rrs♣♦♥♥t à ♣srs
♠♣ts é♣♠♥ts tr trt ♣tôt ♥ ♥♣tt♦♥ s ♦♥t♦♥s éqr
é♣♠♥t ♠♣♦sé q ré♠♥t ♥ ét♦♥ r♦rs stté
♦♥s♦♥
♠ét♦ ①t♦♥ ♦♣t ♥ ♣♣r♦ s♦♥ ♥ ① ét♣s ♦♥ s♣♣♦s
q tt ♣♣r♦ st r♦rs ♣♦r ♣♣rt s éts ♣♣t♦♥ s♦t♦♥ ♥②tq st
♥q♠♥t ♦rsq ②♣♦tès strt♦♥ ♥♦r♠ s ♦♥tr♥ts ♥ s s
st ♣♦ss st ♠té s ♦s rs à sr r ♦r③♦♥t ♥ ♦tr ♦♠♣rs♦♥
été t ♣r ♦♠♣rs♦♥ s ♠ét♦s ♥♠érqs q ♦♣t♥t ♠ê♠ t♥q s♦♥
♥ ét ♥ ♣r♠s str tt s♦♥ ♥ q ♦♠♣rs♦♥ ♥ s♠♣ ♠♦è
♥♠érq ♦ù s ♦♥ts s♦♥t s♦tés s♠t♥é♠♥t ①t♦♥ s♦t ♣♦ss
ê♠ ♣♦r ♠ét♦ ♦ù ♥ ré♣rtt♦♥ ♥♦♥ ♥♦r♠ s ♦♥tr♥ts st ♦♥séré ♦♥ ♥ s
st r stté ♦ q♥ ♠♣♦s♥t ♥ é♣♠♥t ♦♥♥é ss tt ♠ét♦♦♦ ♥ ♣s
été ♦♠♣ré à trs ♣♣r♦s ♥♠érqs
♥s ♠ét♦ ①t♦♥ ♦♥ st♠ q ♦♠♣♦rt♠♥t ♦♥t ♥st s♦té q ♣r
♣♣t♦♥ ♣♦s ê♠ s ♦♥ ♣♣q ♥ tr ♦r ♣♦r r♠♥r à éqr ♠t
stté st é ♥ ♦♠♣r♥t tt ♦r ♠t ♣♦s tt ②♣♦tès ♥st ♥ ♥ s
st ♣sq ♦♠♣♦rt♠♥t s ♦♥ts ♥tr♥t ♥ rété ès ét ①t♦♥
ért♦♥ ♥ ♦
♠ét♦ rét ♠♣ ♦♥tr♥ts ♠ss ♥ s ♠♣ ♥ s♥t ♥tr♥r
♦ ♦♠♣♦rt♠♥t s ♦♥ts ♥s ss r♦♥sttr é♦t♦♥ s ♦♥tr♥ts
étt ♥t à étt ♥ ♠s tt r♦♥sttt♦♥ ♥st ♣s r♦rs à s s♦♥
ét ♥ ① ét♣s q ♥ s♦♥t ♣s r♣rés♥tts é♦t♦♥ ré ①t♦♥
♥♥ ♠ét♦ ①t♦♥ ♥ été é♦♣♣é q ♣♦r s ♦s stés sr t♦t ♥
①t♦♥ t ♠♦♠♥t ♦ st ♠té à tr♥st♦♥ st ♥ ♣♣r♦ t ♣♦r
♠ttr ♥ é♥ ♥♥ s ér♥ts ♣r♠ètrs sr ♣r♦è♠ stté ♠s ♥ ♣t ♣s
♦♥sttr ♥ ♣♣r♦ ♦♠♣èt ♥②s stté ♦s ♦ ♦♥♣t♦♥ ①t♦♥ ♥s
♥ ♠ s♦♥t♥
②♥tès
♣r♠r ♣tr ♦♥stt ♥ r ♦r♣q s ér♥ts ♠ét♦s ♥②s
stté s ♦s r♦① t♦r s s s♦trr♥s ♥t st ♠s sr s ♠ét♦s ♦♣t♥t
♣♣r♦ s ♦s s♦és t st ♠♦♥trr ♥ ♣rt ♥t ♣♣r♦ s ♦s
s♦és ♣r r♣♣♦rt à ♥ ♦♠♣r♥♥t t♦s s ♦s t tr ♣rt s ♠tt♦♥s s ♠ét♦s
s♣♦♥s ♦♣t♥t tt ♣♣r♦
s ér♥ts ♠ét♦s ♣♦sss ♣♦r étr ♥ ♥s♠ ♦s ♥ ♥trss♥t ♥tr
① s♦♥t ♣rés♥tés sèr q ♣r♦è♠ st ss③ ♦r à s é♦♠étr ♦♠♣①
♠♦è t srt♦t s s ♥♦♥ ♥értés s♦♥t ♥tr♦ts ♥ ♦tr s ♥rtts és à
té ès ① ♣r♠ètrs é♦♠étrqs t ♠é♥qs s s♦♥t♥tés ♣srs s
stté ♥ s♥t rr s ♣r♠ètrs s♦♥t ♥éssrs q ♦rt ♥♦r ♣s ♣r♦ér
Pr rs s ♠ét♦s ♦s ♠t♣s ♣♥t ♣rés♥tr rt♥s ♥♦♥é♥♥ts ♠ét♦
s é♠♥ts st♥ts ts s éqt♦♥s ②♥♠q ♣♦r rés♦r ♥ ♣r♦è♠ sttq s
éqt♦♥s ♦♥stt♥t ♥ st ♥♠érq ♣♦r rtr♦r ♥ ♠♣ ♦♥tr♥ts sttq♠♥t
Page 63
ét♦s ♦s s♦és
♠ss ss ♣♣r♦ ♣t êtr té ♣r t②♣ ♠♦rtss♠♥t tsé ♦t♦♥s à
q st♦♥ s ♦♥tts ♥tr s ♦♥ts st ♥ ♣r♦è♠ ss③ ♦♠♣① ♠ét♦ ♦
q ♣r♠t ♠♦ést♦♥ ♥ s②stè♠ ♦s rs ♦♣t ♥ ♣♣r♦ sttq
s♠r à s é♠♥ts ♥s ♠♥♠st♦♥ é♥r ♣♦t♥t ♠s s rt à ♣srs
♠tt♦♥s ♠t♦♥ s rrrs s ① s♠♣t♦♥s ♦♣tés ♥s ♣rs ♥ ♦♠♣t
r♦tt♦♥ ♦ ♣t ♠♣êr ♦♥r♥ s②stè♠ s ♦rrt♦♥s ♣♥t êtr ♥tr♦ts
♠s s ♥ s♦♥t ♣s ss③ s ♥♥ ♠ét♦ ♦♣t ss ♥♦t♦♥ ♠♥♠st♦♥
é♥r ♣♦t♥t ♥s s rs♦♥ ssq tt ♠ét♦ ♥ ♣r♠ttt ♣s r♣rés♥tr ç♦♥
r♦rs ré♣rtt♦♥ s ♦♥tr♥ts sr s s s ♦s ♠s s éts ré♥ts ♦♥t ♥tr♦t
♣rs ♥ ♦♠♣t ♦♥tr♥ts ♥♦♥ ♥♦r♠s sr s s Pr rs s rtés ♦♣tés ♣♦r
s ♦♥tts ♥ s♦♥t ♣s r♣rés♥tts s rtés s ♦♥ts ♦♥ r ttr s rs ♦♥♥s
♣♦r s♠r s ♦♥t♦♥s ♥♦♥ ♣stt♦♥ ♦♥tt t s♥ ♥tr♣é♥étrt♦♥ ♥tr s
♦s
♠ét♦ s ♦s s♦és r♣rés♥t ♥ ♣♣r♦ s♠♣tr ♣♦r ré♣♦♥r à qst♦♥
stté s ♦s à ♦♥t♦♥ q ♦♥♥ ♥ réstt ♦♥srtr tt ♣♣r♦ ♦♥sst à étr
♦ ♥ ♦♥sér♥t q st r t q rst ♠ss r♦s st ♦♥t♥ t r
♠♥t sr étt stté ♦ ♥ésst ♦♥♥tr s ♦♥tr♥ts q ①st♥t sr ss s
♣rès ①t♦♥ st♦rq r♠♥t ♥st ♣s ♣rs ♥ ♦♠♣t ♥ s ♦s ♦♠♣♦rt♠♥t
s ♦♥ts st ♥étr♠♥é ♥t q ♣♣rt s ♣♣r♦s ♦s s♦és ss♥t
tr♦r s ♦♥tr♥ts ♥s ♥ ♦♥sér♥t ♥q♠♥t étt ♥ r♠♥t ♣r♦è♠ st
♦ré♠♥t ♥étr♠♥é P♦r rér ♥♦♠r ♥♦♥♥s ♦♥ ♦♥sèr s ♦♥tr♥ts ♥♦r♠s sr
q ♥ st ♣s ♣♦r r ♥étr♠♥t♦♥ t s ②♣♦tèss ♦rts s♣♣é♠♥trs
s♦♥t ♦♣tés s♥t ♠ét♦ tsé ♣♦♥t ♥ à r♣tr ♦♥ r
♥s♠ s s♦tt♦♥s t q ♠♣ ♦♥tr♥ts ♦ ♥s♠ s ♦rs sr s ♦s
s♦t sttq♠♥t t ♣stq♠♥t ♠ss s ♣♣r♦s ♦s s♦és ♣♥t êtr ssés
♦♠♠ s ♣♣r♦s sttqs ♣r ♥térr ♥ r à tr♦r ♥ ♥s♠ q ♦♥stt ♥
♦r♥ ♥érr s s♦t♦♥s ♣♦sss ♠♣ st rstr♥t à q st rs♠ ér♠♠♥t
♣♦r q ♠ét♦ ♦s s♦és
♥s ♠ét♦ s ♦s és ♦♥ ♣r♦è à ♥ ét ♥é♠tq q étr♠♥r ♣rès
é♦♠étr ♦ s♦♥ ♠♦♠♥t ♥ s ♠t à tr♦s t②♣s ♠♦♠♥ts ♥ tr♥st♦♥ t
r ss♠♥t sr ♥ t ss♠♥t sr ① s ♦r rét♦♥ st ♦♥séré êtr
♥ sr q s ét rst ♠ss r♦s Pr ♦♥séq♥t ♥♦♠r ♥♦♥♥s
st rstr♥t t ♦♥ st ♣ r s ♦rs sr s s ss♠♥t ♥ ts♥t s éqt♦♥s
éqr ♦t♦♥s q♥ ♦ ♥ t r st éré ♥st t♦♠tq♠♥t tt ♣♣r♦
rç ♣♦♣rté srt♦t ♥tr♦t♦♥ ♣r ♦♦♠♥ t ♥♦t♦♥ ♣②r♠
♦♥t q ♣r♠t étr s ♦♠♥s♦♥s ♦♥ts s♥s ♦r à ♦r♠r s ♦s ♣♦ssté
r♦tt♦♥ été ♦♥séré ♣r qqs trs ♥s ét ♥é♠tq ♠s s ♦r♠t♦♥s
♠té♠tqs s♦♥t ss③ ♦♠♣①s t r ♥tr♦t♦♥ ♥s ♥ ♠♦è ♦♥trt ♥térêt
♣r♥♣ ♣♣r♦ s ♦s és q s à s♠♣r ♣r♦ér ♥②s stté s
♦s rt♥s trs ♦♥s♥ts q ♣r♦è♠ st rés♦ ♥ s♣t ♣r♠♥t é♦♠étrq
♦♥t ss②é ② ♥tr♦r s ♦♥tr♥ts s ♦♥tr♥ts s♦♥t és à ♣rtr ♥ ♠♦è ♦♥t♥
t ♦♥ ♠ét♦ ♦♣té ♥st ♣s ss③ r♦rs
s ♠ét♦s étr♠♥sts ♦♥sèr♥t q ♠♣ s ♦♥tr♥ts ♥♦♥♥ ♣t êtr ♦r♥
♣r tstr ç♦♥ à rs♣tr éqr ♦ rst ♦rs à érr s st ♣stq♠♥t
♠ss ♥s rt♥s ♣♣r♦s ♦♥ ♦r♥t ♥ ♣rt ♠♣ ♦♥tr♥ts ♠♦②♥♥♥t
Page 64
P ❯P
♥ ♥ ♠ ♦♥t♥ t ♦♥ r à étr♠♥r rst s ♦♥tr♥ts ♣♦r éqrr
r♠♥t ♠♣♦sé s ②♣♦tèss ♥♦♥ stés ♦♥r♥♥t rt♦♥ ♦r t♥♥t s♦♥t
♦rs ♠♣♦sés s ♠ét♦s étr♠♥sts s♦♥t ♥rt♥s ♣sq ♠♣ s ♦♥tr♥ts ♦r♥
♥st ♣s ♥éssr♠♥t r t ♦♠♣♦rt♠♥t s ♦♥ts ♥♥tr♥t ♣s ♥s
♠ét♦ ①t♦♥ t♥t ♥r s ♦♥tr♥ts ♥ts t ♦♠♣♦rt♠♥t s ♦♥ts
♣♦r rtr♦r s ♦♥tr♥ts à étt ♥ ♣♥♥t ♣r♦ér ♦♣té ♥ r♣r♦t ♣s ♥
st♦rq s s♦tt♦♥s s ♦♥tr♥ts sr ♦ s♦♥t és ♥s ♥ ♣r♠èr ét♣ à
♣rtr ♥ ♠♦è éstq ♦♥t♥ trt t ①t♦♥ t é♦r♠té
r♦ sr rt♦♥ s ♦♥tr♥ts ♠s ♥♥ ♣♦s t s s♦♥t♥tés st ♥éé s
♦♥tr♥ts s♦♥t ♥st ♠♦és ♥ ♦♥sér♥t ♥s ♥ ①è♠ ét♣ q ♣♦s t sr
♦ t ♥ s♦t♥t ♦♠♣♦rt♠♥t s ♦♥ts tt ♣r♦ér ♥ r♣rés♥t ♣s é♦t♦♥ ré
étt ♦ ♦ù ♣♦s t ♦♠♣♦rt♠♥t ♦♥t ♥tr♥♥♥t ç♦♥ s♠t♥é ès
ét ①t♦♥ Pr rs tt ♠ét♦ s ♠t à s s s♠♣s ♦s t♦t
r ②♥t s ♠♦♠♥ts tr♥st♦♥ st t ♣♦r s éts ♣r♠étrqs ♠s ♥
♣t ♣s ♦♥sttr ♥s s ♦r♠t♦♥ t ♥ ♠ét♦ r♦rs ♥②s stté
♦♠♠ t♦ts s ♣♣r♦s s♣♣r♥t♥t à s ♣♣r♦s sttqs ♣r ♥térr ♦♥ ♥ ♣t
♣s r♠♥t s qr ♣r ré ♥rtt s s♦♥t t♦ts ♥rt♥s ♥s♠ s s♦
tt♦♥s ♣♦s ♣r ①♠♣ st s♣érr à ♥s♠ tr♦é ♦♥ q ♦ ♥st
♠♥t st sértr ♠s ♥st ♣s s♦♠♥t r ss ♦♠♠ ♥s s t♦t à
r♣tr ♠ê♠ s s s♦tt♦♥s rés ♣♣rt♥♥♥t ♥s♠ é ♦♥ t q ♦ st
♣r♦♠♥t st ♠s ♦♥ ♥ ♣t ♣s r♠r q st rtt
♥♠♥t sèr ♥éssr r♣r♥r ét ♦ sté t♦r ①t♦♥ ç♦♥
♣s r♦rs ♥ é♦♣♣♥t ♥ ♥♦ ♣♣r♦ q ♦♥sèr ♥ é♦t♦♥ s ♦♥tr♥ts sr
s s ♦ ♥ ♣r♥♥t ♥ ♦♠♣t à ♦s s ♦s ♦♠♣♦rt♠♥t s ♦♥ts t s éqt♦♥s
éqr tt é♦t♦♥ s ♦♥tr♥ts ♦t êtr sé ♦♠♠ ♥ rété ♣r ér♠♥t
r ♦ ❯♥ ét♦♥ ♣rt♥♥t stté ♦t ♦♥sérr ♥ ré♣rtt♦♥ ♥♦♥
♥♦r♠ s ♦♥tr♥ts ♣r t ♣♦ssté r♦tt♦♥ ét ♦t êtr ♣♣ ♣♦r t♦t
t②♣ ♦ q q s♦t s é♦♠étr t q q s♦t s ♣♦st♦♥ t♦r ①t♦♥
♣tr ♣rés♥tr ♥ ♠♦è q ré♣♦♥ à t♦s s rtèrs
Page 65
P
♥tr♦t♦♥
♥s ♣r♠r ♣tr ♥♦s ♦♥s ♠♦♥tré s tés ss♦és à ét ♥ s②stè♠
♦s ♥ ♥trt♦♥ ♥tr ① ♣r♦è♠ ①trê♠♠♥t ♦r t♥t ♣s q ♥s s s ♠ss
r♦① s ♥rtts és ① ♦♥♥és é♦♠étrqs s s♦♥t♥tés ♥ésst♥t r ♣srs
s♠t♦♥s ❯♥ s♠♣t♦♥ ♣r♦è♠ r♠♥t tsé ♥ ♣rtq ♦♥sst à s♦r q
♦ sté ♥ ♦♥tt ①t♦♥ t à étr ♥ ♦♥sér♥t q st r t q t♦t rst
♠ss r♦① st r t ① st ♣♣r♦ s ♦s s♦és ♥ ♠t q st
♣t t♥t q st sértr stté s ♦s s♦és stés à sr ①t♦♥
r♥trt stté t♦s s ♦s ♠ss r♦① ré tt r♥ s♠♣t♦♥ ét
♥ s ♦ t♦s s ♦s ♥ ♥trt♦♥ été ♠♦♥tré q♥ ♠ét♦ ♥s
ttértr ♥ ♣r♠t rés♦r ♣r♦è♠ ç♦♥ r♦rs
♣tr r♣r♥ ♣r♦è♠ ♦ s♦é sté ♥ ♥ té s♦trr♥ s
♣sst ré♠♥t ♦rs ①t♦♥ ♣♦r ♦ étt ♥t ♥t ①t♦♥ ♦ st
♣rs ♥s ♠ss r♦s t s ♦♥tr♥ts ♥ts ♣♣qés sr t♦ts ss s s♦♥t ♦♥♥s ♦rs
①t♦♥ ♥ ♦ ♥ ♦♥tt tr ①t♦♥ s èr ♣r♦rss♠♥t
sqà ♥♥t♦♥ t♦t s ♦♥tr♥ts q ② s♦♥t ♣♣qés ♣♣rt s ♠ét♦s ♦s
s♦és tsés sqà ♥♦s ♦rs ét♥t ♦ à étt ♥ ♥q♠♥t ♣r♦è♠ st ♦rs
♦ré♠♥t ♥étr♠♥é t ♦♥ ♦♣t s s♠♣t♦♥s s♣♣é♠♥trs ♦rts ♥♦r♠s sr q
étr♠♥t♦♥ ♠♦ ♠♦♠♥t ♣r s ♦♥sért♦♥s é♦♠étrqs ♥♦♥ ♣rs ♥ ♦♠♣t
r♦tt♦♥ ♣♦r tr♦r ♥ étt ♦♥tr♥ts q ér éqr ♦ ♦t♦s st
♥ étt ♣r♠ t♥t trs ♣♦sss q ♣♥t érr éqr ♦ ♠s ♥ ♦rrs♣♦♥
♣s ♦ré♠♥t ♥ à r s♦t♦♥ ♣r♦è♠ ♣♦sé ♥ à étt ♣s ♣ss♠st
st t♠♣s ♦rs r♦♥sérr ♣r♦è♠ ♦ s♦é ♥ r♣r♦s♥t s♦♥ st♦rq
r♠♥t ♥tr étt ♥t t étt ♥ ♥ s♥t ♥tr♥r ♦ ♦♠♣♦rt♠♥t s ♦♥ts
Page 66
P
t s éqt♦♥s éqr é♦t♦♥ s ♦rts sr s s ♦ ♣t êtr s ♥tr s ①
étts ♠ét♦ é♦♣♣é s♣♣r♦ ♠ét♦ ①t♦♥ ♥ q ♦♠♣♦rt♠♥t s
♦♥ts st s♦té ♣♦r r①r s ♦♥tr♥ts ♥ s s s à ér♥ tt
♠ét♦ ♥st ♣s ♥q♠♥t ♣♦s q ♥tr♥t ♣♦r s♦tr ♠♦♠♥t ♦ ♠s
ért♦♥ s ♦♥tr♥ts ♥ ①t♦♥
♣tr t ♣rés♥t ♥ ♥♦ ♠♦è ♥♠érq q ♦♣t ♣♣r♦ s ♦s s♦és
ç♦♥ ①t s ss ♠tt♦♥s ♠♦è s♦♥t s s ②♣♦tèss ♥ts rts
à ♣♣r♦ s ♦s s♦és à s♦r ♦ été st ♥é♦r♠ ♦♥ t♦t rt♦♥ s
♦♥tr♥ts s t ♥ s ♦♥ts t s trs ♦s t♦r ♦r♠♥t ♥ t♦t q st ①
Pr rs à ér♥ s ♠♦ès ♦s s♦és ①st♥ts ♥♦ ♠♦è ♣r♥ ♥
♦♠♣t t♦s s ♣r♠ètrs s♥ts ç♦♥ s♠t♥é
• s ♦♥tr♥ts ♥ st
• ♠♦♠♥t ♦ ♥ ♦r♣s s♦ tr♥st♦♥ t r♦tt♦♥ s♠t♥és
• ♦♠♣♦rt♠♥t ♠é♥q s ♦♥ts
• é♦♠étr tr♠♥s♦♥♥ ♦ ♣♦②èr ♥ ♥♦♠r q♦♥q s
♦s ♦♠♠♥ç♦♥s ♣r ♣rés♥tr ♠♦è t s éqt♦♥s ♥éssrs ♣♦r é♦♣♣r s②stè♠ à
rés♦r éqr s ♦rs t ♠♦♠♥ts ♠♦♠♥t ♦r♣s s♦ éqt♦♥s ♥érs ♦♠♣♦r
t♠♥t s ♦♥ts ♥ ♦tt à ♥ s②stè♠ ♥ér ♦ù s ss ♥♦♥♥s s♦♥t s trs tr♥st♦♥
t r♦tt♦♥ ♦ ♦s ♠♦♥tr♦♥s q st ♣♦ss étr t♦t ♦r♠ é♦♠étrq tr♠♥s♦♥
♥ ♦ tt ♣♣r♦ s ér♥ts rtèrs stté s♦♥t ♥st stés ♠♦è
st é ♥ ♥ ♦♠♣r♥t s réstts ♥ ♥ é♠♥ts ♥s ❯♥ ét ♥②
tq ♥ ♣♦r ♥ ♦ s②♠étrq t♦t ♣r♠t ♠① ♦♠♣r♥r ♥♥ s ér♥ts
♣r♠ètrs ♦♥tr♥ts ♥ts rtés s ♦♥ts ♥ s♦♠♠t ♦ t r rss♦rtr
ér♥ s trs ♣♣r♦s ♦s s♦és ♥♠♥t ♣srs ♣♣t♦♥s ♦s ♥
s♦♥t ♣rés♥tés st ♥②sr stté à ér♥ts ♣♦st♦♥s t♦r ①t♦♥ t
r ♥ ét ♣r♠étrq s ♦♠♣rs♦♥s s réstts ♠ét♦s ♦♥♥t♦♥♥s
♦s s♦és ♠♦♥tr♥t q s ♥ s♦♥t ♣s s②sté♠tq♠♥t ♦♥srts
é♦♣♣♠♥t ♥♦ ♠♦è
r str ♣r♥♣ ♥♦ ♠♦è ♦ é♦ étt ♥t à étt
♥ ♣r ér♠♥t ♥ ♦ ♣srs ss s st ♣r♥♣ q st ♦♣té ♣♦r
s ♦♥tr♥ts t♦r s tés s♦trr♥s ♥②tq♠♥t ♦ ♥♠érq♠♥t ♦rsq
♦♠♣♦rt♠♥t ♠ss r♦① t s ♦♥ts st ♥ér ♦♥ ♣t r ♥ ér♠♥t sr
①t♦♥ ♥ ♥ s ♦s ♠s ♦rsq ♦♠♣♦rt♠♥t st ♥♦♥ ♥ér ér♠♥t ♦t
êtr t ♥ ♣srs ♣s ♣r♥♣ ♥st é♠♠♥t ♣s ♥♦ ♠s s♦♥ ♣♣t♦♥ ♣♦r
ét ♥ ♦ ♥ r sté sr sr ①t♦♥ ♣♣r♦ s ♦s s♦és ♥
♠s été ♦ré ♣r♥t é♦r♠té ♠tr r♦s ♥st ♣s ♣rs ♥ ♦♠♣t
♥s ♦t s ♣ss ♦rs ♥ s ♦♥ts é♠t♥t ♦ s ♠ts é♦♠étrqs
♠♦è ♦ï♥♥t ♦♥ s s ♦ été t ♠ss r♦s st r♠♣é ♣r
s ♦♥tr♥ts ss♥t sr s s ♦ ♥s ♠♦è ért ♥s ♣tr ♦♠♣♦rt♠♥t
s ♦♥ts ♦♣té st ♥ér ♣ss étt ♥t s ♦♥tr♥ts à étt ♥ t ♥tr♥r
s éqt♦♥s s♥ts s éqt♦♥s éqr à étt ♥t t ♥ s éqt♦♥s ♠♦♠♥t
♦r♣s s♦ ♦ s éqt♦♥s ♦♠♣♦rt♠♥t ♥♦r♠ t t♥♥t ♥érs s ♦♥ts ♦s
és♥r♦♥s ♣r ♥♦ ♠♦è ♥ ♦ s♦é é♦♣♣é ♥s ♣tr
Page 67
é♦♣♣♠♥t ♥♦ ♠♦è
s♥t q ♣rs ♥ ♦♠♣t ♥ ♦♠♣♦rt♠♥t ♥♦♥ ♥ér ♣s rést sr ♦ré ♣tr
s♥t ♦♥♥t r♣♣r q é♠r q ♦♥sst à ♥ rt♥r q ♣rt ♥ér
♦♠♣♦rt♠♥t st ssq ♥s r ést♦♣stté ♦♥sst à ♠ttr q strtr
s ♥ tr♥s♦r♠t♦♥ rérs éstq qtt à érr ♣♦str♦r té ②♣♦tès
♥ ♥②s♥t s réstts ♦t♥s s rtèrs ♠♦è ♥♦♥ ♥ér
0σ
0F
0M
σ
U
W
Etat initial Etat final
r é♠tst♦♥ ♣r♥♣ ♠ét♦
qt♦♥s éqr
♥ ♦♥sèr ♥ ♦ sté sr sr ♥ ①t♦♥ s♦trr♥ t ♦♣♥t ♥ ♦♠ ♥
♥s s♣ tr♠♥s♦♥♥ ♦ st é♠té ♣r ♥ r♦♥tèr ∂Ω = ΣL +ΣJ ♦ù
• ΣJ és♥ s s♦♥t♥tés ♦r♠♥t s srs ♦rrs♣♦♥♥ts ① ♦♥ts
• ΣL és♥ r♦♥tèr ♥ ♦♥tt ①t♦♥ tr♠♥t t ♥s♠ s s rs
♦
♦s és♥♦♥s ss ♣r sr r ♥s♠ s s ♦ ♥ ♦♥tt réé
♥s ♠ss r♦①
♥t rs♠♥t s♦trr♥ ♥♦s s♣♣♦s♦♥s q étt s ♦♥tr♥ts σ0 ♥s trr♥
st ♦♥♥ ♦ st ♥ éqr s♦s t♦♥ ♦♥tr♥ts srqs σ0 ~n ré♣rts sr t♦t
r♦♥tèr ∂Ω t ♦rs ♦♠qs rté é♥s ♥s Ω éqt♦♥ r♣rés♥t éqt♦♥
éqr ♦ à étt ♥t
ˆ
∂Ω
σ0 ~n dS + ~fv = ~0
♦ù ♥ t♦t ♣♦♥t ~x
~n st tr ♥tr ♥♦r♠ à sr ♦ ∂Ω ré rs ①térr ♦ Ω
σ0 st t♥sr s ♦♥tr♥ts ♥ts ♥t rs♠♥t s♦trr♥ ~fv´
Ω
− ~∇σ0 dV st tr s ♦rs ♦♠qs
♣ss étt ♥t à étt ♥ s t ♥ ç♦♥ ♠♦♥♦t♦♥ ♣r ér♠♥t ♣r♦rss
r ♦♠♠ ♣r♦è♠ st ♥ér ♥♦s ♣♦♦♥s ♦♥sérr éqr ♥ rt♠♥t
s♥s ♦r ♣ssr ♣r s étts éqr ♥tr♠érs ♥ t ♦♠♠ ♥♦s rr♦♥s ♣tr
s♥t ér♠♥t ♣r♦rss st ♠♦ésé ♥ ♣♣q♥t sr sr r (1− λ)σ0 ~n ♦ù λ
st ♥ sr q r à Pr ♦♥séq♥t ♥s s♣ s ♦♥tr♥ts σ ~n ♥ t♦t ♣♦♥t s
Page 68
P
♦♥ts ♥s s ♦♠♣♦rt♠♥t ♥ér ♦♥ ♦t♥t ♥ s♠♥t r♦t ♦♥t ♦r♥ σ0 ~n étt
♥t st ♦ré♠♥t ♥s ♦♠♥ éstq t ♦♥t ①tré♠té st σ ~n étt ♥ λ = 1 ♦♠♠
♦♠♥ éstq st ♦♥① s ♦♥t♥t σ ~n ♦rs t♦t trt r st éstq
♣rès rs♠♥t à étt ♥ r♦♥tèr ΣL ♥t r t s ♦rs srqs q ② s♦♥t
♣♣qés s♥♥♥t Pr rs s ♦rs ♦♠qs rst♥t ♥rs P♦r ♠♥t♥r éqr
♦ s ♦rs srqs ♥ r♦♥tèr ΣJ sss♥t ♥ rt♦♥ ∆~σ ♥ ♣s
♣rès rs♠♥t ♥ ♣rss♦♥ s♦tè♥♠♥t ps ps st ♣♣qé sr sr r t ♥
♣rss♦♥ pf pf > 0) s①r sr sr s s♦♥t♥tés éqr ♦ à étt
♥ ♣t êtr ①♣r♠é ♣r éqt♦♥
ˆ
ΣJ
(
σ0 ~n+∆~σ − pf ~n)
dS −ˆ
ΣL
ps ~n dS + ~fv = ~0
P♦r s♠♣r éqt♦♥ t ♥tért♦♥ ♥♠érq ♥♦s ♦♥s ♥térêt à ①♣r♠r ♥tér
srq sr t♦t r♦♥tèr ∂Ω P♦r ♦♥ ♥tr♦t s ♦♥ts s♥ts
• q = 0 t p = pf s ~x ∈ ΣJ
• q = 1 t p = ps s ~x ∈ ΣL
♣s ♦♥ ♣♦s ~σ = ~0 ♥ sr r ♥ t ~σ st ♥ ♦♥t♦♥ ♥ér s
rtés q sr♦♥t érés ♥s ♥ sr r
♥ s♦strt s ① éqt♦♥s éqr ♦r t ♣♦r ♦t♥r éqt♦♥
ˆ
∂Ω
(
∆~σ − q σ0 ~n− p~n)
dS = ~0
♥ ré♣ét♥t ♠ê♠ rs♦♥♥♠♥t ♣♦r éqr s ♠♦♠♥ts ♦♥ ♦t♥t éqt♦♥
ˆ
∂Ω
~x ∧(
∆~σ − q σ0 ~n− p~n)
dS = ~0
♥s s ① éqt♦♥s éqr ①♣r♠és ♥ tr♠s rt♦♥s s ♥♦♥♥ st
tr ~σ ♥ t♦t ♣♦♥t r♦♥tèr ♦♥tt ΣJ ❯♥ ♦s ~σ étr♠♥é s ♦♥tr♥ts ♥s
♥ t♦t ♣♦♥t ♦ ♣♥t êtr ♦♥♥s q ♣r♠ttr r stté ♦
♦s ♦♠♣♦rt♠♥t s ♦♥ts
♥s ♠♦è ♥♦s ♦♥sér♦♥s q ♦♥tt ♥ ΣJ st ré ♣r ♥ ♦ éstq
♥ér s ♦♥tr♥ts ♥♦r♠s t t♥♥ts ♥ ♥ ♣♦♥t ♦♥♥é ♦♥tt
r♥t ♥ér♠♥t ♣r r♣♣♦rt é♣♠♥t ♥♦r♠ t t♥♥t ♥ ♣♦♥t s♥t
s éqt♦♥s s♥ts
σn = σ0n −Kn ~u · ~n
~σt = ~σ0t −Kt (~u− (~u · ~n)~n)
♦ù ♣♦♥t ♦♥séré r♦♥tèr ΣJ
σn =(
σ ~n)
· ~n t ~σt = σ ~n − σn ~n és♥♥t rs♣t♠♥t ♦♥tr♥t ♥♦r♠ t tr
♦♥tr♥t t♥♥t à étt ♥
Page 69
é♦♣♣♠♥t ♥♦ ♠♦è
σ0n =(
σ0 ~n)
·~n t ~σ0t = σ0 ~n−σ0n ~n és♥♥t rs♣t♠♥t ♦♥tr♥t ♥♦r♠ t tr
♦♥tr♥t t♥♥t à étt ♥t
Kn t Kt és♥♥t s rtés ♥♦r♠ t t♥♥t ♦♥t
~u st tr é♣♠♥t rt ♦ ♣r r♣♣♦rt ♠ss r♦①
un = ~u · ~n st r♠tr ♦♥t
~ut = ~u− (~u · ~n)~n st é♣♠♥t ss♠♥t t♥♥t à ♦♥t
s ♦s ♦♠♣♦rt♠♥t ♥ ♦♥t ♦♥t ♥tr♥r é♣♠♥t ér♥t ♥tr s ① s
♣rt t tr ♦♥t ♥s s ♥♦tr ét ♦♠♠ r♦ t♦r ♦ st ♣r
②♣♦tès ① t r tr ~u st tr é♣♠♥t s♦ ♣♦♥t ♦♥séré
♦
♦t♦♥s q ♦rsq♥ ♣♦♥t ♦ sé♦♥ r♦ r♠tr ♦♥t ♥
♣♦♥t st t q un < 0 ♦♠♠ sé♠ts r ♣♦♥t ♥s s ♦♥tr♥t
♥♦r♠ ♠♥ ♥ r s♦ ♣r r♣♣♦rt à ♦♥tr♥t ♥♦r♠ ♥t ♦♥ ♦♠♣rss♦♥
♠♥ ♦rsq♥ ♣♦♥t s♣♣r♦ ♠ss r♦s ♣♦♥t r un > 0 t
♦♠♣rss♦♥ ♠♥t Pr rs tr ♥ré♠♥t ♦♥tr♥t t♥♥t ♥ ♥ ♣♦♥t
♦♥♥é (~σt − ~σ0t) st t♦♦rs rt♦♥ ♦♣♣♦sé é♣♠♥t t♥♥t ~ut ♥ ♣♦♥t
♥ ts♥t s éqt♦♥s ♦♠♣♦rt♠♥t ♦♥t t rt♦♥ s ♦♥tr♥ts ♥tr
étt ♥t t étt ♥ ~σ = (σn − σ0n)~n + (~σt − ~σ0t) ♥ t♦t ♣♦♥t ~x ♣t êtr ①♣r♠é ♣r
éqt♦♥
~σ = −H ~u ou H = Kt I + (Kn −Kt)~n⊗ ~n
t♥sr H st s②♠étrq(
H = HT)
t♥sr I st t♥sr ♥té ♦rrs♣♦♥♥t à ♠tr δij ♠tr × δij = 0 ♣♦r
i 6= j t δij = 1 ♣♦r i = j
t♥sr ~n⊗ ~n ♦rrs♣♦♥ à ♠tr s②♠étrq × ni nj
n1
un1<0
u1
un2>0
n2
u2U
W
ii xWUu
xi
J
L
r ♦♠♥t ♦r♣s s♦ t é♣♠♥t ♥ s ♦♥ts
♦♠♥t ♦ ♥ ♦r♣s s♦ tr♥st♦♥ t r♦tt♦♥
❱ s♦♥ rtèr r ♦ st ♥ ♠♦♠♥t tr♥st♦♥ t r♦tt♦♥ ♦♠♠ sé
♠ts r ♠♣ é♣♠♥t ♦ ♥tr s ① étts éqr st rtérsé
Page 70
P
♣r ① trs ~U t ~W ♦♥ ♥♦♥♥s srs ♥ ♥ ♦♥sér♥t q s ♣tts ♠♦♠♥ts
tr é♣♠♥t ~u (~x) ♥ ♣♦♥t ♦♥♥é ~x s①♣r♠ s♥t éqt♦♥
~u (~x) = ~U + ~W ∧ ~x
tr ~U st é♣♠♥t ♣♦♥t ♦r♥ ~x = ~0 q ♣t êtr ♦s ♦♠♠ ♥tr
♥rt ♦ ♦ t♦t tr ♣♦♥t ♣♣rt♥♥t ♦ tr ~W r♣rés♥t s r♦tt♦♥s
♦ ♥ r♥
♥ ♥tr♦t t♥sr r ♥ts②♠étrq r = −rT ) t q ♣♦r t♦t tr ~a r~a = ~a ∧ ~x
~x =[
x1 x2 x3
]T
♠tr ss♦é à r st
0 x3 −x2−x3 0 x1
x2 −x1 0
♥s rt♦♥ s ♦♥tr♥ts ~σ t rt♦♥ ♠♦♠♥t s ♦♥tr♥ts ~x ∧ ~σ ♥ t♦t
♣♦♥t ~x ♦ ♣♥t êtr ①♣r♠és ♥ ♦♥t♦♥ s ① trs ♥♦♥♥s ~U t ~W s♥t s
éqt♦♥s t
~σ = −H ~U −H r ~W
~x ∧~σ = −(
H r)T ~U − rTH r ~W
②stè♠ ♥ér
♥ r♠♣ç♥t s ①♣rss♦♥s ~σ éqt♦♥ t ~x∧~σ éqt♦♥ ♥s s éqt♦♥s
éqr éqt♦♥s t t s♥t q s trs ~U t ~W s♦♥t ♦♥st♥ts ♥é♣♥♥ts
~x ♦♥ ♦t♥t s②stè♠ éqt♦♥s t ♦ù s ss ♥♦♥♥s s♦♥t s ♦♠♣♦s♥ts
s trs é♣♠♥t ~U t ~W
ˆ
∂Ω
H dS ~U +
ˆ
∂Ω
H r dS ~W =
ˆ
∂Ω
(
−q σ0 ~n− p~n)
dS
ˆ
∂Ω
(
H r)TdS ~U +
ˆ
∂Ω
rT H r dS ~W =
ˆ
∂Ω
~x ∧(
−q σ0 ~n− p~n)
dS
P♦r s♠♣r értr s②stè♠ ♦♥ ♣♦s
A =
ˆ
∂Ω
H dS B =
ˆ
∂Ω
H r dS C =
ˆ
∂Ω
rTH r dS
~F0 =
ˆ
∂Ω
(
−q σ0 ~n− p~n)
dS et ~M0 =
ˆ
∂Ω
~x ∧(
−q σ0 ~n− p~n)
dS
♥s s②stè♠ ♥ér à rés♦r s rét ① éqt♦♥s t
A~U +B ~W = ~F0
BT ~U + C ~W = ~M0
Page 71
♥tért♦♥ ♥♠érq
st ♥ s②stè♠ ♥ér éqt♦♥s à ♥♦♥♥s q s♦♥t s ♦♠♣♦s♥ts srs ~U t ~W s②stè♠ ♣t ss sérr s♦s ♦r♠ s♥t
R
[
~U~W
]
=
[
~F0
~M0
]
R =
[
A B
BT C
]
é♠♦♥tr♦♥s qR st ♥ ♠tr ♥rs P♦r ♦♥sér♦♥s ♥ ♠♦♠♥t rt ~U⋆ ~W ⋆
t ♦♥s sr [
~U⋆ ~W ⋆]
R[
~U ~W]T
=´
∂Ω
(
~U⋆ ·H~U + ~U⋆ ·H r ~W + ~W ⋆ ·(
H r)T ~U + ~W ⋆ ·
(
rTH r)
~W)
dS
♥ ♦♥ ♥ ♦r♠ ♥ér s②♠étrq ♦♥ ♣t ♣r♠tr ❬~U⋆ ~W ⋆❪ t ❬~U ~W ❪ t q
♦rsq ~U⋆ = ~U t ~W ⋆ = ~W sr ♦t♥ st ♣♦st t ♥ s♥♥ q ♣♦r ~U = ~0 t~W = ~0 ♥ ♥ ét q R st s②♠étrq é♥ ♣♦st ♦♥ ♥rs t ♦r♠ qrtq
1
2
[
~U⋆ ~W ⋆]
R[
~U ~W]T
♥st tr q é♥r éstq
♦t♦♥s q♥ s♥ ♣rss♦♥s s♦tè♥♠♥t t ♣rss♦♥s s trs ~F0 t ~M0
s♦♥t rs♣t♠♥t s trs ♦♣♣♦sés ① rést♥ts s trs ♦rs t ♠♦♠♥ts ♣♣qés
♥ sr r ♥t ①t♦♥ ♦♠♠ sé♠ts r rt♦♥ r
♠♥t ♥s s②stè♠ ♥tr étt ♥t t étt ♥ st t♠♥t r♣rés♥té ♣r s♦strt♦♥
s ♦rs t ♠♦♠♥ts ss♥t ♥ s s rs ♦ à étt ♥t
♥tért♦♥ ♥♠érq
♣r♦è♠ st r♠♥é à ♥ s②stè♠ ♥ér ♦♥t ♦♥strt♦♥ ♥ésst ♥térs
srs ♣♦r q ♦♥ ♦♣t ♥ t♥q ♥♠érq ♣rtt♦♥♥♠♥t sr ♥ ♠♦r①
♦r♠ é♦♠étrq s♠♣ ♥ ♣t ♣r ①♠♣ tsr ♥ ♠ srq ♣r éé♠♥ts ♥s
♥tér ♥ ♦♥t♦♥ ♦♥♥é sr ♥ sr st r♠♣é ♣r s♦♠♠ s ♥térs sr
t♦s s éé♠♥ts sr s éé♠♥ts tsés ♥s ♠♦è é♦♣♣é ♣♦r ♣rtt♦♥♥♠♥t
é♦♠étr s♦♥t t②♣s ér♥ts
• tr♥ à ♦ ♥÷s ♣♦♥ts ss
• rt♥ à ♦ ♥÷s ♣♦♥ts ss
s ♦♥♥és sr ∂Ω s♦♥t r♠♣és ♣r ♦♥♥é s ♦♦r♦♥♥és t♦s s ♥÷s
♠ t ♠♥èr ♦♥t s ♥÷s s♦♥t ♦♥♥tés ♣♦r ♦r♠r s éé♠♥ts ♥s ♦♥t ♦♥ ♦r♥t
t②♣ s ér♥ts r♥rs ♣r♦è♠ σ0 ps Kn Kt s♦♥t é♥s ♥ s ♥÷s
q éé♠♥t ♥s q éé♠♥t ♥ ♦♥ ♥tr♣♦ s rs ♥♦s ♣♦r r ① ♣♦♥ts
ss s ♦♦r♦♥♥és tr ♥♦r♠ t s trs r♥rs ♥ ts♥t s ♦♥t♦♥s ♦r♠
♦♥♥s ♣♦r q t②♣ éé♠♥t ♥tér ♥ ♦♥t♦♥ ♦♥♥é sr ♥ éé♠♥t
st t ♣r ♥ s♦♠♠t♦♥ sr s ♣♦♥ts ss t éé♠♥t ♥ ts♥t s ♣♦s ss
♣♦s ss st ♣r♦t ♣♦s ss wj éé♠♥t rét t ♦♥ J
tr♥s♦r♠t♦♥ ♥tr s ♦♦r♦♥♥és réts t s ♦♦r♦♥♥és rs P♦r q éé♠♥t rét
s ♦♦r♦♥♥és réts s ♣♦♥ts t s ♣♦s s♦♥t ♦♥♥s s♥t t②♣ éé♠♥t t ♥♦♠r
♣♦♥ts ss ♥s ♥tér ♥ ♦♥t♦♥ ϕ (x) sr ♥ sr S ♣rtt♦♥♥é ♥ ♣srs
Page 72
P
éé♠♥ts s ♣r ♥ s♦♠♠t♦♥ sr t♦s s ♣♦♥ts ss s éé♠♥ts sr ♦♠♠
st
ˆ
S
ϕ (x) dS =∑
J wj ϕ (~xj)
ϕ (~xj) r ♦♥t♦♥ ♣♦♥t ss ♦♦r♦♥♥é ~xj
Ps éts sr ♥tért♦♥ ♥♠érq s ♦♥t♦♥s ♥tr♣♦t♦♥ t s rs s ♣♦s
ss s♥t s éé♠♥ts s♦♥t ♣rés♥tés ♥s ♥♥①
♣r♦è♠ ét♥t ♥ér ♥st ♣s ♥éssr ♦r ♥ ♠ ♥ t ♠ ♥s
s ét♥t s♠♥t ♣r♠ttr ♥♠érq Pr rs ♦♥ ♣t tsr s éé♠♥ts
t②♣s ér♥ts ♣♦r é♥r é♦♠étr ♥ ♦ t ♠ ♥st ♣s ♦♥tr♥t à sr s
♦s ♦ér♥ ♥ ♠ ssq ♥♦r♠♠♥t tsé ♥s ♠ét♦ s é♠♥ts ♥s
♦t ♦ ♥ ♥♦♠r n s ♣♦②♦♥s ♣t êtr été st st ♣rtt♦♥♥r
s srs ♥ s éé♠♥ts ♣♣r♦♣rés ♣♦r é♥r s é♦♠étr s srs ♦rs ♣♥t êtr
é♥s t é♠♥t s ♦s ♦r♠s ♥♦♥ ♦♥①s r r♣rés♥t s ①♠♣s
♦r♠s é♦♠étrqs ♦s ♣♦♥t êtr étés ♠♦è
r ①♠♣s ♦r♠s é♦♠étrqs ♦s q ♣t trtr ♦♣♦②érq t ♦ à ♦r
♥tt♦♥ stté
❯♥ ♦s s②stè♠ ♥ér rés♦ st ♣♦ss ér tr é♣♠♥t ~u ♥ t♦t ♣♦♥t
♦ ♥ ts♥t éqt♦♥ é♣♠♥t ♦r♣s s♦ éqt♦♥ ♥s ♦ é♦♣♣é
s é♣♠♥ts s♦♥t és ① ♣♦♥ts ss t ss é♥t♠♥t ① ♥÷s Pr st
♦♥tr♥t ♥♦r♠ σn t tr ♦♥tr♥t t♥♥t ~σt s♦♥t éts ♥ ts♥t s ♦s
♦♠♣♦rt♠♥t ♦♥t éqt♦♥s t s ♦♥tr♥ts ♥s ér♥t éqr ♦ ♥
♦rs t ♥ ♠♦♠♥ts s s♦♥t sttq♠♥t t ♥é♠tq♠♥t ♠sss ét♦♥
stté ♣r♠t tr♦r s éqr ♥ st ♥ éqr ♣stq♠♥t ♠ss tr♠♥t
t ♦♥ st r♠♥é à érr s t♦s s ♣♦♥ts ♣♣rt♥♥t ♦ ér♥t s rtèrs stté
s♥ts
• ♦♥tr♥t ♥♦r♠ σn ér rtèr ♥♦♥ é♦♠♥t ♥ s♣♣♦s q résst♥ s
♦♥ts r♦① à trt♦♥ st ♥ tt ♦♥t♦♥ s trt ♣r t q σn ♦t êtr ♥
♦♥tr♥t ♥♦r♠ ♦♠♣rss♦♥ σn < 0
• s ♦♥tr♥ts σn ~σt s♦♥t ♦♠♣ts rtèr ♥♦♥ ss♠♥t rrérs rtèr
♣stté ♦♣té ♥s ♠♦è st rtèr ♦r♦♦♠ ♦♥t♦♥ r
Page 73
♥tt♦♥ stté
♦rrs♣♦♥♥t st
F (~σ) = ‖~σt‖+ σn tanφ− c
♦ù c st ♦és♦♥ t φ ♥ r♦tt♠♥t ♦♥t
❯♥ r F < 0 s♥ q ♣♦♥t ♦♥séré st ♥ éstté t♦s s ♣♦♥ts s♦♥t à ♥térr
sr r ♥♦s ♣♦♦♥s ♦♥r q ♦ st ♥s ♥ étt éqr st
❯♥ r F = 0 s♥ q rtèr st tt♥t
❯♥ r F > 0 ♥①st ♣s ♥ rété ♣sq r ♦♥tr♥t t♥♥t ♥ ♣t
♣s é♣ssr ♠t (−σn tanφ+ c) ♠ê♠ ♥ r σn > 0 ♥st ♣s ♣♦ss ♥ rété r
résst♥ à trt♦♥ st ♥
♣♦ssté ♦t♥r ts rs à ♥ ♠♦è ♥t t
q ♥♦s s♣♣♦s♦♥s q ♦ ♣ss ♣r s étts éqr r♥t ♣r♦sss rs♠♥t s♥s
é♦♠♥t ♥ ss♠♥t rrérs ♥ ♥ ♣♦♥t ♦ té s ②♣♦tèss ♥ sr
éré q♣rès ♦♣ ♥s ♣ss étt ♥t à étt ♥ s t ♣r ♥ tr♥s♦r♠t♦♥
rérs rtérsé ♣r ♥ ♦ ♦♠♣♦rt♠♥t s ♦♥ts ♦♥♥ ♦t♦♥s q ♥s tt ♦r♠
t♦♥ ♥♦s ♦♥s tsé ♥ ♦ ♦♠♣♦rt♠♥t ♥♦r♠ ♥ér ♠s r♥ ♥♠♣ê tst♦♥
♥ ♦ ♥♦♥ ♥ér ②♣r♦q rérsté ♥t t q r♥t ♣r♦sss ér
♠♥t s ♦♥tr♥ts ♥ sss♥t ♣s ♠♦t♦♥ ç♦♥ à érr rtèr ♣stté ♦
rtèr é♦♠♥t à ♥ ♥♦s ér♦♥s q t♦ts s ♦♥tr♥ts s♦♥t ♠sss
♥♦s ♣♦♦♥s ♠ttr q ♣r♦sss rérs st ♦♥ t q éqr ♦ st
st s s ♥♦s rtr♦♦♥s F > 0 ♦ σn > 0 ♥ ♥ ♣♦♥t ♦♥♥é ♠♦♥s s♥ q
s ♦♥tr♥ts és ♥ r♣rés♥t♥t ♣s r étt s ♦♥tr♥ts ♦s ♣♦♦♥s ♦rs ér
rtt q rtèr été tt♥t ♥ ♣♦♥t ♥t ♥ ér♠♥t sr
r ♦ st ♦rs éré ♥st t ♣♣t♦♥ ♥ s♦tè♥♠♥t st ♥éssr ♠♥t
st ♦♥srtr r s ♥ s ♣♦♥t ♣sté ♥ s♥ ♣s ♥éssr♠♥t q ♦ s
étr ♠ss r♦①
ét♦♥ étt stté ♦ q♥tt♦♥ stté ♣t s r ♣r ér♥ts
♠♦②♥s ♥ ♥ r♦tt♠♥t rtq ♣♦r ♥ ♦és♦♥ ♦♥♥é ♥ tr
sérté ♥ t① ér♠♥t rtq sr r ♦ ♣rss♦♥
s♦tè♥♠♥t à ♣♣qr ♥ sr r
♦t♦♥s q s rs rtèrs ♦ ♠ét♦s q♥tt♦♥ stté s♦♥t ♦r st
sr ré♣♦♥s à qst♦♥ st ♦ ♥st ♠s ♣s sr ré tt stté ♦ tt
♥stté ♥s rtèr ♥ r♦tt♠♥t rtq ♥ q t tr σn, ‖~σt‖ ① s σn ♣t ♣rés♥tr ♥ ♠①♠♠ ♥ ♥ ♣♦♥t q ♥st ♣s ♣rss♦♥ ♠♥♠
s♦tè♥♠♥t ♦ t① ér♠♥t rtq
♥ r♦tt♠♥t rtq
♥ és♥ ♣r φmin ♥ ♥ ♣♦♥t ♦♥♥é ΣJ ♥ r♦tt♠♥t ♠♥♠ ♥éssr ♣♦r
rs♣tr rtèr ♦r♦♦♠ ♥ ♣♦♥t à étt ♥ à ♦♥t♦♥ ♥ ♣s ♦r trt♦♥
t ♥ s♣♣♦s♥t q ♦és♦♥ s ♦♥ts st ♥ t ♥ st é ♥ t♦s s ♣♦♥ts ss
j ♦ ♦♥t ♥♦♠r st nG ♦♠♠ st
φmin(j) = arctan
(‖~σt‖−σn
)
s σn < 0
Page 74
P
φmin(j) =Π
2s σn ≥ 0 t ‖~σt‖ > 0
φmin(j) = 0 s σn = 0 t ‖~σt‖ = 0
r ♠①♠ st ♦s ♦♠♠ r ♣s rtq t srt à ér stté
♦
φmin = max (φmin (j)) j = 1 , nG
Ps φmin ♠♥t ♣s ♦ st ♦♥séré êtr ♥st ♥ r♦tt♠♥t ré φr st t
q φr > φmin ♦rs ♦ st st ♥ s trt♦♥ ♥ ♥ r♦tt♠♥t éé ♥ ♣t ♣s
♥tr♥r ♣♦r stsr ♦ st ♣♦r tt rs♦♥ q ♥♦s ♦♥s ♣♦sé φmin = Π
2♥s s
tr sérté
tr sérté ♥ ♣♦♥t ♦♥♥é ΣJ st r♣♣♦rt ♦♥tr♥t t♥♥t
♣stt♦♥ sr ♦♥tr♥t t♥♥t t é ♥ ♣♦♥t st é ♥ t♦s s
♣♦♥ts ss s♥t s ①♣rss♦♥ s♥ts
(j) =−σn tanφ+ c
‖σt‖s σn ≤ 0
(j) = 0 s σn > 0
tr sérté ♦ st r ♠♥♠ é
= min((j)) j = 1 , nG
❯♥ tr sérté s♣érr à s♥ q rtèr ♥st ♣s tt♥t à étt ♥ t ♦♥
♦ st st s♥s s♦tè♥♠♥t ♥s s ♦ù ♥ é♦♠♥t ♣♣rt♦♥ trt♦♥
tr sérté st s♣♣♦sé êtr ♥ ♣sq ♥s s ♥ ♦r résst♥t r♦tt♠♥t ♥
♣t ♥tr♥r ♣♦r stsr ♦
♥ t① é♦♥♥♠♥t rtq
étt ♥t ♥t ①t♦♥ s ♦♥tr♥ts ~σ0 s♦♥t ♣♣qés sr tr sr r ΣL
♦ ♣rès ①t♦♥ s ♦♥tr♥ts ♥♥♥t ♥s ♦s s♣♣♦s♦♥s q r♥t ♥♠♥t
♦r é♦♥♥♠♥t sr r ♣r♦rss♠♥t ç♦♥ ♠♦♥♦t♦♥ ♥s
♥♦s ♣♦♦♥s ①♣r♠r ♦♥tr♥t ♣♣qé sr sr r ♣r ~σ = (1− λ)~σ0 ♦♥t λ
r♣rés♥t t① é♦♥♥♠♥t t r ♥tr λ = 0 à étt ♥t t λ = 1 à étt ♥
r sr ΣJ s ♦♥tr♥ts r♥t ♥tr ~σ0 à étt ♥t ♣♦r λ = 0 t ~σ à étt ♥
♣♦r λ = 1 ♦♠♠ ♦♠♣♦rt♠♥t s ♦♥ts ♥s ♠♦è st ♥ér tt rt♦♥
st ♥ér ♥ ♦♥t♦♥ t① é♦♥♥♠♥t ♦ù ①♣rss♦♥ ♦♥tr♥t ~σλ ♦rrs♣♦♥♥t
à ♥ t① é♦♥♥♠♥t λ ~σλ = ~σ0 + λ (~σ − ~σ0)
♦s ♣♦♦♥s ♦rs r ♥tr s rs λ s♦rt q ♦♥tr♥t ♦rrs♣♦♥♥t
ér rtèr ♣stté ♥ s♥ ♦és♦♥ rtèr ♦r♦♦♠ rt à ~σλ
s①♣r♠ ç♦♥ s♥t
Page 75
♥tt♦♥ stté
‖~σλ‖+~σλ · ~ncosφ
≤ 0
♦♠♠ st ♥ ♥éqt♦♥ s♦♥ ré ♥♦s ♣♦♦♥s r ♥ t♦t ♣♦♥t ①
♠ts ♥tr s s♦t♦♥s λ1 < λ2 Psq ~σ0 ♦rrs♣♦♥♥t à λ = 0 ér ♦t♦r♠♥t
rtèr ♣r ②♣♦tès ♥♦s ♦♥s λ1 < 0 < λ2 Pr rs λ2 st é♦♥♥♠♥t ♠①♠ ♣♦r
q ♦ rst st P♦r r stté ♦ r ♠♥♠ ♣♦st λcrit st
é
λcrit = min(λ2(j)) j = 1 , nG
λcrit ≤ 1 ♦ st ♥st rtèr stté st tt♥t ♥t ér♠♥t t♦t
r ♦rrs♣♦♥♥t à λ = 1 r (1− λcrit) ♣t srr ♦♠♠ ré ♥stté
λcrit > 1 ♦ st ♥♦r st ♣rès ér♠♥t t♦t sr r r
(λcrit − 1) st ♦rs ♥ résr stté
Prss♦♥ s♦tè♥♠♥t
rtèr ♣stté st é♣ssé ♥ ♥ ♣♦♥t ♦♥♥é ♦ s ♥ ét♠♥t ♣♣rt♦♥
trt♦♥ ♥ s♦tè♥♠♥t st ♥éssr ♣♦r ssrr stté ♦ st ♣♦ss r
♣rss♦♥ s♦tè♥♠♥t ♠♥♠ ♥éssr ♣♦r rs♣tr rtèr ♥ t♦t ♣♦♥t ♦ tt
♥♦t♦♥ st ♣s s♥t ♣♦r ♥ ♥é♥r q ♥♦t♦♥ tr sérté
♣♣t♦♥ ♥ ♣rss♦♥ s♦tè♥♠♥t ps ♥♦r♠ sr sr r ♦ ré ♥
t♦t ♣♦♥t r♦♥tèr ΣJ ♦ ♥ ♥ré♠♥t ♦♥tr♥ts s ♦♥ts s♣♣♦sés ♦r ♥
♦♠♣♦rt♠♥t éstq s♦♥t s♦tés ♣r ♣♣t♦♥ tt ♣rss♦♥
Prtq♠♥t ♥s ♦ ♣r♦ér s♥t st ♦♣té ♣♦r ♣r♠ttr
tt ♣rss♦♥
♥ ♣♣q ♥ ♣rss♦♥ s♦tè♥♠♥t ♥tr ps = 1 ♥ ♣r♦ r ΣL ♦
♥ ♦♥sér♥t q st s s♦tt♦♥ ①térr t ♥ s♣♣♦s♥t s ♦♥tr♥ts ♥ts ♥s
tr ♦♥tr♥t ~σ1 sé ♣r tt ♥q s♦tt♦♥ st é ♥ t♦t ♣♦♥t r♦♥tèr
ΣJ ♦ ♥ ts♥t s éqt♦♥s éqr t s éqt♦♥s ♦♠♣♦rt♠♥t s ♦♥ts ♥s
s②stè♠ éqr à rés♦r ♠tr rté R st ♠ê♠ q ①♣r♠é ♥s éqt♦♥
s trs s♦♥ ♠♠r s♦♥t és ♣rès éqt♦♥ ♥ ♣♦s♥t p = 0 sr ΣJ
p = 1 sr ΣL t ♥ s♣♣♦s♥t s ♦♥tr♥ts ♥ts ♥s ♥ és♥ ♣r ~F01 t ~M01 s trs
s s♦♥t ①♣r♠és ♦♠♠ st
~F01 =
ˆ
ΣL
−~n dS t ~M01 =
ˆ
ΣL
−~x ∧ ~n dS
s②stè♠ à rés♦r st ♦♥
R
[
~U1
~W1
]
=
[
~F01
~M01
]
♣rès rés♦t♦♥ s②stè♠ tr ♦♥tr♥t ~σ1 ♥ t♦t ♣♦♥t ΣJ st é ♥ s réér♥t
à éqt♦♥ ♣r ~σ1 = −H ~U1 −H r ~W1
s ♥érté ♣♣t♦♥ ♥ ♣rss♦♥ s♦tè♥♠♥t ps ♥♦r♠ sr ♣r♦ r
♦ s ♥ ♥ré♠♥t ♦♥tr♥ts ps ~σ1 ♥ ♥ ♣♦♥t ♦♥♥é ΣJ ♥ ♣♦♥t
Page 76
P
~σ st ♦♥tr♥t é à étt ♥ ♣rès ①t♦♥ ♦♥tr♥t ~σp ♣rès ♣♣t♦♥
♣rss♦♥ s♦tè♥♠♥t st ♦t♥ ♣r ♦♠♥s♦♥ ♥ér s ① réstts s♥t ①♣rss♦♥
s♥t ~σp = ~σ + ps ~σ1
♥♦♥♥ ps ♦t érr rtèr ♣stté ♦♣té ♥s s rtèr ♦r♦♦♠
s♥s ♦és♦♥ ♥éqt♦♥ ♦rrs♣♦♥♥t st
‖~σp‖+~σp · ~ncosφ
≤ 0
rés♦t♦♥ tt ♥éqt♦♥ ♦♥♥ ♥ ♥tr s♦t♦♥s ❯♥ r ♣♦st ps s♥
q♥ ♣rss♦♥ ♦♠♣rss♦♥ st ♥éssr ♣♦r stsr ♣♦♥t ♦♥séré ♦ ❯♥ r
♥ét s♥ q♥ trt♦♥ r ⑤ps⑤ st ♠♥é s ♦♥ t éstsr
p1 t p2 s♦♥t s rs rés s ♥trs ♣♦sss s♦t♦♥s s♦♥t
• ]−∞ , p2] s♥ q ♦♥ ♣t ♠♣♦sr ♥ trt♦♥ sqà ♥ r p2 sr ♦ s♥s rsq
éstsr ♣♦♥t été
• [p1 , +∞[ s♥ q t ♣♣qr ♥ ♣rss♦♥ s♦tè♥♠♥t p1 ♣♦r ♦r stté t
q ♥② ♣s ♠t s♣érr ♣♦r tt ♣rss♦♥
• [p1 , p2] s♥ q p ♦t êtr ♠té ♥tr rs ♣♣t♦♥ ♥ ♣rss♦♥ s♦tè♥
♠♥t ♣s éé q p2 rsq rér ♥ ss♠♥t rrérs rs ♥térr ♠ss
r♦s
• ❯♥ ♥tr s♥ q étt ♣♦♥t ♦♥séré st ♥♠ss qq s♦t ♣rss♦♥
♦♠♣rss♦♥ ♦ trt♦♥ q ♦♥ ♣t ♣♣qr sr ♦
♥éqt♦♥ st rés♦ ♥ t♦s s ♣♦♥ts ss j s srs ♥ ♦♥tt ♠ss
r♦s s ♣rss♦♥s ♠♥♠ t ♠①♠ ♦♣tés ♣♦r ♥ ♦ ♦♥♥é s♦♥t
psmin = max (p1 (j)) t psmax = min (p2 (j)) j = 1 , nG
♦t♦♥s s♥t♦♥ s rs ♥♥s s ♣rss♦♥s
• psmin = +∞ s♥ q ♦ rstr ♥st qq s♦t ♣rss♦♥ s♦tè♥♠♥t ♥♦r
♠é♠♥t ré♣rt sr s sr r
• psmin = −∞ s♥ q ♦ st st t ♠ê♠ ♣♣t♦♥ ♥ trt♦♥ ♥♥ sr s
sr r ♥ ♣s éstsr
♥♥ st ♠♣♦rt♥t r♠rqr q♥ é♥ér ♦rt s♦tè♥♠♥t st ♠♦sé ♥ ♦♥t♦♥
♠♦♠♥t ♦ tt ♣♣r♦ ♥st ♣s s ♥♦s ♦♥sér♦♥s q ♣rss♦♥
s♦tè♥♠♥t st ♥é♣♥♥t é♣♠♥t ♦ rtèr stté ♦t ♦rs êtr tsé
♣r♥ ♥s ♣tr s♥t ♥♦s ♠♦♥trr♦♥s q tst♦♥ ♠ét♦ ♦♥r♥
♦♥♥♠♥t ♥ ♣rss♦♥ s♦tè♥♠♥t à éqr st ♥ ♣♣r♦ ♣s ♣rt♥♥t
t ♥②tq s ♣r♠ètrs
♦s é♦♣♣♦♥s ♥②tq♠♥t ♥♥ s rtés s ♦♥ts t ♣r♠ètr K0 r♣♣♦rt
♥tr ♦♥tr♥ts ♦r③♦♥ts t rts à étt ♥t sr s ♦♥tr♥ts ♣rès ①t♦♥ t sr
é♣♠♥t ♦ ♦s ♠♦♥tr♦♥s q s ♦♥tr♥ts é♣♥♥t r♣♣♦rt s rtés Kn/Kt
t s♦♥t ♥érs ♥ ♦♥t♦♥ K0 Pr rs s ♠♣ts é♣♠♥t t r♦tt♦♥ ♦
s♦♥t r♦ss♥ts ♥ ♦♥t♦♥ rté Kn ♦ Kt sr r ♦ st ♦r③♦♥t s
é♣♠♥ts ♦ ♥s q s rt♦♥s ♦♥tr♥ts s♦♥t ♥é♣♥♥ts K0
Page 77
t ♥②tq s ♣r♠ètrs
t r♣♣♦rt s rtés Kn/Kt
t tt ét st é♠♦♥trr q s ♦♥tr♥ts ♥s sr s s ♦♥tt ♦
é♣♥♥t ♥q♠♥t s r♣♣♦rts s rtés ♥♦r♠ t t♥♥t Kn/Kt t ♥♦♥ ♣s q
rté ♣rs ♥♠♥t
♥ s s♥t sr éqt♦♥ t s♥t q ~u = ~U + r ~W rt♦♥ s ♦♥tr♥ts ~σ ♣t
êtr ①♣r♠é ♣r
~σ = −Kt
(
Kn
Kt
Ln
(
~U, ~W)
+ Lt
(
~U, ~W)
)
Ln
(
~U, ~W)
= ~n⊗ ~n(
~U + r ~W)
Lt
(
~U, ~W)
=(
I − ~n⊗ ~n)
(
~U + r ~W)
♣rès s éqt♦♥s t ♠tr rté R é♣♥ s ♥térs srs
t♥sr H éqt♦♥ ♣t êtr ♦rs ①♣r♠é ç♦♥ s♥t
R = Kt R
R =Kn
Kt
Rn +Rt
♦ù Rn t Rt s♦♥t s ♠trs ♥é♣♥♥ts s rtés ♦♥t
①♣rss♦♥ s é♣♠♥ts s♦t♦♥ s②stè♠ ♥ér st ♦rs
[
~U~W
]
=R
−1
Kt
[
~F0
~M0
]
Pr ♦♥séq♥t ♥♦s ♣♦♦♥s érr
Ln
(
~U, ~W)
=1
Kt
Gn
(
~F0, ~M0,Kt
Kn
)
Lt
(
~U, ~W)
=1
Kt
Gt
(
~F0, ~M0,Kt
Kn
)
♥s rt♦♥ s ♦♥tr♥ts ~σ ♣t êtr ①♣r♠é ♣r
~σ = −(
Kn
Kt
Gn
(
~F0, ~M0,Kt
Kn
)
+Gt
(
~F0, ~M0,Kt
Kn
))
♦s és♦♥s ♦rs q ~σ é♣♥ ♥q♠♥t r♣♣♦rt Kn/Kt t ♥♦♥ ♣s s rtés ♣rss
♥♠♥t
t♦♥s t s rtés sr é♣♠♥t s♦t♦♥ ♣r♦è♠ ♦s ♣♦♦♥s érr
[
~U~W
]
=[
KnRn +KtRt
]
−1
[
~F0
~M0
]
Pr ♦♥séq♥t ♣♦r s ♠ê♠s ♦♥t♦♥s r♠♥t ♥ ♦ ♦♥♥é t ♠ê♠ r♣♣♦rt
Kn/Kt s ♠♣ts é♣♠♥t t r♦tt♦♥ s♦♥t s ♦♥t♦♥s r♦ss♥ts Kn ♦ Kt
Page 78
P
♦t♦♥s q ♦rr r♥r s rtés s ♦♥ts st ♣rés♥té ♥s ♥♥①
t ♣r♠ètr K0
♣r♠ètr K0 és♥ r♣♣♦rt ♥tr s ♦♥tr♥ts ♦r③♦♥ts t rts à étt ♥t
♥t ①t♦♥ ♦♥ ♦♥sèr r♣èr ( ~Ox, ~Oy, ~Oz) ① O~z rt♦♥ rt s
♦♠♣♦s♥ts ♦r③♦♥ts s ♦♥tr♥ts ♥ts s♦♥t σ0x = K0 σ0z t σ0y = K0 σ0z
é♠♦♥tr♦♥s q é♣♠♥t ♦ t s ♦♥tr♥ts ♥s sr s s ♦♥tt ♦
s♦♥t ♥érs ♥ ♦♥t♦♥ K0
♥ s♥ ♦r s♦tè♥♠♥t t ♥ s réér♥t à éqt♦♥ s trs s♦♥
♠♠r s②stè♠ ♥ér à rés♦r sér♥t ç♦♥ s♥t
~F0 =
ˆ
ΣL
(
−σ0 ~n)
dS et ~M0 =
ˆ
ΣL
~x ∧(
−σ0 ~n)
dS
é♦♣♣♠♥t s ①♣rss♦♥s ♥ ♦♥t♦♥ K0 ♦♥♥
~F0 =
K0 Fzx
K0 Fzy
Fzz
et ~M0 =
Myz −K0Mzy
Mxz −K0Mzx
K0 (Mxy −Myx)
Fzq = −ˆ
ΣL
σ0z nq dS et Mrq = −ˆ
ΣL
xr σ0z nq dS
♦ù nq st ♥ ♦♠♣♦s♥t tr ♥♦r♠ ~n (q = x, y, z) t xr st ♥ ♦♠♣♦s♥t tr
~x (r = x, y, z)
s é♣♠♥ts ♣♦♥t réér♥ ♦s ♦♠♠ ♥tr ♥rt ♦ st
♦♥♥é ♣r [
~U~W
]
= R−1
[
~F0
~M0
]
♠tr rté R ♥s q s♦♥ ♥rs R−1 s♦♥t ♥é♣♥♥ts K0 ♦♠♠ ♠♦♥tr♥t
s éqt♦♥s t ♦♠♠ s ♦♠♣♦s♥ts ~F0 t ~M0 s♦♥t ♥érs ♥ ♦♥t♦♥ K0 s
♦♠♣♦s♥ts tr é♣♠♥t ~U t r♦tt♦♥ ~W s♦♥t ss ♥érs ♥ ♦♥t♦♥ K0
♣rès s éqt♦♥s t ♥♦s ♣♦♦♥s ér q s ♦♠♣♦s♥ts é♣♠♥t
~u t s ♦♠♣♦s♥ts s ♦rts sr s s ♦ s♦♥t ss ♥érs ♥ ♦♥t♦♥ K0
sr r ♦ st ♦r③♦♥t tr ♥♦r♠ à tt sr s ♦♠♣♦s♥ts
♦r③♦♥ts ♥s nx = 0 t ny = 0 s♥ st q s tr♠s s♥ts s♥♥♥t Fzx = 0
Fzy = 0 Mzy = 0 Mzx = 0 Mxy = 0 t Mxy = 0 st s tr♠s q ♠t♣♥t K0 ♥s s
①♣rss♦♥s s♦♥ ♠♠r s②stè♠ ♥ér à rés♦r ~F0 t ~M0 Pr ♦♥séq♥t s réstts
s é♣♠♥ts t s rt♦♥s s ♦♥tr♥ts ♥s s ♥ ♦ à sr r ♦r③♦♥t
é♣♥♥t ♥q♠♥t s ♦♥tr♥ts rts ♥ts σ0z t s♦♥t ♥rs qq s♦t r
K0
❱t♦♥ ♥
t♦♥ ♠ét♦ ♥ésst s ♦♠♣rs♦♥ ♥ ①t P♦r
♠ét♦ s é♠♥ts ♥s st tsé ♣♦r ♠♦ésr ♥ ①t♦♥ ♥ ♦ ♥ ♦♥tt
Page 79
❱t♦♥ ♥
sr r ♦rsq ♥s ♠♦è é♦r♠té r♦ st r♥ ♥ ♠ét♦
st s♣♣♦sé ♦♥♥r ♠ê♠ réstt q ♣r é♠♥ts ♥s sr ♦♥r♠é
♥s ①♠♣ été ♥ Pr rs ♦♠♣rs♦♥ ♠ét♦ ♥ ♠♦è
♦ù r♦ st é♦r♠ ♣r♠ttr tstr ♥s qs ♦♥t♦♥s ②♣♦tès r♦ r st
♣t
❯♥ tr ♦♠♣rs♦♥ ♥ ♠♦è ♥ é♠♥ts ♥s ♦♥t♥ s♥s s♦♥t♥tés s à
♠ttr ♥ é♥ rô s s♦♥t♥tés ♥s rstrt♦♥ s ♦♥tr♥ts t♦r ♥ ①
t♦♥ s♦trr♥ ♣s s ♦♠♣rs♦♥s ♠ét♦ s ♦s és ♣r♠ttr♦♥t s♦♥r
s ♠tt♦♥s ♠rs tt ♠ét♦ ♦s t♥tr♦♥s ss ♠♦♥trr q ♠ét♦
s r♣♣r♦ ♦♣ ♣s ♥ ①t r♦ é♦r♠ q ♥ t ♠ét♦ s
♦s és ♦ s ♠ét♦s q ♠♣r♥t♥t s ♦♥tr♥ts ♥ ♠♦è ♦♥t♥
Pr rs s ♦♠♣rs♦♥s ♥tr s réstts stté ♦s stés t♦r ①t♦♥
♣r♠ttr♦♥t ♠① ♠ttr ♥ é♥ s ér♥s ♥tr ♠ét♦ t ♠ét♦ s
♦s és ❯♥ ♣r♠èr ét ♣r♠étrq ♥ sr t s rtés t s ♦♥tr♥ts ♥ts
sr ss t
t strt♦♥ s ♦♥tr♥ts
①♠♣ été ♦♥sst ♥ ♥ ①t♦♥ s♦trr♥ ♦♥t ♠r st sté à ♥ ♣r♦♦♥r H
à ♣rtr sr s♦ é♦♠étr ①t♦♥ st stré ♥s r étt ♥t
♥t ①t♦♥ s ♦♥tr♥ts rts ♥s r♦ s♦♥t rtrs t r♣♣♦rt ♥tr ♦♥tr♥ts
♦r③♦♥ts t rts st K0 ♣♦s ♦♠q r♦ st γ t ♥s ♠♦è é♦r♠
♠♦ ❨♦♥ st E t ♦♥t P♦ss♦♥ st ν s ♦♥ts s♦♥t éstqs ♥érs rté
♥♦r♠ Kn t t♥♥t Kt ♥ ♦♥sèr ♥ ♦ ♥♥é ♦♥t s ① ôtés s♦♥t ♣♥ 43.6
t 75 t ♦♥r ♠ t ♠ t ♦♥t s ΣL st ♥ r r r②♦♥ ♠ ♦ ♥s
r
r é♦♠étr ①t♦♥ t s ♦s étés
♥s ♣♣t♦♥ s♥t ♥♦s ♣♦sr♦♥s H = 500m γ = 0.02MN/m3 K0 = 1 ♦♥tr♥ts
s♦tr♦♣s Kn = 10000MPa/m Kt = 1000MPa/m t ν = 0.2
r ♠♦♥tr strt♦♥ s ♦♥tr♥ts ♥♦r♠s t t♥♥ts ♥ ♥ ôté
♦ ♥ ts♥t ér♥ts ♠♦ès
♥ ♠♦è r ♠♦è
♥ ♠♦è é♦r♠ ér♥ts ♠♦s ❨♦♥ E = 20GPa E = 50GPa t
E = 100GPa
Page 80
P
♥ ♠♦è é♦r♠ ♥ ♠♦ ❨♦♥ très éé éq♥t ♠♦è r
♥ ♠♦è ♦♥t♥ s♥s ♣rés♥ s♦♥t♥tés E = 50GPa
♠ét♦ s ♦s és
Bloc 2D, Kn=10000 MPa/m, Kt=1000 MPa/m, K0=1, H=500 m
−14
−12
−10
−8
−6
−4
−2
0
2
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
Effort
norm
al (M
Pa)
Abscisse le long d’une face (m)
−2
0
2
4
6
8
10
12
14
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
Effort
tangentiel (M
Pa)
Abscisse le long d’une face (m)
Modèle continu
E=20 GPa
E=50 GPa
E=100 GPa
E=infini
ISOBLOC
Blocs Clés
r strt♦♥ s ♦rts ♥♦r♠① t t♥♥ts ♦♥ ♥ ♦
s s♠t♦♥s s ♠♦ès é♦r♠s t ♠♦è ♦♥t♥ ♦♥t été ts ♥ ts♥t ♦
s é♠♥ts ♥s ❱P ❬❪ ②♣♦tès s é♦r♠t♦♥s ♣♥s ôté ♦ ♦s ♣♦r
r♣rés♥tr s ♦rts st s♥t q ss♠♥t ♣rès ♠ét♦ s ♦s és
ôté ♣♥ 75
♦s r♠rq♦♥s q s ♦rts és ♠ét♦ ①t r♦ é♦r♠ s♣♣r♦♥t
s♦t♦♥ ♦♥♥é ♣r ♣♦r s rtés r♦ss♥ts r♦ P♦r ♥ ♠♦ ❨♦♥
♥♥ r♦ r s♦t♦♥ s é♠♥ts ♥s st ①t♠♥t ♠ê♠ q
♦♥ ♠ét♦ s ♦s és ♦ ♣♦r ♠♦ ♠♦♠♥t ss♠♥t sr ♥ s
♦rts sr ss♠♥t s♦♥t és à ♣rtr s éqt♦♥s éqr ♣♦s ♦♠♠
s ♦♥tr♥ts ♥ st ♥♥tr♥♥♥t ♣s ♥s s ♦rts s♦♥t r♠♥t ♣s s q
① és s♦♥ s trs ♠ét♦s
♦s r♠rq♦♥s é♠♥t q s rs s ♦rts és ♥ ♠♦è ♦♥t♥ ♦♥
♥ ♥ é♦♠étrq ♦rrs♣♦♥♥t ôté ♦ sért♥t s és s ♠♦ès
s♦♥t♥s srt♦t ♣♦r s rtés éés r♦ ♦s ♣♦♦♥s ♦rs r♠r q s s♦♥
t♥tés ♦♥t ♥ rô ♠♣♦rt♥t ♥s rstrt♦♥ s ♦♥tr♥ts t♦r ①t♦♥
s ♦♥tr♥ts à ♣rtr ♥ ♠ ♦♥t♥ ♦♠♠ ♦♥t rt♥s ♠ét♦s ssqs ♦s
s♦és ①♣♦sés ♣tr ♦♥t à ♥ srst♠t♦♥ s ♦♥tr♥ts r ♠♦♥tr
r♠♥t r♦tt♦♥ s ♦♥tr♥ts q ♥ s s♦♥t♥tés ♣r r♣♣♦rt à ♥ ♠♦è
♦♥t♥ st♠♥t tst♦♥ ♥ ♠ ♦♥t♥ éq♥t ♣♦r étr ♥ ♠ss r♦① ssré
♥st sté q ♦rsq ssrt♦♥ st s très ♣tts ♦s
♦t♦♥s q ♣r♠ètr q ♥ r♣♣r♦♠♥t s s♦t♦♥s ①ts à s♦t♦♥ ts♥t
♥ r♦ ♣rt♠♥t r ♥st ♣s ♠♦ ❨♦♥ ♥s s♦ ♠s ♣tôt
r♣♣♦rt ♠♦ ① rtés ♦♥t E/ (Kn l) t E/ (Kt l) ♦ù l st ♥ ♦♥r rtérstq
♥s ♥ ♦sr♥t r ♥♦s r♠rq♦♥s ♥ ♣s r♥ r♣♣r♦♠♥t s s♦t♦♥s ♥tr
r♦ r t é♦r♠ ♣♦r s ♦rts t♥♥ts q ♣♦r s ♦rts ♥♦r♠① tt ér♥
st ♥ ♦♥séq♥ t q E/ (Kt l) > E/ (Kn l) ♥s ①♠♣ été (Kn > Kt)
Page 81
❱t♦♥ ♥
♦è ♦♥t♥ ♦è s♦♥t♥
r strt♦♥ s ♦♥tr♥ts ♣r♥♣s t♦r ♦ ♥tr ♠♦è ♦♥t♥t s♦♥t♥ E = 50GPa Kn/Kt = 10
t ♠♦♠♥t ♦
♠♦♠♥t ♦ st été ♣♦r ① rs tr K0 t ♣♦r Kn/Kt = 1 ♥ ts♥t
♥ ♠♦è ①t é♦r♠ P t ♥ ♠♦è r ♣♦st♦♥ ♦
à étt ♥ ♣r r♣♣♦rt à s ♣♦st♦♥ à étt ♥t ♥ tr ♠♣t♦♥ × ♣♦r
é♣♠♥t st ♠♦♥tré à r ♦s r♠rq♦♥s q ♦♥♥
♥ réstt ss③ ♣r♦ ♠♦è ①t ♣♦r K0 = 0.5 t ♣♦r K0 = 1 s rs
♠♦♠♥t ♦ s♦♥t qs ♥tqs ♥s s ① ♠♦ès t é♦r♠t♦♥ r♦ st
♠♥♠ ♣r r♣♣♦rt é♣♠♥t ♦ ♥s ♠♦è é♦r♠ Pr rs ♥②s
♠♦♠♥t ♠ét♦ s ♦s és ♣♦r réstt ♥ ss♠♥t s♥t ôté ♣s
r♥ ♣♥t qqs s♦♥t s rs s ♦♥tr♥ts ♥ts t s rtés s ♦♥ts é♥♠♦♥s
♣rès ♠♦è ①t ♦ ♠♦è st é♥t q♥ r♦tt♦♥ ♦ t q
étr♠♥é ♦♠♠ ét♥t ss♠♥t s♥t ♠ét♦ s ♦s és s sé♣r
♠ss r♦s ♥s rt♥s s ♦♠♠ ♣♦r K0 = 1 t Kn/Kt = 1
♥ tr r♦tt♦♥ st ♣r♣♥r ♣♥ ♦ t r♦tt♦♥ ♦ st rtérsé
♣r ♥ s ♥ r♦tt♦♥ ♦♠♠ r ♠♦♥tr q r♦tt♦♥ ♦ st té ♣r
s ♦♥tr♥ts ♥ts r K0 ♥t ♦rs ♥térss♥t étr ♠♣t tr
♥ r♦tt♦♥ ♥ ♦♥t♦♥ r♣♣♦rt Kn/Kt t ♣♦r ér♥ts rs K0
♣rès r ♦rsq Kn/Kt ♠♥ r♦tt♦♥ ♦ ♠♥t tt ♦srt♦♥ st
♥ ♦♥♦r♠té ♥②s r♣♣♦rt Kn/Kt ♣rr♣ s♥s r♦tt♦♥ ♥ ♣♦r
K0 < 1 ♥s s été ♥ r♦tt♦♥ ♥ét s ♠♣ts r♦tt♦♥ s♦♥t ♣s éés
♣♦r s s ♦♥tr♥ts ♥♦♥ s♦tr♦♣s K0 = 0.5 q ♣♦r s ♦♥tr♥ts s♦tr♦♣s
♣rès ♠ét♦ ssq s ♦s és ♥ r♦tt♦♥ st ♥ Pr rs ♠ê♠ s
♠ét♦ s ♦s és ♠♦é ♣♦r ♣rs ♥ ♦♠♣t r♦tt♦♥ st tsé ♣tr
♣rr♣ ♦♥♥rt ♥ réstt r♦tt♦♥ ♥é♣♥♥t s rtés s ♦♥ts t
s ♦♥tr♥ts ♥ st
t tr sérté
♣♦r ♥ ♦ rt s②♠étrq tr sérté st ér♦ss♥t ♥ ♦♥t♦♥ Kn/Kt t
r♦ss♥t ♥ ♦♥t♦♥ K0 ♦♠♠ ♦♥ rr ♥s r ♥st ♣s r ♣♦r t♦s s
s t ♣rtèr♠♥t ♣♦r ♦ été ♥s ♣rr♣
r ♠♦♥tr rt♦♥ tr sérté ♥ ♦♥t♦♥ K0 ♣♦r ♦ ♣♦r
Page 82
P
r é♣♠♥t ♦ ♣♦r Kn/Kt = 1 t ér♥ts rs K0 s ♥s♦♥t♥s r♣rés♥t♥t é♦♠étr ♥t t s ♥s ♥ ♣♦♥té r♣rés♥t♥t é♦r♠é ♥ tr ♠♣t♦♥ ×100 s ♣♦r ♠ét♦ s ♦ és
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
Angle
de r
ota
tion (
º)
Kn/Kt
ISOBLOC 2D, H=500 m, Kt=1000 MPa/m
K0=0.5
K0=1
K0=1.5
−0.003
−0.002
−0.001
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
20 30 40 50 60 70 80 90 100
Angle
de r
ota
tion (º)
Kn/Kt
r ❱rt♦♥ r♦tt♦♥ ♦ ♥ ♦♥t♦♥ r♣♣♦rt Kn/Kt ♠♦è
Page 83
❱t♦♥ ♥
ér♥ts rs Kn/Kt ♥ ts♥t ♥ ♥ r♦tt♠♥t φ = 35 ♥♦♥s q t ♥
r♦tt♠♥t s s ♥ ♣st♥t ♣s à étt ♥t ♣♦r s rs K0 étés ♥②s
r♣ ♠♦♥tr q ♣♦r t♦ts s rs r♣♣♦rt s rtés tr sérté
♠ê♠ r r♦ss♥t ♣s ér♦ss♥t ♥ ♦♥t♦♥ K0 Pr ♦♥séq♥t à ♣rtr ♥ rt♥
r K0 rtq ♠♥tt♦♥ s ♦♥tr♥ts ♦r③♦♥ts ♥ts ♥ t ésts♥t
sr ♦ ♥ ♦tr ♥♦s ♥ ♣♦♦♥s ♣s étr ♥ rè é♥ér ♦♥r♥♥t t r♣♣♦rt
s rtés sr tr sérté tr sérté ♠♥ ♣♦r ♣♣rt s s
♠♥tt♦♥ Kn/Kt ♠s ♣♦r ♥ ♥tr ♦♥♥é K0 ♥tr t ♥s s tt
♦♥sttt♦♥ ♥st ♣s r
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
Facte
ur
de s
écurité
K0
Bloc 2D, H=500 m, φ=35°, c=0 MPa
ISOBLOC, Kn/Kt=0.1
ISOBLOC, Kn/Kt=1
ISOBLOC, Kn/Kt=10
ISOBLOC, Kn/Kt=100
Blocs Clés
r ❱rt♦♥ tr sérté ♥ ♦♥t♦♥ K0 t Kn/Kt s♥t s♠ét♦s t ♦s és
tr sérté st é ♥ s ♥÷s q t ♠♥♠♠ st r♣rés♥té
sr r ♥ ♥②s♥t ♣s ♥ ét réstt ♥♦s ♦♥s r♠rqé q ♣♦r ♥
s s tr ♥ r r♦ss♥t ♣s ér♦ss♥t ♠♥♠♠ ♣♦r ♣s r♦ss♥t
♦rrs♣♦♥ à ♦ ss♠♥t s♥t ♠ét♦ s ♦s és ♠s ♠♥♠♠
♣♦r ♣s ér♦ss♥t ♦rrs♣♦♥ à
tt r st ttré ♥♠♥t s♥s ♦rt t♥♥t ♠♥tt♦♥ K0 ♥s
♣r♠èr ♣s ♣r♠t ♠♥r s ♦rts t♥♥ts ♣rès ①t♦♥ sr ♥ ♦♥♥é
♦ sqà r ♥♥t♦♥ tr sérté st ♦rs ♥s ♣s r♦ss♥t ♣rtr
♠♦♠♥t s ♦rts t♥♥ts ♠♥♥t ♥ s♥ ♥ét ♦♥ ♠♥t♥t ♥ r
s♦ ♦♠♠ tr sérté st éé ♣r r♣♣♦rt à r s♦ ♦rt t♥♥t
♥♠♥t ♥ ♣♥t ♣♦st à ♥ ♣♥t ♥ét
♦t♦♥s ♥♥ q tr sérté ♦♥♥é ♣r ♠ét♦ s ♦s és ♥st té ♥ ♣r
s ♦♥tr♥ts ♥ts ♥ ♣r s rtés s ♦♥ts
♦♠♣rs♦♥ ♥tr ér♥ts ♦s
♦♥sér♦♥s ♥ ♦ q s ♠ê♠s ♦r♥tt♦♥s s s ♦♥tt ♠ss r♦s q
♣r♠r ♦ été ♠s ♣s ♣tt t st ♦ ♥s r r
Page 84
P
r♣rés♥t rt♦♥ tr sérté ♥ ♦♥t♦♥ s ♦♥tr♥ts ♦r③♦♥ts ♥ts ♣♦r
s ① ♦s t t ♣♦r ér♥ts r♣♣♦rts rtés ♠ét♦ s ♦s és
st ♥tq ♣♦r s ① ♦s r r ♠♦ ♠♦♠♥t st ♥ ss♠♥t sr ♥
♠ê♠ ♣♥t ♠ét♦ s réstts èr♥t à s ♥♥ s ♦♥tr♥ts
♥ts ss♥t sr s s rs ♥ t ♦♠♠ ♦r♥tt♦♥ r ♥st ♣s ♠ê♠
♣♦r s ① ♦s s rt♦♥s s r♠♥ts ①térrs ♥tr étt ♥t t étt ♥ èr♥t
♥s q s ♦♥tr♥ts ♥s
0
0.5
1
1.5
2
2.5
0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
Facte
ur
de s
écurité
K0
Blocs 1 et 2, H=500 m, φ=35°, c=0 MPa
ISOBLOC, Bloc1, Kn/Kt=1
ISOBLOC, Bloc 2, Kn/Kt=1
ISOBLOC, Bloc 1, Kn/Kt=10
ISOBLOC, Bloc 2, Kn/Kt=10
Blocs Clés, Blocs 1 et 2
r ♦♠♣rs♦♥ ① ♦s s ♠ê♠s ♦r♥tt♦♥s s s ♦♥tt t ♦s és
s ♦s t s♦♥t s♠rs s ♦r♥tt♦♥s s s ♦♥tt t s s rs s♦♥t
s ♠ê♠s ♠s s ts s♦♥t ér♥ts ♥s ♥②s ♠ét♦ ♦♥♥rt s
réstts ♥tqs ♣♦r s ① s ❯♥ ♣tt ér♥ ♣t êtr ♦t♥ à s rt♦♥
s ♦♥tr♥ts rtrs ér♥ s ♦r♦♥♥és ♥tr s ① s ♠s st très ♠♥♠
♥ ♦♥s♦♥ s ♦♥ ♦♠♣r stté ① ♦s ②♥t s s ♦♥tt s ♦rrs♣♦♥
♥ts ① ♦♥ts ♠ê♠ ♣♥ ♠s ♦sés à s ♠♣♠♥t ér♥ts t♦r ①t♦♥
réstt ♦♠♣rs♦♥ r s♥t ♠ét♦ tsé
• réstt ♠ét♦ s ♦s és é♣♥ ①s♠♥t ♦r♥tt♦♥ s s ♣r
r♣♣♦rt à ♦r t ♣♦s é♥♠♦♥s ♣♦r ér♥ts ♦r♥tt♦♥s r ♦♥
♣t ♦r ♠ê♠ ♠♦ ♠♦♠♥t
• réstt é♣♥ ♥ ♣s ♦r♥tt♦♥ r t s ♦♥tr♥ts ♥ts
ss♥t sr ♦ ♦rsq ♣r♦♦♥r ♦ st éé rté ♥ t ♥é sr
s ♦♥tr♥ts ♥ts s réstts ♦♠♣rs♦♥ s♦♥t ♦rs ♥tqs s s ♦r♥tt♦♥s
s s rs s♦♥t s ♠ê♠s ♥ trs tr♠s s s ♦rts ♥t① ss♥t sr r
s♦♥t é①
Page 85
t ♥②tq ♦♠♣rt ♥ ♦ s②♠étrq ♥
t ♥②tq ♦♠♣rt ♥ ♦ s②♠étrq ♥
♦♥sér♦♥s ♥ ♦ s②♠étrq ♥ sté sr t♦t ♥ ①t♦♥ ♣♥ ♥s ♣rr♣
♥♦s é♦♣♣♦♥s ♣♦r s s♠♣ s ①♣rss♦♥s ♥②tqs s ♦rs ss♥t sr s s
♦ ♣rès ①t♦♥ ♥ ts♥t qtr ♠ét♦s ér♥ts ♠ét♦ ♠ét♦
①t♦♥ ♠ét♦ étr♠♥st t ♠ét♦ s ♦s és t st ♠♦♥trr
r♠♥t s ér♥s ♥tr s ♠ét♦s t q s tr♦s r♥èrs ♦♥stt♥t s s ♣rtrs
♣r♠èr étt ♥ s ♣♦r ♠ét♦ s ♦s és ♦r rt ss♥t sr q
st ♠ê♠ ♣♦r t♦ts s ♠ét♦s t st ♠♣♦sé ♣r éqr rt ♦ t s②♠étr
♦r ♦r③♦♥t ♥ ♥ ♠ét♦ à tr Pr rs ♥♦s é♦♣♣♦♥s s
①♣rss♦♥s s ♦♥ts sérté t s ♣rss♦♥s s♦tè♥♠♥t t st♦♥s ♥s qs s
t ♦ t ♠ét♦ st ♣s ♦♥srt
t
r ♦ s②♠étrq ♥ ét♦
tt ♥t
♦ été st ♥ ♦ s②♠étrq tr H0 t ♠ ♥ s♦♠♠t α s st
sté à ♥ ♣r♦♦♥r H sr é♦♠étr ♦ t s ♦rs ss♥t sr ♦ à étt
♥t ♥t ①t♦♥ t à étt ♥ ♣rès ①t♦♥ s♦♥t strés ♥s r é♣ssr
♦ ♦rt♦♦♥♠♥t à r st ♥tr
étt ♥t t♥sr s ♦♥tr♥ts ♥ t♦t ♣♦♥t r♦ st
σ0 =
[
K0 σ0
σ0
]
♦r♥ r♣èr(
~Ox , ~Oz)
st sr sr s♦ t ① ~Oz st ré rs s
♦♥tr♥t σ0 st ♥ ♦♥tr♥t rtr r♥t ♣r♦♦♥r z ♣♦♥t ♦♥séré σ0 = γz
γ ét♥t ♣♦s ♦♠q r♦
♦t♦♥s q ♥s ♥♦s ♦♥sér♦♥s q s ♦♥tr♥ts ♦♠♣rss♦♥ ♦♥t ♥ s♥
♣♦st
rést♥t s ♦rts sr q ♥♦r♠ ①térr ~n s ♣r ~F0 =´
σ0 ~n dS
♥s s ♦rs ss♥t sr ♦ à étt ♥t s♦♥t s s♥ts
Page 86
P
F0x = K0 σ0mH0
F0z = σ0mH0 tanα
F0zb = (P + 2F0z)
P = γ H2
0 tanα
σ0m = γ
(
H − H0
2
)
♦♥tr♥t rt ♠♦②♥♥
s ♦rts F0x t F0z s♦♥t rs♣t♠♥t s ♦rs ♦r③♦♥t t rt ss♥t sr s s
♦ à étt ♥t ♣♦s ♦ st és♥é ♣r P
F0zb st ♥ ♦r q éqr s ♦rs rts ♦r F0z sr q t ♣♦s
♦ P t q t sr s ♦ ♥s ♥♦s ♦♥sér♦♥s ♥ ♦r ♣r q
st éq♥t à ♦♥sérr s ♦rts ♠♦②♥s ♣r ♣r♠ttr ♦♠♣rs♦♥ trs
♣♣r♦s q ♦♣t♥t tt s♠♣t♦♥
s ①♣rss♦♥s s ♦rs ♥♦r♠ t t♥♥t sr s s à étt ♥t s♦♥t
F0n =(
K0
cosα
tanα+ sinα
)
F0z
F0t = (K0 − 1) cosαF0z
s ♦♥tr♥ts ss♥t sr ♦ ♥t ①t♦♥ ♦♥t êtr ♣stq♠♥t ♠sss
♦♥ ♦♥sèr rtèr ♦r♦♦♠ ♥ ♦és♦♥ ♥ t ♥ ♥ r♦tt♠♥t φ
s trt ♣r ♦♥t♦♥ |F0t| < F0n tanφ ♥ ♣t ♦rs ér ♥tr s ♦♥ts K0
♠sss
1− tanα tanφ
1 + tanφtanα
≤ K0 ≤ 1 + tanα tanφ⟨
1− tanφtanα
⟩
〈x〉 = (x+ |x|) /2
tt ♥
étt ♥ s ♦ st éré ♥st ♣s s♦♠s à ♥ ♦♥tr♥t ♦♠♠
str r Pr ♦♥séq♥t ♦r F0zb ss♥t sr s ♦ ♥t ♥
P♦r ssrr éqr ♦ s ♦rs sr s s ♦♥t êtr ♠♦és ♥ rs♣t♥t s ♦s
♦♠♣♦rt♠♥t s ♦♥ts
éqr rt t s②♠étr ♦ ♣r♠tt♥t r ♦r rt Fz ♥
q ♦ s②♠étr ♦ ♠♣♦s q ♠♦♠♥t ♦ s♦t rt rs s
t q s ♦rs ♦r③♦♥ts ss♥t sr s ① s s♦♥t és P♦r tr♦r ①♣rss♦♥
♦r ♦r③♦♥t Fx sr q t é♣♠♥t rt ~Uz ♥♦s ♣♣q♦♥s s ♦s ♥érs
♦♠♣♦rt♠♥t s ♦♥ts ①♣qés ♥s ♣rr♣ ♦t♦♥s q ♣sq st ♥
sr r ♦r③♦♥t é♣♠♥t st ♥é♣♥♥t s ♦♥tr♥ts ♥ts ♦r③♦♥ts ♦♠♠
été éà é♠♦♥tré ♥s ♣rr♣
♠♣t é♣♠♥t s①♣r♠ ♦♠♠ st
Page 87
t ♥②tq ♦♠♣rt ♥ ♦ s②♠étrq ♥
Uz =
(
F0z +P
2
)
cosα
(
Kn sin2 α+Kt cos2 α
)
H0
♥ ♣s ♣♦s P s ♦rs ♦r③♦♥t t rt ss♥t sr q ♦ à ét♣
♥ s♦♥t rs♣t♠♥t Fx t Fz
Fx = A tanα
(
P
2+ F0z
)
+ F0x
Fz = −P2
♣r♠ètr A st ♥ ♣r♠ètr ♠♥s♦♥♥ q é♣♥ s rtés s ♦♥ts t r
♥♥s♦♥
A =1− Kn
Kt
1 +Kn
Kt
tan2 α
♦s és♦♥s s ①♣rss♦♥s s ♦rs ♥♦r♠ t t♥♥t ss♥t sr q ♦
à étt ♥
Fn = A sinα
(
P
2+ F0z
)
+ F0x cosα− P
2sinα
Ft = A sinα tanα
(
P
2+ F0z
)
+ F0x sinα+P
2cosα
♥ tr sérté t s②♠étr ♦ t s♥t q ♦és♦♥ st
♥ tr sérté st ♠ê♠ sr s ① s =Fn tanφ
|Ft|♣♦r Fn ≥ 0 ♦♥t
st ♥ s trt♦♥ ♣♣rt
♣rès s ①♣rss♦♥s Fn t Ft éqt♦♥s t ♦ ♣rès éqr rt
♥♦s ♣♦♦♥s érr rt♦♥ s♥t
Ft = Fn tanα+P
2 cosα
♥s s r Fn st ♣♦st ♦♠♣rss♦♥ Ft st ♥éssr♠♥t ♣♦st
♥②s♦♥s é♦t♦♥ stté ♥ ♦♥t♦♥ r♣♣♦rt Kn/Kt t K0
♦♥t A st ér♦ss♥t ♥ ♦♥t♦♥ r♣♣♦rt r = Kn/Kt r s éré ♣r r♣♣♦rt à r
st ♥ét A′(r) =−(1 + tan2 α)(
1 + r tan2 α)
é♦t♦♥ A ♥ ♦♥t♦♥ r♣♣♦rt s rtés st rtérsé ♣r s rs s♥ts
• A = 1 ♣♦r Kn = 0 ♦ A→ 1 ♦rsq Kn/Kt → 0
• 0 < A < 1 ♣♦r Kn/Kt < 1
• A ≤ 0 ♣♦r Kn/Kt ≥ 1
• A→ −1
tan2 α♦rsq Kn/Kt → ∞
♦rsq r♣♣♦rt Kn/Kt ♠♥t A ♠♥ ♣r ♦♥séq♥t s ♦rs ♥♦r♠ Fn t t♥♥
t Ft ♠♥♥t ♠♥t♦♥ Fn ♦♥tr à éstst♦♥ ♦ r ② r ♠♦♥s
Page 88
P
♦♠♣rss♦♥ sr ss s ♦♥ ♠♦♥s ♦rs résst♥ts ♦♠♠ Ft > 0 s r s♦ st
ér♦ss♥t ♥ ♦♥t♦♥ Kn/Kt t sé♦♥ ♠t ♣stté q ♦♥tr à sts
t♦♥ ♦ P♦r étr t ♦♠♥é é♦t♦♥ Fn t Ft sr stté t étr
rt♦♥ ♥ ♦♥t♦♥ r♣♣♦rt s rtés
♥ ts♥t ①♣rss♦♥ tr sérté ♣t sérr ç♦♥ s♥t
=tanφ
tanα+P
2Fn cosα
♦♠♠ Fn st ér♦ss♥t ♥ ♦♥t♦♥ r♣♣♦rtKn/Kt ♣rès ①♣rss♦♥ ♥♦s ♣♦♦♥s
♦♥r q st ss ér♦ss♥t ♥ ♦♥t♦♥ r♣♣♦rt ♠♥tt♦♥ r♣♣♦rt s rtés
♥ t ésts♥t sr ♦ s②♠étrq t♦t
tr ♣rt s r♥rs Fn t Ft s♦♥t r♦ss♥ts ♥ ♦♥t♦♥ K0 ♠♥tt♦♥ Fn
♥ t sts♥t sr ♦ ♦rs q ♠♥tt♦♥ Ft ♦♥ s r s♦ r Ft > 0
♥ t ♦♥trr P♦r ♦♥♥tr t ♦♠♥é rt♦♥ s ① r♥rs sr stté
♦ t ss ♦♥sérr é♦t♦♥ ♥ ♦♥t♦♥ K0
♣rès ①♣rss♦♥ ♠♥t ♥ ♦♥t♦♥ K0 stté ♥ ♦ s②♠étrq
t♦t ♥ ①t♦♥ ♠♥t ♠♥tt♦♥ s ♦♥tr♥ts ♦r③♦♥ts ♥ts
r♣ r st ♥ ①♠♣ é♦t♦♥ r♦ss♥t tr sérté ♥
♦♥t♦♥ K0 t ér♦ss♥t ♥ ♦♥t♦♥ Kn/Kt ♣♦r ♥ ♦ s②♠étrq ♠♥
s♦♠♠t α
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
FS
K0
ISOBLOC 2D, H0=2 m, H=10 m, α=20°, φ=35°, r=Kn/Kt
r=0.1
r=1
r=10
r=100
r ♦t♦♥ tr sérté ♥ ♦♥t♦♥ K0 ♣♦r ér♥ts rs Kn/Kt ét♦
Pr rs ♥♦s ♣♦♦♥s é♠♦♥trr ♣rès ①♣rss♦♥ q ♥s ♥tr α =]0, 90[,
tr sérté st ér♦ss♥t ♥ ♦♥t♦♥ ♠♥ s♦♠♠t α ♦♥ ♦ st ♠♦♥s
st ♦rsq st ♠♦♥s ♣♦♥t r ♠♦♥tr rt♦♥ tr sérté ♥ ♦♥t♦♥
♠♥ s♦♠♠t α ♣♦r ér♥ts r♣♣♦rts rtés
♦t♦♥s q ♣♦r s ♣r♦♦♥rs éés ♦ ♣♦r s rs éés K0 s ♦♥ts
sérté ♥ ♦♥t♦♥ r♣♣♦rt rté t♥♥t à ♦♥rr rs ♠ê♠ s♦t♦♥ ♥ t ♥♦s
Page 89
t ♥②tq ♦♠♣rt ♥ ♦ s②♠étrq ♥
♣♦♦♥s ♦♥sttr ♥ r♣♣r♦♠♥t s ♦rs ♦rsq K0 ♠♥t ♥s r ♥s
s ♦♥tr♥ts ♥ts très éés ♣♦s ♥t ♥é ♣r r♣♣♦rt ① ♦rs ♥♦r♠s t
t♥♥ts ss♥t sr ♦ ♣rès éqt♦♥ tr sérté t♥ ♦rs rstanφ
tanα
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
10 20 30 40 50 60 70
FS
α°
ISOBLOC 2D, H0=2 m, H=10 m ,K0=1, φ=35°, r=Kn/Kt
r=0.1
r=1
r=10
r=100
r ♦t♦♥ tr sérté ♥ ♦♥t♦♥ ♠♥ s♦♠♠t α ét♦
♥ ♦r s♦tè♥♠♥t ♦s r♦♥s ♥ ♥s♠ ♦rs s♦tè♥♠♥t ♦
rr♠♥t à ♣♣qr sr s ♦ ♣♦r q rtèr ♣stté sr s s ♦
s♦t rs♣té ♣rès ①t♦♥
♣♣t♦♥ ♥ ♦r s♦tè♥♠♥t Fs sr s ♦ ♣♦r réstt ♥ ♥ré♠♥t
♦rs ♦r③♦♥t Fx t rt Fz sr s s ♦ ♦♠♠ str r Pr
♦♥♥t♦♥ Fs > 0 st ♥ ♦r ♦♠♣rss♦♥
r t ♣♣t♦♥ ♥ ♦r s♦tè♥♠♥t
s éqt♦♥s ♣rr♣ s♦♥t ♦♣tés ♥ ♦♥sér♥t q Fs st ♥q ♦r ss♥t
sr ♦ t q s ♦♥tr♥ts ♥ts s♦♥t ♥s s ♥ré♠♥ts s ♦rs sr s s s♦♥t ♦rs
①♣r♠és ♣r
Fz =Fs
2t Fx = −A tanα
Fs
2
Page 90
P
s ♥ré♠♥ts ♦rs s♦♥t ♥st ♦tés ① ♦rs tr♦és à ét♣ ♥ ♣rès ①t♦♥
s ①♣rss♦♥s s ♥♦s ♦rs ♥♦r♠ Fns t t♥♥t Fts s♦♥t éts
Fns = Fn +Fs
2sinα (1−A)
Fts = Ft −Fs
2(cosα+A sinα tanα)
♦r s♦tè♥♠♥t Fs ♦t érr ♥été ♦ ♦r♦♦♠ |Fts| < Fns tanφ
s♥t q ♦r ♥♦r♠ st ♥ ♦♠♣rss♦♥ (Fns ≥ 0)
♦♥t♦♥ ♥ ♦r ♥♦r♠ ♦♠♣rss♦♥ ♠♣♦s q
P♦r A 6= 1 Fs > −2Fn
sinα (1−A)
P♦r A = 1 Fn > 0 ♦r Fs ♥s s ♥ ♣t ♣s ♦♥trr à rt♦♥ Fn ♦t♦♥s
q ♦♥t♦♥ A = 1 st r ♣♦r Kn = 0 q st ♥rs♠ ♥ ♣rtq
① ♠ts ♣♦r ♥tr s ♦rs s♦tè♥♠♥t ♠sss s♦♥t tr♦és
Fs1 = 2Ft − Fn tanφ
K1
K1 = A sinα (tanα− tanφ) + sinα tanφ+ cosα
Fs2 = 2Ft − Fn tanφ
K1
K2 = A sinα (tanα+ tanφ)− sinα tanφ+ cosα
K1 > 0 Fs1 st ♥ ♠t ♥érr ♥tr s ♦rs s♦tè♥♠♥t t s K2 > 0 Fs2
st ♥ ♠t s♣érr t ♥tr
t ♠ét♦ ①t♦♥
♠ét♦ ①t♦♥ été éà ①♣♦sé ♥s ♣r♠r ♣tr ♥s ♣rr♣
♥♦s é♦♣♣♦♥s s ①♣rss♦♥s s ♦rs ss♥t sr ♦ ♥s ♥ t ♦♠♣rt ♣♣r♦
r ♦ s②♠étrq ♥ ét♦ ①t♦♥
tt ♥t
étt ♥t ♦♥ ♦♥sèr q r♦ été ①é ♠s q ♣♦s ♥t ♣s sr ♦
s ♦rs F0x r♣rés♥tés ♥s r ♣♥t êtr ♣rss ♦♠♠ és ① ♦rs ♥ts
♥t ①t♦♥ ♦♠♠ ♥s ♣♣r♦ ssq r② ❬❪ ♦ és à ♣rtr ♥
♠♦è éstq ♦♥sér♥t ♥ ♠ ♦♥t♥ ♦r ♣rr♣
Page 91
t ♥②tq ♦♠♣rt ♥ ♦ s②♠étrq ♥
éstq é♣♥ ♦r♠ ①t♦♥ t ss ♠♥s♦♥s s s♦t♦♥s ♥②
tqs ♣♦r s ♦rs ♦r③♦♥ts ♥ts ♦♥t été tsés ♥s ttértr ♥s r
♠ét♦ ①t♦♥ ♥q♠♥t ♣♦r s rs ♦r♠ rr ♥s ♦♥♦s ❬❪ é
♦♣♣é ①♣rss♦♥ ♦r ♦r③♦♥t à ét♣ ♥t ♠ét♦ ①t♦♥ ♥ ♥tér♥t
s ♦♥tr♥ts és t♦r ♥ ①t♦♥ rr r②♦♥ R sr s s ♦ tr
H0 ♦s és♥♦♥s tt ♦r ♣r F0xE ♦♥ ①♣rss♦♥ st ♦♠♠ st
F0xE =1
2σ0m [R (1 +K0)C1 − (1−K0)C2]
C1 =
(
H0
R+ 1
)
− 1(
H0
R+ 1
) t C2 =
(
H0
R+ 1
)
− 1(
H0
R+ 1
)3
r②♦♥ ♠♥♠ r à ♦sr ♦rrs♣♦♥♥t à stt♦♥ ♦ù s s ♦ s♦♥t
t♥♥ts à r st
Rmin =H0 tanα
tan(π/4− α/2)
♦s r♠rq♦♥s ♣rès ♦♠♣rs♦♥ r q F0xE st ♣s éé q F0x ♣♦r
♣♣rt s rs K0 st ♦♥ s♦♥t ♣s sértr s ♠ét♦ ①t♦♥ st
♦♣té r F0x t ♥♦♥ ♣s F0xE
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
Forc
e h
orizonta
le initia
le (
MN
)
K0
Bloc 2D, H0=2 m, H=10 m, α=20°
F0x
F0xE (Elastique, R=1.5 m)
F0xE (Elastique, R=3 m)
F0xE (Elastique, R=5 m)
r ét♦ ①t♦♥ ♦♠♣rs♦♥ ♦r ♦r③♦♥t à ét♣ ♥t♥tr ♣♣r♦ r② t ♦♥♦s
Pr rs ♦♠♠ ♥♦s ♦♥s ♠♦♥tré ♥s r ♥s s ♥ r♦ r r
t♦♥ s ♦♥tr♥ts t♦r ♥ ①t♦♥ st ♣tôt té ♣r ♣rés♥ s s♦♥t♥tés q
♣r é♦r♠té r♦ ♦s ♣r♥r♦♥s ♦♥ ♥s st tt ♥②s r①t♦♥ ♥
♦ s②♠étrq t♦t F0x ♦♠♠ ♦r ♥t ss♥t sr ♦ ♦♠♠ ♥s ♠ét♦♦♦
ssq r② ❬❪
♦♥t♦♥ ♥♦♥ ss♠♥t à étt ♥t s trt ♥s s ♣r φ > α
Page 92
P
tt ♥
♦ st s♦♠s à s♦♥ ♣♦s t s ♦rs sr s s s♦♥t ♠♦és ♥ s♦t♥t ♦♠♣♦rt♠♥t
s ♦♥ts étt ♥ ♦♠♠ ♠♦♥tr r st s♠ à ♠ét♦
♥ ♦t♥t é♣♠♥t t s ♦rs sr s s ♥ r♠♣ç♥t ♥s s ♦r♠s éà éts
éqt♦♥s t ♠ét♦ ♦r F0z ♣r ♦rt Fz st ♦rs
♥r
Uz =
P
2Kn sin
2 α+Kt cos2 α
Fx = A tanαP
2+ F0x
Fz = −P2
♠ê♠ s ①♣rss♦♥s ♦r ♥♦r♠ Fn t t♥♥t Ft ss♥t sr s s à étt
♥ t s ♦rs s♦tè♥♠♥t Fs s♦♥t éts s ①♣rss♦♥s tr♦és ♠ét♦
éqt♦♥s t ♥ ♣♦s♥t F0z = 0
♥s ♠ét♦ st éq♥t à ♠ét♦ ①t♦♥ s ♦♥ ♦♥sèr F0z = 0
q st ♠♣r♦ ♥s s ré ♥ ①t♦♥ s♦trr♥ t s ♥s ♠ét♦ ①t♦♥
é♦r♠t♦♥ r♦ ♥st ♣s ♣rs ♥ ♦♠♣t F0x ♥st ♣s étr♠♥é ♣r ♥ éstq
Pr rs ♣rès éqt♦♥ ♥♥r F0z q st ♣♦st r♥t à ♠♥r Fn ♦rsq
A > 0 à Kn < Kt t ♦♥ ♠♥r ♦r éqt♦♥ ♥ ♥ réstt ♥rs ♣♦r
A < 0 Pr ♦♥séq♥t ♥s ♣r♠r s ♠ét♦ st ♦♣t♠st t ♥s s♦♥
st ♦♥srt ♣r r♣♣♦rt à ♠ét♦ ①t♦♥ r ♥s rété ♥ st r♣♣♦rt
Kn/Kt > 1
t ♠ét♦ étr♠♥st
♥s ♠ét♦ étr♠♥st ♦ st été ♥q♠♥t à étt ♥ ♦♠♠
♠♦♥tr r ♦♠♣♦rt♠♥t s ♦♥ts t ♠♦♠♥t ♦ ♥♥tr♥♥♥t ♣s ♥s
r Fx st ♥ r st♠é ♣r ♥é♥r t stté ♥ é♣♥
r ♦ s②♠étrq ♥ ét♦ étr♠♥st ♦
st ♦♥ ♣♦ss tr♦r ♥ ♦r ♥tr s réstts t st ♣♦r
q r Fx ♦r♥ ♣r tstr ♦ ♦ï♥ é ♣r
Page 93
t ♥②tq ♦♠♣rt ♥ ♦ s②♠étrq ♥
♥ ♦♥t♦♥ A α P F0z t F0x ♥ t ♦♠♠ été ♣résé ♣tr
♦ ss ♥tèr rs♣♦♥sté à tstr ♦r♥r étt ♦♥tr♥t à étt ♥
t étt st sttq♠♥t ♠ss t ♦ s ♦♥t♥t érr s st ♦ ♥♦♥ ♣stq♠♥t
♠ss ê♠ ♥s s ♥ s♦tè♥♠♥t tstr ♦ st s♣♣♦sé ♦r ♥
♦♥♥ st♠t♦♥ s ♦rts Fx à étt éqr ♥ ♥s ♠ét♦ st éq♥t
à ♠ét♦ étr♠♥st ♠s ér tstr ♦♣ért♦♥ st♠t♦♥ Fx
s♥t q tt ♦♣ért♦♥ ♥st ♣s é♥t ♣♦r s é♦♠étrs ♣s ♦♠♣①s ♦s
♦♥stt ♥ ♣r♦rès ♥♦♥ ♥é ♣♦r ♠é♦rt♦♥ ♦
①♠♥♦♥s s ♦ù tstr ♥②♥t ♣s é sr r Fx ♦r♥t Fx = F0x
réstt st ♦rs éq♥t à ♥ ♣♦s♥t A = 0 ❯♥ ♦r s♦tè♥♠♥t rt
Fs ♥t ♥q♠♥t ♥ ♦rt rt sr q
t ♠ét♦ s ♦s és
ét ♥é♠tq ♦ ♠ét♦ s ♦s és ♠♦♥tr q st ♥ ♦ ♥
t r Pr ♦♥séq♥t s ♦rs ♥♦r♠s sr ss s s♦♥t ♥s tr sérté st
ss ♥ ♦r s♦tè♥♠♥t ♠♥♠ st é ♣♦s ♦ ♥ t ♣r ♦♥strt♦♥
♠ét♦ s ♦s és ♦♥ ♣t r q ♣r♦è♠ ré ♦♥sst à ♠♥r q ♥s ♠ss
r♦① ♣ ♦♣é ♣r ♦ été st ♥ ♥ ♥s q ♥♦s ♣ç♦♥s à ♠♥ ♦
sqà q sst à ♥ ♣s ♥♦s â♦♥s
♦♠♣rs♦♥ ♥tr s ♠ét♦s
tr sérté
r ♦r rt ss♥t sr q ♦ st ♠ê♠ s♥t s tr♦s
♠ét♦s ①t♦♥ t st r ♦r ♦r③♦♥t q ♥
♦♠♠ ♥♦s ♦♥s ♠ét♦ ①t♦♥ st éq♥t à ♦rsq F0z = 0 t
st éq♥t à ♦rsq ♦r Fx st ♥ ♦r♥ ♥s st ♣♦r
♥♦s ♣r♥r♦♥s Fx = F0x t A = 0 ♥ ♦♥sér♥t q tstr ♦ ♥ ♦♥♥t ♣s
r r ♦r ♦r③♦♥t t ♦r♥t à ♣ F0x
♥ ♥s
FnRelaxation = FnISOBLOC s F0z = 0
FnGAFIS = FnISOBLOC s A = 0
s ♠ét♦s s♦♥t ssés ♣r ♦rr ér♦ss♥t ♦r ♥♦r♠ t ♦♥ ♦t♥t ♦rr
>①t♦♥> ♦rsq A < 0 Kn > Kt
>①t♦♥> ♦rsq A > 0 Kn < Kt
♥ ts♥t ①♣rss♦♥ tr sérté ♥s éqt♦♥ t ♦♠♣rs♦♥ s rs
Fn s♥t s ér♥ts ♠ét♦s ♥♦s ♣♦♦♥s ♦rs é♠♦♥trr q
GAFIS ≥ Relaxation ≥ ISOBLOC ♦rsq A ≤ 0 Kn/Kt ≥ 1
GAFIS < Relaxation < ISOBLOC ♦rsq A > 0 Kn/Kt < 1
r str ♣♦r ♥ ♦ ♦♥♥é é♦t♦♥ tr sérté s♥t s ér♥ts
♠ét♦s t ♣♦r ér♥ts rs r♣♣♦rt s rtés
♠rq♦♥s q ♦rsqKn = Kt s ♦rs ♥♦r♠ t t♥♥t s♦♥t s ♠ê♠s s♥t s tr♦s
♠ét♦s ♥s q s trs sérté s♦♥t ♥ t s s♦t♦♥s ♠ét♦ étr♠♥st
Page 94
P
Pr rs ♠ét♦ s ♦s és ♦♥♥ ♥ tr sérté ♥ qq s♦t s ♦♥tr♥ts
♥ts t r♣♣♦rt s rtés
0.8
0.9
1
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
FS
K0
Bloc 2D, H0=2 m, H=5 m, α=20°, φ=35°
ISOBLOC
Relaxation
GAFIS
Kn/Kt = 0.1
0.8
0.9
1
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
FS
K0
Bloc 2D, H0=2 m, H=5 m, α=20°, φ=35°
ISOBLOC
Relaxation
GAFIS
Kn/Kt = 1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
FS
K0
Bloc 2D, H0=2 m, H=5 m, α=20°, φ=35°
ISOBLOC
Relaxation
GAFIS
Kn/Kt = 10
r ♦♠♣rs♦♥ s♥t s ér♥ts ♠ét♦s ♣♦r ér♥ts rs K0 t Kn/Kt
♦rsq s ♦♥tr♥ts ♥ts ♦r③♦♥ts ♠♥t♥t s s♦t♦♥s s♥t s ♠ét♦s
①t♦♥ t s r♣♣r♦♥t r ♠♦♥tr q s trs sérté s
① ♠ét♦s ♥♥♥t ♣rsq é① ♠ê♠ à ♣rtr ♥ ♣r♦♦♥r q ♥st ♣s très éé
♠ ♣♦r s été st ♣♦r q ♥s r ♥♦s ♦♥s t s ♦♠♣rs♦♥s
♣♦r ♥ ♣r♦♦♥r H = 5♠) ♣♦r ♠① ♥♦tr ér♥ ♥tr s ① ♠ét♦s
♥ t ♥s ♠ét♦ ①t♦♥ rt♦♥ s ♦♥tr♥ts sr s s st ♥q♠♥t
♥t ♣r ♣♦s tt rt♦♥ ♥t ♥é ♣r r♣♣♦rt ① rs s ♦♥tr♥ts ♥ts
ss♥t sr s s à ♣rtr ♥ rt♥ étt ♦♥tr♥ts ♥s s s♦t♦♥ r①t♦♥
s♣♣r♥t à ♥ s♦t♦♥ étr♠♥st ♦ù ♦♠♣♦rt♠♥t s ♦♥ts ♥st ♣s ♣rs ♥ ♦♠♣t
♦♥♥t r♣♣r q ♥s tt ♦♠♣rs♦♥ ♥♦s ♦♥s ①é ♣♦r Fx = F0x ♠s
s tstr ♦r♥t ♦♥♥ r Fx à ♦t♥rt s ♠ê♠s réstts q
Page 95
t ♥②tq ♦♠♣rt ♥ ♦ s②♠étrq ♥
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
FS
H (m)
Bloc 2D, H0=2 m, K0=1.0, α=20°, φ=35°, Kn/Kt=100
ISOBLOC
Relaxation
GAFIS
r ❱rt♦♥ tr sérté ♥ ♦♥t♦♥ ♣r♦♦♥r H ♦
♦rs s♦tè♥♠♥t
s ♦rs s♦tè♥♠♥t ♠♥♠ t ♠①♠ és s♥t s ér♥ts ♠ét♦s s♦♥t
r♣rés♥tés sr r ♥s s ♦ù ♥ s ♦rs st ♥♥ ♦r ♦rrs♣♦♥♥t
♥st ♣s r♣rés♥té Psrs s r♣♣♦rts rtés s♦♥t étés Kn/Kt = 0.1, 1, 10 ❯♥
r ♥ét ♦r s♦tè♥♠♥t s♥ q ♦ st st ♥ ♦♥t sérté
s♣érr à st ♥ t ♦r rr♠♥t q t ♣♣qr ♣♦r éstsr Pr
♦♥séq♥t ♣s ♦r rr♠♥t st éé ♥ r s♦ ♣s ♦ st st
♦♠♠♥ç♦♥s ♣r ♦♠♣rr s réstts s ♠ét♦s ①t♦♥ t ♥ tr♠
♦rs rr♠♥t t♥♥ st ♠ê♠ q s trs sérté ♠ét♦
st ♣s ♦♥srt ♣♦r Kn/Kt > 1 ♦♠♠ ♠♦♥tr r ♥ t
♥s s ♦r rr♠♥t st ♠♦♥s éé ♥ r s♦ ♦♥ ♦ st ♠♦♥s st
tt ♠ét♦ st ♠♦♥s ♦♥srt ♣♦r Kn/Kt < 1 ♦♠♠ ♠♦♥tr r P♦r
Kn/Kt = 1 s s♦t♦♥s ♣rès ♦ ①t♦♥ ♥♥♥t éq♥ts à s♦t♦♥
♦♠♠ str r
♦t♦♥s q ♥♦t♦♥ ♦r ♠①♠ s♦tè♥♠♥t ♥st ♣s ♥ rtèr stté ss③
s♥t r ♠ê♠ s ♥ ♣st ♥ ♠♣♦s♥t ♥ ♦r s♦tè♥♠♥t éé ♥ s♥
♣s q ♦ ♥r ♥st Pr rs ♥ r♣♣♦rt s rtés ♥érr à ♥té ♥ ♣t
①str à ♥♦tr ♦♥♥ss♥ ♥s s s ♥ st ♦s ♣♦♦♥s ♥s ♦♥r ♥ ♥ rr♥t
q s réstts s ♣s ♣rt♥♥ts ♦rs ♠♥♠s s♦tè♥♠♥t ♣♦r s r♣♣♦rts rtés
s♣érrs à ♥té q ♠ét♦ st ♣s ♦♥srt
♦♠♣r♦♥s ♠♥t♥♥t ♠ét♦ à s ♦s és ♦r s♦tè♥♠♥t
é ♣rès ♠ét♦ s ♦s és st ♥é♣♥♥t s ♦♥tr♥ts ♥ts t s rtés
s ♦♥ts st é ♣♦s ♦ t st ♥éssr♠♥t ♥ ♦r ♦♠♣rss♦♥ ♥s ♣♦r
♣♣rt s rs K0 étés ♥s r tt ♠ét♦ st ♦♥srt s♦♥t s
s ♣♦r sqs s♥t ♠ét♦ ♦ st st t r ♥ ♦r rr♠♥t
♣♦r éstsr Pr rs ♠ét♦ st ♣s ♦♥srt ♣♦r s s K0 < 0.5
Page 96
P
t Kn/Kt = 10 st ♥tr ♦ù trt♦♥ ♣♣rt sr ♥ ♦ s♥t tt
♠ét♦ ♦rs q ♣♦r s s ♠ét♦ ♦♥♥ ♥ tr sérté ♥ ♥tq
à ♠ét♦ ♦s és ♦♠♠ ♠♦♥tr r ♦r s♦tè♥♠♥t s♥t
tt ♠ét♦ st ♣s éé q é s♥t ♠ét♦ s ♦s és
♥♥ r s♦♥r q t ♠♣♦sr ♥ ♦r s♦tè♥♠♥t ♥st ♣s ♣♦ss ♣rtq
♠♥t ♥s s ♥ s♦tè♥♠♥t ♣ss ♦♥t ♦♠♣♦rt♠♥t é♣♥ s é♦r♠t♦♥ ♦t♦s
♥térêt ér tt ♦r s♦tè♥♠♥t st ♣♦♦r q♥tr stté t ♠♦♥trr s
ér♥s ♥tr s ♠ét♦s srt♦t s trt♦♥ ♥ t ♥ s trt♦♥ qq s♦t s♦♥
♥t♥sté tr sérté st ♥ s♥t ♦rs q ♦r s♦tè♥♠♥t é♣♥
♠♣t tt trt♦♥
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
Fo
rce
s d
e s
ou
ten
em
en
t (M
N)
K0
Bloc 2D, H0=2 m, H=5 m, α=20°, φ=35°
Kn/Kt = 0.1
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
Fo
rce
s d
e s
ou
ten
em
en
t (M
N)
K0
Bloc 2D, H0=2 m, H=5 m, α=20°, φ=35°
Kn/Kt = 1
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
Forc
es d
e s
oute
nem
ent (M
N)
K0
Bloc 2D, H0=2 m, H=5 m, α=20°, φ=35°
Fmin ISOBLOC
Fmax ISOBLOC
Fmin Relaxation
Fmax Relaxation
Fmin GAFIS
Fmax GAFIS
Fmin Blocs Clés
Kn/Kt = 10
r ♦♠♣rs♦♥ s ♦rs s♦tè♥♠♥t s♥t s ér♥ts ♠ét♦s
♦♥s♦♥
P♦r ♥ ♦ s②♠étrq ♥ sté t♦t ♥ ①t♦♥ ♦r③♦♥t ♥♦s ♦♥s é♦♣♣é
s ①♣rss♦♥s s rést♥ts s ♦rts ♥♦r♠① t t♥♥ts ss♥t sr s s ♦ ♣rès
①t♦♥ ♠ét♦ ♣r♦♣♦sé ♣r♠t r ç♦♥ r♦rs s ♦rts ♥
♦♥sér♥t st♦rq ér♠♥t r ❯♥ ①♣rss♦♥ tr sérté st
ss é♦♣♣é t ♥♦s ♦♥s ♠♦♥tré q ♣♦r s ♦ t♦t stté ♠♥t
♠♥tt♦♥ s ♦♥tr♥ts ♦r③♦♥ts t ♠♥ ♠♥tt♦♥ r♣♣♦rt s rtés
Page 97
ts ♣r♠étrqs ♥ t ♦♠♣rs♦♥s
rté ♥♦r♠ sr rté t♥♥t ♠ê♠ tr sérté ♠♥ ♠♥tt♦♥
♥ s♦♠♠t ♦
tr ♣rt ♥♦s ♦♥s é♠♦♥tré q ♠ét♦ ①t♦♥ t ♠ét♦ étr♠♥st
♦♥♥♥t s s♦t♦♥s q s♦♥t s s ♣rtrs ♠ét♦ s♦t ♥ ♥♥♥t tr♠
q r♣rés♥t s ♦♥tr♥ts rts ♥ts s♦t ♥ ♥♥♥t tr♠ q ♣r♠t ♣rs ♥
♦♠♣t s rtés s ♦♥ts q st éq♥t à ♣r♥r s rtés ♥♦r♠ t t♥♥t
és ♥s s♥t s r♣♣♦rts s rtés t ♦ t ♠ét♦ st ♣s sértr P♦r s
s s ♣s ss r♣♣♦rt s rtés r♣♣♦rt s♣érr à ♥té st ♠ét♦
q ♦♥♥ réstt ♣s sértr ♦t♦♥s q s ♦♠♣rs♦♥s ♦♥t été ts ♥ s♣♣♦s♥t q
s ♦♥tr♥ts ♦r③♦♥ts ♥ts ♥ s♦♥t ♣s étr♠♥és ♥ éstq ♥s ♠ét♦
①t♦♥ ♦ ♥s ♠ét♦ étr♠♥st s t s♥r q s réstts s
♠ét♦s ①t♦♥ t ♠ét♦ é♣♥♥t r♠♥t r ♦r
♥t ♦r③♦♥t q st t st♠é s♥s r stt♦♥
♥♥ t ♥♦tr q ♣♦r s ♦ s②♠étrq à sr r ♦r③♦♥t é♣♠♥t st
rt rs s t r♦tt♦♥ ♥st ♣s ♣♦ss ♦① s♠♣ été t st ♣♦r ♣♦♦r r
♥ ♦♠♣rs♦♥ ♠ét♦ ①t♦♥ t ♠ét♦ ♥ ♦ ♥♦♥ s②♠étrq
st été ② ♣♦ssté q♥ r♦tt♦♥ t t ②♣♦tès ♥♦r♠té s ♦♥tr♥ts
♥ s s ♥st ♣s ♣t ♥s s ♦♥t♦♥s ♣♣t♦♥ ♠ét♦ ①t♦♥
♥st ♣s ♣♦ss t tst♦♥ ♠ét♦ étr♠♥st ① tr♦♣ ♦♥♥és ♣r♦ s ♦rts
sr s s s ♦♥ts
ts ♣r♠étrqs ♥ t ♦♠♣rs♦♥s
t ♣rr♣ st tr ♥ ét ♣r♠étrq sr ♥ ♦ ♥ q st ♥ ♦♥tt
♥ ①t♦♥ s♦trr♥ ♥ ts♥t ♠ét♦ s réstts s♦♥t ♦♠♣rés
① ♠ét♦ s ♦s és ssq t ① ♠ét♦ s ♦s és q ♣r♥ ♥ ♦♠♣t
s ♦♥tr♥ts ♥ts ♦ ❯❲ Psrs é♦♠étrs ♦s t ♣♦st♦♥s t♦r
①t♦♥ s♦♥t ♥②sés
t ♥ ♦ t♦t
s♦ été st ♥ ♦ tétrérq sté sr sr ♥ ①t♦♥ s♦trr♥ ♦r♠
②♥rq s rtérstqs é♦♠étrqs s s♦♥t♥tés q é♠t♥t ♦ s♦♥t ♣résés
♥s t ♦s ♦♥sér♦♥s ♦ ♦♠ ♠①♠ ♦r♠é ♣r tt ♦♠♥s♦♥
s♦♥t♥tés st ♦ ♥s r
r st ♦r③♦♥t t ♣♦r r②♦♥ R = 5m ♦♥ ① (Oy) st ♥s rt♦♥ ♦r
♣r♦♦♥r s♦♥ ♥tr ♠sré à ♣rtr sr r st H = 200m s ①s réér♥ s♦♥t
♦r♥tés s♥t r ① (Oz) ♦rrs♣♦♥♥t à ① rt s ♦♥tr♥ts ♥ts
♣r♥♣s s♦♥t ♦r♥tés s♥t s ①s réér♥ s ♣r♠ètrs K0x t K0y és♥♥t r♣♣♦rt
♥tr ♦♥tr♥t rt ♥t t s ♦♥tr♥ts ♦r③♦♥ts ♥ts rés s♥t (Ox) t
(Oy) rs♣t♠♥t ♦rsq K0x = K0y ♥♦s ts♦♥s ♣r♠ètr K0 = K0x = K0z ♦♥tr♥t
rt st ♥ ♦♥tr♥t rtr t ♠ss ♦♠q r♦ st ρ = 2500Kg/m3
♦♥r♥♥t s ♣r♦♣rétés ♠é♥qs s ♦♥ts ♥ r♦tt♠♥t st φ = 35 ♦és♦♥ c
st ♥ t ♣srs r♣♣♦rts rtés s♦♥t étés Kn/Kt = 1, 10 t 100
r ♠♦♥tr é♦t♦♥ r♦ss♥t tr sérté ♥ ♦♥t♦♥ K0 s♥t
Page 98
P
X
Z
Y
Bloc 1θ=0º
Bloc 2θ=45º
Bloc 3θ=90º
r é♦♠étr ①t♦♥ t s ♦s étés
Pr♦♣rétés é♦♠étrqs s s♦♥t♥tés
♠ér♦ s♦♥t♥té rt♦♥ ♣♥ () P♥ ()
♠ét♦ Pr rs tt r ♠♦♥tr q ♠♥t♦♥ r♣♣♦rt s rtés
Kn/Kt ♣♦r t ♠♥tt♦♥ tr sérté ♦t♦♥s q s ♥ tr ♥ r♦tt♠♥t
st ♦s s ♦rs r♦♥t ♠ê♠ r ♠s s ♠♣ts ér♥ts
♦r♠ é♦♠étrq s②♠étrq sr r ♦ ♥ q s♦t ♦r ♠♣♦s
q ♦♠♠ ♣♦r s ♥ sr r ♦r③♦♥t rést♥t s ♦♥tr♥ts ♦r③♦♥ts
♥ts q ② s♦♥t ♣♣qés s♦t ♥ é♣♠♥t ♦ st ♦♥ ♥é♣♥♥t s ♦♥tr♥ts
♦r③♦♥ts ♥ts ♦♥ ♥é♣♥♥t K0 ♦♠♠ été ♠♦♥tré ♥s ♣rr♣ ♣♦r
s ♥ ♦ à sr r ♦r③♦♥t ♠♥tt♦♥ K0 s ♦♥tr♥ts ♥ts ss♥t
sr s s ΣJ ♦ ♠♥t♥t ♦rs q ♥ré♠♥t ♦♥tr♥ts ~σ ♥ ♥ ♣♦♥t ♦♥♥é ét♥t
♣r♦♣♦rt♦♥♥ é♣♠♥t ♦ ♥ ♣♦♥t rst ♥r ♥s ♣♦r s rs éés
K0 s ♦rts sr s s à étt ♥ s r♣♣r♦♥t s ♦rts ♥t① ①♣q ♣♦rq♦ ♥s
r s tr♦s ♦rs ♦rrs♣♦♥♥ts tr sérté s♥t
♣♦r ér♥ts r♣♣♦rts rtés ♦♥r♥t ♦rsq K0 ♠♥t
♠ét♦ s ♦s és ♥ ♣r♥ ♣s ♥ ♦♠♣t t s♣t sts♥t s ♦♥tr♥ts ♥ts
♥②s ♥é♠tq ♣♦r réstt ♥ ♠♦♠♥t ♥ t r t ♦♥ ♥♥♦♥ ♦rs q
♦♥t sérté st ♥
♥t ♠ét♦ ♥♦s ♦♥sér♦♥s q ♦♥t sérté st ♥ ♥s s ♦ù
trt♦♥ ♣♣rt sr ♥ ♦ ♥s tt ♠ét♦ ♦♥♥ ♠ê♠ réstt q ♠ét♦
s ♦s és tr sérté ♥ ♦rsq s ♦♥tr♥ts ♥ts s♦♥t s t ♣♦r ♥ r♣♣♦rt
s rtés s♣érr à ♥té ♥s tt ét st s s K0 < 0.71 t Kn/Kt = 10 ♦
K0 < 0.97 t Kn/Kt = 100
s♦t♦♥ s ♦s és ♣rs ♥ ♦♠♣t s ♦♥tr♥ts ♥ts ♠ét♦ ♦
Page 99
ts ♣r♠étrqs ♥ t ♦♠♣rs♦♥s
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
Facte
ur
de s
écurité
K0
Bloc 1, φ=35°, c=0 MPa
ISOBLOC, Kn/Kt=1
ISOBLOC, Kn/Kt=10
ISOBLOC, Kn/Kt=100
Blocs Clés
Blocs Clés avec contraintes
r ♦t♦♥ tr sérté ♥ ♦♥t♦♥ K0
❯❲ ①♣♦sé ♥s ♣tr ♣rr♣ st ss r♣rés♥té ♥s r
♦s r♠rq♦♥s q ♦♥t sérté ❯❲ s ♦♥♦♥
♣♦r ♥ r♣♣♦rt s rtés é à ♥té ♥♦s r♣♣ ♥②tq ♥ ♦
s②♠étrq t♦t ♥s ♣rr♣ ♦ù été ♠♦♥tré q ♦rsqKn = Kt ♦♠♣♦rt♠♥t
s ♦♥ts ♥♥tr♥t ♣s ♥s ♠♦t♦♥ s ♦♥tr♥ts ♥ts é♥♠♦♥s ♣♦r s r♣♣♦rts
rtés ♦ ♠ét♦ ♦♥♥ s trs sérté ♥érrs à ①
♠ét♦ ♦ ❯❲ srt♦t ♦rsq K0 st
♥ t ♥s ♠ét♦ ♦ ❯❲ s ♦rts ♥♦r♠① sr s s ♦ s♦♥t
és à ♣rtr ♥ ♠♦è ♦♥t♥ ♦ù ♣rés♥ s ♦♥ts ♥st ♣s ♣rs ♥ ♦♠♣t s ♦rts
s♦♥t ♦♥ ♥é♣♥♥ts s rs s rtés s ♦♥ts ttr ①♠♣ r ♠♦♥tr ♥
♦♠♣rs♦♥ ♥tr s ♦♥tr♥ts ♥♦r♠s sr s s ΣJ ♦ s♥t ♠ét♦ ♦
❯❲ t s♥t ♠ét♦ ♣♦r K0 = 1 t ♣♦r Kn/Kt = 1 ♦ Kn/Kt = 10
♦s r♠rq♦♥s q ♣♦r s Kn/Kt = 10 s ♦♥tr♥ts ♥♦r♠s és ♥ ♦♥sér♥t ♥
♠ ♦♥t♥ s♦♥t srst♠és ♣r r♣♣♦rt réstt
ét♦ ❯❲ ét♦ Kn
Kt
= 1 ét♦ Kn
Kt
= 10
σnP
r é♣rtt♦♥ s ♦♥tr♥ts ♥♦r♠s sr s s ♦ ♣♦r K0 = 1 ét♦s ♦s és ♦♥tr♥ts ♦ ❯❲ t ♠ét♦
Page 100
P
P♦r ér ré stté ♦ ♥stté s ré♦♥s ♦ù trt♦♥ ♣♣rt ♥s
s K0 < 0.71 t Kn/Kt = 10 ♦ K0 < 0.97 t Kn/Kt = 100 st ♣s ♦♥♥ étr
♥ tr ♥ stté q tr sérté ♥s t① ér♠♥t rtq λcritst r♣rés♥té ♥ ♦♥t♦♥ K0 t① st é ♥ t♦t ♣♦♥t ♦ t r ♠♥♠ st
rt♥ ♥s r λcrit st r♣rés♥té ♥ ♦♥t♦♥ K0 ♣♦r ① ♥s r♦tt♠♥t
ér♥ts φ = 25 t φ = 35 t ♣♦r ér♥ts rs r♣♣♦rt s rtés
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
λcrit
K0
Bloc 1, φ=25°, c=0 MPa
Kn/Kt=1
Kn/Kt=10
Kn/Kt=100
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
λcrit
K0
Bloc 1, φ=35°, c=0 MPa
Kn/Kt=1
Kn/Kt=10
Kn/Kt=100
r ♦t♦♥ tr ér♠♥t rtq λcrit ♥ ♦♥t♦♥ K0 ♣♦r① rs ♥ r♦tt♠♥t
♣♥t ♥ s ♦rs ♦rrs♣♦♥♥t ① r♣♣♦rts rtés Kn/Kt = 10 t
♥ à ♣rtr r K0 ss♦é à s♥ trt♦♥ ♦♠♠ ♠♦♥tr♥t s ①
r♣s r
Pr rs ♥ s♥ trt♦♥ t ♣♦r t♦t r r♣♣♦rt s rtés λcrit ♠♥
♥ ♦♥t♦♥ K0 ♦rsq φ = 25 ♦rs q ♠♥t ♥ ♦♥t♦♥ K0 ♣♦r φ = 35 ss ♥♦s
r♠rq♦♥s q rt♦♥ λcrit ♥ ♦♥t♦♥ r♣♣♦rt s rtés st r♦ss♥t ♣♦r φ = 25
♦rs q st ér♦ss♥t ♣♦r φ = 35
♣♣♦♥s q λcrit > 1 s♥ q ♦ st st rtèr ♣stté ♥st ♣s tt♥t
♣rès ér♠♥t sr r q ♦rrs♣♦♥ à λ = 1 t rt ♣♣qr ♥ t♦t
♣♦♥t sr r ♥ ♦♥tr♥t trt♦♥ (1− λ)σ0 ~n ♣♦r tt♥r rtèr ♥ ♥ ♣♦♥t
♦♥♥é ❯♥ r λcrit < 1 s♥ q ♠♦♥s ♥ ♣♦♥t ♦ ♣sté ♥t ér♠♥t
t♦t ①t♦♥
Pr ♦♥séq♥t ♥ r r♦ss♥t λcrit ♣t s♥tr♣rétr ♦♠♠ ♥ ♠♥tt♦♥
stté ♦ ♥ ♠♥t♦♥ ♥stté t ♥ r ér♦ss♥t λcrit ♦♠♠ ♥ ♠♥t♦♥
stté ♦ ♥ ♠♥tt♦♥ ♥stté
P♦r ①♣qr s ér♥s s t♥♥s ♥tr s ① r♣s r s♥t q
φ = 25 ♦ φ = 35 ♥♦s ♦♥s r♣rés♥té rt♦♥ ♦♥tr♥t t♥♥t ♥ ♦♥t♦♥
♦♥tr♥t ♥♦r♠ ♥ s ♣♦♥ts rtqs ♦ù λcrit été é ♣♦r Kn/Kt = 1 t ♣♦r s
♥ré♠♥ts K0 ♥tr t st ♦r ♦rrs♣♦♥♥t à λ = 1 ♥s r
r♣rés♥t étt s ♦♥tr♥ts σn σt s ér♠♥t r st t♦t ét
♦r ♦rrs♣♦♥ à K0 = 0.5 t ♥ à K0 = 2
♦r rt à λ = 0 r♣rés♥t étt ♥t s ♦♥tr♥ts σ0n σ0t ♥t ①t♦♥
tt r ♣rés♥t ss s ♦♥tr♥ts t♥♥ts résst♥ts ♥ ♦♥t♦♥ s ♦♥tr♥ts
♥♦r♠s σn σn tanφ ♣♦r φ = 25 t φ = 35
♥s ♣r♠r s φ = 25 ♥été σn tanφ < σt st r ♣♦r t♦t K0 ♦♥ ♣stt♦♥
Page 101
ts ♣r♠étrqs ♥ t ♦♠♣rs♦♥s
0
1
2
3
4
5
6
1 2 3 4 5 6 7 8 9
σt (M
Pa)
σn (MPa)
Bloc 1, Kn/Kt=1, K0=[0.5,2], c=0 MPa
σt à λ=1
σt−plastique, φ=25°
σt−plastique, φ=35°
σt à λ=0
r t♦♥ ♥tr σt t σn ♣♦r ♥ ♥ré♠♥t K0 Kn/Kt = 1
♥t ér♠♥t t♦t r ♦♠♠ ért ♥tr s ① ♦rs ♠♥t
K0 ♥♦s ♣♦♦♥s r q ♥stté ♠♥t K0 ♦♥ λcrit ♠♥ ♥s ①è♠
s φ = 35 ♥été σn tanφ > σt st r ♣♦r t♦t K0 ♦♥ ♣stt♦♥ ♥ ♣t ♣s ♦r
♥t ♥ ér♠♥t ♦♠♠ ért ♥tr s ① ♦rs ♠♥t K0 ♥♦s
♣♦♦♥s r q stté ♠♥t K0
♥ ♦♥s♦♥ ♥♦s ♦♥s ♠♦♥tré q q♥tt♦♥ ré stté r s♥t
rtèr stté tsé ♥s s ♦ s tr sérté st tsé ♦♠♠ rtèr
stté ♠♥t ♠♥tt♦♥ ♣r♠ètr K0 ♥é♣♥♠♠♥t ♥ r♦tt♠♥t
tr ér♠♥t rtq st tsé ét♦♥ stté é♣♥ ♥
r♦tt♠♥t ♦ ♥t q λcrit < 1 t q ♦ st ♥ ♦♠♣rss♦♥ ♥stté ♠♥t
♠♥tt♦♥ K0 λcrit > 1 stté ♠♥t ♠♥tt♦♥ K0 é♥♠♦♥s sr
qst♦♥ s♦r s ♦ st st ♦ ♥st s ① rtèrs λcrit t s♦♥t ♦r
♥♥ ♣♦st♦♥ ♦ à ♣r♦ r
♠ê♠ ♦ ♣rés♥té ♥s ♣rr♣ ♣réé♥t st été à ér♥ts ♣♦st♦♥s t♦r
r ♥ t ♥♦s s♦♥s sr à ♦ ♥ r♦tt♦♥ t♦r ① ①t♦♥ OY ♥
♥ θ ♠sré à ♣rtr ① rt réér♥ OZ θ r♥t ♥tr 0 t 180 réstt s
♠ét♦s t ♦s és s♦♥t ♦♠♣rés ♥ ♦♥t♦♥ t ♥ ♥st ① ♣♦st♦♥s
♣rtèrs à θ = 45 t θ = 90 strés ♥s r s♦♥t étés ♣s ♥ ét
t ♥ ♦♥t♦♥ ♣♦st♦♥
stté ♦ st ♥②sé ♥ ♦♥t♦♥ ♥ ♣♦st♦♥ θ s ♣r♠ètrs ♦♣tés s♦♥t
Kn/Kt = 1 ♦ 10 φ = 35 t ♣srs rs K0 s♦♥t ♦♥sérés
♥t ♠ét♦ s ♦s és ♦ ♣ss ♣r♦rss♠♥t ♣r tr♦s ♠♦s ♠♦♠♥t
s r♦tt♦♥ t♦r r t r ss♠♥t sr ♥ ss♠♥t sr ① s
P♦r ♥ ♥ θ s♣érr à 135 ♦ ♥ ♣t ①r ♥ ♠♦♠♥t s ér♥ts ♠♦s s♦♥t
Page 102
P
r♣rés♥tés ♥s r ♥ ♦♥t♦♥ ♥ ♣♦st♦♥ t♦r r ♥②s
♥é♠tq ♠♦♥tr q ♦ ♥ ♣rés♥t ♥ ♠♦♠♥t st ♦♥séré êtr st t tr
sérté st ♥♥
r♣rés♥tr tr sérté ♣♦r étr ♦r s rs ♥♥s ♥♦s ♦♥s
r♣rés♥té ♥ r♦tt♠♥t ♠♥♠ ♥éssr ♣♦r ♦r stté φmin ♥ ♦♥sér♥t ♥
♦és♦♥ ♥ ♦s ttr♦♥s φmin = 0 à t♦t ♦ ♥②♥t ♣s ♠♦ ♠♦♠♥t s♥t
♠ét♦ s ♦s és t q st ♦♥ st qq s♦t ♥ r♦tt♠♥t ♦♥t Pr rs
s ♦ st ♥ t r s♥t ♥②s s ♦s és ♦ q♥ trt♦♥ ♣♣rt sr ♥
ss s s♥t ♠ét♦ ♦ st ♥st ♥é♣♥♠♠♥t ♥ r♦tt♠♥t
♥s s s φmin ♥st ♣s r♣rés♥té ♦ ♦♥ ♣t é♠♥t ♦♥sérr φmin = 90 Ps φmin
♠♥ ♣s stté ♦ ♠♥t
♥t ♠ét♦ s ♦s és φmin ♠♥ ♥ θ ♦♠♠ ♠♦♥tr r
stté ♦ ♠♥t ♣r♦rss♠♥t ♠♥tt♦♥ θ
♠ét♦ φmin st é ♥ t♦s s ♣♦♥ts t st r ♠①♠
q st rt♥ réstt é♣♥ ♦rt♠♥t s ♦♥tr♥ts ♥ts t r♣♣♦rt s
rtés ♦♠♠ ♠♦♥tr s rs t ♦rsq K0 = 1 φmin st ♣rtq♠♥t
♥é♣♥♥t ♣♦st♦♥ ♦ t♦r r ♣♦r t♦t r r♣♣♦rt s rtés
très rt♦♥ ♥st qà ♣rs ♥ ♦♠♣t t q s ♦♥tr♥ts ♥ts é♣♥♥t
♣r♦♦♥r q r 195m à 205m
♥②s♦♥s ♣s ♥ ét r ♦rrs♣♦♥♥t à Kn/Kt = 1 P♦r K0 = 0.5 ♦ K0 = 1.5
♥♦s r♠rq♦♥s q stté ♣ss ♣r ① ②s ♠♥t♦♥ ♣s ♠♥tt♦♥ ♣♦st♦♥
s ♦s s ♣s sts ♦rrs♣♦♥ à θ = 0 ♦ t♦t θ = 90 t θ = 180 ♦ ♠r ♥s
à ér♥ ♠ét♦ s ♦s és stté ♥st ♣s ♥ ♦♥t♦♥ ♠♦♥♦t♦♥ ♥ θ
Pr rs stté ♥st ♣s ♥éssr♠♥t r♦ss♥t ♠♥tt♦♥ K0 ♥s ♣♦r
t♦ts s ♣♦st♦♥s ♦ s ♣♦r θ = 0 s K0 = 1 st ♣s st q s K0 = 1.5 q st
♣s st q s K0 = 0.5 ♥ ♦♠♣r♥t ♠ét♦ s ♦s és ♥♦s r♠rq♦♥s q
♥st sértr ♣r r♣♣♦rt à ♠ét♦ q ♣♦r s ♣♦st♦♥s θ ♦ ♥tr
0 t 95 ♥ ♦tr ♠ét♦ s ♦s és ♥♦r t q♥ ♦ sté ♠r ♥ ①t♦♥
♣t ♦r ♥ q ♣st ê♠ s ♠♦♠♥t ♥ t ♦ rs s♣ ♥térr
r ♥ ♣rés♥t ♣s rsq ♠r ♣sq ♥ st ♣s t ♦t êtr ♣rs ♥ ♦♠♣t
♥s ♥ ét r♦rs stté ♦s
♥ ét♥t r ♦rrs♣♦♥♥t à Kn/Kt = 10 ♥♦s r♠rq♦♥s q r φmin
st ♣s éé ♣♦r t♦ts s ♦♥rt♦♥s ♣r r♣♣♦rt s Kn/Kt = 1 ♥s s ss φmin
♣ss ♣r ① ②s ♠♥tt♦♥ t ♠♥t♦♥ ♦ù ♠①♠♠ stté st tt♥t ♣♦r s
♠ê♠s ♣♦st♦♥s q ① r trt♦♥ ♣♣rt ♥ ♦ ♣♦r K0 = 0.5
♣♦r t♦ts s rs θ ♥érrs à 78t s♣érrs à 110 ♠ét♦ s ♦s és st ♥♦♥
sértr ♥s s K0 = 0.5 t Kn/Kt = 10
♣rès ♥②s r ♥♦s ♦②♦♥s ♥ q s♥t ♠ét♦ ét♦♥
stté st r♠♥t ♥♥é ♣r s ♦♥tr♥ts ♥ts t s r♣♣♦rts s rtés
♠ét♦ s ♦s és s♦sst♠ étt ♥stté ♦rsq s ♦s ♦♥t s ♣♦st♦♥s ♦rrs♣♦♥♥t
à s ♥s θ éés
Page 103
ts ♣r♠étrqs ♥ t ♦♠♣rs♦♥s
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180
φm
in(°
)
θ(°)
ét♦ Kn/Kt = 1
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180
φm
in(°
)
θ(°)
ISOBLOC K0=0.5
ISOBLOC K0=1
ISOBLOC K0=1.5
Blocs Clés
ét♦ Kn/Kt = 10
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
34 81 135
φm
in(°
)
θ(°)
Ch
ute
lib
re
Glis
se
me
nt
su
r 1
fa
ce
Glis
se
me
nt
su
r 2
fa
ce
s
Pa
s d
e m
ou
ve
me
nt
ét♦ s ♦s és
r ♥ r♦tt♠♥t ♠♥♠ ♥éssr ♣♦r ♦r stté ♥ ♦♥t♦♥ ♣♦st♦♥ t♦r t♥♥ s♥t ér♥ts ♠ét♦s
t ♦ ♦rrs♣♦♥♥t à θ = 45
♥s ♣rr♣ ♥♦s ét♦♥s ♥♥ s ♦♥tr♥ts ♥ts t s rtés s ♦♥ts
sr ♠♦♠♥t t stté ♦ sté à ♣♦st♦♥ θ = 45 ♦ t sé♠tsé ♥s
r
♥s r ♥ r♦tt♦♥ Wy ♦ st r♣rés♥té ♥ ♦♥t♦♥ s ♣r♠ètrs
K0Kn tKt ♣♣♦♥s q ~W st tr r♦tt♦♥ ♦ ♣rès ①t♦♥ t ♦♥Wy r♣rés♥t
♠♣t r♦tt♦♥ ♦ t♦r ♥ ① ♣ss♥t ♣r s♦♥ ♥tr rté t ♣rè à
① Oy) r
♦rsq K0 = 1 s ♦rts ♥t① ss♥t sr ♦ s♦♥t ♣r♣♥rs ① s s
s②♠étr ♦ t ♥ ♥é♥t t rté rést♥t s ♦rts ♥t① ♣♣qés sr
tr r ♣ss ♣r ♥tr rté ♦ ♦♥ ♠♦♠♥t s ♦rts ♣r r♣♣♦rt
à ♣♦♥t st ♥ ~M0 st ♥ tr ♥ ♥s s②stè♠ éqt♦♥s st ♦♥ ♣rés
♦t♥r s rs ♣s s r♦tt♦♥ ♣♦r K0 = 1 ♠♥tt♦♥ ♦ ♠♥t♦♥
K0 ♣♦r t ♠♥tt♦♥ ♥ r s♦ s ♠♦♠♥ts réés ♣r s ♦♥tr♥ts ♥ts
ss♥t sr r ♦ ♥érté rt♦♥ Wy (K0) st ss ♣rés t st
Page 104
P
♦♥séq♥ ♥érté s ♦s ♦♠♣♦rt♠♥t s ♦♥ts Pr rs ♥♦s ♦sr♦♥s q
♣♦r ♥ étt ♥t ♦♥♥é ♦♥ ♣♦r ♥ r K0 ♦♥♥é t s trs ~F0 t ~M0 ♦♥♥és
♠♣t r♦tt♦♥ ♠♥ ♠♥tt♦♥ rté ♥♦r♠ ♥ t ♠♣t
♠♦♠♥t ♦ ♠♥t ♠♥t♦♥ s rtés ♦♠♠ ♥♦s ♦♥s é♠♦♥tré ♥s
♣rr♣
r str ♠♦♠♥t ♦ ♣♦r K0 = 0.5 t Kn/Kt = 1 ♦s ♣♦♦♥s
♦srr ér♥ rt♦♥ ♠♦♠♥t s♥t ♠ét♦ t s♥t
♠ét♦ s ♦s és tr é♣♠♥t ♥♦r♠é st tsé ♣♦r r♣rés♥tr ♣♦st♦♥
♥ ♦ ♥t ♠ét♦ s ♦s és ♦ ss sr ♥ ♦rs q s♥t
♠ét♦ ♦ s ét t♦ts s s t ♥ ér ♠♦♠♥t r♦tt♦♥ t♦r
♥ ① ♦r③♦♥t ♣ss♥t ♣r s♦♥ ♥tr
−0.02
−0.01
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
An
gle
de
ro
tation
Wy(°
)
K0
ISOBLOC, Bloc 2, Kt=1000 MPa/m
Kn/Kt=1
Kn/Kt=10
Kn/Kt=100
♥ r♦tt♦♥ ♥ ♦♥t♦♥ K0 t s rtés
ISOBLOC
Etat initial
Blocs Clés
♦♠♥t ♦ s♥t ♣♦r K0 = 0.5 t Kn/Kt = 1 ts♥t ♠ét♦ s ♦s és
r t ♠♦♠♥t ♦ ♦rrs♣♦♥♥t à θ = 45 ♦
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
Facte
ur
de s
écurité
K0
Bloc 2, φ=35°, c=0 MPa
ISOBLOC, Kn/Kt=1
ISOBLOC, Kn/Kt=10
ISOBLOC, Kn/Kt=100
Blocs Clés
r tr sérté ♥ ♦♥t♦♥ K0 ♣♦r θ = 45
t♦♥s ♣♦r ♦ rt♦♥ tr sérté ♥ ♦♥t♦♥ s ♦♥tr♥ts ♥ts t
Page 105
ts ♣r♠étrqs ♥ t ♦♠♣rs♦♥s
s rtés s ♦♥ts ♦s r♠rq♦♥s ♣rès r q é♦t♦♥ tr sérté
♥ ♦♥t♦♥ K0 ♥st ♣s ♠♦♥♦t♦♥ ♦♠♠ ♣♦r s ♦ t♦t ♦ st r♦ss♥t
♣s ér♦ss♥t tr ♣rt ♠♥tt♦♥ r♣♣♦rt s rtés ♥ t ésts♥t sr
♦
♠rq♦♥s q tr sérté st ♣s éé ♣r r♣♣♦rt à ♦♥♥é ♣r ♠ét♦
s ♦s és ♦rsq Kn/Kt = 1 ♣♦r t♦ts s rs K0 ♦t♦s ♣♦r Kn/Kt = 10 ♦
Kn/Kt = 100 ♥ ♦ tr s ♠ét♦s st ♣s sértr s♥t r K0
P♦r ♠① ♦♠♣r♥r t ♠♥tt♦♥ r♣♣♦rt s rtés sr stté ♦
r♣rés♥t♦♥s rt♦♥ tr sérté ♥ ♦♥t♦♥ r♣♣♦rt s rtés ♣♦r tr♦s s
♦♥tr♥ts ♦r③♦♥ts ♥ts ♦♠♠ ♠♦♥tr r tr st t♦♦rs ér♦ss♥t
à ♣rtr ♥ r♣♣♦rt s rtés s♣érr à ♥té
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
0.1 1 1.9 2.8 3.7 4.6 5.5 6.4 7.3 8.2 9.1 10
Facte
ur
de s
écurité
Kn/Kt
Bloc 2, φ=35°, c=0 MPa
ISOBLOC, K0=0.5
ISOBLOC, K0=1
ISOBLOC, K0=1.5
Blocs Clés
r tr sérté ♥ ♦♥t♦♥ Kn/Kt ♣♦r θ = 45
t ♦ ♦rrs♣♦♥♥t à θ = 90
♥s ♣rr♣ ♥♦s ♥♦s ♥térss♦♥s ♦ sté à ♣♦st♦♥ θ = 90 ♦ sé♠tsé
♥s r
P♦r ♦ ♦♠♠ ♣♦r ♦ ♥♦s ♣♦♦♥s é♠♦♥trr q ♠♦♠♥t ♥ r♦tt♦♥ st
♥ à s s②♠étr ♦♥rt♦♥ ♦ ♣r r♣♣♦rt ① ♦♥tr♥ts ♥ts ss♥t
sr s r ♥ t rést♥t s ♦♥tr♥ts ♦r③♦♥ts ♥ts ss♥t sr r
♦ ♣ss ♣r s♦♥ ♥tr rté ss rést♥t s ♦♥tr♥ts rts ♥ts ss♥t
sr tt st qs ♥ r t rté st ♥é ♣r r♣♣♦rt ① ♠♣ts s
♦♥tr♥ts rts ♦♥ ♣♦r ♦ ~M0 st ♥ tr qs ♥ qq s♦t r
K0 ♦t♦♥s q ♠♦♠♥t M0y ♥st ♣s ♥ à très s ♣r♦♦♥rs ♦rsq rt♦♥ s
♦♥tr♥ts rts ♥ts sé ♣r rté ♥st ♣s ♥é
é♦t♦♥ tr sérté ♥ ♦♥t♦♥ s ♦♥tr♥ts ♦r③♦♥ts ♥ts t r♣♣♦rt
s rtés st r♣rés♥té ♥s r ♦♠♠ ♣♦r s ♦ tr sérté st
r♦ss♥t ♥ ♦♥t♦♥ K0 sqà ♥ rt♥ r K0 ♣r♦ ♥té à ♣rtr q
♥t ér♦ss♥t
Page 106
P
♠♦ ♠♦♠♥t s♥t ♠ét♦ s ♦s és st ♥ ss♠♥t sr ① s tt
♠ét♦ ♥st ♣s sértr ♣r r♣♣♦rt à ♠ét♦ ♣♦r Kn/Kt = 100 q q
s♦t ♠♣t s ♦♥tr♥ts ♦r③♦♥ts ♥ts P♦r Kn/Kt = 10 ♥st ♣s sértr s
K0 > 1.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
Facte
ur
de s
écurité
K0
Bloc 3, φ=35°, c=0 MPa
ISOBLOC, Kn/Kt=1
ISOBLOC, Kn/Kt=10
ISOBLOC, Kn/Kt=100
Blocs Clés
r tr sérté ♥ ♦♥t♦♥ K0 ♣♦r θ = 90
t ♥ ♦ ♥♦♥ s②♠étrq
é♦♠étr ♦ ♥ rô étr♠♥♥t sr ♣♣rt♦♥ r♦tt♦♥ ♦s ♦♥s ♥s s
♣rr♣s ♣réé♥ts q s ♦s t ♥ ♣rés♥t♥t ♣s ♠♦♠♥t r♦tt♦♥ ê♠ ♣♦r
♦ ♥♥é à 45 s ♠♣ts ♥ r♦tt♦♥ rst♥t ♠tés à très s rs
t ♣rr♣ st étr ♥ ♦ ♦♥t s s ♦♥tt ♥ ♣rés♥t♥t ♣s s②♠étr ♣r
r♣♣♦rt à r ♦
♦s ♦♥s ♦♥sérr ♦ t♦t ♦ t ér s♦♥ s♦♠♠t ♥ tr q ♠ê♠
rt♦♥ q ôté r♥t s ♦♥ts t é♥s ♥s t tr st é♥ ♣r~V = β ~A ~A tr r♥t s ① s♦♠♠ts ♦♥r♥és ♦ ♦♠♠ ♠♦♥tr
r ♥s r ♥♦ ♦ st ♠ê♠ q ♦ ① s r♥t
♠ê♠ ♣♥ t rt♦♥ ♣♥ ♠s s♦♠♠t ♦ st éé t s s②♠étr st r♦♠♣
Psrs rs tr β s♦♥t ♦♥sérés s ♥s r♦tt♦♥ ♦ ♥ ♦♥t♦♥
♦♥t é s♦♥t r♣rés♥tés ♥s r étt ♥t β = 1 ♦rrs♣♦♥ ♦
s②♠étrq ♦ P♦r ♦ ♠♦♠♥t ①ré ♣r s ♦♥tr♥ts ♥ts sr ♥tr
♦ st qs ♥ s♥ st q r♦tt♦♥ ♦ st ♥ Ps s♦♠♠t st éé ♣r r♣♣♦rt
♥tr rté ♦ ♣s r♦tt♦♥ ♠♥t sqà ♥ rt♥ ♣♦st♦♥ ♦♥♥é ♦rrs
♣♦♥♥t à β = 1.54 s①♣q ♣r ♠♥tt♦♥ ♠♣t ♠♦♠♥t s ♦♥tr♥ts
♥ts ss♥t sr sr r ♦ ♥t ①t♦♥ ♠♥t♦♥ ♠♣t r♦t
t♦♥ q st ♣t êtr ①♣qé ♣r ♠♥tt♦♥ t ♦ ♥ t s éé♠♥ts
♠tr rté R s②stè♠ à rés♦r ♦♥stt♥t s ♥térs sr s s♦♥t t♥t
♣s éés q t ♦ ♠♥t t♦t st ①é ♥s s②stè♠ éqt♦♥s à rés♦r
Page 107
ts ♣r♠étrqs ♥ t ♦♠♣rs♦♥s
−0.025
−0.02
−0.015
−0.01
−0.005
0
0.005
1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
Angle
s d
e r
ota
tion (
°)
Coefficient de décalage du sommet β
Bloc 1 modifié, Kn=1000 MPa/m, Kt=1000 MPa/m
Wx
Wy
Wz
r ♦♠♥t r♦tt♦♥ ♥ ♦ ♥ ♦♥t♦♥ é s♦♠♠t
♠♥tt♦♥ t ♦ ♣♦r t ♠♥t♦♥ s♦♥ ♠♣t é♣♠♥t
s é♦♠étr r ♦ s ♦♠♣♦s♥ts ♦r③♦♥ts ~F0 t ~M0 s♦♥t
♥s qs qs s♦♥t s rs K0 st ♠♦♠♥t s ♦♥tr♥ts rts q ♥st ♣s
♥ ♣r r♣♣♦rt ♥tr rté ♦ t q ♠♥t é s♦♠♠t ♦
♦♥ tr β P♦r ♥ ♦♥rt♦♥ ♦♥♥é ♠♦♠♥t ♦ st ♦♥ ♥é♣♥♥t
r K0
P♦r ♦ ♦♥t r♦tt♦♥ st ♠①♠ ♦ ♦rrs♣♦♥♥t à β = 1.54 r str
♠♦♠♥t Kn/Kt = 1 t q q s♦t r K0 ♥♦ ♣♦st♦♥ st stré ♥
♣r♥♥t s trs é♣♠♥t ♥♦r♠és r sé♠ts ♠♦♠♥t ss♠♥t
♦ sr ♥ ♦t♥ ♠ét♦ s ♦s és s♥ r♦tt♦♥
ét♦ Kn/Kt = 1 t ♥ rq♦♥q K0
ét♦ s ♦s és
r strt♦♥ r♦tt♦♥ ♦ ♦rrs♣♦♥♥t à β = 1.54
♦♥s♦♥
♦s ♦♥s ♠♦♥tré q réstt é♣♥ r♠♥t s ♦♥tr♥ts ♥ts t s
rtés s ♦♥ts ♠♥tt♦♥ s ♦♥tr♥ts ♦r③♦♥ts ♣t ♦r ♥ t sts♥t sr
♦ t q st ♥♦ré ♣r ♠ét♦ s ♦s és t t sts♥t st ♠rqé ♣♦r ♦
♦♥t ♠♦ ♠♦♠♥t st t r s♥t ♠ét♦ s ♦s és ♦t♦s ♣♦r
trs t②♣s ♦s ♠♥tt♦♥ s ♦♥tr♥ts ♦r③♦♥ts ♣t ♦♥trr ♦r ♥ t
Page 108
P
ésts♥t à ♣rtr ♥ rt♥ r rtq
♠ét♦ s ♦s és é♣♥ ♥q♠♥t é♦♠étr ♦ t ♦r t ss♥t
sr ♦ ♥s s ♠♦ ♠♦♠♥t st ss♠♥t sr ♥ ♣s ♣♥t
♠♥ ♣s stté ♦ ♠♥t t ♣♦r ♥ ♣♥t ♥ stté ♦ st ♥♥
q q s♦t ♥ r♦tt♠♥t t ♠ét♦ ♠♦♥tré q♥ ♦
♦♥t ss♠♥t st ♠♦♥s ♣♥t ♥st ♣s ♥éssr♠♥t ♣s st ♥ t s♦♥ tt
♠ét♦ ♥st ♣s rt♦♥ ♦r t ♣r r♣♣♦rt ① s ♦ q st étr♠♥♥t
♣♦r stté ♦ ♠s ♣tôt rt♦♥ s ♦rts ♥t① sr s s ♦ P♦r ♥
♦ t♦t ♠ét♦ s ♦s és st ♣s sértr ♣sq ♦♥♥ ♥ tr sérté
♥ ♠s ♣♦r trs t②♣s ♦s ♦♠♣rs♦♥ é♣♥ s ♦♥tr♥ts ♥ts t s rtés
s ♦♥ts
♦s r♠rq♦♥s ♣r rs q ♠♥tt♦♥ r♣♣♦rt s rtés ♥ t ést
s♥t sr ♦ s♠rt ♦rs ♣s sértr ♥s s ♦ù ♣ ♥♦r♠t♦♥s s♦♥t ♦♥♥s
♦♥r♥♥t s rs s rtés s ♦♥ts ♣r♥r ♥ r♣♣♦rt rtés éé ♥s
②♥tès
♥s ♣tr ♣r♦è♠ stté s ♦s stés t♦r ♥ ①t♦♥ s♦trr♥ st
r♦♥séré ♥s r ♣♣r♦ s ♦s s♦és ét ♥ s ♦ ♥ s♣♣♦s♥t q st
r t q rst ♠ss r♦① st r t ① ♥②s stté ♥ésst étr♠♥r
s ♦♥tr♥ts ss♥t sr s s ♦ ♣rès ①t♦♥ ♦♥ ♦♥♥t é♦♠étr ♦
s ♦♥tr♥ts ♥ts s ♣r♦♣rétés ♠é♥qs s ♠tér① ♦s ♦♠♣♦rt♠♥t s ♦♥ts t
st♦rq s ♦♥t♦♥s ① ♠ts ♣r♦è♠ ♣t êtr rés♦ s ♥ss♥s s ♠ét♦s
①st♥ts ♦♣t♥t ♣♣r♦ s ♦s s♦és ♥♥♥t t q st♦rq r♠♥t
st s♦t ♥♦ré ♦ ♦♥séré à étt ♥ ♥q♠♥t ♥s ♠ét♦ s ♦s és s♦t ♠
r♣rés♥té ♠ét♦ ①t♦♥ ♥ésst s s♠♣t♦♥s ♥♦♥ stés ♣♦r r♥r
♣r♦è♠ étr♠♥é
♥s ♣tr ♥ ♥♦ ♠♦è ♣♦r étr ♦♠♣♦rt♠♥t ♥ ♦ s♦é sté sr
sr ♥ ①t♦♥ s♦trr♥ st é♦♣♣é ♥ ♦♥sér♥t st♦rq r♠♥t
ç♦♥ r♦rs ♥tr étt ♥t ♥t ①t♦♥ t étt ♥ ♣rès ①t♦♥ étt ♥t
s ♦rts ss♥t sr s s ♦ s♦♥t ♦♥♥s ♥s q s ♦rs ♦♠qs ♣r♦sss
①t♦♥ st ♠♦ésé ♣r ér♠♥t ♣r♦rss r ♦s s♣♣♦s♦♥s q
ér♠♥t ç♦♥ ♠♦♥♦t♦♥ t q ♦ ♣ss ♣r♦rss♠♥t ♣r ♣srs étts
éqr rt♦♥ s ♦rts sr s s ♦ ♥tr ♥ étt ♦♥♥é t étt s♥t st
ré ♣r s ♦s ♦♠♣♦rt♠♥t s ♦♥ts ♥s s rt♦♥s ♥♦r♠ t t♥♥t ♦♥t
♦♠♠ ②♣♦tès rté r♦ st ♦♣té ♥♦s ttr♦♥s ♦ ♥ ♠♦♠♥t ♦r♣s
s♦ ♥ tr♥st♦♥ t ♥ r♦tt♦♥ ♥s é♣♠♥t t♦t ♣♦♥t ♦ ♣t êtr ①♣r♠é
♥ ♦♥t♦♥ é♣♠♥t ♥ ♣♦♥t réér♥ ♦♥♥é t r♦tt♦♥ ♦ ♥ s♣♣♦s♥t
q s ♦s ♦♠♣♦rt♠♥t s ♦♥ts s♦♥t éstqs ♥érs ♣ss s ♦♥tr♥ts étt
♥t à étt ♥ st ♦rs ré ♣r ♥ ♦ ♥ér Pr ♦♥séq♥t ♥st ♣s ♥éssr ♣ssr
♣r ♣srs ♥ré♠♥ts ér♠♥t r♦♥tèr r ♦ ♥ ts♥t s éqt♦♥s
éqr s ♦rs t s ♠♦♠♥ts éqt♦♥s s ♦s ♦♠♣♦rt♠♥t s ♦♥ts t éqt♦♥
♠♦♠♥t ♦r♣s s♦ ♣r♦è♠ st rét à ♥ s②stè♠ ♥ér à éqt♦♥s ♦ù s ss
♥♦♥♥s s♦♥t é♣♠♥t t r♦tt♦♥ ♦ ♥ ♣♦♥t réér♥ ♥♦♥♥s
①è♠ ♠♠r s②stè♠ éqt♦♥s st ♦♥stté ♣r rést♥t s ♦rs ss♥t sr
Page 109
②♥tès
r ♥t ①t♦♥ t s♦♥ ♠♦♠♥t ♣r r♣♣♦rt ♣♦♥t réér♥ ♠tr
rté ♦♥stté ♣r s tr♠s q ♠t♣♥t s ♥♦♥♥s ♥s s②stè♠ éqt♦♥s é♣♥
♦r♠ é♦♠étrq ♦ t s rtés s ♦♥ts st ♥ ♠tr é♥ ♣♦st ♦♥
♥rs
s ♦r♠t♦♥s ♠tr rté t s♦♥ ♠♠r s②stè♠ éqt♦♥s ♥ésst♥t
♥térs sr s t ♥ ♣rtt♦♥♥♥t s s ♦ ♥ s éé♠♥ts
tr♥rs ♦ rt♥rs q♦♥ ss♦ à s éé♠♥ts réts s éé♠♥ts réts s♦♥t é♥s
♣r ♥ ♥♦♠r ♦♥♥é ♥÷s t ♣♦♥ts ss ♦♥t ♦♥ ♦♥♥t s ♦♦r♦♥♥és réts t s
♣♦s ♥s ♠♦è é♦♣♣é q ♥♦s ♦♥s ♥♦♠♠é t♦ts s ♦♥♥és s♦♥t é♥s
① ♥÷s s éé♠♥ts ♥tr♣♦t♦♥ ♦s ♣r♠t s é♥r ① ♣♦♥ts ss
s ♥térs sr ♥ ♦♥t♦♥ ♦♥♥é s t ♦rs ♣r s s♦♠♠t♦♥s tt ♦♥t♦♥
é♥ ① ♣♦♥ts ss ♥ ♠t♣♥t ♣r ♦♥ tr♥s♦r♠t♦♥ ♥tr ♦♦r♦♥♥és
réts t ♦♦r♦♥♥és rs t ♣r ♣♦s ss tt ♥tért♦♥ ♥♠érq ♣r♠t étr
t♦s t②♣s é♦♠étrs tr♠♥s♦♥♥s ♠ê♠ s q ♣rés♥t♥t s ♦r♠s ♦♥s ♦ s
srs ♦rs
♣rès rés♦t♦♥ s②stè♠ s é♣♠♥ts ♥ t♦t ♣♦♥t ♦ ♣♥t êtr étr♠♥és
♣♣t♦♥ s ♦s ♦♠♣♦rt♠♥t s ♦♥ts ♣r♠t ér ♥ ♣rt♥t étt ♥t
s ♦♥tr♥ts ♦♥♥s étt ♥ s ♦♥tr♥ts ♥ t♦t ♣♦♥t ♦ ♦♠♠ s ♦♥tr♥ts
ér♥t éqr ♦ s s♦♥t sttq♠♥t ♠sss rst ♦♥ à érr s s♦♥t
♣stq♠♥t ♠sss tt ért♦♥ st t ♣rès ♦♣ s st ♣r t q ♦
♦♠♣♦rt♠♥t st ♥ér ér♠♥t st ért ♣r ♥ s sr t① ér♠♥t t
rtèr ♦♥séré ♦♦♠ st ♦♥① ♥s s s ♦♥tr♥ts ♥s ♥ t♦t ♣♦♥t ♦ s♦♥t à
♥térr ♦♠♥ ♠ss ♥♦s ♣♦♦♥s ♦♥r q ♦♠♣♦rt♠♥t ♦ st ré♠♥t
ré ♣r s ♦s éstqs t q s♦♥ éqr st st rtèr st é♣ssé ♥ ♥ ♣♦♥t ♦♥♥é
♥♦s és♦♥s q ♣♦♥t t♠♥t ♣sté ♥t ért♦♥ t♦t r ♥s
s étt s ♦♥tr♥ts és ♥st ♣s r étt ♥stté ♦ stté ♣t êtr
éé ♥ ♥t ♥ ♦♥t sérté q st r♣♣♦rt ♥tr s ♦♥tr♥ts résst♥ts
s♠♥t t s ♦♥tr♥ts t♥♥ts ts és ♣♦♥t ♣s rtq ♥ ♣rss♦♥
s♦tè♥♠♥t ♦ ♥ t① ér♠♥t rtq r ♣♦r q rtèr st é♣ssé
♠♦è é♦♣♣é ♣r♠t sr♠♦♥tr t♦ts s ♠tt♦♥s s ♠ét♦s ①st♥ts ♦♣t♥t
♣♣r♦ s ♦s s♦és ♣rs ♥ ♦♠♣t s ♦♥tr♥ts ♥ts ♣rs ♥ ♦♠♣t ♦♠♣♦rt♠♥t
s ♦♥ts ♠♦ést♦♥ r♦tt♦♥ ♦ ♦♥sért♦♥ ♥ ré♣rtt♦♥ ♥♦♥ ♥♦r♠ s
♦♥tr♥ts sr s s t ♣♦ssté étr s é♦♠étrs tr♠♥s♦♥♥s ♣♦♥t êtr ss
♦♠♣①s q ♦♥ ésr t♦t st t ♥ ♦r♠t♦♥ ♠é♥q ♣r♦è♠ ♣s
r♦rs ♣♦ss
♠♦è é♦♣♣é ♥ ré♠♥t ♣s s♦♥ t♦♥ s ♥♦s ♦♥sér♦♥s q s ②♣♦tèss
♥ts ♦♣tés s♦♥t rs r♦ r ♣s ♥trt♦♥ s ♦s ♦s♥s ♦s ♦♠♣♦r
t♠♥t s ♦♥ts éstqs ♥érs ♥ trs tr♠s s ♠ê♠ ♦ st été ♥ ts♥t ♥
♠♦è r ♥ é♠♥ts ♥s s ♠ê♠s ♦♥♥és t ②♣♦tèss réstt s ♦♥tr♥ts
♥s sr ♥tq à ♥ t s ♠ê♠s éqt♦♥s s♦♥t tsés ♥s s ①
♠♦ès Pr rs ♦♠♣rs♦♥ s réstts à ① ♥ ♠♦è ♥ é♠♥ts
♥s ts♥t ♥ r♦ é♦r♠ ♣r♠s ♠♦♥trr q ♥s s ♥ ♠♦ ❨♦♥
r♦ ss③ éé ♣r r♣♣♦rt ① rtés s ♦♥ts ♦♠♣♦rt♠♥t s s♦♥t♥tés ♣s
♥♥ sr ré♣rtt♦♥ s ♦♥tr♥ts q é♦r♠té r♦ ♥ ♦tr ♥s s
♠♦è s r♣♣r♦ s réstts ♠♦è é♦r♠ ♥ é♠♥ts ♥s ♦♣ ♣s
Page 110
P
q ♠ét♦ s ♦s és ♦ ♥ ♠♦è ♦♥t♥ é♦r♠
♦♠♠ ♣r♦è♠ ♥ ♦ s②♠étrq ♥ sté sr t♦t ♥ ①t♦♥ été été ♥s
ttértr ♥ ts♥t ♠ét♦ ①t♦♥ ♥♦s ♦♥s ss été ♦ ♥②tq♠♥t
♠ét♦ ♥s s ♦rs sr s s à étt ♥ ♦♥t été ①♣r♠és ♥ ts♥t
♠♦è ♣té ♣♦r ♥ ♥ ♣r♦è♠ st été ♥ tr♠ rést♥t
♣r ♥s ♥ t ♦♠♣rt ♥ ♦♠♣r♥t s réstts s ① ♠♦ès s ♦rs rts
ss♥t sr s s ♦ s♦♥t s ♠ê♠s ♠s s ♦rs ♦r③♦♥ts s♦♥t ér♥ts s s♦t♦♥s
♦♥r♥t s ♦r rt ♥t st ♦♥séré ♥ ♥s ♠ét♦ ♥s ♥ q
♥s ♠ét♦ ①t♦♥ ♦♠♣♦rt♠♥t s ♦♥ts s♦t tsé ♣♦r r ♥étr♠♥t♦♥
st♦rq r♠♥t ♥st ♣s ♣rs ♥ ♦♠♣t ç♦♥ r♦rs ♥ t ♦♠♣♦rt♠♥t
s ♦♥ts ♥st s♦té q ♣r ♦t ♣♦s à étt ♥ ♥s ♥♦tr ét ♥♦s ♦♥s ♠♦♥tré
q ♥♦♥ ♣rs ♥ ♦♠♣t s ♦♥tr♥ts rts ♥ts ♥st ♣s sértr ♣r r♣♣♦rt à
♠ét♦ ♦rsq r♣♣♦rt s rtés ♥♦r♠s ① rtés t♥♥ts s ♦♥ts
st s♣érr à ♥té q st s♦♥t s ♥♠♥t ♦♠♣rs♦♥ ♥ ♠ét♦
étr♠♥st ♠ét♦ ♦ tr♥s♣♦sé ♣♦r ♥ ♦ ♥ q ét ♦ à s♦♥
étt ♥ ♥q♠♥t ♠♦♥tré q s ① ♠ét♦s s♦♥t éq♥ts s tstr ♦
♦r♥t s ♦♥♥s ♦♥tr♥ts ♦r③♦♥ts ♦s ♣♦♦♥s ♦♥r ♦rs q♥ qq
s♦rt s ♠ét♦s éà é♦♣♣és ♣♦r ♦ s♠♣ ♥ ♦♥stt♥t s s
♣rtrs ♠ét♦ ♥ ♣♦rr ♦tr ♥ s♥t q s ♦♠♣rs♦♥s ♦♥t été ts
♥ ♦♥sér♥t ♥s ♠ét♦ ①t♦♥ s ♦rs ♦r③♦♥ts ♥♦♥ ♠♦és ♣r ♥
éstq ♦s ♣♦♦♥s ♦rs ré♣♦♥r q ♥ ♣rt s ♦♥ t réstt rst ♣♣r♦①♠t t
tr ♣rt ♦♠♠ ②♣♦tès r♦ r st ♦♣té t♦t ♠♦t♦♥ s ♦♥tr♥ts sé
♣r é♦r♠té r♦ st ♥é Pr rs ♣♦r ♦ à ♥♦s ♦♥s é♠♦♥tré q
stté ♠♥t ♠♥tt♦♥ s ♦♥tr♥ts ♦r③♦♥ts ♦ ♠♥t♦♥ ♥
s♦♠♠t ♦ ♦ ♣s ♣♦♥t t q ♠♥tt♦♥ r♣♣♦rt s rtés rté ♥♦r♠
sr rté t♥♥t ♥ t ésts♥t sr ♦ s ♦♥s♦♥s ♥ ♦♥r♥♥t q t②♣
♣rtr ♦ t♦t ét ♥ tr ♦ ♥ ♦♥tt ♥ sr ♥♥é t♥♥
♠♦♥tré q ♠♥tt♦♥ s ♦♥tr♥ts ♦r③♦♥ts ♥ t ésts♥t à ♣rtr ♥ rt♥
s t q t ♠♥tt♦♥ r♣♣♦rt s rtés sr stté ♦ r s♥t s
♦♥tr♥ts ♥ts ss♥t sr ♦
♣♣t♦♥ ♠ét♦ ♣♦r étr ♥ ♦ ♥ ♣r♠s ♠① ♦♠♣r♥r
t s ér♥ts ♣r♠ètrs t ♠♦♥trr s ér♥s ♠ét♦ s ♦s és ♦t
♦r ♥ ♦ t♦t ♣rés♥t♥t ♥ rt♥ s②♠étr st été ét ♣r♠étrq sr ♦
♦♥♥é s ♠ê♠s ♦♥s♦♥s q ét ♥②tq ♦ s②♠étrq ♥ ss ♦♠♣rs♦♥
♠ét♦ ssq s ♦s és ♠♦♥tré q st ♦♥srt ♣sq ♥♦r
t sts♥t s ♦♥tr♥ts ♦r③♦♥ts ♥ts ♥ r♥ ♦♠♣rs♦♥ ♠ét♦
s ♦s és q ♣r♥ ♥ ♦♠♣t s ♦♥tr♥ts ♥ts ♠ét♦ ♦ ❯❲
♠♦♥tré q ♣t srst♠r stté ♥s s ♥ r♣♣♦rt s rtés éé ♣sq
♦♠♣♦rt♠♥t s ♦♥ts ♥st ♣s ♣rs ♥ ♦♠♣t
♥st ♦ été t♦r♥é t♦r ①t♦♥ ♣♦r ♣♦♦r tstr trs ♦♥rt♦♥s
♠ét♦ s ♦s és stté ♠♥t r t à ♠sr q ♦ s♣♣r♦
♠r ①t♦♥ ♣rès ♠ét♦ ♥st ♣s s t é♦t♦♥ stté
r é♥♦r♠é♠♥t s♥t s ♦♥tr♥ts ♥ts t s rtés s ♦♥ts s ♦♥tr♥ts ♥ts
s♦♥t s♦tr♦♣s t♦ts s ♣♦st♦♥s ♦ t♦r ①t♦♥ s♦♥t qs ♥tqs ♥ tr♠
stté ♦rsq s ♦♥tr♥ts ♦r③♦♥ts ♠♥t♥t stté ♣t ♠♥tr ♦ ♠♥r
Page 111
②♥tès
s♥t rt♦♥ r ♦ ① ♣♦st♦♥s ♦♥♥és ♦ ♦♥t été étés ♣s ♥
ét à 45 rés t à 90 rt ♥s s s ♠♥tt♦♥ s ♦♥tr♥ts ♦r③♦♥ts
♥ t sts♥t ♣s ésts♥t ♣rtr ♥ rt♥ s ss ♠ét♦ s ♦s és
♥st ♣s ♦♥srt ç♦♥ s②sté♠tq ♦♠♠ ♣♦r s ♥ ♦ t♦t s②♠étrq ♥ t
♣s ♣♦st♦♥ ♦ ♥t ♦r③♦♥t ♠♦♥s ♠ét♦ s ♦s és st sértr P♦r s
ér♥ts ①♠♣s ♠♦♠♥t ♦ st ss été ♦s ♦♥s ♠♦♥tré q ♠♣t
♠♦♠♥t st t♥t ♣s ♠rqé q s rtés s ♦♥ts ♠♥♥t Pr rs ♦r♠
♦ ♥ rô ♠♣♦rt♥t sr ♣♣rt♦♥ r♦tt♦♥ Ps s ♦rts ♥t① ss♥ts sr s s
rs ♦ ♥t ①t♦♥ ♦♥t ♥ ♠♦♠♥t éé ♣r r♣♣♦rt ♣♦♥t réér♥ ♦s ♦♠♠
♥tr rté ♥s ♦ é♦♣♣é ♣s r♦tt♦♥ ♦ ♣r r♣♣♦rt à ♣♦♥t ♠♥t
♥s r♦tt♦♥ st ♣s ♠rqé ♣♦r s ♦s ②♥t s ♦r♠s ♥♦♥ s②♠étrqs ♦♠♣rs♦♥
♠ét♦ s ♦s és ♠t ♥ é♥ s ♠tt♦♥s tt ♠ét♦ ♥ tr♠ ♥②s
♥é♠tq ♠♦♠♥t
♦♠♠ ♠♦è s♣♣♦s s ♦s ♦♠♣♦rt♠♥t ♦♥t éstqs ♥érs étt
♦♥tr♥ts ♦t♥ à étt ♥ ♥st r q s rtèr ♣stté ♥ ♣s été é♣ssé P♦r
r à tt ♠tt♦♥ t ♥tr♦r ♥ ♦ ♦♠♣♦rt♠♥t ♦♥t ést♦♣stq ♥
s♠♥t ♥s ♠♦è ♥ésst r ♥ ér♠♥t ♣r♦rss r t
érr rtèr ♣stté à q ♣s ♥s s é♣ss♠♥t s ♦♥tr♥ts
t♥♥ts s♦♥t r♠♥és à ♠t ♣stté ♥s t②♣ t♥ q ♥tr♥t
♣rès ♣stt♦♥ ♣t êtr ♣rs ♥ ♦♠♣t Pr rs ♦♠♠ ♠♦♥tr ①♣ér♥ ♦♠
♣♦rt♠♥t ♥♦r♠ s ♦♥ts ♥st ♣s ré♠♥t ♥ér ♠s st ♥ é♥ér ♥ ♦ ②♣r♦q
❯♥ ♠é♦rt♦♥ ♠♦è ♦♥sst ♦rs à ② ♥tr♦r s ♦s ♦♠♣♦rt♠♥t ♥♦♥
♥érs q sr ♦t ♣tr s♥t
Page 113
P
♥tr♦t♦♥
♥s ♣tr ♥ ♥♦ ♠♦è ♣♦r ♥②s stté s ♦s r♦① t♦r s
①t♦♥s s♦trr♥s été ♣rés♥té ♦s rés♠♦♥s ♥♦tr é♠r t s ♥ts ♥♦tr
♠♦è ♥ ♣♦st♦♥♥r ♠é♦rt♦♥ s♣♣é♠♥tr q t ♦t ♣tr ♦s s♦♠♠s
♣rts étt rt ét ♦r♣q ♣tr t ♥♦s ♦♥s ♣♣♦rté ♥ ♦♥trt♦♥
♣♦r rés♦t♦♥ ♣r♦è♠ ♠é♥q P s♥t ♥ ♦ r ♦♥t ♥ ♣rt r♦♥tèr
srs s ♦♥ts ΣJ st ♥ ♦♥tt ♥ s♦ r t ♠♠♦ t sr ♥ ♣rt sr r
ΣL s ♦rts sss♥t s rt♦♥s és à rét♦♥ s♦trr♥ ♥ s ♠é♦rt♦♥s
♣♣♦rtés st q ♦r♠ ♦ st s♦♠♥t rtrr ♦rs q ♣♦r ♣♣rt s ♦s
♦♣t♥t s ♠ét♦s ♦♥♥t♦♥♥s éés à rés♦t♦♥ ♣r♦è♠ s ♦s ♦♥t s ♦r♠s
tétrérqs Pr rs ♦rs q s ♠ét♦s ♦♥♥t♦♥♥s ♣r♦è♥t à ♥ ♥②s ①♣t
s s ♠♦♠♥t ♦ é♦♠♥t ss♠♥t sr ♥ rêt ss♠♥t sr ♥ ♦ ①
s ♥♦tr ♥♦ ♠♦è ♣t ♣r♥r ♥ ♦♠♣t s ♠♦♠♥ts ♣s ♦♠♣①s ♦♠♣r♥♥t
r♦tt♦♥ r♥r ♥t st t r ♣♣ ① ♦s ♦♠♣♦rt♠♥t ♦♥t q
♣r♠t ♣rs ♥ ♦♠♣t étt s ♦♥tr♥ts ♥t ①t♦♥ t st♦rq rs♠♥t
♠♥èr ♣s ♣r♦ ♣♦ss rété st st♠♥t ♣♦♥t ♦rt ♥♦tr é♠r q
♥♦s ♦♥s rr à ♠é♦rr ♥♦r ♥ ♠♦♥t ♥s ♠♦è ♣rt q ♦rrs♣♦♥ ① ♦s
♦♠♣♦rt♠♥t s ♦♥ts s ♦s ♥♦♥ ♥érs ♣s r♣rés♥tts rété sr♦♥t ♣rss ♥
♦♠♣t ♥♦ ♠♦è ♦♥ ♥ér ♦♥t♥ ♦♥ à ♣rés♥tr s ♠ê♠s ♥ts
q ♠♦è ♥ér
♣♣♦♥s q rés♦t♦♥ ♣r♦è♠ P ♦t ♦♥r sr ♣♥ ♣rtq à ré♣♦♥r à
qst♦♥ ♦♥r♥♥t stté ♦ à s♦r s ♦ st st ♦ ♥♦♥ ♥ q♥tt♦♥
é♥t ré stté rtèr ♣s ♦♠♠♥é♠♥t tsé ♦♥sst à é♥r ♥ s
♦♥ts s rès ♦♥tt ♥tér ♦♥t♦♥ r♦tt♠♥t ré ♣r ♦ ♦r♦♦♠
Page 114
P
♥ r♦tt♠♥t φ t ♦és♦♥ rtèr ♦♥tt ♥tér s♥ q ♦♥tr♥t
♥♦r♠ st ♥éssr♠♥t ♥ét ♦♠♣rss♦♥ t st sté ♣r t q ♥s ♣♣rt s
♣♣t♦♥s rés résst♥ s ♦♥ts st rt♠♥t ♥ q ♦♥r♥ ♦♠♣♦rt♠♥t
♥ ♦♥tt ss♠♥t tst♦♥ rtèr ♦r♦♦♠ ♥st ♣s à rtqr ♥s ♥
♦♠♥ ♣♣t♦♥ ♦ù t♦ts s ç♦♥s s ♦♥♥és s♦♥t ♥rt♥s t ♦♥t ♣ssr ♣r ♦
sttstq ♥ rst♥t ♦♥ ♥ ♦r s ♠♦ès ①st♥ts s♦♥t s rtèrs q ♥♦s ♦♥s
tsés ♥s ♠♦è ♥ér ♣♦r q♥tr stté ♥ ♦ ♦s ♦♥s ♦rs ♦♥stté q
♣rés♥t ① éts ♦t ♦r ♥ q ♦♥r♥ ♦♠♣♦rt♠♥t ♥s rt♦♥ ♥♦r♠
♥t ♠ê♠ ♥♦s ♥qétr s stt♦♥s é♦♠♥t ♥s ♠♦è ♥ér ♥♦s ♦♥s tsé
♥ rté ♥♦r♠ ♦♥st♥t ♦rs q s ①♣ér♥s ♦rt♦r ♠♦♥tr♥t r♠♥t q♥ ♦
②♣r♦q rt♦♥ ♦rt ♥♦r♠ ♥ ♦♥t♦♥ é♣♠♥t ♥♦r♠ r♠tr ♦♥t
st ♠① r♣rés♥tt rété Pr rs ♥♦tr ♠♦è ♥ér ss êtr ès ♦rs
qà ♥ ♠♦♠♥t é♦t♦♥ ①t♦♥ ①st ♠♦♥s ♥ ♣♦♥t sr sr ♦♥tt
ΣJ ♦ù ♥ s rtèrs ss êtr éré rtèr ♥♦♥ é♦♠♥t t rtèr ♥♦♥ ss♠♥t
♥s ♥ ts♥t ♠♦è ♥ér ♦ st é ♥st ès ♦rs q ♥ s rtèrs st ♦é ♥
♥ ♣♦♥t ♦♥♥é q♥tt♦♥ stté st t ♣r r♣♣♦rt à ♣♦♥t t①
é♦♥♥♠♥t ♦rrs♣♦♥♥t ♥ ♣rss♦♥ s♦tè♥♠♥t ♥ tr sérté rt à ♦
♦r♦♦♠ ♠♥t ♣t ♦♥r à ♥ srst♠t♦♥ ♥stté r é♣ss♠♥t
rtèr ♥ ♥ ♣♦♥t ♦♥♥é ♥ t ♣s ♥éssr♠♥t s♥r q ♦ st ♥st
♦t♦s s t♦s s ♣♦♥ts ♦ rst♥t ♥ éstté t s♥s é♦♠♥t st ♦rs é♥t q
♠♥t stté st ♦rrt
♥ ♠tt♥t q ♣r♦è♠ P st ÷r é♠r ssq ♥é♥r ♣♦r ét
♣r♦è♠ stté s ♦s ♦♥♥t ♣♣♦rtr ♠①♠♠ ♠é♦rt♦♥s ♣♦sss à s
rés♦t♦♥ ♣♦r q t♠♣s s♦t ss③ rs♦♥♥ t ♥s s♥s q ♠♦è s♦t
♠♦♥s ①♥t ♣♦ss ♣♦r s ♣r♠ètrs ré♦♦qs à ♦r♥r ♥ t ♦♠♠ ♥♦s rr♦♥s
♥♦ ♠♦è ♦♥ ♥ér ♣t ♣r♥r ♥ ♦♠♣t t♦t ♦ ré♦♦q ést♦♣stq
♠s ééré♠♥t ♥♦s ♥♦s s♦♠♠s ♠tés à ést♦♣stté ♥♦♥ ♥ér ♦♠♣♦rt♠♥t ♥♦r♠
②♣r♦q ♣rt s♥ ér♦ss ♥ rtèr ♦♦♠ φ t t ♥ ♣♦t♥t
♦♦♠ ♥ t♥ ψ
♣♥ ♣tr s ♣rés♥t ♦rs ♦♠♠ st ♦s ♦♠♠♥ç♦♥s ♣r ①♣tr ♦r♠t♦♥
♣r♦è♠ ♥♦♥ ♥ér ♣s ♥♦s ♣rés♥t♦♥s t♥q ♥♠érq ♣♦r rés♦r ♦♥♥t
rs s♦♥r q ♥♦tr ♣r♦è♠ st trté ♥ ♣tts é♣♠♥ts r ér à s♦♥ ①♣♦
tt♦♥ ♣♦r s s rés ①st♥ r♥s é♣♠♥ts ♦rrs♣♦♥ à ♥ ♥stté ♥s ♥♦s
♦♥s rs♦♥♥é ♥ ♠♦ s♦tt♦♥ ♠♦♥♦t♦♥ ♣r ér♠♥t ♣r♦rss sr ΣL
s♦rt q ♥♦s ♦♥s ♦♣té ♣♦r ♥ ♥tért♦♥ ♥♠érq ♥s t♠♣s ①♣t ♥ ♣ss♥t ♥
ét♣ à tr t♠♣s ♥é♠tq st tr ér♠♥t λ ♦ ré♦♦q ♠♣é♠♥
té st ss ①♣té ♦s ♣rés♥t♦♥s é♠♥t s rtèrs tsés ♣♦r ét♦♥ stté
Pr st ♥♦s t♦♥s ♥ ét ♣r♠étrq rt à ♠ét♦ ♥♠érq ♦♣té ♣s
t ♠♥s♦♥s s ♠s ♦s ♣rés♥t♦♥s ss ♥ t♥q ♠♥s♦♥♥♠♥t s♦
tè♥♠♥t sé sr ♠ét♦ ♦♥r♥♦♥♥♠♥t Ps ♥tért♦♥ ♥s ♦ ♦
♦♠♣♦rt♠♥t ♥ s♦tè♥♠♥t ♥ ♣rtr s ♦♦♥s à ♥ ♥r ♣♦♥t st ①♣té
♥t q ♣rs ♥ ♦♠♣t ♥♦♥ ♥érté ♦♠♣♦rt♠♥t ♥♦r♠ t rrérsté
ss♠♥t st ♥ ♠é♦rt♦♥ ♠♦è st ♦q ♦♥srr ♥ ♣rt
♣tr à ♥ ♦♠♣rs♦♥ ♥tr s ① ♠♦ès s ♦♠♣rs♦♥s s♦♥t ts ♥ ts♥t s
♦rs ♦♥r♥♦♥♥♠♥t s éts ♣r♠étrqs s♦♥t tés t ♦♥r♥♥t s ♣r
Page 115
é♦♣♣♠♥t ♠♦è ♦♥ ♥ér
♠ètrs rts à ♦ ♦♠♣♦rt♠♥t ♥♦r♠ ②♣r♦q rtèr ♦r♦♦♠ ♥
r♦tt♠♥t t ♣♦t♥t ♣stq ♥ t♥ r♥èr ♣rt st ♦♥sré à ♥ ♣♣
t♦♥ ♠♥s♦♥♥♠♥t s♦tè♥♠♥t ♥ ts♥t ♠ét♦ ♦♥r♥♦♥♥♠♥t ♦♣é
à ♠ét♦ ♦♥ ♥ér ♣rs ♥ ♦♠♣t s♦tè♥♠♥t à ♣rtr ♥ rt♥
t① é♦♥♥♠♥t
é♦♣♣♠♥t ♠♦è ♦♥ ♥ér
♥♦♥é é♥ér ♣r♦è♠
♦♠♣t t♥ ②♣♦tès s ♣tts ♣rtrt♦♥s ♦♥ ♦♥sr ♠ê♠ é♦♠étr ♦ t
♣r ♦♥séq♥t s éqt♦♥s éqr ♥ tr♠s rt♦♥s s♦♥t
ˆ
ΣJ
d~σ dS + dλ ~F0 = ~0
ˆ
ΣJ
~x ∧ d~σ dS + dλ ~M0 = ~0
λ st tr ér♠♥t q ♦♥ ♠♥t ♣r♦rss♠♥t λ = 0 à λ = 1 s♥t
q λ = 0 ♦rrs♣♦♥ à étt ♥t ♥t ①t♦♥ t λ = 1 ♦rrs♣♦♥ à étt ér♠♥t
t♦t ♣rès ①t♦♥ ♦ù sr r ΣL st s♦♠s à s ♦rts ♥s
s trs ~F0 t ~M0 és♥♥t s rt♦♥s ♦rts q st ♦ ♥tr étt ♥t t
étt ♣rès ①t♦♥ rs ①♣rss♦♥s ♦♥t éà été ♦♥♥és ♥s ♣tr ♣r éqt♦♥
♣♣♦♥s q♥ s♥ ♣rss♦♥s t ♣rss♦♥s s♦tè♥♠♥t ~F0 t ~M0 s♦♥t é①
rs♣t♠♥t ① ♦♣♣♦sés rést♥t t ♠♦♠♥t rést♥t s ♦rts ①rés sr sr
r st ♥t ét ①t♦♥ ♥s s rs ①♣rss♦♥s sér♥t ♦♠♠ st
~F0 = −ˆ
ΣL
σ0 ~n dS
~M0 = −ˆ
ΣL
~x ∧ σ0 ~n dS
Pr rs ♥♦s s♣♦s♦♥s ♥ t♦t ♣♦♥t ~x ΣJ ♦s ♦♠♣♦rt♠♥t ♦♥t q ♦♥t
♥tr♥r tr ♦♥tr♥t ~σ t é♣♠♥t ~u ♥ ♣♦♥t ♦♥♥t♦♥ s♥ st t q
σn = ~σ ·~n < 0 r♣rés♥t ♥ ♣rss♦♥ t un = ~u ·~n > 0 trt ♥ ♠♥t♦♥ ♦rtr ♦♥t
♦ ♦rrs♣♦♥♥t ♦♥t s r♣♣r♦ ♠ss r♦s ♦ ♦♠♣♦rt♠♥t
♦♥t st é♥ ♦rs ♣r rt♦♥ ♥ré♠♥t
d~σ = −K (~u) d~u
t♥sr K st ♥ ♦♥t♦♥ ♦♥♥ ~u q sr ①♣té ♥s s ♠tér ♦♥t ♦s
♥s ♣rr♣ ♠s ♥ tt♥♥t r♠rq♦♥s q st ♥ rt♦♥ q r♣rés♥t
♥ r♥ ♠ ♦s ré♦♦qs ♣s ♥éssr♠♥t ♠té rtèr ♦♦♠
♥s tt rt♦♥ ~u st ét tr tr♥st♦♥ ~U t r♦tt♦♥ ~W ♦♠♠ ♥s ♣tr
♥ ts♥t éqt♦♥ ♠♦♠♥t ♦r♣s s♦ ♥ é♥ss♥t t♥sr ♥ts②♠étrq r
t q ∀~a r~a = ~a ∧ ~x ♥t q
Page 116
P
~u = ~U + r ~W
①♣rss♦♥ ♥ré♠♥t é♣♠♥t d~u st ♦rs
d~u = d~U + r d ~W
és♥♦♥s ♣r Y =(
~U , ~W)
♥♦♥♥ ♣r♥♣ ♣r♦è♠ q st ♦♥t♦♥ t♠♣s ♥é♠
tq λ t ♣r Y =dY
dλs tss
♦♠♥s♦♥ s éqt♦♥s éqr t ♦ ♥ré♠♥t ♦♠♣♦rt♠♥t
♦♥t t ♥ré♠♥t ♠♦♠♥t ♦r♣s s♦ ♥ t♦t ♣♦♥t ♦ éqt♦♥
♦tt s②stè♠ ♥ér ♦♠♣♦sé ♣r s rt♦♥s t
A ~U +B ~W = ~F0
D ~U + C ~W = ~M0
A =
ˆ
ΣJ
KdS B =
ˆ
ΣJ
K rdS C =
ˆ
ΣJ
rT K rdS D =
ˆ
ΣJ
rT KdS
♥s s②stè♠ s t♥srs A B C t D ♥ s♦♥t ♣s ♦♥st♥ts ♦♠♠ st s ♥s
♣tr ♠s é♣♥♥t Y r étr♠♥t♦♥ ♥ésst r ~u ♥ t♦t ♣♦♥t ΣJ ♥
♦♥t♦♥ Y t ~x éqt♦♥ ♣s r K (~u) ♥ ♦♥t♦♥ s ♦s ré♦♦qs q
réss♥t ♦♥t ♣♦♥t ~x étér♦é♥été é♥t ♦♠♣♦rt♠♥t ♥ sr st
♦rs ♣rs ♥ ♦♠♣t s t♥srs é♣♥♥t ss ♦r♠ é♦♠étrq ♦ s ♥térs
sr t r
s♦♥ ♠♠r(
~F0 , ~M0
)
st ♥ ♦♥♥é ♥é♣♥♥t λ st ♦♥t♦♥ étt ♥t
s ♦♥tr♥ts t t♦t r♠♥t s♣♣é♠♥tr ♣rss♦♥ ♦ ♣rss♦♥ s♦tè♥♠♥t
s②stè♠ ♥ér èr s②stè♠ ♥ér ♣rés♥té ♥s ♣tr éqt♦♥ ♣r
t q ♥ st ♣s ♥éssr♠♥t ♥ s②stè♠ s②♠étrq ♥ t D = BT ♥q♠♥t ♦rsq
K st s②♠étrq ♥ t♦t ♣♦♥t ΣJ
rés♦t♦♥ s②stè♠ ♣r♠t Y ♦♠♠ ♠tr rté s②stè♠ st
♦♥t♦♥ Y ♥♦s ♦♥s ♥ t r à ♥ rt♦♥ q ♣r♠t r ①♣t♠♥t Y ♥
♦♥t♦♥ Y t q♦♥ ♣t érr ♦♠♠ st
Y = ξ (Y )
♦tr ♣r♦è♠ ♦♥sst ♦rs à tr♦r ♦♥t♦♥ Y q ér éqt♦♥ t ♦♥t♦♥
♥t ♣♦r λ = 0 ♦♥ Y = 0 st ♥ éqt♦♥ ér♥t ♣r♠r ♦rr ♦♥♥é
♥t ♣r♦è♠ ② ♦s ①♣♦sr♦♥s ♠ét♦ ♥♠érq ♦♣té ♣♦r rés♦t♦♥
tt éqt♦♥ ♣rès ♦r été ♦ ré♦♦q ♠♣é♠♥té
Page 117
é♦♣♣♠♥t ♠♦è ♦♥ ♥ér
♦ ré♦♦q ♠♣é♠♥té
♥s ♣rr♣ ♥♦s ét♦♥s ♦ ré♦♦q tsé ♥s ♦♥ ♥ér q
♥♦s ♠è♥ à é♦♣♣r ①♣rss♦♥ ♠tr K
P♦r ♣rés♥tr ♦ ♦♠♣♦rt♠♥t ♦♥t ♥s ♥ ♦r♠s♠ ssq ést♦♣stté
♥♦s ♣♦s♦♥s ~ε = −~u tr ~ε ♦rrs♣♦♥ à s♦♥t♥té é♣♠♥t ♦rsq ♦♥ ♣ss
♦ ♠♦ été rs ①térr q st ♥ s♦ r ♠♠♦
♥ ♥tr st♦rq ~σ t ~ε st ré ♣r ♥ ♦♥t♦♥ ♦♥tt ss♠♥t
q ♣r♥ ♥ ♦♠♣t ①st♥ ♥ rt♦♥ ♣réé ~n ♥ ♣♦s ♦rs σn = ~σ ·~n t ~σt = ~σ−σn ~nt ♠ ♣♦r ~ε
♥s ♣s éstq ♥♦s s♣♣♦s♦♥s ♥ ♦♠♣♦rt♠♥t ♥ér ♦♥t ♥s rt♦♥
t♥♥t t ②♣r♦q ♥s rt♦♥ ♥♦r♠ ♣ss à ♣s ♣stq st ré ♣r
rtèr ♦r♦♦♠ t♥ st ♣rs ♥ ♦♠♣t r♥t tt ♣s
Ps éstq ♥♦♥ ♥ér
♥ s♥ ss♠♥t rrérs t t♥t q ♦♥tt ①st ♦♥
dεn =dσn
Kn (σn)
t
~dεt =~dσtKt
st s ♠ê♠s éqt♦♥s ♦♠♣♦rt♠♥t ♦♥t ♦♣tés ♥s ♠♦è ♥ér s q
rté ♥♦r♠ ♥st ♣s ♦♥st♥t ♠s é♣♥ étt ♦♥tr♥t ♥♦r♠ t σn
♥ t ♥♦s s♣♣♦s♦♥s q ♦♠♣♦rt♠♥t ♥♦r♠ ♦♥t st ♦ ②♣r♦q ssq
♣rés♥té ♣r ♥s t ❬❪ ♥t q εn st s♦♥t♥té é♣♠♥t ♥♦r♠ ♠sré
à ♣rtr étt ♥t ♦♥tr♥t ♥♦r♠ σ0n ♦ ♦♠♣♦rt♠♥t ♥♦r♠ ②♣r♦q
stré ♥s r s①♣r♠ ♣r
εn = g (σn)− g (σ0n) avec g (σn) =
σnKn0
1− σnKn0 e0
Kn0 st rté ♥♦r♠ ♣♦r ♥ ♦♥tt ♥ss♥t ♦rrs♣♦♥♥t à ♥ ♦♥tr♥t ♥♦r♠
♥t ♥ ♥ t ♣♦r σn ♦♥ g (σn) ∼σnKn0
e0 > 0 r♣rés♥t r♠tr ♠①♠ ♦♥t ♦ é♣ssr ♠①♠ ♦rsq σn t♥
rs −∞ g (σn) ♥t s②♠♣t♦tq à r −e0
♥ ♥ ét ①♣rss♦♥ Kn (σn)
Kn (σn) = Kn0
(
1− σne0Kn0
)2
♦t♦♥s q Kn0 = Kn(0) ♥st ♣s à ♦♥♦♥r rté ♥♦r♠ ♦rrs♣♦♥♥t à étt
♥t Kn (σ0n)
s rt♦♥s t ♣♥t s rés♠r ♥ ♥ été t♥s♦r ♦ù ♠tr H st
s②♠étrq
~dε = H−1 ~dσ avec H = Kt I + (Kn (σn)−Kt) ~n⊗ ~n
Page 118
P
σn
−εne0Kn0
Kn(σn)
Kn(σ0n)
r ♦ ♦♠♣♦rt♠♥t ♥♦r♠ ②♣r♦q ♦♥t
st ♥ ①♣rss♦♥ s♠r à éqt♦♥ ♥s ♣tr s q
rté ♥♦r♠ st ♥ ♦♥t♦♥ ♦♥tr♥t ♥♦r♠ ♥s tt ①♣rss♦♥ ~dε st ♥ré♠♥t
s♦♥t♥té é♣♠♥t éstq rérs
Ps ♣stq ss♠♥t
P♦r ♣r♥r ♥ ♦♠♣t ss♠♥t rrérs st ♥♦qr ♦ ♣rtt♦♥ q é♦♠
♣♦s é♦r♠t♦♥ é♥érsé ~dε ♥ ♥ ♣rt rérs ♦♥♥é ♣r éqt♦♥ t ♥ ♣rt
♣r♠♥♥t ~dεp
~dε = H−1 ~dσ + ~dεp
♣rt ♣r♠♥♥t st ré ♣r ♥ ♦ é♦t♦♥ ♦r♠
~dεp= dl
∂P
∂~σavec dl ≥ 0
♣♦t♥t ♣stq P (~σ) ♦s st ♦♦♠ ss♦é à t♥ ψ ∈ [0 , φ]
P (~σ) = ‖~σt‖+ tanψ σn
♥s éqt♦♥ dl st ♠t♣tr ♣stq st ♥ ♦rsq♥ rtèr st s♦t strt
♠♥t ♥ét s♦t t ♥r Ps ♣résé♠♥t ♦♥ ♥tr♦t ♥ ♦♥t♦♥ F (~σ) q st ♦♥st♠
♠♥t ♥ét ♦ ♥ ♥s rs♦♥ t ♥♦tr ♠♦è st rtèr ♦r♦♦♠
♥ r♦tt♠♥t φ t ♦és♦♥ c
F (~σ) = ‖~σt‖+ tanφσn − c
r♥t ♣s éstq ♥♦s ♦♥s F (~σ) < 0 t ♣r ♦♥séq♥t dl = 0 ♦s s♦♠♠s ♦rs
r♠♥és à éqt♦♥
r♥t t♦t ♣s ♣stq ♥♦s ♦♥s F (~σ) = 0 ♦s ♣♦♦♥s érr ♦♥t♦♥ dF = 0
q ♥t∂F
∂~σ· ~dσ = 0
♥ ♦♠♥♥t tt éqt♦♥ s éqt♦♥s t ♥♦s rr♦♥s à étr♠♥r dl ♥
♦♥t♦♥ ~dε ♦♠♠ st
~dσ = H
(
~dε− dl∂P
∂~σ
)
Page 119
é♦♣♣♠♥t ♠♦è ♦♥ ♥ér
♣s
∂F
∂~σ·H
(
~dε− dl∂P
∂~σ
)
= 0
♦ù
dl =
∂F
∂~σ·H ~dε
∂F
∂~σ·H ∂P
∂~σ
♦♠♣t t♥ ①♣rss♦♥ é♦r♠t♦♥ ♣stq ♦♥♥é ♣r éqt♦♥ t ①♣rss♦♥
♠t♣tr ♣stq ♦♥♥é ♣r éqt♦♥ ♥♦s ♣♦♦♥s érr
H ~dεp=
(
~h1 ⊗ ~h2)
~dε
~h1 =H∂P
∂~σ∂F
∂~σH∂P
∂~σ
et ~h2 = H∂F
∂~σ
♥ ♦♠♥♥t s éqt♦♥s t ♥♦s ♦t♥♦♥s rt♦♥ ssq Pr♥tss
~dσ = K (~u) ~dε avec K = H − ~h1 ⊗ ~h2
P♦r ①♣tr s s ♥♦s é♦♣♣♦♥s s ①♣rss♦♥s s érés ♣rts P t F
∂P
∂~σ= ~τ + tanψ ~n
t∂F
∂~σ= ~τ + tanφ~n
~τ =~σt‖~σt‖
♥ ts♥t é♥t♦♥ t♥sr H ♦♥♥é ♥s éqt♦♥ ♥s q s éqt♦♥s
t ♥♦s rr♦♥s à ①♣r♠r s tr ~h1 t ~h2
~h1 =Kn (σn) tanψ ~n+Kt ~τ
Kt +Kn (σn) tanφ tanψet ~h2 = Kn (σn) tanφ~n+Kt ~τ
♥s s ① stt♦♥s éstté ♥♦♥ ♥ér F < 0 t ss♠♥t F = 0) ♦♥ ♦ré♠♥t
♥ ♦♥tt t ♦♥ σn < 0 ♥s s rt♦♥s t s ♦s ♦♠♣♦rt♠♥t éà ①♣tés
♥ s♣♣q♥t ♣s ♥ stt♦♥ é♦♠♥t
s é♦♠♥t
stt♦♥ é♦♠♥t ♦rsq σn = 0 ♦♥tt ♥tr ♣♦♥t ♦♥séré t ♠ss
r♦s st ♦rs ♣r t ♣♦♥t r ♦♥st♠♠♥t ♥ étt ♦♥tr♥ts ♥s ~σ = ~0 Pr
♦♥séq♥t ~dσ = ~0 ♦s ♣♦s♦♥s ♦rs K (~u) = 0 r♥t ♥ t ♣s
Page 120
P
és♦t♦♥ ♥♠érq ♣r♦è♠
r ♣♥ ♥♠érq étr♠♥t♦♥ ♥♦♥♥ ♣r♥♣ ♣r♦è♠ Y ♥ésst ♦r
♥ ♠ét♦ rés♦t♦♥ ♥ ♣r♦è♠ ② éqt♦♥ ♥s ♥ s♣ ♠♥s♦♥
♦rt rét Pr rs ♥♦s ♦♥s s♦♥ t♥qs ♥tért♦♥ sr sr r ♣♦r
♦t♥r ~F0 t ~M0 t sr s ♦♥ts ♣♦r ♦t♥r A B C t D
és♦t♦♥ ♥s t♠♣s ♥é♠tq
♦♥r♥♥t t♠♣s ♥é♠tq λ éqt♦♥ ér♥t st s♠♣ ♥s s ♥ér
♣tr ♥s s ♠tr rté K é♥ss♥t ♦ ré♦♦q ♦♥t ♥ é♣♥
♣s ~u ♣sq s rtés ♥♦r♠ t t♥♥t s♦♥t ♦♥st♥ts Pr ♦♥séq♥t ξ (Y ) st ♥
♦♥st♥t t ♥♦s ♣♦♦♥s érr q ∀Y ξ (Y ) = ξ (0) ♥tért♦♥ ♥s t♠♣s st ♦rs ①t
t ♦rrs♣♦♥ à Y = λ ξ (0) t♠♥t ♥s ♠♦è ♥ér ♠tr rté
s②stè♠ st ♥ ♦♥st♥t t é♣♠♥t st ♥ér ♥ ♦♥t♦♥ t① ér♠♥t
♥ r♥ ♥s s ♥♦♥ ♥ér ♥♦s ♦♥s ♦sr ♥ s ♥♦♠rss t♥qs ♥tér
t♦♥ ♥♠érq ♥ ♣r♦è♠ ② ♦s ♦♥s ♦♣té ♣♦r t♥q ♣s s♠♣ ♠ét♦
r ①♣t q ♦♥sst à tsr ♣♣r♦①♠t♦♥ s♥t
Y (λ+ dλ) = Y (λ) + ξ(Y (λ)) dλ
♣s t♠♣s dλ st ♦s ♦♥st♥t t ss♠♠♥t ♣tt ♥ dλ = 1/N ♦ù N st ♥♦♠r
ét♣s ♣♦r ♣ssr λ = 0 à λ = 1
♦♥rèt♠♥t ♥s ♦ ♥♠érq ♥♦s ♦♥s Y (λ+ dλ) = Y (λ) + dY ♦ù dY st
s♦t♦♥ s②stè♠ s♥t
G
[
d~U
d ~W
]
=
[
~F0/N~M0/N
]
avec G =
[
A B
D C
]
♥s s ♦ù t♦s s ♣♦♥ts ss s♦♥t ♥s ♣s éstq ♣♦r ♥ ♣s ♦♥♥é K = H
♥ t♦t ♣♦♥t t ♦♥ D = BT ♠tr rté ♦ G sr s②♠étrq é♥ ♣♦st ♦♥
♥rs ♦♠♠ s ♠tr rté ♦ R é ♥s ♥ér ♥s
s ♦ù ♥ ♣rt ♦ ♥tr ♥ ♣stté G ♥st ♣s s②♠étrq t ♦♥ ♣s ♥éssr♠♥t
♥rs
♦♥♥t ♥♦tr q ♥s ♠♦è ré♦♦q ♦♣té ♥s ♦♥ ♥ér K (~u)
st é♥ ♥♦♥ ♣s à ♣rtr ~u = −~ε ♠s à ♣rtr ~σ ♥ t ♥s t♦ts s rt♦♥s ①♣tés
♣rr♣ s♦♥t s ♦♥t♦♥s ~σ q ♥tr♥♥♥t Kn(σn), F (~σ) P (~σ)
P♦r ♦♠♣étr ♦rt♠ ♥♠érq ♥tért♦♥ ♥s t♠♣s ♥é♠tq λ ♥♦s ♦♥s ♦♣té
♣♦r ♥ sé♠ ①♣t ♥ ts♥t ♣♣r♦①♠t♦♥
~σ (λ+ dλ) = ~σ (λ) + d~σ (λ) avec d~σ (λ) = K (~σ (λ)) ~dε (λ)
s♦ q♥ t é♠r q ♦♥t ♣r ①♠♣ q♣rès ♥ é♦♠♥t ♦♥ rst ♥
♠♦ é♦♠♥t ♥st sté q ♣r t q ♥♦s ♦♥s r à ♥ st♦rq s♦tt♦♥
s r♠♥♥t à ♥ sr ♥q λ ♦♥t♦♥ ♠♦♥♦t♦♥ t♠♣s ré
Pr rs ♦♠♠ st ♥ ♠ét♦ ♥ré♠♥t t ♥ q ♣s dλ s♦t ♦s ss③
♣tt st ♣♦ss q rtèr F é♣ss r té♦rq ♥ ♥ ♥tr♦t ♦rs ♥ r
♦♥trô t q s F > ♦ srrêt ♣♦r ♥♦♥ rs♣t rtèr
Page 121
♥tt♦♥ stté
s ♥térs sr
t♥q ♥♠érq ♣♦r s ♥térs sr ♦♥sst ♦♠♠ ♣♦r ♣tr
à ♣rtt♦♥♥r s srs ♥ s éé♠♥ts é♦♠étr s♠♣ sr ♥ sqs ♥tért♦♥
st t ♣r ♠ét♦ s ♣♦♥ts ss tt t♥q st ①♣té ♥s ♥♥①
♥s s ♠♦è ♥ér ♣rés♥té ♥s ♣tr ♣rtt♦♥♥♠♥t ♥ ♦t ♣s êtr
♥ t ♥♥♥ ♣s s réstts s tté st ♣♦r ♥♠érq s ♥térs
sr ♥s ♣tr ♥♦s ♦♣t♦♥s s ♦s ♦♠♣♦rt♠♥t q r♥t ♥♦♥ ♥ér♠♥t ♥s
t♠♣s ♥é♠tq ♠s é♠♥t ♥s s♣ ♥s é♦♣ s♣ ♦t ssrr q
s ♥térs ♦♥t♦♥s ♥♦♥ ♥érs s♦♥t ts ♠♥♠♠ rrr
♦♥♥t s♦♥r q ♣rtt♦♥♥♠♥t s srs ♥st ♣s ♦é s ♦♥♦r♠r ①
rès strts ♥ ♠ ♣r éé♠♥ts ♥s ♣♥♥t ♦♠♠ ♣♣rt s ♦s q é♥èr♥t
♥ t é♦♣ t s ♦s sst♦♥ r♣q ♦♥t ♥t s s rès éé♠♥ts
♥s t♦s s s trtés ♥s tt tès ♦♥t t ♣♣ à tt t♥q srétst♦♥ ♥
♥♦t♦♥ ♥÷ ♥s ♥♦tr ♦ s ♦♥♥és ts q ♣♦st♦♥ ~x tr ♥♦r♠ ~n s
♦♥tr♥ts ♥ts s rté s ♦♥ts s♦♥t é♥s ♥ s ♥÷s t ♣♦r s ss♦r
① ♣♦♥ts ss é♥♠♦♥s ♣♦r ♥ srétst♦♥ rtrr ♥♦t♦♥ ♥÷s
♥ ♠ ♣r éé♠♥ts ♥s ♥♦tr ♦ ♥ ré♠♥t s♦♥ q ♣♦♥ts ss t
♦♥♥és é♥s ♥ s ♣♦♥ts
♥tt♦♥ stté
① ér♠♥t rtqs
λcrit
♦♠♠ ♣♦r ♥ér st ♣♦ss étr♠♥r t① é♦♥♥♠♥t rtq
λcrit ♣♦r q rtèr ♣stté tt♥t ♥ r ♥ ♥ ♠♦♥s ♥ ♣♦♥t ΣJ st
♥ t t① ♦rrs♣♦♥♥t ét ♣stt♦♥ s s ♣♣♦♥s q ♥s s
♥ér rtèr st é ♣rès ♦♣ stàr à ♣rtr s ♦♥tr♥ts ♥s sr
s s ♦ ♦r ♣rr♣ ♥s ♦♥ ♥ér ♣♦r étr♠♥r λcrit
rtèr st éé ♥ t♦s s ♣♦♥ts ΣJ à q t① ér♠♥t t λcrit ♦rrs♣♦♥
à r ♣♦r q rtèr s♥♥ ♣♦r ♣r♠èr ♦s ♥ ♥ ♣♦♥t ♦
λcrit ≤ 1 s♥ q ♣stt♦♥ s s été ♥t ér♠♥t t♦t
r ♣♥♥t ♥♦s ♥ ♣♦♦♥s ♣s ♦♥r q ♦ st ♥st
λcrit > 1 s♥ q ♦ st st à étt ♥ t s ♦♥tr♥ts s♦♥t ♥♦r ♥s
♣s éstq r té♦rq♠♥t trr sss ♥ ♣r♦♦qr ét ♣stt♦♥
ss s
λglob
♠♦è ♦♥ ♥ér st ♣♦ss sr ♣stt♦♥ s s
ér♠♥t ♣r♦rss sr ΣL t① ér♠♥t rtq ♦ q ♥♦s és♥♦♥s
♣r λglob ♦rrs♣♦♥♥t t① ♣♦r q ♦ ♥ s♥t♠♥t rté ♦ G
tt r ♣t êtr é ♦ ér♥t λcrit ♦♠♠ ♥♦s ♠♦♥trr♦♥s ♥s ♣rr♣
♦t♦♥s q ♠♦è ♥ér st st ♣♦ss ♦♥♥tr t① é♦♥
♥♠♥t ♣♦r q ♣stt♦♥ ♦♠♠♥ s♥s s♦r s ♦♠♣♦rt♠♥t ♦ ♦ st
Page 122
P
té à t① Pr rs ♣♦r s t① s♣érrs à λcrit s ♦♥tr♥ts és ♣r ♠♦è
♥ér ♥ s♦♥t ♣s rs ♠ê♠ ♣s ♣♦r s ♣♦♥ts q s♦♥t ♥♦r ♥s ♣s éstq st
û t q ♣♣r♦ ♥ér ♥ ♣r♠t ♣s ♠♦t♦♥ rté s ♣♦♥ts ②♥t ♣sté
t ♣r ♦♥séq♥t rté ♦ s②stè♠ à rés♦r
λinst
t① λinst ♦rrs♣♦♥ t① é♦♥♥♠♥t ♣♦r q ♦♠♣tté ♥tr ♦♥tr♥ts
sttq♠♥t ♠sss t ♣stq♠♥t ♠sss ♥st ♣s ♣♦ss ♥s ① s
tt♦♥s ♦rsq rtèr ♣stté é♣ss rtèr ♦♥trô F > ♦ q ♠tr
rté G s②stè♠ à rés♦r ♥st ♣s ♥rs
λinst ≤ 1 s♥ q ♦ st ♥st ♥t é♦♥♥♠♥t t♦t r t
t ♣ré♦r ♠s ♥ ♣ ♥ s♦tè♥♠♥t
λinst > 1 ♦ st st ♣rès rs♠♥t t r (λinst − 1) ♦♥stt ♥ résr
stté
Prss♦♥ s♦tè♥♠♥t Pmin
♦♠♠ ♥s ♣tr st ♣♦ss r ♥ ♣rss♦♥ ♠♥♠ Pmin à ♣♣qr sr
sr ΣL ♣♦r ssrr q t♦s s ♣♦♥ts ♦ rst♥t ♥s ♣s éstq ♥♦♥
♥ér ♥ ♣r♠t ♣s ér tt ♣rss♦♥ ♣rès ♦♣ ♦♠♠ étt s ♣♦r ♥ér
é♥♠♦♥s ♦♥ ♣t st♠r à (1− λcrit)σ0nL σ0nL ét♥t ♦♥tr♥t ♥♦r♠ ♥t ♥
sr r
♥s rt♥s stt♦♥s r♥tr q♥ ♣♦♥t ♦ ♥ ♣st ♥ésst ♣♣t♦♥ ♥
♣rss♦♥ très éé q st à ssrr à ♠♦♥s tsr ♥ s♦tè♥♠♥t t t s♥r
q t♦♥ ①ré ♣r ♥ s♦tè♥♠♥t ♣ss st ♥ t ♥ rét♦♥ à é♦r♠t♦♥ r♦
♦♥t étr♠♥t♦♥ ♥ésst ♣r♥r ♥ ♦♠♣t ♦ ♦♠♣♦rt♠♥t s♦tè♥♠♥t
♥ ♣réèrr ♦rs à ♥♦t♦♥ Pmin ♥♦t♦♥ ♥ ♣rss♦♥ éqr ♥tr s♦tè♥♠♥t
t ♦ q ♣r♠t ssrr stté ♦ s♥s ①r q t♦s ss ♣♦♥ts s♦♥t ♥s ♣s
éstq ♠ét♦ ♦♥r♥♦♥♥♠♥t st tsé ♣♦r tt ♣rss♦♥ éqr
♥ ♥tér♥t ♦ ♦♠♣♦rt♠♥t s♦tè♥♠♥t
♠♥s♦♥♥♠♥t s♦tè♥♠♥t
♥s ♣rr♣ ♥♦s ♣rés♥t♦♥s ① ♠ét♦s ♠♥s♦♥♥♠♥t s♦tè♥♠♥t
♦ ♥ ♣r♥♥t ♥ ♦♠♣t ♦ ♦♠♣♦rt♠♥t s♦tè♥♠♥t ♠s ♥t
s♦♥s ♥ r ♣rç sr s ♣♣r♦s tsés ♥s s ♠ét♦s ♦♥♥t♦♥♥s ♦s s♦és
♣♣rt s ♠ét♦s ♦s s♦és ①st♥ts ♥s ttértr s♦♥t s ♠ét♦s à éqr
♠t Pr ♦♥séq♥t s♦tè♥♠♥t st ♣rs ♥ ♦♠♣t ♣r ♦r ♠①♠ q ♣t ①rr sr
♦ ♦r ♣r s ♣té ♠①♠ à ♠♦♥s q ♥ s♦t rét ♣r ♥ ♦♥t sérté
♥ t ♥s s ♠ét♦s s♦tè♥♠♥t st s♣♣♦sé r ♦♠♠ ♥ ♦r résst♥t q♦♥
♣r♦tt ♥s rt♦♥ ♦♣♣♦sé ♠♦♠♥t ttr ①♠♣ ♥s ♦ ❬❪
♦ù ♦♥ ét s ♦s t♦t r ♦r ♠①♠ s♦tè♥♠♥t st ♣r♦té ♥s
rt♦♥ rt ♦♣♣♦sé ♣♦s t ♥ ♥♦ éqr ♦ st éé ♥s ♦
❯❲ ❬❪ tt ♦r st ♣r♦té ♥s rt♦♥ ♦♣♣♦sé à rt♦♥ ♠♦♠♥t
♣rétr♠♥é ♥ s ss♠♥t sr ♥ ♦♥ ♥ ♣s ♦r r♦tt♠♥t q
Page 123
♠♥s♦♥♥♠♥t s♦tè♥♠♥t
é♥èr à ♣rtr s ♦♠♣♦s♥t ♥♦r♠ ♣♥ ss♠♥t ♥s s s♦tè♥♠♥t ♣ss
s ♦rs ♦rrs♣♦♥♥ts ♥tr♥♥♥t ♥q♠♥t ♦rs tr sérté ♥ s♦t♥t
① ♦rs résst♥ts ♥♠értr
♣♣r♦ à éqr ♠t s ♦♥tr♥ts t é♦r♠t♦♥s ts ♥ s♦tè♥♠♥t
♥ s♦♥t ♣s ♦♥♥s t ♥trt♦♥ r♦strtr ♥st ♣s ♠♦ésé ç♦♥ r♦rs ss
♣♦ssté q s♦t ré à s ♣té t q s r♦♠♣ ♥ ♣t ♣s êtr ①♠♥é
♦♠♠ ♠ét♦ ♣r♠t sr é♦t♦♥ s ♦♥tr♥ts é♣♠♥t
♦ st ♣♦ss r♥r ♦♠♣t t♦♥ ♥ s♦tè♥♠♥t ♣r s ♦ ♦♠♣♦rt♠♥t
♣rss♦♥ q ①r sr ♦ st é ♥ ♦♥t♦♥ s é♦r♠t♦♥ q rést ♠♦♠♥t
♦
♥s q st ♥♦s ♣rés♥t♦♥s ♥ ♠ét♦ ♥s♣ré ♠ét♦ ♦♥r♥♦♥♥♠♥t q
♣r♠t ♠♦ésr ♥trt♦♥ ♦s♦tè♥♠♥t ♥s r ♠ét♦ ♥st
♠ét♦ ♥tért♦♥ ♥ s♦tè♥♠♥t éstq ♥s ♦ ♦♥ ♥ér st é♦♣♣é
♣♣t♦♥ ♠ét♦ ♦♥r♥♦♥♥♠♥t
é♥értés sr ♠ét♦ ♦♥r♥♦♥♥♠♥t
♠ét♦ ♦♥r♥♦♥♥♠♥t été ♥t♠♥t é♦♣♣é ♥②tq♠♥t ♣♦r ♥
r rr rsé ♥s ♥ ♠ éstq s♦tr♦♣ t ♦♥t♥ ♣r P♥t ❬❪ ♥s t
♠♥s♦♥♥r s♦tè♥♠♥t ♥ ♣r♥♥t ♥ ♦♠♣t s ♦ ♦♠♣♦rt♠♥t t st♥ s ♠s
♥ ♣ ♣r r♣♣♦rt r♦♥t rs♠♥t
♦r ♦♥r♥♦♥♥♠♥t é♠♥t ♣♣é ♦r rtérstq trr♥ ♣r♠t
sr é♦t♦♥ ♣rss♦♥ ♦♥♥♠♥t sr ♣r♦ ①t♦♥ ♥ ♦♥t♦♥ s
♦♥r♥ r♣♣r♦♠♥t ① ♣♦♥ts ♠étr♠♥t ♦♣♣♦sés stés ♥ tt ♣r♦
♣rss♦♥ ♥ sr r r ♣rss♦♥ ♥t sr tt sr ♦rsq λ = 0
♥t ①t♦♥ à ♥ ♣rss♦♥ ♥ ♦rsq λ = 1 ♣rès ①t♦♥
♦r rtérstq s♦tè♥♠♥t r ♣rss♦♥ ①ré ♣r s♦tè♥♠♥t à s♦♥ é♣
♠♥t ① s♦tè♥♠♥t st s♦♥t ♥sté ♣rès ♥ rt♥ é♣♠♥t r♦ dλ d st
é♣♠♥t r r♦ à ♥ ♥st♥t ♦♥♥é t s ♦ ♦♠♣♦rt♠♥t s♦tè♥♠♥t st
♥ér ♥ rté Ks rt♦♥ ♣rss♦♥ ♥ s♦tè♥♠♥t st Ps = Ks(d−dλ).♥trst♦♥ ♦r ♦♥r♥ t s♦tè♥♠♥t ♦♥♥ ♣rss♦♥ ♣♣qé à
sr r ①t♦♥ ♦rsq éqr s♦tè♥♠♥t st tt♥t st ss
♣rss♦♥ q ♦t s♣♣♦rtr s♦tè♥♠♥t ♥s tt ♠ét♦ ♣r♠t ♠♦ésr ç♦♥ s♠♣
♥trt♦♥ r♦strtr ♦♠♠ sé♠ts r
♠ét♦ été ♣♣qé ♥ ts♥t ♥ ♠♦è ♥ ②♣♦tès s é♦r♠t♦♥s ♣♥s
♦♠♠ st ♥ ♠ ♦♥t♥ st ♣♦ss étr ♥②tq♠♥t ♦ ♣r ♠♦ést♦♥
♥♠érq ♥ rt♦♥ ♥tr t① é♦♥♥♠♥t ♥ ♣r♦ r t ♣♦st♦♥
r♦♥t t♥♥ ♣r r♣♣♦rt à st♦♥ été ♦♠♠ ♠♦♥tr r ♦rsq r♦♥t
é♣ss ss♠♠♥t st♦♥ été ♦♥ λ = 1 ♥ ♣t st♠r t① é♦♥♥♠♥t à
r♦♥t ♣♦r ♥ ♠ ♦♥t♥ ①s②♠étrq t s♦tr♦♣
tst♦♥ ♥ ♦ ♦♠♣♦rt♠♥t r♦ ♣s ♦♠♣① ést♦♣stq ♦ s♦
ést♦♣stq ♥ ♦r♠ r ♥♦♥ rr ♦♥tr♥ts ♥♦♥ s♦tr♦♣s ♥ésst ♦r
r♦rs à ♠♦ést♦♥ ♥♠érq ♣♦r trr ♦r rtérstq trr♥
Page 124
P
♦r ♦♥r♥♦♥♥♠♥t t① ♦♥♥♠♥t ♥ ♦♥t♦♥ ♦♥r♥ é♣♠♥t
① ♦♥♥♠♥t ♥ ♦♥t♦♥ st♥ r♦♥t ♦rrs♣♦♥ à ♣♦st♦♥ r♦♥t t à ♣♦st♦♥ s♦tè♥♠♥t
r Pr♥♣ ♠ét♦ ♦♥r♥♦♥♥♠♥t ♣rès ♥ ❬❪
ét♦ ♦♥r♥♦♥♥♠♥t ♣♦r
♦ st tsé ♣♦r étr♠♥r ♦r rtérstq ♦ stàr
♣♦r trr é♦t♦♥ t① ♦♥♥♠♥t (1− λ ♥ ♦♥t♦♥ é♣♠♥t ér♥
tst♦♥ ssq ♠ét♦ ♦♥r♥♦♥♥♠♥t r♦ st ♥é♦r♠ t ♦
♦♠♣♦rt♠♥t ♠ st ♦♥ ré ♣r ♦ ♦♠♣♦rt♠♥t s ♦♥ts ♥ ♣s ét
st t ♥ t ♦♥r♥ ♥ ♦ à ♦s t ♥♦♥ ♣s r ♥tèr ♦♠♠ ♣r♦è♠ ♥st
♣s ♥éssr♠♥t s②♠étrq ♦♥ ♣t ♦r ♣srs ♦rs rtérstqs ♦ ♦r
st ér♥t s♥t ♣♦♥t sr r ♦♥séré t rt♦♥ é♣♠♥t ♣rs ♥
♦♠♣t tt rt♦♥ st ♦s ♦♠♠ ét♥t t♦♥ s♦tè♥♠♥t ♣r ①♠♣
rt♦♥ s ♦♦♥s trt♦♥ Pr♠ s ér♥ts ♦rs ♦♥r♥♦♥♥♠♥t ♣♦sss
♦♥ sét♦♥♥ ♣s rtq ♥st ♣r♦ér ssq st tsé ♣♦r r éqr ♥tr
r♦ t s♦tè♥♠♥t
♦♠♠ ♥♦tr ♦♠♥ ét ♦♥r♥ s ♠① s♦♥t♥s ♥st ♣s é♥t étr ♥
rt♦♥ ♥tr ♣♦st♦♥ r♦♥t t t① ♦♥♥♠♥t ♥ t♦t s tt rt♦♥ ♥ sr
rt♥♠♥t ♣s ♦♥t♥ ♦♠♠ ♣♦r s ssq sé♠tsé ♥s r é♥♠♦♥s
st sértr ♦♥sérr q é♦♥♥♠♥t st t♦t à ♥st♥t ♠ê♠ ♦ù r♦♥t é♣ss
♦ ♥s s st ♣♦ss ♥s ♣rtq t ♣ré♦r ♠s ♥ ♣ s♦tè♥♠♥t à
λ = 0
♥ st t♥té ♦sr s♦tè♥♠♥t ç♦♥ à q ♣rss♦♥ éqr s♦t tt♥t ♥t
q ♦ ♥ ♣st tt ♦♥t♦♥ st ♣r♦s à stsr ♦♠♠ ♥♦s rr♦♥s ♥s
♣rr♣ Pr rs t sssrr q s♦tè♥♠♥t s♦t ré ♥ ss♦s s
♣té ♠①♠ st ♦rs ♣♦ss r ♥ tr sérté ♣♦r s♦tè♥♠♥t r♣♣♦rt
♥tr s ♣té ♠①♠ P t ♣rss♦♥ éqr Pe ♦♠♠ ①♣r♠ éqt♦♥
sout =PPe
♠ét♦ ♦♥r♥♦♥♥♠♥t ♣r♠t r ♥ ét ♣ré♠♥r s♦tè♥♠♥t t
q ♦♥sst à é♥r ♥ ♦ ♣srs s ♣r♠ètrs s♥ts
• t②♣ s♦tè♥♠♥t
Page 125
♠♥s♦♥♥♠♥t s♦tè♥♠♥t
• s ♣té ♠①♠
• s rté
• s ♥sté
tt ♠ét♦ ♣r♠t ♦rs ♦r ♥ ♣r♠èr st♠t♦♥ ♦♥r♥♥t s ♣r♦♣rétés s♦tè♥♠♥t
à ♠ttr ♥ ♣ ♦t♦s ♦① ♦t êtr éré ♣r ♥ q ♣r♥ ♥ ♦♠♣t s♦♥ t
sr ♦ ♥♦♥ s♠♥t ♠♦♠♥t éqr ♠s r♥t t♦t ♣s é♦♥♥♠♥t
♥tért♦♥ s♦tè♥♠♥t ♥s ♠♦è ♣rés♥té ♥s ♣rr♣ s♥t ♣r♠t
r ♣s r♦rs♠♥t s♦♥ t♦♥ sr ♦ t érr ♣ré♠♥s♦♥♥♠♥t
♥♦♥s q ♦sr s♦tè♥♠♥t s♥s ♣ré♠♥s♦♥♥♠♥t ♥ésst résr ♣srs t♥
tts ♥ r♥t à q ♦s s ♣r♠ètrs ♥tr♦ts ♥s ♦ ♥t rrr
s♦tè♥♠♥t ♦♣t♠ tâ st t♥t ♣s ♦r q st ♣♦st♦♥♥r s ♦♦♥s ♥s
♥ ♠♦è
♥tr♦t♦♥ s♦tè♥♠♥t ♥s
t♦♥ ①ré ♣r s♦tè♥♠♥t sr ♦ st ré ♣r s ♦ ♦♠♣♦rt♠♥t rt♦♥
♥tr ♦♥tr♥ts t é♦r♠t♦♥s s♥t q s é♦r♠t♦♥s s♦♥t s ♠ê♠s q s ♠ss
r♦s q ♥t♦r st ♦rs ♣♦ss ♥térr s♦tè♥♠♥t ♥s ♣r s ♠tr
rté E ♠♥s♦♥ 6 × 6 é à ♣rtr s ♦ ♦♠♣♦rt♠♥t ♥ s♥t réér♥
① rt♦♥s t s②stè♠ ♥ér à rés♦r ♥t
(
E +G)
[
~U
~W
]
=
[
~F0
~M0
]
♣♣♦♥s q G st ♠tr rté s②stè♠ s♥s s♦tè♥♠♥t s♦tè♥♠♥t st té
♠tr E ♦té s②stè♠ ♥ér s♠♥t à ♣rtr ♥ t① é♦♥♥♠♥t q t
str ♣rés ♦s ♦♥sér♦♥s q s♦tè♥♠♥t rst ♥s ♣s éstq E st ♦♥st♥t
tt ②♣♦tès ♦t êtr éré ♣rès ♦♣ à ét q ♥ s♦tè♥♠♥t s♣♣é♠♥tr ♦t
êtr ♠s ♥ ♣
st ♥s ♣♦ss ♣r♥r ♥ ♦♠♣t t♦t t②♣ s♦tè♥♠♥t à ♦♥t♦♥ ♦r♥r
♠tr rté ♦rrs♣♦♥♥t ♥s q st ♥♦s ♦♥s ①♣tr ①♣rss♦♥ E ♥s
s ♦♦♥s à ♥r ♣♦♥t
P♦r q ♦♦♥ ♥♦s és♥♦♥s ♣r ~xa ♣♦♥t ♥trst♦♥ ♦♦♥ sr r
♦ ~a s rt♦♥ q ♣♦♥t rs ♥térr ♠ss r♦s Kb s rté ① ♦s
s♣♣♦s♦♥s ♥s tt ét q ♦♦♥ ♥tr♥t ♥q♠♥t ♦♠♠ ♥ t q s♣♣♦rt ♥
♦r ① r sé♠ts ♥ ①♠♣ ♦♦♥♥ s rs q ♥tr♥♥♥t
A
a
ax
sF
sM
r ♦tè♥♠♥t ♦ ♣r ♦♦♥♥ ~Fs t ~Ms s trs ♦r t ♠♦♠♥t①rés ♣r ♥ ♦♦♥ sr ♦
Page 126
P
~ua st é♣♠♥t ♣♦♥t A ♦ ♥ré♠♥t ♦r ① ~Fs ①ré ♣r ♦♦♥
st
~dF s = −Kb
(
~a · ~dua)
~a
tt rt♦♥ s①♣r♠ tr♠♥t ♣r éqt♦♥ ♦ù S st ♥ ♠tr s②♠étrq
~dF s = −S ~dua avec S = Kb (~a⊗ ~a)
♠♦♠♥t ①ré ♣r ♦♦♥ sr ♦ st ♦rs
~dMs = −~xa ∧ S ~dua
Pr rs ♥♦s r♦♥s é♣♠♥t ♣♦♥t A ① ♥♦♥♥s ♣r♥♣s ♣r♦è♠
éqt♦♥ ♠♦♠♥t ♦ ♥ ♦r♣s r ♥ é♥ss♥t ra t q ∀~b ra~b = ~b ∧ ~xa ♥♦s♦♥s
~dua = d~U + ra d ~W
♥t q S st ♥ ♠tr s②♠étrq t q ra st ♥ts②♠étrq ♦♠♥s♦♥ s éq
t♦♥s t ♣r♠t r s ♥ré♠♥ts s ♦rs t ♠♦♠♥ts ①rés ♣r
s♦tè♥♠♥t ♥ ♦♥t♦♥ s ♥♦♥♥s ♣r♥♣s ♣r♦è♠ ♦♠♠ st
~dF s = −S ~dU − T ~dW
~dMs = −T t ~dU −Q ~dW
T = S ra et Q = rta S ra
♠tr rté E ♣♦r ♥ ♦♦♥ st ♦rs
E =
[
S T
T t Q
]
st ♥ ♠tr s②♠étrq st ♦♥st♥t r ♦♥ s♣♣♦s q ♦ ♦♠♣♦rt♠♥t
♦♦♥ rst ♥s ♣s éstq P♦r ♣srs ♦♦♥s ♠s ♥ ♣ s ♠trs r
tés ♦rrs♣♦♥♥ts st♦♥♥♥t st ss ♣♦ss ♥térr ♣srs t②♣s s♦tè♥♠♥t
♥ t♦♥♥♥t rs ♠trs rté rs♣ts ♣ss s ♣r♠ètrs ♥ s♦tè♥♠♥t
♥♦♠r ♥trs rtérstqs à ♠tr ♦ E st t à ①térr ♦
q rç♦t ♣rt tstr ♠tr E ♥s q r é♦♥♥♠♥t λ à ♣rtr
q E st ♦té à G tt♦♥ s♦tè♥♠♥t
♥♥ srétst♦♥ sr s réstts
♥s ♣rr♣ ♥♦s ♥②s♦♥s t é♦♣ t♠♣♦r ♦① ♥♦♠r ♣s
t é♦♣ s♣t ♦① ♠ s s sr s réstts ♦♥
Page 127
♥♥ srétst♦♥ sr s réstts
♥ér
Pr ♦♥strt♦♥ ♠♦è ès q st♦rq ♦♣(
~U , ~W)
st ♦♥♥ st
♣♦ss r ♥ ♦♥t♦♥ λ t ♥ t♦t ♣♦♥t ~x sr ΣJ t♦ts s r♥rs
♠é♥qs ♥ t st♦rq é♣♠♥t ♥ t♦t ♣♦♥t ♥ ♦♥t♦♥ λ st ét
rt♦♥ ~u = ~U + ~W ∧ ~x ♥ ♣t ♥st étr♠♥r st♦rq s ♦♥tr♥ts ~σ st ♣♦r
♥térr s ♦s ré♦♦qs ♥ré♠♥ts s♥t q ♣♦r λ = 0 ♥♦s ♦♥♥ss♦♥s ~σ = ~σ0
♦♥séq♥ tt rtérstq ♠♦è st q ♣♦r étr s♥sté s
réstts à srétst♦♥ t♠♣♦r é♦♣ t♠♣s ♥é♠tq λ t s♣t ♠
st ♥②sr st♦rq s s① ♦♥t♦♥s srs λ q s♦♥t s ♦♠♣♦s♥ts tr♥st♦♥~U t r♦tt♦♥ ~W ♦
①♠♣ été
♦ ♦s ♣♦r tt ♥②s s♥sté ♥ ♦r♠ tétrérq é♥ ♣r s s♦♥
t♥tés rt♦♥s ♣♥ rs♣ts 0 120 t 240 t ♣♥s rs♣ts 60 23 t
41 t ♥ r ΣL ♦r③♦♥t s♦♠♠t st sté à ♥ tr ♠ à ♣rtr ΣL tt
♦r♠ é♦♠étrq ♥♥é ♣r♠t ♦r ♥ r♦tt♦♥ ♦ ♥ ♠rqé ♦s ♦♥sér♦♥s ♥
♦♠♣♦rt♠♥t ②♣r♦q s ♦♥ts ♥s rt♦♥ ♥♦r♠ ♦♠♠ rté ♥♦r♠ ♥t
Kn0 = 10000MPa/m t é♣ssr ♦♥t e0 = 1mm rté t♥♥t st Kt = 1000MPa/m
P♦r ♦♠♣♦rt♠♥t ♥ ss♠♥t ♥♦s ♦♣t♦♥s φ = 25 t c = 0MPa
r r♣rés♥t ♦ s tr♦s ♦♥rt♦♥s ♠ étés s ♦ù
q st ♥ éé♠♥t tr♥r ♣s ♠ s ♦ù s ♠s ♦♥t ♥ ♦♥r
♠♦②♥♥ ♠ t s ♦ù ♠ ♠ été t ♦ ♦s t ❬❪
♥s ♠ ♠ ♠
r ♦ été ér♥ts ♦♥rt♦♥s ♠
srétst♦♥ t♠♣♦r
♦s r♣rés♥t♦♥s ♥s r ♣♦r s ♠ ♥ ♠ s ♦rs ♦♥r♥
♦♥♥♠♥t rts ① ♦♠♣♦s♥ts é♣♠♥t ~U t r♦tt♦♥ ~W ♥ s♥t rr
♥♦♠r ♣s ér♠♥t s♦♥ s rs t
s ♦rrs♣♦♥ à ♥ ♥ér éstq ♥ér ♥ ♣♦s♥t
Kn = Kn (σ0n) ♥ t♦t ♣♦♥t ♦ st ①t♠♥t éq♥t ♦♥ ♥ér
♥ rés♥t ♥ s ♣s ér♠♥t
s ♥st ♣s ss♥t ♣♦r r♥r ♦♠♣t ♥♦♥ ♥érté ♣r♦è♠ ♥ ♣s
srrêt ♣rès ♣r♠r ♣s ♣r é♣ss♠♥t rtèr
P♦r t ♦r st ♥♦♥ ♥ér ♠s srrêt ss ♣ré♠tré♠♥t ♥
t ♣♦r λ = 0.5 rtèr st é♣ssé ♥ r s♣érr rtèr ♣rés♦♥ q été
Page 128
P
♦s très = 0.01MPa s ♥ré♠♥ts ér♠♥t ♥ s♦♥t ♣s ss♠♠♥t ♣tts
♣♦r ♥ r♦r① ♥s ♣s ♣stq
♣rtr ♦tt à ♥ t ♥♦♥ ♥érté ♦♠♣♦rt♠♥t ♦ st ♥
♣rs ♥ ♦♠♣t
♥ ♦♥s♦♥ ♣♦r ♦r ♥ réstt r♦r① t ♥ ♥♦♠r éé ♣s
♠♦♥s ♣s s t♠♣s st très rs♦♥♥ ♥érr à s sr P à
③
ISOBLOC Non Linéaire, H0=200 m, K0=0.5, Kn0=10000 MPa/m, e0=1 mm, Kt=1000 MPa/m, φ =30°, c=0 MPa
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
−0.02 0 0.02 0.04
1−
λ
Ux (mm)
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
−0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0
1−
λ
Uy (mm)
N=1
N=2
N=10
N=100
N=500
N=1000
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
−0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0
1−
λ
Uz (mm)
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 0.04 0.08 0.12 0.16
1−
λ
Wx (10−3
radians)
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 0.04 0.08 0.12 0.16
1−
λ
Wy (10−3
radians)
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
−0.02 0 0.02 0.04
1−
λ
Wz (10−3
radians)
r ♦rs ♦♥r♥♦♥♥♠♥t ♣♦r ér♥ts ♥♦♠rs ♣s
srétst♦♥ s♣t
P♦r ♥ ♥♦♠r ♣s ér♠♥t ♥♦s r♣rés♥t♦♥s ♥s r s ♦rs
♦♥r♥♦♥♥♠♥t ♥ ♦♥t♦♥ s ♦♠♣♦s♥ts ~U t ~W ♣♦r s tr♦s s srétst♦♥
s♣t érts ♥s r
♦s r♠rq♦♥s q réstt st très ♣ s♥s ♠ ♥ t s♥s ♠
♥ tr♥ ♣r ♦♥♥ ♥ réstt q s r♣♣r♦ ♦♣ s ♠ ss
♥ ♠ très ♥ ♠ st ①t♠♥t éq♥t ♥ ♠ r♦ssr
♠ ♣♣♦♥s q s éé♠♥ts tr♥rs tsés ♥s ♦ s♦♥t à s♣t ♣♦♥ts
ss ♥♦♠r éé ♣♦♥ts ss ♣r tr♥ ♣r♠t ♦♥ ♦r ♥ ♥tért♦♥ ss③
♣rés s rs ♥♦♥ ♥érs ♥s s♣ s♥s ♥ésstr ♥ é♦♣ très ♥ ♦♥♥t ♣♥
♥t s♦♥r q é♦♣ ♥ tr♥s ♦ qrtèrs r♦♥tèr ♦ ΣJ t ΣL
♦t r♣rés♥tr ♠① ♣♦ss r é♦♠étr s srs ♥ss ♦ srétst♦♥
é♣♥ ♦♥ ♦rr ss sr
Page 129
ts ♣r♠étrqs
ISOBLOC Non Linéaire, N=1000, H0=200 m, K0=0.5, Kn0=10000 MPa/m, e0=1 mm, Kt=1000 MPa/m, φ =30°, c=0 MPa
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
−0.02 0 0.02 0.04
1−
λ
Ux (mm)
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
−0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0
1−
λUy (mm)
Sans mailles
d=1
d=0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
−0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0
1−
λ
Uz (mm)
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 0.04 0.08 0.12 0.16
1−
λ
Wx (10−3
radians)
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 0.04 0.08 0.12 0.16
1−
λ
Wy (10−3
radians)
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
−0.02 0 0.02 0.04
1−
λWz (10
−3 radians)
r ♦rs ♦♥r♥♦♥♥♠♥t ♣♦r ér♥ts ♥stés ♠
ts ♣r♠étrqs
♥s ♣rr♣ ♥♦s ♣r♦é♦♥s à ♣♣t♦♥ ♠♦è ♦♥ ♥ér ♥
♦♠♣r♥t ♠♦è ♥ér s éts ♣r♠étrqs s♦♥t tés ♣♦r ♠♦♥trr ♥♥ s
♣r♠ètrs ♥tr♥♥t ♥s ♦ ♥♦r♠ ②♣r♦q ♥ r♦tt♠♥t t ♥
t♥ sr ♦r♠ ♦r ♦♥r♥♦♥♥♠♥t ♦ s ♥ts ♠♦è ♥♦♥
♥ér ♣r r♣♣♦rt ♠♦è ♥ér s♦♥t ♠s ♥ é♥
♣r♠r ♦ ♦♥séré st ♠ê♠ q ♦ été ♥s ♣tr ♥st ♥ tr ♣♦
st♦♥ ♦ t♦r t♥♥ st été ♥ ♥②s♥t ♥ ét é♦t♦♥ s ♦♥tr♥ts ♣stqs
sr ss s s ① ♦♥rt♦♥s s♦♥t strés ♥s r
r s ♦♥rt♦♥s é♦♠étrqs s ♦s étés
Page 130
P
t ♥ ♦ s②♠étrq s ♦♥tr♥ts ♥ts s♦tr♦♣s
♦♥sér♦♥s ♦ t♦t été ♥s ♣tr ♦ t ♣♣q♦♥s ♣♦r ♦ ♠ét♦
♦♥ ♥ér ♥ ♦♠♣r♥t réstt ♠ét♦ ♥ér P♦r s
♦♥tr♥ts ♥ts ♥♦s ♦♥sér♦♥s ♥ ♣r♦♦♥r H = 200m t ♥ r ♥q r♣♣♦rt s
♦♥tr♥ts ♦r③♦♥ts t rts ♥ts K0 = 1
Psrs ♦s ♦♠♣♦rt♠♥t s ♦♥ts s♦♥t étés
♦♥t ♥ér éstq st té ♥ ts♥t ♠♦è ♥ér é♦♣♣é
♥s ♣tr
♦♥t ♥ér ést♦♣stq ♥♦ ♠♦è st ♣♣qé ♥ ♣r♥♥t ♣♦r é♣ssr ♠①
♠ ♦♥t ♥ r très éé ♣r♦ ♥♥ t ♥ rté ♥♦r♠
Kn0 = Kn (σ0n) ♥ t ♦rsq s②♠♣t♦t ♦ ♥♦r♠ ②♣r♦q ♥ r
♣rsq ♥♥ tt ♦ ♥t éq♥t à ♥ ♦ ♥ér ♣♥t Kn0
♦♥t ♥♦♥ ♥ér éstq st té ♦♥ ♥ér rtèr
éstq st ssré ♥ ♥tr♦s♥t s ♣r♦♣rétés rts rtèr ♦r♦♦♠ très
éés ♦és♦♥ ♦ ♥ r♦tt♠♥t
♦♥t ♥♦♥ ♥ér ést♦♣stq ♠♦è ♦♥ ♥ér st tsé ♦ s♥s
♣rs ♥ ♦♠♣t t♥
♦t♦♥s q ♦♥t ♥ér éstq ♣t êtr é♠♥t té ♥ ts♥t
♦♥ ♥ér ♣rs ♥ ♦♠♣t à ♦s ♥ é♣ssr ♣rsq ♥♥ ♦♥t t ♥ ♦és♦♥
♣rsq ♥♥ ♦ ♥ ♥ r♦tt♠♥t ♣r♦ 90
♦① s ♣r♠ètrs ♣♦r s ♦s ♦♠♣♦rt♠♥t s ♦♥ts ♠ê♠ rté t♥♥
t st ♦♣té ♥s ♠♦è ♥ér t ♥♦♥ ♥ér s♦t Kt = 1000MPa/m
♦♥r♥♥t ♦♠♣♦rt♠♥t ♥♦r♠ ♣♦r q ♥ér s♦t ♦♠♣r
♦♥ ♥ér s ♣r♦♣rétés ♦ ♥♦r♠ ②♣r♦q Kn0 t e0 ♥
♥ ♣♦♥t ♦♥♥é ♦♥t êtr ♦ss ç♦♥ à q rté Kn (σ0n) ♥ ♣♦♥t t♥♥t à
♦ ♦♠♣♦rt♠♥t ♥♦r♠ ét ①t♦♥ s♦t é à rté ♥♦r♠ Kn ♦
♦♠♣♦rt♠♥t ♥♦r♠ ♥ér
♥s ♥♦tr s ♦♥tr♥t ♥♦r♠ ♥t σ0n st ♥é♣♥♥t rt♦♥ s s ♣sq
s ♦♥tr♥ts ♥ts s♦♥t s♦tr♦♣s σ0n = σ0z = −ρg(H − z)) rt♦♥ st ♥q♠♥t sé
♣r rté t ♦♥ ♣t êtr ♥éé r s ♠♥s♦♥s ♦ s♦♥t ♣tts ♣r r♣♣♦rt à s
♣r♦♦♥r
♥s ♣♦r t♦s s ♣♦♥ts ♦ ♥♦s ♦♥s ♦♣tr ♥ t♦t ♣♦♥t ♥ ♠ê♠ rté
Kn(σ0n) = Kn q ♦rrs♣♦♥ à ♦♥tr♥t σ0n = −4.875MPa ♦♥tr♥t ♥♦r♠ ♥t ♠♦②♥♥
P♦s♦♥s Kn = 10000MPa/m q ♦rrs♣♦♥ s Kn/Kt = 10 été ♥s ♣tr
t♥t ♦♥♥é ♥ r♠tr ♠①♠ ♦♥t e0 Kn0 à ♦r♥r ♦ s
t ♥ rés♦♥t éqt♦♥
♥ ♣t ♦rs étr♠♥r ♣srs ♦♣ts Kn0 e0 ç♦♥ à ♦r Kn(σ0n) = 10000MPa/m
♦s ♦sss♦♥s étr s ① s s♥ts
• e01 = 2mm Kn01 = 3353MPa/m
• e02 = 5mm Kn02 = 7930MPa/m
r r♣rés♥t ♦ ♦♠♣♦rt♠♥t ♥♦r♠ ♦♥t s ♣r♠ètrs ♦ss P♦r tr
r s ♦rs ♥♦s ♦♥s ♣rs ♦♠♠ ♦r♥ s é♣♠♥ts ♣♦♥t ♦rrs♣♦♥♥t à ♦♥tr♥t
Page 131
ts ♣r♠étrqs
♥♦r♠ ♥t σ0n ♥ ♣♦♥t s ① ♦s ②♣r♦qs s♦♥t t♥♥ts à ♦ ♦♠
♣♦rt♠♥t ♥ér
tt r ♠♦♥tr r♠♥t q ♦rsq é♣ssr ♦♥t r♠tr ♠①♠ ♠♥t
♦ ②♣r♦q t♥ à s r♣♣r♦r ♦ ♥ér
−50
−40
−30
−20
−10
0
0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005
σn (
MP
a)
∆un (m)
Lois de comportement normal avec Kn(σ0n)=10000 MPa/m
(0,σ0n) Hyperbolique : Kn0=3353 MPa/m, e0=2 mm
Hyperbolique : Kn0=7930 MPa/m, e0=5 mm
Linéaire : Kn=10000 MPa/m
r ér♥ts ♦s ♦♠♣♦rt♠♥t ♥♦r♠ ♠ê♠ rté ♥♦r♠ à ♦r♥
♦♥r♥♦♥♥♠♥t ♥ éstté
t st ♠♦♥trr ♥♥ rtèr ♥♦♥ ♥ér ♦ ♥♦r♠ ②
♣r♦q sr ♠♥s♦♥♥♠♥t s♦tè♥♠♥t ♥s r st r♣rés♥té t①
♦♥♥♠♥t (1− λ) ♥ ♦♥t♦♥ é♣♠♥t rt ♦ ♥s s ♥ ♦♥t ♥ér t
éstq s ♣rés♥té ét ♣rr♣ t ♥s s ♥♦♥ ♥ér éstq s
P♦r ♦ s②♠étrq s ♦♥tr♥ts ♥ts s♦tr♦♣s t ♥ ♠♦♠♥t ~M0 ♥ ♠♦♠♥t
st rt rs s s♥s r♦tt♦♥ ♥s tr é♣♠♥t st ♠ê♠ ♥ t♦t ♣♦♥t
♦ ♦♠♠ s♦tè♥♠♥t êtr ♠s ♦rt♦♦♥♠♥t à sr r r ♦♥sérr
é♣♠♥t ♥♦r♠ ♥ s ♣♦♥ts ΣL ♦rs s♦♥ ♠♥s♦♥♥♠♥t é♣♠♥t rt
Uz ♦ ♦rrs♣♦♥ é♣♠♥t ♥♦r♠ ♠①♠ ♥ sr r ♦ st
♦♥ tsé ♣♦r trr ♦r ♦♥r♥♦♥♥♠♥t
♣rès r ♣♦r ♥ t① ♦♥♥♠♥t ♦♥♥é é♣♠♥t st ♣s éé ♣♦r ♥
♦♥t ②♣r♦q q ♣♦r ♥ ♦♥t ♥ér Pr rs ♥ ♦♠♣r♥t s ① s ♥♦♥ ♥érs
♥♦s r♠rq♦♥s q é♣♠♥t ♠♥t ♦rsq é♣ssr ♦♥t ♠♥ ♥ t ♦rsq
é♣ssr ♦♥t ♠♥t s♦t♦♥ ♠♦è ♥♦♥ ♥ér s♣♣r♦ s♦t♦♥ ♠♦è
♥ér
♦rsq♥ s♦tè♥♠♥t st ♠s ♥ ♣ ♣rss♦♥ q ♦t s♣♣♦rtr à éqr ♦rrs♣♦♥
à ♥trst♦♥ ♦r rtérstq ♦ ♦r r s♦tè♥♠♥t
r str s ①♠♣s ♥trst♦♥ ♣♦r s tr♦s s étés ♣rss♦♥ à éqr st
♣s éé ♣♦r ♠♦è ♥♦♥ ♥ér ♦rsq é♣ssr ♦♥t ♠♥ t st ♠♥♠ ♣♦r
♠♦è ♥ér ér♥ st t♥t ♣s r♥ q rté s♦tè♥♠♥t st ♣s
Page 132
P
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
1−
λ
Uz (mm)
Calcul ISOBLOC en élasticité, K0=1, Kt=1000 MPa/m
Pe1/σ0
Pe2/σ0Pe1/σ0
CAP/σ0
Pe1/σ0
Pe2/σ0Pe1/σ0
CAP/σ0
Non linéaire, Kn0=3353 MPa/m, e0=2 mm
Non linéaire, Kn0=7930 MPa/m, e0=5 mm
Linéaire, KnL=10000 MPa/m
Exemples de soutènement
r ♦rs ♦♥r♥♦♥♥♠♥t ♥ éstté ♣♦r ér♥ts ♦s ♦♠♣♦rt♠♥t ♥♦r♠ s ♦♥ts t ①♠♣ éqr s♦tè♥♠♥t
♦ q ♠s ♥ ♣ s♦tè♥♠♥t st rtré
♥s tst♦♥ ♥ ♠♦è ♥ér ♠♦è ♥♦♥ ♥ér ♣t ♦♥r à s♦sst♠r
♣té ♠①♠ s♦tè♥♠♥t à ♣ré♦r P ♦ ♥ à srst♠r tr sérté
s♦tè♥♠♥t P/Pe
♦♥r♥♦♥♥♠♥t ♥ ést♦♣stté
t st étr ♦r ♦♥r♥♦♥♥♠♥t ♦rsq rtèr ♣stté
st tt♥t r♥t ér♠♥t sr r ♣♦r s ♦♥ts à ♦♠♣♦rt♠♥t ♥♦r♠ ♥ér
s ♦ ②♣r♦q s s réstts s♦♥t ♦♥r♦♥tés ① s éstqs s t P♦r
♦♠♣♦rt♠♥t ♥♦r♠ ②♣r♦q ♥♦s ♦♣t♦♥s e0 = 2mm t Kn0 = 3353MPa/m P♦r s
s ♥♦♥ éstqs s ♣r♦♣rétés rts rtèr ♣stté s♦♥t φ = 20 t c = 0P
r r♣rés♥t s ♦rs ♦♥r♥♦♥♥♠♥t ♣♦r s ér♥ts s ♦s r
♠rq♦♥s q ♣♦r s ① s ♥♦♥ éstqs ①st ♥ t① é♦♥♥♠♥t à ♣rtr q
♣♥t ♦r ♦♥r♥ st ♥ s♦♥t♥té t ♥ré♠♥t é♣♠♥t ♦
♠♥t s♥t♠♥t st ♥ t λglob é♥ ♥s ♣rr♣ q st é
♥s s à λcrit ♦♠♠ ♦♥ rr ♣r st ♥s s ♥trst♦♥ ♦r rtérstq
s♦tè♥♠♥t ♣♦r ♥ t① ♦♥♥♠♥t ♥érr à 1−λglob ♣rss♦♥ s♦tè♥♠♥t
à éqr sr ♥tt♠♥t ♣s éé ♣♦r ♠♦è ♥♦♥ éstq q ♣♦r ♠♦è éstq
st r ♥s s ♦♥ts à ♦♠♣♦rt♠♥t ♥♦r♠ ♥ér ♦♠♠ ♥s s ♦♥ts à
♦♠♣♦rt♠♥t ♥♦r♠ ②♣r♦q
Pr rs ♠♣t é♣♠♥t ♣stq ♥s s ♦♥ts ②♣r♦qs st ♥tt♠♥t
♣s éé q ♥s s ♦♥ts ♥érs ♥s s ♣stt♦♥ st ♠♦ésé ♥ ♦
♦♠♣♦rt♠♥t ♥♦r♠ ♥ér ♠♥s♦♥♥♠♥t s♦tè♥♠♥t st ♠♦♥s sértr q
tst♦♥ ♥ ♦ ②♣r♦q
♥trst♦♥ ♦r rtérstq s♦tè♥♠♥t ♥s ♣s éstq ♣s
rté s♦tè♥♠♥t ♠s ♥ ♣ ♠♥ ♦ ♣s s ♠s ♥ ♣ st rtré ♣s ♣rss♦♥
Page 133
ts ♣r♠étrqs
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8
1−
λ
|Uz| (mm)
Calcul ISOBLOC, K0=1, Kn(σ0n)=10000 MPa/m, Kt=1000 MPa/m
Hyperbolique, élastoplastique φ=20°
Hyperbolique, élastique
Linéaire, élastoplastique φ=20°
Linéaire élastique
r ♦rs ♦♥r♥♦♥♥♠♥t ♥ ♦♠♣♦rt♠♥t ♥♦r♠ s ♦♥ts♥ér ♦ ②♣r♦q ♥ éstté ♦ ♥ ést♦♣stté
à éqr ♠♥ t ♣s tr sérté rt s♦tè♥♠♥t ♠♥t ♦t♦s ♥
♠♥♥t rté s♦tè♥♠♥t ♦♥ ♦rt rsq q ♦ ♥tr ♥s ♣s ♣stq
é♥♠♦♥s ♥♦s rr♦♥s ♣s tr q st ♣♦ss ♣♦r s♦tè♥♠♥t rt♥r ♦ ♠ê♠ s
♣s ♣stq éà été ♥t♠é
tst♦♥ ♥ ♠♦è éstq ♦♠♠ ♥s ♣tr ♣r♠t r♣érr ♠♦♠♥t ♦ù
♣stt♦♥ ♦♠♠♥ ♠s ♥♦s ♥♦♥s ♣s ♥♦r♠t♦♥s sr é♦t♦♥ ♦r ♣rès
♣rss♦♥ ♠♥♠ s♦tè♥♠♥t à ♣ré♦r s♥t ♠♦è ♥ér ♦rrs♣♦♥
♣♦♥t ♦ù ♦r ♦♥r♥♦♥♥♠♥t ♥ ♣♥t ♥s ♠♦è ést♦♣stq
♥♥ ♥ r♦tt♠♥t r r♣rés♥t ♦r ♦♥r♥♦♥♥♠♥t
♥ s♥t rr ♥ r♦tt♠♥t ♦♥t φ = 20 15 t 10 ♥ ♦és♦♥ c = 0P
♦rsq ♥ r♦tt♠♥t ♠♥ ♥♠♥t ♣♥t ♣♦r ♥ ♣s é♣♠♥t
♦ ♥s q♥ ♣s t① é♦♥♥♠♥t λ Pr ♦♥séq♥t s éqr s♦
tè♥♠♥t r♥t ♣s ♣stq ♣rss♦♥ à éqr ♠♥t ♠♥t♦♥
♥ r♦tt♠♥t
r r s tr♦s ♦rs s♦♥ r φ ♦♥r♥t ♣♦r λ t♥♥t rs rs
♠ê♠ é♣♠♥t Uz ♥ s♥t ♥ r♥ss♠♥t tt ♣rt r♠♠ ♦♥ r♠rq
♥ é♣♠♥t ♠té à ♣rtr ♥ rt♥ ♠♦♠♥t s①♣q ♥ ♥②s♥t s réstts
♥ tr♠s ♦♥tr♥ts sr sr ΣJ ♥ t ♦♠♣t t♥ s ♦♥♥és ♥♦s ♦♥s ♥
♣rt ♥ s♠♣ ♠♦♠♥t tr♥st♦♥ ♦♥t ♦♥séq♥ st q sr ΣJ é♣♠♥t st
♥♦r♠ t tr ♣rt qs ♥♦r♠té s ♦♥tr♥ts ♥ts t ♣♦s rst ♥é
t ♥♥tr♥r q ♦rsq λ st ♦s♥ ♥ ♥t ♦♥ r ♥tr♥r ♣♦s ①♣t♦♥
tt ♥é♣♥♥ Uz sàs φ ♣♦r λ ♣tt st à tr♦s rs♦♥s
• é♣♠♥t un ♥ t♦t ♣♦♥t ΣJ st ré ♥ér♠♥t à Uz ♥ ♦♥t ♦♥st♥t
♥é♣♥♥t λ q ♥st é qà ♦r♥tt♦♥
• s♥ t♥ ♦♥t à ♥ rt♦♥ ♥tr σn t un ♦ ②♣r♦q ♥é♣♥♥t
λ
Page 134
P
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8
1−
λ
|Uz| (mm)
ISOBLOC Non Linéaire, Kn(σ0n)=10000 MPa/m, e0=2 mm, Kt=1000 MPa/m, ψ=0°
Elastique non linéaire
φ=20°
φ=15°
φ=10°
0
0.004
0.008
1.66 1.68 1.7
1−
λ
|Uz| (mm)
r ♦rs ♦♥r♥♦♥♥♠♥t ♣♦r ér♥ts ♥s r♦tt♠♥t
• ♥ ér♠♥t λ ♦s♥ ♦rrs♣♦♥ à σn ♣rtq♠♥t ♥ sr t♦t ΣJ Pr
♦♥séq♥t é♣♠♥t st ré à tt r t ♥é♣♥♠♠♥t φ ♦♥ Uz ♥
♥st é qà ♦ ②♣r♦q ét♥t ♦♠♠ ♦és♦♥ st ♥ ♦rsq σn t♥ rs
③ér♦ ♥ st ♠ê♠ σt = σn tanφ Pr ♦♥séq♥t ♣♦r ♥ λ t♥♥t rs ♦♥ rr à
♥ éséqr q tt ♦s t ♥tr♥r ♣♦s ♦ q ♥ ♣t ♣s êtr ♥éé
♦s ♥ ♦♥♦♥s q ♦ st ♥st t r ♣r rté ♥ s♥ s♦tè♥♠♥t
♣♦r t♦t r φ
♥♥ t♥ t♥ ♥ t q r♥t ♣s ♣stq r
r♣rés♥t s ♦rs ♦♥r♥♦♥♥♠♥t ♦ ♣♦r ① ♥s r♦tt♠♥t ér♥ts t
♥ s♥t rr ♥ t♥ ψ = 0, 5, 10 P♦r ♥ ♥ r♦tt♠♥t ♦♥♥é q q
s♦t ♥ t♥ ♥♠♥t ♣♥t ♣♦r ♠ê♠ t① é♦♥♥♠♥t λcrit
P♦r ♥ é♣♠♥t ♦♥♥é ♥s ♣s ♣stq t① ♦♥♥♠♥t st ♣s éé ♦rsq
t♥ st ♥♦♥ ♥ Pr ♦♥séq♥t s éqr s♦tè♥♠♥t ♥s ♣s
♣stq ♣rss♦♥ à éqr st ♣s éé
Pr rs ♣rés♥ t♥ ♣r♠t ♦r ♥ ♣s r♥ ♠r é♣♠♥t
♥t éstst♦♥ ♦ ♦t♦♥s ss q λinst st ♣s éé ♦rsq ♥ t♥
♠♥t ♠s tt ér♥ st très ♥s ♥♦tr s t ♥st ♣s s sr r
♥s s♥s à t♥ ♥ t sts♥t sr ♦ ♦ ♣t s tr♦r ♦♥é ♥tr s
ssrs q é♠t♥t t q s t♥t t s♦♥ ♥stté st ♦rs rtré
t été ♣stt♦♥ ♦ ♦♥sér♦♥s ♥♦ ♦ ♥ ♦♠♣♦r
t♠♥t ♥♦♥ ♥ér s ♦♥ts rtérsé ♣r Kn0 = 3353MPa/m e0 = 2mm Kt = 1000MPa/m
φ = 20 t c = 0MPa r r♣rés♥t ré♣rtt♦♥ rtèr ♣stté sr sr
ΣJ ♣♦r ér♥ts trs ér♠♥t st r q ♣stt♦♥ ♥tèr s s s t
ç♦♥ qs s♠t♥é ♣♦r λ = 0.85 ♥ t ♦♠♠ s ♦♥tr♥ts ♥ts s♦♥t s♦tr♦♣s
t q é♣♠♥t s t s♥s r♦tt♦♥ s ♦♥tr♥ts ♥ t♦s s ♣♦♥ts ♦ à ♥
♥st♥t ♦♥♥é s♦♥t qs ♥tqs
Page 135
ts ♣r♠étrqs
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0 0.5 1 1.5 2 2.5
1−
λ
|Uz| (mm)
ISOBLOC Non Linéaire, Kn(σ0n)=10000 MPa/m, Kt=1000 MPa/m
φ=20°,ψ=0°
φ=20°,ψ=5°
φ=20°,ψ=10°
φ=15°, ψ=5°
φ=15°, ψ=10°
r ♦rs ♦♥r♥♦♥♥♠♥t ér♥ts ♥s t♥
λ = 0.84 λ = 0.85 λ = 0.86
r ♦t♦♥ ♣stté sr s s ♦rs rs♠♥t ♣♦r φ = 20
tr ♣rt r r♣rés♥t ♥ ♦♥t♦♥ tr ér♠♥t é♦t♦♥
é♣♠♥t rt ♦ ♥ ♣rè é♦t♦♥ rtèr ♠①♠ ♦s s♥♦♥s ♣r
rtèr ♠①♠ r ♠①♠ rtèr ♣stté é sr t♦s s ♣♦♥ts ΣJ r
♠①♠ té♦rq rtèr st r ♥ tt♥t ♥ ♣stté ♣♣♦♥s q tt r ♣t
êtr é♣ssé ♥s ♥♠érq à s ♥tr ♥ré♠♥t ♠ét♦ ♥tért♦♥
♥s t♠♣s ♥é♠tq ♥♠♥t ♣♥t ♠ê♠ t① é♦♥♥♠♥t λcrit = 0.85
♣♦r s ① ♦rs P♦r ♦ ♥♦s ♦♥s ♦rs λcrit = λglob
♥ t s♦t♦♥ é♣♠♥t é♣♥ ♠tr ♦ s②stè♠ G tt ♠tr
st ♦♥stté ♠♦②♥♥♥t ♥térs sr s ♠trs rté ♦s K ♦♠♠
é♦♣♣ rt♦♥ K ♥ ♥ ♣♦♥t ♦♥♥é é♣♥ étt s ♦♥tr♥ts ♥
♣♦♥t ♥ t s♦♥ ①♣rss♦♥ ♥ s♥t q ♣♦♥t ♦rrs♣♦♥♥t ♣s ♣réé♥t
st ♥s ♣s éstq ♦ ♥s ♣s ♣stq t s ♣rès éqt♦♥ ♦
♦♠♠ ♣stt♦♥ ♣rsq ♥ ♠ê♠ t♠♣s ♣♦r t♦s s ♣♦♥ts sr ΣJ
♦ ♣♦r réstt ♠♦t♦♥ rté ♦ s②stè♠ Pr ♦♥séq♥t ♣♥t
Page 136
P
−1.8
−1.6
−1.4
−1.2
−1
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−1.8
−1.6
−1.4
−1.2
−1
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
Critè
re m
axim
al (M
Pa)
Dépla
cem
ent U
z (
mm
)
λ
Calcul ISOBLOC Non Linéaire, K0=1, Kn0=3353 MPa/m, e0=2 mm, φ=20°, Kt=1000 MPa/m
λcrit=0.85λcrit=0.85
Critère maximal (MPa)
Déplacement (mm)
r ♦t♦♥ é♣♠♥t ♦ t rtèr ♠①♠ ♥ ♦♥t♦♥ λ
♦r é♣♠♥t ♥ ss ♥ ♠ê♠ t♠♣s
♥ér ♦♥ ♣♦r ♦ λcrit = 0.87 tt ér♥ ♣r r♣♣♦rt à
λcrit é ♠♦è ♦♥ ♥ér st à ér♥ ♦♠♣♦rt♠♥t ♥♦r♠
♦♥t ♥tr s ① ♠♦ès Pr rs ♥s ♠♦è ♥ér ♦♠♠ ♦♥ ♥ ♣s ♥♦r♠t♦♥
r♦rs étt ♦ à ♣rtr t① é♦♥♥♠♥t rtq ♣rss♦♥ s♦tè♥♠♥t
st é rt♠♥t à t①
♦s rr♦♥s ♣r st q ♣♦r trs s ♦s ♣stt♦♥ ♣r♦rss♠♥t
s ♥ré♠♥ts é♦♥♥♠♥t ♥s s s à éstq st ♥♦r ♣s ♥ss♥t
♣sq ♥ ♣r♠t ♣s r♣érr t① é♦♥♥♠♥t λglob ♣♦r q ♦♠♣♦rt♠♥t
♦ st ♠♦é s♥t♠♥t
t ♥ ♦ ♥♥é s ♦♥tr♥ts ♥ts ♥♦♥ s♦tr♦♣s
t♦♥s ♥ tr ♣♦st♦♥ ♦ ♥ t♦r♥♥t ♥ ♥ θ = 45 t♦r ① t♥♥
st ♠ê♠ ♦♥rt♦♥ é♦♠étrq q ♦ été ♥s ♣tr s s
♦♥tr♥ts s♦tr♦♣s (K0 = 1) ♦♥♥rt qs♠♥t ♠ê♠ réstt q ♣♦r ♣r♠r ♦ ♦♠♠
♥♦s ♦♥s ♦sré ♥s ♣tr à s s②♠étr ♣r♦è♠ t t ♥é
rté t♦♥s ♦rs stté ♦ ♣♦r K0 = 0.5
♦♥ ♥ér ♦rsq s ♦♥tr♥ts ♥ts ♥ s♦♥t ♣s s♦tr♦♣s
r ♦♥tr♥t ♥♦r♠ ♥t σ0n st ér♥t s♥t ♦♥séré ♦ P♦r ♦r
♥ r ① Kn (σ0n) = 10000MPa/m sr s tr♦s s ♦ r ♦♥sérr ér♥ts
rs Kn0 t e0 ♣♦r q ♦ é♥♠♦♥s ♥♦s ♦♥s ♦♣tr s ♠ê♠s ♣r♦♣rétés
q s s ♦♥ts ♦ e0 = 2mm Kn0 = 3353MPa/m ♣♦r s tr♦s s ♦ t ♣♦r
♠♦è ♥ér rr Kn (σ0n) ♦rrs♣♦♥♥t
ét ♦♥ ♥ér sr t ♣♦r s s s♥ts
• s éstq ♦és♦♥ ①é à ♥♥
• s ♥♦♥ éstq φ = 20 t c = 0MPa
Page 137
ts ♣r♠étrqs
♥ér ♦♠♣rs♦♥ ♠♦è ♥ér ♥ésst r
Kn (σ0n) ♥ t♦t ♣♦♥t ΣJ s s♥t sr éqt♦♥ Kt = 1000MPa/m ♥♦s ♦t♥♦♥s
♣♦r ♥ Kn/Kt ≃ 6.8 t ♣♦r s ① trs s Kn/Kt ≃ 6.5 ♣♣t♦♥
♥ér s r♣♣♦rts rtés t K0 = 0.5 ♠♦♥tr q ② trt♦♥ sr ♥ ♣rt ΣJ t
♦♥ ♦♥t sérté st éré ♥ réstt été ét r ♣tr
♦ù ♥♦s ♦♥s r♣rés♥té ♣♦r ♦ rt♦♥ tr sérté ♥ ♦♥t♦♥ Kn/Kt t
♣♦r ér♥ts rs K0 ♥s ♦♥r♥♥t ♥ tr sérté ét ♦
♠ét♦ ♥ér ♦♥♥ ♥ réstt ♥♦♥ r ♠ê♠ s ② trt♦♥ ♥st
♣s r♦r① ♦♥r q ♦ st ♥éssr♠♥t ♥st
Pr rs tt ♠ét♦ stté ♣t êtr ss éé ♥ s s♥t sr ♥ r
λcrit t① ér♠♥t ♠♥♠ ♣♦r q rtèr st tt♥t ♥ ♥ ♣♦♥t ♦♥♥é st
♣r♠r ♣♦♥t ♦ q ♣st q st ♦♥séré ♠ê♠ ♣rss♦♥ ♠♥♠ s♦tè♥♠♥t
Pmin st é ♥ ♦♥sér♥t ♣♦♥t ♣s rtq ♦ ♦s ♠♦♥trr♦♥s q tt ♠ét♦
q♥tt♦♥ stté ♣♦str♦r ♣rès ♥ éstq q s♦t ♥ér ♦ ♥♦♥ ♣t
♦♥r à srér ♥stté t q ♥②s ♦♥ ♥ér ♦♥♥ s ♥♦r♠t♦♥s
♣s ♣réss sr étt ♣stt♦♥ ♦
t s t① é♦♥♥♠♥t λcrit t λglob
♦♠♠ st ♥ s r♠♥t ♥♦♥ s②♠étrq r♦tt♦♥ ♥st ♣s ♥ q ♣♦♥t
r ♦ ♣♦ssè ♦rs ♥ tr é♣♠♥t ér♥t tr t q st é
s♥t éqt♦♥ ♠♦♠♥t ♦r♣s s♦ ♦s ♦sss♦♥s étr ♦♠♣♦s♥t ♥♦r♠
♥ ♥tr r ♦ ♦rsq sr ♠♥s♦♥♥r s♦tè♥♠♥t ♥♦s
♠♦♥trr♦♥s ♣r st q ♦① st sértr
r r♣rés♥t é♦t♦♥ ♦♠♣♦s♥t ♥♦r♠ é♣♠♥t un ♥
♥tr ΣL ♥ ♦♥t♦♥ t① é♦♥♥♠♥t ♥s s ♥♦♥ éstq φ = 20 t c = 0MPa
t ♥s s éstq sé♣rt♦♥ ♥tr s ① ♦rs ♣♦r λglob = 0.42 st
t① é♦♥♥♠♥t à ♣rtr q ♦♠♣♦rt♠♥t ♦ ♦ st té ♣r ♣stt♦♥
♥ ♣rt ΣJ t ♥ré♠♥t é♣♠♥t ♦ ♠♥t
r r♣rés♥t ss é♦t♦♥ rtèr ♠①♠ ♥ ♦♥t♦♥ t① ér♠♥t
♣♦r ♦♥t ♥♦♥ éstq rtèr ♠①♠ s♥♥ à λcrit = 0.27 tt r ♠rq ét
♣stt♦♥ ♦ ♦s r♠rq♦♥s q λcrit < λglob à ér♥ s ♦ ♣♦r
q s ① rs s♦♥t ♦♥♦♥s
t ré♣rtt♦♥ rtèr ♥ ♦♥t♦♥ t① é♦♥♥♠♥t
P♦r ♠① ♦♠♣r♥r é♦t♦♥ ♣stté ♥♦s ♦♥s r♣rés♥té sr r
ré♣rtt♦♥ rtèr ♣stté sr s s ♦ à ♣srs t① ér♠♥t ♥qés
sr r P♦r λ = λcrit = 0.27 rtèr st ♥ sr ♥ ♣tt ♣rt
♦ ③♦♥ r♦ t① λglob = 0.42 ♦♥ ♦sr ♣stt♦♥ ♣rsq ♥tèr ① s
♦ t ♥♦s ♦♥♥ ♣s ♠r ♣♦r r ♥stt♦♥ s♦tè♥♠♥t q s
♥♦s ♦♥sér♦♥s r ♦ù ♣stt♦♥ ♦♠♠♥ s s ♣st♥t ♥tèr♠♥t à λ = 0.7
s ♦♥tr♥ts ♥♦r♠s s♦♥t ♥s à λ ♦s♥ q s♥ q ♠♦ ♥stté st
é♦♠♥t ♥ t♦ts s s ♦
Page 138
P
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
Critè
re m
axim
al (M
Pa)
Dépla
cem
ent u
n (
mm
)
λ
ISOBLOC Non Linéaire, K0=0.5, Kn0=3353 MPa/m, e0=2 mm, Kt=1000 MPa/m
λcrit=0.27 λglob=0.42
Critère maximal (MPa), joint non élastique φ=20°
un (mm), joint non élastique φ=20°
un (mm), joint élastique
r ♦t♦♥ rtèr ♠①♠ t é♣♠♥t ♥♦r♠ à r ♥♦♥t♦♥ t① é♦♥♥♠♥t
λ = 0.27 λ = 0.4 λ = 0.5
λ = 0.6 λ = 0.7
r ♦t♦♥ rtèr ♣stté sr s s ♣♦r ér♥ts t① ér♠♥t ♦rsq φ = 20 t c = 0MPa
♣rès tt ét ♥♦s ♣♦♦♥s r q t ér stté ♥ s s♥t sr λcrit st
tr♦♣ ♣ss♠st ♦rsq ♣stt♦♥ s s ♦ s t ♣r♦rss♠♥t ♥s s ♠♦
t♦♥ ♠tr rté ♦ ♥st ♣s ss③ ♠♣♦rt♥t ♣♦r ♥♥r ♦♠♣♦rt♠♥t
♦ t① λcrit
ér♥ ♠ét♦ s ♦s és ♠ét♦ s ♦s és é♥t ♠♦♠♥t
♦ ♦♠♠ ss♠♥t sr ♦r r ♥s ♣tr ♠♦è
Page 139
ts ♣r♠étrqs
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4
1−
λ
un (mm)
ISOBLOC Non Linéaire, K0=0.5, Kn0=3353 MPa/m, e0=2 mm, Kt=1000 MPa/m
Début de plastificaiton, λcrit=0.27
Plastification de deux faces, λglob=0.42
Plastification entière, λ=0.7
Elastique
Non élastique, φ=20°
r P♦st♦♥s s ér♥ts t① ♦♥♥♠♥t rtqs sr ♦r ♦♥r♥♦♥♥♠♥t
♦♥ ♥ér ♥♦s r♠rq♦♥s q ♣stt♦♥ ♦♠♠♥ sr t ♠♣t
é♣♠♥t ♠♥t ♣rès ♣stt♦♥ s s t q st éq♥t à r q
ss♠♥t ♣tôt sr s ① s ♥ ér♠♥t ② ét♠♥t ♦♠♣t
♥ t♦ts s s
t t♥
r r♣rés♥t ♦r ♦♥r♥ ♣♦r ♥ ♦♥t t♥t ♥ ♦♠♣r♥t
s s♥s t♥ t s éstq ♣rs ♥ ♦♠♣t t♥ ♦♠♠ ♣♦r s ♦ù
t♥ st ♥ sé♣rt♦♥ ♣r r♣♣♦rt à ♦r ♦♠♣♦rt♠♥t éstq ♥ s t ♣s
ét ♣stt♦♥ ♦ ♠s s♠♥t à ♣rtr λ = 0.42 ♠♣t é♣♠♥t
t♥ st ♣s éé q ♣♦r ♥ s s♥s t♥ ♦♥r♥♥t ré♣rtt♦♥ rtèr sr
s s ♦♥ ♦sr q ③♦♥ ♣sté st éèr♠♥t ♠♦♥s ét♥ ♦rsq t♥ st ♥♦♥
♥
♦rs ♦♥r♥♦♥♥♠♥t ♣♦r ♣srs ♣♦♥ts r
P♦r ♦sr ♦r ♦♥r♥♦♥♥♠♥t ♣s rtq t é♠♥t ♦♠♣rr s
♦rs ♦♥r♥♦♥♥♠♥t ♦rrs♣♦♥♥t à t♦s s ♣♦♥ts r ♦ ♣♦♥t
♣s rtq st ♥ t q é♣♠♥t ♣s éé ♥s rt♦♥ t♦♥
s♦tè♥♠♥t ♥s ♥♦tr s st rt♦♥ ♥♦r♠ à r ♦ r ♥♦s s♣♣♦s♦♥s
q s♦tè♥♠♥t ♦♥stté ♦♦♥s êtr ♠s ♥ ♣ ♦rt♦♦♥♠♥t à tt
P♦r ♦r ♥ ♣r♠èr st♠t♦♥ s ♣♦♥ts s ♣s rtqs ♥♦s ♦♥s r♣rés♥té sr r
♣♦r ♦ ♥♦♥ éstq é♣♠♥t ♥♦r♠ r ♦rrs♣♦♥♥t
t① é♦♥♥♠♥t λ = 0.8 é♣♠♥t ♠①♠ st ♥qé ♣r ♦r r♦
P♦r érr s tt ③♦♥ r♦ ♣s r♥ é♣♠♥t r♥t t♦t ♣r♦sss ér
♠♥t ♥♦s ♦♥s été é♦t♦♥ é♣♠♥t ♥♦r♠ s ♣♦♥ts P P P t P ♥ ♦♥t♦♥
t① é♦♥♥♠♥t r r♣rés♥t s ♦rs ♦♥r♥♦♥♥♠♥t ♣♦r s
Page 140
P
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
1−
λ
un (mm)
Calcul ISOBLOC Non Linéaire, K0=0.5, Kn0=3353 MPa/m, e0=2 mm, Kt=1000 MPa/m
Plastification de deux faces, λglob=0.42
Elastique
φ=20°, ψ=0°
φ=20°, ψ=10°
r ♦r ♦♥r♥♦♥r♥ ♣♦r φ = 20 ♣rs ♥ ♦♠♣t
t♥ ψ = 10
r é♣♠♥t ♥♦r♠ sr r ♦ ♣♦r λ = 0.8 ♣♦r s ♥♦♥éstq
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4
1−
λ
un (mm)
ISOBLOC Non Linéaire en élasticité
P1
P2
P3
P4
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4
1−
λ
un (mm)
ISOBLOC Non linéaire en élastoplasticité (φ=20°)
P1
P2
P3
P4
r ♦rs ♦♥r♥♦♥♥♠♥t ♣♦r ér♥ts ♣♦♥ts r ♣♦r♥ éstq t ♥ ♥♦♥ éstq
Page 141
♣♣t♦♥ ♠♥s♦♥♥♠♥t s♦tè♥♠♥t
qtr ♣♦♥ts ♥ ♣rt ♦rsq st éstq t tr ♣rt ♦rsq s ♦♥ts ♣st♥t
φ = 20 t c = 0MPa ♦s r♠rq♦♥s q s ♣♦♥ts q ♦♥t é♣♠♥t ♥♦r♠ ♣s
ééé ♥ s♦♥t ♣s s ♠ê♠s s♥t s ♣r♦♣rétés ♠é♥qs s ♦♥ts ♥s s éstq ♣♦♥t
P st ♣s rtq ♥s s ♦ù φ = 20 st s ♣♦♥ts P ♦ P à ♣rtr ♥ rt♥
t① é♦♥♥♠♥t st t tsr ♥tr rté ΣL ♣♦♥t P ♣♦r
♠♥s♦♥♥♠♥t s♦tè♥♠♥t ♥s s ♥♦♥ éstq
♣♣t♦♥ ♠♥s♦♥♥♠♥t s♦tè♥♠♥t
♣rr♣ ♣rés♥t ♥ ①♠♣ ♠♥s♦♥♥♠♥t s♦tè♥♠♥t ♣♦r ♥ ♦ s♦é ♦s
♦♠♠♥ç♦♥s ♣r ♦♥♥r s ♥♦t♦♥s ♣rtqs sr ♠s ♥ ♣ s♦tè♥♠♥t ♥s s ♠①
r♦① rtrés ♣♣r♦ ♦♥r♥♦♥♥♠♥t sr ♥st tsé ♣♦r ♠♥s♦♥♥
♠♥t ♥ s②stè♠ ♦♦♥♥ ♣♦r ♦ été ♦ ♣rs ♥ ♦♠♣t
s♦tè♥♠♥t sr ♥st ♣♣qé ♣♦r érr s ♦♥ rtr♦ ♥ réstt éq♥t
♦t♦♥s ♣rtqs sr s♦tè♥♠♥t s ♦s
♥s ♥ ♠ r♦① r s♦♥t♥ é♦r♠é ♥ s ♣r♦s ♥ ①t♦♥ ♥st
♣s ♦♥t♥ ♦t ♠♦♠♥t q ♣t ♦r st ré ♣r s s♦♥t♥tés Pr ♦♥séq♥t
♥stté ♥ ♦ ♦♥♥é rsq ♦r rt♠♥t ♣rès ♣ss r♦♥t ①t♦♥
♦♥ st à ért♦♥ sr ΣL ♥ ♥tr ♦♠♠ r♦ st r ♦ qs r s
é♦r♠té ♥ ♣t ♣s ♥tr♥r ♥ s s ♦ ♣♦r rtrr s♦♥ ♠♦♠♥t ♥ ♦s
q sr r st ①é ❯♥ ♠♦♠♥t qqs ♠♠ètrs s♠♥t é♥ér♠♥t
♥t q ♦ ♥ s♦t ♦♠♣èt♠♥t éstsé st s ♣r ①♠♣ ♦ φ = 20
t K0 = 1 ♦ ♦ φ = 20 t K0 = 0.5 éà étés ♥s ♣rr♣ ♥s
s♦tè♥♠♥t ♦t êtr é♠♥t ♠s ♥ ♣ ss③ tôt ♥t q r ♦ ♥ s♦t
♥tèr♠♥t ①é ♣t ♣♦sr s tés t♥qs ♠s rst ♣♦ss à résr
s tés t♥qs ♣♥t êtr réts ♥ ♠♥♠s♥t ♦♥r ♦é ♥ trs
tr♠s ♦♥ ♥ à ♣tts ♣s ①t♦♥ ♦♥t♥♠♥t à r tt ç♦♥ ♦♥ ♣r♦è
à ♠s ♥ ♣ s♦tè♥♠♥t ♥t ①♣♦sr ♦ ♥tèr♠♥t Pr rs ♦rsq♦♥
r à ♥ r ①t♦♥ rs♠♥t s t ♥ ♣srs séq♥s ♦♠♠ ért ♦ ❬❪
♥ ♦♠♠♥ ♣r ♥ ♣rt t♦t ♥st t♦tté t♦t st ①♣♦sé ♣s ♦♥ é♦
♣r♦rss♠♥t t rs s st♦♥ ♥ ①♥t s ♥s ♦r③♦♥ts tt
♣r♦ér st ♣♦ss ♥str s ♦♦♥s ♥ ♥ ♦ ♦♥♥é ♥t q s sr ΣL ♥
s♦t ♥tèr♠♥t ①é r ♠♦♥tr ♥ ①♠♣ ♠s ♥ ♣ ♣r♦rss s ♦♦♥s
①t♦♥ séq♥t ♥ r ♦rtr s♦trr♥
r s ♥ ♣ ♣r♦rss ♦♦♥s r♥t rs♠♥t ♥ r ①t♦♥ s♦trr♥ ♥s ♥ ♠ s♦♥t♥ ♣rès ♦ ❬❪
Page 142
P
Psrs t②♣s s♦tè♥♠♥t s♦♥t tsés ♥s s ♠① s♦♥t♥s s ♦♦♥s à ♥r
♣♦♥t ♦ ré♣rt ♥t ét♦♥ ♣r♦té t r
♥ ttr s♦tè♥♠♥t s♦t ♥ rô s♣♣♦rt s♦t ♥ rô ♦♥♥♥t s♦t s ① à
♦s ♥s s ♠① s♦♥t♥s ♦♥ ♦♥sèr ♥ é♥ér q s ♦♦♥s ♦♥t r ♥ t♥t q
s♦tè♥♠♥t ♣♦rtr ♣rès és♦rst♦♥ ♦ ♠ss r♦① s ♥tr♥♥♥t ♣♦r
rr ♦ r♦é ♠ss r♦① tt ♦q ♥t t q♥ é♥ér ♥s s
♠ét♦s ♦♥♥t♦♥♥s ét stté s ♦s ♠ét♦ à éqr ♠t ♦♥ ♥♦r s
♦♥tr♥ts ♥ st t ♦♥ ♦♥sèr q st ♥q♠♥t ♣♦s ♦ q ♥r s♦♥ ♥stté
♥s ♣rr♣ s♥t ♥♦s ♦♥s ♠♦♥trr q s♦tè♥♠♥t ♣t ♦r ♥ rô ♦♥♥♥t ♣♦r
♦ srt♦t ♦rsq s rté st éé
t ♥ sé♠ ♦♦♥♥
♦ été st ♦ K0 = 0.5 t s ♦♥ts ♥♦♥ ♥érs ♦♥t s rtérstqs s♦♥t
e0 = 2mm Kn (σ0n) = 10000MPa/m Kt = 1000MPa/m φ = 20 t c = 0MPa ♦ été tr♦é
♥st s♥s s♦tè♥♠♥t à ♥ ér♠♥t r λinst < 1 ♣rès ét t
♣rr♣
♣♣t♦♥ ♠ét♦ ♦♥r♥♦♥♥♠♥t
♦s ♦♥sér♦♥s ♥ s♦tè♥♠♥t ♣r s ♦♦♥s à ♥r ♣♦♥t ♣♦r ♦ t②♣
♦♦♥ st s♦t ♥ré ♥ ♥r ♠é♥q ♦q s♦t rés♥ sr ♥ très
♦♥r ♣s srré ♣rès s♦♥ ♥stt♦♥ ♦s ♥é♦♥s ♣♥♥t rô s♦tè♥♠♥t t
q ♣t ♦r t ♦♥sér♦♥s ♥q♠♥t q tr ♦♠♠ ♥ s♦tè♥♠♥t ♣ss ♥ trt♦♥
♥t tt♥r s ♣té ♠①♠ ♦♦♥ ♦♠♣♦rt♠♥t ♥ t éstq rss♦rt
♦♥t rté ① s ♣r
Kb =EπD2
4L
E ♠♦ ❨♦♥ r D ♠ètr t t L s ♦♥r
P♦r ♥♦tr ét ♥♦s ♦♣t♦♥s E = 210000MPa D = 25mm L = 3m rté ①
♦♦♥ st ♦rs Kb = 34.34KN/mm
s ♦♦♥s ♦♥t ♦r ♥ ♦♥r q ssr ♥r ♦ ♥s ♠ss r♦①
tr ♠①♠ ♦ été ét♥t 2m st ♦① ♥ ♦♥r 3m ♣té
♠①♠ st r♠♥t ♠①♠ q ♣t s♣♣♦rtr ♥ ♦♦♥ ♥t s r♦♠♣r ♥ st♠
♣♦r s ♦♦♥s ♠♠ ♠ètr à Cb = 230KN
Pr rs ♥♦s ♦♥s rs♦♥♥r ♥ ♥♦♠r ♦♦♥s ♣r m2 ♦rsq♥ ♥♦♠r Nb ♦♦♥s
st ♥sté rté ♥s♠ Ks st s♦♠♠ s rtés q ♦♦♥ t ♣té
♠①♠ ♥s♠ P st s♦♠♠ s ♣tés q ♦♦♥ ♦ù s rt♦♥s
Ks = KbNb t P = NbCb
♦s ♦♥sér♦♥s q s ♦♦♥s s♦♥t ♣és ♦rt♦♦♥♠♥t à sr r r r
s♦♥t trés s ♦rs rtérstqs s♦tè♥♠♥t ♣♦r ér♥ts ♥stés ♦♦♥s ♥stés
♣rès 0.1mm é♣♠♥t ♦ ♥ r♣rés♥t ♥ t é♦t♦♥ t① ♦♥♥♠♥t
①ré ♣r s♦tè♥♠♥t r♣♣♦rt ♥tr s r t ♦♥tr♥t ♥♦r♠ ♥t ♥ ♦♥t♦♥
s♦♥ é♣♠♥t
s ♦rs ♥trst♥t ♦r ♦♥r♥♦♥♥♠♥t ♣♦r ♦♥♥r étt é♣♠♥t
t ♦♥♥♠♥t ♠♦♠♥t éqr s♦tè♥♠♥t P♦r t♦s s s étés ♣rss♦♥
Page 143
♣♣t♦♥ ♠♥s♦♥♥♠♥t s♦tè♥♠♥t
à éqr st ♥érr à ♣té ♠①♠ s ♦♦♥s tr sérté s♦tè♥♠♥t
r♣♣♦rt ♥tr s ♣té ♠①♠ t ♣rss♦♥ à éqr st ♥qé sr r ♥ ♥ ét
q s ♦♦♥s rst♥t ♥ éstté
s ♦♦♥sm2 st é♠♠♥t ♦♠♣èt♠♥t rrést st ♦♥♥é à ttr ♥t ♣♦r
♠♦♥trr q ♣♦r ♦r ♥ éqr ♦rs ♣s éstq ♦ t ♦r ♥ rté
s♦tè♥♠♥t très éé q♦♥ ♥ ♣t é♥ér♠♥t ♣s ssrr ♥ t ♠ê♠ ♥♦♠r
♦♦♥s ♦r s♦tè♥♠♥t ♥trst ♦r ♦♥r♥♦♥♥♠♥t ♣rès s sé♣rt♦♥
♦r ♦rrs♣♦♥♥t s éstq
P♦r ♥ s♦tè♥♠♥t ♦♦♥♠2 ♥trst♦♥ à ♥ très t① ♦♥♥♠♥t
♦♠♠ ♦♥ trt♦♥ sr t♦ts s s ♦ ♣♦r t① ♦ st s♣♣♦sé êtr ♦♠♣èt♠♥t
♥ étt é♦♠♥t t ♥s s ♦♦♥s ♦♥t ♥ rô ♣♦rtr ♥s s
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4
Taux d
e c
onfinem
ent (
1−
λ)
Un (mm)
ISOBLOC Non Linéaire et soutènement avec des boulons de rigidité Kb=34 KN/mm
FS=11.5
FS=7
FS=3
FS=11.5
FS=7
FS=3
FS=11.5
FS=7
FS=3
FS=11.5
FS=7
FS=3
Courbe de convergence élastique
Courbe de convergence, φ=20°
Courbes de soutènement : 1 boulons/m2
4 boulons/m2
50 boulons/m2
r ♦r ♦♥r♥♦♥♠♥t t ♥trst♦♥ s ♦rs rtérstqs s♦tè♥♠♥t
♦t♦♥s q ♥s tt ét ♥♦s ♦♥s s♣♣♦sé q ♥stt♦♥ s ♦♦♥s st t ♣rès
0.1mm é♣♠♥t ♦ q ♦rrs♣♦♥ à ♥ t① é♦♥♥♠♥t λ = 0.15 st
éq♥t à r q ♦♥ ♥sté s ♦♦♥s tôt ♥t ér♠♥t ♦♠♣t r
♦♠♣rs♦♥ s ♠ét♦s à éqr ♠t
s ♠ét♦s ♦♥♥t♦♥♥s ♦ s♦és ♠ét♦s s ♦s ❯❲ t
♠♣t é♣♠♥t ♥st ♣s ♦♥♥ t s♦tè♥♠♥t st ♠♥s♦♥♥é ♥ ♦♥sér♥t ♥
q♠♥t s ♣té ♠①♠ s♥s ♣r♥r ♥ ♦♠♣t s ♦ ♦♠♣♦rt♠♥t ♦t♦s s ♣té
♠①♠ ♥st ♣s ♥éssr♠♥t ♠♦sé ♥ rété ♦♠♠ ♠♦♥tr r ♦r
rtérstq s♦tè♥♠♥t st ♥♦r ♥s ♣s éstq ♠♦♠♥t éqr ♥tr ♦
t s♦tè♥♠♥t s ♠ét♦s ♥trt♦♥ ♦strtr st ♥♦ré ♥s q rô ♦♥♥♥t
q ♣t ①rr s♦tè♥♠♥t sr ♦
s♦tè♥♠♥t st ♠♥s♦♥♥é ♥ ♦♥sér♥t ♥q♠♥t ♣♦s ♦ q st
Page 144
P
t s♥s ♣r♥r ♥ ♦♠♣t ♣♦ssté r♣tr ♦♦♥ ♣r s♠♥t ♥ s ♦♦♥ srt
ss♥t ♣♦r stsr t♦t ♦ ♣rès s ♠ét♦s ♥ ttr ♦rs ♥ rô ♣♦rtr
♣rs ♥ ♦♠♣t s♦tè♥♠♥t ♥s
♦ ♦♥ ♥ér ♣rs ♥ ♦♠♣t s ♦♦♥s st tsé ♥ ♦♠♣rr
s♦♥ réstt à ♠ét♦ ♦♥r♥♦♥♥♠♥t P♦r ♠tr rté
s♦tè♥♠♥t ♥♦s é♥ss♦♥s s ♦♦♥s ♥ à ♥ ♣♦r ♥ s ♣♦st♦♥ t s rt♦♥
♦t♦s ét♥t ♦♥♥é qs s♦♥t t s♣♦sés ç♦♥ réèr ♥ sr
①t♦♥ s②♠étr tt ♦♥rt♦♥ ♥♦s ♣r♠s s r♠♣r ♣r ♥ s ♦♦♥
②♥t ♥ rté éq♥t t ♦rt♦♦♥ à sr r ♥ s♦♥ ♥tr r r♣rés♥t
s ♦r♦♥r♥♦♥♥♠♥t ♦rrs♣♦♥♥t à ér♥ts sé♠s ♦♦♥♥ s♥t q
s♦tè♥♠♥t été té à λ = 0.15
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4
1−
λ
Un (mm)
ISOBLOC Non Linéaire et soutènement avec des boulons de rigidité Kb=34 KN/mm
Convergence−confinement : sans boulons
1 boulon/m2
4 boulons/m2
50 boulons/m2
Courbes de soutènement : 1 boulons/m2
4 boulons/m2
50 boulons/m2
r ♦♥r♥♦♥♥♠♥t ♦ ♣rès ♥stt♦♥ ♥ sé♠ ♦♦♥♥
P♦r s ♦rrs♣♦♥♥t à ♥stt♦♥ ♥ ♦♦♥♠2 rté s♦tè♥♠♥t ♥st ♣s ss③
éé ♣♦r ♦srr ♥ ♠♦t♦♥ ♥♦t t♥♥ ♦r ♦♥r♥ ♦rsq
rté s♦tè♥♠♥t ♠♥t é♣♠♥t ♦rrs♣♦♥♥t à ♥ t① é♦♥♥♠♥t ♦♥♥é
s♣érr à λ = 0.15 ♠♥ ♦♦♥sm2 ♦♥ ♦sr ♥ ♠♣♦rt♥t ♥♠♥t ♣♥t
♣r r♣♣♦rt à ♦r s♥s ♦♦♥♥
♦s s♣r♣♦s♦♥s à s ♦rs s ♦rs r s♦tè♥♠♥t ♦s r♠rq♦♥s q ♣♦r
t♦s s s étés é♣♠♥t ♦ s♦tè♥♠♥t à ♥ ér♠♥t
r λ = 1 ♦ï♥ ①t♠♥t é♣♠♥t ♣♦♥t éqr tr♦é ♠ét♦
♦♥r♥♦♥♥♠♥t ♣r♠t r ♠ét♦ tsé ♣♦r ♠♣é♠♥tr s♦tè♥♠♥t
♥s
♥t ♠ét♦ ♠♦ést♦♥ s♦tè♥♠♥t ♥ ♥tér♥t ♦ ♣r
r♣♣♦rt à ♠ét♦ ♥trst♦♥ st q♦♥ rr à r♥r ♦♠♣t ♥trt♦♥ ♥tr s♦
Page 145
②♥tès
tè♥♠♥t t ♦ r♥t ér♠♥t r t ♥♦♥ ♣s ♥q♠♥t ♠♦♠♥t
éqr ♦s ♦♥s ♥s ♣s ♥♦r♠t♦♥s
②♥tès
♥s ♣tr s ♠é♦rt♦♥s ♠♦è ♥ér ♣rés♥té ♥s ♣tr
♦♥t été ♣♣♦rtés sàs ♦ ré♦♦q s ♦♥ts ♠♣é♠♥té ♥♦ ♠♦è
♦♥ ♥ér ♣r♠t ♥ ♥②s ♣s rést ♦♠♣♦rt♠♥t ♦ ♥ ♣r♥♥t ♥ ♦♠♣t s
♣♦♥ts s♥ts
• ♥ ♦♠♣♦rt♠♥t ②♣r♦q ♦♥t ♥s rt♦♥ ♥♦r♠
• ♦♥t♦♥ ♦♥tt ♥tér q s♥ q s ♦♥tr♥ts ♥♦r♠s ♥ ♣♥t qêtr
♥éts ♦ ♥s
• ♥ ♦♠♣♦rt♠♥t ést♦♣stq ♣rt ♦♥t ♥s rt♦♥ t♥♥t ♥ rtèr
♦r♦♦♠ φ t
• t♥ ♦♥t ♥s ♣s ♣stq ♥ ♣♦t♥t ♦♦♠ ss♦é à ♥
t♥ ψ
♦ ♦♠♣♦rt♠♥t ♦♥t ♣r♠t ①♣r♠r rt♦♥ ♥tr é♦t♦♥ s ♦♥tr♥ts t
s é♣♠♥ts ♥ ♥ ♣♦♥t ♦♥♥é ♥s ♣s éstq ①♣rss♦♥ st s♠r à
♦♥♥é ♥s s ♦♠♣♦rt♠♥t ♥ér éstq tsé ♥s ♥ér s q
rté ♥♦r♠ ♦♥t ♥st ♣s ♦♥st♥t ♠s é♣♥ ♦♥tr♥t ♥♦r♠ ♥s ♣s
♣stq ①♣rss♦♥ ♦ st ♦t♥ ♥ é♦♠♣♦s♥t é♣♠♥t ♥ ♥ ♣rt rérs
t ♥ ♣rt éstq ♦♥t ①♣rss♦♥ é♣♥ ♣♦t♥t ♣stq ss♦é à t♥ t
rtèr ♦r♦♦♠ ♥ s é♦♠♥t ♥♦s ♦♥sér♦♥s q ♦♥t ♥♥tr♥t ♣s t s
♠tr rté st ♥
♦♠♥s♦♥ s éqt♦♥s éqr ♥ tr♠s rt♦♥s ♦ ♦♠♣♦rt♠♥t
s ♦♥ts t éqt♦♥ ♠♦♠♥t ♦r♣s s♦ ♣r♠t ♦tr à ♥ s②stè♠ ♥ér
♦♥t s ♥♦♥♥s s♦♥t s tsss é♣♠♥t t r♦tt♦♥ ♦ ♣r r♣♣♦rt tr
ér♠♥t λ t♠♣s ♥é♠tq ♠tr rté s②stè♠ é♣♥ à t♦t ♠♦♠♥t s
♦♥tr♥ts ts t ♦♥ é♣♠♥t ♠ét♦ ♥♠érq ♦s ♣♦r étr♠♥t♦♥
s ♥♦♥♥s ♣r♥♣s st ♥ ♥tért♦♥ ①♣t ♥s t♠♣s s ♣s ♦♥st♥ts dλ = 1/N
N ét♥t ♥♦♠r ♣s ♦♥r♥♥t ♥tért♦♥ ♥s s♣ ♠ét♦ s ♣♦♥ts ss st
tsé ♦♠♠ ♥s ♣tr
♥♦ ♠♦è st ♣♦ss sr ♦♠♣♦rt♠♥t ♦ ♥s ♣s ♣stq
t♦t ♠♦♠♥t s ♦♥tr♥ts s♦♥t sttq♠♥t ♠sss à s ♣♣t♦♥ s
éqt♦♥s éqr t ♣stq♠♥t ♠sss st rrêté ès ♦rs q tt ♦♠♣tté
♥st ♣s rs♣té q st ♦♠♣♦sé ♠♦è ♦♥ ♥ér ♣t ♣r♥r ♥ ♦♠♣t
♥♠♣♦rt q tr ♦ ré♦♦q ♦♥t q ést♦♣stté ♥♦♥ ♥ér ♣rt tsé ♥s
♣tr
❯♥ ét s♥sté ♦♥r♥♥t ♠ét♦ ♥♠érq ♦♣té ♠♦♥tré q ♣♦r ♦r ♥
réstt r♦r① t ♥ ♥♦♠r éé ♣s ♥ r♥ ♥ ♠ très ♥ ♦
♥st ♣s ♥éssr ♠ré ♥♦♥ ♥érté ♣r♦è♠ st û t q ♥♦♠r ♣♦♥ts
ss é♥ ♣♦r q éé♠♥t st ♥ éé ♣♦r ♥ tr♥ t ♣♦r ♥ rt♥
❯♥ ♣rt ♣tr été éé à s éts ♣r♠étrqs ♦♥r♥♥t ♠♦è ♥♦♥ ♥ér
t à s ♦♠♣rs♦♥s ♠♦è ♥ér P♦r tt ♥ ♦r ♦♥r♥♦♥♥♠♥t été
tré ♣♦r ♣srs s ♦s ♥ s♥t rr s ♦s ♦♠♣♦rt♠♥t t s ♣r♦♣rétés s ♦♥ts
Page 146
P
tt ♦r ♣r♠t étr é♦t♦♥ ♦♥tr♥t ♦♥♥♠♥t ♦ t① ♦♥♥♠♥t
♥ ♦♥t♦♥ é♣♠♥t ♥ ♣♦♥t sr r ♦ ♥s rt♦♥ s♦tè♥♠♥t
♥trst♦♥ ♦r rtérstq s♦tè♥♠♥t ♣r♠t r♣érr ♣rss♦♥ à éqr
s éts ♣r♠étrqs ♦♥t ♣r♠s rrr ① ♦♥s♦♥s s♥ts
• ❯♥ ♦ ♦♠♣♦rt♠♥t ♥♦r♠ ②♣r♦q st sértr sàs ♠♥s♦♥♥♠♥t
s♦tè♥♠♥t ♣r r♣♣♦rt à ♥ ♦ ♥ér q ♦♥ s♦t ♥ éstté ♦ ♥ ♣stté ♥ t
♣rss♦♥ à éqr ♦r r s♦tè♥♠♥t st ♣s éé ♥s ♣r♠r
s ér♥ st t♥t ♣s r♥ q é♣ssr ♦♥t st ♣tt ♦ q s rté
♥♦r♠ ♥t st éé
• P♦r ♥ t① é♦♥♥♠♥t ♦♥♥é é♣♠♥t ♦ st ♣s éé ♥ ♠♦è ♣s
tq q ♥ ♠♦è éstq ♥s q ♣rss♦♥ s♦tè♥♠♥t ér♥ ♠♥t
♦rsq ♥ r♦tt♠♥t ♦ ♦és♦♥ ♠♥
• ♣rss♦♥ s♦tè♥♠♥t à éqr st ♣s éé ♦rsq t♥ st ♣rs ♥ ♦♠♣t
• ét♦♥ stté ♥ér ♣t êtr ♣r♦s ①trê♠♠♥t ♣ss♠st
♠♦è ♦ st é ♥st s rtèr ♣stté st tt♥t ♥ ♥ ♣♦♥t ♦♥♥é
♥t ér♠♥t ♦♠♣t r ♣rss♦♥ s♦tè♥♠♥t st ♦rs éé
♣r r♣♣♦rt à ♣♦♥t ♦♥ ♥ér ♠♦♥tré q ♣stté ♣t
♦♠♠♥r à é♦r sr ♥ ♣tt ♣rt ♦ s♥s ♠♦r ♦♠♣♦rt♠♥t ♦
♦ ♦ r♥r ♥st ♥s ♥ ♣rss♦♥ s♦tè♥♠♥t ♥érr à ♠♥é ♣r
♥ér ♣t êtr ss♥t ♣♦r stsr ♦ ♠♦è ♥ér ♥
♣r♠t ♣s ét♦♥ ♥ ♣rss♦♥ ♥s ♣s ♣stq r réstt s ♦♥tr♥ts t
é♣♠♥ts st ♥q♠♥t r ♣♦r ♠♦è t♥t q♦♥ st ♥ éstté
tr ♣rt s♦tè♥♠♥t été ♥téré ♥s ♦ ♦♥ ♥ér st ♦tr
s ♠tr rté à ♠tr rté s②stè♠ à ♥ t① é♦♥♥♠♥t ♣résé ♣r
tstr ♦s ♦♥s ♣rés♥té ①♣rss♦♥ tt ♠tr ♣♦r s ♦♦♥s à ♥r ♣♦♥t
tr♥t ♥ trt♦♥ t q rst♥t ♥ éstté ♠s r♥ ♥♠♣ê é♦♣♣r tt ①♣rss♦♥
♣♦r ♥ tr t②♣ s♦tè♥♠♥t
r♥r ①♠♣ ♣♣t♦♥ st ♥ ét t s♦tè♥♠♥t sr ♦♠♣♦rt♠♥t
♦ s♦t ♠ét♦ ♦♥r♥♦♥♥♠♥t ♦ ♥tért♦♥ s♦tè♥♠♥t
♦ ♦♥ r♥ ♦♠♣t ♥trt♦♥ ♥tr ♦ t s♦tè♥♠♥t ♠ét♦ ♦♥r♥
♦♥♥♠♥t ♦♥ ♦t♥t ♥ ♥♦r♠t♦♥ ♥q♠♥t sr é♣♠♥t t ♣rss♦♥ à éqr
s♦tè♥♠♥t ♥tért♦♥ s♦tè♥♠♥t ♦ ♦♥ rtr♦ s ♥♦r♠
t♦♥s ♠s ♦♥ st ss ♣ sr t s♦tè♥♠♥t sr ♦ r♥t t♦t ♣s
ér♠♥t
s ♠ét♦s ♦♥ r♥ ♦♠♣t rô ♦♥♥♠♥t q ♣t ♦r s♦tè♥♠♥t ♥
t ♣r♠t ①rr ♥ ♣rss♦♥ sr ♦ ♠ê♠ s ♥ ♣s ssrr q t♦s s ♣♦♥ts
♦ s♦♥t ♥s ♣s éstq s ♠ét♦s sés sr ♥ à éqr ♠t
♥trt♦♥ ♥tr ♦ t s♦tè♥♠♥t ♥st ♣s ♦♥séré ♥ ♠♥s♦♥♥ s♦tè♥♠♥t ♥
♥ ♦♥sér♥t q s ♣té ♠①♠
♥♦♥s q ♥♦s s♦♠♠s ♣rt♠♥t ♦♥s♥ts q ♥♦tr ♣r♦è♠ stté ♦ s♦é
st ♥ ♣tt ♣r♦è♠ ést♦♣stté q ♣t êtr trté ♥♦♠r① ♦s ♦♥♥s
❯ ❱P ♦t♦s st ♥♥♠♥t ♣s s♠♣ ♥térr ♥♦tr ♦
♦♠♠ ♥ ♣tt rq à ♥térr ♥ ♦ ♦s s♦és ❯❲ r
st à ♥ éé à ♣r♦è♠ ①st♥ r♦s ♦s ♣♥♥t été t ♣♦r
♣r♦ér à ért♦♥ ♦ ♥♦r♠tq ♥♦tr ♠♦è ❯♥ ♦♠♣rs♦♥ ♠ét♦
Page 147
②♥tès
s é♠♥ts ♥s été ♣rés♥té ♥s ♣tr ♣♦r ♠♦è ♥ér ❯♥ tr ♦♠♣rs♦♥
♥tr ♠ét♦ s é♠♥ts st♥ts ♣♣qé à ♥ ♦ ♦ à ♥ ♥s♠ ♦s t ♠♦è
♦♥ ♥ér sr ♣rés♥té ♣tr s♥t
Page 149
P
❱
PP
❱ ♥tr♦t♦♥
♥s s ♣trs t ♥ ♥♦ ♠ét♦ ♦♣t♥t ♣♣r♦ s ♦s s♦és
été ♣rés♥té s ♥ts ♣r r♣♣♦rt ① ♠ét♦s ♦♥♥t♦♥♥s étés ♣tr
♦♥t été ♠ss ♥ r ♣rs ♥ ♦♠♣t st♦rq r♠♥t ♦ ♥tr étt ♥t
♥t ①t♦♥ t étt ♥ ♣rès ①t♦♥ éqr s ♦rs t s ♠♦♠♥ts ♠♦♠♥t
♦ ♥ tr♥st♦♥ t ♥ r♦tt♦♥ ♣rs ♥ ♦♠♣t s ♦♥tr♥ts ♥ts t ♦♠♣♦rt♠♥t s
♦♥ts strt♦♥ ♥♦♥ ♥♦r♠ s ♦rts sr s s ♦ t ♣♦ssté étr t♦t t②♣
é♦♠étr s éts ♣r♠étrqs ♦♥t ♠♦♥tré ♥♥ s ♦♥tr♥ts ♥ts s rtés s
♦♥ts t ♣♦st♦♥ ♦ t♦r ①t♦♥ sr stté ❯♥ ♣r♠r ♠♦è ♣r♥♥t
♥ ♦♠♣t ♥ ♦♠♣♦rt♠♥t ♥ér s ♦♥ts t ♥ s♦♥ ♠♦è ♦♣t♥t ♥ ♦♠♣♦rt♠♥t ♥♦♥
♥ér ②♣r♦q ♥s rt♦♥ ♥♦r♠ t ést♦♣stq ♥s rt♦♥ t♥♥t ♦♥t
été ♣rés♥tés tr t q ♠♦è ♥♦♥ ♥ér st ♣s rést q ♠♦è ♥ér été
é♠♦♥tré q st ♣s sértr ♣♦r ♠♥s♦♥♥♠♥t s♦tè♥♠♥t t ♣r♠t ♦♥trr♠♥t
♠♦è ♥ér sr r♦rs♠♥t ♦♠♣♦rt♠♥t ♦ ♥s ♣s ♣stq
♥s r ♣r♥♣ ♣♣r♦ s ♦s s♦és t ♥ ♦♥sér♥t q s ♦s ♦♠♣♦rt♠♥t
s ♦♥ts ♠♣é♠♥tés r♣rés♥t♥t rété t q s ♦♥♥és ♥ts ♦♥r♥♥t s ♣r♦♣rétés
♠é♥qs t é♦♠étrqs s s♦♥t♥tés s♦♥t rs ♠ét♦ ♦♥stt ♥ ré
s♦t♦♥ ①t ♣r♦è♠ stté ♦ ♠♦ést♦♥ ♦ à ♥ ♦
ts♥t ♠ét♦ s é♠♥ts ♥s ♣r ①♠♣ ♦♥♥rt ①t♠♥t ♠ê♠ s♦t♦♥ t
rs sr à r ♥♦tr ♣♣r♦ ♣r♥♣ ♥♥♦t♦♥ ♣♣♦rté ♥s tt tès ♥st ♣s
♠ét♦ ♥♠érq é♦♣♣é ♥ ♠ê♠ ♠s t ♣♣qr ♣♦r ♣r♠èr ♦s ♣r
r♣♣♦rt à ttértr à rés♦t♦♥ ♥♦tr ♣r♦è♠ s♣éq
♦ts s éts éà ♣rés♥tés ♥s tt tès ♦♥t été ts à é ♥ s ♦ s♦é
♣r♦è♠ stté ♥s ♥ ♠ss r♦① s♦♥t♥ st t♦t♦s ♥ ♣s ♦♠♣① q
Page 150
P ❱ PP
stté ♥ s ♦ ♣rés♥ ♥ ♥s♠ ♦s ♥trss♥t ♥tr ① ②♥t
s ♠♦♠♥ts rts t ♦♥t ♥stté s ♥s ♥♥ s trs ♥s ♣tr
st ét♥r ♥♦tr ét à é ♥ s é♥ér ♣srs ♦s t♦r ♥ ①t♦♥
s♦trr♥ ♥ t ♥♦s ♦♥s ♦♠♣rr s réstts ♠ét♦ ① réstts ♥
♣r♥♥t ♥ ♦♠♣t t♦s s ♦s t rs ♥trt♦♥s ♠ét♦ s é♠♥ts st♥ts
♦ st tsé ♣♦r ♠♦ésr ♥ s rést ♥ ①t♦♥ ♥s ♥ ♠ r♦①
s♦♥t♥ srt ♦♠♠ ♦t t♦♥ ♥♦tr ♠ét♦ ♥s ♥ s é♥ér s ♦s stés
à ♣r♦ ①t♦♥ s♦♥t ♥st étés ♥ à ♥ ♠ét♦ t st érr
s ♥♦ ♠ét♦ é♦♣♣é ♣r♠t r♣érr s ♦s s ♣s rtqs ♣♦♥t
stté ♠é♥q Pr rs ♥ tért ♣r é♠♥t♦♥s ssss s ♦s ♥sts ♥
ts♥t à q tért♦♥ ♠ét♦ st ♥tr♣rs ❯♥ tr ♣r rr♦♣♠♥t
♦s sts t ♥sts ♣♦r ♦r♠r ♥ s ♦ st ss résé ♥s ♥♦s tstr♦♥s s ♠ét♦
♣r♠t t♠♥t r♠♣r ♥ ♠♦ést♦♥ ♣s ♦♠♣èt s ♦s t q t
♦
♥t ♣♣qr ♠ét♦ s é♠♥ts st♥ts à ♥ stté ♦ ♥♦s ♦♠
♠♥ç♦♥s ♣r érr s éà ♣♦r ♣r♦è♠ ♥ s ♦ ♠ét♦ ♣r♠t ♦♥♥r
♥ réstt éq♥t à ♠ét♦ s é♠♥ts st♥ts ♥ ♣s ① s s♦♥t résés ♥
r♦ r t tr r♦ é♦r♠ ♦t st ♠♦♥trr q ②♣♦tès r♦
r st ♥ sté ♥s s s♠♣ t ♣r ♦♥séq♥t ♥ ♥s♠ ♦s ♣t
ss êtr té ♥ ♦♣t♥t tt ②♣♦tès Pr rs ♠ét♦ ♥tért♦♥ ♥s
♥ s♦tè♥♠♥t ♦♥stté ♦♦♥s trt♦♥ sr é ♣r ♦♠♣rs♦♥ ♠ét♦ s
é♠♥ts st♥ts
♥ ♣tr ♥♦s ♣♣q♦♥s ♠ét♦ ♣♦r r♣r♦r ♥ t ♦s
♥s ♥ s ré t st ♠ttr ♥ é♥ t q tt ♠ét♦ ♣r♠t t♠♥t
r♠♣r ♥ ♠ét♦ ♦♠♣① q ♠♦és t♦t strtr r♦s t♦r ①t♦♥
Psrs ♦♥♥és é♣rt s♦♥t tstés ss③ ♠♥t ♣♦r ré♣♦♥r à t♦ts s ♥rtts
♦♥r♥♥t r♠♥t ♥t ♥ ♦tr ♠♥s♦♥♥♠♥t s♦tè♥♠♥t ♣♦r ♦ st
♦♥♥é
♥s t♦ts s ♣♣t♦♥s ♥♦s tsr♦♥s ♣r♦r♠♠ ♦♥ ♥ér q ♥♦s
és♥r♦♥s ♣r ét t♦t s♠♣♠♥t ♣r ♦rsq ♥♦s r♦♥s r♦rs ♣r♦r♠♠
♥ér ♥♦s és♥r♦♥s ♣r ♥ér
❱ ♦♠♣rs♦♥ ♥tr t ♣♦r ♥ ♦ s♦é
t ♣rr♣ st érr q ♠ét♦ ♦♥♥ ♠ê♠ réstt q
♦ ♠♥s♦♥ st♥t ♠♥t ♦ é♣♣é ♣r ts ❬❪ ♣♣qé ♣♦r ♥
♦ s♦é ♣rs ♥ ♦♠♣t ♥ r♦ r ♦s ①♠♥r♦♥s ss ♥♥ ♣rs ♥
♦♠♣t ♥ r♦ é♦r♠ sr réstt
♦♥sér♦♥s ♥ ♦ sté t♦t ♥ ①t♦♥ s♦trr♥ r♣rés♥té ♥s r ❱ t
ét♦♥s s♦♥ ♦♠♣♦rt♠♥t ♥ ts♥t ♥ ♣rt ♦ ②♣♦tès r♦ r
♦ r♦ é♦r♠ t tr ♣rt ♦ s ♦♠♣rs♦♥s s♦♥t résés ♣♦r
♥ s éstq s ♦♥ts t ♣♦r ♥ s ♦ù rtèr ♣stté st tt♥t ♥ ♥ ♣rt
s s r♥t ér♠♥t r
①t♦♥ ♥ ♦r♠ rr t♦t r②♦♥ ♠ t st sté ♥ ♣r♦♦♥r ♠
s s♦♥t♥tés é♥ss♥t ♦ été ♦♥t s rt♦♥s ♣♥ rs♣ts 270 40t
Page 151
❱ ♦♠♣rs♦♥ ♥tr t ♣♦r ♥ ♦ s♦é
130 t s ♣♥s rs♣ts 60 65 t 70 s♦♠♠t ♦ st sté à ♠ ♣r r♣♣♦rt
t♦t r rté ♥♦r♠ s ♦♥ts st Kn = 10000MPa/m t rté t♥♥t
Kt = 2000MPa/m r♦ ♣♦r ♠ss ♦♠q ρ = 2700Kg/m3 s ♦♥tr♥ts rts
♥ts s♦♥t s ♦♥tr♥ts rtt♦♥♥s t r♣♣♦rt s ♦♥tr♥ts ♦r③♦♥ts ♥ts ♣r
r♣♣♦rt ① ♦♥tr♥ts rts ♥ts st K0 = 0.5
r♦ é♦r♠ st té ♥ ♦♥sér♥t ♣srs ♠♦s ❨♦♥ P
P t P t ♥ ♦♥t ♣♦ss♦♥ ν = 0.2 ❯♥ ♠ ♠♦è s
éé♠♥ts tétrérqs ♦♥r ♠♦②♥♥ ♠ st résé ♦s ♠♦♥trr♦♥s q ②♣♦tès
r♦ r ♦♥♥ ♥ réstt ♦♥srtr ♣r r♣♣♦rt r♦ é♦r♠
r ❱ ♦ été t♦t ♥ ①t♦♥ s♦trr♥
❱ t é♣♠♥t
r ❱ ♠♦♥tr é♣♠♥t rt ♥ ♣rès é♦♥♥♠♥t r
♥ ♦ ♥s s ♦♥ts à ♦♠♣♦rt♠♥t ♥ér éstq ♥ ts♥t t
♦♥♥t ♥ ♣s ♣rr q s ① s ♦♥t ♥éssté ♥ srétst♦♥ s♣t t ♦♥
q s réstts s♦♥t ♣♣r♦①♠ts ♥s r ❱ ♦t êtr ♥②sé ♥ ♦sr♥t q s ①
♦s ♦♥t ♦t ♠ê♠ réstt à s♦r q é♣♠♥t rt st ♣rtq♠♥t ♥♦r♠
♦rr 0.65mm ±0.01mm
r ❱ ♠♣ts é♣♠♥t rt r♦ r ♥s s ♦♥tséstqs t
r ❱ r♣rés♥t é♣♠♥t ♠♦è é♦r♠ ♣♦r s ♠♦s
❨♦♥ P t P ♠♣t é♣♠♥t ♠♥t ♦rsq ♦♥ ♦♥sèr ♥
Page 152
P ❱ PP
r♦ é♦r♠ t st r♦ss♥t ♠♥t♦♥ ♠♦ ❨♦♥ r♦ Pr rs
♦♥ r♠rq ss q é♦r♠té r♦ ♥ ♠♦ ♣s qs♥♦r♠té ♠♣
é♣♠♥t
P P
r ❱ ♠♣ts é♣♠♥t rt r♦ é♦r♠ ♥s s ♦♥tséstqs
♦♠♠ st ♥ éstq ♥ér é♦t♦♥ é♣♠♥t ♥ ♦♥t♦♥ ér
♠♥t r st ss ♥ér ♥st ♣s s s ♦♥t ♣st t ♥♦s ♦♥s érr
♥s q st q r t ♦♥♥♥t ♠ê♠ réstt ♠ê♠ ♥s s ♥♦♥
♥ér
♥ t sr r ❱ st r♣rés♥té ♦r ♦♥r♥♦♥♥♠♥t é♦t♦♥ t①
♦♥♥♠♥t ♥ ♦♥t♦♥ é♣♠♥t rt ♥ ♥ ♣♦♥t r ♦ ♣♦r s
♥♦♥ éstq ♦ù s ♣r♦♣rétés s ♦♥ts s♦♥t φ = 27 t P
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
1−
λ
|Uz| (mm)
Bloc isolé, roche rigide ou déformable et joint élastoplastique (φ=27°,c=0 MPa)
ISOBLOC Non Linéaire
3DEC Rigide, N=50
3DEC, E=50 GPa, υ=0.2, N=10
3DEC, E=50 GPa, υ=0.2, N=50
3DEC, E=100 GPa, υ=0.2, N=10
3DEC, E=1000 GPa, υ=0.2, N=10
r ❱ ♦rs ♦♥r♥♦♥♥♠♥t ♥s s ♥♦♥ éstq t
s ① ♠ét♦s r t ♦♥♥♥t ♠ê♠ réstt é♣♠♥t t♦t
♦♥ é♦♥♥♠♥t r tt r s♦♥t ss r♣rés♥tés s ♦rs ♦♥r♥♦♥♥♠♥t
♦rrs♣♦♥♥t ① tr♦s s r♦ é♦r♠ P P t P Ps
♠♦ ❨♦♥ ♠♥t ♣s é♣♠♥t ♠♥ t s r♣♣r♦ s r ♦t♦♥s q
Page 153
❱ ♦♠♣rs♦♥ ♥tr t ♣♦r ♥ ♦ s♦é
♥s r♣ és♥ ♥♦♠r ♣s ér♠♥t P♦r P ♥♦s ♦♥s tsté ①
rs ♥♦♠r t s réstts s♦♥t qs ♥tqs ❯♥ ♥♦♠r ♣s
st ♦rs ss♥t ♣♦r ♦r ♥ ♦♥ réstt
♦s rr♦♥s ♥s ♣rr♣ s♥t q ♠ê♠ s é♣♠♥t ♦ st ♣s éé ♥s
s r♦ é♦r♠ ♣stt♦♥ s s st éèr♠♥t ♠♦♥s ét♥ t réstt ♥
tr♠ stté st qs ♥tq réstt ♦rsq♦♥ ♦♥sèr r♦ ♦♠♠ ét♥t r
❱ ♦♠♣rs♦♥ s ♦♥tr♥ts
♥ér ♠♦♥tr q t q ♥ r♦tt♠♥t s♦t s♣érr à 75
s ♦és♦♥ st ♥ ♣♦r ♦r éstté sr s s ♦ ♣rès ①t♦♥ ♥ s♥
♣s q ♦ êtr ♥st ♣♦r s ♥s r♦tt♠♥t ♥érrs à tt r
♥ ts♥t r ♥stté ét♠♥t ♦ ♠ss r♦s ♣♦r ♥
♥ r♦tt♠♥t φ = 26 ♥ st ♠ê♠ ♣♦r r st rrêté ♥t ♥
ér♠♥t rtèr ♣♦r t ♥ r♦tt♠♥t
♥s s r♦ é♦r♠ t ♣♦r t♦s s ♠♦s ❨♦♥ étés ♥stté ♣♦r
♥ ♥ r♦tt♠♥t éèr♠♥t ♥érr s r♦ r φ = 25 st tst♦♥
♠♦è r ♣♦r stté ♦s ♦rsq ♠tr r♦s st ss③ résst♥t t
rst ♥s ♦♠♥ éstq
P♦r ♠① ♦♠♣r♥r s ér♥s ♥tr ♠♦è r t ♠♦è é♦r♠ ♥♦s ♦♥s
♦♠♣rr ré♣rtt♦♥ s ♦♥tr♥ts t é♦t♦♥ ♣stté sr s s ♦ ♦rsq
φ = 27 t P
r ❱ ♠♦♥tr ré♣rtt♦♥ rtèr ♣stté F (~σ) = ‖~σt‖+tan (φ)σn−c sr ss ♦ à ♥ ér♥t r λ = 1 ♦r r♦ ♥q
③♦♥ ②♥t ♣sté rtèr ♣r♦ r ♥ ♦ r ♣r♠t ♠♦♥trr
s ♥÷s ♥ sqs ♦♥t ss r ❱ s ♥÷s é♥ss♥t s ♠ê♠s s ♦ù
rtèr st tt♥t s♥t ♠ét♦ ♥s s r♦ é♦r♠ ♣♦r t ♥
r♦tt♠♥t ♦♥ ♥♦t♥t ss♠♥t ♣stq sr s s q ♣♦r >P
r ❱ Pstté s s ♣♦r λ = 1 s♥t t r
tt ér♥ ♥tr ♠♦è r t é♦r♠ ♣t êtr à ♥ ♦♥tr♥t ♦♥♥♠♥t
s♣♣é♠♥tr ①ré sr ♦ ♥t ♣r é♦r♠té ♠ss r♦s q ♥t♦r
t♠♥t ♦♥ r♠rq ♣rès r ❱ q ♦♥tr♥t ♥♦r♠ st ♣s éé ♥s
Page 154
P ❱ PP
s é♦r♠ q ♥s s r q ♣r♠t ♠♥tr résst♥ ss♠♥t ♦♥t
t ♣r ♦♥séq♥t stsr Pr rs ♦♥tr♥t ♥♦r♠ ♠♥t ♦rsq ♠♦
❨♦♥ ♠♥
♠rq♦♥s q ♥s s ♦ r ré♣rtt♦♥ s ♦♥tr♥ts ♥♦r♠s sr s s
♦ st ♣s ♥♦r♠ s♥t ♠♦è q s♥t ♠♦è st û t
q ét ♥ ♠♦è r ♥ ♥ésst ♣s tr ♥ ♠ s ♦s s ♥
♠♦②♥♥ s ♦♥tr♥ts ♥♦r♠s s♦♥t s ♠ê♠s ♥s s ① s
r P
r ❱ é♣rtt♦♥ s ♦♥tr♥ts ♥♦r♠s sr s s ♦ r t é♦r♠
❱ ❱t♦♥ ♣rs ♥ ♦♠♣t s♦tè♥♠♥t ♥s
♦♥sér♦♥s ♥ s♦tè♥♠♥t ① ♦r♠é ① ♦♦♥s rt♦♥ rt trrs♥t ♦
s②♠étrq♠♥t ♣r r♣♣♦rt à s♦♥ s♦♠♠t t ér♦♥s s ♦♥ ♦t♥t ♠ê♠ réstt
r t ♦s ttr♦♥s ① ♦♥ts s ♠ê♠s rtés ♥♦r♠ t t♥♥t q
s tsés ♥s s éts ♣réé♥ts φ = 20 t P s ♣r♦♣rétés ♦ st
♥st s♥s s♦tè♥♠♥t
♣♣♦♥s q ♥s ♣tr ♥♦s ♦♥s ♥téré ♥ s♦tè♥♠♥t éstq ♦
♠tr rté ♦rrs♣♦♥♥t st ♦té à ♠tr rés♦t♦♥ s②stè♠ é♦♣♣
♠♥t ♠tr rt à s ♦♦♥s tr♥t ♥ trt♦♥ st été ♥s ♣rr♣
♥s ♥♦s s♣♣♦s♦♥s ss q s ♦♦♥s ♦♥t rstr ♥s ♣s éstq ♥ ♥tr♦s♥t
s ♣tés ♠①♠s éés ♦rs é♥t♦♥ rs ♣r♦♣rétés t st ♥q♠♥t
érr ♦ s♦tè♥♠♥t ♥s
r ❱ ♠♦♥tr é♦t♦♥ é♣♠♥t rt ♥ ♥ ♣♦♥t sr r ♦ ♥
♦♥t♦♥ t① ♦♥♥♠♥t ♣♦r ♣srs rtés ①s s ♦♦♥s s réstts
t s s♣r♣♦s♥t ♣♦r t♦s s s étés
❱ ♦♥s♦♥
t ①♠♣ ♣r♠t ér s ♦♥s♦♥s s♥ts
• ♣♦r ♥ s ♦ ②♣♦tès rté ♦♥♥ ♠ê♠ réstt q
♥s s s éstq t ♥♦♥ éstq ♥♦s ♣r♠t ♣rtr sr
Page 155
❱ t ♥ r s♦trr♥ t
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8
1−
λ
|Uz| (mm)
Soutènement avec 2 boulons de rigidité Kb, joint élastoplastique (φ=20°,c=0 MPa)
3DEC sans soutenement
ISOBLOC sans soutènement
3DEC Kb=250 MN/m
ISOBLOC Kb=250 MN/m
3DEC Kb=1000 MN/m
ISOBLOC Kb=1000 MN/m
3DEC Kb=3000 MN/m
ISOBLOC Kb=3000 MN/m
r ❱ ♦rs ♦♥r♥♦♥♥♠♥t ♣rs ♥ ♦♠♣t s♦tè♥♠♥t t
♦♥♥s ss ♣♦r ét ♥ ss♠ ♦s
• ②♣♦tès r♦ r st ♦♥srt ♣♦r s été ♥ trs tr♠s
s ♦ st ♥st ♥s rété tt ②♣♦tès ♥ ♣t ♦♥r qà ♥stté ♥s
♥s ♣rr♣ s♥t ♦rsq sr étr ♣srs ♦s ②♣♦tès rté st
♥ ②♣♦tès ♥ sté
• ♥ ♥ésst ♣s r ♥ ♥♦♠r très éé ♣s ér♠♥t
tst♦♥ ♣s ér♠♥t st ss♥t
• ♥tért♦♥ ♥ s♦tè♥♠♥t éstq ♥s ♦r♠é ♦♦♥s trt♦♥ été
é ♣r r♣♣♦rt à ♥
❱ t ♥ r s♦trr♥ t
♥s ♣rr♣ ♥♦s ts♦♥s ♠ét♦ ♣♦r ét ♥ ♥s♠ ♦s
t♦r ♥ ①t♦♥ s♦trr♥ réstt st ♦♠♣ré ♠ét♦ s é♠♥ts
st♥ts ♣r♥♥t ♥ ♦♠♣t t♦s s ♦s t rs ♥trt♦♥s ♥ ts♥t ♦ t st
érr s ♠ét♦ s ♦ s♦és ♣r♠t r♥r ♦♠♣t t♦ts s ♥sttés
❱ Prés♥tt♦♥ s ét
①t♦♥ s♦trr♥ été st rsé ♥s ♥ ♠ r♦① s♦♥t♥ à ♥ ♣r♦♦♥r
♠ ♦♥ t♦t st s♠rr r②♦♥ R = 5m s ♦♥♥és ♦♥r♥♥t s s♦♥t♥tés t
tsés ♣♦r é♥ért♦♥ s ♦s s♦♥t ♣résés ♥s t ❱ ♥ tr♠s ♠♦②♥♥ért
t②♣
s ♦♥tr♥ts ♥ts s♦♥t s ♦♥tr♥ts é♦sttqs ♥ r♦ ♠ss ♦♠q
ρ = 2500Kg/m3 t ♥ r♣♣♦rt ♥tr ♦♥tr♥ts ♦r③♦♥ts t rts K0 = 0.5
♦s s♣♣♦s♦♥s ♥ ♦♠♣♦rt♠♥t ést♦♣stq s s♦♥t♥tés ♥ér ♥s rt♦♥
♥♦r♠ ♥ rté ♥♦r♠ Kn = 10000MPa/m t ♥ rté t♥♥t Kt = 1000MPa/m
Page 156
P ❱ PP
♥ ♥ r♦tt♠♥t φ = 25 ♥ ♦és♦♥ t ♥ ♥ t♥ ♥s ❯♥ ♠♦è
r♦ é♦r♠ été ♦♥strt ♣♦r ♥ ♦♠♣rs♦♥ s ♥ r♦ r
❱ s ♠s s♦♥t♥tés tsés ♣♦r é♥ért♦♥ s ♦s
rt♦♥ ♣♥ () P♥ () s♣♠♥t ♠ ♦♠rPr♦té ♥trst♦♥
❱ ♦ést♦♥
❱ ♦① s ♠ts ♠♦è
♠♦ést♦♥ rsq êtr ss③ ♦r srt♦t ♦rsq st ♥ ♠♦è é♦r
♠ t ♥ ♥sté ♠ éé ♥ ♦rs ♥térêt à ♦♣t♠sr ♦♠ ♠♦è ♣♦r
♦r s t♠♣s rs♦♥♥s s♥s tr ♣rés♦♥ s réstts P♦r r ♥ ♠♦
è éstq ♦♥t♥ s♥s ♥tr♦t♦♥ s♦♥t♥tés été résé ♣srs ①t♥s♦♥s
③♦♥ t♦r t♥♥ r ❱ ♠♦♥tr é♣♠♥t rt ♣♦r s ér♥ts ♠♦ès
étés st r q ♠♦è s ♠♥s♦♥s 50m × 50m ♥s st♦♥ r st
ss♥t ♣♦r ♥♦tr s ét ③♦♥ ♥♥ ①t♦♥ ♥tt♥♥t ♣s s ♠ts
♠♦è ♦s ♦♣tr♦♥s ♥ ♦♥r ♠♦è 40m ♦♥ r
r ❱ r♣rés♥t é♦♠étr t s ♠ts ♠♦è é♥éré ♠♦è
♦♥t♥t ♦s r♣rés♥tés ♣r ér♥ts ♦rs
❱ ♦è r
♦♥t♦♥s ① ♠ts st ①r é♣♠♥t ♦r③♦♥t ♥ s ①tré♠tés rt
s ♠♦è ♥s rt♦♥ ♥♦r♠ à ♣r♦ ♦♥séré ♥s q é♣♠♥t rt
♥ ①tré♠té ♥érr ♠♦è ♥ r♦♥tèr s♣érr ♠♦è ♥ s
trt♦♥ s ♦♥tr♥ts rts és ① ♦♥tr♥ts rtrs à tt ♣r♦♦♥r st ♣♣qé
♣♦r éqrr s ♦♥tr♥ts ♥ts
P♦r ♥ ♠♦è r ♥♥r é♣♠♥t s♥t ♥ rt♦♥ ♦♥♥é ♥ r♦♥
tèr ♠♦è ♣♦r ♦♥séq♥ ♥♥r é♣♠♥t ♦s ♥trs ♣t ssr s
réstts srt♦t s s ♦s ♦♥t ♥ t rt♠♥t r♥ Pr ♦♥séq♥t ♠♣♦sr s
♦♥t♦♥s é♣♠♥t rt♠♥t sr s r♦♥tèrs ♠♦è ♦♥ ♦t s ♦s s♣♣é♠♥
trs ①s t♦t t♦r ♠♦è s ♥ ♠t ♦r③♦♥t s♣érr ♦♠♠ ♠♦♥tr
r ❱
s ♦♥t♦♥s s♦♥s ♥tr s ♦s s♣♣é♠♥trs t s r♦♥tèrs ♠♦è s♦♥t ssrés
♣r s ♦♥ts ♦♥t s rtérstqs s♦♥t ♦♠♠ ♦♥ ♣rés ♥s ♥♦t ❬❪
• ♥ s s♦♥s rts c = 0MPa t φ = 0 ♣♦r s♠r ♥ ♣♣ ss♥t
• ♥ s♦♥ ♦r③♦♥t c t φ ♦♥t s rs très éés ♣♦r s♠r ♥ ♣♣
①
t♣s ♠♦ést♦♥ ♥ésst tr ♥ ♣r♠r ♣♦r tr♦r
éqr ♥t ré♦♥ ♥térr t♥♥ st r♠♣é ♣r s ♦♥tr♥ts ♥ts ①rés
Page 157
❱ t ♥ r s♦trr♥ t
♦è 60m× 60m ♦è 50m× 50m ♦è 40m× 40m
r ❱ é♣rtt♦♥ é♣♠♥t rt ♣♦r ♣srs ♠♥s♦♥s ♠♦è s♥s♣rs ♥ ♦♠♣t s s♦♥t♥tés
Section Y-Y Section X-X
♦è ♥
t♦♥ ❨❨ t♦♥ ❳❳
r ❱ ♦r♠ é♦♠étrq r strt♦♥ s s♦♥t♥tés t ♠ts ♠♦è s ér♥ts ♦rs ♦rrs♣♦♥♥t ① ér♥ts ♦s ♣♦r ♥ ♠r sst♦♥
Page 158
P ❱ PP
r ❱ ♦♥t♦♥s ① ♠ts ♣♦r ♠♦è r
sr sr t♥♥ t ♦♥ ♥ s ②s sqà tt♥r éqr ♠é♥q tt
♣r♦ér ♣r♠t r♥tr q ♦♥ ♣rt ♥ étt ♥t ♥ éqr r♠♥t ①térr
♥t ♥t ♣r♦ér à ♠♦t♦♥ r♠♥t ①t♦♥ t♥♥ t à ét
stté
♥st é♦♥♥♠♥t ♥térr r st t ♥ ♣srs ♣s ♥s ♥♦tr
ét ♥♦s ♦♥s ♦s ♣s é♦♥♥♠♥t q ♣s ♥♦s t♦♥s s ②s térts
r♥t sqs ♦rt♠ ①♣té ♥s ♣tr r st ♣♣qé ♣♦r ♦tr à
éqr ♠♦è ♥♥r s ♦rs ①é♥trs ♥♥rés ♣r s ♥ré♠♥ts ér♠♥t
r♦♥tèr t♥♥ P♦r ♠♦è r ②s s♦♥t ss♥ts ♣♦r q
♣s ♦t♦♥s q s s ♣s é♦♥♥♠♥t s♦♥t ♠♦♥s ♥♦♠r① t ♠♥tr ♥♦♠r
②s ♣♦r tt♥r éqr r♣ r ❱ ♠♦♥tr é♦t♦♥ ♦r
♠①♠ ♥♦♥ éqré ♠①♠♠ ♥♥ ♦r ♥ ♦♥t♦♥ s ②s
r♥èr ét♣ é♦♥♥♠♥t t♦t r s②stè♠ ♥tt♥t ♣s éqr ♥
t ♦r ♠①♠ ♥♦♥ éqré ♦♥r rs ♥ r ♦♥st♥t ♥♦♥ ♥
♦s ♣♦♦♥s ♥ ér q ①st ♥ ♦ ♣srs ♦s q s♦♥t ♥sts ♥s ♠♦è
♥♦♥s q ♠♦è r ♥ ♥ésst ♣s r ♥ ♠ s ♦s ♠é♠♦r
tsé ♣♦r ♠♦è ♦♥t♥♥t ♦s st
t♦♥ stté étr♠♥t♦♥ s ♦s ♥sts ♣t s r ♥ ♦sr♥t ♥s
♠♦è s ♦s q s ét♥t ♦♠♣èt♠♥t ♠ss r♦s t q ♦♥t♥♥t à s é♣r
♥é♥♠♥t s ♦♥ ♠♥t s ②s ♥s s ♠♦è r ♥ ♠ét♦ ♣s
t♦♠tq ♣♦r étr♠♥r s ♦s ♦♥sst à r♣érr tss ♥ r ♥tr rté s
♦s ♥sts s♦♥t ① q ♦♥t s tsss éés à ♥ t srt♦t ① ♦♥t tss
♠♥t
♦♠♠ ♥♦s ♦♥s éà ①♣qé ♣tr ♠ét♦ s é♠♥ts st♥ts ♦♥sst
à r s ②s ♣♦r tr♦r éqr s②stè♠ éért♦♥ ♥ ♦ st ét
à ♣rtr s♦♠♠ s ♦rs q s♦♥t ♣♣qés ♥s s ♦s ♣♦r sqs éqr ♥st
♣s ♣♦ss ♦♥t s éért♦♥s éés à ♥ ér♠♥t r ❯♥ ♦ ♥ t
Page 159
❱ t ♥ r s♦trr♥ t
r ❱ ♦t♦♥ ♦r ♠①♠ ♥♦♥ éqré ♥ ♦♥t♦♥ s ②s
r ♣♦ssè ♥ éért♦♥ é à éért♦♥ rté ♦♠♠ rt♥s ♦s ♦♥t très
s tsss ♦rs qs s♦♥t ♥ t r éért♦♥ é à rté ♥♦s ♦♥s
♦s tsr s ① rtèrs ♥ ♠ê♠ t♠♣s ♣♦r ér stté s ♦s rs ♥s
s r♣s r ❱ ♠♦♥tr♥t s rs s tsss t s éért♦♥s à ②s
♦♠♣tés ♣rès ér♠♥t t♦t r ♦s ♦♥sér♦♥s q s ♦s ♥sts
s♦♥t ① q ♦♥t ♥ tss s♣érr à tss ♠t Vl = 0.01m/s t ♥ éért♦♥ s♣érr
♦ é à éért♦♥ ♠t al = 10m/s2 ♦s r♣rés♥t♦♥s ♥q♠♥t s réstts ♦♥r♥♥t s
♦s q ♦♥t ♠♦♥s ♥ r stés à sr ①t♦♥ s ♦s s♦♥t ♥♠ér♦tés ♣r
♦rr r♦ss♥t r ♦♠ s rtèrs ♦♥sérés ♥♦s ♦t♥♦♥s t♦t ♦s ♥sts
r♣rés♥tés ♥s r ❱ ♦♥t♦r rs tsss
0,00001
0,0001
0,001
0,01
0,1
1
10
0 50 100 150 200 250
Vite
sse
(m
/s)
Numéro du bloc
Limite de stabilité
0,01
0,1
1
10
100
1000
10000
0 50 100 150 200 250
Accé
léra
tio
n (
m/s
2)
Numéro du bloc
Limite de stabilité
r ❱ ❱tsss t éért♦♥s s ♦s stés à sr t♥♥ ♥s ♠♦èr é s♠♦rt♠q
❱ ♦è é♦r♠
♦s ♦♥s ♠♦♥tré ♥s ♣rr♣ ❱ q♥ ♠♦è r st ss♥t ♣♦r étr♠♥r s
♥ ♦ st st ♦ ♥♦♥ ♥s ♣♦r ét ♥ ♦rs ♥♦s ♥♦♥s ♣s étr ♠♦è é♦r♠
♥ ét ♦s érr♦♥s ♥q♠♥t q ♠♦è r st ♥ sértr ♣r r♣♣♦rt ♠♦è
é♦r♠
Page 160
P ❱ PP
r ❱ ♦s tr♦és ♥sts s♥t r
P♦r ♠♦è é♦r♠ ♠ st t s éé♠♥ts tétrérqs ♦♥r ♠♦②♥♥
♠ s ♦♥t♦♥s ① ♠ts s♦♥t s ①♣♦sés ♥s ♣rr♣ ❱ s s♦♥t ♣♣s
♣♦r ♠♦è é♦r♠ rt♠♥t sr s r♦♥tèrs ♠♦è s♥s ♦r s♦♥ ♦tr s
♦s s♣♣é♠♥trs ér♠♥t r st t ♥ ét♣s r t♠♣s st
①trê♠♠♥t éé ♦♠♠ ♣♦r ♠♦è r ♥ ♦♥r ♣s rs ♥ éqr ♣♦r t♦s
s ♦s ♦r ♠①♠ ♥♦♥ éqré st Funb = 1.062 · 10−2MN ♥érr à ♠♦è
r
♠♦è r♦ é♦r♠ ♦♠♣r♥ ♦s t éé♠♥ts tétrérqs t
♥ésst ♥ ♠é♠♦r
❱ ♦ést♦♥
❱ é♣ért♦♥ s ♦s à sr t♥♥
ét s ♦s ♦♥r♥ ♥q♠♥t ① q s tr♦♥t à sr t♥♥
♦r q ♣♦ssè♥t ♠♦♥s ♥ r ♣rès é♥ért♦♥ é♦♠étr s ♦s
s♦♥t ♠és s ♠s ♠♥s♦♥ ♠♦②♥♥ ♠ st ♠ê♠ ♠ tsé ♣♦r
ét ♠♦è é♦r♠ ♥st ♦♥ ♥t r♣érr s ♦s q ♦♥t ♠♦♥s ♥
r s♥s êtr ♥ ♦♥tt s ♦rs ①térrs ♠♦è ♥ ts♥t ♥ ♣r♦ér é♦♣♣é
♥ s st ♥ t ♥ ♥ ♣r♦r♠♠t♦♥ ♥tr♥ ① ♦s ts q
♣r♠t ♦r ès ① ér♥ts rs étt t rér ♥♦s rs t ♦♥t♦♥s
P♦r ①♠♣ été s ♦s s♦♥t r♣rés♥tés ♥s r ❱ ♥ t♦t ♦s
P♦r q ♦ ♦rt♠ é♦♣♣é ♣r♠t r♣érr s ♥♦r♠t♦♥s rts ♠
srq ♦ s ♥♠ér♦s s s ① s éé♠♥ts tr♥rs ♦♥stt♥t s s t
① s ♥÷s ♦♥stt♥t s ér♥ts éé♠♥ts ♥s q rs ♦♦r♦♥♥és s s rs s♦♥t
♠rqés ♣♦r ♣♦♦r s st♥r s trs s ♦rrs♣♦♥♥t ① ♦♥ts ♣rès értr
s ♥♦r♠t♦♥s sr ♥ r t①t s ♦s s♦♥t étés ♥ à ♥ ♥ ts♥t ♦
Page 161
❱ t ♥ r s♦trr♥ t
r ❱ ♦s stés à sr t♥♥
❱ t♦♥ stté
é♥t♦♥ s ♦s ♥sts é♣♥ rtèr q ♦♥ ♦st r r
❱ ♥♦s r♣rés♥t♦♥s t① é♦♥♥♠♥t ♣♦r q ♣stté ♦♠♠♥ λcrit t t①
é♦♥♥♠♥t ♦rrs♣♦♥♥t ♠♦♠♥t ♦ù éqr ♦ ♥ ♣t ♣s êtr ssré λinst
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
10 30 50 70 90 110 130 150 170 190 210 230
Taux d
e d
éconfinem
ent
Numéro du bloc
λcritλinst
r ❱ ♦♠♣rs♦♥ λcrit t λinst és
P♦r λcrit ♦ ♥ér st tsé ♥♦♥s q ♥s ♦♥
♥ér s t① é♦♥♥♠♥t s♦♥t ♥ré♠♥tés sqà ♥ r ♠①♠ Pr rs
♦♠♠ λcrit st é ♣♦str♦r ♥ér ♦♥ ♣t ♦r s rs λcrit q
é♣ss♥t ♥s s s s♦♥t r♣rés♥tés à ♦r♦♥♥é sr r ❱ ♦s r♠rq♦♥s
q ♣♦r t♦s s ♦s étés λcrit < λinst s ♦s s♦♥t ♥♦r ♥ éqr ♦rsq ♣stt♦♥
s s ♦♠♠♥ ♥s rtèr λcrit st tr♦♣ ♣ss♠st t ♥♦s ♣réèrr♦♥s λinst
Page 162
P ❱ PP
♦s ♦♥sér♦♥s q s ♦s ♥sts s♦♥t ① ♣♦r sqs st rrêté t①
é♦♥♥♠♥t λinst < 1 P♦r êtr sértrs ♥♦s ♦♥s ♦s ♦♥t♦♥ λinst < 1.01 ♥
ts♥t rtèr s ♦s tr♦és ♥sts s♦♥t r♣rés♥tés sr r ❱
r ❱ ♦s ♥sts à sr t♥♥ ①é
❱ ♦♠♣rs♦♥ s réstts r
strt♦♥ λinst st ♥♦ ♦♥♥é sr r ❱ ♥ ♠rq♥t ér♥ts
♦r♠s s ♦s tr♦és sts ♦ ♥sts ♦s r♠rq♦♥s q ①st ♥♦♠r①
♦s ♥sts s♦♥ ♠s q ♦♥t été étr♠♥és ♦♠♠ ét♥t sts
♦s rs♦♥ tt ér♥ st ♣r♦♠♥t t q q ♦ ♥ s ♦♠♣♦rt
♣s ♥ rété ç♦♥ ♥é♣♥♥t s trs ♦s ♥ts ♥ t ♥♦s r♠rq♦♥s ♣rès
r ❱ q s ♦s tr♦és ♥sts ♠s sts s tr♦♥t
♣♦r ♣♣rt ♥ ♦♥tt s ♦s ♥sts s♥t ♦ù é q ♥stté
s ♦s st sé ♣r s ♦s ♥ts ♣rr♣ s♥t é♦♣♣ ① t♥qs
♣♦r r♥r ♦♠♣t t t ♥ ts♥t ♠ét♦ s ♦s s♦és s♦t ♥
tért ♣r é♠♥t♦♥ s ♦s ♥sts s♦t ♥ ♣r rr♦♣♠♥t ♦s
0,5
1
1,5
2
2,5
3
0 50 100 150 200 250
λ inst
Numéro du bloc
ISOBLOC (premier calcul)
3DEC instable - ISOBLOC instable
3DEC instable - ISOBLOC stable
3DEC stable - ISOBLOC instable
3DEC stable - ISOBLOC stable
r ❱ é♣rtt♦♥ t① λinst ♣rès s♥s tért♦♥s t ♦♠♣rs♦♥ ét♦♥ stté
Page 163
❱ t ♥ r s♦trr♥ t
r ❱ ♣rés♥tt♦♥ ♥ r♦ s ♦s ♥sts t ♥ rs s ♦ssts ♠s ♥sts
❱ ♦ést♦♥ ♦s ♠t♣s
❱ tért ♣r é♠♥t♦♥s ssss ♦s ♥sts t ♦♠♣rs♦♥
r
♥s ♣rr♣ ♥♦s ♣rés♥t♦♥s ♥ ♣r♦ér q ♣r♠t r♥r ♦♠♣t t
t ♦s sr ① q r s♦♥t ♥ts ♥ ts♥t ♠ét♦
s ♦s tr♦és ♥sts ♠ét♦ ♣rès ♣r♠r s♦♥t é♠♥és P♦r
s ♦s q rst♥t ♦♥ ♦♥sèr q s s q ét♥t ♥ ♦♥tt s ♦s ♥sts s♦♥t
s s rs t ♦♥ r stté s ♦s ♦♣ért♦♥ st ré♣été sqà ♥ ♣s ♦r
♦s ♥sts q tért♦♥ ♣♦r r♣érr s s ♥ ♦♥tt s ♦s ♥sts ♥
♣r♦ér é♦♣♣é ♥ s st tsé
tt t♥q ♣r♠t r♥r ♦♠♣t ♥rt♠♥t ♥trt♦♥ ♥tr s ♦s r
❱ ♠♦♥tr s ♦s tr♦és ♥sts ① ér♥ts tért♦♥s ♣rtr s①è♠ tért♦♥
♦♥ ♥ tr♦ ♣s ♦s ♥sts s♣♣é♠♥trs ♥ s♣r♣♦s à s ♦s s trs tss
tr♦és
r ❱ ♠♦♥tr ♥♦♠r ♦s ♥sts t é♦t♦♥ ♥♦♠r ♦s
♥sts ♥ ♦♥t♦♥ ♥♦♠r tért♦♥s tés ♦t♦♥s q♣rès ♥t
tért♦♥ ♦♥ ♥ ♥♦♠r ♦s ♥sts ♦♠♣r à t♦t♦s
♦♠♠ ♦♥ ♥s r ❱ ♥ st ♣s ①t♠♥t s ♠ê♠s ♦s rt♥s ♦s
♥sts s♥t ♦♥t été tr♦és sts t rs ♣rtr ♣r♠èr
tért♦♥ ♥♦s ♦t♥♦♥s ♦♣ ♣s ♦s ♥sts q
P♦r ♠① r♣érr s ér♥s ♥tr s réstts s ① ♠ét♦s r ❱ r♣rés♥t
ré♣rtt♦♥ λinst é à r♥èr tért♦♥ ♥ ♠rq♥t ér♠♠♥t s
♦s tr♦és sts ♦ ♥sts r♥èr tért♦♥ ♥①st ♣s q ♦s
♥sts s♦♥ ♥♦♥ r♣érés ♣r ♦s étr♦♥s s ♥♦r♠t♦♥s ♦♥r♥♥t s
♦s ♣rès
r ❱ r♣rés♥t s ♦s ♥sts s♦♥ s ér♥ts ♦rs ♦rrs♣♦♥♥t
① ♦s tr♦és ♥sts ① ér♥ts tért♦♥s s ♦s ♥♦♥ r♣érés ♣r
Page 164
P ❱ PP
Pr♠♥t Pr♠♥t r♦t
r ❱ ♦s ♥sts s♥t ♣rès ♣srs tért♦♥s t trs tsss♥t ♥térr t♥♥
0
20
40
60
80
100
120
0 1 2 3 4 5
No
mb
re d
e b
locs in
sta
ble
s
Numéro de l’itération
ISOBLOC
3DEC
61
90
103106 108 109
60
r ❱ ♦♠rs ♦s ♥sts s♥t s ér♥ts ♠ét♦s
0,5
1
1,5
2
2,5
3
0 50 100 150 200 250
λ inst
Numéro du bloc
ISOBLOC (dernière itération)
3DEC instable - ISOBLOC instable
3DEC instable - ISOBLOC stable
3DEC stable - ISOBLOC instable
3DEC stable - ISOBLOC stable
r ❱ é♣rtt♦♥ t① λinst ♣rès à r♥èr tért♦♥ t ♦♠♣rs♦♥ ét♦♥ stté
Page 165
❱ t ♥ r s♦trr♥ t
♦♠♠ ét♥t ♥sts s♦♥t ♦♦rés ♥ rs ♦♥r♥♥t s ♦s t s ♦♥t s
♦♠s très ♣tts ♠3 ♠3 t ♠3 rs♣t♠♥t ♣s s ♦s t s♦♥t s
♦s ♠r ♦♥ ♥ ♦♥stt♥t ♣s rsq ♠r ♦t♦♥s q ♣♦r s tr♦s ♦s ♦♥ s
tsss très s t st à s rs éért♦♥s q♦♥ ét qs s♦♥t ♥sts
P♦r s ① ♦s t st ♦s ♥♦♥ ♠♦s ♥t tr♠♥♦♦ tsé
♥s té♦r s ♦s és r ♣②r♠ ♦♥ts st JP = ⊘ ♦r ♣rr♣
ss r♥t ♣r♠r st r ♦r♠ é♦♠étrq ♥stré ♥s ♠ss
r♦① q s ♠♣ê ♦r ♥ ♠♦♠♥t rs ①térr té é♥♠♦♥s s ♦s
s♦♥t ♥ts à s ♦s tr♦és ♥sts s♥t tért ♥ s♣♣♦s♥t q s
s ♥ts ① ♦s ♥sts s♦♥t s s rs ♥ ♦♥♥ ♣s réstt ♥stté ♣♦r
s ♦s ♦t♦s ♥ rr♥t ♥ ét réstt ♥♦s ♥♦t♦♥s ♥ r λinst = 1.04 ♣♦r
♦ ♥ ♣r♥♥t ♣s ♠r sérté ♣♦r r λinst ♦rrs♣♦♥♥t à ♠t stté
♦♥ rt étté ♥stté ♣♦r ♦ t ♣r st ♣♦r ♦ à ♥ tért♦♥ s♥t Pr
rs ♥ rr♦♣♥t s ♦s à s ♦s ♥sts ♥ts ♣r t♥q ①♣qé ♥s
♣rr♣ s♥t ♥♦s ♣♦♦♥s ss rtr♦r ♥ réstt ♥stté ♣♦r s ♦s
Pr ♦♥séq♥t ♥♦s ♣♦♦♥s r q s ♦s t ♦♥t été ♣tôt ♥tr♥és ♣r s ♦s
♥sts q r s♦♥t ♥ts ♥s ♥② r ♥ rsq s s♦tè♥♠♥t ♠s ♥ ♣ ♣r♠t
stsr s ♦s q r s♦♥t ♥ts
r ❱ ♣rés♥tt♦♥ s ♦s ♥sts ♦♦rés ér♠♠♥t s♥ts réstts
r ❱ r♣rés♥t s ♦s tr♦és ♥sts ♠s sts
r♥t ♥t ①st ♦s ♥sts s♥t ♠s sts s♥t
r♥èr tért♦♥ ♥♦♠r séè à
s ér♥ts réstts s♦♥t rés♠és ♥s st♦r♠♠ r ❱ réstt
st sértr ♣r r♣♣♦rt réstt r♥èr tért♦♥ ♥♦s rtr♦♦♥s
qst♦tté s ♦s tr♦és ♥sts Pr rs ♠♦rté s ♦s
sts ♣rès s♦♥t ss sts ♣rès P♦r ①♣qr s ér♥s ♦♥r♥♥t
s ♦s tr♦és ♥sts ♦rs qs s♦♥t sts r ♦srr r
♦♠♣♦rt♠♥t ♣s ♣rés ❯♥ ②♣♦tès ♣♦ss st q s ♦s q s ♥t♦r♥t ré♥t ♣r rs
♠♦♠♥ts ♥ s♦rt ♦♥♥♠♥t rtèr stté tsé ♥s r ss êtr
Page 166
P ❱ PP
r ❱ ♣rés♥tt♦♥ s ♦s ♥sts ♠s sts
①♠♥é ♣s ♥ ét ♥ ♥ é♥t ♠é♦rt♦♥
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
3DEC instables 3DEC stables
No
mb
re d
e b
locs
Comparaison 3DEC/ISOBLOC
Stables
Itération 5
Itération 4
Itération 3
Itération 2
Itération 1
Calcul initial
ISOBLOCIn
sta
ble
s
r ❱ és♠é s réstts ♦♠♣rs♦♥ ♥♦♠r ♦s sts t ♥sts t tért
❱ ♦♠♣rs♦♥ réstt é♦r♠
♠♦è é♦r♠ P µ = 0.2 s ♥sttés s♦♥t ♠♦♥s ♠rqés
q ♠♦è r r ❱ r♣rés♥t s ♠♣ts tss s ♦s stés à
sr r s♥t té é♦r♠ à ♥r♦♥ ②s ♣rès
é♦♥♥♠♥t t♦t r s ♠♣ts s♦♥t ♠♦♥s éés q ♣♦r ♠♦è r
tss st r♣rés♥té ♥ ♣rt ♥ s ♦s tr♦és ♥sts s♥t
tért t tr ♣rt ♥ s ♦s tr♦és sts s♥t tért st
r ♦rs q ♠♦è ♣r♠t éttr t♦s s ♦s tr♦és ♥sts s♥t
é♦r♠ t ♠ê♠ ♣s ❯♥ ①♣t♦♥ ♦♥r♥ s ① ♦s t ♦♠♠ ♣♦r
r q s♦♥t sts s♥t ♠s q ♦♥t s tsss rt♠♥t éés s♥t
é♦r♠
ss ♥♦s r♠rq♦♥s q rt♥s ♦s ♠r ♦♥t s tsss éés ♦rs q s♥t
r s ♦s ♦♥t été tr♦és sts ♣r♦r♠♠ ♣r♠s r♣érr s ♥sttés
♠r
Page 167
❱ t ♥ r s♦trr♥ t
♦s ♥sts s♥t à r♥èr tért♦♥
♦s sts s♥t à r♥èr tért♦♥
r ❱ ♦♥t♦r ♠♣t tss s ♦s é♦r♠
❱ r♦♣♠♥t ♦s
ét ♥stté ♣t s r ss ♣r t♥q rr♦♣♠♥t ♥ ♦♥sér♥t q
♣srs ♦s ♥ts ♦r♠♥t ♥ s ♦ ♦♥ ♥ é♠♥♥t s s q s sé♣r♥t tt
t♥q été tsé ♥ ♣r ❨r♠ t ❱r ❬❪ ♠ét♦ s r♦♣s és
r♣♣ ss ♥♦t♦♥ ♦ ♠①♠ ♣rés♥té ♥s ♠ét♦ ♦♦♠♥ t ❬❪
s s① ♦s r♣rés♥tés sr r ❱ stés ♣r♠♥t r♦t r ♣♦r ♥
♦srtr rr♥t rs ① ❨ ♦♥t été tr♦és ♥sts ♥ t s ♠♦ès
r t é♦r♠ éqr ♥st ♣s stst ♣♦r s ♦s ♦♠♠ ♠♦♥tr♥t s rs ❱
t ❱ s ♦♥t s tsss ♣s éés ♣r r♣♣♦rt ① ré♦♥s sts ♠♦è srt♦t ♣♦r
s r ♦ù s s sé♣r♥t ♦♠♣èt♠♥t ♠ss r♦s
♠ét♦ tr♦s s ♦s ♦♥t été tr♦és ♥sts ♣r♠r ♦♠♠
♠♦♥tr r ❱ tr♦s s térts ♣r é♠♥t♦♥s ssss s ♦s
♥sts ♣♦r ♦r ♥ réstt ♥stté ♣♦r t♦s s s① ♦s ♦ù é érr s ♥
rr♦♣♠♥t s ♦s q é♦♥♦♠s s ♦♣ért♦♥s tért ♣t ♦♥♥r rt♠♥t
♥ réstt ♥stté
♥t r tt ért♦♥ st ♥térss♥t ♥♦tr ①st♥ ♥ ♦rrét♦♥ ♥tr ♦rr
♣♣rt♦♥ ♥stté s ♦s s♥t r♣rés♥té ♥s r ❱ t rs
♠♣ts é♣♠♥t é♦r♠ ♦♥♥és ♥s r ❱ ♦s r♠rq♦♥s
q s ♠♣ts é♣♠♥t s♦♥t ssés ♥s ♦rr ♥rs ♥stté s ♦s
s♥t tért s ♦s q s♦♥t r♣érés ♦♠♠ ét♥t ♥sts ♣r
♠r ♦♥t s ♠♣ts é♣♠♥t s ♣s éés s♥t t s
♦s tr♦és ♥sts à r♥èr tért♦♥ ♦♥t s ♣s s ♠♣ts ♦♥r♠ ♥
rt♥ ♠♥èr q s ♦s tr♦és ♥sts ♣r♠r s♦♥t t♠♥t
s ♣s rtqs ♠♦è r ♥♦s ♥ tr♦♦♥s ♣s tt ♦rrét♦♥ ♣r♦♠♥t
r s ♦s s♦♥t ♦♠♣èt♠♥t étés ♠ss r♦s r♥t Pr ♦♥séq♥t
rs♦♥♥♠♥t ♥ tr♠ é♣♠♥t à ♣rtr ♠♦♠♥t ♥st ♣s s♥t
♥ ét♥t s ♦s ♦♠♠ ét♥t ♥ s ♦ ♦ù s ♦♥ts ♥tr s ♦s
♥ts s♦♥t é♠♥és srrêt à λinst = 0.999 ♦ st ♣r ♦♥séq♥t ♥st ♣rès
Page 168
P ❱ PP
♦s ♥sts
❱tsss r ❱tss é♦r♠
r ❱ éstts ♥ ♥s♠ s① ♦s ♥ts s♥t tért ts♥t
r ❱ ♠♣t é♣♠♥t s ♦s s♥t é♦r♠
ér♠♥t r r ❱ ♠♦♥tr q ♣stt♦♥ s s st ♣s ét♥
♦rsq s ♦s s♦♥t étés ♦♠♠ ♥ r♦♣♠♥t ♦s q ♦rsqs s♦♥t étés sé♣ré♠♥t
♣r♠r
Pr rs ♥s r ❱ ♥♦s ♦♠♣r♦♥s ré♣rtt♦♥ s ♦♥tr♥ts ♥♦r♠s ♥tr
♠♦è é♦r♠ t s ① ♠♦ès à λ = 0.998 s ♦s s♦♥t r♣rés♥tés ♥ s
rr♥t ♥térr t♥♥ ♦s r♠rq♦♥s ♣♣rt♦♥ trt♦♥ ♦rsq
s ♦s s♦♥t étés ♦♠♠ ♥ s ♦ st s ss ♣♦r ♠♦è é♦r♠ ♦t♦♥s
q ♣♦r ♠♦è r ♦♠♠ s ♦s s sé♣r♥t ♦♠♣èt♠♥t ♠ss r♦s
s ♦♥tr♥ts ♥♦r♠s q ② s♦♥t ♣♣qés s♦♥t ss é♠♠♥t ♥s r♦♣♠♥t ♦s
♣r♠t ♦rs ♦r ♥ réstt ♣s r♦r① q réstt ♦t♥ ♥ s ét♥t sé♣ré♠♥t
tt ét sèr q st ♣♦ss ♥s ♥ ♠ét♦ ♦♣t♥t ♣♣r♦ s ♦s s♦és
♣r♦ér ♣r rr♦♣♠♥t ♦s rr♦♣♠♥t ♣t ♦♥r♥r ♣srs ♦♠♥s♦♥s ♣♦sss
♦s tr♦és sts s ♦s tr♦és ♥sts s r♦♣s tr♦és ♦♠♠ ét♥t s ♣s
♥sts ♣♥t êtr ♦rs ♦ss ♣♦r ♠♥s♦♥♥♠♥t s♦tè♥♠♥t
Page 169
❱ t ♥ r s♦trr♥ t
♦s sé♣rés ♦s r♦♣és
r ❱ é♣rtt♦♥ rtèr ♣stté s♥t s s ♦s s♦♥t étéssé♣ré♠♥t ♦ ♦♠♠ ♥ s ♦
♦s sé♣rés
♦s rr♦♣és
é♦r♠
r ❱ ♦♥tr♥ts ♥♦r♠s sr s s s ♦s ♣♦r ér♥ts s étés
❱ ♦♥s♦♥
♠♦è été ♣♣qé ♣♦r ét stté ♥ ♥s♠ ♦s stés à
sr ♥ ①t♦♥ s♦trr♥ réstt été ♦♠♣ré ♥ ①t ♣r♥♥t
♥ ♦♠♣t t♦s s ♦s t♦r ①t♦♥ t rs ♥trt♦♥s té ♠ét♦ s
é♠♥ts st♥ts ♦ ♦s ♦♥s ♠♦♥tré q ét s ♦s ♥♠♥t
♥ ♣r♠t ♣s tr♦r t♦ts s ♥sttés r♣érés ♣r ♦t♦s t♥q
tért ♣r é♠♥t♦♥s ssss s ♦s ♥sts ♣r♠t r♣érr qs t♦tté s ♦s
♥sts ♥ ①♣q ♣r t q ♥stté rt♥s ♦s st ♥t ♣r
s s ♦s ♥ts Pr rs ♦♥ rtr♦ ♥ ♥♦♠r ♥♦♥ ♥é ♦s ♥sts
♠s q ♥♦♥t ♣s été r♣érés ♥ ♣t ♦rs ♦♥r q ♠ét♦
tért st ♦♥srt ♣r r♣♣♦rt à ♥ ①t ♠s q ♠♥t ♥stté
rsq êtr ①éré ❯♥ tr t♥q ♣r♠s r♥r ♦♠♣t s ♥trt♦♥s ♥tr s ♦s
♣r rr♦♣♠♥t qqs ♦s ♥ts ♣♦r s étr ♦♠♠ ♥ s ♦ réstt st
♦rs ♣s ♣r♦ q s ♦s s♦♥t étés sé♣ré♠♥t
st à ♥ ♣r♠èr ♣♣t♦♥ ♠♦è à ♥ ♠tt ♦s ♦t
étt ♠♦♥trr ♣♦ssté tsr ♣♦r ♥ rést s réstts s♦♥t ♣r♦♠t
Page 170
P ❱ PP
trs ♠s ♣s rrs ♦♥t êtr tés ♥ ♦♠♣rr ♣s ♥ ét s réstts ♥
tr♠s é♣♠♥t t ♦♥tr♥ts t ♥♦♥ ♣s ♥q♠♥t ♣r ♥ ♠♥t rt à stté ♦
♥stté
❱ t ♥ s ré t ♦s
♥s tt r♥èr ♣rt tès ♠♦è st ♣♣qé ♣♦r étr ♣r rt♦r
①♣ér♥ s ré t ♦s q t♦t ♥ té st♦ ②r♦rr
♥s ♥ ♠ r♦① s♦♥t♥ ♦s ♠♦♥trr♦♥s q ♥♦tr ♥♦ ♠ét♦ ♣r♠t éttr
tt ♥stté
❱ Prés♥tt♦♥ s ét
r ♦ù ♥stté st ①é ♥s ♥ r♦ ss③ r rès ♠étsé♠♥tr
P ♠s ♥tr♣té ♣r ♣srs ♠s s♦♥t♥tés st ♦rt♠♥t ♣rés♥t
♥s tt ré♦♥ ♥ ♦rs ♦♥t s tr① ♠♥tt♦♥ r♦t♥ ♥t t ♣rès ①t♦♥
r
r ♥ rt♦♥ 42.5 t st sté à ♥ ♣r♦♦♥r ♠ st♦♥ ♣♦r
♠♥s♦♥s ♥r♦♥ 12.4m× 11.9m s ♦s ♦♥t té sr ♥ ♦♥r ♥r♦♥ ♠ ♥ rr
♠①♠ ♥r♦♥ ♠ t ♥ tr r♥t ♥tr t ♠ ré♥t ♥ r♥ t♦t ①
t♦♥ ♦♠♠ ♠♦♥tr r ❱ s ♦♥t s ♦r♠s é♦♠étrqs s ♥s r♦ts ♦s
♣♦sés à ♥ r ❱ q s①♣q♥t ♣r strt♦♥ s s♦♥t♥tés
s strts ♦r③♦♥ts é♦♣és ♣r s s♦♥t♥tés ♣♥ rt
s ♦♥tr♥ts rts ♥ts s♦♥t s ♦♥tr♥ts é♦sttqs ♥ ♠ss ♦♠q
ρ = 2700Kg/m3 s ♦♥tr♥ts ♦r③♦♥ts ♥ts ♥s trr♥ s♦♥t éés K0 = 2 s ♦♥ts
♦♥t s ♣r♦♣rétés ♠é♥qs s♥ts éts à ♣rtr sss ♦rt♦r sr s é♥t♦♥s
♣réés ♣r r♦tt Kn = 10000MPa/m Kt = 1000MPa/m φ = 27 t c = 0MPa
r ❱ P♦t♦ ③♦♥ ♦ù t ♦s
Page 171
❱ t ♥ s ré t ♦s
❱ é♥ért♦♥ é♦♠étr
♦s ♦♥s étr ♥s♠ s ♦s ②♥t té ♦♠♠ ét♥t ♥ s ♦ tt t♥q
rr♦♣♠♥t été sté ♣rr♣ ♣réé♥t é♦♠étr ♦ st r♦♥stté ♥
s s♥t sr ♥ ré ssrt♦♥ té sr s ♣r♦s r s éts ♦♥r♥♥t s
♠s s♦♥t♥tés ♥s ré♦♥ ♦ù ♥stté s♦♥t ♦r♥s ♣r t ❱
Pr rs s ♥s ♥ ♦rrs♣♦♥♥t à ③♦♥ ♥st ♣r♠tt♥t tr♦r s ♠ts
♦ ♦♠♠ ♠♦♥tr r ❱ é♦♠étr ♦ é♥éré st r♣rés♥té sr r ❱
❱ s♦♥t♥tés ♥s trr♥
rt♦♥ ♣♥ () P♥ ()
r ❱ ♥s ♥ ♦rrs♣♦♥♥t à ③♦♥ ♥st sr t♦t t♥♥ t trs ♦ é♥éré ♣♦r ét
r ❱ é♦♠étr ♦ t♦t r ♦♠ ♠3
❱ t
s éts ♣ré♠♥rs tés ♣r s rs♣♦♥ss ♣r♦t ♦ ❯ ♥♥t
♣s ♣ré ♣♣rt♦♥ ♥stté ♦♠♠ ♣rés♥ étt ♠♣♦rt♥t s tr①
Page 172
P ❱ PP
♠♥tt♦♥ ♦♥t été ss ①étés ♣rès ①t♦♥ s ♣rss♦♥s s♣♣é♠♥trs ♥♦♥t ♣s été
♣rss ♥ ♦♠♣t ♥s s éts ♥t ♣r♦t t r♥t ♣ êtr rs♣♦♥ss t ♦s
♥s ♣rr♣ ♥♦s ♦♥s étr stté ♦ ♥ ts♥t ♠ét♦
♣srs ②♣♦tèss ♣♦sss
♣s ♣rs ♥ ♦♠♣t ♥ ♣rés♥ ♥ ♠♥tt♦♥
♣rs ♥ ♦♠♣t ♥ ♣rss♦♥ ♣♣qé ♥ t♦ts s s ♦
pe = 0.8MPa ♦rrs♣♦♥♥t à ♣rés♥ ♥♣♣ ♥ sr t ért♦♥ s ♣r♦
♣rétés ♦♥t à ♣rés♥ φ = 10
♣♣t♦♥ ♥ ♣rss♦♥ ♥ ♣rss♦♥ ♠♥tt♦♥ sr s♣érr ♦r③♦♥t
♦ pc = 3MPa ♦rrs♣♦♥♥t à ♣rss♦♥ ♥t♦♥
♣♣t♦♥ ♥ ♣rss♦♥ ♠♥tt♦♥ sr s♣érr ♦r③♦♥t ♦ pc = 3MPa
t ért♦♥ s ♣r♦♣rétés ♦♥t à ♣rés♥ φ = 10
r ❱ r♣rés♥t é♦t♦♥ t① ♦♥♥♠♥t ♥ ♦♥t♦♥ é♣♠♥t rt
♦ ♦s r♠rq♦♥s q ♣♦r qtrè♠ ②♣♦tès été é♣♠♥t ♦ st
s②♠♣t♦tq à ♥ ♥ ♦r③♦♥t ♥t ♥ ér♠♥t r t ♦
st ♦♥ ♣r♦♠♥t sé à ♦s ♣r ért♦♥ s ♣r♦♣rétés s ♦♥ts à é♦♠♥t
♥s s s♦♥t♥tés t ♣r ♣rss♦♥ ♠♥tt♦♥ q été ♣♣qé s♥s ♣rét♦♥s
♣rès ①t♦♥
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4
1−
λ
|Uz| (mm)
Calcul ISOBLOC, K0=2, Kn=10000 MPa/m, Kt=1000 MPa/m
φ=27°, pe=0 MPa, pc=0 MPa
φ=10°, pe=0.8 MPa, pc=0 MPa
φ=27°, pe=0 MPa, pc=3 MPa
φ=10°, pe=0 MPa, pc=3 MPa
r ❱ ♦rs ♦♥r♥♦♥♥♠♥t ér♥ts ②♣♦tèss r♠♥tt ♥s r♦tt♠♥t
♣rès tt ♣tt ét ♥♦s r♠rq♦♥s q ♥♦ ♠ét♦ ♣r♠t éttr ss③
r♣♠♥t ♥stté s♥s ♦r tsr s ♣♣r♦s q ♣r♥♥♥t ♦♣ t♠♣s
♥ s ♥rtts ♦♥r♥♥t s ②♣♦tèss à ♣r♥r ♣srs s ♣♦sss ♣♥t êtr étés
t ♣s rtq ♦s ♠ét♦ ♣r♠t ♥térr ♥s ♥②s s ♦♥tr♥ts
♥ts ♥s q s ♣rss♦♥s t t♦t r♠♥t ①térr s♣♣é♠♥tr
♠♥s♦♥♥♠♥t s♦tè♥♠♥t ♠♥s♦♥♥♠♥t s♦tè♥♠♥t st
té ♣r r♣♣♦rt qtrè♠ s été ♣♦r q ♦ été tr♦é ♥st ♣♣♦s♦♥s
Page 173
❱ ②♥tès
q ♦♥ ♥str ♥ ♦♦♥ ♣r ♠2 s♦t ♣♦r ♦ été ❯♥ ét s♥sté st
té ♣♦r ♦sr ♠ètr ♦♣t♠ ♦♦♥ ♦ s rté ① ♦♣t♠ ♥ ♦♥sèr
q ♦♦♥ t ♦♠♠ ♥ t éstq ♦♥t rté st é s♥t rt♦♥
s♥t q s ♦♥r st L = 5.5m t ♠♦ ❨♦♥ r st E = 210000MPa r
❱ r♣rés♥t ♦r ♦♥r♥♦♥♥♠♥t ♣♦r ér♥ts rtés ①s ♣r ♦♦♥
♥ s♣♣♦s♥t q s ♦♦♥s s♦♥t ♥♦r♠é♠♥t ré♣rts sr s s ♦ st ♣s s♠♣
♦rs r ♠tr rté s ♥tr♦r ♦♠♠ ♥ s ♦♦♥ ♣ss♥t ♣r ♥tr
r ♥ rté ① é à s♦♠♠ s rtés ①s s ♦♦♥s
s ♦♦♥s ♠ètrs ♠♠ ♦ ♠♠ ♥ ♣r♠tt♥t ♣s ssrr stté ♦
♣r♠èr r rté ♣♦r q ♦ st st st Kb = 75MN/m q ♦rrs♣♦♥ à ♥
♦♦♥ ♠ètr ♠♠ ♦ ♥r♦♥ ① ♦♦♥s ♠ètr ♠♠ ♥s s é♣♠♥t
rt ♦ st ♥r♦♥ ♠♠ ♥s q s ♦♦♥s r ♦rs q q ♦♦♥
t ♥ ♣té ♠①♠ s♣érr à P♦r ♥ rté Kb = 100MN/m t ♣ré♦r
♥ ♣té ♠①♠ s♣érr à
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1−
λ
|Uz| (mm)
Soutènement par boulonnage, Densité=1 boulon/m2, Rigidité du boulon Kb
Sans soutènement
Kb=19 MN/m (d=25 mm)
Kb=48 MN/m (d=40 mm)
Kb=75 MN/m (d=50 mm)
Kb = 100 MN/m
r ❱ ♦rs ♦♥r♥♦♥♥♠♥t ♣♦r 1 boulon/m2 ér♥ts rtés①s ♣r ♦♦♥
♥ ♦♥s♦♥ ♣♦r ♦r stté t ♥str s ♦♦♥s rté ① s♣érr à
♠ ♦ ♥ ♥sté ♦♦♥♥ ♣s éé q♥ ♦♦♥ ♣r ♠2 ♥♦tr ♦♥♥ss♥ s
♦♥t♦♥s s♦♥t s à ssrr ♥ ♣rtq ♦s és♦♥s q t ss♦r ♦♦♥♥ ♥
tr t②♣ s♦tè♥♠♥t
❱ ②♥tès
♥s ♣tr ♥♦s ♦♥s ♣ à trrs s ♣♣t♦♥s ♠ét♦ ①♠♥r
♥♦ ① ②♣♦tèss s rts à ♣♣r♦ s ♦s s♦és ♣rs ♥ ♦♠♣t ♥
r♦ r t t étr stté ♥ ♦ sté ♥ ♦♥tt ①t♦♥ ♦♠♠ s
①stt s ♥ ♥♦r♥t ♣rés♥ trs ♦s
♦♥r♥♥t ②♣♦tès rté ♥♦s ♦♥s ♠♦♥tré q ♦rsq ♠ss r♦s st éstq
Page 174
P ❱ PP
st ♦♠♣♦rt♠♥t s s♦♥t♥tés q rét stté ♦ ♣s q é♦r♠té
r♦ ♥ ♦ s♦é ②♣♦tès r♦ é♦r♠ été té ♦
é♠♥ts st♥ts réstt st ♣s st q ②♣♦tès r♦ r ♣rs
♥ ♦♠♣t ♥ r♦ r st ♦rs ♦♥srtr ♥s s ♦ù ♦♥ r à ♥ r♦ résst♥t
♥tr♣té ♣r s s♦♥t♥tés Pr rs ♥♦s ♦♥s é ♦ s♥s
♣rs ♥ ♦♠♣t s♦tè♥♠♥t ♥ ♦♠♣r♥t r ♣♣qé à ♥ s ♦
①è♠ ②♣♦tès été éré ♥ ♦♠♣r♥t réstt ♠ét♦ à
♥ ♣r♥♥t ♥ ♦♠♣t t♦s s ♦s t♦r ♥ ①t♦♥ s♦trr♥ ♦
st tsé ♣♦r é♥érr s ♦s t ♣♦r étr r stté ♣♣♦♥s q ♠ét♦ s é♠♥ts
st♥ts tsé ♣r st sé sr ♥ ♣♣r♦ ②♥♠q s ♦s ♥sts s♦♥t ① q
♦♥t s tsss éés à ♥ é♦♥♥♠♥t sr r t♥♥
s ♦s stés à sr ①t♦♥ s♦♥t ♥st ré♣érés ♣♦r êtr étés ♠ét♦
♦♥ ♥ér ♠ résé ♣♦r ♠♦è é♦r♠ st tsé ♣♦r
ét s ♦s ♥ ①tr②♥t ♥q♠♥t s ♥♦r♠t♦♥s ♦♥r♥♥t ♠
srq ♥ ♣r♦r♠♠ é♦♣♣é ♥ s s ♦s ♥sts s♦♥t ① ♣♦r
sqs éqr ♥ ♣t ♣s êtr stst à ♥ é♦♥♥♠♥t r rt♥s ♦s
tr♦és ♥sts s♦♥t tr♦és sts é♥♠♦♥s s ♦s s♦♥t ♥ts
à s ♦s ♥sts ♥♦s ♠è♥ à ér q ♥stté rt♥s ♦s
♣♦rrt êtr ♥t ♣r ♥stté ♦s q r s♦♥t ♥ts P♦r tt rs♦♥ ♥♦s ♦♥s
té ♥ s♣♣é♠♥tr ♣♦r r♥r ♦♠♣t ♣é♥♦♠è♥ s ♦s tr♦és ♥sts
r♥t ♣r♠r s♦♥t é♠♥és ♦s ♦t♥♦♥s ♥ ♥♦ sr r
①t♦♥ ♥tér♥t s s q ét♥t ♥ts ① ♦s é♠♥és s ♦s s♦♥t ♥♦
♣r♦rs t és tt ♣r♦ér st ré♣été t♥t ♦s sqà ♥ ♣s tr♦r ♦s
♥sts tért t♦s s ♦s ♥sts s♦♥t ss rtr♦és ♦♠♠ ét♥t
♥sts é♥♠♦♥s tt t♥q t♥ à ①érr s ♥sttés t ♦♥ ♦t êtr
tsé tt♥t♦♥
♥ ♦tr ♥ tr t♥q ♣♦r r♥r ♦♠♣t t ♥trt♦♥ ♥tr s ♦s
été tsté s ♦s tr♦és ♥sts s♦♥t rr♦♣és s ♦s q r s♦♥t
♥ts tr♦és sts t étés ♦♠♠ ét♥t ♥ s ♦ tt t♥q ♦♥ rtr♦ q
t ♥s♠ ♦ st ♥st ♦♠♠ ♣♦r réstt té rst ♦sr ♦♥
rr♦♣♠♥t à tr
❯♥ r♥èr ♣♣t♦♥ ♦♥r♥é ♥ ①♠♣ ré t ♦ ♠ét♦
été ss♥t ♣♦r étr♠♥r ♣r rt♦r ①♣ér♥ s ss tt t
s éts ♦♥r♠♥t t q ♠ét♦ ♣t êtr t♠♥t ♥ ssttt ♥
♠ét♦ ♦s ♠t♣s tért ♣r♠s r♥r ♦♠♣t ♥trt♦♥ ♥tr s
♦s t t ♥stté q ♣t ♥r rt♥s ♦s sr trs ♦♠♠ ♥♦s ♦♥s r♠rqé
q ♥stté s ♦s ♣t êtr tr♥s♠s ① ♦s ♥ts ♥♦s ♣♦♦♥s r ré♣r♦q♠♥t
q s s ♦s s ♣s rtqs s♦♥t stsés st ss♥t ♣♦r stsr ♥s♠ ♠ss
r♦s t♦r ①t♦♥ ♦s s♣♣♦s♦♥s ♦rs q s ♦s s ♣s rtqs s♦♥t ① tr♦és
♥sts ♣r♠r Ps rrs ♦♥t êtr ♥tr♣rss ♣♦r r
s r♠t♦♥s
s ♣♣t♦♥s ♣tr ♥♦s ♦♥t ♣r♠s ♦r ♣s ♦♥♥ ♥ tst♦♥
♠ét♦ ♣♦r ét stté ♥ ①t♦♥ ♥s ♥ ♠ r♦① s♦♥t♥ t
♣r st ♣♦r ♠♥s♦♥♥♠♥t s♦tè♥♠♥t ❯♥ s s ét été résé ♥ tr
s ♦♠♣rs♦♥s ♥tr ①t ♣rs ♥ ♦♠♣t t♦s s ♦s t
Page 175
❱ ②♥tès
♠ét♦ srt ♥térss♥t ♥s tr résr s ♦♠♣rs♦♥s s♣♣é♠♥trs
♥ s♥t rr s ♦♥tr♥ts ♥ts t strt♦♥ s s♦♥t♥tés ♣♦r ♦♥r♠r q
♠ét♦ st ♥s t♦s s s ♣♦sss
Page 177
❯ PP❱
♦t tès été é♦♣♣r ♥ ♥♦ ♠♦è ♦s s♦és ♣♦r ét
stté s ♦s r♦① t♦r s ①t♦♥s s♦trr♥s ♣♣r♦ s ♦s s♦és ♦♥sst à
♥②sr q ♦ sté à sr ①t♦♥ ♥ s♣♣♦s♥t q st r t q rst
♠ss r♦s q ♥t♦r st r t ① st ♥ s♠♣t♦♥ ♣r r♣♣♦rt ① ♠♦ès
♦♠♣①s q ♣r♥♥♥t ♥ ♦♠♣t t♦s s ♦s t♦r ①t♦♥ t rs ♥trt♦♥s t
ssrr stté s ♦s s♦és st s♣♣♦sé êtr ss♥t ♣♦r r♥tr stté ♦r
s♦trr♥ é♥♠♦♥s ♠ré s♠♣té ♣♣r♥t ♣r♦è♠ ét ♦r♣q ♠♦♥tré
q s ♠ét♦s ①st♥ts ♦♣t♥t ♣♣r♦ s ♦s s♦és ♣♦ssè♥t ♣srs ♥ss♥s
• s ♦♥tr♥ts ♥ts ♥ s♦♥t ♣s ♣rss ♥ ♦♠♣t ♦ s♦♥t ♠♣r♥tés ♥ ♥ ♠
♦♥t♥ ♥♦r♥t ♣rés♥ s s♦♥t♥tés
• s ♦s ♦♠♣♦rt♠♥t s ♦♥ts ♥ s♦♥t ♣s ♥térés à ♥②s ♥ é♥ér ♠♥t ♥s
♠ét♦ ①t♦♥ ♦♥ ♣r♥ ♥ ♦♠♣t ♦♠♣♦rt♠♥t s ♦♥ts ♠s ♣♣r♦ rst
♠té à s s très ♣rtrs ♦s ① t♦ts ♠♦♠♥ts tr♥st♦♥
• rés♦t♦♥ ♣r♦è♠ st é♦♣é ♥ ♥ ♥②s ♥é♠tq ss♥t♠♥t sé sr
é♦♠étr ♦ t ♠té ① tr♥st♦♥s s ♥ ♥②s ♠é♥q rt♥s éts
♦♥t ♥tr♦t ♥ ♥②s ♥ r♦tt♦♥ q st t♦t♦s ♥ss♥t ♣s ♦♥sért♦♥
♥♥ s ♦rts sr ♠♦♠♥t r♦tt♦♥ ♣s ♣rs ♥ ♦♠♣t s ♣♦sstés
♠♦♠♥ts s♠t♥és ♥ tr♥st♦♥ t ♥ r♦tt♦♥
• s ♦rts s♦♥t ♥♦r♠sés sr s s ♦ ♥ ♦r ♣r
♥t q s ♥♦♥♥s ♣r♦è♠ s♦♥t s ♦rts ss♥t sr s s ♦ s♦é r
st ♥étr♠♥é s ♦♥ ♦♥sèr ♥q♠♥t s éqt♦♥s éqr s ♥ss♥s s ♠ét♦s
♦♥♥t♦♥♥s s♦♥t réstt tst♦♥ ②♣♦tèss s♠♣trs ♣♦r ♣♦♦r rés♦r
♣r♦è♠ ♥♦♥ ♣rs ♥ ♦♠♣t s ♦♥tr♥ts ♥ts st ♣t ♣♦r ♥②s s ♦s
stés ♥ s ♣♥ts r♦ss t s ①t♦♥s ♣ ♣r♦♦♥s tt ②♣♦tès ♥st ♣s
r♦rs ♥ s♦trr♥ ♦ù s ♦♥tr♥ts ♣♥t ♦r ♥ t ♠♣♦rt♥t sr ♦♠♣♦rt♠♥t
♦
Page 178
❯ PP❱
♠ét♦ é♦♣♣é ♥s tt tès ♣r♠t r à ♥étr♠♥t♦♥
♣r♦è♠ ♥ ♣r♥♥t ♥ ♦♠♣t st♦rq s s♦tt♦♥s ss♥t sr ♦ ç♦♥ r♦rs
♥ ♣rt♥t t q s ♦♥tr♥ts ♥ts ♥t ①t♦♥ s♦♥t ♦♥♥s t s♦♥t ♣♣qés sr
t♦ts s s ♦ ♣ss à étt ♥ ♣rès ①t♦♥ s t ♣r ér♠♥t ♥
r♦♥tèr ♦ q ♥t s r♦♥tèr r é♦t♦♥ s ♦♥tr♥ts sr s s ♦ ♦ét
① ♦s ♦♠♣♦rt♠♥t s ♦♥ts é♣♠♥t ♥ ♣♦♥t ♦♥♥é st ét é♣♠♥t ♥
♣♦♥t réér♥ ♦s ♦♠♠ ♥tr rté ♦ t s r♦tt♦♥ ♠♦♠♥t ♦r♣s
s♦ s éqt♦♥s éqr s ♦rs t s ♠♦♠♥ts ♣r♠tt♥t ♦tr à ♥ s②stè♠ ♥ér
♦ù s ss ♥♦♥♥s s♦♥t tr é♣♠♥t t r♦tt♦♥ ♣♦♥t réér♥ étr♠♥t♦♥
s ♥♦♥♥s ♣r♠t ♦r ès à t♦ts s trs rs é♣♠♥ts t ♦♥tr♥ts ♥ t♦t
♣♦♥t ♦ ♦ été st ♠é t s ♦♥♥és ♦♥tr♥ts ♥ts rtés s ♦♥ts s♦♥t
é♥s ♥ s ♥÷s é♦♣♣♠♥t s②stè♠ à rés♦r ♥ésst ♥térs
srs t♥q ♥♠érq tsé st s ♣♦♥ts ss st ♦rs ♣♦ss étr
♥♠♣♦rt q é♦♠étr ♦ st à tstr é♥r r♦♥tèr ♦ ♣r s ♠s
♣♣r♦♣rés
♥s ♣r r♣♣♦rt ① ♠ét♦s ♦♥♥t♦♥♥s ♥♦ ♠ét♦ ♣r♠t ♣♣♦rtr s
♠é♦rt♦♥s s♥ts
• ♣rs ♥ ♦♠♣t s ♦♥tr♥ts ♥ts
• ♥tért♦♥ ♦ ♦♠♣♦rt♠♥t s ♦♥ts
• ♣rs ♥ ♦♠♣t s ♠♦♠♥ts s♠t♥és tr♥st♦♥ t r♦tt♦♥
• ♦♥sért♦♥ ♥ ré♣rtt♦♥ ♥♦♥ ♥♦r♠ s ♦♥tr♥ts sr s s ♦ à t♦t ♠♦♠♥t
st♦rq ♦
① ♠♦ès ♦♣t♥t tt ♠ét♦ ♦♥t été é♦♣♣és t èr♥t ♣r ♦ ♦♠♣♦rt♠♥t
ss♦é ① ♦♥ts ♥s ♣r♠r ♠♦è ♣tr ♦ ♦♠♣♦rt♠♥t s ♦♥ts st éstq
♥ér s rtèrs ♣stté ♦r♦♦♠ t ♦♥tt ♥tér ♣s trt♦♥ ♥ s♦♥t
♣s rs♣tés r♥t ér♠♥t r♦♥tèr r ♦ stté ♥st ♦rs éé q
♣♦str♦r ♥ r♥t s s rtèrs ♦♥t été ♦és ♥ ♥ ♣♦♥t ♦♥♥é ♦
♠♦è ♥ér été é ♣r r♣♣♦rt à ♥ ts♥t ♠ét♦ s é♠♥ts ♥s
♥ ♦s ♦♥s ss ♠♦♥tré q réstt s r♣♣r♦ ♥ ♣r♥♥t ♥
♦♠♣t ♥ r♦ é♦r♠ ♣♦r s rtés éés r♦ Pr rs s ér♥ts éts
♣r♠étrqs ♥ ♦♥r♥♥t s ♦♥tr♥ts ♥ts t s rtés s ♦♥ts ♦♥t ♣r♠s ♦tr
① ♦♥s♦♥s s♥ts
• r♣♣♦rt s rtés ♥♦r♠ t t♥♥t Kn/Kt ♥ rô ♠♣♦rt♥t sr ♦♠♣♦rt♠♥t
♦ ♥ é♥ér stté ♠♥ ♦rsq r♣♣♦rt ♠♥t
• ♠♥tt♦♥ s ♦♥tr♥ts ♦r③♦♥ts ♥ t sts♥t sr ♥ ♦ s②♠étrq sté
t♦t P♦r ♥ tr ♦♥rt♦♥ ♠♥tt♦♥ r♣♣♦rt ♣t ♦r ♥ t ésts♥t
• t♥♥ à r♦tt♦♥ ♦ st té ♣r s ♦r♠ é♦♠étrq t ♣r s♦♥ r♠♥t
♥t ♠♣t r♦tt♦♥ ♠♥t ♦rsq ♠♦♠♥t ♣r r♣♣♦rt ♣♦♥t réér♥
①ré ♣r s ♦♥tr♥ts ♥ts ♣♣qés sr sr r ♦ st éé
s ♦♠♣rs♦♥s ♠ét♦ s ♦s és ♦♥t ♠♦♥tré q ♥ ♦♥♥ ♣s ♥ réstt
sértr ♣♦r t♦s s s r♠♥ts t ♣♦st♦♥s t♦r ①t♦♥ ♦t é♣♥ s
♦♥tr♥ts ♥ts t s rtés s ♦♥ts
♠♦è ♥ér éstq st srt♦t t ♥s s♥s stté à s♦r q s s
♦♥tr♥ts à étt ♥ s♦♥t ♣stq♠♥t ♠sss ♦♥ ♣t ér rtt q ♦
st st ♦t♦s s ♦♥ r♠rq q rtèr été é♣ssé ♦♥ ♣t ér q ♣stt♦♥
Page 179
❯ PP❱
♦♠♠♥é s♥s ♣♦♦r ♦♥r ssr♥ q ♦ st ♥st ♠♦è été ♠é♦ré
♥s ♣tr ♥ ② ♥tér♥t s ♦s ♦♠♣♦rt♠♥t ♥♦♥ ♥érs s ♦♥ts
• ♥ ♦♠♣♦rt♠♥t ②♣r♦q ♥s rt♦♥ ♥♦r♠ ♥ ♦r s sss ♦♠♣rss♦♥
sr s ♦♥ts r♦①
• ♥ ♦♠♣♦rt♠♥t ést♦♣stq ♥ s♠♥t ♦♠♠ rtèr ♣stté rtèr
♦r♦♦♠ t ♦♠♠ ♣♦t♥t ♣stq rtèr ♦♦♠ ss♦é à t♥
• ♣rs ♥ ♦♠♣t s stt♦♥s é♦♠♥t ♦♥tr♥t ♥♦r♠ ♥ét ♥ ♦♠♣rss♦♥
tt♥t ♥ r ♠①♠ ♥
♠ét♦ ♥♠érq ♦♣té ♣♦r rés♦r ♣r♦è♠ ♥♦♥ ♥ér st ♥ ♥tért♦♥ ①♣t
♥s t♠♣s ♥é♠tq ♦rrs♣♦♥♥t t① ér♠♥t ♦ ♣ss ♦rs ♣r s étts
éqr ssss t s ♦♥tr♥ts s♦♥t ♣stq♠♥t ♠sss à t♦t ♠♦♠♥t st
rrêté t① ér♠♥t ♦ù rtèr é♣ss ♥ r ♠t ♣ré①é ♣r♦ ③ér♦
♦r ♦♥r♥♦♥♥♠♥t ♣r♠t sr ♦♥tr♥t ♦♥♥♠♥t ♥ ♦♥t♦♥
é♣♠♥t ♦ ♥ ♥ ♣♦♥t ♦♥♥é t ♥s ♥ rt♦♥ ♦♥♥é ♥trst♦♥ ♦r
r s♦tè♥♠♥t ♣r♠t st♠r ♣rss♦♥ éqr ♥tr ♦ t s♦tè♥♠♥t Pr
rs s♦tè♥♠♥t été ♥téré ♦ é♦♣♣é ♣r ♥ ♠tr rté ♦rrs♣♦♥♥t
st ♣rs ♥ ♦♠♣t ♥q♠♥t à ♣rtr ♥ t① ♦♥♥♠♥t q ♦♥ ♣rés ①♣rss♦♥
♠tr rt à s ♦♦♥s tr♥t ♥ trt♦♥ été é♦♣♣é ♦♥♥ss♥t ♠♣♠♥t
♥ s rt♦♥ t s rté ① ♦s ♦♥s ♠♦♥tré sr ♥ ①♠♣ ♣♣t♦♥ q tt
♠ét♦ ♥tért♦♥ s♦tè♥♠♥t ♣r♠t ♥♦♥ s♠♥t rtr♦r ♠ê♠ réstt q
♠ét♦ ♦♥r♥♦♥♥♠♥t ♠s ss sr t s♦tè♥♠♥t sr ♦ r♥t t♦t
s♦♥ st♦rq ér♠♥t
♠♦è ♥♦♥ ♥ér été é ♣r ♦♠♣rs♦♥ à ♥ ts♥t ♠ét♦ s é♠♥ts
st♥ts ♣♣qé à ♥ ♦ s♦é été ♠♦♥tré ♣♦r ①♠♣ été q ②♣♦tès rté
st sértr ♣r r♣♣♦rt à ♣rs ♥ ♦♠♣t ♥ r♦ é♦r♠ Pr rs ♠ét♦
♥tért♦♥ s♦tè♥♠♥t ♣r ♦♦♥♥ été é♠♥t é
s éts ♣r♠étrqs sr ♠♦è ♥♦♥ ♥ér t ♦♠♣rs♦♥ ♣r r♣♣♦rt ♠♦è
♥ér ♦♥t ♣r♠s ♦tr ① ♦♥s♦♥s s♥ts
• ♣rs ♥ ♦♠♣t ♥ ♦ ♦♠♣♦rt♠♥t ♥♦r♠ ②♣r♦q st ♣s sértr q♥
♦ ♦♠♣♦rt♠♥t ♥♦r♠ ♥ér
• ♥♦ ♠♦è ♣r♠t sr é♦t♦♥ ♦♠♣♦rt♠♥t ♦ ♥s ♣s ♣s
tq ♦ ♣t êtr st ♠ê♠ s ♥ ♣rt s r♦♥tèr ♣sté
• P♦r ♥ s♦tè♥♠♥t ♦♥♥é q t ♥s ♣s ♣stq ♣rss♦♥ ①ré à éqr
sr s♦tè♥♠♥t st ♣s éé ♣♦r ♠♦è ♥♦♥ ♥ér q ♣♦r ♠♦è ♥ér
♥s ♠♦è ♥♦♥ ♥ér ♣r♠t ♥ ♥②s ♣s rést é♦t♦♥ s ♦♥tr♥ts sr s s
♦ P♦r ♥ réstt r♦r① st ♥éssr à s ♠ét♦ ♥♠érq ♥ré♠♥t
♦♣té résr ♥ ♥♦♠r éé ♣s ér♠♥t s♣érr à ♦♥r♥♥t ♠
♦♥ ♥ ♣s s♦♥ tr ♥ é♦♣ très ♥ râ à tst♦♥ éé♠♥ts ♥ ♥♦♠r
éé ♣♦♥ts ss ♣♦♥ts ♣♦r éé♠♥t tr♥ t ♣♦r éé♠♥t rré t♠♣s
st ♦rs très rs♦♥♥ ♥ q ♥♦s ②♦♥s ♠té ét à ♦ ré♦♦q éà ①♣té
ést♦♣stté ♣rt ♠♦è ♥♦♥ ♥ér st ♦♥strt ç♦♥ à ♣♦♦r ♣r♥r ♥ ♦♠♣t
♥♠♣♦rt q tr ♦ ré♦♦q
r♥r ♣tr été ♦♥sré à ♥②s stté ♥ ♥s♠ ♦s t♦r ♥
①t♦♥ s♦trr♥ ♠♦è ♦♥ ♥ér t à ♥ ♦♠♣rs♦♥ ♠ét♦
s é♠♥ts st♥ts ♠♦è é♦♠étrq ①t♦♥ é♥ért♦♥ s s♦♥t♥tés t
Page 180
❯ PP❱
s ♦s ♣s ♠ét♦ s é♠♥ts st♥ts ♦♥t été résés ♦
♥st s ♦s stés ♥ ♦♥tt ①t♦♥ ♦♥t été étés ♥ à ♥ P♦r
r♥r ♦♠♣t t ♥stté rt♥s ♦s sr s ♦s ♥ts ♠ét♦
♥ tért été ♥tr♣rs ♣r é♠♥t♦♥s ssss s ♦s ♥sts ❯♥ tr
ts♥t t♥q rr♦♣♠♥t ♦s sts t ♥sts ♥ts ♥ s ♦♥sér♥t
♦♠♠ ét♥t ♥ ♦ été té s ♦♠♣rs♦♥s ♠ét♦ s ♠♥ts st♥ts ♦♥t
♣r♠s ♦tr ① ♦♥s♦♥s s♥ts
• s♥s tért♦♥s ♥ ♣r♠t ♣s r♣érr t♦s s ♦s tr♦és ♥sts
• tért ♣r♠t rtr♦r t♦s s ♦s ♥sts é♥♠♦♥s rsq ①é
rr étt ♥stté ①t♦♥ ♣sq rt♥s ♦s sts s♥t s♦♥t rtr♦és
♥sts s♥t
• t♥q rr♦♣♠♥t ♣♣qé sr ♥ ①♠♣ ♦♥♥é été t ♣♦r rtr♦r ♥
♥ ♥stté rt♥s ♦s sr s ♦s ♥ts
♥♠♥t ♥♦ ♠♦è été ♣♣qé ♣♦r ♥②sr ♥ t ♦s q ♥s
①♠♣ ré ♥ té st♦ t s♦tè♥♠♥t ♥éssr été ♠♥s♦♥♥é
♥ ♦♥s♦♥ tr rr ♣r♠s ♠① ♦♠♣r♥r ♦♠♣♦rt♠♥t ♦
s♦é t ♣♣♦rtr ♥ ♦♥trt♦♥ ♣r r♣♣♦rt ① ♠ét♦ ①st♥ts ♥s st tr
rr ♥♦s ♣r♦♣♦s♦♥s s ♣rs♣ts s♥ts
• P♦rsr s tr① t♦♥ ♣r r♣♣♦rt à ♥ ①t ♣r♥♥t ♥ ♦♠♣t t♦s s
♦s t rs ♥trt♦♥s ♠ét♦ s é♠♥ts st♥ts sr ♥térss♥t tstr ♣srs
s strt♦♥s t ♣r♦♣rétés ♠é♥qs s s♦♥t♥tés ♥s q ér♥ts r♠♥ts
♥t① ♥s t étr♠♥r ♥s qs stt♦♥s ♠ét♦ ♣r♠t
r♠♣r ♥ ①t Pr rs ♦♥ ♣t ♥sr érr s s ♦s tr♦és ♥sts
s♥t s♥s tért s♦♥t ré♠♥t s ♦s s ♣s rtqs P♦r
r ♦♥ ♣♦rr tr ♥ ♥ ♥st♥t ♥ s♦tè♥♠♥t s♣éq♠♥t
♥ s ♦s ♥ ♥stté ♥ ♥♦s ♣♦rr♦♥s ér q s ♦s tr♦és
♥sts s♥t ♣r♠r s♦♥t ré♠♥t s ♦s és ♦s ♣r♦r♦♥s
♦rs q st ♠♥s♦♥♥r s♦tè♥♠♥t rt♠♥t à s ♦s ♣♦r r♥tr stté
t♦t ①t♦♥
• ♠é♦rr rtèr ét♦♥ ♥stté
• ♣♣qr ♦ sr s s rés ♦s ♥str♠♥tés ♣♦r ♦♠♣rr s rs
s é♣♠♥ts ♣t s r ♥ st ♦ ♥ ♦rt♦r s ♠qtts ♣♣r♦♣rés
• r s tsts s♣♣é♠♥trs ♦♠♣rs♦♥ s ♠♦ès é♦r♠s ♣♦r érr q
②♣♦tès r♦ r st ♦♥srt ♥s t♦s s s s é♥t ♥sr ♣rs
♥ ♦♠♣t é♦r♠té r♦ ♥s ♠♦è
• ♥tr♦r trs ♦s ré♦♦qs ♦♥ts t ssr à tstr ♦sr ♦ ré♦♦q
♣r♠ ♥ st ♣ré♣r♦r♠♠é
• é♦♣♣r ♥ é♥értr ♦s à ♥térr ♥ ♠♦♥t ♦ t ♥sr ♦
♣♦r q s♦t ts ♣r s ♥é♥rs
Page 181
❳
ét♦s é♥ért♦♥ s ♦s
é♥ért♦♥ s ♦s t♦r ♥ ①t♦♥ st ét♣ q ♣réè ét stté s ♦s
t♦r s ①t♦♥ s♦trr♥s tt ♥♥① ♣rés♥t ♥ r ♣rç s ér♥ts ♠ét♦s
s♣♦♥s ♥s ttértr ♦s ♦♠♠♥ç♦♥s ♦r ♣r ♣rés♥tr s t♥qs é♥ért♦♥
s s♦♥t♥tés
é♥ért♦♥ s s♦♥t♥tés
é♥ért♦♥ s s♦♥t♥tés ♣t êtr t ér♥ts ♠♥èrs
• s s♦♥t♥tés s♦♥t ♥tr♦ts ♥♠♥t ♥ ♦♥♥t ①t♠♥t ♣♦st♦♥ t ♦r♥
tt♦♥ ♥
• s s♦♥t♥tés s♦♥t ♥tr♦ts ♣r s ♠s rtérsés ♣r s ♦s ♣r♦té ♦♥r
♥♥t rs ♦r♥tt♦♥s rs s♣♠♥ts t rs ①t♥s♦♥s s s s♦♥t ♥s
• ♦rsq ♣♦st♦♥ ①t s s♦♥t♥tés ♥st ♣s ♣rs ♥ ♦♠♣t ♦♥ ts s ♦♥♥és
♦♥r♥♥t r ♦r♥tt♦♥ ♣♦r é♥érr s ♦s ♦♠ ♠①♠ à sr ♥ ①
t♦♥
♦♥r♥♥t rs ♦r♠s é♦♠étrqs s s♦♥t♥tés ♣♥t êtr
• s ♣♥s ♥♥s
• s ♣ss
• s sqs
• s ♣♦②♦♥s q♦♥qs
s s♦♥t♥tés ♣♥t êtrs ♥tr♦ts t♦ts à ♦s ♦ ♥ rs♣t♥t st♦rq r
♣♣rt♦♥ ♦♠♠ ♥s ♠ét♦ ♦t ❬❪
Page 182
❳
é♥ért♦♥ s ♦s
ét♦ r♣rés♥tt♦♥ r♦♥tèr
st ♥ ♠ét♦ q ts t♦♣♦♦ ♦♠♥t♦r ♣♦r r♣rés♥tr s srs s ♦s
été é♦♣♣é ♣r ♣srs trs ♥ t ❬❪ ♥ t t♣♥ss♦♥ ❬❪
♥ ❬❪ ♦ts s s♦♥t♥tés s♦♥t ♥tr♦ts à ♦s s ♣♥t ♦r s ♦r♠s t
s ts q♦♥qs ♦rt♠ ♣r♠t ét é♦♠étrs rés ♦s ♦♥①s ♦ ♦♥s
♥ ♥♦♠r q♦♥q s
♣r♦ér é♥ér ♣rès ♥ ❬❪ s rés♠ ♦♠♠ st
• s ♥trst♦♥s ♥tr s s♦♥t♥tés ♣♦r é♥r s s♠♥ts ♥trst♦♥
• ♥trst♦♥ s s♠♥ts ♣r♠t étr♠♥r s ♥÷s t rs ♦♦r♦♥♥és s ôtés
s♦♥t ♦rs é♥s ♣r ♣rs ♥÷s
• ♠♥t♦♥ s s♠♥ts q ♥ ♣rt♣♥t ♣s à ♦r♠t♦♥ s r♠és s♦♥t s
s♠♥ts q ♦♥t ♠♦♥s q ① ♥trst♦♥s trs s♠♥ts
• ♥tt♦♥ s s rés s♦♠♠tsôtés ♦♥stt ♥ r♣ ♣♥r ♥
q s♦♥t♥té s s ♣♦②♦♥s s♦♥t ♥tés ♣r s ♦s ♥ ♣r♦r♥t s ôtés
st ♥ ♣r♦è♠ ♠♥s♦♥♥ t ♦rt♠ st ért ♥ ét ♣r ♥ t t♣♥ss♦♥ ❬❪
• ♠♥t♦♥ s s q ♦♥t ♠♦♥s q tr♦s s♦♠♠ts ♥♦♥ ♦♥érs t s s ♣♥♥ts
• ♥tt♦♥ s ♦s trç ♥ ♦ ♦♠♠♥ ♣r ♥ ♦♥♥é s♥t ♦t
r ♥ ♥ ♠♥♠ t s sérs ♦♥♥és sr s ♦♥♥ttés
ôté s♦♠♠ts♦♠♠t s♦♠♠tôté s♦♥t ts ♣♦r tt ♦♣ért♦♥ ♦r♠ r
P♦♥ré ♥ ♣♦②èr st ♣♣qé ♣♦r érr té réstt
s ♥ts tt ♣♣r♦ s♦♥t s s♥ts
• s ♦s é♥érés ♣♥t êtr ♦♥①s ♦ ♦♥s ♦rt♠ ♣r♠t ♥tt♦♥ s
♦s s tés
• s②stè♠ ♦s st rést râ à tst♦♥ rtrs t ♥ t tst♦♥
♠♥♠ rtrs rts ♣♦r é♥r s ♠ts ♠♦è t s sr rs
• ♦♥♥tté ♥tr s rtrs st ♥ r♣rés♥té
s ♠ts tt ♣♣r♦ s♦♥t
• s ért♦♥s ♦rt♠ ♦♥t été ts ♥q♠♥t sr s ①♠♣s très s♠♣s
• s rtrs rts s♦♥t tsés ♣♦r s♠r ①t♦♥
• s ♦♥♣ts s♠♣① t ♦♠♣① s♦♥t tsés ♠s ♥ s♦♥t ♣s ♥éssrs ♣♦r trt♠♥t
♥♠érq
t ❬❪ ♦♥t tsé ♥ ♣♣r♦ t♦♣♦♦q ♥ ♦rt♠ ♣s s♠♣ q
♥ t ❬❪ ♥ t t♣♥ss♦♥ ❬❪ t ♥ ❬❪ r ♠♦♥tr ♥ ①♠♣ s♠♣
é♥ért♦♥ ♦s ♣rès t ❬❪ s ♥ts s ♠ét♦ s♦♥t s s♥ts
• ♦♥s ♦♥♣ts t♦♣♦♦qs s♦♥t tsés
• s ♦s éé♥érés s♦♥t ♣rss ♥ ♦♠♣t t ♥ ♣♦sttrt♠♥t s s s rtrs st
té
• ♣♦ssté r♣rés♥tt♦♥ s srs ♦rs st ♣rs ♥ ♦♠♣t
♦t♦s ♦rt♠ st ♠té à qqs s♦♥t♥tés t à s r♣rés♥tt♦♥s s♠♣s ♥
ért♦♥ ♦rt♠ ♥ été t sr s ♠♦ès ♦♠♣①s
Page 183
ét♦s é♥ért♦♥ s ♦s
r ①♠♣ é♥ért♦♥ s ♦s t ♣♦sttrt♠♥t s rtrs ♣rès t ❬❪
♣♣r♦s t♦♣♦♦qs ré♥ts
♣♣r♦ ♦ ♥r♦ ♦rt♠ ❨ t ❬❪ q st à s
♦ ♥r♦ st s ét♣s s♥ts
• ♦♠♥ ♠♦ést♦♥ ♥ é♥t sr r st sé ♥ s s♦s♦♠♥s
♦♥①s ♥t ♥tr♦t♦♥ s s♦♥t♥tés sr r st ♦r st ♣♣r♦①♠é
♣r ♥ sér srs ♣♥s ♥♦♠r ♦♠♥s ♠♥t ♣rés♦♥ é♦♠étrq
q♦♥ t ♦r
• s s♦♥t♥tés s♦♥t ♥tr♦ts ♥ ♦♥sér♥t qs s♦♥t ♥♥s t s q ♥ ♦♥t ♣s
♦♥trr à ♦r♠t♦♥ ♦s s♦♥t é♠♥és
• s ♥trst♦♥s s s♦♥t♥tés s♦♥t és t s ♦s r♣érés ♥ q s♦s
♦♠♥ ♦♥①
• s s♦♥t♥tés s♦♥t rsttés à r ts rés ♥ ♦♥sér♥t qs ♦♥t ♦r♠
sqs
• s s♦s♦♠♥s s♦♥t ss♠és s ♦s q ét♥t sé♣rés ♣r s rtrs rts à
s s♦♥ ♥t ♥ ♦♠♥s ♦♥①s s♦♥t ss♠és s ♦s ♦r♠ ♦♥
♣♥t s ♦r♠r
s ♥ts tt ♣♣r♦ s rés♠♥t ♦♠♠ st
• st ♥ ♣r♦ér s♠♣ s♦♥ ♥ s♦s♦♠♥s ♦♥①s ♣r♠t tr♥s♦r♠r
♣r♦è♠ ♦r ♥tt♦♥ ♦s t♦r ①t♦♥s ♦♠♣①s ♥ ♥ ♣r♦è♠ s♠♣
é♦♠étr ♦♥①
• s♦♥ ♥ s♦s♦♠♥ ♣r♠t ♠♦ésr s ♠sss r♦① étér♦è♥s
s ♠ts tt ♣♣r♦ s♦♥t
• s s♦♥t♥tés ♣♥t ♥q♠♥t ♦r ♥ ♦r♠ sq
• t♠♣s ♠♥t ♦rsq ♥♦♠r s♦s♦♠♥s ♠♥t
• rst ♥♦r à tstr ♣té ♦ ♥r♦ ♣♦r trtr s ①♠♣s ♥
♥♦♠r éé s♦♥t♥tés
ét♦ ♠♦è ♠♦t t ❬❪ és♥é ♣r trtr ♦♥
♦rt♠ st ♥ ♠♦è t♦♣♦♦q ♠é♦ré ♣♦ssè s ♥ts s♥ts
• s s♦♥t♥tés é♥érés ♣♥t êtr ♥ ♥♦♠r très éé sqà rtrs ♣r
♠tt♥t é♥érr s ♠rs ♦s
• s s♦♥t♥tés ♣♥t êtr ♥♦♥ ♣♥s ♥ ♥tr♦s♥t s srs tr♥és ♦♠♠
♠♦♥tr r
Page 184
❳
• ♣r♦r♠♥ ♦rt♠ t rr s réstts ♦♥t été érés sr s s rés
♦♠♣①s
r ①♠♣s é♦♠étrs s♦♥t♥s é♥érés ♠ét♦ t♥♥ ♥tér♥t ♥ s♦♥t♥té ♥♦♥ ♣♥ t ♠♦è ♥ té s♠ s♣érq ♣rès ♠♦tt ❬❪
ét♦ s♦♥s ssss s♣
st ♠ét♦ ♥tr♦t ♣r♠èr♠♥t ♣r ❲rrt♦♥ ❬❪ ♣s é♦♣♣é ♣r
♦t ❬❪ s s♦♥t♥tés s♦♥t ♥tr♦ts sss♠♥t ♥ ♦♠♠♥ ♣r ♦♣r ♦
é♥ss♥t ♠♦è ♥t ♥ ① ♦ ♣srs ♦s ♣r ♥ s♦♥t♥té ♦ ♥ ♠ s♦♥
t♥tés q ♥tr♦t♦♥ ♥ tr ♠ s♦♥t♥tés ♦♣ s ♦s ①st♥ts
t é♥èr ♥♦① ♦s ♦r r s rtrs s♦♥t ①t♥s♦♥s ♥♥s ♦ érrsés
♥s r♥r s s srrêt♥t ♦rsqs r♥♦♥tr♥t trs rtrs éà ♥tr♦ts r
t♥s ♦s éà ①st♥t ♣♥t êtr és ♣♦r ♠♣êr r s♦♥ ♣r ♥♦s rtrs
♣r♠t ♦r s ♦s ér♥ts ♦r♠s t ts
tt ♣♣r♦ ♣r♠t s♠r ét♣ ♣r ét♣ st♦rq ♣♣rt♦♥ s rtrs ♥s
♥ ♠ss r♦s ♦♠♠ ♠♦♥tr r st s♠♣ t à ♣r♦r♠♠r st
tsé ♥s ♦ ❬❪
♦t ❬❪ ♣♣qé tt ♠ét♦ ♣♦r é♦♣♣r ♥ ♦ ♥rt♦♥ ♥
tt ♣♣r♦ t ♥ s♦♥t tsés ♥s ♦ ❬❪
s és♥ts tt ♣♣r♦ s♦♥t
• s rtrs rts ♦♥t êtr ♥tr♦ts ♣♦r s♠r s srs s ①t♦♥s ♥
térrs ♠♦è q ①t♦♥ ért ♥ ♣♦②èr à s♦strr ♠ss r♦s
①t♦♥ st ♥tr♦t ♣rès ♥tr♦t♦♥ t♦tté s s♦♥t♥tés
• tt ♣♣r♦ rsq ①érr ♦♥♥tté s s♦♥t♥tés t ♥♦♠r ♦s ♥
t t♦ts s s♦♥t♥tés s♦♥t ♦♥trts t ♦r♠♥t ♥ rés ♦♥♥té
r s♦♥s ssss s♣ ♣rès ♥ ❬❪
Page 185
ét♦s é♥ért♦♥ s ♦s
r ①♠♣ r♦♥strt♦♥ ♣r♦rss ♥ ♠♦è s♦♥t♥ rs♣t st♦rq ♣♣rt♦♥ s s♦♥t♥tés ♣rès ♦t ❬❪
ét♦ srétst♦♥ s♣
st ♠ét♦ tsé ♣r ❩♥ t ❬❪ ♥ rq ♥ ♠ srétst♦♥
♠ss r♦① ♦♥r♥é ♣r ét ♥ ♣r♥♥t ♥ ♦♠♣t s ♦rs s♦trr♥s ♠s s♥s t♥r
♦♠♣t s srs s♦♥t♥té ♠ st t ♥ ts♥t s éé♠♥ts ①érqs
♥÷s ♦♠♠ ♠♦♥tr ①♠♣ r ♥st ♦♥ ♥tr♦t s ♣♥s s s♦♥t♥tés
♥ ♣rès tr ♥ ♦♥sér♥t s ①t♥s♦♥s ♥♥s P♦r q ♥♦ ♣♥ ♦♥ é♦♣ s
♠s q r♥♦♥tr s♦rt à ♦t♥r ♥ ♥♦ ♠ s ♦s ♦♥①s s♦♥t ♥tés ♥
r♠♥♥t s s♦♥t♥tés à r t ♥t s ♦s ♦♥s s♦♥t ♥tés
s és♥ts tt ♣♣r♦ s♦♥t s s♥ts
• ♥♦♠r s s♦♥t♥tés st ♣ éé
• s s♦♥t♥tés ♣♥t êtr ♥q♠♥t ♦r♠ ♣♥
• réstt st s♥s à qté t à ♥sté ♠
• ♠ét♦ ♥st ♣s ss ① q s ♠ét♦s t♦♣♦♦qs
r é♥ért♦♥ ♦s ♣rès srétst♦♥ s♣ ♣rès ❩♥ t ❬❪
Page 186
❳
é♥ért♦♥ ♦s ♥ ♥♦♠r ♣réétr♠♥é s
étr♠♥t♦♥ ♣ré ♥♦♠r s s ♦s ♣r♠t s♠♣r ♣r♦ér ♥t
t♦♥ s ♦s tt ♣r♦ér st ♣♣ ♥q♠♥t ♣♦r étr s ♦s stés à sr
①t♦♥ ♥ ét s ♦♠♥s♦♥s ♥ rt♥ ♥♦♠r s♦♥t♥tés t ♥ r
s♥s ♥éssté ♦♥♥tr ♠♣♠♥t s♣éq s s♦♥t♥tés
♦s ♣②r♠① ♦rsq♦♥ s♣♣♦s q s s♦♥t♥tés ♦♥t ♣ssr ♣r ♥ ♠ê♠ s♦♠♠t
♦♥ ♦t♥t s ♦r♠s ♣②r♠s ♦♦♠♥ t ❬❪ ♦♥t ♥tr♦t ♥♦t♦♥ ♦
♦♠ ♠①♠ st ♥ ♦ q ① ôtés t♥♥ts t♥♥ t ♦♥t s♦♠♠t st ♣s
st♥t ♣♦ss ♥ ♦♥sèr s♦♥t s ♦s ♦r♠ tétrérq ♣♦r é♥ért♦♥ s ♦s
♦♠ ♠①♠ tt ♣♣r♦ st tsé ♥s ♦ ❯❲ ❬❪ ♦♠♠ ♠♦♥tr
r Pr rs ♦♥③á③P♦ t ❬❪ ♦♥t été s ♦s ♦♠ ♠①♠
♦r♠ ♣♥térq
♥s ♦ ❬❪ s st♥s ♥tr s rtrs s♦♥t ♦♥♥s ♥ t♦ts s
♦♠♥s♦♥s ♣♦sss tr♦s s♦♥t♥tés ♦r♠♥t s ♦s tétrérqs sr t♦t r
♦♥séré ♦♠♠ ♠♦♥tr r
r ①♠♣s ♦s tétrérqs ♦♠ ♠①♠ é♥érés ♣r ♦ ❯❲ ❬❪
r ①♠♣ ♦
♦s ♥♦♥ ♣②r♠① P♦r ♥ ♦♠♥s♦♥ ♦♥♥é qtr s♦♥t♥tés st r
ét ♦ ♣②r♠ ♦r♠ ♣♥térq q ♦r♠ ♥ ♦♠ ♠①♠ ♥ sr
r r Ps ♣r s♦t♦♥ ♦ ♥♦♥ ♣②r♠ st étr♠♥é ♦♠♠ ♠♦♥tr
Page 187
ét♦s é♥ért♦♥ s ♦s
r ♥térêt st q s ♦s ♣♥térqs s♦♥t ♣s ♦♠♥① q s ♦s
tétrérqs tt ♣♣r♦ été ♥tr♦t ♣r ♦♥③á③P♦ t ❬❪ t ♥é♥③
í③ t ❬❪ t st tsé ♥s ♦ ❯
r ①♠♣s ♦s ♣♥térqs ♦♠ ♠①♠ ♣②r♠ à t♥♦♥ ♣②r♠ à r♦t ♣rès ♦♥③á③P♦ t ❬❪
s ♠ts s ♣♣r♦s ♦ù ♥♦♠r s st ①é ♣ré s♦♥t s s♥ts
• étr♠♥t♦♥ ♣ré ♥♦♠r s ♣r ♦ ♥ ♣r♠t ♣s ♥ r♣rés♥tt♦♥
rést s ♦s ttr ①♠♣ r ♠♦t ❬❪ ♠♦♥tré ♣r ♣♣t♦♥ s
♠ét♦ sr ♥ ①♠♣ trté ♣r ♥é♥③í③ t ❬❪ q s ♦s ♦♥t ♥♦♠r
s st s♣érr à ♥q s♦♥t ♣s ♥♦♠r① q s ♦s ♣♥térqs
• s ♣♣r♦s ♥ ♣r♠tt♥t ♣s ét stté s ♦s à ♥térr ♠ss r♦
s q rsq♥t s①♣♦sr s s ♦s stés ♥ ①t♦♥ ♥♥♥t
♥sts s ♠ét♦s q ♣r♠tt♥t é♥érr t♦s s ♦s ♥s ♠ss r♦s ♣r
♠tt♥t r t②♣ ét ♣r é♠♥t♦♥ s ♦s ♥sts
• s♣♣♦st♦♥ s♥t q s ♦s ♦♠ ♠①♠ ♣rés♥t♥t ♣s rsq êtr
♥sts ♥st ♣s sté
♦♥s♦♥
♦s ♦♥s t ♥ r ♣rç s ♠ét♦s é♥ért♦♥ ♦s ♥ ♠♦♥tr♥t q s t♥qs
r♥t t é♦♥t r♣♠♥t st ♠♥t♥♥t ♣♦ss é♥érr s ♦s é♦♠étrs ♣s
♥ ♣s ♦♠♣①s s ♦rs ♦r♠ ♣♦②érqs q♦♥qs ♠ét♦ é♦♣♣é
♥s tt tès st ♣té à ét ♥♠♣♦rt q é♦♠étr ♦
Page 188
❳
rrs r♥r ♣♦r s rtés s ♦♥ts
s sss ♦rt♦r t ♥ st sr s ♦♥ts r♦① ♦♥t ♠♦♥tré q s rs s rtés
s ♦♥ts r♥t ♦♣ r ♥tr é♣ssr ♠tér r♠♣ss s ♠♥s♦♥s
sr ♦♥tt r♦sté s ♦♥tr♥ts ♥s r♦. . . ♦s ♣rés♥t♦♥s rè♠♥t
s ♣r♥♣① réstts à ♣rtr ttértr ♣♦r ♦♥♥r s ♦rrs r♥r rtés à
♦♣tr ♦rs ♠♦ést♦♥
té ♥♦r♠ t r♠tr ♠①♠
♥s t ❬❪ ♦♥t té ♥ r ♠♣♥ ss sr é♦r♠té ♥♦r♠ s
♦♥ts s♥s ♠tér r♠♣ss s é♥t♦♥s ♦♥t été ♦tés s r♠♥ts ér♥ts
t②♣s r♦s st ♦♦rt r rès s ♦s rt♥rs ♦♥ts ♠♥s♦♥s ♥ ♦♥r
♠♠ ♥ rr ♠♠ t ♥ tr ♠♠ ♦♥t été s♦♠s s tsts ♦♠♣rss♦♥
②qs s ♦♥tr♥ts ♥♦r♠s ♠①♠s ♣♣qés sr s é♥t♦♥s r♥t ♥tr t P
rté ♥♦r♠ ♥t t r♠tr ♠①♠ ♦♥t ♦♥t été ♠srés
P♦r t♦s s t②♣s ♦♥ts ♠rqés ♥tr♦ s réstts ♣♥t êtr rés♠és ♦♠♠
st
• r♠tr ♠①♠ ♦♥t st ♥érr à ♠♠
• rté ♥♦r♠ ♥t r ♥tr t P♠
s rs s ♣s éés s é♣ssrs t s ♣s s s rtés ♥♦r♠s ♥ts ♦rrs
♣♦♥♥t ① ♦♥ts ♥♦♠♠és Pr rs s rtés ♥♦r♠s ♦♥t s rs r♦ss♥ts ♥
♦♥t♦♥ ss♠♥t s♥t s t②♣s r♦ rès ♥ rès r ♦♦rt t st s r♠
trs ♠①♠s ♠♥♥t ♥ ♦♥t♦♥ ss♠♥t
P♦r s ♦♥ts ♥♦♥ ♠rqés ♥ ♣s rté ♥♦r♠ ♥t st ♦sré ♥s q♥
♣s r♥ é♣ssr ♠①♠ réstt été ss tr♦é ♣r ♥s ❬❪ r♣♣♦rt s
rtés ♥♦r♠s ♥tr s ♦♥ts ♠rqés t ♥♦♥ ♠rqés r ♥tr t s ♣s s
rtés ♥♦r♠s s ♦♥ts ♥♦♥ ♠rqés ♣♥t êtr ①♣qés ♣r ♦♥♥trt♦♥ s ♦♥tr♥ts
sr ♥ ♣s ♣tt sr ♦♥tt t ♣r ♠♥q ♦♥♥♠♥t ♣r♦t ♣r s s♣értés
t ❬❪ ♦♥t té s tsts ♦♠♣rss♦♥ sr s rtrs rts réés
♣r trt♦♥ ♦rt♦r s ♦♥t ♦sré ♥ ♠♥tt♦♥ r♠tr ♠①♠ ♦♥t
♠♥s♦♥ rtr ttr ①♠♣ ♦rsq ♦♥r ♦ ♠♥t ♠♠ à
♠♠ r♠tr ♠①♠ ♠♥t ♠♠ à ♠♠ ❯♥ tr ét ♣r ❨♦s♥ t
❨♠ ❬❪ ♠♦♥tré q tt ♠♥tt♦♥ r♠tr ♠①♠ st ♣♣r♦①♠t♠♥t
♣r♦♣♦rt♦♥♥ à ♦♥r ♦♥t
♥s ♥s s ①♠♣s étés ♥s ♣tr ♦ù s ♦s s♦♥t ♦rr r♥r
♠ètr r♠tr ♠①♠ s rtrs st ♣rs ♦rr r♥r ♠♠ètr
st ❬❪ ♣rés♥t s réstts ♣srs sss ♥ st tés sr s ♦♥ts
♠♦r♣♦♦s ér♥ts ♦ s♥s ♠tér r♠♣ss s srs s ♦♥ts tstés r♥t
♥tr t 5.4m2♣rs rt♥rs ♦ r♦tts ②♥rqs st rté ♥♦r
♠ ♠♦②♥♥ ♦♠♠ ét♥t r♣♣♦rt ♥tr ♦♥tr♥t ♥♦r♠ ♠①♠ à r♠tr ♠①♠
♦♥t ♥t sss tés r ♥tr t P♠
Page 189
rrs r♥r ♣♦r s rtés s ♦♥ts
té t♥♥t
rt♦♥ t ♥s ❬❪ ♦♥t ♣rés♥té ♥ ♠tt sss s♠♥t sr s ♦♥ts
r♦① ♦tés ttértr été ét q rté t♥♥t é♣♥ ♠♥s♦♥
é♥t♦♥ tsté P♦r s ♦♥tr♥ts ♥♦r♠s r♥t ♥tr t P t s ♠♥s♦♥s
♦ ♥tr t ♠ rté t♥♥t r ♥tr P♠ t P♠
♣rès s sss s♠♥t tés ♣r ♥s t ❬❪ s rtés t♥♥ts s st♥t
♥tr t P♠ ♥ r♠rqé ss ♥ t é t q rté t♥♥t s
♦♥ts rs ♥♦♥ ♥♦♠♠és st ♣s éé q s ♦♥ts ♥♦♠♠és
♥t sts ❬❪ s rtés t♥♥ts r♥t ♥tr P♠ t P♠
s sss s♠♥t ♦♥t été résés ♥ ♦♥tr♥t ♥♦r♠ ♦♥st♥t ♥ é♣ss♥t ♣s
P P♦r s srs ♦♥ts ①és à ♠2 t ♥ s♥t rr ♦♥tr♥t ♥♦r♠ ♥tr t
P tt rté r ♥tr t P♠ ♥s s rtés t♥♥ts ♠♥t♥t
♠♥tt♦♥ ♦♥tr♥t ♥♦r♠ trs sss ♦♥t ♠♦♥tré ♥ ♠♥tt♦♥ rté
♠♥t♦♥ é♣ssr ♠tér r♠♣ss s rs ♠①♠s ♦rrs♣♦♥♥t
♦♥ ♦♥t s♥s ♠tér r♠♣ss s rs s♦♥t ♥ ♦r ① tr♦és ♣r rt♦♥
t ♥s ❬❪
s r♣♣♦rts rtés ♥♦r♠ t t♥♥t ♣♦r s sss tés ♣r ts
♦♥♥ s rs q r♥t ♥tr t r♣♣♦rt ♣s éé ♦rrs♣♦♥ à s ♦♥ts s♥s ♠
tér r♠♣ss Pr ♦♥séq♥t ♥s s ♣♣t♦♥s ♦♥r♥♥t ♠♦è ♥ér
r♣♣♦rt s rtés tsé r ♥tr t
♦♥s♦♥
♦s r♠rq♦♥s ♣rès tt r ♦r♣q ♦rt s♥t q s ♣r♦♣rétés s ♦♥ts
rté ♥♦r♠ ♠♦②♥♥ ♦ rté ♥♦r♠ t é♣ssr ♠①♠ t rté t♥♥t ♣♥t
♦r s rs sét♥♥t sr rs ♥trs ♦t é♣♥ ♥tr s ♦♥ts r étt
♥♦♠♠♠♥t t②♣ r♦ é♣ssr ♠tér r♠♣ss s ♦♥tr♥ts
♥s r♦ t t é♥t♦♥ Pr ♦♥séq♥t ♣♦r ♥ ♦♥♥ st♠t♦♥ s rs
♦rs ♥ stté r r ♣ré s sss ♦♠♣rss♦♥ t s♠♥t
sr s é♥t♦♥s ♣♣r♦♣rés ♦rt♦r ♦ ♥ st
Page 190
❳
♥tért♦♥ ♥♠érq
tt ♥♥① ♣rés♥t ♠ét♦ ♥♠érq s ♣♦♥ts ss tsé ♣♦r s ♥té
rs sr ♥s ♦
é♥értés sr s ♥térs sr
♦♥sér♦♥s ♥ sr S sté ♥s s♣ tr♠♥s♦♥♥ q♦♥ s ♥ ♥ ♥♦♠r N
éé♠♥ts sr Si t q S =∑
Si i = 1, N
q éé♠♥t sr ♣♦ssè ♥ ♥♦♠r nE ♥÷s t ♥ ♥♦♠r nG ♣♦♥ts ss
t st ss♦é à ♥ éé♠♥t rét q ♣♦ssè s ♠ê♠s ♥♦♠rs ♥÷s t ♣♦♥ts ss ♥
és♥ ♣r wj ♣♦s rét ♥ ♣♦♥t ss j t ♣r (ξ, η) ss ♦♦r♦♥♥és réts ♥ ♣s
♦♥ é♥t s ♦♥t♦♥s ♥tr♣♦t♦♥ ①♣r♠és ♥ ♦♦r♦♥♥és réts Ni(ξ, η) i = 1, nE
♣r♠tt♥t ♣ssr s rs s r♥rs ① ♥÷s ① rs s r♥rs ♥ t♦t ♣♦♥t
♣♣rt♥♥t à éé♠♥t ♥ ♣rtr ♦♥ r à ①♣r♠r s r♥rs ♥ s ♣♦♥ts
ss P♦r q éé♠♥t rét s ♦♦r♦♥♥és t ♣♦s s ♣♦♥ts ss ♥ s
ér♥ts t②♣s éé♠♥ts réts ♥s q s ①♣rss♦♥s s ♦♥t♦♥s ♥tr♣♦t♦♥ s♦♥t é♥s
à ♥ tt ♥♥①
♥s ♦ s ♦♥t♦♥s ♥tr♣♦t♦♥ s♦♥t és ① ♣♦♥ts ss ♥
♦rs nE × nG rs é♥s sr q éé♠♥t t ♦♥ és♥r ♣r Nij r ♦♥t♦♥
♥tr♣♦t♦♥ ♥÷ i ♣♦♥t ss j ♥ ①♣r♠ ss s érés ♣rts s ♦♥t♦♥s
♣r r♣♣♦rt ① ♦♦r♦♥♥és réts Qξi = ∂ξNi(ξ, η) t Qηi = ∂ηNi(ξ, η) ♥ és♥ ♣r Qξij t
Qηij s érés ♣rts s ♦♥t♦♥s ♥tr♣♦t♦♥s ♣♦♥t i ♣♦♥t ss j
♥tért♦♥ ♥ ♦♥t♦♥ ϕ (x) ♦♥♥é sr sr S ♣t êtr r♠♣é ♣r s♦♠♠t♦♥
s ♥térs sr s ér♥ts éé♠♥ts Si q s♥t tt sr ♦♠♠ st
ˆ
S
ϕ (x) dS =N∑
i=1
ˆ
Si
ϕ (x) dS
♥tér ♥ ♦♥t♦♥ sr ♥ éé♠♥t ♥ésst ♦♥♥tr s rs tt ♦♥t♦♥ ①
♣♦♥ts ss éé♠♥t s rs ♣♥t êtr és ♣r ♥tr♣♦t♦♥ ♥ér à ♣rtr s
rs ① ♥÷s éé♠♥t s♣♣♦sés êtr ♦♥♥s ♣r ②♣♦tès ♦♠♠ ①♣r♠ rt♦♥
s♥t
ϕ (~xj) =
nE∑
i=1
Nij ϕ (~xi)
Prés♥t♦♥s ① ①♠♣s ♦♥t♦♥ ϕ tr s ♦♦r♦♥♥és ♥ ♣♦♥t ss j ♥s
r♣èr ré st é s♥t ①♣rss♦♥
~xj =
nE∑
i=1
Nij ~xi
♠ê♠ t♥sr s ♦♥tr♥ts ♥ ♥ ♣♦♥t ss j ♥s r♣èr ré ♣t êtr ①♣r♠é ♣r
σj =
nE∑
i=1
Nij σi
♥ ts♥t s érés s ♦♥t♦♥s ♥tr♣♦t♦♥ ♦♥ s érés ♣rts ~xj ♣r
Page 191
♥tért♦♥ ♥♠érq
r♣♣♦rt ① ♦♦r♦♥♥és réts (ξ, η)
∂ξ~xj =
nE∑
i=1
Qξij ~xi
∂η~xj =
nE∑
i=1
Qηij ~xi
❯♥ tr ♥♦r♠ à sr ♥ ♥ ♣♦♥t ss j s ♣r
~a = ∂ξ~xj ∧ ∂η~xj
J = ‖~a‖ st ♦♥ tr♥s♦r♠t♦♥ ♥tr s ♦♦r♦♥♥és réts (ξ, η) t s ♦♦r♦♥♥és
rs (~x) s♥t q dS = J dξ dη
tr ♥♦r♠ ♥tr à éé♠♥t srq s①♣r♠ ♣r
~n =~a
J
♥tért♦♥ ♥ ♦♥t♦♥ sr ♥ éé♠♥t sr ♦♥♥é st é ♣r s♦♠♠t♦♥ s♥t
♥ ts♥t s rs tt ♦♥t♦♥ sr s ♣♦♥ts ss éé♠♥t ♦♥ J t s ♣♦s
ss
ˆ
Si
ϕ (x) dS =
nG∑
j=1
ϕ (xj) J wj
Pr ♦♥séq♥t ♥tér sr ♥ ♣rtt♦♥ ♦♥♥é s♣ s t ♣r s♦♠♠t♦♥
sr t♦s s ♣♦♥ts ss t♦s s éé♠♥ts tt ♣rtt♦♥
ˆ
S
ϕ (x) dS =
N∑
i=1
nG∑
j=1
ϕ (xj) J wj
Pr♦♣rétés s ♣♦♥ts ss t ♦♥t♦♥s ♥tr♣♦t♦♥ ♣♦r
ér♥ts éé♠♥ts réts
P♦♥ts ss t ♦♥t♦♥s ♥tr♣♦t♦♥ ♣♦r ♥ tr♥
♦♦r♦♥♥és réts t ♣♦s réts s ♣♦♥ts ss ♣♦r ♥ tr♥ ànG = 7
♥ ♣♦s s =√15
P♦♥t ss j ξj ηj wj
s s s s s s s s s s s s s s s s s s
Page 192
❳
♦♥t♦♥s ♥tr♣♦t♦♥ t rs érés ♣♦r ♥ tr♥ à nE = 3
÷ i Ni Qξ Qη
ξ η 3 1− ξ − η
♦♥t♦♥s ♥tr♣♦t♦♥ t rs érés ♣♦r ♥ tr♥ à nE = 6
÷ i Ni Qξ Qη
ξ (2ξ − 1) 4ξ − 1 ξη 4η 4ξ η (2η − 1) 4η − 1 4η (1− ξ − η) −4η 4 (1− ξ − 2η) (η + ξ − 1) (2ξ + 2η − 1) 4 (ξ + η)− 3 4 (ξ + η)− 3 4ξ (1− ξ − η) 4ξ (1− ξ − η) 4ξ (1− 2ξ − η)
P♦♥ts ss t ♦♥t♦♥s ♥tr♣♦t♦♥s ♣♦r ♥ rré
♦♦r♦♥♥és réts t ♣♦s réts s ♣♦♥ts ss ♣♦r ♥ rré à nG = 9
♥ ♣♦s √6
P♦♥t ss j ξj ηj wj
♦♥t♦♥s ♥tr♣♦t♦♥ t rs érés ♣♦r ♥ rré à nE = 4
÷ i Ni Qξ Qη
0.25 (1− ξ) (1− η) −0.25 (1− η) −0.25 (1− ξ) 0.25 (1 + ξ) (1− η) 0.25 (1− η) −0.25 (1 + ξ)3 0.25 (1 + ξ) (1 + η) 0.25 (1 + η) 0.25 (1 + ξ) 0.25 (1− ξ) (1 + η) −0.25 (1 + η) −0.25 (1− ξ)
♦♥t♦♥s ♥tr♣♦t♦♥ t rs érés ♣♦r ♥ rré nE = 6
÷ i Ni Qξ Qη
0.25ξ (−1 + ξ) (1− η) 0.25 (−1 + 2ξ) (1− η) 0.25ξ (1− ξ)
0.5(
1− ξ2)
(1− η) −ξ (1− η) 0.5(
−1 + ξ2)
3 0.25ξ (1 + ξ) (1− η) 0.25 (1 + 2ξ) (1− η) −0.25ξ (1 + ξ) 0.25ξ (1 + ξ) (1 + η) 0.25 (1 + 2ξ) (1 + η) 0.25ξ (1 + ξ)
0.5ξ(
1− ξ2)
(1 + η) −ξ (1 + η) 0.5(
1− ξ2)
0.25ξ (−1 + ξ) (1 + η) 0.25 (−1 + 2ξ) (1 + η) 0.25ξ (−1 + ξ)
Page 193
♥tért♦♥ ♥♠érq
♦♥t♦♥s ♥tr♣♦t♦♥ t rs érés ♣♦r ♥ rré nE = 8
♥ ♣♦s A = 1− ξ2 t B = 1− η2
÷ i Ni Qξ Qη
−0.25 (1− ξ) (1− η) (1 + ξ + η) 0.25 (1− η) (2ξ + η) 0.25 (1− ξ) (ξ + 2η) −0.5A (1− η) − (1− η) ξ 0.5A3 −0.25 (1 + ξ) (1− η) (1− ξ + η) 0.25 (1− η) (2ξ − η) −0.25 (1 + ξ) (ξ − 2η) 0.5B (1 + ξ) 0.5B − (1 + ξ) η −0.25 (1 + ξ) (1 + η) (1− ξ − η) 0.25 (1 + η) (2ξ + η) 0.25 (1 + ξ) (ξ + 2η) −0.5A (1 + η) − (1 + η) ξ 0.25A −0.25 (1− ξ) (1 + η) (1 + ξ − η) 0.25 (1 + η) (2ξ − η) −0.25 (1− ξ) (ξ − 2η) −0.5B (1− ξ) −0.5B − (1− ξ) η
♦♥t♦♥s ♥tr♣♦t♦♥ t rs érés ♣♦r ♥ rré nE = 9
÷ i Ni Qξ Qη
−0.25 (1− ξ) (1− η) ξη 0.25 (1− 2ξ) (1− η) η 0.25 (1− ξ) (1− 2η) ξ
0.5(
ξ2 − 1)
(1− η) η (1− η) ξη(
ξ2 − 1)
(0.5− η)3 0.25 (1 + ξ) (η − 1) ξη 0.25 (1 + 2ξ) (η − 1) η 0.25 (1 + ξ) (2η − 1) ξ
0.5 (1 + ξ)(
1− η2)
ξ (0.5 + ξ)(
1− η2)
(1 + ξ) ξη 0.25 (1 + ξ) (1 + η) ξη 0.25 (1 + 2ξ) (1 + η) ξ 0.25 (1 + ξ) (1 + 2η) ξ
0.5(
1− ξ2)
(1 + η) η − (1 + η) ξη(
1− ξ2)
(0.5 + η) 0.25 (ξ − 1) (1 + η) ξη 0.25 (2ξ − 1) (1 + η) η 0.25 (ξ − 1) (1 + 2η) ξ
0.5 (ξ − 1)(
1− η2)
ξ (ξ − 0.5)(
1− η2)
(1− ξ) ξη
(
1− ξ2) (
1− η2)
2(
η2 − 1)
ξ 2(
ξ2 − 1)
η
Page 195
❬❪ ♥s ♥ ♣r♦♣rts ♦ r♦ ♦♥ts ♥ rt♦♥ ♥ t♣♥ss♦♥ t♦rs ♦ ♦♥ts
Pr♦♥s ♦ t ♥tr♥t♦♥ ②♠♣♦s♠ ♦♥ r♦ ♦♥ts ♦ttr♠ ♠
❬❪ ♥s ♠s♥ ♥ rt♦♥ ♥♠♥ts ♦ r♦ ♦♥t ♦r♠t♦♥ ♥tr♥t♦♥
♦r♥ ♦ ♦ ♥s ♥ ♥♥ ♥s ♦♠♥s strts
❬❪ r ♦ést♦♥ s ♦♠♣♦rt♠♥ts ♠é♥qs t ②rqs ♠sss r♦① s♠és
♣r s ss♠s ♦s rs ♥tr♦t♦♥ ♥ ♦♣ ②r♦♠é♥q ès ♦t♦rt
♥ é♦♦ ♥é♥r ♦ t♦♥ s P♦♥ts t ssés ♥
❬❪ rt♦♥ ♦ ♥ srstr♥t rtr♦♥ ♦r r♦ ♦♥ts ♥♥r♥ ♦♦②
❬❪ rt♦♥ ②♥♦t tr ♥ttt sr♣t♦♥ ♦ r♦ ♠sss ♦r t s♥ ♦ ♥♠t r♥
♦r♠♥t ♥ ♥tr♥t♦♥ ♦♥r♥ ♦♥ ②r♦ P♦r ♦♣♠♥t ♥ ♠②s ♠ ♥
♠ ♦ttr♠
❬❪ rt♦♥ ♥ ♥s ts ♦ ♦ s③ ♦♥ t sr ♦r ♦ ♦♥t r♦ ♥ Pr♦
♥s ♦ t r ❯ ②♠♣♦s♠ ♦♥ ♦ ♥s ❯ r② ♦r♥ ♠r♥ ♦
♥s ss♦t♦♥ st
❬❪ rt♦♥ ♥ ❱ ♦② sr str♥t ♦ r♦ ♦♥ts ♥ t♦r② ♥ ♣rt ♦ ♥s
♥ ♦ ♥♥r♥
❬❪ ②♥ r ♥ ❨♥ ♦rr tr♠♥s♦♥ s♦♥t♥♦s ♦r
♠t♦♥ ♥②ss ♥tr♥t♦♥ ♦r♥ ♦r ♠r t♦s ♥ ♦♠ ♥♥r♥
❬❪ r② ♥ r♦♥ ♦ ♥s ♦r ❯♥rr♦♥ ♥♥ ♣tr ①t♦♥ s♥
♥ ♦♥t r♦ ♣s ♣r♥r r t♦♥
❬❪ ❲ r② ❯♥♣s ♥♦t ♠♣r ♦ ♦ ♦♥♦♥
❬❪ ♦ sss r♦① ♦♠♦♥ést♦♥ t sst♦♥ ♥♠érqs Prsss ♦ s
♠♥s
❬❪ ❩ ♥ ♥r③ s♦t♦♥ ♦r ttrr r♦ stt② ♥②ss ♥tr♥t♦♥ ♦r♥
♦ ♦ ♥s ♥ ♥♥ ♥s
Page 196
❬❪ ❩❨ ♥ ❨ ❲♥ ❳ ❲♥ ♥ ❲♥ ♥ ♣♣r ♦♥ r ♥②ss ♠t♦ ♥
st②♠ ♠ t♦r Pr♦♥s ♦ t ♥tr♥t♦♥ ②♠♣♦s♠ ♦♥ ♦♣ tt② ♥②ss
♦♠ ♣s
❬❪ r♦r ♥ ❲ r② ♥♥ ♦ t ♥st strss ♥ ♦♥t st♥ss ♦♥ r♦
stt② ♥ ♥rr♦♥ ♦♣♥♥s ♥♥ ♦t♥ ♦r♥
❬❪ P ♥ st♥t ♠♥t ♠♦s ♦ r♦ ♥ s♦ strtr ♥ r♦♥ t♦r ♥②t
♥ ♦♠♣tt♦♥ ♠t♦s ♥ ♥♥r♥ r♦ ♠♥s ♥ ❯♥♥
❬❪ P ♥ ♦r♠t♦♥ ♦ tr♠♥s♦♥ st♥t ♠♥t ♠♦ ♣rt s♠ t♦ tt
♥ r♣rs♥t ♦♥tts ♥ s②st♠ ♦♠♣♦s ♦ ♠♥② ♣♦②r ♦s ♥tr♥t♦♥ ♦r♥ ♦
♦ ♥s ♥ ♥♥ ♥s ♦♠♥s strts
❬❪ ♠♦tt P♦r♦♣t ♥ r♥ P♦②r ♠♦♥ ♦ ♥rr♦♥ ①t♦♥s
♦♠♣trs ♥ ♦t♥s
❬❪ s♦rt ❲ stt② ♥ t r♦♦ ♦ rr t♥♥ P♥ str♥ ♦♥t♦♥ ♥tr♥t♦♥
♦r♥ ♦ ♦ ♥s ♥ ♥♥ ♥s ♦♠♥s strts
❬❪ ♥ s♦tè♥♠♥t s rs ♠♥èrs s ♣rsss ♦ s ♥s
❬❪ ♥ ♥ ♥ ♦ tstr ♥tr é♦s♥s ♥s Prs
❬❪ ♥ ts ①♣r♠♥t st② ♦ t t ♦ rtr s③ ♦♥
♦sr ♦r ♦ t♥s rtr ♥r ♥♦r♠ strss ♥tr♥t♦♥ ♦r♥ ♦ ♦ ♥s
♥ ♥♥ ♥s
❬❪ ♦♥③á③P♦ ♥é♥③í③ r③❱ ♥ ♦♥③á③③ ♥tt♦♥
♦ ♥♦♥♣②r♠ ② ♦s ♥ ♦♥t r♦ ♠sss ♦r t♥♥ ①t♦♥ ♦♠♣trs ♥ ♦t♥s
❬❪ ♦♦♠♥ ♥ ❲ ♦② t♦♥ ♦ s♣♣♦rt ♦r r ♦♥t r♦ s♥ t ②♦
♣r♥♣ Pr♦ r s②♠♣♦s♠ ♦♥ r♦ ♠♥s r② st ♣ ♣ ♥
②♦r ♠ ♥tr♥t♦♥ ♦r♥ ♦ ♦ ♥s ♥ ♥♥ ♥s ♦♠♥s
strts
❬❪ ♦♦♠♥ ♥ ♦ t♦r② ♥ ts ♣♣t♦♥ t♦ r♦ ♥♥r♥ ♥♦♦ s
❬❪ ♦♦♠♥ ♦ t♦r② ♥ ts ♣♣t♦♥ é♦t♥q
❬❪ ss♥ ♦ést♦♥ ♣r ♥ ♠ ♦♥t♥ ♦♠♣♦rt♠♥t ♠é♥q ♥ ♠ss r♦①
à ssrt♦♥ ♦r♥té P tss ♦ s ♥s Prs
❬❪ rt ♥ ♥tr♦t♦♥ t♦ st♥t ♠♥t ♠♦♥ ♦r r♦ ♥♥r♥ ♥ s♦♥ t♦r
♦♠♣r♥s r♦ ♥♥r♥ ♦♠ ♣s ①♦r Pr♠♦♥ Prss
❬❪ ❨ t③♦r ♥ ♦♦♠♥ ♣♣t♦♥ ♦ ♦ t♦r② ♥ t rt ② ♦ ♦♥♣t t♦
t♥♥♥ t♦ s st♦rs Pr♦ ♦♥r♥ ♦♥ rtr ♥ ♦♥t r♦ ♠sss t♦
♥ ♣ ♣ ♦r♥ r♥ r② ♦rt♦r② ♥tr♥t♦♥ ♦r♥ ♦
♦ ♥s ♥ ♥♥ ♥s ♦♠♥s strts
❬❪ ♦t ♥rt♥ ♦② r♦ ♠ss ♥tr♥t♦♥ ♦r♥ ♦ ♦ ♥s ♥ ♥♥
♥s ♦♠♥s strts
❬❪ t♠t ♦r② ♦ Pstt② ①♦r ss ①ts ♥ tP②s ♥s
❬❪ ♦ Prt r♦ ♥♥r♥ ♣tr trtr② ♦♥tr♦ ♥stt② ♥ t♥♥s
❬❪ ♦ ♥ ❲ r② ♦ s♦♣ ♥♥r♥ ♥sttt ♦ ♥♥ ♥ tr②
Page 197
❬❪ ts ♦♥st♥ r♦♣ ♥ ♠♥s♦♥ st♥t ♠♥t ♦ ♥♥ ♥ ♦r②
♥ r♦♥
❬❪ ts ♦♥st♥ r♦♣ ♥ ♠♥s♦♥ st♥t ♠♥t ♦ ♥♥ ♥ ❱r
t♦♥ Pr♦♠s ♥ ①♠♣ ♣♣t♦♥s
❬❪ ♥ ♦ s②st♠ ♦♥strt♦♥ ♦r tr♠♥s♦♥ srt ♠♥t ♠♦s ♦ rtr r♦s
♥tr♥t♦♥ ♦r♥ ♦ ♦ ♥s ♥ ♥♥ ♥s
❬❪ ♥ r ♦ t♥qs ♥s ♥ ♦tst♥♥ sss ♥ ♥♠r ♠♦♥ ♦r r♦
♠♥s ♥ r♦ ♥♥r♥ ♥tr♥t♦♥ ♦r♥ ♦ ♦ ♥s ♥ ♥♥ ♥s
❬❪ ♥ ♥ t♣♥ss♦♥ ♦♣♦♦ ♥tt♦♥ ♦ ♦ ss♠s ♦r ♦♥t r♦ ♠sss
♥tr♥t♦♥ ♦r♥ ♦ ♦ ♥s ♥ ♥♥ ♥s
❬❪ ♦r♥ ♦ést♦♥ tr♠♥s♦♥♥ ♣r ♥ ss♠ ♦s rs ♦♠♣♦rt♠♥t ♠é
♥q ♥ ♠ss r♦① à ssrt♦♥ ♥sé ♥ ♥②s stté ♦rs
♠♥rs ès ♦t♦rt ♥ ♥qs t ♦♥♦♠ ♥tr♣rs ♥èr ♦ ♥t♦♥
s♣érr s ♥s Prs
❬❪ ♦ ♦ s ♥s ♥② ♦ tt② ♥②ss ❱ ♦t tst♦♥ ♦ût
❬❪ ♦ ♦ s ♥s ♥② ❱ ♦t tst♦♥ ♦ût
❬❪ ♥ ♥ rrst tt ♥②ss ♦ t stt② ♦ tr♠♥s♦♥ ♦② s②st♠s r♦♥
①t♦♥s ♥ r♦ ♥tr♥t♦♥ ♦r♥ ♦ ♦ ♥s ♥ ♥♥ ♥s ♦♠♥s
strts
❬❪ ♥ rrst ♥ tr ♦♠tr ♥tt♦♥ ♦ tr♠♥s♦♥ r♦ ♦
s②st♠s s♥ t♦♣♦♦ t♥qs ♥tr♥t♦♥ ♦r♥ ♦ ♦ ♥s ♥ ♥♥ ♥s
♦♠♥s strts
❬❪ ❳ ♦♥ ♥ ♥ ♦r♠t♦♥s ♦ t tr♠♥s♦♥ s♦♥t♥♦s ♦r♠t♦♥ ♥②ss
♠t♦ t ♥ ♥
❬❪ ❩ ♥ ❩ ❩♥ tt② ♥②ss ♦ ♦ ♥ t srr♦♥♥ r♦ ♠ss ♦ r
♥rr♦♥ ①t♦♥ ♥♥♥ ♥ ❯♥rr♦♥ ♣ ♥♦♦②
❬❪ ②st♠t ♥tt♦♥ ♦ ♣♦②r r♦ ♦s t rtrr② ♦♥ts ♥ ts ♦♠♣trs
♥ ♦t♥s
❬❪ ♥ ♥ ♦♦♥ ♦ t♦♥ ♦ t s♦♥t♥♦s ♦r♠t♦♥ ♥
②ss ♠t♦ ♥tr♥t♦♥ ♦r♥ ♦r ♠r ♥ ♥②t t♦s ♥ ♦♠♥s
❬❪ ♦♥ t ♣r♦ts ♦ ♦♥t ♥trst♦♥s ♣r♦ r s s②♠♣♦s♠ ♦♥ r♦ ♠♥s
s♥t ♥ ♣ ♣ r♦ttr♠ ♠ ♥tr♥t♦♥ ♦r♥ ♦ ♦
♥s ♥ ♥♥ ♥s ♦♠♥s strts
❬❪ ♦♥ ♥ ♦♦♠♥ ♦tt♦♥ ♥♠ts ♥ qr♠ ♦ ♦s ♥ r♦ ♠ss
♥tr♥t♦♥ ♦r♥ ♦ ♦ ♥s ♥ ♥♥ ♥s ♦♠♥s strts
❬❪ ♦♥ ♥ ♦♦♠♥ ❱t♦r ♥②ss ♦ ②♦ r♦tt♦♥s ♦r♥ ♦ ♦t♥
♥♥r♥
❬❪ ♥é♥③í③ ♦♥③á③P♦ r③ ❱ ♦♥③á③③ ♥ P ♠ír③
②♥r♥ ♥②ss ♦ ttrr ♥ ♣♥tr ② ♦s ♥ ♥rr♦♥ ①t♦♥s ♦♠♣
trs ♥ ♦t♥s
Page 198
❬❪ ❱ rr♥♦t♦ ♦r♥ ♥ ♦r ❯s ♦ ♥ ♥trt srt rtr ♥t♦r
♦ ♦r st♦st stt② ♥②ss ♦ rtr r♦ ♠sss ♦ ♥s ♥ ♦ ♥♥r♥
❬❪ P P ♦♠♦s P ❱ ❨♦ttr ♥ ♦♥♦s tt② ♦ s②♠♠tr r♦♦ ♥r
♥♦♥s②♠♠tr ♦♥ ♦ ♥s ♥ ♦ ♥♥r♥ s
❬❪ PP ♦♠♦s ♦♥♦s ♥ s♦trs ②♠♠tr ♥ t r♦♦ ♦ t♥♥ ①t
♥ ♥ ♥♥ strss ♥tr♥t♦♥ ♦r♥ ♦ ♦ ♥s ♥ ♥♥ ♥s
❬❪ ♦r♦♦③ ♥ ❨r♠ ②r♦♣ ♠t♦ ♦r s♦♣ stt② ♥②ss
♥tr♥t♦♥ ♦r♥ ♦r ♠r ♥ ♥②t t♦s ♥ ♦♠♥s
❬❪ P♥t s t♥♥s ♣r ♠ét♦ ♦♥r♥♦♥♥♠♥t Prsss P
❬❪ P♦ts ♥ ❲ rt ♦tt♦♥ ♥♠ts ♦ r♦ ♦s t rtrr② ♦♠trs s
❬❪ Prst s♦♥t♥t② ♥②ss ♦r r♦ ♥♥r♥ ♣tr ♥②ss ♦ r ♦s ♣s
♣♠♥
❬❪ ❱ ts t♦♥ ♦ t st♥ss rtrsts ♦ r♦ ♦♥ts r♦♠ t ♦ ♦sr
t♦♥s t tr♦♣♠♥t ♣r♦ts P♦r ♥♦♦② ♥ ♥♥r♥ ♦r♠r② ②r♦t♥
♦♥strt♦♥
❬❪ ♦s♥ ♥ ❯❲ ♦r② ♥
❬❪ r ♠♥s♦♥ s♦♥t♥♦s ♦r♠t♦♥ ♥②ss ♥ s♦rt ♥ ♥ s
② t♦rs ♦ ♥s ♥ t t♦♥ ♥trst ♣r♦♥s ♦ t t ❯ ♦ ♥s
②♠♣♦s♠ ♣s ♠r♥ ♦ ♥s ss♦t♦♥
❬❪ ♥ ♦♦♠♥ tt② ♥②ss ♦ ♥♥t ♦ s②st♠s s♥ ♦ t♦r② ♥
r♦♥ t♦r ♥②t ♥ ♦♠♣tt♦♥ t♦s ♥ ♥♥r♥ ♦ ♥s ♣tr
♣s ♦r ♥ ♥ ❯♥♥
❬❪ ♦♥♦s P ♦♠♦s ♥ s♦trs tt② ♦ s②♠♠tr ♦r♠ ♥ t r♦♦ ♦
rr t♥♥ ♥♦♥②r♦stt ♥tr strss ♥tr♥t♦♥ ♦r♥ ♦ ♦ ♥s ♥
♥♥ ♥s
❬❪ t é♦s ♥ tstr ♥tr é♦s♥s ♦ s ♥s Prs
♥r
❬❪ P tr③ ♥ ♥rss♦♥ ♣♣t♦♥ ♦ t♦ t♦r s♥ t♦ s♥stt② ♥②ss ♦ ②♦
sttsts r♦♠ rtr ♦♠tr② ♥tr♥t♦♥ ♦r♥ ♦ ♦ ♥s ♥ ♥♥ ♥s
❬❪ r ♦ést♦♥ s ♠sss r♦① ssrés ♣r ♠ét♦ s éé♠♥ts st♥ts ès
♦t♦rt ♥ é♦♦ ♥é♥r ♦ ♥t♦♥ s P♦♥ts t ssés
❬❪ ♥ ❱P ♦t tst♦♥ ♥tr é♦s♥s ♥s Prs
❬❪ ♥ ❱P ♦t tst♦♥ ♥tr é♦s♥s ♥s Prs
❬❪ ♦♥♦♥ ♥r③t♦♥ ♦ ♠♦♥s ♥ ♦♦♠♥s t♦r ♥②ss ♦ ②♦ r♦tt♦♥s ♦r♥
♦ ♦t♥ ♥ ♦♥r♦♥♠♥t ♥♥r♥
❬❪ P ❲rrt♦♥ ❱t♦r stt② ♥②ss ♦ ♥ rtrr② ♣♦②r r♦ ♦ t ♥② ♥♠r ♦
r s ♥tr♥t♦♥ ♦r♥ ♦ ♦ ♥s ♥ ♥♥ ♥s ♦♠♥s strts
Page 199
❬❪ P ❲rrt♦♥ ♦♠♣tr ♣r♦r♠ ♦r r♦♥strt♥ ♦② r♦ ♦♠tr② ♥ ♥②③♥ s♥
♦ stt② ♦♠♣trs ♦s♥s
❬❪ P ❲rrt♦♥ ♠♣t♦♥s ♦ ②st♦♥ t♦♥ ♦r r♦ ♦t s♣♣♦rt ♥ ♦ t♦r② ♥tr♥t♦♥
♦r♥ ♦ ♦ ♥s ♥ ♥♥ ♥s ♦♠♥s strts
❬❪ P ❲rrt♦♥ ♦rt♦r② tst ♦ ♦♠♣tr ♠♦ ♦r ♦② r♦ ♥tr♥t♦♥ ♦r♥ ♦ ♦
♥s ♥ ♥♥ ♥s ♦♠♥s strts
❬❪ ❲♦♦ ♦♥srt♦♥ ♦ s♦♥r② ♦s ♥ ②♦ ♥②ss ♥tr♥t♦♥ ♦r♥ ♦ ♦
♥s ♥ ♥♥ ♥s ♥tr♥t♦♥ ②♠♣♦s♠
t ❯ ♦ ♥s ②♠♣♦s♠
❬❪ ❲♥s♦r ♥ ♦♠♣s♦♥ ① s♥ ♥ ♥②ss ♣ ♦r r♦ r♥♦r♠♥t ♥
Pr♦♥s ♦ t ♥tr♥t♦♥ ②♠♣♦s♠ ♦♥ ♦ ♣♣♦rt ♣s ♠ ♦ttr♠
❬❪ ❨r♠ ♥ ❱r ②r♦♣ ♠t♦ ♥tr♥t♦♥ ♦r♥ ♦r ♠r
♥ ♥②t t♦s ♥ ♦♠♥s
❬❪ ❨♥ ♥ ♥ ♥ ❱t♦♥ ♦ ♦ t♦r② ♥ tr♠♥s♦♥ s♦♥t♥♦s
♦r♠t♦♥ ♥②ss s stt② ♥②ss ♠t♦s ♥tr♥t♦♥ ♦r♥ ♦ ♦ ♥s
♥ ♥♥ ♥s
❬❪ ❨♦s♥ ♥ ❨♠ ♦♥t st♥ss ♥ t ♦r♠t♦♥ ♦r ♦ s♦♥t♥♦s r♦
♥tr♥t♦♥ ♦r♥ ♦ ♦ ♥s ♥ ♥♥ ♥s ♦♠♥s strts
rr②
❬❪ ❨♦ ♥ ♦♦♠♥ r♦♥ rt♦♥ r s ♦♥ ♣♦♥ ♦ t♦r② ♥tr♥t♦♥
♦r♥ ♦ ♦ ♥s ♥ ♥♥ ♥s ♦♠♥s strts
❬❪ ❨ ❨ ♥s ❳ ♥ ♥ ♥r③ ♣r♦r t♦ ♥t② tr♠♥s♦♥ r♦
♦s r♦♥ ♦♠♣① ①t♦♥s ♥tr♥t♦♥ ♦r♥ ♦r ♠r ♥ ♥②t t♦s ♥
♦♠♥s
❬❪ ❨ ❩♥ ❳♦ ♥ ♥ ♥ ♠t♦♦♦② ♦r ♦ ♥tt♦♥ ♥ ts ♣♣t♦♥ ♥
r s ♥rr♦♥ r♥ ♦♠♣① ♥♥♥ ♥ ❯♥rr♦♥ ♣ ♥♦♦②
Page 201
INSTITUT DES SCIENCES ET TECHNOLOGIES
Modélisation de la stabilité des blocs rocheux isolés sur la paroi desexcavations souterraines avec prise en compte des contraintes initiales et du
comportement non linéaire des jointsRésumé : L’instabilité des blocs situés à la surface des excavations souterraines est un problèmecourant dans les milieux rocheux fracturés. Comme les méthodes exactes prenant en compte tousles blocs et leurs interactions sont très lourdes, l’approche des Blocs Isolés est souvent adoptée. Elleconsiste à étudier chaque bloc en considérant qu’il est rigide et que le reste de la masse rocheuseest rigide et fixe. Néanmoins, aucune des méthodes existantes adoptant cette approche ne prenden compte de façon rigoureuse les contraintes initiales et le comportement des joints. Dans cettethèse, on développe une nouvelle méthode qui apporte des améliorations importantes aux méthodesconventionnelles de Blocs Isolés. Connaissant les contraintes initiales, on rend compte du processusd’excavation par le déchargement de la face libre du bloc. Les efforts sur les faces du bloc en contactavec la roche sont alors modifiés en respectant l’équilibre des forces et des moments, la loi de compor-tement des joints et le mouvement de corps solide du bloc. On aboutit ainsi à un système linéaire oùles seules inconnues sont les vecteurs translation et rotation du bloc. Deux modèles sont proposés :le premier considère un comportement linéaire élastique des joints et, par conséquent, la stabilité estévaluée a posteriori. Le deuxième modèle, plus pertinent, considère un comportement hyperboliquedes joints dans la direction normale et élastoplastique dans la direction tangentielle avec prise encompte de la dilatance. La méthode numérique adoptée pour la résolution du problème non linéaireest une intégration explicite dans le temps cinématique avec des pas de déchargement constants.La technique d’intégration surfacique utilisée permet d’étudier toute forme géométrique de bloc. Laméthode proposée a été validée puis comparée aux méthodes conventionnelles. Des études para-métriques ont montré l’influence des contraintes initiales et des propriétés mécaniques des joints surla stabilité. Le soutènement a été aussi intégré dans le code développé. Finalement, la nouvelle mé-thode a été appliquée pour l’étude d’un assemblage de blocs autour d’une excavation souterraine etcomparée à un modèle prenant en compte tous les blocs via la méthode des Eléments Distincts. Ellea été aussi utilisée pour restituer un cas réel de chute de blocs.
Mots clés : blocs isolés, excavation souterraine, roche rigide, contraintes initiales, joints, comporte-ment non linéaire, taux de déconfinement, méthode numérique, soutènement
Stability modeling of isolated rock blocks at the surface of undergroundexcavations taking into account initial stresses and non-linear joint behavior
Abstract: Failure of rock blocks located at the surface of underground excavations is a commonproblem in discontinuous rock masses. Since exact methods that take into account all blocks andtheir interactions are computationally hard, the Isolated Blocks method is usually adopted. It consistsin studying each block considering it to be rigid and the surrounding rock mass to be rigid and fixed.Nevertheless, none of the existing methods based on this approach takes into account initial stressesand joints behavior rigorously. In this thesis, a new method providing significant improvements toconventional Isolated Blocks methods is developed. Considering that initial stresses are known, theexcavation process is modeled by unloading the block’s free face. Stresses acting on the faces in con-tact with the rock mass are then resolved by taking into account force and moment balance equations,joints behavior and rigid body movement. This leads to a linear system where the block’s translationand rotation vectors are the only unknowns.Two models are proposed: the first one assumes linearelastic joint behavior, thus the stability is evaluated a posteriori. The second, more realistic model,assumes joint behavior to be hyperbolic in the normal direction and elastoplastic in the tangential di-rection, while also accouting for dilatancy. This non-linear problem is solved numerically by explicitintegration in the kinematic time with constant deconfining steps. Also, thanks to the surface inte-gration technique used, any block geometry can be studied. The method proposed is validated andcompared to other conventional methods. Parametric studies show the influence of initial stressesand the joints’ mechanical properties on the stability. Rock support modeling is also integrated into thecode. Finally, the new method is applied to study an assemblage of blocks around an undergroundexcavation and is compared to a model that takes into account all the blocks with the Distinct ElementMethod. It is also used to reproduce an actual block failure case.
Keywords: isolated blocks, underground excavation, rigid rock, initial stresses, joints, non-linearbehavior, deconfining rate, numerical method, support