Mod 8 Vol 2-Fisica Moderna

Ilhus . 2013

Fsica . Mdulo 8 . Volume 2

Ana Paula AndradeFSICA MODERNA

PARTE II

Universidade Estadual de Santa Cruz

ReitoraProf. Adlia Maria Carvalho de Melo Pinheiro

Vice-reitorProf. Evandro Sena Freire

Pr-reitor de GraduaoProf. Elias Lins Guimares

Diretor do Departamento de Cincias Exatas e TecnolgicasProf. Roberto Carlos Felcio

Ministrio daEducao

Ficha Catalogrfica

Projeto Grfico e Diagramao

Waldir Serafim Cotias Jnior

Joo Luiz Cardeal Craveiro

CapaSaul Edgardo Mendez Sanchez Filho

Impresso e acabamentoJM Grfica e Editora

Todos os direitos reservados EAD-UAB/UESCObra desenvolvida para os cursos de Educao a Distncia da Universidade Estadual de Santa Cruz - UESC (Ilhus-BA)

Campus Soane Nazar de Andrade - Rodovia Jorge Amado, Km 16 - CEP 45662-900 - Ilhus-Bahia.www.nead.uesc.br | [email protected] | (73) 3680.5458

Fsica | Mdulo 8 | Volume 2 - Fsica Moderna

1 edio | Novembro de 2013 | 225 exemplaresCopyright by EAD-UAB/UESC

Coordenao UAB UESCProf. Dr. Maridalva de Souza Penteado

Coordenao Adjunta UAB UESCProf. Dr. Marta Magda Dornelles

Coordenao do Curso de Licenciatura em Fsica (EAD)Prof. Dr. Fernando R. Tamariz Luna

Elaborao de Contedo

Profa. Dra. Ana Paula Andra

Instrucional DesignProf. Ma. Marileide dos Santos de Oliveira

Prof. Dr. Cludia Celeste Lima Costa Menezes

RevisoProf. Me. Roberto Santos de Carvalho

Coordenao Fluxo EditorialMe. Saul Edgardo Mendez Sanchez Filho

EAD . UAB|UESC

DISCIPLINAFSICA MODERNA

EMENTAIntroduo relatividade especial, primrdios da teoria quntica, modelos atmicos de Thomson, Rutherford e Bohr, as sries espectroscpicas, bases da mecnica quntica, equao de Schrdinger e aplicaes elementares.

Carga horria: 90 horas

Prof. Dra. Ana Paula Andrade

OS AUTORES

Ana Paula AndradeBacharel em Fsica pela UFMG 1995Mestre em Cincias e Tcnicas Nucleares pela UFMG - 1998Doutora em Astrofsica pelo INPE 2003 Professora Adjunta da UESC desde 2007

EMAIL: [email protected]

O termo fsica moderna refere-se ao conjunto de teorias

desenvolvidas no sculo XX, tendo por base a teoria da relatividade

e a teoria quntica. Aterminologia moderna foi introduzida como

forma de distinguir as novas teorias das teorias antecessoras,

referenciadas pelo termo fsica clssica. Pode-se dizer que esta

distino bastante oportuna, uma vez que os conceitos da fsica

moderna trouxeram novas concepes a respeito da natureza, da

descrio da matria e dos fenmenos observados, desafiando

o mtodo determinstico da fsica clssica. Como veremos neste

Mdulo, a partir das propostas apresentadas no incio do sculo

XX, alteraes profundas foramintroduzidas no entendimento de

conceitos como: espao, tempo, posio, trajetria, simultaneidade,

medida e causalidade. Ao contrrio do que se acreditava at

ento, tempo no uma grandeza absoluta, matria no tem

comportamento nico e imutvel, enquanto a dinmica de uma

partcula subatmica regida pelas leis da probabilidade! Estas

so apenas algumas das novas concepes introduzidas pela fsica

moderna e que fizeram emergir um novo cenrio cientfico no campo

da fsica.

Apesar das concepes e interpretaes inovadoras,

ambas as teorias, da relatividade e quntica, representam uma

generalizao da fsica clssica, sendo esta tratada como casos

especiais, no invalidando, de forma alguma, os conceitos j

estudados. Enquanto a teoria da relatividade estende o campo de

investigao da fsica clssica para a regio de altas velocidades

e altas energias, a fsica quntica estende o campo de investigao

para regies de pequenas dimenses. Inicialmente, pode-se pensar

que os fenmenos relativsticos ou qunticos sejam estranhos ou mesmo

bizarros, uma vez que esto muito alm da realidade detectada por

nossos sentidos. De fato, nossa percepo da natureza bastante

limitada, mas, ainda assim, no devemos nos furtar a discutir teorias

APRESENTAO DA DISCIPLINA

Elementos de Matemtica Avanada

e conceitos revelados por meio das evidncias experimentais. Este

foi o maior desafio vivido pelos fsicos do sculo XX, grandes nomes

como Albert Einstein, Max Planck e Erwin Schrdinger, dentre outros

que iremos discutir nas prximas Unidades. Esperamos que voc,

estudante, possa abrir a sua mente aos novos conceitos que sero

apresentados e, consequentemente, desfrutar desta nova janela de

conhecimento aberta pela fsica moderna.

Neste mdulo, iremos apresentar e discutir as importantes

descobertas dos sculos XIX e XX, bem como as bases da fsica

moderna sob a tica da relatividade restrita, a quantizao de

energia e os postulados da mecnica quntica, enfatizando conceitos

e aplicaes. Esperamos assim que, ao final deste mdulo, voc possa

compreender os argumentos que embasam a fsica moderna, que,

apesar de imperceptveis, permeiam a nossa vida cotidiana.

12 EADFsica

SUMRIO

UNIDADE 3 - FSICA MODERNA - A FSICA DOS TOMOS

1 Introduo .................................................................................. 19

2 Dalton e o tomo ........................................................................ 20

3 O modelo de Thomson .................................................................. 22

4 A descoberta de Rutherford .......................................................... 27

5 Rutherford e o ncleo atmico ....................................................... 29

6 Os espctros atmicos ................................................................. 37

7 As ideias de Bohr ......................................................................... 39

8 O modelo de Bohr ........................................................................ 43

9 AS sries espectroscpicas ........................................................... 54

10 Regras de quantizao ............................................................... 58

11 O modelo de Sommerfeld ............................................................ 63

RESUMINDO ................................................................................... 69

REFERNCIAS ................................................................................. 73

UNIDADE 4 - A MECNICA QUNTICA

1 Introduo ..................................................................................75

2 A interpretao de Schroedinger, Born e Heisenberg ......................... 78

3 A equao de Schroedinger ........................................................... 83

4 As funes de onda ...................................................................... 93

5 Os valores esperados da mecnica quntica ................................... 102

6 As autofunes .......................................................................... 115

7 Solues da equao de Schroedinger ........................................... 122

RESUMINDO ................................................................................. 130

REFERNCIAS ............................................................................... 132

UNIDADE 2 - LGEBRA LINEAR - ESPAOS VETORIAIS DE DIMENSO FINITA

UNIDADE 5 - APLICAES DA MECNICA QUNTICA

1 Introduo ................................................................................ 137

2 Potencial nulo e a partcula livre .................................................. 137

3 Potencial degrau e as possibilidades qunticas ............................... 143

4 Energia menor do que a altura do degrau ..................................... 145

5 Energia maior do que a altura do degrau ...................................... 154

6 Barreira de potencial e o efeito tnel ............................................ 161

7 Poo de potencial quadrado ......................................................... 167

8Poodepotencialquadradoinfinito ............................................... 172

9 O potencial do oscilador harmnico simples ................................... 178

10Consideraesfinais ................................................................. 181

RESUMINDO ................................................................................. 182

REFERNCIAS ............................................................................... 184

A FSICA DOS TOMOS

Nesta unidade sero discutidos a evoluo dos modelos atmicos e

os princpios que regem a estrutura dos tomos. Sero apresentados:

as consideraes de Dalton;

os modelos de: Thomson, Rutherford, Bohr e Sommerfeld;

os diagramas de nveis de energia;

as propriedades dos espectros atmicos;

Ao final desta etapa, o aluno ser capaz de:

compreender a estrutura atmica;

conhecer os nveis de energia;

identificar os tipos de espetros atmicos.

compreender as bases da teoria quntica.

Prof. Dra. Ana Paula Andrade

3unidade

1 INTRODUO

Desde os tempos da Grcia antiga que os intelectuais da poca, filsofos e pensadores, se questionavam a respeito da substncia bsica por detrs das transformaes ocorridas na natureza. A corrente dos atomistas, a exemplo de Demcrito e Leucipo (cerca de 400.a.c), acreditava que a essncia da natureza fosse material e imutvel. Assim, a matria seria constituda por uma infinidade de pequenas unidades indivisveis, eternas e imutveis, que denominaram tomos (palavra que em grego significa indivisvel). J Aristteles acreditava que toda a matria do universo seria composta por quatro substncias bsicas: terra, ar, fogo e gua, sendo todas elas matria contnua, ou seja, seria possvel dividi-las infinitamente em pores menores, sem nunca chegar a uma unidade limite. Esta dvida pairou sobre os cientistas durante muitos sculos, at que, em 1808, o qumico e fsico ingls, John Dalton, sugeriu que a maioria das observaes qumicas feitas no sculo XVIII poderia ser explicada simplesmente admitindo-se que a matria fosse constituda de tomos! No entanto, uma das mais importantes evidncias fsicas desta ideia foi dada apenas em 1905, por Albert Einstein, ao mostrar que o chamado movimento browniano (movimento aleatrio e irregular das partculas de poeira suspensas em lquido) poderia ser explicado como efeito dos tomos do lquido, colidindo com as partculas de poeira. Apesar desta constatao, pairavam ainda muitas dvidas sobre a indivisibilidade dos tomos.

A noo de que os tomos pudessem ter uma estrutura interna e que pudessem ser compostos de partculas menores s foi percebida ao longo do sculo XX. No intuito de elucidar a estrutura do tomo e identificar as verdadeiras partculas elementares, novos e importantes experimentos se seguiram no campo da fsica atmica, consolidando gradualmente os modelos de estrutura atmica. Embora Demcrito e Leucipo tenham suposto corretamente a existncia de tomos, a estrutura do tomo revelou-se muito mais sutil e intrigante. sabido que os tomos no so apenas pequenas esferas homogneas sem estrutura; mas, sim, constitudos de partculas menores, mais leves e mais fundamentais. Assim, o estudo da estrutura da matria nos leva a

Mdulo 4 I Volume 5 19UESC

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de


considerar a maneira pela qual estas partculas esto reunidas formando os chamados tomos e as propriedades oriundas desta organizao. Nesta Unidade, iremos discutir a evoluo dos modelos atmicos e os experimentos que embasaram suas concepes, bem como os princpios bsicos que regem a estrutura dos tomos.

2 DALTON E O TOMO

No incio do sculo XIX, muito se sabia a respeito das reaes qumicas e de suas leis bsicas, como a lei de conservao das massas e as leis das propores definidas. Era sabido que as reaes qumicas ocorriam e que as mesmas podiam ser descritas como resultado do intercmbio entre partculas em colises, resultando em novos compostos, com propriedades bem distintas. Baseado nestas observaes, em 1808, John Dalton, seguindo a tendncia atomista de muitos cientistas da antiguidade e tambm da idade mdia, props:

1. Toda matria composta de partculas fundamentais, que podemos chamar de tomos.

2. tomos so permanentes e indivisveis e no podem ser criados nem destrudos espontaneamente.

3. Todos os tomos de certo elemento so idnticos em todas as suas propriedades e os tomos de elementos diferentes tm propriedades diferentes.

4. Uma alterao qumica consiste em uma combinao, separao ou rearranjo de tomos.

5. Os compostos so constitudos de tomos de elementos diferentes em propores fixas.

Concebendo estas ideias simples, Dalton conseguiu fazer com que as observaes qumicas da poca parecessem razoveis, explicando porque a massa conservada durante uma reao qumica e a lei da composio definida. Dalton salientou que esta lei naturalmente verdade se cada composto caracterizado por propores fixas entre

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Imagem 3.1: John DaltonFonte: http://www.biography.

com/people/john-dalton-9265201?page=1

os nmeros de tomos dos seus elementos componentes diferentes. Assim, um composto de dixido de carbono seria constitudo de tomos de carbono e oxignio na proporo de 1:2, respectivamente, e, como as massas dos tomos de carbono e oxignio so fixas, segue-se que a composio do dixido de carbono em massa tambm deve ser fixa, conforme observado.

Por certo que a aceitao destas ideias no se deu sem a oposio de muitos fsicos e qumicos resistentes, no entanto contou com defesa incansvel de outros, como Ludwig Boltzmann, o mesmo cujos trabalhos contriburam significativamente para a tria cintica dos gases e a mecnica estatstica. Trs anos mais tarde, o qumico italiano Amedeo Avogrado, usando a mesma terminologia de Dalton, props: as partculas fundamentais de gases elementares no so necessariamente tomos, mas podem ser grupos de tomos reunidos para formar molculas. E ainda formulou o que ficou conhecido como Lei de Avogrado: sob as mesmas condies de temperatura e presso, volumes iguais do mesmo gs contm nmero igual de molculas.

Apesar do apelo emprico das consideraes de Dalton, duas questes importantes permaneciam sem resposta: como e do que so constitudos os tomos. Apenas no final do sculo XIX foram realizadas importantes descobertas cientficas que abriram novo caminho para a fsica atmica: as leis do eletromagnetismo de Maxwell, a identificao das diferentes frequncias do espectro eletromagntico, a descoberta dos raios catdicos e do efeito fotoeltrico, seguidos pela descoberta dos raios X e, finalmente, a descoberta dos eltrons, em 1897, por J.J. Thomson.

Thomson, pesquisador neozelands do famoso Laboratrio Cavendish, em Cambridge, estava tentando provar que os raios catdicos (descargas eltricas que


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de


voc sabia?

Quando Thomson desco-briu as tais partculas ne-gativas, em 1897, a unida-de de carga fundamental, o eltron, j era conhecida. Esta foi sugerida pelo fsico e qumico ingls, Michael Faraday, em 1833, quando este conduzia seus estu-dos sobre a eletrlise. Em 1874, o fsico irlands, Ge-orge Stoney, estimou pela primeira vez o valor de sua carga, cerca de 20 vezes menor do que o valor acei-to atualmente. Cinco anos mais tarde, 1879, o ingls William Crookes, ao reali-zar suas experincias com raios catdicos, descobriu que estes raios eram cons-titudos de partculas indi-visveis. O grande feito de J.J.Thomson foi mostrar que essas partculas eram carregadas negativamente e cuja carga era a unida-de fundamental, o eltron! Em 1937, seu filho, G.P. Thomson, ganhou o prmio Nobel de Fsica por mostrar que os eltrons tambm se comportam como ondas.

Imagem 3.2: J.J.ThomsonFonte: http://www.britannica.com/EBchecked/media/151581/Sir-JJ-

Thomson-1910

passam por um gs rarefeito dentro de uma ampola de vidro) eram eletricamente carregados e sups: como as cargas eltricas so afetadas por campos eltricos, os raios catdicos tambm deveriam ser, caso fossem constitudos de partculas eletricamente carregadas. Assim, combinando as deflexes causadas por campos eltricos e magnticos, Thomson conseguiu mostrar que os raios catdicos eram constitudos por partculas eltricas de carga negativa. E mais, Thomson conseguiu mostrar que vrios materiais diferentes exibiam esta mesma capacidade de emisso, ou seja, essas partculas deveriam fazer parte da matria! Como se no bastasse, Thomson tambm mostrou que essas partculas eram pelo menos mil vezes mais leves que o tomo de hidrognio. No dia 29 de abril de 1897, Thomson anunciou suas descobertas, um marco para a investigao dos constituintes fundamentais da matria. Por esta descoberta, Thomson recebeu o prmio Nobel em 1906 e foi batizado de o pai do eltron.

3 O MODELO DE THOMSON

Aps os trabalhos de Thomson, acumularam-se inmeras evidncias experimentais da existncia dos eltrons e da sua participao na estrutura atmica. Assim, no havia mais dvida, os eltrons deveriam ser constituintes bsicos dos tomos. Mas, se os eltrons faziam parte dos tomos e estes so eletricamente neutros, ento deveria haver tambm uma componente de carga positiva em nmero suficiente para neutralizar a matria. E, ainda, o fato de que a massa do eltron muito pequena se comparada com a de qualquer tomo, mesmo com a do mais leve, implica que a maior parte da massa do tomo deve estar associada componente de carga positiva. Essas consideraes levaram naturalmente

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ao problema de como seria a distribuio de cargas positivas e negativas dentro do tomo.

Em 1904, o japons Hantaro Nagaoka props um modelo de tomo segundo o planeta Saturno, no qual os eltrons com carga negativa estariam orbitando em torno de uma grande esfera de carga positiva, similar aos anis do planeta Saturno. Entretanto, de acordo com a teoria eletromagntica, os eltrons girando em crculos estariam constantemente acelerados em seu movimento e deveriam emitir continuamente energia. A energia emitida custa da energia mecnica dos eltrons faria com que estes se movessem em espiral, terminando por cair no ncleo atmico. E, assim, ter-se-ia um tomo que rapidamente sofreria um colapso para dimenses nucleares. E mais, durante o seu movimento espiralado, a velocidade angular do eltron cresceria continuamente e, com ela, cresceria tambm a frequncia da radiao emitida, o que, certamente, no era observado. Alm disso, o espectro contnuo da radiao que seria emitida durante o processo de colapso no era compatvel com os espectros discretos observados pela emisso dos tomos.

Tambm em 1904, J.J. Thomson props um modelo para descrio do tomo. Segundo Thomson, o tomo seria considerando como uma espcie de fluido com uma distribuio esfrica contnua de carga positiva, onde estariam incrustados os eltrons com carga negativa. Devido repulso mtua, os eltrons estariam uniformemente distribudos na esfera positiva com raio da ordem da grandeza conhecida de um tomo, cerca de 1010 .m Este modelo, conhecido como pudim de passas ilustrado na Imagem 3.1 Nesta configurao, os eltrons, tais quais pequenas passas decorando um pudim, seriam atrados ao centro da distribuio de cargas positivas e repelidos entre si pela lei de Coulomb. O estado estvel do tomo seria atingido quando as duas foras, de atrao e repulso, se equilibrassem.


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Imagem 3.1: Modelo atmico de Thomson uma esfera de carga positiva entremeada com eltrons.Fonte:http://rabfis15.uco.es/Modelos%20at%C3%B3micos%20.NET/modelos/ModThomson.aspx

Entretanto o modelo de Thomson tinha como hiptese inicial a estabilidade da configurao dos eltrons, sendo que estes poderiam oscilar, mas sempre em torno de suas posies de equilbrio, em caso de excitao do tomo (por exemplo, em virtude de altas temperaturas no material). No entanto a teoria clssica do eletromagnetismo no permite a existncia de uma configurao estvel num sistema de partculas carregadas se a nica interao entre elas de carter eletromagntico. Mas, ento, como justificar a estabilidade do tomo no modelo de Thomson?

Outro problema apontado para este modelo que a teoria eletromagntica prev que uma partcula com carga eltrica em movimento acelerado, como um eltron vibrando, deve emitir radiao eletromagntica, e, segundo a teoria, os modos normais de vibrao das oscilaes dos eltrons deveriam ter as mesmas frequncias que os espectros atmicos observados. No entanto faltava uma concordncia quantitativa no modelo de Thomson, ou seja, os espectros de emisso observados no concordavam com a previso terica para o modelo. Deste modo, o modelo de Thomson era capaz de permitir a emisso da radiao, mas a frequncia da radiao emitida no concordava com os espectros observados, mostrando-se ineficaz na explicao das propriedades atmicas.

E assim, como no mundo da fsica, somente as verificaes

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experimentais podem comprovar se um modelo est de acordo com as leis da natureza ou no, era imprescindvel comparar a previso terica com as observaes. A inadequao conclusiva do modelo de Thomson foi obtida sete anos mais tarde, em 1911, com a experincia de um de seus ex-alunos, o tambm neozelands, Ernest Rutherford.

Exerccio Resolvido: Suponha a existncia de um eltron de carga e dentro de uma regio esfrica com densidade de carga positiva uniforme , tal qual o modelo do tomo de Thomson.

)a Mostre que seu movimento, se ele tem uma energia cintica, pode ser de oscilaes harmnicas simples em torno do centro da esfera.

Soluo: Vamos considerar um eltron a uma distncia a do centro de uma esfera, sendo a menor que o raio da esfera. Da lei de Gauss, sabemos que podemos calcular a fora que atua sobre o eltron, usando a lei de Coulomb:

32

0 0

1 44 3 3

e eaF aa

= =

onde ( ) 343 a corresponde carga positiva contida na esfera de raio a . Da lei de Gauss, sabemos que esta a distribuio de carga responsvel pela fora eltrica no interior da esfera de raio a .

Podemos expressar a relao acima da forma: ,F ka= onde k uma constante que vale:

0,3

ek = tal qual uma fora elstica! Portanto se o eltron, inicialmente em repouso em ,a deixado livre, sem velocidade inicial, essa fora ir produzir um movimento harmnico simples ao longo do dimetro da esfera, visto que a fora est sempre direcionada para o centro e tem mdulo proporcional a distncia ao centro.


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O parmetro co-mumente utilizado para representar a densidade de carga, ou seja, a razo carga/volume. J a lei de Gauss uma das equa-es de Maxwell e relacio-na o fluxo eltrico atravs de uma superfcie fecha-da com a carga eltrica contida no interior dessa superfcie. Sua formula-o ::

)b Suponha que a carga positiva total tenha um valor igual em mdulo carga de um eltron, de forma que a carga total do tomo seja zero, e, suponhamos que esteja distribuda sobre uma esfera de raio ' 101, 10 .r x m= Ache a constante da fora k e a frequncia do movimento do eltron.

Soluo: uma vez que a densidade de carga uniforme, podemos considerar:

34 '3

e

r

=

Substituindo na expresso de k , tem-se:

2

330 0 0

43 3 4 ''3

e e e ekrr

= = =

Substituindo os valores, lembrando que: 9 2

0

1 9,0 10 / ,4 x Nm C = tem-se:

( )29 2 19 210 3

9,0 10 / . 1,6 102,3 10 /

(1,0 10 )x Nm C x C

k x N mx m

= =

A frequncia do movimento harmnico sim-ples ento:

215 1

311 1 2,3 10 / 2,3 10

2 2 9,11 10k x N m x sm x kg

= = =

lembrete

26 EADFsica

Assim, a radiao emitida por este eltron do tomo de Thomson ter esta frequncia, analogamente radiao emitida por eltrons oscilando em uma antena. O comprimento de onda correspondente ser:

87

153,0 10 / 1,2 10 1200

2,5 10c x m s x m

x s

= = = =

correspondente regio do ultravioleta do espectro eletromagntico. Portanto esta a radiao emitida por um tomo segundo o modelo de Thomson. Por certo que o comprimento de onda da radiao pode ser ajustado s observaes, variando-se o raio de posio do eltron. Entretanto, segundo este modelo, somente uma frequncia de radiao seria emitida, o que j se sabia, desde o final do sculo XIX, no compatvel com as linhas espectrais observadas.

4 A DESCOBERTA DE RUTHERFORD

Rutherford foi um cientista fortemente ligado aos estudos relativos ao decaimento dos elementos qumicos e s substncias radioativas. Foi o responsvel pela descoberta dos raios e em 1899, tendo recebido o prmio Nobel em 1908. Trabalhando em Cambridge, conheceu o fsico alemo, Hans Geiger, o qual estava realizando um experimento com o bombardeio de um feixe bem colimado de partculas em finas folhas de ouro e alumnio. Os resultados obtidos por Geiger e interpretados por Rutherford culminaram em uma das mais importantes descobertas da fsica atmica. Vejamos em detalhes a experincia realizada.


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voc sabia?

Figura 3.2 Arranjo de uma experincia de espalhamento de partculas .

A Figura 3.2 ilustra um arranjo tpico da experi-ncia com partculas realizado pelos cientistas: Geiger, Marsden e Rutherford. Partculas so emitidas em alta velocidade por um processo de decaimento espontneo em vrios materiais radioativos. Uma vez colimadas por um par de diafragmas, as partculas formam um feixe paralelo estreito e, por sua dimenso, ideal para investigar a estrutura atmica dos materiais. O feixe incide sobre uma folha de uma substncia, normalmente um metal, suficientemente fina de modo que as partculas possam atravess-la completamente com apenas uma pequena diminuio no mdulo da velocidade. Entretanto, ao atravessar a folha, as partculas deveriam encontram os tomos, com cargas positivas e negativas, e, consequente-mente, sofrer o processo de deflexo em virtude da fora coulombiana. Como a deflexo da partcula ao atraves-sar um nico tomo depende da sua trajetria atravs do tomo, a deflexo total do feixe ao atravessar toda a fo-lha deve ser distinta para diferentes partculas do feixe. Consequentemente, o feixe emerge da folha no como um feixe paralelo, mas como um feixe divergente. Uma anlise quantitativa desta divergncia pode ser feita ao se medir o nmero de partculas espalhadas em cada direo angular. As partculas espalhadas eram ento detectadas por um microscpio com uma tela de Sulfeto de Zinco (ZnS). Esta tela tem a capacidade de cintilar no local em que incide uma partcula , permitindo ao microscpio

Decaimentos radioativos so aqueles processos nos quais h um rearranjo da configurao dos ncle-os atmicos, podendo ser espontneos ou induzi-dos. Ocorrem quando um ncleo radioativo emite uma partcula, se trans-formado em um nucldeo diferente. O decaimento mais simples corresponde emisso de raios gama (fton de alta energia), e representa uma transio nuclear de um estado ex-citado para um estado de mais baixa energia. Ana-logamente transio dos eltrons entre os diferen-tes nveis orbitais. Outros tipos de decaimento nu-clear possveis so aque-les em que h emisso de uma partcula alfa (ncle-os de hlio, ou seja, dois prtons e dois nutrons), ou uma partcula beta, (estas podem ser um eltron ou um psitron). Trs grandes pesquisado-res que se dedicaram ao estudo e identificao dos decaimentos radioativos foram Marie Curie, seu marido Pierre Curie e Hen-ri Becquerel. Os trs divi-diram o Prmio Nobel de Fsica no ano de 1903. Em 1911, Marie Curie recebeu o segundo Prmio Nobel de sua carreira, desta vez o de qumica!

Imagem 3.3: Marie CurieFonte: http://www.nobelprize.org/nobel_prizes/chemistry/laureates/1911/index.html

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identificar individualmente a cintilao de cada partcula .

Devido ao fato de os eltrons terem uma massa muito pequena quando comparada com a massa da partcula , eles podem em qualquer caso produzir apenas pequenas deflexes nas partculas . No entanto, para o caso especfico do modelo de Thomson, devido ao fato da carga positiva estar distribuda sobre todo o volume do tomo de raio 10 10 ,r m ela no pode causar uma repulso coulombiana intensa o suficiente para produzir grande deflexo na partcula . Rutherford e seus parceiros Geiger e Marsden testaram estas previses.

Os resultados experimentais mostraram que o nmero de partculas desviadas com ngulos de 90 ou mais era muito maior do que o esperado pelo modelo de Thomson. A existncia de uma probabilidade pequena, porm no nula, para o espalhamento em grandes ngulos, no poderia absolutamente ser explicada em termos do espelhamento atmico segundo o modelo. Um nmero significativo de partculas foi espalhado em ngulos da ordem de 180 . Segundo palavras do prprio Rutherford: foi praticamente o acontecimento mais inacreditvel que aconteceu em minha vida. Esse resultado fez com que Rutherford propusesse, em 1911, um novo modelo para a estrutura atmica.

5 RUTHERFORD E O NCLEO ATMICO

Rutherford mostrou, em 1911, que os dados do experimento com partculas , realizado em colaborao com Geiger e Marsden, eram consistentes com um modelo atmico, no qual a carga positiva estaria concentrada em uma pequena regio central, chamada ncleo. Essa regio continha, alm da carga positiva, praticamente toda a massa do tomo. Os eltrons, segundo este modelo,

Imagem 3.4: Ernest RutherfordFonte: http://www.nobelprize.org/nobel_prizes/chemistry/

laureates/1908/rutherford-bio.html


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giravam ao redor do ncleo, da mesma forma que os planetas giram em torno do Sol, s que, neste caso, governados pela interao elestrosttica e no gravitacional! Assim, tomando um referencial fixo no ncleo (com carga Ze ), para um eltron (carga e ) em rbita circular estvel (raio R ), a fora centrpeta deve ser igual fora eletrosttica, ou seja:

2

20

1 ( ) ,4

mv e ZeR R

=

(3.1)

e assim:2

2

04Zev

mR=

(3.2)

Qualquer rbita para a qual esta equao fosse satisfeita seria uma rbita estvel para o eltron. Contudo este modelo encontrava um srio obstculo para ser aceito, o mesmo encontrado pelo modelo do japons Nagaoka. Eltrons girando em crculos, constantemente acelerados, deveriam emitir energia continuamente, terminando por cair no ncleo atmico. Mas, ento, qual foi a grande contribuio do trabalho de Rutherford? Foi justamente a constatao da existncia de um minsculo ncleo atmico!

Rutherford considerou a hiptese da existncia de um ncleo atmico, cujas dimenses fossem suficientemente pequenas, de modo que uma partcula que passasse bem perto deste ncleo pudesse ser espalhada, devido repulso coulombiana, em um grande ngulo ao atravessar um nico tomo. Rutherford fez os clculos detalhados para a distribuio angular que era observada e chegou dimenso do ncleo atmico. Se, ao invs de considerar um raio da ordem de 1010 m para a distribuio das cargas positivas, fosse considerado um raio da ordem de 1410 ,m o ngulo de espalhamento das partculas seria compatvel com o ngulo observado no experimento, cerca de 1 .rad Portanto, segundo o modelo de Rutherford, o espalhamento observado no era devido aos eltrons atmicos, mas, sim, devido repulso coulombiana que agia entre as partculas , carregadas positivamente, e o ncleo, tambm, positivo. Os clculos consideraram tambm apenas

30 EADFsica

o espalhamento por tomos pesados, para que pudesse ser utilizada a hiptese de que a massa do ncleo muito grande quando comparada massa da partcula , de modo que o ncleo no recuasse apreciavelmente durante o processo de espalhamento.

Vejamos a anlise realizada por Rutherford para justificar seu modelo e a existncia do ncleo atmico. A Figura 3.3 ilustra o espalhamento de uma partcula , de carga ze+ e massa ,M ao passar perto de um ncleo de carga ,Ze+ enquanto este est fixo na origem do sistema de coordenadas. Estando a partcula muito afastada do ncleo, a fora coulombiana que atua sobre ela praticamente desprezvel e, assim, a partcula se aproxima do ncleo seguindo uma trajetria em linha reta e com velocidade constante que chamaremos de .v A posio da partcula em relao ao ncleo especificada pela coordenada radial r e o ngulo polar

, sendo este medido a partir de um eixo paralelo linha da trajetria inicial. A distncia perpendicular desse eixo linha do movimento inicial denominada parmetro de impacto .b O ngulo de espalhamento o ngulo entre o eixo e uma linha que passa pela origem do sistema e paralela linha do movimento final, sendo b a distncia perpendicular entre essas duas linhas (vide Figura 3.2).

Figura 3.3 Trajetria hiperblica estimada por Rutherford nas coordenadas polares ,r e os parmetros b e .D Sendo o ngulo de espalhamento e R a distncia de maior aproximao. A carga pontual Ze est localizada sobre um foco da hiprbole.

A trajetria percorrida pela partcula pode

Imagem 3.5: Modelo do tomo de Rutherford - os eltrons, que possuem carga negativa, orbitam em torno de um grande ncleo

carregado positivamente.Fonte: http://joaonunocfq.blogspot.com.br/2010/12/modelos-atomicos.

html

voc sabia?

Se inflssemos um ncleo atmico at que ele atin-gisse o tamanho de uma bola de tnis, os eltrons seriam encontrados a cer-ca de 200m de distncia! Em suma, o modelo de Rutherford prev o movi-mento dos eltrons orbi-tando o ncleo a grandes distncias, fazendo com que o tomo seja basica-mente um espao vazio!


lgebra Linear

1U

nida

de


obtida diretamente a partir dos clculos, segundo a mecnica clssica, para a fora de repulso coulombiana, sendo:

22 2

2 204

zZe d r dMr dt dt

=

(3.3)

O termo esquerda na expresso acima corresponde aplicao da fora de Coulomb entre a partcula e o ncleo, enquanto o termo direita corresponde acelerao radial devida variao no mdulo de ,r

e o termo da derivada em corresponde acelerao centrpeta devida variao na direo de ,r

estando tambm apontada na direo radial. Para obter a trajetria da partcula, necessrio resolver a equao acima, encontrando r em funo de . Perfazendo este clculo e aplicando as condies iniciais: 0, quando r e ,dr v

dt

quando ,r encontra-se a soluo final:

( )21 1 1 ,

2Dsen cos

r b b = +

(3.4)

Sendo D uma constante definida por:

2

20

14

2

zZeDMv

(3.5)

A constante D equivalente distncia de maior aproximao ao ncleo em uma coliso frontal (equivalente a 0b = ). Neste ponto, a partcula pararia e inverteria a direo de seu movimento. A constante D facilmente obtida quando igualamos a energia potencial energia cintica da partcula, ou seja:

2 2

0

14 2

zZe MvD

=

(3.6)

32 EADFsica

Repare que a soluo obtida em (3.4) corresponde equao de uma hiprbole em coordenadas polares, ou seja, a trajetria da partcula hiperblica. O ngulo de espalhamento obtido a partir de (3.4), achando o valor de para ,r quando . = Desta forma, obtm-se:

22

bcotgD

=

(3.7)

Da expresso acima, vemos que, no caso do espalhamento de uma partcula por um nico ncleo, se o parmetro de impacto estiver entre b e ,b db+ ento o ngulo de espalhamento estar entre e ,d + sendo a relao entre b e dada por (3.7). Esta situao ilustrada na Figura 3.4. Para encontrar o nmero de partculas ,

( ) ,N d espalhadas entre e d+ ao atravessar toda a folha necessrio calcular o nmero das que incidem sobre o ncleo na folha, como parmetro de impacto entre b e .b db+ O resultado deste clculo dado por:

( ) ( )2 22

2 40

1 2 4 2

2

zZe I t sen dN dMv sen

=

(3.8)

Figura 3.4 A relao entre o parmetro de impacto b e o ngulo de espalhamento . medida que b cresce (maior afastamento do ncleo), o ngulo de espalhamento decresce.


lgebra Linear

1U

nida

de


A expresso acima (3.8) denominada frmula de espalhamento de Rutherford, onde I o nmero de partculas incidentes sobre a folha de espessura ,t cm contendo ncleos por centmetro cbico.

Perfazendo esta mesma anlise para o modelo de Thomson obtm-se uma expresso da forma:

( )2

2

2

2 IN d e d

=

(3.9)

Imagem 3.6: Experincia de Rutherford vista esquemtica dos tomos que constituem a folha de ouro que funciona como uma rede de difrao.

Fonte: http://estruturadoatomolic2013iqunesp.blogspot.com.br/p/home.html

Por meio de uma simples comparao entre as expresses (3.8) e (3.9) nota-se que a previso para o modelo de Rutherford apresenta uma dependncia bem mais complexa que o modelo de Thomson, haja vista que na expresso (3.8) aparecem fatores como a densidade e espessura da placa, nmero atmico e a energia cintica das partculas

. Nota-se ainda que o espalhamento em ngulos grandes muito mais

34 EADFsica

provvel em um nico espalhamento por um ncleo atmico do que em um espalhamento mltiplo em pequenos ngulos em um tomo do tipo pudim de passas.

Aps anlise apresentada por Rutherford, Geiger e Marsden fizeram exaustivos testes experimentais a respeito do ngulo de espalhamento das partculas e terminaram por concluir que a teoria do ncleo atmico e o modelo de Rutherford eram compatveis com os resultados encontrados. No entanto, apesar do sucesso alcanado pelo modelo de Rutherford ao explicar o experimento com as partculas , este novo modelo deixou espao para outro questionamento: como explicar a estabilidade nuclear? Se no centro do tomo h um ncleo cuja massa aproximadamente a massa do tomo, e cuja carga igual ao nmero atmico do elemento multiplicado por ;e e em torno de ncleo existem Z eltrons, de modo a neutralizar o tomo, como justificar a estabilidade deste sistema? Na tentativa de responder esta questo, o fsico dinamarqus, Niels Bohr, props em 1913 uma nova formulao para o modelo atmico, esta nova foi baseada na experincia de Rutherford e na interpretao dos espectros atmicos.

Exerccio resolvido:1. Mostre que, para a experincia com as partculas descrita

na Figura 3.3, v v= e .b b=

Soluo: a fora que atua sobre a partcula do tipo coulombiana e est sempre dirigida radialmente. Assim, o momento angular da partcula em torno da origem tem um valor constante,

.L Ou seja, o momento angular inicial igual ao momento angular final, de modo que:

' 'Mvb Mv b L= =

Assim, ' 'vb v b=

E ainda, certo que a energia cintica da partcula no permanece constante durante o espalhamento, mas a energia cintica inicial deve


lgebra Linear

1U

nida

de


ser igual energia cintica final, uma vez que o ncleo permanece estacionrio. Portanto:

2 21 1 '2 2

Mv Mv=

Ento, v v= e, da equao anterior, ,b b= como se queria demonstrar.

2. Calcule ,R a distncia de maior aproximao da partcula ao centro do ncleo, ou se, a origem do sistema ilustrado na Figura 3.3.

Soluo: a coordenada radial r ser igual a R quando o n-gulo polar for ( ) / 2. = Substituindo este ngulo na expresso (3.4), obtm-se:

21 1 1

2 2 2Dsen cos

R b b = +

2 2 2 2D Db cotg tg = =

Substituindo a expresso para o parmetro b na primeira expresso e perfazendo as devidas manipulaes algbricas, tem-se:

112

2

DRcos

= +

36 EADFsica

Por fim:

( )11

22

DRsen

= +

Note que, quando , o que corresponde a 0,b = isso , coliso frontal, ,R D a distncia de maior aproximao. Tambm quando 0, o que corresponde a no haver nenhuma deflexo, tanto b quanto R tendem a infinito, como seria esperado. Estas previses so confirmadas experimentalmente.

6 OS ESPECTROS ATMICOS

No auge das investigaes a respeito da estrutura atmica, a capacidade de emisso trmica dos materiais j era bem conhecida. Ao contrrio de um espectro contnuo de radiao eletromagntica emitida, por exemplo, pela superfcie de slidos a altas temperaturas, a radiao emitida por tomos livres est concentrada em um conjunto de comprimentos de onda discretos, denominadas linhas.

Ainda no incio do sculo XIX, Joseph Fraunhoffer havia descoberto que o espectro de emisso solar exibia uma srie de linhas escuras superpostas s cores do arco-ris. Anos mais tarde, por volta de 1853, as linhas espectrais do hidrognio foram identificadas pela primeira vez pelo fsico sueco Anders Angstrom. No entanto, Angstrom no conseguiu identificar as frequncias da radiao detectada. A identificao das quatro linhas brilhantes na regio visvel foi possvel apenas em 1860, por meio da tcnica de espectroscopia analtica, proposta pelos alemes Gustav Kirchhoff e Robert Bunsen. Estes desenvolveram uma metodologia simples e eficaz para anlise espectral: fazer a luz emitida por um elemento qumico aquecido passar por um


lgebra Linear

1U

nida

de


prisma, onde a luz decomposta e posteriormente impressa em uma chapa fotogrfica, resultando no registro das linhas espectrais em foto. Por meio desta tcnica, os parceiros alemes conseguiram identificar as linhas espectrais de diversos elementos qumicos e foram os primeiros a apontar a relao unvoca entre os elementos e seus respectivos espectros. Cada tipo de tomo tem seu espectro caracterstico prprio, isto , um conjunto de comprimentos de onda nos quais as linhas do espectro so encontradas. Na prtica, a tcnica de espectroscopia analtica veio se juntar tcnica de anlise qumica, reunindo esforos para identificao dos diferentes elementos qumicos e a obteno de medidas precisas de suas respectivas linhas espectrais.

Os trabalhos de Kirchhoff e Bunsen revelaram ainda a capacidade dos materiais em emitir e absorver luz em especficos comprimentos de onda, definindo um padro prprio de radiao, sendo este denominado o seu espectro, um trao caracterstico do elemento, como se fosse sua prpria impresso digital. Em 1861, aps uma anlise detalhada do espectro solar, Kirchhoff identificou linhas caractersticas do espectro de absoro de vrios elementos qumicos como: sdio, clcio, magnsio e ferro. sabido que todos estes elementos encontram-se nas camadas mais externas (e mais frias) do Sol, e so os responsveis pela absoro da luz do espectro contnuo, resultando nas linhas escuras observadas originalmente por Fraunhoffer.

Assim, seguro afirmar que cada tipo de tomo tem o seu espectro que lhe caracterstico e para cada tomo especfico possvel identificar os espectros de emisso e de absoro, sendo:

O conjunto de raias ou o conjunto das radiaes eletromagnticas monocromticas emitidas e suas correspondentes intensidades definem o espectro de emisso do tipo de tomo.

O conjunto discreto de raias escuras ou o conjunto das radiaes monocromticas que esto faltando de um espectro contnuo, justamente porque foram absorvidas pelo material, definem o espectro de absoro do tomo.

38 EADFsica

Na segunda metade do sculo XIX, diversos trabalhos foram realizados na investigao dos espectros estelares, revelando uma relao direta entre a qumica terrestre e estelar. De fato, estrelas so formadas pelos mesmos elementos qumicos que encontramos na Terra. Mas to instigante quanto esta descoberta era o entendimento do processo de emisso espectral. Por que objetos aquecidos emitem luz? Por que elementos qumicos diferentes produzem espectros diferentes? Qual seria a relao entre o calor e a luz emitida?

Por certo que os espectros atmicos deveriam ser explicados por qualquer modelo que se propusesse a explicar a estrutura atmica. Mas esta no era a realidade da poca e estas questes intrigaram toda a comunidade cientfica durante dcadas, at que, em 1911, surgiu no cenrio cientfico mais um fsico contestador do mundo clssico, seu nome: Niels Bohr.

7 AS IDIAS DE BOHR

O fsico dinamarqus Niels Bohr chegou a Manchester em 1911, aos 26 anos, para trabalhar com Ernest Rutherford. Bohr estava convencido da existncia do ncleo atmico, acreditava que o modelo de Rutherfor estivesse no caminho certo, mas tambm sentia que mudanas drsticas eram necessrias fsica clssica para explicar a estabilidade atmica. Enquanto Rutherford tentava encontrar uma explicao para a estabilidade do tomo e Thomson tentava, sem sucesso, ajustar os espectros atmicos observados ao seu modelo, Bohr tentava encontrar uma nova fsica. A aplicao de conceitos da mecnica newtoniana, empregada por Rutherford, para descrever as rbitas eletrnicas o incomodavam profundamente, bem como a hiptese

Imagem 3.7: Niels BohrFonte: http://www.nobelprize.

org/nobel_prizes/physics/laureates/1922/bohr-bio.html


lgebra Linear

1U

nida

de


de emisso de radiao prevista pelo eletromagnetismo clssico. Bohr questionava o tratamento clssico aplicado aos eltrons. Para ele, o eletromagnetismo clssico condenava o tomo instabilidade! Por outro lado, o jovem Bohr argumentava que, de acordo com os trabalhos de Planck e Einstein, os processos que envolviam absoro e emisso de energia no podiam mais ser tratados como processos contnuos, mas sim discretizados em pacotes de energia. Ento, Bohr tentou aplicar o conceito de quantizao de energia ao modelo de Rutherford por meio da definio de uma srie de rbitas possveis para o eltron e acabou por desenvolver um modelo que apresentava concordncia quantitativa precisa com alguns dos dados espectroscpicos.

O modelo do tomo de Bohr foi apresentado na forma de quatro postulados, vejamos.

Primeiro Postulado:Um eltron em um tomo se move em uma rbita circular

em torno do ncleo, sob influncia da atrao coulombiana; entre o eltron e o ncleo, obedecendo s leis da mecnica clssica.

Segundo Postulado:Em vez da infinidade de rbitas que seriam possveis segundo

a mecnica clssica, um eltron s pode mover-se em uma rbita na qual seu momento angular orbital L um mltiplo inteiro de (a constante de Planck dividida por 2 ).

Terceiro Postulado:Apesar de estar constantemente acelerado, um eltron

que se move em uma dessas rbitas possveis no emite radiao eletromagntica. Portanto sua energia total E permanece constante.

40 EADFsica

Quarto Postulado: emitida radiao eletromagntica se um eltron, que se

move inicialmente sobre uma rbita de energia total ,iE muda seu movimento descontinuamente de forma a se mover em uma rbita de energia .fE A frequncia da radiao emitida igual quantidade ( )i fE E dividida pela constante de Planck .h

As ideias de Bohr misturam conceitos clssicos e no clssicos. No primeiro postulado, Bohr considera a existncia do ncleo atmico, tal qual indicao do experimento de Rutherford e assegura a validade da mecnica clssica. J o segundo postulado introduz o conceito no clssico de quantizao, mas, desta vez, a quantizao para o momento angular orbital de um eltron se movendo sob influncia de uma fora coulombiana, ou seja, inversamente proporcional ao quadrado da distncia, o que implica em:

1, 2,3L n n= =

(3.10)

Note que o critrio de quantizao sugerido por Bohr para o momento angular do eltron diferente da quantizao de Planck para a energia de uma partcula, .E nh= O terceiro postulado resolve o problema de emisso de radiao eletromagntica para um eltron que se move em uma rbita circular, uma previso da teoria clssica do eletromagnetismo. Para Bohr, as rbitas permitidas eram rbitas estacionrias, uma condio especial para um eltron ligado. Nestas rbitas, os eltrons simplesmente violam a lei clssica e no perdem energia, assegurando, assim, a estabilidade do tomo. Por certo que h uma violao da lei clssica, mas que assegura a estabilidade observada experimentalmente para os tomos. O quarto postulado similar ao postulado de Einstein, o qual atesta que a frequncia de um fton emitido igual energia do mesmo, dividida pela constante .h Bohr apenas atribui energia do fton diferena de energia entre as rbitas, sendo:


lgebra Linear

1U

nida

de


i fE Eh

=

(3.11)

No caso de um eltron receber uma dosagem extra de energia, tal qual uma descarga eltrica, ou ainda que o tomo receba energia em decorrncia de uma coliso, o eltron poder sofrer uma transio eletrnica para um estado de maior energia, ou estado excitado, no qual, necessariamente, 1.n > Obedecendo tendncia natural de todos os sistemas fsicos, o eltron tender a voltar para o estado fundamental de energia e dever, para tanto, emitir o excesso de energia entre os nveis na forma de um fton. Assim, Bohr esclareceu o mistrio do o espectro atmico: as linhas espectrais so discretas, apresentando-se em frequncias especficas para cada tomo, simplesmente porque correspondem aos ftons emitidos durante as transies dos eltrons entre as rbitas permitidas. Na rbita mais prxima do ncleo, 1,n = o eltron estaria no estado fundamental do tomo. As rbitas mais externas seriam aquelas dos estados excitados dos tomos.

Por certo que as ideias de Bohr eram extremamente audaciosas e muito fortes, mas a justificativa para os seus postulados, como em todo e qualquer postulado, prima pela adequao do modelo aos re-sultados experimentais. E neste contexto, as previses de Bohr eram extremamente eficientes. Para o espectro do hidrognio, por exemplo, o modelo consegue prever as frequncias das linhas de emisso em per-feita concordncia com o espectro observado. O sucesso alcanado pe-lo modelo de Bohr teve impacto bastante positivo entre a comunidade cientfica. Aps a publicao de todo o trabalho em novembro de 1913, Albert Einstein se declarou um dos maiores entusiastas do modelo, ten-do escrito: Esta uma conquista enorme.

42 EADFsica

8 O MODELO DE BOHR

Vamos agora s consideraes fsicas por trs do modelo de Bohr. Considere um tomo constitudo por um ncleo de carga Ze+ e massa ,M e um nico eltron de carga e e massa .m Este poderia ser o caso de um tomo de hidrognio neutro, 1,Z = ou um tomo de Hlio ionizado, 2;Z = ou mesmo um tomo de ltio duplamente ionizado, 3.Z = Supondo uma rbita circular para o eltron e, lembrando que m desprezvel comparada a M e que o ncleo permanece fixo no espao, a condio de estabilidade mecnica nos leva a estabelecer que:

2 2

20

1 ,4

Ze vmr r

=

(3.12)

Ou seja, a fora coulombiana que atua sobre o eltron a responsvel pela acelerao centrpeta que mantm o eltron em rbita, sendo v a velocidade do eltron e r o raio da rbita. Uma vez que a fora atuante sobre o eltron uma fora central, ento o momento angular orbital tambm deve ser uma constante, .L mvr= Assim, a condio de quantizao do momento angular, segundo Bohr, implica em:

, 1, 2,3L mvr n n= = =

(3.13)

Portanto:

nvmr

=

(3.14)

voc sabia?

Bohr foi um dos maio-res cientistas de todos os tempos! Querido no apenas por sua habilida-de racional, mas tambm por sua postura enquanto cidado do mundo e pes-soa dotada de profundo senso de justia. Simp-tico e humilde, Bohr era admirado por colegas, alunos e amigos. Foi bas-tante atuante na propa-gao de ideais pacifistas, durante e aps a segunda guerra, e engajado a dis-seminar sua preocupao com o futuro do mundo. Defensor do uso pacfico da energia nuclear, lide-rou projetos voltados s aplicaes industriais da energia atmica e rece-beu em 1957 o prmio tomos para a Paz, ofe-recido pelo governo dos Estados Unidos. Por seus trabalhos no estudo da estrutura atmica, Bohr considerado um dos prin-cipais arquitetos do to-mo e da fsica quntica!


lgebra Linear

1U

nida

de


Substituindo a expresso de v em (), tem-se:

2 22 2 22 2

0 020

1 4 44

Ze m n m n nZe rr r mr r mr mr

= => = =

Ou seja:

2 2

0 24 , 1, 2,3nr nmZe

= =

(3.15)

e:

2

0

1 , 1, 2,34

n Zev nmr n

= = =

(3.16)

Em suma, a quantizao do momento angular corresponde a uma restrio das rbitas circulares permitidas, ou seja, aquelas cujos raios so dados por (3.15). Note que os raios permitidos so proporcionais ao quadrado do nmero quntico n , enquanto a velocidade inversamente proporcional a .n Esta uma das razes para a quantizao de Bohr (assim como a de Planck!) comear em 1n = e no em 0,n = caso contrrio, teramos 0r e .v

Para o tomo de hidrognio, por exemplo, a primeira rbita seria: 11 5,3 10 0,5r x m= .. Esta estimativa pode ser interpretada como uma

medida do raio do tomo de hidrognio em seu estado fundamental. De acordo com (3.16), a velocidade do eltron na rbita mais interna

62, 2 10 / .v x m s Note que este valor bem abaixo da velocidade da luz 8(3 10 / )x m s e, por esta razo, a mecnica newtoniana suficiente para

descrever a dinmica do modelo de Bohr, uma vez que esta a maior velocidade permitida para o eltron ligado. Entretanto, para grandes valores de ,Z a velocidade do eltron ligado se torna comparvel velocidade da luz e o modelo clssico no mais valido.

E qual a energia de um eltron ligado, segundo o modelo de

44 EADFsica

Bohr? Vejamos: a energia potencial ,V a qualquer distncia finita ,r pode ser estimada integrando o trabalho que seria realizado pela fora coulombiana que atua de r a . Assim, podemos expressar:

2 2

20 04 4r

Ze ZeV drr r

= = (3.17)

Neste caso, a energia potencial negativa devido ao fato da fora coulombiana ser atrativa, ou seja, necessrio realizar trabalho sobre o sistema para mover um eltron do raio r ao infinito, em oposio fora coulombiana.

Para o clculo da energia cintica do eltron, podemos usar aplicar equao de velocidade (), diretamente frmula clssica:

22

0

12 4 2

ZeK mvr

= =

(3.18)

Assim, a energia total do eltron pode ser estimada como a soma das energias, cintica e potencial:

2 2

0 04 2 4Ze ZeE K V

r r = + =

2

04 2ZeE K

r= =

(3.19)

Substituindo o valor de ,r tem-se:

( )

2 4

2 220

14 2

mZ eEn

=

(3.20)


lgebra Linear

1U

nida

de


Imagem 3.8: Modelo de Bohr rbitas circulas, estabilidade eletrnica e emisso de radiao somente nas transies entre estados estacionrios.

Fonte:http://www.fisica-interessante.com/aula-historia-e-epistemologia-da-ciencia-11-crise-da-fisica-3.html

Assim, nota-se que a quantizao do momento angular tambm se reflete na quantizao de sua energia total, visto que esta, por sua vez, dependente do raio orbital. Um eltron em estado fundamental, isto , se movendo na rbita mais interna do tomo, 1,n = consequentemente, tem a menor energia possvel, visto que a energia estimada para cada orbital negativa.

As informaes contidas em (3.20) tambm podem ser representadas na forma de um diagrama de nveis de energia, tal qual ilustrado na Figura 3.5. Neste tipo de diagrama, so representados os nmeros qunticos, seus respectivos nveis de energia, e, por meio da escala de construo, a distncia entre cada nvel de energia em relao ao primeiro nvel proporcional diferena de energia entre eles. Observe que o menor (mais negativo) nvel de energia ocorre para o nmero quntico 1.n = medida que n cresce, a energia total do estado quntico se torna menos negativa, com E se aproximando de zero, quando n tende a infinito. Como em todo sistema fsico, o estado de menor energia total o estado mais estvel, vemos que o estado normal

46 EADFsica

para o eltron no tomo de um eltron , naturalmente, o estado no qual 1.n =

Figura 3.5 Diagrama de nveis de energia para o tomo de hidrognio

Resta agora estimar a frequncia da radiao emitida quando um eltron ligado sofre uma entre um estado quntico in para um estado quntico .fn Em outras palavras, um eltron que se movia em uma rbita caracterizada por um nmero quntico ,i muda descontinuamente seu movimento, passando a se mover segundo uma rbita de nmero quntico ,f De acordo com o quarto postulado de Bohr, e a expresso:

2 2 4

3 2 20

1 14 4

i f

f i

E E mZ eh n n

= = +

(3.21)

Expressando em termos do nmero de onda 1 ,c

= = tem-se:

2 42

3 2 20

1 14 4 f i

me Zc n n

=


lgebra Linear

1U

nida

de


Ou seja:2

2 21 ,

f i

R Zn n

= (3.22)

Sendo R uma constante cujo valor :

2 4

30

14 4

meRc

(3.23)

Note que a equao (3.22) estabelece o nmero de onda do fton emitido no processo de transio, no entanto no oferece nenhuma restrio para as transies entre os estados permitidos. Em suma, um tomo pode absorver energia e passar para um estado excitado, orbital

7,n = por exemplo, e posteriormente decair at o nvel fundamental, por meio de uma srie de transies, nas quais o eltron cai de um estado para outro de energia mais baixa, sucessivamente, at chegar ao nvel fundamental. Por exemplo, um eltron pode cair do nvel 7n = para o nvel 4,n = depois para 2n = e finalmente para 1.n = Em cada transio emitido um fton com comprimento de onda que depende da diferena de energia perdida pelo eltron naquela transio, ou seja, a diferena de energia entre os nveis orbitais em questo. Nesse caso, seriam emitidos trs ftons, correspondendo a trs linhas de emisso do espectro atmico, com nmero de onda dados por:

- linha 1: transio entre 7in = para 4;fn = - linha 2: transio entre 4in = para 2;fn = - linha 3: transio entre 2in = para 1.fn =

Na maior parte dos processos de excitao e desexcitao, todas as possveis transies ocorrem e, assim, constitudo o espectro atmico detectado durante um processo de medida. Os nmeros de onda, ou comprimentos de onda, do conjunto de linhas que constituem o espectro so dados pela expresso (%%) (ver com a autora),

48 EADFsica

simplesmente tomando os valores de in e ,fn restritos apenas condio i fn n> para linhas de emisso e i fn n< para linhas de absoro.

Com o aprimoramento dos dados espectroscpicos, Bohr se deu conta de que a aproximao realizada em seus clculos para a massa nuclear infinita estava em desacordo com as medidas experimentais. A fim de corrigir suas previses tericas, Bohr resolveu tratar a dinmica do sistema eltron-ncleo em funo do seu centro de massa. Neste contexto, o sistema pode ser tratado como se o ncleo de massa M estivesse fixo e a massa m do eltron fosse ligeiramente reduzida a certo valor , denominada massa reduzida do eltron:

mMm M

=+

(3.24)

Note que o valor de sempre menor que .m Para introduzir este novo conceito e corrigir as previses

tericas, Bohr foi forado a modificar o seu segundo postulado, desta vez, impondo que a quantizao do momento angular total, ,L fosse um mltiplo inteiro da constante de Planck dividida por 2 , ou seja, . Assim, a igualdade expressa foi generalizada para:

1, 2,3vr n n = =

(3.25)

Ao considerar o parmetro , levado em conta tanto o mo-mento angular do eltron quanto do ncleo. Para as demais previses do modelo de Bohr, as equaes descritas nesta seo sero todas idn-ticas, com exceo da troca da massa do eletro, ,m pela massa reduzida,

. Em especial, a expresso para os comprimentos de onda das linhas espectrais, equao (), se reduz a:

22 2

1 1 ,Mf i

R Zn n

=


lgebra Linear

1U

nida

de


onde:

MMR R R

m M m

+

(3.26)

A constante MR denominada constante de Rydberg para um ncleo de massa M. Note que, quando ,M m ,MR R a constante de Rydberg para um ncleo extremamente pesado. Para o caso do hidrognio, 1836,M m M

R menor que R por uma parte em 2000.

Com estas correes, as previses do modelo de Bohr pareciam se encaixar como uma luva ao espectro atmico do hidrognio, alm de fornecer explicaes plausveis s inquietaes cientficas a respeito do papel dos eltrons dentro da estrutura atmica. Assim, o modelo de Bohr agradava por sua boa concordncia, tanto quantitativa quanto qualitativa, entre teoria e observaes. No entanto, apesar do sucesso inicial alcanado, o modelo de Bohr tambm tinha suas limitaes. O tratamento clssico dado aos eltrons apresentava falhas at mesmo para explicar o comportamento de tomos leves como o Hlio, com seus dois eltrons. Mas, ainda assim, as ideias introduzidas por Bohr para a quantizao das rbitas eletrnicas e sua nfase em nmeros atmicos davam fortes indcios do caminho a ser seguido no entendimento do mundo atmico.

Exerccio Resolvido: Calcule a energia de ligao do tomo de hidrognio, isto , a energia que liga o eltron ao ncleo, a partir da expresso (3.20).

Soluo: A energia de ligao numericamente igual ener-gia do menor estado possvel, 1.n = Como para o tomo de hidro-gnio, 1,Z = tem-se:

( )

4

2 20

124meE

=

50 EADFsica

Substituindo os valores:

( ) ( )( )

2 49 2 31 19

234

9,0 10 / .9,11 10 . 1,60 10

2. 1,05 10 .

x Mm C x kg x CE

x J s

=

182,17 10 13,6E x J eV= =

Exerccio Resolvido: Imagine um tomo de positrnio, ou seja, constitudo por um eltron e um psitron, ao invs do prton. Neste caso, teramos o eltron girando em torno centro de massa comum, o qual est na metade da distncia entre os dois.

)a Se tal sistema fosse um tomo normal, como seu espectro de emisso seria comparvel ao do tomo de hidrognio?

Soluo: Neste caso, a massa nuclear a do psitron, que por sua vez, igual massa do eltron, .m Portanto a massa reduzida ser:

2

2 2mM m m

m M m = = =

+

A constante de Rydberg correspondente :

2MRmR R

m m

= =+

Os estados de energia do tomo de positrnio seriam dados ento por:


lgebra Linear

1U

nida

de


2 2

2 22M

positrnioR hcZ R hcZE

n n= =

e os comprimentos de onda recprocos das linhas espectrais seriam dados por:

22 2

1 1 12 f i

R Zc n n

= = =

As frequncias das linhas emitidas seriam ento a metade, e os comprimentos de onda o dobro das de um tomo de hidrognio (com ncleo infinitamente pesado), sendo Z igual a 1 para o positrnio e para o hidrognio.

)b Qual seria o raio da rbita no estado fundamental do positrnio?

Soluo: Podemos usar a mesma expresso para o raio de hidrognio, apenas substituindo m por , que, de acordo com o item anterior, vale: .

2m =

Assim:

2 2 2 20 0

2 24 42 2positrnio hidrognio

n h n hr rZe mZe

= = =

Portanto para qualquer estado quntico n o raio do eltron relativamente ao ncleo de positrnio duas vezes maior do que no tomo de hidrognio.

52 EADFsica

Exerccio Resolvido: Um tomo munico contm um ncleo de carga Ze e um muon negativo, , se movendo em torno dele. O uma partcula elementar de carga e e massa 207 vezes maior do que a massa do eltron. Este tomo formado quando um prton, ou outro ncleo, captura um .

)a Calcule o raio da primeira rbita de Bohr de um tomo munico com 1Z = .

Soluo: A massa reduzida do sistema, com 207 em m = e 1836 eM m= de:

207 .1836 186207 1836

e ee

e e

m m mm m

= =+

Ento, o raio da rbita com n=1 e 186 em = ser:

11 13 1301 2

4 1 .5,3 10 2,8 10 2,8 10186 186e

r x m x m xm e = = = =

Portanto o est muito mais prximo da superfcie nuclear (do prton) do que o eltron em um tomo de hidrognio!

)b Calcule a energia de ligao de um tomo munico com 1.Z =

De acordo com a equao (), para 1n = , 1z = e 186 em = , tem-se:

( )

4

2 20

186 186 .1 3,6 2530 4 2

em eE eV eV

= = =

Esta a energia do estado fundamental, 186 vezes a energia


lgebra Linear

1U

nida

de


do tomo de hidrognio. Tambm equivalente energia de ligao do tomo munico.

Exerccio Resolvido: O hidrognio comum contm cerca de uma parte em 6000 de deutrio, o hidrognio pesado. Este tomo corresponde a um ncleo contendo um prton e um nutron. Esti-me como a massa nuclear afeta o espectro atmico.

Soluo: O espectro seria idntico ao espectro normal do tomo de hidrognio se no fosse a correo para a massa nuclear finita. Para um tomo de hidrognio normal, tem-se:

11109737 109678

11 11836

HR cmR R cm

mmM

= = = = + +

Para um tomo de Deutrio, o clculo seria:

11109737 109707

11 12(1836)

DR cmR R cm

mmM

= = = = + +

Portanto DR um pouco maior do que ,HR de modo que a linhas espectrais do deutrio so deslocadas para comprimentos de onda ligeiramente menores comparados ao hidrognio. De fato, o deutrio foi descoberto em 1932, aps a observao dessas linhas espectrais deslocadas.

9 AS SRIES ESPECTROSCPICAS

Por sua configurao minimalista, o espectro do tomo de hidrognio relativamente simples, e, por esta razo, bastante til para o estudo da estrutura atmica. A Figura 3.6 representa a parte do espectro do hidrognio que se encontra na regio de comprimentos de onda da luz visvel. Repare que o espaamento, em comprimentos de onda,

54 EADFsica

entre linhas adjacentes do espectro diminui continuamente, medida que o comprimento de onda das linhas diminui (consequentemente o nvel de energia aumenta). Neste contexto, diz-se que a srie de linhas apresentadas converge para o chamado limite da srie, no caso do hidrognio, 3.645,6. Note que as linhas com menores comprimentos de onda, incluindo o limite da srie, so difceis de serem observadas experimentalmente devido ao pequeno espaamento entre elas e, tambm, por j estarem na regio do ultravioleta. Repare que algumas linhas aparecem marcadas como ,H ,H etc. Veremos a seguir a justificativa desta identificao.

Figura 3.6 Esquema das linhas espectrais do tomo de hidrognio na parte visvel do espectro.

Desde o final do sculo XIX, ainda muito antes das especulaes do modelo de Bohr, que a regularidade das linhas espectrais do tomo de hidrognio despertava a curiosidade dos cientistas da poca, no intuito de encontrar um padro, ou uma frmula emprica, que pudesse descrever as linhas observadas. Em 1885 (ano em que nascia Niels Bohr), um professor suo de nome Johann Balmer publicou em seu trabalho a descoberta de uma frmula capaz representar os comprimentos de onda observados para o tomo de hidrognio. No entanto, como as teorias da poca no eram capazes de explicar as linhas espectrais nem, to pouco, justificar a sequncia observada, esta constatao ficou esquecida no tempo, por cerca de 30 anos, tendo sido reavivada por ocasio dos trabalhos de Bohr. Balmer encontrou uma srie muito simples da forma:

2

23646 ,4n

n =

(3.27)


lgebra Linear

1U

nida

de


onde: 3n = para a linha identificada como ,H 4n = para a linha H e 5n = para H etc. quela altura, Balmer sequer tentou associar um conceito fsico ao parmetro n , mas o xito alcanado em representar as linhas conhecidas na poca, estimulou muitos outros cientistas a buscar frmulas empricas similares que se aplicariam a sries de linhas encontradas em outros elementos. Muitos trabalhos se sucederam, dentre eles o trabalho de Rydberg, por volta de 1890, e atualmente sabemos da existncia de pelo menos cinco sries de linhas no espectro do hidrognio, conforme descrito na Tabela 3.1.

Tabela 3.1 As sries do Hidrognio

Fonte: Eisberg & Resnick, 1979

Para o gs hidrognio, em geral, apenas as linhas da srie Lyman aparecem no espectro de absoro, mas quando o gs aquecido a elevadas temperaturas, condio que ocorre nas superfcies estelares, usualmente so encontradas as linhas correspondentes srie de Balmer.

Assim como acontece com o hidrognio, os demais elementos qumicos tambm tm suas sequncias de sries. Para os tomos alcalinos, como Li, Na, K etc, a frmula das sries tem a mesma estrutura geral, sendo:

56 EADFsica

2 21 1 1 ,

( ) ( )MR

m a n b

= = (3.28)

onde MR a constante de Rydberg para o elemento em questo, a e b so constantes para a srie considerada, m um inteiro que fixo para a srie considerada, e n um inteiro varivel. A constante de Rydberg apresenta uma pequena variao entre os elementos, da ordem de 0,05%, mas apresenta um ligeiro crescimento medida que o nmero atmico (e, consequentemente, a massa do ncleo) cresce.

Exerccio Resolvido: a) Qual o comprimento de onda do fton menos energti-

co na srie de Balmer?

Soluo: Da relao ,E h= o fton menos energtico tem a menor frequncia e, portanto, o maior comprimento de onda. Analisando a srie de Balmer (Tabela 3.1), significa que devemos fazer 3n = (menor valor possvel), visto que qualquer valor mais alto corresponderia a um comprimento de onda menor. Assim, tem-se:

2 21 1 1

2HR

n

= =

Substituindo os valores:

1 3 12 2

1 1 10,01097 1,524 102 3

nm x nm

= =

Assim:

3 11 656,3

1,524 10nm

x nm = =


lgebra Linear

1U

nida

de


Exerccio Resolvido: Para o tomo munico considerado no exerccio da seo anterior, estime o comprimento de onda da primeira linha da srie de Lyman.

De acordo com a Tabela 3.1, a srie de Lyman para um tomo de massa M e 1Z = corresponde a:

2 21 1

Mf i

Rn n

=

Para a primeira linha de Lyman, 2in = e 1.fn = conforme calculado anteriormente, para o tomo munico:

( ) 1 6 ./ 8M eR m R R = = Portanto:

1 1186 1 139,54

R R

= = =

Como 1109737R cm = obtm-se:

6,5

De modo que as linhas de Lyman esto na parte raio X do espectro eletromagntico.

10 REGRAS DE QUANTIZAO

O conceito de quantizao introduzido por Bohr para justificar a estrutura atmica, assim como a quantizao de energia de Planck, despertaram o interesse dos pesquisadores da poca, no sentido compreender este conceito to fascinante. Neste contexto, em 1916,

58 EADFsica

W. Wilson e Arnold Sommerfeld enunciaram um conjunto de regras no intuito de generalizar o conceito de quantizao para qualquer sistema fsico, no qual as coordenadas fossem funes peridicas no tempo. O enunciado apresentado para as regras de quantizao nos diz que:

Para qualquer sistema fsico no qual as coordenadas so fun-es peridicas do tempo, existe uma condio quntica para cada coordenada. Estas condies so estimadas como:

,q qp dq n h=(3.29)

onde q uma das coordenadas, qp o momento associado a essa coordenada, qn um nmero quntico correspondente, que toma valores inteiros, e significa que a integrao tomada sobre um perodo da coordenada .q

Vamos agora, partindo do enunciado acima, chegar s regras de quantizao de Planck e Bohr. Comearemos pela quantizao de Planck.

Considere um oscilador harmnico simples a uma dimenso (tal qual o tratamento das ondas estacionrias na cavidade de um corpo ne-gro). Podemos descrever sua energia total em termos da posio e mo-mento:

2 2

2 2xp kxE K Vm

= + = +

E, analogamente:

2 2

12 2 /

xp xmE E k

+ =

(3.30)


lgebra Linear

1U

nida

de


O motivo da representao acima, equao (3.30), que esta descreve a equao de uma elipse, ou seja, a relao entre as grandezas x e xp pode ser descrita por meio da representao grfica de uma elipse. Cada estado instantneo do movimento do oscilador representado por um ponto no grfico dessa equao elptica em um espao bidimensional das coordenadas xp e .x

Esta representao no espao p x denominada espao de fase e o grfico correspondente um diagrama de fase. Conceitos extremamente teis na Fsica Quntica.

A Figura 3.7 ilustra um diagrama de fase representativo para um oscilador harmnico simples linear, tal qual estamos considerando. Repare que os semi-eixos a e b da elipse, de acordo com a nossa equao (3.30) so: 2 / 2a E k e b mE= =

Figura 3.7 No alto: um diagrama de fase representativo para um oscilador harmnico simples linear. Embaixo: os estados de energia possveis do oscilador so representados por elipses cujas reas no espao de fase so dadas por .nh Deste modo, a regio entre as elipses adjacentes tem rea .h

voc sabia?

Voc se lembra da equao de uma elipse? Ento, vamos recordar: Uma elipse correspon-de ao conjunto de pon-tos do plano, cuja soma das distncias a dois pontos fixos (denomi-nados focos da elipse) constante e maior do que a distncia entre eles. Para uma elipse com centro na origem e focos contidos no eixo x , a relao matem-tica que representa es-tes pontos expressa como:

2 2

2 2 1x ya b

+ =

Sendo a o semieixo maior e b o semi-eixo menor da elipse. Vide Figura a seguir:

Imagem: representao de uma elipse

60 EADFsica

Assim, a integral fechada de (3.30) corresponde exatamente rea total da elipse, sendo esta dada por: .ab Deste modo:

2/xEp dx ab

k m= =

(3.31)

Lembrando que: / 2k m =

sendo a frequncia de oscilao. Substituindo em (3.31), tem-se:

xEp dx

=

Esta integral denominada integral de fase. E, de acordo com a regra de quantizao de Wilson e Sommerfeld:

x xEp dx n h nh

= =

Finalmente, chegamos quantizao de Planck:

E nh=

Repare no canto inferior da Figura 3.7 que os estados possveis da oscilao, dados pelos valores permitidos de ,n so representados por uma srie de elipses no espao de fase. Cada valor de n corresponde uma rea diferente, sendo que a rea submetida entre duas elipses su-cessivas ser sempre h. A ttulo de comparao, quando 0,h todos os valores de E seriam permitidos, e recairamos novamente no caso


lgebra Linear

1U

nida

de


clssico. Mas por certo que, no mundo quntico, h tem um valor finito!

Vamos agora chegar quantizao de Bohr para o momento angular, partindo da regra geral de quantizao. Para um eltron ligado que se move em rbita circular, a coordenada angular representa uma funo peridica no tempo, cujo comportamento, em relao a ,t uma funo do tipo dente de serra, oscilando linearmente no intervalo de 0 a 2 .rad Aplicando a regra de quantizao ao momento angular do eltron, tem-se:

qp dq Ld nh= = (3.32)

Reescrevendo a expresso acima:

2

0

2Ld L d L nh

= = = Assim,

2 L nh =

Chega-se quantizao de Bohr:

2nhL n= =

Uma interpretao alternativa para a quantizao de Bohr foi apresentada em 1924, por De Broglie (o mes-mo das ondas de partculas!), a partir da interpretao da regra geral de quantizao. De Broglie argumentou que as rbitas possveis para o eltron so aquelas nas quais a circunferncia da rbita pode conter exatamente um nmero inteiro de comprimentos de onda de de Broglie.

saiba mais

A funo dente-de-serra uma funo peridica do tipo no-senoidal, que con-siste simplesmente de uma rampa ascendente, que ento salta abruptamen-te para o ponto inicial, na passagem para o prximo ciclo.

Imagem 3.10: Funo dente de serra

62 EADFsica

Isso porque, segundo Bohr:

2nhmvr pr

= =

Mas, segundo de Broglie, / ,p h = e, portanto:

2

hr nh

=

Equivalentemente:2 1, 2,3r n n = =

(3.33)Nesta abordagem, ao eltron que se move com velocidade cons-

tante em uma rbita circular associada uma onda, de comprimento de onda , envolvendo a rbita circular. Neste cenrio, o modelo on-dulatrio no considera um movimento progressivo do eltron, mas, sim, considera a existncia de ondas estacionrias, onde apenas certos comprimentos de onda so possveis para aquela rbita. No entanto, para obter as ondas estacionrias, necessrio que haja ondas de igual amplitude e se propaguem em sentidos opostos. Assim, permitido ao eltron percorrer a rbita em qualquer sentido, desde que seja mantida a regra de quantizao do momento angular. Neste caso, o padro resul-tante ser o de uma onda estacionria com comprimento de onda dado de De Broglie. Esta nova interpretao para a regra de quantizao do momento angular em funo da existncia de ondas estacionrias de De Broglie tambm embasada pela regra de quantizao de Wilson-Som-merfeld, consolidando, assim, o modelo de Bohr com uma justificativa mais consistente para a dinmica do eltron.

11 O MODELO DE SOMMERFELD

Outra aplicao importante das regras gerais de quantizao consiste na anlise das rbitas elpticas para o tomo de hidrognio.


lgebra Linear

1U

nida

de


Esta anlise foi realizada por Sommerfeld na tentativa de explicar um importante efeito observado no espectro atmico do hidrognio, a estrutura fina espectral. Este efeito consiste na separao de uma linha espectral em vrias componentes distintas, fenmeno observado em praticamente todos os espectros atmicos. No entanto, a observao deste efeito requer o uso de equipamentos ticos com alta resoluo angular, de modo a conseguir decompor as componentes de uma nica linha, cuja sepa-rao muito pequena, cerca 410 vezes a separao en-tre as prprias linhas! Seguindo o raciocnio do tomo de Bohr, esta estrutura fina espectral significa que um nico estado de energia considerado pode ser constitudo de vrios outros estados com energias muito prximas.

No mpeto de explicar o fenmeno da estrutura fina para o tomo de hidrognio, Sommerfeld considerou a possibilidade de existirem rbitas elpticas para o eltron, nas quais o prton, representando o ncleo, estaria em um dos focos da elipse. Usando inicialmente os argumentos da mecnica clssica e as regras gerais de quantizao, Sommerfeld terminou por formular um novo modelo para o tomo. Desta vez, subdividido em vrios nveis eletrnicos.

De acordo com as regras de quantizao descritas na seo anterior para o caso de rbitas circulares, pos-svel chegar relao

Ld n h L n = => =

No entanto, para uma rbita elptica, com razo entre os eixos, / ,a b o clculo acima, quando realizado em termos das coordenas polares, resulta em uma relao distinta, do tipo:

Imagem 3.9: Arnold SommerfeldFonte: http://www-groups.dcs.

st-and.ac.uk/history/PictDisplay/Sommerfeld.html

64 EADFsica

1 raL nb

=

(3.34)Combinando com a condio de equilbrio dinmico, possvel

encontrar os semieixos permitidos e a energia total, ,E de um eltron nessas rbitas elpticas, a saber:

2 20

24 na

Ze

=

(3.35)

nb an=

(3.36)2 2 4

2 20

14 2

Z eEn

=

(3.37)

Sendo a massa reduzida do eltron e n o nmero qunti-co definido como:

rn n n +

Como:1,2,3 0,1, 2,3rn e n = =

Ento: 1,2,3,4 n =

Para certo valor de ,n n pode assumir os valores:

1,2,3 ,n n =

O nmero quntico n chamado de nmero quntico principal, ,n o nmero quntico azimutal, enquanto rn o nmero quntico

orbital.


lgebra Linear

1U

nida

de


Note que a equao () estabelece a razo entre os semieixos maior e menor da elipse, indicando a forma da rbita. Para o caso de

,n n = as rbitas so meramente crculos de raio a. Repare ainda que, conforme a relao (), o raio das rbitas circulares de Sommerfeld idntico ao raio dos orbitais puramente esfricas do modelo de Bohr. A relao entre as escalas das rbitas possveis aos trs primeiros valores de nmero quntico principal ilustrada na Figura 3.8. Para cada valor do nmero quntico principal, ,n h n diferentes rbitas possveis, sen-do uma delas esfrica e as demais elpticas. No entanto, como a energia total do eltron s depende de ,n existem vrias rbitas caracterizadas por um mesmo valor .n Estas rbitas so chamadas rbitas degenera-das. Assim, as energias de diferentes eltrons, em diferentes rbitas, ou estados qunticos, se degeneram em um mesmo valor.

Figura 3.8: Modelo de Sommerfeld rbitas elpticas com ncleo localizado no foco comum das elipses, indicado pelo ponto.

Para anular a degenerescncia do tomo de hidrognio e se-parar os diferentes nveis, Sommerfeld resolveu introduzir nos seus clculos correes relativsticas para a dinmica dos eltrons. Embora a rao /v c seja muito pequena, aproximadamente 210 , este valor jus-

66 EADFsica

tamente a ordem de grandeza da separao entre os estados de energia do tomo de hidrognio. Assim, para explicar a estrutura fina do espec-tro de hidrognio, Sommerfeld, considerando as devidas correes re-lativsticas para a massa do eltron em funo de sua velocidade mdia, chegou a um resultado surpreendente: a precesso da rbita do eltron. Neste caso, o eixo maior da elipse gira no plano da trajetria em torno do ncleo. O resultado final dos clculos levou a uma nova frmula do espectro do tomo de hidrognio em funo dos nmeros qunticos:

2 4 2 2

2 2 20

1 31(4 ) 2 4

Z e ZEn n n n

= +

(3.38)

O parmetro que aparece na equao acima denominado cons-tante de estrutura fina e estimado em:

23

0

1 17,297 104 137

e xc

=

(3.39)

O diagrama dos nveis de energia para o tomo de hidrognio, estimado de acordo com o clculo de Sommerfeld para a energia dos eltrons, ilustrado na Figura 3.9. A ttulo de ilustrao, a separao entre as linhas relativas aos nveis energia para um mesmo valor de n foi exageradamente separada para melhor compreenso do conceito de estrutura fina. As setas em trao contnuo representam as linhas en-contradas nos espectros experimentais, em tima concordncia com as previses tericas. No entanto as linhas pontilhadas, apesar de no haver nenhuma restrio terica, nunca foram observadas. Este fato su-gere que haja uma restrio natural entre as transies que realmente ocorrem nos tomos. Nota-se que so observadas diretamente apenas as transies que respeitam a regra:

1i fn n =

(3.40)


lgebra Linear

1U

nida

de

Esta relao conhecida na fsica quntica como regra de seleo.

Figura 3.9 Separao da estrutura fina de alguns nveis de energia do tomo de hidrognio. A separao foi bastante exagerada para que esta representao fosse possvel. As transies que produzem as linhas observadas so indicadas por setas slidas. As linhas correspondentes s setas tracejadas no so encontradas nos espectros.

Apesar do progresso alcanado na explicao da estrutura fina do espectro de hidrognio, a teoria de Sommerfeld tambm no obteve sucesso com tomos mais complexos. E, mais uma vez, os cientistas do sculo XX tiveram que reconhecer que faltava um embasamento mais profundo nas teorias apresentadas. Um fator fortemente questionvel aos modelos atmicos da poca era que, embora as previses tericas estivessem se ajustando s medidas experimentais, as justificativas impostas na forma de postulados e regras restritivas no conseguiam fornecer elementos suficientes para construir uma teoria concisa.

Um dos grandes nomes a questionar o caminho no qual a descrio do mundo quntico estava seguindo foi o prprio Bohr. No incio da dcada de vinte, Bohr comeou a realizar uma anlise mais crtica de sua teoria, no intuito de chamar a ateno da comunidade cientfica de que faltava encontrar os princpios elementares que permitissem interpretar e descrever os fenmenos qunticos, de maneira geral e mais lgica, de modo que os conceitos emergissem naturalmente da teoria. E esta descoberta no tardou a chegar. Como veremos no prximo Captulo, graas a outros grandes nomes, como Schroedinger, Heisemberg e Dirac, uma nova Teoria Quntica, muito mais moderna e concisa, nasceu e se formalizou, desvendando a natureza do mundo microscpico.

RESUMINDO

Dalton: toda matria composta de partculas fundamentais, permanentes e indivisveis, denominadas tomos. Estes no podem ser criados nem destrudos espontaneamente. Todos os tomos de certo elemento so idnticos em todas as suas pro-priedades.

Thomson: o tomo considerado como uma espcie de fluido com uma distribuio esfrica contnua de carga positiva, onde estariam incrustados os eltrons com carga negativa. Devido repulso mtua, os eltrons estariam uniformemente distribu-dos na esfera positiva com raio da ordem da grandeza conhecida de um tomo, cerca de 1010 m.

Rutherford: mostrou que os dados do experimento com part-culas , eram consistentes com um modelo atmico, no qual a carga positiva estaria concentrada em uma pequena regio cen-tral, chamada ncleo.

Uma partcula que passe bem perto do ncleo pode ser espa-lhada, devido repulso coulombiana. Frmula de espalhamen-to de Rutherford:

( ) ( )2 22

2 40

1 zZe It2 send d4 2Mv sen 2

=

Espectros atmicos: a absoro e emisso de radiao eletro-magntica em comprimentos de onda bem especficos, carac-tersticas de tomos, molculas e ncleos. O conjunto de raias emitidas compe o espectro de emisso, enquanto o conjunto discreto de raias escuras define o espectro de absoro do to-mo.

Bohr: eltrons se movem rbitas circulares em torno do ncleo, sendo o momento angular orbital L um mltiplo inteiro de . Emisso de radiao permitida somente nas transies entre estados estacionrios, sendo a frequncia do fton emitido:

i fE Eh

=

Uma vez imposta a quantizao do momento angular, as ener-gias dos estados permitidos so:

( )

2 4

2 220

mZ e 1 En4 2

=

Sries espectroscpicas, como as de Lyman e Balmer: frmulas capazes de representar os comprimentos de onda observados para o tomo de hidrognio.

Espao de fase: denominao dada representao no espao p x, sendo o grfico correspondente denominado diagrama de fase.

Sommerfeld: rbitas elpticas para o tomo, a constante de es-trutura fina, , e o conceito de degenerescncia. Novo espectro do tomo de hidrognio em termos do nmero quntico azimu-tal e nmero quntico orbital:

2 4 2 2

2 2 20

Z e Z 1 3E 1(4 ) 2n n n 4n

= +

Regra de seleo: definem as transies permitidas: i fn n 1 =

Atividade: Exerccios para Fixao

1. Faa uma lista das objees ao modelo atmico de Thomson.

2. Qual a distncia de maior aproximao de uma partcula com 5,30MeV a um ncleo de cobre em uma coliso frontal?

3. Uma partcula de 5.30 MeV espalhada por um ngulo de 60 ao passar por uma na folha metlica de ouro. Calcule: a) a distncia de mxima aproximao, D , para uma coliso fronta; l e )b o parmetro de impacto, b , correspondente ao ngulo de espalhamento de 60 .

4. Explique porque o modelo de Rutherford considerado inst-vel.

5. Usando o modelo de Bohr, calcule a energia necessria para re-mover um eltro

Mod 8 Vol 2-Fisica Moderna

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