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ELC-33103Teoría de Control
M d l ió M t áti d Modelación Matemática de Sistemas Físicos
TEORÍA DE CONTROLModelación Matemática de Sistemas Físicos
http://www.giaelec.org/fglongatt/SP.htm
1. Introducción
• En el análisis y diseño de sistemas de control, un pasosumamente importante; es la modelación matemáticasumamente importante; es la modelación matemáticadel proceso físico a ser controlado.
• La modelación consiste en la representación mediantepuna abstracción matemática de una situación físicareal.
• Siendo el modelo, la serie de ecuaciones que definenel comportamiento que se desea emular.
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1. Introducción
• El proceso de crear un modelo no es sencillo.• Por el contrario en situaciones puede considerarse un• Por el contrario en situaciones puede considerarse un
proceso complejo y casi infinito que requiere seracotado.
• Se debe definir el conjunto de variables quedescriben las características dinámicas delfenómeno.
• Por ejemplo, cuando se considera un circuitoeléctrico, en éste típicamente las variables de interésson voltaje o corriente.
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1. Introducción
• Las variables que definen las característicasdinámicas del sistema, están interrelacionadas entre sidinámicas del sistema, están interrelacionadas entre sia través de leyes físicas, las cuales conllevan a laformulación matemática de las ecuaciones delmodelo.
RIV =El voltaje (V) varia proporcionalmente con la
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1. IntroducciónSistemas Lineales• Cumple con el principio de superposición• Cumple con el principio de superposición.• Permite obtener la respuesta a varias entradas por el
calculo tratando una entrada a la vez y sumando loscalculo tratando una entrada a la vez y sumando losresultados
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( ) ( ) ( )txtxtx 21 += ( ) ( ) ( )tytyty 21 +=
1. IntroducciónSistemas Lineales Invariante con el Tiempo• Una ecuación diferencial es lineal si sus coeficientes• Una ecuación diferencial es lineal si sus coeficientes
son contantes o son funciones solo de la variableindependiente.p
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1. IntroducciónSistemas Lineales Invariantes con el Tiempo• Sistemas dinámicos formados por parámetros• Sistemas dinámicos formados por parámetros
concentrados lineales e invariantes en el tiempo sedescriben mediante ecuaciones diferenciales linealesinvariantes en el tiempo (de coeficientes constantes).
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1. IntroducciónSistemas Lineales Variantes con el Tiempo• Sistemas dinámicos formados por parámetros• Sistemas dinámicos formados por parámetros
concentrados lineales y invariantes en el tiempo sedescriben mediante ecuaciones diferenciales linealesinvariantes en el tiempo (de coeficientes variables enel tiempo).
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1. IntroducciónSistemas NO Lineales• NO se aplica el principio de superposicion• NO se aplica el principio de superposicion.• La respuesta a varias entradas no puede ser obtenida
por la sumapor la suma.• Es típico de componentes saturables en sistemas
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No linealidad de Ley Cuadrática
2. Respuesta Impulsiva
• Un mecanismo ampliamente aceptado en los sistemasde control, y que se ha extendido a otrasde control, y que se ha extendido a otrasespecialidades, para la modelación de los sistemaslineales, es el uso de la función de transferencia.
• La clásica forma de la función de transferencia,efectúa la relaciones entre las variables de entrada-salida del sistema.
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2. Respuesta Impulsiva
• Una forma de obtener la función de transferencia deun sistema lineal, es empleando la denominadaun sistema lineal, es empleando la denominadarespuesta impulsiva o respuesta al impulso.
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2. Respuesta Impulsiva
• Esto se basa en considerar un sistema lineal einvariante en el tiempo, cuya entrada es x(t), y lainvariante en el tiempo, cuya entrada es x(t), y lasalida es y(t).
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2. Respuesta Impulsiva
• El sistema se puede caracterizar por su respuesta alimpulso g(t), que se define como la salida del sistemaimpulso g(t), que se define como la salida del sistemacuando la entrada es un impulso unitario δ(t).
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2. Respuesta Impulsiva
• Una vez conocida la respuesta ante la entrada deimpulso del sistema lineal, la salida del sistema y(t)impulso del sistema lineal, la salida del sistema y(t)para cualquier entrada x(t) se puede encontrarmediante la función de transferencia.
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2. Respuesta Impulsiva
• En el caso más simple, de un sistema lineal einvariante en el tiempo de una entrada y una salida,invariante en el tiempo de una entrada y una salida,la función de transferencia se define como latransformada de Laplace de la respuesta al impulsocon todas las condiciones iníciales iguales a cero.
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( ) ( )[ ]gFunción de Transferencia
2. Respuesta Impulsiva
• Considere que G(s) representa la función detransferencia del sistema de una entrada y una salida;transferencia del sistema de una entrada y una salida;siendo x(t) la entrada y y(t) la salida, y sea g(t) larespuesta al impulso.
• Con todas las condiciones iniciales son supuestas acero, Y(s) y X(s) son las transformadas de Laplace dey(t) y x(t) respectivamente.
( )sX ( )sY( )sG
P l f ió d f i d i
( )sG
Diagrama de bloque mostrando la función de transferencia, y señales de entrada y salida
• Pese a que la función de transferencia de un sistemalineal se define en términos de la respuesta impulsiva,en la práctica, la relación entrada-salida, de unen la práctica, la relación entrada salida, de unsistema lineal e invariante en el tiempo, en tiempocontinuo, se describe muy frecuentemente mediante
• Considere que la relación entrada/salida de un sistemalineal invariante con el tiempo se describe mediantelineal invariante con el tiempo se describe mediantela siguiente ecuación diferencial de n-ésimo ordencon coeficientes reales constante:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )txbdt
tdxbdt
txdbdt
txdbtyadt
tdyadt
tydadt
tydm
m
mm
m
mn
n
nn
n
011
1
1011
1
1 ++++=++++−
−
−−
−
− KK
• En donde los coeficientes de las ecuación: a0, a1, a2,…an-1, y b0, b1, b2, …, bm, son reales.
• Cuando la entrada del sistema x(t) sea especificada(t≥0), las condiciones iniciales del sistema son(t≥0), las condiciones iniciales del sistema sonconocida, la respuesta del sistema y(t) para t≥0, puedeser determinada, a partir de la resolución de laecuación diferencial antes plateada.
• Este procedimiento puede ser algo consumidor detiempo, y en etapa de análisis y diseño, resulta seralgo molesto. Resolver la Ecuación Diferencial
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( ) ( )txbdt
bdt
bdt
btyadt
adt
adt mmmmnnn 01110111 ++++=++++
−−−− KK
2. Respuesta Impulsiva
• S han desarrollado programas computacionales paraefectuar una resolución eficiente de ecuacionesefectuar una resolución eficiente de ecuacionesdiferenciales
• La filosofía básica de la teoría de control lineal es eldesarrollo de herramientas de análisis y diseño queeviten la solución exacta de las ecuacionesdiferenciales del sistema.
• Excepto en los casos en que se desea las solucionesdi i l ió d imediante simulación en computadora para examinar
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2. Respuesta Impulsiva• Para obtener la función de transferencia del sistema
lineal invariante en el tiempo, representado por:lineal invariante en el tiempo, representado por:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )txbdt
tdxbdt
txdbdt
txdbtyadt
tdyadt
tydadt
tydm
m
mm
m
mn
n
nn
n
011
1
1011
1
1 ++++=++++−
−
−−
−
− KK
• Se debe tomar la transformada de Laplace de amboslados de la ecuación y se asumen condicioneslados de la ecuación y se asumen condicionesiníciales igual a cero.
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2. Respuesta Impulsiva
• La función de transferencia es una definición que soloaplica en sistemas líneas e invariantes en el tiempo, yaplica en sistemas líneas e invariantes en el tiempo, yque no esta definida en el caso de los sistemas nolineales.
• La función de transferencia, relaciona las entradas ysalidas del sistema lineal e invariante en el tiempo, entérminos de los parámetros del sistema,
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2. Respuesta Impulsiva
• La función de transferencia de un sistema lineal einvariante al tiempo, es un concepto que presenta lainvariante al tiempo, es un concepto que presenta ladinámica de un sistema de ecuación algebraica, de s.
• La potencia s más alta en denominador de la funciónpde transferencia es igual al orden del término de laderivada más alta de la salida.
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( ) ( ) 011
1 asasassX nn
n ++++ −− K
3. Sistema Mecánico de Traslación
• En general este sistema consta de resorte (k), masa(M) y amortiguador (f), aunque puede presentar estos(M) y amortiguador (f), aunque puede presentar estoselementos.
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Sistema Mecánico de Rotación: Momento de Inercia-Amortiguamiento Viscoso
4. Sistema Mecánico de Rotación
• El sistema mecánico de rotación consiste de unacarga inercial y un amortiguador viscoso. Amortiguadorcarga inercial y un amortiguador viscoso. Amortiguador
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4. Sistema Mecánico de Rotación• En forma simple dice:(Momento de inercia) × (Aceleración angular) = (sumatoria de los torques)( ) ( g ) ( q )
• En este sistema, existe el torque aplicado Tin(t), yademás los torques asociados a la masa Tmasa(t), y eltorque asociado al amortiguador Tamortig(t):
amortigmasain TTT +=• Considerando la definición de los diferentes torques:
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( )tfamortig ω
4. Sistema Mecánico de Rotación• Siendo J el momento de inercia del cuerpo giratorio,ω su velocidad angular y f el coeficiente de fricciónω su velocidad angular y f el coeficiente de fricciónviscosa.
• Ahora se procede a sustituir las respectivasp pdefiniciones:
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4. Sistema Mecánico de Rotación• Para obtener la función de transferencia del sistema,
se procede a calcular la transformada de Laplace ense procede a calcular la transformada de Laplace enambos lados de la ecuación anterior que describe ladinámica. ( ) ( )ftdω( ) ( )tf
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∫C0
5. Sistema eléctrico de un circuito RLC SerieRLC Serie• Se procede a establecer la ecuación que rige el
comportamiento dinámico eléctrico de este circuito.comportamiento dinámico eléctrico de este circuito.• Para ello se toma en consideración la Ley de Voltajes
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6. Sistema Rotacional
• Se desea obtener un modelo dinámico para un sistemarotacional desarrollando un diagrama que muestre larotacional desarrollando un diagrama que muestre ladirección de la velocidad angular y la correspondienteexpresión para todos los torques.
• Considerando el sistema rotacional que se describe enla figura siguiente.
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2B1B
6. Sistema Rotacional
• Escribir un conjunto de ecuaciones diferenciales (entérminos de las velocidades angulares) quetérminos de las velocidades angulares) queproporcionara un modelo valido para el sistema.
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( )ty11de varias masas
7. Ejemplo Sistema de Traslación
• Escribir un conjunto de ecuaciones diferenciales paradescribir el sistema en términos del desplazamiento y1describir el sistema en términos del desplazamiento y1y y2.
• Suponer que y1 y y2 son cero en la posición de reposop q y1 y y2 p pcon todos los resortes y masas incluidos, pero f = 0.
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( )ty11M
7. Ejemplo Sistema de Traslación
• Con las posiciones de referencia determinadas talcomo se ha especificado, un desplazamiento inicialcomo se ha especificado, un desplazamiento inicialdel resorte superior produce una fuerza que es igual yopuesta a M1g + M2g, y un desplazamiento inicial delresorte inferior produce una fuerza que compensa aM1g. Así, la ecuación se expresa
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dtdt
8. Ejemplo Mecánico de Traslación
• Considere el sistema mecánico trasnacional de lasiguiente figura, donde se ha supuesto que lasiguiente figura, donde se ha supuesto que lasuperficie es libre de rozamiento.
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( )tBv
8. Ejemplo Mecánico de Traslación• Observe que la dirección x(t) supuesta de las fuerzas
producidas por los elementos pasivos se muestran enproducidas por los elementos pasivos se muestran enuna dirección opuesta a la velocidad v(t), que se haasumido.
( ) ( ) ( ) ( ) ( )0s
t
fdttvKtBvd
tdvMtf +++= ∫• Donde la velocidad v(t) es la variable dependiente y
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9. Ejemplo Sistema Mecánico de Traslación: Varias MasasTraslación: Varias Masas• Considere un sistema mecánico de dos masas, con
acoplamiento a través de resortes y elementosacoplamiento a través de resortes y elementosviscosos.
• Se supone que no hay rozamiento asociado con lasp q ysuperficies. La suma de las fuerzas en ambas masasproporciona dos ecuaciones en términos de dosvariables dependientes.
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0
( ) ( )[ ]tvtvBfb 21 −=
10. Diagrama de Bloque
• El diagrama de un sistema es una representacióngráfica de las funciones realizadas por cadagráfica de las funciones realizadas por cadacomponente y el flujo de las señales de tal formaindica las relaciones e interacciones de loscomponentes.
• En un diagrama de bloques todas las variantes delsistema son enlazadas entre si a través de bloquesfuncionales.U bl f i l í b l d l ió• Un bloque funcional es un símbolo de la operaciónmatemática que el bloque produce en la salida, sobrela señal que tienen a la entrada
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10.1 Detector de error
• El detector de error produce una señal que es ladiferencia de entrada y la señal de realimentación deldiferencia de entrada y la señal de realimentación delsistema de control.
( )sR+
( )sE( )sR
( )sC−
( )sE
• El símbolo positivo o negativo en la punta de la flechaindica si la señal ha se ser sumada o restada.
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11. Sistema de Lazo Cerrado Sometido a una Perturbaciónuna Perturbación
( )sN
( )sR + ( )sE ( )sC+( )sG2
+
( )sG1
−
( )sH
• Cuando un sistema lineal están presente dos o masseñales cada entrada puede ser tratadai d di t t d l t d lindependientemente de la otra o se pueden sumar lassalidas correspondientes a cada una de las entradasindependientes para obtener la salida total.
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12. Reducción de Diagramas de Bloques
• Se pueden conectar los bloques en serie solamente sila salida de un bloque no es afectada por la del bloquela salida de un bloque no es afectada por la del bloquesiguiente.
• Si hay efectos de carga entre los componentes, esy g p ,necesario combinarlos en un bloque único.
• Cualquier cantidad de bloques en cascada querepresenten componentes sin carga puede sustituirsecon un solo bloque, cuya función de transferencia seai l l d d l f i dsimplemente el producto de las funciones de
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12. Reducción de Diagramas de Bloques
• En el caso de un diagrama de bloques complicado(como son normalmente lo sistemas reales) que(como son normalmente lo sistemas reales) quecontenga muchos lazos de realimentación, el procesode simplificación se realiza mediante unreordenamiento paso a paso mediante las reglas delálgebra de los diagramas de bloques.
• Algunas de estas reglas importantes aparecen en laTabla siguiente, sin embargo, todas son simplepropiedades de señales que son fácilmentepropiedades de señales que son fácilmentededucibles.
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2G 2G211 GG+
12. Reducción de Diagramas de Bloques
• Se pueden representar en un único bloque cualquiercantidad de bloques en cascada que representencantidad de bloques en cascada que representencomponentes que no carga, cuya función detransferencia es simplemente el producto de lasfunciones de transferencias individuales.– Al simplificar bloques se puede tomar en cuenta:– El producto de las funciones de transferencia en la
dirección de alimentación directa debe mantenerseconstante.
– El producto de las funciones de transferencia alrededor dellazo debe mantenerse constante.