MÔ HÌNH PHẦN TỬ HỮU HẠN TRONG PHÂN TÍCH KẾT CẤU ...

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC

VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM

HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ

-----------------------------

Lê Thị Ngọc Ánh

MÔ HÌNH PHẦN TỬ HỮU HẠN

TRONG PHÂN TÍCH KẾT CẤU DẦM SANDWICH FGM

LUẬN ÁN TIẾN SỸ

NGÀNH KỸ THUẬT CƠ KHÍ VÀ CƠ KỸ THUẬT

TP Hồ Chí Minh – 2021

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC

VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM

HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ

-----------------------------

Lê Thị Ngọc Ánh


TRONG PHÂN TÍCH KẾT CẤU DẦM SANDWICH FGM

Chuyên ngành: Cơ kỹ thuật

Mã sỗ: 9 52 01 01

LUẬN ÁN TIẾN SỸ

NGÀNH KỸ THUẬT CƠ KHÍ VÀ CƠ KỸ THUẬT

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

1. PGS.TS. Nguyễn Đình Kiên

2. PGS. TS. Trần Văn Lăng

TP Hồ Chí Minh – 2021

iv

2.5. Lý thuyết bậc ba Shimpi-Patel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.5.1. Trường chuyển vị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.5.2. Biến dạng và ứng suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.5.3. Năng lượng biến dạng đàn hồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.5.4. Động năng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.6. Lý thuyết tựa 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.6.1. Trường chuyển vị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.6.2. Biến dạng và ứng suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.6.3. Năng lượng biến dạng đàn hồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.6.4. Động năng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.7. Ảnh hưởng của nền đàn hồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.8. Tải trọng di động . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.9. Phương trình vi phân chuyển động . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

Chương 3. Mô hình PTHH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.1. Phần tử dầm FBKO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.1.1. Chuyển vị nút và hàm nội suy Kosmatka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.1.2. Ma trận độ cứng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.1.3. Ma trận khối lượng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.2. Phần tử dầm TBSH. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.2.1. Chuyển vị nút và nội suy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.2.2. Ma trận độ cứng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40


3.3. Phần tử dầm TBSE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.3.1. Hàm nội suy Lagrange và Hermite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.3.2. Phần tử với nội suy làm giàu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.3.2.1. Hàm làm giàu thứ bậc. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.3.2.2. Ma trận độ cứng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.3.2.3. Ma trận khối lượng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

v

3.4. Phần tử dầm Q3DB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.4.1. Trường nội suy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.4.2. Ma trận độ cứng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50


3.5. Ma trận độ cứng của nền đàn hồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.6. Ma trận và véc-tơ tải trọng di động . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.6.1. Lực di động . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3.6.2. Phần tử khối lượng di động . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3.7. Phương trình chuyển động rời rạc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3.8. Phương pháp Newmark . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

Chương 4. Kết quả số và thảo luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4.1. Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4.2. Dao động tự do . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

4.2.1. Dao động tự do của dầm ba pha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

4.2.1.1. Kiểm chứng phần tử TBSH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

4.2.1.2. Ảnh hưởng của sự phân bố vật liệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

4.2.1.3. Ảnh hưởng của độ mảnh dầm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

4.2.1.4. Ảnh hưởng của nền đàn hồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

4.2.1.5. Ảnh hưởng của phần tử . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

4.2.2. Dao động tự do của dầm hai pha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

4.2.2.1. Kiểm chứng phần tử TBSE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

4.2.2.2. Ảnh hưởng của sự phân bố vật liệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

4.2.2.3. Ảnh hưởng của độ mảnh dầm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

4.3. Dao động cưỡng bức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

4.3.1. Dầm ba pha chịu lực di động . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

4.3.1.1. Kiểm chứng phần tử FBKO. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

4.3.1.2. Lực di động với vận tốc không đổi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

4.3.1.3. Lực di động với vận tốc thay đổi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

vi

4.3.2. Dầm hai pha chịu khối lượng di động . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

4.3.2.1. Kiểm chứng phần tử Q3DB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

4.3.2.2. Ảnh hưởng của vận tốc và khối lượng tải di động . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

4.3.2.3. Ảnh hưởng của sự phân bố vật liệu và mô hình cơ học vi mô . . . . . . . . . . . . . . . 109

4.3.2.4. Ảnh hưởng của độ cứng nền đàn hồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

4.3.2.5. Phân bố của ứng suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

Kết luận và kiến nghị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

Danh mục công trình liên quan tới luận án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

Phụ lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

Phụ lục A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

Phụ lục B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

Danh mục ký hiệu và chữ viết tắt

Các kí hiệu thông thường

A Diện tích tiết diện ngang

A11 Độ cứng dọc trục

A12 Độ cứng tương hỗ kéo-uốn

A22 Độ cứng chống uốn

A33 Độ cứng chống trượt

A34 Độ cứng tương hỗ xoắn-kéo

A44 Độ cứng tương hỗ xoắn-uốn

A66 Độ cứng tương hỗ xoắn-uốn bậc cao

Aus Độ cứng tương hỗ kéo-trượt

(sử dụng trong lý thuyết Shimpi-Patel)

Abs Độ cứng tương hỗ uốn-trượt (Lý thuyết Shimpi-Patel)

Ass Độ cứng chống trượt (Lý thuyết Shimpi-Patel)

Ash Độ cứng chống trượt bậc cao (Lý thuyết Shimpi-Patel)

b Chiều rộng dầm

B11,B22,B44 Các độ cứng chống trượt (Lý thuyết bậc ba Shi)

D11, D22, D44 Các độ cứng chống trượt (Lý thuyết tựa 3D)

Dd Hệ số động lực học

G12,G22,G44 Độ cứng tương hỗ dọc trục-độ dãn dày, uốn-độ

dãn dày và trượt-độ dãn dày (Lý thuyết tựa 3D)

F0 Độ lớn lực di động

E f (x,z) Mô-đun đàn hồi hiệu dụng

G f (x,z) Mô-đun trượt hiệu dụng

Gc Mô-đun trượt của gốm

Gm Mô-đun trượt của kim loại

h Chiều cao dầm

vii

viii

(h1 : h2 : h3) Tỉ số độ dày giữa các lớp dầm

I Mô-men quán tính bậc hai của thiết diện ngang

I11 Mô-men khối lượng dọc trục

I12 Mô-men khối lượng tương hỗ dọc trục-quay

I22 Mô-men khối lượng quay

I34, I44, I66 Mô-men khối lượng bậc cao (Lý thuyết bậc ba Shi)

Ius Mô-men khối lượng tương hỗ dọc trục-trượt

(Lý thuyết Shimpi-Patel)

Ibs Mô-men khối lượng tương hỗ uốn-trượt


Iss Mô-men khối khối lượng do trượt


kw Độ cứng lò xo Winkler

ks Độ cứng các lớp trượt nền Pasternak

k1 Tham số độ cứng của lò xo Winkler

k2 Tham số độ cứng của lớp trượt nền Pasternak

K f Mô-đun khối hiệu dụng

Kc Mô-đun khối của gốm

Km Mô-đun khối của kim loại

l Chiều dài phần tử

L Chiều dài dầm

LF Chiều dài phần nền dầm nằm trên

m Khối lượng di động

M1 Vật liệu M1

M2 Vật liệu M2

M3 Vật liệu M3

n Tham số vật liệu của dầm sandwich 1D-FGM

NE Số phần tử rời rạc dầm

NEF Số phần tử rời rạc nền đàn hồi

ix

nx Tham số vật liệu theo chiều dài (dầm sandwich 2D-FGM)

nz Tham số vật liệu theo chiều cao (dầm sandwich 2D-FGM)

P1 Tính chất vật liệu của vật liệu M1



P f Tính chất hiệu dụng

Pc Tính chất vật liệu của gốm

Pm Tính chất vật liệu của kim loại

u(x,z, t) Chuyển vị dọc trục của điểm bất kì của dầm

u0 Chuyển vị dọc trục của điểm trên mặt giữa dầm

v Vận tốc lực di động

U Năng lượng biến dạng đàn hồi của dầm

UF Năng lượng biến dạng của nền đàn hồi

T Động năng của dầm

V Thế năng của lực di động

V1 Tỷ phần thể tích của vật liệu M1 (dầm 2D-FGSW ba pha)



Vc Tỷ phần thể tích của gốm (dầm 2D-FGSW hai pha)

Vm Tỷ phần thể tích của kim loại (dầm 2D-FGSW hai pha)

rm Tỉ số khối lượng

s(t) Hàm mô tả chuyển động của lực di động

w(x,z, t) Chuyển vị ngang (theo phương trục z) của điểm thuộc dầm

w0 Chuyển vị ngang (theo phương trục z) của điểm trên mặt giữa

wb(x, t) Thành phần uốn của chuyển vị ngang

ws(x, t) Thành phần trượt của chuyển vị ngang

wz(x, t) Độ dãn theo chiều dày

w(L/2, t) Độ võng động tại giữa dầm

wst Độ võng tĩnh tại giữa dầm

x

z0, z1, z2, z3 Tọa độ theo chiều cao của mặt đáy, hai mặt phân chia

các lớp và mặt trên dầm

Véc-tơ và ma trận

cm Ma trận cản sinh ra từ khối lượng di động

D Véc-tơ chuyển vị nút tổng thể

D Véc-tơ vận tốc nút tổng thể

D Véc-tơ gia tốc nút tổng thể

de Véc-tơ chuyển vị nút của phần tử dầm

F Véc-tơ lực nút tổng thể

fex Véc-tơ tải trọng nút phần tử

fm Véc-tơ lực nút phần tử do khối lượng di động

H Ma trận các hàm dạng Hermite

H7 Ma trận của hàm nội suy bậc bảy

K Ma trận độ cứng tổng thể

ke Ma trận độ cứng phần tử

kF Ma trận độ cứng do nền biến dạng

km Ma trận độ cứng ra từ khối lượng di động

M Ma trận khối lượng tổng thể

N Ma trận các hàm dạng tuyến tính

N5 Ma trận của hàm nội suy bậc năm

me Ma trận khối lượng phần tử

mm Ma trận khối lượng sinh ra từ khối lượng di động

Chữ cái Hy Lạp

αF Tham số chiều dài nền đàn hồi

∆t Bước thời gian

∆T Tổng thời gian để tải trọng đi hết chiều dài dầm

xi

εxx Biến dạng dọc trục theo phương trục x

εzz Biến dạng theo phương trục z

γ0 Góc trượt ngang

γxz Biến dạng trượt

µ1 Tham số tần số cơ bản

µi Tham số tần số thứ i

ν f Hệ số Poisson hiệu dụng

ω1 Tần số dao động cơ bản

ωi Tần số dao động tự nhiên thứ i của dầm

ψ Hệ số điều chỉnh trượt

ρc Mật độ khối của gốm

ρm Mật độ khối của kim loại

ρ f Mật độ khối hiệu dụng của dầm

σxx Ứng suất pháp theo trục x

σzz Ứng suất pháp theo trục z

τxz Ứng suất trượt (ứng suất tiếp)

θ Góc quay của thiết diện ngang

ξ Tọa độ tự nhiên

Chữ viết tắt

CPVP Cầu phương vi phân

FGM Vật liệu có cơ tính biến thiên (Functionally Graded Material)

FBKO Phần tử dầm sử dụng hàm nội suy Kosmatka

FSDT Lý thuyết biến dạng trượt bậc nhất

TBSE Phần tử dầm dựa theo lý thuyết bậc ba Shimpi-Patel

TBSH Phần tử dầm dựa theo lý thuyết bậc ba Shi

PTHH Phần tử hữu hạn

Q3DB Phần tử dầm dựa trên lý thuyết tựa 3D

Danh sách hình vẽ

Hình 1.1 Dầm 2D-FGM trong hệ tọa độ Đề-các (0xz) . . . . . . . . . . . . . 11

Hình 1.2 Mô hình dầm sandwich FGM với cơ tính biến đổi ngang . . . . . . 13

Hình 2.1 Mô hình dầm 2D-FGSW hai pha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

Hình 2.2 Phân bố tỷ phần thể tích Vc và Vm của dầm 2D-FGSW hai pha

với z1 =−h/10, z2 = 3h/10, nx = nz = 0.5 và nx = nz = 3. . . . . . . 20

Hình 2.3 Mô hình dầm 2D-FGSW ba pha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

Hình 2.4 Phân bố tỷ phần thể tích của các vật liệu thành phần theo chiều

cao và chiều dài của dầm 2D-FGSW ba pha với nx = nz = 0.5, z1 =

−z2 =−h/5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

Hình 3.1 Sơ đồ khối tính đáp ứng động lực học của dầm sandwich 2D-

FGSW chịu khối lượng m di động sử dụng phần tử dầm Q3DB . . . . . . 60

Hình 4.1 Phân bố của mô đun-đàn hồi E f và mật độ khối ρ f của dầm ba

pha (1-1-1) lõi mềm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

Hình 4.2 Ảnh hưởng của tham số vật liệu tới bốn tham số tần số đầu tiên

của dầm SS ba pha. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67


của dầm CC ba pha. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71


của dầm CF ba pha. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

Hình 4.5 Ba dạng dao động đầu tiên của dầm (1-1-1) ba pha tựa giản đơn:

a) nx = 0, nz = 2, b) nx = 2, nz = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

Hình 4.6 Sự phụ thuộc của tham số tần số µ1 vào tỷ số L/h của dầm 2D-

FGSW ba pha với nx = nz = 2 và tỉ số độ dày các lớp khác nhau: a)

Dầm SS, b) Dầm CF. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

Hình 4.7 Sự phụ thuộc của tham số tần số µ1 của dầm SS ba pha (2-

1-2) nằm một phần trên nền đàn hồi vào các tham số nx và nz với

(k1,k2) = (100,10) và các giá trị khác nhau của αF . . . . . . . . . . . . 78

xii

xiii

Hình 4.8 Ảnh hưởng của độ cứng nền đàn hồi tới tham số tần số µ1 của

dầm SS ba pha (2-1-2) nằm một phần trên nền đàn hồi với αF = 0.5,

nx = nz = 0.5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

Hình 4.9 Phân bố của mô đun-đàn hồi E f và mật độ khối ρ f của dầm hai

pha (1-1-1). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

Hình 4.10 Sự hội tụ của phần tử dầm dựa trên lý thuyết Shimpi-Patel với

hàm nội suy không làm giàu trong đánh giá µ1 của dầm hai pha (

L/h = 10): (a) Dầm SS, (b) Dầm CC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

Hình 4.11 Sự phụ của tham số tần số µ1 vào các tham số vật liệu của dầm

hai pha nhận được từ các mô hình cơ học vi mô khác nhau. . . . . . . . . 90

Hình 4.12 Sự phụ thuộc của các tham số tần số µi (i = 1...4) vào các tham

số vật liệu nx và nz của dầm SS hai pha (1-1-1) (L/h = 10). . . . . . . . . 90

Hình 4.13 Sự phụ thuộc của các tham số tần số µi (i = 1...4) vào các tham

số vật liệu nx và nz của dầm CC (1-1-1) hai pha (L/h = 10). . . . . . . . . 91

Hình 4.14 Sự phụ thuộc của các tham số tần số µi (i = 1...4) vào tham số

vật liệu nx và nz của dầm CF (1-1-1) hai pha (L/h = 10). . . . . . . . . . 92

Hình 4.15 Các dạng dao động của dầm SS (2-1-1) hai pha với L/h = 5. a)

nx = 0, nz = 5, nx = 5, nz = 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

Hình 4.16 Ảnh hưởng của độ mảnh đến tham số tần số µ1 của dầm 2D-

FGSW hai pha: a) Dầm SS, b) Dầm CC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

Hình 4.17 Dầm ba pha lõi cứng tựa giản đơn chịu lực di động. . . . . . . . . . 95

Hình 4.18 Phân bố của mô-đun đàn hồi E f và mật độ khối ρ f của dầm ba

pha (1-1-1) lõi cứng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

Hình 4.19 So sánh độ võng động tại giữa dầm sandwich 1D-FGM với

L/h = 10, nz = 0.5, v = 50 m/s. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

Hình 4.20 Đường cong quan hệ giữa độ võng tại giữa dầm với thời gian của

dầm ba pha với các vận tốc khác nhau của lực di động: (a) Dầm (4-

1-4), nx = nz = 0.5; (b) Dầm (2-2-1), nx = nz = 0.5. (c) Dầm (4-1-4),

nx = nz = 3. (d) Dầm (2-2-1), nx = nz = 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

Hình 4.21 Mối liên hệ giữa hệ số Dd với tham số vật liệu nz của dầm (2-2-1)

ba pha. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

xiv

Hình 4.22 Mối liên hệ giữa hệ số động lực học Dd và vận tốc lực di động

của dầm (2-2-1) ba pha: a) nx = 0.5, nz thay đổi; b) nz = 0.5, nx thay đổi. 99

Hình 4.23 Mối liên hệ giữa hệ số động lực học Dd với các tham số vật liệu

nx và nz của dầm ba pha (v = 50m/s). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

Hình 4.24 Mối liên hệ giữa hệ số động lực học Dd và vận tốc lực di động

của dầm 2D - FGSW với tỉ lệ độ mảnh L/h khác nhau ( nx = nz = 2). . . . 101

Hình 4.25 Mối liên hệ của độ võng tại giữa dầm theo thời gian của dầm ba

pha chịu lực di động với vận tốc thay đổi (nx = nz = 0.5, v = 100 m/s). . . 102

Hình 4.26 Mối liên hệ giữa hệ số động lực học Dd với vận tốc của lực di

động của dầm (2-1-2) chịu lực di động với vận tốc thay đổi. . . . . . . . . 103

Hình 4.27 Dầm 2D-FGSW hai pha tựa một phần trên nền đàn hồi chịu khối

lượng di động. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

Hình 4.28 Mối liên hệ giữa độ võng tại giữa dầm với thời gian của dầm hai

pha (2-1-1) với L/h = 20, nx = nz = 0.5, rm = 0.5, αF = 0.5 và các

giá trị khác nhau của v và (k1,k2). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

Hình 4.29 Mối liên hệ giữa độ võng tại giữa dầm với thời gian của dầm hai

pha (2-1-1) với L/h = 20, nx = nz = 0.5, k1 = 100, k2 = 10, v = 50

m/s và các giá trị khác nhau của αF và rm. . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

Hình 4.30 Mối liên hệ giữa hệ số động lực học Dd với vận tốc v của khối

lượng di động với L/h = 20, k1 = 100, k2 = 10, rm = 0.5 và các giá

trị khác nhau của αF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

Hình 4.31 Mối liên hệ giữa hệ số động lực học Dd với vận tốc v của khối

lượng di động của dầm hai pha (2-1-1) với L/h = 20, k1 = 100, k2 =

10, αF = 0.5 và các giá trị khác nhau của rm. . . . . . . . . . . . . . . . 113

Hình 4.32 Sự biến thiên của hệ số động lực học theo tham số vật liệu của

dầm hai pha (2-1-1) với L/h = 20, rm = 0.5, k1 = 100, k2 = 10 và

v = 50 m/s. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

Hình 4.33 Mối liên hệ giữa hệ số Dd với các tham số vật liệu nhận được từ

hai mô hình cơ học vi mô của dầm hai pha với L/h = 20, k1 = 100,

k2 = 10, rm = 0.5, v = 50 m/s). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

Hình 4.34 Mối liên hệ giữa hệ số động lực học của dầm hai pha (2-1-1)

với tham số độ cứng nền đàn hồi (L/h = 20, nx = nz = 0.5, rm =

0.5, αF = 0.5). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

xv

Hình 4.35 Phân bố theo chiều cao dầm của ứng suất pháp σxx của dầm hai

pha (2-1-1) với L/h = 10, nx = 0.5, k1 = 100, k2 = 10, rm = 0.5 và

v = 50 m/s. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

Hình 4.36 Phân bố theo chiều cao dầm của ứng suất pháp σzz của dầm hai


v = 50 m/s. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

Hình 4.37 Phân bố theo chiều cao dầm của ứng suất tiếp τxz của dầm hai


v = 50 m/s. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

Hình 4.38 Ảnh hưởng của mô hình vật liệu vi mô đến phân bố theo chiều

cao của ứng suất pháp σxx của dầm hai pha với L/h = 10, nx = 0.5,

k1 = 100, k2 = 10, rm = 0.5, αF = 0.4 và v = 50 m/s. . . . . . . . . . . . 120

Hình 4.39 Ảnh hưởng của mô hình cơ học vi mô đến sự phân bố theo chiều

cao dầm của ứng suất tiếp của dầm hai pha với L/h = 10, nx = 0.5,

k1 = 100, k2 = 10, rm = 0.5, αF = 0.4 và v = 50 m/s. . . . . . . . . . . . 120

Danh sách bảng

Bảng 4.1 So sánh tham số tần số µ1 của dầm 1D-FGSW tựa giản đơn

(L/h = 20). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

Bảng 4.2 Sự hội tụ của phần tử TBSH trong đánh giá tham số tần số µ1

của dầm SS ba pha. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

Bảng 4.3 Tham số tần số µ1 của dầm SS ba pha với L/h = 20 và các giá

trị khác nhau của tham số vật liệu và tỉ số độ dày giữa các lớp. . . . . . . 68

Bảng 4.4 Tham số tần số µ1 của dầm CC ba pha với L/h = 20 và các giá


Bảng 4.5 Tham số tần số µ1 của dầm CF ba pha với L/h = 20 và các giá


Bảng 4.6 Tham số tần số µ1 của dầm SS ba pha với L/h = 5 và các giá

trị khác nhau của tham số vật liệu và tỉ số độ dày các lớp. . . . . . . . . . 74

Bảng 4.7 Tham số tần số µ1 của dầm SS ba pha nằm một phần trên nền

đàn hồi với L/h = 10, (k1,k2)=(100,10). . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

Bảng 4.8 Tham số tần số µ1 của dầm CC ba pha nằm một phần trên nền

đàn hồi với L/h = 10, (k1,k2)=(100,10). . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

Bảng 4.9 Tham số tần số µ1 của dầm CF ba pha nằm một phần trên nền

đàn hồi với L/h = 10, (k1,k2)=(100,10). . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

Bảng 4.10 Sự hội tụ của phần tử FBKO và TBSH trong đánh giá tham số

tần số cơ bản của dầm 2D-FGSW ba pha . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

Bảng 4.11 So sánh tham số tần số µ1 của dầm 1D-FGSW với các điều kiện

biên khác nhau (L/h = 10). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

Bảng 4.12 So sánh tham số tần số µ1 của dầm 2D-FGM với L/h = 20. . . . . . 84

Bảng 4.13 Sự hội tụ của phần tử TBSE trong đánh giá tần số dao động cơ

bản của dầm 2D-FGSW hai pha với L/h = 10 và các điều kiện biên

khác nhau (Mô hình Voigt). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

Bảng 4.14 Tham số tần số µ1 của dầm 2D-FGSW hai pha với L/h = 5. . . . . . 87

Bảng 4.15 Tham số tần số µ1 của dầm 2D-FGSW hai pha với L/h = 20. . . . . 88

xvi

xvii

Bảng 4.16 Bốn tham số tần số đầu tiên của dầm hai pha với L/h = 5 (Mô

hình Mori-Tanaka). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

Bảng 4.17 So sánh tham số tần số µ1 của dầm (1-1-1) 1D-FGSW tựa giản

đơn nằm hoàn toàn trên nền đàn hồi với L/h = 10. . . . . . . . . . . . . . 106

Bảng 4.18 So sánh tham số tần số cơ bản của dầm 2D-FGM có cơ tính biến

thiên theo chiều dài và chiều cao của dầm. . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

Bảng 4.19 So sánh hệ số động lực học Dd của dầm FGM chịu khối lượng

di động. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

Bảng 4.20 Sự hội tụ của phần tử Q3DB trong đánh giá hệ số động lực học

của dầm hai pha đối xứng (2-1-2) (L/h= 20, rm = 0.5, k1 = 50, k2 = 5

và v = 50 m/s). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

Bảng 4.21 Sự hội tụ của phần tử Q3DB trong đánh giá hệ số động lực học

của dầm hai pha bất đối xứng (2-1-1) (L/h = 20, rm = 0.5, k1 = 50,

k2 = 5 và v = 50 m/s). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

Bảng 4.22 Hệ số động lực học của dầm hai pha với L/h = 5, k1 = 100,

k2 = 10, rm = 0.5, v = 50 (m/s) và các giá trị khác nhau của αF và (nx, nz). 114

Bảng 4.23 Hệ số động lực học của dầm hai pha với L/h = 20, k1 = 100,

k2 = 10, rm = 0.5, v = 50 m/s và các giá trị khác nhau của αF và (nx, nz). 115

MỞ ĐẦU

Tính cấp thiết của đề tài

Vật liệu có cơ tính biến thiên (Functionally Graded Material - FGM), một loại

composite mới được các nhà khoa học Nhật Bản khởi tạo lần đầu tiên vào năm 1984,

ngày càng được sử dụng nhiều trong thực tiễn, đặc biệt trong các ngành công nghệ

cao. Vật liệu composite nhiều lớp truyền thống, trong đó vật liệu nền, thường là các

polymer, gia cường bằng các sợi, được sử dụng phổ biến trong những thập niên trước

đây, có sự không liên tục về ứng suất trên bề mặt sợi gia cường và phần nền. Trong

môi trường nhiệt độ cao, do sự chênh lệch lớn giữa các hệ số giãn nở nhiệt của các vật

liệu thành phần dẫn tới sự hình thành các vết nứt, dẫn đến sự phá hủy. Các tính chất

của FGM thay đổi liên tục theo các tọa độ không gian, khắc phục được các nhược

điểm nêu trên của vật liệu composite truyền thống. FGM, vì thế, ngày càng được sử

dụng rộng rãi như là vật liệu kết cấu sử dụng trong các môi trường khắc nghiệt như

nhiệt độ cao, tính mài mòn của a-xít lớn.

Kết cấu sandwich với tỷ số độ cứng trên khối lượng cao, được sử dụng rộng

rãi trong nhiều ngành công nghiệp. Kết cấu sandwich thường gồm một lõi và hai lớp

vỏ với độ cứng cao hơn lớp lõi. Do vật liệu lõi và vật liệu lớp ngoài làm từ các vật

liệu khác nhau, kết cấu sandwich dễ bị tách lớp trong quá trình kết cấu chịu tải, nhất

là trong môi trường nhiệt độ cao. Với sự tiến bộ của các phương pháp sản xuất[1, 2],

FGMs đã được sử dụng để chế tạo các phần tử kết cấu sandwich. Với sự lựa chọn thích

hợp tỷ phần thể tích của các vật liệu thành phần, kết cấu sandwich FGM có thể được

chế tạo sao cho các tính chất của vật liệu liên tục giữa các lớp, khắc phục được sự tách

lớp nêu trên của kết cấu sandwich thông thường. Ưu điểm mở ra nhiều ứng dụng cho

kết cấu sandwich FGM. Nghiên cứu ứng xử cơ học của kết cấu sandwich FGM thu

hút được sự quan tâm của nhiều nhà khoa học trong thời gian gần đây.

Dầm là phần tử kết cấu quan trọng, thường được thiết kế để chịu các tải trọng

động khác nhau. Với sự phát triển của các vật liệu mới, nghiên cứu mất ổn định và

dao động của dầm composite nói chung, dầm sandwich FGM nói riêng là chủ đề quan

trọng, thúc đẩy việc sử dụng FGM. Trong lĩnh vực động lực học kết cấu, dao động

của dầm dưới tác động của tải trọng di động là bài toán đặc biệt, trong đó sự thay đổi

vị trí của tải trọng là nguồn gây rung động duy nhất. Bài toán này, xuất phát từ các

1

2

yêu cầu trong thiết kế cầu, đường trong lĩnh vực giao thông vận tải, hiện đóng vai trò

quan trọng trong các hoạt động và chế tạo máy móc, thiết bị [3]. Cùng với sự phát

triển của các loại vật liệu mới trong đó có vật liệu FGM, nghiên cứu dao động của

dầm làm từ vật liệu này là đòi hỏi cấp bách của thực tiễn. Dầm sandwich FGM có

thể phân làm hai loại: dầm sandwich có cơ tính biến đổi theo chiều cao (functionally

graded sandwich beams - dầm 1D-FGSW) và dầm sandwich có cơ tính biến đổi theo

cả chiều cao và chiều dài dầm (bidirectionally functionally graded sandwich beams

- dầm 2D-FGSW). Các hệ số trong phương trình vi phân chuyển động của dầm 2D-

FGSW là hàm của tọa độ dọc theo chiều dài dầm, các phương pháp giải tích truyền

thống, vì thế thường gặp khó khăn trong việc phân tích dầm 2D-FGSW. Phương pháp

số, đặc biệt là phương pháp phần tử hữu hạn (PTHH), thường được sử dụng như là

công cụ thay thế để phân tích kết cấu dầm 2D-FGSW. Phát triển các mô hình PTHH

để nghiên cứu dao động của dầm sandwich FGM có cơ tính biến đổi không chỉ theo

chiều cao mà theo cả chiều cao và chiều dài dầm là bài toán quan trọng, có ý nghĩa

khoa học và thực tiễn, góp phần thúc đẩy việc sử dụng loại vật liệu mới này an toàn

và hiệu quả hơn.

Từ những phân tích được nêu ở trên, NCS đã lựa chọn đề tài :"Mô hình phần tử

hữu hạn trong phân tích kết cấu dầm sandwich FGM" làm đề tài nghiên cứu cho luận

án của mình.

Mục tiêu của luận án

Mục tiêu của luận án là xây dựng các mô hình phần tử hữu hạn và ứng dụng

trong phân tích dao động của dầm 2D-FGSW dưới tác động của tải trọng di động. Để

thực hiện mục tiêu này luận án đề ra các công việc chính sau đây.

1. Xây dựng mô hình PTHH dùng trong phân tích dao động tự do và dao động

cưỡng bức của dầm 2D-FGSW chịu tải trọng di động. Cụ thể: tiến hành thiết lập

các ma trận độ cứng, ma trận khối lượng và véc-tơ tải trọng di động cho phần

tử dầm 2D-FGSW. Các mô hình được xây dựng dựa trên cơ sở một số lý thuyết

biến dạng trượt khác nhau, có tính tới ảnh hưởng của nền đàn hồi.

2. Phát triển chương trình tính toán số để xác định các đặc trưng dao động của

dầm 2D-FGSW. Chương trình tính toán được xây dựng trên cơ sở mô hình PTHH

nhận được nói trên và các thuật toán số trong phân tích động lực học kết cấu.

3

3. Sử dụng chương trình tính toán số nhận được, tiến hành phân tích số các bài

toán cụ thể để đánh giá ảnh hưởng của các tham số hình học, vật liệu dầm, tham

số của tải trọng di động tới các đặc trưng cơ học của dầm. Trên cơ sở kết quả số

nhận được, luận án đưa ra các nhận xét và khuyến cáo cần thiết.

Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

• Đối tượng của luận án là kết cấu dầm sandwich ba lớp làm từ vật liệu composite

hai pha và ba pha (vật liệu composite tạo từ hai và ba vật liệu thành phần) với

cơ tính biến đổi theo cả chiều cao và chiều dài dầm. Trong luận án các dầm này

được ký hiệu là dầm 2D-FGSW hai pha và dầm 2D-FGSW ba pha. Thiết diện

ngang của dầm được giả định là đồng nhất, ứng xử của vật liệu dầm là đàn hồi

tuyến tính.

• Phạm vi nghiên cứu của luận án là bài toán dao động tự do và dao động cưỡng

bức của dầm 2D-FGSW hai, ba pha dưới tác động của tải trọng di động. Hai loại

tải trọng di động là lực di động và khối lượng di động được quan tâm nghiên

cứu trong luận án. Vật liệu dầm được giả thiết là đàn hồi tuyến tính và độ võng

dầm là nhỏ.

Phương pháp nghiên cứu

Hai phương pháp nghiên cứu được sử dụng trong luận án là phương pháp giải

tích và phương pháp mô phỏng số bằng PTHH. Cụ thể:

• Phương pháp giải tích dùng trong cơ học kết cấu và vật rắn biến dạng được sử

dụng để xây dựng mô hình toán học, thiết lập các phương trình cân bằng và vi

phân chuyển động cho dầm.

• Phương pháp PTHH được sử dụng để tính toán tần số dao động riêng và tính

toán đáp ứng động lực học của dầm với các điều kiện biên khác nhau.

Ngoài ra phương pháp tính toán symbolic trên cơ sở phần mềm Maple cũng được sử

dụng để hỗ trợ trong việc xây dựng mô hình toán học và phát triển chương trình tính

toán số.

4

Bố cục của luận án

Ngoài phần Mở đầu, luận án gồm 4 Chương và phần Kết luận với các nội dung

chính sau đây.

Chương 1 trình bày tổng quan tình hình nghiên cứu trong nước và trên thế giới

về phân tích kết cấu dầm FGM, dầm sandwich FGM. Vì số lượng công bố liên quan

tới dầm có cơ tính thay đổi theo một phương (dầm 1D-FGM) lớn nên chương này chỉ

thảo luận các công bố liên quan tới đề tài luận án, cụ thể những kết quả trong phân

tích dao động của dầm FGM. Các kết quả công bố liên quan đến dầm 2D-FGM và

dầm 2D-FGSW được quan tâm phân tích chi tiết. Trong chương này, NCS cũng nhấn

mạnh tới phương pháp nghiên cứu để thấy rõ được lý do luận án lựa chọn phương

pháp PTHH làm công cụ nghiên cứu.

Chương 2 trình bày mô hình toán học cho dầm 2D-FGSW. Hai loại dầm 2D-

FGSW sử dụng trong luận án là dầm 2D-FGSW hai pha và 2D-FGSW ba pha với cơ

tính biến thiên theo chiều cao và chiều dài dầm theo các hàm số lũy thừa. Để luận

án phong phú và tăng khả năng công bố, mô hình toán học được xây dựng cho bốn

lý thuyết dầm, đó là lý thuyết biến dạng trượt bậc nhất (First-order shear deformation

theory - FSDT), lý thuyết biến dạng trượt bậc ba của Shi (Third-order shear deforma-

tion theory of Shi - gọi tắt là Lý thuyết bậc ba Shi), lý thuyết biến dạng trượt bậc ba

của Shimpi và Patel (Third-order shear deformation theory by Shimpi and Patel - gọi

tắt là Lý thuyết bậc ba Shimpi-Patel) và lý thuyết biến dạng trượt tựa-3D (Quasi-3D

shear deformation theory - gọi tắt là Lý thuyết tựa 3D). Bên cạnh đó, chương này cũng

đưa ra biểu thức năng lượng biến dạng của nền đàn hồi Pasternak và thế năng của tải

trọng di động. Để minh họa, cuối chương trình bày phương trình vi phân chuyển động

cho dầm 2D-FGSW theo lý thuyết bậc ba của Shi.

Chương 3 xây dựng các mô hình PTHH cho dầm 2D-FGSW trên cơ sở các lý

thuyết biến dạng trượt trong Chương 2. Mô hình PTHH được xây dựng với việc lựa

chọn hợp lý các hàm nội suy để đảm bảo tính chính xác và tăng sự hội tụ. Ma trận độ

cứng của nền đàn hồi và các ma trận khối lượng, cản, độ cứng, véc-tơ lực nút phần tử

sinh ra do tải trọng di động cũng được xây dựng trong chương này. Phương pháp tích

phân trực tiếp Newmak với thuật toán gia tốc trung bình để tính đáp ứng động lực học

của dầm được trình bày ở cuối chương.

Chương 4 tập trung trình bày các kết quả số nhận được trong phân tích các bài

5

toán cụ thể. Tần số dao động riêng và các dạng dao động của dầm 2D-FGSW hai pha

và ba pha được trình bày chi tiết dưới dạng các bảng biểu và hình vẽ. Sự hội tụ của

phần tử với hàm nội suy làm giàu trong đánh giá tần số dao động của dầm 2D-FGSW

được thảo luận. Ảnh hưởng của sự phân bố vật liệu, hình học dầm, tham số tải trọng

di động và nền đàn hồi tới ứng xử động lực học của dầm 2D-FGSW được trình bày

chi tiết. Ảnh hưởng của hai mô hình cơ học vi mô, mô hình Voigt và mô hình Mori-

Tanaka dúng trong đánh giá các tính chất đàn hồi của vật liệu FGM, tới các đặc trưng

dao động của dầm cũng được đánh giá trong Chương 4 này.

Những kết luận chính rút ra từ Luận án và các khuyến nghị cho nghiên cứu tiếp

theo được trình bày trong phần Kết Luận của luận án.

Điểm mới của luận án

Luận án có một số điểm mới sau đây:

1. Mô hình dầm sandwich với lõi là vật liệu thuần nhất và hai lớp ngoài làm từ

FGM ba pha với cơ tính biến thiên theo cả chiều cao và chiều dài dầm theo quy

luật hàm số lũy thừa được đề nghị lần đầu tiên trong luận án.

2. Các mô hình PTHH với các hàm nội suy lựa chọn cho phân tích dao động của

dầm 2D-FGSW được xây dựng lần đầu tiên trong luận án này.

3. Ảnh hưởng của mô hình cơ học vi mô, cụ thể mô hình Voigt và mô hình Mori-

Tanaka, tới đáp ứng động lực học của dầm 2D-FGSW chịu khối lượng di động

được đánh giá lần đầu trong luận án. Ảnh hưởng của một phần nền đàn hồi tới

dao động của dầm 2D-FGSW với khối lượng di động cũng được nghiên cứu đầu

tiên trong luận án.

Chương 1

TỔNG QUAN

Chương này trình bày tổng quan tình hình nghiên cứu trong lĩnh vực phân

tích dầm FGM, dầm sandwich FGM trên thế giới. Các kết quả và phương pháp

nghiên cứu liên quan tới dao động của dầm sandwich FGM được trình bày chi

tiết. Một số kết quả nghiên cứu của các nhà khoa học trong nước cũng được thảo

luận. Cuối chương trình bày định hướng nghiên cứu của luận án.

1.1. Vật liệu có cơ tính biến thiên

Vật liệu có cơ tính biến thiên (FGM) được khởi tạo lần đầu tiên bởi các nhà

khoa học Nhật Bản vào năm 1984 tại Sendai [4], với ứng dụng ban đầu như là vật liệu

cách nhiệt dùng trong công nghiệp vũ trụ. FGM là vật liệu composite, được tạo từ hai

hay nhiều thành phần, thường là gốm và kim loại, trong đó tỷ phần thể tích của các vật

liệu thành phần thay đổi liên tục theo một hoặc nhiều hướng không gian. Với tính chất

cơ-lý thay đổi liên tục, FGM không có các nhược điểm như các vật liệu composite

truyền thống, ngày càng được sử dụng rộng rãi trong nhiều ngành công nghiệp khác

nhau, đặc biệt trong các môi trường khắc nghiệt [5, 6]. FGMs có thể được phân ra

làm các dạng khác nhau, tùy thuộc vào quy luật thay đổi tỷ phần thể tích của các vật

liệu thành phần. Dạng phổ biến và được quan tâm nghiên cứu nhiều nhất là FGM với

quy luật hàm số lũy thừa (Power-law FGM). Chẳng hạn dầm FGM hai pha, pha gốm

và pha kim loại, tỷ phần thể tích của pha gốm (Vc) và pha kim loại (Vm) thay đổi theo

chiều cao dầm theo hàm số lũy thừa

Vc =

(

z

h+

1

2

)n

, Vm = 1−Vc (1.1)

trong đó h là chiều cao dầm; z - tọa độ theo chiều cao, tính từ mặt giữa dầm; n - chỉ

số mũ, không âm, xác định sự phân bố của vật liệu thành phần. Bên cạnh FGM với

quy luật lũy thừa (1.1), kết cấu FGM với quy luật hàm số mũ và quy luật Sigmoid [7]

cũng được một số tác giả quan tâm nghiên cứu. Luận án này chỉ quan tâm nghiên cứu

dầm làm từ FGM với quy luật hàm lũy thừa, vì thế, để tránh phức tạp, các biểu thức

toán học cho dầm Sigmoid FGM và dầm với quy luật số mũ FGM không trình bày ở

đây.

6

7

Các tính chất hiệu dụng của dầm FGM có thể được đánh giá bằng một số mô

hình cơ học vi mô khác nhau. Phổ biến và đơn giản nhất là mô hình Voigt, trong đó

tính chất hiệu dụng (P f ), chẳng hạn mô-đun đàn hồi hoặc mật độ khối, của FGM với

tỷ phần thể tích theo phương trình (1.1) cho bởi

P f = (Pc −Pm)Vc +Pm (1.2)

với Pc và Pm tương ứng là tính chất của gốm và kim loại.

Mô hình Mori-Tanaka [8] cũng được nhiều nhà khoa học sử dụng để đánh giá

tính chất hiệu dụng của FGM. Mô-đun khối hiệu dụng (K f ) và mô-đun trượt hiệu

dụng (G f ) trong mô hình Mori-Tanaka cho bởi

K f −Km

Kc −Km

=Vc

1+(1−Vc)(Kc −Km)/(Km +4Gm/3)

G f −Gm

Gc −Gm

=Vc

1+(1−Vc)(Gc −Gm)

Gm +Gm(9Km +8Gm)/(6Km +12Gm)

(1.3)

trong đó Kc, Gc, Km, Gm tương ứng là mô-đun khối và mô-đun trượt của các pha gốm

và kim loại. Mô-đun đàn hồi hiệu dụng (E f ) và hệ số Poisson hiệu dụng (ν f ) được

tính qua mô-đun khối và mô-đun trượt hiệu dụng như sau

E f =9K f G f

3K f +G f

, ν f =3K f −2G f

6K f +2G f

(1.4)

Cần nhấn mạnh rằng mô hình Voigt, mặc dù đơn giản và được nhiều nhà khoa

học sử dụng nhưng không thỏa mãn các đánh giá Hashin-Strickman [9]. Thêm vào

đó, tần số dao động riêng của dầm FGM nhận được từ mô hình Voigt cao hơn hẳn tần

số nhận được từ các mô hình Mori-Tanaka và Hashin-Strickman [10].

1.2. Tình hình nghiên cứu trên thế giới

1.2.1. Dầm 1D-FGM

Nghiên cứu ứng xử cơ học của kết cấu FGM nói chung, dầm FGM có cơ tính

biến đổi theo một phương (dầm 1D-FGM) nói riêng được quan tâm đặc biệt trong hai

thập kỷ gần đây. Một số lớn các công trình liên quan tới phân tích dầm FGM đã được

công bố và tập hợp thành sách chuyên khảo [11]. Dưới đây chỉ thảo luận một số công

bố có liên quan tới đề tài của luận án.

Dao động tự do của dầm FGM với cơ tính biến đổi theo chiều cao là những

công bố đầu tiên về dao động của dầm FGM. Điển hình trong số này là các công

8

trình của các tác giả Mahi cùng cộng sự [7], Aydogdu và Taskin [12], Benatta và cộng

sự [13], Sina và cộng sự [14], Huang và Li [15], Wattanasakulpong và cộng sự [16],

trong đó các phương pháp giải tích được sử dụng để tính toán tần số dao động riêng

của dầm. Các nghiên cứu này chỉ ra rằng tính không đồng nhất về vật liệu thông qua

chỉ số mũ n và nhiệt độ môi trường có ảnh hưởng quan trọng tới tần số dao động riêng

của dầm. Đặc biệt, một số tác giả nghiên cứu ảnh hưởng của các lý thuyết dầm khác

nhau tới tần số dao động riêng của dầm FGM [7, 17].

Phương pháp giải tích và bán giải tích cũng được sử dụng trong nghiên cứu dao

động của dầm FGM chịu các tải trọng khác nhau. Simsek và Kocaturk [18] sử dụng

các đa thức bậc cao để xấp xỉ trường chuyển vị để thiết lập phương trình chuyển động

dạng rời rạc cho dầm Euler-Bernoulli FGM chịu tải trọng điều hòa di động. Đáp ứng

động lực học của dầm được các tác giả tính toán với sự trợ giúp của phương pháp tích

phân trực tiếp Newmark. Cũng với phương pháp nêu trên Simsek và cộng sự đã nghiên

cứu ứng xử động lực học của dầm FGM có cơ tính biến đổi ngang [19] và cơ tính biến

đổi dọc [20] chịu tải trọng di động. Các tác giả chỉ ra rằng, bên cạnh vận tốc và độ

lớn của tải di động, chỉ số mũ n cũng đóng vai trò quan trọng tới các đặc trưng dao

động của dầm. Phương pháp Ritz được Khalili và đồng nghiệp [21] sử dụng kết hợp

với phương pháp CPVP để tính toán đáp ứng động lực học của dầm Euler-Bernoulli

FGM chịu tác động của lực hoặc khối lượng di động. Các tác giả chỉ ra rằng phương

pháp đề nghị có một số ưu việt so với phương pháp tích phân trực tiếp Newmark và

phương pháp Wilson. Rajabi và cộng sự [22] sử dụng phương pháp Petrov–Galerkin

để chuyển hệ phương trình vi phân bậc bốn của bài toán dầm Euler-Bernoulli FGM

chịu hệ khối lượng-lò xo di động về hệ phương trình vi phân bậc hai và giải hệ phương

trình nhận được bằng phương pháp Runge-Kutta. Các tác giả đã tiến hành đánh giá sự

phụ thuộc của độ võng động lực học, độ võng cực đại ở giữa dầm vào tham số vật liệu

và vận tốc của tải trọng. Phương pháp Lagrange được Wang và Wu [23] sử dụng cùng

với phương pháp Newmark để nghiên cứu ảnh hưởng của nhiệt độ đồng nhất tới dao

động của dầm Timoshenko PFGM với cơ tính biến đổi theo chiều dài dưới tác động

của lực điều hòa di động. Kết quả số nhận được bởi các tác giả cho thấy độ võng động

học của dầm tăng nhanh khi nhiệt độ tiến gần tới nhiệt độ tới hạn.

Bên cạnh phương pháp giải tích, phương pháp số, đặc biệt là phương pháp cầu

phương vi phân (Differential Quadrature Method, viết tắt là "CPVP") và phương pháp

phần tử hữu hạn (Finite Element Method, viết tắt là "PTHH") cũng được nhiều tác giả

9

sử dụng để nghiên cứu dao động của dầm FGM. Malekzadeh [24], Malekzadeh và

cộng sự [25] sử dụng phương pháp CPVP để tính toán các đặc trưng dao động tự do

của các dầm vòm FGM. Ảnh hưởng của nhiệt độ tới dao động của dầm được các tác

giả quan tâm nghiên cứu. Shahba và Rajasekaran [26] sử dụng kết hợp phương pháp

biến đổi vi phân với phương pháp CPVP bậc thấp để tính tần số dao động riêng và

lực tới hạn của dầm Euler-Bernoulli FGM có thiết diện ngang thay đổi. Rajasekaran

[27], Rajasekaran và Tochaei [28] nghiên cứu dao động và mất ổn định của dầm vát

(tapered beam ) FGM ; Bambill và cộng sự [29] nghiên cứu dao động tự do của dầm

Timoshenko FGM; Ghazaryan và cộng sự [30] phân tích dao động tự do của dầm

FGM với mặt cắt ngang không đồng nhất.

Với thế mạnh vượt trội trong rời rạc hóa và xử lý các vấn đề phức tạp do tính

không đồng nhất về vật liệu, phương pháp PTHH được một số tác giả sử dụng trong

nghiên cứu dao động của dầm FGM. Alshorbagy và cộng sự [31] tính toán tần số dao

động riêng và mốt dao động của dầm FGM với cơ tính biến đổi ngang với sự trợ giúp

của mô hình dầm Euler-Bernoulli hai nút. Shahba và cộng sự nghiên cứu dao động tự

do của dầm vát Euler-Bernoulli [32], dầm vát Timoshenko [33] làm từ vật liệu FGM

với cơ tính biến đổi dọc theo chiều dài dầm. Mô hình PTHH dựa trên lý thuyết dầm

Timoshenko trong [33] sử dụng nghiệm của phương trình vi phân cân bằng thuần nhất

để nội suy trường chuyển vị hội tụ nhanh và không bị nghẽn màng (shear locking).

Eltaher và cộng sự [34, 35] sử dụng mặt trung hòa làm mặt quy chiếu trong việc xây

dựng mô hình PTHH để nghiên cứu dao động tự do của dầm nano FGM. Mô hình

PTHH trên cơ sở lý thuyết dầm Timoshenko được Hemmatnezhada và cộng sự [36]

phát triển cho phân tích dao động tự do phi tuyến của dầm FGM. Gan và cộng sự [37]

phân tích ứng xử động lực học của dầm Timoshenko FGM với cơ tính biến đổi dọc và

thiết diện ngang không đồng nhất với sự trợ giúp của phương pháp PTHH và phương

pháp Newmark. Wang và Wu [38] xét ảnh hưởng của nhiệt độ tới đáp ứng động lực

học của dầm Timoshenko chịu tác động của lực điều hòa di động. Cơ tính của dầm

được giả định tuân theo hàm số lũy thừa dọc theo chiều dài dầm. Esen và cộng sự

[39], Esen [40, 41] xây dựng phần tử dầm Timoshenko hai nút để tính toán đáp ứng

động lực học của dầm FGM chịu khối lượng di động với vận tốc thay đổi. Ảnh hưởng

của nền đàn hồi và nhiệt độ môi trường được tác giả quan tâm nghiên cứu.

10

1.2.2. Dầm 2D-FGM

Phát triển các phần tử kết cấu có cơ tính biến thiên theo hai hoặc nhiều hướng

không gian khác nhau là đòi hỏi của thực tiễn nhằm đáp ứng khả năng chịu tải phức

tạp và tối ưu hóa kết cấu [42]. Nghiên cứu ứng xử cơ học của dầm FGM có cơ tính

thay đổi theo cả chiều cao và chiều dài dầm (Dầm 2D-FGM) được quan tâm nghiên

cứu trong thời gian gần đây. Theo hướng nghiên cứu này Lu và cộng sự [43] đã tiến

hành phân tích ứng xử uốn và biến dạng do nhiệt độ của dầm 2D-FGM. Mô-đun đàn

hồi và hệ số giãn nở nhiệt trong [43] được giả định là các hàm số mũ của tọa độ không

gian dọc theo chiều dài và chiều cao dầm

E(x,z) = E0ek1x+k2z, α(x,z) = α0eγ1x+γ2z (1.5)

với E0 và α0 là các hằng số; k1, k2, γ1 và γ2 là các chỉ số gradient vật liệu theo chiều

dài và chiều cao dầm.

Cũng giả định các tính chất cơ lý của dầm thay đổi theo chiều cao và chiều dài

dầm theo hàm số mũ, Simsek [44] nghiên cứu dao động của dầm 2D-FGM chịu tác

động của các lực di động. Phương trình chuyển động dưới dạng ma trận được thiết

lập nhờ xấp xỉ trường chuyển vị bằng các đa thức và được giải bằng phương pháp tích

phân trực tiếp Newmark. Wang và cộng sự [45] sử dụng phương pháp giải tích để tính

toán tần số dao động riêng của dầm 2D-FGM. Deng và Cheng [46] thiết lập ma trận

độ cứng động lực học để xác định các đặc trưng dao động tự do và cưỡng bức của

dầm Timoshenko FGM với tính chất vật liệu thay đổi theo quy luật hàm số mũ theo

cả chiều cao và chiều dài dầm. Ảnh hưởng của sự phân bố vật liệu tới đáp ứng động

lực học của dầm dưới tác động của lực điều hòa di động được các tác giả khảo sát

chi tiết. Lezgy-Nazargah [47] sử dụng phương pháp PTHH đẳng hình học (NURBS

isogeometric finite element method) để nghiên cứu ứng xử uốn của dầm 2D-FGM

chịu tác động đồng thời của tải trọng cơ-nhiệt. Phương pháp PTHH đẳng hình học

cũng được Huynh và cộng sự [48] sử dụng để nghiên cứu dao động tự do của dầm

2D-FGM. Các tính chất cơ lý của dầm trong [48] thay đổi theo chiều cao và chiều dài

dầm theo các quy luật khác nhau của hàm số lũy thừa và hàm cơ số e. Nguyễn Tân

Tiến và Lee [49] nghiên cứu dao động uốn-xoắn và mất ổn định của dầm thành mỏng

với tính chất vật liệu thay đổi theo chiều cao và chiều dài dầm theo một số quy luật

khác nhau của hàm số lũy thừa. Trên cơ sở lý thuyết dầm Euler-Bernoulli, Heydari và

Jalali [50] tính toán lực tới hạn của dầm 2D-FGM nằm trên nền đàn hồi Hetenyi, xét

11

tới tính không đồng nhất của thiết diện ngang của dầm. Bài toán tối ưu hóa tần số của

dầm 2D-FGM được Kim và đồng nghiệp [51] nghiên cứu với sự trợ giúp của phương

pháp PTHH đẳng tham số. Shafiei và cộng sự [52, 53] sử dụng phương pháp CPVP

để nghiên cứu mất ổn định và dao động tự do của dầm nano 2D-FGM có lỗ rỗng vi

mô. Tỷ phần thể tích của các vật liệu thành phần, gốm (Vc) và kim loại (Vm), được

các tác giả giả định tuân theo hàm lũy thừa

Vc(x,z) =

(

1

2+

z

h

)nz ( x

L

)nx

, Vm = 1−Vc (1.6)

trong đó nx và nz là các tham số vật liệu, xác định sự phân bố của các vật liệu thành

phần theo chiều dài và chiều cao dầm; h và L tương ứng là chiều cao và chiều dài dầm

như minh họa trên Hình 1.1.

Hình 1.1. Dầm 2D-FGM trong hệ tọa độ Đề-các (0xz)

Các lý thuyết dầm khác nhau và phương pháp thủy động lực học các hạt trơn đối

xứng (Symmetric smoothed particle hydrodynamics method) được Karamanli [54] sử

dụng để nghiên cứu ứng xử uốn của dầm 2D-FGM. Các tính chất vật liệu được giả

định thay đổi theo chiều dài và chiều cao dầm theo hàm số lũy thừa. Dao động tự

do của dầm 2D-FGM với các điều kiện biên khác nhau và cơ tính thay đổi theo quy

luật hàm số mũ được nghiên cứu trong [55] trên cơ sở lý thuyết biến dạng trượt bậc

ba. Yang và cộng sự [56] sử dụng phương trình tích phân biên để tính toán đáp ứng

động lực học của dầm vát 2D-FGM dưới tác động của lực điều hòa di động. Phương

pháp Chebyshev được Chen và Chang [57] sử dụng trong phân tích dao động tự do

của dầm 2D-FGM. Viet và cộng sự [58] sử dụng phương pháp PTHH để tính toán tần

số dao động riêng của dầm công-xôn với cơ tính biến đổi theo cả chiều cao và chiều

dài dầm. Lý thuyết dầm Euler-Bernoulli và lý thuyết dầm Timoshenko được các tác

giả sử dụng để xây dựng mô hình toán học cho dầm. Yang và cộng sự [59] giả định

quy luật hàm số mũ cho cơ tính trong nghiên cứu dao động phi tuyến của dầm nano

2D-FGM. Phương pháp CPVP được các tác giả sử dụng để giải phương trình chuyển

12

động và thu nhận tần số dao động của dầm. Phương pháp CPVP cũng được sử dụng

trong [60] để tính toán tần số và mốt dao động của dầm Euler-Bernoulli 2D-FGM.

Khaniki và Rajasekaran [61] sử dụng phương pháp PTHH để nghiên cứu ứng xử của

dầm nano FGM với thiết diện ngang thay đổi. Cơ tính của dầm được giả định thay đổi

theo các quy luật lũy thừa, số mũ và Sigmoid dọc theo chiều dài và chiều cao dầm.

Phương pháp PTHH cũng được sử dụng để nghiên cứu mất ổn định và dao động tự

do của dầm 2D-FGM [62], dao động cưỡng bức của dầm 2D-FGM chịu khối lượng

di động [63]. Kết quả số chỉ ra rằng các đặc trưng dao động và mất ổn định của dầm

chịu ảnh hưởng đáng kể bởi sự thay đổi cơ tính dọc theo chiều dài dầm.

1.2.3. Dầm sandwich FGM

Phần lớn các nghiên cứu về dầm sandwich FGM được thực hiện cho dầm hai

pha với cơ tính biến đổi ngang. Tỷ phần thể tích của gốm (Vc) và của kim loại (Vm),

chẳng hạn cho dầm sandwich trên Hình 1.2, với lớp lõi là gốm và hai lớp vỏ là FGM,

thay đổi theo quy luật hàm số lũy thừa cho bởi công thức

Vc(z) =

(

z− z0

z1 − z0

)n

với z ∈ [z0,z1]

1 với z ∈ [z1,z2]

(

z− z3

z2 − z3

)n

với z ∈ [z2,z3]

Vm(z) = 1−Vc (z)

(1.7)

Trong phương trình (1.7), n là chỉ số mũ, không âm; z0, z1, z2 và z3 tương ứng là tọa

độ theo phương ngang (tính từ mặt giữa dầm) của mặt đáy, mặt tiếp xúc giữa các lớp

và mặt trên của dầm. Ngoài mô hình dầm sandwich FGM nêu trên, một số tác giả

nghiên cứu mô hình dầm sandwich với lõi là FGM còn hai lớp ngoài là vật liệu thuần

nhất [64, 65]. Dĩ nhiên, tỷ phần thể tích của các vật liệu thành phần cũng có thể tuân

theo quy luật khác với phương trình (1.7) hoặc dầm sandwich cũng có thể có nhiều

hơn ba lớp.

Một số kết quả nghiên cứu liên quan tới phân tích dầm sandwich FGM được

tóm lược trong bài báo tổng quan của Sayyad và Ghugal [66]. Một số công bố liên

quan tới đề tài luận án của NCS được thảo luận ở đây. Sử dụng lý thuyết biến dạng

trượt bậc nhất, Chakraborty và cộng sự [67] xây dựng mô hình PTHH cho phân tích

đàn-nhiệt của dầm FGM và dầm sandwich FGM. Mô hình phần tử xây dựng được có

13

Hình 1.2. Mô hình dầm sandwich FGM với cơ tính biến đổi ngang

độ chính xác cao và không bị nghẽn trượt (free of shear locking) nhờ việc sử dụng

nghiệm phương trình cân bằng của phần tử để nội suy độ võng và góc quay. Trên cơ

sở các lý thuyết dầm khác nhau, Apetre và cộng sự [68] nghiên cứu ứng xử uốn của

dầm sandwich với lõi là FGM. Rahmani và đồng nghiệp [69] phân tích dao động tự

do của dầm sandwich FGM trên cơ sở lý thuyết bậc cao. Phương pháp CPVP cải biên

(modified differential quadrature method) được Pradhan và Murmu [70] sử dụng để

nghiên cứu dao động tự do của dầm sandwich FGM nằm trên nền đàn hồi, có tính tới

ảnh hưởng của nhiệt độ. Ứng xử của dầm sandwich composite FGM dưới tác động

của sóng xung kích được Gardner và đồng nghiệp [71] nghiên cứu bằng phương pháp

thực nghiệm. Setoodeh và cộng sự [72] nghiên cứu dao động tự do của dầm sandwich

với lõi là vật liệu thuần nhất, hai lớp vỏ là FGM, có xét tới ảnh hưởng của nhiệt độ.

Lý thuyết biến dạng trượt phân lớp (layerwise theory) được các tác giả sử dụng cùng

với phương pháp CPVP để xác định các đặc trưng dao động của dầm. Ứng xử của

dầm sandwich với lõi là vật liệu bọt (foam) và vỏ FGM được Bı^rsan và đồng nghiệp

[73] nghiên cứu bằng cả phương pháp lý thuyết và kiểm chứng thực nghiệm. Zenkour

và cộng sự [74] phân tích bài toán uốn của dầm sandwich FGM nằm trên nền đàn

hồi nhờ lý thuyết biến dạng trượt lượng giác. Công thức Fourier tổng quát được Su và

đồng nghiệp [75] sử dụng để tính toán tần số dao động riêng của dầm sandwich FGM

nằm trên nền đàn hồi Pasternak. Các tác giả sử dụng cả mô hình Voigt và mô hình

Mori-Tanaka để đánh giá các tính chất hiệu dụng của dầm. Ảnh hưởng của vết nứt

tới dao động tự do của dầm sandwich FGM nhiều lớp được Cunedioglu [76] nghiên

cứu với sự trợ giúp của cơ học phá hủy đàn hồi tuyến tính. Dao động tự do của dầm

sandwich FGM được nghiên cứu bởi Amirani và cộng sự [77], Yang và đồng nghiệp

[78] trên cơ sở phương pháp nội suy không lưới và phương pháp Galerkin. Võ Phương

Thức và đồng nghiệp [64, 65, 79] đề nghị một số lý thuyết biến dạng trượt bậc cao

cho phân tích mất ổn định, dao động tự do và uốn của dầm sandwich FGM. Độ võng

14

của dầm trong các lý thuyết này được phân làm hai thành phần, độ võng do uốn và

độ võng do trượt. Lý thuyết tựa 3D (quasi-3D theory) được Osofero và cộng sự [80]

sử dụng để nghiên cứu dao động tự do và uốn của dầm sandwich FGM. Độ võng của

dầm trong lý thuyết tựa 3D thay đổi theo chiều cao dầm. Mohanty và cộng sự tính

toán lực tới hạn cho dầm sandwich FGM nằm trên nền đàn hồi Winkler bằng phần

tử dầm Timoshenko hai nút [81]. Bennai và cộng sự [82] nghiên cứu bài toán mất

ổn định và dao động tự do của dầm sandwich FGM trên cơ sở lý thuyết biến dạng

trượt hyperbolic cải tiến. Trên cơ sở lý thuyết biến dạng trượt hypebolic, Bouakkaz

cùng đồng nghiệp [83] đưa ra lời giải giải tích cho bài toán dao động tự do của dầm

sandwich FGM. Trinh và cộng sự [84] sử dụng phương pháp không gian trạng thái

(state space approach) để tính toán tần số dao động cơ bản của dầm sandwich FGM.

Ảnh hưởng của điều kiện biên đàn hồi tới tần số dao động của dầm được các tác giả

đánh giá chi tiết. Phương pháp Chebyshev được Tossapanon và Wattanasakulpong sử

dụng trong [85] để nghiên cứu dao động tự do và mất ổn định của dầm sandwich FGM

nằm trên nền đàn hồi. Yarasca và đồng nghiệp [86] phát triển mô hình phần tử dầm

với bẩy bậc tự do để nghiên cứu ứng xử uốn của dầm sandwich FGM. Mô hình phần

tử được xây dựng trên cơ sở lý thuyết biến dạng trượt tựa 3D.

Dao động cưỡng bức của dầm sandwich FGM được một số tác giả quan tâm

nghiên cứu. Bui và cộng sự [87] sử dụng kết hợp các phương pháp nội suy điểm

hướng kính không lưới (meshfree radial point interpolation method) và phương pháp

Newmark để tính toán đáp ứng động lực học của dầm sandwich FGM chịu tải trọng

tuần hoàn. Simsek và Al-shujairi [88] nghiên cứu ứng xử uốn và dao động của dầm

sandwich FGM dưới tác động của hai lực di động. Các tác giả sử dụng các đa thức bậc

cao để xấp xỉ trường chuyển vị và phương pháp Newmark để tính toán đáp ứng động

lực học của dầm. Dao động của dầm sandwich FGM chịu tải trọng điều hòa được

Akbas [89] nghiên cứu bằng phương pháp PTHH. Ảnh hưởng của lỗ rỗng vi mô tới

đáp ứng động lực học của dầm được các tác giả quan tâm nghiên cứu. Songsuwan và

cộng sự [90] sử dụng phương pháp Ritz để đánh giá tần số dao động riêng và đáp ứng

động lực học của dầm sandwich FGM nằm trên nền đàn hồi Pasternak. Ảnh hưởng

của sự phân bố vật liệu, tỷ số độ dày giữa các lớp và độ mảnh tới ứng xử động lực học

của dầm được các tác giả nghiên cứu chi tiết. Trên cơ sở lý thuyết biến dạng trượt bậc

cao và phương pháp Lagrange, Wang và cộng sự [91] thiết lập phương trình chuyển

động để nghiên cứu ứng xử động lực học của dầm sandwich FGM với lõi là vật liệu

15

xốp chịu tải trọng phân bố đều di động. Đáp ứng động lực học của dầm được tính toán

với sự trợ giúp của phương pháp Newmark.

Phương pháp Ritz cũng được Rezaiee và đồng nghiệp [92] sử dụng trong phân

tích uốn của dầm sandwich FGM với thiết diện ngang thay đổi. Hai lý thuyết biến

dạng trượt, lý thuyết dầm Timoshenko và lý thuyết bậc ba của Reddy được các tác giả

sử dụng để thiết lập phương trình cân bằng cho dầm. Ảnh hưởng của lỗ rỗng vi mô

tới lực tới hạn của dầm sandwich FGM được nghiên cứu trong [93] có tính tới vị trí

thực của trục trung hòa của dầm. Trên cơ sở lý thuyết biến dạng trượt cải tiến, Li và

đồng nghiệp [94] phát triển phần tử dầm hỗn hợp để nghiên cứu ứng xử uốn của dầm

sandwich FGM. Sayyad và Ghugal [95] trình bày lý thuyết biến dạng trượt 5 ẩn cho

phân tích uốn của dầm, tấm sandwich FGM với lõi cứng và lõi mềm.

Nghiên cứu liên quan tới dầm sandwich 2D-FGM, theo hiểu biết của NCS, còn

rất hiếm. Trước thời điểm luận án này được thực hiện, mới chỉ có duy nhất công bố

của Karamanli [96], trong đó mô hình toán học của dầm được xây dựng trên cơ sở lý

thuyết tựa 3D. Trong nghiên cứu này, tỷ phần thể tích của hai vật liệu thành phần thay

đổi theo chiều dài và chiều cao dầm theo quy luật hàm số lũy thừa như sau

V(1)m =

(

1−x

2L

)nx(

2(z− z2)

h−2z2

)nz

với z ∈ [z2,h/2]

V(2)m = 0 với z ∈ [z1,z2]

V(3)m =

(

1−x

2L

)nx(

2(z1 − z)

h+2z1

)nz

với z ∈ [−h/2,z1]

(1.8)

Với sự trợ giúp của phương pháp thủy động lực các hạt trơn đối xứng, Kara-

manli đã đánh giá chi tiết ảnh hưởng của các tham số vật liệu và tỷ số giữa độ dày các

lớp tới độ võng và ứng suất của dầm.

1.3. Tình hình nghiên cứu trong nước

Nghiên cứu ứng xử cơ học của dầm FGM và dầm sandwich FGM được một

số nhà khoa học trong nước quan tâm nghiên cứu và đã thu được một số kết quả

đáng khích lệ. Đặc biệt, đã có một số luận án tiến sĩ được bảo vệ theo hướng nghiên

cứu này. Chẳng hạn, các Luận án của Lê Thị Hà, Bùi Văn Tuyển và Trần Thị Thơm

[97, 98, 99] xây dựng các mô hình PTHH để nghiên cứu dao động tự do và cưỡng bức

của dầm FGM và dầm 2D-FGM. Ảnh hưởng của vết nứt tới dao động của dầm FGM

16

được nghiên cứu trong các luận án của Nguyễn Ngọc Huyên [100] và Ngô Trọng Đức

[101]. Từ các đặc trưng dao động nhận được các tác giả đã tiến hành chẩn đoán vết

nứt cho dầm. Luận án tiến sĩ của Nguyễn Bá Duy [102] đã tiến hành phân tích ứng

xử của dầm sandwich FGM có tính tới ảnh hưởng của độ ẩm và nhiệt độ môi trường.

Nghiệm Navier được tác giả sử dụng để thu nhận các đặc trưng cơ học của dầm.

Kết quả nổi bật liên quan tới phân tích dầm FGM và dầm sandwich FGM nhận

được bởi nhóm tác giả Nguyễn Trung Kiên và cộng sự [103, 104, 105, 106, 107].

Trong các công bố này, các tác giả cố gắng cải tiến trường chuyển vị cho lý thuyết

dầm để có được đánh giá tốt hơn cho ứng xử uốn, mất ổn định và dao động tự do của

dầm. Ảnh hưởng của độ ẩm môi trường tới dao động tự do và mất ổn định nhiệt của

dầm cũng được các tác giả quan tâm nghiên cứu.

Phương pháp ma trận độ cứng và ma trận truyền được một số tác giả sử dụng

để nghiên cứu dao động và chẩn đoán dầm FGM có vết nứt. Theo hướng nghiên cứu

này, Nguyễn Tiến Khiêm và Nguyễn Ngọc Huyên [108], Nguyễn Tiến Khiêm và cộng

sự [109] trình bày phương pháp xác định tần số dao động cho dầm Timoshenko FGM

có vết nứt. Dựa trên kết quả nhận được các tác giả đã giải quyết chẩn đoán cho dầm.

Dao động tự do của dầm FGM có nhiều vết nứt được nghiên cứu bởi Trần Văn Liên và

đồng nghiệp [110, 111] trên cơ sở phương pháp ma trận độ cứng động lực học. Tính

chất vật liệu của dầm được giả định biến đổi theo hàm số lũy thừa theo chiều cao dầm.

Nguyễn Đình Kiên [112, 113], Nguyễn Đình Kiên và Gan [114] phát triển các

mô hình PTHH để nghiên cứu chuyển vị lớn của dầm vát FGM. Các tính chất vật liệu

của dầm được giả định tuân theo hàm số lũy thừa dọc theo chiều dài dầm [112], hoặc

theo chiều cao dầm [113, 114]. Phương pháp PTHH cũng được Nguyễn Đình Kiên

và cộng sự sử dụng để nghiên cứu bài toán uốn phi tuyến hình học của khung, dầm

FGM [115], uốn phi tuyến của dầm đàn-dẻo FGM [116]. Lý thuyết biến dạng trượt

bậc nhất được Nguyễn Đình Kiên và cộng sự [117, 118, 119] sử dụng để xây dựng mô

hình PTHH cho phân tích động lực học của dầm FGM chịu tác động của lực di động.

Dầm trong [119] được tạo thành từ bốn vật liệu thành phần, hai gốm và hai kim loại,

với tỷ phần thể tích thay đổi theo cả chiều cao và chiều dài dầm theo quy luật hàm số

lũy thừa. Nguyễn Đình Kiên và Trần Thị Thơm [120] nghiên cứu dao động tự do của

dầm vát 2D-FGM nhờ phần tử dầm với hàm nội suy thứ bậc.

Phân tích phi tuyến của khung, dầm sandwich 1D-FGM cũng được Nguyễn

17

Đình Kiên và Trần Thị Thơm quan tâm nghiên cứu bằng phương pháp PTHH [121].

Gần đây nhóm nghiên cứu đã mở rộng mô hình dầm sandwich với cơ tính biến thiên

theo cả chiều cao và chiều dài dầm. Sử dụng lý thuyết bậc ba cải tiến, Phạm Vũ Nam

và đồng nghiệp [122] nghiên cứu đáp ứng động lực học của dầm sandwich 2D-FGM

dưới tác động của tải trọng điều hòa di động. Trên cơ sở lý thuyết biến dạng trượt

bậc cao, Lê Công Ích và đồng nghiệp [123] phát triển mô hình PTHH để phân tích

dao động tự do và mất ổn định dầm sandwich 2D-FGM hai pha với cơ tính biến đổi

theo hàm số lũy thừa. Mô hình với trường nội suy Lagrange được các tác giả làm giàu

bằng các hàm thứ bậc có độ chính xác cao và tốc độ hội tụ nhanh. Nguyễn Đình Kiên

và cộng sự [124] tiến hành phân tích động lực học của dầm sandwich nằm nghiêng,

chịu tác động của khối lượng di động. Dầm gồm ba lớp, trong đó lớp lõi là 1D-FGM

hai pha, trong khi các lớp ngoài làm từ 2D-FGM ba pha với cơ tính biến đổi theo cả

chiều cao và chiều dài dầm. Ứng xử động lực học của dầm sandwich 2D-FGM nằm

một phần trên nền đàn hồi cũng được Vũ Thị An Ninh và đồng nghiệp [125] nghiên

cứu bằng phương pháp PTHH. Cả mô hình Voigt và Mori-Tanaka được các tác giả sử

dụng để đánh giá các tính chất hiệu quả của dầm.

1.4. Định hướng nghiên cứu

Như thấy từ phần tổng quan trình bày trong các mục trên, phân tích dao động

của dầm sandwich FGM, đặc biệt dầm sandwich 2D-FGM còn ít được quan tâm

nghiên cứu. Luận án này, vì thế sẽ chú trọng tập trung nghiên cứu bài toán dao động

của dầm sandwich 2D-FGM. Một đặc trưng cơ bản của kết cấu 2D-FGM nói chung,

dầm sandwich 2D-FGM nói riêng, đó là độ cứng của kết cấu là hàm của tọa độ theo

chiều dài kết cấu. Các phương pháp giải tích, vì thế thường gặp khó khăn trong phân

tích dạng kết cấu này. Phương pháp PTHH là một trong những lựa chọn thích hợp để

phân tích kết cấu 2D-FGM. Vì các lý do này mà NCS chọn đề tài: "Mô hình phần tử

hữu hạn trong phân tích kết cấu dầm sandwich FGM" để nghiên cứu. Với đề tài này,

Luận án đặt ra một số vấn đề nghiên cứu cụ thể dưới đây:

1. Phát triển các mô hình PTHH, tức là thiết lập các ma trận độ cứng, ma trận khối

lượng và véc-tơ tải trọng cho phân tích dao động tự do và dao động cưỡng bức

của dầm sandwich 2D-FGM. Mô hình được xây dựng trên cơ sở các lý thuyết

biến dạng trượt và trường nội suy khác nhau.

2. Trên cơ sở các mô hình PTHH nhận được và một số thuật toán trong phân tích

18

động lực học kết cấu, tiến hành xây dựng chương trình tính toán số cho phân

tích dao động tự do và dao động cưỡng bức của dầm 2D-FGM. Với bài toán dao

động cưỡng bức, luận án quan tâm nghiên cứu bài toán dầm chịu tải trọng di

động.

3. Sử dụng chương trình tính toán số xây dựng được, luận án tiến hành phân tích

các bài toán cụ thể để đánh giá ảnh hưởng của một số tham số vật liệu, hình học

dầm và tham số của tải trọng tới ứng xử của dầm. Trên cơ sở kết quả số nhận

được sẽ đưa ra các nhận xét và khuyến nghị cần thiết.

Kết luận chương 1

Chương 1 đã trình bày tổng quan tình hình nghiên cứu về dầm FGM, dầm sandwich

FGM trên thế giới và trong nước. Các kết quả nghiên cứu dầm 2D-FGM và dầm

sandwich 2D-FGM được thảo luận chi tiết. Từ phần phân tích tổng quan NCS đã đưa

ra định hướng nghiên cứu cho luận án là bài toán dao động tự do và dao động cưỡng

bức của dầm sandwich 2D-FGM dưới tác động của tải trọng di động. NCS cũng lựa

chọn phương pháp PTHH làm công cụ chính để giải quyết bài toán đã lựa chọn.

Chương 2

MÔ HÌNH TOÁN HỌC

Hai mô hình dầm sandwich có cơ tính biến đổi theo hai chiều, chiều cao

và chiều dài của dầm (dầm 2D-FGSW), cụ thể dầm 2D-FGSW hai pha và dầm

2D-FGSW ba pha, được giới thiệu trong chương này. Mô hình toán học cho dầm

dựa trên các lý thuyết biến dạng trượt bậc nhất, hai lý thuyết bậc ba đề xuất bởi

Shi [126], Shimpi và Patel [127] và lý thuyết tựa 3D của Vo và cộng sự [65]

được trình bày chi tiết. Các hệ số độ cứng và mô-men khối lượng của dầm ba

pha được cho dưới dạng hiện. Biểu thức cho thế năng của tải trọng di động được

đưa ra cho trường hợp lực di động và khối lượng di động.

2.1. Dầm 2D-FGSW hai pha

Hình 2.1 minh họa dầm 2D-FGSW với thiết diện ngang hình chữ nhật (b×h),

trong hệ trục tọa độ Đề-các (x,z). Dầm gồm ba lớp, trong đó lớp lõi là vật liệu 1D-

FGM với cơ tính biến đổi theo chiều dài, hai lớp ngoài là vật liệu 2D-FGM. Hệ tọa

độ (x,z) được chọn sao cho trục x nằm trong mặt giữa dầm. Các ký hiệu z0, z1, z2 và

z3 trên Hình 2.1 là tọa theo chiều cao dầm của mặt đáy, các mặt tiếp xúc giữa các lớp

và mặt trên của dầm. Dầm được làm từ hai vật liệu thành phần, gốm và kim loại. Tỷ

phần thể tích của gốm (Vc) và của kim loại (Vm) được giả định tuân theo quy luật hàm

Hình 2.1. Mô hình dầm 2D-FGSW hai pha

19

20

00.5

0.5

1

Vc

z/h0

x/L

1

0.5-0.5 0

00.5

0.5

1V

mz/h

0

x/L

1

0.5-0.5 0

00.5

0.5

1

Vc

z/h0

x/L

1

0.5-0.5 0

00.5

0.5

1

Vm

z/h0

x/L

1

0.5-0.5 0

(d) Vm

khi nx = n

z = 3

(b) Vc khi n

x = n

z = 3

(c) Vm

khi nx = n

z = 0.5

(a) Vc khi n

x = n

z = 0.5

Hình 2.2. Phân bố tỷ phần thể tích Vc và Vm của dầm 2D-FGSW hai pha với z1 =

−h/10, z2 = 3h/10, nx = nz = 0.5 và nx = nz = 3.

lũy thừa như sau

Vc(x,z) =

( z− z0

z1 − z0

)nz(

1−x

2L

)nx

với z ∈ [z0,z1]

(

1−x

2L

)nx

với z ∈ [z1,z2]

( z− z3

z2 − z3

)nz(

1−x

2L

)nx

với z ∈ [z2,z3]

và Vm(x,z) = 1−Vc(x,z) với 0 ≤ x ≤ L.

(2.1)

Trong phương trình trên, nx và nz (không âm) tương ứng là các chỉ số mũ, xác

định sự phân bố vật liệu theo chiều dài và chiều cao dầm. Các chỉ số nx và nz cũng

được gọi là các tham số vật liệu trong luận án này. Các chỉ số dưới ‘c’ và ‘m’ trong

phương trình (2.1) và ở dưới đây được sử dụng để chỉ các đại lượng của gốm và kim

loại. Mô hình dầm sandwich 2D-FGM cho bởi (2.1) được cải tiến từ mô hình của

Karamanli trong [96] để có thể nhận được mô hình dầm sandwich 1D-FGM thông

thường, chẳng hạn mô hình dầm 1D-FGSW trong các tài liệu [75, 79] như là trường

hợp riêng khi nx = 0. Hình 2.2 minh họa sự phân bố của tỷ phần thể tích Vc và Vm theo

21

chiều dài và chiều cao dầm của dầm 2D-FGSW hai pha với z1 =−h/10, h2 = 3h/10,

cho hai cặp giá trị của chỉ số mũ, nx = nz = 0.5 và nx = nz = 3.

Các tính chất hiệu dụng của dầm 2D-FGSW hai pha có thể nhận được từ mô

hình Voigt và mô hình Mori-Tanaka, tương ứng cho bởi các phương trình (1.2) và

(1.4).

2.2. Dầm 2D-FGSW ba pha

Ý tưởng về dầm sandwich 2D-FGM xuất phát từ mô hình dầm 2D-FGM ba

pha do Nemat-Alla và cộng sự đề xuất [128]. Kết cấu 2D-FGM ba pha nói chung,

dầm 2D-FGM ba pha nói riêng có khả năng làm việc trong môi trường nhiệt độ cao

tốt hơn so với các kết cấu 2D-FGM hai pha do các hệ số đàn hồi của vật liệu thành

phần có thể chọn không cách nhau quá xa. Dầm sandwich 2D-FGM nghiên cứu ở đây

gồm ba lớp, làm từ ba vật liệu, M1, M2 và M3, như minh họa trên Hình 2.3. Lớp lõi

của dầm là vật liệu thuần nhất M1, trong khi hai lớp vỏ được làm từ vật liệu 2D-FGM

với cơ tính biến đổi theo cả chiều cao và chiều dài dầm. Tỷ phần thể tích V1, V2 và V3

của các vật liệu thành phần cho bởi

V1 =

(

z− z0

z1 − z0

)nz

V2 =

[

1−( z− z0

z1 − z0

)nz]

[

1−( x

L

)nx]

V3 =

[

1−( z− z0

z1 − z0

)nz]

( x

L

)nx

với z ∈ [z0,z1]

V1 = 1, V2 =V3 = 0 với z ∈ [z1,z2]

V1 =

(

z− z3

z2 − z3

)nz

V2 =

[

1−( z− z3

z2 − z3

)nz]

[

1−( x

L

)nx]

V3 =

[

1−( z− z3

z2 − z3

)nz]

( x

L

)nx

với z ∈ [z2,z3]

với 0 ≤ x ≤ L.

(2.2)

trong đó nx và nz là các chỉ số mũ xác định sự phân bố vật liệu biến đổi theo

chiều dài và chiều cao của dầm. Giống như trường hợp dầm hai pha, các chỉ số nx

và nz cũng được gọi là các tham số vật liệu của dầm. Mô hình dầm định nghĩa bởi

phương trình (2.2) là dầm 2D-FGSW lõi mềm (softcore) khi M1 là kim loại, và là

dầm lõi cứng (hardcore) nếu M1 là gốm. Dễ dàng thấy được từ phương trình (2.2), hai

22

góc trên và dưới đầu trái dầm chỉ thuần túy là vật liệu M2, trong khi các góc tương

ứng của đầu phải dầm chỉ chứa M3. Hình 2.4 minh họa sự phân bố của tỷ phần thể

tích của các vật liệu thành phần theo chiều cao và chiều dài của dầm 2D-FGSW ba

pha cho trường hợp nx = nz = 0.5 và z1 =−z2 =−h/5.

Hình 2.3. Mô hình dầm 2D-FGSW ba pha

00.5

1

−0.5

0

0.50

0.5

1

x/Lz/h

V1

00.5

1

−0.5

0

0.50

0.5

1

x/Lz/h

V2

00.5

1

−0.5

0

0.50

0.5

1

x/Lz/h

V3

Hình 2.4. Phân bố tỷ phần thể tích của các vật liệu thành phần theo chiều cao và chiều

dài của dầm 2D-FGSW ba pha với nx = nz = 0.5, z1 =−z2 =−h/5.

Tính chất hiệu dụng P f của dầm 2D-FGSW ba pha đánh giá theo mô hình

Voigt có dạng

P f (x,z) = P1V1(x,z)+P2V2(x,z)+P3V3(x,z), (2.3)

trong đó P1,P2 và P3 tương ứng là các tính chất của M1, M2 và M3.

Thế phương trình (2.2) vào phương trình (2.3) ta có thể viết tính chất vật liệu

hiệu dụng của dầm 2D-FGSW ba pha dưới dạng

P f (x,z) =

[

P1 −P23(x)]( z− z0

z1 − z0

)nz

+P23(x) với z ∈ [z0,z1]

P1 với z ∈ [z1,z2][

P1 −P23(x)]( z− z3

z2 − z3

)nz

+P23(x) với z ∈ [z2,z3]

(2.4)

23

trong đó P23(x) = P2 −(

P2 −P3

)

( x

L

)nx

với 0≤ x ≤ L.

Trường hợp đặc biệt khi nx = 0, dầm 2D-FGSW ba pha cho bởi (2.2) trở về

dầm sandwich 1D-FGSW có cơ tính biến đổi ngang được tạo từ hai vật liệu M1 và

M3. Cụ thể, phương trình (2.2) trở thành

V1(z) =

(

z− z0

z1 − z0

)nz

với z ∈ [z0,z1]

1 với z ∈ [z1,z2]( z− z3

z2 − z3

)nz

với z ∈ [z2,z3]

và V3 = 1−V1 (2.5)

Trong trường hợp M1 là gốm ta được dầm 1D-FGSW lõi cứng, còn nếu M1 là

kim loại ta được dầm 1D-FGSW lõi mềm.

2.3. Lý thuyết bậc nhất

2.3.1. Trường chuyển vị

Chuyển vị dọc trục u(x,z, t) và chuyển vị ngang w(x,z, t) tại một điểm của dầm

trong lý thuyết biến dạng trượt bậc nhất (lý thuyết dầm Timoshenko) có dạng giản đơn

như sau

u(x,z, t) = u0(x, t)− zθ(x, t)

w(x,z, t) = w0(x, t)(2.6)

trong đó u0(x, t) và w0(x, t) tương ứng là chuyển vị dọc trục và chuyển vị theo phương

ngang của điểm nằm trên trục giữa dầm; θ(x, t) là góc quay của thiết diện ngang và là

biến độc lập; t là biến thời gian.

2.3.2. Biến dạng và ứng suất

Biến dạng dọc trục εxx và biến dạng trượt γxz nhận được từ trường chuyển vị

(2.6) có dạng

εxx = u 0,x − zθ,x

γxz = w 0,x −θ(2.7)

Trong phương trình (2.7) và các phương trình dưới đây, dấu phẩy ở chỉ số dưới được

dùng để chỉ đạo hàm riêng theo biến tọa độ không gian, chẳng hạn w0,x = ∂w0/∂x.

Với giả thuyết đàn hồi tuyến tính, ứng suất pháp σxx và ứng suất trượt τxz tương

24

ứng với trường biến dạng (2.7) cho bởi

σxx

τxz

=

E f (x,z) 0

0 ψG f (x,z)

εxx

γxz

(2.8)

trong đó E f (x,z), G f (x,z) tương ứng là mô-đun đàn hồi và mô-đun trượt hiệu dụng

của dầm 2D-FGSW, là hàm của hai biến tọa độ không gian x, z, với ψ là hệ số điều

chỉnh trượt, được chọn bằng 5/6 cho dầm có tiết diện ngang là hình chữ nhật trong

luận án.

2.3.3. Năng lượng biến dạng đàn hồi

Năng lượng biến dạng đàn hồi của dầm có dạng

U =1

2

∫ L

0

∫

A(σxxεxx + τxzγxz)dAdx

=1

2

∫ L

0

[

A11u20,x −2A12u0,xθ,x +A22θ 2

,x +ψA33(w0,x −θ)2]

dx

(2.9)

trong đó A = bh là diện tích tiết diện ngang của dầm. Các đại lượng A11,A12,A22, và

A33 lần lượt là độ cứng dọc trục, độ cứng tương hỗ giữa dọc trục và uốn, độ cứng

chống uốn và độ cứng chống trượt của dầm, được định nghĩa như sau

(A11, A12,A22) = b

∫ h/2

−h/2

E f (x,z)(

1,z,z2)

dz = b3

∑k=1

∫ zk

zk−1

E f (x,z)(

1,z,z2)

dz

A33 = b

∫ h/2

−h/2

G f (x,z)dz = b3

∑k=1

∫ zk

zk−1

G f (x,z)dz

(2.10)

trong đó tổng được lấy theo số lớp của dầm. Biểu thức hiện cho các hệ số độ cứng

trong phương trình trên có thể nhận được nhờ phân tách Ai j thành các thành phần độ

cứng của dầm thuần nhất và dầm 1D-FGM như trình bày trong mục 2.4 dưới đây.

2.3.4. Động năng

Động năng của dầm nhận được từ trường chuyển vị (2.6) có dạng

T =1

2

L∫

0

∫

A

ρ f (x, z)(

u2 + w2)

dAdx

=1

2

L∫

0

[

I11

(

u20 + w2

0

)

−2I12u0 θ + I22θ 2]

dx

(2.11)

Trong phương trình (2.11) và các phương trình tiếp theo sau đó, dấu chấm bên trên

một đại lượng nào đó là kí hiệu đạo hàm theo thời gian, chẳng hạn u0 = ∂u0/∂ t;

25

I11, I12, I22 là các mô-men khối lượng, cho bởi

(I11, I12, I22) =

∫ h/2

−h/2

ρ f (x,z)(

1,z,z2)

dz = b3

∑k=1

∫ zk

zk−1

ρ f (x,z)(

1,z,z2)

dz (2.12)

với ρ f (x,z) là mật độ khối hiệu dụng. Tương tự như độ cứng, biểu thức cho mô-men

khối lượng cũng có thể nhận được dưới dạng hiện.

2.4. Lý thuyết bậc ba Shi


Shi [126] đề nghị lý thuyết biến dạng trượt bậc ba trên cơ sở lời giải đàn hồi

cho trường ứng suất của tấm và chứng minh sự ưu việt của lý thuyết đề nghị so với

các lý thuyết biến dạng bậc ba và bậc nhất đã có. Theo lý thuyết Shi, chuyển vị của

một điểm bất kỳ trong dầm theo các phương của trục x và trục z cho bởi [126]

u(x,z, t) = u0(x, t)+z

4(5θ +w0,x)−

5z3

3h2(θ +w0,x)

w(x,z, t) = w0(x, t)

(2.13)

trong đó u0(x, t) và w0(x, t) tương ứng là chuyển vị dọc trục và chuyển vị theo phương

ngang của điểm nằm trên trục x; θ(x, t) là góc quay của thiết diện ngang với t là biến

thời gian.

Tuy nhiên, sự hội tụ của mô hình PTHH xây dựng trên các chuyển vị u0, w0 và

θ rất chậm [129, 130]. Để cải tiến sự hội tụ của phần tử dầm dựa trên lý thuyết của

Shi, thay vì sử dụng θ ta sẽ sử dụng góc trượt ngang γ0 làm biến độc lập, trong đó

γ0 = θ +w0,x (2.14)

Sử dụng phương trình (2.14), ta có thể viết trường chuyển vị trong phương trình (2.13)

dưới dạng sau đây

u(x,z, t) = u0(x, t)+ z

(

5

4γ0 −w0,x

)

−5z3

3h2γ0

w(x,z, t) = w0(x, t)

(2.15)

26


Biến dạng dọc trục εxx và biến dạng trượt γxz nhận được từ phương trình (2.15)

có dạng

εxx = u0,x + z

(

5

4γ0,x −w0,xx

)

−5

3h2z3γ0,x

γxz = 5

(

1

4−

1

h2z2

)

γ0

(2.16)

Với giả thiết đàn hồi tuyến tính, trong đó ứng xử của vật liệu tuân theo định luật

Hooke, ứng suất pháp và ứng suất trượt tương ứng với trường biến dạng (2.16) cho bởi

σxx

τxz

=

E f (x,z) 0

0 G f (x,z)

εxx

γxz

(2.17)

trong đó E f (x,z) và G f (x,z) tương ứng là mô-đun đàn hồi và mô-đun trượt hiệu dụng,

được tính toán trong công thức (2.4).


Năng lượng biến dạng đàn hồi của dầm cho bởi

U =1

2

∫ L

0

∫

A(σxxεxx + τxzγxz)dAdx (2.18)

Sử dụng các phương trình (2.16) và (2.17) ta có thể viết năng lượng biến dạng đàn hồi

của dầm dưới dạng

U =1

2

L∫

0

[

A11u20,x +2A12u0,x

(

5

4γ0,x −w0,xx

)

+A22

(

5

4γ0,x −w0,xx

)2

−10

3h2A34u0,xγ0,x −

10

3h2A44γ0,x

(

5

4γ0,x −w0,xx

)

+25

9h4A66γ2

0,x

+25

(

1

16B11 −

1

2h2B22 +

1

h4B44

)

γ20

]

dx

(2.19)

trong đó A11,A12...A66 và B11,B22,B44 là các độ cứng của dầm 2D-FGSW, cho bởi

(A11,A12,A22,A34,A44,A66) = b

∫ h/2

−h/2

E f (x,z)(1,z,z2,z3,z4,z6)dz

= b3

∑k=1

∫ zk

zk−1

E f (x,z)(1,z,z2,z3,z4,z6)dz

(B11,B22,B44) = b

∫ h/2

−h/2

G f (x,z)(

1,z2,z4)

dz

= b3

∑k=1

∫ zk

zk−1

G f (x,z)(

1,z2,z4)

dz

(2.20)

27

Độ cứng cho bởi phương trình (2.20) của dầm 2D-FGSW có thể đánh giá được

bằng tích phân số hoặc bằng phương pháp giải tích. Chẳng hạn, để xây dựng biểu thức

hiện cho độ cứng Ai j, Bi j của dầm 2D-FGSW ba pha làm từ các vật liệu M1, M2, M3

trong Mục 2.2, các độ cứng này được biểu diễn dưới dạng sau

Ai j = AM1i j + AM2

i j + AM1M2i j −AM2M3

i j

( x

L

)nx

(i, j = 1...6)

Bi j = BM1i j + BM2

i j + BM1M2i j −BM2M3

i j

( x

L

)nx

(i, j = 1...6)(2.21)

Trong đó AM1i j , AM2

i j , AM1M2i j và AM2M3

i j , BM1i j , BM2

i j , BM1M2i j và BM2M3

i j là độ cứng

của dầm thuần nhất và dầm FGM hai pha và dễ dàng tính hiện được [16]. Biểu thức

cụ thể cho Ai j và Bi j của dầm 2D-FGSW ba pha cho bởi các công thức (A.1)-(A.9)

trong Phụ lục A ở cuối luận án.


Động năng của dầm 2D-FGSW trong lý thuyết biến dạng trượt bậc ba của Shi

nhận được từ trường chuyển vị (2.15) có dạng

T =1

2

∫ L

0

∫

Aρ f

(

u2 + w2)

dAdx

=1

2

∫ L

0

[

I11(u20 + w2

0)+2I12u0

(

5

4γ0 − w0,x

)

+ I22

(

5

4γ0 − w0,x

)2

−10

3h2I34u0γ0 −

10

3h2I44γ0

(

5

4γ0 − w0,x

)

+25

9h4I66γ2

0

]

dx

(2.22)

trong đó I11, I12...I66 là các mô-men khối lượng, cho bởi

(I11, I12, I22, I34, I44, I66) = b

∫ h/2

−h/2

ρ f (x,z)(1,z,z2,z3,z4,z6)dz

= b3

∑k=1

∫ zk

zk−1

ρ f (x,z)(1,z,z2,z3,z4,z6)dz

(2.23)

với ρ f (x,z) là mật độ khối hiệu dụng của dầm, được tính qua mật độ khối của các vật

liệu thành phần theo phương trình (2.4). Tương tự như độ cứng, mô-men khối lượng

của dầm 2D-FGSW ba pha cũng có thể tính hiện nhờ biểu diễn

Ii j = IM1i j + IM2

i j + IM1M2i j − IM2M3

i j

( x

L

)nx

(i, j = 1...6) (2.24)

với IM1i j , IM2

i j , IM1M2i j và IM2M3

i j là mô-men khối lượng của dầm thuần nhất và dầm 1D-

FGM. Biểu thức hiện cho mô-men khối lượng của dầm 2D-FGSW ba pha được cho

bởi các công thức (B.1) - (B.6) trong Phụ lục B ở cuối luận án.

28

2.5. Lý thuyết bậc ba Shimpi-Patel


Shimpi và Patel [127] đề nghị lý thuyết biến dạng trượt bậc ba trong đó chuyển

vị ngang được chia thành hai phần, chuyển vị ngang do uốn và chuyển vị ngang do

trượt. Chuyển vị dọc trục và chuyển vị ngang của một điểm của dầm trong lý thuyết

Shimpi-Patel cho bởi [127]

u(x,z, t) = u0(x, t)− zwb,x(x, t)−

(

5z3

3h2−

z

4

)

ws,x(x, t)

w(x, t) = wb(x, t)+ws(x, t)

(2.25)

trong đó u0(x, t) là chuyển vị dọc trục tại một điểm trên trục x, wb(x, t) và ws(x, t) là

các chuyển vị ngang do uốn và do trượt. Như ta thấy từ (2.25), lý thuyết biến dạng

trượt Shimpi-Patel gồm ba biến là u0, wb và ws. Số biến của lý thuyết Shimpi-Patel

bằng số biến của FSDT và lý thuyết của Shi nhưng không chứa góc quay của thiết

diện ngang θ hoặc góc trượt ngang γ0.


Phương trình (2.25) cho các thành phần biến dạng dọc trục và biến dạng trượt

dưới dạng sau đây

εxx = u0,x − zwb,xx − f (z)ws,xx

γxz = g(z)ws,x

(2.26)

trong đó

f (z) =5z3

3h2−

z

4

g(z) = 1− f,z(z)

(2.27)

Với giả thiết đàn hồi tuyến tính, mối liên hệ giữa ứng suất và biến dạng vẫn có dạng

như phương trình (2.17).

29


Sử dụng biểu thức cho biến dạng và mối quan hệ ứng suất-biến dạng ta có thể

viết biểu thức năng lượng biến dạng đàn hồi cho dầm dưới dạng

U =1

2

∫

V(σxxεxx + τxzγxz)dV

=1

2

∫

V

{

E f (x,z)[u0,x − zwb,xx − f (z)ws,xx]2 +G f (x,z)g

2(z)w2s,x

}

dV

=1

2

∫ L

0

[

A11u20,x −2A12u0,xwb,xx +A22w2

b,xx −2Ausu0,xws,xx

+2Abswb,xxws,xx +Assw2s,xx +Ashw2

s,x

]

dx

(2.28)

trong đó V là thể tích của dầm; A11, A12, A22, Aus, Abs, Ass, Ash là các độ cứng dầm,

có dạng

(A11,A12,A22) =b

∫ h/2

−h/2

E f (x,z)[1,z,z2]dz

(Aus,Abs,Ass) =b

∫ h/2

−h/2

E f (x,z)[ f (z),z f (z), f 2(z)]dz

Ash =b

∫ h/2

−h/2

G f (x,z)g2(z)dz

(2.29)


Động năng của dầm dựa trên trường chuyển vị (2.25) cho bởi

T =1

2

∫

Vρ f (x,z)

{

[u0 − zwb,x − f (z)ws,x]2 +(wb + ws)

2}

dV

=1

2

∫ L

0

{

I11

[

u20 +(wb + ws)

2

]

−2I12u0wb,x + I22w2b,x

−2Iusu0ws,x −2Ibswb,xws,x + Issw2s,x

}

dx

(2.30)

trong đó I11, I12, I22, Ius, Ibs, Iss là các mô-men khối lượng của dầm, định nghĩa bởi

(I11, I12, I22) =b

∫ h/2

−h/2

ρ f (x,z)[1,z,z2]dz

(Ius, Ibs, Iss) =b

∫ h/2

−h/2

ρ f (x,z)[

f (z),z f (z), f 2(z)]

dz

(2.31)

Các biểu thức cho độ cứng và mô-men khối lượng của dầm 2D-FGSW dựa trên lý

thuyết Shimpi-Patel cũng có thể dễ dàng nhận được dưới dạng hiện nhờ kỹ thuật trình

bày trong Mục 2.4.

30

2.6. Lý thuyết tựa 3D

Lý thuyết biến dạng trượt tựa 3D (quasi-3D shear deformation theory) được đề

xuất trong thời gian gần đây cho phép nghiên cứu không chỉ ảnh hưởng của biến dạng

trượt, mà còn ảnh hưởng của sự co, giãn theo chiều cao dầm. Các phương trình cơ bản

cho dầm sandwich 2D-FGM sử dụng lý thuyết tựa 3D được trình bày trong mục này.


Chuyển vị ngang trong lý thuyết biến dạng trượt do Vo và đồng nghiệp đề nghị

[79] cũng được tách thành chuyển vị do uốn và do trượt, nhưng có thêm thành phần

chuyển vị ngang biểu thị sự co, giãn của chiều dày dầm. Thêm vào đó, chuyển vị dọc

trục cũng được cải tiến để đảm bảo ứng suất trượt triệt tiêu trên hai mặt của dầm. Như

vậy, do xét tới ảnh hưởng của sự co giãn theo chiều dày dầm, lý thuyết đề nghị trong

[79] được gọi là lý thuyết tựa 3D (quasi-3D theory).

Chuyển vị tại một điểm của dầm trong lý thuyết tựa 3D này có dạng

u(x,z, t) =u0(x, t)− zwb,x(x, t)− f1(z)ws,x(x, t)

w(x,z, t) =wb(x, t)+ws(x, t)+g1(z)wz(x, t)(2.32)

trong đó u0(x, t), wb(x, t) và ws(x, t) được định nghĩa như trong lý thuyết của Shimpi

và Patel; wz(x, t) là chuyển vị ngang do sự co, giãn theo chiều dày dầm; f1(z), g1(z)

các đa thức với dạng sau

f1(z) =4z3

3h2, g1(z) = 1−

4z2

h2(2.33)

Trường hợp g1(z) = 0 và f1(z) = f (z) thì lý thuyết tựa 3D trong [79] trở về lý thuyết

bậc ba Shimpi-Patel trong [127].


Véc-tơ biến dạng trong lý thuyết tựa 3D gồm ba thành phần, cụ thể biến dạng

dọc trục (εxx), biến dạng theo phương ngang (εzz) và biến dạng trượt (γxz). Các thành

phần biến dạng này nhận được từ phương trình (2.32) có dạng sau

εxx =u,x = u0,x − zwb,xx − f1(z)ws,xx

εzz =w,z = g1(z),z wz

γxz =u,z +w,x = g1(z)(ws,x +wz,x)

(2.34)

Các thành phần ứng suất liên hệ với trường biến dạng (2.34) trên cơ sở định

31

luật Hooke có dạng

σxx

σzz

τxz

=

C11 C13 0

C13 C11 0

0 0 C55

εxx

εzz

γxz

(2.35)

trong đó σxx, σzz và τxz tương ứng là ứng suất pháp theo trục x , ứng suất pháp theo

trục z và ứng suất trượt, và các hệ số C11, C13, C55 xác định bởi công thức sau:

C11 =E f

1−ν2f

, C13 =E f ν f

1−ν2f

, C55 = G f (2.36)

Chú ý rằng mô-đun đàn hồi và hệ số Poisson ở phương trình (2.36) bên trên phụ thuộc

vào cả hai tọa độ x và z . Hơn nữa, nếu bỏ qua ảnh hưởng của sự co, giãn theo chiều

dày dầm (εzz = 0) thì C11 = E f và C13 = 0.


Với lý thuyết tựa 3D, biểu thức cho năng lượng biến dạng đàn hồi của dầm có

dạng

U =1

2

∫ L

0

∫

A(σxxεxx +σzzεzz + τxzγxz)dAdx (2.37)

Thế các phương trình (2.34) và (2.35) vào phương trình (2.37), ta nhận được

U =1

2

∫ L

0

[

A11u20,x −2A12u0,xwb,xx +A22

(

w2b,xx +

64

h4w2

z

)

−8

3h2A34u0,xws,xx +

8

3h2A44wb,xxws,xx +

16

9h4A66w2

s,xx

+16

h2

(

G12u0,x −G22wb,xx −4

3h2G44ws,xx

)

wz

+(

D11 −8

h2D22 +

16

h4D44

)

(ws,x +wz,x)2]

dx

(2.38)

trong đó A11, A12, A22, A34, A44, A66, G12, G22, G44 và D11, D22, D44 là các độ cứng

của dầm, được định nghĩa như sau

(A11,A12,A22,A34,A44,A66) =b

∫ h/2

−h/2

C11

(

1,z,z2,z3,z4,z6)

dz

(G12,G22,G44) =b

∫ h/2

−h/2

C13

(

z,z2,z4)

dz

(D11,D22,D44) =b

∫ h/2

−h/2

C55

(

1,z2,z4)

dz

(2.39)

Do E f , G f và ν f trong phương trình (2.36) đều phụ thuộc vào tọa độ x và z, nên các

hệ số độ cứng của dầm trong phương trình (2.39) cho bởi phương trình là hàm của x.

32


Với trường chuyển vị (2.32), động năng (T ) của dầm có dạng

T =1

2

∫ L

0

{

I11

[

u20 +(wb + ws + wz)

2]

−2I12u0wb,x

+ I22

[

w2b,x −

8

h2(wb + ws + wz)wz

]

−8

3h2I34u0ws,x

+8

h2I44

(

1

3wb,xws,x +

2

h2w2

z

)

+16

9h4I66w2

s,x

}

dx

(2.40)

với I11, I12, I22, I34, I44, I66 là các mô-men khối lượng, định nghĩa như sau

(I11, I12, I22, I34, I44, I66) = b

∫ h/2

−h/2

ρ f (x,z)(

1,z,z2,z3,z4,z6)

dz (2.41)

Chú ý rằng, ở đây ρ f (x,z) phụ thuộc vào cả x và z, do đó các thành phần mô-men khối

lượng này là hàm của biến x.

Phần tử dầm dựa trên lý thuyết biến dạng trượt Shimpi-Patel và lý thuyết tựa

3D trong luận án này phát triển cho mô hình dầm 2D-FGSW hai pha trong Mục 2.1.

Các hệ số độ cứng và mô-men khối lượng cho mô hình dầm 2D-FGSW này khó có

thể nhận được bằng phương pháp giải tích, vì thế các tích phân trong phương trình

cho độ cứng và mô-men khối lượng của dầm sẽ được tính bằng tích phân số.

2.7. Ảnh hưởng của nền đàn hồi

Nhiều trường hợp trong thực tế, dầm nằm một phần hoặc hoàn toàn trên nền

đàn hồi. Ảnh hưởng của nền đàn hồi tới dao động của dầm, vì thế, cần được quan tâm

nghiên cứu. Nền đàn hồi có thể được mô tả bằng các mô hình nền khác nhau, từ mô

hình đơn giản Winkler tới mô hình phi tuyến phức tạp [131]. Luận án này sử dụng mô

hình nền Pasternak, đặc trưng bởi các lò xo trong nền Winkler và lớp trượt để tính tới

sự tương tác giữa các lò xo, để mô tả ảnh hưởng của nền đàn hồi.

Nền đàn hồi làm thay đổi độ cứng của hệ dầm-nền, tức là ma trận độ cứng

của hệ kết cấu thay đổi với sự có mặt của nền. Ma trận độ cứng sinh ra do nền đàn

hồi Pasternak có thể thiết lập từ biểu thức năng lượng biến dạng đàn hồi UF tích lũy

khi nền biến dạng. Chẳng hạn với lý thuyết tựa 3D cho bởi phương trình (2.34), năng

lượng đàn hồi tích lũy khi nền biến dạng có dạng

UF =1

2

∫ LF

0

[

kww2(x,0, t)+ ksw2,x(x,0, t)

]

dx

=1

2

∫ LF

0

[

kw(wb +ws +wz)2 + ks(wb,x +ws,x +wz,x)

2]

dx

(2.42)

33

trong đó LF là chiều dài của phần nền đàn hồi dầm nằm trên; kw và ks tương ứng là

độ cứng của các lò xo Winkler và của lớp trượt. Lưu ý rằng phương trình (2.42) được

tính trên cơ sở chuyển vị ngang tại mặt giữa dầm, tức là z = 0.

2.8. Tải trọng di động

Tải trọng di động tác động lên dầm được mô phỏng bởi lực di động với vận tốc

thay đổi và khối lượng di động với vận tốc không đổi. Tải trọng di động lên dầm có

thể đánh giá thông qua thế năng của tải trọng.

Trường hợp dầm chịu tác động của lực F0, di động với vận tốc v = v(t), thế

năng của lực di động V cho bởi công thức sau

V =−

L∫

0

F0w0(x, t)δ (x− s(t))dx (2.43)

trong đó δ (.) là hàm delta Dirac, x là hoành độ tính từ đầu trái dầm đến vị trí lực; t là

thời gian tính từ thời điểm lực F0 đi vào đầu trái của dầm; s(t) = vt là hàm số mô tả

chuyển động của lực F0, có thể tính bởi

s(t) = v0t +1

2at2 (2.44)

với v0 là vận tốc ban đầu của lực F0 và a là gia tốc của lực, được giả định là không đổi

trong luận án này.

Trường hợp dầm chịu khối lượng m di động, cần tính tới ảnh hưởng của các

thành phần lực quán tính sinh ra do khối lượng di động trên dầm bị biến dạng. Thế

năng của khối lượng di động cho bởi [40, 41]

V =−

L∫

0

[(mg−mw−2mvw,x −mv2w,xx)w−mu0u0]δ (x− vt)dx (2.45)

trong đó g = 9.81 (m/s2) là gia tốc trọng trường; v là vận tốc của khối lượng di động,

được giả thiết là không đổi; mw và mu0 tương ứng là lực quán tính theo phương ngang

và phương dọc trục của khối lượng di động; 2mvw,x và mv2w,xx lần lượt là lực Coriolis

và lực li tâm; δ (.), như trong phương trình (2.43), là hàm delta Dirac với x là hoành

độ tính từ đầu trái dầm đến vị trí hiện tại của khối lượng.

2.9. Phương trình vi phân chuyển động

Phương trình vi phân chuyển động cho dầm có thể thu nhận được trên cơ sở áp

dụng nguyên lý biến phân Hamilton cho các biểu thức năng lượng xây dựng trên đây.

Nguyên lý biến phân Hamilton có dạng [132]

34

δ∫ t2

t1

L dt = δ∫ t2

t1

[T − (U +V )] dt = 0 (2.46)

với các ràng buộc tại thời điểm t1 và t2 cho chuyển vị và góc quay δu0(t1) = δu0(t2) =

0, δw0(t1) = δw0(t2) = 0 ...

Biểu thức năng lượng khác nhau cho các lý thuyết dầm khác nhau nên phương

trình vi phân chuyển động cũng khác nhau cho các lý thuyết dầm. Để làm ví dụ,

phương trình chuyển động cho dao động tự do của dầm 2D-FGSW trên cơ sở lý

thuyết biến dạng trượt Shi có thể nhận được bằng cách áp dụng nguyên lý Hamilton

cho năng lượng biến dạng đàn hồi và thế năng, các phương trình (2.19 ) và (2.22), có

dạng

- Phương trình cho δu0:

I11u0+I12

(

5

4γ0−w0,x

)

−5

3h2I34γ0

−

[

A11u0,x+A12

(

5

4γ0,x−w0,xx

)

−5

3h2A34γ0,x

]

,x

=0

(2.47)

- Phương trình cho δw0:

I11w0+

[

I12u0 + I22

(

5

4γ0 − w0,x

)

−5

3h2I44γ0

]

,x

−

[

A12u0,x +A22

(

5

4γ0,x −w0,xx

)

−5

3h2A44γ0,x

]

,xx

= 0

(2.48)

- Phương trình cho δγ0:

1

4I12u0+

1

4I22

(

5

4γ0 − w0,x

)

−1

3h2I34u0 −

1

3h2I44

(

5

2γ0 − w0,x

)

+5

9h4I66γ0

−

[

1

4A12u0,x+

1

4A22

(

5

4γ0,x−w0,xx

)

−1

3h2A34u0,x−

1

3h2A44

(

5

2γ0,x −w0,xx

)]

,x

−5

9h4A66γ0,x +5

(

1

16B11 −

1

2h2B22 +

1

h4B44

)

γ0 = 0

(2.49)

Do các độ cứng Ai j và mô-men khối lượng Ii j, như nói ở trên, là hàm của tọa

độ x nên nghiệm của hệ các phương trình vi phân (2.47)- (2.49) khó có thể nhận được

bằng phương pháp giải tích. Mô hình PTHH phát triển trong chương sau sẽ được sử

dụng để giải các hệ phương trình vi phân này.

35

Kết luận Chương 2

Chương 2 giới thiệu hai mô hình dầm sandwich ba lớp mà luận án quan tâm nghiên

cứu, đó là dầm 2D-FGSW hai pha và dầm 2D-FGSW ba pha với cơ tính thay đổi theo

cả chiều cao và chiều dài dầm theo quy luật hàm số lũy thừa. Mô hình toán học dựa

trên bốn lý thuyết biến dạng trượt khác nhau là lý thuyết biến dạng trượt bậc nhất, lý

thuyết bậc ba Shi, lý thuyết bậc ba Shimpi-Patel và lý thuyết tựa 3D được trình bày chi

tiết trong chương. Các biểu thức năng lượng biến dạng của nền đàn hồi Pasternak và

thế năng của tải trọng di động cũng được trình bày trong Chương 2. Đặc biệt, chương

này cũng đưa ra các biểu thức hiện cho hệ số độ cứng và mô-men khối lượng của dầm

2D-FGSW ba pha. Với các hệ số độ cứng và mô-men hiện, các ma trận độ cứng và ma

trận khối lượng xây dựng trong chương sau có thể thu nhận được bằng phương pháp

giải tích mà không cần tới tích phân số.

Lý thuyết biến dạng trượt bậc nhất được sử dụng để phát triển mô hình PTHH

trong các bài báo 3 và 4; mô hình dầm 2D-FGSW ba pha và các mô hình toán học

dựa trên lý thuyết biến dạng trượt bậc nhất được trình bày trong các bài báo số 6 và

7; Mô hình toán học sử dụng lý thuyết bậc ba Shi được trình bày trong các bài báo số

1, 4 và 9; Mô hình sử dụng lý thuyết Shimpi-Patel được trình bày trong bài báo số 8

và 11; mô hình sử dụng lý thuyết tựa 3D được trình bày trong các bài báo số 2 và 10

trong phần "Danh mục công trình liên quan tới luận án", trang 125.

Chương 3


Bốn mô hình PTHH dựa trên các lý thuyết biến dạng trượt trình bày trong

chương 2 được xây dựng trong chương này. Mô hình phần tử được xây dựng trên

cơ sở lựa chọn các trường nội suy thích hợp để bảo đảm tính chính xác và tăng

tốc độ hội tụ. Với ý tưởng này, thay cho các hàm tuyến tính thông thường các

đa thức bậc ba được dùng để nội suy cho trường chuyển vị của phần tử dựa trên

lý thuyết biến dạng trượt bậc nhất. Các hàm thứ bậc cũng được sử dụng để làm

giàu các hàm nội suy Lagrange trong phần tử dựa trên lý thuyết Shimpi-Patel để

tăng sự hội tụ của phần tử.

3.1. Phần tử dầm FBKO

Mục này xây dựng mô hình phần tử dầm dựa trên cơ sở lý thuyết biến dạng

trượt bậc nhất (FSDT) trình bày trong Mục 2.3. Trong FSDT, các chuyển vị u0, w0 và

góc quay θ là các hàm độc lập, vì thế các hàm tuyến tính có thể sử dụng để nội suy

các chuyển vị và góc quay này. Tuy nhiên, phần tử dầm dựa trên các hàm hạng tuyến

tính có tốc độ hội tụ chậm và gặp phải vấn đề nghẽn trượt (shear locking) [133]. Cần

các giải pháp đặc biệt, chẳng hạn sử dụng phép cầu phương bậc thấp, để giải quyết

hiện tượng nghẽn trượt, nhưng các giải pháp này không cải thiện được khả năng hội

tụ của phần tử. Để khắc phục các vấn đề này luận án sử dụng các đa thức Kosmatka

[134] để nội suy trường chuyển vị cho phần tử sử dụng FSDT. Phần tử xây dựng trong

mục này được ký hiệu là ‘FBKO’ (First-order shear deformation beam element using

Kosmatka interpolation).

3.1.1. Chuyển vị nút và hàm nội suy Kosmatka

Kosmatka [134] xây dựng phần tử dầm Timoshenko trong đó các đa thức nhận

được từ lời giải phương trình vi phân cân bằng thuần nhất của phần tử được sử dụng

làm các hàm nội suy cho trường chuyển vị. Kết quả số nhận được bởi tác giả chứng

tỏ phần tử không bị nghẽn màng và sự hội tụ của phần tử vượt trội so với phần tử dựa

trên các hàm nội suy tuyến tính. Ý tưởng này đã được mở rộng bởi Chakraborty và

cộng sự [135], Shahba và cộng sự [33] cho dầm FGM, và được sử dụng ở đây cho

dầm 2D-FGSW.

36

37

Tại mỗi nút của phần tử dầm hai nút dựa trên FSDT có ba bậc tự do là chuyển

vị dọc trục, chuyển vị theo phương ngang và góc quay. Véc-tơ chuyển vị nút của phần

tử, de, gồm sáu thành phần

de = {du db}T (3.1)

trong đó

du = {u1 u2}T , db = {w1 θ1 w2 θ2}

T (3.2)

Trong phương trình trên du và db tương ứng là véc-tơ chuyển vị dọc trục và véc-tơ

chuyển vị uốn; ui, wi và θi (i = 1,2) lần lượt là thành phần chuyển vị dọc trục, chuyển

vị theo phương ngang và góc quay tại nút i. Chỉ số trên ‘T ’ trong phương trình (3.1)

và dưới đây dùng để ký hiệu chuyển vị cho véc-tơ hoặc ma trận.

Các chuyển vị và góc quay được nội suy từ các chuyển vị nút theo công thức

u = Nudu, w = Nwdb, θ = Nθ db (3.3)

trong đó

Nu = {Nu1 Nu2}, Nw = {Nw1 Nw2 Nw3 Nw4}, Nθ = {Nθ1 Nθ2 Nθ3 Nθ4} (3.4)

tương ứng là các ma trận các hàm nội suy cho u0, w0 và θ .

Các hàm tuyến tính được sử dụng cho u0, trong khi, như đã nói ở trên, các hàm

Kosmatka được dùng cho w0 và θ . Cụ thể

- Hàm nội suy cho u0:

Nu1 =l − x

l, Nu2 =

x

l(3.5)

- Hàm nội suy cho w0:

Nw1 =1

(1+φ)

[

2

(x

l

)3

−3

(x

l

)2

−φ(x

l

)

+(1+φ)

]

Nw2 =l

(1+φ)

[

(x

l

)3

−(

2+φ

2

)

(x

l

)2

+(

1+φ

2

)

(x

l

)

]

Nw3 =−1

(1+φ)

[

2

(x

l

)3

−3

(x

l

)2

−φ(x

l

)

]

Nw4 =l

(1+φ)

[

(x

l

)3

−(

1−φ

2

)

(x

l

)2

−φ

2

(x

l

)

]

(3.6)

38

- Hàm nội suy cho θ :

Nθ1 =6

(1+φ)l

[

(x

l

)2

−(x

l

)

]

, Nθ2 =1

(1+φ)

[

3

(x

l

)2

− (4+φ)(x

l

)

+(1+φ)

]

Nθ3 =−6

(1+φ)l

[

(x

l

)2

−(x

l

)

]

, Nθ4 =1

(1+φ)

[

3

(x

l

)2

− (2−φ)(x

l

)

]

(3.7)

Trong các phương trình (3.6) và (3.7), φ là tham số biến dạng trượt, được định nghĩa

như sau

φ =12A22

l2ψA33

(3.8)

với A22, A33 lần lượt là độ cứng chống uốn và độ cứng chống trượt của dầm 2D-FGSW,

cho bởi công thức (2.10) ở Chương 2. Dễ dàng kiểm chứng rằng khi ảnh hưởng của

biến dạng trượt không đáng kể (độ cứng chống trượt lớn, A33 ≈ ∞), tham số biến dạng

trượt có thể bỏ qua φ ≈ 0, khi đó các hàm dạng Kosmatka trở về hàm dạng Hermite

quen thuộc. Hơn nữa, ta cũng dễ dàng kiểm chứng rằng các hàm nội suy cho góc quay

chính bằng đạo hàm các hàm dạng của chuyển vị ngang. Vì lý do này phần tử dầm

sử dụng các hàm nội suy Kosmatka có thể mô phỏng tốt dầm có độ mảnh lớn, tức là

không bị hiện tượng nghẽn màng.

3.1.2. Ma trận độ cứng

Với các hàm nội suy (3.5)-(3.7), ta có thể viết năng lượng biến dạng đàn hồi

của dầm cho bởi phương trình (2.9) dưới dạng

U =1

2

NE

∑ dTe ke de (3.9)

trong đó NE là tổng số phần tử dùng để rời rạc dầm; ke là ma trận độ cứng của phần

tử dầm, có thể viết dưới dạng ma trận con như sau

ke =

kaa kab

kTab kbb +kss

(3.10)

với kaa, kab, kbb và kss lần lượt là ma trận độ cứng sinh ra do biến dạng kéo nén

dọc trục, tương hỗ giữa biến dạng dọc trục-uốn, biến dạng do uốn và tương hỗ giữa

39

uốn-trượt. Các ma trận con này biểu diễn dưới dạng như sau:

kaa =∫ l

0

NTu,xA11Nu,x dx,

kab =−∫ l

0

NTu,xA12Nθ ,x dx,

kbb =∫ l

0

NTθ ,xA22Nθ ,x dx,

kss =

∫ l

0

(

Nw,x −Nθ

)TψA33

(

Nw,x −Nθ

)

dx

(3.11)

3.1.3. Ma trận khối lượng

Động năng của dầm cho bởi công thức (2.11) cũng có thể viết dưới dạng

T =1

2

NE

∑ deT me de (3.12)

trong đó me là ma trận khối lượng phần tử và viết được dưới dạng ma trận con như

sau:

me =

muu muθ

mTuθ mww +mθθ

(3.13)

với

muu =

∫ l

0

NTu I11Nu dx, mww =

∫ l

0

NTwI11Nw dx,

muθ =−∫ l

0

NTu I12Nθ dx, mθθ =

∫ l

0

NTθ I22Nθ dx

(3.14)

tương ứng là các ma trận khối lượng phần tử sinh ra từ chuyển vị dọc trục, chuyển vị

theo phương ngang, tương hỗ giữa chuyển vị dọc trục và sự quay của thiết diện ngang,

và sự quay của thiết diện ngang. Các ma trận trong (3.14) là ma trận khối lượng phần

tử nhất quán (consistent mass matrices) vì nhận được nhờ sử dụng cùng các hàm dạng

với trường chuyển vị.

3.2. Phần tử dầm TBSH

Mục này xây dựng mô hình PTHH dựa trên lý thuyết biến dạng trượt bậc ba do

Shi đề xuất. Phần tử sử dụng các chuyển vị u0, w0, góc trượt ngang γ0 và đạo hàm của

chuyển vị ngang w0,x làm các ẩn. Các hàm nội suy tuyến tính được dùng cho u0 và

γ0, trong khi các đa thức Hermite được dùng cho w0. Phần tử được ký hiệu là ‘TBSH’

(Third-order beam element based on Shi theory).

40

3.2.1. Chuyển vị nút và nội suy

Khác với phần tử FBKO, tại mỗi nút của phần tử TBSH có bốn thành phần, cụ

thể véc-tơ chuyển vị nút de của phần tử có dạng

de = {u1 w1 wx1 γ1 u2 w2 wx2 γ2}T , (3.15)

với ui, wi, wxi và γi (i = 1,2) tương ứng là các giá trị của u0, w0, w0,x và γ0 tại nút i.

Các chuyển vị u0(x, t), w0(x, t) và góc trượt ngang γ0(x, t) được nội suy từ

chuyển vị nút như sau

u0 = Nde, w0 = Hde, γ0 = Nde, (3.16)

Các ma trận hàm dạng N và H trong phương trình (3.16) có dạng như sau

N = {N1 N2}

H = {H1 H2 H3 H4}(3.17)

Các hàm nội suy tuyến tính N1 và N2 cho bởi phương trình (3.5), trong khi các đa thức

Hermite Hi, (i = 1..4) có dạng dưới đây

H1 = 1−3

(x

l

)2

+2

(x

l

)3

H2 = x−2x2

l+

x3

l2

H3 = 3

(x

l

)2

−2

(x

l

)3

H4 =−x2

l+

x3

l2

(3.18)


Đưa các hàm nội suy nêu trên vào biểu thức năng lượng biến dạng của dầm,

phương trình (2.19), ta có thể viết lại năng lượng biến dạng dưới dạng ma trận như

phương trình (3.9) với véc-tơ độ cứng phần tử ke có kích thước (8×8) và có thể viết

dưới dạng

ke =

kuu kuw kuγ

kTuw kww kwγ

kTuγ k

Twγ kγγ

(3.19)

41

trong đó kuu, kuw, ... kγγ là các ma trận độ cứng phần tử sinh ra từ biến dạng dọc trục,

uốn, biến dạng trượt và tác động tương hỗ của các biến dạng này. Biểu thức cụ thể cho

các ma trận này như sau

kuu =

∫ l

0

NT,x A11N,x dx,

kuw =−∫ l

0

NT,x A12H,xx dx,

kuγ =5

∫ l

0

(

1

4N

T,x A12N,x −

1

3h2N

T,x A34N,x

)

dx,

kww =∫ l

0

HT,xx A22H,xx dx,

kwγ =5

∫ l

0

(

−1

4H

T,xx A22N,x +

1

3h2H

T,xx A44N,x

)

dx,

kγγ =25

∫ l

0

[

1

16N

T,x A22N,x −

1

12h2N

T,xA44N,x +

1

9h4N

T,xA66N,x

+NT

(

1

16B11 −

1

2h2B22 +

1

h4B44

)

N

]

dx

(3.20)

Mô hình phần tử dầm FBKO và TBSH trong luận án này được xây dựng cho mô hình

dầm 2D-FGSW ba pha. Với các hệ số độ cứng Ai j trong phương trình (3.20), như đã

nói ở trên có thể nhận được dưới dạng hiện, các ma trận độ cứng trong phương trình

(3.20), vì thế cũng có thể nhận được dưới dạng hiện.


Tương tự như năng lượng biến dạng đàn hồi, ta có thể viết động năng của dầm,

phương trình (2.22), dưới dạng ma trận (3.12). Ma trận khối lượng phần tử me cũng

có thể phân tách thành các ma trận con như sau

me =

muu muw muγ

mTuw mww mwγ

mTuγ m

Twγ mγγ

(3.21)

42

Biểu thức cụ thể cho các ma trận con trong phương trình trên như sau

muu =∫ l

0

NT I11Ndx,

muw =−∫ l

0

NT I12H,x dx,

muγ =5

∫ l

0

(

1

4N

T I12N−1

3h2N

T I34N

)

dx,

mww =∫ l

0

(

HT I11H+H

T,x I22H,x

)

dx,

mwγ =5

∫ l

0

(

−1

4H

T,x I22N+

1

3h2H

T,x I44N

)

dx,

mγγ =25

∫ l

0

NT

(

1

16I22 −

1

12h2I44 +

1

9h4I66

)

Ndx

(3.22)

Giống như ma trận độ cứng, với mô hình dầm 2D-FGSW ba pha các ma trận khối

lượng trong phương trình (3.22) cũng có thể nhận được dưới dạng hiện.

3.3. Phần tử dầm TBSE

Lý thuyết biến dạng trượt bậc ba của Shimpi và Patel trình bày trong Mục 2.5

được sử dụng để xây dựng phần tử dầm trong mục này. Để cải tiến sự hội tụ, phần tử

được xây dựng bằng cách sử dụng các hàm thứ bậc làm giàu (hierarchical enriched

functions) cho các hàm nội suy Lagrange và Hermite thông thường.

3.3.1. Hàm nội suy Lagrange và Hermite

Với lý thuyết biến dạng trượt bậc ba Shimpi-Patel và các hàm u0, wb và ws là

các hàm độc lập ta có thể xây dựng được phần tử dầm hai nút. Véc-tơ chuyển vị nút

phần tử gồm mười thành phần, cụ thể

de = {du db ds}T (3.23)

trong đó

du = {u01 u02}T ,

db = {wb1 wb1,x wb2 wb2,x}T ,

ds = {ws1 ws1,x ws2 ws2,x}T

(3.24)

là các véc-tơ chuyển vị dọc trục, chuyển vị ngang do uốn và chuyển vị ngang do trượt

tại các nút phần tử. Chuyển vị bên trong phần tử được nội suy từ chuyển vị nút theo

43

công thức

u0 = Ndu, wb = Hdb, ws = Hds (3.25)

với N và H là các ma trận hàm nội suy, có dạng

N = {N0 N1} , H = {H0 H1 H2 H3} (3.26)

Các hàm N0, N1 là các hàm tuyến tính, cho bởi phương trình (3.5), trong khi các hàm

H0, H1, H2, H3 là các đa thức Hermite (3.18). Để thuận tiện cho việc trình bày, các

hàm tuyến tính và Hermite được ký hiệu lại như trong phương trình (3.26).

Sử dụng phép nội suy như trên, ta cũng có thể viết năng lượng biến dạng đàn

hồi cho dầm dưới dạng (3.9), trong đó ma trận độ cứng phần tử ke có dạng

ke10×10

=

ku0u0ku0wb

ku0ws

kTu0wb

kwbwbkwbws

kTu0ws

kTwbws

kwsws

(3.27)

Các ma trận độ cứng ku0u0, kwbwb

và kwsws sinh ra từ biến dạng dọc trục, biến dạng

uốn và biến dạng trượt và xác định được theo công thức

ku0u0=

∫ l

0

NT,xA11N,xdx

kwbwb=

∫ l

0

HT,xxA22H,xxdx

kwsws =

∫ l

0

[

HT,xxAssH,xx +HT

,xAshH,x

]

dx

(3.28)

trong khi các ma trận tương hỗ ku0wb, ku0ws và kwbws có dạng

ku0wb=−

∫ l

0

NT,xA12H,xxdx

ku0ws =∫ l

0

NT,xAusH,xxdx

kwsws =−∫ l

0

HT,xxAbsH,xxdx

(3.29)

Tương tự, ma trận khối lượng phần tử me cũng có thể viết dưới dạng các ma

44

trận con như sau

me10×10

=

mu0u0mu0wb

mu0ws

mTu0wb

mwbwbmwbws

mTu0ws

mTwbws

mwsws

(3.30)

trong đó

mu0u0=

∫ l

0

NT I11Ndx

mu0wb=−

∫ l

0

NT I12H,xdx

mu0ws =∫ l

0

NT IusH,xdx

mwbwb=−

∫ l

0

(

HT I11H+HT,xI22H,x

)

dx

mwbws =−∫ l

0

(

HT I11H+HT,xIbsH,x

)

dx

mwsws =∫ l

0

(

HT I11H+HT,xIssH,x

)

dx

(3.31)

Phần tử dầm cho bởi các phương trình trong mục này được Vo và cộng sự xây dựng

trong [64] để nghiên cứu dao động và mất ổn định của dầm 1D-FGSW.

3.3.2. Phần tử với nội suy làm giàu

3.3.2.1. Hàm làm giàu thứ bậc

Để cải thiện tính hội tụ của phần tử dầm, phép nội suy (3.25) trên cơ sở các

hàm nội suy Lagrange và Hermite được làm giàu trong luận án này bằng các hàm đa

thức bậc cao. Khi đó hàm nội suy (3.25) được thay thế bởi

u0 = Ndu + N5du

wb = Hdb + H7db

ws = Hdb + H7ds

(3.32)

trong đó

N5 = {N2 N3 ... N5}, H7 = {H4 H5 ... H7} (3.33)

45

tương ứng là các ma trận của hàm nội suy bậc năm và bậc bảy, được thêm vào (3.25);

du, db, ds là các véc-tơ của các bậc tự do thêm vào với dạng sau

du = {a1 a2 a3 a4}T

db = {ab1 ab2 ab3 ab4}T

ds = {as1 as2 as3 as4}T

(3.34)

trong đó a1 ... a4, ab1 ... ab4 và as1 ... as4 là các bậc tự do được thêm vào.

Các hàm dạng thứ bậc Np+1 (p = 1..4) và Hk+1 (k = 3..6) trong phương trình

(3.32) có thể được khởi tạo không cần đưa vào thêm các nút, mà sử dụng các tham số

không cần có ý nghĩa cơ học cụ thể [136]. Theo Solin [137], Np+1 và Hk+1 là các hàm

thứ bậc (hierarchical functions), được xác định như sau

Np+1 =∫ ξ

−1

Lp(ζ )dζ , Hk+1 =∫ ξ

−1

Nk(ζ )dζ (3.35)

với Lp là các đa thức Legendre chuẩn hóa, ‖Lp‖L2(−1,1) = 1 với tất cả p ≥ 0. Các hàm

dạng thứ bậc này nhận được trên cơ sở tính trực giao và đối xứng có dạng như sau

[137]

N2(ξ ) =1

2

√

3

2(ξ 2 −1)

N3(ξ ) =1

2

√

5

2(ξ 2 −1)ξ

N4(ξ ) =1

8

√

7

2(ξ 2 −1)(5ξ 2 −1)

N5(ξ ) =1

8

√

9

2(ξ 2 −1)(7ξ 2 −3)ξ

(3.36)

và

H4(ξ ) =

√

5

128(1−ξ 2)2

H5(ξ ) =

√

7

128(1−ξ 2)2ξ

H6(ξ ) =1

6

√

9

128(1−ξ 2)2(−7ξ 2 +1)

H7(ξ ) =1

2

√

11

128(1−ξ 2)2(3ξ 2 −1)ξ

(3.37)

Trong các phương trình trên ξ = 2x/l −1 là tọa độ tự nhiên.

46

3.3.2.2. Ma trận độ cứng

Với phép nội suy làm giàu cho bởi phương trình (3.32), véc-tơ các bậc tự do

của phần tử có dạng

de22×1

= {du du db db ds ds}T (3.38)

trong đó du, db và ds cho bởi phương trình (3.24) còn du, db và ds cho bởi (3.34).

Sử dụng phép nội suy (3.32) ta có thể dễ dàng viết biểu thức năng lượng biến

dạng của dầm (2.28) dưới dạng ma trận (3.9) với ma trận độ cứng phần tử ke được

phân tách thành các ma trận con như sau

ke22×22

=

kuu kuu kub kub kus kus

kTuu kuu kub kub kus kus

kTub k

Tub kbb kbb kbs kbs

kT

ubk

T

ubk

T

bbkbb kbs kbs

kTus k

Tus k

Tbs k

T

bskss kss

kTus k

Tus k

Tbs k

T

bsk

Tss kss

(3.39)

Các ma trận con trên đường chéo trong ma trận (3.39) có dạng

kuu2×2

=2

l

∫ 1

−1

NT,ξ A11N,ξ dξ ,

kuu4×4

=2

l

∫ 1

−1

NT5,ξ A11N5,ξ dξ ,

kbb4×4

=8

l3

∫ 1

−1

HT,ξ ξ A22H,ξ ξ dξ ,

kbb4×4

=8

l3

∫ 1

−1

HT7,ξ ξ A22H7,ξ ξ dξ ,

kss4×4

=∫ 1

−1

(

8

l3H

T,ξ ξ AssH,ξ ξ +

2

lH

T,ξ AshH,ξ

)

dξ

kss4×4

=∫ 1

−1

(

8

l3H

T7,ξ ξ AssH7,ξ ξ +

2

lH

T7,ξ AshH7,ξ

)

dξ

(3.40)

trong khi đó các ma trận con của độ cứng tương hỗ trong (3.39) có dạng

47

kuu2×4

=2

l

∫ 1

−1

NT,ξ A11N5,ξ dξ ,

kub2×4

=−4

l2

∫ 1

−1

NT,ξ A12H,ξ ξ dξ ,

kub2×4

=−4

l2

∫ 1

−1

NT,ξ A12H7,ξ ξ dξ ,

kus2×4

=−4

l2

∫ 1

−1

NT,ξ AusH,ξ ξ dξ ,

kus2×4

=−4

l2

∫ 1

−1

NT,ξ AusH7,ξ ξ dξ ,

kub4×4

=−4

l2

∫ 1

−1

NT5,ξ A12H,ξ ξ dξ ,

kub4×4

=−4

l2

∫ 1

−1

NT5,ξ A12H7,ξ ξ dξ ,

kus4×4

=−4

l2

∫ 1

−1

NT5,ξ AusH,ξ ξ dξ ,

kus4×4

=−4

l2

∫ 1

−1

NT5,ξ AusH7,ξ ξ dξ ,

kbb4×4

=8

l3

∫ 1

−1

HT,ξ ξ A22H7,ξ ξ dξ ,

kbs4×4

=8

l3

∫ 1

−1

HT,ξ ξ AbsH,ξ ξ dξ ,

kbs4×4

=8

l3

∫ 1

−1

HT,ξ ξ AbsH7,ξ ξ dξ

kbs4×4

=8

l3

∫ 1

−1

HT7,ξ ξ AbsH,ξ ξ dξ ,

kbs4×4

=8

l3

∫ 1

−1

HT7,ξ ξ AbsH7,ξ ξ dξ

kss4×4

=∫ 1

−1

(

8

l3H

T,ξ ξ AssH7,ξ ξ +

2

lH

T,ξ AshH7,ξ

)

dξ

(3.41)

3.3.2.3. Ma trận khối lượng

Động năng của dầm T cho bởi phương trình (2.30) viết dưới dạng ma trận như

sau

T =1

2

NE

∑ dT

med (3.42)

48

trong đó me là ma trận khối lượng phần tử, có thể phân tách thành các ma trận con

như sau

me22×22

=

muu muu mub mub mus mus

mTuu muu mub mub mus mus

mTub m

Tub mbb mbb mbs mbs

mT

ubm

T

ubm

T

bbmbb mbs mbs

mTus m

Tus m

Tbs m

T

bsmss mss

mTus m

Tus m

Tbs m

T

bsm

Tss mss

(3.43)

Các ma trận con trên đường chéo của ma trận (3.43) có dạng như sau

muu2×2

=l

2

∫ 1

−1

NT I11Ndξ ,

muu4×4

=l

2

∫ 1

−1

NT5 I11N5 dξ ,

mbb4×4

=∫ 1

−1

(

l

2H

T I11H+2

lH

T,ξ I22H,ξ

)

dξ ,

mbb4×4

=∫ 1

−1

(

l

2H

T7 I11H7 +

2

lH

T7,ξ I22H7,ξ

)

dξ ,

mss4×4

=∫ 1

−1

(

l

2H

T I11H+2

lH

T,ξ IssH,ξ

)

dξ

mss4×4

=∫ 1

−1

(

l

2H

T7 I11H7 +

2

lH

T7,ξ IssH7,ξ

)

dξ

(3.44)

49

Các ma trận con ngoài đường chéo của ma trận khối lượng (3.43) có dạng

muu2×4

=l

2

∫ 1

−1

NT I11N5 dξ ,

mub2×4

=−∫ 1

−1

NT I12H,ξ dξ ,

mub2×4

=−∫ 1

−1

NT I12H7,ξ dξ ,

mus2×4

=−∫ 1

−1

NT IusH,ξ dξ ,

mus2×4

=−∫ 1

−1

NT IusH7,ξ dξ ,

mub4×4

=−∫ 1

−1

NT5 I12H,ξ dξ ,

mub4×4

=−∫ 1

−1

NT5 I12H7,ξ dξ ,

mus4×4

=−∫ 1

−1

NT5 IusH,ξ dξ ,

mus4×4

=−∫ 1

−1

NT5 IusH7,ξ dξ ,

mbb4×4

=∫ 1

−1

(

l

2H

T I11H7 +2

lH

T,ξ I22H7,ξ

)

dξ ,

mbs4×4

=

∫ 1

−1

(

l

2H

T I11H+2

lH

T,ξ IbsH,ξ

)

dξ ,

mbs4×4

=∫ 1

−1

(

l

2H

T I11H7 +2

lH

T,ξ IbsH7,ξ

)

dξ ,

mbs4×4

=∫ 1

−1

(

l

2H

T7 I11H+

2

lH

T7,ξ IbsH,ξ

)

dξ ,

mbs4×4

=∫ 1

−1

(

l

2H

T7 I11H7 +

2

lH

T7,ξ IbsH7,ξ

)

dξ ,

mss4×4

=∫ 1

−1

(

l

2H

T I11H7 +2

lH

T,ξ IssH7,ξ

)

dξ .

(3.45)

Như đã nói ở trên, với mô hình dầm 2D-FGSW hai pha ta không xây dựng được dạng

hiện cho các hệ số độ cứng Ai j và mô-men Ii j, vì thế phép cầu phương Gauss được sử

dụng để tính toán các ma trận độ cứng và ma trận khối lượng cho bởi các phương trình

(3.40)-(3.45). Kết quả số trong luận án cho thấy phép cầu phương Gauss với 6 điểm

theo chiều cao và 6 điểm dọc theo chiều dài phần tử đủ để đánh giá các ma trận độ

50

cứng và ma trận khối lượng (3.40)-(3.45). Phần tử dầm với các hàm nội suy làm giàu

trình bày trong mục trên được ký hiệu là ‘TBSE’ (Third-order beam element based

on Shimpi-Patel theory with enriched interpolation).

3.4. Phần tử dầm Q3DB

Mục này xây dựng phần tử dầm hai nút dựa trên lý thuyết biến dạng trượt

tựa 3D trình bày trong Mục 2.6. Phần tử được ký hiệu là ‘Q3DB’ (Quasi 3D beam

element).

3.4.1. Trường nội suy

Bên cạnh các chuyển vị nút du, db, ds như phần tử TBSE trong mục trên, phần

tử dầm sử dụng lý thuyết tựa 3D trong Mục 2.6 còn có thêm các chuyển vị theo trục

z. Véc-tơ chuyển vị cho phần tử (de), vì thế, có dạng

de12×1

= {du db ds dz}T (3.46)

trong đó du, db, ds được định nghĩa như trong phương trình (3.24) còn dz có dạng

dz = {wz1 wz2}T (3.47)

với wz1 và wz2 tương ứng là các chuyển vị theo phương z tại các nút 1 và nút 2 của

phần tử.


Sử dụng phép nội suy tuyến tính cho u0 và wz, trong khi các hàm Hermite được

dùng cho chuyển vị ngang do uốn wb và trượt ws ta có thể viết

u0 = Ndu, wz = Ndz, wb = Hdb, ws = Hds (3.48)

trong đó N = {N1 N2} với các hàm tuyến tính Ni (i = 1,2) cho bởi phương trình (3.5);

còn H = {H1 H2 H3 H4} với các hàm Hermite Hi (i = 1..4) cho bởi (3.18).

Sử dụng phép nội suy như trên, năng lượng biến dạng đàn hồi của dầm trong

phương trình (2.34) có thể viết dưới dạng ma trận như (3.9) với ma trận độ cứng phần

51

tử ke viết qua các ma trận con như sau

ke12×12

=

ku0u0ku0wb

ku0ws ku0wz

kBu0wb

T kwbwbkwbws kwbwz

kTu0ws

kTwbws

kwsws kwswz

kTu0wz

kTwbwz

kTwswz

kwzwz

(3.49)

Trong phương trình trên, các ma trận con ku0u0, kwbwb

, kwsws, kwzwz tương ứng là ma

trận độ cứng sinh ra do biến dạng dọc trục, biến dạng do uốn, biến dạng do trượt và

do sự dãn dày và chúng có dạng như sau:

ku0u0=

∫ l

0

NT,xA11N,xdx,

kwbwb=

∫ l

0

HT,xxA22H,xxdx,

kwsws =∫ l

0

[

16

9h4HT

,xxA66H,xx +

(

D11 −8

h2D22 +

16

h4D44

)

HT,xH,x

]

dx,

kwzwz =∫ l

0

[

64

h4HT A22N+

(

D11 −8

h2D22 +

16

h4D44

)

NT,xN,x

]

dx.

(3.50)

Các ma trận con ku0wb, ku0ws , ku0wz , kwbws , kwbwz , kwswz trong (3.49) là các ma

trận tương hỗ giữa biến dạng dọc trục với uốn, biến dạng dọc trục với trượt, biến dạng

do dọc trục với dãy dày, biến dạng do uốn với trượt, biến dạng do uốn với dãn dày,

biến dạng do trượt với dãn dày. Dạng cụ thể cho các ma trận con này như sau

ku0wb=−

∫ l

0

NT,xA12H,xxdx,

ku0ws =−4

3h2

∫ l

0

NT,xA34H,xxdx,

ku0wz =8

h2

∫ l

0

NT,xG12Ndx,

kwbws =4

3h2

∫ l

0

HT,xxA44H,xxdx,

kwbwz =−8

h2

∫ l

0

HT,xxG22Ndx,

kwswz =∫ l

0

[

−32

3h4HT

,xxG44N+

(

D11 −8

h2D22 +

16

h4D44

)

HT,xN,x

]

dx.

(3.51)

52

Lưu ý rằng để phép nhân ma trận trong các phương trình (3.50), (3.51) (và dưới

đây) tương thích, ma trận các hàm nội suy N và H cho bởi (3.48) cần được điều chỉnh

bằng cách thêm vào các hệ số 0 để có kích thước (12×1).


Với trường nội suy lựa chọn trong Mục 3.4.1 ta cũng có thể biểu diễn động

năng (2.40) dưới dạng (3.12) với ma trận khối lượng phần tử me có dạng

me12×12

=

mu0u0mu0wb

mu0ws 0

mTu0wb

mwbwbmwbws mwbwz

mTu0ws

mTwbws

mwsws mwswz

0 mTwbwz

mTwswz

mwzwz

(3.52)

trong đó

mu0u0=

∫ l

0

NT I11Ndx,

mu0wb=−

∫ l

0

NT I12H,xdx,

mu0ws =−4

3h2

∫ l

0

NT I34H,xdx,

mwbwb=

∫ l

0

(

HT I11H+HT,xI22H,x

)

dx,

mwbws =∫ l

0

(

HT I11H+4

3h2HT

,xI44H,x

)

dx,

mwbwz = mwswz =∫ l

0

(

I11 −4

h2I22

)

HT Ndx,

mwsws =∫ l

0

(

HT I11H+8

9h4HT

,xI66H,x

)

dx,

mwzwz =∫ l

0

(

I11 −8

h2I22 +

16

h4I44

)

NT Ndx.

(3.53)

Phần tử Q3DB xây dựng trong mục này sẽ được dùng để phân tích dầm 2D-

FGSW hai pha, vì thế phép cầu phương Gauss với 6 điểm theo chiều cao và chiều dài

phần tử được sử dụng để tính các tích phân trong các phương trình (3.50), (3.51) và

(3.53). Số điểm Gauss nhiều hơn 6 đã được NCS sử dụng nhưng kết quả số không

được cải thiện, vì thế 6 điểm Gauss sẽ được sử dụng trong luận án này.

53

3.5. Ma trận độ cứng của nền đàn hồi

Năng lượng biến dạng do nền đàn hồi UF cho bởi phương trình (2.42) có thể

viết dưới dạng

UF =1

2

NEF

∑ dTe kFde (3.54)

trong đó NEF là số phần tử được dùng để rời rạc chiều dài phần nền dầm tựa lên và

ma trận độ cứng do nền biến dạng kF có dạng

kF12×12

=

0 0 0 0

0 kFwbwb

kFwbws

kFwbwz

0(

kFwbws

)T kFwsws

kFwswz

0(

kFwbwz

)T (

kFwswz

)T kFwzwz

(3.55)

Các ma trận con trong phương trình trên có dạng sau đây

kFwbwb

= kFwsws

= kFwbws

=∫ l

0

(

HT kwH+HT,xksH,x

)

dx

kFwbwz

= kFwswz

=∫ l

0

(

HT kwN+HT,xksN,x

)

dx

kFwzwz

=∫ l

0

(

NT kwN+NT,xksN,x

)

dx

(3.56)

Với phần tử nằm trên nền đàn hồi thì ma trận độ cứng phần tử là tổ hợp các ma trận

độ cứng của dầm và của nền, ke +kF, trong khi các phần tử không nằm trên nền đàn

hồi thì ma trận độ cứng phần tử chỉ có đóng góp của ke.

3.6. Ma trận và véc-tơ tải trọng di động

Dao động của kết cấu dưới tác dụng của tải trọng di động là bài toán quan trọng

trong cơ học, có nhiều ứng dụng trong thực tế, đặc biệt trong lĩnh vực giao thông vận

tải và thiết kế, chế tạo máy. Nguồn duy nhất gây ra rung động của kết cấu trong bài

toán này là sự thay đổi vị trí của tải trọng theo thời gian. Bài toán này đòi hỏi các kỹ

thuật đặc biệt để phân tích. Với dầm thuần nhất, nghiệm giải tích cho một số bài toán

dầm chịu các tải trọng di động khác nhau nhận được trên cơ sở biến đổi Fourier và

biến đổi Laplace được trình bày trong sách chuyên khảo nổi tiếng của Frýba [138].

Dao động của dầm FGM và dầm FGSW chịu tải trọng di động được một số tác giả

quan tâm trong những năm gần đây, nổi bật trong số đó là các tác giả Simsek, Khalili

54

và Esen như trình bày trong phần tổng quan. Để phân tích dao động của kết cấu chịu

tải trọng di động bằng phương pháp PTHH, ngoài các ma trận độ cứng và ma trận

khối lượng của dầm cần biết véc-tơ lực nút và các ma trận sinh ra từ tải trọng di động.

Mục này tiến hành thiết lập véc-tơ tải trọng nút phần tử và các ma trận sinh ra khi

khối lượng di động trên dầm biến dạng.

3.6.1. Lực di động

Trường hợp dầm chịu tải trọng là lực di động F0, với việc sử dụng phép nội suy

cho trường chuyển vị ta có thể viết thế năng của lực F0 cho bởi phương trình (2.43)

dưới dạng

V =NE

∑ dTe fex (3.57)

trong đó fex là véc-tơ tải trọng nút phần tử, phụ thuộc vào lý thuyết dầm và hàm nội

suy lựa chọn. Chẳng hạn với phần tử FBKO sử dụng các hàm nội suy Kosmatka xây

dựng trong Mục 3.1, véc-tơ lực nút fex có dạng sau đây

fex = { 0 F0Nw1|xe F0Nw2|xe 0 F0Nw3|xe F0Nw4|xe }T (3.58)

Trong phương trình trên Nwi|xe, (i = 1..4) là ma trận các hàm dạng cho chuyển vị

ngang. Các ma trận này được đánh giá tại hoành độ xe - vị trí hiện tại của lực F0 tính

từ nút trái của phần tử chịu lực. Như vậy, để xác định véc-tơ lực nút fex ta cần biết

hoành độ xe. Hoành độ này dễ dàng xác định được khi biết vị trí hiện tại của lực di

động so với nút trái của dầm.

Véc-tơ lực nút tổng thể cho toàn dầm F có dạng như sau

F = {0 0 0 ... 0 0 0 fex 0 0 0... 0 0 0}T (3.59)

tức là bằng 0 cho mọi phần tử ngoại trừ phần tử có lực F0 tác động.

3.6.2. Phần tử khối lượng di động

Phần tử khối lượng di động (Moving mass element) sinh ra do ảnh hưởng của

lực quán tính, lực Coriolis và lực li tâm khi dầm chịu tác dụng của khối lượng di động

m, dẫn tới biểu thức thế năng của lực di động, phương trình (2.45), có dạng phức tạp

hơn. Với việc đưa vào các hàm nội suy cho trường chuyển vị ta có thể viết thế năng

(2.45) dưới dạng sau đây

V =NE

∑(

dTe mmde + d

Te cmde +d

Te kmde −d

Te fm

)

(3.60)

55

trong đó mm, cm và km tương ứng là ma trận khối lượng, ma trận cản và ma trận độ

cứng phần tử sinh ra do lực quán tính, lực Coriolis và lực ly tâm khi khối lượng m

chuyển động trên dầm; fm là véc-tơ lực nút phần tử. Dạng cụ thể của các ma trận và

véc-tơ này phụ thuộc vào lý thuyết dầm và hàm nội suy lựa chọn. Với lý thuyết dầm

tựa 3D và các hàm dạng tuyến tính cho chuyển vị dọc trục, hàm dạng Hermite cho

chuyển vị ngang lựa chọn ở trên, các ma trận và véc-tơ trong phương trình (3.60) có

dạng như sau

mm12×12

= m

NT N 0 0 0

0 HT H HT H HT N

0 HT H HT H HT N

0 NT H NT H NT N

xe

(3.61)

cm12×12

= 2mv

0 0 0 0

0 HT H,x HT H,x HT N,x

0 HT H,x HT H,x HT N,x

0 NT H,x NT H,x NT N,x

xe

(3.62)

km12×12

= mv2

0 0 0 0

0 HT H,xx HT H,xx 0

0 HT H,xx HT H,xx 0

0 NT H,xx NT H,xx 0

xe

(3.63)

và

fm12×1

= mg

[

0 HT HT NT

]T

xe

(3.64)

Kí hiệu [.]xe trong các phương trình (3.61)-(3.64), như giải thích ở trên, được dùng để

chỉ các ma trận hàm nội suy được đánh giá tại vị trí hiện tại của khối lượng m. Ngoài

phần tử chịu khối lượng di động, thì các ma trận phần tử mm, cm, km và véc-tơ lực fm

đều bằng 000. Véc-tơ tải trọng tổng thể cho toàn dầm cũng có dạng tương tự như phương

56

trình (3.59) nhưng với véc-tơ lực nút phần tử fex thay bởi véc-tơ fm trong phương trình

(3.64).

3.7. Phương trình chuyển động rời rạc

Với các biểu thức của ma trận độ cứng và ma trận khối lượng phần tử xây dựng

được ta có thể nối ghép để tạo thành các ma trận độ cứng và ma trận khối lượng tổng

thể cho dầm. Bỏ qua ảnh hưởng cản của vật liệu dầm, phương trình chuyển động cho

dầm 2D-FGSW có thể viết dưới dạng ngôn ngữ PTHH như sau

(M+Mm) D+Cm D+(K+Km)D = F (3.65)

trong đó D, D và D tương ứng là các véc-tơ chuyển vị nút, vận tốc nút và gia tốc nút

của toàn dầm; M, Mm, Cm, K, Km và F tương ứng là các ma trận khối lượng, ma trận

cản, ma trận độ cứng và véc-tơ lực nút của toàn dầm. Các véc-tơ này nhận được bằng

cách nối ghép các véc-tơ và ma trận phần tử, tức là

D =NE

∑ de, D =NE

∑ de, D =NE

∑ de (3.66)

và

M =NE

∑ me, Mm =NE

∑ mm, K =NE

∑ ke,

Km =NE

∑ km, Cm =NE

∑ cm, F =NE

∑ fex

(3.67)

Dấu tổng trong các phương trình (3.66) và (3.67) được hiểu theo nghĩa nối ghép các

véc-tơ và ma trận phần tử thành véc-tơ và ma trận tổng thể trong phân tích PTHH.

Lưu ý rằng trường hợp dầm chịu lực di động thì các ma trận Mm, Cm và Km bằng 000.

Trong trường hợp dao động tự do, các ma trận Mm, Cm, Km và vế phải của

phương trình (3.65) được gán bằng 000. Khi đó ta nhận được phương trình dao động tự

do của dầm dưới dạng

MD+KD = 000, (3.68)

Với giả thiết kết cấu dao động điều hòa khi không có lực ngoài tác động, phương trình

(3.68) dẫn tới bài toán giá trị riêng của định thức theo tần số ω như sau:

(

K−ω2M)

D = 000, (3.69)

với ω được gọi là tần số tuần hoàn và D là biên độ của dao động. Nghiệm của phương

trình (3.69) cho các tần số dao động riêng và các mốt dao động tương ứng của dầm

[132].

57

3.8. Phương pháp Newmark

Để giải phương trình chuyển động (3.65) ngoài các điều kiện biên tại hai đầu

dầm cần phải biết điều kiện ban đầu, tức là chuyển vị D và vận tốc D tại thời điểm

t = 0. Một trong các điều kiện phổ biến là kết cấu ở trạng thái dừng ở thời điểm ban

đầu, tức là

D|t=0 = D|t=0 = 000 (3.70)

Có nhiều phương pháp khác nhau để giải phương trình chuyển động (3.65), trong đó

phương pháp tích phân trực tiếp Newmark [139] được nhiều nhà khoa học sử dụng

cùng với phương pháp PTHH để tính toán đáp ứng động lực học của kết cấu.

Trong phương pháp Newmark, tổng thời gian kết cấu dao động được chia làm

các bước thời gian (time step) nhỏ ∆t. Phương trình chuyển động cho một kết cấu với

ma trận khối lượng M, ma trận cản C và ma trận độ cứng K được viết cho thời điểm

(n+1)∆t dưới dạng

MDn+1 + C Dn+1 + KDn+1 = Fn+1 (3.71)

Chuyển vị và vận tốc tại thời điểm mới (n+ 1)∆t được tính từ các giá trị đã biết tại

thời điểm trước n∆t, (n− 1)∆t ... Hai thuật toán tích phân trực tiếp, thuật toán hiện

và thuật toán ẩn, với sự khác nhau về tính ổn định của lời giải số đã được đề nghị.

Phương pháp gia tốc trung bình (average acceleration method), một thuật toán ẩn với

sự ổn định không điều kiện của lời giải số [132] được sử dụng trong luận án này.

Chuyển vị, vận tốc tại thời điểm mới (n+1)∆t trong phương pháp gia tốc trung

bình có thể nhận được từ khai triển Taylor tại vị trí n∆t như sau

Dn+1 = Dn +∆t

2

(

Dn + Dn+1

)

Dn+1 = Dn +∆t

2

(

Dn + Dn+1

)

(3.72)

Phương trình (3.72) cho vận tốc và gia tốc tại thời điểm (n+1)∆t dưới dạng

Dn+1 =2

∆t(Dn+1 −Dn)− Dn

Dn+1 =4

∆t2(Dn+1 −Dn)−

4

∆tDn − Dn

(3.73)

Kết hợp phương trình (3.73) với phương trình chuyển động (3.71) ta được phương

trình để xác định chuyển vị nút tại thời điểm mới (n+1)∆t dưới dạng

Keff

Dn+1 = Feffn+1 (3.74)

58

trong đó

Keff =

4

∆t2M+

2

∆tC+ K (3.75)

và

Feffn+1 = Fexn+1

+M

(

4

∆t2+

4

∆tDn + D

)

+ C

(

2

∆tDn + D

)

(3.76)

Quy trình tính toán số theo phương pháp gia tốc trung bình trình bày trên như sau

1. Thiết lập các ma trận M, C, K của dầm.

2. Gán điều kiện ban đầu n = 0: D0 = 000, D0 = 000.

3. Gia tốc tại thời điểm ban đầu nhận được từ phương trình chuyển động

D0 = M−1(F0 − C D0 − KD0) (3.77)

4. Cho n = 1, thiết lập ma trận độ cứng Keff theo phương trình (3.75), vec-tơ lực

Feffn+1 theo phương trình (3.76).

5. Giải phương trình (3.74) để nhận được Dn+1.

6. Cập nhập vận tốc và gia tốc theo phương trình (3.73).

7. Xuất kết quả và chuyển sang bước thời gian mới (n+1)∆t và quay lại bước 4.

Sơ đồ khối để tính toán đáp ứng động lực học của dầm sandwich 2D-FGM nằm

trên nền đàn hồi chịu tác động của khối lượng di động theo phương pháp gia tốc trung

bình sử dụng phần tử dầm Q3DB được minh họa trong Hình 3.1. Các ma trận độ cứng,

ma trận khối lượng và các véc-tơ tổng thể trong sơ đồ nhận được bằng việc sử dụng

hàm nội suy Lagrange và Hermite để nội suy trường chuyển vị. Ở đây, "nST EP" là

tổng số bước dùng trong thuật toán Newmark. Dn+1, Dn+1, Dn+1 là véc-tơ chuyển vị,

véc-tơ vận tốc và véc-tơ gia tốc nút tại thời điểm mới (n+1)∆t; D0, D0, D0 là véc-tơ

chuyển vị, véc-tơ vận tốc và véc-tơ gia tốc nút tại thời điểm cũ n∆t. Các véc-tơ chuyển

vị, vận tốc và gia tốc mới được gán thành các véc-tơ chuyển vị, vận tốc và gia tốc cũ

ở đầu vòng lặp bằng các lệnh: D0 = Dn+1, D0 = Dn+1, D0 = Dn+1.

59


Trên cơ sở các lý thuyết biến dạng trượt trình bày trong Chương 2, Chương 3

đã xây dựng bốn mô hình phần tử dầm hai nút, đó là các phần tử FBKO, TBSH, TBSE

và Q3DB. Mô hình phần tử được xây dựng với sự lựa chọn hợp lý các hàm nội suy.

Đặc biệt các hàm nội suy Lagrange và Hermite được làm giàu bởi các hàm thứ bậc

trong việc xây dựng phần tử TBSE để tăng sự hội tụ của phần tử. Ma trận độ cứng

sinh ra bởi biến dạng của nền đàn hồi, các ma trận khối lượng, ma trận cản, ma trận

độ cứng và véc-tơ lực nút sinh ra từ khối lượng chuyển động trên cấu hình biến dạng

của dầm cũng được thiết lập trong Chương 3. Chương 3 cũng trình bày thuật toán tích

phân trực tiếp Newmark sử dụng kết hợp với phương pháp PTHH để tính toán đáp

ứng động lực học của dầm.

Mô hình phần tử FBKO được trình bày trong các bài báo số 3 và 6; Mô hình

phần tử TBSH được được trình bày trong các bài báo số 5, 1 và 9; Mô hình phần tử

TBSE được trình bày trong bài báo số 8; Mô hình phần tử Q3DB trình bày trong Mục

“Danh mục công trình liên quan tới luận án”, trang 125.

60

Hình 3.1. Sơ đồ khối tính đáp ứng động lực học của dầm sandwich 2D-FGSW chịu

khối lượng m di động sử dụng phần tử dầm Q3DB

Chương 4

KẾT QUẢ SỐ VÀ THẢO LUẬN

Chương này trình bày các kết quả phân tích dao động tự do và dao động

cưỡng bức của dầm 2D-FGSW hai pha và dầm 2D-FGSW ba pha chịu tải trọng

di động. Ảnh hưởng của sự phân bố vật liệu, các đặc trưng hình học dầm và

tham số của tải trọng di động tới tần số dao động riêng, độ võng động lực học,

hệ số động lực học và sự phân bố ứng suất của dầm được trình bày chi tiết dưới

các dạng bảng biểu và đồ thị. Bài toán dầm chịu tải trọng di động trong thực tế

thường có điều kiện biên tựa giản đơn nên đáp ứng động lực học chỉ đưa ra cho

dầm có điều kiện biên này. Kết quả số cho dầm 2D-FGSW hai pha được đưa ra

cho cả mô hình Voigt và mô hình Mori-Tanaka. Ảnh hưởng của một phần nền

đàn hồi dầm tựa lên tới các đặc trưng dao động của dầm cũng được trình bày chi

tiết.

4.1. Mở đầu

Với bốn mô hình phần tử dầm và thuật toán số xây dựng trong chương 3, chương

trình tính toán số viết trên ngôn ngữ Matlab đã được phát triển trong luận án để tính

toán các đặc trưng dao động của dầm.

Với phương pháp tích phân trực tiếp Newmark, mặc dù phương pháp gia tốc

trung bình ổn định không điều kiện, nhưng bước thời gian ∆t cũng cần lựa chọn để

đảm bảo tính chính xác của lời giải số. Từ các kết quả phân tích số trước đây [97, 99],

luận án quyết định chọn bước thời gian ∆t như sau

∆t =∆T

300(4.1)

trong đó ∆T là tổng thời gian cần thiết để tải trọng đi hết chiều dài dầm. Mặc dù bước

thời gian có thể chọn thô hơn (với dầm thuần nhất chỉ cần chọn ∆t = ∆T/100 là đủ

[140]), nhưng việc lựa chọn bước thời gian nhỏ giúp cho các đường cong nhận được

từ kết quả số mịn hơn. Tỉ số giữa độ dày của các lớp dầm được ký hiệu qua ba chữ số

tự nhiên trong ngoặc đơn, chẳng hạn (1-2-1) tức là tỉ số độ dày giữa lớp đáy, lớp lõi

và lớp trên sẽ là (h1 : h2 : h3) = (1 : 2 : 1).

Các đặc trưng dao động sau đây được quan tâm nghiên cứu trong chương này:

61

62

• Tần số dao động riêng và các mốt dao động (Natural frequencies and mode

shapes)

• Độ võng động tại giữa dầm (Dynamic mid-span deflection)

• Hệ số động lực học (Dynamic magnification factor)

• Sự phân bố ứng suất theo chiều cao dầm (Thickness distribution of stresses)

4.2. Dao động tự do

Mục này nghiên cứu dao động tự do của các mô hình dầm 2D-FGSW hai pha

và ba pha trình bày trong các Mục 2.1 và 2.2. Dầm có chiều dài L với tiết diện ngang

được giả thiết có dạng hình chữ nhật với chiều rộng b và chiều cao h. Các tính chất

hiệu dụng của dầm ba pha được đánh giá bằng mô hình Voigt, trong khi cả mô hình

Voigt và Mori-Tanaka được sử dụng để đánh giá các tính chất của dầm hai pha.

4.2.1. Dao động tự do của dầm ba pha

Mục này nghiên cứu dao động tự do của dầm 2D-FGSW ba pha với các điều

kiện biên khác nhau. Dầm ba pha trong mục này được giả định là dầm lõi mềm, làm

từ nhôm (Al - M1), zirconia (ZrO2 - M2) và ô-xit nhôm (Al2O3 - M3) với tính chất

vật liệu như sau:

• EM1 = 70 GPa, ρM1 = 2702 kg/m3, νM1 = 0.3 cho Al

• EM2 = 150 GPa, ρM2 = 3000 kg/m3, νM2 = 0.3 cho Zr2O2

• EM3 = 380 GPa, ρM3 = 3960 kg/m3, νM3 = 0.3 cho Al2O3

Hình 4.1 minh họa sự phân bố theo chiều cao và chiều dài dầm của mô-đun

đàn hồi hiệu dụng E f và mật độ khối hiệu dụng ρ f của dầm ba pha lõi mềm. Mô-đun

E f và mật độ khối ρ f được tính theo mô hình Voigt, công thức (2.3). Trong đó Hình

4.1a,c biểu diễn mô-đun đàn hồi và mật độ khối hiệu dụng của dầm với nx = nz = 0.5,

Hình 4.1b,c biểu diễn cho dầm với nx = nz = 3.

Ba điều kiện biên của dầm là tựa giản đơn (SS), ngàm hai đầu (CC) và công-

xôn (CF) được quan tâm nghiên cứu. Độ mảnh của dầm được xác định qua tỉ số giữa

chiều dài và chiều cao của dầm L/h. Nếu không có lưu ý gì thì kết quả trình bày trong

mục này nhận được từ phần tử dầm TBSH cho dầm với độ mảnh L/h = 20. Để tiện

thảo luận, ta đưa vào ký hiệu tham số tần số dao động của dầm, được định nghĩa như

63

x/Lz/h

00.5

200

1

Ef (

GP

a)

0

400

0.5

-0.5 0 z/hx/L

00.5

200

1

Ef (

GP

a)

0

400

0.5

-0.5 0

z/h

25000.5

3000

1

f (kg/m

3)

3500

0

x/L

4000

0.5

-0.5 0z/h

25000.5

3000

1

f (kg/m

3)

3500

0

x/L

4000

0.5

-0.5 0

(d) f with n

x=n

z=3(c)

f with n

x=n

z=0.5

(a) Ef with n

x=n

z=0.5 (b) E

f with n

x=n

z=3

Hình 4.1. Phân bố của mô đun-đàn hồi E f và mật độ khối ρ f của dầm ba pha (1-1-1)

lõi mềm.

sau

µi =ωiL

2

h

√

ρM1

EM1(4.2)

với ωi là tần số dao động riêng thứ i của dầm.

4.2.1.1. Kiểm chứng phần tử TBSH

Tính chính xác và sự hội tụ của phần tử TBSH sử dụng trong phân tích dao

động của dầm cần được kiểm chứng trước khi phân tích. Vì chưa có kết quả công bố

về dao động của dầm 2D-FGSW ba pha, việc kiểm chứng được thực hiện cho dầm

1D-FGSW, nhận được như là trường hợp riêng của dầm 2D-FGSW ba pha. Như ta

thấy từ phương trình (2.2), V2 = 0 khi nx = 0, và như vậy trong trường hợp này dầm

2D-FGSW ba pha trở về dầm 1D-FGSW với cơ tính biến đổi ngang, tạo từ hai vật liệu

M1 và M3. Như vậy, tần số của dầm 1D-FGSW có thể nhận được từ chương trình tính

toán cho dầm 2D-FGSW ba pha của luận án bằng cách gán nx = 0.

64

Bảng 4.1 liệt kê các giá trị của tham số tần số dao động cơ bản của dầm 1D-

FGSW tựa giản đơn với L/h = 20 nhận được từ phần tử TBSH của luận án. Để so

sánh, các giá trị tương ứng của Vo và cộng sự trong tài liệu [64] nhận được bằng phần

tử dầm xây dựng trên cơ sở lý thuyết Reddy-Bickford cũng được liệt kê trong Bảng

4.1. Như ta thấy từ Bảng 4.1, tần số dao động cơ bản của dầm nhận được trong luận

án tương thích với kết quả trong [64], bất kể giá trị của tham số vật liệu nz và tỷ số độ

dày giữa các lớp. Sai số giữa kết quả của luận án so với kết quả trong tài liệu [64] cũng

được chỉ ra trong Bảng 4.1. Sai số lớn nhất và nhỏ nhất của tham số tần số nhận được

từ phần tử TBSH của luận án và giá trị tương ứng của tài liệu [64] trong bảng này như

sau: Sai số lớn nhất là 0.9705 % tương ứng với nz = 2 và dầm bất đối xứng (2-2-1),

trong khi đó sai số nhỏ nhất là 0.0635% trong trường hợp dầm thuần nhất nz = 0. Sai

số được định nghĩa theo công thức:

Error (%) =

∣

∣

∣

∣

(µ1 −µref. [64])

µ1

∣

∣

∣

∣

×100 (4.3)

Sự hội tụ của phần tử dầm TBSH xây dựng trong luận án được minh họa trong

Bảng 4.2, trong đó các giá trị của tham số tần số dao động cơ bản của dầm 2D-FGSW

tựa giản đơn nhận được bằng số lượng khác nhau các phần tử dùng để rời rạc dầm và

các kết quả này được tính cho một số giá trị của các tham số vật liệu và tỷ số độ dày

giữa các lớp. Như ta thấy từ Bảng 4.2, dầm 1D-FGSW (tương ứng với nx = 0) chỉ cần

14 phần tử là hội tụ trong khi dầm 2D-FGSW cần tới 24 phần tử. Như vậy, sự thay đổi

tính chất vật liệu theo chiều dài dầm làm chậm đáng kể sự hội tụ của phần tử TBSH.

Với kết quả về sự hội tụ này, lưới 24 phần tử TBSH với độ dài bằng nhau sẽ được sử

dụng trong tính toán tần số dao động riêng của dầm 2D-FGSW ba pha dưới đây.

4.2.1.2. Ảnh hưởng của sự phân bố vật liệu

Để đánh giá ảnh hưởng của sự phân bố vật liệu tới dao động tự do của dầm

2D-FGSW ba pha, luận án tiến hành tính toán tần số dao động riêng của dầm với các

giá trị khác nhau của hai tham số vật liệu nx và nz. Các Bảng 4.3, Bảng 4.4 và Bảng

4.5 tương ứng liệt kê các giá trị của tham số tần số cơ bản của dầm 2D-FGSW ba pha

với các điều kiện biên SS, CC và CF với các giá trị khác nhau của các tham số vật

liệu và tỷ số độ dày các lớp của dầm. Các nhận xét sau đây có thể rút ra từ các Bảng

4.3-4.5:

• Tham số tần số µ1 tỷ lệ thuận với tham số vật liệu nz nhưng tỷ lệ nghịch với tham

65

Bảng 4.1. So sánh tham số tần số µ1 của dầm 1D-FGSW tựa giản đơn (L/h = 20).

nz Nguồn (1-0-1) (2-1-2) (2-1-1) (1-1-1) (2-2-1) (1-2-1) (1-8-1)

0 TL† [64] 2.8371 2.8371 2.8371 2.8371 2.8371 2.8371 2.8371

LA‡ 2.8353 2.8353 2.8353 2.8353 2.8353 2.8353 2.8353

Error(%) 0.0635 0.0635 0.0635 0.0635 0.0635 0.0635 0.0635

0.5 TL [64] 4.8579 4.7460 4.6050 4.6294 4.4611 4.4160 3.7255

LA 4.8416 4.7311 4.6274 4.6156 4.4856 4.4040 3.7186

Error(%) 0.3367 0.3149 0.4841 0.2990 0.5462 0.2725 0.1856

1 TL [64] 5.2990 5.2217 5.0541 5.1160 4.9121 4.8938 4.0648

LA 5.2931 5.2147 5.0942 5.1086 4.9569 4.8863 4.0600

Error(%) 0.1115 0.1342 0.7872 0.1449 0.9038 0.1535 0.1182

2 TL [64] 5.5239 5.5113 5.3390 5.4410 5.2242 5.2445 4.3542

LA 5.5184 5.5043 5.3798 5.4330 5.2754 5.2358 4.3483

Error(%) 0.0997 0.1272 0.7584 0.1472 0.9705 0.1662 0.1357

5 TL [64] 5.5645 5.6382 5.4834 5.6242 5.4166 5.4843 4.5991

LA 5.5599 5.6320 5.5168 5.6166 5.4667 5.4752 4.5922

Error(%) 0.0827 0.1101 0.6054 0.1353 0.9165 0.1662 0.1503

10 TL [64] 5.5302 5.6452 5.5073 5.6621 5.4667 5.5575 4.6960

LA 5.5266 5.6392 5.5347 5.6545 5.5134 5.5483 4.6889

Error(%) 0.0651 0.1064 0.4951 0.1344 0.8470 0.1658 0.1514

Chú thích: TL†: Tài liệu, LA‡: Luận án

số nx, bất kể tỷ số độ dày giữa các lớp của dầm và điều kiện biên. Ảnh hưởng

của các tham số vật liệu nx và nz tới tần số dao động của dầm có thể được giải

thích bởi sự thay đổi tỷ phần thể tích của các vật liệu thành phần khi các tham

số này thay đổi. Như ta thấy từ phương trình (2.2), khi tăng nz dẫn tới tỷ phần

thể tích của Al2O3 và ZrO2 tăng lên. Bởi vì mô-đun đàn hồi của Al thấp hơn

nhiều so với mô-đun đàn hồi của Al2O3 và ZrO2, mô-đun đàn hồi hiệu dụng của

dầm sẽ tăng lên khi tăng nz. Kết quả là độ cứng Ai j của dầm tăng lên. Mặc dù

mô-men khối lượng Ii j cũng tăng lên khi nz tăng nhưng sự tăng của Ii j ít hơn

66

Bảng 4.2. Sự hội tụ của phần tử TBSH trong đánh giá tham số tần số µ1 của dầm SS

ba pha.

Dầm nx nz NE=12 NE=14 NE=16 NE=18 NE=20 NE=22 NE=24

(2-1-2) 0 0.5 4.7311 4.7311 4.7311 - - - -

1 5.2147 5.2147 5.2147 - - - -

2 5.0043 5.0043 5.0043 - - - -

5 5.6320 5.6320 5.6320 - - -

(2-2-1) 0 0.5 4.4858 4.4857 4.4856 4.4856 - - -

1 4.9572 4.9571 4.9569 4.9569 - -

2 5.2756 5.2755 5.2754 5.2754 - -

5 5.4670 5.4668 5.4667 5.4667 - - -

(2-1-2) 2 0.5 3.9143 3.9144 3.9145 3.9145 3.9146 3.9146 3.9146

1 4.2547 4.2549 4.2550 4.2551 4.2552 4.2552 4.2552

2 4.4885 4.4887 4.4889 4.4890 4.4891 4.4892 4.4892

5 4.6241 4.6244 4.6246 4.6247 4.6248 4.6249 4.6249

(2-2-1) 2 0.5 3.7515 3.7516 3.7516 3.7516 3.7516 3.7516 3.7516

1 4.0631 4.0632 4.0633 4.0634 4.0634 4.0634 4.0634

2 4.2950 4.2951 4.2952 4.2953 4.2953 4.2953 4.2953

5 4.4536 4.4538 4.4539 4.4540 4.4541 4.4541 4.4541

đáng kể so với sự tăng của Ai j. Điều này giải thích vì sao tham số tần số µ1 tăng

khi tăng nz. Ảnh hưởng của tham số nx tới tham số tần số µ1 cũng có thể được

giải thích một cách tương tự.

• Tỷ số độ dày giữa các lớp đóng vai trò quan trọng tới tần số dao động cơ bản của

dầm 2D-FGSW ba pha. Dầm với lớp lõi dày hơn sẽ có tần số dao động cơ bản

nhỏ hơn, bất kể giá trị của các tham số vật liệu và điều kiện biên. Khảo sát các

Bảng 4.3-4.5 kỹ hơn ta thấy rằng sự thay đổi của tham số tần số khi thay đổi tỷ

số độ dày giữa các lớp của dầm đối xứng và không đối xứng là khác nhau.

• Kết quả số trong các Bảng 4.3-4.5 chỉ ra rằng sự thay đổi tính chất vật liệu theo

chiều dài dầm cũng đóng vai trò quan trọng tới tần số dao động cơ bản của dầm

67

2D-FGSW ba pha và với sự lựa chọn các giá trị của tham số nx và nz một cách

hợp lý ta có thể nhận được giá trị mong muốn của tần số dao động của dầm

2D-FGSW.

Để minh họa ảnh hưởng của sự phân bố vật liệu tới các tần số dao động riêng

cao hơn của dầm 2D-FGSW ba pha, Hình 4.2, Hình 4.3 và Hình 4.4 biểu diễn sự biến

thiên của bốn tham số tần số đầu tiên µi, (i = 1...4) của dầm 2D-FGSW ba pha tương

ứng với ba điều kiện biên SS, CC và CF. Các hình được tính toán với độ mảnh của

dầm là L/h = 20 và tỉ số độ dày giữa các lớp là (2-1-2). Ảnh hưởng của sự phân bố vật

liệu tới các tần số dao động cao hơn của dầm, như ta thấy từ các Hình 4.2-4.4, tương

tự như trường hợp tần số dao động cơ bản, tức là tham số µi, (i = 1..4) tăng khi nz

tăng và giảm khi nx tăng, bất kể các giá trị tỷ số độ dày giữa các lớp và điều kiện biên

của dầm.

24

4

4

1

nz

2

6

2n

x0 0

104

15

4

2

20

nz

2

25

nx

2

0 0

204

30

4

3

40

nz

2

50

2

nx

0 0

204

40

4

4

nz

2

nx

60

2

0 0

Hình 4.2. Ảnh hưởng của tham số vật liệu tới bốn tham số tần số đầu tiên của dầm SS

ba pha.

Hình 4.5 minh họa ba dạng dao động đầu tiên của chuyển vị ngang w0 và góc

trượt ngang γ0 của dầm (1-1-1) tựa giản đơn với hai cặp giá trị của tham số vật liệu

68

Bảng 4.3. Tham số tần số µ1 của dầm SS ba pha với L/h = 20 và các giá trị khác nhau

của tham số vật liệu và tỉ số độ dày giữa các lớp.

nx nz (1-0-1) (2-1-2) (2-1-1) (1-1-1) (2-2-1) (1-2-1) (1-8-1)

0 2.8353 2.8353 2.8353 2.8353 2.8353 2.8353 2.8353

0.3 4.3280 4.2081 4.1257 4.0994 3.9968 3.9191 3.4063

0.3 0.5 4.7630 4.6296 4.5261 4.5028 4.3734 4.2842 3.6264

1 5.2687 5.1460 5.0200 5.0138 4.8557 4.7664 3.9445

5 5.6814 5.6752 5.5431 5.6063 5.4343 5.40 17 4.4564

0 2.8353 2.8353 2.8353 2.8353 2.8353 2.8353 2.8353

0.3 4.2269 4.1116 4.0341 4.0082 3.9119 3.8380 3.3598

0.5 0.5 4.6429 4.5122 4.4140 4.3898 4.2674 4.1813 3.5639

1 5.1347 5.0096 4.8887 4.8791 4.7276 4.6394 3.8605

5 5.5586 5.5364 5.4067 5.4600 5.2917 5.2531 4.3422

0 2.8353 2.8353 2.8353 2.8353 2.8353 2.8353 2.8353

0.3 3.9989 3.9001 3.8347 3.8120 3.7308 3.6678 3.2671

1 0.5 4.3564 4.2429 4.1592 4.1375 4.0333 3.9590 3.4373

1 4.7849 4.6738 4.5695 4.5595 4.4292 4.3516 3.6865

5 5.1654 5.1396 5.0257 5.0692 4.9219 4.8853 4.0957

0 2.8353 2.8353 2.8353 2.8353 2.8353 2.8353 2.8353

0.3 3.4642 3.4089 3.3725 3.3593 3.3144 3.2785 3.0592

5 0.5 3.6728 3.6078 3.5602 3.5471 3.4881 3.4444 3.1514

1 3.9284 3.8644 3.8034 3.7973 3.7216 3.6747 3.2900

5 4.1537 4.1446 4.0761 4.1052 4.0175 3.9962 3.5254

(nx,nz) = (0,2) và (nx,nz) = (2,2). Với nx = 0 dầm 2D-FGSW, như nói ở trên, trở về

dầm 1D-FGSW làm từ M1 và M3 và như vậy Hình 4.5a minh họa các dạng dao động

của dầm 1D-FGSW. Ảnh hưởng của sự thay đổi tính chất vật liệu theo chiều dài dầm,

như có thể thấy từ sự so sánh Hình 4.5a với Hình 4.5b. Tính đối xứng của các dạng

dao động qua mặt phẳng trung tâm của dầm 2D-FGSW trên Hình 4.5b không còn

như dầm 1D-FGSW trên Hình 4.5a. Sự khác nhau trong dạng dao động của góc trượt

69

Bảng 4.4. Tham số tần số µ1 của dầm CC ba pha với L/h = 20 và các giá trị khác

nhau của tham số vật liệu và tỉ số độ dày giữa các lớp.

nx nz (1-0-1) (2-1-2) (2-1-1) (1-1-1) (2-2-1) (1-2-1) (1-8-1)

0 6.3324 6.3324 6.3324 6.3324 6.3324 6.3324 6.3324

0.3 9.4021 9.1394 8.9369 8.9100 8.6669 8.5386 7.5011

0.3 0.5 10.3011 9.9988 9.7378 9.7254 9.4101 9.2716 7.9467

1 11.3627 11.0623 10.7395 10.7630 10.3662 10.2360 8.5856

5 12.2931 12.2126 11.8814 12.0150 11.5717 11.5272 9.6011

0 6.3324 6.3324 6.3324 6.3324 6.3324 6.3324 6.3324

0.3 9.1858 8.9360 8.7487 8.7194 8.4944 8.3709 7.4062

0.5 0.5 10.0391 9.7478 9.5047 9.4870 9.1935 9.0576 7.8185

1 11.0620 10.7642 10.4606 10.4738 10.1012 9.9693 8.4127

5 12.0018 11.8940 11.5759 11.6878 11.2643 11.2074 9.3655

0 6.3324 6.3324 6.3324 6.3324 6.3324 6.3324 6.3324

0.3 8.8262 8.6054 8.4429 8.4141 8.2188 8.1072 7.2625

1 0.5 9.5857 9.3262 9.1140 9.0944 8.8383 8.7139 7.6224

1 10.5052 10.2363 9.9689 9.9761 9.6486 9.5260 8.1442

5 11.3703 11.2617 10.9769 11.0713 10.6946 10.6389 8.9886

0 6.3324 6.3324 6.3324 6.3324 6.3324 6.3324 6.3324

0.3 8.1139 7.9558 7.8414 7.8179 7.6802 7.5960 6.9879

5 0.5 8.6739 8.4874 8.3365 8.3193 8.1371 8.0414 7.2465

1 9.3576 9.1650 8.9719 8.9762 8.7406 8.6459 7.6260

5 9.9962 9.9263 9.7165 9.7926 9.5178 9.4801 8.2507

ngang γ0 của dầm 1D-FGSW và dầm 2D-FGSW cũng có thể thấy rõ từ Hình 4.5.

4.2.1.3. Ảnh hưởng của độ mảnh dầm

Độ mảnh của dầm với tiết diện ngang hình chữ nhật được đặc trưng bởi tỷ số

giữa chiều dài và chiều cao dầm L/h. Để nghiên cứu ảnh hưởng của độ mảnh dầm tới

dao động tự do của dầm 2D-FGSW. Bảng 4.6 liệt kê các giá trị của tham số tần số dao

động cơ bản của dầm tựa giản đơn với tỷ số L/h = 5. So sánh các giá trị của tham số

70

Bảng 4.5. Tham số tần số µ1 của dầm CF ba pha với L/h = 20 và các giá trị khác

nhau của tham số vật liệu và tỉ số độ dày giữa các lớp.

nx nz (1-0-1) (2-1-2) (2-1-1) (1-1-1) (2-2-1) (1-2-1) (1-8-1)

0 1.0127 1.0127 1.0127 1.0127 1.0127 1.0127 1.0127

0.3 1.4454 1.4106 1.3811 1.3788 1.3438 1.3260 1.1763

0.3 0.5 1.5744 1.5357 1.4971 1.4985 1.4525 1.4340 1.2403

1 1.7249 1.6899 1.6413 1.6513 1.5925 1.5781 1.3337

5 1.8451 1.8466 1.7969 1.8281 1.7626 1.7689 1.4859

0 1.0127 1.0127 1.0127 1.0127 1.0127 1.0127 1.0127

0.3 1.3809 1.3502 1.3254 1.3225 1.2930 1.2768 1.1493

0.5 0.5 1.4943 1.4595 1.4267 1.4264 1.3874 1.3699 1.2035

1 1.6293 1.5964 1.5546 1.5612 1.5107 1.4957 1.2831

5 1.7436 1.7406 1.6965 1.7214 1.6638 1.6658 1.4145

0 1.0127 1.0127 1.0127 1.0127 1.0127 1.0127 1.0127

0.3 1.2907 1.2667 1.2483 1.2452 1.2233 1.2100 1.1133

1 0.5 1.3801 1.3524 1.3277 1.3263 1.2969 1.2820 1.1541

1 1.4886 1.4616 1.4295 1.4332 1.3946 1.3809 1.2149

5 1.5834 1.5796 1.5447 1.5631 1.5179 1.5174 1.3168

0 1.0127 1.0127 1.0127 1.0127 1.0127 1.0127 1.0127

0.3 1.2051 1.1880 1.1754 1.1727 1.1576 1.1477 1.0801

5 0.5 1.2707 1.2506 1.2333 1.2317 1.2110 1.1996 1.1085

1 1.3515 1.3319 1.3089 1.3109 1.2833 1.2723 1.1514

5 1.4221 1.4205 1.3947 1.4087 1.3757 1.3747 1.2253

tần số trong Bảng 4.3 và Bảng 4.6 ta thấy rằng các giá trị của tham số tần số µ1 của

dầm với L/h = 5 thấp hơn các giá trị tương ứng của dầm với L/h = 20, bất kể giá trị

của các tham số vật liệu và tỷ số độ dày giữa các lớp. Ảnh hưởng của độ mảnh dầm

tới tần số dao động cơ bản cũng có thể thấy rõ từ Hình 4.6, trên đó minh họa sự phụ

thuộc của tham số tần số µ1 của hai dầm SS và CF vào tỷ số giữa chiều dài và chiều

cao dầm L/h. Từ hình vẽ ta có thể thấy rằng, khi tỉ số L/h tăng lên thì tham số tần số

µ1 của dầm cũng tăng với bất kỳ điều kiện biên và tỉ số độ dày giữa các lớp dầm. Kết

71

53

10

4

nz

1

2

15

21n

x0 0

203

25

4

2

2

30

nz

35

nx

21

0 0

203

nz

40

4

3

2

60

nx

21

0 0

40

3

60

44

80

2

nz

100

21

nx0 0

Hình 4.3. Ảnh hưởng của tham số vật liệu tới bốn tham số tần số đầu tiên của dầm CC

ba pha.

quả số trong mục này chứng tỏ khả năng của phần tử TBSH trong việc mô phỏng ảnh

hưởng của biến dạng trượt tới tần số dao động riêng của dầm.

4.2.1.4. Ảnh hưởng của nền đàn hồi

Mục này nghiên cứu ảnh hưởng của nền đàn hồi tới tần số dao động của dầm

2D-FGSW ba pha. Dầm được giả định nằm một phần trên nền đàn hồi Pasternak với

chiều dài phần nền là LF , tính từ đầu trái dầm. Các độ cứng của lò xo Winkler và lớp

trượt tương ứng là kw và ks đặc trưng cho nền Pasternak. Để đặc trưng cho độ dài phần

nền ta đưa vào tham số αF = LF/L, trong đó LF là chiều dài phần nền dầm tựa lên và

L là chiều dài dầm. Tham số không thứ nguyên đặc trưng cho độ cứng nền, k1 và k2

được định nghĩa như sau

k1 =kwL4

EM1I, k2 =

ksL2

EM1I(4.4)

Bảng 4.7-4.9 tương ứng liệt kê các giá trị của tham số tần số µ1 của các dầm SS,

CC và CF ba pha nằm một phần trên nền đàn hồi cho trường hợp (k1,k2) = (100,10)

và các giá trị khác nhau của các tham số vật liệu, tham số αF và tỷ số độ dày giữa các

72

14

1.5

4

1

2

2n

zn

x

2.5

2

0 0

54

10

4

2

2n

z

15

nx

2

0 0

104

20

4

nz

3

nx

30

2

40

2

0 0

304

40

4

4

nz

50

nx

2

60

2

0 0

Hình 4.4. Ảnh hưởng của tham số vật liệu tới bốn tham số tần số đầu tiên của dầm CF

ba pha.

lớp của dầm. Với mọi giá trị của các tham số vật liệu và tỷ số độ dày giữa các lớp,

Bảng 4.7-4.9 cho thấy rằng tần số dao động cơ bản cuả dầm ba pha tăng lên khi chiều

dài nền dầm tựa tăng. Nhận xét này đúng cho cả ba điều kiện biên. Ảnh hưởng sự phân

bố vật liệu tới tần số dao động của dầm pha tựa một phần trên nền đàn hồi cũng có thể

thấy rõ từ Hình 4.7, trên đó sự phụ thuộc của tham số tần số µ1 của dầm SS ba pha

vào các tham số vật liệu nx và nz được minh họa cho trường hợp (k1,k2) = (100,10)

và các giá trị khác nhau của tham số chiều dài nền αF . Ảnh hưởng của sự phân bố vật

liệu tới tần số của dầm nằm một phần trên nền đàn hồi tương tự như trường hợp dầm

không nằm trên nền đàn hồi. Cụ thể, tham số µ1 tăng khi nz tăng và giảm khi tăng nx

với bất kể giá trị của αF . Độ cứng nền, như ta thấy từ Hình 4.8, có ảnh hưởng tuyến

tính tới tham số tần số µ1 của dầm. Tham số µ1 tỷ lệ thuận với cả hai tham số độ cứng

nền k1 và k2.

73

0 0.5 1-1

0

1

0 0.5 1-1

0

1

0 0.5 1-1

0

1

0 0.5 1-1

0

1w

0

0

0 0.5 1-1

0

1

0 0.5 1-1

0

1

w0

0 mode 1

mode 3

mode 2

(a) (b)

mode 1

mode 2

mode 3

Hình 4.5. Ba dạng dao động đầu tiên của dầm (1-1-1) ba pha tựa giản đơn: a) nx = 0,

nz = 2, b) nx = 2, nz = 2

0 10 20 30

L/h

1.4

1.45

1.5

1.55

1

(1-0-1)

(2-1-1)

(2-2-1)

(1-2-1)

0 10 20 30

L/h

4.2

4.4

4.6

4.8

5

1

(1-0-1)

(2-1-1)

(2-2-1)

(1-2-1)

(b)(a)

Hình 4.6. Sự phụ thuộc của tham số tần số µ1 vào tỷ số L/h của dầm 2D-FGSW ba

pha với nx = nz = 2 và tỉ số độ dày các lớp khác nhau: a) Dầm SS, b) Dầm CF.

4.2.1.5. Ảnh hưởng của phần tử

Lý thuyết biến dạng trượt bậc nhất và lý thuyết biến dạng trượt bậc ba của Shi

với chuyển vị ngang như nhau được sử dụng trong luận án để xây dựng các phần tử

74

Bảng 4.6. Tham số tần số µ1 của dầm SS ba pha với L/h = 5 và các giá trị khác nhau

của tham số vật liệu và tỉ số độ dày các lớp.

nx nz (1-0-1) (2-1-2) (2-1-1) (1-1-1) (2-2-1) (1-2-1) (1-8-1)

0 2.6540 2.6540 2.6540 2.6540 2.6540 2.6540 2.6540

0.3 3.9317 3.8075 3.7456 3.7068 3.6266 3.5530 3.1377

0.3 0.5 4.3056 4.1543 4.0789 4.0297 3.9311 3.8396 3.3171

1 4.7611 4.5904 4.5009 4.4416 4.3231 4.2107 3.5690

5 5.2282 5.1197 5.0214 4.9810 4.8464 4.7219 3.9550

0 2.6540 2.6540 2.6540 2.6540 2.6540 2.6540 2.6540

0.3 3.8472 3.7298 3.6710 3.6346 3.5587 3.4893 3.0996

0.5 0.5 4.2045 4.0604 3.9880 3.9421 3.8478 3.7613 3.2670

1 4.6447 4.4799 4.3929 4.3377 4.2232 4.1172 3.5040

5 5.1114 4.9970 4.9000 4.8605 4.7285 4.6113 3.8723

0 2.6540 2.6540 2.6540 2.6540 2.6540 2.6540 2.6540

0.3 3.6573 3.5579 3.5073 3.4769 3.4119 3.3528 3.0224

1 0.5 3.9658 3.8437 3.7805 3.7428 3.6610 3.5874 3.1634

1 4.3486 4.2090 4.1321 4.0882 3.9876 3.8984 3.3656

5 4.7577 4.6589 4.5725 4.5436 4.4270 4.3324 3.6858

0 2.6540 2.6540 2.6540 2.6540 2.6540 2.6540 2.6540

0.3 3.2090 3.1516 3.1222 3.1045 3.0671 3.0325 2.8464

5 0.5 3.3951 3.3237 3.2858 3.2640 3.2154 3.1714 2.9244

1 3.6307 3.5497 3.5018 3.4780 3.4161 3.3629 3.0403

5 3.8779 3.8264 3.7714 3.7616 3.6883 3.6370 3.2332

FBKO và TBSH. Hệ số điều chỉnh trượt ψ (chọn bằng 5/6) được sử dụng trong phần

tử FBKO trong khi phần tử TBSH không cần hệ số điều chỉnh trượt. So sánh ứng

xử của các phần tử FBKO và TBSH trong đánh giá tần số dao động riêng của dầm

2D-FGSW, vì thế, là cần thiết. Với mục đích này Bảng 4.10 minh họa sự hội tụ của

hai phần tử, FBKO và TBSH, trong đánh giá tần số dao động riêng của dầm (2-1-2)

ba pha. Một số kết luận rút ra từ Bảng 4.10 có thể tóm lược như sau:

75

Bảng 4.7. Tham số tần số µ1 của dầm SS ba pha nằm một phần trên nền đàn hồi với

L/h = 10, (k1,k2)=(100,10).

αF nx nz (1-0-1) (2-1-2) (2-1-1) (1-1-1) (2-2-1) (1-2-1) (1-8-1)

0.2 0.5 0.5 4.7306 4.6380 4.5610 4.5468 4.4505 4.3872 3.89391 5.0901 5.0124 4.9208 4.9209 4.8056 4.7443 4.13743 5.3271 5.3229 5.2273 5.2681 5.1456 5.1138 4.4376

2 0.5 4.2680 4.1984 4.1444 4.1320 4.0648 4.0181 3.67931 4.5379 4.4740 4.4074 4.4038 4.3206 4.2727 3.84373 4.7346 4.7170 4.6444 4.6684 4.5761 4.5469 4.0516

5 0.5 4.0025 3.9464 3.9057 3.8942 3.8437 3.8065 3.55591 4.2203 4.1651 4.1133 4.1073 4.0428 4.0025 3.67533 4.3902 4.3674 4.3088 4.3234 4.2493 4.2213 3.8307

0.4 0.5 0.5 5.0329 4.9520 4.8816 4.8709 4.7833 4.7276 4.28311 5.3590 5.2933 5.2089 5.2124 5.1069 5.0535 4.50323 5.5673 5.5735 5.4852 5.5286 5.4161 5.3917 4.7763

2 0.5 4.6229 4.5623 4.5133 4.5035 4.4426 4.4016 4.09651 4.8652 4.8111 4.7504 4.7494 4.6739 4.6323 4.24533 5.0368 5.0281 4.9618 4.9878 4.9040 4.8808 4.4336

5 0.5 4.3826 4.3337 4.2970 4.2875 4.2420 4.2093 3.98421 4.5773 4.5302 4.4833 4.4794 4.4212 4.3861 4.09203 4.7257 4.7104 4.6573 4.6733 4.6065 4.5833 4.2322

0.8 0.5 0.5 5.5853 5.5246 5.4655 5.4607 5.3880 5.3448 4.98181 5.8540 5.8094 5.7374 5.7468 5.6580 5.6182 5.16303 6.0122 6.0369 5.9612 6.0093 5.9142 5.9029 5.3909

2 0.5 5.2470 5.2021 5.1620 5.1565 5.1072 5.0758 4.83131 5.4420 5.4047 5.3544 5.3577 5.2957 5.2648 4.95153 5.5708 5.5772 5.5220 5.5512 5.4822 5.4690 5.1053

5 0.5 5.0613 5.0247 4.9948 4.9887 4.9520 4.9266 4.74561 5.2172 5.1838 5.1453 5.1449 5.0975 5.0709 4.83323 5.3292 5.3266 5.2829 5.3013 5.2469 5.2320 4.9476

• Với việc sử dụng các hàm nội suy Kosmatka phần tử FBKO xây dựng trên FSDT

có tốc độ hội tụ tốt, tương đương với phần tử TBSH sử dụng các hàm Hermite.

• Tần số dao động cơ bản của dầm 2D-FGSW ba pha nhận được từ phần tử FBKO

thấp hơn so với giá trị tương ứng nhận được từ phần tử TBSH, bất kể giá trị của

76

Bảng 4.8. Tham số tần số µ1 của dầm CC ba pha nằm một phần trên nền đàn hồi với

L/h = 10, (k1,k2)=(100,10).

αF nx nz (1-0-1) (2-1-2) (2-1-1) (1-1-1) (2-2-1) (1-2-1) (1-8-1)

0.2 0.5 0.5 9.0953 8.8394 8.6734 8.6256 8.4184 8.2970 7.37771 9.8558 9.5798 9.3828 9.3310 9.0800 8.9397 7.82833 10.4751 10.2854 10.0794 10.0494 9.7734 9.6226 8.3604

2 0.5 8.4986 8.2868 8.1529 8.1112 7.9445 7.8407 7.09481 9.1570 8.9196 8.7552 8.7115 8.5034 8.3838 7.45573 9.7320 9.5444 9.3658 9.3381 9.1016 8.9768 7.8958

5 0.5 8.1921 8.0025 7.8856 7.8466 7.7014 7.6069 6.95281 8.7954 8.5766 8.4304 8.3889 8.2044 8.0950 7.26713 9.3462 9.1578 8.9950 8.9651 8.7510 8.6366 7.6575

0.4 0.5 0.5 9.3229 9.0772 8.9176 8.8721 8.6732 8.5576 7.68141 10.0558 9.7901 9.5999 9.5504 9.3084 9.1740 8.11093 10.6516 10.4708 10.2713 10.2433 9.9763 9.8312 8.6195

2 0.5 8.7686 8.5648 8.4359 8.3959 8.2357 8.1363 7.42281 9.4028 9.1739 9.0154 8.9731 8.7727 8.6577 7.76833 9.9565 9.7764 9.6039 9.5772 9.3489 9.2282 8.1898

5 0.5 8.4800 8.2970 8.1845 8.1468 8.0070 7.9163 7.28911 9.0621 8.8504 8.7093 8.6689 8.4910 8.3854 7.59073 9.5939 9.4118 9.2546 9.2251 9.0183 8.9071 7.9653

0.8 0.5 0.5 9.7223 9.4949 9.3462 9.3052 9.1207 9.0152 8.21451 10.4072 10.1600 9.9813 9.9364 9.7101 9.5863 8.60713 10.9621 10.7973 10.6089 10.5849 10.3336 10.1990 9.0751

2 0.5 9.2211 9.0323 8.9130 8.8761 8.7282 8.6371 7.98581 9.8122 9.5989 9.4510 9.4118 9.2252 9.1186 8.30103 10.3285 10.1622 10.0001 9.9760 9.7621 9.6493 8.6878

5 0.5 8.9740 8.8033 8.6990 8.6636 8.5342 8.4502 7.87421 9.5179 9.3193 9.1877 9.1492 8.9835 8.8848 8.15113 10.0159 9.8456 9.6981 9.6698 9.4760 9.3709 8.4963

77

Bảng 4.9. Tham số tần số µ1 của dầm CF ba pha nằm một phần trên nền đàn hồi với

L/h = 10, (k1,k2)=(100,10).

αF nx nz (1-0-1) (2-1-2) (2-1-1) (1-1-1) (2-2-1) (1-2-1) (1-8-1)

0.2 0.5 0.5 1.4551 1.4332 1.4056 1.4095 1.3767 1.3657 1.22421 1.5514 1.5369 1.5030 1.5152 1.4745 1.4686 1.29473 1.6059 1.6163 1.5815 1.6087 1.5646 1.5730 1.3823

2 0.5 1.2830 1.2705 1.2545 1.2564 1.2375 1.2300 1.14611 1.3440 1.3362 1.3159 1.3232 1.2990 1.2944 1.18783 1.3778 1.3870 1.3653 1.3834 1.3565 1.3615 1.2412

5 0.5 1.2638 1.2507 1.2360 1.2368 1.2194 1.2116 1.13441 1.3244 1.3146 1.2955 1.3009 1.2782 1.2722 1.17213 1.3622 1.3671 1.3462 1.3611 1.3352 1.3374 1.2214

0.4 0.5 0.5 1.6335 1.6170 1.5922 1.5977 1.5685 1.5605 1.43551 1.7140 1.7057 1.6754 1.6892 1.6530 1.6507 1.49893 1.7532 1.7697 1.7389 1.7674 1.7287 1.7407 1.5768

2 0.5 1.4775 1.4691 1.4550 1.4583 1.4417 1.4366 1.36341 1.5260 1.5234 1.5056 1.5145 1.4936 1.4919 1.40073 1.5467 1.5614 1.5428 1.5624 1.5396 1.5478 1.4478

5 0.5 1.4534 1.4442 1.4316 1.4335 1.4187 1.4130 1.34781 1.5020 1.4968 1.4804 1.4870 1.4677 1.4644 1.38033 1.5278 1.5374 1.5195 1.5355 1.5137 1.5186 1.4226

0.8 0.5 0.5 2.6809 2.6925 2.6836 2.6961 2.6870 2.6941 2.66351 2.6805 2.7040 2.6929 2.7141 2.7027 2.7175 2.68433 2.6412 2.6892 2.6792 2.7143 2.7038 2.7331 2.7091

2 0.5 2.6159 2.6300 2.6270 2.6369 2.6344 2.6417 2.63431 2.5992 2.6235 2.6200 2.6364 2.6338 2.6471 2.64313 2.5522 2.5955 2.5935 2.6204 2.6197 2.6442 2.6527

5 0.5 2.6257 2.6356 2.6324 2.6400 2.6370 2.6419 2.63161 2.6171 2.6353 2.6313 2.6442 2.6408 2.6504 2.64053 2.5829 2.6174 2.6145 2.6365 2.6342 2.6530 2.6510

78

nx

3010

3.91

4.8

nz

5.7

55100

03.5

4.3

10

1

5.1

nx

5

nz

6

5100

04

4.7

10

1

nx

5.4

5

nz

6

5100

04.3

5

10

nx

5

1

5.7

nz

6.4

5100

(d) F=0.8

(b) F=0.4

(a) F=0.2

(c) F=0.6

Hình 4.7. Sự phụ thuộc của tham số tần số µ1 của dầm SS ba pha (2-1-2) nằm một

phần trên nền đàn hồi vào các tham số nx và nz với (k1,k2) = (100,10) và các giá trị

khác nhau của αF .

tham số vật liệu và tỷ số độ dày giữa các lớp của dầm. Sự khác nhau giữa tần số

nhận được từ hai phần tử, tuy nhiên là rất nhỏ. Như vậy, giá trị của hệ số điều

chỉnh trượt ψ = 5/6 dùng cho dầm thuần nhất với thiết diện ngang hình chữ

nhật cũng có thể dùng cho dầm 2D-FGSW với thiết diện ngang có cùng dạng

hình học.

Từ kết quả số trong Bảng 4.10 và các nhận xét nêu trên ta có thể kết luận rằng phần

tử FBKO xây dựng trên cơ sở các hàm nội suy Kosmatka cũng có độ chính xác và tốc

độ hội tụ tốt trong đánh giá tần số dao động của dầm 2D-FGSW ba pha.

4.2.2. Dao động tự do của dầm hai pha

Mục này khảo sát ảnh hưởng của các tham số vật liệu và tham số hình học tới

các đặc trưng dao động tự do của dầm 2D-FGSW hai pha trình bày trong Mục 2.1. Với

79

1003.87510

4.1

4.41

7.5 50

4.7

5

5

252.500

k1

k2

Hình 4.8. Ảnh hưởng của độ cứng nền đàn hồi tới tham số tần số µ1 của dầm SS ba

pha (2-1-2) nằm một phần trên nền đàn hồi với αF = 0.5, nx = nz = 0.5.

Bảng 4.10. Sự hội tụ của phần tử FBKO và TBSH trong đánh giá tham số tần số cơ

bản của dầm 2D-FGSW ba pha .

nx = nz Phần tử NE=14 NE=16 NE=18 NE=20 NE=22 NE=24 NE=26 NE=28

FBKO 4.1617 4.1613 4.1611 4.1611 4.1610 4.1609 4.1609 4.1609

0.3 TBSH 4.1619 4.1615 4.1613 4.1613 4.1613 4.1613 4.1613 4.1613

FBKO 4.4127 4.4124 4.4123 4.4122 4.4121 4.4120 4.4120 4.4120

0.5 TBSH 4.4129 4.4126 4.4124 4.4124 4.4124 4.4124 4.4124 4.4124

FBKO 4.5373 4.5370 4.5368 4.5367 4.5366 4.5365 4.5365 4.5365

1 TBSH 4.5374 4.5371 4.5368 4.5368 4.5368 4.5368 4.5368 4.5368

FBKO 4.3878 4.3875 4.3874 4.3873 4.3873 4.3872 4.3872 4.3872

2 TBSH 4.3880 4.3876 4.3875 4.3875 4.3875 4.3875 4.3875 4.3875

3 FBKO 4.2495 4.2493 4.2492 4.2492 4.2492 4.2491 4.2491 4.2491

TBSH 4.2497 4.2495 4.2493 4.2493 4.2493 4.2493 4.2493 4.2493

FBKO 4.1067 4.1065 4.1063 4.1063 4.1062 4.1061 4.1061 4.1061

5 TBSH 4.1068 4.1066 4.1064 4.1064 4.1064 4.1064 4.1064 4.1064

80

dầm hai pha, cả hai mô hình cơ học vi mô, mô hình Voigt và mô hình Mori-Tanaka,

được sử dụng trong đánh giá các tính chất hiệu dụng của dầm. Như vậy, mục này sẽ

đưa ra các tần số dao động của dầm nhận được từ hai mô hình cơ học vi mô này.

Dầm hai pha xét trong mục này được làm từ hai vật liệu là nhôm (Al - pha kim

loại) và nhôm oxit (Al2O3 - pha gốm) với lõi là vật liệu 1D-FGM. Các tính chất cơ

học của các vật liệu thành phần này như sau [75]

• Em = 70 GPa, ρm = 2702 kg/m3, νm = 0.3 đối với Al

• Ec = 380 GPa, ρc = 3960 kg/m3, νc = 0.3 đối với Al2O3

Các chỉ số dưới ‘c’ và ‘m’ trong các đại lượng ở trên, như đã nói trước đây, được dùng

để chỉ các pha gốm và kim loại.

25000.5

3000

1

f(kg

/m3) 3500

z/h0

x/L

4000

0.5

-0.5 0

00.5

200

1

E(G

Pa

)

z/h0

x/L

400

0.5

-0.5 0

25000.5

3000

z/h

1

f(kg

/m3) 3500

0

x/L

4000

0.5

-0.5 0

00.5

200

1

E(G

Pa

)

z/h0

x/L

400

0.5

-0.5 0

(d) f with n

x = n

z = 3(b)

f with n

x = n

z = 0.5

(c) Ef with n

x = n

z = 3

(a) Ef with n

x = n

z = 0.5

Hình 4.9. Phân bố của mô đun-đàn hồi E f và mật độ khối ρ f của dầm hai pha (1-1-1).


đàn hồi hiệu dụng E f và mật độ khối hiệu dụng ρ f của dầm hai pha. Mô-đun E f và

mật độ khối ρ f được tính theo mô hình Voigt, công thức (2.3). Trong đó Hình 4.9a,c

biểu diễn mô-đun đàn hồi và mật độ khối hiệu dụng của dầm với nx = nz = 0.5, Hình

4.9b,d biểu diễn cho dầm với nx = nz = 3. Tham số không thứ nguyên cho tần số dao

81

động của dầm 2D-FGSW hai pha cũng được định nghĩa tương tự như phương trình

(4.2)

µi =ωiL

2

h

√

ρm

Em

(4.5)

trong đó ωi là tần số dao động thứ i của dầm. Giống như trường hợp dầm 2D-FGSW

ba pha, ba điều kiện biên là SS, CC và CF cũng được quan tâm nghiên cứu cho dầm

hai pha. Dầm được phân tích bằng phần tử TBSE với các hàm nội suy được làm giàu

bằng các hàm thứ bậc.

4.2.2.1. Kiểm chứng phần tử TBSE

Trước khi tính toán tần số dao động riêng và các mốt dao động của dầm 2D-

FGSW hai pha, tính chính xác và sự hội tụ của phần tử TBSE cần được kiểm chứng.

Giống như trường hợp dầm 2D-FGSW ba pha, do NCS không tìm được các số liệu đã

công bố về dao động của dầm 2D-FGSW hai pha trước đó nên việc so sánh được thực

hiện cho hai trường hợp: dầm 1D-FGSW nhận được như là trường hợp riêng của dầm

2D-FGSW hai pha khi nx = 0 và dầm 2D-FGM.

Bảng 4.11 so sánh tham số tần số µ1 của dầm 1D-FGSW với L/h = 10 và các

điều kiện biên khác nhau nhận được từ mô hình phần tử TBSE trong luận án với các

kết quả của Su và cộng sự trong tài liệu [75] sử dụng lý thuyết dầm Timoshenko, dựa

trên cơ sở công thức Fourier tổng quát. Kết quả so sánh trong Bảng 4.11 được thực

hiện cho các giá trị khác nhau của tham số vật liệu, tỷ số độ dày các lớp dầm và cả

hai mô hình Voigt và Mori-Tanaka. Sai số lớn nhất của tham số tần số nhận được từ

phần tử TBSE và giá trị tương ứng của tài liệu [75] trong Bảng 4.11, chỉ là 0.67, 0.10

và 0.12%, tương ứng cho dầm với các điều kiện biên CC, SS và CF. Sai số lớn nhất

được định nghĩa như sau

Error (%) =

∣

∣

∣

∣

(µ1 −µref. [75])

µ1

∣

∣

∣

∣

×100 (4.6)

Như vậy, bất kể điều kiện biên, tỷ số độ dày giữa các lớp, giá trị của tham số vật liệu

cũng như mô hình cơ học vi mô, các giá trị của tham số tần số nhận được từ phần tử

TBSE của luận án tương đồng tốt với kết quả của Su và cộng sự trong [75].

Bảng 4.12 so sánh tham số tần số µ1 của dầm 2D-FGM với cơ tính biến đổi

theo cả chiều cao và chiều dài dầm theo hàm số mũ nhận được trong luận án với các

kết quả sử dụng phương pháp bán giải tích của Simsek [44] và kết quả sử dụng phương

pháp NURBS của Huynh và cộng sự [48]. Như ta thấy từ Bảng 4.12 , với cả hai loại

82

điều kiện biên xem xét, các giá trị của tham số tần số nhận được trong luận án tương

đồng tốt với các kết quả trong các tài liệu [44, 48]. Luận án tiến hành đánh giá sai số

giữa tham số tần số nhận được với kết quả của các tài liệu tham khảo. Trong trường

hợp dầm tựa giản đơn SS, sai số nhỏ nhất giữa tần số trong luận án với kết quả của

các tài liệu chỉ là 0.004% ứng với nx = 0.4, 0.8, 1 và nz = 1, trong khi sai số lớn nhất

là 0.4503% ứng với (nx = 1, nz = 0.4). Trường hợp dầm công-xôn, sai số nhỏ nhất chỉ

là 0% so với tài liệu [48] với nx = 0.8 và nz = 0.4, 0.8, 1, trong khi đó sai số lớn nhất

là 0.6790% với (nx = 1, nz = 0.4). Cần lưu ý rằng, dầm 2D-FGM trong Bảng 4.12

không nhận được trực tiếp từ mô hình dầm 2D-FGSW hai pha của luận án, vì thế để

tính toán tần số của dầm bằng phần tử TBSE cần tính toán lại các hệ số độ cứng và

mô-men khối lượng của dầm.

Sự hội tụ của phần tử TBSE trong đánh giá tần số dao động cơ bản của dầm

2D-FGSW hai pha với các điều kiện biên khác nhau được minh họa trong Bảng 4.13.

Tần số liệt kê trong bảng nhận được trên cơ sở mô hình Voigt. Như ta thấy từ Bảng

4.13, phần tử TBSE với các hàm nội suy được làm giàu có tốc độ hội tụ rất nhanh,

trong đó các dầm SS và CF chỉ cần một phần tử còn dầm CC cần 4 phần tử để hội tụ.

Để so sánh, Hình 4.10 minh họa sự hội tụ của tham số tần số µ1 của dầm 2D-FGSW

hai pha với hai điều kiện biên là SS và CC nhận được từ phần tử bậc ba dựa trên lý

thuyết Shimpi-Patel với các hàm dạng Lagrange và Hermite thông thường (không làm

giàu). Tốc độ hội tụ của phần tử thông thường, như ta thấy từ Hình 4.10, chậm hơn

hẳn so với phần tử TBSE. Phần tử dầm thông thường cần tới 12 và 24 phần tử để đánh

giá tần số dao động cơ bản của dầm SS và CC hai pha. Như vậy với sự làm giàu của

các hàm thứ bậc cho trường nội suy Lagrange và Hermite, tốc độ hội tụ của phần tử

dầm dựa trên lý thuyết biến dạng trượt bậc ba của Shimpi và Patel được cải thiện rõ

rệt. Với kết quả hội tụ nhận được trong mục này, tần số dao động của các dầm SS và

CF sẽ được tính bằng một phần tử, trong khi dầm CC sẽ sử dụng 4 phần tử trong các

tính toán dưới đây.

4.2.2.2. Ảnh hưởng của sự phân bố vật liệu

Trong mục này Luận án tiến hành nghiên cứu dao động tự do của dầm 2D -

FGSW hai pha. Ở đây dầm được xét tới với các độ mảnh là L/h = 5, L/h = 10 và

L/h = 20. Trong mục này nghiên cứu ảnh hưởng của tham số vật liệu tới tần số dao

động của dầm 2D - FGSW trong hai trường hợp dầm sandwich đối xứng và bất đối

xứng với các điều kiện biên khác nhau. Các kết quả của tham số tần số đều nhận

83

Bảng 4.11. So sánh tham số tần số µ1 của dầm 1D-FGSW với các điều kiện biên khác

nhau (L/h = 10).

ĐK

Biên

Nguồn nz Mô hình Voigt Mô hình Mori-Tanaka

(1-1-1) (1-2-1) (1-3-1) (1-1-1) (1-2-1) (1-3-1)

CC TL† [75] 0 11.6530 11.6530 11.6530 11.6530 11.6530 11.6530

LA‡ 11.6649 11.6649 11.6649 11.6649 11.6649 11.6649

TL [75] 0.6 9.5365 9.9254 10.2040 8.2001 8.8110 9.2646

LA 9.5781 9.9596 10.2328 8.2441 8.8482 9.2960

TL [75] 1 8.7640 9.2984 9.6836 7.5834 8.2930 8.8304

LA 8.8049 9.3327 9.7125 7.6264 8.3300 8.8619

TL [75] 5 6.8298 7.6460 8.2905 6.4913 7.3003 7.9780

LA 6.8728 7.6827 8.3223 6.5349 7.3368 8.0096

SS TL [75] 0 5.3988 5.3988 5.3988 5.3988 5.3988 5.3988

LA 5.3933 5.3933 5.3933 5.3933 5.3933 5.3933

TL [75] 0.6 4.3706 4.5555 4.6894 3.7388 4.0246 4.2394

LA 4.3694 4.5532 4.6864 3.7373 4.0222 4.2363

TL [75] 1 4.0017 4.2539 4.4376 3.4480 3.7782 4.0314

LA 3.9994 4.2509 4.4341 3.4460 3.7755 4.0282

TL [75] 5 3.0937 3.4708 3.7728 2.9387 3.3101 3.6263

LA 3.0916 3.4679 3.7694 2.9365 3.3068 3.6224

CF TL [75] 0 1.9396 1.9396 1.9396 1.9396 1.9396 1.9396

LA 1.9382 1.9382 1.9382 1.9382 1.9382 1.9382

TL [75] 0.6 1.5674 1.6341 1.6825 1.3398 1.4426 1.5200

LA 1.5668 1.6333 1.6815 1.3389 1.4416 1.5189

TL [75] 1 1.4342 1.5251 1.5914 1.2350 1.3537 1.4449

LA 1.4332 1.5239 1.5902 1.2339 1.3525 1.4437

TL [75] 5 1.1074 1.2427 1.3514 1.0518 1.1850 1.2987

LA 1.1063 1.2415 1.3501 1.0506 1.1836 1.2972

84

Bảng 4.12. So sánh tham số tần số µ1 của dầm 2D-FGM với L/h = 20.

nx Nguồn SS CF

nz = 0 nz = 0.4 nz = 0.8 nz = 1 nz = 0 nz = 0.4 nz = 0.8 nz = 1

0 TL†[44] 2.8369 2.8251 2.7919 2.7685 1.0126 1.0087 0.9970 0.9873

TL [48] 2.8256 2.8135 2.7875 2.7656 1.0069 1.0036 0.9943 0.9865

LA‡ 2.8371 2.8258 2.7925 2.7681 1.0130 1.0090 0.9971 0.9884

0.4 TL [44] 2.8320 2.8212 2.7880 2.7626 0.8955 0.8916 0.8798 0.8721

TL [48] 2.8211 2.8091 2.7831 2.7612 0.8943 0.8905 0.8823 0.8754

LA 2.8327 2.8214 2.7881 2.7637 0.8950 0.8914 0.8809 0.8732

0.8 TL [44] 2.8193 2.8076 2.7744 2.7509 0.7880 0.7861 0.7763 0.7685

TL [48] 2.8078 2.7957 2.7699 2.7480 0.7917 0.7884 0.7810 0.7646

LA 2.8195 2.8083 2.7751 2.7508 0.7885 0.7884 0.7810 0.7646

1.0 TL [44] 2.8095 2.7978 2.7646 2.7412 0.7392 0.7373 0.7275 0.7216

TL [48] 2.7978 2.7858 2.7600 2.7382 0.7344 0.7314 0.7245 0.7188

LA 2.8096 2.7984 2.7654 2.7411 0.7394 0.7364 0.7278 0.7214

0 2 4 6 8 10 12

NE

2.85

2.9

2.95

3

3.05

3.1

3.15

1

(a)

(2-1-1), nx = 0, n

z = 5

(2-1-1), nx = n

z = 5

(1-1-1), nx = 0, n

z = 5

(1-1-1), nx = n

z = 5

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24

NE

6.4

6.5

6.6

6.7

6.8

6.9

7

7.1

7.2

1

(b)

(2-1-1), nx = 0, n

z = 5

(2-1-1), nx = n

z = 5

(1-1-1), nx = 0, n

z = 5

(1-1-1), nx = n

z = 5

Hình 4.10. Sự hội tụ của phần tử dầm dựa trên lý thuyết Shimpi-Patel với hàm nội suy

không làm giàu trong đánh giá µ1 của dầm hai pha ( L/h = 10): (a) Dầm SS, (b) Dầm

CC.

được bằng cách sử dụng cả hai mô hình cơ học vi mô là mô hình Voigt và mô hình

Mori-Tanaka.

85

Bảng 4.13. Sự hội tụ của phần tử TBSE trong đánh giá tần số dao động cơ bản của dầm

2D-FGSW hai pha với L/h = 10 và các điều kiện biên khác nhau (Mô hình Voigt).

Dầm Biên (nx, nz) NE

1 2 4 6 8

(1-1-1) SS (0, 0.5) 4.4912 4.4912 - - -

(0.5, 0.5) 4.3439 4.3439 - - -

(0.5, 5) 3.0607 3.0607 - - -

(5, 5) 2.8984 2.8984 - - -

CF (0, 0.5) 1.6108 1.6108 - - -

(0.5, 0.5) 1.6309 1.6309 - - -

(0.5, 5) 1.1195 1.1195 - - -

(5, 5) 1.1301 1.1301 - - -

CC (0, 0.5) 9.8593 9.8341 9.8304 9.8304 9.8304

(0.5, 0.5) 9.5100 9.4852 9.4815 9.4815 9.4815

(0.5, 5) 6.8029 6.7925 6.7908 6.7908 6.7908

(5, 5) 6.5065 6.4948 6.4933 6.4933 6.4933

(2-1-1) SS (0, 0.5) 4.4560 4.4560 - - -

(0.5, 0.5) 4.3107 4.3107 - - -

(0.5, 5) 3.0344 3.0344 - - -

(5, 5) 2.9035 2.9034 - - -

CF (0, 0.5) 1.5983 1.5984 - - -

(0.5, 0.5) 1.6173 1.6173 - - -

(0.5, 5) 1.1062 1.1062 - - -

(5, 5) 1.1182 1.1182 - - -

CC (0, 0.5) 9.7808 9.7557 9.7520 9.7520 9.7520

(0.5, 0.5) 9.4365 9.4118 9.4081 9.4081 9.4081

(0.5, 5) 6.7360 6.7248 6.7230 6.7230 6.7230

(5, 5) 6.4768 6.4640 6.4624 6.4624 6.4624

86

Kết quả tính toán cho tần số dao động cơ bản của dầm 2D-FGSW hai pha được

cho trong các Bảng 4.14 và 4.15, trong đó các giá trị của tham số tần số µ1 của dầm

hai pha với các giá trị khác nhau của tham số vật liệu và tỷ số độ dày giữa các lớp

tương ứng được liệt kê cho dầm với L/h = 5 và L/h = 20. Tần số trong các bảng được

liệt kê cho cả ba điều kiện biên, SS, CC và CF. Các nhận xét sau đây có thể rút ra từ

các Bảng 4.14 và 4.15:

• Giống như dầm 2D-FGSW ba pha, các giá trị của tham số vật liệu và tỷ số độ

dày giữa các lớp đóng vai trò quan trọng tới tần số dao động của dầm 2D-FGSW

hai pha. Tham số tần số µ1 của dầm giảm khi các giá trị của tham số vật liệu nx

và nz tăng, bất kể tỷ số chiều dày giữa các lớp, điều kiện biên cũng như mô hình

cơ học vi mô.

• Trên cơ sở so sánh Bảng 4.14 với Bảng 4.15 ta thấy rằng tần số dao động của

dầm chịu ảnh hưởng bởi độ mảnh dầm. Dầm có độ mảnh thấp hơn, tức là dầm

với tỷ số L/h nhỏ hơn có tần số nhỏ hơn, bất kể giá trị của tham số vật liệu, tỷ

số độ dày giữa các lớp và điều kiện biên. Kết quả này cho thấy khả năng tốt của

phần tử TBSE trong mô phỏng ảnh hưởng của biến dạng trượt tới tần số dao

động của dầm 2D-FGSW hai pha.

• Với cả ba điều kiện biên và các tham số vật liệu, tỷ số độ dày giữa các lớp, tần

số nhận được từ mô hình Voigt luôn cao hơn tần số tương ứng nhận được từ

mô hình Mori-Tanaka. Nói cách khác mô hình Voigt "cứng" hơn so với mô hình

Mori-Tanaka, tức là mô hình Voigt cho các hệ số đàn hồi hiệu dụng cao hơn. Cần

nhấn mạnh rằng mô hình Voigt không thỏa mãn các đánh giá Hashin-Strickman

[9]. Nghiên cứu của Loja và cộng sự [10] cũng chỉ ra rằng mô hình Voigt "cứng"

hơn hẳn các mô hình Mori-Tanaka và mô hình Hashin-Strickman trong đánh giá

tần số của dầm 1D-FGSW. Như vậy, mặc dù mô hình Voigt đơn giản về mặt toán

học và được nhiều tác giả sử dụng trong đánh giá các tính chất hữu hiệu của kết

cấu FGM, người phân tích cần hiểu rõ hạn chế của mô hình này khi phân tích

kết quả nhận được từ mô phỏng số.

Để nghiên cứu ảnh hưởng của mô hình cơ học vi mô tới tần số dao động của

dầm 2D-FGSW hai pha kỹ hơn, Hình 4.11 minh họa sự phụ thuộc của tham số tần số

µ1 vào các tham số vật liệu nz và nx của các dầm SS và CC nhận được từ các mô hình

87

Bảng 4.14. Tham số tần số µ1 của dầm 2D-FGSW hai pha với L/h = 5.

Biên nx nz Mô hình Voigt Mô hình Mori-Tanaka

(1-1-1) (2-2-1) (1-2-1) (1-3-1) (1-1-1) (2-2-1) (1-2-1) (1-3-1)

SS 0.5 0.5 4.1881 4.2583 4.3281 4.4287 3.4917 3.5799 3.6659 3.794836

1 3.7643 3.8710 3.9828 4.1408 3.1912 3.3027 3.4114 3.579461

5 2.9849 3.1460 3.3091 3.5689 2.7996 2.9329 3.0461 3.259757

1 0.5 4.0491 4.1148 4.1797 4.2735 3.3323 3.3995 3.4626 3.559022

1 3.6588 3.7580 3.8603 4.0066 3.0875 3.1743 3.2541 3.381591

5 2.9547 3.1026 3.2460 3.4818 2.7640 2.8697 2.9483 3.110898

5 0.5 3.2687 3.3001 3.3292 3.3727 2.8781 2.8947 2.9084 2.930792

1 3.0980 3.1447 3.1870 3.2524 2.8063 2.8294 2.8468 2.877835

5 2.8091 2.8785 2.9278 3.0261 2.7061 2.7365 2.7503 2.790442

CC 0.5 0.5 8.4257 8.5399 8.6607 8.8232 7.1305 7.2829 7.4436 7.664871

1 7.7006 7.8833 8.0816 8.3463 6.6015 6.8003 7.0075 7.302233

5 6.2910 6.5896 6.8994 7.3630 5.8901 6.1377 6.3684 6.75646

1 0.5 8.1385 8.2448 8.3574 8.5087 6.8091 6.9287 7.0534 7.225752

1 7.4741 7.6426 7.8244 8.0683 6.3753 6.5330 6.6944 6.925659

5 6.2082 6.4792 6.7536 7.1720 5.7858 5.9839 6.1615 6.466385

5 0.5 6.8330 6.8906 6.9532 7.0353 6.0328 6.0831 6.1353 6.206471

1 6.4919 6.5811 6.6783 6.8067 5.8380 5.9060 5.9759 6.073294

5 5.8575 5.9992 6.1426 6.3548 5.5581 5.6469 5.7306 5.862872

CF 0.5 0.5 1.6013 1.6308 1.6596 1.7016 1.3547 1.3976 1.4394 1.502242

1 1.4266 1.4711 1.5170 1.5825 1.2191 1.2724 1.3248 1.405475

5 1.1059 1.1731 1.2402 1.3473 1.0440 1.1071 1.1635 1.265205

1 0.5 1.6104 1.6404 1.6701 1.7129 1.3488 1.3883 1.4264 1.483821

1 1.4343 1.4794 1.5262 1.5927 1.2188 1.2684 1.3166 1.390872

5 1.1143 1.1817 1.2490 1.3564 1.0482 1.1077 1.1592 1.253545

5 0.5 1.5121 1.5379 1.5638 1.6004 1.2620 1.2849 1.3062 1.338032

1 1.3676 1.4059 1.4452 1.5008 1.1740 1.2048 1.2329 1.276231

5 1.1113 1.1684 1.2218 1.3091 1.0481 1.0883 1.1191 1.177176

88

Bảng 4.15. Tham số tần số µ1 của dầm 2D-FGSW hai pha với L/h = 20.

Biên nx nz Mô hình Voigt Mô hình Mori-Tanaka

(1-1-1) (2-2-1) (1-2-1) (1-3-1) (1-1-1) (2-2-1) (1-2-1) (1-3-1)

SS 0.5 0.5 4.3864 4.4659 4.5414 4.6540 3.6417 3.7403 3.8313 3.9736

1 3.9203 4.0396 4.1586 4.3333 3.3139 3.4378 3.5512 3.7350

5 3.0808 3.2581 3.4255 3.7060 2.8922 3.0396 3.1532 3.3838

1 0.5 4.2428 4.3171 4.3873 4.4923 3.4798 3.5551 3.6217 3.7283

1 3.8132 3.9242 4.0332 4.1949 3.2116 3.3084 3.3915 3.5313

5 3.0534 3.2167 3.3635 3.6186 2.8617 2.9792 3.0570 3.2330

5 0.5 3.4244 3.4597 3.4907 3.5391 3.0145 3.0332 3.0472 3.0718

1 3.2361 3.2885 3.3330 3.4052 2.9351 2.9611 2.9784 3.0124

5 2.9225 2.9999 3.0484 3.1552 2.8264 2.8605 2.8713 2.9147

CC 0.5 0.5 9.8263 10.0008 10.1672 10.4141 8.1915 8.4127 8.6195 8.9394

1 8.7994 9.0625 9.3254 9.7097 7.4629 7.7411 7.9992 8.4124

5 6.9405 7.3342 7.7059 8.3266 6.5253 6.8567 7.1186 7.6379

1 0.5 9.5052 9.6678 9.8223 10.0520 7.8736 8.0510 8.2126 8.4657

1 8.5612 8.8051 9.0454 9.4003 7.2640 7.4903 7.6922 8.0224

5 6.8804 7.2421 7.5691 8.1327 6.4715 6.7448 6.9422 7.3582

5 0.5 8.0781 8.1680 8.2527 8.3781 7.1618 7.2423 7.3143 7.4258

1 7.5777 7.7125 7.8399 8.0308 6.8675 6.9746 7.0672 7.2171

5 6.6944 6.8982 7.0642 7.3630 6.4631 6.6001 6.6938 6.8900

CF 0.5 0.5 1.6387 1.6699 1.7001 1.7444 1.3838 1.4289 1.4723 1.5385

1 1.4555 1.5023 1.5500 1.6188 1.2422 1.2979 1.3521 1.4366

5 1.1230 1.1927 1.2614 1.3726 1.0606 1.1261 1.1837 1.2895

1 0.5 1.6495 1.6813 1.7125 1.7578 1.3803 1.4220 1.4618 1.5225

1 1.4647 1.5122 1.5608 1.6307 1.2439 1.2961 1.3461 1.4242

5 1.1323 1.2025 1.2714 1.3831 1.0663 1.1284 1.1812 1.2798

5 0.5 1.5583 1.5859 1.6135 1.6527 1.3001 1.3247 1.3476 1.3818

1 1.4048 1.4456 1.4870 1.5463 1.2064 1.2394 1.2692 1.3157

5 1.1351 1.1953 1.2507 1.3429 1.0730 1.1159 1.1482 1.2100

89

Bảng 4.16. Bốn tham số tần số đầu tiên của dầm hai pha với L/h = 5 (Mô hình Mori-

Tanaka).

Biên nx nz (2-2-1) (1-2-1)

µ1 µ2 µ3 µ4 µ1 µ2 µ3 µ4

SS 0.5 0.5 3.5799 12.4724 13.0184 25.1026 3.6659 12.9800 13.0784 25.6355

1 3.3027 11.6940 12.4785 23.5640 3.4114 12.2774 12.6505 24.2617

5 2.9329 10.5000 11.7527 21.4114 3.0461 11.1062 12.1409 22.2235

1 0.5 3.3995 11.9054 12.3949 23.6956 3.4626 12.3304 12.4217 24.0924

1 3.1743 11.2193 11.9610 22.4616 3.2541 11.6776 12.1118 22.9847

5 2.8697 10.2050 11.2969 20.7112 2.9483 10.7064 11.6080 21.3169

5 0.5 2.8947 10.0587 10.3488 19.8671 2.9084 10.2360 10.3289 19.9762

1 2.8294 9.7802 10.1640 19.4586 2.8468 10.0603 10.1087 19.6056

5 2.7365 9.3014 9.8684 18.8548 2.7503 9.7333 9.7658 19.0278

CC 0.5 0.5 7.2829 17.8110 24.0375 29.4609 7.4436 18.1796 24.4795 30.0293

1 6.8003 16.7565 23.3156 27.9488 7.0075 17.2409 23.9118 28.7072

5 6.1376 15.2741 22.1458 25.7911 6.3684 15.8466 23.0261 26.7496

1 0.5 6.9287 16.8176 22.5208 27.7484 7.0534 17.0955 22.8684 28.1748

1 6.5331 15.9697 21.9100 26.5394 6.6944 16.3374 22.3853 27.1125

5 5.9839 14.7619 20.8859 24.7914 6.1615 15.1968 21.6005 25.5222

5 0.5 6.0832 14.2535 18.9245 23.3492 6.1353 14.3494 19.0630 23.4865

1 5.9061 13.9239 18.6277 22.9153 5.9759 14.0536 18.8265 23.1041

5 5.6470 13.4371 18.0848 22.2633 5.7306 13.5979 18.4030 22.5189

CF 0.5 0.5 1.3976 7.4822 12.7182 18.1033 1.4394 7.6655 12.9800 18.5007

1 1.2724 6.9288 12.2992 16.9458 1.3248 7.1633 12.6505 17.4634

5 1.1071 6.1767 11.6260 15.3365 1.1635 6.4345 12.1409 15.9328

1 0.5 1.3883 7.2039 12.1989 17.2426 1.4264 7.3506 12.4217 17.5464

1 1.2684 6.7282 11.8075 16.2918 1.3166 6.9165 12.1118 16.6889

5 1.1077 6.0731 11.1516 14.9541 1.1592 6.2755 11.6080 15.4042

5 0.5 1.2849 6.3157 10.1422 14.7751 1.3062 6.3758 10.2360 14.8789

1 1.2048 6.0996 9.9234 14.4200 1.2329 6.1793 10.0603 14.5599

5 1.0883 5.7835 9.5088 13.8957 1.1191 5.8746 9.7333 14.0675

90

0 2 4 6 8 10

nz

2

3

4

5

6

7

8

9

101 SS, (2-2-1), L/h=5, n

x = 0.5, MH M-T

SS, (2-2-1), L/h=5, nx = 0.5, MH Voigt

CC, (1-1-1), L/h=20, nx = 5, MH M-T

CC, (1-1-1), L/h=20, nx = 5, MH Voigt

0 2 4 6 8 10n

x

2

3

4

5

6

7

8

1

SS, (2-2-1), L/h=5, nx = 0.5, MH M-T

SS, (2-2-1), L/h=5, nx = 0.5, MH Voigt

CC, (1-1-1), L/h=20, nx = 5, MH M-T

CC, (1-1-1), L/h=20, nx = 5, MH Voigt

(a) (b)

Hình 4.11. Sự phụ của tham số tần số µ1 vào các tham số vật liệu của dầm hai pha

nhận được từ các mô hình cơ học vi mô khác nhau.

20

3

0

41

5

nz

6

nx5 5

10

0 0

15

nz n

x

2

20

5 5

25

10

15

0 0

20

3

25

nz

nx

5 5

2000

25

4

30

nx

nz

35

55

Hình 4.12. Sự phụ thuộc của các tham số tần số µi (i = 1...4) vào các tham số vật liệu

nx và nz của dầm SS hai pha (1-1-1) (L/h = 10).

91

06

8

0

1

10

12

nxn

z

55

015

0

20

nz

252

nx

30

35

55

030

40

0

3

50

nx

60

nz

2 4 56

030

40

0

504

60

nx

70

nz

55

Hình 4.13. Sự phụ thuộc của các tham số tần số µi (i = 1...4) vào các tham số vật liệu

nx và nz của dầm CC (1-1-1) hai pha (L/h = 10).

Voigt và Mori-Tanaka. Ảnh hưởng của mô hình cơ học vi mô tới giá trị của tần số dao

động của dầm có thể thấy rõ từ hình. Tuy nhiên, ảnh hưởng của mô hình cơ học vi

mô phụ thuộc vào giá trị của tham số vật liệu và sự ảnh hưởng này mạnh nhất khi các

tham số vật liệu nhỏ hơn 6 và ảnh hưởng này yếu dần đi khi các tham số vật liệu lớn

hơn.

Ảnh hưởng của sự phân bố vật liệu tới các tần số dao động cao hơn của dầm

2D-FGSW hai pha được minh họa qua Bảng 4.16, trong đó bốn tham số tần số đầu

tiên của các dầm SS, CC và CF được liệt kê cho các giá trị khác nhau của các tham số

vật liệu và hai cặp tỷ số độ dày các lớp, (2-2-1) và (1-2-1). Kết quả trong bảng nhận

được trên cơ sở mô hình Mori-Tanaka. Tương tự như trường hợp tần số cơ bản, các

tần số cao hơn của dầm cũng giảm dần khi tăng các tham số nx và nz, bất kể điều kiện

biên và tỷ số độ dày giữa các lớp. Ảnh hưởng của sự phân bố vật liệu tới các tần số

dao động cao hơn cũng được thấy rõ từ các Hình 4.12, 4.13 và 4.14, trên đó sự phụ

thuộc của bốn tần số dao động đầu tiên của dầm 2D-FGSW hai pha vào các giá trị

tham số vật liệu nx và nz nhận được trên cơ sở mô hình Voigt được minh họa tương

92

010

nx

1.5

nz

1

2

55

60

8

2

10

0

12

nz

nx

5 5

010

0

20

3

30

40

nxn

z 55

0

20n

x0

2

nz

25

4

4

56

30

35

Hình 4.14. Sự phụ thuộc của các tham số tần số µi (i = 1...4) vào tham số vật liệu nx

và nz của dầm CF (1-1-1) hai pha (L/h = 10).

ứng cho các dầm SS, CC và CF với tỷ số độ dày các lớp là (1-1-1) và L/h = 10. Như

ta thấy từ các hình vẽ, sự suy giảm của các tần số µ2, µ3 và µ4 khi tăng giá trị của

tham số vật liệu mạnh hơn khi các giá trị của tham số vật liệu nhỏ hơn 2.

Để minh họa ảnh hưởng của sự phân bố vật liệu tới dạng dao động của dầm

2D-FGSW hai pha, các dạng dao động của dầm không đối xứng (2-1-1) tựa giản đơn

với L/h = 5 được minh họa trên Hình 4.15 cho hai cặp giá trị khác nhau của tham số

vật liệu, (nx,nz) = (0,5) và (nx,nz) = (5,5). Hình 4.15a là dạng dao động của dầm

1D-FGSW với tính chất vật liệu chỉ thay đổi theo chiều dày của dầm, tương ứng với

nx = 0, nz = 0,5, trong khi Hình 4.15b biểu diễn dạng dao động của dầm 2D-FGSW

hai pha với (nx,nz) = (5,5). Từ các hình vẽ ta nhận thấy sự khác biệt của dạng dao

động của dầm 1D-FGSW và 2D-FGSW thể hiện rất rõ, nhất là các dạng dao động thứ

hai, thứ ba và thứ tư của dầm.

4.2.2.3. Ảnh hưởng của độ mảnh dầm

Ảnh hưởng của độ mảnh dầm tới tần số dao động của dầm 2D-FGSW hai pha

được nghiên cứu thông qua tỷ số giữa chiều dài và chiều cao dầm L/h. Với mục đích

93

0.25 0.5 0.75

-1

-0.5

0

0.25

(a) nx=0, n

z=5

0.25 0.5 0.75

-1

-0.5

0

0.5

1

u0

wb

ws

0.25 0.5 0.750.5

0

-0.5

-1

0.25 0.5 0.75

-1

-0.5

0

0.5

1

0.25 0.5 0.75

-1

-0.5

0

0.25

(b) nx=5, n

z=5

0.25 0.5 0.75

-1

-0.5

0

0.5

1

0.25 0.5 0.75

0.750.5

0

-0.5

-1

0.25 0.5 0.75

1

0.5

0

-0.5

-1

1

1

1

1

1

1

1

1

mode 4: 4 = 21.9789

mode 3: 3 = 11.9619

mode 2: 2 = 10.6844

mode1: 1 = 2.9746

mode 4: 4 = 19.5632

mode 3: 3 = 10.4980

mode 2: 2 = 9.6691

mode1: 1 = 2.8076

Hình 4.15. Các dạng dao động của dầm SS (2-1-1) hai pha với L/h= 5. a) nx = 0, nz =

5, nx = 5, nz = 5

này, Hình 4.16 minh họa sự phụ thuộc của tham số tần số µ1 vào tỷ số L/h của dầm

SS và dầm CC với một số giá trị khác nhau của tham số vật liệu và hai trường hợp

của tỷ số giữa chiều dày các lớp của dầm, đối xứng (1-8-1) và các lớp không đối xứng

(2-2-1). Tần số trên Hình 4.16 nhận được trên cơ sở sử dụng mô hình Mori-Tanaka.

Như ta thấy từ hình vẽ, ảnh hưởng của tỷ số L/h tới tham số tần số µ1 rõ nét nhất khi

L/h < 10 và sự ảnh hưởng này trở nên mờ nhạt khi L/h > 20. Kết quả số trên Hình

4.16 một lần nữa khẳng định khả năng mô phỏng ảnh hưởng của biến dạng trượt của

phần tử TBSE tới tần số dao động của dầm 2D-FGSW hai pha.

4.3. Dao động cưỡng bức

Mục này nghiên cứu dao động cưỡng bức của dầm 2D-FGSW chịu tác động

của tải trọng di động. Cụ thể, mục này sẽ tiến hành nghiên cứu hai bài toán: (1) Dao

động của dầm 2D-FGSW ba pha chịu lực di động với vận tốc thay đổi trên cơ sở sử

dụng phần tử FBKO; (2) Dao động của dầm 2D-FGSW hai pha nằm một phần trên

nền đàn hồi Pasternak chịu khối lượng di động với sự trợ giúp của phần tử Q3DB.

Ngoài mô hình dầm và nền đàn hồi xét tới trong bài toán thứ hai, tải trọng tác động

94

0 10 20 30 40 50

L/h

2

2.5

3

3.5

4

4.5

1

(a)

(1-8-1), nx = n

z = 0.5

(1-8-1), nx = n

z = 5

(2-2-1), nx = n

z = 0.5

(2-2-1), nx = n

z = 5

0 10 20 30 40 50

L/h

3

4

5

6

7

8

9

10

1

(b)

(1-8-1), nx = n

z = 0.5

(1-8-1), nx = n

z = 5

(2-2-1), nx = n

z = 0.5

(2-2-1), nx = n

z = 5

Hình 4.16. Ảnh hưởng của độ mảnh đến tham số tần số µ1 của dầm 2D-FGSW hai

pha: a) Dầm SS, b) Dầm CC.

lên dầm cũng là sự khác nhau cơ bản của hai bài toán. Trong trường hợp lực di động,

ảnh hưởng quán tính của tải trọng và các lực Coriolis và li tâm được bỏ qua. Các yếu

tố này ảnh hưởng đáng kể tới ứng xử động lực học của dầm. Phần lớn kết cấu dầm chịu

tải trọng di động có biên tựa giản đơn, vì thế mục này chỉ nghiên cứu dầm 2D-FGSW

tựa giản đơn.

4.3.1. Dầm ba pha chịu lực di động

Hình 4.17 minh họa dầm 2D-FGSW ba pha tựa giản đơn chịu tác động của lực

F0, di động từ trái sang phải của dầm. Khác với dầm ba pha trong Mục 4.2.1, dầm

ba pha trong mục này được giả định là dầm lõi cứng, làm từ các vật liệu nhôm ôxit

(Al2O3 - M1), thép không gỉ (SUS304 - M2) và nhôm (Al - M3) với các tính chất sau

đây:

• EM1 = 380 GPa, ρM1 = 3960 kg/m3, νM1 = 0.3 cho Al2O3

• EM2 = 210 GPa, ρM2 = 7800 kg/m3, νM2 = 0.3 cho SUS304

• EM3 = 70 GPa, ρM3 = 2702 kg/m3, νM3 = 0.3 cho Al


đàn hồi hiệu dụng E f và mật độ khối hiệu dụng ρ f của dầm ba pha (1-1-1) lõi cứng

dùng trong phân tích dưới đây. Mô-đun E f và mật độ khối ρ f trên hình được tính theo

mô hình Voigt, công thức (2.3).

95

Hình 4.17. Dầm ba pha lõi cứng tựa giản đơn chịu lực di động.

0

0.5

1

−0.5

0

0.550

200

400

x/Lz/h

Ef (

GP

a)

0

0.5

1

−0.5

0

0.550

200

400

x/Lz/h

Ef (

GP

a)

00.5

1

−0.5

0

0.52500

5000

8000

x/Lz/h

ρ f (kg

/m3)

0

0.5

1

−0.5

0

0.52500

5000

8000

x/Lz/h

ρ f (kg/m

3)

(a) Ef with n

x=n

z=0.5

(c) ρf with n

x=n

z=0.5

(b) Ef with n

x=n

z=3

(d) ρf with n

x=n

z=3

Hình 4.18. Phân bố của mô-đun đàn hồi E f và mật độ khối ρ f của dầm ba pha (1-1-1)

lõi cứng.

Phân tích được thực hiện trên cơ sở giả định lực F0 luôn tiếp xúc với dầm

trong suốt quá trình chuyển động. Vận tốc v của lực F0 được xem là không đồng nhất

v = v(t) nhưng gia tốc a của lực được giả định không đổi. Với giả thiết này hàm s(t)

- hàm mô tả chuyển động của lực F0 (vị trí hiện tại của lực tính từ đầu trái của dầm) -

được tính theo công thức

s(t) = v0t +at2

2(4.7)

trong đó v0 là vận tốc của lực F0 tại thời điểm khi lực ở nút trái của dầm. Dầm được

phân tích bằng phần tử FBKO xây dựng trong Mục 2.3. Tại mỗi thời điểm t của thuật

96

toán Newmark, hàm s(t) mô tả chuyển động của lực F0 được xác định theo phương

trình (4.7), và như vậy véc-tơ tải trọng nút phần tử theo phương trình (3.58) hoàn toàn

được xác định. Với véc-tơ tải trọng nút fex xác định, đáp ứng động lực học của dầm

hoàn toàn có thể được tính toán trên cơ sở thuật toán Newmark trình bày trong Mục

3.8.

Phân tích được thực hiện cho dầm có tham số hình học như sau: b = 0.5 ,

h = 1. Nếu không có lưu ý gì thì tỷ lệ giữa chiều dài và chiều cao dầm được giả định

là L/h = 20. Để thuận tiện cho việc thảo luận kết quả số ta đưa vào hệ số động lực

học Dd (Dynamic Magnification Factor), được định nghĩa như sau

Dd = max

(

w(L/2, t)

wst

)

(4.8)

trong đó wst = L3F0/48EM2I là độ võng tĩnh của dầm thép thuần nhất tựa giản đơn

chịu tải trọng F0 đặt tại giữa dầm.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

t/ T

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

w(L

/2,t

)/w

st

LA (1-0-1)

Songsuwan (1-0-1)

LA (2-2-1)

Songsuwan (2-2-1)

Hình 4.19. So sánh độ võng động tại giữa dầm sandwich 1D-FGM với L/h = 10,

nz = 0.5, v = 50 m/s.

4.3.1.1. Kiểm chứng phần tử FBKO

Sự hội tụ và tính chính xác của phần tử trong đánh giá tần số dao động riêng

của dầm 2D-FGSW ba pha đã được kiểm chứng trong Mục 4.2.1.5, vì thế mục này

chỉ kiểm chứng khả năng của phần tử trong phân tích động lực học của dầm. Với mục

97

đích này, Hình 4.19 minh họa các đường cong độ võng tại giữa dầm-thời gian lực di

động của dầm 1D-FGSW chịu lực di động với vận tốc không đổi v = 50 m/s, nhận

được từ phần tử FBKO trong luận án. Với mục đích so sánh, kết quả của Songsuwan

và cộng sự [90] nhận được bằng phương pháp Ritz cũng được minh họa trên hình.

Như ta thấy từ Hình 4.19, kết quả nhận được trong luận án tương đồng tốt với kết quả

của Hình 4.19, bất kể tỷ số độ dày giữa các lớp. Lưu ý rằng, các đường cong trên Hình

4.19 nhận được cho dầm 1D-FGSW lõi cứng làm từ nhôm (Al) và nhôm oxit (Al2O3)

với wst là độ võng tĩnh của dầm nhôm. Sự hội tụ của phần tử FBKO trong tính toán

đáp ứng động lực học của dầm ba pha tương tự như trong đánh giá tần số dao động

riêng, vì thế sự hội tụ không trình bày ở đây.

4.3.1.2. Lực di động với vận tốc không đổi

Mục này trình bày kết quả phân tích đáp ứng động lực học của dầm 2D-FGSW

ba pha chịu lực di động F0 với giả thiết vận tốc v của lực là không đổi. Hình 4.20 minh

họa các đường cong biểu thị mối liên hệ giữa độ võng không thứ nguyên tại giữa dầm

w(L/2, t)/wst với giá trị thời gian không thứ nguyên t/∆T của dầm 2D-FGSW ba pha

lõi cứng với các giá trị khác nhau của hai tham số vật liệu, tỷ số độ dày giữa các lớp

và vận tốc của lực di động. Một số nhận xét rút ra từ Hình 4.20 có thể tóm lược như

sau:

• Đường cong biểu thị mối quan hệ độ võng tại giữa dầm với thời gian của dầm

2D-FGSW ba pha chịu sự chi phối của cả vận tốc lực di động, tham số vật liệu

và tỷ số độ dày giữa các lớp của dầm.

• Với mỗi giá trị cho trước của tham số vật liệu và tỷ số độ dày giữa các lớp, dầm

thực hiện ít chu trình dao động hơn khi vận tốc của lực di động lớn hơn.

• Với mỗi giá trị cho trước của vận tốc lực di động, độ võng lớn nhất tại giữa dầm

của dầm với nx = nz = 3 (Hình 4.20c,d) cao hơn đáng kể giá trị tương ứng của

dầm với nx = nz = 0.5 (Hình 4.20a,b). Thêm vào đó, thời điểm mà độ võng tại

giữa dầm đạt giá trị lớn nhất cũng thay đổi khi thay đổi các tham số vật liệu của

dầm. Độ võng lớn nhất tại giữa dầm nhỏ hơn khi dầm có lõi lớn hơn. Ảnh hưởng

của sự phân bố vật liệu (thông qua giá trị của các tham số nx và nz) và tỷ số độ

dày giữa các lớp có thể giải thích bởi sự thay đổi độ cứng của dầm, giống như

trong trường hợp dao động tự do trình bày ở phần trên.

98

0 0.5 1

t/ T

0

0.4

0.8

1.2

w(L

/2,t

)/w

st

0 0.5 1

t/ T

0

0.6

1.2

1.8

w(L

/2,t

)/w

st

v=20m/s v=50m/s v=100m/s

0 0.5 1

t/ T

0

0.4

0.8

1.2

w(L

/2,t

)/w

st

0 0.5 1

t/ T

0

0.6

1.2

1.8

w(L

/2,t

)/w

st

(b)(a)

(c) (d)

Hình 4.20. Đường cong quan hệ giữa độ võng tại giữa dầm với thời gian của dầm ba

pha với các vận tốc khác nhau của lực di động: (a) Dầm (4-1-4), nx = nz = 0.5; (b)

Dầm (2-2-1), nx = nz = 0.5. (c) Dầm (4-1-4), nx = nz = 3. (d) Dầm (2-2-1), nx = nz =

3.

0 5 10 15 20n

z

0.4

0.8

1.2

1.6

2

2.4

Dd

v=20m/s

v=50m/s

v=80m/s

v=100m/s

0 5 10 15 20

nz

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

Dd

v=20m/s

v=50m/s

v=80m/s

v=100m/s(b) nx = 3(a) n

x = 0.5

Hình 4.21. Mối liên hệ giữa hệ số Dd với tham số vật liệu nz của dầm (2-2-1) ba pha.

99

0 100 200 300 400

v (m/s)

0.5

1

1.5

2

2.5

Dd

0 100 200 300 400

v (m/s)

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

Dd

(b)(a)

nz = 0, 0.5, 1, 5

nx= 0, 0.5, 1, 5

Hình 4.22. Mối liên hệ giữa hệ số động lực học Dd và vận tốc lực di động của dầm

(2-2-1) ba pha: a) nx = 0.5, nz thay đổi; b) nz = 0.5, nx thay đổi.

Để minh họa ảnh hưởng của sự phân bố vật liệu tới ứng xử động lực học của

dầm ba pha rõ hơn, Hình 4.21 minh họa mối liên hệ giữa hệ số động lực học Dd với

tham số vật liệu theo chiều cao nz cho các giá trị khác nhau của vận tốc lực di động

và hai giá trị của tham số vật liệu theo chiều dài, nx = 0.5 và nx = 3. Ảnh hưởng của

tham số vật liệu tới hệ số động lực học Dd có thể thấy rõ từ Hình 4.21. Hệ số động lực

học Dd tỷ lệ thuận với tham số vật liệu nz nhưng tỷ lệ nghịch với tham số vật liệu nx,

bất kể giá trị của vận tốc lực di động. Ảnh hưởng của tham số nz tới tham số Dd rõ rệt

hơn khi nz nhỏ, cụ thể với nz ≤ 5.

Ảnh hưởng của vận tốc của lực di động và sự phân bố vật liệu tới hệ số động

lực học Dd cũng có thể thấy rõ từ Hình 4.22 và Hình 4.23, trên đó minh họa sự phụ

thuộc của tham số Dd vào vận tốc của lực di động và vào hai tham số vật liệu nx và

nz. Dạng đường cong Dd − v của dầm 2D-FGSW ba pha, như ta thấy từ Hình 4.22,

có dạng tương tự như dầm thuần nhất chịu tác động của lực di động [140]. Với vận

tốc v nhỏ, hệ số Dd trải qua một khoảng tăng giảm liên tục trước khi đơn điệu tăng

và đạt giá trị cực trị. Sự tăng giảm liên tục của Dd khi v nhỏ được Olsson [140] giải

thích bởi số chu trình dao động dầm thực hiện nhiều khi vận tốc v nhỏ. Trái với tham

số vật liệu theo chiều cao, ảnh hưởng tham số vật liệu theo chiều dài nx, như ta thấy

từ Hình 4.22b, trái ngược với tham số nz, trong đó hệ số động lực học Dd nhỏ hơn khi

dầm có nx lớn hơn, bất kể giá trị của vận tốc lực di động. Sự phụ thuộc của Dd của

100

01

23

0

1

2

3

0.5

1

1.5

2

2.5

nx

nz

Dd

01

23

0

1

2

3

0.5

1

1.5

2

nxn

z

Dd

(b) (2−2−1) beam(a) (2−1−2) beam

Hình 4.23. Mối liên hệ giữa hệ số động lực học Dd với các tham số vật liệu nx và nz

của dầm ba pha (v = 50m/s).

dầm 2D-FGSW ba pha vào nx và nz có thể thấy rõ hơn từ Hình 4.23, trên đó mối liên

hệ giữa Dd với nx và nz của các dầm đối xứng (2-1-2) và dầm không đối xứng (2-2-1)

được minh họa cho trường hợp v = 50 m/s. Kết quả số trên Hình 4.23 gợi ý rằng với

các vật liệu thành phần cho trước ta có thể thiết kế dầm 2D-FGSW ba pha có hệ số

động lực học Dd nhỏ nhất bằng cách chọn hợp lý các giá trị của tham số vật liệu nx và

nz, tức là lựa chọn thích hợp tỷ phần thể tích của các vật liệu thành phần.

Ảnh hưởng của độ mảnh tới đáp ứng động lực học của dầm 2D-FGSW ba pha

được minh họa trên Hình 4.24, trên đó đường cong biểu thị mối liên hệ giữa hệ số

động lực học Dd với vận tốc của lực di động của dầm đối xứng (2-1-2) và dầm không

đối xứng (2-2-1) được minh họa cho nx = nz = 2 và bốn giá trị của tỷ số giữa độ dài

và chiều cao dầm, L/h = 5, 10, 15 và 20. Hình 4.24 cho thấy độ mảnh dầm đóng vai

trò quan trọng tới ứng xử động lực học của dầm 2D-FGSW. Không chỉ giá trị cực đại

của hệ số Dd mà vận tốc tại đó hệ số này đạt giá trị cực đại cũng thay đổi khi thay đổi

tỷ số L/h.

4.3.1.3. Lực di động với vận tốc thay đổi

Ảnh hưởng của sự thay đổi vận tốc, tức là sự tăng và giảm tốc của lực di động

F0 tới ứng xử động lực học của dầm 2D-FGSW ba pha được nghiên cứu trong mục

này. Để đơn giản cho việc tính toán, với chuyển động tăng tốc ta giả thiết tại đầu trái

dầm lực F0 có vận tốc bằng 0 và tại thời điểm khi ra khỏi dầm lực có vận tốc v. Ngược

101

0 100 200 300 400

v (m/s)

1

1.2

1.4

1.6

1.8

1.9D

d

L/h=20 L/h=15 L/h=10 L/h=5

0 100 200 300 400

v (m/s)

0.9

1.1

1.3

1.5

1.7

Dd

(a) (2-1-2)(b) (2-2-1)

Hình 4.24. Mối liên hệ giữa hệ số động lực học Dd và vận tốc lực di động của dầm

2D - FGSW với tỉ lệ độ mảnh L/h khác nhau ( nx = nz = 2).

lại, trong trường hợp giảm tốc, vận tốc tại thời điểm khi lực bắt đầu vào dầm là v còn

khi ra khỏi dầm lực có vận tốc bằng 0.

Hình 4.25 minh họa đường cong biểu thị mối liên hệ giữa độ võng tại giữa dầm

với thời gian của các dầm ba pha đối xứng (2-1-2) và không đối xứng (2-2-1) chịu lực

di động với vận tốc không đồng nhất cho trường hợp nx = nz = 0.5 và v = 100 m/s.

Sự tăng tốc (a > 0) và giảm tốc (a < 0) của lực di động, như ta thấy từ hình vẽ, có ảnh

hưởng rõ rệt tới đường cong độ võng-thời gian của dầm. Cụ thể, so với trường hợp

giảm tốc, dưới tác động của tải trọng di động tăng tốc và tải trọng có vận tốc không

đổi, dầm thực hiện ít chu trình dao động hơn. Thêm vào đó, giá trị lớn nhất của độ

võng tại giữa dầm nhận được trong trường hợp tăng tốc nhỏ hơn đáng kể so với các

trường hợp giảm tốc và chuyển động đều. Thời điểm tại đó độ võng tại giữa dầm đạt

được khi dầm chuyển động tăng tốc chậm hơn nhiều so với trường hợp chuyển động

giảm tốc và chuyển động đều.

Ảnh hưởng của chuyển động tăng tốc và giảm tốc của lực di động tới ứng xử

động lực học của dầm 2D-FGSW được thấy rõ hơn từ Hình 4.26, trên đó đường cong

biểu thị mối liên hệ giữa hệ số Dd với vận tốc v của lực F0 của dầm đối xứng (2-1-2)

được minh họa cho các chuyển động tăng, giảm tốc, chuyển động đều và hai cặp tham

102

số vật liệu, nx = nx = 0.5 và nx = nz = 3. Như ta thấy từ hình vẽ, với phần lớn giá trị

của vận tốc lực di động hệ số động lực học Dd của dầm chịu tải di động tăng tốc thấp

hơn đáng kể trong trường hợp dầm chịu lực di động giảm tốc và chuyển động đều. Giá

trị lớn nhất của hệ số Dd nhận được từ chuyển động tăng tốc cũng thấp hơn nhiều so

với các giá trị tương ứng nhận được từ chuyển động giảm tốc và chuyển động đều.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

t/ T

-0.4

0

0.4

0.8

1.2

w(L

/2,t)/

wst

a=0

a<0

a>0

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

t/ T

-0.4

0

0.4

0.8

1.2

w(L

/2,t)/

wst

a=0

a<0

a>0

a) (2-1-2) b) (2-2-1)

Hình 4.25. Mối liên hệ của độ võng tại giữa dầm theo thời gian của dầm ba pha chịu

lực di động với vận tốc thay đổi (nx = nz = 0.5, v = 100 m/s).

4.3.2. Dầm hai pha chịu khối lượng di động

Mục này nghiên cứu đáp ứng động lực học của dầm 2D-FGSW hai pha trình

bày trong Mục 2.1, chịu khối lượng m, di động với vận tốc không đổi v từ đầu trái

dầm sang đầu phải dầm. Khối lượng m cũng được giả định luôn tiếp xúc với dầm

trong suốt quá trình chuyển động trên dầm. Ảnh hưởng của một phần nền đàn hồi

Pasternak dầm tựa lên tới ứng xử động lực học của dầm cũng được xét tới. Mô hình

bài toán được minh họa trên Hình 4.27, trên đó kw và ks tương ứng là độ cứng của các

lò xo Winkler và của lớp trượt. Để đặc trưng cho chiều dài phần nền dầm tựa lên ta

cũng sử dụng tham số αF được định nghĩa trong Mục 4.2.1.4. Hệ tọa độ Đề-các trên

Hình 4.27 được chọn sao cho trục x nằm trong mặt giữa của dầm. Bài toán được phân

tích bằng phần tử Q3DB xây dựng trong Mục 3.4. Với các giá trị của độ cứng nền đàn

hồi kw và ks đã cho và các hàm nội suy lựa chọn, ảnh hưởng của nền đàn hồi tới ứng

xử của dầm được đánh giá thông qua ma trận độ cứng nền kF cho bởi phương trình

103

0 100 200 300 400

v (m/s)

0.8

1

1.2

1.4

1.6

Dd

a=0

a<0

a>0

0 100 200 300 400

v (m/s)

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

Dd

a=0

a<0

a>0

(a) nx= n

z= 0.5 (b) n

x = n

z=3

Hình 4.26. Mối liên hệ giữa hệ số động lực học Dd với vận tốc của lực di động của

dầm (2-1-2) chịu lực di động với vận tốc thay đổi.

Hình 4.27. Dầm 2D-FGSW hai pha tựa một phần trên nền đàn hồi chịu khối lượng di

động.

(3.55). Khác với trường hợp lực di động, ảnh hưởng của các lực quán tính, Coriolis và

li tâm sinh ra từ chuyển động của khối lượng m trên dầm được đánh giá qua các ma

trận mm, cm và km tương ứng cho bởi các phương trình (3.61), (3.62) và (3.63). Khi

các ma trận sinh ra từ khối lượng di động và véc-tơ tải trọng fm cho bởi phương trình

(3.64) đã biết, thuật toán Newmark trình bày trong Mục 3.8 cho phép ta xác định các

đặc trưng động lực học của dầm.

Dầm được giả định làm từ hai vật liệu thành phần là nhôm và nhôm oxit với

tính chất của các vật liệu thành phần cho trong Mục 4.2.2. Sự phân bố của mô-đun

đàn hồi hiệu dụng E f và mật độ khối hiệu dụng ρ f của dầm tính theo mô hình Voigt

104

được minh họa trên Hình 4.9. Cả hai mô hình Voigt và Mori-Tanaka được sử dụng để

đánh giá các tính chất hiệu dụng của dầm. Với lý thuyết tựa 3D, điều kiện biên cho

dầm tựa giản đơn dẫn tới các ràng buộc sau đây:

- Tại x = 0 : u0(0, t) = wb(0, t) = ws(0, t) = wz(0, t) = 0,

- Tại x = L : wb(L, t) = ws(L, t) = wz(L, t) = 0.

Để thuận tiện cho việc thảo luận ta đưa vào các tham số không thứ nguyên bao

gồm hệ số động lực học (Dd), tham số khối lượng di động (rm) và các tham số độ

cứng của nền đàn hồi (k1) và (k2), định nghĩa như sau:

Dd = max(w(L/2, t)

wst

)

, rm =m

ρcAL, k1 =

kwL4

EcI, k2 =

ksL2

EcI(4.9)

trong đó wst = mgL3/48EcI là độ võng tĩnh tại giữa dầm của dầm nhôm oxit thuần

nhất chịu một lực di động mg; A = bh là diện tích mặt cắt ngang của dầm. Lưu ý rằng

tham số nền k1 và k2 trong công thức (4.9) được định nghĩa tương tự như trong Mục

4.2.1.4 nhưng được chuẩn qua mô-đun đàn hồi của gốm chứ không phải của kim loại

như trong phương trình (4.4).

4.3.2.1. Kiểm chứng phần tử Q3DB

Trước khi tiến hành tính toán đáp ứng động lực học của dầm 2D-FGSW, luận

án kiểm tra tính hội tụ và độ chính xác của mô hình PTHH nhận được ở Chương 3. Vì

chưa có kết quả nào công bố về số liệu của dầm 2D-FGSW nằm trên nền đàn hồi chịu

khối lượng di động trước đó, vì vậy luận án tiến hành so sánh tần số và đáp ứng động

lực học đối với trường hợp đặc biệt của dầm 2D-FGSW khi nx = 0, dầm trở thành dầm

1D-FGSW có cơ tính biến thiên theo chiều cao của dầm.

Bảng 4.17 so sánh tham số tần số cơ bản µ1 của dầm 1D-FGSW nằm hoàn

toàn trên nền đàn hồi Pasternak nhận được trong luận án với kết quả của Su và cộng

sự trong [75] cho trường hợp biên tựa giản đơn và tỷ số độ dày các lớp là (1-1-1).

Việc so sánh được tiến hành cho cả mô hình Voigt và mô hình Mori-Tanaka, trong đó

kết quả trong [75] nhận được trên cơ sở lý thuyết dầm Timoshenko và phương pháp

Fourier tổng quát. Có thể thấy rằng kết quả từ Bảng 4.17 nhận được trong luận án rất

sát với kết quả của Su và cộng sự. Nhận xét này đúng cho mọi tham số vật liệu và mô

hình cơ học vi mô. Sai số nhỏ nhất giữa tham số tần số của luận án so với kết quả của

Su và cộng sự [75] trong Bảng 4.17 là 0.0058% khi nz = 1 với (k1, k2)=(0,0) ; trong

khi đó sai số lớn nhất 0.1227% ứng với nz = 5 và (k1, k2)=(0,0). Sai số nhỏ nhất và lớn

105

nhất đều nhận được khi so sánh kết quả tính bằng mô hình Mori-Tanaka. Bảng 4.18 so

sánh tham số tần số của dầm 2D-FGM với cơ tính biến đổi theo quy luật hàm số mũ

nhận được trong luận án với kết quả của Simsek [44] cho các giá trị khác nhau của các

tham số vật liệu và hai giá trị của tỷ số giữa chiều dài và chiều cao dầm, L/h = 5 và

L/h = 20. Kết quả trong [44] nhận được trên cơ sở lý thuyết biến dạng trượt bậc nhất

và phương pháp bán giải tích. Có thể thấy từ Bảng 4.18 là kết quả của luận án tương

thích với kết quả của Simsek với cả hai giá trị của L/h và các giá trị của tham số vật

liệu. Trong Bảng 4.18, sai số nhỏ nhất giữa tham số tần số dầm 2D-FGM của luận án

và kết quả trong tài liệu [44] là 0.0601% ứng với (nx = 1, nz = 0.4) và L/h = 20. Sai

số lớn nhất trong Bảng 4.18 chỉ là 0.9646% ứng với (nx = 1, nz = 1) và L/h = 5. Cần

lưu ý rằng tham số tần số trong Bảng 4.18 được định nghĩa như trong [44] và các giá

trị của hệ số độ cứng và mô-men khối lượng cần được tính theo quy luật hàm số mũ

của sự biến thiên của các vật liệu thành phần.

Tiếp theo Luận án tiến hành so sánh hệ số động lực học Dd của dầm 1D-FGM

với tính chất vật liệu thay đổi theo chiều cao chịu tác động của khối lượng di động.

Để làm điều này, Bảng 4.19 liệt kê các giá trị của hệ số Dd nhận được trong luận án

với các giá trị khác nhau của tham số vật liệu và vận tốc của khối lượng di động. Với

mục đích so sánh các giá trị tương ứng của Khalili và cộng sự trong [21] và nhóm tác

giả Song và cộng sự trong [141] cũng được liệt kê trong Bảng 4.19. Bảng 4.19 cho

thấy các giá trị của tham số động lực học nhận được trong luận án khá sát với kết quả

trong [21, 141]. Với v = 20m/s và nz = 0.5, hệ số động lực học Dd nhận được trong

luận án, như thấy từ Bảng 4.19, trùng với giá trị của Song và cộng sự [141], trong khi

sai số lớn nhất giữa hệ số Dd của luận án và của [141] trong Bảng 4.19 là 4.48% cho

trường hợp v = 80 m/s và nz = 0.5. Khalili và cộng sự [21], sử dụng lý thuyết dầm

Euler-Bernulli và phương pháp CPVP, trong khi Song và cộng sự [141] sử dụng lý

thuyết tấm Kirchhoff và phương pháp CPVP. Chú ý rằng các kết quả trong bảng 4.19

được tính cho dầm 1D-FGM làm từ hai vật liệu alumina (Al2O3) và thép không gỉ

(SUS304) với tính chất vật liệu của vật liệu thành phần được trình bày chi tiết trong

Tài liệu [21].

Để đảm bảo tính chính xác của mô hình phần tử tựa 3D, luận án tiến hành so

sánh độ võng động lực học tại giữa dầm của dầm 1D-FGSW (nx = 0) nhận được trong

luận án với kết quả của Songsuwan và cộng sự trong [90] như minh họa trên Hình

4.19. Trong Tài liệu [90], Songsuwan và cộng sự sử dụng lý thuyết dầm Timoshenko

106

Bảng 4.17. So sánh tham số tần số µ1 của dầm (1-1-1) 1D-FGSW tựa giản đơn nằm

hoàn toàn trên nền đàn hồi với L/h = 10.

Nguồn k1k2

π2 Mô hình Voigt Mô hình Mori-Tanaka

nz = 0.6 nz = 1 nz = 5 nz = 0.6 nz = 1 nz = 5

TL† [75] 0 0 4.3706 4.0017 3.0937 3.7388 3.4480 2.9387

LA‡ 4.3747 4.0014 3.0931 3.7402 3.4478 2.9351

TL[75] 0.5 5.9427 5.7192 5.2632 5.4947 5.3464 5.1736

LA 5.9484 5.7220 5.2663 5.4984 5.3494 5.1750

TL[75] 1.0 7.1784 7.0289 6.7699 6.8121 6.7290 6.7004

LA 7.1852 7.0336 6.7749 6.8173 6.7338 6.7042

TL [75] 102 0 7.2381 7.0917 6.8406 6.8750 6.7946 6.7719

LA 7.2451 7.0966 6.8458 6.8803 6.7996 6.7759

TL [75] 0.5 8.2828 8.1846 8.0576 7.9674 7.9285 7.9993

LA 8.2907 8.1909 8.0641 7.9738 7.9349 8.0048

TL[75] 1.0 9.2097 9.1479 9.1134 8.9270 8.9195 9.0619

LA 9.2185 9.1554 9.1211 8.9344 8.9269 9.0686

và phương pháp Ritz. Từ Hình 4.19 cho thấy kết quả của Luận án và kết quả của tài

liệu [90] rất sát nhau.

Bảng 4.20 và Bảng 4.21 minh họa sự hội tụ của mô hình phần tử dầm Q3DB

trong đánh giá đáp ứng động lực học của dầm 2D-FGSW hai pha cho hai trường hợp

là dầm đối xứng (2-1-2) và dầm bất đối xứng (2-1-1), trong đó các giá trị của hệ số

động lực học Dd nhận được bằng số phần tử khác nhau được liệt kê cho trường hợp

L/h = 20, rm = 0.5, k1 = 50, k2 = 5, v = 50 m/s và một số giá trị của tham số vật liệu

và tham số chiều dài nền đàn hồi. Các kết quả nhận được trong bảng dựa trên mô hình

Voigt và lưới đồng nhất cho cả dầm và nền đàn hồi. Từ các Bảng 4.20 và Bảng 4.21 ta

thấy sự hội tụ của phần tử dầm Q3DB trong đánh giá hệ số động lực học khá nhanh.

Với 16 phần tử, hệ số động lực học của cả dầm đối xứng và bất đối xứng đều hội tụ,

bất kể giá trị của các tham số vật liệu. Từ kết quả hội tụ này, lưới đồng nhất 16 phần

107

Bảng 4.18. So sánh tham số tần số cơ bản của dầm 2D-FGM có cơ tính biến thiên

theo chiều dài và chiều cao của dầm.

L/h = 5 L/h = 20

nx Nguồn nz=0.4 nz=0.6 nz=0.8 nz=1 nz=0.4 nz=0.6 nz=0.8 nz=1

0 TL† [44] 2.6669 2.6533 2.6337 2.6103 2.8251 2.8115 2.7919 2.7685

LA‡ 2.6727 2.6613 2.6455 2.6254 2.8279 2.8159 2.7994 2.7783

0.2 TL [44] 2.6650 2.6513 2.6318 2.6083 2.8251 2.8115 2.7919 2.7666

LA 2.6718 2.6604 2.6445 2.6243 2.8268 2.8148 2.7983 2.7772

0.4 TL [44] 2.6611 2.6474 2.6279 2.6044 2.8212 2.8076 2.7880 2.7626

LA 2.6692 2.6577 2.6417 2.6215 2.8235 2.8115 2.7950 2.7739

0.6 TL [44] 2.6552 2.6416 2.6220 2.5986 2.8154 2.8017 2.7822 2.7587

LA 2.6647 2.6532 2.6372 2.6169 2.8180 2.8061 2.7895 2.7685

0.8 TL [44] 2.6455 2.6318 2.6123 2.5888 2.8076 2.7939 2.7744 2.7509

LA 2.6584 2.6469 2.6308 2.6105 2.8103 2.7984 2.7819 2.7610

1 TL [44] 2.6337 2.6201 2.6005 2.5771 2.7978 2.7841 2.7646 2.7412

LA 2.6504 2.6388 2.6227 2.6022 2.8005 2.7886 2.7722 2.7513

tử sẽ được sử dụng trong tính toán đáp ứng động lực học của dầm ở dưới đây.

4.3.2.2. Ảnh hưởng của vận tốc và khối lượng tải di động

Hình 4.28 và Hình 4.29 minh họa đường cong biểu thị mối quan hệ giữa độ

võng tại giữa dầm với thời gian di động của khối lượng m của dầm hai pha (2-1-1)

với các giá trị khác nhau của vận tốc v, tham số khối lượng rm, tham số độ cứng nền

đàn hồi k1, k2 và tham số chiều dài nền đàn hồi αF . Đường cong nhận được từ cả mô

hình Voigt và mô hình Mori-Tanaka được biểu diễn trên các hình. Từ Hình 4.28 ta có

thể nhận thấy rằng độ võng tại giữa dầm chịu ảnh hưởng rõ rệt bởi vận tốc v của khối

lượng m. Cụ thể, độ võng tại giữa dầm lớn khi vận tốc của khối lượng di động cao hơn.

Bên cạnh đó, dầm có xu hướng thực hiện ít các chu kì dao động hơn dưới tác động của

khối lượng di động với vận tốc cao hơn. Ảnh hưởng của tham số chiều dài nền đàn

hồi αF đến đường cong độ võng-thời gian của dầm là rõ nét hơn so với ảnh hưởng của

108

Bảng 4.19. So sánh hệ số động lực học Dd của dầm FGM chịu khối lượng di động.

v (m/s) Nguồn nz SUS304

0.2 0.5 1 2 5 10 20

20 TL† [21] 0.6305 0.6963 0.7568 0.8305 0.8937 0.9419 0.9880 1.0689

TL [141] 0.6170 0.6928 0.7429 0.8062 0.8828 0.9414 0.9899 1.0848

LA‡ 0.6276 0.6928 0.7345 0.8042 0.8820 0.9452 1.0143 1.0827

40 TL [21] 0.6680 0.7579 0.8292 0.8723 0.8987 0.9194 0.9388 1.0799

TL[141] 0.6652 0.7561 0.8284 0.8750 0.9122 0.9387 0.9652 1.0674

LA 0.6595 0.7474 0.8162 0.8617 0.9029 0.9366 0.9711 1.0636

60 TL [21] 0.6134 0.7267 0.8570 0.9732 1.0901 1.1829 1.2749 1.4513

TL [141] 0.6341 0.7154 0.8403 0.9547 1.0848 1.1912 1.2907 1.4822

LA 0.6262 0.6991 0.8172 0.9254 1.0552 1.1668 1.2968 1.4391

80 TL [21] 0.7611 0.9070 1.0510 1.1740 1.2927 1.3882 1.4840 1.6681

TL [141] 0.7732 0.9212 1.0661 1.1914 1.3300 1.4425 1.5547 1.7589

LA 0.7433 0.8799 1.0108 1.1253 1.2599 1.3774 1.5152 1.6657

Chú thích: TL†, LA‡

tham số khối lượng rm. Hơn nữa, tham số khối lượng rm có thể làm thay đổi biên độ

của độ võng giữa nhịp, nhưng hầu như không thay đổi cách dao động của dầm. Trong

phần lớn thời gian khối lượng m di chuyển trên dầm, độ võng của dầm nhận được từ

mô hình Mori-Tanaka cao hơn so với độ võng nhận được từ mô hình Voigt. Như vậy,

như đã nhận xét trong trường hợp dao động tự do, mô hình Voigt "cứng" hơn mô hình

Mori-Tanaka trong đánh giá ứng xử động lực học của dầm 2D-FGSW hai pha.

Hình 4.30 và Hình 4.31 minh họa đường cong biểu thị mối liên hệ giữa hệ số

động lực học Dd với vận tốc v của khối lượng di động của dầm 2D-FGSW hai pha với

các giá trị khác nhau của tham số chiều dài nền đàn hồi αF và tham số khối lượng rm.

Tương tự như trong trường hợp lực di động trên dầm FGM [19] và lực di động trên

dầm 2D-FGSW ba pha trình bày ở trên, khi tăng vận tốc của khối lượng m, đường

cong Dd −v của dầm hai pha trên các Hình 4.30 và Hình 4.31 cũng trải qua giai đoạn

tăng giảm liên tục trước khi đạt tới giá trị cực đại và tiếp đó giảm dần khi qua đỉnh. Từ

109

Bảng 4.20. Sự hội tụ của phần tử Q3DB trong đánh giá hệ số động lực học của dầm

hai pha đối xứng (2-1-2) (L/h = 20, rm = 0.5, k1 = 50, k2 = 5 và v = 50 m/s).

αF nx nz NE=4 NE=6 NE=8 NE=10 NE=12 NE=14 NE=16 NE=18

0 0.5 0.5 2.0322 2.0310 2.0295 2.0285 2.0291 2.0288 2.0287 2.0287

2 3.9251 3.9196 3.9183 3.9166 3.9161 3.9158 3.9156 3.9156

2 0.5 2.5455 2.5441 2.5438 2.5431 2.5428 2.5425 2.5421 2.5421

2 4.6513 4.6508 4.6504 4.6491 4.6487 4.6481 4.6477 4.6477

0.5 0.5 0.5 1.0493 1.0484 1.0477 1.0476 1.0473 1.0474 1.0472 1.0472

2 1.4566 1.4650 1.4643 1.4641 1.4639 1.4638 1.4638 1.4638

2 0.5 1.2293 1.2371 1.2361 1.2361 1.2359 1.2358 1.2356 1.2356

2 1.5604 1.5598 1.5586 1.5582 1.5582 1.5581 1.5579 1.5579

1 0.5 0.5 0.6921 0.6866 0.6849 0.6842 0.6839 0.6839 0.6838 0.6838

2 0.7965 0.7950 0.7923 0.7913 0.7912 0.7912 0.7912 0.7912

2 0.5 0.7523 0.7449 0.7437 0.7428 0.7426 0.7425 0.7424 0.7424

2 0.8284 0.8175 0.8129 0.8122 0.8122 0.8120 0.8120 0.8120

Hình 4.30 ta thấy rằng đối với hầu hết giá trị của tốc độ của khối lượng di động, hệ số

Dd của dầm hai pha đối xứng (1-1-1) và bất đối xứng (2-1-1) nhỏ hơn rõ rệt khi tham

số chiều dài nền đàn hồi αF lớn hơn. Hơn nữa, như mong đợi, hệ số động lực học Dd

của dầm, như thấy từ Hình 4.31, lớn hơn khi dầm chịu khối lượng di động lớn hơn.

Thêm vào đó, giá trị của vận tốc của khối lượng di động tại đó hệ số động lực học Dd

đạt giá trị lớn nhất, như thấy từ các Hình 4.30 và 4.31, chịu sự chi phối bởi tham số

chiều dài nền đàn hồi αF và tham số khối lượng rm.

4.3.2.3. Ảnh hưởng của sự phân bố vật liệu và mô hình cơ học vi mô

Mục này nghiên cứu ảnh hưởng của sự phân bố vật liệu thông qua các tham số

nx, nz và mô hình cơ học vi mô đến đáp ứng động lực học của dầm 2D-FGSW hai pha

trong cả hai trường hợp dầm đối xứng và bất đối xứng. Ảnh hưởng của tham số chiều

dài nền đàn hồi αF tới ứng xử của dầm cũng được làm rõ thêm trong mục này.

Bảng 4.22 và Bảng 4.23 tương ứng liệt kê các giá trị của hệ số động lực học

110

Bảng 4.21. Sự hội tụ của phần tử Q3DB trong đánh giá hệ số động lực học của dầm

hai pha bất đối xứng (2-1-1) (L/h = 20, rm = 0.5, k1 = 50, k2 = 5 và v = 50 m/s).

αF nx nz NE=4 NE=6 NE=8 NE=10 NE=12 NE=14 NE=16 NE=18

0 0.5 0.5 1.9755 1.9752 1.9740 1.9736 1.9733 1.9732 1.9731 1.9731

2 3.4597 3.4591 3.4589 3.4585 3.4584 3.4583 3.4583 3.4583

2 0.5 2.4941 2.4934 2.4928 2.4927 2.4925 2.4924 2.4922 2.4922

2 4.1997 4.1981 4.1976 4.1969 4.1969 4.1968 4.1967 4.1967

0.5 0.5 0.5 1.0278 1.0245 1.0238 1.0237 1.0236 1.0235 1.0232 1.0232

2 1.3970 1.4064 1.4062 1.4061 1.4061 1.4059 1.4059 1.4059

2 0.5 1.2078 1.2153 1.2144 1.2143 1.2143 1.2142 1.2141 1.2141

2 1.5058 1.5139 1.5138 1.5137 1.5137 1.5136 1.5136 1.5136

1 0.5 0.5 0.6841 0.6793 0.6779 0.6774 0.6771 0.6770 0.6768 0.6768

2 0.7818 0.7803 0.7698 0.7695 0.7695 0.7694 0.7694 0.7694

2 0.5 0.7467 0.7399 0.7391 0.7384 0.7383 0.7381 0.7379 0.7379

2 0.8176 0.8061 0.8049 0.8043 0.8043 0.8042 0.8042 0.8042

của dầm hai pha nằm một phần trên nền đàn hồi với hai giá trị của tỉ số giữa chiều dài

và chiều cao dầm, L/h = 5 và L/h = 20, cho trường hợp k1 = 100, k2 = 10, rm = 0.5,

v = 50 m/s và một số giá trị của tham số chiều dài nền đàn hồi αF và các tham số

vật liệu nx, nz. Kết quả của hai bảng này cho thấy tham số nền và tham số vật liệu có

vai trò quan trọng tới giá trị của hệ số động lực học Dd của dầm. Cụ thể, với mọi giá

trị của tỉ lệ độ dày giữa các lớp dầm, hệ số động lực học Dd tăng lên khi các tham

số vật liệu tăng, trong khi hệ số này của dầm sẽ giảm khi tham số chiều dài nền đàn

hồi αF tăng. Ảnh hưởng của sự phân bố vật liệu tới hệ số động lực học có thể thấy rõ

hơn từ Hình 4.32, trên đó sự phụ thuộc của hệ số Dd vào hai tham số vật liệu nx và

nz được minh họa cho dầm không đối xứng (2-1-1) nằm một phần trên nền đàn hồi

với L/h = 20, rm = 0.5, k1 = 100, k2 = 10, v = 50 m/s và một số giá trị của tham số

chiều dài nền đàn hồi αF . Kết quả trên hình nhận được từ mô hình Mori-Tanaka. Như

thấy từ hình vẽ, với mọi giá trị của tham số chiều dài nền đàn hồi αF , hệ số động lực

học Dd tỷ lệ thuận với cả hai tham số vật liệu và ảnh hưởng của các tham số nx, nz tới

111

0 0.25 0.5 0.75 10

0.5

1

1.5

2

2.5

3

t/∆T

w(L

/2,t

)/w

st

0 0.25 0.5 0.75 10

0.5

1

1.5

2

2.5

3

t/∆T

w(L

/2,t

)/w

st

0 0.25 0.5 0.75 10

0.5

1

1.5

2

2.5

3

t/∆T

w(L

/2,t

)/w

st

0 0.25 0.5 0.75 10

0.5

1

1.5

2

2.5

3

t/∆T

w(L

/2,t

)/w

st

MT, (k1,k

2)=(10,1) Voigt, (k

1,k

2)=(10,1) MT, (k

1,k

2)=(100,10) Voigt,(k

1,k

2)=(100,10)

(a) v=20 m/s (b) v=40 m/s

(d) v=80 m/s(c) v=60 m/s

Hình 4.28. Mối liên hệ giữa độ võng tại giữa dầm với thời gian của dầm hai pha (2-1-

1) với L/h = 20, nx = nz = 0.5, rm = 0.5, αF = 0.5 và các giá trị khác nhau của v và

(k1,k2).

hệ số Dd rõ rệt nhất khi các giá trị của các tham số vật liệu này nhỏ hơn 2.5. Từ sự

so sánh kết quả của hai bảng 4.22 và 4.23, ta thấy rằng độ mảnh của dầm, thông qua

tỷ số giữa chiều dài và chiều cao dầm L/h, đóng vai trò quan trọng tới đáp ứng động

lực học của dầm. Cụ thể, với cùng giá trị của tham số vật liệu và tham số nền đàn

hồi, hệ số động lực học Dd của dầm lớn hơn khi dầm có tỉ số L/h thấp hơn. Nhận xét

này đúng cho tất cả các tham số vật liệu cũng như tham số chiều dài nền đàn hồi αF

trong bảng. Kết quả về ảnh hưởng của độ mảnh nói trên chứng tỏ khả năng mô phỏng

ảnh hưởng của biến dạng trượt của phần tử Q3DB xây dựng trong luận án tới đáp ứng

động lực học của dầm 2D-FGSW hai pha.

Ảnh hưởng của mô hình cơ học vi mô tới đáp ứng động lực học của dầm 2D-

FGSW hai pha có thể thấy rõ từ Hình 4.33, trên đó đường cong biểu thị sự phụ thuộc

của hệ số động lực học Dd vào các tham số vật liệu nx và nz của dầm đối xứng (2-1-2)

và dầm bất đối xứng (2-1-1) nhận được từ mô hình Voigt và mô hình Mori-Tanaka,

được minh họa cho một số giá trị của tham số chiều dài nền αF . Từ Hình 4.33 ta thấy

rằng hệ số động lực học nhận được từ mô hình Mori-Tanaka luôn lớn hơn so với kết

quả được từ mô hình Voigt. Sự chênh lệch của hệ số động lực học của hai trường hợp

112

0 0.25 0.5 0.75 10

0.5

1

1.5

2

t/∆T

w(L

/2,t)/

wst

0 0.25 0.5 0.75 10

0.5

1

1.5

2

t/∆T

w(L

/2,t)/

wst

0 0.25 0.5 0.75 10

0.5

1

1.5

2

t/∆T

w(L

/2,t)/

wst

0 0.25 0.5 0.75 10

0.5

1

1.5

2

t/∆T

w(L

/2,t)/

wst

MT, αF=0.2 Voigt, α

F=0.2 MT, α

F=0.5 Voigt, α

F=0.5

(a) rm

=0.25 (b) rm

=0.5

(c) rm

=0.75 (d) rm

=1

Hình 4.29. Mối liên hệ giữa độ võng tại giữa dầm với thời gian của dầm hai pha (2-

1-1) với L/h = 20, nx = nz = 0.5, k1 = 100, k2 = 10, v = 50 m/s và các giá trị khác

nhau của αF và rm.

mô hình vật liệu rõ nhất khi các tham số vật liệu nhỏ hơn 4. Tuy nhiên sự chênh lệch

này còn phụ thuộc vào tham số chiều dài nền đàn hồi αF . Cụ thể mô hình cơ học vi

mô ảnh hưởng tới tham số động lực học ít hơn khi tham số chiều dài nền đàn hồi αF

nhỏ hơn.

4.3.2.4. Ảnh hưởng của độ cứng nền đàn hồi

Ảnh hưởng của độ cứng nền đàn hồi đến đáp ứng động lực học của dầm 2D-

FGSW hai pha được thấy rõ từ Hình 4.34, trên đó sự biến thiên của hệ số động lực

học với hai tham số độ cứng nền đàn hồi k1 và k2 được minh họa cho của dầm (2-1-1)

với L/h = 20, nx = nz = 0.5, rm = 0.5, αF = 0.5 và hai giá trị của vận tốc, v = 30

và v = 80 m/s. Kết quả trên hình được minh họa cho cả hai mô hình Voigt và Mori-

Tanaka. Từ hình vẽ ta thấy nền đàn hồi đóng vai trò quan trọng tới hệ số động lực học

của dầm 2D-FGSW hai pha. Cụ thể, với cả hai giá trị của vận tốc khối lượng di động

v, hệ số động lực học của dầm giảm khi các tham số độ cứng của nền tăng. Hình 4.34

113

0 100 200 300 4000.5

1.1

1.7

2.3

2.9

3.5

v (m/s)

Dd

0 100 200 300 4000.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

v (m/s)D

d

MT, αF=0.2 Voigt, α

F=0.2 MT, α

F=0.5 Voigt, α

F=0.5

(a) (1−1−1), nx=n

z=0.5 (b) (2−1−1), n

x=n

z=2

Hình 4.30. Mối liên hệ giữa hệ số động lực học Dd với vận tốc v của khối lượng di

động với L/h = 20, k1 = 100, k2 = 10, rm = 0.5 và các giá trị khác nhau của αF .

0 100 200 300 400

v (m/s)

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

Dd

rm

=0.2

rm

=0.5

rm

=0.75

rm

=1

0 100 200 300 400

v (m/s)

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

Dd

rm

=0.2

rm

=0.5

rm

=0.75

rm

=1

(b) nx=n

z=2(a) n

x=n

z=0.5

Hình 4.31. Mối liên hệ giữa hệ số động lực học Dd với vận tốc v của khối lượng di

động của dầm hai pha (2-1-1) với L/h = 20, k1 = 100, k2 = 10, αF = 0.5 và các giá

trị khác nhau của rm.

cũng cho thấy rõ sự chênh lệch giữa các hệ số động lực học nhận được từ các mô hình

cơ học vi mô, mô hình Voigt và mô hình Mori-Tanaka. Chú ý rằng ảnh hưởng của mô

114

Bảng 4.22. Hệ số động lực học của dầm hai pha với L/h = 5, k1 = 100, k2 = 10,

rm = 0.5, v = 50 (m/s) và các giá trị khác nhau của αF và (nx, nz).

αF nx nz Mô hình Voigt Mô hình Mori-Tanaka

(2-2-1) (1-1-1) (2-1-1) (2-1-2) (2-2-1) (1-1-1) (2-1-1) (2-1-2)

0.2 0.5 0.3 1.1127 1.1360 1.1475 1.1669 1.4161 1.4536 1.4707 1.5023

0.5 1.2180 1.2558 1.2738 1.3057 1.5295 1.5853 1.6090 1.6670

1 1.4079 1.4751 1.5045 1.5636 1.7223 1.8230 1.8521 1.9392

5 1.8683 2.0529 2.0792 2.2672 2.0658 2.2635 2.2695 2.4427

3 0.3 1.6212 1.6401 1.6506 1.6660 2.0847 2.1039 2.1154 2.1324

0.5 1.7062 1.7403 1.7573 1.7872 2.1636 2.1946 2.2103 2.2356

1 1.8794 1.9386 1.9632 2.0129 2.2883 2.3352 2.3554 2.3940

5 2.2158 2.3410 2.3600 2.4719 2.4934 2.5651 2.5826 2.6402

0.4 0.5 0.3 0.8030 0.8145 0.8204 0.8299 0.9548 0.9728 0.9812 0.9960

0.5 0.8549 0.8733 0.8824 0.8978 1.0086 1.0339 1.0450 1.0660

1 0.9471 0.9791 0.9933 1.0206 1.0871 1.1241 1.1379 1.1690

5 1.1416 1.2065 1.2209 1.2829 1.2156 1.2843 1.2879 1.3451

3 0.3 1.0559 1.0646 1.0696 1.0766 1.2477 1.2542 1.2586 1.2638

0.5 1.0947 1.1079 1.1153 1.1260 1.2731 1.2825 1.2885 1.2959

1 1.1597 1.1811 1.1919 1.2095 1.3128 1.3278 1.3347 1.3467

5 1.2819 1.3207 1.3303 1.3633 1.3782 1.4000 1.4069 1.4238

hình cơ học vi mô là đáng kể trong trường hợp 0 ≤ k1 ≤ 60 và 0 ≤ k2 ≤ 6. Nói cách

khác, ảnh hưởng của mô hình cơ học vi mô đến hệ số động lực học của dầm phụ thuộc

vào độ cứng của nền đàn hồi và ảnh hưởng này giảm đi khi độ cứng của nền đàn hồi

lớn hơn.

4.3.2.5. Phân bố của ứng suất

Mục này nghiên cứu ảnh hưởng của sự phân bố vật liệu và mô hình cơ học

vi mô tới sự phân bố của các thành phần ứng suất theo chiều cao dầm của dầm 2D-

FGSW hai pha nằm một phần trên nền đàn hồi chịu khối lượng di động. Nhằm mục

đích này, luận án tiến hành tính toán và khảo sát các thành phần ứng suất pháp σxx, σzz

115

Bảng 4.23. Hệ số động lực học của dầm hai pha với L/h = 20, k1 = 100, k2 = 10,

rm = 0.5, v = 50 m/s và các giá trị khác nhau của αF và (nx, nz).

αF nx nz Mô hình Voigt Mô hình Mori-Tanaka

(2-2-1) (1-1-1) (2-1-1) (2-1-2) (2-2-1) (1-1-1) (2-1-1) (2-1-2)

0.2 0.5 0.3 1.0941 1.1185 1.1296 1.1536 1.4388 1.4907 1.5066 1.5505

0.5 1.2154 1.2608 1.2777 1.3165 1.5863 1.6585 1.6776 1.7400

1 1.4358 1.5182 1.5457 1.6272 1.7991 1.9070 1.9288 2.0342

5 1.9711 2.1869 2.1915 2.4024 2.1744 2.3769 2.3633 2.5466

3 0.3 1.6316 1.6571 1.6674 1.6886 2.1235 2.1442 2.1521 2.1694

0.5 1.7417 1.7805 1.7952 1.8279 2.2008 2.2311 2.2414 2.2669

1 1.9256 1.9914 2.0121 2.0740 2.3201 2.3666 2.3782 2.4183

5 2.3111 2.4457 2.4442 2.5642 2.5202 2.5963 2.5915 2.6563

0.4 0.5 0.3 0.7237 0.7362 0.7407 0.7512 0.8937 0.9161 0.9222 0.9411

0.5 0.7777 0.7968 0.8035 0.8227 0.9555 0.9856 0.9919 1.0173

1 0.8823 0.9209 0.9306 0.9641 1.0438 1.0939 1.0991 1.1420

5 1.1037 1.1883 1.1826 1.2541 1.1876 1.2553 1.2431 1.3035

3 0.3 0.9583 0.9685 0.9722 0.9807 1.1658 1.1735 1.1759 1.1822

0.5 1.0020 1.0171 1.0222 1.0349 1.1937 1.2044 1.2070 1.2158

1 1.0775 1.1052 1.1119 1.1355 1.2334 1.2481 1.2500 1.2621

5 1.2193 1.2626 1.2578 1.2928 1.2886 1.3108 1.3050 1.3243

và ứng suất tiếp τxz của các dầm đối xứng (2-1-2) và dầm bất đối xứng (2-1-1). Tính

toán được thực hiện cho trường hợp dầm có L/h = 10, tham số độ cứng nền k1 = 100,

k2 = 10 chịu khối lượng rm = 0.5 di động với vận tốc v = 50 m/s. Giá trị của tham số

vật liệu theo chiều dài được giữ không đổi, nx = 0.5, trong khi giá trị của tham số vật

liệu theo chiều cao thay đổi, nz = 0, 0.5, 1 và 5. Các ứng suất pháp được tính cho tiết

diện giữa dầm, trong khi ứng suất trượt được tính cho thiết diện ở đầu dầm.

Các hình vẽ từ Hình 4.35 tới Hình 4.37 tương ứng minh họa sự phân bố của

các ứng suất pháp σxx, σzz và ứng suất tiếp τxz của dầm hai pha nằm một phần trên

nền đàn hồi, chịu khối lượng di động với các tham số nói trên. Các ứng suất trong

116

0.55

1.3

5

Dd

2.1

nz2.5

nx

3

2.5

0 0

0.5

5

0.8

5

Dd

1.2

nz

2.5

nx

1.5

2.5

0 0

0.4

5

0.48

5

Dd

0.57

nz

2.5

nx

0.65

2.5

0 0

0.35

5

0.42

5D

d

0.49

nz

2.5

nx

0.55

2.5

0 0

(b) F=0.4(a)

F=0.2

(c) F=0.8 (d)

F=1

Hình 4.32. Sự biến thiên của hệ số động lực học theo tham số vật liệu của dầm hai

pha (2-1-1) với L/h = 20, rm = 0.5, k1 = 100, k2 = 10 và v = 50 m/s.

các hình được tính toán trên cơ sở sử dụng mô hình Voigt, và chúng được tính tại thời

điểm khi khối lượng di động m tới giữa dầm. Các ứng suất được trực chuẩn bởi ứng

suất σ0 = mg/bh, tức là

σ∗xx = σxx(L/2,z)/σ0

σ∗zz = σzz(L/2,z)/σ0

τ∗xz = τxz(0,z)/σ0

(4.10)

Từ các Hình 4.35 tới Hình 4.37 ta có một số nhận xét sau đây

• Sự phân bố ứng suất theo chiều cao dầm của dầm đối xứng và dầm bất đối xứng

khác nhau rõ rệt. Giá trị lớn nhất của các ứng suất pháp σxx và σzz, cả ứng suất

kéo và ứng suất nén, như ta thấy từ Hình 4.35a,b và Hình 4.36a,b, tăng lên khi

nz tăng. Tuy nhiên các thành phần ứng suất pháp của dầm bất đối xứng, như ta

thấy từ Hình 4.35c,d và Hình 4.36c,d, không tuân theo quy luật này.

• Đường cong biểu thị sự phân bố theo chiều cao dầm của các ứng suất pháp phụ

thuộc rõ nét vào giá trị của tham số vật liệu nz. Dáng điệu đường cong phân bố

117

0 1 2 3 4 5

nx

0.5

1

1.5

2

2.5

Dd

0 1 2 3 4 5nz

0.5

1

1.5

2

2.5

3

Dd

0 1 2 3 4 5nx

0.5

1

1.5

2

2.5

Dd

0 1 2 3 4 5n

z

0.5

1

1.5

2

2.5

Dd

MT, F=0.2 Voigt,

F=0.2 MT,

F=0.5 Voigt,

F=0.5

(b) (2-1-2), nx=0.5

(a) (2-1-2), nz=0.5

(d) (2-1-1), nx=0.5(c) (2-1-1), n

z=0.5

Hình 4.33. Mối liên hệ giữa hệ số Dd với các tham số vật liệu nhận được từ hai mô

hình cơ học vi mô của dầm hai pha với L/h = 20, k1 = 100, k2 = 10, rm = 0.5, v = 50

m/s).

của các ứng suất pháp σxx và σzz tương ứng với nz = 5 khác xa so với các đường

cong tương ứng với các giá trị nz bằng 0, 0.5 và 1.

• Sự phân bố theo chiều cao dầm của ứng suất tiếp τxz của dầm đối xứng và dầm

bất đối xứng, như thấy từ Hình 4.37, cũng khác nhau đáng kể. Tuy nhiên quy

luật phân bố của ứng suất trượt với các giá trị khác nhau của tham số nz không

có bất thường như trường hợp ứng suất pháp. Ứng suất tiếp của cả dầm đối xứng

và dầm bất đối xứng đều tăng khi tăng tham số vật liệu nz. Các đường cong phân

bố ứng suất tiếp của dầm đối xứng đều đối xứng qua mặt giữa dầm. Tuy nhiên,

điều này không xảy ra trong trường hợp bất đối xứng, tức là đường cong phân

bố ứng suất tiếp của dầm bất đối xứng không còn đối xứng qua mặt giữa dầm.

Giá trị của ứng suất tiếp trên các mặt trên và mặt dưới dầm bằng không, tức là

thỏa mãn điều kiện các bề mặt dầm tự do với ứng suất.

Cuối cùng để biểu diễn ảnh hưởng của mô hình cơ học vi mô tới sự phân bố

ứng suất của dầm 2D-FGSW hai pha nằm một phần trên nền đàn hồi chịu khối lượng

118

1080.7

60

k2

1.5

20 4

Dd

k1

40

2.3

60 280

3

0100

0.7100

1.8

Dd

k2

k1

5

2.9

50

4

0100

(b) v=80 (m/s)

MH Mori-Tanaka

MH Mori-Tanaka

MH Voigt

MH Voigt

(a) v=30 (m/s)

Hình 4.34. Mối liên hệ giữa hệ số động lực học của dầm hai pha (2-1-1) với tham số

độ cứng nền đàn hồi (L/h = 20, nx = nz = 0.5, rm = 0.5, αF = 0.5).

-12 -6 0 6 12*

xx(L/2,z)

-0.5

-0.25

0

0.25

0.5

z/h

-5 -4 0 5 8*

xx(L/2,z)

-0.5

-0.25

0

0.25

0.5

z/h

-14 -9 -2 5 12

*

xx(L/2,z)

-0.5

-0.25

0

0.25

0.5

z/h

-8 -4 0 4 8

*

xx(L/2,z)

-0.5

-0.25

0

0.25

0.5

z/h

nz=0 n

z=0.5 n

z=1 n

z=5

(b) (2-1-2), F=0.5(a) (2-1-2),

F=0.2

(c) (2-1-1), F=0.2 (d) (2-1-1),

F=0.5

Hình 4.35. Phân bố theo chiều cao dầm của ứng suất pháp σxx của dầm hai pha (2-1-1)

với L/h = 10, nx = 0.5, k1 = 100, k2 = 10, rm = 0.5 và v = 50 m/s.

119

-0.3 -0.15 0 0.15 0.3*

zz(L/2,z)

-0.5

-0.25

0

0.25

0.5

z/h

-0.3 -0.15 0 0.15 0.3*

zz(L/2,z)

-0.5

-0.25

0

0.25

0.5

z/h

-1 -0.5 0 0.5

*

zz(L/2,z)

-0.5

-0.25

0

0.25

0.5

z/h

-0.6 -0.3 0 0.3*

zz(L/2,z)

-0.5

-0.25

0

0.25

0.5

z/h

nz=0 n

z=0.5 n

z=1 n

z=5

(b) (2-1-2), F=0.5

(d) (2-1-1), F=0.5(c) (2-1-1),

F=0.2

(a) (2-1-2), F=0.2

Hình 4.36. Phân bố theo chiều cao dầm của ứng suất pháp σzz của dầm hai pha (2-1-1)


0 0.5 1 1.5 2

xz

*(0,z)

-0.5

-0.25

0

0.25

0.5

z/h

0 0.25 0.5 0.75 1

xz

*(0,z)

-0.5

-0.25

0

0.25

0.5

z/h

0 0.5 1 1.5 2

xz

*(0,z)

-0.5

-0.25

0

0.25

0.5

z/h

0 0.25 0.5 0.75 1

xz

*(0,z)

-0.5

-0.25

0

0.25

0.5

z/h

nz=0 n

z=0.5 n

z=1 n

z=5

(c) (2-1-1), F=0.2

(a) (2-1-2), F=0.2 (b) (2-1-2),

F=0.5

(d) (2-1-1), F=0.5

Hình 4.37. Phân bố theo chiều cao dầm của ứng suất tiếp τxz của dầm hai pha (2-1-1)


120

-7-3.503.57

*

xx(L/2,z)

-0.5

-0.25

0

0.25

0.5

z/h

Voigt, nz=0.5

MT, nz=0.5

Voigt, nz=5

MT, nz=5

-7-3159

*

xx(L/2,z)

-0.5

-0.25

0

0.25

0.5

z/h

Voigt, nz=0.5

MT, nz=0.5

Voigt, nz=5

MT, nz=5

(b) (2-1-1)(a) (2-1-2)

Hình 4.38. Ảnh hưởng của mô hình vật liệu vi mô đến phân bố theo chiều cao của ứng

suất pháp σxx của dầm hai pha với L/h = 10, nx = 0.5, k1 = 100, k2 = 10, rm = 0.5,

αF = 0.4 và v = 50 m/s.

0 0.5 1 1.5 2 2.5*

xz(0,z)

-0.5

-0.25

0

0.25

0.5

z/h

Voigt, nz=0.5 MT, n

z=0.5 Voigt, n

z=5 MT, n

z=5

0 0.5 1 1.5 2 2.5*

xz(0,z)

-0.5

-0.25

0

0.25

0.5

z/h

(a) (2-1-2) (b) (2-1-1)

Hình 4.39. Ảnh hưởng của mô hình cơ học vi mô đến sự phân bố theo chiều cao dầm

của ứng suất tiếp của dầm hai pha với L/h= 10, nx = 0.5, k1 = 100, k2 = 10, rm = 0.5,

αF = 0.4 và v = 50 m/s.

di động, Hình 4.38 và Hình 4.39 tương ứng minh họa sự phân bố của ứng suất pháp

σxx và ứng suất tiếp γxz của dầm đối xứng (2-1-2) và dầm bất đối xứng (2-1-1) nhận

được từ cả hai mô hình Voigt và Mori-Tanaka cho trường hợp L/h = 10, nx = 0.5,

k1 = 100, k2 = 10, rm = 0.5, αF = 0.4 và v = 50 m/s. Hình 4.39 cho thấy ứng suất

tiếp nhận được từ mô hình Mori-Tanaka luôn lớn hơn giá trị tương ứng nhận được từ

121

mô hình Voigt. Tuy nhiên, ảnh hưởng của mô hình cơ học vi mô lên ứng suất pháp,

như thấy từ hình 4.38, còn phụ thuộc vào giá trị của tham số vật liệu theo chiều dày

dầm nz. Như vậy, mô hình cơ học vi mô không chỉ ảnh hưởng tới độ võng, hệ số động

lực học của dầm 2D-FGSW hai pha chịu khối lượng di động mà cả sự phân bố ứng

suất theo chiều cao dầm.


Chương 4 trình bày các kết quả phân tích số về dao động tự do và dao động cưỡng bức

của dầm 2D-FGSW dưới tác động của tải trọng di động trên cơ sở sử dụng các phần tử

dầm phát triển trong Chương 3. Từ sự so sánh kết quả số nhận được trong luận án với

các kết quả đã công bố, Chương 4 đã chứng tỏ các mô hình dầm phát triển trong luận

án có đủ độ tin cậy trong việc đánh giá các đặc trưng dao động của dầm 2D-FGSW

hai pha và ba pha. Kết quả số cũng chỉ ra rằng các mô hình phần tử dầm của luận án

có tốc độ hội tụ nhanh. Đặc biệt, mô hình phần tử dầm TBSE với các hàm nội suy

được làm giàu bằng các hàm thứ bậc có tốc độ hội tụ cực nhanh, cho phép nhận được

tần số dao động của các dầm 2D-FGSW hai pha tựa giản đơn và công-xôn chỉ với một

phần tử.

Ảnh hưởng của sự phân bố vật liệu, các tham số hình học dầm và tham số của

tải trọng di động tới các đặc trưng dao động của dầm 2D-FGSW được khảo sát chi

tiết trong Chương 4 trên cơ sở các phần tử khác nhau của luận án. Ảnh hưởng của một

phần nền đàn hồi dầm tựa lên tới dao động tự do của dầm 2D-FGSW ba pha và dao

động cưỡng bức của dầm 2D-FGSW hai pha chịu khối lượng di động cũng được đánh

giá trong chương này. Từ kết quả phân tích số cho dầm hai pha luận án đã chỉ ra sự

khác nhau đáng kể giữa các đặc trưng dao động của dầm nhận được từ mô hình Voigt

và mô hình Mori-Tanaka.

Kết quả số về dao động tự do của dầm 2D-FGSW ba pha được trình bày trong

các bài báo số bài báo số 3 và 5; Kết quả của về dao động tự do của dầm 2D-FGSW

hai pha được trình bày trong bài số 8; Kết quả phân tích động lực học của dầm 2D-

FGSW ba pha chịu lực di động là nội dung của bài báo số 6; Kết quả phân tích dầm

sandwich chịu khối lượng di động là nội dung chính trong các bài báo 10 và 11 trong

Mục “Danh mục công trình liên quan tới luận án”, trang 125.

KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

Kết luận và nhận xét chung

Luận án đã xây dựng được bốn mô hình PTHH dùng trong phân tích dao động

của dầm 2D-FGSW hai pha và ba pha với cơ tính biến đổi theo chiều cao và chiều dài

dầm theo quy luật hàm số lũy thừa. Các mô hình PTHH được xây dựng trên cơ sở các

lý thuyết biến dạng trượt và trường nội suy khác nhau. Với các mô hình dầm xây dựng

được và thuật toán tích phân trực tiếp Newmark, luận án đã phát triển chương trình

tính toán số trên cơ sở phương pháp PTHH. Sử dụng chương trình số, luận án đã tiến

hành phân tích một số bài toán cụ thể về dao động tự do và dao động cưỡng bức của

dầm 2D-FGSW hai pha và ba pha dưới tác động của lực và khối lượng di động. Một

số nhận xét về ứng xử của các phần tử dầm cũng như ảnh hưởng của sự phân bố vật

liệu, hình học dầm và các tham số của tải trọng di động tới dao động của dầm có thể

tóm lược như sau:

† Về mô hình phần tử hữu hạn:

1. Phương pháp năng lượng sử dụng trong luận án cho phép xây dựng các mô hình

PTHH của dầm với các lý thuyết dầm khác nhau hiệu quả. Với sự trợ giúp của

phần mềm Maple, phương pháp này cũng cho phép chuyển các phần tử xây dựng

được sang chương trình tính toán số một cách dễ dàng.

2. Với sự lựa chọn hợp lý trường nội suy và biến độc lập, các mô hình PTHH xây

dựng trong Luận án có độ tin cậy và tốc độ hội tụ cao. Các phần tử xây dựng

trong luận án cũng có khả năng tốt trong việc mô phỏng ảnh hưởng của biến

dạng trượt tới các đặc trưng dao động của dầm 2D-FGSW.

3. Nhờ sử dụng các hàm nội suy Kosmatka cho chuyển vị ngang và góc quay hợp

lý, phần tử dầm FBKO xây dựng từ lý thuyết FDST không gặp hiện tượng nghẽn

trượt và có tốc độ hội tụ tương đương với phần tử dựa trên lý thuyết biến dạng

trượt bậc ba với hàm hạng Hermite. Với sự làm giàu trường nội suy bằng các

hàm thứ bậc, tốc độ hội tụ của phần tử dầm TBSE xây dựng từ lý thuyết biến

dạng trượt bậc ba tăng một cách đáng kể. Tần số dao động riêng của dầm 2D-

FGSW hai pha với biên tựa tự do và công-xôn có thể nhận được chỉ bằng một

122

123

phần tử. Với việc sử dụng lý thuyết tựa 3D, phần tử Q3DB xây dựng trong luận

án cho phép đánh giá ảnh hưởng của sự phân bố vật liệu và mô hình cơ học vi

mô tới ứng suất pháp theo chiều dày dầm.

4. Bài toán dao động cưỡng bức của dầm 2D-FGSW chịu tải trọng di động được

xử lý dễ dàng thông qua biểu thức thế năng của tải trọng di động. Các phương

pháp giải tích và bán giải tích rất khó xử lý cho trường hợp dầm tựa một phần

trên nền đàn hồi, nhưng ảnh hưởng của một phần nền đàn hồi dầm tựa lên tới

dao động của dầm dễ dàng nghiên cứu được nhờ xây dựng biểu thức năng lượng

biến dạng của nền.

† Về ứng xử của kết cấu:

Ứng xử cụ thể của kết cấu dầm phụ thuộc vào mô hình dầm và bài toán cụ thể. Tuy

nhiên, những nhận xét dưới đây được tóm lược từ kết quả phân tích dao động của hai

mô hình dầm nghiên cứu trong luận án:

1. Sự phân bố của vật liệu, tỷ số độ dày giữa các lớp và độ mảnh dầm đóng vai trò

quan trọng tới dao động của dầm 2D-FGSW. Với sự lựa chọn hợp lý các giá trị

của tham số vật liệu ta có thể thiết kế được dầm 2D-FGSW với các tần số dao

động riêng và hệ số động lực học mong muốn.

2. Bên cạnh các tham số vật liệu, tải trọng di động, độ cứng và độ dài phần nền

dầm tựa lên có ảnh hưởng rõ rệt tới tần số dao động và đáp ứng động lực học

của dầm 2D-FGSW. Hệ số động lực học của dầm giảm đáng kể khi độ dài phần

nền dầm tựa lên lớn.

3. Các đặc trưng dao động của dầm 2D-FGSW nhận được từ các mô hình cơ học

vi mô Voigt và Mori-Tanaka khác nhau rõ rệt. Ảnh hưởng của mô hình cơ học

vi mô tới đáp ứng động lực học của dầm 2D-FGSW hai pha nằm một phần trên

nền đàn hồi chịu khối lượng di động phụ thuộc vào độ cứng của nền và chiều

dài của phần nền dầm tựa lên. Sự khác nhau giữa các đặc trưng nhận được từ hai

mô hình cơ học vi mô giảm đi khi chiều dài phần nền dầm tựa lên và độ cứng

của nền lớn hơn. Ảnh hưởng của mô hình cơ học vi mô cũng phụ thuộc vào giá

trị của các tham số vật liệu dầm và ảnh hưởng này trở nên yếu hơn khi các tham

số vật liệu dầm lớn hơn. Kết quả nhận được từ phân tích số cho thấy mô hình

124

Voigt cứng hơn đáng kể so với mô hình Mori-Tanaka. Cần nhấn mạnh rằng mô

hình Voigt không thỏa mãn các đánh giá Hashin-Strickman, vì thế, mặc dù đơn

giản về mặt toán học và được nhiều tác giả sử dụng, cần thận trọng trong việc

đánh giá các đặc trưng dao động nhận được từ mô hình này.

4. Dao động, đặc biệt đáp ứng động lực học, của dầm 2D-FGSW đối xứng và

không đối xứng khác nhau rõ rệt. Sự phân bố theo chiều cao dầm của các thành

phần ứng suất của dầm 2D-FGSW hai pha đối xứng chịu khối lượng di động

khác xa so với dầm hai pha không đối xứng. Sự phân bố theo chiều cao dầm của

các thành phần ứng suất cũng chịu ảnh hưởng của các mô hình cơ học vi mô.

Hướng nghiên cứu tiếp theo

Kết quả của luận án mới chỉ là bước đầu của NCS trong hướng nghiên cứu này.

Để hiểu thêm ứng xử của kết cấu dầm 2D-FGSW cần nhiều cố gắng hơn nữa. Dưới

đây là một số hướng nghiên cứu cần được phát triển và mở rộng từ Luận án:

1. Dao động phi tuyến của dầm 2D-FGSW. Ứng xử của dầm trong nhiều trường

hợp thực tế vượt qua giới hạn chuyển vị nhỏ hoặc đàn hồi. Để nghiên cứu dao

động tự do và cưỡng bức của dầm 2D-FGSW có tính tới yếu tố phi tuyến cần

phát triển mô hình phần tử dầm phi tuyến và thuật toán lặp. Vấn đề này đòi hỏi

cố gắng nhiều, nhất là khi dầm có cả chuyển vị lớn và biến dạng dẻo.

2. Ảnh hưởng của yếu tố môi trường. Các yếu tố môi trường như nhiệt độ và độ

ẩm làm thay đổi các hệ số đàn hồi của kết cấu, vì thế làm thay đổi ứng xử của

kết cấu. Bên cạnh tải cơ học, nhiệt độ cũng là dạng tải trọng, đóng góp đáng kể

tới ứng xử của kết cấu. Nghiên cứu dao động của dầm 2D-FGSW tính tới ảnh

hưởng của các yếu tố môi trường là bài toán quan trọng, có ý nghĩa thực tiễn

cao.

3. Tải trọng phức tạp. Luận án mới chỉ xét hai dạng tải trọng di động là lực

di động và khối lượng di động. Trên thực tế, kết cấu còn chịu nhiều tải trọng di

động khác nhau như nhiều lực di động, hệ cơ học (sprung-mass system) di động,

nguồn nhiệt di động ... Phát triển mô hình PTHH để nghiên cứu dao động của

dầm 2D-FGSW chịu các loại tải trọng di động nói trên là bài toán quan trọng,

cần được quan tâm nghiên cứu.

125

DANH MỤC CÔNG TRÌNH LIÊN QUAN TỚI LUẬN ÁN

Kết quả của luận án đã được công bố trên một số Tạp chí khoa học Quốc tế và Tạp chí

Quốc gia, cụ thể:

1. Le Thi Ngoc Anh, Nguyen Dinh Kien, Vibration of FGSW under nonuniform

motion of moving load using an efficient third-order shear deformation finite el-

ement formulation, Vietnam Journal of Science and Technology, 2019, 57 (4A),

51-60.

2. Nguyen Van Chinh, Le Cong Ich, Le Thi Ngoc Anh, Nguyen Dinh Kien, Elas-

tostatic bending of a 2D-FGSW beam under nonuniform distributed loads, Viet-

nam Journal of Science and Technology, 2019, 57 (3), 381-400.

3. Le Thi Ngoc Anh, Vu Thi An Ninh, Tran Van Lang, Nguyen Dinh Kien, Free Vi-

bration of bidirectional functionally graded sandwich beams using a first-order

shear deformation finite element formulation, Journal of Science and Technol-

ogy in Civil Engineering, NUCE, 2020, 14 (3), 136–150.

4. Tran Thi Thom, Nguyen Dinh Kien, Le Thi Ngoc Anh, Dynamic responses of

an inclined FGSW beam traveled by a moving mass based on a moving mass

element theory, Vietnam Journal of Mechanics, 2019, 41 (4), 319-336.

5. Vu Thi An Ninh, Le Thi Ngoc Anh, Nguyen Dinh Kien, Free vibration of a

2D-FGSW beam based on a shear deformation theory, Vietnam Journal of Me-

chanics, 2020, 42, 189–205.

6. Dinh Kien Nguyen, An Ninh Thi Vu, Ngoc Anh Thi Le, Vu Nam Pham, Dy-

namic Behavior of a Bidirectional Functionally Graded sandwich beam under

nonuniform motion of a moving load, Shock and Vibration, 2020, Article ID

8854076, 15 pages. (ISI Journal - Q2).

7. Vu Thi An Ninh, Le Thi Ngoc Anh, Nguyen Dinh Kien, Vibation of two-

directional functionally graded sandwich Timoshenko beams traversed by har-

monic load , Vietnam Journal of Science and Technology, 2020, 58 (6), 760-775.

126

8. Cong Ich Le, Ngoc Anh T. Le, Dinh Kien Nguyen, Free vibration and buck-

ling of bidirectional functionally graded sandwich beams using an enriched

third-order shear deformation beam element, Composite Structures, 2020, 261,

113309. https://doi.org/10.1016/j.compstruct.2020.113309 (ISI Journal - Q1).

9. Dinh Kien Nguyen, Thi Thom Tran, Vu Nam Pham, Ngoc Anh Thi Le, Dynamic

analysis of an inclined sandwich beam with bidirectional functionally graded

face sheets under a moving mass, European Journal of Mechanics, A/Solids,

2021, 88, 104276.

https://doi.org/10.1016/j.euromechsol.2021.104276. (ISI Journal - Q1).

10. An Ninh Thi Vu, Ngoc Anh Thi Le, Dinh Kien Nguyen, Dynamic behaviour

of bidirectional functionally graded sandwich beams under a moving mass with

partial foundation supporting effect, Acta Mechanica, 2021, 232(4).

https://doi.org/10.1007/s00707-021-02948-z (ISI Journal - Q1).

11. Le Thi Ngoc Anh, Tran Van Lang, Vu Thi An Ninh, Nguyen Dinh Kien, Dy-

namic analysis of a functionally graded sandwich beam traversed by a moving

mass based on a refined third-order theory, Lecture Notes in Mechanical Engi-

neering, Springer : Modern Mechanics and Applications, LNME, pp. 301–315,

2022.

https://doi.org/10.1007/978-981-16-3239-6_23 (Scopus Journal).

Tài liệu tham khảo

[1] Y. Fukui. Fundamental investigation of functionally graded materials man-

ufacturing system using centrifugal force. Japanese Society of Mechanical

International Journal, Series 3, 34:144–148, 1991.

[2] J. Lambros, M.H. Santare, H. Li, and G.H. Sapna. Experimental Mechanics,

pages 184–190.

[3] Y.-H. Lin and M.W. Trethewey. Finite element analysis of elastic beams sub-

jected to moving dynamic loads. Journal of Sound and Vibration, 136(2):323–

342, 1990.

[4] M. Koizumi. FGM activities in Japan. Composites: Part B, 28:1–4, 1997.

[5] V. Birman and L.W. Byrd. Modeling and analysis of functionally graded ma-

terials and structures. Applied Mechanics Reviews, 60:195–216, 2007.

[6] D.K. Jha, T. Kant, and R.K. Singh. A critical review of recent research on

functionally graded plates. Composite Structures, 96:66–97, 2013.

[7] A. Mahi, E.A. Adda Bedia, A. Tounsi, and I. Mechab. An analytical method

for temperature-dependent free vibration analysis of functionally graded beams

with general boundary conditions. Composite Structures, 92:1877–1887, 2010.

[8] Mori T and Tanaka K. Average stress in the matrix and average elastic energy

of materials with misfitting inclusions. Acta Metall, 21(5):571–74, 1973.

[9] J.R. Zuiker. Functionally graded materials: Choice of micromechanics model

and limitations in property variation. Composite Structures, 5:807–819, 1995.

[10] M.A.R. Loja, J.I. Barbosa, and C.M. Mota Soares. A study on the modeling

of sandwich functionally graded particulate composites. Composite Structures,

94:2209–2217, 2012.

[11] S. Chakraverty and K.K. Pradhan. Vibration of functionally graded beams and

plates. Elsevier, London, U.K., 2016.

127

128

[12] M. Aydogdu and V. Taskin. Free vibration analysis of functionally graded

beams with simply supported edges. Materials and Design, 28:1651–1656,

2007.

[13] M.A. Benatta, I. Mechab, A. Tounsi, and E.A. Adda Bedia. Static analysis

of functionally graded short beams including warping and shear deformation

effects. Computational Materials Science, 44:765–773, 2008.

[14] S.A. Sina, H.M. Navazi, and H. Haddadpour. An analytical method for free vi-

bration analysis of functionally graded beams. Materials and Design, 30:741–

747, 2009.

[15] Y. Huang and X.F. Li. A new approach for free vibration of axially functionally

graded beams with non-uniform cross-section. Journal of Sound and Vibration,

329:2291–2303, 2010.

[16] N. Wattanasakulpong, B.G. Gangadhara, and D.W. Kelly. Thermal buck-

ling and elastic vibration of third-order shear deformable functionally graded

beams. International Journal of Mechanical Science, 53:734–743, 2011.

[17] S.C. Pradhan and S. Chakraverty. Effects of different shear deformation theo-

ries on free vibration of functionally graded beams. International Journal of

Mechanical Science, 82:149–160, 2014.

[18] M. Simsek and T. Kocaturk. Free and forced vibration of a functionally graded

beam subjected to a concentrated moving harmonic load. Composite Struc-

tures, 90:465–473, 2009.

[19] M. Simsek. Vibration analysis of a functionally graded beam under a mov-

ing mass by using differenet beam theory. Composite Structures, 92:904–917,

2010.

[20] M. Simsek, T. Kocaturk, and D. S. Akbas. Dynamic behavior of an axially

functionally graded beam under action of a moving harmonic load. Composite

Structures, 94:2358–2364, 2012.

[21] S.M.R. Khalili, A.A. Jafari, and S.A. Eftekhari. A mixed Ritz-DQ method for

forced vibration of functionally graded beams carrying moving loads. Com-

posite Structures, 92:2497–2511, 2010.

129

[22] K. Rajabi, M.H. Kargarnovin, and M. Gharini. Dynamic analysis of a func-

tionally graded simply supported Euler–Bernoulli beam subjected to a moving

oscillator. Acta Mechanica, 224:425–446, 2013.

[23] Y. Wang and D. Wu. Thermal effect on the dynamic response of axially func-

tionally graded beam subjected to a moving harmonic load. Acta Astronaut,

127:171–181, 2016.

[24] P. Malekzadeh. Two-dimensional in-plane free vibrations of functionally

graded circular arches with temperature-dependent properties. Composite

Structures, 91:38–47, 2009.

[25] P. Malekzadeh, M.R. Golbahar Haghighi, , and M.M. Atashi. Out-of-plane free

vibration of functionally graded circular curved beams in thermal environment.

Composite Structures, 92:541–552, 2010.

[26] A. Shahba and S. Rajasekaran. Free vibration and stability of tapered Euler-

Bernoulli beams made of axially functionally graded. Applied Mathematical

Modelling, pages 683–696, 2011. doi:10.1016/j/apm.2011.09.073.

[27] S. Rajasekaran. Buckling and vibration of axially functionally graded nonuni-

form beams using differential transformation based dynamic stiffness ap-

proach. Meccanica, 48:1053–1070, 2013.

[28] S. Rajasekaran and E.N. Tochaei. Free vibration analysis of axially functionally

graded tapered Timoshenko beams using differential transformation element

method and differential quadrature element method of lowest-order. Mecca-

nica, 49:995–1009, 2014.

[29] D.V. Bambill, C.A. Rossit, and D.H. Felix. Free vibrations of stepped axially

functionally graded Timoshenko beams. Meccanica, 50:1073–1087, 2015.

[30] D. Ghazaryan, V.N. Burlayenko, A. Avetisyan, and A. Bhaskar. Free vibra-

tion analysis of functionally graded beams with non-uniform cross-section us-

ing the differential transform method. Journal of Engineering Mathematics,

110:97–121, 2018.

130

[31] A.E. Alshorbagy, M.A. Eltaher, and F.F. Mahmoud. Free vibration chatacter-

istics of a functionally graded beam by finite element method. Applied Mathe-

matical Modelling, 35:412–425, 2011.

[32] A. Shahba, R. Attarnejad, M. T. Marvi, and S. Hajilar. Free vibration and

stability analysis of axially functionally graded tapered Euler-Bernoulli beams.

Shock and Vibration, 18:683–696, 2011.

[33] A. Shahba, R. Attarnejad, M. T. Marvi, and S. Hajilar. Free vibration and sta-

bility analysis of axially functionally graded tapered Timoshenko beams with

classical and non-classical boundary conditions. Composites: Part B, 42:801–

808, 2011.

[34] M.A. Eltaher, A.E. Alshorbagy, and F.F. Mahmoud. Determination of neu-

tral axis position and its effect on natural frequencies of functionally graded

macro/nanobeams. Composite Structures, 99:193–201, 2013.

[35] M.A. Eltaher, A.A. Abdelrahman, A. Al-Nabawy, M. Khater, and A. Mansour.

Vibration of nonlinear graduation of nano-Timoshenko beam considering the

neutral axis position. Applied Mathematics and Computation, 235:512–529,

2014.

[36] M. Hemmatnezhada, R. Ansarib, and G.H. Rahimic. Large-amplitude free vi-

brations of functionally graded beams by means of a finite element formulation.

Applied Mathematical Modelling, 37:8495–8504, 2013.

[37] B.S. Gan, T.H. Trinh, T.H. Le, and D.K. Nguyen. Dynamic response of non-

uniform Timoshenko beams made of axially FGM subjected to multiple mov-

ing point loads. Structural Engineering Mechanics, 53:981–995, 2015.

[38] Y. Wang and D. Wu. Thermal effect on the dynamic response of axially func-

tionally graded beam subjected to a moving harmonic load. Acta Astronautica,

127:171–181, 2016.

[39] I. Esen, M.A. Koc, and Y. Cay. Finite element formulation and analysis of a

functionally graded Timoshenko beam subjected to an accelerating mass in-

cluding inertial effects of the mass. Latin American Journal of Solids and

Structures, 15:e119, 2018.

131

[40] I. Esen. Dynamic response of a functionally graded Timoshenko beam on

two-parameter elastic foundations due to a variable velocity moving mass. In-

ternational Journal of Mechanical Science, 153–154:21–35, 2019.

[41] I. Esen. Dynamic response of functional graded Timoshenko

beams in a thermal environment subjected to an accelerating

load. European Journal of Mechanics, A-Solid, 78:103841, 2019.

http://dx.doi.org/10.1016/j.ijmecsci.2019.01.033.

[42] P.S. Ghatage, V.R. Kar, and P.E. Sudhagar. On the numerical modelling and

analysis of multi-directional f2020unctionally graded composite structures: A

review. Composite Structures, 236:111837, 2020.

[43] C.F. Lu, W.Q. Chen, R.Q. Xu, and C.W. Lim. Semi-analytical elasticity so-

lutions for bi-directional functionally graded beams. International Journal of

Solids and Structures, 45(1):258–275, 2008.

[44] M. Simsek. Bi-directional functionally graded materials (BDFGMs) for free

and forced vibration of Timoshenko beams with various boundary conditions.


[45] Z. Wang, X. Wang, G. Xu, S. Cheng, and T. Zeng. Free vibration of two-

directional functionally graded beams. Composite structures, 135:191–198,

2016.

[46] H. Deng and W. Cheng. Dynamic characteristics analysis of bi-directional

functionally graded timoshenko beams. Composite Structures, 141:253–263,

2016.

[47] M. Lezgy-Nazargah. Fully coupled thermo-mechanical analysis of bi-

directional FGM beams using NURBS isogeometric finite element approach.

Aerospace Science and Technology, 45:154–164, 2015.

[48] T.A. Huynh, X.Q. Lieu, and J. Lee. NURBS-based modeling of bidirectional

functionally graded Timoshenko beams for free vibration problem. Composite

Structures, 160:1178–1190, 2017.

132

[49] T.-T. Nguyen and J. Lee. Flexural-torsional vibration and buckling of thin-

walled bi-directional functionally graded beams. Composites Part B: Engi-

neering, 154:351–362, 2018.

[50] A. Heydari and A. Jalali. A new scheme for buckling analysis of bidirectional

functionally graded Euler beam having arbitrary thickness variation rested on

Hetenyi elastic foundation. Modares Mechanical Engineering, 17(1):47–55,

2017.

[51] N.I. Kim, T.A. Huynh, Q.X. Lieu, and J. Lee. Nurbs-based optimization of

natural frequencies for bidirectional functionally graded beams. Archives of

Mechanics, 70(4), 2018.

[52] N. Shafiei and M. Kazemi. Buckling analysis on the bi-dimensional function-

ally graded porous tapered nano-/micro-scale beams. Aerospace Science and

Technology, 66:1–11, 2017.

[53] N. Shafiei, S.S. Mirjavadi, B. Mohasel Afshari, S. Rabby, and M. Kazemi.

Vibration of two-dimensional imperfect functionally graded (2D-FG) porous

nano-/micro-beams. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineer-

ing, 322:615–632, 2017.

[54] A. Karamanlı. Elastostatic analysis of two-directional functionally graded

beams using various beam theories and symmetric smoothed particle hydro-

dynamics method. Composite Structures, 160:653–669, 2017.

[55] A. Karamanlı. Free vibration analysis of two directional functionally graded

beams using a third order shear deformation theory. Composite Structures,

189:127–136, 2018.

[56] Y. Yang, K. Kunpang, C. Lam, and V. Iu. Dynamic behaviors of tapered bi-

directional functionally graded beams with various boundary conditions under

action of a moving harmonic load. Engineering Analysis with Boundary Ele-

ments, 104:225–239, 2019.

[57] W.-R. Chen and H. Chang. Vibration analysis of bidirectional functionally

graded Timoshenko beams using Chebyshev collocation method. International

Journal of Structural Stability and Dynamics, page 2150009, 2020.

133

[58] N.V. Viet, W. Zaki, and Q. Wang. Free vibration characteristics of sectioned

unidirectional/bidirectional functionally graded material cantilever beams

based on finite element analysis. Applied Mathematics and Mechanics, pages

1–18, 2020.

[59] T. Yang, Y. Tang, Q. Li, and X.-D. Yang. Nonlinear bending, buckling and

vibration of bi-directional functionally graded nanobeams. Composite Struc-

tures, 204:313–319, 2018.

[60] Y. Tang, X. Lv, and T. Yang. Bi-directional functionally graded beams: asym-

metric modes and nonlinear free vibration. Composites Part B: Engineering,

156:319–331, 2019.

[61] H.B. Khaniki and S. Rajasekaran. Mechanical analysis of non-uniform bi-

directional functionally graded intelligent micro-beams using modified couple

stress theory. Materials Research Express, 5(5):055703, 2018.

[62] S. Rajasekaran and Khaniki H.B. Free vibration analysis of bi-directional func-

tionally graded single/multi-cracked beams. International Journal of Mechan-

ical Sciences, 144:341–356, 2018.

[63] S. Rajasekaran and H.B. Khaniki. Size-dependent forced vibration of non-

uniform bi-directional functionally graded beams embedded in variable elastic

environment carrying a moving harmonic mass. Applied Mathematical Mod-

elling, 72:129–154, 2019.

[64] T.P. Vo, H.-T. Thai, T.-K. Nguyen, A. Maheri, and J. Lee. Finite element model

for vibration and buckling of functionally graded sandwich beams based on a

refined shear deformation theory. Engineering Structutures, 64:12–22, 2014.

[65] T.P. Vo, H.-T. Thai, T.-K. Nguyen, F. Inam, and J. Lee. A quasi-3D theory

for vibration and buckling of functionally graded sandwich beams. Composite

Structures, 119:1–12, 2015.

[66] A.S. Sayyad and Y.M. Ghugal. Modeling and analysis of functionally graded

sandwich beams: A review. Mechanics of Advanced Materials and Structures,

26(21):1776–1795, 2019.

134

[67] A. Chakraborty, S. Gopalakrishnan, and J. N. Reddy. A new beam finite ele-

ment for the analysis of functionally graded materials. International Journal

of Mechanical Science, 45:519–539, 2003.

[68] N. A. Apetre, B. V. Sankar, and D. R. Ambur. Analytical modeling of sand-

wich beams with functionally graded core. Journal of Sandwich Structures and

Materials, 10:53–74, 2008.

[69] O. Rahmani, S. M. R. Khalili, K. Malekzadeh, and H. Hadavinia. Free vibration

analysis of sandwich structures with a flexible functionally graded syntactic

core. Composite Structures, 91:229–235, 2009.

[70] S.C. Pradhan and T. Murmu. Thermo-mechanical vibration of an fgm sandwich

beam under variable elastic foundations using differential quadrature method.

Sound and Vibration, 321:342–362, 2009.

[71] N. Gardner, E. Wang, and A. Shukla. Performance of functionally graded

sandwich composite beams under shock wave loading. Composite Structures,

94(5):1755–1770, 2012.

[72] A.R. Setoodeh, M. Ghorbanzadeh, and P. Malekzadeh. A two-dimensional

free vibration analysis of functionally graded sandwich beams under thermal

environment. Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers, Part C:

Journal of Mechanical Engineering Science, 226(12):2860–2873, 2012.

[73] M. Bı^rsan, T. Sadowski, L. Marsavina, E. Linul, and D. Pietras. Mechanical

behavior of sandwich composite beams made of foams and functionally graded

materials. International Journal of Solids and Structures, 50(3-4):519–530,

2013.

[74] A.M. Zenkour, M.N.M. Allam, and M. Sobhy. Bending analysis of FG vis-

coelastic sandwich beams with elastic cores resting on Pasternak’s elastic foun-

dations. Acta Mechanica, 212:233–252, 2010.

[75] Z. Su, G. Jin, Y. Wang, and X. Ye. A general fourier formulation for vibra-

tion analysis of functionally graded sandwich beams with arbitrary boundary

condition and resting on elastic foundations. Acta Mechanica, 227:1493–1514,

2016.

135

[76] Y. Cunedioglu. Free vibration analysis of edge cracked symmetric functionally

graded sandwich beams. Structural Engineering and Mechanics, 56(6):1003–

1020, 2015.

[77] M.C. Amirani, S.M.R Khalili, and N. Nemati. Free vibration analysis of sand-

wich beam with FG core using the element free galerkin method. Composite

Structures, 90:373–379, 2009.

[78] Y. Yang, C. C. Lam, K. P. Kou, and V. P. Iu. Free vibration analysis of the

functionally graded sandwich beams by a meshfree boundary-domain integral

equation method. Composite Structures, 117:32–39, 2014.

[79] T.P. Vo, H.-T. Thai, T.-K. Nguyen, F. Inam, and J. Lee. Static behaviour of

functionally graded sandwich beams using a quasi-3D theory. Composites Part

B, 68:59–74, 2015.

[80] A.I. Osofero, T.P.Vo, T.-K. Nguyen, and J. Lee. Analytical solution for vibra-

tion and buckling of functionally graded sandwich beams using various quasi-

3D theories. Journal of Sandwich Structures & Materials, 18(1):3–29, 2016.

[81] S.C. Mohanty, R.R. Dash, and T. Rout. Parametric instability of a functionally

graded Timoshenko beam on Winkler’s elastic foundation. Nuclear Engineer-

ing and Design, 241(8):2698–2715, 2011.

[82] R. Bennai, H. I. Atmane, and A. Tounsi. A new higher-order shear and nor-

mal deformation theory for functionally graded sandwich beams. Steel and


[83] K. Bouakkaz, L. Hadji, N. Zouatnia, and E.A. Adda Bedia. An analytical

method for free vibration analysis of functionally graded sandwich beams.

Wind and Structures, 23(1):59–73, 2016.

[84] L.C. Trinh, T.P. Vo, A.I.Osofero, and J. Lee. Fundamental frequency analy-

sis of functionally graded sandwich beams based on the state space approach.


[85] P. Tossapanon and N. Wattanasakulpong. Stability and free vibration of func-

tionally graded sandwich beams resting on two-parameter elastic foundation.


136

[86] J. Yarasca, J. Mantari, and R. Arciniega. Hermite–lagrangian finite element

formulation to study functionally graded sandwich beams. Composite Struc-

tures, 140:567–581, 2016.

[87] T.Q. Bui, A. Khosravifard, Ch. Zhang, M.R. Hematiyan, and M.V. Golub. Dy-

namic analysis of sandwich beams with functionally graded core using a truly

meshfree radial point interpolation method. Engineering structures, 47:90–

104, 2013.

[88] M. Simsek and M. Al-shujairi. Static, free and forced vibration of function-

ally graded (FG) sandwich beams excited by two successive moving harmonic

loads. Composites Part B, 108:18–34, 2017.

[89] S.D. Akbas. Forced vibration analysis of functionally graded sandwich deep

beams. Coupled Systems Mechanics, 8(3):259–271, 2019.

[90] W. Songsuwan, M. Pimsarn, and N. Wattanasakulpong. Dynamic responses of

functionally graded sandwich beams resting on elastic foundation under har-

monic moving loads. International Journal of Structural Stability and Dynam-

ics, 18:1850112, 2018. https://doi.org/10.1142/S0219455418501122.

[91] Y. Wang, A. Zhou, T. Fu, and Zhang W. Transient response of a sandwich beam

with functionally graded porous core traversed by a non-uniformly distributed

moving mass. International Journal of Mechanics and Materials in Design,

16(3):519–540, 2020.

[92] M. Rezaiee-Pajand, A.R. Masoodi, and M. Mokhtari. Static analysis of func-

tionally graded non-prismatic sandwich beams. Advances in Computational

Design, 3(2):165–190, 2018.

[93] Y. Liu, S. Su, H. Huang, and Y. Liang. Thermal-mechanical coupling buck-

ling analysis of porous functionally graded sandwich beams based on physical

neutral plane. Composites Part B: Engineering, 168:236–242, 2019.

[94] W. Li, H. Ma, and W. Gao. A higher-order shear deformable mixed beam

element model for accurate analysis of functionally graded sandwich beams.

Composite Structures, 221:110830, 2019.

137

[95] A.S. Sayyad and Y.M. Ghugal. A unified five-degree-of-freedom theory

for the bending analysis of softcore and hardcore functionally graded sand-

wich beams and plates. Journal of Sandwich Structures & Materials,

23:1099636219840980, 2019. https://doi.org/10.1177/1099636219840980.

[96] A. Karamanlı. Bending behaviour of two directional functionally graded sand-

wich beams by using a quasi-3d shear deformation theory. Composite Struc-

tures, 174:70–86, 2017.

[97] Lê Thị Hà. Phân tích dầm FGM có mặt cắt ngang thay đổi chịu tải trọng di

động. Luận án Tiến sĩ, Học viện Khoa học và Công nghệ, VAST, Hà Nội, 2015.

[98] Bùi Văn Tuyển. Dao động của dầm FGM có lỗ rỗng vi mô trong môi trường

nhiệt độ chịu tải trọng di động. Luận án Tiến sĩ, Học viện Khoa học và Công

nghệ, VAST, Hà Nội, 2018.

[99] Trần Thị Thơm. Mô hình phần tử hữu hạn trong phân tích dao động của dầm

có cơ tính biến đổi theo hai chiều. Luận án Tiến sĩ, Học viện Khoa học và Công

nghệ, VAST, Hà Nội, 2019.

[100] Nguyễn Ngọc Huyên. Phân tích dao động và chẩn đoán vết nứt dầm FGM.

Luận án Tiến sĩ, Học viện Khoa học và Công nghệ, VAST, Hà Nội, 2017.

[101] Ngô Trọng Đức. Phân tích dầm Timoshenko có nhiều vết nứt bằng vật liệu cơ

tính biến thiên (FGM) và ứng dụng vào nhận dạng tham số. Luận án Tiến sĩ,

Trường Đại học Xây dựng, Hà Nội, 2018.

[102] Nguyễn Bá Duy. Analysis of functionally graded sandwich beams under hygro-

thermo-mechanical loads. Luận án Tiến sĩ, Đại học Sư phạm Kỹ thuật, Thành

phố Hồ Chí Minh, 2019.

[103] T.-K. Nguyen, T.-P. Nguyen, T.P. Vo, and H.-T. Thai. Vibration and buckling

analysis of functionally graded sandwich beams by a new higher-order shear

deformation theory. Composites Part B, 76:273–285, 2015.

[104] T.-K. Nguyen, T.P. Vo, and H.-T. Thai. Static and free vibration of axially

loaded functionally graded beams based on the first-order shear deformation

theory. Composites Part B: Engineering, 55:147–157, 2013.

138

[105] T.-K. Nguyen, T.P. Vo, B.-D. Nguyen, and J. Lee. An analytical solution for

buckling and vibration analysis of functionally graded sandwich beams using a

quasi-3D shear deformation theory. Composite Structures, 156:238–252, 2016.

[106] T.-K. Nguyen and B.-D. Nguyen. A new higher-order shear deformation theory

for static, buckling and free vibration analysis of functionally graded sandwich

beams. Journal of Sandwich Structures & Materials, 17(6):613–631, 2015.

[107] T.-K. Nguyen, B.-D. Nguyen, T.P. Vo, and H.-T. Thai. Hygro-thermal effects

on vibration and thermal buckling behaviours of functionally graded beams.


[108] N.T. Khiem and N.N. Huyen. A method for crack identification in functionally

graded Timoshenko beam. Nondestructive Testing and Evaluation, 32(3):319–

341, 2017.

[109] N.T. Khiem, H.T. Tran, and D. Nam. Modal analysis of cracked continuous tim-

oshenko beam made of functionally graded material. Mechanics Based Design

of Structures and Machines, 48(4):459–479, 2020.

[110] T.V. Lien, N.T. Duc, and N.T. Khiem. Mode shape analysis of multiple cracked

functionally graded timoshenko beams. Latin American Journal of Solids and

Structures, 14(7):1327–1344, 2017.

[111] T.V. Lien, N.T. Duc, and N.T. Khiem. Free and forced vibration analysis of

multiple cracked FGM multi span continuous beams using dynamic stiffness

method. Latin American Journal of Solids and Structures, 16(2), 2019.

[112] D.K. Nguyen. Large displacement response of tapered cantilever beams made

of axially functionally graded material. Composites Part B: Engineering,

55:298–305, 2013.

[113] D.K. Nguyen. Large displacement behaviour of tapered cantilever euler–

bernoulli beams made of functionally graded material. Applied Mathematics

and Computation, 237:340–355, 2014.

[114] D.K. Nguyen and B.S. Gan. Large deflections of tapered functionally graded

beams subjected to end forces. Applied Mathematical Modelling, 38(11-

12):3054–3066, 2014.

139

[115] D.K. Nguyen, B.S. Gan, and T.H. Trinh. Geometrically nonlinear analysis of

planar beam and frame structures made of functionally graded material. Struc-

tural Engineering and Mechanics, 49(6):727–743, 2014.

[116] D.K. Nguyen, K.V. Nguyen, V.M. Dinh, B.S. Gan, and S. Alexandrov. Non-

linear bending of elastoplastic functionally graded ceramic-metal beams sub-

jected to nonuniform distributed loads. Applied Mathematics and Computa-

tion, 333:443–459, 2018.

[117] D.K. Nguyen, B.S. Gan, and T.H. Le. Dynamic response of non-uniform func-

tionally graded beams subjected to a variable speed moving load. Journal of

Computational Science and Technology, 7(1):12–27, 2013.

[118] D.K. Nguyen and V.T. Bui. Dynamic analysis of functionally graded Timo-

shenko beams in thermal environment using a higher-order hierarchical beam

element. Mathematical Problems in Engineering, Article ID 7025750, 2017.

https://doi.org/10.1155/2017/7025750.

[119] D.K. Nguyen, Q.H. Nguyen, T.T. Tran, and V.T. Bui. Vibration of bi-

dimensional functionally graded Timoshenko beams excited by a moving load.

Acta Mechanica, 228(1):141–155, 2017.

[120] D.K. Nguyen and T.T. Tran. Free vibration of tapered BFGM beams using an

efficient shear deformable finite element model. Steel and Composite Struc-

tures, 29(3):363–377, 2018.

[121] D.K. Nguyen and T.T. Tran. A corotational formulation for large displacement

analysis of functionally graded sandwich beam and frame structures. Mathe-

matical Problems in Engineering, 2016, 2016.

[122] V.N. Pham, D.K. Nguyen, and B.S. Gan. Vibration analysis of two-directional

functionally graded sandwich beams using a shear deformable finite element

formulation. Advances in Technology Innovation, 4:152–164, 2019.

[123] C.I. Le, N.A.T. Le, and D.K. Nguyen. Free vibration and buckling of bidi-

rectional functionally graded sandwich beams using an enriched third-order

shear deformation beam element. Composite Structures, 261261:113309, 2020.

https://doi.org/10.1016/j.compstruct.2020.113309.

140

[124] D.K. Nguyen, T.T. Tran, V.N. Pham, and N.A. Le. Dynamic analysis of an in-

clined sandwich beam with bidirectional functionally graded face sheets under

a moving mass. European Journal of Mechanics-A/Solids, 88:104276, 2021.

https://doi.org/10.1016/j.euromechsol.2021.104276.

[125] A.N.T. Vu, , N.A. Le, and D.K. Nguyen. Dynamic behaviour of bidi-

rectional functionally graded sandwich beams under a moving mass with

partial foundation supporting effect. Acta Mechanica, 232(4), 2021.

https://doi.org/10.1007/s00707-021-02948-z.

[126] G. Shi. A new simple third-order shear deformation theory of plates. Interna-

tional Journal of Solids and Structures, 44:4399–417, 2007.

[127] R.P. Shimpi and H.G. Patel. Free vibrations of plate using two variable refined

plate theory. Journal of Sound and Vibration, 296(4-5):979–99, 2006.

[128] M. Nemat-Alla, K.I.E. Ahmed, and I. Hassab-Allah. Elastic-plastic analysis of

two-dimensional functionally graded materials under thermal loading. Inter-

national Journal of Solids and Structures, 46:2774–86, 2009.

[129] G. Shi, K.Y. Lam, and T.E. Tay. On efficient finite element modeling of com-

posite beams and plates using higher-order theories and an accurate composite

beam element. Composite Structures, 41:159–165, 1998.

[130] G. Shi and K.Y. Lam. Finite element vibration analysis of composite beams

based on higher-order beam theory. Journal of Sound and Vibration, 219:707–

721, 1999.

[131] S.C. Dutta and R. Roy. A critical review on idealization and modeling for in-

teraction among soil–foundation–structure system. Computers and Structures,

80:1579–1594, 2002.

[132] M. Géradin and R. Rixen. Mechanical Vibrations, Theory and Application to

Structural Dynamics. Wiley, Chichester, 2nd edition, 1997.

[133] R.D. Cook, D.S. Malkus, and M.E. Plesha. Concepts and applications of finite

element analysis. John Wiley & Sons, New York, 4rd edition, 2002.

141

[134] J.B. Kosmatka. An improve two-node finite element for stability and nat-

ural frequencies of axial-loaded Timoshenko beams. Computers Structures,

57:141–149, 1995.

[135] A. Chakraborty, S. Gopalakrishman, and J.N. Reddy. A new beam finite ele-

ment for the analysis of functionally graded materials. International Journal

of Mechanical Science, 45:519–539, 2003.

[136] O.C. Zienkiewicz and R.L. Taylor. The finite element method. Mc Graw-Hill

Book Company, London, 1997.

[137] P. Solín. Partial differential equations and the finite element method. John

Wiley & Sons Inc., Hoboken, 2006.

[138] L. Frýba. Vibration of solids and structures under moving loads. Thomas

Telford, London, 1999.

[139] N.M. Newmark. A method of computation for structural dynamics. Journal of

the Engineering Mechanics Division, 85(EM3):67–94, 1959.

[140] M. Olsson. On the fundamental moving load problem. Journal of Sound and

Vibration, 145:299–307, 1991.

[141] Q. Song, J. Shi, and Z. Liu. Vibration analysis of functionally graded plate with

a moving mass. Applied Mathematical Modelling, 46:141–160, 2017.

Phụ Lục

Phụ lục A

Biểu thức cho các độ cứng thành phần AM1i j ,AM2

i j ,AM1M2i j ,AM2M3

i j của dầm 2D-

FGSW ba pha trong phương trình (2.21)

AM111 = (z2 − z1)bE1, AM2

11 = (z1 − z0 + z3 − z2)bE2,

AM1M211 =

(z1 − z0 + z3 − z2)

nz +1bE12, AM2M3

11 =(z1 − z0 + z3 − z2)nz

nz +1bE23.

(A.1)

AM112 =

z22 − z2

1

2bE1, AM2

12 =z2

1 − z20 + z2

3 − z22

2bE2,

AM1M212 =

[

z0(z1 − z0)− z3(z2 − z3)

nz +1+

(z1 − z0)2 − (z2 − z3)

2

nz +2

]

bE12,

AM2M312 =

[

z21 − z2

0 + z22 − z2

3

2−

z0(z1 − z0)− z3(z2 − z3)

nz +1−

(z1 − z0)2 − (z2 − z3)

2

nz +2

]

bE23.

(A.2)

AM122 =

z32 − z3

1

3bE1, AM2

22 =z3

1 − z30 + z3

3 − z32

3bE2,

AM1M222 =

[

z20(z1 − z0)− z2

3(z2 − z3)

nz +1+2

z0(z1 − z0)2 − z3(z2 − z3)

2

nz +2

+(z1 − z0)

3 − (z2 − z3)3

nz +3

]

bE12,

AM2M322 =

[

z31 − z3

0 + z33 − z3

2

3−

z20(z1 − z0)− z2

3(z2 − z3)

nz +1

−2z0(z1 − z0)

2 − z3(z2 − z3)2

nz +2−

(z1 − z0)3 − (z2 − z3)

3

nz +3

]

bE23.

(A.3)

142

143

AM134 =

z42 − z4

1

4bE1, AM2

34 =z4

1 − z40 + z4

3 − z42

4bE2,

AM1M234 =

[

z30(z1 − z0)− z3

3(z2 − z3)

nz +1+3

z20(z1 − z0)

2 − z23(z2 − z3)

2

nz +2

+3z0(z1 − z0)

3 − z3(z2 − z3)3

nz +3+3

(z1 − z0)4 − (z2 − z3)

4

nz +4

]

bE12,

AM2M334 =

[

z41 − z4

0 + z43 − z4

2

4−

z30(z1 − z0)− z3

3(z2 − z3)

nz +1−3

z20(z1 − z0)

2 − z23(z2 − z3)

2

nz +2

−3z0(z1 − z0)

3 − z3(z2 − z3)3

nz +3−

(z1 − z0)4 − (z2 − z3)

4

nz +4

]

bE23.

(A.4)

AM144 =

z52 − z5

1

5bE1, AM2

44 =z5

1 − z50 + z5

3 − z52

5bE2,

AM1M244 =

[

z40(z1 − z0)− z4

3(z2 − z3)

nz +1+4

z30(z1 − z0)

2 − z33(z2 − z3)

2

nz +2

+6z2

0(z1 − z0)3 − z2

3(z2 − z3)3

nz +3+4

z0(z1 − z0)4 − z3(z2 − z3)

4

nz +4

+(z1 − z0)

5 − (z2 − z3)5

nz +5

]

bE12,

AM2M344 =

[

z51 − z5

0 + z53 − z5

2

5−

z40(z1 − z0)− z4

3(z2 − z3)

nz +1−4

z30(z1 − z0)

2 − z33(z2 − z3)

2

nz +2

−6z2

0(z1 − z0)3 − z2

3(z2 − z3)3

nz +3−4

z0(z1 − z0)4 − z3(z2 − z3)

4

nz +4

−(z1 − z0)

5 − (z2 − z3)5

nz +5

]

bE23.

(A.5)

144

AM166 =

z72 − z7

1

7bE1, AM2

66 =z7

1 − z70 + z7

3 − z72

7bE2,

AM1M266 =

[

z60(z1 − z0)− z6

3(z2 − z3)

nz +1+6

z50(z1 − z0)

2 − z53(z2 − z3)

2

nz +2

+15z4

0(z1 − z0)3 − z4

3(z2 − z3)3

nz +3+20

z30(z1 − z0)

4 − z33(z2 − z3)

4

nz +4

+15z2

0(z1 − z0)5 − z2

3(z2 − z3)5

nz +5+6

z0(z1 − z0)6 − z3(z2 − z3)

6

nz +6

+(z1 − z0)

7 − (z2 − z3)7

nz +7

]

bE12,

AM2M366 =

[

z71 − z7

0 + z73 − z7

2

7−

z60(z1 − z0)− z6

3(z2 − z3)

nz +1−6

z50(z1 − z0)

2 − z53(z2 − z3)

2

nz +2

−15z4

0(z1 − z0)3 − z4

3(z2 − z3)3

nz +3−20

z30(z1 − z0)

4 − z33(z2 − z3)

4

nz +4

−15z2

0(z1 − z0)5 − z2

3(z2 − z3)5

nz +5−6

z0(z1 − z0)6 − z3(z2 − z3)

6

nz +6

−(z1 − z0)

7 − (z2 − z3)7

nz +7

]

bE23.

(A.6)

BM111 = (z2 − z1)bG1, BM2

11 = (z1 − z0 + z3 − z2)bG2,

BM1M211 =

(z1 − z0 + z3 − z2)

nz +1bG12, BM2M3

11 =(z1 − z0 + z3 − z2)nz

nz +1bG23.

(A.7)

BM122 =

z32 − z3

1

3bG1, BM2

22 =z3

1 − z30 + z3

3 − z32

3bG2,

BM1M222 =

[

z20(z1 − z0)− z2

3(z2 − z3)

nz +1+2

z0(z1 − z0)2 − z3(z2 − z3)

2

nz +2

+(z1 − z0)

3 − (z2 − z3)3

nz +3

]

bG12,

BM2M322 =

[

z31 − z3

0 + z33 − z3

2

3−

z20(z1 − z0)− z2

3(z2 − z3)

nz +1

−2z0(z1 − z0)

2 − z3(z2 − z3)2

nz +2−

(z1 − z0)3 − (z2 − z3)

3

nz +3

]

bG23.

(A.8)

145

BM144 =

z52 − z5

1

5bG1, BM2

44 =z5

1 − z50 + z5

3 − z52

5bG2,

BM1M244 =

[

z40(z1 − z0)− z4

3(z2 − z3)

nz +1+4

z30(z1 − z0)

2 − z33(z2 − z3)

2

nz +2

+6z2

0(z1 − z0)3 − z2

3(z2 − z3)3

nz +3+4

z0(z1 − z0)4 − z3(z2 − z3)

4

nz +4

+(z1 − z0)

5 − (z2 − z3)5

nz +5

]

bG12,

BM2M344 =

[

z51 − z5

0 + z53 − z5

2

5−

z40(z1 − z0)− z4

3(z2 − z3)

nz +1−4

z30(z1 − z0)

2 − z33(z2 − z3)

2

nz +2

−6z2

0(z1 − z0)3 − z2

3(z2 − z3)3

nz +3−4

z0(z1 − z0)4 − z3(z2 − z3)

4

nz +4

−(z1 − z0)

5 − (z2 − z3)5

nz +5

]

bG23.

(A.9)

trong đó E12 = E1 −E2, E23 = E2 −E3, G12 = G1 −G2, G23 = G2 −G3.

Phụ lục B

Biểu thức cho các mô-men khối lượng thành phần IM1i j , IM2

i j , IM1M2i j và IM2M3

i j

của dầm 2D-FGSW ba pha trong phương trình (2.24)

IM111 = (z2 − z1)bρ1, IM2

11 = (z1 − z0 + z3 − z2)bρ2

IM1M211 =

(z1 − z0 + z3 − z2)

nz +1bρ12, IM2M3

11 =(z1 − z0 + z3 − z2)nz

nz +1bρ23

(B.1)

IM112 =

z22 − z2

1

2bρ1, IM2

12 =z2

1 − z20 + z2

3 − z22

2bρ2,

IM1M212 =

[

z0(z1 − z0)− z3(z2 − z3)

nz +1+

(z1 − z0)2 − (z2 − z3)

2

nz +2

]

bρ12,

IM2M312 =

[

z21 − z2

0 + z22 − z2

3

2−

z0(z1 − z0)− z3(z2 − z3)

nz +1−

(z1 − z0)2 − (z2 − z3)

2

nz +2

]

bρ23.

(B.2)

146

IM122 =

z32 − z3

1

3bρ1, IM2

22 =z3

1 − z30 + z3

3 − z32

3bρ2,

IM1M222 =

[

z20(z1 − z0)− z2

3(z2 − z3)

nz +1+2

z0(z1 − z0)2 − z3(z2 − z3)

2

nz +2

+(z1 − z0)

3 − (z2 − z3)3

nz +3

]

bρ12,

IM2M322 =

[

z31 − z3

0 + z33 − z3

2

3−

z20(z1 − z0)− z2

3(z2 − z3)

nz +1

−2z0(z1 − z0)

2 − z3(z2 − z3)2

nz +2−

(z1 − z0)3 − (z2 − z3)

3

nz +3

]

bρ23.

(B.3)

IM134 =

z42 − z4

1

4bρ1, IM2

34 =z4

1 − z40 + z4

3 − z42

4bρ2,

IM1M234 =

[

z30(z1 − z0)− z3

3(z2 − z3)

nz +1+3

z20(z1 − z0)

2 − z23(z2 − z3)

2

nz +2

+3z0(z1 − z0)

3 − z3(z2 − z3)3

nz +3+3

(z1 − z0)4 − (z2 − z3)

4

nz +4

]

bρ12,

IM2M334 =

[

z41 − z4

0 + z43 − z4

2

4−

z30(z1 − z0)− z3

3(z2 − z3)

nz +1−3

z20(z1 − z0)

2 − z23(z2 − z3)

2

nz +2

−3z0(z1 − z0)

3 − z3(z2 − z3)3

nz +3−

(z1 − z0)4 − (z2 − z3)

4

nz +4

]

bρ23.

(B.4)

147

IM144 =

z52 − z5

1

5bρ1, IM2

44 =z5

1 − z50 + z5

3 − z52

5bρ2,

IM1M244 =

[

z40(z1 − z0)− z4

3(z2 − z3)

nz +1+4

z30(z1 − z0)

2 − z33(z2 − z3)

2

nz +2

+6z2

0(z1 − z0)3 − z2

3(z2 − z3)3

nz +3+4

z0(z1 − z0)4 − z3(z2 − z3)

4

nz +4

+(z1 − z0)

5 − (z2 − z3)5

nz +5

]

bρ12,

IM2M344 =

[

z51 − z5

0 + z53 − z5

2

5−

z40(z1 − z0)− z4

3(z2 − z3)

nz +1−4

z30(z1 − z0)

2 − z33(z2 − z3)

2

nz +2

−6z2

0(z1 − z0)3 − z2

3(z2 − z3)3

nz +3−4

z0(z1 − z0)4 − z3(z2 − z3)

4

nz +4

−(z1 − z0)

5 − (z2 − z3)5

nz +5

]

bρ23.

(B.5)

IM166 =

z72 − z7

1

7bρ1, IM2

66 =z7

1 − z70 + z7

3 − z72

7bρ2,

IM1M266 =

[

z60(z1 − z0)− z6

3(z2 − z3)

nz +1+6

z50(z1 − z0)

2 − z53(z2 − z3)

2

nz +2

+15z4

0(z1 − z0)3 − z4

3(z2 − z3)3

nz +3+20

z30(z1 − z0)

4 − z33(z2 − z3)

4

nz +4

+15z2

0(z1 − z0)5 − z2

3(z2 − z3)5

nz +5+6

z0(z1 − z0)6 − z3(z2 − z3)

6

nz +6

+(z1 − z0)

7 − (z2 − z3)7

nz +7

]

bρ12,

IM2M366 =

[

z71 − z7

0 + z73 − z7

2

7−

z60(z1 − z0)− z6

3(z2 − z3)

nz +1−6

z50(z1 − z0)

2 − z53(z2 − z3)

2

nz +2

−15z4

0(z1 − z0)3 − z4

3(z2 − z3)3

nz +3−20

z30(z1 − z0)

4 − z33(z2 − z3)

4

nz +4

−15z2

0(z1 − z0)5 − z2

3(z2 − z3)5

nz +5−6

z0(z1 − z0)6 − z3(z2 − z3)

6

nz +6

−(z1 − z0)

7 − (z2 − z3)7

nz +7

]

bρ23.

(B.6)

148

với ρ12 = ρ1 −ρ2, ρ23 = ρ2 −ρ3.

MÔ HÌNH PHẦN TỬ HỮU HẠN TRONG PHÂN TÍCH KẾT CẤU ...

Documents