Lois de Comportement MMC Thomas Gomez LML 2017-2018 // thomas.gomez@univ- lille1.fr 1/51 Outline I 1 Loi de comportement 2 Comportements de base 3 Les constantes élastiques 4 Au delà du comportement élastique 5 Loi de rhéologie pour les fluides Fluides de Stokes Fluides Newtoniens Fluides non Newtonien // thomas.gomez@univ- lille1.fr 2/51 Loi de comportement Définition ⌘ lien entre les grandeurs cinématiques (vecteurs déplacements, tenseur des déformations) et les grandeurs dynamiques (tenseurs des contraintes) - Non universel Solide indéformable : la donnée des efforts extérieurs déterminent les 6 ddls inconnus du mouvement. Solide déformable : bp plus d’inconnues -! vecteur déplacement, tenseur des déformations, tenseurs des contraintes. Loi de comportement = ) resoudre le pb de fermeture Loi de comportement// thomas.gomez@univ- lille1.fr 3/51 Problème de fermeture Définition Inconnues : Densité ⇢, Déplacements u i , Déformations ✏ ij et Contraintes σ ij Lois universelles : Conservation de la masse @t ⇢ + @j (⇢vj )=0 Lois d’équilibre : Conservation de la quantité de mouvement ⇢γ i = ⇢f i + @ j (σ ij ) Conservation de l’énergie Définition des déformations (HPP) : ✏ij = 1 2 (@j ui + @i uj ) La loi de comportement est une loi non universelle - Relations entre les grandeurs dynamiques et les grandeurs cinématiques f (σ ij ,u i , ✏ ij , ...)=0 Loi de comportement// thomas.gomez@univ- lille1.fr 4/51
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Définition⌘ lien entre les grandeurs cinématiques (vecteurs déplacements,tenseur des déformations) et les grandeurs dynamiques (tenseurs descontraintes) - Non universelSolide indéformable : la donnée des efforts extérieurs déterminent les 6ddls inconnus du mouvement.Solide déformable : bp plus d’inconnues �! vecteur déplacement,tenseur des déformations, tenseurs des contraintes.Loi de comportement =) resoudre le pb de fermeture
Viscosité1687 : Isaac Newton évoque les liquideset les écoulements sous cisaillementdans ses "Principia" :"The resistance which arises from thelack of slipperiness of the parts of theliquid, other things being equal, isproportional to the velocity with whichthe parts of the liquid are separated fromone another."Loi de Newton : T = ⌘ dy
DéfinitionUn milieu est dit élastique si l’état de contrainte actuel est entièrementdéterminé par le gradient de la transformation à l’instant actuel et non par sonhistoire passée
���(x, t) = L⌦0
(F (X, t))
PropriétésLe comportement ne dépend pas de la vitesse de sollicitation.La forme de la loi dépend à priori de la configuration de référence choisie⌦0.
Cas orthotropeDéfinition : les propriétés élastiques présentent une symétrie selon troisplans perpendiculaires.Remarque : Un modèle isotrope transverse est automatiquementorthotrope (mais l’inverse n’est pas vrai)Exemple : tissus 2D ou 3D orthogonaux.Cas orthotrope : 9 coefficients indépendants
Cas isotropeDéfinition : propriétés du matériau sont supposées identiques dans toutesles directions de l’espace.Cas isotrope : 2 coefficients indépendants
Fonction continue du tenseur des taux de déformation Sij et de l’état
thermodynamique local.
Indépendant de la translation et de la rotation de l’élément : ie. propriétés
du fluide identiques pour tous les observateurs, qques soient les systèmes
d’axes qui les transportent.
Le fluide est sans élasticité, ie aucun effet mémoire.Le fluide est homogène : �ij ne peut dépendre explicitement descoordonnées.Le fluide est isotrope : mêmes propriétés dans toutes les directions.
Les directions principales des contraintes et des déformations coïncident.
La loi de comportement peut s’écrire dans un repère principal
�ij = f(S11, S22, S33)�ij avec f symétrique par rapport aux deux dernières
variables.
En absence de taux de déformation Sij = 0, le tenseur des contraintes se
réduit à celui créé par une pression hydrostatique, càd
Seuil de contrainte : il faut exercer une contrainte minimale pour que la
mayonnaise s’écoule.
Effet Weissenberg(1893-1976) : Polymères (longues chaines de
macromolécules)
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Loi de réhologie
Non Newtonien : Modèle d’Ostwald de Waele en loi de puissance
Rhéo-épaississant⌧ / �n
avec n > 1Produits alimentaires à base d’amidon, ...
Rhéo-fluidifiant⌧ / �n
avec n < 1Ketchup, Peintures
Viscosité apparanteµ = ⌧/� = m(�)n�1
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Loi de réhologie
Non Newtonien : Mesures expérimentales
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Loi de réhologie
Non Newtonien : Modèle d’Ostwald de Waele en loi de puissance
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Loi de réhologie
Non Newtonien : Modèle d’Ostwald de Waele en loi de puissance
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Loi de réhologie
Non Newtonien : Rého-épaississant
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Exemple d’application des écoulements non Newtoniens
Les écoulements sanguinsConsidéré comme Newtonien dans les vaisseaux de diamètre assez large(Artéres).Vaisseaux de petite taille (< 1mm) ⇠ taille des globules rouges =) µn’est plus constante.Fluide rhéofluidifiant : viscosité décroit quand le taux de cisaillementaugmente
� ⌘ Taux de déformation
� =p
2(tr(Sij))2
Viscosité
µf (�) = k�n�1 , n < 1
où k et n sont des caractéristiques biologiques du sang.
Contraintes
�ij = 2µf (�)Sij
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Exemple d’application des écoulements non Newtoniens
Autres type de modèle pour le sangFonction de pondération avec µ0 = 0.056Pa.s et µ1 = 0.00345Pa.s.
�(�, µ1, µ0) =µ(�)� µ1µ(0)� µ1
Autres exemples de fonction de pondération
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Exemple d’application des écoulements non Newtoniens
Les écoulements sanguins
MultiphysiqueInteraction fluide/structurePulséGéométrie complexeMulti-échelleViscoélasticité (mémoire) : la viscosité dépend aussi de la déformation
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Application des écoulements non Newtoniens
Réduction de traînéePetite quantité de polymère dans un fluide NewtonienCoefficient de frottement de Fanning
f =1
4
D
L
�p
⇢v2/2
D diamètre de la conduite, �p gradient de pression, L longueur, v vitessemoyenneRe ⇠ 105 + concentration de 5ppm (parts per million) =) réduction de40% du nombre de Fanning.
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Application des écoulements non Newtoniens
Effet Weissenberg
Effets centrifugesContraintes centripètes dues au cisaillement
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Application des écoulements non Newtoniens
Siphon sans tube
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Application des écoulements non Newtoniens
Contraction
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Application des écoulements non Newtoniens
Extrusion
Comprimé de façon élastique dans le direction radiale"Mémoire" de l’historique de la déformationLe cisaillement produit une contrainte élastique de traction dans ladirection axiale (longues chaines moléculaires).
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