mm m &&& == VV V &&& ρρρ - stuba.skkchbi.chtf.stuba.sk/CHI/TT_Riesenia.pdf · Príklady z hydrodynamiky (Steltenpohl, OCHBI) Zadanie 2 Zadanie: Aký charakter má prúdenie kukuričného

Príklady z hydrodynamiky (Steltenpohl, OCHBI) Zadanie 1 Zadanie: Pivo prúdi potrubím s kruhovým prierezom o priemere 10 cm. Jeho hmotnostný prietok je 300 kg min-1, Aká bude priemerná rýchlosť prúdenia piva v potrubí s kruhovým prierezom, ktorého priemer je 6.5 cm, ak sa prietok piva nezmení. Hustota piva je 1030 kg m-3. Riešenie: Na obrázku je znázornená situácia v širšom (miesto 1) a zúženom (miesto 2) priereze potrubia.

Pri riešení aplikujeme zákon zachovania hmotnosti, t.j. skutočnosť, že pri ustálenom prúdení nestlačiteľnej kvapaliny v potrubí je jej objemový prietok v ľubovoľnom priereze potrubia konštantný (rovnica kontinuity)

1 2

1 2

1 1 2 2 [ konštanta]

m m m

V V VS w S w

ρ ρ ρρ

= =

= == =

& & &

& & &

Objemový prietok a rýchlosť prúdenia piva v potrubí s priemerom 10 cm vypočítame zo známych vzťahov

3 1 3 3 1

2 3 2 11 1 1

300 1030 0.291m min 4.854 10 m s4 4 4.854 10 0.1 0.618ms

V mw V S V d

ρ

π π

− − −

− −

= = = = ×

= = = ⋅ × ⋅ =

& &

& &

Keďže rovnaký objemový prietok piva je aj v zúženom priereze potrubia, pre známe rozmery dokážeme vypočítať rýchlosť prúdenia piva v tomto mieste

2 3 2 12 2 24 4 4.854 10 0.065 1.463msw V S V dπ π− −= = = ⋅ × ⋅ =& &

1 2

m S1 S2 w1 w2

V1 V2

Príklady z hydrodynamiky (Steltenpohl, OCHBI) Zadanie 2 Zadanie: Aký charakter má prúdenie kukuričného oleja, ktorý tečie cez rúrky kruhového prierezu s priemerom 25 mm. Prietok oleja je 4000 kg h-1. Pri teplote 40 °C je hustota oleja 906 kg m-3 a kinematická viskozita ν = 30.5 × 10-6 m2 s-1. Riešenie: Charakter prúdenia posudzujeme na základe hodnoty bezrozmerového Reynoldsovho kritéria. Vieme, že ak je jeho hodnota Re ≤ 2300, prúdenie tekutiny je laminárne. Naopak, ak je jeho hodnota väčšia ako 10000, hovoríme o turbulentnom prúdení. Medzi týmito dvoma hodnotami je charakter prúdenia prechodný, t.j. na určitý čas sa môže vyvinúť v potrubí laminárne alebo turbulentné prúdenie. Na výpočet Reynoldsovho kritéria bola odvodená rovnica

eRe d wρ μ= v ktorej symbol de predstavuje ekvivalentný prierez potrubia, w je rýchlosť prúdiacej tekutiny, ρ jej hustota a μ jej dynamická viskozita. V prípade potrubia s kruhovým prierezom je ekvivalentný priemer rovný priemeru potrubia. Rýchlosť prúdiacej tekutiny a jej dynamickú viskozitu vypočítame zo známych vzťahov

24w m S m dρ πρμ νρ

= ==

& &

kde ν predstavuje kinematickú viskozitu prúdiacej tekutiny. Po dosadení do jednotlivých rovníc (nesmieme zabudnúť dosadiť hodnoty veličín v konzistentných jednotkách) dostaneme

6 -1 -1

2 2 1

e

30.5 10 906 0.02763kg m s 0.02763Pa s4 4 4000 (3600 906 0.025 ) 2.498ms

Re 0.025 2.498 906 0.02763 2048 2300w m S m d

d w

μ νρ

ρ πρ πρ μ

−

−

= = × ⋅ = =

= = = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ == = ⋅ ⋅ = <

& &

Z uvedeného vyplýva, že prúdenie kukuričného oleja v rúrke s priemerom 25 mm je laminárne.

Príklady z hydrodynamiky (Steltenpohl, OCHBI) Zadanie 3 Zadanie: Vypočítajte maximálny objemový prietok tekutiny prúdiacej v potrubí s kruhovým prierezom d = 10 cm, aby bol charakter prúdenia laminárny. Pre vypočítaný objemový prietok zistite maximálnu dĺžku strany štvorcového potrubia, v ktorom by daná tekutina mala vyvinutý turbulentný tok. Riešte pre prípad prúdenia dusíka a vody, ktorých teplota je v oboch prípadoch 30 °C a tlak je atmosférický. Riešenie: Ak má byť prúdenie tekutiny laminárne, musí platiť nerovnica

eRe 2300d wρ μ= ≤ Súčasne, rýchlosť prúdiacej tekutiny dokážeme vyjadriť pomocou jej objemového prietoku (pre kruhový prierez rúrky)

24w V S V dπ= =& & Kombináciou uvedených rovníc a úpravou potom dostaneme podmienku pre maximálny objemový prietok tekutiny, pre ktorý je prúdenie laminárne

2300 4V dπ μ ρ≤& V druhej časti príkladu máme zistiť maximálnu veľkosť strany potrubia so štvorcovým prierezom (a), v ktorej by, pri objemovom prietoku vypočítanom v prvej časti príkladu, prúdenie tekutiny ešte bolo turbulentné, t.j.

eRe 10000d wρ μ= ≥ V prípade potrubia so štvorcovým prierezom ekvivalentný priemer potrubia vypočítame podľa vzťahu

e 4d S O= pričom S je plocha prierezu a O dĺžka obvodu prierezu potrubia, ktoré je zmáčané prúdiacou tekutinou. Pre potrubie so štvorcovým prierezom potom platí

2

2e

44 4

S aO ad a a a

==

= =

Po dosadení za rýchlosť prúdenia a ekvivalentný priemer štvorcového potrubia dostaneme Re 10000

10000aV S V a

a Vρ μ ρ μ

ρ μ

= = ≥

≤

& &

&

Aby sme vypočítali maximálny objemový prietok a maximálny priemer potrubia pre dusík a pre vodu, musíme poznať vlastnosti týchto tekutín (hustotu a viskozitu) za podmienok, ktoré sú uvedené v zadaní. Ostatné veličiny vystupujúce v nerovniciach súvisia s tvarom potrubia, v ktorom dusík alebo voda prúdia. Hustotu dusíka vypočítame zo stavovej rovnice. Za predpokladu ideálneho správania dusíka, môžeme na tento účel použiť stavovú rovnicu ideálneho plynu pV nRT m V m nM

pM RTρ

ρ= = =

=

Molová hmotnosť dusíka (M = 28.02 kg kmol-1) je uvedená v tabuľkách na strane 19. Jeho hustota pri teplote 30 °C a tlaku 101.325 kPa je

3 3101325 28.02 10 (8.314 303.15) 1.126kg mpM RTρ − −= = ⋅ × ⋅ = Viskozitu dusíka za uvedených podmienok nájdeme v tabuľkách. Buď ju vypočítame podľa Sutherlandovho vzťahu (tabuľky strana 30) alebo ju odčítame v nomograme v tabuľkách na stranách 88-89. Sutherlandov vzťah vyjadruje závislosť viskozity plynov od teploty, berúc do úvahy viskozitu daného plynu pri teplote 0 °C.

1.5

0 C273

273C T

T Cμ μ °

+ ⎛ ⎞= ⎜ ⎟+ ⎝ ⎠

Príklady z hydrodynamiky (Steltenpohl, OCHBI) Zadanie 3 Hodnota parametra C v tejto rovnici súvisí s vlastnosťami plynu. Pre dusík sú v tabuľkách uvedené hodnoty:

60 C 16.5 10 Pa sμ −° = × a C = 104 K. Tieto údaje pre dusík sú platné v rozsahu teplôt 20 °C až 80 °C. Viskozita

dusíka za podmienok uvedených v zadaní potom je 1.5

6 6273 104 30316.5 10 17.9 10 Pa s303 104 273

μ − −+ ⎛ ⎞= × = ×⎜ ⎟+ ⎝ ⎠

Pri odčítaní viskozity plynov z nomogramu najskôr zistíme súradnice pre sledovaný plyn, ktoré sú uvedené v tabuľke na strane 89. Pre dusík nájdené súradnice sú X = 10.6 a Y = 20.0. Súradnice vynesieme do pravouhlej siete nomogramu, ktorá sa nachádza na strane 88. Potom nájdeme spojnicu tohto bodu a bodu na stupnici teploty, ktorý zodpovedá teplote plynu (30 °C). Predĺženie tejto spojnice pretne pravú os nomogramu v mieste, ktoré zodpovedá viskozite plynu. V tomto prípade je to približne 60.018mPa s 18 10 Pa s−= × . Za uvedených podmienok je maximálny objemový prietok laminárne prúdiaceho dusíka

6

3 3 -1

2300 0.1 18 10 (4 1.126)2.888 10 m s

VV

π −

−

≤ ⋅ ⋅ ⋅ × ⋅

≤ ×

&

&

Maximálna dĺžka strany potrubia so štvorcovým prierezom, v ktorom má uvedené množstvo dusíka prúdiť turbulentne, je

3 6

3

2.888 10 1.126 (10000 18 10 )18.1 10 m

aa

− −

−

≤ × ⋅ ⋅ ×

≤ ×

Hustotu a viskozitu vody pri teplote 30 °C môžeme odčítať v tabuľkách na strane 42, pričom tieto hodnoty sú

30.7977 mPa s 0.7977 10 Pa sμ −= = × a 3995.7 kg mρ −= . V tom prípade, je maximálny objemový prietok laminárne prúdiacej vody

3

3 3 -1

2300 0.1 0.7977 10 (4 995.7)0.147 10 m s

VV

π −

−

≤ ⋅ ⋅ ⋅ × ⋅

≤ ×

&

&

Maximálna dĺžka strany potrubia so štvorcovým prierezom, v ktorom má uvedené množstvo vody prúdiť turbulentne, je

3 3

3

0.147 10 995.7 (10000 0.7977 10 )18.1 10 m

aa

− −

−

≤ × ⋅ ⋅ ×

≤ ×

Príklady z hydrodynamiky (Steltenpohl, OCHBI) Zadanie 4 Zadanie: Porovnajte rýchlosť a charakter prúdenia vo valcovom potrubí s priemerom 2.5 cm a v potrubí so štvorcovým prierezom, ktoré má rovnakú plochu prierezu, ako spomínané valcové potrubie. Predpokladajte, že potrubím prúdi 9 L min-1 benzénu, ktorého teplota je 30 °C. Riešenie: Rýchlosť prúdenia vo valcovom potrubí vypočítame z objemového prietoku a charakter prúdenia benzénu posúdime na základe hodnoty Reynoldsovho kritéria

24Rew V S V d

dwπ

ρ μ= ==

& &

V prípade potrubia so štvorcovým prierezom je rýchlosť prúdenia rovnaká. Podľa zadania je totiž plocha prierezu potrubia rovnaká. Charakter prúdenia však je iný, nakoľko v rovnici na výpočet Reynoldsovho kritéria vystupuje ekvivalentný priemer potrubia.

e2

e

2

Re

4 4 4

4

w V Sd w

d S O a a a

a S d

ρ μ

π

==

= = =

= =

&

Aby sme dokázali posúdiť charakter prúdenia benzénu, musíme poznať jeho vlastnosti, hustotu a dynamickú viskozitu. Viskozitu benzénu pri teplote 30 °C môžeme zistiť v tabuľkách buď výpočtom (strana 28), alebo odčítaním v nomograme (strany 90-91) V tabuľke 15a je na výpočet viskozity benzénu odporúčaná rovnica

2ln( /(mPa s)) /( / ) ( / ) ( / )A B T K C T K D T Kμ = + + + pričom parametre A, B, C, a D sú tabelované. Rovnica je platná v rozsahu teplôt od 6 °C do 288 °C. Pri teplote 30 °C je viskozita kvapalného benzénu

2 2 2 5 2/( / ) ( / ) ( / ) 4.612 1.489 10 /303.15 2.544 10 303.15 2.222 10 303.15 3=0.5673mPa s 0.5673 10 Pa sA B T K C T K D T Ke eμ− −+ + + + × − × ⋅ + × ⋅ −= = = ×

Pri odčítaní viskozity kvapalín z nomogramu najskôr zistíme súradnice pre benzén, ktoré sú uvedené v tabuľke na strane 91 (X = 12.5 a Y = 10.9). Súradnice vynesieme do pravouhlej siete nomogramu, ktorá sa nachádza na strane 90. Potom nájdeme spojnicu tohto bodu a bodu na stupnici teploty, ktorý zodpovedá teplote benzénu (30 °C). Predĺženie tejto spojnice pretne pravú os nomogramu v mieste, ktoré zodpovedá viskozite benzénu. V tomto prípade je to približne 30.57 mPa s 0.57 10 Pa s−= × .

Hustotu benzénu nájdeme v tabuľke 14 na strane 27, 3868kg mρ −= . Rýchlosť a charakter prúdenia benzénu v potrubí kruhového priemeru je

2 3 2 -1

3

4 4 9 10 (60 0.025 ) 0.3056 msRe 0.025 0.3056 868 0.57 10 11633w V d

dwπ π

ρ μ

−

−

= = ⋅ × ⋅ ⋅ =

= = ⋅ ⋅ × =

&

V prípade prúdenia benzénu v potrubí so štvorcovým prierezom a s rovnakou plochou prierezu ako je plocha prierezu kruhového potrubia v predošlom výpočte, je hodnota Reynoldsovho kritéria

2 2e

3e

4 0.025 4 0.02216m

Re 0.02216 0.3056 868 0.57 10 10311

d a d

d w

π π

ρ μ −

= = = ⋅ =

= = ⋅ ⋅ × =

Príklady z hydrodynamiky (Steltenpohl, OCHBI) Zadanie 5 Zadanie: Vypočítajte straty tlaku v potrubí s celkovou dĺžkou 15 m, priemerom 2.5 cm a relatívnou drsnosťou 0.0001, v ktorom prúdi voda so strednou teplotou 25 °C. Jej objemový prietok je 60 L h-1 (1.8 m3 h-1). Riešenie: Na obrázku je schematicky znázornené potrubie a jeho jednotlivé rozmery a parametre

Relatívna drsnosť potrubia je definovaná jako podiel výšky výstupkov na vnútornom povrchu rúrky a jej priemeru

0.0001n dε= = Našim cieľom je vypočítať množstvo disipovanej mechanickej energie (straty tlaku) pri toku tekutiny v rovnom potrubí z miesta 1 do miesta 2. Na tento účel nám poslúži Bernoulliho rovnica, ktorá bilancuje špecifickú (vztiahnutú na jednotku hmotnosti) mechanickú energiu prúdiacej tekutiny

s

22 2

2 t2

21

11

r1

w2 2w h g hzg gpz gpwα ρα ρ

+ + + ++ =+

kde z1, z2 predstavujú geodetickú výšku miest 1 a 2 vzhľadom na vzťažnú rovinu, w1 a w2 rýchlosť prúdiacej tekutiny v miestach 1 a 2, α1 a α2 bezrozmerová korekcia špecifickej kinetickej energie prúdiacej tekutiny (korekcia nehomogénnosti rýchlostného poľa, pre laminárne prúdenie má hodnotu α = 0.5, pre turbulentnú oblasť platí α = 1) v miestach 1 a 2, p1 a p2 priemerná hodnota tlaku v priereze potrubia 1 a 2, ρ je hustota prúdiacej tekutiny, hstr výškový ekvivalent disipovanej mechanickej energie, hw výškový ekvivalent množstva špecifickej energie dodanej do (napr. čerpadlom) alebo získanej (napr. prostredníctvom turbíny) z prúdiacej tekutiny a g je tiažové zrýchlenie. Ak predpokladáme, že tekutina prúdi vo vodorovnom potrubí kruhového prierezu s konštantným polomerom a do systému nie je zapojené žiadne zariadenie na dodávanie (získavanie) mechanickej energie, môžeme Bernoulliho rovnicu upraviť na tvar

21str

pp h gρρ

= +

pretože platí

21

2

w

1 21

0Sw

zSh

zw wg

S=

= ==

Množstvo disipovanej energie (straty tlaku) môžeme vypočítať podľa Darcyho rovnice 2

str 2L whd g

λ=

Keď ju skombinujeme s upravenou Bernoulliho rovnicou, platí 2

1 2( )2

L wp p pd

λ ρΔ = − =

kde λ je súčiniteľ strát mechanickej energie v dôsledku trenia, d priemer kruhového potrubia a L dĺžka potrubia. Vo všeobecnosti hodnota súčiniteľa disipácie mechanickej energie trením závisí od charakteru prúdenia (Re) a relatívnej drsnosti (n) potrubia, v ktorom tekutina prúdi

(Re, )f nλ = Preto budeme musieť najskôr zistiť charakter prúdenia vody a aj jej vlastnosti.

L = 15 m

d = 2.5 cm

d = 2.5 cm

výška výstupkov, ε

1 2z1, p1, w1 z2, p2, w2

vzťažná rovina

Príklady z hydrodynamiky (Steltenpohl, OCHBI) Zadanie 5 Hustotu a dynamickú viskozitu vody pri teplote 25 °C odčítame v tabuľkách na strane 42 3997.1kg mρ −= a

30.8912mPa s 0.8912 10 Pa sμ −= = × Ak je objemový prietok vody v rúrke 60 L h-1, potom je rýchlosť prúdiacej vody a príslušná hodnota Reynoldsovho kritéria

2 3 2 1

3

4 4 60 10 (3600 0.025 ) 0.034 msRe 0.025 0.034 997.1 0.8912 10 951 2300w V S V d

dwπ π

ρ μ

− −

−

= = = ⋅ × ⋅ ⋅ =

= = ⋅ ⋅ × = <

& &

Znamená to, že za týchto podmienok je prúdenie vody laminárne. V tom prípade na výpočet hodnoty súčiniteľa disipácie mechanickej energie trením môžeme použiť rovnicu

Rekλ = Pre potrubie kruhového prierezu má parameter k hodnotu 64. Potom

Re 64 951 0.06730kλ = = = Disipácia mechanickej energie spôsobená trením po dĺžke zodpovedá strate tlaku

2 2

1 215 0.034( ) 0.06730 997.1 23.27 Pa

2 0.025 2L wp p pd

λ ρΔ = − = = =

Keď je objemový prietok vody 1.8 m3 h-1, charakter prúdenia je turbulentný

2 2 1

3

4 4 1.8 (3600 0.025 ) 1.019 msRe 0.025 1.019 997.1 0.8912 10 28502 10000w V S V d

dwπ π

ρ μ

−

−

= = = ⋅ ⋅ ⋅ =

= = ⋅ ⋅ × = >

& &

V tom prípade potrebujeme zistiť, aký je vplyv relatívnej drsnosti na hodnotu súčiniteľa disipácie mechanickej energie. Najskôr si overíme, či drsnosť na jeho hodnotu vplýva. Vieme, že ak je splnená nasledujúca nerovnosť, potrubie môžeme považovať za hydraulicky hladké

0.875 0.875

5 5Re 28502

0.0001 0.0006323

ndε

= < =

<

Pretože je táto podmienka splnená, na výpočet hodnoty súčiniteľa disipácie mechanickej energie trením môžeme použiť napr. Blaziovu rovnicu, ktorej platnosť je obmedzená na prúdenie tekutín v hydraulicky hladkom potrubí, pričom hodnota Reynoldsovho kritéria je v rozsahu 2300 až 100000.

0.25 0.25

0.3164 0.3164 0.02435Re 28502

λ = = =

Disipácia mechanickej energie (strata tlaku) pri prietoku 1.8 m3 h-1 je 2 2

1 215 1.019( ) 0.02435 997.1 7564Pa

2 0.025 2L wp p pd

λ ρΔ = − = = =

Príklady z hydrodynamiky (Steltenpohl, OCHBI) Zadanie 6 Zadanie: Jablčná šťava má hustotu 1046 kg m-3. Šťava odteká samospádom z otvorenej zásobnej nádrže do filtračného zariadenia, v ktorom je tlak 137.3 kPa. Ako vysoko, vzhľadom na ústie potrubia do filtračného zariadenia, musí byť hladina šťavy v zásobnej nádrži? Rýchlosť prúdenia šťavy v potrubí je 2 m s-1, disipácia mechanickej energie v potrubí zodpovedá hstr = 2.5 m a prúdenie je turbulentné. Riešenie: Na nasledujúcom obrázku je schematické znázornenie zariadenia so znázornením polohy bilancovaných miest.

Cieľom je zistiť hodnotu rozdielu geodetických výšok, ktoré zodpovedajú hladine jablčnej šťavy v zásobnej nádrži (1) a ústiu potrubia do filtračného zariadenia (2), ako je znázornené na obrázku (∆z). Pre bilancované miesta dokážeme napísať Bernoulliho rovnicu (bez člena, ktorý zodpovedá dodávaniu alebo odoberaniu energie zo systému prostredníctvom mechanických zariadení)

21 1

11

22 2

22

str2 2w pz g hz gw pg

α αρ ρ+ ++ + = +

Predtým, ako tento problém vyriešime, si musíme uvedomiť niekoľko faktov. V porovnaní s priemerom potrubia, ktoré spája zásobnú nádrž a filtračné zariadenie, je priemer zásobnej nádrže nepomerne väčší. V tom prípade, berúc do úvahy rovnicu kontinuity, môžeme rýchlosť prúdenia v mieste hladiny jablčnej šťavy (1), považovať za zanedbateľne malú v porovnaní s rýchlosťou prúdenia šťavy v ústí potrubia do filtračného zariadenia

2 2 2

21

1 1 1 11

2 02wS w S wS w S wα

= >>> <<< ≈

Na základe tohto predpokladu môžeme Bernoulliho rovnicu upraviť na tvar 22 2 1

1 2 str22

w p pz z z hg gα ρ

−Δ = − = + +

Jedinou „neznámou“ na pravej strane tejto rovnice je tlak v mieste 1. V zadaní však bolo uvedené, že šťava odteká z otvorenej zásobnej nádrže, tlak v mieste jedna sa bude rovnať okolitému (atmosférickému) tlaku. Potom rozdiel medzi výškou hladiny v zásobnej nádrži a ústím potrubia do filtračného zariadenia má byť

22 137300 101325 2.5 6.21m2 1 9.81 1046 9.81

z −Δ = + + =

⋅ ⋅ ⋅

1

2

p1

p2

z1

z2 filtračné zariadenie

∆z

zásobná nádrž

Príklady z hydrodynamiky (Steltenpohl, OCHBI) Zadanie 7 Zadanie: Pri teplote 10 °C prúdi pivo novým hydraulicky hladkým potrubím s kruhovým prierezom s vnútorným priemerom 3 cm. Hustota piva pri uvedenej teplote je 1030 kg m-3 a jeho kinematická viskozita je 2.4 × 10-6 m2 s-1. Vypočítajte straty tlakovej energie v dôsledku trenia na dĺžke potrubia 1 m, ak je objemový prietok piva 4 m3 h-1. Riešenie: Našim cieľom je vypočítať množstvo disipovanej mechanickej energie (straty tlaku) pri toku tekutiny v rovnom hydraulicky hladkom potrubí z miesta 1 do miesta 2, ktoré sú od seba vzdialené 1 m. Na tento účel nám poslúži Bernoulliho rovnica v tvare

2 21 1 2 2

1 2 str1 22 2

w p w pz g z g h gα ρ α ρ

+ + = + + +

Pretože platí

1 2

1 1 2 2

z zS w Sw S w

== =

môžeme Bernoulliho rovnicu upraviť na tvar

1 2str

p p h gρ ρ

= +

pričom na výpočet disipácie mechanickej energie trením použijeme Darcyho rovnicu 2

str

2

1 2

2

( )2

L whd g

L wp p pd

λ

λ ρ

=

Δ = − =

V upravenej Bermoulliho rovnici zostávajú dve neznáme, súčiniteľ strát mechanickej energie v dôsledku trenia a rýchlosť prúdenia. Vieme, že hodnota súčiniteľa disipácie mechanickej energie trením závisí od charakteru prúdenia (Re) a relatívnej drsnosti (n) potrubia, v ktorom tekutina prúdi, a rýchlosť vypočítame zo známeho objemového prietoku piva a plochy prierezu potrubia.

2 2 1

6

4 4 4 (3600 0.03 ) 1.572 msRe 0.03 1.572 2.4 10 19649 10000w V S V d

dw dwπ π

ρ μ ν

−

−

= = = ⋅ ⋅ ⋅ =

= = = ⋅ × = >

& &

Pretože nové potrubie je hydraulicky hladké, na výpočet hodnoty súčiniteľa disipácie mechanickej energie trením môžeme použiť napr. Blaziovu rovnicu

0.25 0.25

0.3164 0.3164 0.02672Re 19649

λ = = =

Okrem toho, môžeme hodnotu λ odčítať v tabuľkách z obrázka 5 na strane 93 pre minimálnu hodnotu relatívnej drsnosti potrubia (1 × 10-6). Z grafu odčítaná hodnota je približne 0.026. Disipácia mechanickej energie (strata tlaku) na jednom metre dĺžky potrubia je

2 2

1 21 1.572( ) 0.02672 1030 1134Pa

2 0.03 2L wp p pd

λ ρΔ = − = = =

Príklady z hydrodynamiky (Steltenpohl, OCHBI) Zadanie 8 Zadanie: V potrubí s celkovou dĺžkou 50 m, priemerom rúrky 3 palce a drsnosťou (výškou výstupkov) 0.03 cm prúdi vodný roztok metanolu (40 hmot. %). Teplota roztoku je 20 °C. Potrubie ústi do otvorenej nádrže (patm) nad hladinou kvapaliny, ktorá je v nádrži. V potrubí sú zaradené 2 otvorené posúvače, dva priame ventily, otvorený uzatvárací ventil, 5 pravouhlých a dve 45°-ové kolená. Ústie potrubia leží vo výške 5 m nad jeho začiatkom. Zistite, aký má byť tlak na začiatku potrubia, aby ním mohlo prúdiť 300 L min-1 roztoku. Riešenie: Na nasledujúcom obrázku je znázornená schéma sledovaného zariadenia so základnými parametrami

Vzťažný bod 1 sa nachádza v strede plochy prierezu potrubia a vzťažný bod 2 v strede ústia potrubia do nádrže. Ak chceme zistiť, aký tlak je na začiatku sledovaného úseku potrubia, musíme opäť bilancovať mechanickú energiu prúdiacej kvapaliny

21 1

11

22 2

22


α αρ ρ+ ++ + = +

Pretože rýchlosť prúdenia v oboch vzťažných bodoch je rovnaká (rovnica kontinuity), Bernoulliho rovnicu môžeme upraviť na tvar

1 2 2 1 str( )p p z z g h gρ ρ= + − + kde disipáciu mechanickej energie môžeme rozdeliť na časť, ktorá je spôsobená trením po dĺžke potrubia, a druhú časť v dôsledku miestnych strát

2 2

str str, L str, m 2 2L w wh h hd g g

λ ζ= + = + ∑

Ako vidno, v týchto rovniciach vystupuje niekoľko premenných, ktorých hodnotu nepoznáme. Aby sme mohli vypočítať súčiniteľ disipácie mechanickej energie trením, budeme potrebovať vypočítať Reynoldsovo kritérium a relatívnu drsnosť potrubia. Kvôli Re budeme musieť zistiť hustotu a viskozitu prúdiaceho média. Hustota a viskozita vodných roztokov metanolu je tabelovaná na strane 52. Pri teplote 20 °C a obsahu metanolu 40 hmot. % platí

3 3934.5kg m 1.84mPa s 1.84 10 Pa sρ μ− −= = = × Viskozitu by sme mohli odčítať aj v nomograme na stranách 90-91. Rýchlosť a charakter prúdenia roztoku v rúrkach vypočítame na základe známeho objemového prietoku a priemeru potrubia

2 3 2 1

3

4 4 300 10 (60 0.0762 ) 1.096 msRe 0.0762 1.096 934.5 1.84 10 42431 10000w V S V d

dwπ π

ρ μ

− −

−

= = = ⋅ × ⋅ ⋅ =

= = ⋅ ⋅ × = >

& &

Ďalej sa potrebujeme presvedčiť, či môžeme potrubie považovať za hydraulicky hladké

z1 1

Δz = 5 m

p1

z2

nádrž

p2 = 101.325 kPa 2

Príklady z hydrodynamiky (Steltenpohl, OCHBI) Zadanie 8

0.875

43

40.875 0.875

5Re

3 10 3.937 100.0762

5 5 4.464 10Re 42431

nd

n

ε

−−

−

= <

×= = ×

= = ×

Porovnaním ľavej a pravej strany nerovnice je vidno, že potrubie je drsné a preto musíme nájsť vhodnú rovnicu na výpočet súčiniteľa disipácie mechanickej energie trením. Jednou z takýchto rovníc je Roundova rovnica

2

3

1 Re1.8log0.135Re 6.5

1 0.03082424311.8log0.135 42431 3.937 10 6.5

nλ

λ−

=+

⎛ ⎞⎜ ⎟

= =⎜ ⎟⎜ ⎟

⋅ ⋅ × +⎝ ⎠

Podobný výsledok by sme dokázali odčítať aj v obrázku 5 na strane 93 tabuliek. Nakoniec musíme spočítať koeficienty miestnej disipácie mechanickej energie. Údaje sú tabelované na strane 66. Nasledujúca tabuľka sumarizuje súčet hodnôt jednotlivých miestnych odporov

Armatúra ξ Počet Spolu Koleno 45° 0.5 2 1 Pravouhlé koleno 1.26 5 6.3 Otvorený uzatvárací ventil 3 1 3 Posúvač 0.15 2 0.3 Priamy ventil 0.8 2 1.6 Spolu 12.2

Potom, potrebný tlak na začiatku potrubia je

2

1 2 2 1

2

1

( )2

934.5 1.096 50101325 934.5 5 9.81 0.03082 12.2 165360Pa2 0.0762

w Lp p z z gd

p

ρρ λ ζ⎛ ⎞= + − + +⎜ ⎟⎝ ⎠

⋅ ⎛ ⎞= + ⋅ ⋅ + + =⎜ ⎟⎝ ⎠

∑

Príklady z hydrodynamiky (Steltenpohl, OCHBI) Zadanie 9 Zadanie: Toluén sa prepravuje samospádom zo zásobnej nádrže do reaktora (obrázok). Jeho teplota je 10 °C. V zásobnej nádrži je vtok do potrubia umiestnený 3 m pod hladinou. Pretože nádrž je dostatočne veľká, výška hladiny toluénu v nádrži sa prakticky nemení. V nádrži aj v reaktore je atmosferický tlak. Dĺžka potrubia a počet a druh armatúr zaradených v potrubí je jasný z obrázku. Vypočítajte a) rýchlosť prúdenia a objemový prietok toluénu, ak má potrubie kruhový prierez s priemerom 5 cm a priemernou výškou výstupkov ε = 0.5 mm, b) priemer potrubia s kruhovým prierezom a rýchlosť prúdenia toluénu, ak je výška výstupkov na vnútornej strane potrubia 0.5 mm a objemový prietok toluénu 500 L min-1. Riešenie: Na obrázku je schematicky znázornená nádrž a reaktor spojené potrubím, v ktorom je zaradených niekoľko armatúr, spolu so základnými údajmi pre výpočet. Vzťažné body 1 a 2 sú umiestnené v ústiach potrubia do zásobnej nádrže a do reaktora.

Nakoľko vieme, že potrubím má tiecť toluén o teplote 10 °C, môžeme v tabuľkách nájsť jeho viskozitu a hustotu, ktoré potrebujeme pri výpočte. Hustota toluénu je uvedená v tabuľke 14 na strane 27 a jeho dynamickú viskozitu vypočítame na základe údajov v tabuľke 15a na strane 28-29, alebo ju odčítame z nomogramu na strane 90.

3875kg mρ −=2 2 2 5 2/( / ) ( / ) ( / ) 5.878 12.87 10 / 283.15 0.4575 10 283.15 0.4499 10 283.15 30.6717 mPa s 0.6717 10 Pa sA B T K C T K D T Ke eμ

− −+ + + − + × + × ⋅ − × ⋅ −= = = = ×Pri riešení budeme vychádzať z Bernoulliho rovnice v tvare

21 1

11

22 2

22


α αρ ρ+ ++ + = +

Pretože priemer potrubia je v oboch vzťažných miestach rovnaký, z rovnice kontinuity vyplýva, že aj rýchlosť prúdenia toluénu (jeho špecifická kinetická energia) je v oboch miestach rovnaká. V mieste 1 je tlak kvapaliny určený súčtom atmosférického tlaku a hydrostatického tlaku stĺpca toluénu nad vzťažným bodom

1 atm hp p h gρ= + Rozdiel v geodetických výškach vzťažných bodov je v obrázku označený ako h = 10 m. Špecifickú disipovanú energiu vypočítame ako množstvo mechanickej energie, ktoré disipuje v dôsledku trenia po dĺžke potrubia, a množstvo disipované v dôsledku prítomnosti armatúr zaradených v potrubí. V tom prípade môžeme Bernoulliho rovnicu upraviť na tvar

z1

1

zásobná nádrž

uzatvárací ventil

z2

rotačný prietokomer

2

hh = 3 m

p1, w1

spätnáklapka

koleno 90°

koleno 90°

priamy ventil

p = patm

p = patm

h = 10 m

l = 30 mp2, w2

reaktor


( )

1 21 2 str

2 2 2ekv ekv

h str, L str, m

( )

2 d 2 2 d

p pz z g h g

L LL w w w Lhg h g h h g gd g g d

ρ

λλ

−− + =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + = + = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

∑ ∑

Ekvivalentná dĺžka potrubia, na ktorej by množstvo disipovanej mechanickej energie bolo rovnaké, ako v príslušnej armatúre, je ďalší spôsob vyjadrenia miestnej disipácie energie. Hodnoty ekvivalentnej (bezrozmerovej, vztiahnutej na priemer potrubia s kruhovým prierezom) dĺžky sú spolu s hodnotami súčiniteľa miestnej disipácie mechanickej energie uvedené v tabuľke 47a na strane 66. Nasledujúca tabuľka sumarizuje súčet hodnôt jednotlivých ekvivalentných dĺžok potrubia

Armatúra Lekv/d Počet Spolu Vtok do potrubia 20 1 20 Pravouhlé koleno 40 2 80 Otvorený uzatvárací ventil 100 1 100 Priamy ventil 25 1 25 Spätná klapka 200 1 200 Rotačný prietokomer 300 1 300 Spolu 725

a) Z matematického hľadiska máme za úlohu vyriešiť problém, v ktorom v jednej nezávislej rovnici vystupujú dve premenné w a λ. Tento problém nezjednodušíme ani použitím definičného vzťahu na výpočet Reynoldsovho kritéria, pretože tak okrem druhej rovnice pribudne ďalšia premenná, Re. Re /dwρ μ= Ďalším krokom by bolo použitie niektorej kriteriálnej rovnice na výpočet súčiniteľa disipácie mechanickej energie

(Re, )f nλ = Výber vhodnej kriteriálnej rovnice je však podmienený znalosťou Re. Z uvedeného vyplýva, že priame analytické riešenie problému (výpočet rýchlosti prúdenia a objemového prietoku toluénu) neexistuje. Preto, všeobecný postup riešenia je založený na postupnom iterovaní. Na začiatku si zvolíme rozumnú hodnotu rýchlosti prúdenia. Tento údaj použijeme na výpočet Reynoldsovho kritéria a hodnoty súčiniteľa disipácie mechanickej energie trením. Túto hodnotu dosadíme do upraveného tvaru Bernoulliho rovnice a vypočítame opravenú hodnotu rýchlosti prúdenia tekutiny. Hodnotu porovnáme s nastreleným údajom. Iteračný výpočet opakujeme dovtedy, kým nie je splnená požiadavka na presnosť výsledku (zvyčajne má byť rozdiel hodnôt rýchlosti prúdenia, ktoré sme získali vo dvoch po sebe idúcich iteráciach, menší ako vopred stanovená presnosť). Rozumná rýchlosť v prípade prúdenia kvapalín, napr. toluénu pri teplote 10 °C, je 1 m s-1.V tom prípade platí

I I 3Re 0.05 1 875 / 0.6717 10 65133 10000dw ρ μ −= = ⋅ ⋅ × = > Ďalej sa potrebujeme presvedčiť, či môžeme potrubie považovať za hydraulicky hladké

0.875

42

40.875 0.875

5Re

5 10 1 100.05

5 5 3.068 10Re 65133

nd

n

ε

−−

−

= <

×= = ×

= = ×

Porovnaním ľavej a pravej strany nerovnice je vidno, že potrubie je drsné a preto musíme nájsť vhodnú rovnicu na výpočet súčiniteľa disipácie mechanickej energie trením. Jednou z vhodných rovníc je Roundova rovnica


I

II

2

I

2

1 Re1.8log0.135Re 6.5

1 0.03830651331.8log0.135 65133 1 10 6.5

nλ

λ−

=+

⎛ ⎞⎜ ⎟

= =⎜ ⎟⎜ ⎟

⋅ ⋅ × +⎝ ⎠

V nasledujúcom kroku pomocou Bernoulliho rovnice vypočítame novú hodnotu rýchlosti prúdenia toluénu. Horný index (I, II, III, ...) označuje iteráciu.

II 1h

I ekv

2( ) 2(10 3) 9.81 2.090 ms(30 10)0.03830 725

0.05d

h h gwLL

dλ

−+ + ⋅= = =

+⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ ++ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠∑

Ak porovnáme vypočítanú hodnotu s pôvodným odhadom rýchlosti prúdenia, vidíme výrazný rozdiel. Preto budeme musieť v iterovaní pokračovať. Nasledujúca tabuľka sumarizuje výsledky jednotlivých iterácií

Iterácia w/(m s-1) Re 5/Re0.875 Rovnica λ Presnosť I 1 65133 3.068 × 10-4 Roundova 0.03830 nedosiahnutáII 2.090 136128 1.610 × 10-4 Roundova 0.03788 nedosiahnutáIII 2.101 136868 1.602 × 10-4 Roundova 0.03788 dosiahnutá IV 2.101

Vidno, že iteračný výpočet pomerne rýchlo konverguje k výsledku. Tento postup je univerzálny a vzhľadom na to, že hodnoty premenných nepotrebujeme odčítať v grafe, aj pomerne presný. Objemový prietok toluénu je

2 2 3 3 14 0.05 2.101 4 4.125 10 m sV wS d wπ π − −= = = ⋅ ⋅ = ×& Výpočet môžeme uskutočniť aj bez iterovania, ale len v prípade, ak dokážeme separovať neznáme z Bernoulliho rovnice od všetkých ostatných premenných. Aby sme to dokázali potrebujeme dosadiť za rýchlosť prúdenia z definičného vzťahu Reynoldsovho kritéria

h

ekv

h

ekv

2( )Re

d

2( )Re

d

h h gd wLL

d

h h gd LLd

μ ρλ

λ ρ μ

+= =

⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠

+=

+

∑

∑

V tabuľkách (obrázok 6, strana 94) je k dispozícii graf, z ktorého pre známu hodnotu ľavej strany tejto rovnice, Re λ , a relatívnu drsnosť potrubia ,n ,dokážeme odčítať hodnotu 1 λ . V našom prípade

h3

ekv

2( ) 0.05 875 2(10 3) 9.81Re 26637(30 10)0.6717 10 725

d 0.05

h h gdLL

d

ρλμ −

+ ⋅ + ⋅= = =

+× ⎛ ⎞+ +⎜ ⎟⎝ ⎠

∑

Z čoho pri relatívnej drsnosti potrubia n = 0.01 vyplýva

3 1

1 Re5.15 Re 26637 5.15 137181

Re 0.6717 10 137181 0.05 875 2.106 msw d

λλ λ

μ ρ − −

= = = ⋅ =

= = × ⋅ ⋅ =

Príklady z hydrodynamiky (Steltenpohl, OCHBI) Zadanie 9 b) V druhej časti príkladu je neznámou priemer potrubia a rýchlosť prúdiacej kvapaliny, pričom je známy jej objemový prietok. Riešenie je opäť iteračné. Zvolíme si rýchlosť prúdenia toluénu. Z tohto údaja pomocou známej hodnoty objemového prietoku vypočítame priemer potrubia a ďalej pokračujeme, ako v predošlom prípade. Naviac však, pri každej iterácii musíme okrem priemeru počítať aj hodnotu relatívnej drsnosti. Dobrým nástrelom prvej iterácie môže byť rýchlosť, ktorú sme vypočítali v časti a).

I I 34 4 500 10 60 2.1 0.07108md V wπ π−= = ⋅ × ⋅ ⋅ =& I I I 3Re 0.07108 2.1 875 / 0.6717 10 194450 10000d w ρ μ −= = ⋅ ⋅ × = >

I I 0.875

43

40.875 0.875

5(Re )

5 10 7.034 100.07108

5 5 1.178 10Re 194450

nd

n

ε

−−

−

= <

×= = ×

= = ×

I

II

2

I

3

1 Re1.8log0.135Re 6.5

1 0.034121944501.8log0.135 194450 7.034 10 6.5

nλ

λ−

=+

⎛ ⎞⎜ ⎟

= =⎜ ⎟⎜ ⎟

⋅ ⋅ × +⎝ ⎠

II 1h

I ekvI

2( ) 2(10 3) 9.81 2.409 ms(30 10)0.03412 7250.07108

h h gwLL

d dλ

−+ + ⋅= = =

+⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ ++ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠∑

Aj v tomto prípade je rozdiel medzi hodnotami rýchlosti prúdenia pomerne veľký a preto je potrebné pokračovať v iterovaní. Výsledky sú zhrnuté v nasledujúcej tabuľke

Iterácia w/(m s-1) d/m Re n 5/Re0.875 Rovnica λ Presnosť I 2.1 0.07108 194450 7.034 × 10-3 1.178 × 10-4 Roundova 0.03412 nedosiahnutáII 2.409 0.06636 208256 7.535 × 10-3 1.110 × 10-4 Roundova 0.03477 nedosiahnutáIII 2.351 0.06719 205761 7.442 × 10-3 1.121 × 10-4 Roundova 0.03465 nedosiahnutáIV 2.361 0.06703 206171 7.459 × 10-3 1.119 × 10-4 Roundova 0.03467 nedosiahnutáV 2.359 0.06706 206082 7.456 × 10-3 1.120 × 10-4 Roundova 0.03467 dosiahnutá VI 2.359 Kvôli urýchleniu je aj v tomto prípade možné riešenie za pomoci tabelovaných hodnôt (závislosť

5 51 (Re )fλ λ= na obrázku 7, strana 95). Opäť však musí byť splnená podmienka, že neznáme v Bernoulliho rovnice dokážeme odseparovať od ostatných premenných. V prípade, keď je miestna disipácia mechanickej energie nezanedbateľne malá (čo je aj náš prípad), táto podmienka nie je splnená a grafické riešenie nie je bez zjednodušujúcich predpokladov možné.

Príklady z hydrodynamiky (Steltenpohl, OCHBI) Zadanie 10 Zadanie: Pivo prúdi z tlakového zásobníka do otvorenej nádrže. Tlak v zásobníku je 115 kPa a výška hladiny v zásobníku je 5 m vzhľadom na podlahu vo výrobnej hale. V otvorenej nádrži je výška hladiny piva 3 m nad úrovňou podlahy. Pivo prúdi v novom potrubí s priemerom 0,1 m, v ktorom sú zaradené 2 ventily na reguláciu prietoku, 3 pravouhlé kolená a krátka usadzovacia časť potrubia s priemerom 0,3 m (rozšírenie potrubia ξ = 0.79, zúženie potrubia ξ = 0.47). Disipácia mechanickej energie trením v hladkom potrubí je zanedbateľná vzhľadom na straty mechanickej energie spôsobené prítomnosťou miestnych odporov proti prúdeniu. Vypočítajte prietok piva, ak je jeho hustota 1035 kg m-3 a dynamická viskozita μ = 8.95 × 10-4 Pa s. Riešenie: Schéma technologického zariadenia je spolu s dôležitými údajmi znázornená na nasledujúcom obrázku.

Našou úlohou je vypočítať objemový prietok piva z tlakového zásobníka do otvorenej nádrže, pričom poznáme len rozmery potrubia a armatúry, ktoré sú v potrubí zapojené. Opäť budeme vychádzať z Bernoulliho rovnice

21 1

11

22 2

22


α αρ ρ+ ++ + = +

Treba si uvedomiť, že v porovnaní s priemerom potrubia, ktoré spája tlakový zásobník a nádrž, je priemer zásobníka a nádrže nepomerne väčší. V tom prípade môžeme rýchlosť prúdenia v miestach 1 a 2 považovať za zanedbateľne malú

21

1

22

220 0

2wwαα

= =

Podľa zadania platí, že disipácia mechanickej energie v dôsledku trenia po dĺžke potrubia je zanedbateľne malá v porovnaní s množstvom energie, ktorá disipuje v dôsledku miestnych strát v armatúrach. Preto na vyjadrenie disipácie mechanickej energie v Bernoulliho rovnici použijeme nasledujúci vzťah

2 2 2

str str, L str, m

2 2 21 2

1 2 2 2 4

2 41 2

1 2

2 2 216( )

2 2 2

( )8

L w w wh h hd g g g

p p w V Vz z gS d

p pdV z z g

λ ζ ζ

ζ ζ ζρ π

πζ ρ

= + = + =

−− + = = =

⎡ ⎤−= − +⎢ ⎥

⎣ ⎦

∑ ∑

∑ ∑ ∑

∑

& &

&

V predchádzajúcich vzťahoch vystupuje rýchlosť prúdenia piva v potrubí, ktoré spája tlakový zásobník s otvorenou nádržou. Disipáciu mechanickej energie v armatúrach spôsobuje zmena charakteru prúdenia v dôsledku zmeny rýchlostného poľa prúdiacej kvapaliny (turbulencia). Informácie o hodnote súčiniteľa miestnej disipácie mechanickej energie pre rôzne typy armatúr nájdeme v tabuľkách na strane 66. Nasledujúca tabuľka sumarizuje súčet hodnôt jednotlivých miestnych odporov

z1 = 5 m

1

tlaková zásobník p1 = 115 kPa

usadzovacia časť potrubia

z2 = 3 mnádrž

p2 = 101.325 kPa

2


Armatúra ξ Počet Spolu Vtok z nádrže do potrubia 0.5 1 0.5 Pravouhlé koleno 1.26 3 3.78 Otvorený uzatvárací ventil 3 2 6 Rozšírenie potrubia 0.79 1 0.79 Zúženie potrubia 0.47 1 0.47 Výtok z potrubia 1 1 1 Spolu 12.54

Objemový prietok piva, jeho rýchlosť a charakter prúdenia v potrubí je

2 43 1

2 1

4

0.1 115000 101325(5 3) 9.81 0.0180m s8 12.54 1035

4 0.0180 /( 0.1 ) 2.288msRe 0.1 2.288 1035 / 8.95 10 264628

V

w

π

π

−

−

−

−⎡ ⎤= − ⋅ + =⎢ ⎥⋅ ⎣ ⎦

= ⋅ ⋅ =

= ⋅ ⋅ × =

&

Príklady z hydrodynamiky (Steltenpohl, OCHBI) Zadanie 11 Zadanie: Z veľkého uzavretého zásobníka, v ktorom je tlak nad hladinou kvapaliny 1.2 bar, sa cez hydraulicky hladké potrubie prečerpáva heptán do pripravenej cisterny. Celková dĺžka potrubia je 70 m, v potrubí sú zaradené 4 pravouhlé kolená, jeden priamy ventil a jeden posúvač (plne otvorené). Časť potrubia je ponorená do hĺbky 2.5 m pod hladinu kvapaliny v nádrži. Táto časť potrubia slúži ako nasávacie potrubie odstredivého čerpadla, ktoré heptán dopravuje do výšky 6 m nad hladinu kvapaliny v nádrži. Cisterna je otvorená voči atmosfére. Teplota prečerpávaného heptánu je 20 °C. Za týchto podmienok je dynamická viskozita heptánu 0.41 cP (1 cP = 1 mPa s). Vypočítajte a) priemer potrubia, aby sme za uvedených podmienok dokázali prepraviť 10.5 × 10-3 m3 s-1 heptánu, pričom výkon čerpadla je 623 W a jeho účinnosť je η = 70 %, b) ako dlho sa bude cisterna plniť, ak je priemer potrubia 0.1 m a množstvo energie dodanej čerpadlom jednotkovej hmotnosti kvapaliny ako v prvom prípade. Cisterna má valcový tvar s eliptickým prierezom (hlavná poloos je dlhá 1.5 m a vedľajšia 1 m) a dĺžkou 6 m. Aké množstvo energie spotrebováva čerpadlo. Riešenie: Náčrt k tejto úlohe je znázornený na obrázku.

Oproti predošlým zadaniam nastala jedna zmena. Do potrubia je zaradené čerpadlo, preto pri riešení použijeme Bernoulliho rovnicu v tvare

s

22 2

2 t2

21

11

r1


+ + + ++ =+

a) Vzťažné body sú umiestnené v ústí nasávacieho potrubia (2.5 m pod hladinou kvapaliny v zásobníku, 1) a na konci výtlačného potrubia, kde kvapalina vteká do otvorenej cisterny (2). Pretože nasávacie aj výtlačné potrubie má rovnaký priemer, špecifická kinetická energia prúdiaceho heptánu je v oboch miestach rovnaká. Tlak prúdiacej kvapaliny v mieste 1 je daný súčtom tlaku na hladinu v zásobníku a hydrostatického tlaku stĺpca kvapaliny nad ústím nasávacieho potrubia. Tlak na konci výtlačného potrubia sa rovná atmosférickému tlaku. Disipácia mechanickej energie v potrubí je spôsobená trením po dĺžke a tiež v dôsledku prítomnosti rôznych armatúr. Na vyjadrenie množstva disipovanej energie použijeme Darcyho rovnicu a rovnicu na výpočet miestnej disipácie mechanickej energie

2 251 2

1 h 2 atm1 2

2 2 2

str str, L str, m

1.2 102 2

2 2 2

w w p h g p p

L w w w Lh h hd g g g d

ρα α

λ ζ λ ζ

= = × + =

⎛ ⎞= + = + = +⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ ∑

hh = 2.5 m

p = 1.2 bar hd = 6 m

z1

1 p1, w1

z2

2p2 = patm

w2

b = 2 m

a = 3 m l = 6 m

Príklady z hydrodynamiky (Steltenpohl, OCHBI) Zadanie 11 Množstvo energie, ktoré dodáva kvapaline čerpadlo vypočítame zo zadaného príkonu a účinnosti podľa vzťahu

w vw

Phg V g

ερ

− = − =&

Na základe týchto úvah môžeme Bernoulliho rovnicu upraviť na tvar 2

v1 22 1 str w h I( ) ( )

2dPp p w Lz z g h g h g h h g

d Vλ ζ

ρ ρ− ⎛ ⎞= − + + = + + + −⎜ ⎟

⎝ ⎠∑ &

Ani v tomto prípad nedokážeme separovať neznáme veličiny (w, d) od ostatných premenných a preto budeme pri riešení postupovať iteračne. Najskôr však musíme zistiť hustotu dopravovanej kvapaliny a vyjadriť súčet disipácie mechanickej energie v dôsledku prítomnosti jednotlivých armatúr. Hustota heptánu je uvedená v tabuľkách na strane 27, 3684kg mρ −= . Údaje o hodnote koeficienta miestnej disipácie mechanickej energie sú tabelované na strane 66. Nasledujúca tabuľka sumarizuje hodnoty jednotlivých miestnych odporov

Armatúra ξ Počet Spolu Vtok do potrubia s ostrým okrajom 0.5 1 0.5 Pravouhlé koleno 1.26 4 5.04 Posúvač 0.15 1 0.15 Priamy ventil 0.8 1 0.8 Spolu 6.49

Výsledky pri prvej iterácii sú uvedené na nasledujúcich riadkoch, pričom odhadovaná rýchlosť je 1 m s-1.

I I 34 4 10.5 10 1 0.1156md V wπ π−= = ⋅ × ⋅ =& I I I 3Re 0.1156 1 684 / 0.41 10 192895 10000d w ρ μ −= = ⋅ ⋅ × = >

Pretože sa jedná o hydraulicky hladké potrubie, na výpočet súčiniteľa disipácie mechanickej energie trením môžeme použiť napr. Nikuradzeho rovnicu (platnosť Blaziovej rovnice je obmedzená hodnotou Re < 100000)

I0.237 0.237

0.221 0.2210.0032 0.0032 0.01551Re 192895

λ = + = + =

v1 2h

II

II

5

3II 1

2 ( )

1.2 10 2.5 684 9.81 101325 6232 (6 2.5) 9.81684 10.5 10 684

2.636 ms700.01551 6.49

0.1156

dPp p h h g

Vw

Ld

w

ρ ρ

λ ζ

−−

⎡ ⎤−− + +⎢ ⎥

⎣ ⎦=⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠

⎡ ⎤× + ⋅ ⋅ −− + ⋅ +⎢ ⎥× ⋅⎣ ⎦= =

⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠

∑

&

Ako vidno, iteračný postup treba zopakovať. Výsledky sú zhrnuté v nasledujúcej tabuľke

Iterácia w/(m s-1) d/m Re Rovnica λ Presnosť I 1 0.11560 192895 Nikuradzeho 0.01551 nedosiahnutáII 2.636 0.07121 313167 Nikuradzeho 0.01421 nedosiahnutáIII 2.323 0.07587 294027 Nikuradzeho 0.01438 nedosiahnutáIV 2.364 0.07521 296604 Nikuradzeho 0.01436 nedosiahnutáV 2.358 0.07530 296206 Nikuradzeho 0.01436 nedosiahnutáVI 2.359 0.07530 296206 Nikuradzeho 0.01436 dosiahnutá VII 2.359

Na čerpanie benzénu zo zásobníka je potrebné potrubie s priemerom približne 3 palce.

Príklady z hydrodynamiky (Steltenpohl, OCHBI) Zadanie 11 b) Zmena priemeru potrubia spôsobí zmenu hydrodynamických podmienok pre prúdenie heptánu. Musíme preto zistiť, aká bude rýchlosť prúdenia tejto kvapaliny a jej objemový prietok. Ďalej musíme vypočítať objem cisterny, ktorá sa má plniť heptánom. Na výpočet znovu použijeme iteračný výpočet Výsledky pri prvej iterácii sú uvedené na nasledujúcich riadkoch, pričom odhadovaná rýchlosť je 2 m s-1.

I 2 I 2 3 14 0.1 2 4 0.01571m sV d wπ π −= = ⋅ ⋅ =& I I I 3Re 0.1 2 684 / 0.41 10 333659d w ρ μ −= = ⋅ ⋅ × =

Pretože sa jedná o hydraulicky hladké potrubie, na výpočet súčiniteľa disipácie mechanickej energie trením môžeme použiť napr. Nikuradzeho rovnicu

I0.237 0.237

0.221 0.2210.0032 0.0032 0.01405Re 192895

λ = + = + =

1 2h w

II

II

5

II 1

2 ( )

1.2 10 2.5 684 9.81 1013252 (6 2.5) 9.81 86.74684

2.598ms700.01408 6.490.1

dp p h h g

wLd

w

ερ

λ ζ

−

⎡ ⎤−− + −⎢ ⎥

⎣ ⎦=⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠

⎡ ⎤× + ⋅ ⋅ −− + ⋅ +⎢ ⎥

⎣ ⎦= =⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠

∑

Ako vidno, iteračný postup treba zopakovať. Výsledky sú zhrnuté v nasledujúcej tabuľke

Iterácia w/(m s-1) V/(m3 s-1) Re Rovnica λ Presnosť I 2 0.01571 333659 Nikuradzeho 0.01405 nedosiahnutáII 2.598 0.02040 433368 Nikuradzeho 0.01340 nedosiahnutáIII 2.635 0.02069 439536 Nikuradzeho 0.01336 nedosiahnutáIV 2.637 0.02071 439924 Nikuradzeho 0.01336 dosiahnutá V 2.637 0.02071

Objem valca s eliptickou podstavou vypočítame podľa vzťah

31.5 1 6 28.27 mV Sl ablπ π= = = ⋅ ⋅ ⋅ = Cisterna sa naplní za

28.27 0.02071 1365s 22.75mint V V= = = =& Spotreba elektrickej energie je

p v w

6p

86.74 0.02071 684 0.7 1755W

1365 1755 2.396 10 J 2.396MJ

P P V

E tP

η ε ρ η= = − = ⋅ ⋅ =

= = ⋅ = × =

&

Príklady z hydrodynamiky (Steltenpohl, OCHBI) Zadanie 12 Zadanie: Na zavlažovanie sa používa studničná voda. Pretože jej teplota je 10 °C, najskôr sa prečerpáva do otvorenej zásobnej nádrže. Rozdiel výšok hladín vody v studni a v zásobnej nádrži je 4 metre. Na dopravu vody sa používa odstredivé čerpadlo s nasledujúcou charakteristikou (pri frekvencii otáčania 1000 min-1)

V/(dm3 min-1) 0 30 60 90 120 150 180 hwč/m 9 9.8 10 9.5 8.5 6.8 3.5

Okrem čerpadla je v potrubí s kruhovým prierezom (priemer 5 cm, priemerná výška výstupkov 0.2 mm) zaradený nasávací kôš s priemerom 10 cm, 6 pravouhlých kolien, jeden priamy a jeden uzatvárací ventil. Čerpadlo je ponorené 100 cm pod hladinou vody v studni. Miestne odpory proti prúdeniu spôsobené čerpadlom sú započítané v jeho charakteristike. Celková dĺžka potrubia (t.j. dĺžka od výtlačného hrdla čerpadla po jeho ústie do zásobnej nádrže je 100 metrov. Zistite, aký je objemový prietok vody v potrubí, aký je príkon a výkon čerpadla, ak je jeho účinnosť 55 %. Aký je tlak vo výtlačnom hrdle čerpadla? Ako by sa zmenil prietok vody v potrubí, keby ste na jej čerpanie použili dve rovnaké čerpadlá (s rovnakou charakteristikou) zapojené v sérii, alebo paralelne? Riešenie: Na nasledujúcom obrázku sú schematický znázornené najdôležitejšie informácie pre riešenie tohto problému.

Polohu vzťažných bodov 1 a 2 môžeme určiť sami. Pri voľbe sa snažíme čo najviac zjednodušiť ďalší výpočet. Napr. pri tejto voľbe sme jednak použili informáciu zo zadania (Rozdiel výšok hladín vody v studni a v zásobnej nádrži je 4 metre). Navyše je zrejmé, že rýchlosť prúdenia v miestach 1 a 2 je výrazne nižšia (zanedbateľná) v porovnaní s rýchlosťou prúdenia v potrubí (v Darcyho rovnici vystupuje práve rýchlosť prúdenia tekutiny v potrubí). Vzťažný bod 1 sme mohli zvoliť aj inakšie, do stredu prierezu studne v mieste ústia nasávacieho koša. V tom prípade by sa rozdiel geodetických výšok zmenil na Δz = 5 m. Súčasne by sa však zmenil aj tlak v mieste 1 na hodnotu p1 = patm+hρg. Keby sme porovnali nasledujúce dva členy Bernoulliho rovnice pre prvú (horný index 1) a druhú (horný index 2) voľbu vzťažných bodov, zistíme, že ich číselné hodnoty sa rovnajú. V tomto prípade sa potenciálna energia mení na tlakovú

z1 1

zásobná nádrž

nasávacíkôš

z2

studňa

2

Δz = 4 m

w1

čerpadlo

p1 = patm

p2 = patm

h = 1 m

w2


1 1 2 21 21 2 1 2

atm atm atm atm4 5

14 5

p p p pz g z g

p p p h g pg g

gg g

ρ ρρ

ρ ρρρ

− −− Δ = − Δ

− + −− = −

− = −

Na výpočet opäť použijeme Bernoulliho rovnicu, v ktorej vystupuje aj člen označujúci dodávanie energie prostredníctvom čerpadla

s

22 2

2 t2

21

11

r1


+ + + ++ =+

Berúc do úvahy spomínané umiestnenie vzťažných bodov a vyjadrenie disipácie mechanickej energie, môžeme túto rovnicu upraviť na tvar

2 2

w2 2L w wzg h gd

λ ζ−Δ = + +∑

Ako vidno, získali sme jedinú rovnicu o troch neznámych, ktorými sú súčiniteľ disipácie mechanickej energie trením, rýchlosť prúdenia a množstvo energie, ktoré prúdiacej kvapaline dodáva čerpadlo. Aj keby sme charakteristiku čerpadla vyjadrili ako závislosť hw = f(V), získali by sme nedourčený systém nelineárnych rovníc. V tomto prípade nie je vhodné použiť iteračný postup riešenia. V každom prípade však platí, že pri vyjadrení hodnoty λ budeme musieť poznať hodnotu Re a preto je potrebné zistiť vlastnosti prúdiacej kvapaliny a tiež zistiť, aká je hodnota súčtu jednotlivých koeficientov miestnej disipácie mechanickej energie. Hustotu a viskozitu vody pri teplote 10 °C odčítame v tabuľkách na strane 42, 3999.7 kg mρ −= ,

31.3077 10 Pa sμ −= × . Hodnoty koeficientov miestnej disipácie mechanickej energie (tabuľky strana 66) sú zhrnuté v nasledujúcej tabuľke

Armatúra ξ Počet Spolu Nasávací kôš 7 1 7 Pravouhlé koleno 1.26 6 7.56 Uzatvárací ventil 3 1 3 Priamy ventil 0.8 1 0.8 Výtok z potrubia 1 1 1 Spolu 19.36

Ďalší postup riešenia spočíva v úprave Bernoulliho rovnice do tvaru, ktorý sa označuje ako charakteristika potrubia. Charakteristika potrubia je závislosť množstva energie, ktoré potrebujeme do systému dodať (napríklad pomocou čerpadla), aby sme dosiahli určitý objemový prietok kvapaliny (-εw = f(V)).

2 2

w

2

w 2

2

w 2 4

2w

2 4

2 2

28

8

L w wh g zgdL Vzgd SL Vzgd d

A BVA zg

LBd d

λ ζ

ε λ ζ

ε λ ζπ

ε

λ ζπ

− = Δ + +

⎛ ⎞− = Δ + +⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞− = Δ + +⎜ ⎟⎝ ⎠

− = += Δ

⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠

∑

∑

∑

∑

&

&

&

Príklady z hydrodynamiky (Steltenpohl, OCHBI) Zadanie 12 Charakteristika potrubia sa podobá na kvadratickú závislosť s nulovým koeficientom pri prvej mocnine premennej (V). Treba si však uvedomiť, že hodnota súčiniteľa disipácie mechanickej energie trením, ktorý vystupuje v parametri B závisí od objemového prietoku (rýchlosti prúdenia, resp. hodnoty Reynoldsovho kritéria), a preto sa hodnota parametra B v tejto „kvadratickej“ rovnici pozvoľna mení. Požadovaný údaj, objemový prietok dopravovanej vody, zistíme tak, že vypočítame niekoľko hodnôt množstva energie, ktoré zabezpečia určité objemové prietoky dopravovanej kvapaliny. Z tejto závislosti zostrojíme charakteristiku potrubia a vynesieme ju do spoločného grafu s charakteristikou čerpadla. Priesečník týchto dvoch čiar určuje jednak prepravované množstvo kvapaliny a tiež množstvo energie, ktoré dodá čerpadlo prepravovanej kvapaline. Objemové prietoky pre výpočet charakteristiky potrubia sa obvykle volia podľa toho, aké hodnoty sú uvedené v tabuľke na zostrojenie charakteristiky čerpadla.

V/(dm3 min-1) 0 30 60 90 120 150 180 hwč/m 9 9.8 10 9.5 8.5 6.8 3.5 εwč/(J kg-1) 88.29 96.14 98.10 93.20 83.38 66.71 34.34

Aj keď potrubím netečie žiadna kvapalina, na udržanie hladiny prepravovanej kvapaliny v zásobnej nádrží musí čerpadlo dodávať kvapaline určitú energiu (inak by z potrubia samospádom vytiekla)

2 2 1w 0 4 9.81 39.24J kgA BV A B A zgε −− = + = + = = Δ = ⋅ =&

V prípade nenulového objemového prietoku vody, je výpočet potrebného množstva energie trochu komplikovanejší. V tomto prípade platí (pre najmenšiu tabelovanú hodnotu objemového prietoku)

2 3 2 14 4 30 10 60 0.05 0.2546msw V dπ π− −= = ⋅ × ⋅ ⋅ =& 3Re 0.05 0.2546 999.7 /1.3077 10 9734dwρ μ −= = ⋅ ⋅ × =

Potrebujeme zistiť, či sa jedná o hydraulicky hladké potrubie

0.875

43

30.875 0.875

5Re

2 10 4 100.05

5 5 1.619 10Re 9734

nd

n

ε

−−

−

= <

×= = ×

= = ×

Ako vidno, nerovnosť nie je splnená a, nakoľko hodnota Reynoldovho kritéria sa bude pri väčších objemových prietokoch vody ďalej zväčšovať, ani neskôr nebude splnená. V tom prípade môžeme na výpočet hodnoty súčiniteľa disipácie mechanickej energie trením po dĺžke použiť Roundovu rovnicu

2

3

1 Re1.8log0.135Re 6.5

1 0.0362597341.8log0.135 9734 4 10 6.5

nλ

λ−

=+

⎛ ⎞⎜ ⎟

= =⎜ ⎟⎜ ⎟

⋅ ⋅ × +⎝ ⎠

Vtedy platí

6 1 6 22 4 2 4

1

2 6 3 2 1w

8 100 80.03625 19.36 11.91 10 J kg m s0.05 0.05

4 9.81 39.24 J kg39.24 11.91 10 (30 10 / 60) 42.22 J kg

LBd d

A zgA BV

λ ζπ π

ε

− −

−

− −

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + = + = ×⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= Δ = ⋅ =

− = + = + × ⋅ × =

∑

&

Príklady z hydrodynamiky (Steltenpohl, OCHBI) Zadanie 12 Výsledky výpočtov charakteristiky potrubia spolu s údajmi charakteristiky čerpadla sú zhrnuté v nasledujúcej tabuľke

V/(dm3 min-1) 0 30 60 90 120 150 180 εwč/(J kg-1) 88.29 96.14 98.10 93.20 83.38 66.71 34.34 w/(m s-1) 0 0.2546 0.5093 0.7639 1.0186 1.2732 1.5279 Re 0 9734 19470 29200 38930 48670 58400 λ ∞ 0.03625 0.03299 0.03175 0.03109 0.03068 0.03040B/(MJ kg-1 m-6 s2) ∞ 11.91 11.07 10.75 10.58 10.47 10.40 -εw/(J kg-1) 39.24 42.22 50.31 63.42 81.54 104.7 132.8

Nasledujúci obrázok ilustruje charakteristiky čerpadla a potrubia. Ich priesečník určuje objemový prietok prepravovanej kvapaliny (121.5 dm3 min-1) a množstvo energie, ktoré čerpadlo kvapaline dodáva (82.5 J kg-1).

0

30

60

90

120

0 50 100 150 200

V /(dm3 min-1)

ε/(J

kg-1

)

charakteristika čerpadla

charakteristika potrubia

121.5

82.5

Výkon a príkon čerpadla za uvedených podmienok je

3

v wč wč

p v

121.5 1082.5 999.7 167.0 W60

167.0 0.55 303.7 W

P m V

P P

ε ε ρ

η

−×= = = =

= = =

&&

Tlak vo výtlačnom hrdle čerpadla opäť vypočítame na základe Bernoulliho rovnice, pričom už poznáme objemový prietok prúdiacej kvapaliny. Musíme si však zvoliť iné vzťažné body, pre ktoré výpočet uskutočníme. Kvôli jednoduchosti je asi najvhodnejšie vzťažný bod 1 ponechať ako v predchádzajúcom výpočte a nový vzťažný bod (nazvime ho 02) umiestniť do osi potrubia na výstupe z čerpadla. Táto voľba je graficky znázornená na obrázku

202

21 1

1 str02

02 w21 022

w pz w pz gg h g h gαρ ρα

= + + ++ + +

V tomto prípade môžeme špecifickú kinetickú energiu v mieste 1 zanedbať vzhľadom na prakricky nulovú rýchlosť prúdenia v priereze studne. Okrem toho môžeme zanedbať disipáciu mechanickej energie v dôsledku trenia po dĺžke, nakoľko dĺžka

z1 1

z2

studňa

02 w1

p1 = patm

p2

Δz = 1 m w02

Príklady z hydrodynamiky (Steltenpohl, OCHBI) Zadanie 12 potrubia od nasávacieho koša po ústie výtlačného hrdla čerpadla je veľmi malá. Podľa nákresu je zjavné, že jediným miestom, v ktorom dochádza k miestnej disipácii mechanickej energie je vtok kvapaliny do nasávacieho

koša (02 7ζ =∑ ). Hodnota súčiniteľa α02 je 1, pretože pri uvedenom objemovom prietoku je charakter prúdenia

vody turbulentný. Na základe týchto úvah môžeme Bernoulliho rovnicu upraviť na tvar vhodný na výpočet tlaku vo výtlačnom hrdle čerpadla.

( )

( )

202 021

1 02 str w02

2 20202 021

w02

202

02 1 w2 402

23

02 2 4 2

2

2 2

1 8

8 121.5 101101325 1 9.81 7 82.5 999.7 189354 Pa1 0.05 60

p wp z z g h g h g

p wp wzg

Vp p zgd

p

ρ ρ α

ζ ερ ρ α

ζ ε ρα π

π

−

= + − − − −

= + Δ − − −

⎛ ⎞⎛ ⎞= + Δ − + −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

⎛ ⎞⋅ ×⎛ ⎞⎜ ⎟= + ⋅ − + + =⎜ ⎟⎜ ⎟⋅ ⋅⎝ ⎠⎝ ⎠

∑

∑&

Záverečná úloha je porovnať, ako ovplyvní množstvo prepravovanej kvapaliny použitie dvoch čerpadiel s pôvodnou charakteristikou zapojených v sérii a paralelne. V prípade sériového zapojenia dvoch rovnakých čerpadiel sa pri konštantnom objemovom prietoku zdvojnásobí množstvo energie dodanej kvapaline, t.j. pri približne rovnakom prietoku dokážeme kvapalinu dopraviť do dvojnásobnej výšky. V prípade paralelného zapojenia dvoch rovnakých čerpadiel sa zdvojnásobí prepravná kapacita (objemový prietok) prepravovanej kvapaliny, pričom kvapalinu dokážeme dopraviť do približne rovnakej výšky, ako v prípade jediného čerpadla. Potom charakteristiky takto usporiadaných čerpadiel sú

Usporiadanie V/(dm3 min-1) 0 30 60 90 120 150 180 240 300 360 1 čerpadlo εwč/(J kg-1) 88.29 96.14 98.10 93.20 83.38 66.71 34.34 - - - 2 čerpadlá v sérii εwč/(J kg-1) 176.6 192.3 196.2 186.4 166.8 133.4 68.68 - - - 2 čerpadlá paralelne εwč/(J kg-1) 88.29 - 96.14 - 98.10 - 93.20 83.38 66.71 34.34

0

50

100

150

200

0 50 100 150 200

V /(dm3 min-1)

ε/(J

kg-1

)

jedno čerpadlo

charakteristika potrubia160

114

dve čerpadlá v sérii

dve čerpadlá zapojené paralelne

140

96.5

Príklady z hydrodynamiky (Steltenpohl, OCHBI) Zadanie 13 Zadanie: Čerpadlo s charakteristikou zmeranou pri frekvencii otáčania rotora 1200 min-1 (viď tabuľka) sa používa na prepravu benzénu zo zbernej nádoby destilátu do vzdialeného zásobníka. Čerpadlo je umiestnené 2 metre nad hladinou benzénu v zbernej nádobe. Teplota čerpaného benzénu je 45 °C. V oboch nádobách je atmosferický tlak. Najvyššie položené miesto, kam je prepravovaný benzén, sa nachádza 8 metrov nad hladinou benzénu v zbernej nádobe destilátu. Predpokladajte, že nasávacie aj výtlačné potrubie je hydraulicky hladké. Priemer nasávacieho potrubia je 3 palce, jeho celková dĺžka je 15 metrov a ekvivalentná dĺžka zodpovedajúca stratám mechanickej energie v dôsledku miestnych odporov je 5 metrov. Priemer výtlačného potrubia je 4 palce a ekvivalentná dĺžka spôsobená miestnymi odpormi je 12 metrov. Celková dĺžka výtlačného potrubia je 35 metrov. Vypočítajte objemový prietok benzénu. Do akej maximálnej výšky možno umiestniť čerpadlo, aby v ňom nenastala kavitácia? Pre podmienky uvedené v zadaní vypočítajte frekvenciu otáčania, ak sa má čerpať o 30 % viac benzénu a špecifická energia dodaná kvapaline zahŕňa aj 5 %-nú rezervu. Pre novú frekvenciu otáčania prepočítajte charakteristiku čerpadla.

V/(m3 s-1) 0 3 × 10-3 6 × 10-3 9 × 10-3 12 × 10-3 15 × 10-3 εwč/(J kg-1) 98.1 107.9 106.6 93.2 75 54.0

Riešenie: Schéma zapojenia je znázornená na nasledujúcom obrázku.

Vzhľadom na známy rozdiel medzi polohami hladín benzénu v zbernej nádobe a zásobníku je účelné zvoliť vzťažné body na hladine benzénu v týchto nádobách. Pri riešení Bernoulliho rovnice potom môžeme zanedbať špecifickú kinetickú energiu v týchto miestach, nakoľko je nepomerne menšia v porovnaní s kinetickou energiou kvapaliny prúdiacej v nasávacom a výtlačnom potrubí. Naviac máme k dispozícii všetky údaje na výpočet špecifickej disipovanej energie v nasávacom aj výtlačnom potrubí. Okrem toho, tlaková energia v oboch vzťažných bodoch je rovnaká, takže Bernoulliho rovnicu môžeme upraviť na tvar (index N platí pre nasávaciu a index V pre výtlačnú časť potrubia, pretože obe časti potrubia s kruhovým prierezom majú rozdielny priemer)

( )2 2

ekv,N ekv,VN N V Vw 2 1 N V

N N V V

2 2ekv,N ekv,VN V

w N V2 4 2 4N N N V V V

2w

2 2

8 8

L LL w L wh g z z gd d d d

L LL LV Vzgd d d d d d

A BV

λ λ

ε λ λπ π

ε

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− = − + + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞ ⎛ ⎞

− = Δ + + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

− = +

& &

&

z1 1

zásobník

z2

zberná nádoba destilátu

2

Δz = 8 m

w1 p1 = patm

p2 = patm

hč = 2 m

w2


( ) ( )N N ekv,N V V ekv,V2 5 2 5N V

8 8A zg

B L L L Ld d

λ λπ π

= Δ

= + + +

Riešenie opäť spočíva v porovnaní charakteristiky potrubia a charakteristiky použitého čerpadla. Ich priesečník určuje objemový prietok prepravovanej kvapaliny a množstvo energie, ktoré jej čerpadlo dodáva. Nakoľko budeme potrebovať posúdiť charakter prúdenia, potrebujeme zistiť, aká je hustota a viskozita prepravovanej kvapaliny. Hustotu benzénu pri teplote 45 °C zistíme lineárnou interpoláciou medzi známymi tabelovanými hodnotami (tabuľka 14, strana 27)

( ) ( )40 C 50 C

40 C 3858 84740 858 45 40 852.5kg m40 50 40 50

tρ ρρ ρ° °

° −− −= + − = + − =

− −

Viskozitu benzénu pri teplote 45 °C vypočítame na základe údajov v tabuľke 15a na stranách 28-29 2 2 2 5 2/( / ) ( / ) ( / ) 4.612 1.489 10 /318.15 2.544 10 318.15 2.222 10 318.15 3=0.4655mPa s 0.4655 10 Pa sA B T K C T K D T Ke eμ

− −+ + + + × − × ⋅ + × ⋅ −= = = × Aj keď potrubím netečie žiadna kvapalina, na udržanie hladiny prepravovanej kvapaliny v zásobníku musí čerpadlo dodávať kvapaline určitú energiu

2 2 1w 0 8 9.81 78.48J kgA BV A B A zgε −− = + = + = = Δ = ⋅ =&

V prípade nenulového objemového prietoku vody, je výpočet potrebného množstva energie trochu komplikovanejší. V tomto prípade platí (pre najmenšiu tabelovanú hodnotu objemového prietoku)

2 3 2 1N N

2 3 2 1V V

4 4 3 10 0.0762 0.6578ms

4 4 3 10 0.1016 0.3700 ms

w V d

w V d

π π

π π

− −

− −

= = ⋅ × ⋅ =

= = ⋅ × ⋅ =

&

&

3N N N

3V V V

Re 0.0762 0.6578 852.5 / 0.4655 10 90920

Re 0.1016 0.3700 852.5 / 0.4655 10 68190

d w

d w

ρ μ

ρ μ

−

−

= = ⋅ ⋅ × =

= = ⋅ ⋅ × =

Pretože sa jedná o hydraulicky hladké potrubie, na výpočet súčiniteľa disipácie mechanickej energie trením môžeme použiť napr. Nikuradzeho rovnicu

N 0.237 0.237N

V 0.237 0.237V

0.221 0.2210.0032 0.0032 0.01796Re 909200.221 0.2210.0032 0.0032 0.01901Re 68190

λ

λ

= + = + =

= + = + =

Vtedy platí

( ) ( )

( ) ( )

1

N N ekv,N V V ekv,V2 5 2 5N V

1 6 22 5 2 5

2 3 2 1w

8 9.81 78.48J kg8 8

8 80.01796 15 5 0.01901 35 12 180228J kg m s0.0762 0.1016

78.48 123562 (3 10 ) 80.10J kg

A zg

B L L L Ld d

B

A BV

λ λπ π

π πε

−

− −

− −

= Δ = ⋅ =

= + + +

= + + + =⋅ ⋅

− = + = + ⋅ × =&

Výsledky výpočtov charakteristiky potrubia spolu s údajmi charakteristiky čerpadla sú zhrnuté v nasledujúcej tabuľke


V/(m3 s-1) 0 3 × 10-3 6 × 10-3 9 × 10-3 12 × 10-3 15 × 10-3 εwč/(J kg-1) 98.1 107.9 106.6 93.2 75 54.0 wN/(m s-1) 0 0.6578 1.3157 1.9735 2.6314 3.2892 ReN 0 90920 181840 272860 363680 454600 λN ∞ 0.01796 0.01573 0.01458 0.01383 0.01328 wV/(m s-1) 0 0.3700 0.7401 1.1101 1.4801 1.8502 ReV 0 68190 136380 204570 272760 340950 λV ∞ 0.01901 0.01661 0.01538 0.01458 0.01399 B/(J kg-1 m-6 s2) ∞ 180228 157711 146125 138578 133031 -εw/(J kg-1) 78.48 80.10 84.16 90.32 98.44 108.41

Výsledky sú tiež znázornené na nasledujúcom obrázku

50

70

90

110

0 4 8 12 16

V /(dm3 s-1)

ε /(J

kg-1

)



9.35

91.

Ako vidno z obrázka, čerpadlo dokáže za uvedených podmienok prepraviť 9.35 × 10-3 m3 s-1 benzénu, ktorému dodáva 91.2 J kg-1 energie. Ďalej máme zistiť maximálnu výšku čerpadla nad hladinou benzénu v zbernej nádobe destilátu, aby v čerpadle nenastal kavitácia (var prepravovanej kvapaliny). Znamená to, že v ústí nasávacieho potrubia do čerpadla nesmie byť tlak menší, než je tlak nasýtenej pary benzénu pri teplote 45 °C. Najskôr teda potrebujeme zistiť tlak nasýtenej pary benzénu pri tejto teplote. Na jeho určenie nám slúžia údaje v tabuľke 5 na strane 15 (parametre Antoineovej rovnice). Pre benzén platí

( ) ( ) ( )/ ( / ) 9.01762 1203.531/ 219.888 450 / Pa 10 10 =29790PaA B C t Cp − + ° − += =

Aby sme dokázali vypočítať maximálnu výšku čerpadla nad hladinou benzénu v zbernej nádobe zvolíme nový vzťažný bod v ústí nasávacieho potrubia do čerpadla (pozri nasledujúci obrázok). V tomto prípade vieme Bernoulliho rovnicu upraviť na tvar

( )2 2

1 01 N 1 01 N N01 1 str,N N ekv,N

N N N

12 2

p p w p p wz z z h L Lg g d

λρ α ρ α

⎡ ⎤− −− = Δ = − − = − + +⎢ ⎥

⎣ ⎦

pretože rýchlosť prúdenia v priereze zbernej nádoby je zanedbateľná v porovnaní s rýchlosťou prúdenia v nasávacom potrubí a navyše špecifickú energiu bilancujeme len po miesto na vstupe do čerpadla (εw = 0 J kg-1).


Pre tento objemový prietok benzénu potrebujeme zistiť jednak rýchlosť prúdenia v nasávacom potrubí a tiež jeho charakter

2 3 2 1N N4 4 9.35 10 0.0762 2.050msw V dπ π− −= = ⋅ × ⋅ =&

3N N NRe 0.0762 2.050 852.5 / 0.4655 10 286116d w ρ μ −= = ⋅ ⋅ × =

N 0.237 0.237N

0.221 0.2210.0032 0.0032 0.01445Re 286116

λ = + = + =

Maximálna výška čerpadla nad hladinou v zbernej nádobe potom smie byť

( )2101325 29790 1 0.01445 2.05015 5 7.527 m

852.5 9.81 1 0.0762 2 9.81z − ⎡ ⎤Δ = − + + =⎢ ⎥⋅ ⋅⎣ ⎦

Poslednou úlohou v tomto príklade je určenie podmienok, pri ktorých dokážeme čerpať o 30 % viac benzénu s 5 %-nou rezervou v množstve dodávanej energie. Pri tomto výpočte sa využívajú vzťahy proporcionality

1 1 1

2 2 2

2 3p1 1 1

2 2 p 2

f f f

f f f

V Pf f fV f f P f

εε

− ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟− ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

&

&

Znamená to, že objemový prietok prepravovanej kvapaliny sa mení priamo úmerne frekvencii otáčania, zatiaľ čo dodaná špecifická energia s druhou mocninou frekvencie otáčania rotora čerpadla a príkon čerpadla s treťou mocninou frekvencie otáčania. Porovnaním prvých dvoch vzťahov proporcionality dostaneme

1 1

2 2

2

f f

f f

VV

εε

⎛ ⎞−= ⎜ ⎟⎜ ⎟− ⎝ ⎠

&

&

čo je charakteristika proporcionality. Vieme, že pri novej frekvencii otáčania (f2) má byť objemový prietok o 30 % väčší a dodávané množstvo energie má zaručovať 5%-nú rezervu oproti podmienkam pri frekvencii otáčania 1200 min-1.

1

2

2 1

1

3 3 3 1

91.2 96J kg0.95 0.95

1.3 1.3 9.35 10 12.16 10 m s

ff

f fV V

εε −

− − −

−− = = =

= = ⋅ × = ×& &

V tom prípade môžeme vypočítať charakteristiku proporcionality

( )2

1 1 1 1

2

2 2 3 222 3

96 649.8 1012.16 10

ff f f f

f

V V VVε

ε−

−− = = = ×

×& & &

&

Jednotlivé údaje potrebné na zostrojenie charakteristiky proporcionality sú uvedené v nasledujúcej tabuľke a znázornené na obrázku.

z1 1

z01

zberná nádoba destilátu

01

Δz

w1 p1 = patm

P01 = 29790 Pa

w01


Charakteristika V/(m3 s-1) 0 3 × 10-3 6 × 10-3 9 × 10-3 12 × 10-3 15 × 10-3 čerpadla (1200 min-1) εwč/(J kg-1) 98.1 107.9 106.6 93.2 75 54.0 potrubia -εw/(J kg-1) 78.48 80.10 84.16 90.32 98.44 108.41 proporcionality -εw/(J kg-1) 0 5.848 23.39 52.63 93.57 146.20

50

70

90

110

130

0 4 8 12 16

V /(dm3 s-1)

ε /(J

kg-1

)

charakteristika čerpadla f 1


12.35

99.3

charakteristika proporcionality

11.15

80.6

Priesečník charakteristiky potrubia a charakteristiky proporcionality má súradnice 12.2 × 10-3 m3 s-1 a 99.3 J kg-1. Tieto údaje zodpovedajú (sú proporcionálne) podmienkam, keď čerpadlo dopravuje 11.15 × 10-3 m3 s-1 benzénu a dodáva mu energiu 80.5 J kg-1 pri frekvencii otáčok 1200 min-1 (priesečník charakteristiky proporcionality a pôvodnej charakteristiky čerpadla). Pomocou dvoch údajov o objemovom prietoku (špecifickej energii dodanej prúdiacej kvapaline) ľahko vypočítame novú frekvenciu otáčania rotora čerpadla, napr.

2

1

12 1

12.351200 1329min11.15

f

f

Vf f

V−= = =

&

&

Charakteristiku čerpadla pri novej frekvencii otáčania (1329 min-1) prepočítame na základe vzťahov proporcionality, napr. pre druhý stĺpec s číselnými hodnotami platí

2 1

2 1

3 3 3 12

12 2

12

1

13243 10 3.31 10 m s1200

1324107.9 131.4 J kg1200

f f

f f

fV Vf

ff

ε ε

− − −

−

= = × = ×

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− = − = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

& &

Charakteristika V/(m3 s-1) 0 3.31 × 10-3 6.62 × 10-3 9.93 × 10-3 13.24 × 10-3 16.55 × 10-3 čerpadla (1329 min-1) εwč/(J kg-1) 120.4 132.4 130.8 114.3 92.0 66.2

Charakteristika čerpadla pre novú frekvenciu otáčania je znázornená na nasledujúcom obrázku.


50

70

90

110

130

0 4 8 12 16

V /(dm3 s-1)

ε/(J

kg-1

)

charakteristika čerpadla f 1 = 1200 min -1


12.35

99.3

charakteristika proporcionality

11.15

80.6

charakteristika čerpadla f 2 = 1329 min -1

Príklady z hydrodynamiky (Steltenpohl, OCHBI) Zadanie 14 Zadanie: Voda zo studne o teplote 10 °C sa pomocou odstredivého čerpadla prepravuje do tlakového zásobníka potrubím s priemerom 10 cm. Príkon čerpadla je 5 kW a účinnosť 65 %. Čerpadlo je umiestnené tak, aby nenastala kavitácia ani pri čerpaní vody o teplote 30 °C. Výška hladiny vody v studni sa nemení. Rozdiel medzi výškou hladiny v studni a najvyšším miestom potrubia je 20 m. Celková dĺžka potrubia je 40 m. V nasávacom potrubí je umiestnený nasávací kôš (priemer 20 cm) a jedno pravouhlé koleno. Vo výtlačnom potrubí je jedno pravouhlé koleno, jeden otvorený uzatvárací ventil a clonka s prierezom priemeru 4.5 cm. Ku clonke je pripojený ortuťový U manometer, ktorý ukazuje rozdiel výšok hladín ortuti 28 cm. Teplota ortuti v manometri je tiež 10 °C. Vypočítajte objemový prietok vody v systéme; polohu čerpadla vzhľadom na výšku hladiny vody v studni, ak je nasávací kôš umiestnený 1 meter pod hladinou; špecifickú energiu, ktorú čerpadlo dodáva čerpanej kvapaliny; tlak v uzavretom zásobníku; tlak vo výtlačnom hrdle čerpadla. Ako by sa zmenil rozdiel výšok hladín ortuti v U manometri, keby ste na meranie prietoku miesto clonky použili dýzu alebo venturimeter s rovnakým priemerom prierezu? Riešenie: Na nasledujúcich obrázkoch je znázornené sledované zariadenia a detail clonky s pripojeným U manometrom

V mieste zúženia (napr. v clonke) sa zvýši rýchlosť prúdenia (rovnica kontinuity). Zvýšenie kinetickej energie sa deje na úkor tlakovej energie, ktorá sa v zúženom mieste zníži oproti hodnote vo voľnom priereze potrubia. Pre podmienky v mieste zúženia a tesne za ním vyzerá bilancia mechanickej energie nasledovne

2 2C C

C strC2 2

w p w pz g zg h gα ρ α ρ

+ + = + + +

Nakoľko potrubie so zaradenou clonkou je vodorovné, geodetická výška oboch bilancovaných miest je rovnaká. Ak, kvôli jednoduchosti, zanedbáme disipáciu mechanickej energie a predpokladáme, že už prúdenie v potrubí je turbulentné, Bernoulliho rovnicu môžeme upraviť na tvar

dpw p

dC wC pC

ΔhC

clonka

z1 1

tlakový zásobník

z2

studňa

2

Δz = 20 m

w1

p1 = patm

p2

z01

w2

U manometer

ΔhC = 28 cm


2 2C C

2w w p p p

ρ ρ− − Δ

= =

Vzťah medzi rýchlosťami prúdenia v clonke a vo voľnom priereze potrubia vyplýva z rovnice kontinuity

C C

22C

C4 4

Sw S w

dd w wππ

=

=

Dosadením z ostatnej rovnice do upravenej Bernoulliho rovnice dostaneme 22 2 4

2 C C CC C2 41

2 2d w dp w wd d

ρρ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥Δ = − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

Ak rozdiel tlakov vo voľnom priereze potrubia a v clonke vyjadríme pomocou rozdielu výšok hladín ortuti v U manometri

( )C Hgp h gρ ρΔ = Δ −

po úprave získame vzťah na výpočet rýchlosti prúdenia v clonke v závislosti od meraného rozdielu výšok hladín ortuti v ramenách U manometra

( )C HgC 4

C4

2

1

h gw

dd

ρ ρ

ρ

Δ −=

⎛ ⎞−⎜ ⎟

⎝ ⎠

V skutočnosti však premena tlakovej energie na kinetickú a naopak neprebieha úplne. Časť mechanickej energie pri zmene charakteru prúdenia disipuje a preto sa do uvedeného vzťahu zaraďuje korekcia

( )C HgC C 4

C4

2

1

h gw C

dd

ρ ρ

ρ

Δ −=

⎛ ⎞−⎜ ⎟

⎝ ⎠

Hodnota korekcie závisí od charakteru prúdenia v clonke a tiež od pomeru polomerov clonky a potrubia CC = f (ReC, dC/d). Grafické znázornenie tejto závislosti je uvedené v tabuľkách na strane 96. Pri vyvinutom turbulentnom toku je hodnota korekcie prakticky nezávislá od podielu polomerov clonky a potrubia a nadobúda konštantnú hodnotu 0.61. Údaj meraný pomocou manometra pripojeného ku clonke nám umožňuje vypočítať objemový prietok prúdiacej kvapaliny. Skôr, ako túto hodnotu vypočítame, musíme zistiť vlastnosti prúdiacej kvapaliny a tiež hustotu manometrickej kvapaliny pri uvedenej teplote. Hustotu a viskozitu vody pri teplote 10 °C nájdeme v tabuľkách na strane 42, 3999.7 kg mρ −= ,

31.3077 10 Pa sμ −= × . Hustota ortuti, 313570kg mρ −= , je uvedená v tabuľke 14 na strane 27. Pretože rýchlosť prúdenia (objemový prietok) vody chceme vypočítať, nepoznáme hodnotu korekcie vo vzťahu pre výpočet rýchlosti prúdenia v clonke. Predpokladajme, že prúdenie je turbulentné, t.j. CC = 0.61. Potom rýchlosť prúdenia v clonke je

( ) ( )C Hg 1C C 4 4

C44

2 2 0.28 13570 999.7 9.810.61 5.177 ms

0.045999.7 110.1

h gw C

dd

ρ ρ

ρ

−Δ − ⋅ − ⋅

= = =⎛ ⎞ ⎛ ⎞

−−⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

Ešte si potrebujeme overiť, či odhadnutá hodnota korekcie bola správna a preto vypočítame hodnotu Reynoldsovho kritéria pre prúdenie v clonke a podiel priemerov clonky a potrubia

3C C C

C

Re 0.045 5.177 999.7 /1.3077 10 1780990.045 / 0.1 0.45

d wd d

ρ μ −= = ⋅ ⋅ × == =

Pre zistené hodnoty ReC a dC/d je hodnota korekcie odčítaná z grafu na strane 96 skutočne rovná 0.61. Rýchlosť prúdenia vody v potrubí zistíme z rovnice kontinuity


2 21C

C2 2

0.045 5.177 1.048ms0.1

dw wd

−= = =

Objemový prietok vody za uvedených podmienok je 2 2

3 3 10.1 1.048 8.234 10 m s4 4dV Sw wπ π − −⋅

= = = = ×&

Ďalšou úlohou je zistiť umiestnenie čerpadla nad hladinou vody v studni, aby ani pri čerpaní vody o teplote 30 °C nedochádzalo ku kavitácii. Preto potrebujeme zistiť tlak nasýtenej vodnej pary pri uvedenej teplote. Tento údaj nájdeme v tabuľkách na strane 35, po = 4243 Pa. Kvôli jednoduchosti si vzťažné body pre bilancovanie mechanickej energie zvolíme na hladine vody v studni a v ústí nasávacieho potrubia do čerpadla (viď obrázok). Bilancia má potom tvar

2201 011 1

1 01 str1 012 2

w pw pz g z g h gα ρ α ρ

+ + = + + +

Nakoľko rýchlosť prúdenia v priereze studne je zanedbateľná v porovnaní s rýchlosťou prúdenia v potrubí, rovnicu môžeme upraviť

( )2 2 2

1 01 0101 1

012 2 2p p w w wLz z g zg

dλ ζ

ρ α−

− = Δ = − − − ∑

Hodnotu súčiniteľa disipácie mechanickej energie vypočítame na základe Reynoldsovho kritéria. Pretože v zadaní nie sú uvedené žiadne informácie o drsnosti potrubia a ani o materiále, z ktorého je potrubie vyrobené, budeme ho považovať za hydraulicky hladké.

3Re 0.1 1.048 999.7 /1.3077 10 80117dwρ μ −= = ⋅ ⋅ × = Na výpočet môžeme použiť napr. Blaziovu rovnicu

0.25 0.25

0.3146 0.3146 0.01870Re 80117

λ = = =

Hodnotu súčtu koeficientov miestnej disipácie mechanickej energie zistíme na základe údajov v tabuľkách na strane 66. V nasávacom potrubí je zaradený len nasávací kôš s priemerom 20 cm (ξ = 5.2) a jedno pravouhlé koleno (ξ = 1.26). Dĺžku nasávacieho potrubia je L z h= Δ + Na základe uvedených informácií môžeme vypočítať horizontálnu vzdialenosť čerpadla nad hladinou vody v studni

2 2 21 01 01

01

22 21 01 01

012 2

1 01 01

012

2 2 2

2 2 2

2 2

2

p p w w wz hzgd

p p ww wz hzgd d

p p w whdz

wgd

λ ζρ α

λ λ ζρ α

λ ζρ α

λ

− Δ +Δ = − − −

−Δ ⎛ ⎞Δ + = − − +⎜ ⎟⎝ ⎠

− ⎛ ⎞− − +⎜ ⎟⎝ ⎠Δ =

+

∑

∑

∑

2 2

2

101325 4243 1.048 1 1.0480.01870 6.46999.7 2 1 0.1 2 9.373m

0.01870 1.0489.810.1 2

z

− ⎛ ⎞− − +⎜ ⎟⋅ ⎝ ⎠Δ = =+

Špecifickú energiu dodávanú čerpadlom kvapaline vypočítame podľa vzťahu

p p 1vwč 3

5000 0.65 394.8J kg8.234 10 999.7

P PPm m V

η ηε

ρ−

−

⋅= = = = =

× ⋅&& &

z1 1

z01

studňa

01

Δz

w1

p1

p01 w01

h = 1 m

Príklady z hydrodynamiky (Steltenpohl, OCHBI) Zadanie 14 Tlak v uzavretom výmenníku vypočítame na základe bilancie mechanickej energie medzi vzťažnými bodmi 1 a 2. Bod 1 je opäť umiestnený na hladine vody v studni, zatiaľ čo bod 2 sa nachádza v ústí výtlačného potrubia do tlakového zásobníka.

2 21 1 2 2

1 2 str w1 22 2

w p w pz g z g h g h gα ρ α ρ

+ + = + + + +

Vzhľadom na rýchlosť prúdenia v mieste 1 môžeme kinetickú energiu kvapaliny v tomto mieste zanedbať. Miestnu disipáciu mechanickej energie vypočítame podľa vzťahu

2

str,m 2wh

gζ= ∑

Súčet koeficientov miestnych odporov (tabuľky strana 66) je uvedený v nasledujúcej tabuľke

Armatúra ξ Počet Spolu Nasávací kôš (d = 20 cm) 5.2 1 5.2 Pravouhlé koleno 1.26 2 2.52 Uzatvárací ventil 3 1 3 Clonka (SC/S = 0.2025) 51.5 1 51.5 Spolu 62.22

Množstvo (čerpadlom) dodanej energie

w wčε ε− = Na základe uvedených informácií môžeme vypočítať tlak v zásobníku

( )

( )

22 1 2

2 1 str w2

2

2 1 2 1 wč2

2

12

p p wz z g h g h g

wLp p z z gd

ρ ρ α

ρρ λ ζ ρεα

= − − − − −

⎛ ⎞= − − − + + +⎜ ⎟

⎝ ⎠∑

2

21 40 999.7 1.048101325 20 999.7 9.81 0.01870 62.22 999.7 394.8 261052 Pa1 0.1 2

p ⋅⎛ ⎞= − ⋅ ⋅ − + + + ⋅ =⎜ ⎟⎝ ⎠

Tlak vo výtlačnom hrdle čerpadla môžeme vypočítať na základe známeho tlaku na vstupe do čerpadla a skutočnosti, že celé množstvo energie, ktoré dodáva čerpadlo sa zmení na tlakovú energiu. Opäť vychádzame z Bernoulliho rovnice pričom vzťažne body 01 a 02 sú umiestnené v nasávacom a výtlačnom hrdle čerpadla

2 201 01 02 02

01 02 str w01 022 2

w p w pz g z g h g h gα ρ α ρ

+ + = + + + +

Ak predpokladáme, že geodetická výška vzťažných bodov je takmer rovnaká, rýchlosť prúdenia v oboch bodoch sa rovná (rovnaký priemer nasávacieho a výtlačného potrubia) a zanedbáme disipáciu mechanickej energie, Bernoulliho rovnicu môžeme upraviť na tvar

02 01 01w wč

02 01 wč 4243 999.7 394.8 398925Pa

p p ph g

p p

ερ ρ ρ

ρε

= − = +

= + = + ⋅ =

Keby sme clonku nahradili dýzou alebo venturimetrom, odčítaný rozdiel výšok hladín ortuti v U manometri by sa zmenil. Príčinou je iná konštrukcia týchto prietokomerov, ktorá spôsobuje odlišnú zmenu charakteru prúdenia v mieste zúženia prierezu. Výsledkom je, že disipácia mechanickej energie pri premene tlakovej energie na kinetickú a naopak je menšia a korekcia pre dýzu (CD = 0.95) a venturimeter (CV = 0.98) má hodnoty blízke 1. Na nasledujúcom obrázku je schematicky znázornený prierez dýzou a venturimetrom


Rozdiel výšok hladín manometrickej kvapaliny v U manometri dýzy a venturimetra by potom bol

( ) ( )

( ) ( )

2 4 2 4D D

D 4 2 42D Hg

2 4 2 4V V

V 4 2 42V Hg

999.7 5.177 0.0451 1 0.1218m 11.42cm2 0.95 13570 999.7 9.81 0.12

999.7 5.177 0.0451 1 0.1085m 10.85cm2 0.98 13570 999.7 9.81 0.12

w dhdC g

w dhdC g

ρρ ρ

ρρ ρ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅Δ = − = − = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⋅ −− ⎝ ⎠⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅Δ = − = − = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⋅ −− ⎝ ⎠⎝ ⎠

d dD dV

dýza venturimeter

Príklady z hydrodynamiky (Steltenpohl, OCHBI) Zadanie 15 Zadanie: Na dopravu acetónu zo zásobníka do reaktora sa používajú odstredivé čerpadlá. Charakteristika jedného takéhoto čerpadla pri frekvencii 1500 min-1 je uvedená v tabuľke.

V·104/(m3 s-1) 0 2 4 6 8 10 12 14 hwč/m 9.2 9.5 9.6 9.4 8.8 7.6 5.9 2

Rozdiel výšok hladín v zásobníku a v reaktore je 15 m. Celková dĺžka potrubia vyrobeného z ťahaných rúrok je 60 m, z čoho 1/3 pripadá na potrubie pred a medzi čerpadlami. Súčet hydraulických odporov v tejto časti potrubia zodpovedá ekvivalentnej dĺžke potrubia Lekv,N = 8 m. Disipácia mechanickej energie v čerpadle je zahrnutá v jeho charakteristike. Za čerpadlom je zaradený uzatvárací ventil, 18 kolien (45°), venturimeter a priamy ventil. Potrubie ústi do reaktora pod hladinou kvapaliny. Priemer potrubia s kruhovým prierezom je 2 palce a svetlosť venturimetra je 2 cm. K venturimetru je pripojený šikmý U manometer so sklonom 75° od vertikály. Zistite objemový prietok acetónu, ktorého teplota je 20 °C, rozdiel výšok hladín manometrickej kvapaliny (Hg) v šikmom ramenne U manometra. Do akej maximálnej výšky vzhľadom na hladinu acetónu v zásobnej nádrži môžeme umiestniť čerpadlo? Riešenie: Nasledujúci obrázok znázorňuje sledovaný systém

Pri riešení opäť použijeme Bernoulliho rovnicu

s

22 2

2 t2

21

11

r1


+ + + ++ =+

Vzhľadom na polohu vzťažných bodov a berúc do úvahy skutočnosť, že v oboch nádobách je rovnaký tlak, môžeme bilančnú rovnicu upraviť na tvar

( )( )

w 2 1 str

w str,N str,V

2ekv,N

str,N

2ekv,V

str,V

2

/ 32

2 / 32

4

h g z z g h g

zg h h g

LL whd d g

LL whd d g

Vwd

ε

λ

λ

π

− = − +

− = Δ + +

⎛ ⎞= +⎜ ⎟

⎝ ⎠⎛ ⎞

= +⎜ ⎟⎝ ⎠

=

∑&

2w

ekv,N ekv,V2 4

8

A BVA zg

L LLBd d d d

ε

λπ

− = += Δ

⎛ ⎞= + +⎜ ⎟

⎝ ⎠∑

&

Aby sme mohli vypočítať charakteristiku potrubia (a porovnať ju s charakteristikou čerpadla (čerpadiel)), potrebujeme poznať vlastnosti prúdiacej kvapaliny a tiež súčet ekvivalentných dĺžok potrubia, na ktorých nastáva

rovnaká disipácia mechanickej energie, ako pri miestnych odporoch vo výtlačnej časti potrubia. Hustotu acetónu pri teplote 20 °C je uvedená v tabuľkách na strane 27, 3790kg mρ −= . Viskozitu acetónu vypočítame na základe informácií v tabuľke 15a na strane 28

( ) ( )24.033 8.456 10 / 293.15/ 30.3171mPa s 0.3171 10 Pa sA B Te eμ − + ×+ −= = = = × . Súčet ekvivalentných dĺžok zodpovedajúcich miestnym odporom (tabuľky strana 66) je uvedený v nasledujúcej tabuľke

venturimeter

z1 1

reaktor

z2

zásobník

2

Δz = 15 m

w1

p1 = patm

p2 = patm

w2

šikmý U manometer

ΔhV


Armatúra Lekv,V/d Počet Spolu Koleno 45° 20 18 360 Venturimeter 12 1 12 Uzatvárací ventil 100 1 100 Priamy ventil 25 1 25 Výtok z potrubia 30 1 30 Spolu 527

Aj keď potrubím netečie žiadna kvapalina, na udržanie hladiny prepravovanej kvapaliny v reaktore musí čerpadlo dodávať acetónu určitú energiu

2 2 1w 0 15 9.81 147.2 J kgA BV A B A zgε −− = + = + = = Δ = ⋅ =&

V prípade nenulového objemového prietoku acetónu, je výpočet potrebného množstva energie trochu komplikovanejší, napr. pre najmenšiu nenulovú hodnotu objemového prietoku platí

2 4 2 14 4 2 10 0.0508 0.09868msw V dπ π− −= = ⋅ × ⋅ =& 3Re 0.0508 0.09868 790 / 0.3171 10 12488dwρ μ −= = ⋅ ⋅ × =

Aby sme vedeli vypočítať hodnotu súčiniteľa disipácie mechanickej energie trením, potrebujeme vedieť, či použité potrubie je hydraulicky hladké. V zadaní bolo uvedené, že potrubie je vyrobené z ťahaných rúrok. V obrázku 4 na strane 92 tabuliek dokážeme odčítať relatívnu drsnosť takýchto rúrok, ak je známy ich priemer (0.0508 m). Podľa údajov v obrázku, drsnosť ťahaných rúrok je 0.00015 cm (1.5 × 10-6 m) a relatívna drsnosť ťahanej rúrky s priemerom 2 palce je približne 3 × 10-5.

0.875

65

30.875 0.875

5Re

1.5 10 2.953 100.0508

5 5 1.302 10Re 12488

nd

n

ε

−−

−

= <

×= = ×

= = ×

Ako vidno, potrubie je hydraulicky hladké a preto na výpočet hodnoty súčiniteľa disipácie mechanickej energie trením môžeme použiť Blaziovu rovnicu (Re < 100000).

0.25 0.25

0.3164 0.3164 0.02993Re 12488

λ = = =

Vtedy platí

( )

ekv,N ekv,V 6 1 6 22 4 2 4

22 6 4 1w

8 60 8 80.02976 527 6.757 10 J kg m s0.0508 0.0508 0.0508

147.2 6.757 10 2 10 147.4 J kg

L LLBd d d d

A BV

λπ π

ε

− −

− −

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + = + + = ×⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

− = + = + × ⋅ × =&

Výsledky výpočtov charakteristiky potrubia a údaje charakteristiky čerpadla sú zhrnuté v nasledujúcej tabuľke

V/(m3 s-1) 0 2 × 10-4 4 × 10-4 6 × 10-4 8 × 10-4 1 × 10-3 1.2 × 10-3 1.4 × 10-3

εwč/(J kg-1) 90.25 93.20 94.18 92.21 86.33 74.56 57.88 19.62 2εwč/(J kg-1) 180.5 186.4 188.4 184.4 172.7 149.1 115.8 39.24 w/(m s-1) 0 0.0987 0.1974 0.2960 0.3947 0.4934 0.5921 0.6907 Re 0 12488 24977 37465 49954 62442 74930 87419 5/Re0.875 · 104 - 13.02 7.098 4.978 3.870 3.184 2.714 2.372 λ ∞ 0.02993 0.02517 0.02274 0.02116 0.02002 0.01912 0.01840 B · 106/(J kg-1 m-6 s2) ∞ 6.757 5.682 5.135 4.778 4.519 4.318 4.154 -εw/(J kg-1) 147.2 147.4 148.1 149.0 150.2 151.7 153.4 155.3

Vo všetkých prípadoch boli splnené podmienky na použitie Blaziovej rovnice.

Príklady z hydrodynamiky (Steltenpohl, OCHBI) Zadanie 15 Charakteristika čerpadla (čerpadiel) a potrubia je znázornená na nasledujúcom obrázku

50

75

100

125

150

175

200

0 0.3 0.6 0.9 1.2 1.5

V /(dm3 s-1)

ε/(J

kg-1

)



1.005

152

charakteristika dvoch čerpadiel v sérii

Z obrázka je zrejmé, že na čerpanie acetónu do reaktora nepostačuje jedno čerpadlo (jeho charakteristika sa nepretne s charakteristikou potrubia). Preto vyskúšame, ako sa situácia zmení v prípade pripojenia dvoch čerpadiel v sérii. Priesečník charakteristík má v tomto prípade súradnice 1.005 × 10-3 m3 s-1 a 152 J kg-1. Keby sme chceli predpovedať, aký je rozdiel výšok hladín ortuti v šikmom U manometri, použijeme Bernoulliho rovnicu, resp. jej upravený tvar

2 2V V V

2w w p p p

ρ ρ− − Δ

= =

22V

V4 4dd w wππ

=

Dosadením do upravenej Bernoulliho rovnice (berúc do úvahy korekciu na nedokonalosť premeny jednotlivých foriem energie) dostaneme

( )

( )

22 2 22

V V Hg2 2V V

2 2

V 22VV Hg

12 2

12

d w dp w w h gd d

w dhdC g

ρ ρ ρ ρ

ρρ ρ

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥Δ = − = − = Δ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

⎛ ⎞Δ = −⎜ ⎟

− ⎝ ⎠

V tejto rovnici vystupuje rýchlosť prúdenia v potrubí, priemer potrubia a venturimetra a tiež hustota manometrickej kvapaliny. Hodnota korekcie pre venturimeter je známa CV = 0.98. Rýchlosť prúdenia vypočítame z objemového prietoku acetónu

2 3 2 14 4 1.005 10 0.0508 0.4958msw V dπ π− −= = ⋅ × ⋅ =&

Hustota ortuti pri 20 °C je 313546 kg mρ −= Potom rozdiel výšok hladín ortuti v manometri je

( )2 2

V 2 2

790 0.4958 0.0508 1 0.004405m2 0.98 13546 790 9.81 0.02

h⎛ ⎞⋅

Δ = − =⎜ ⎟⋅ − ⎝ ⎠

Príklady z hydrodynamiky (Steltenpohl, OCHBI) Zadanie 15 Je zjavné, že odčítanie rozdielu výšok na úrovni milimetrov môže spôsobiť pomerne veľkú nepresnosť pri určovaní rýchlosti prúdenia a objemového prietoku prúdiacej kvapaliny. Aby sme dokázali rozdiel výšok hladín odčítať presnejšie, používajú sa U manometre odklonené od zvislice. Na nasledujúcom obrázku je znázornený U manometer s jedným šikmým ramenom. Ako vidno na obrázku, hodnotu rozdielu výšok, ktorý odčítame na šikmom ramene tohto manometra, môžeme prepočítať na skutočný rozdiel výšok a naopak na základe podobnosti trojuholníkov

( )V V

V0.004405 0.01702 m

sin 90 cos cos 75h hh

α αΔ Δ′Δ = = = =

− °

Poslednou úlohou je určenie maximálnej výšky čerpadla nad úrovňou jeho hladiny v zásobnej nádrži. Poloha čerpadla je obmedzená tým, že v nasávacej časti potrubia nesmie tlak prúdiacej kvapaliny poklesnúť pod hodnotu tlaku nasýtenej pary tejto kvapaliny, aby nenastal jej var a kavitácia v čerpadle. Postup riešenia tejto úlohy zodpovedá postupu v zadaní 13. Najskôr potrebujeme zistiť tlak nasýtenej pary acetónu pri teplote 20 °C. Na jeho určenie slúžia údaje v tabuľke 5 na strane 15 (parametre Antoineovej rovnice). Pre acetón platí

( ) ( ) ( )/ ( / ) 9.24204 1210.595/ 229.664 200 / Pa 10 10 =24725PaA B C t Cp − + ° − += =

Polohu čerpadla vzhľadom na výšku hladiny acetónu v nádrži vypočítame pomocou upravenej Bernoulliho rovnice pre nasávaciu časť potrubia

2 2ekv,N1 01 01

01

2ekv,N1 01

2 2

12

L Lp p w wzgd

L Lp p wzg d g

λρ α

λρ

+−Δ = − −

+⎛ ⎞−Δ = − +⎜ ⎟

⎝ ⎠

Jediným neznámym parametrom v tejto rovnici je hodnota súčiniteľa disipácie mechanickej energie trením 3Re 0.0508 0.4958 790 / 0.3171 10 62748dwρ μ −= = ⋅ ⋅ × =

0.25 0.25

0.3146 0.3146 0.01988Re 62748

λ = = =

Maximálna výška čerpadla nad hladinou v zbernej nádobe potom smie byť 2101325 24725 20 8 0.49581 0.01988 8.070 m

790 9.81 0.0508 2 9.81z − +⎛ ⎞Δ = − + =⎜ ⎟⋅ ⋅⎝ ⎠

ΔhV

ΔhV´ α = 75°

Príklady z hydrodynamiky (Steltenpohl, OCHBI) Zadanie 16 Zadanie: Čerstvý vzduch sa do kotla nasáva pomocou ventilátora, na vstupe do ktorého je v potrubí podtlak 30 torr oproti tlaku na vstupe do potrubia (atmosférickému tlaku). Dĺžka vodorovného kruhového potrubia od jeho ústia po vstup do ventilátora je 3 metre. Prierez kruhového potrubia má plochu 20 cm2, priemerná výška výstupkov v potrubí je 0.2 mm. V tretine potrubia je v osi potrubia umiestnená Pitotova-Prandtlova rúrka s pripojeným šikmým U manometrom so sklonom 60° od zvislej osi. Hydraulický uzáver U manometra tvorí voda, ktorej teplota je rovnaká, ako teplota prúdiaceho vzduchu, t.j. 10 °C. Okrem prietokomera je na začiatku potrubia zaradená spätná klapka a tesne pred ventilátorom uzatvárací regulačný ventil. Vypočítajte, aký je prietok vzduchu v potrubí pri plnom otvorení uzatváracieho ventila. Predpokladajte, že hodnota koeficienta miestnych strát, spôsobených prítomnosťou prietokomera, je 1. Zistite, aký je rozdiel výšok hladín vody v U manometri Pitotovej-Prandtlovej rúrky za uvedených podmienok. Vypočítajte dynamický tlak v mieste merania. Zostrojte kalibračný graf pre Pitotovu-Prandtlovu rúrku (t.j. V = f(Δh’). Riešenie: Schéma zariadenia je znázornená na nasledujúcom obrázku

Pri riešení použijeme Bernoulliho rovnicu v tvare 22

str2

2

1

2p hp w g

ρρ α++=

Pretože špecifická potenciálna energia v oboch bilancovaných miestach je rovnaká a kinetická energia vzduchu mimo potrubia je zanedbateľne malá. Množstvo disipovanej energie vyjadríme nasledovne

2

str str,L str.M 2L wh h hd g

λ ζ⎛ ⎞= + = +⎜ ⎟⎝ ⎠

∑

Nakoľko nepoznáme objemový prietok prúdiaceho vzduchu, vyjadríme z upravenej Bernoulliho rovnice rýchlosť a jej hodnotu vypočítame iteračne

2

21

pwLd

ρ λ ζα

Δ=

⎛ ⎞+ +⎜ ⎟

⎝ ⎠∑

Najskôr však potrebujeme poznať vlastnosti prúdiacej tekutiny (vzduchu) a tiež hodnotu súčtu koeficientov disipácie mechanickej energie v dôsledku miestnych odporov. Vlastnosti vzduchu pri teplote 10 °C sú v tabuľkách na strane 43, 31.247 kg mρ −= a 617.66 10 Pa sμ −= × . Súčet koeficientov miestnych odporov (tabuľky strana 66) je uvedený v nasledujúcej tabuľke

Armatúra ξ Počet Spolu Vtok do potrubia 0.5 1 0.5 Pitotova-Prandtlova rúrka 1 1 1 Uzatvárací ventil 3 1 3 Spätná klapka 6 1 6 Spolu 10.5

z1 1

uzatvárací regulačný ventil

1 m

w1 p1

w2

Pitotova-Prandtlova rúrka

spätná klapka

Δh

z2 2p2 = 97 kPa

ventilátor

2 m

Príklady z hydrodynamiky (Steltenpohl, OCHBI) Zadanie 16 V prípade plynov je vhodná rýchlosť prúdenia napr. 10 m s-1. Priemer potrubia vypočítame z plochy prierezu

4 4 0.002 0.05046 mSdπ π

⋅= = =

Potom

I I 6Re 0.05046 10 1.274 /17.66 10 36404dw ρ μ −= = ⋅ ⋅ × = Ďalej sa potrebujeme presvedčiť, či môžeme potrubie považovať za hydraulicky hladké

( )

0.875

43

40.875 0.875I

5Re

2 10 3.964 100.050465 5 5.105 10

36404Re

nd

n

ε

−−

−

= <

×= = ×

= = ×

Porovnaním ľavej a pravej strany nerovnice je vidno, že potrubie je drsné a preto musíme nájsť vhodnú rovnicu na výpočet súčiniteľa disipácie mechanickej energie trením, napr. Roundovu rovnicu

I

II

2

I

3

1 Re1.8log0.135Re 6.5

1 0.03117364041.8log0.135 36404 3.964 10 6.5

nλ

λ−

=+

⎛ ⎞⎜ ⎟

= =⎜ ⎟⎜ ⎟

⋅ ⋅ × +⎝ ⎠

II 1

2

2 2 30 133.322 21.68ms1 31 1.274 0.03117 10.51 0.05046

pwLd

ρ λ ζα

−Δ ⋅ ⋅= = =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ ++ + ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠∑

Ak porovnáme vypočítanú hodnotu s pôvodným odhadom rýchlosti prúdenia, vidíme výrazný rozdiel. Preto budeme musieť v iterovaní pokračovať. Nasledujúca tabuľka sumarizuje výsledky jednotlivých iterácií

Iterácia w/(m s-1) Re 5/Re0.875 Rovnica λ Presnosť I 10 36404 5.105 × 10-4 Roundova 0.03117 nedosiahnutáII 21.68 78935 2.593 × 10-4 Roundova 0.03002 nedosiahnutáIII 21.74 79140 1.602 × 10-4 Roundova 0.02996 dosiahnutá IV 21.74

Objemový prietok vzduchu je

3 121.74 0.002 0.04348m sV wS −= = ⋅ =& Pitotova-Prandtlova rúrka slúži na meranie lokálnych rýchlostí prúdenia v priereze potrubia. Integráciou rýchlostného poľa potom dokážeme vypočítať objemový prietok prúdiacej tekutiny. Princíp fungovania tohto prietokomera je založený na premene kinetickej energie prúdiacej tekutiny na tlakovú energiu. Na nasledujúcom obrázku je znázornený princíp merania lokálnych rýchlostí pomocou Pitotovej-Prandtlovej rúrky s pripojeným šikmým manometrom.


Tekutina prúdiaca v osi Pitotovej-Prandtlovej rúrky sa zastaví (v pohybe cez prietokomer je bráni hydraulická zátka, ktorou je manometrická kvapalina). Kinetická energia tekutiny sa premení na tlakovú, čo sa prejaví zvýšením tlaku (dynamický tlak). Manometer pripojený k Pitotovej-Prandtlovej rúrke meria rozdiel medzi súčtom statického a dynamického tlaku vo vnútornej rúrke prietokomera a statického tlaku, ktorý je vo vonkajšom medzirúrkovom priestore prietokomera. Znamená to, že zistený rozdiel výšok hladín manometrickej kvapaliny (rozdiel tlakov) je priamo úmerný lokálnej rýchlosti prúdiacej tekutiny. Je známe, že v osi potrubia s kruhovým prierezom je rýchlosť prúdenia najvyššia (predpokladáme, že rýchlostný profil je vyvinutý) a označujeme ju wmax. Vzťah medzi maximálnou a priemernou rýchlosťou prúdenia v potrubí s kruhovým priemerom je znázornený na obrázku 3 v tabuľkách na strane 92. Pri hodnote Re = 79410 je podiel priemernej a maximálnej rýchlosti prúdenia w/wmax = 0.818. Potom maximálna rýchlosť prúdenia je

1max

21.74 26.58ms0.818 0.818

ww −= = =

Pre lokálnu rýchlosť prúdenia meranú Pitotovou-Prandtlovou rúrkou bol odvodený vzťah

manomlocal 2 1w g h ρ

ρ⎛ ⎞

= Δ −⎜ ⎟⎝ ⎠

Keďže manometrickou kvapalinou je voda, jej hustotu pri teplote 10 °C nájdeme v tabuľkách na strane 42, 3999.7 kg mρ −= .

Potom rozdiel výšok hladín manometrickej kvapaliny v manometri pripojenom k Pitotovej-Prandtlovej rúrke (umiestnenej v osi potrubia) je

2

2 2max

H O

26.58 0.04595m999.72 9.81 12 1 1.274

whg

ρρ

Δ = = =⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ −− ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠

A hodnota odčítaná v šikmom ramene U manometra je

( )0.04595 0.09190 m

sin 90 cos cos 60h hh

α αΔ Δ′Δ = = = =

− °

Dynamický tlak v meranom mieste je

( ) ( )2H O 0.04595 999.7 1.274 9.81 450Pap h gρ ρΔ = Δ − = − =

Kalibračná závislosť Pitotovej-Prandtlovej rúrky je závislosť objemového prietoku vzduchu (rýchlosti prúdenia) od odčítanej hodnoty rozdielu výšok hladín na šikmom ramene U manometra. Napríklad pre rozdiel výšok hladín 2 cm v šikmom ramene manometra je meraná rýchlosť v osi potrubia

2H O 1max

999.72 cos 1 2 9.81 0.02 cos 60 1 12.40ms1.274

w g hρ

αρ

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞′= Δ − = ⋅ ⋅ ⋅ ° − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

w

Δh

Δh´ α = 60°

w = 0 m s-1

pstat

pstat + pdyn

Príklady z hydrodynamiky (Steltenpohl, OCHBI) Zadanie 16 Reynoldsovo kritérium pri maximálnej rýchlosti prúdenia je

6max maxRe 0.05046 12.40 1.274 /17.66 10 45139dw ρ μ −= = ⋅ ⋅ × =

Podľa grafu na strane 92 pre dané hodnoty wmax a Remax nadobúda priemerná rýchlosť prúdenia v potrubí hodnotu 1

max0.817 0.817 12.40 10.13msw w −= = ⋅ = A objemový prietok vzduchu pri týchto podmienkach je

3 10.002 10.13 0.02026m sV wS −= = ⋅ =& Podobným postupom boli získané aj ďalšie údaje v nasledujúcej tabuľke a grafe Δh'/m 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2 Δh/m 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1 wmax/(m s-1) 0 12.400 17.536 21.477 24.800 27.727 30.374 32.807 35.073 37.200 39.212Remax 0 45139 63836 78182 90277 100933 110567 119426 127671 135416 142741w/wmax 0 0.815 0.817 0.818 0.819 0.820 0.820 0.820 0.820 0.820 0.820 w/(m s-1) 0 10.106 14.327 17.569 20.311 22.736 24.906 26.902 28.760 30.504 32.154V/(m3 s-1) 0 0.020 0.029 0.035 0.041 0.045 0.050 0.054 0.058 0.061 0.064

0

0.02

0.04

0.06

0 0.04 0.08 0.12 0.16 0.2

Δh' /m

V/(m

3 s-1

)

Príklady z hydrodynamiky (Steltenpohl, OCHBI) Zadanie 17 Zadanie: Potrubím s kruhovým prierezom o priemere 10 cm prúdi benzén, ktorého teplota je 30 °C. V osi potrubia je umiestnená Pitotova-Prandtlova rúrka, z ktorej sú vývody pripojené na šikmý U manometer so sklonom ramena 80° od vertikály. Manometrickou kvapalinou je ortuť, ktorej teplota je 20 °C. Na šikmom ramene manometra bola odčítaná hodnota rozdielu výšok hladín 59.5 mm. Predpokladáme, že v mieste merania je rýchlostný profil prúdiacej kvapaliny vyvinutý. Vypočítajte hmotnostný prietok benzénu. Benzén tečie potrubím z bežnej ocele s celkovou dĺžkou 32 m do nádrže, v ktorej je tlak 97 kPa. Potrubie ústi nad hladinou kvapaliny v nádrži. Najvyššie miesto potrubia sa nachádza 10 m nad jeho začiatkom. V potrubí sú zaradené 4 kolená (90°), dva otvorené paralelné posúvače, jeden otvorený priamy ventil a odstredivé čerpadlo, ktoré koná v systéme prácu 180 J kg-1. Koeficient miestneho odporu Pitotovej-Prandtlovej rúrky je 0.3. Vypočítajte tlak na začiatku potrubia. Riešenie: Schéma potrubia s Pitotovou-Prandtlovou rúrkou je znázornená na nasledujúcom obrázku

Aby sme dokázali vypočítať požadované údaje potrebujeme poznať vlastnosti prúdiacej kvapaliny pri teplote 30 °C ako aj manometrickej kvapaliny, ktorej teplota je 20 °C. Príslušné údaje nájdeme v tabuľkách na stranách 27 a 28. Hustota a viskozita benzénu za uvedených podmienok je 3868kg mρ −= a

2 2 2 5 2/( / ) ( / ) ( / ) 4.612 1.489 10 /303.15 2.544 10 303.15 2.222 10 303.15 3=0.5673mPa s 0.5673 10 Pa sA B T K C T K D T Ke eμ− −+ + + + × − × ⋅ + × ⋅ −= = = ×

Hustota ortuti je 313546kg mρ −= . Na základe známeho údaja o rozdiele výšok hladín v manometri dokážeme vypočítať osovú rýchlosť prúdenia benzénu

Hg 1max

135462 cos 1 2 9.81 0.0595 cos80 1 1.721ms868

w g hρ

αρ

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞′= Δ − = ⋅ ⋅ ⋅ ° − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

Hodnota Reynoldsovho kritéria pri maximálnej rýchlosti je 3

max maxRe 0.1 1.721 868 / 0.5673 10 263279dw ρ μ −= = ⋅ ⋅ × = Podľa grafu na strane 92 pre dané hodnoty wmax a Remax nadobúda priemerná rýchlosť prúdenia v potrubí hodnotu

1max0.817 0.817 1.721 1.406msw w −= = ⋅ =

3Re 0.1 1.406 868 / 0.5673 10 215134dwρ μ −= = ⋅ ⋅ × = Objemový a hmotnostný prietok benzénu potom je

2 2 3 1

1

4 0.1 1.406 4 0.01104 m s0.01104 868 9.585kg s

V wS d wm V

π π

ρ

−

−

= = = ⋅ ⋅ =

= = ⋅ =

&

&&

Pre potrubný systém, v ktorom je prietokomer zaradený, môžeme napísať Bernoulliho rovnicu v vare

s

22 2

2 t2

21

11

r1


+ + + ++ =+

z1 1

nádrž

z2 2

Δz = 10 m

w1 p1

p2 = 97 kPa

w2 Pitotova-Prandtlova

rúrka

šikmý U manometer

Δh

Príklady z hydrodynamiky (Steltenpohl, OCHBI) Zadanie 17 Predpokladáme, že rýchlosť prúdenia a tiež špecifická kinetická energia prúdiacej kvapaliny je v oboch bilancovaných miestach rovnaká. Disipáciu mechanickej energie spôsobuje trenie po dĺžke a miestne odpory proti prúdeniu

2

str str,L str.M 2L wh h hd g

λ ζ⎛ ⎞= + = +⎜ ⎟⎝ ⎠

∑

Na základe uvedených skutočností dokážeme Bernoulliho rovnicu zjednodušiť a vyjadriť z nej tlak na začiatku potrubia

( )2

1 2 2 1 w2L wp p z z gd

ρρ λ ζ ε ρ⎛ ⎞= + − + + −⎜ ⎟⎝ ⎠

∑

Súčet koeficientov miestnej disipácie mechanickej energie je uvedený v nasledujúcej tabuľke

Armatúra ξ Počet Spolu Koleno 90° 1.26 4 5.04 Pitotova-Prandtlova rúrka 0.3 1 0.3 Priamy ventil 0.8 1 0.8 Paralelný posúvač 0.15 2 0.3 Spolu 6.44

Pred výpočtom súčiniteľa disipácie mechanickej energie trením je potrebné zistiť, či je potrubie hydraulicky hladké. V prípade, ak je konštrukčným materiálom potrubia bežná oceľ, tabelovaná hodnota drsnosti je 0.005 cm (obrázok 4 na strane 92 tabuliek).

0.875

54

40.875 0.875

5Re

5 10 5 100.1

5 5 1.075 10Re 215134

nd

n

ε

−−

−

= <

×= = ×

= = ×

Nakoľko nerovnosť nie je splnená, na výpočet použijeme napr. Roundovu rovnicu

2

4

1 Re1.8log0.135Re 6.5

1 0.019192151341.8log0.135 215134 5 10 6.5

nλ

λ−

=+

⎛ ⎞⎜ ⎟

= =⎜ ⎟⎜ ⎟

⋅ ⋅ × +⎝ ⎠

Potom tlak na začiatku sledovaného úseku potrubia je

2

132 1.406 86897000 10 868 9.81 0.01919 6.44 180 868 36781Pa0.1 2

p ⋅⎛ ⎞= + ⋅ ⋅ + + − ⋅ =⎜ ⎟⎝ ⎠

mm m &&& == VV V &&& ρρρ - stuba.skkchbi.chtf.stuba.sk/CHI/TT_Riesenia.pdf · Príklady z hydrodynamiky (Steltenpohl, OCHBI) Zadanie 2 Zadanie: Aký charakter má prúdenie kukuričného

Documents