mknm_3b

7/26/2019 mknm_3b

1/151

Opte napomene o zemljotresimaAnaliza uticaja zemljotresa

BETONSKE KONSTRUKCIJE 2

Osnovne akademske studije, V semestar

Prof dr Stanko Briemail: [email protected]

Departman za Tehnike nauke,GRAEVINARSTVO

Dravni Univerzitet u Novom Pazaru

2014/15

Stanko Bri Betonske konstrukcije 2
http://find/

7/26/2019 mknm_3b

2/151


Sadraj

1 Opte napomene o zemljotresimaOpti pojmovi o zemljotresimaPropagacija naponskih talasa kroz tloMerenje intenziteta zemljotresa

2 Analiza uticaja zemljotresaEkvivalentno statiko optereenje

Spektralna seizmika analizaMultimodalna spektralna seizmika analiza

http://find/http://goback/

7/26/2019 mknm_3b

3/151


Opti pojmovi o zemljotresimaPropagacija naponskih talasa kroz tloMerenje intenziteta zemljotresa

Sadraj




http://find/

7/26/2019 mknm_3b

4/151



Analiza uticaja zemljotresa

Opte napomene o zemljotresima

Zemljotresje pojava naglog podrhtavanja (oscilovanja)

povrinskih delova zemljine kore usled naglog oslobaanjavelike energije u zemljinoj kori

Najvei deo zemljotresa (90%) jetektonskog porekla, alimogu da budu i vulkanskog porekla, urvinski - veimuruavanjem stenskih masa (tavanica u karstnim peinama) iliveim klizanjem tla, ljudskim aktivnostima (eksplozije), . . .

http://find/

7/26/2019 mknm_3b

5/151





Posledice zemljotresamogu da budu razne:- podrhtavanje i lom tla, uz ruenja ili oteenja objekata

(zgrada, puteva, mostova, . . . ), kao i ljudske rtve- velika klizita(El Salvador, 2001) ili lavine- poari- likvefakcija tla, uz ruenja objekata, (Aljaska, 1964, M=9.2)- cunami(Sumatra, 2004, M=9.1, 230 000 ljudi poginulo, talasi

30m)

- poplave

Posledice (jaih) zemljotresa su (skoro uvek) velike ljudskertve i velika ruenja i oteenja objekata


O i j i lj i
http://find/

7/26/2019 mknm_3b

6/151



Klizite posle zemljotresa u Salvadoru, 2001


O i j i lj i
http://find/

7/26/2019 mknm_3b

7/151



Cunami posle zemljotresa u Sumatri, 2004


O ti jm i mlj t im
http://find/

7/26/2019 mknm_3b

8/151




Opte napomene o zemljotresimaHipocentar. . . lokacija u zemljinoj kori gde je dolo do naglogoslobaanja akumulirane energije i generisanja seizmikihtalasa

Epicentar. . . vertikalna projekcija hipocentra na povrinuzemlje

Epicentralno rastojanje. . . rastojanje posmatrane lokacije napovrini zemlje od epicentra


Opti pojmovi o zemljotresima
http://find/

7/26/2019 mknm_3b

9/151



Hipocentar, epicentar i rastojanje arita


Opti pojmovi o zemljotresima
http://find/

7/26/2019 mknm_3b

10/151





Dubina hipocentra. . . rastojanje izmeu hipocentra i epicentra

Dubina hipocentra je obino u intervalu od 5-60 km (plitki),ali moe da bude i do 720 km (duboki)

Osnovni uzrok nastankatektonskih zemljotresaje kritinorelativno pomeranje izmeu tektonskih ploa (rasednih povri)

Osnovna manifestacija naglo oslobaanje velike koliine

energije u hipocentru je generisanjenaponskih (seizmikih)talasau zemlji


O lj iOpti pojmovi o zemljotresima
http://find/

7/26/2019 mknm_3b

11/151



Sadraj

1 Opte napomene o zemljotresimaOpti pojmovi o zemljotresimaPropagacija naponskih talasa kroz tlo

Merenje intenziteta zemljotresa




O t lj t iOpti pojmovi o zemljotresima
http://find/

7/26/2019 mknm_3b

12/151



Naponski talasi u tlu

Zapreminski i povrinski talasi

Naponski talasi u tlu suoscilatorna kretanja estica tla

Nastaju usled zemljotresa, eksplozija, udara u tlo (pobijanje

ipova, industrijski ekii i razne maine), kretanja vozila,posebno inskih, ...Dve osnovne vrste naponskih talasa

Zapreminski talasi

- Primarni (kompresioni, longitudinalni) ili P talasi

- Sekundarni (smiui, transverzalni) ili S talasiPovrinski talasi

- Rayleigh-evi ili R talasi (ili P-SV talasi)- Love-ovi ili L talasi (ili SH talasi)


Opte napomene o zemljotresimaOpti pojmovi o zemljotresima
http://find/

7/26/2019 mknm_3b

13/151


p p j jPropagacija naponskih talasa kroz tloMerenje intenziteta zemljotresa

Zapreminski P i S talasi


http://find/

7/26/2019 mknm_3b

14/151


Propagacija naponskih talasa kroz tloMerenje intenziteta zemljotresa

Povrinski R i L talasi


http://find/

7/26/2019 mknm_3b

15/151




Brzina prostiranja talasa kroz tloBrzina prostiranjaP i S talasa

vP = + 2

=M

vS=

=G

(1)

gde su i Lameove konstante, a gustina sredine kroz kojuse prostire talas

E i Gsu modul elastinosti i modul smicanja tla,

dok jeMmodul dat sa

M= 1

(1 + )(1 2)E


Opte napomene o zemljotresimaOpti pojmovi o zemljotresimaP ij kih l k l
http://find/

7/26/2019 mknm_3b

16/151




Brzina prostiranja talasa kroz tlo

Brzina prostiranja longitudinalnih P talasa, u zavisnosti odosobina tla kroz koji se prostiru je

vP 5do 13.8 km/sBrzina prostiranja transverzalnih S talasa, u zavisnosti odosobina tla kroz koji se prostiru je

vS 3.2do 7.3 km/sBrzina prostiranja R talasa je oko 0.95 vSPrema tome, vP > vS> vR


Opte napomene o zemljotresimaOpti pojmovi o zemljotresimaP ij kih t l k tl
http://find/

7/26/2019 mknm_3b

17/151

p p jAnaliza uticaja zemljotresa



Brzina prostiranja talasa kroz tlo

Zapreminski talasi(iz takastog izvora) se prostiru pravolinijskiradijalno sa sfernim talasnim frontom

Povrinski R talasise prostiru pravolinijski radijalno sacilindrinim talasnim frontom

Oko 67% energijese prenosi sa povrinskim R talasima, oko26% preko zapreminskih S talasa i oko 7% energije se prenosiputem P talasa

PovrinskiR talasisu najznaajniji naponski poremeaj napovrini tla


Opte napomene o zemljotresimaOpti pojmovi o zemljotresimaPropagacija naponskih talasa kroz tlo
http://find/

7/26/2019 mknm_3b

18/151

p p jAnaliza uticaja zemljotresa



Propagacija naponskih talasa kroz tlo

Zakon propagacije (atenuacije)naponskih talasa kroz tlo je

v=v1R1R

n

e(RR1) (2)

- v i v1 su amplitude brzina na rastojanju R i R1(gde je R1 neposredna okolina izvora talasa)

- n je koeficijentgeometrijske atenuacije(obino n= 0.5)- je koeficijentmaterijalne atenuacijedat sa = 2

- koeficijent relativnog priguenja tla- talasna tuina talasa, data sa = c

f gde su c brzina

prostiranja talasa, a f dominantna frekvencija


Opte napomene o zemljotresimaOpti pojmovi o zemljotresimaPropagacija naponskih talasa kroz tlo
http://find/

7/26/2019 mknm_3b

19/151

Analiza uticaja zemljotresaPropagacija naponskih talasa kroz tloMerenje intenziteta zemljotresa



Iz zakona (2) vidi se da se amplitude oscilovanja talasasmanjujusa duinom propagacije

Frekventni sastav talasane menja se sa duinom prostiranjaOscilovanje tla se prenosi (horizontalno) do temelja oblinjihzgrada i drugih objekata

Objekti pogoeni udarom zemljotresa su izloeniprinudnom

oscilovanju fundamenataUsled toga dolazi dosloenog kretanjaobjekta: nastajesuperpozicijaprenosnog i relativnog kretanja


Opte napomene o zemljotresimali i j lj

Opti pojmovi o zemljotresimaPropagacija naponskih talasa kroz tlo
http://find/

7/26/2019 mknm_3b

20/151




Naponski talasi koji se kroz tlo prenose na fundamentegeneriu, pomeranja, brzine i ubrzanjau sva tri pravca

Sa stanovita mehanikog ponaanja, najznaajnija su unetaubrzanja u temelje

Dominantna ubrzanja u fundamentima objekta, nastala usledzemljotresa, suu horizontalnoj ravni

Ubrzanja u vertikalnom pravcusu obino 60-70% odintenziteta ubrzanja u horizontalnoj ravni


Opte napomene o zemljotresimaA li i j lj

http://find/

7/26/2019 mknm_3b

21/151



Uticaj naponskih talasa na zgrade

Zgradesu zatvorene zapremine prostora koje su horizontalnim

tavanicama podeljene na podprostore (na spratove)Horizontalne tavanice su meusobno povezane vertikalnimnoseim elementima (stubovi i zidovi)

Najvei deo mase zgrada sadran je u tavanicama, koje su,

bazino, velike krute horizontalne ploe


Opte napomene o zemljotresimaA li ti j lj t

http://find/

7/26/2019 mknm_3b

22/151

Analiza uticaja zemljotresap g j p




Imajui u vidu da su:- krutosti vertikalnih elemenata znatno vea u vertikalnom, nego

u horizontalnom pravcu,- prinudna ubrzanja usled zemljotresa vea u horizontalnom negou vertikalnom pravcu, kao i da su

- dominantne mase zgrade sadrane u krutim horizontalnimtavanicama,

uticaj zemljotresa na zgrade (ali i druge objekte) posmatra sekao oscilatorno kretanje tavanica u svojim horizontalnimravnima usled prinudnog ubrzanja fundamenata



http://find/

7/26/2019 mknm_3b

23/151

Analiza uticaja zemljotresap g j p




Prema tome, tavanice su povrinske horizontalne mase koje

osciluju u svojim ravnima usled prinudnog ubrzanja ufundamentima

Vertikalni elementi su veze koje ograniavaju mogunostkretanja tavanica

To su dominantne pretpostavke u formiranju dinamikogmodela u seizmikoj analizi zgrada



http://find/

7/26/2019 mknm_3b

24/151

Analiza uticaja zemljotresaMerenje intenziteta zemljotresa



U sluaju naponskih talasa koji se u fundamente prenose usleddrugih izvora, a ne usled zemljotresa, npr. usled kretanja

saobraaja (posebno eleznice, metroa, tekih drumskihvozila), nastale vibracije zgrada nemaju katastrofalne posledice

Oscilovanje temelja zgrada prenosi se tada vertikalno krozzidove i stubove, a zatim horizontalno na svaku tavanicu

Oscilovanje tavanica moe da smeta ljudima i da izazivakozmetika oteenjazgrada



Opti pojmovi o zemljotresimaPropagacija naponskih talasa kroz tloM j i i lj
http://find/

7/26/2019 mknm_3b

25/151


Sadraj







Opti pojmovi o zemljotresimaPropagacija naponskih talasa kroz tloM j i t it t lj t
http://find/

7/26/2019 mknm_3b

26/151



Akcelerogram Petrovac, Crna Gora, 15.4.1979.Pri praenju zemljotresa registruju se dve vrste zapisa:

- seizmogrami. . . registruju se komponente pomeranja tla usledseizmikih talasa

- akcelerogrami. . . registruju se komponente ubrzanja tla



http://find/

7/26/2019 mknm_3b

27/151

j jMerenje intenziteta zemljotresa


Magnituda zemljotresaPratei zemljotrese u Kaliforniji, C.F. Richter je grafikiprikazivao odnose maksimalnih registrovanih pomeranja Ausled zemljotresa i epicentralnih rastojanjaeu obliku log A eZa dva razliita zemljotresa, Ai B, takve krive su praktinoparalelne (nezavisne od rastojanja e)



http://find/

7/26/2019 mknm_3b

28/151



Magnituda zemljotresaMogunost ocenjivanja jaina raznih zemljotresameusobnim poreenjem logaritma maksimalne izmereneamplitude pomeranja posmatranog zemljotresa sa referentnim

Potreban jereferentni zemljotres: usvojen je zemljotres koji naepicentralnom rastojanju e= 100km izaziva max amplitudupomeranja B= 0.001mm (mereno definisanim,standardizovanim, seizmografom)

Rihter je predloio da se jaina bilo kog zemljotresa A, odnmagnituda zemljotresa, dobija uporeivanjem sa standardnimzemljotresomB, prema izrazu

M= log A log B



http://find/

7/26/2019 mknm_3b

29/151



Magnituda zemljotresa

Najvea izmerena magnituda je kodzemljotresa u ileu 1960:M = 9.5

Magnituda (jaina) zemljotresa zavisi od koliine osloboeneenergijeEu hipocentru

Odreivanje osloboene energije je veoma kompleksno

Koriste se razni empirijski izrazi koji povezuju koliinu

osloboene energije Ei izmerenu magnitudu, kao na primer,log E= 11.8 + 1.8 M



http://find/

7/26/2019 mknm_3b

30/151




Hipocentar, kao izvor osloboene energije, moe da se nalazina razliitim i veim dubinama ispod povrine terena(hipocentralno rastojanje h)

Osloboena energija u hipocentru nije dovoljan pokazateljoteenja objekta (unete energije) koji je na nekom udaljenjuod hipocentra

Zato je uveden pojamintenziteta zemljotresa u epicentru I0



http://find/

7/26/2019 mknm_3b

31/151

j j


Magnituda zemljotresaIntenzitet zemljotresa u epicentru I0 dovodi se u vezu samagnitudomMi rastojanjem objekta od hipocentra prekoempirijske relacije

I0= 1.5 M 3.5 log f+ 3gde je f=

h2 + e2 rastojanje objekta od hipocentra

Vidi se da intenzitet zemljotresa pri istoj magnitudi opada saporastom rastojanja od hipocentra

Rihterova magnituda (ili skala) Mdefinisana je lokalno, zajunu Kaliforniju, ali je korigovana i koristi se globalno u svetu,jer se lako dovodi u vezu saosloboenom energijom uhipocentru



http://find/

7/26/2019 mknm_3b

32/151

j j


Magnituda zemljotresaRihterova skala, prvo lokalna, za Kaliforniju, a posle i globalna,meri magnitudu koja je zasnovana na merenju maksimalnogpomeranja tla tokom zemljotresa

Magnituda zemljotresa prema Rihterovoj skali dovodi se udirektnu vezu za koliinom osloboene energije u hipocentruzemljotresa

Kasnije se pokazalo da Rihterova skala nije dovoljno dobra za

zemljotrese veih intenziteta, tako da je iz Rihterove skale,posle velikih zemljotresa (ile 1960 i Aljaska 1964) nastalaMMS - Moment Magnitude Scale Mw ili M (Skalamomentne magnitude, 1974)



http://find/

7/26/2019 mknm_3b

33/151


Magnituda zemljotresaSkala momentne magnitude zasniva se na povrini rasednepovri i na relativnom pomeranju ploa du raseda

Skala momentne magnitude izraunava se prema relaciji

Mw =M=23

log M0 10.7

Sa M0 oznaen jeseizmiki momenatdat sa

M0

= Au

gde je- . . . modul smicanja tektonskih ploa- A . . . povrina rasedne povri- u . . . relativno pomeranje rasedne povri



http://find/

7/26/2019 mknm_3b

34/151


Magnituda zemljotresaPostoje brojneskale zemljotresakojima se posredno prikazuje

jaina zemljotresa preko opisa posledica uticaja zemljotresa naposmatranoj lokaciji

Najvie je korienaMCS skala (Mercalli-Cancani-Sieberg)koju je usvojilo Meunarodno seizmoloko drutvo 1917 i koja

je u USA malo modifikovana 1931

Na zasedanju UNESCO-a u Parizu 1964 usvojena je novameunarodna zemljotresnaskala MSK-64(Medvedev-Sponheuer-Karnik)

Modifikacijom MSK-64 skale nastala je 1988 u zemljama EUEvropska makroseizmika skala EMS-98



http://find/

7/26/2019 mknm_3b

35/151



Ove opisne skale zemljotresnog intenziteta definiu 12 stepenina skali zemljotresa

Tek je VI stepen definisan kaojak zemljotres, dok je najvii,XII stepen definisan kaokatastrofalan zemljotres

Od praktinog interesa za graevinske konstrukcije suzemljotresiintenziteta VII, VIII i IX

Na lokacijama gde su mogui zemljotresi intenziteta X do XIIne treba da se dozvoli izgradnja objekata



http://find/

7/26/2019 mknm_3b

36/151



Teritorija zemlje je podeljena nazone oekivanog zemljotresa

Seizmike sile su zavisne od maksimalnih ubrzanja tla usled

zemljotresa i utvrena je prihvatljiva korelacija izmeu stepenaMCS (ili MSK) skale i oekivanog max ubrzanja tla



Ekvivalentno statiko optereenjeSpektralna seizmika analizaMultimodalna spektralna seizmika analiza
http://find/

7/26/2019 mknm_3b

37/151

Sadraj







http://find/

7/26/2019 mknm_3b

38/151


Yu propisi iz 1981Posle zemljotresa u Skoplju 1963. godine poelo je u SFRJ saizradom seizmikih propisa za konstrukcije

Ti propisi su zasnovani na definisanjuekvivalentnog statikog

optereenja - ESO metodaTo je Pravilnik o tehnikim normativima za izgradnju objekatavisokogradnje u seizmikim podrujimai sadran je uSlubenom listu SFRJ

- broj 31, od 05.06.1981

- broj 49, od 13.08.1982- broj 29, od 10.06.1983- broj 21, od 01.04.1988- broj 52, od 07.09.1990



http://find/

7/26/2019 mknm_3b

39/151


Yu propisi iz 1981Ovim Pravilnikom propisuju se tehniki normativi za izgradnjuobjekata visokogradnje u seizmikim podrujima VII, VIII i IXstepena seizminosti prema skali MSK-64

Statiki proraun konstrukcije za uticaje seizmikih sila vri seprimenom metodeekvivalentnog statikogoptereenja ilimetodedinamike analize

Ekvivalentno statiko optereenje su horizontalne statike silekoncentrisane u nivou svake tavanice (u centru mase)

Ukupna horizontalna seizmika silakoja deluje na objekat zaposmatrani pravac dejstva zemljotresa definisana je sa

S=K G (3)



http://find/

7/26/2019 mknm_3b

40/151


Yu propisi iz 1981U izrazu (3) sa Gje oznaenaukupna teina objektakoja seusvaja kao zbir stalnog optereenja, verovatnog korisnogoptereenja i snega

Verovatno korisno optereenje uzima se u visini od 50% odkorisnih optereenja odreenih propisima za optereenja

Ako je korisno optereenje znaajno (skladita, silosi, bibliotekei sl.), seizmike sile se odreuju za najnepovoljniji sluajmaksimalnog (odn. minimalnog) stvarnog optereenja

Teina stalne opreme uzima se u punom iznosu, a uticaj vetra ikorisnog optereenja dizalica i kranova ne uzimaju se u obzirza odreivanje seizmikih sila



http://find/

7/26/2019 mknm_3b

41/151


Yu propisi iz 1981

Sa Kje oznaenukupni seizmiki koeficijentza datihorizontaln pravac delovanja zemljotresa, koji je dat u obliku

K=K0 Ks Kd Kp (4)U izrazu (4) uvedene su oznake

- K0 . . . koeficijent kategorije objekta- Ks . . . koeficijent seizmikog intenziteta

- Kd . . . koeficijent dinaminosti- Kp . . . koeficijent priguenja i duktiliteta



http://find/

7/26/2019 mknm_3b

42/151


Yu propisi iz 1981

Koeficijent kategorije objekta K0 uvodi u proraun poveanjeili smanjenje koeficijenta sigurnosti u zavisnosti od znaajaposlatranog objekta

Zavane objekteje koeficijent kategorije K0>1, a za manjevane (ili za nevane) objekta koeficijent kategorije objekta jeKo

7/26/2019 mknm_3b

43/151

Koeficijent kategorije objekta K0



http://find/

7/26/2019 mknm_3b

44/151


Yu propisi iz 1981

Koeficijent seizmikog intenziteta Ks definisan je u zavisnostiodseizmike zoneprema skali MSK-64 posmatrane lokacije inormalizovani su sa ubrzanjem zemljine tee g = 9.81 m/s2




A li i j lj
http://find/

7/26/2019 mknm_3b

45/151


Yu propisi iz 1981

Na teritoriji drave vri seseizmika rejonizacija, odn.odreivanje delova teritorije u kojima moe da se oekuje

zemljotres pribllino istog, odn. slinog, intenzitetaZnai, na mapi drave ucrtane su oblasti, odn. seizmike zone,u kojima mogu da se oekuju zemljotresi VII, VIII ili IXstepena skale MSK-64

Ovako dobijeneseizmike kartepretstavljaju samo prosenuoekivanu vrednost intenziteta zemljotresa




A li i j lj
http://find/

7/26/2019 mknm_3b

46/151


Yu propisi iz 1981Koeficijent dinaminosti Kd je definisan u zavisnosti odkategorije tlaposmatrane lokacije iosnovnog perioda Tslobodnih harmonijskh vibracija objekta u posmatranom pravcu

Kategorija tla oznaava kvalitet lokalnog tla iznad leine stenesa stanovita uticaja zemljotresa na objekat




A li ti j lj t
http://find/

7/26/2019 mknm_3b

47/151


Yu propisi iz 1981

Koeficijent dinaminosti Kd odreuje se prema trispektralnekriveu zavisnosti od tri kategorije tla iosnovnog perioda T

slobodnih harmonijskh vibracija objekta u posmatranom pravcuKategorije tla su- dobro tlo . . . tlo kategorije I- srednje tlo . . . tlo kategorije II- loe tlo . . . tlo kategorije III

Dobrom tlu odgovara najmanja seizmika sila, a loem tlunajvea seizmika sila




K fi ij t di i ti K fiki ik
http://find/

7/26/2019 mknm_3b

48/151

Koeficijent dinaminosti Kd - grafiki prikaz

Koeficijent dinaminosti Kd u zavisnosti od kategorije tla iosnovnog perioda Tslobodnih vibracija objekta za posmatranipravac delovanja seizmikih sila




K fi ij t di i ti K litiki ik
http://find/

7/26/2019 mknm_3b

49/151

Koeficijent dinaminosti Kd - analitiki prikaz

Koeficijent dinaminosti Kd u zavisnosti od kategorije tla iosnovnog perioda Tslobodnih vibracija objekta za posmatranipravac delovanja seizmikih sila




http://find/

7/26/2019 mknm_3b

50/151


Yu propisi iz 1981

Naelno, za fundiranje objektanajpovoljnije su homogenestenske mase

Najnepovoljnije tloza fundiranje ine rastresiti, nasuti i vodomnatopljeni tereni

Seizmike karte prikazuju oekivanu seizminost teritorije saistim stepenom skale MSK-64, meutim,lokalni uslovi tlamogu bitno da prmene karakteristike mogueg zemljotresa

Za znaajnije objekte vri seseizmika mikrorejonizacijaukojoj se detaljno ocenjuju lokalni uslovi i mogui zemljotres




http://find/

7/26/2019 mknm_3b

51/151


Yu propisi iz 1981

Koeficijent priguenja i duktiliteta Kp omoguuje korekcijuseizmikih sila kod objekata koji se razlikuju od uobiajenih

konstrukcija na koje se Pravilnik odnosiKoeficijent priguenja i duktiliteta je Kp>1

- ako objekti imaju manje relativno priguenje u odnosu na onosa kojim su odreivane spektralne krive, ili

- ako objekti imaju manju sposobnost deformacije (imaju manji

duktilitet)




Koeficijent priguenja i duktiliteta K
http://find/

7/26/2019 mknm_3b

52/151

Koeficijent priguenja i duktiliteta Kp




http://find/

7/26/2019 mknm_3b

53/151


Yu propisi iz 1981Kada se izraunaukupna seizmika sila S=K Gkoja delujena objekat u razmatranom horizontalnom pravcu, vri seodreivanje seizmikih sila koje deluju i nivoima pojedinih

tavanicaRaspodela seizmikih sila po visinivri se u skladu sa relacijom

Si=S Gi Hi

ni=1 Gi Hi

(i= 1, 2, . . . , n) (5)

gde je- Si . . . seizmika sila koje deluje u centru mase tavanice broj i- Gi . . . pripadajua teina tavanice broj i




http://find/

7/26/2019 mknm_3b

54/151


Yu propisi iz 1981

kao i- Hi . . . visina tavanice broj imereno od gornje ivice temelja (od

ukljetenja vertikalnih elemenata u temelje ili u krutu

podrumsku konstrukciju)- n . . . ukupan broj tavanica

Za objekte koji imajuvie od 5 spratova, n >5, raspodelaukupne seizmike sile S=K G vri se na sledei nain:

- 15% ukupne sile Skoncentrie sa na vrh objekta (na poslednju

tavanicu)- 85% ukupne sile Sraspodeli se na sve tavanice, ukljuujui i

poslednju, prema formuli (5)




Raspodela ukupne seizmike sile po visini objekta
http://find/

7/26/2019 mknm_3b

55/151

Raspodela ukupne seizmike sile po visini objekta




http://find/http://goback/

7/26/2019 mknm_3b

56/151


Yu propisi iz 1981

Uticaj seizmikih sila naelemente konstrukcija(npr. zidoviispune, balkoni, parapeti, dimnjaci na objektu, . . . ), raunajuse sa ekvivalentnom seizmikom silom

S=Ks Ke Gegde je

- Ks . . . koeficijent seizminosti u zavisnosti od posmatrane zone

seizminosti- Ke . . . koeficijent definisan Pravilnikom- Ge . . . teina posmatranog elementa konstrukcije




Koeficijent Ke za seizmiki uticaj na element
http://find/

7/26/2019 mknm_3b

57/151

Koeficijent Ke za seizmiki uticaj na element

konstrukcije

Ekvivalentna seizmika sila na element konstrukcije:

S=Ks Ke Ge




http://find/

7/26/2019 mknm_3b

58/151


Yu propisi iz 1981

Ankerovanje opremeu zgradama, ije prevrtanje moe dadovede u opasnost ljudske ivote, ili da priini veu materijalnutetu, rauna se prema izrazu

S=Ks Ke Gegde je Ke= 10.0

Proraun ankerovanjaskupocene opreme, ija je funkcijaneophodna u objektima, vri se metodom dinamike analize

objekta zajedno sa opremomDinamika analiza uticaja zemljotresaobavezna je za

1 sve objektevan kategorije2 prototip industrijski proizvedenih objekata veih serija




Sadraj
http://find/

7/26/2019 mknm_3b

59/151

Sadraj



2 Analiza uticaja zemljotresaEkvivalentno statiko optereenjeSpektralna seizmika analizaMultimodalna spektralna seizmika analiza




http://find/

7/26/2019 mknm_3b

60/151

j j

Spektralna seizmika analiza

Spektralna analizase esto koristi u seizmikim proraunima

Multimodalna spektralna seizmika analiza je glavni nainprorauna uticaja zemljotresa na konstrukcije u propisima EU:uEvrokodu EC8

Spektralne krive se definiu za (ekvivalentan) sistem sa jednimstepenom slobode (SDOF), a zatim se proiruje primena nasisteme sa vie stepeni slobode (MDOF)

Posmatra se prvo SDOF (linearan oscilator sakarakteristikama: masa, priguenje, krutost -m, c, k)




http://find/

7/26/2019 mknm_3b

61/151

j j

Spektralna seizmika analiza - SDOF

U sluaju prikazivanja dejstva zemljotresa, linearni oscilator(SDOF) se prikazuje kao konzola, a seizmika pobuda jezadata translacija ukljetenja (prenosno kretanje) s= s(t)

Diferencijalna jednaina kretanja maaps= FR glasi

m(s + x) = cx kx mx + cx + kx = ms (6)



Ekvivalentno statiko optereenje


http://find/

7/26/2019 mknm_3b

62/151

j j

Spektralna seizmika analiza - SDOFJednaina (6) je nehomogena linearna dif. jed. 2. reda sakonstantnim koeficijentima

Kako nije poznato kakvom zemljotresu e da bude izloen

posmatrani sistem, odn. ubrzanje s(t)nije poznato, usvaja sezapis (akcelerogram) s1 nekogpoznatog zemljotresa

Reenje nehomogene djk (diferencijalne jednaine kretanja)dato je kao zbir opteg integrala homogene djk i partikularnog

integrala nehomogene djkIntegracione konstante u reenju odreuju se iz poznatihpoetnih uslova x(0) =x0, x(0) =v0





http://find/

7/26/2019 mknm_3b

63/151

j j


Homogena djk (6) moe da se odnosi na- nepriguene vibracije(zanemareno priguenje c= 0)

mx + kx = 0 x + 2

x= 0 (7)

- priguene vibracije(uzima se u obzir i priguenje c = 0)

mx + cx + kx = 0 x + 2x + 2x= 0 (8)

gde je

=

k

m 2=

c

m (9)





http://find/

7/26/2019 mknm_3b

64/151


Iz druge od relacija (9) dobija se

= c

2m =

c

ccr(10)

Veliina jerelativno priguenje, dok je ccr = 2m kritinopriguenje

Kod realnih konstrukcija je uvek

7/26/2019 mknm_3b

65/151


U sluajuslobodnih nepriguenihvibracija x + 2x= 0reenjese dobija u obliku harmonijskih oscilacija:

x(t) =x0cos t +v0

sin t (11)

gde je

- =km . . . kruna frekvencija slobodnih nepriguenih vibracja- T = 2

. . . period slobodnih nepriguenih vibracja





http://find/

7/26/2019 mknm_3b

66/151

Spektralna seizmika analiza - SDOFU sluajuslobodnih priguenihvibracija x + 2x + 2x= 0,za sluajmalog priguenja,

7/26/2019 mknm_3b

67/151

Spektralna seizmika analiza - SDOFKada se reava nehomogena djk (6), sa usvojenimakcelerogramom s1, imajui u vidu daakcelerogram nijeanalitiki definisana funkcija, ve je data kao skup diskretnih

vrednosti izmerenih ubrzanja u (ekvidistantnim) intervalimavremena t, reavanje se vrinumerikom integracijomkorakpo korak

Direktnom numerikom integracijom korak po korak,primenom nekog od postupaka implicitne integracije, npr.

Njumark- ilipostupka, dolazi se do reenja za pomeranja,brzine i ubrzanja u diskretnim trenucima vremena:x= x(t), x= x(t)i x= x(t)





http://find/

7/26/2019 mknm_3b

68/151

Spektralna seizmika analiza - SDOFNa slici (a) prikazan je akcelerogram, a na slici (b) dobijenonumeriko reenje zaapsolutno ubrzanje

U reenju za apsolutno ubrzanje uoava se maksimalna

vrednost, jer ona definie maksimalnu seizmiku silu(inercijalna sila Fin= maaps)





http://find/

7/26/2019 mknm_3b

69/151


Ako se|s1+ x|maxpodeli sa max ubrzanjem tla|s1,max|,

dobija seamplifikacija maksimalnog ubrzanja tla za SDOFkojiima odgovarajui period slobodnih vibracija, recimo, T1Postupak analize se ponavlja zapromenjene karakteristikeoscilatora SDOF i odreuje se amplifikacija ubrzanja tla zaneki drugi period slobodnih vibracija T2





Variranje karakteristika SDOF sistema
http://find/

7/26/2019 mknm_3b

70/151





Razliite spektralne krive za SDOF
http://find/

7/26/2019 mknm_3b

71/151





http://find/

7/26/2019 mknm_3b

72/151


Karakteristike linearnog oscilatora variraju se tako da sepokriju osnovni periodi slobodnih vibracija uintervaluT

[0, 4]s

Za svaki posmatrani razliiti period slobodnih vibracija reavase djk za isti akcelerogram s1 i odreuje se maksimalnoapsolutno ubrzanje|s1+ x|max, koje se deli sa|s1,max|Time se dobija kriva K1 amplifikacije max ubrzanja tla za

razliite karakteristike SDOF sistema, a za isti akcelerogram(povezivanjem diskretno dobijenih vrednosti)





http://find/

7/26/2019 mknm_3b

73/151


Dobijena kriva jespektar amplifikacije ubrzanja tla s1 ilispektar apsolutnog ubrzanja SDOFza dati akcelerogram s1Dobijenakriva K1 je nepravilnog oblika, jer je i akcelerograms1nepravilna diskretno definisana aperiodina funkcija





http://find/

7/26/2019 mknm_3b

74/151


Naravno, malo je verovatno da se na datoj lokaciji dogodi bazemljotres sa ubrzanjem tla s1, koji se nekad dogodio makar ina bliskoj lokaciji

Zbog toga se bira itavniz drugih zapisaakcelerograma si,i= 1, 2, . . . , n, i za svaki se na prikazan nain odreujeodgovarajui spektar apsolutnog ubrzanja, krive KiNa jednom grafikom prikazu, u funkciji perioda T, prikazuju

se sve spektralne krive maksimalnog apsolutnog ubrzanjaSDOF za sve posmatrane akcelerograme





http://find/

7/26/2019 mknm_3b

75/151


Spektralne krive maksimalnog apsolutnog ubrzanja SDOFsistema mogu da se odreuju za usvojeni nizrealnih(registrovanih) akcelerograma, kao i zavetaki generisane

akcelerogrameNa jedinstvenom prikazu svih spektralnih krivih za usvojeneakcelerograme, odreuje se jednaglatka obvojnica (anvelopa)

Ovako dobijena anvelopa pretstavljaspektar maksimalnog

ubrzanja tlaza itavu klasu sistema SDOF koji imaju periodslobodnih oscilacija u datom intervalu od 0 do, recimo, 4 s





http://find/

7/26/2019 mknm_3b

76/151


Spektralna kriva maksimalnog apsolutnog ubrzanja moe da sekoristi za itav iz graevinskih objekata koji imajuosnovniperiodslobodnih vibracija u navedenom intervalu





http://find/

7/26/2019 mknm_3b

77/151

Spektralna seizmika analiza - SDOFU generisanjuglatke obvojnice, odn. usvojene spektralne krivemaksimalnog apsolutnog ubrzanja SDOF za itav nizakcelerograma, obino se usvaja da je deo anvelope od T = 0do maksimuma konstantan (deo A-B) i jednak maksimumuanvelopeDeo B-Cpretstavlja odgovarajue opadanje vrednostispektralne krive, ali se posle nekog nivoa C ne smanjujeanvelopa (deo C-D)

Ovako dobijena spektralna kriva maksimalnog apsolutnogubrzanja, koja je odreena analizom niza SDOF, koristi se i useizmikoj analizi realnih konstrukcija (MDOF sistema)





http://find/

7/26/2019 mknm_3b

78/151


Dinamika analizaza posmatrani akcelerogram daje potpunijusliku o ponaanju konstrukcije tokom zemljotresa

Problem je to je zemljotressluajna pojavai neki vedogoeni i registrovani zemljotres nee nikad vie da se ponovi(na isti ili slian nain)

Metoda spektralne seizmike analize je jednostavnija (manjezahtevna), a pokriva itav niz zemljotresa, tako da se eekoristi





http://find/

7/26/2019 mknm_3b

79/151

Spektralna seizmika analiza - SDOFMetodom spektra odgovora odreuje se maksimalna vrednostneke (traene) veliine SDOF sistema za datu pobudu

Djk sistema sa jednim stepenom slobode, za pobudu usledakcelerograma s(t), moe da se prikae u obliku:

x + 2x + 2x= s(t) (13)

Reenje ove djk, za homogene poetne uslove, dato je u oblikuintegrala konvolucije(Duhamel-ov integral):

x(t) = 1

d

t0

s() e(t) sin d(t )d (14)





http://find/

7/26/2019 mknm_3b

80/151


U reenju (14) sa d oznaena jekruna frekvencija slobodnihpriguenih vibracija, data sa

d =

1 2

(15)Kod realne konstrukcije (koja se posmatra kao ekvivalentanSDOF sistem) relativno priguenje je malo, tako da je estoopravdano da se koristi d Vidi se da je odgovor sistema dat sa (14) manji to je krunafrekvencija vea





http://find/

7/26/2019 mknm_3b

81/151

Spektralna seizmika analiza - SDOFKao to se vidi iz (14), za dati akcelerogram reenje zavisisamo od relativnog priguenja i krune frekvencije, odn.svojstvenog perioda T

Prema tome,dva SDOF sistema, sa razliitim masama ikrutostima, ali saistim i , imaeisti odgovor

Kako akcelerogram nije analitiki zadata funkcija,izraunavanje konvolucionog integrala vri se nekim odpostupaka numerike integracije

Alternativno, djk (13) moe da se reava direktnomnumerikom integracijom korak po korak






http://find/

7/26/2019 mknm_3b

82/151

Spektralna seizmika analiza - SDOFOsim spektralne krive apsolutnog ubrzanja moe da se odredi ispektralna kriva neke druge veliine, npr. brzine i pomeranja

Spektar odgovora (Response spectrum)neke veliine

pretstavlja maksimalnu vrednost te veliine, izraunato za datupobudu, a u funkciji svojstvenog perioda (ili frekvencije), aparametarski i od relativnog priguenja: S=S(T, )U seizmikoj analizi koriste se sledee spektralne krive:

- spektarpomeranja Sd(T, ) . . . Sd =

|x(t)

|max

- spektarbrzine SV(T, ) . . . SV = |x(t)|max- spektarapsolutnog ubrzanja SA(T, )

. . . SA = |x(t) + s(t)|max






http://find/

7/26/2019 mknm_3b

83/151


Takoe, umesto spektra relativne brzine i spektra apsolutnogubrzanja, koriste se ispektar pseudobrzineispektarpseudoubrzanja, dati sa

Sv = Sd Sa=2 Sd (16)

Nazivpseudose upotrebljava zato to se koristi krunafrekvencija nepriguenih vibracija , a ne kruna frekvencijapriguenih vibracija d






Razliite spektralne krive za SDOF
http://find/

7/26/2019 mknm_3b

84/151






http://find/

7/26/2019 mknm_3b

85/151


Kod graevinskih konstrukcija relativno priguenje je malo (oko3-5%), pa je d (za = 0.05jed 0.9987)Spektralna brzina proporcionalna je maksimalnoj potencijalnojenergiji koja se akumulira elastinim deformacijama tokom

zemljotresa (jer je k=2 m):

Ep,max=1

2k |x(t)|2max=

1

2k S2d =

1

2m S2V

Na osnovu spektralnog pseudoubrzanja dobija semaksimalnaseizmika sila:

Fs,max=k |x(t)|max=k Sd=m2 Sd=m Sa






Sadraj
http://find/

7/26/2019 mknm_3b

86/151


2 Analiza uticaja zemljotresaEkvivalentno statiko optereenjeSpektralna seizmika analiza

Multimodalna spektralna seizmika analiza






http://find/

7/26/2019 mknm_3b

87/151

Diferencijalne jednaine kretanja - MDOF

U analizi realne graevinske konstrukcije, esto primenomMKE, formira se odgovarajuiraunski model - MDOF, sa nstepeni slobode kretanja

Djk za sluaj analize uticaja zemljotresa prikazanog preko

posmatranogakcelerograma s(t)moe da se prikae u obliku

Mx + Cx + Kx= M e s(t) (17)

U jednaini (17) sa M, C, Koznaeni su matrica mase,

priguenja i krutosti (simetrine i pozitivno definitne matrice),dok su x, x, xvektori ubrzanja, brzine i pomeranja (odn.generalisanih koordinata), a eje vektor reda nsa elementima

jednakim 1.0






http://find/

7/26/2019 mknm_3b

88/151

Slobodne nepriguene vibracije - MDOF

Diferencijalne jednaineslobodnih nepriguenih vibracijaposmatranog raunskog modela sloenog MDOF sistema data

je sa

Mx + Kx= 0 (18)Trai se takvo reenje sistema (18) u kome sve generalisanekoordinateosciluju sinhrono i sinfazno

To znai da sve generalisane koordinate imaju istu vremensku

zavisnost i da se opta konfiguracija kretanja ne menja savremenom izuzev po amplitudi






http://find/

7/26/2019 mknm_3b

89/151

Slobodne nepriguene vibracije - MDOFPrema tome, vektor generalisanih koordinata (pomeranja) traise u obliku

x(t) = cos(t ) (19)

gde je konstantan vektor reda n

=

12...

n

=const

dok su i kruna frekvencija i faza







Sl b d b O
http://find/

7/26/2019 mknm_3b

90/151


Unosei pretpostavljeno reenje (19) u jednaine (18) dobija sehomogen sistem linearnih algebarskih jednainaponepoznatom vektoru , posle skraivanja sa cos(t ):

(

2M+ K)= 0 (20)

Netrivijalno reenje ovakvog sistema postoji pod uslovom da jedeterminanta matrice koeficijenata sistema homogenih

jednaina jednaka nuli:

det[K 2M] = 0 (21)Determinanta u jedn. (21) zove sekarakteristinadeterminanta






http://find/

7/26/2019 mknm_3b

91/151


Razvijanjem determinante dobija se polinom stepena nponepoznatom parametru 2 koji se zovekarakteristian polinom

Prema tome, uslov (21) svodi se na odreivanje nulakarakteristinog polinoma:

D(2) =det[K 2M] = 0 (22)

To jekarakteristina jednainaili, u ovom sluaju,frekventnajednaina






http://find/

7/26/2019 mknm_3b

92/151


Homogen sistem (20) pretstavljageneralisani problemsvojstvenih vrednostipara matrica K i M reda nReavanjem takvog problema dobijaju se

1 21

, 22

, . . . , 2n . . . svojstveni brojevi

2 1, 2, . . . , n . . . svojstveni vektoriZbog injenice da su matrice K i Msimetrine i pozitivnodefinitne, svojstveni brojevi surealni, pozitivnii meusobnorazliiti brojevi: 0< 21 <

22 < . . . <

2n

Kvadratni koreni iz svojstvenih brojeva susvojstvene krunefrekvencijei:

1< 2< . . . < n [rad/s] (23)





http://find/

7/26/2019 mknm_3b

93/151

Slobodne nepriguene vibracije - MDOFNajnia kruna frekvencija 1 naziva seosnovna(fundmentalna) kruna frekvencija

Veliine Ti:

Ti=2i

(i= 1, 2, . . . , n) [s] (24)

susvojstveni periodi sistema, a reciprone vrednosti:

fi= 1

Ti = i2 (i= 1, 2, . . . , n) [Hz] (25)

susvojstvene frekvencije sistema





http://find/

7/26/2019 mknm_3b

94/151

Slobodne nepriguene vibracije - MDOFUnoenjem svojstvenih brojeva 2i u homogene jednaine (20),redomi= 1, 2, . . . , n, i reavanjem, dobijaju sesvojstvenivektori, odn. svojsvteni obliciilimodalni vektori:

(2i M+ K)i= 0 i (i= 1, 2, . . . , n) (26)

Elementi vektora svojstvenih oblika prikazuju relativni odnosamplituda oscilovanja k,i mase mk u tonu i

Svojstveni vektori i odreeni sudo naproizvoljnukonstantu,jer su jednaine (26) homogene





http://find/

7/26/2019 mknm_3b

95/151


Zbog toga se svojstveni vektorinormalizujuNormalizacija svojstvenih vektora moe da se izvri na raznenaine, ali se koriste sledei pristupi:

normalizacija u odnosu naizabrani elementvektora (npr.element vektora koji odgovara pomeranju izabranog vorakonstrukcije, recimo na vrhu)normalizacija u odnosu nanajvei elementu svojstvenomvektoru (usvoji se da on bude jednak 1.0, a ostali elementi se

dobijaju deljenjem sa tim najveim elementom)normalizacija svojstvenih vektora u odnosu namatricu mase





http://find/

7/26/2019 mknm_3b

96/151


Svojstveni vektori se nazivajusvojstveni oblicijer vrednostikoeficijentata normalizovanog vektora i prikazujuoblikkonstrukcijeprilikom oscilovanja utonu broj isa svojstvenomkrunom frekvencijom iUvek treba da se ima u vidu da su svojstveni oblici odreeni dona konstantu, tako da cifre koje prikazuju deformaciju sistemau nekom svojstvenom obliku pretstavljaju samo relativne, a ne

apsolutne, vrednosti





http://find/

7/26/2019 mknm_3b

97/151


Prema tome, reenja problema svojstvenih vrednosti (20) susvojstveni parovi (i, i), (i= 1, 2, . . . , n):

- svojstveni broj . . . i- svojstveni oblik . . . i

Svaki svojstveni par, (i= 1, 2, . . . , n), zadovoljava homogenealgebarske jednaine (20):

(2

i M+ K)i=0

odn. Ki =2

i M i (27)





http://find/

7/26/2019 mknm_3b

98/151


Obino je najpogodnijanormalizacijau odnosu namatricumase, prema relaciji:

M(i) =Ti M i= 1 (i= 1, 2, . . . , n) (28)

gde je sa Toznaena transpozicija modalnog vektora, dok seM(i) nazivamodalna masa tona i, koja je u sluaju ovakvenormalizacije jednaka jedinici

Zbog relacije (26): Ki=2i M i, posle normalizacije u

odnosu na matricu mase (28), vai oigledno i relacija:

Ti Ki=2i (i= 1, 2, . . . , n) (29)

Stanko B i Betonske konst kcije 2




http://find/

7/26/2019 mknm_3b

99/151

Slobodne nepriguene vibracije - MDOFSvojstveni oblici, odnosno modalni vektori, posedujuosobinuortogonalnosti u odnosu na matricu mase, kao i u odnosu namatricu krutosti

Ako su i i j dva razliita svojstvena vektora kojimaodgovaraju svojstvene frekvencije i ij, onda se lakopokazuje da vaeuslovi ortogonalnosti:

Ti M j = 0 (i

=j)

Ti Kj = 0 (i =j) (30)





http://find/

7/26/2019 mknm_3b

100/151

Slobodne nepriguene vibracije - MDOFAko su svojstveni vektori normalizovani u odnosu na matricumase, prema (28), onda se, zbog ortogonalnosti, kae da susvojstveni vektori ortonormiraniu odnosu na matricu mase:

Ti M j =ij (i, j = 1, 2, . . . , n) (31)

gde je ij Kronekerov delta simbol

ij =

1 i=j0 i =j





http://find/

7/26/2019 mknm_3b

101/151

Slobodne nepriguene vibracije - MDOFTada takoe vai i relacija ortonormiranosti u odnosu namatricu krutosti

T

iKj = 2i =2j i=j

0 i =j (32)

Modalni vektori i, (i= 1, 2, . . . , n)mogu da se grupiu ukvadratnu matricu reda ntako to predstavljaju kolonematrice:

= [ 1 2 n ] (33)Takva matrica se zovemodalna matrica




Ekvivalentno statiko optereenjeSpektralna seizmika analiza



Sl b d i ib ij MDOF
http://find/

7/26/2019 mknm_3b

102/151


Moe da se formira i dijagonalna matrica reda niji suelementi kvadrati svojstvenih frekvencija

=diag(21, 22, . . . , 2n) =

21

2

2 . . .2n

(34)

Sa ovim, sva reenja problema svojstvenih vrednosti

Ki=2i M i(i= 1, . . . , n)mogu da se napiu u obliku

K =M (35)







Modalna analiza - MDOF
http://find/

7/26/2019 mknm_3b

103/151

Takoe, ako su modalni vektori ortonormirani u odnosu namatricu mase, uslovi ortogonalnosti (31) i (32) mogu da sepiu u obliku:

TM =I TK = (36)

gde je Ijedinina matrica reda n

U reavanju djk za uticaj zadatog akcelerograma (17) moe dase koristimodalna analiza

Uvode semodalne (normalne) koordinate yumesto prvobitnihgeneralisanih koordinata xpreko linearne transformacije

x= y (37)






http://find/

7/26/2019 mknm_3b

104/151

Modalna analiza - MDOFKako je modalna matrica nezavisna od vremena, to jex= y, kao i x= y

U djk (17) unosi se transformacija (37) i jednaina se mnoi sa

leve strane sa T:

TMy + TCy + TKy= TM e s(t)

Imajui u viduuslove ortonormiranosti(36), dobija se

y + Cy + y=f(t) (38)






http://find/

7/26/2019 mknm_3b

105/151

Modalna analiza - MDOFU jedn. (38) uvedene su uznake

C = TC

f(t) =

TM e s(t)(39)

MatricaC je simetrina matrica reda n, ali u optem sluajunije dijagonalna

Matrica priguenja C, po pravilu, usvaja se u obliku tzv.

Relijevog priguenja, kao linearna kombinacija matrice mase imatrice krutosti:C=M+ K (40)






http://find/

7/26/2019 mknm_3b

106/151

Modalna analiza - MDOFImajui to u vidu, matrica C, videti (39), postajedijagonalnamatrica

C = T(M+ K) =I+ (41)

Koeficijentii u relaciji (40) odreuju se iz uslova da je zadva razliita svojstvena oblika broj iij usvojena neka vrednostza relativno priguenje

Dobijaju se izrazi:

= 2ij ji ij2i 2j

= 2ii jj2i 2j

(42)






http://find/

7/26/2019 mknm_3b

107/151


U izrazima (42) i i j su svojstvene frekvencije neka dvasvojstvena oblika, dok su i i j usvojena relativna modalnapriguenja za te tonove

Obino se za sve tonove usvaja isto relativno priguenje, znaii =j, pa se u tom sluaju relacije (42) svode na:

= 2iij

i+ j

= 2i

i+ j

(43)






http://find/

7/26/2019 mknm_3b

108/151

Modalna analiza - MDOFZa elemente dijagonalne matrice C, u analogiji sa sistemomsa jednim stepenom slobode kretanja, uvodi se oznaka

C =diag[2ii] (i= 1, 2, . . . , n) (44)

Ako se element vektora f(t), videti (39), oznai sa fi(t), djk(38) mogu da se piu kaosistem nezavisnih jednaina:

yi(t) + 2i i yi(t) + 2i yi(t) =fi(t) (i= 1, . . ,n) (45)

Dobijene nezavisne jednaine su djk umodalnom prostoru






http://find/

7/26/2019 mknm_3b

109/151

Modalna analiza - MDOFSvaka od nezavisnih jednaina po formi je ista kao i djk zasistem sa jednim stepenom slobode (SDOF sistem) (13)

Reenje svake od nezavisnih modalnih jednaina (45) moe da

se dobije analitikim putem u viduintegrala konvolucije(Duhamel-ov integral)

Zahomogene poetne uslove, reenje svake od nezavisnihjednaina (45) dato je sa

yi(t) = 1di

t0

fi() eii(t) sin di(t )d (46)







http://find/

7/26/2019 mknm_3b

110/151

U reenju (46) uvedena je oznaka za krunu frekvencijupriguenih vibracija u tonu i:

di =i1 2i (i= 1, 2, . . . , n) (47)

Za malo relativno prigenje, i 1, moe da se usvoji da jedi iImajui u vidu da se u reenju (46) kruna frekvencijaposmatranog tona inalazi u imeniocu, vidi se da suznaajniji

odgovori za nie tonove(za svojstvene oblike sa manjimvrednostima krune frekvencije), odn. da jeuticaj viih tonovazanemarljiv






http://find/

7/26/2019 mknm_3b

111/151

Modalna analiza - MDOFTo je osnov za primenuredukovane modalne analizegde se zasistem sa nstepeni slobode koriste samo mnajniih tonova,gde je m < n, pa ak i m n

Kada se dobije reenje u modalnom prostoru, prema modalnojtransformaciji (37), dobija se reenje u prvobitnom prostoru(t.j. u polaznim generalisanim koordinatama x):

x(t) =

y(t) =

ni=1

i yi(t) (48)







http://find/

7/26/2019 mknm_3b

112/151

Izraz (48) pretstavljamodalnu superpoziciju(razvijanje u redpo svojstvenim vektorima, koji ine ortogonalnu bazu un-dimenzionalnom modalnom prostoru)

U razvijenom obliku, modalna superpozicija (48) moe da se

prikae kao:

x1(t)x2(t)

...xn(t)

=

1,12,1

...n,1

y1(t) + +

1,n2,n

...n,n

yn(t) (49)

gde je k,i element broj k svojstvenog vektora i





http://find/

7/26/2019 mknm_3b

113/151


Prema tome, reenje je dobijeno kaosuperpozicija svihsvojstvenih oblika ipomnoenih sa reenjima modalnih

jednaina yi(t)

Osnovni problem u ovakvoj modalnoj analizi uticajazemljotresa (modalnoj superpoziciji) je u tome toakcelerogram nije analitiki zadata funkcija

Analitiko reenje konvolucionog integrala ne postoji

Postoji mogunostnumerikog reavanjaintegrala konvolucije





http://find/

7/26/2019 mknm_3b

114/151


Imajui u vidu i da je vremenska promena slobodnog lanaf(t)linearna unutarmalih intervala vremena tkojiodgovaraju registrovanju akcelerograma, postoji mogunost ireenja modalnih jednainakorak-po-korak

Pri tome postojianalitiko reenjeza linearnu raspodeluoptereenja unutar svakog intervala t

Takav postupak je veoma efikasan






http://find/

7/26/2019 mknm_3b

115/151

Modalna analiza MDOF

Imajui u vidu vektor slobodnog lana (39)

f(t) = TM e s(t) (50)

bilo koji element fi(t)tog vektora moe da se prikae u oblikufi(t) = Ti M e s(t) = L(i) s(t) (51)

Normalizacija svojstvenih vektora ne mora da bude u odnosuna matricu mase, kao to je prikazano sa (28) (za modalnuanalizu bitna je osobina ortogonalnosti svojstvenih vektora, ane nain normalizacije)






http://find/

7/26/2019 mknm_3b

116/151

Imajui u vidu neku drugu normalizaciju svojstvenih vektora,kao i pojammodalne maseM(i) dat sa (28), definie sefaktorparticipacije tona broj ikao

(i) = L(i)

M(i) =

T

i M eTi M i

(52)

U sluaju normalizacije u odnosu na matricu mase (28)modalna masa je jednaka jedinici, M(i) = 1, tako da je faktor

participacije u tom sluaju jednak(i) =L(i) =Ti M e (53)





http://find/

7/26/2019 mknm_3b

117/151

Modalna analiza - MDOFVeliina L(i) je konstanta za ton i(ne zavisi od vremena), kaoni faktor participacije (i)

Optereenje u nezavisnim modalnim jednainama moe da se

prikae u obliku (51), odnosno preko faktora participacije:fi(t) = (i) s(t)Prema tome, reenje modalnih jednaina (konvolucioniintegral) dat sa (46) moe da se prikae u obliku

yi(t) = (i) 1di

t0

s() eii(t) sin di(t )d (54)






http://find/

7/26/2019 mknm_3b

118/151

Reenje (54) moe da se kompaktnije prikae kao

yi(t) = (i) Di(t) (55)

gde je

Di(t) = 1di

t0

s() eii(t) sin di(t )d (56)

Veliina Di(t)je integral koji prikazujezemljotresni odgovor

(integral konvolucije)za svojstveni ton broj i, a zavisi odakcelerograma s(t), kao i od krune frekvencije i i relativnogpriguenja i za posmatrani svojstveni ton i






http://find/

7/26/2019 mknm_3b

119/151

Kada se odrede reenja svih modalnih jednaina, moe da seformira vektor sa reenjima u modalnom prostoru:

y(t) = (i) Di(t)

Reenje u prvobitnim generalisanim koordinatama xdato je samodalnom transformacijom (37), odn. u vidu superpozicijesvojstvenih vektora:

x(t) = Ty(t) =n

i=1

i(i) Di(t)





http://find/

7/26/2019 mknm_3b

120/151

Modalna analiza - MDOFVektorpomeranja u tonu idat je sa

xi(t) =i(i) Di(t) (57)

ili u razvijenom obliku

x1(t)x2(t)

...xn(t)

i

=

1,i2,i

...n,i

(i) Di(t)





http://find/

7/26/2019 mknm_3b

121/151


Vektor ukupnihelastinih sila tokom zemljotresa(odn. vektorekvivalentnih seizmikih sila), za poznat vektor relativnogpomeranja x, dat je sa

Fs=Kx

dok je vektor ekvivalentnih seizmikih sila za ton idat sa

Fs,i=Kxi (58)





http://find/

7/26/2019 mknm_3b

122/151

Modalna analiza - MDOFFormulacija problema svojstvenih vrednosti (27):

Kxi=2i M xi

moe da se shvati kaoekvivalencija elastinih i inercijalnih silatokom zemljotresa

Prema tome, seizmike sile u tonu imogu da se prikau i uobliku

Fs,i=2i M xi (59)





http://find/

7/26/2019 mknm_3b

123/151


Imajui u vidu izraz za vektor pomeranja u tonu idat sa (57),ekvivalentne seizmike sile u tonu imogu da se prikau kao

Fs,i=2i M i(i) Di(t) (60)

Relacija (60) moe da se prikae u obliku

Fs,i=M i(i)

2i Di(t) =M i

(i)

Ai(t) (61)





http://find/

7/26/2019 mknm_3b

124/151

Modalna analiza - MDOFVeliina M i(i) u izrazu (61) ima dimenziju mase, dok jeAi(t):

Ai(t) =2i Di(t) (62)

sa dimenzijom ubrzanja, jer je proizvod pomeranja Di ikvadrata svojstvene krune frekvencije 2iMaksimalna vrednost zemljotresnog odgovora Di(t), datog sa(56), pretstavlja, u stvari,spektar pomeranjaza ton i:

Sdi= |Di(t)|max







A ( )
http://find/

7/26/2019 mknm_3b

125/151

Prema tome, maksimalna vrednost veliine Ai(t)jespektarpseudoubrzanjaza ton i:

Sai= |Ai(t)|max=2i|Di(t)|max=2i Sdi

Vektor u izrazu (61), uz spektar pseudoubrzanja za ton i,dakle:

Si= (i) M i (63)

moe da se nazove vektormodalnih inercijalnih sila, iako ima

dimenziju mase, a opisuje raspodelu modalnih inercijalnihkarakteristika konstrukcije (raspodelu mase) za posmatrani tonbroji





http://find/

7/26/2019 mknm_3b

126/151


Prema tome, doprinos svakog pojedinanog tona konstrukcijeu ukupnom odgovoru na uticaj zemljotresa prikazanog prekozadatog akcelerograma moe da se dobije kao rezultat dve

analize:1 statike analizekonstrukcijeMDOFoptereene modalniminercijalnim silama Si

2 dinamike analizeekvivalentnog sistemaSDOFsakarakteristikama posmatranog tona i izloenog uticajuakcelerograma





Modalni odgovor za uticaj zemljotresa
http://find/

7/26/2019 mknm_3b

127/151

Konceptualni prikaz modalnog odgovora konstrukcije za uticajzemljotresa (akcelerograma)







V k k i l ih d i i ikih il i d ih
http://find/

7/26/2019 mknm_3b

128/151

Vektormaksimalnihvrednosti seizmikih sila u tonu i, datih sa(61): M i(i) Ai(t), dobija se za|Ai(t)|max, odn. zaspektar pseudoubrzanja:

Fs,i,max= (i) M i

Sai (64)

Ukupna seizmika silau osnovi objektaza ton idobija sesabiranjem seizmikih sila po spratovima:

Fs,i=

nk=1 Fs,ki=F

T

s,i e (65)

gde je evektor kolona od nelemenata koji su jednaki 1.0






M d l li MDOF
http://find/

7/26/2019 mknm_3b

129/151

Modalna analiza - MDOFIzraz za ukupnu seizmiku silu za ton imoe da se prikae uobliku

Fs,i=

(i)

SaiM iT e= (i) Sai Ti M e

Imajui u vidu oznake (51): L(i) =Ti M e,ukupna seizmikasila u tonu imoe da se prikae kao

Fs,i= (i)

SaiL(i)

= (i)

L(i)

Sai (66)






M d l li MDOF
http://find/

7/26/2019 mknm_3b

130/151

Modalna analiza - MDOFVeliina uz spektralno pseudoubrzanje u izrazu za ukupnuseizmiku silu u tonu inaziva seefektivna masa za ton i:

mi,eff = (i) L(i) =

L(i)2

M(i) (67)

gde je uzet u obzir izraz (52) za faktor participacije kada se nevri normalizacija svojstvenih vektora u odnosu na matricumase, ve neka druga normalizacija

Efektivna masa za ton iprikazuje uee svakog tona ugenerisanju ukupnih seizmikih sila za vreme zemljotresa






M d l li MDOF
http://find/

7/26/2019 mknm_3b

131/151

Modalna analiza - MDOFEfektiovna modalna masazavisi od stvarnog rasporeda masepo visini zgrade, kao i od posmatranog svojstvenog oblika

Moe da se pokae da je zbir efektivnih modalnih masa za svetonove jednak ukupnoj masi konstrukcije

ni=1

mi,eff =N

k=1

mk =mtot

(indeks ise odnosi na svojstveni oblik vibracija, a indeks k naredni broj sprata)







Znaaj posmatranog tona na k pni sei miki odgo or
http://find/

7/26/2019 mknm_3b

132/151

Znaaj posmatranog tona na ukupni seizmiki odgovorkonstrukcije moe da se prikae sarelativnom modalnommasompreko koeficijenta i:

i=mi,eff

mtot

Smatra se da je u analizu uticaja zemljotresa ukljuen dovoljanbroj svojstvenih oblika (uredukovanoj modalnoj analizi)ukoliko je zbir relativnih modalnih masa vei od 90%:

i

i 0.90





Modalna analiza MDOF
http://find/

7/26/2019 mknm_3b

133/151

Modalna analiza - MDOFUkupna seizmika sila za ton idata je sa proizvodom efektvnemodalne mase i ordinatom spektra pseudoubrzanja zaposmatrani ton (odn. za svojstveni period Ti):

Fs,i=mi,eff Sai (68)Raspodela maksimalnih seizmikih sila po visini zgrade (odn.po spratovima) data je sa (64):

Fs,i= (i) Sai M i = (i)L(i)

L(i)Sai M i (69)



mknm_3b

Documents