8/18/2019 mke - teorijaаа novooOOO.docx
1/29
Грађевински факултет Универзитета у Београду
Семинарски рад
Виши курс из Метода коначних елемената
Студенти: Ментори:
Никола Ивановић 589/5 !роф" #р Бранислав
!у$евић
Мари$а Миленковић %&8/5 #р Мари$а Нефовска'
#аниловић
(ована Миловановић %&9/5
Бо$ана Нинић %&/5
8/18/2019 mke - teorijaаа novooOOO.docx
2/29
Сретен )*реновић %/5
1. ОСНОВЕ МЕТОДЕ КОНАЧНИХ ЕЛЕМЕНАТА
1.1 Увод
Метод кона+ни, еле-ената .редстава ну-ери+ки .осту.ак ре0ава1а
ин2е1ерски, .ро*ле-а" Могу да га користе све врсте ин2е1ера"
!ро3ес -оделира1а се заснива на физи+ко$ дискретиза3и$и
континуу-а" 4о зна+и да се раз-атрано .одру+$е као континуу- са
*ескона+но -ного сте.ени сло*оде за-е1у$е дискретни- -одело-
-еђусо*но .овезани, кона+ни, еле-ената са кона+ни- *ро$е- сте.ени
сло*оде" С о*зиро- на то да $е *ро$ дискретни, -одела за $едан
грани+ни .ро*ле- неограни+ено велики основни задатак $е да сеиза*ере она$ -одел ко$и на$*ое а.рокси-ира одговара$ући грани+ни
.ро*ле-"
#о*и$ена ре0е1а су .ри*ли2на" Мини-иза3и$а гре0ке се .ости2е
.овећа1е- 6ро$а еле-ената одређеног до-ена" Бро$ .оддо-ена
односно еле-ената $е кона+ан" 7ећи 6ро$ еле-ената +есто -о2е
иско-.илковати .рора+ун 6ез неког већег .овећа1а та+ности односно
8/18/2019 mke - teorijaаа novooOOO.docx
3/29
с-а1е1а гре0ке" 4о зна+и да $е .ри кори0ће1у ове теори$е у
.рора+уну разли+ити, конструк3и$а од великог зна+а$а детано
.ознава1е грани+ни, услова и гео-етри$ски, карактеристика
.о$едина+ни, еле-ената"
#о6и$а1е ути3а$а .о-ера1а дефор-а3и$а и на.она се .ракти+носводи на а.рокси-а3и$у ко-.ликоване $една+ине великог до-ена
гру.о- $едноставни$и, $една+ина" 4е,ни+ке -огућности и ка.а3итети
дана01и, ра+унара су ви0е него довони за та+но и 6рзо ра+уна1е
велики, гру.а $една+ина"
1.2 Преглед развоја меода !о"а#"$% елеме"аа
4е0ко $е и .о.рили+но неза,вално утврдити та+ан -о-енат кад $етеори$а .рви .ут звани+но .ри-е1ена" ао .ри-ер за илустра3и$у -о2е
се навести .ро6ле- одређива1а о6и-а или .овр0ине круга на основу
1егове .оделе на -а1е делове .равилног о6лика" Гр+ки -ате-ати+ар и
физи+ар ;р,и-ед ра+унао $е *ро$
8/18/2019 mke - teorijaаа novooOOO.docx
4/29
!рви радови
из .одру+$а
-етода
кона+ни,
еле-ената
.о$авили су се
+етрдесети,
година
.ро0лог века"
!аралелни и
независни рад
нау+ни,
радника
углавно- сарадника на .о$едини- а-ери+ки- универзитети-а и
талентовани, ин2е1ера на истоку углавно- у ини .од$еднако $едо.ринео .о+етно- разво$у теори$е" Иако су .ристу.и ко$е су ови
.ионири М= користили 6или разли+ити делили су одређене
за$едни+ке есен3и$алне карактеристике: тзв" дискретиза3и$у -ре2е
континуалног до-ена у ску. дискретни, .оддо-ена ко$и су касни$е
названи кона+ни еле-енти" !ознава1е истори$ата -о2е 6ити корисно и
интересантно на нивоу одређени, акаде-ски, рас.рава али ни$е
кру3и$ално за .ознава1е са-е теори$е" С ти- у вези .о-енуће-о у
кратки- 3рта-а рад они, нау+ника и ин2е1ера 6ез ко$и, 6и ова теори$а
каснила са 0иро- .ри-ено- или 6ила вео-а некорисна у .ракти+но$
у.отре6и" Међу .рви-а A. Hrenikof и R. Courant кра$е- 5&'и, и .о+етко-
%&'и,"
Истовре-ено у ини услед ко-.лексни, .рора+уна конструк3и$а 6рана
.рилико- велики, инфраструктурни, енергетски, .ро$еката ин2е1ер
K. Feng .рви .ут .редла2е систе-ски ну-ери+ки -етод за ре0ава1е
.ар3и$ални, диферен3и$ални, $една+ина" онкретно та$ -етод $е 6ио
заснован на .рин3и.у вари$а3и$е 0то .редстава $о0 $едан .от.уно
независни изу- ко$и $е касни$е .огурао друге да сво$и- радо-
до.ринесу разво$у теори$е М=" !рави за-а, теори$а до6и$а токо- %&'и,
и >&'и, година за,вау$ући сада наведени- .рофесори-а и 1и,ови-нау+ни- сарадни3и-а" На$за.а2ени$и су 6или Ј.H.Argyris са сарадни3и-а
са Универзитета у ?тутгарту зати- R. W. Clough и 1егови сарадни3и
а-ери+ког универзитета @@Беркли@@"
На.равен $е .рви ABCDEFGH &'()*'& (Nasa Structural Analysis). Из овог
разви$ен $е ('+ (Structural Analysis rogra!).
8/18/2019 mke - teorijaаа novooOOO.docx
5/29
!рви универзитетски уI*еник у о*ласти М= на.исао $е JBBK 9>L"
године у вре-е када $е -етод већ *ио .ри,ваћен"
1., О-"ове МКЕ
)сновни .рин3и. на ко$е- се заснива М= састо$и се у .одели раз-атраног
.одру+$а на кона+ан *ро$ -а1и, .одру+$а односно еле-ената тако да се
анализо- .о$едини, еле-ената уз .рет.оставку о 1и,ово$ -еђусо*но$
.овезаности анализира 3елина" )ва$ .ристу. у анализи где се од .осе*ног
иде ка о.0те- од индивидуалног ка универзално- у ко-е се анализо-
делова заку+у$е о 3елини $е .ознати индуктивни .ристу. ко$и се .ри-е1у$е
у -ноги- .одру+$и-а науке" од ин2е1ерски, и други, .ро*ле-а код ко$и, се
о.0та ре0е1а не -огу до*ити у затворено- о*лику индуктивни .ристу. $е од
.осе*ног зна+а$а"Су0тина а.рокси-а3и$е континуу-а .о -етоди кона+ни, еле-ената
састо$и се у следеће-:
'Mаз-атрани до-ен континуу-а .о-оћу за-и0ени, лини$а или
.овр0и дели се на одређен *ро$ .оддо-ена кона+ни, ди-ензи$а"
!о$едини .оддо-ени се назива$у "#$%&$и '''$*и а 1и,ов ску. за 3ео
до-ен +и+*' или ,'-% "#$%&$и '''$%*%"
'!рет.остава се да су кона+ни еле-енти -еђусо*но .овезани у
кона+но- *ро$у та+ака ко$е се усва$а$у на контури еле-ента" 4е та+ке се
назива$у &/#,$' *%&"' ии &/#,#/и"
'Ста1е у свако- кона+но- еле-енту се о.ису$е .о-оћу
и$*',0#%1и#$и 23$"1и4% и "#$%&$#5 6,#4% 0%,%'*%,% 3 &/#,#/и%
ко$и .редстава$у #+$#/$' $'0#7$%*' /'и&и$' у -етоду кона+ни,
еле-ената" У -етоди кона+ни, еле-ената -ора се остварити
континуитет из-еђу .оддо-ена" Nато се и уводе интер.ола3ионе
функ3и$е ко$е су се развиле на основу разво$а -ате-ати+ке теори$е
с.ла$нова" Интер.ола3ионе функ3и$е се .рет.остава$у у о*лику
.олино-а"
1. Меоде за одре/$ва0е мар$а !ро-$ $
јед"а#$"а
8/18/2019 mke - teorijaаа novooOOO.docx
6/29
На основу на+ина на ко$и се изводе и фор-ули0у -атри3е крутости
еле-ената и основне $една+ине еле-ената .осто$е +етири основна вида
М=:
8. 9и+",'*$% '*#:% (9и,'"*$и ,%/$#*'-$и '*#:) ; -атри3а крутости
.овезу$е силе у +ворови-а еле-ента и .о-ера1а +ворова еле-ента" )на
се до*и$а из услова равноте2е сила за сваки раз-атрани еле-ент"
#иректни .ристу. у ра+уна1у -атри3е крутости до*ар $е са-о у слу+а$у
$едноди-ензионални, 0та.ни, еле-ената док се за дво и
троди-ензионалне .ро*ле-е користи други -етод"
8/18/2019 mke - teorijaаа novooOOO.docx
7/29
.ро3есу ко$и се -о2е .риказати као $едноставан алгорита- издва$а се
следећи, 0ест корака:
дискретиза3и$а континуу-аP
Q из*ор интер.ола3иони, функ3и$аP
R сра+унава1е карактеристика еле-енатаP
L фор-ира1е $една+ина за -ре2у кона+ни, еле-енатаP
5 ре0ава1е систе-а $една+инаP
% .роSа+ун .отре*ни, ути3а$а"
!рва три корака су наро+ито ва2на" На+ин дискретиза3и$е из*ор
о*лика еле-ената као и уку.ног *ро$а еле-ената зависе од .рироде
.ро*ле-а ко$и се ре0ава и .отре*не та+ности тра2еног ре0е1а" 4акође $е ва2ан и из*ор +ворова основни, не.ознати, у 1и-а и
интер.ола3иони, функ3и$а" Интер.ола3ионе функ3и$е дефини0у .ое
.ро-ениви, у свако- еле-енту и од 1и,овог из*ора не.осредно
зависи и континуитет на грани3а-а из-еђу .о$едини, еле-ената а
са-и- ти- и та+ност а.рокси-а3и$е"
арактеристике .о$едини, еле-ената одређу$у се независно од -ре2е
еле-ената као 3елине" арактеристике еле-ената -атри3е крутости
вектори +ворни, о.тереће1а и сл" сра+унава$у се на$+е0ће уз .о-оћ
вари$а3иони, .рин3и.а на основу усво$ене гео-етри$е еле-ената и
одговара$ући, интер.ола3иони, функ3и$а" )ви .осту.3и се углавно-
с.роводе уз .ри-ену .осту.ака ну-ери+ке интегра3и$е"
!ослед1а три корака иако су за .ракти+не .рора+уне од великог
зна+а$а данас с.ада$у у оквире рутинског .осла ко$и $е .рилагођен
ауто-атско- раду ра+унара и разви$ени, софтверски, .акета"
Nа разлику од остали, ну-ери+ки, -етода ко$е се заснива$у на
-ате-ати+ко$ дискретиза3и$и $една+ина грани+ни, .ро*ле-а М= се
заснива на физи+ко$ дискретиза3и$и раз-атраног .одру+$а" У-естоеле-ената диферен3и$ално -али, ди-ензи$а основу за сва .роу+ава1а
.редстава део .одру+$а кона+ни, ди-ензи$а -а1е .одру+$е или
кона+ни еле-ент" N*ог тога су основне $една+ине .о-оћу ко$и, се
о.ису$е ста1е у .о$едини- еле-енти-а а .о-оћу ко$и, се фор-ули0е и
.ро*ле- у 3елини у-есто диферен3и$ални, и интегрални, о*и+не
алге*арске"
8/18/2019 mke - teorijaаа novooOOO.docx
8/29
1.5 6ре7!е а"ал$з$ -р!ра меодом
!о"а#"$% елеме"аа
У услови-а када се користи неки од ко-ер3и$ални, .рогра-а .ро3ес
анализе структуре -етодо- кона+ни, еле-ената се -о2е .оделити на
следеће фазе:
' .ри.ре-а анализе
' унос .одатака' .рора+ун
' интер.рета3и$а резултата
Свака од ови, фаза садр2и низ разли+ити, .отен3и$ални, извора
гре0ака"
6ре7!а 4р$4реме а"ал$зе
;налити+ар а.рокси-ира реалну структуру -одело- ко$и садр2и са-о
релевантне делове структуре" )вакав -одел се касни$е дискретизу$е
низо- кона+ни, еле-ената ко$и +ине такозвану -ре2у" Модел .ри то-е
тре*а до*ро да а.рокси-ира о*лик гео-етри$у и физи+ке
карактеристике структуре као и грани+не и .о+етне услове" Неке
гре0ке у .ро3есу .ри.ре-е анализе не зависе од аналити+ара него су
.оследи3а квалитета рас.оло2ивог .рогра-а" С,одно .рет,одно-
гре0ке -оделира1а се -огу .оделити на:
" 5,'"' и:'%и7%1и4'
8/18/2019 mke - teorijaаа novooOOO.docx
9/29
наста$у з*ог не-огућности да се сва сло2еност реалне структуре и
1еног окру2е1а
.реслика на -одел" Наи-е реалне структуре су +есто .о сво- о*лику
вео-а сло2ене а
.онекад саставене од ви0е разли+ити, -атери$ала" )не се дае
-огу .оделити на
' гре0ке а.рокси-а3и$е о*лика структуре
' гре0ке а.рокси-а3и$е грани+ни, услова гре0ке услед дефиниса1а
грани+ни, сте.ена
сло*оде гре0ке дефиниса1а с.о1ег о.тереће1а" У слу+а$у
дефиниса1а ослона3а
гре0ке -огу да се $аве з*ог нета+ног .оло2а$а +ворова +и$и су
сте.ени сло*оде
ограни+ени ограни+ава1е .огре0ни, сте.ена сло*оде
зане-арива1е ути3а$аеласти+ности с.о$а .ос-атраног дела структуре са околни-
делови-а"
' гре0ке а.рокси-а3и$е .о+етни, услова
' гре0ке а.рокси-а3и$е карактеристика -атери$ала
Гре0ке а.рокси-а3и$е
о*лика структуре!ри-ер
а.рокси-а3и$е о*лика
+етвртине круга
линеарни- кона+ни-
еле-енти-а .оказу$е
да $е гре0ка а.рокси-а3и$е .ри кори0ће1у три еле-ента -а1а него
.ри кори0ће1у два еле-ента" Некад $е ову гре0ку .от.уно -огуће
из*ећи кори0ће1е- еле-ената ви0ег реда квадратни- или ку*ни-"
)ва$ на+ин се .ре.ору+у$е $ер са -ного -а1и- *ро$е- еле-ената се
-о2е .остићи *оа а.рокси-а3и$а"Следећи .ро*ле- а.рокси-а3и$е о*лика се $ава кад се на структури
велики, ди-ензи$а $ава$у ситни детаи као 0то су н.р" отвори и
ис.усти" )*у,вата1е ови, детаа -одело- за,тева ко-.ликовану
-ре2у са велики- *ро$е- еле-ената разли+ите вели+ине 0то ствара
.ро*ле-е у фази дискретиза3и$е и .ри.ре-е .одатака а истовре-ено
.оску.у$е .рора+ун" Стога аналити+ари +есто зане-ару$у овакве
8/18/2019 mke - teorijaаа novooOOO.docx
10/29
детае" !ри то-е се увек уноси одређена гре0ка $ер ови детаи .о
.равилу изазива$у локалну кон3ентра3и$у на.она"
Q" 5,'"' :и+",'*и7%1и4'
!од дискретиза3и$о- се .одразу-ева дее1е -одела структуре на
низ одговара$ући,
кона+ни, еле-ената .ри +е-у се .ос-атрани до-ен са *ескона+но
сте.ени сло*оде
за-е1у$е дискретизовани- -одело- ко$и и-а кона+ни *ро$ сте.ени
сло*оде"
2. Т8ОУ6АОНИ ЕЛЕМЕНТ СА ЧВО8ОВИМА У
ТЕМЕНИМА Т8ОУ6ЛАНа сли3и $е .риказан троугаони еле-енат са +ворови-а QR ко$и су у
те-ени-а троугла а о*еле2ени су тако да индекси QR иду у с-еру
су.ротно- од крета1а казаке на сату"
ао основне не.ознате у +ворови-а усва$а$у се ко-.оненте .о-ера1а T
и U тако да $е векторqi не.ознати, у +вору V $еднак:
qi=[uivi ] она+ни еле-ент о*лика трогла са +ворови-а у те-ени-а и-а %
с.оа01и, сте.ени сло*оде .о Q у свако- +вору" Nа ко-.оненте
.о-ера1а T и U у еле-енту -о2е се .рет.оставити линеарна
.ро-енаодносно у о*лику .олино-а са уку.но % не.ознати,
коефи3и$ената:
8/18/2019 mke - teorijaаа novooOOO.docx
11/29
u=α
1+α
2∙ x+α
3∙ y
U¿ β
1+ β
2∙ x+ β
3∙ y
)ве $една+ине -огу да се .рика2у у -атри+но- о*лику као:
u= А ∙ α где су: u=[uv ]
А=⌊1 x y 0 0 0
0 0 0 1 x y ⌋
α T =⌊α
1 α
2 α
3 β
1 β
2 β
3 ⌋
;ко се $една+ина u= А ∙ α .рика2е за та+ке WX ко$е се .окла.а$у са
+ворови-а Q и R до*и$а се
qi=⌊1 xi y i 0 0 0
0 0 0 1 xi y i ⌋
)дносно q=C ∙ α где $е: JY
[1 x1 y10 0 0
0 0 0
1 x1 y1
1 x2
y2
0
1
0
0
x3
0
0
y3
0
0
1
0
0
x2
0
0
y2
0
1 x3
y3]
Из $една+ине q=C ∙ α -огу да се одреде не.ознати коефи3и$енти
α i и β i VYQR у зависности од .о-ера1а у +ворови-а т$"
α =C −1 ∙ q
где $е инверзна -атри3а C −1
8/18/2019 mke - teorijaаа novooOOO.docx
12/29
C −1=¿
1
2 ∙ ∆
[
a1 0 a 2b
1 0 b
2
0 a3 0
0 b3
0
c1
0 c2
0
00
a1
b1c
1
0
00
0
a2
b2
c3
0
0
0
a3
b3c
2 0 c
3
]
2 ∆=
[
1 x1
y1
1
1
x2 x
3
y2 y
3
] двострука
.овр0ина троугла
a1= x
2∙ y
3− x
3∙ y
2
b1= y
2− y
3
c1= x
3− x
2
)стали коефи3и$енти у -атри3и C −1
до*и$а$у се 3икли+но-
.ер-ута3и$о- индекса QR"
С-ено- α =C −1
∙ q у u= А ∙ α до*и$а се:
u=⌊1 x y 0 0 00 0 0 1 x y
⌋ 12∙ ∆
[ a 1 0 a2b
1 0 b
2
0 a3 0
0 b3
0
c1 0 c2
0
0
0
a1
b1
c1
0
0
0
0a
2
b2
c30
0
0a
3
b3
c2
0 c3] [
u1v
1
u2v
2
u3
v3]односно:
u= 12 ∙ ∆ [
a1+b1 ∙ x+c1∙ y 0 a2+b2∙ x+c2 ∙ y 0 a3+b3∙ x+c3 ∙ y 00 a
1+b
1∙ x+c
1∙ y 0 a
2+b
2∙ x+c
2∙ y 0 a
3+b
3∙ x+c
3∙ y ]
[u1v1
u2v2
u3
v3]
8/18/2019 mke - teorijaаа novooOOO.docx
13/29
)ва$ израз -о2е да се .рика2е кратко 9:& ∙ q
где $е N -атри3а интер.ола3иои, функ3и$а:
Z ¿
[ N
1 0 N
2 0 N
3 0
0 N 1 0 N
2 0 N
3]са еле-енти-а:
N i Y1
2 ∙ ∆ ai+b i ∙ x+ci ∙ y VYQR
ао 0то се види функ3и$е N i .редстава линеарну интер.ола3и$у
.оа .о-ера1а" 7еза из-еђу ко-.онената дефор-а3и$а у *ило ко$о$
та+ки еле-ента и .о-ера1а у +ворови-а $е:
¿0
0
ε=[¿ ] [ N 1 0 N 2 0 N 3 00 N 1
0 N 2
0 N 3] [
q1
q2q
3]
односно: ε :; ∙ q
где $е B1
2 ∙ ∆ [ b
1 0 b
2 0 b
3 0
0 c1
0 c2
0 c3
c1
b1
c2
b2
c3
b3
] , ;: ?() елеме".
!олазећи од израза за дефини3и$у -атри3е крутости за троугаони
еле-енат са константно- де*ино- \ до*и$а се:
@: ∫BT
∙ D ∙ B ∙ d V ¿h∫BT
∙ D ∙ B ∙ d x ∙ d y ¿h ∙ ∆ ∙ BT
∙ D ∙ B
8/18/2019 mke - teorijaаа novooOOO.docx
14/29
Структура -атри3е ]Y [ d ij ] .о-оћу ко$е се ус.остава веза из-еђу
ко-.онената на.она и ко-.онената дефор-а3и$е $е следећа:
]Y
[d
11 d
12 0
d 21 d22 00 0 d
33]Mади $едноставности сра+унава1а еле-ената -атри3е K ко$а се -о2е
деко-.оновати на *локове реда QWQ:
KY [k 11
k 12
k 13
k 21
k 22
k 23
k 31
k 32
d33
]-атри3у ^ $е .огодно .риказати у следеће- о*лику:
^Y [B 1 B2 B3 ] где су:
B i=¿ 1
2 ∙ ∆ [bi 0
0 c ic i bi
] i8 4ако да $е
k ij=BiT
∙ D ∙ B j ∙ h ∙ ∆ i , j=1,2,3
С-ено- -атри3аB i и ] у .рет,одну $една+ину након извр0еног
-но2е1а до*и$а се:
k ij=
h
4 ∙ ∆
bi d11b j+c i d33c j b i d12 c j+c i d33 b jci d21b j+bi d33 c j c i d22c j+b i d33 b j
Nа слу+а$ равног ста1а на.она када $е -атри3а ] дата изразо-
]Y E
1−ν2 [1 ν 0
ν 1 0
0 0 1−ν
2 ] до*и$а се:
8/18/2019 mke - teorijaаа novooOOO.docx
15/29
k ij= Eh
4 ∙ ∆∙(1−ν2) [ b i b j+ β c i c j ν b i c j+ β c i b jνc i b j+ β b i c j ci c j+ βbi b j ] β=1−ν
2
Силе у +ворои-а услед с.оа01ег о.тереће1а -огу се одредити .ре-а
изразу:
_Y ∫ N T
∙ F ∙ d V +∫ N T ∙ p ∙ d
На та$ на+ин услед за.ре-ински, сила F x и
F y до*и$а се:
_Y ∫ N T
∙[ F x F y ]∙ h ∙ d x ∙d y=h∫ [ N
1
0
0
N 1
N 20
0
N 2
N 3
0
0
N 3] [
F x F y ]d x d y
Nа F x=c!"#$ и F y=c!"#$ до*и$а се:
%i Y [ F x F y ]
∙ h∙∫ N i ∙ d x ∙ d y=[ F x F y ]
∙ h2 ∙ ∆
∙∫(a i+bi ∙ x+c i ∙ y )d x ∙ d y
;ко се координате W и X -ере у односу на те2и0те троугла како $е
∫ x d x d y=∫ y d x d y=0
.рет,одни израз .оста$е:
%i=
[% x
% y
]=
ai
2
∙
[ F x
F y
]=
∆
3
∙
[ F x
F y
]
8/18/2019 mke - teorijaаа novooOOO.docx
16/29
Из .ослед1ег израза -о2е-о заку+ити да се уку.не за.ре-инске силе
у еле-енту у .рав3у W и X осе деле равно-ерно на .о три силе у
+ворови-а ко$е су у .рав3у оса W и X" На кра$у на.они -огу да се
са+уна$у .ре-а:
& = D ( ε−$ ∙ α )= D ∙ B ∙ q− D∙ $ ∙ α = ' ∙ q−$ ∙ D ∙ α
где $е:
' Y [d
11b
1 d
12c
1 d
11b
2 d
12c
2 d
11b
3 d
12c
3
d21
b1
d22
c1
d21
b2
d22
c2
d21
b3
d22
c3
d33
c1
d33
b1
d33
c2
d33
b2
d33
c3
d33
b3
] 4роугаони еле-ент са +ворови-а у те-ени-а троугла $е врло $едноставан и .огодан за .ракти+не .рора+уне" !ро-ена .о-ера1а у
еле-енту $е линеарна док су дефор-а3и$е и на.они константни"
Пло#е "а4рег"е -војој рав"$Nа .ло+е о.терећене за.ре-ински- или .овр0ински- сила-а
равно-ерно рас.одеени- .о де6ини .ло+е и .аралелни- сред1о$
равни ка2е-о да су "а4рег"е -војој рав"$"
8/18/2019 mke - teorijaаа novooOOO.docx
17/29
)ва врста на.реза1а се назива ,%/$и $%0,'7%G'" Сред1а раван
.ло+е за ову врсту на.реза1а оста$е равна и након дефор-а3и$е 0то
зна+и да се дефор-а3и$а одви$а 6ез криве1а .ло+е"
Mавно на.реза1е карактери0у у #екартово- координатно- систе-у
.ресе+не силе: ZW ZX ZWX .риказане на сли3и:
ако $е .ре-а у+и1ено$ .рет.остав3и о.тереће1е .ло+е равно-ерно
рас.одеено .о 1ено$ де*ини у теори$и .ло+а на.регнути, у сво$о$
равни узи-а се да су и на.они `W `X и( xy равно-ерно рас.оређени .о
де*ини .ло+е" Изрази за .ресе+не силе су :
ZWY \a`W ZXY \a `X ZWXY \a( xy
4акође .рет.остава се да су на.они `b( )x , ( )y у 3ело$ о*ласти
$еднаки нули" )ви на.они су савакако с о*зиро- на то да основе .ло+е
нису о.терећене за b Y c \/Q $еднаки нули" ако $е де*ина .ло+е
-ала -о2е се са разлого- с-атрати да ти на.они из-еђу основа -Bгу
и-ати -але вредности у .оређе1у са остали- ко-.онентални-
на.они-а и да се -огу зане-арити"
7езу из-еђу .ресе+ни, сила и .овр0инског о.тереће1а слика
до*иће-о из услова равноте2е сила ко$е на еле-ентарно$ .риз-и
8/18/2019 mke - teorijaаа novooOOO.docx
18/29
исе+ено$ из .ло+е са две равни .аралелне са Wb'равни на расто$а1уd y
и две равни .аралелне са bX'равни на расто$а1уd x "
Из услова да $е з*ир сви, сила у .рав3у те2и0не осе .аралелне W'оси
$еднак нули налази-о .осле краће1а са IJy :
* Nx
* x d*Nxy
* y d e Y &
4акође из услова да $е з*ир сви, сила у .рав3у те2и0не осе .аралелне
X'оси $еднак нули налази-о након краће1а са IJy :
* Ny
* y d*Nyx
* x d f Y &
Из$една+ава$ући з*ир -о-ената сви, сила око b осе до*и$а-о:
ZWX Y ZXW
!рет,одни израз $е до*ро .ознати став # "#G35#/%$#+*и +и&3и
$%0#$%"
8/18/2019 mke - teorijaаа novooOOO.docx
19/29
С о*зиро- на то да $е *ро$ .ресе+ни, сила већи за $едан од услова
равноте2е задатак $е стати+ки неодређен и за 1егово ре0е1е тре*а да
раз-отри-о и дефор-а3и$у .ло+е"
о-.оненталне дефор-а3и$е .ре-а у+и1ени- .рет.оставка-а и
с,одно gBBKH'ово- закону дате су изрази-а .реко .ресе+ни, сила:
εWY
1
E ∙ h∙( Nx−ν ∙ N y)
εX Y
1
E ∙ h∙( Ny−ν ∙ N x)
εb Y '
ν
E ∙ h∙( Ny+ Nx)
+ WX Y
2 ∙(1+ν) E ∙h
∙ Nxy
о-.оненталне дефор-а3и$е -о2е-о изразити .реко .о-ера1а
u, v , - ./012и30 WXb осе:
εWY
* u
* x ε
XY* v
* y ε
bY*
* ) +
WX
Y*u
* y +
* v
* x
Oунк3и$е ε Wε
X+
WX нису .от.уно независне већ -ора$у задовоити
тзв" став о .окла.а1у дефор-а3и$а" #ифен3ира$ући израз ε WY* u
* x
два .ута .о X зати- ε XY* v
* y два .ута .о W и са*ира$ући и,
до*и$а-о:
8/18/2019 mke - teorijaаа novooOOO.docx
20/29
*3
4
* x * y2+
*3V
* y * x2 Y
*2
ε x
* y2 d
*2
ε y
* x2
С друге стране дифен3ира$ући $една+ину + WX Y*u
* y +
* v
* x .о W и X
до*и$а-о:
*3
4
* x * y2+
*3
V
* y * x2=
*2
+ xy
* x * y
С о*зиро- на то да су леве стране .рет,одни, $една+ина $еднаке -ора$у
*ити и десне .а до*и$а-о:
*2
ε x
* y2
d
*2
ε y
* x2
Y
*2
+ xy
* x * y
Nа-ено- израза за ко-.оненталне дефор-а3и$е у ову $една+ину
до*и$а-о трећу $една+ину" Систе- од три диферен3и$алне $една+ине у
ко$и-а фигури0у са-о .ресе+не силе $е:
* Nx
* x d*Nxy
* y d e Y &
* Ny
* y d*Nyx
* x d f Y &
*2( Nx−ν∗ Ny)
* y2 d
*2( Ny−ν∗ Nx)
* x2 Y 2(1+ν )
*2 N xy
* x * y
!осту.ак свође1а .ро*ле-а на стати+ки не.ознате назива се '*#:%
+и%" Метода дефор-а3и$е код .ло+а на.регнути, у сво$о$ равни ни$е
на0ла .ри-ену у ре0ава1у .о$едини, .ро*ле-а наро+ито ако су
грани+ни услови задати .о сила-а"
Увође1е- на.онске функ3и$е h iVGX'ева функ3и$а са осо*ино-:
*2 F
* x * y Y ' ZWX
8/18/2019 mke - teorijaаа novooOOO.docx
21/29
и .од .рет.оставко- да се ко-.оненте о.тереће1а e f -огу изразити
као .ар3и$ални изводи неке функ3и$е .отен3и$ала j систе- од три
.ар3и$алне дифен3и$алне $една+ине -о2е се лако свести на $едну
.ар3и$алну диферен3и$алну $еда+ину"
;ко $е eY '*4 * x fY '
*4 * y
тада .рве две $една+ине гласе:
*
* x ( Nx−
*2
F
* y2−4 ) Y &
*
* y
( Ny−*
2 F
* x2−4 ) Y &
)ве $една+ине *иће задовоене ако стави-о:
ZWY*2 F
* y2 d j и ZXY
*2 F
* x2 d j
ада у трећу $една+ину унесе-о овако до*и$ене изразе за ZW ZX
до*и$а-о:
*4 F
* x4 d Qk
*4 F
* x2
* y2 d
*4 F
* y4 d ' ν k
*2
4
* x2 +
*24
* y2 Y &
Или краће о*еле2ава$ући са:
∆ Y*2
* x2 d
*2
* y2
∆ ∆ F +(1
−ν ) ∆ 4 =0
8/18/2019 mke - teorijaаа novooOOO.docx
22/29
ао 0то види-о .ро*ле- .ло+е на.регнуте у сво$о$ равни своди се на
диферен3и$алну $една+ину +етвртог реда и уз одговара$уће грани+не
услове до*и$а-о ре0е1е задатка" Nа слу+а$ да су силе e и f константне
.о 3ело$ о*ласти или $еднаке нули и-а-о *и,ар-они$ску $една+ину:
∆ ∆ F =0
8ав"о "а4реза0е 4олар"$м !оорд$"аама
!оло2а$ сваке та+ке одређен $е .олари- координата-а G и 5 6
ао 0то с-о .о-енули .ро*ле- .ло+е на.регнуте у сво$о$ равни у
#екартови- координата-а за e Y fY& своди се на ре0ава1е $една+ине
∆ ∆ F =0 уз одговара$уће грани+не услове"
!ресе+не силе *иле су дате изрази-а:
ZWY*2
F
* y2 ZXY
*2
F
* x2 ZWX ¿−
*2 F
* x * y
!о аналоги$и са .ро6ле-о- .ло+е на.регнуте на сави$а1е
диферен3и$ална $една+ина на.реза1а у равни и-а исти о6лик"
8/18/2019 mke - teorijaаа novooOOO.docx
23/29
Наи-е .ро*ле- .ло+е на.регнуте на сави$а1е сводио се на ре0ава1е
не,о-огене диферен3и$алне $една+ине:
∆ ∆7 = 8
9
У #екартови- координата-а lH ∆ ∆7 =*4
7
* x4 d Qk
*4
7
* x2
* y2 d
*4
7
* y4
док у .оларни- :;;/030 ∆ ∆ 7 Y ( *
2
* ?2+1
?
*
*? +
1
?2
*2
* 52)(
*2
,
* ?2 +
1
?
* ,
* ? +
1
?2
*2
,
* 52 )
#акле ако у диферен3и$алну $една+ину .ло+е на.регнуте на сави$а1е
у-есто функ3и$е E стави-о функ3и$у h до6иће-о $една+ину на.реза1а у
равни:
( *
2
* ?2+1
?
*
*? +
1
?2
*2
* 52)(
*2 F
* ?2 +
1
?
* F
* ? +
1
?2
*2 F
* 52 )
= 0
Изразе за .ресе+не силе до*и$а-о тако 0то налази-о .ар3и$алне
изводе функ3и$е F .о W и X изра2ене .реко G и
5
"
* F
* y =
* F
* ?
* ?
* y+
* F
* 5
* 5
* y Y ¿
* F
*? #i"5+
1
?
* F
* 5 c!#5
* ² F
* y ²=
*
* y
* F
* y =
* ² F
*? ²sin ² 5+
2
?
* ² F
* ? * 5 #i"5c!#5−
2
? ²
* F
* 5 #i"5c!#5+
1
?
* F
*5 cos² 5+
1
? ²
* ² F
* 5 ²cos ² 5
`
;ко φ @ 0, ZW @ ZG , cos 5 @ 1, sin 5 @ 0 и-а-о:
N?=
* ² F
* y ²=
1
?
* F
*? +
1
? ²
* ² F
* 5 ²
8/18/2019 mke - teorijaаа novooOOO.docx
24/29
;ко φ @
A
2 , ZW @ Z 5 , cos5 @ 0, sin 5 @ 1 и-а-о:
N5=* ² F
* y ²=
* ² F
*?
;ко φ @ 0, ZWX @ ZG 5 и-а-о:
N?5=−* ² F * x * y
=−1
?
* ² F
* ? * 5+
1
? ²
* F
*5 =−** ? (
1
?
* F
* 5)
Nа слу+а$ рота3ионо си-етри+ног на.реза1а односно за слу+а$ да
.ресе+не силе не зависе од координате φ до*и$а-о диферен3и$алну
$една+ину:
∆ ∆ F =( d
2
d ?2 +
1
?
d
d? )(
d2
F
d ?2 +
1
?
dF
d? ) = 0
ZG Y1
?
dF
d? Zm Yd
2
F
d ?2 ZGφ Y &
#иферен3и$ална $една+ина у рзви$ено- о*лику:
d
4
F d?
4 +2
? d
3
F d?
3 − 1
?2 d
2
F d?
2 + 1
?3 dF d? =0
).0те ре0е1е диферен3и$алне $една+ине :
F = D + A∙lnr + B∙r + !∙r∙lnr
i^J] су интегра3ионе константе ко$е одрђу$е-о из грани+ни, услова"
Nа .ресе+не силе до*и$а-о изразе:
&A : '1
?2 B 2C; B ?CD1B 2CEFAG
&H : I '1
?2 B 2C; B ?CD,B 2CEFAG
8/18/2019 mke - teorijaаа novooOOO.docx
25/29
&AH : J
А"ал$$#!о ре7е0е зада!а
4ело ко$е раз-атра-о $е рота3ионо си-етри+но висине n " С о6зиро-
на то да $е теори$а те6ели, уски вео-а ко-.ликована ре0е1е
до6и$а-о .ос-атра$ући на0е тело као .рстенасту .ло+у"
8/18/2019 mke - teorijaаа novooOOO.docx
26/29
L,%$и&$и 3+#/иM
r ! r 8O !
Nr ;8O NP! Nr O NP !
И-а-о два грани+на услова а три не.ознате константе .а на- $е
.отре*ан $о0 $едан услов ко$и ће-о до*ити раз-атра1е- дефор-а3и$е
.ло+е"
о-.оненталне дефор-а3и$е за слу+а$ рота3ионе си-етри$е:
ε?=du
d?
ε5=u
?
+ ?5 =0
8/18/2019 mke - teorijaаа novooOOO.docx
27/29
где $е u ради$ално .о-ера1е"
TY ε5 aG
@du
d?=ε5 d G
d ε5
d? =ε? @ -;1 :;3.0>ии=;>и
8/18/2019 mke - teorijaаа novooOOO.docx
28/29
H
52 d Qa^ Y '& Z/n @ &"&Lai dQa^ Y '& @ i Y ' RRR"RRRR
H
102 d Qa^ Y & Z/n @ &"&ai d Qa^ Y & @ ^ Y "%%%>
Q#$%&$и и7,%7и 7% 0,'+'&$' +и' +3M
ZG Y '333.3333
?2 d R"RRRR
Zm Y333.3333
?2 d R"RRRR
ZGm Y &
7,%7и 7% :'2#,%1и4+"' /'и&и$' и 0#',%G% и7,%-'$и 0,'"#
3$3*,%Gи +и% "%# *# +# /и:'и и5':%43M
ε? =1
E ∙ h ∙( N ? – ν ∙
N 5 ) ε5 =
1
E ∙ h ∙( N 5 – ν ∙
N ? )
TY ε5 aGY
?
E ∙ h a N 5 [ ν a
N ?
=,':$#+*и +и% :'2#,%1и4% и 0#',%G% 0,и"%7%$' +3 *%6'%,$# 3
#$и *%&"%% 5:' 0#&иG3 и 5:' +' 7%/,%/%43 "#$%&$и '''$*и ,%:и
%"'5 0#,''G% ,'73*%*% :06и4'$и '*#:# ?QT.
8/18/2019 mke - teorijaаа novooOOO.docx
29/29