Misura Ed Integrale Di Lebesgue

Misura e integrale

di Lebesgue

Mario Poletti

Elettronica e Telecomunicazioni

Pisa, 2011/12

Indice

1 Misura e integrale di Lebesgue 11.1 Rettangoli e plurirettangoli in Rn . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Misura di Jordan in Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3 Misura di Lebesgue in Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.4 Proprieta` della misura di Lebesgue in Rn . . . . . . . . . . . 61.5 Funzioni da Rn in R misurabili ed integrabili secondo Riemann 151.6 Funzioni da Rn in R misurabili ed integrabili secondo Lebesgue 171.7 Misurabilita` e fasce di livello . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.8 Funzioni limitate su insiemi limitati: significato analitico del-

lintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321.9 Funzioni limitate su insiemi limitati: uso per lo studio del-

lintegrabilita` . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351.10 Funzioni continue: misurabilita` e condizioni di integrabilita` . 431.11 Esempi di funzioni integrabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461.12 Asserti veri quasi ovunque. Il Teorema di Lebesgue . . . . . . 521.13 Funzioni definite quasi ovunque. I Teoremi di Fubini e Tonelli 551.14 Un teorema su GL(R, n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 591.15 Applicazioni lineari e misura . . . . . . . . . . . . . . . . . . 611.16 Diffeomorfismi di classe C1 e misura . . . . . . . . . . . . . . 641.17 Diffeomorfismi di classe C1 e integrale . . . . . . . . . . . . . 671.18 Traslazioni e dilatazioni di funzioni misurabili ed integrabili . 70

Capitolo 1

Misura e integrale diLebesgue

In questo Capitolo ricordiamo brevemente le definizioni di misura di Jordanper sottinsiemi di Rn e di integrale di Riemann per funzioni da Rn in R, eintroduciamo le nozioni di misura di Lebesgue e di integrale di Lebesgue.

Tutti gli insiemi misurabili secondo Jordan, lo risulteranno anche secondoLebesgue, e le due corrispondenti misure coincideranno.

Tutte le funzioni integrabili secondo Riemann, lo risulteranno anchesecondo Lebesgue, e i due corrispondenti integrali coincideranno.

Lintegrale di Lebesgue viene definito in maniera solo apparentemente in-tuitiva, come differenza delle misure delle parti positiva e negativa compresetra il dominio e il grafico.

Vantaggio: la semplicita` dellesposizione, e la trasformazione in ovvii dimolti risultati usuali.

Costo: giustificare lequivalenza tra la definizione data e le definizioniusuali. Tale costo viene pagato:

nella Sezione 1.7, la cui lettura puo` essere omessa, con leccezionedellenunciato del Teorema 1.7.1;

e nella Sezione 1.8, nel quale la dimostrazione del Teorema 1.8.3puo` essere omessa.

1.1 Rettangoli e plurirettangoli in Rn

Le considerazioni che seguono sono comuni alla misura di Jordan ed a quelladi Lebesgue: introducono le nozioni di rettangolo e plurirettangolo in Rn, ela definizione della loro misura.

Sianoa1, b1, . . . , an, bn R

2 1 Misura e integrale di Lebesgue

tali chea1 < b1, . . . , an < bn

e sia

R = [a1, b1] [an, bn]. .........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

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............................................................a1 b1

a2

b2R

H R si dice un rettangolo di Rn ,

R si dice misurabile sia secondo Jordan che secondo Lebesgue,

N si pone, sia secondo Jordan che secondo Lebesgue,

mis R = (b1 a1) (bn an)

Sia R1, . . . , R una famiglia finita di rettangoli di Rn, a due a due prividi punti interni in comune, e sia

P =j=1

Rj

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R1 R2

R3

R4

R5

H P si dice un plurirettangolo di Rn

P si dice misurabile sia secondo Jordan che secondo Lebesgue,

N si pone, sia secondo Jordan che secondo Lebesgue,

mis P =j=1

mis Rj

1.2 Misura di Jordan in Rn 3

Nota. La definizione di mis P e` una buona definizione: seQ1, . . . , Q e` una seconda famiglia finita di rettangoli di Rn, a duea due privi di punti interni in comune, tale che

P =j=1

Qj

si ha infatti (dimostrazione omessa)

j=1

mis Qj =j=1

mis Rj

1.2 Misura di Jordan in Rn

Le considerazioni che seguono dicono quali sottinsiemi di Rn siano chiamatimisurabili secondo Jordan, e come se ne definisca la misura secondo Jordan.

SiaA Rn

un sottinsieme limitato di Rn;

H si pone

J-misi A =

0 se @ plurirettangoli P Asup{mis P : P plurirettangolo A} (0,+)

se plurirettangoli P A;

il numero J-misi A si dice la J-misura interna di A;

si pone

J-mise A = inf{mis P : P plurirettangolo A} [0,+) ;il numero J-mise A si dice la J-misura esterna di A;

ovviamente si haJ-misi A 6 J-mise A ;

N seJ-misi A = J-mise A ,

allora

O A si dice misurabile secondo Jordan;M il numero J-misi A = J-mise A R si dice la J-misura di A,

e si denota conJ-mis A .


SiaA Rn

un sottinsieme non limitato di Rn;

H se per rettangolo R di Rn, linsieme limitato

A R

risulta misurabile secondo Jordan, allora A si dice misurabile se-condo Jordan;

N in tal caso si definisce la J-misura di A tramite:

J-mis A = sup{J-mis (A R) : R rettangolo di Rn} [0,+] .

1.3 Misura di Lebesgue in Rn

Le considerazioni che seguono dicono quali sottinsiemi di Rn siano chia-mati misurabili secondo Lebesgue, e come se ne definisca la misura secondoLebesgue.

Nota: Per gli insiemi misurabili secondo Jordan, la specificazione secon-do Jordan sara` sempre fatta; per gli insiemi misurabili secondo Lebesgue,la specificazione secondo Lebesgue verra` sistematicamente omessa. In par-ticolare la frase A e` misurabile significhera` sempre A e` misurabile secondoLebesgue.

H Sia un aperto limitato di Rn

O si dice misurabile se = si pone

mis = 0

M se 6= si pone

mis = sup{mis P : P plurirettangolo } (0,+)

Sia K un chiuso limitato (ossia un compatto) di Rn

O K si dice misurabileM si pone

mis K = inf{mis P : P plurirettangolo K} [0,+)

1.3 Misura di Lebesgue in Rn 5

Sia A un sottinsieme limitato di Rn; si pone

misi A = misura interna di A =

sup{mis K : K chiuso limitato A}mise A = misura esterna di A =

inf{mis : aperto limitato A}

si ha0 6 misi A 6 mise A < +

se

O misi A = mise A

allora

A si dice misurabileM si pone

mis A = misi A = mise A [0,+)

N Sia A un sottinsieme qualsiasi di Rn; se

O per ogni rettangolo R, linsieme limitato

A R

e` misurabile

allora

A si dice misurabileM si pone

mis A = sup{mis (A R) : R rettangolo} [0,+]

Le considerazioni che seguono, provano che tutti gli insiemi misurabilisecondo Jordan, lo sono anche secondo Lebesgue, e le due corrispondentimisure coincidono.

Tali considerazioni giustificano labbandono della misura secondo Jor-dan.

1.3.1 Teorema: Sussistono gli asserti (provare per esercizio):


a) Sia A Rn un insieme limitato; si ha:

0 6 J-misi A 6 misi A 6 mise A 6 J-mise A

1.4 Proprieta` della misura di Lebesgue in Rn 7

M misj=1

Aj =j=1

mis Aj

(ossia: la misura di Lebesgue e` numerabilmente additiva)

1.4.3 Teorema(caratterizzazione degli insiemi misurabili e di misura nul-la): Sia A Rn ; sono equivalenti gli asserti:

a) A e` misurabile, e mis A = 0

b) per ogni > 0,

O o esiste una famiglia finita di rettangoli

R1, . . . , Rh

tale che

A hj=1

Rj

hj=1

mis Rj < ,

M o esiste una successione di rettangoli

R1, R2, R3, . . .

tale che

A j=1

Rj

j=1

mis Rj < .

Dai Teoremi 1.4.2 e 1.4.3 si deducono i seguente Corollari.

1.4.4 Corollario 1)(completezza di mis ): Sia A Rn un insieme misu-rabile tale che

mis A = 0 ;

allora per B A si ha: B e` misurabile, mis B = 0.

Il fatto che tutti i sottinsiemo di un insieme di misura nulla siano misurabili(ed abbiano ovviamente misura nulla), si esprime dicendo che mis e` unamisura completa.

1.4.5 Corollario 2): Sia

A1, A2, A3, . . .

una successione di sottinsiemi misurabili di Rn. Si ha:


Hj=1

Aj e` misurabile

misj=1

Aj 6j=1

mis Aj

Cenno. Si ponga

B1 = A1 Bj = Aj \ (A1 Aj1) j = 2, 3, 4 . . .e si osservi che: ogni Bj e` misurabile, tali Bj sono a due a due disgiunti,j=1

Aj =j=1

Bj .

Nj=1

Aj e` misurabile

Cenno. Sia a Rn; si ha

a j=1

Aj per ogni j, a Aj

per ogni j, a / Rn \Aj a Rn \ j=1

(Rn \Aj)

Ne seguej=1

Aj = Rn \ j=1

(Rn \Aj)

1.4.6 Corollario 3): Sia A Rn. Sono equivalenti gli asserti:a) A e` misurabile,b) esiste una successione A1, A2, A3, . . . di sottinsiemi limitati e misu-

rabili di A, tale che A1 A2 A3 . . .

A =k=1

Ak

Cenno. a)b). Si ponga ad esempioAk = A ([k, k] [k, k]) .

b)a). A e` misurabile in quanto unione numerabile di misura-bili.


In tal caso, se A1, A2, A3, . . . e` una qualsiasi successione di sottinsiemilimitati e misurabili di A, tale che

A1 A2 A3 . . .

A =k=1

Ak

allora si hamis A = lim

kmis Ak

Cenno. Si osservi che, posto A0 = , si ha

O A =k=1

(Ak \Ak1)

gli insiemi Ak \ Ak1, con k = 1, 2, 3, . . . , sono misurabile e a due adue disgiunti

M mis A =k=1

mis (Ak \Ak1) = limk

mis Ak

Le considerazioni seguenti forniscono una caratterizzazione dei sottinsie-mi misurabili di Rn in termini di chiusi e di insiemi di misura nulla; preci-samente provano che gli insiemi misurabili sono tutti e soli quelli descrittiparametricamente dalla formula(

h=1

Kh

) ,

ove K1,K2,K3, . . . e` una famiglia numerabile qualsiasi di chiusi, e e` unqualsiasi insieme misurabile di misura nulla.

1.4.7 Teorema(struttura degli insiemi misurabili): Si provino per eserciziole seguenti considerazioni:

Considerazione 1). Sia K Rn un insieme chiuso (sia limitato che nonlimitato); allora K e` misurabile.

Considerazione 2). Sia K1,K2,K3, . . . Rn una qualsiasi successione dichiusi, e sia Rn un qualsiasi insieme misurabile di misura nulla;allora (

h=1

Kh

)

e` misurabile.


Considerazione 3). Sia A Rn un qualsiasi insieme limitato; esiste unasuccessione di chiusi (ovviamente limitati)

K1,K2,K3, . . . A ,tale che:

h=1

Kh A (asserto ovvio),

misi A = mish=1

Kh

Cenno. Si ricordi che

misi A = sup{mis K : K chiuso, K A} ;esiste quindi una successione di chiusi

K1,K2,K3, . . . Atale che

|misi Amis Kh| < 1/h h = 1, 2, 3, . . . ;una tale successione verifica le proprieta` richieste.

Considerazione 4). Sia A Rn un qualsiasi insieme misurabile e limi-tato; esistono una successione di chiusi (ovviamente limitati)

K1,K2,K3, . . . A ,ed un insieme

Amisurabile

con mis = 0

tali che:

A =

( h=1

Kh

) .

Cenno. Siano K1,K2,K3, . . . come nella Considerazione 3); e sia

= A \h=1

Kh ;

essendo A misurabile si ha che e` misurabile e che

mis = mis Amish=1

Kh = misi Amish=1

Kh = 0 .


Considerazione 5). Sia A Rn un qualsiasi insieme misurabile (ancheno limitato); esistono una successione di chiusi (sceglibili limitati)

K1,K2,K3, . . . A ,ed un insieme

Amisurabile

con mis = 0

tali che:

A =

( h=1

Kh

) .

Cenno. Si considerino gli insiemi misurabili e limitati

Am = A [m,m] [m,m]

n

;in conformita` alla Considerazione 4), si ponga

Am =

( h=1

Kmh

)m ;

una scelta di Kh (limitati) e di e` la seguente:

Kh =h

m,r=1

Kmr, =h

m=1

m .

ESERCIZI

H Sia A1, A2, A3, . . . una successione di sottinsiemi misurabili di Rntale che

limj

mis Aj = 0

si provi che

misj=1

Aj = 0

Sia A Rn; se esiste una successioneA1, A2, A3, . . .

di sottinsiemi misurabili di Rn tale che


O A Aj j = 1, 2, 3, . . . lim

jmis Aj = 0

allora

M A e` misurabile, e mis A = 0

Sia A Rn; se

O per ogni > 0, esiste una successione

A1, A2, A3, . . .

di sottinsiemi misurabili di Rn tale che

A j=1

Aj

j=1

mis Aj <

allora

M A e` misurabile, e mis A = 0

In R2, sia A = [1, 5]{3}; si provi che A e` misurabile, e mis A = 0.

In R2, sia A = R {3}; si provi che A e` misurabile, e mis A = 0.

In R2, siaA =

qQ

R {q}

si provi che A e` misurabile, e mis A = 0.

In R3, sia A = [1, 5] [2, 4] {3}; si provi che A e` misurabile, emis A = 0.

In R3, siaA =

qQ

RR {q}

si provi che A e` misurabile, e mis A = 0.

Sia A un sottinsieme numerabile di Rn; si provi che

O A e` misurabile


M mis A = 0Cenno. Siccome A e` numerabile, i suoi elementi possono

essere scritti sotto forma di successione

a1, a2, a3, . . .

e quindi

A =j=1

{aj}

ove ogni mis {aj} = 0 Si consideri Q R; si provi che

O Q e` misurabileM mis Q = 0

(si ricordi che Q e` numerabile)

Si consideri Qn Rn; si provi cheO Qn e` misurabileM mis Qn = 0

(si ricordi che Qn e` numerabile)

In R, si consideri una successione

q1, q2, q3, . . .

costituita da tutti e soli gli elementi di

(0, 1) Qe sia

> 0 (ad esempio = 101000)

Per j = 1, 2, 3, . . . , sia

Aj

un intervallo aperto

(0, 1)3 qj

tale che mis Aj < /2j

Si ponga

A =j=1

Aj K = [0, 1] \A

Si osservi che


O A e` un aperto tale che

A (0, 1)

in A sono stati messi tutti i razionali q (0, 1), ciascunoinsieme ad un intervallo aperto (0, 1), e quindi

A = [0, 1]

M invece di riempire tutto (0, 1), tale A occupa una minimaparte di (0, 1); si provi infatti che

mis (0, 1) = 1 mis A <

Cenno. mis A 6j=1

mis Aj 1

Si provi che:

O se P1, P2 sono plurirettangoli tali che

P1 A P2allora

mis P1 < 1 6 mis P2Cenno. Siccome A e` un aperto limitato non vuoto, si ha

sup{mis P : P plurirettangolo A} = mis A < ne segue mis P1 < .

Siccome P2 e` chiuso, si ha

P2 A (0, 1) Q = [0, 1]ne segue mis P2 > 1.

1.5 Funzioni da Rn in R misurabili ed integrabili secondo Riemann 15

non esistono plurirettangoli P1 K4 se P2 e` un plurirettangolo tale che K P2 allora

1 < mis P2se ne deduca che:

O A e` un aperto limitato non misurabile secondo Jordan;M K e` un chiuso limitato non misurabile secondo Jordan.

Sia > 0; si provi che esiste un aperto A Rn tale cheA = Rn mis A < .

N Siano A Rn, B Rm due insiemi misurabili; si provi cheO se mis A = 0 oppure se mis B = 0, allora mis AB = 0 ;

in generale si ha (dimostrazione omessa)

AB e` misurabileM mis A B = (mis A) (mis B) (con la convenzione 0 = 0 = 0).

1.5 Funzioni da Rn in R misurabili ed integrabilisecondo Riemann

Le considerazioni che seguono dicono quali funzioni daRn inR siano chiama-te integrabili secondo Rieman, e come se ne definisca lintegrale di Riemann.

Sia A Rn un insieme J-misurabile (ossia misurabile secondo Jordan),e sia

f(x) : A Runa funzione a valori reali. Si considerino gli insiemi

SGP(f) Rn R

SGN(f) Rn R

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q qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq

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Rn

R

f(x)

SGP(f)

SGN(f)AA


definiti daSGP(f) = sottografico positivo di f =

{(x, ) AR : 0 6 f(x), 0 6 6 f(x)}SGN(f) = sovragrafico negativo di f =

{(x, ) AR : f(x) 6 0, f(x) 6 6 0}Se

H SGP(f) e SGN(f) sono entrambi J-misurabiliallora

N f si dice una funzione misurabile secondo Riemann o una funzioneR-misurabile su A

Se

H SGP(f) e SGN(f) sono entrambi J-misurabili, e inoltre si haJ-mis SGP(f) < + J-mis SGN(f) < +

allora

f si dice una funzione integrabile secondo Riemann o una funzioneR-integrabile su A

si pone

N R-Af = R-

Af(x)dx = integrale di Riemann di f su A =

J-mis SGP(f) J-mis SGN(f)Il seguente ben noto Teorema riassume tutto quanto dellIntegrale di

Riemann e` utile.

1.5.1 Teorema(R-integrabilita` di una funzione continua su un intervallochiuso e limitato): Siano < R, e sia

f : (, ) Runa funzione continua.

SiaF : (, ) R

una primitiva di f .Per a, b R tali che

< a < b < ,

si ha:

f e` R-integrabile su [a, b]; R-

[a,b]

f = F (b) F (a).

1.6 Funzioni da Rn in R misurabili ed integrabili secondo Lebesgue 17

1.6 Funzioni da Rn in R misurabili ed integrabilisecondo Lebesgue

Le considerazioni che seguono dicono quali funzioni daRn inR siano chiama-te integrabili secondo Lebesgue, e come se ne definisca lintegrale di Lebesgue.Come per la misura, anche per lintegrale le precisazioni secondo Lebesgue edi Lebesgue saranno sistematicamente omesse.

Sia A Rn un insieme misurabile, e sia

f(x) : A R

una funzione a valori reali. Si considerino gli insiemi

SGP(f) Rn R

SGN(f) Rn R

. ............................................................................................................. . ..........................................

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q qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq

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...........

..........

Rn

R

f(x)

SGP(f)

SGN(f)AA

definiti da

SGP(f) = sottografico positivo di f =

{(x, ) AR : 0 6 f(x), 0 6 6 f(x)}SGN(f) = sovragrafico negativo di f =

{(x, ) AR : f(x) 6 0, f(x) 6 6 0}Se

H SGP(f) e SGN(f) sono entrambi misurabili

allora

N f si dice una funzione misurabile su A

Se

H SGP(f) e SGN(f) sono entrambi misurabili, e inoltre si ha

mis SGP(f) < + mis SGN(f) < +


allora

f si dice una funzione integrabile su A

si pone

NAf =

Af(x)dx = integrale di f su A =

mis SGP(f)mis SGN(f)

1.6.1 Teorema (provare per esercizio). Si ha

f integrabile {

f e` misurabile

|f | e` integrabile

e in tal caso si ha Af

6 A|f |

1.6.2 Teorema (provare per esercizio). Sia : A R una funzione{tale che (x) > 0 per x Aintegrabile su A

Si ha { |f(x)| 6 (x) per x Af misurabile su A

f integrabile su A

Il Teorema seguente, ovvia conseguenza del Teorema 1.3.1, stabilisce cheogni funzione misurabile secondo Riemann lo e` anche secondo Lebesgue, eche ogni funzione integrabile secondo Riemann lo e` anche secondo Lebesgue,ed i due corrispondenti integrali coincidono.

Tale Teorema giustifica labbandono dellintegrale secondo Riemann.

1.6.3 Teorema: Sia A un sottinsieme J-misurabile di Rn (e quindi inparticolare anche misurabile), e sia

f : A R

una funzione. Sussistono gli asserti:

a) Se f e` R-misurabile, allora f e` anche misurabile;

b) Se f e` R-integrabile, allora:

f e` anche integrabile,Af = R-

Af .

1.7 Misurabilita` e fasce di livello 19

Come conseguenza immediata di tale Teorema e del Teorema 1.5.1 otte-niamo il seguente rassicurante Corollario.

1.6.4 Corollario(integrabilita` di una funzione continua su un intervallochiuso e limitato): Siano < R, e sia

f : (, ) Runa funzione continua.

SiaF : (, ) R

una primitiva di f .Per a, b R tali che

< a < b < ,

si ha:

f e` integrabile su [a, b] secondo Riemann, e quindi e` anche integrabilesu [a, b] (ossia integrabile secondo Lebesgue);

quanto al calcolo di [a,b]

f ,

ossia al colcolo dellintegrale (di Lebsgue) di f su [a, b], si ha:

[a,b]f = R-

[a,b]

f = F (b) F (a).

1.7 Misurabilita` e fasce di livello

Questa sezione e` dedicata alla dimostrazione del seguente Teorema chericonduce la misurabilita` di una funzione alla misurabilita` di sottinsiemiopportuni del proprio dominio.

1.7.1 Teorema: Sia A un sottinsieme misurabile di Rn, e sia

f : A Runa funzione.

Sono equivalenti gli asserti:

a) f e` misurabile su A,b) per ogni < R, la fascia di livello compreso tra e di f ,

ossia linsieme{a A : < f(a) 6 }

e` misurabile.

Nota: La dimostrazione e` data al punto 1.7.9, e necessita dei Lemmi da1.7.2 a 1.7.8.


Come detto, per la dimostrazione occorrono vari Lemmi. Oggetto di taliLemmi sono:

un sottinsieme A di Rn, una funzione

f : A R .

A priori nessuna ipotesi di misurabilita` o limitatezza viene richiesta; in cia-scuno degli enunciati verranno specificate le particolari ipotesi su A e suf .

1.7.2 Lemma: Siaf(a) 6= 0, a A .

Se:

a)

{SGP(f) SGN(f) e` misurabilemis SGP(f) SGN(f) = 0

,

allora:

b)

{A e` misurabile

mis A = 0

Cenno. Dimostriamo lAsserto equivalente

b) a) ,

ossia dimostriamo che se:

o A e` non misurabile, o A e` misurabile, e mis A > 0,

allora:

o SGP(f) SGN(f) non e` misurabile, o SGP(f) SGN(f) e` misurabile, e mis SGP(f) SGN(f) > 0 .

A tal fine:

si provi per esercizio che e` sufficiente dimostrare lAsserto sottolulteriore ipotesi f(a) > 0 per a A, si provi per esercizio che per dimostrare lAsserto cos` modificato,

e` sufficiente considerare un rettangolo (certamente esistente)

R = [a1, b1] [an, bn] [0, b]


tale cheA ([a1, b1] [an, bn])

sia: o non misurabile, o misurabile con misura > 0, e dimostrareche

SGP(f) ([a1, b1] [an, bn] [0, b]) o e` non misurabile, o e` misurabile con misura > 0.

si provi per esercizio che per dimostrare il sussitere della condizionesufficiente descritta nellitem precedente, e` a sua volta sufficientedimostrare lAsserto sotto le ulteriori ipotesi:

f(a) > 0 per a A, A limitato, f limitata su A;

Le considerazioni che seguono, provano lAsserto sotto tali ulteriori ipo-tesi; si osservi che adesso SGP(f) e` limitato.

Per h = 1, 2, 3, . . . si ponga

h = {a A : f(a) > 1/h} ;ovviamente si ha:

1 2 3

A =h=1

h.

Se per h fossemise (h) = 0 ,

allora si avrebbe che h sarebbe misurabile, con mis h = 0, e quindi ancheA sarebbe misurabile, con mis A = 0.

Esiste pertanto h tale che

mise h = > 0

Sia

{aperto limitato

SGP(f) ;

per a h, si ha che

{a} [0, 1/h]{

e` un compatto

;

esiste quindi un aperto Ba 3 a tale cheBa [0, 1/h] ;


si consideri laperto0 =

ah

Ba ;

ovviamente si ha

h 0, 0 [0, 1/h] ;

si ha alloramis 0 > mise h = > 0

(1/h) 6 mis (0 [0, 1/h]) 6 mis .Ne segue che

mise SGP(f) > (1/h) > 0 ;pertanto SGP(f) o e` non misurabile, o e` misurabile con misura > 0.

1.7.3 Teorema: (usa 1.7.2) Si consideri linsieme

T D(f) = {a A : f(a) 6= 0} (T D sta per true domain) .Se:

SGP(f) SGN(f) e` misurabile, mis SGP(f) SGN(f) = 0,

allora:

T D(f) e` misurabile, mis T D(f) = 0.

Cenno. Si pongaA = T D(f) ,

e siaf : A R

la restrizione di f a A.Tenuto conto che

SGP(f) SGN(f) = (SGP(f) SGN(f)) \

ove = {a A : f(a) = 0} {0}

essendo sottinsieme di Rn {0}, e` misurabile, con misura = 0, lasserto siottiene applicando il Lemma 1.7.2 a f : A R.


1.7.4 Lemma: Sia

A misurabile.Sia

f1, f2, f3, . . . : A Runa successione di funzioni, tale che:

per a R si ha

0 6 f1(a),6 f2(a) 6 f3(a) 6 6 f(a) ,

per a A si hasup fh(a) = f(a) .

Se:

per h, SGP(fh) e` misurabile,allora:

anche SGP(f) e` misurabile.Cenno. Siccome A e` misurabile, allora per h, q = 1, 2, 3, . . . ,

SGP(fh + 1/q)

e` misurabile.Per a A si ha:[ h=1

{a} [0, fh(a) + 1/q]]{

o = {a} [0, f(a) + 1/q)o = {a} [0, f(a) + 1/q]

q = 1, 2, . . .

e pertanto

q=1

[ h=1

{a} [0, fh(a) + 1/q]]

= {a} [0, f(a)] .

Ne segue che:

SGP(f) =aA{a} [0, f(a)] =

q=1

[ h=1

SGP(fh + 1/q)

].

Siccome per h, q = 1, 2, 3, . . . ,

SGP(fh + 1/q)

e` misurabile, allora anche SGP(f) risulta misurabile.


1.7.5 Lemma: Sia:

A limitato, f(a) > 0 per a A, f limitata su A.

Allora:

per ogni

{ SGP(f)chiuso (e quindi compatto, essendo SGP(f) limitato)

,

esistono

K

{ Achiuso (e quindi compatto, essendo A limitato)

g : K R g(a) > 0 per a Ktali che:{

SGP(g) e` chiuso (e quindi compatto, essendo SGP(g)) limitato)

SGP(g) SGP(f).

Cenno. Sia : Rn R Rn

la proiezione. e` continua.Si ponga

K = () ;

essendo compatto, e continua, si ha che K e` compatto. Ovviamente siha anche K A.

Esiste ed e` univocamente determinata una famiglia di insiemi

a [0,), a K ,

tale che =

aK

({a} a) ;

siccome e` chiuso e limitato, se ne deduce facilmente che a e` chiuso elimitato.

Consideriamo quindi la funzione

g : K R


definita dag(a) = max a, a A .

E` subito visto che

SGP(g) SGP(f) .Le considerazioni seguenti provano che SGP(g) e` chiuso.

Sialimh

(ah, h) = (a0, 0) ,

con (ah, h) SGP(g) ,

ossia conah K, 0 6 h 6 g(ah), h .

Essendolimh

ah = a0 ,

ed essendo K chiuso, si ha

a0 K .

Per provare che SGP(g) e` chiuso, resta da provare che0 [0, g(a0)] .

Se invece fosse:0 > g(a0) ,

1) esisterebbe > 0 tale che

g0(a) < 0 ;2) essendo

limh

h = 0 ,

si avrebbe definitivamente rispetto ad h:

g(a0) < 0 < h 6 g(ah) ;3) come conseguenza, per qualsiasi sottosuccessione convergente

g(ahj )

di g(ah), si avrebbe:

g(a0) < 0 6 limj

g(ahj ) .


Lasserto 3) cos` ottenuto, e` assurdo: infatti

essendo compatto, la successione

(ah, g(ah))

ha una sottosuccessione(ahj , g(ahj )

)convergente, e posto

limj

(ahj , g(ahj )

)= (b0, 0) ,

si hab0 = a0, 0 [0, g(a0)] ;

e quindi in particolare:

limj

g(ahj ) = 0 6 g(a0) .

Pertanto si ha:0 [0, g(a0)] .

1.7.6 Lemma: (usa 1.7.4 e 1.7.5) Sia:

A limitato, f(a) > 0 per a A, f limitata su A.

Allora:

esistonoK

{ Amisurabile

g : K R g(a) > 0 per a Ktali che:

SGP(g) e` misurabile

SGP(g) SGP(f)misi SGP(f) = mis SGP(g)

.


Cenno. Siano

1,2,3, . . .

{ SGP(f)chiusi

,

tali chemisi SGP(f)mis h < 1/h .

Per il Lemma 1.7.5, per h = 1, 2, 3, . . . , esistono

Kh

{ Achiuso

gh : Kh R gh(a) > 0 per a Khtali che: {

SGP(gh) e` chiuso

h SGP(gh) SGP(f).

Sia

K =h=1

Kh ;

per h = 1, 2, 3, . . . siah : K R

la funzione definita da

h(a) =

{gh(a) se a Kh0 se a 6 Kh

;

per h = 1, 2, 3, . . . siagh : K R


gh(a) = sup{1(a), . . . , h(a)} .Si ha:

K e` limitato e misurabile, 0 6 g1 6 g2 6 g3 6 . . . , SGP(gh) e` misurabile;

inoltre, essendo per a K e per h:gh(a) 6 f(a) ,

possiamo considerare la funzione

g : K R g(a) = sup gh(a) .


Per il Lemma 1.7.4, si ha cheSGP(g)

e` misurabile.Si osservi che:

h SGP(g) SGP(f), h si ha

misi SGP(f)mis SGP(g) 6 misi SGP(f)mis h < 1/h ;

ne seguemisi SGP(f)mis SGP(g) = 0 .

1.7.7 Teorema: (usa 1.7.2 e 1.7.6) Sia:

f(a) > 0 per a A.Se:

a) SGP(f) e` misurabile,

allora:

b) A e` misurabile.

Cenno. Parte 1) In questa parte, dimostriamo lasserto sotto le ulte-riori ipotesi:

A limitato, f limitata su A.

Sotto tali ipotesi, per il Lemma 1.7.6, esistono

K

{ Amisurabile

g : K R g(a) > 0 per a Ktali che:

SGP(g) e` misurabile

SGP(g) SGP(f)misi SGP(f) = mis SGP(g)

;

essendo SGP(f) misurabile, si ha

mis SGP(g) = mis SGP(f) ,


e quindi {SGP(f) \ SGP(g) e` misurabilemis SGP(f) \ SGP(g) = 0

.

Ne segue che {SGP(f|(A\K)) e` misurabile

mis SGP(f|(A\k)) = 0;

allora per il Lemma 1.7.2 si ha che A \ K e` misurabile, e quindi anche Arisulta misurabile.

Parte 2) In questa parte, utilizzando il risultato della Parte 1), dimo-striamo lasserto in generale, ossia senza ipotesi di limitatezza ne per A neper f .

Per h = 1, 2, 3, . . . , si ponga

Ah = A ([h, h] [h, h]) ,e sia

fh : Ah Rla funzione definita da:

fh(a) =

{f(a) se f(a) 6 1

1 se f(a) > 1a Ah .

Si ha

SGP(fh) = SGP(f) ([h, h] [h, h] [0, 1]) ;quindi SGP(fh e` misurabile. Per il risultato provato nella Parte 1), linsieme

Ah = A ([h, h] [h, h])e` allora misurabile per h; conseguentemente, A risulta misurabile. 1.7.8 Lemma: Sia

f(a) 6= 0 per a A.Se:

SGP(f) SGN(f) e` misurabile,allora:

per > 0, i sottinsiemi di A{a A : f(a) > }, {a A : f(a) < }

sono misurabili.


Cenno. Si ponga

P = {a A : f(a) > } ,e sia

f : P Rla funzione definita da

f(a) = f(a) > 0 a P .

Si ha:

SGP(f) = ([SGP(f) (Rn (,+))] (0, . . . , 0, ))insieme di misura nulla ;

ne segue cheSGP(f)

e` misurabile, e allora, per il Teorema 1.7.7 anche

P = {a A : f(a) > }e` misurabile.

La misurabilita` dellinsieme

{a A : f(a) < }si ottiene applicando le considerazioni precedenti alla funzione f .

Utilizzando i risultati precedenti possiamo fornire la dimostrazione delTeorema 1.7.1.

1.7.9 Dimostrazione del Teorema 1.7.1: (per comodita` riportiamolenunciato del Teorema) Sia:

A misurabile.

Sono equivalenti gli asserti:

a) f e` misurabile su A,

b) per ogni < R, linsieme

{a A : < f(a) 6 }

e` misurabile.

1.8 Funzioni limitate su insiemi limitati: significato analitico dellintegrale 31

Cenno. a)b). Dal Lemma 1.7.8 segue che per > 0, gli insiemi{a A : f(a) > }, {a A : f(a) < }

sono misurabili; essendo A misurabile, allora anche i loro complementari inA, ossia gli insiemi

{a A : f(a) 6 }, {a A : f(a) > }sono misurabili.

Con considerazioni di routine basate sulla misurabilita` di tali insiemi, equindi delle loro unioni e intersezioni numerabili, si ottiene lasserto.

b)a). Per R > 0 si pongaR = SGP(f) ([R,R]n [0, R]) .

Per h = 1, 2, 3, . . . si ponga

PR,s = {a A : (s 1)R/h < f(a) 6 sR/h} [R,R]n s = 1, . . . , h ;si ponga inoltre

PR,0 = {a A : f(a) = 0} [R,R]n ;ovviamente

PR,0, PR,1, . . . , PR,h

sono una partizione di A [R,R]n in insiemi misurabili.Si considerino gli insiemi misurabili

IR,h = (PR,0 [0, 0]) (

hs=1

PR,s [0, (s 1)R/h])

ER,h = (PR,0 [0, 0]) (

hs=1

PR,s [0, sR/h]) .

Si osservi che:

IR,h R ER,h, mis ER,h mis IR,h 6 mis (A [R,R]

n)h

;

ne segue che

R =

( h=1

IR,h

) insieme di misura nulla ,

e quindi che R e` misurabile per R > 0. Di conseguenza, anche SGP(f) e`misurabile.

Analogamente si prova la misurabilita` di SGN(f).


1.8 Funzioni limitate su insiemi limitati: significa-to analitico dellintegrale

Sia A un sottinsieme misurabile e limitato di Rn, e sia

f : A Runa funzione limitata, ossia una funzione per la quale M > 0 tale che

M 6 f(x) 6M per ogni x A .La seguente Nota (dimostrazione immediata) prova che per una tale

funzione le nozioni di misurabilita` e integrabilita` sono equivalenti.

1.8.1 Nota: Sono equivalenti gli asserti

a) f e` misurabile

b) f e` integrabile

La seguente Definizione introduce le nozioni di quasi-partizioni di Lebe-sgue dell insieme misurabile e limitato A, e di somme inferiori e superioridi Lebesgue della funzione limitata f .

1.8.2 Definizione: Una famiglia finita

P1, . . . , Pr

di sottinsiemi misurabili di A, tale che

H A =rj=1

Pj

N per ogni j1 6= j2 si ha mis (Pj1 Pj2) = 0si dira` una quasi-partizione di Lebesgue di A.

SeP1, . . . , Pr

e` una quasi-partizione di A, i reali

rj=1

(mis Pj) infPjf

rj=1

(mis Pj) supPj

f

si diranno le somme di Lebesgue di f , rispettivamente inferiore e superiore,relative alla quasi-partizione P1, . . . , Pr.

Il seguente Teorema fornisce il significato analitico della integrabilita` edellintegrale per funzioni limitate su insiemi limitati.

1.8 Funzioni limitate su insiemi limitati: significato analitico dellintegrale 33

1.8.3 Teorema: Sono equivalenti gli asserti:

a) f e` integrabile su A,

b) sup {s R : s = somma inferiore di Lebesgue di f} =inf {s R : s = somma superiore di Lebesgue di f} .

In tal caso si ha

HAf = sup {s R : s = somma inferiore di Lebesgue di f} =

inf {s R : s = somma superiore di Lebesgue di f}

N (mis A) infA f 6Af 6 (mis A) supA f

Cenno. a)b). Sia M > 0 tale che per a A si abbia

M < f(a) < M .

Per h = 1, 2, 3, . . . si considerino le seguenti fasce di livello di f :

Ps = {a A : M + (s 1)2M/h < f(a) 6 M + s2M/h}s = 1, . . . , h .

Essendo f integrabile, e quindi misurabile, per il Teorema 1.7.1 la famiglia

P1, . . . , Ph

e` una quasi-partizione (piu` precisamente, una partizione) di Lebesgue di A;inoltre

hs=1

(mis Ps) infPsf,

hs=1

(mis Ps) supPs

f

sono le somme dli Lebesgue di f , rispettivamente inferiore e superiore,relative alla quasi partizione

P1, . . . , Ph .

Per h si ha quindi:

0 6hs=1

(mis Ps) supPs

f hs=1

(mis Ps) infPsf 6

6hs=1

(mis Ps) (M + s2M/h)hs=1

(mis Ps) (M + (s 1)2M/h) =

= (mis A) (2M/h) ;


ne segue b).

b)a). Sostituendo eventualmente due quasi-partizioni di Lebesgue, conla quasi-partizione fornita dalle intersezioni di ciascun membro della primacon ciascum membro della seconda, si prova che per h = 1, 2, 3, . . . esisteuna quasi-partizione di Lebesgue

Ph1, . . . , Phsh , Nh1, . . . , Nhrh ,Mh1, . . . ,Mhqh

tale che:

0 6 infPhi f 6 supPhi f , infNhj f 6 supNhj f 6 0, infMhl f 6 0 6 supMhl f ,

e che

0 6

shi=1

(mis Phi) supPhi

f +rhj=1

(mis Nhj) supNhj

f +qhl=1

(mis Mhl) supMhl

f

shi=1

(mis Phi) infPhi

f +rhj=1

(mis Nhj) infNhj

f +qhl=1

(mis Mhl) infMhl

f

6< 1/h .

Si ha:

I+h =

(i

Phi [0, infPhif

)

) SGP(f)

(

i

Phi [0, supPhi

f ]

)

j

Mhj [0, supMhj

f ]

= E+h

Ih =

(l

Nhl (supNhl

f, 0]

) SGN(f)

j

Mhj ( infMhj

f, 0]

(l

Nhl (infNhl

f, 0]

)= Eh

Ih = I+h Ih SGP(f) SGN(f) E+h Eh = EhRelativamente a SGP(f) SGN(f) si ha:

1.9 Funzioni limitate su insiemi limitati: uso per lo studio dellintegrabilita` 35

I =h=1

Ih = SGP(f) SGN(f) h=1

Eh = E,

I, E sono misurabili in quanto unioni numerabili di misurabili, per h si ha:

mis (E \ I) 6 mis (Eh \ Ih) = mis Eh mis Ih =

=shi=1

(mis Phi)

(supPhi

f infPhi

f

)+

rhj=1

(mis Nhj)

(supNhj

f infNhj

f

)+

+qhl=1

(mis Mhl)

(supMhl

f infMhl

f

)< 1/h ;

pertanto SGP(f) SGN(f) e` misurabile, e di conseguenza anche SGP(f) eSGN(f) sono misurabili; in particolare f e` misurabile, e per le condizioni dilimitatezza e` integrabile.

Relativamente aAf = mis SGP(f)mis SGN(f) ,

per h si ha:shi=1

(mis Phi) infPhi

f +rhj=1

(mis Nhj) infNhj

f +qhl=1

(mis Mhl) infMhl

f =

= mis I+h mis Eh 6 mis SGP(f)mis SGN(f) 6 mis E+h mis Ih 6

6shi=1

(mis Phi) supPhi

f +rhj=1

(mis Nhj) supNhj

f +qhl=1

(mis Mhl) supMhl

f

e quindi per le ipotesi si ha:Af = sup {s R : s = somma inferiore di Lebesgue di f} =

inf {s R : s = somma superiore di Lebesgue di f} .Lultimo asserto e` banale.

1.9 Funzioni limitate su insiemi limitati: uso perlo studio dellintegrabilita`

Sia A un sottinsieme misurabile (anche non limitato) di Rn, e sia

f : A R


una funzione (anche non limitata).In questa sezione viene indicata una strategia per ricondurre lo studio

della misurabilita` e integrabilita` di f e il calcolo delleventuale integrale dif , a verifiche di integrabilita` e al calcolo di eventuali integrali di opportunefunzioni limitate su insiemi misurabili e limitati.

La seguente Defininizione introduce il concetto di successione fondamen-tale per f su A.

1.9.1 Definizione: Una successione

A1, A2, A3, . . .

di insiemi limitati e misurabili, tale cheA1 A2 A3 A

A =k=1

Ak

f limitata su Aksi dira` una successione fondamentale per f su A.

Il seguente Teorema riconduce lo studio della misurabilita` di f allenozioni di successioni fondamentali e di funzioni limitate su insiemi limitati.

1.9.2 Teorema: Sono equivalenti gli asserti:

a) f e` misurabile su A

b) esiste una successione fondamentale A1, A2, A3, . . . per f su A, taleche

f e` integrabile su AkCenno. ab). Si consideri ad esempio la successione definita da

Ak = A ([k, k] [k, k]) {x A : |f(x)| 6 k}ba). Provare per esercizio.

c) data comunque una successione fondamentale A1, A2, A3, . . . per f suA, si ha che

f e` integrabile su Ak .Nopta: b) e` utile quando si deve dimostrare che f e` misurabile. c) e` utilequando si e` ormai dimostrato che f e` misurabile.

Il Teorema 1.9.2 giustifica la seguente Procedura per appurare se f siao non sia misurabile su A.


1.9.3 Procedura:

Step 1) Si cerca una successione fondamentale per f su A;

se non esiste alcuna tale successione (caso ben difficilmente in-contrabile), allora per b) del Teorema 1.9.2, f e` non misura-bile su A;

altrimenti si considera una qualsiasi successione fondamentaleA1, A2, A3, . . . per f su A, e si passa a Step 2);

Step 2) si controlla lintegrabilita` o meno di f su ciascun Ak;

se k tale che f non e` integrabile su Ak (caso ben difficil-mente incontrabile), allora per c) del Teorema 1.9.2 f e` nonmisurabile su A; altrimenti, ossia se f e` integrabile su ciascun Ak, per b) del

Teorema 1.9.2, f e` misurabile su A.

Una volta appurato che f e` misurabile, ed individuata una qualsiasisuccessione fondamentale A1, A2, A3, . . . per f su A, il seguente Teoremadice come appurare se f sia o non sia integrabile, e in caso affermativo,come calcolarne lintegrale.

1.9.4 Teorema: Sia f misurabile su A, e sia

A1, A2, A3, . . .

una qualsiasi successione fondamentale per f su A.

H Si osservi che:O per c) del Teorema 1.9.2,le funzioni

f, |f | : A R

sono integrabili su ciascun Ak,M e che inoltre si ha:

A1

|f | 6A2

|f | 6A3

|f | 6 .

Sono equivalenti gli asserti:a) f e` integrabile su A

b) limk

Ak

|f | < +

Cenno. Si osservi che, essendo f misurabile su A, si ha

f integrabile |f | integrabile mis SGP (|f |) < +


Si osservi che, posto A0 = , si ha

SGP (|f |) =k=1

SGP(fupslope(Ak\Ak1))

mis SGP (|f |) =k=1

Ak\Ak1

|f | = limk

Ak

|f |

Se f integrabile su A, si ha

Af = lim

k

Ak

f

Cenno. Si osservi che, essendo f integrabile su A, si haAf = mis SGP (f)mis SGN(f) =k=1

mis SGP(fupslope(Ak\Ak1)

) k=1

mis SGN(fupslope(Ak\Ak1)

)=

k=1

(mis SGP

(fupslope(Ak\Ak1)

)mis SGN (fupslope(Ak\Ak1))) =k=1

Ak\Ak1

f = limk

Ak

f

Attenzione: Se f e` misurabile su A, ma f non e` integrabile su A, datauna successione fondamentale per f su A,

O puo` esistere finito limk

Ak

f

M tale limite puo` variare cambiando la successione fondamentale.

LEsercizio seguente fornisce un esempio di tale situazione.

1.9.5 Esercizio: Sia

A = [1, 0) (0, 1] R ,

e siaf : A R


f(x) =1x, per x A .


Siano ah, bh due successioni di reali tali che:

1 > a1 > a2 > a3 > limh

ah = 0

1 > b1 > b2 > b3 > limh

bh = 0

si ponga:Ah = [1,ah] [bh, 1] .

H Si verifichi che A1, A2, A3, . . . e` una successione fondamentale perf su A.

Si provi che f e` integrabile su Ah.Cenno. Qui e in seguito utilizzare il Corollario 1.6.4.

Dallitem precedente si deduce che f e` misurabile su A. Se ne deduce che

f, |f |sono integrabili su Ah.

Si ricordi che la funzione

ln |x| : R \ {0} Re` una primitiva della funzione continua

1x

: R \ {0} R . Si ha:

Ah

|f | =

[1,ah]

1xdx+

[bh,1]

1xdx =

=

[1,ah]1x

dx+

[bh,1]

1x

dx =

= ln ah ln bh = ln 1ahbh

.

Dallitem precedente si ottiene

limh

Ah

|f | = + ;

quindi f non e` integrabile su A.Come conseguenza, dalla successione

A1

f,

A2

f,

A2

f, . . .

possiamo solo aspettarci stranezze.


Si ha: Ah

f =

[1,ah]1x

dx+

[bh,1]

1x

dx =

= ln ah ln bh = ln ahbh.

Sia R; per h > e si ponga

ah =e

h, bh =

1h

;

si verifichi che con tale scelta di ah, bh si ottiene

limh

A1

f = .

Cosa accade ponendo

ah =1h, bh =

1h2

?

Cosa accade ponendo

ah =1h2, bh =

1h

?

N Cosa accade ponendo

ah =

1

2hper h pari

13h

per h dispari, bh =

1h

?

Il Teorema che segue, usando il Teorema 1.9.4, prova che la somma diapplicazioni integrabili e` integrabile, e che i multipli reali di applicazioniintegrabili sono integrabili. In particolare prova che:

linsieme I (A,R) definito daI (A,R) = {f : A R : f e` integrabile su A} ,

e` un sottospazio dello spazio vettoriale F (A,R) di tutte le funzionida A in R;

lapplicazione : I (A,R) R

f Af

e` una applicazione lineare.


1.9.6 Teorema. Siano f, g : A R due funzioni integrabili su A, e siac R. Si ha

H f + g , cf sono integrabili su A

NA

(f + g) =Af +

Ag ,

A

(cf) = cAf

Cenno. Sia A1, A2, A3, . . . una successione fondamentale sia per f cheper g su A; ad esempio si puo` scegliere

Ak = A ([k, k] [k, k]){x A : |f(x)| < k} {x A : |g(x)| < k}

Si consideri Ak; si verifichi che

O f, g sono integrabili su Ak inf

({somme superiori di Lebesgue di f su Ak}+{somme superiori di Lebesgue di g su Ak}

)>

inf {somme superiori di Lebesgue di f + g su Ak}Cenno. Siano Q1, . . . , Q e R1, . . . , R quasi-partizioni di Le-

besgue di Ak. Si osservi che la famiglia

Pij = Qi Rj i = 1, . . . , j = 1, . . . ,

e` una quasi-partizione di Ak.Si ha

i

(mis Qi) supQi

f +j

(mis Ri) supRj

g >

ij

(mis Pij) supPij

f +ij

(mis Pij) supPij

g =

ij

(mis Pij) (

supPij

f + supPij

g

)>

ij

(mis Pij) supPij

(f + g)

se ne deduca che

Ak

f+Ak

g > inf {somme superiori di Lebesgue di f + g su Ak}


analogamente si provi che

sup({somme inferiori di Lebesgue di f su Ak}+{somme inferiori di Lebesgue di g su Ak}

)6

sup{somme inferiori di Lebesgue di f + g su Ak}Ak

f +Ak

g 6 sup{somme inferiori di Lebesgue di f + g su Ak}e che

sup{somme inferiori di Lebesgue di f + g su Ak} 6inf {somme superiori di Lebesgue di f + g su Ak}

se ne deduca che

f + g e` integrabile su AkAk

(f + g) =Ak

f +Ak

g

e quindi che

M |f + g| e` integrabile su Ak|f |+ |g| e` integrabile su AkAk

|f + g| 6Ak

(|f |+ |g|) =Ak

|f |+Ak

|g|

Si osservi che

O A1, A2, A3, . . . e` una successione fondamentale per f + g su A taleche f + g e` integrabile su Ak

f + g e` misurabile su A

limk

Ak

|f + g| 6 limk

(Ak

|f |+Ak

|g|)

=Ak

|f |+Ak

|g|

e quindi che

f + g e` integrabile su A

MA

(f + g) = limk

Ak

(f + g) =

limk

(Ak

f +Ak

g

)=Af +

Ag

Analogamente e piu` semplicemente si procede per cf .

1.10 Funzioni continue: misurabilita` e condizioni di integrabilita` 43

1.10 Funzioni continue: misurabilita` e condizionidi integrabilita`

Sia A Rn un insieme misurabile e siaf(x) : A R

una funzione a valori reali.

1.10.1 Teorema. Se

f e` continua su A,allora

f e` misurabile su A.

Cenno. Sia R e siaA = {x A : f(x) < } .

Ovviamente A e` la controimmagine dellaperto

(, ) Rtramite lapplicazione f ; essendo f continua, esiste un aperto Rn taleche

A = A ;ne segue che A e` misurabile in quanto intersezione di due misurabili (siverifichi che ogni aperto di Rn e` misurabile).

Lasserto segue adesso dal Teorema 1.7.1.

1.10.2 Teorema. Se

A e` limitato, f e` limitata su A, f e` continua su A,

allora

f e` integrabile su A.

1.10.3 Teorema. Sia

A limitato, f limitata su a, f uniformemente continua su A.


Per il Teorema 1.10.2 f e` integrabile su A.Le considerazioni che seguono danno una ulteriore interpretazione ana-

litica diAf , e nello stesso tempo indicano un modo per approssimare

Af .

H Definizione: sia > 0; datiO una quasi-partizione P1, . . . , Pr di A in insiemi misurabili,

ciascuno di diametro 6 M c1 P1, . . . , cr Pr

allorarj=1

(mis Pj) f (cj)

si dice una -somma di Lebesgue di f

Per > 0, > 0 tale che per ogni -somma di Lebesgue di frj=1

(mis Pj) f (cj)

si ha Af

rj=1

(mis Pj) f (cj)

< Cenno. Sia > 0. Tenuto conto che f e` uniformemente conti-

nua, esiste > 0 tale che, per x1, x2 A tali che d(x1, x2) 6 ,si ha

|f(x1) f(x2)| < 1 + mis A .Sia

rj=1

(mis Pj) f (cj)

una -somma di Lebesgue di f .Si verifichi che

Orj=1

(mis Pj) infPjf 6

rj=1

(mis Pj) f (cj) 6rj=1

(mis Pj) supPj

f

rj=1

(mis Pj) infPjf 6

Af 6

rj=1

(mis Pj) supPj

f

se ne deduca che

Af

rj=1

(mis Pj) f (cj)

6rj=1

(mis Pj)

(supPj

f infPjf

)

1.10 Funzioni continue: misurabilita` e condizioni di integrabilita` 45

si tenga conto che

per ogni Pj si ha

0 6 supPj f infPj f =sup{ |f (x1) f (x2)| : x1, x2 Pj} 6 1 + mis A

se ne deduca che

M

Af

rj=1

(mis Pj) f (cj)

<

N SiaO 12, 3, . . . una successione tale che{

k > 0limk

k = 0

per k sia

rkj=1

(mis Pkj) f (ckj) una k-somma di Lebesgue di f

si provi che

MAf = lim

k

rkj=1

(mis Pkj) f (ckj)

1.10.4 Esercizio. Sia K Rn un compatto, e sia

f : K R

una funzione continua su K;

H si ricordi che f e` limitata su K si ricordi che f e` uniformemente continua su K, e si applichino adf tutte le considerazioni del precedente Teorema 1.10.3

N si supponga inoltre che K sia anche connesso; si provi che c Ktale che

Kf = (mis K)f(c)

1.10.5 Esercizio. Sia f : Rn R una funzione continua, nulla fuori diun rettangolo

R = [a1, b1] [an, bn]Per k = 1, 2, 3, . . . si considerino


H la quasi-partizione di R

Rk,j1...jn =[a1 +

j1 1k

(b1 a1), a1 + j1k

(b1 a1)] [

an +jn 1k

(bn an), an + jnk

(bn an)]

conj1, . . . , jn {1, . . . , k}

N ck,j1...jn Rk,j1...jnSi provi che

Rnf = lim

k

kj1,...,jn=1

mis Rkn

f (ck,j1...jn)

Cenno. Si osservi cheRnf = lim

k

kj1,...,jn=1

(mis Rk,j1...jn) f (ck,j1...jn)

1.11 Esempi di funzioni integrabili

Sia R.Esempio 1. Si consideri la funzione continua

(t) : (0,+) R

definita da(t) =

1t

Per il comportamento su (0, 1]

H si osservi che (t) e` misurabile su (0, 1]

si osservi che la successione

[1/k, 1] k = 1, 2, 3, . . .

e` fondamentale per (t) su (0, 1]

si verifichi che

1.11 Esempi di funzioni integrabili 47

O se = 1 si ha[1/k,1]

(1/t)dt = [ ln t]1

1/k= ln k

M se 6= 1 si ha[1/k,1]

(1/t)dt =[

1+ 1

1t1

]11/k

=1

+ 1(1 k1)

tenuto conto che|(t)| = (t)

se ne deduca che

O 1/t integrabile su (0, 1] < 1e che in tal caso si ha

M

(0,1](1/t)dt =

11

N si generalizzi il risultato precedente da (0, 1] ad un qualsiasi (0, r]con 0 < r

Per il comportamento su [1,+)H si osservi che (t) e` misurabile su [1,+) si osservi che la successione

[1, k] k = 1, 2, 3, . . .

e` fondamentale per (t) su [1,+) si verifichi che

O se = 1 si ha [1,k]

(1/t)dt = [ ln t]k

1= ln k

M se 6= 1 si ha[1,k]

(1/t)dt =[

1+ 1

1t1

]k1

=1

+ 1(

1k1

1)

tenuto conto che|(t)| = (t)

se ne deduca che


O 1/t integrabile su [1,+) > 1e che in tal caso si ha

M

[1,+)(1/t)dt =

1 1

N si generalizzi il risultato precedente da [1,+) ad un qualsiasi[r,+) con 0 < r

1.11.1 Esempio 2. Come conseguenza dellEsempio 1, si provino gli as-serti:

H sia < 1 e sia

f(t) : (0, r] R con 0 < r

una qualsiasi funzione tale che{f misurabile su (0, r]

|f(t)| 6 1/t per t (0, r]

allora f(t) e` integrabile su (0, r]

N sia > 1 e sia

f(t) : [r,+) R con 0 < r

una qualsiasi funzione tale che{f(t) misurabile su [r,+)|f(t)| 6 1/t per t [r,+)

allora f(t) e` integrabile su [r,+)

Esempio 3. Si consideri la funzione continua

(x) : Rn \ {0} Rdefinita da

(x) =1x

Per ottenere risultati sulla integrabilita` di , occorrono alcune premesse:

H I(0, 1) Rn e` chiuso e limitato (ossia compatto), quindi e` misura-bile

O si ponga n = mis I(0, 1) (omettiamo il calcolo di n)M si verifichi che n 6= 0


N sia 0 < r, si provi che

O I(0, r) e` misurabile mis I(0, r) = n rn

se ne deduca che

mis(I(0, r) \ I(0, r)

)= mis {x Rn : x = r} = 0

Cenno. Per 0 < < r si ha

I(0, r) \ I(0, r) I(0, r) \ I(0, )

M mis I(0, r) = n rn

H sia 0 < r, e sia() : [r,+) R


() =I(0,)\I(0,r)

(1/x) dx

allora

O per 0 > r e per h > 0 si ha

(0 + h) (0)h

=1h

I(0,0+h)\I(0,0)

(1/x) dx =

1h

I(0,0+h)\I(0,0)

(1/x) dx =

1h n ((0 + h)n n0 )

1x0

ove x0 e` un opportuno elemento tale che

0 6 x0 6 0 + h

come conseguenza si ottiene

limh0+

(0 + h) (0)h

=

n 10 limh0+

0 + h)n n0h

= n 10 n n10


analogamente si verifichi che, per 0 > r e per h < 0 taleche r < 0 + h, si ha

limh0

(0 + h) (0)h

= n 10 n n10

allora la funzione

() : [r,+) Re` derivabile per 0 [r,+), e si ha

(1)(0) = n nn10 se = n si ha

() = n n ln + c con c R opportuno

(r) =

{n n ln r + c0

c = n n ln re quindi

() = n n ln(r

)M se 6= n si ha

() =n

n n n + c con c R opportuno

(r) =

n

n n rn + c

0

c = nn n r

n

e quindi() =

n

n n (n rn)

N sia 0 < r < s, allora

O se = n si haI(0,s)\I(0,r)

(1/x) dx = n n ln(sr

)M se 6= n si ha

I(0,s)\I(0,r)(1/x) dx = n

n n (sn rn)


Possiamo ora ottenere risultati sullintegrabilita` di :

H si provi che la successione

Ak = I(0, 1) \ I(0, 1/k) k = 1, 2, 3, . . .e` fondamentale per su I(0, 1) \ {0}

si verifichi cheAk

= n n ln k se = nAk

=n

n n (

1(

1k

)n)se 6= n

tenuto conto che || = , se ne deduca che

O 1x e` integrabile su I(0, 1) \ {0} < ne che in tal caso si ha

MI(0,1)\{0}

(1/x) dx = nn n

N si generalizzi il risultato precedente, da I(0, 1)\{0} ad un qualsiasiI(0, r) \ {0} con r > 0

H si provi che la successione

Ak = I(0, k) \ I(0, 1) k = 1, 2, 3, . . .e` fondamentale per su Rn \ I(0, 1)

si verifichi cheAk

= n n ln k se = nAk

=n

n n (kn 1) se 6= n

tenuto conto che || = , se ne deduca che

O 1x e` integrabile su Rn \ I(0, 1) > n

e che in tal caso si ha

MRn\I(0,1)

(1/x) dx = n n n


N si generalizzi il risultato precedente, da Rn \ I(0, 1) ad un qualsiasiRn \ I(0, r) con r > 0

1.11.2 Esempio 4. Come conseguenza dellEsempio 3, si provino gli as-serti:

H sia < n e sia

f(x) : I(0, r) \ {0} R con 0 < runa qualsiasi funzione tale che{

f(x) misurabile su I(0, r) \ {0}|f(x)| 6 1/x per x I(0, r) \ {0}

allora f(x) e` integrabile su I(0, r) \ {0}N sia > n e sia

f(x) : Rn \ I(0, r) R con 0 < r

una qualsiasi funzione tale che{f(x) misurabile su Rn \ I(0, r)|f(x)| 6 1/x per x Rn \ I(0, r)

allora f(x) e` integrabile su Rn \ I(0, r)

1.12 Asserti veri quasi ovunque. Il Teorema diLebesgue

Sia A Rn un insieme misurabile non vuoto.Sia P (x) un asserto dipendente da x A, tale cheH per ogni x A, lasserto P (x) e` o vero o falso

Se

linsieme{x A : P (x) e` falso}

e` misurabile, e ha misura nulla

allora

N P (x) si dice un asserto vero quasi ovunque (q.o.) su A

1.12 Asserti veri quasi ovunque. Il Teorema di Lebesgue 53

Ad esempio, sia : R R


(t)

{ |t| se t Q|t| se t / Q

e sia P (t) lasserto definito per ogni t R da

P (t) = (t) > 0

allora{t R : P (t) e` falso} = Q

e quindi lasserto P (t) e` vero quasi ovunque su R.

1.12.1 Teorema (di Lebesgue, o della convergenza dominata). Sia

f1, f2, f3, . . . : A R

una successione di funzioni integrabili su A, e sia

f : A R

una funzione qualsiasi.

Se

H per q.o. a A si halimk

fk(a) = f(a)

N esiste : A R tale cheO e` integrabile su A (x) > 0 q.o. su AM per ogni k si ha

|fk(x)| 6 (x) q.o. su A

allora si ha (dimostrazione omessa)

H f e` integrabile su A

limk

Afk =

Af

N limk

A|f fk| = 0

Esempi: Come applicazione del Teorema di Lebesgue, si verifichi che


H 1.12.2 Lemma: Se

O f : A R e` un funzione integrabile A1 A2 A3 A e` una sucessione di insiemi

misurabili tali che

mis

(A \

k=1

Ak

)= 0

allora

M limk

Ak

f =Af

Cenno. Si ponga

fk(x) =

{f(x) se x Ak

0 se x A \Ak(x) = |f(x)|

e si applichi 1.12.1.

N 1.12.3 Teorema(integrazione per parti generalizzata): Siano

f, g : [a, b] Rtali che

O f, g C0[a, b] f, g C1(a, b) f (1), g(1) sono integrabili su (a, b)

allora

f (1)g, fg(1) sono integrabili su (a, b)

M

(a,b)f (1)g = [f(t)g(t)]

b

a

(a,b)fg(1)

Cenno. Siano

[a1, b1] [a2, b2] [a3, b3] (a, b)tali che

k=1

[ak, bk] = (a, b)

Su ogni [ak, bk] si ha (usuale integrazione per parti)[ak,bk]

f (1)g = [f(t)g(t)]bk

ak

[ak,bk]fg(1)

Usando 1.12.2, si passi al limite per k .

1.13 Funzioni definite quasi ovunque. I Teoremi di Fubini e Tonelli 55

1.13 Funzioni definite quasi ovunque. I Teoremidi Fubini e Tonelli

Sia A Rn un insieme misurabile non vuoto.Siano

H A un insieme tale che mis H = 0f : A \H R una funzione

allora

H f : A \H R si dice un funzione definita quasi ovunque su A

N f : A \H R si denota con la sigla

f : A R d.q.o.

Ad esmpio, si puo` considerare la funzione

f : R R d.q.o.

definita da

f(t) =eit

sin t

per la quale si ha H = {kpi : k Z}.Siano

H f : A R il prolungamento banale di f ad A, definito da

f(x) =

{f(x) x A \H

0 x H

N f : Rn R il prolungamento banale di f ad Rn, definito da

f(x) =

{f(x) x A \H

0 x / A \H


si verifichi che

H sono equivalenti gli asserti

a) f : A \H R e` misurabile su A \H

b) f : A R e` misurabile su A

c) f : Rn R e` misurabile su Rn

in tal caso

f : A R d.q.o. si dice misurabile su A

N sono equivalenti gli asserti

a) f : A \H R e` integrabile su A \H

b) f : A R e` integrabile su A

c) f : Rn R e` integrabile su Rn

in tal caso

OA\H

f =Af =

Rnf

f : A R d.q.o. si dice integrabile su A

M si pone Af =

A\H

f =Af =

Rnf

1.13 Funzioni definite quasi ovunque. I Teoremi di Fubini e Tonelli 57

1.13.1 Teorema (di Fubini). Sia f : Rm Rn R una funzione inte-grabile su Rm Rn.

.

.........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

R

. ........................................................................................................................................................................................................................................... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ......... ............................................................................................................................................................................................................................................................ Rn

.

...................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

Rm

.

..................................................................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................................................................

.

...............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.

...................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.

............................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................

......................

....................

...................

............................................................................................................................

. ......................................................................................................................................................................................................................................................................................... ........... ........... ........... ........... ........... ........... ........... ...........r r

r

sf(x, y) R

Rm {y}

x Rm

y Rn

(x, y) Rm Rn

Si ha (dimostrazione omessa)

H per q.o. y Rn, la funzioneRm Rx f(x, y)

e` integrabile su Rm

la funzione definita q.o.

Rn R

y Rm

f(x, y)dx

e` integrabile su Rn

NRmRn

f(x, y)dxdy =Rn

[Rm

f(x, y)dx]

dy

Risultati analoghi sussistono scambiando i ruoli di Rm,Rn.

1.13.2 Teorema (di Tonelli). Sia f : Rm Rn R una funzionemisurabile su Rm Rn. Se

H per q.o. (x, y) Rm Rn si ha f(x, y) > 0


H per q.o. y Rn, la funzioneRm Rx f(x, y)

e` integrabile su Rm

la funzione definita q.o.Rn R

y Rm

f(x, y)dx


allora (dimostrazione omessa)

N f(x, y) e` integrabile su Rm Rn

Risultato analogo sussiste scambiando i ruoli di Rm,Rn.

Come esempio di applicazione del Teorema di Fubini si ha

1.13.3 Corollario. Sia f C1(Rn) una funzione tale chelimx

f(x) = 0

e sia j {1, . . . , n} tale chef

xj

sia integrabile su Rn. Si ha Rn

f

xj= 0

Cenno. Supponiamo j = 1. Per 1.13.1 si haRn

f

x1=Rn1

[R

f

x1(x1, x2, . . . , xn) dx1

]dx2 dxn

Per ogni (x2, . . . , xn) Rn1 tale che la funzioneR R

x1 fx1

(x1, x2, . . . , xn)

sia integrabile, tenuto conto di 1.12.2, si haR

f

x1(x1, x2, . . . , xn) dx1 = lim

R+

[R,R]

f

x1(x1, x2, . . . , xn) dx1 =

limR+

(f(R, , x2, . . . , xn) f(R, , x2, . . . , xn)) = 0

Ne segue lasserto.

1.14 Un teorema su GL(R, n) 59

1.13.4 Corollario. Sia Rn un aperto non vuoto, e sia f C1() unafunzione a supporto compatto. Per j = 1, . . . , n si ha

f

xj= 0

Cenno. Sia f il prolungamento banale di f a Rn. Si ha

f C1(Rn), supp f = supp f, fxj

=(f

xj

)e

f

xj=Rn

(f

xj

)e=Rn

f

xj

Applicando 1.13.3 ad f , si ottiene lasserto.

1.13.5 Teorema. Sia Rn un aperto non vuoto, e siano f, g C1()due funzioni, una delle quali a supporto compatto. Per j = 1, . . . , n si ha

f

xj g =

f g

xj

Cenno. Si ha fg C1(); inoltre supp fg e` compatto. Applicando1.13.4 ad fg, si ottiene lasserto.

1.14 Un teorema su GL(R, n)

Sia GL(R, n) il gruppo lineare di ordine n suR, ossia il gruppo moltiplicativodelle matrici invertibili di Rnn.

Si considerino le matrici di GL(R, n) dei seguenti tre tipi

tipo 1. tutte le matrici della famiglia

P =(e(1), . . . , e(n)

) Sn

tipo 2. tutte le matrici della famiglia

T = (e1, e2 . . . , en) R, 6= 0

tipo 3. la matrice

= (e1 + e2, e2 . . . , en)

e le matrici di GL(R, n) dei seguenti tre tipi

tipo I . tutte le matrici della famiglia(e(1), . . . , e(n)

) Sn


tipo II . tutte le matrici della famiglia

(e1, . . . , er1, er, er+1, . . . , en)

con r {1, . . . , n} e R, 6= 0tipo III. tutte le matrici della famiglia

(e1, . . . , er1, er + es, er+1, . . . , en)

con r, s {1, . . . , n}, s 6= r e R, 6= 0Si verifichi che

H per r {1, . . . , n} e R, 6= 0 si ha(e1, . . . , er1, er, er+1, . . . , en) = PTP

ove e` la permutazione che scambia 1 con r

(Cenno. Controllare che le applicazioni lineari associate allematrici a primo e secondo membro assumono gli stessi valori suglielementi della base canonica di Rn.)

per r, s {1, . . . , n}, s 6= r e R, 6= 0 si ha(e1, . . . , er1, er + es, er+1, . . . , en) = P1T1TP

ove e` una qualsiasi permutazione tale che

(r) = 1, (s) = 2

N 1 = (e1 e2, e2 . . . , en) = T1T1Sia L GL(R, n); si verifichi che

H il procedimento di diagonalizzazione di Gauss, operante sulle co-lonne di L, prova che

H1, . . . ,H di Tipo I,II,III, 1, . . . , n R non nullitali che

LH1 H = (1e1, . . . , nen)

(1e1, . . . , nen) = K1 Kn con K1 Kn di Tipo IIse ne deduca il seguente

N Teorema. 1, . . . , di Tipo 1,2,3, tali cheL = 1

1.15 Applicazioni lineari e misura 61

1.15 Applicazioni lineari e misura

Per ogni basea1, . . . , an

di Rn si ponga

Par (a1, . . . , an) = parallelepipedo di lati a1, . . . , an =

{1a1 + + nan : 0 6 1, . . . n 6 1}Sia

L = (a1, . . . , an) GL(R, n)si ponga

(L) = mis Par (a1, . . . , an)

Si provi che

H LL([0, 1] [0, 1]) = Par (a1, . . . , an) se R e` un rettangolo di Rn si ha

mis LL(R) = (L) mis R

Cenno. Successivamente per Z, Q, R, con > 0,si provi che

mis LL([0, ] [0, 1] [0, 1]) = (L)

Si tenga conto che mis e` invariante per traslazioni.

se P e` un plurirettangolo di Rn si ha

mis LL(P ) = (L) mis P

se e` un aperto limitato di Rn si ha

mis LL() = (L) mis

Cenno. Per k = 1, 2, 3, . . .

O dati j1, . . . , jn Z, si ponga

Rk,j1...jn =[j1k,j1 + 1k

]

[jnk,jn + 1k

] sia Pk il plurirettangolo unione dei rettangoli Rk,j1...jn tali

cheRk,j1...jn


M sia Qk il plurirettangolo definito da

Qk =k=1

P

Si verifichi che

O Q1 Q2

=k=1

Qk

LL (Q1) LL (Q2) LL ()

M LL () =k=1

LL (Qk)

se K e` un chiuso limitato di Rn si ha

mis LL(K) = (L) mis KCenno. Per k = 1, 2, 3, . . .

O sia Pk il plurirettangolo unione dei rettangoli Rk,j1...jn taliche

Rk,j1...jn K 6= M sia Qk il plurirettangolo definito da

Qk =k=1

P

Si verifichi che

O Q1 Q2 K

K =k=1

Qk

LL (Q1) LL (Q2) LL (K)

M LL (K) =k=1

LL (Qk)

se A e` un insieme limitato e misurabile di Rn si ha

mis LL(A) = (L) mis A

1.15 Applicazioni lineari e misura 63

N se A e` un insieme e misurabile di Rn si ha

mis LL(A) = (L) mis A(con la convenzione (L) =)

Si verifichi che (vedi Sezione 1.14)

H per ogni matrice P di Tipo 1 si ha

(P) = 1 = |det (P)|

per ogni matrice T di Tipo 2 si ha

(T) = || = |det (T)|

per la matrice di Tipo 3 si ha

() = 1 = |det |Cenno. Vedi giochino geniale pg 187 di Rudin.

e quindi che

per ogni matrice di Tipo 1,2,3 si ha

() = |det |

si verifichi inoltre che

per ogni L1, L2 GL(R, n) si ha (L1L2) = (L1) (L2)

Cenno. Si osservi che per ogni A misurabile si ha

mis LL1L2(A) = (L1L2) mis Amis LL1L2(A) = mis LL1 (LL2(A)) =

(L1) mis (LL2(A)) = (L1) (L2) mis A

se ne deduca che

1.15.1 per ogni L GL(R, n) si ha(L) = | detL|

Cenno. Si ricordi che 1, . . . , di Tipo 1,2,3 tali cheL = 1


1.15.2 per ogni L GL(R, n) ed ogni sottinsieme misurabile Adi Rn si ha

LL(A) e` misurabile

mis LL(A) = (L) mis A = | detL| mis A

N 1.15.3 per ogni base a1, . . . , an di Rn si ha

mis Par (a1, . . . , an) = | det (a1, . . . , an) |

1.16 Diffeomorfismi di classe C1 e misura

Siano , Rn due aperti non vuoti, e sia :

un diffeomorfismo di classe C1.Siano

J(y) : Rnn lapplicazione jacobiana di : J1(x) : Rnn lapplicazione jacobiana di 1 :

Siccome e` un diffeomorfismo di classe C1, le applicazioni

det J(y) : Rdet J1(x) : R

sono continue.Sia B un insieme misurabile non vuoto; si verifichi cheH det J(y) e` misurabile su B (e` continua su )

esiste una successione K1,K2,K3, di compatti tale cheK1 K2 K2 K3 K3

=k=1

Kk

Cenno. Se = , ossia se = Rn, si puo` porreKk = [k, k] [k, k]

Se 6= , si puo` porreKk = {b : d(b, ) > 1/k} ([k, k] [k, k])

1.16 Diffeomorfismi di classe C1 e misura 65

per k = 1, 2, 3, . . . si ponga

Bk = B Kk

si verifichi che

B1, B2, B3, . . . e` una successione fondamentale per det J(y) suB

per k = 1, 2, 3, . . . si verifichi che

det J(y) e` uniformemente continua su Bk (e` continua sulcompatto Kk)

data una successione 1, 2, 3, . . . tale che > 0, lim = 0, e

una successione

rkj=1

(mis Pk,j) |det J(yk,j)|

di -somme di Lebesgue di detJ(y) su Bk, si haBk

|det J(y)| dy = lim

rkj=1


(vedi Teorema 1.10.3)

per , j

O (Pk,j) e` un insieme misurabile (dimostrazioneomessa)

e, per grande,

Pk,j e` un insieme molto vicino ad yk,j sullinsieme Pk,j le due applicazioni

(y)

(yk,j) +LJ(yk,j)(y yk,j)

sono quasi uguali

(Pk,j) quasi =(yk,j) +LJ(yk,j)(Pk,j yk,j) =(yk,j)LJ(yk,j)(yk,j) +LJ(yk,j)(Pk,j)


M mis (Pk,j) quasi =mis LJ(yk,j)(Pk,j) = (mis Pk,j) |det J(yk,j)|

(vedi 1.15.2)

per ogni , la famiglia

(Pk,j) j = 1, . . . , rk

e` una quasi partizione di (Bk) (dimostrazione omessa)

per ogni grande si ha

mis (Bk) =rkj=1

mis (Pk,j) quasi =

rkj=1


la differenza tra i due membri quasi = tende a 0 per che tendea (dimostrazione omessa)

mis (Bk) =Bk

|det J(y)|dy

se ne deduca che

(B) e` misurabile, e si ha

mis (B) = limk

mis (Bk) = limk

Bk

|det J(y)|dy

N mis (B) < + det J(y) e` integrabile su B;e che in tal caso si ha

mis (B) =B|det J(y)| dy

Usando i risultati precedenti si provino i seguenti due teoremi.

1.16.1 Teorema. Sia B un sottinsieme non vuoto di . Sussistono gliasserti:

H (B) e` misurabile B e` misurabileN sono equivalenti gli asserti

O (B) e` misurabile e mis (B) < +M B e` misurabile e det J(y) e` integrabile su B

1.17 Diffeomorfismi di classe C1 e integrale 67

in tal caso si ha

mis (B) =B|det J(y)| dy

1.16.2 Teorema. Sia A un sottinsieme non vuoto di . Sussistono gliasserti:

H A e` misurabile 1(A) e` misurabileN sono equivalenti gli asserti

O A e` misurabile e mis A < +M 1(A) e` misurabile e det J(y) e` integrabile su 1(A)

in tal caso si ha

mis A =1(A)

|det J(y)|dy

1.17 Diffeomorfismi di classe C1 e integrale

Siano , Rn due aperti non vuoti, e sia :

un diffeomorfismo C1. Siano

J(y) : Rnn lapplicazione jacobiana di : J1(x) : Rnn lapplicazione jacobiana di 1 :

Sia : R R

il diffeomorfismo C1 definito da

(y, ) = ((y), )

Le applicazioni jacobiane di

: R R 1 : R Rsono

J(y, ) =(J(y) 0

0 1

): R R(n+1)(n+1)

J1(x, ) =(J1(x) 0

0 1

): R R(n+1)(n+1)

Sia A un insieme misurabile non vuoto, e siaf(x) : A R


una funzione.Si ricordi che 1(A) e` un insieme misurabile (vedi Teorema 1.16.2),

e si consideri la funzione

(f )(y) = f((y)) : 1(A) R

Si verifichi che

H SGP (f) = (SGP (f )) SGN(f) = (SGN(f ))se ne deduca che

N f(x) e` misurabile su A f((y)) e` misurabile su 1(A)(Cenno: si applichi a e a SGP (f ) il Teorema 1.16.1)

Da qui innanzi si suppone che

f(x) : A R

sia misurabile su A, o equivalentemente che

f((y)) : 1(A) : R

sia misurabile su 1(A).Si osservi che

gli insiemi

A+ = {x A : 0 6 f(x)} A = {x A : f(x) 6 0}1(A+) 1(A)

sono misurabili

Relativamente a SGP (f) e SGP (f )H si verifichi che sono equivalenti gli asserti

(a) SGP (f) e` misurabile e mis SGP (f) < +(b) SGP (f ) e` misurabile

e det J(y, ) e` integrabile su SGP (f )(Cenno: si applichi a e a SGP (f ) il Teorema 1.16.1)

si ponga

F (y, ) = prolungamento banale di |det J(y, )|da SGP (f ) a Rn R

1.17 Diffeomorfismi di classe C1 e integrale 69

si supponga che sussista lasserto (b); usando il Teorema di Fubini,si ha

O mis SGP (f) =SGP (f)

|det J(y, )| dyd =RnR

F (y, )dyd =Rn

(R

F (y, )d)

dy1(A+)

( f((y))0

|det J(y, )| d)

dy =1(A+)

f((y)) |det J(y)| dy

in particolare si ha che

M f((y)) |det J(y)| e` integrabile su 1(A+) si supponga che f((y)) |det J(y)| sia integrabile su 1(A+); si

ha

O per (y, ) Rn R si ha F (y, ) > 0 per y Rn, F (y, )

come funzione di y

e` integrabile su R

R

F (y, )d come funzione di y

= prolungamento banale

di f(y) | det J(y)| da 1(A+) a Rn

tenuto conto delle ipotesi,R

F (y, )d come funzione di y


per il Teorema di Fubini, F (y, ) e` integrabile su Rn Rin particolare si ha che

M sussiste lasserto (b)

se ne deduca che

N sono equivalenti gli asserti

(a) SGP (f) e` misurabile e mis SGP (f) < +(c) f((y)) |det J(y)| e` integrabile su 1(A+)


mis SGP (f) =1(A+)

f((y)) |det J(y)| dy


Relativamente a SGN(f) e a SGN(f ), un procedimento analogoprova che

sono equivalenti gli asserti(a) SGN(f) e` misurabile e mis SGN(f) < +(c) f((y)) |det J(y)| e` integrabile su 1(A)


mis SGP (f) = 1(A)

f((y)) |det J(y)|dy

Se ne deducano i seguenti teoremi.

1.17.1 Teorema. Sia f misurabile su A. Sono equivalenti gli asserti

H f(x) e` integrabile su AN f((y)) |det J(y)| e` integrabile su 1(A)

e in tal caso si haAf(x)dx =

1(A)

f((y)) |det J(y)|dy

1.17.2 Teorema. Sia f misurabile su A. Sono equivalenti gli asserti

H f((y)) e` integrabile su 1(A)N f(x) det J1(x) e` integrabile su A

e in tal caso si ha1(A)

f((y))dy =Af(x) det J1(x)dx

1.18 Traslazioni e dilatazioni di funzioni misura-bili ed integrabili

Si consideri una funzionef(x) : Rn R

Siano R, 6= 0 a Rn

Supponendo = 2

1.18 Traslazioni e dilatazioni di funzioni misurabili ed integrabili 71

e che il grafico di f(x) sia

. ...................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................Rn

.

............................................................................................................................................................................................................................................................................

R

f(x)

b1 0 b2

c

. ....................................................................................................................... ...................

................................................................................................................................................................................................................................................

........................

......................

...........................................

.......................

........................ ......................... ........................... ............................ ............................. ............................... ................................ ................................. ................................... .................................... ..................

. ..................................

. ..............................

si verifichi che il grafico di f(x) e`

. ...................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................Rn

.

............................................................................................................................................................................................................................................................................

R

f(x)

1b1 0

1b2

c

. ...................................................................................................................................................................................................................... ...................

....................................................................................................................................................................................

.........................

.......................

......................

......................................................... .................. .................. ......

Misura Ed Integrale Di Lebesgue

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