-
Conf. dr. ing. Sorina Costina, Facultatea de Energetica,
Universitatea POLITEHNICA din Bucureti
MODELAREA MATEMATIC A MENTENANEI
1. Rata de defectare si evaluarile din domeniul mentenanei
2. Modelarea mentenanei corective
3. Modelarea mentenanei preventive
4. Modelarea mentenanei predictive
MIEE
Curs 3
-
2011 MIEE - Conf.Dr.Ing. Sorina COSTINA
Modelarea matematic a mentenanei
evalueaz parametrii care au influen asupra performanelor staiei
electrice sub aspectul fiabilitii i disponibilitii sale, dar i sub
aspect economic.
NOTAII: Pentru corelarea cu literatura tehnic de specialitate,
pentru mrimile care vor interveni n calcul, s-au pstrat notaiile
provenite de la prescurtrile din limba englez:
R (de la Reliability) pentru probabilitatea de bun funcionare; F
(de la Failure) pentru probabilitatea de defectare.
-
2011 MIEE - Conf.Dr.Ing. Sorina COSTINA
Probabilitatea de bun funcionare R(t) reprezint probabilitatea
ca un echipament sau o parte
component a acestuia s-i ndeplineasc funcia specificat, n
condiii determinate i de-a lungul unei durate date.
R(t) = Prob (t > T), (1) t este variabila (aleatoare)
timp,
T reprezint limita specificat a duratei de bun funcionare.
Probabilitatea de defectare F(t) reprezint probabilitatea cumulativ
de defectare, adic
probabilitatea de apariie a cel puin unui defect: F(t) = Prob (t
< T). (2)
ntre probabilitatea de bun funcionare R(t) i probabilitatea de
defectare F(t) exist relaia:
R(t) + F(t) = 1. (3)
PARAMETRII CARACTERISTICI PENTRU
FIABILITATEA ECHIPAMENTULUI ELECTRIC
-
2011 MIEE - Conf.Dr.Ing. Sorina COSTINA
Densitatea de probabilitate a defectrii este derivata lui
F(t)
dt
tdFtF
)()(
Durata medie de funcionare
Cea mai bun cale de a identifica momentul de timp n care
funcionarea echipamentelor devine critic o reprezint cunoaterea
legilor de repartiie a timpului dintre defectele
consecutive.
Media timpului :
MTTF (Mean Time To Failure) - pn la defectare
MTBF (Mean Time Between Failure) - dintre dou defectri
succesive
MTTR (Mean Time To Repair) - de reparare
MUT (Mean Up Time) - de funcionare
MDT (Mean Down Time) - de avarie
PARAMETRII CARACTERISTICI PENTRU
FIABILITATEA ECHIPAMENTULUI ELECTRIC
(4)
-
2011 MIEE - Conf.Dr.Ing. Sorina COSTINA
Rata de defectare instantanee (t) reprezint rata de defectare a
unui dispozitiv ntre momentele t i t + dt, redus la unitatea de
timp, pentru un dispozitiv n funciune (sau n stare de funcionare) n
momentul t.
(5)
Fiabilitatea se poate exprima n funcie de rata de defectare:
(6)
Metodele clasice de planificare a mentenanei trebuie combinate
cu metode avansate, ce folosesc criterii de fiabilitate; n
particular, aceste metode trebuie bazate pe cunoaterea variaiei n
timp a ratei de defectare a componentelor.
dttRtdR
tRdt
tdFt
11
t
dtttR0
exp
PARAMETRII CARACTERISTICI PENTRU
FIABILITATEA ECHIPAMENTULUI ELECTRIC
-
2011 MIEE - Conf.Dr.Ing. Sorina COSTINA
RATA DE DEFECTARE I EVALURILE
DIN DOMENIUL MENTENANEI
0 t1 t2 t3 Timp (t)
rodaj maturitate uzur
Rata de defectare()
(a) (b)
Dintre parametrii menionai, rata de defectare este cel mai
adecvat parametru
pentru evalurile din domeniul mentenanei. Evoluia n timp a ratei
de defectare
permite determinarea cauzelor de defectare sistematic i a
momentelor n care
este necesar s se intervin pentru ndeprtarea acestora, n vederea
mririi
perioadei de via, caracterizat de o rat de defectare mic i
constant.
Echipamentele i componentele lor pot fi
cu rata de defectare:
descresctoare (0 < t t1 ), corespunde
"mortalitii infantile", cauzate de erori
din fazele de proiectare i de construcie;
constant (t1 < t t2), corespunde
perioadei de via utile;
cresctoare (t2 < t t3 ), corespunde
perioadei finale, de uzur sau btrnee.
-
2011 MIEE - Conf.Dr.Ing. Sorina COSTINA
Dac se ine seama de variaia clasic a ratei de defectare (a):
(0, t1] - Nu este cazul s se desfoare activiti de mentenan
deoarece i dup ncheierea operaiunilor de mentenan, componenta va
avea aceeai probabilitate de defectare.
mbuntiri se pot obine numai prin asigurarea controlului calitii
n timpul proiectrii.
(t1 < t t2) - Nu se intervine deoarece probabilitatea de
defectare nu se va schimba dup efectuarea mentenanei.
mbuntiri n aceast etap se pot obine numai prin depistarea
cauzelor de defectare aleatoare externe i eliminarea lor. Astfel,
se va obine o rata de defectare tot constant, dar la un nivel
inferior.
(t2 < t t3) - Activitile de mentenan preventiv ar trebui s se
desfoare n ultima perioad de via a componentei, cnd rata de
defectare este cresctoare.
RATA DE DEFECTARE I EVALURILE
DIN DOMENIUL MENTENANEI
-
2011 MIEE - Conf.Dr.Ing. Sorina COSTINA
n condiiile n care cauzele defectrilor din perioada (0, t1] au
fost eliminate, cauze-le principale de producere a unor defecte n
perioada (t1< t t2) sunt legate de:
apariia unor solicitri care depesc condiiile luate n considerare
la dimensionare;
nerespectarea tuturor condiiilor care determin corecta
funcionare a echipa-mentului respectiv (creterea vegetaiei prea
aproape de conductoarele unei linii electrice aeriene, existena
unor izolatoare sparte, mrirea valorii rezistenelor de trecere a
prizelor de pmnt de la stlpi, etc.).
existena unor fenomene de uzur sau de mbtrnire a unor
componente.
Apariia defectelor este puternic influenat de variaia condiiilor
de mediu. Se poate considera c un echipament se degradeaz chiar i
cnd nu este utilizat. n ultima perioad, rata de defectare crete din
cauza apariiei unor factori de defectare sistematic: acumularea
rezidurilor, oboseala materialului, uzura.
Dac activitatea de mentenan duce la eliminarea total a cauzelor
enumerate, efectul va fi extinderea perioadei de via la o rat de
defectare constant, curba (b).
RATA DE DEFECTARE I EVALURILE
DIN DOMENIUL MENTENANEI
-
2011 MIEE - Conf.Dr.Ing. Sorina COSTINA
Variaia ratei de defectare la
eliminarea parial a cauzelor de defectare
Rata de
defectare
()
0 t1 t2 t3 Timp (t)
(a) (c) Rata de
defectare
()
Timp (t)
Dac vor fi eliminate numai o parte
din aceste cauze, mentenana va
determina o cretere mai mic a
ratei de defectare, reprezentat de
curba (c).
Cnd cauzele de defectare nu pot fi eliminate,
singura soluie posibil de mentenan preventiv
este nlocuirea componentei defecte sau
efectuarea de inspecii periodice, la intervale de
timp predeterminate, pentru depistarea
eventualelor componente cu defecte incipiente i
nlocuirea acestora, dac se gsesc n astfel de
condiii. Efectul nlocuirii componentei defecte
asupra ratei de defectare- curba (d).
(d)
-
2011 MIEE - Conf.Dr.Ing. Sorina COSTINA
Observaii
Se recomand analizarea informaiilor referitoare la ratele de
defectare i tehnici de analiz combinatoric pentru preestimarea
ratei de defectare a componentelor sau a datelor din crile tehnice
ale diferitelor elemente utilizate n echipament.
Dac este posibil, este util s se efectueaz teste de anduran
pentru stabilirea experimental a ratei de defectare a
subansamblelor echipamentelor electrice.
Metodele clasice de planificare a mentenanei trebuie combinate
cu metode avansate, bazate pe cunoaterea variaiei n timp a ratei de
defectare a componentelor i pe o analiz dinamic a sistemului.
-
2011 MIEE - Conf.Dr.Ing. Sorina COSTINA
MENTENABILITATEA
Mentenabilitatea reprezint aptitudinea unui echipament ca, n
condiii de utilizare precizate, s fie meninut/ repus (restabilit) n
funciune prin aciuni de mentenana specifice din punctul de vedere
al procedurilor i timpului alocat acestora.
Mentenabilitatea se poate caracteriza prin:
timpi (de reparaie, de revizie, de staionare);
suportul mentenanei: personal (numrul necesar i nivelul de
calificare al celor care efectueaz
aciunile de mentenana);
baza material (piese de schimb aflate n stocul de rezerv i
SDV-uri);
proceduri detaliate pentru depistarea defeciunilor i pentru
efectuarea aciunilor de mentenan.
instruciuni de protecia muncii pe parcursul efecturii aciunilor
de mentenan;
organizarea general a activitilor de mentenan (activiti de
service).
-
2011 MIEE - Conf.Dr.Ing. Sorina COSTINA
MENTENABILITATEA
Mentenabilitatea este egal cu probabilitatea ca echipamentul s
fie repus n funciune prin aciuni de mentenan
M(t) = Prob (t Tr ), unde: (7)
Tr = limita maxim admisibil pentru durata de restabilire;
t = timpul de restabilire (reparare, repunere n funciune).
Ca i fiabilitatea, mentenabilitatea se creeaz n procesul de
concepie a echipamentelor i este necesar s se prevad:
accesul uor la diferite locuri care pot necesita intervenie;
posibilitatea i uurina de montare i demontare a diferitelor
elemente constitutive;
posibilitatea de msurare i accesul uor la punctele de
msurare;
elaborarea unor instruciuni precise pentru defeciunile
previzibile.
-
2011 MIEE - Conf.Dr.Ing. Sorina COSTINA
DISPONIBILITATEA
Disponibilitatea unui element sau sistem oarecare reprezint
aptitudinea elementului sau sistemului considerat de a-i ndeplini
funcia specific, la un moment dat sau ntr-un anumit interval de
timp, considernd aspectele combinate de fiabilitate,
mentenabilitate i de organizare a aciunilor de mentenan, la un
moment dat sau ntr-un interval de timp specificat.
Disponibilitatea se poate scrie innd seama att de fiabilitate ct
i de mentenabilitate.
D(t)=Prob(t > Tr) (8)
Tr este o limit dat, pentru care produsul s se afle n stare de
restabilire (in stare apt de funcionare, la cerere).
Exist numeroase programe software, care ofer utilizatorilor
oportunitatea de a identifica i dezvolta parametrii caracteristici
pentru fiabilitatea echipamentului electric.
Parametrii ajut companiile s-i compare performanele cu cele ale
altor companii din acelai domeniu de activitate, sau s fac
comparaii ntre departamente.
Analizele pot scoate n eviden problemele specifice de
fiabilitate, n anumite domenii de activitate, sau pot da o imagine
de ansamblu asupra ntregii companii.
-
2011 MIEE - Conf.Dr.Ing. Sorina COSTINA
MODELAREA MATEMATIC A MENTENANEI CORECTIVE
nlocuirea se face ca urmare a apariiei unui defect.
Aciunile de mentenan corectiv au un caracter determinist.
Media timpului de mentenan corectiv reprezint media timpului
necesar efecturii unei nlocuiri.
Aici, media timpului dintre nlocuiri este chiar media timpului
pn la defectare, notat cu MTTF (Mean Time To Failure).
0
.dttRMTTFTc
Fiabilitatea sistemului R(t)
Tc
t
unde R(t)-fiabilitatea sistemului la momentul de timp t.
(9)
-
2011 MIEE - Conf.Dr.Ing. Sorina COSTINA
Succesiunea evenimentelor n cazul unei politici de mentenan
corectiv
F A F A
Tc Tmc Tc
to t1 t2 t3 t
unde: F = stare de funcionare; A = stare de avarie; Tc = media
timpului pn la defectare; Tmc = timpul mediu de mentenan corectiv;
t0 = momentul punerii n funciune; t1, t3 = momentele de defectare;
t2 = momentul n care se termin nlocuirea.
-
2011 MIEE - Conf.Dr.Ing. Sorina COSTINA
Disponibilitatea de timp a staiei electrice :
(10) Tc = timpul dintre nlocuiri;
Tmc = timpul mediu de mentenan corectiv
Costul mediu al mentenanei corective pe unitatea de timp :
(11) Cp = costul unei nlocuiri,
Cd = daune
La calculul costului unei nlocuiri (Cp) trebuie s se in seama
att de costul unui echipament nou ct i de costul necesar efecturii
nlocuirii.
Penalizrile pentru ntreruperea neprogramat a funcionrii staiei
(Cd) reprezint despgubirile compensatorii pentru ntreruperile n
alimentarea cu energie electric a consumatorilor i pentru
nelivrarea n sistem a cantitii
planificate de energie electric
MODELAREA MATEMATIC A MENTENANEI CORECTIVE
1
11
c
mc
mcc
mc
mcc
cc
T
T
TT
T
TT
TD
c
dp
cT
CC
-
2011 MIEE - Conf.Dr.Ing. Sorina COSTINA
MODELAREA MATEMATIC A
MENTENANEI PREVENTIVE
Echipamentul sau un subansamblu al acestuia este nlocuit
preventiv dup o perioad de timp T, cu un cost Cp. Dac acesta se
defecteaz n intervalul (0, T), atunci este nlocuit cu unul nou,
identic, la un cost Cd.
Timpul mediu de funcionare nentrerupt:
dttRTT
p 0
TRTTRT mcmpp 1
Timpul mediu de nefuncionare pe durata (0,T):
0 T t
R(t)
Tp
Tmp - timpul mediu de mentenan preventiv;
Tmc - timpul mediu de mentenan corectiv
( durata medie de reparare).
(12)
(13)
-
2011 MIEE - Conf.Dr.Ing. Sorina COSTINA
Succesiunea evenimentelor n cazul unei strategii de mentenan
preventiv
F MP F MP A F
Tp Tmp Tp Tc Tmc t to t1 t2 t3 t4 t5 unde:
F = stare de funcionare;
A = stare de avarie;
MP = mentenan preventiv;
Tp = media timpului de funcionare nentrerupt;
Tmp = timpul mediu de mentenan preventiv;
Tc = media timpului pn la defectare;
Tmc = durata medie de reparare;
t1 i t3 = momentele de oprire programat
(pentru efectuarea mentenanei preventive);
t0, t2 i t5 = momentele de punere n funciune;
t4 = momentul de defectare.
-
2011 MIEE - Conf.Dr.Ing. Sorina COSTINA
Disponibilitatea sistemului:
MODELAREA MATEMATIC A
MENTENANEI PREVENTIVE
1
11
p
p
pp
p
pp
p
pTTT
TD
T
Strategia de mentenan preventiv devine, pentru un T suficient de
mare (mult mai mare
dect MTBF), mentenana corectiv.
Deci dac T , din relaia (13) se observ c Tmc, iar din relaia
(12), Tp Tc, deci
disponibilitatea va fi aceeai.
p
,11
11
c
c
mc
p
p
p DT
T
TD
(14)
(15)
-
2011 MIEE - Conf.Dr.Ing. Sorina COSTINA
Costul mentenanei preventive
pentru o perioad de timp T
Costul mentenanei pentru o perioad de timp T se compune din:
Cp costul nlocuirii programate la expirarea perioadei T;
nCd costul nlocuirilor neprogramate, unde n reprezint numrul de
defecte produse n perioada (0,T).
Defectarea sistemului fiind aleatoare, nCd este o variabil
aleatoare, iar valoarea medie (sperana matematic) a costului
nlocuirilor neprogramate este:
dCn
n
i
d ifiC
1
unde f(i) reprezint probabilitatea de producere a i defecte n
intervalul (0,T). = = (16)
1 ifif Pentru un T suficient de mic, i=2,3,n se poate
aproxima
Pifin
i
1
TRT 1,0{producere a cel puin unei avarii n
.
p
dp
pT
CTRC
)](1[ (17)
-
2011 MIEE - Conf.Dr.Ing. Sorina COSTINA
MODELAREA MATEMATIC A
MENTENANEI PREDICTIVE
Sistemul este testat la anumite intervale de timp. Fiabilitatea
staiei electrice n cazul mentenanei predictive:
0 T1 T2 Tn t Ti reprezint timpul dintre testri,i=1,2,, este
timpul necesar testrii.
Tp1 Tp2 Tpn
-
2011 MIEE - Conf.Dr.Ing. Sorina COSTINA
Timpul mediu de nefuncionare pn la prima inspecie este:
Timpul de nefuncionare pn la a doua inspecie va fi :
Generaliznd, se poate obine timpul de nefuncionare pn la a n-a
inspecie:
n
i
imcmc
n
i
imc
n
i
iT TRTTnTRnTTRn
111
.1
11 11 TRTTR mcT
2121 TTT
MODELAREA MATEMATIC A MENTENANEI PREDICTIVE
-
2011 MIEE - Conf.Dr.Ing. Sorina COSTINA
Timpul mediu de funcionare nentrerupt pe perioada celor n
inspecii:
Disponibilitatea sistemului pe durata desfurrii a n inspecii
este:
Costul mediu al mentenanei predictive pe unitatea de timp
este:
unde Ce este costul necesar efecturii inspeciei la momentul Ti,
i=1,2,n.
n
n
T
p dtTRT0
.1
1
1
1
11
1
11
n
n
nn
n
n
p
T
Tp
p
TTT
TD
np
n
i
eddp
nT
tRCCCnC
1
1
.
MODELAREA MATEMATIC A MENTENANEI PREDICTIVE
-
2011 MIEE - Conf.Dr.Ing. Sorina COSTINA
Modelele matematice s-au dezvoltat pentru a ajuta la selectarea
strategiei de mentenan optime dintre diferitele strategii de
mentenan posibile. Pentru aceasta, este necesar accesul la date
privind caracteristicile operaionale ale echipamentului i
descrierea evenimentelor care au provocat eecul.
-
2011 MIEE - Conf.Dr.Ing. Sorina COSTINA
Intrebri ?