Miroslav Lávička - GVP

SYNTETICKÁ GEOMETRIEPomocný učební text k předmětu KMA/SG

Miroslav Lávička

Plzeň, leden 2007

Předmluva

Tento text vznikl jako pomocný učební materiál pro potřeby studentů mate-matiky a geometrie na Západočeské univerzitě v Plzni. Hlavním cílem bylozpracování srozumitelného textu určeného nejen jako doplněk k úvodním před-náškám z geometrie, ale i jako pomůcka k samostudiu. Text by měl pomocistudentům lépe se zorientovat v předmětu a metodách geometrie a doplnitúroveň geometrických znalostí, které si studenti přinášejí z různých středníchškol, a vytvořit tak dobré předpoklady pro úspěšné zvládnutí náročnějšíchgeometrických partií.

Svým obsahem skriptum zahrnuje základní poznatky z rovinné geometrie,jež jsou odrazovým můstkem pro studium dalších geometrických disciplín.Některé kapitoly jsou zaměřeny převážně na zopakování a upřesnění již osvo-jených geometrických znalostí, v dalších kapitolách je učivo střední školy do-plněno, rozšířeno a systematizováno a zbývající partie přinášejí učivo nové.Schéma výkladu sleduje přísně logickou strukturu opírající se o řešení pro-blémů vyvozováním z axiómů a platných vět. Definicím a větám je třeba učitse uvědoměle, pochopit jejich obsah a uplatnění při řešení úloh — pouhé učenínazpaměť bez zapojení správného logického myšlení nemá význam.

Jsem si plně vědom, že jde stále jen o provizorní formu textu a že v materiálumožná najdete i nějaké chyby. Budu Vám proto velmi vděčný za případnépřipomínky a návrhy na úpravy či doplnění.

Plzeň, 27. ledna 2007

Miroslav Lávička ([email protected])

3

OBSAH

Obsah

1 Stručná historie geometrie 7

2 Axiómy a základní věty geometrie 11

2.1 Eukleides: Stoicheia (Základy) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2 D. Hilbert: Grundlagen der Geometrie (Základy geometrie) . . 15

2.3 Axiómy incidence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.4 Axiómy uspořádání . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.5 Axiómy shodnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.6 Axiómy spojitosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.7 Absolutní geometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.8 Modely absolutní geometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.9 Axióm rovnoběžnosti. Eukleidovská geometrie . . . . . . . . . . 46

2.10 Několik poznámek k neeukleidovským geometriím . . . . . . . . 48

3 Elementární geometrické objekty v rovině a vztahy mezi nimi 54

3.1 Základní pojmy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3.2 Kružnice, kruh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

3.3 Trojúhelník . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

3.4 Čtyřúhelník . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

3.5 Mnohoúhelník . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

3.6 Souřadnicová soustava v rovině . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

3.7 Množiny bodů dané vlastnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

3.8 Mocnost bodu ke kružnici. Chordála. Potenční střed . . . . . . 90

3.9 Nevlastní prvky. Rozšířená Eukleidova rovina . . . . . . . . . . 95

4 Základní geometrická zobrazení v rovině 97

4.1 Úvodní pojmy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

4.2 Identita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

4.3 Osová souměrnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

4.4 Středová souměrnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

5

KMA/SG Syntetická geometrie

4.5 Posunutí (translace) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

4.6 Otočení (rotace) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

4.7 Stejnolehlost (homotetie) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

4.8 Osová afinita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

4.9 Středová kolineace (homologie) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

4.10 Kruhová inverze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

5 Konstrukční planimetrické úlohy 123

5.1 Řešení konstrukčních úloh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

5.2 Eukleidovské konstrukce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

5.3 Apolloniovy úlohy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

6 Grupy geometrických transformací 151

6.1 Pojem grupy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

6.2 Kleinův grupově-kinematický pohled na geometrii . . . . . . . . 152

6.3 Eukleidovská grupa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

6.4 Ekviformní grupa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

6.5 Mongeova grupa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

6.6 Afinní grupa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

6.7 Grupa kruhových transformací . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

6.8 Hyperbolická grupa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

6.9 Grupy zobrazení reprodukujících daný útvar . . . . . . . . . . . 184

6.10 Projektivní grupa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

6

1. Stručná historie geometrie

1 Stručná historie geometrie

Geometrie1 vznikla jako věda o vlastnostech a vzájemných vztazích prostoro-vých útvarů vytvořených abstrakcí z hmotných těles.

První geometrické zkušenosti si lidé osvojovali při praktických činnostech,jakými jsou např. stavba obydlí, výroba nástrojů, zbraní či oděvů, při ori-entaci v terénu atp. Příroda poskytovala pravěkým lidem předměty, kterénabývaly nejrůznějších tvarů a právě jejich napodobování a porovnávání sestalo zdrojem pro utváření základních geometrických znalostí a dovedností.Pro tvorbu ornamentů na hliněných nádobách byly používány pásy, lomenéčáry, trojúhelníky, rovnoběžníky, šrafování, přibližné dělení kružnice na stejnédíly, symetrie. Pozorováním pohybu Slunce lidé došli k představě o světovýchstranách, což patrně vedlo i k prvním úvahám týkajícím se pravého úhlu.

Geometrické znalosti nejstarších civilizací, které vznikaly v 5., 4. a 3. tisíciletíp.n.l. kolem velkých řek (Mezopotámie, Egypt, Čína, Indie), dovolovaly rea-lizovat náročné stavební práce (zavlažovací systémy a vodní nádrže, chrámy,hradby a opevnění, pyramidy), stavět lodě a vozy, vyměřovat pole, tesat zkamene nejen kvádry, ale i složitější tělesa a umělecké sochy. Existovaly ná-vody (vzorce) – ať už přesné či přibližné – pro výpočet obsahu trojúhelníka,čtyřúhelníka a kruhu. Dávno před Pythagorem byla v Egyptě, Mezopotámii,Indii i Číně známa věta, kterou dnes nazýváme Pythagorova. Celá matema-tika tohoto období se však vyznačovala přísně dogmatickým rázem— nejstaršíučebnice pouze ukazovaly, a to bez zdůvodnění, postupy řešení konkrétníchúloh geometrie pro řemeslníky, stavitele, zeměměřiče, obchodníky a úředníky.Základní otázkou všech problémů bylo JAK? a ne PROČ? — to byla otázkaaž pro vyspělejší antickou civilizaci.

Egyptská, mezopotámská, indická i čínská matematika přinesla řadu pozoru-hodných výsledků, ale přesto v tomto období ještě nehovoříme o matematicejako o vědě. Tato změna nastala až v antickém Řecku cca v 6. století p.n.l.,teprve Řekové udělali první krok od empiricky získaných, izolovaných, vzá-jemně nepropojených a nezdůvodňovaných poznatků směrem k deduktivněbudovaným teoriím, v nichž je jedním z nejdůležitějších požadavků důkazpředkládaných tvrzení. Je nutné zdůraznit, že antická matematika se vyvíjelav období téměř jednoho tisíciletí (6. st. p.n.l. – 4. st. n.l.) a je spojena s celouřadou proslulých učenců. Jedná se o období, kdy se vedle praktické matema-tiky nově vytváří rovněž matematika teoretická; geometrie již není praktickoupomůckou pro řemeslníky a zeměměřiče, ale stává se vědou o tvarech, v níž seuplatňují slovní definice, poučky a různé metody důkazu. Kresby a schématajiž nejsou prostředkem ověřování pouček, ale plní jen pomocnou úlohu.

1z řeč. geo = týkající se země, metrein = měřit

7


Prvním významným matematikem byl Thalés z Milétu (≈ 624 – ≈ 543p.n.l.), který uspořádal některé geometrické poznatky o kružnicích a trojú-helnících a ukázal možnost odvozovat nová tvrzení rozumovou úvahou. Vznikmatematiky jako vědy je však spojen především se jménem mladšího Tha-letova současníka Pythagora ze Samu (≈ 560 – ≈ 480 p.n.l.) a s jehofilozofickou školou, tzv. pythagorejskou školou. Paradoxem je, že ačkoliv jePythagoras znám především díky geometrii (Pythagorova věta), pythagorej-ská koncepce matematiky byla čistě aritmetická. Čísla (tj. v pythagorejskémpojetí jen přirozená čísla) a jejich poměry (tj. racionální čísla) se stala zá-kladem jejich filozofického pojetí světa. Toto pojetí se však záhy zhroutilo apřispěli k tomu sami pythagorejci, když objevili, že úhlopříčku jednotkovéhočtverce nelze vyjádřit jako poměr dvou čísel (rozuměj poměr dvou přiroze-ných čísel). Krize pythagorejské filozofické koncepce se přenesla i do řeckématematiky (tzv. 1. krize matematiky), a tak po neúspěšné cestě aritmetizacese řecká matematika vydala cestou geometrizace — všechny úvahy týkajícíse veličin se začaly důsledně vyjadřovat geometricky: např. úsečka představo-vala reálné číslo chápané jako její délka, čtverec představoval druhou mocninudélky, krychle třetí mocninu délky, obdélník součin dvou různých délek atd.

I přes zhroucení pythagorejské koncepce světa, zůstane jejich zásluhou zave-dení důkazu do matematiky — trend, který vyvrcholil v díle filozofa Aris-totela ze Stageiry (384–322 p.n.l.). Ve svých spisech Aristoteles přesněvymezil, jak má být správně budována deduktivní teorie, rozvinul nauku odefinování a o dokazování a zdůvodnil nutnost existence počátků deduktivnívědy. Uvedený přístup uplatnil geniálním způsobem Eukleides z Alexan-drie (≈ 340 – ≈ 280 p.n.l.), který ve své knize Základy (≈ 300 p.n.l.) shrnultehdejší matematické poznatky do logicky provázané struktury a ovlivnil takvývoj matematiky na další dvě tisíciletí.

Z dalších vynikajících řeckých matematiků uveďme alespoň Archiméda zeSyrakus (≈ 287 – 212 p.n.l.), který se mimo jiné zabýval problémy výpočetnígeometrie (kvadratury, kubatury), zkoumal spirály a kuželosečky, a Apolló-nia z Pergy (2. pol. 3. stol. – počátek 2. stol. p.n.l.), který se v díle Kónikásystematicky zabýval kuželosečkami. Ostatní autoři helenistickéko období do-sáhli úspěchů v těch oblastech matematiky, které souvisely např. s astronomiía geodézií. Již babylónské hliněné tabulky obsahovaly údaje o velikosti tě-tiv v kružnicích, Řekové tuto problematiku rozvinuli a vznikla tak řada dělvěnovaných rovinné a především pak sférické trigonometrii.

V antickém Římě nedosáhla věda takového rozmachu jako v Řecku a po zá-niku antického světa upadají díla řeckých učenců pomalu v zapomnění. Ob-dobí nového rozkvětu matematiky přichází až s nástupem mohutné islámskéříše, která v 7.–10. století sahala od Španělska až po střední Asii a stala secentrem tehdejší vzdělanosti. Mnohá řecká díla, která se nedochovala, známe

8

1. Stručná historie geometrie

jen díky arabským překladům. Islámská geometrie zahrnovala např. studiumproblému rovnoběžek, konstrukce kružítkem a pravítkem apod. Z velkého po-čtu arabských vzdělanců připomeňme alespoň některé — jsou to Al-Fárábí(≈870–950), který je autorem komentářů k Eukleidovi, Ibn Síná (980–1037),známější pod latinským jménem Avicenna, který se pokoušel o důkaz 5. Eu-kleidova postulátu, a Omar Chajjám (1048–1131), který kromě svých geo-metrických prací proslul i jako básník.

Evropská středověká matematika včetně geometrie klesla opět na úroveň prak-tické matematiky nutné k hospodářskému životu. Na nově zakládaných uni-verzitách pak byla používána literatura, která vznikla překladem matematic-kých spisů především z arabštiny do latiny — v geometrii to samozřejmě bylpřeklad Eukleidových Základů. V době renesance se jako součást malířskýchpraktik rozvinula nauka o perspektivě.

Zásadní zlom ve vývoji matematiky přišel v 17. století. Francouzi René De-scartes (1596–1650) a Pierre Fermat (1601–1665) aplikací algebry přiřešení geometrických úloh položili základy analytické geometrie. Matematicidostali do rukou mohutný nástroj, který umožnil studovat geometrické ob-jekty pomocí jejich analytického vyjádření; algebraické výrazy a jejich rovnicedostaly geometrickou náplň. Descartovi a Fermatovi se podařilo překonat os-trou hranici mezi „světem čarÿ a „světem číselÿ — dvěma světy, které bylystudovány samostatně od dob 1. krize matematiky. A od analytické geometriea s ní souvisejícího studia křivek byl již jen krok k nejvýznamnějšímu ob-jevu 17. století — objevu diferenciálního a integrálního počtu. Geometrii bezsouřadnic se pro rozlišení začalo říkat geometrie syntetická. Do analytické ge-ometrie spadaly z počátku i problémy vyžadující infinitezimální úvahy, kterédnes řadíme do diferenciální geometrie, a také problematika útvarů vyššíchstupňů, která se dnes řadí do algebraické geometrie.

V 17. století, ale hlavně pak ve století osmnáctém se objevuje ještě jedna geo-metrická disciplína — projektivní geometrie. V souvislosti s rozvojem inženýr-ských škol se projevovala rostoucí potřeba zobrazovacích metod a s tím sou-visely i teoretické práce, které jednotlivé metody zdůvodňovaly. Pozoruhodnéspisy publikoval již Gérard Desargues (1593–1661), projektivní (promí-tací) geometrií se rovněž zabýval Blais Pascal (1623–1662). Další studiumzobrazovacích metod pak přineslo geometrii deskriptivní, které dal název spisDeskriptivní geometrie od Gasparda Mongeho (1746–1818).

Dalším zásadním mezníkem ve vývoji matematiky se stává 19. století, v němžmůžeme najít kořeny všech moderních matematických disciplín. Marné úsilí odůkaz 5. Eukleidova postulátu vedlo k objevu neeukleidovské geometrie, u její-hož zrodu stáli Carl Friedrich Gauss (1777–1855), János Bolyai (1802–1860) a Nikolaj Ivanovič Lobačevskij (1792–1856). Z počátku tvrdě od-mítaná disciplína byla přijata až po té, co výsledky zobecnil Bernhard Rie-

9


mann (1826–1866) a po té, kdy byly nalezeny názorné modely neeukleidovskégeometrie — Kleinův model (1871) a Poincarého modely (1882).

Významné podněty čerpala geometrie v druhé polovině 19. století a počáte-kem 20. století především z algebry. Moderní metody řešení soustav lineárníchrovnic pomocí determinantů a matic pomohly mimo jiné sjednotit postupypro analytické řešení úloh v rovině a v prostoru a ukázaly cestu i k více-rozměrným prostorům. Nejprve ve fyzice, ale posléze i v matematice (včetněgeometrie) našel uplatnění pojem vektoru. A v neposlední řadě se v geome-trii plně uplatila jedna ze stěžejních algebraických struktur grupa. Zavedenígrupového přístupu ke geometrickým transformacím je spojováno hlavně sejménem Felixe Kleina (1849–1925).

Teprve na přelomu 19. a 20. století, tj. po několika tisíciletích vývoje, je geo-metrie postavena na pevné základy. Zpřesňování počátků jednotlivých mate-matických disciplín se projevilo rovněž v geometrii a ačkoliv Eukleides podalpopis základů geometrie již kolem roku 300 p.n.l. (anebo právě proto), přesnévymezení všech axiómů se objevilo až v díle Grundlagen der Geometrie (1899)Davida Hilberta (1862–1943).

Matematika 20. století je ve znamení vysokého stupně abstrakce. Už to neníjen eukleidovská rovina, kterou se zabýváme, ale vektorové a topologické pro-story; již nás nezajímá jedna konkrétní grupa, ale celé třídy grup. Dalšímvýznamným rysem matematiky je hluboký důraz kladený na filozofii mate-matiky — otázky týkající se smyslu matematiky, jejích počátků, axiomati-zace, bezespornosti, dokazatelnosti apod. Původní optimistické snahy týkajícíse formálního axiomatického vybudování celé matematiky a následného dů-kazu její bezespornosti se sice nenaplnily, neboť se ukázala zásadní omezeníaxiomatických metod. Přesto zůstává axiomatická výstavba, jejíž kořeny na-jdeme díky Eukleidovi v geometrii, nejčastějším nástrojem budování současnématematiky.

10

2. Axiómy a základní věty geometrie

2 Axiómy a základní věty geometrie

2.1 Eukleides: Stoicheia (Základy)

Život a dílo Eukleida z Alexandrie, jednoho z nejznámějších autorů ma-tematických spisů, je neodmyslitelně spojeno s alexandrijskou vědeckou insti-tucí, kterou byl proslulý Múseion — sdružení lidí věnujících se pod ochranouMúz vědám. Eukleides působil v Alexandrii patrně v letech 310–280 p.n.l. azde také sepsal své nejproslulejší dílo Stoicheia (Základy, lat. Elementa).

Ve 13 knihách Eukleidových Základů jsou vysvětleny základy planimetrie, ge-ometrické algebry, aritmetiky a stereometrie. Rozložení do jednotlivých knihje asi následující: I.–IV. kniha jsou věnovány rovinné geometrii (planimetrii);v V. knize najdeme Eudoxovu teorii proporcí, jež představovala geometric-kou podobu teorie reálných čísel a limitních procesů; VI. kniha pojednává opodobnosti trojúhelníků; VII.–IX. kniha jsou věnovány teorii čísel (zde mj.nalezneme známý Eukleidův algoritmus pro hledání největšího společného dě-litele); X. kniha podává teorii kvadratických iracionalit a jejich druhých od-

mocnin (čísla tvaru a +√

b a√

a+√

b), XI.–XIII. kniha popisuje geometriiv prostoru (stereometrii).

Panují rozdílné názory na vlastní Eukleidův autorský podíl; zřejmě jde o dílogenerací, které Eukleides završil, sjednotil a doplnil. O příspěvcích různýchautorů svědčí i jistá nevyrovnanost jednotlivých knih — vedle excelentníchdůkazů se na některých místech objevují i logické chyby.

Eukleides ve svých Základech sleduje Aristotelovo pojetí vědy — výklad spo-čívá na logické dedukci vět ze soustavy definic, postulátů a axiómů. Nedostat-kem však je definování primitivních pojmů jako bod, přímka a rovina. Úvodk první knize je i úvodem k celému dílu. Nalezneme zde 9 axiómů (obecnýchpočátků, zásad), 5 postulátů (úkolů prvotných) a 23 definic (vymezení pojmů).

Definice:

1. Bod jest, co nemá dílu.2. Čára pak délka bez šířky.3. Hranicemi čáry jsou body.4. Přímá jest čára (přímka), která svými body táhne se rovně.2

5. Plocha jest, co jen délku a šířku má.6. Hranicemi plochy jsou čáry.7. Rovinná jest plocha (rovina), která přímkami na ní jsoucími prostírá serovně.

2Pro úsečku i přímku používal Eukleides téhož pojmenování eutheia a vzájemně je ne-rozlišoval. V Eukleidově pojetí je přímka úsečkou, kterou lze neomezeně a opakovaně pro-dlužovat na obě strany.

11


8. Rovinný pak úhel je vzájemný sklon dvou čar, v rovině se stýkajících aležících k sobě v přímce....

15. Kruh jest útvar rovinný, objímaný jednou čarou (jež se nazývá obvo-dem), k níž od jednoho bodu vnitř útvaru vedené přímky všecky soběrovny jsou....

23. Rovnoběžky jsou přímky, které jsouce v téže rovině a prodlouženy jsoucena obě strany do nekonečna nikde se nesbíhají.

Postuláty3

1. Budiž úkolem od kteréhokoli bodu ke kterémukoli bodu vésti přímku.2. A přímku omezenou nepřetržitě rovně prodloužiti.3. A z jakéhokoli středu a jakýmkoli poloměrem narýsovati kruh.4. A že všechny pravé úhly sobě rovny jsou.5. A když přímka protínajíc dvě přímky tvoří na téže straně přilehlé úhlymenší dvou pravých, ty dvě přímky prodlouženy jsouce do nekonečna žese sbíhají na té straně, kde jsou úhly menší dvou pravých. (obr. 2.1.1)

α a

b

α β<+ 2R

β

p

Obr. 2.1.1

Axiómy4

1. Veličiny témuž rovné i navzájem rovny jsou.2. Když se přidají veličiny rovné k rovným, i celky jsou rovny.3. A odejmou-li se od rovných rovné, zbývající části rovny jsou.4. A když se přidají k nerovným rovné, celky jsou nerovny.5. A dvojnásobky téhož vespolek rovny jsou.6. A polovičky téhož vespolek rovny jsou.7. A co se navzájem kryje, navzájem rovno jest.8. A celek větší než díl.9. A dvě přímky místa neomezují.

3Postuláty 1–3 vymezují možné rýsovací pomůcky: ideální neomezeně dlouhé pravítko aideální kružítko s neomezeným rozevřením.4Na rozdíl od postulátů, které jsou ryze geometrické, představují axiómy obecně platné

věty společné i pro více nauk — výjimku tvoří snad jen A-9, který byl zřejmě přidán později.

12


Následuje 48 číslovaných odstavců, jejichž obsahem je text věty a její důkaz(v počtu 34) nebo text konstrukční úlohy a její řešení (v počtu 14). Ve všechčíslovaných odstavcích je možné vysledovat následující schéma:

1. Formulace věty (zadání úlohy)2. Popis nakreslených a písmeny označených objektů včetně vysvětlení,co se má o těchto objektech dokázat, popř. co se má z těchto objektůsestrojit.

3. Vlastní důkaz (konstrukce) s konkrétními výše popsanými objekty. Tatočást bývá zakončena slovy „což bylo dokázati (vykonati)ÿ.5

4. Závěr, který je uveden slovem „Tedy . . . ÿ a následně je zopakováno zněnívěty či zadání úlohy.

Předcházející úvahy můžeme dokumentovat na 1. úloze I. knihy:

I.1. Na dané přímce omezené postav trojúhelník rovnostranný.6

A B

C

D E

Obr. 2.1.2

(obr. 2.1.2) Danou přímkou omezenou buď AB. Má se tedy na přímce ABpostavit trojúhelník rovnostranný. Ze středu A poloměrem AB buď narýsovánkruh BCD, a opět ze středu B buď narýsován kruh ACE, a od bodu C, vněmž kruhy se protínají, k bodům A, B buďte vedeny spojnice AC, CB. Aježto bod A je středem kruhu CDB, AC je stejné s AB; ježto dále bod B jestředem kruhu CAE, jest BC stejné s BA. Bylo dokázáno, že i CA je stejné sAB; tedy jedna i druhá z CA, CB je stejná s AB. Veličiny však témuž rovnéi navzájem rovny jsou; tedy též CA jest rovna CB; ty tři tedy, CA, AB, BC

5lat. Quod erat demonstrandum ve zkratce Q.E.D. a Quod erat faciendum ve zkratceQ.E.F.6Dnes bychom řekli: Je možné sestrojit rovnostranný trojúhelník s danou úsečkou jako

jednou stranou. Samozřejmě máme na mysli konstrukci s použitím jen dvou pomůcek, kteréjsou povoleny postuláty P-1 až P-3, tj. pravítko a kružítko.

13


jsou si rovny. Je tedy trojúhelník ABC rovnostranný a postaven jest na danépřímce omezené AB; což právě bylo vykonati.

Eukleidovy Základy byly prvním příkladem použití axiomatického systémuv matematice. A ačkoliv se díky použití čisté deduktivní metody stalo totodílo na dlouhá staletí (či lépe řečeno dvě tisíciletí) váženým vzorem pro dalšímatematická pojednání a je považováno za jeden z pilířů vzdělanosti západnícivilizace, již od počátku se objevovaly mnohé pokusy o vylepšení Základů.Především se jednalo o snahy dokázat 5. postulát z prvních čtyř, popř. alespoňo snahy nahradit jej evidentnějším a jednodušeji formulovaným tvrzením. Jižřečtí vykladači Základů si všimli, že 5. postulát se od ostatních liší svojí složi-tostí, a rovněž si všimli, že řada vět se dokazuje bez použití tohoto postulátu— odtud pramenily úvahy týkající se závislosti tohoto postulátu na ostatních.Mnohokrát se zdálo, že důkaz byl objeven, ale nakonec se vždy ukázalo, žedůkaz se opíral o něco, co měl ve skutečnosti dokázat. A tak jedinou změnouoproti Eukleidovi bylo nahrazení 5. postulátu jiným postulátem — např. v ro-vině lze každým bodem mimo přímku vést nejvýše jednu s ní se neprotínajícípřímku nebo součet velikostí vnitřních úhlů v trojúhelníku je 180◦.

Na otázku, jak je to s důkazem 5. postulátu neposkytl odpověď ani starověk,ani středověk, i když se o nalezení důkazu pokoušeli starověcí Řekové, stře-dověcí Arabové i novodobí Italové, Angličané, Francouzi, Němci i matematiciostatních národů. Vlna neúspěšných pokusů o podání důkazu 5. postulátutrvala až do 19. století a vyvrcholila díly Saccheriho, Legendra a Lamberta.Tito matematici se snažili pomocí důkazu sporem dokázat, že pátý postu-lát je důsledkem postulátů předcházejících. Za předpokladu platnosti negace5. Eukleidova postulátu deduktivní cestou postupně odvozovali řadu tvrzenía očekávali (ovšem neúspěšně), že dojdou k logickému sporu. Teprve Gauss,Bolyai a Lobačevský si prvně připustili myšlenku nezávislosti 5. postulátu apoté začali uvažovat dokonce o „nové geometriiÿ, v níž místo 5. postulátu platíjeho negace. Tyto úvahy vedly k objevům tzv. neeukleidovských geometrií.

Zařazení tvrzení o rovnoběžkách mezi postuláty ukázalo velkou Eukleidovuprozíravost. Přesto obsahují Základy některé nedostatky na jiných místech —jedním z nich je fakt, že Eukleidův výčet axiómů a postulátů pro popis ob-vyklé intuitivně vnímané geometrie není zdaleka úplný. Můžeme např. přidatnásledující „šestý postulátÿ:

Existují alespoň tři body neležící na téže přímce.

Tento postulát není ve sporu s ostatními pěti Eukleidovými postuláty, ne-boť najdeme geometrický model, ve kterém všech šest axiómů platí — např.právě výše zmiňovaná standardní intuitivně chápaná eukleidovská rovina. A

14


není na nich ani závislý, neboť žádný z Eukleidových pěti postulátů nezmi-ňuje podmínky existence bodů (i když P1 a P3 s body pracují), tudíž nelzetento „6. postulátÿ odvodit z P1 až P5. Existence šestého postulátu ukazuje,že Eukleides nepodal úplný axiomatický popis geometrie — toto je hlavnínedostatek jeho díla.

Nalezneme celou řadu dalších příkladů, kdy Eukleides intuitivně používalpředpoklady, které ani nedokázal ani nepoložil do axiomatických základůteorie. Například při zdůvodnění konstrukce rovnostranného trojúhelníka v1. odstavci I. knihy, kterou jsme v této kapitole uvedli v plném znění, použilEukleides předpoklad, že dvě kružnice se středy A, B a poloměrem AB seprotínají. Může se však stát, že ne všechny body roviny jsou body geometrie,kterou popisuje pět Eukleidových postulátů.

Příklad 2.1.1. Uvažujme například množinu všech racionálních bodů v ro-vině (tj. bodů, jejichž souřadnice [x, y] jsou racionální čísla — budeme ji značitQ × Q. Zvolme úsečku AB, kde A[0, 0] a B[1, 0]. Ačkoliv je v rovině Q × Qsplněna platnost všech pěti Eukleidových postulátů, přesto nelze provést kon-strukci rovnostranného trojúhelníka, jak je uvedena v 1. odstavci I. knihy Zá-kladů. Vrchol hledaného trojúhelníka by totiž musel mít souřadnice [ 12 ,±

√32 ],

ovšem toto není bod roviny Q × Q, a proto na dané přímce omezené nelzepostavit trojúhelník rovnostranný. �

Závěrem dodejme, že existují ještě XIV a XV. díl Základů, které však jsouz pozdější doby. Navíc už od dob prvních opisů se jednotlivé verze Základůponěkud liší, což se týká i počtu axiómů — některé názory hovoří jen o pětipůvodních axiómech, jiné o osmi.

2.2 D. Hilbert: Grundlagen der Geometrie (Základy ge-ometrie)

19. století je pro matematiku obdobím velkého zpřesňování. Po matematickéanalýze a aritmetice se podařilo sjednat nápravu i v jedné z nejstarších mate-matických disciplín — v geometrii. Je sice pravda, že právě geometrie začalabýt axiomatizována z celé matematiky nejdříve (Eukleidovy Základy, 3. stol.p.n.l.), ale přesného stanovení všech výchozích axiómů se dočkala až po vícenež dvou tisíciletích.

Roku 1899 vyšla kniha německého matematika Davida Hilberta Grund-lagen der Geometrie (Základy geometrie) pojednávající o logických základecheukleidovské geometrie způsobem, jakým to provádíme dodnes. Na rozdíl odEukleida začal Hilbert ve svém spisu vymezením primitivních pojmů, kterénedefinoval a jejichž význam byl dán jen jejich vlastnostmi v rámci následněuvedených axiómů. Byly to nedefinované pojmy: bod, přímka, rovina, náležeti,

15


býti mezi, shodnost, spojitost a rovnoběžnost. V původní Hilbertově knize bylyaxiómy rozděleny do pěti skupin v tomto pořadí — axiómy svázanosti7, axi-ómy uspořádání, axióm rovnoběžnosti (Eukleidův axióm), axiómy shodnostia axióm souvislosti8 (Archimédův axióm).9

V následujících úvahách se budeme opírat o Hilbertovo pojetí, které apliku-jeme na rovinnou geometrii. Předpokládejme, že máme dánu množinu, jejížprvky se dělí do dvou skupin. Prvky jedné označujeme jako body, prvky druhéjako přímky. Předpokládejme dále, že prvky základní množiny, resp. její ur-čité podmnožiny jsou v následujících vzájemných vztazích: incidentní, mezia shodný. Pojmy bod, přímka, incidentní, mezi a shodný jsou zatím bez ob-sahu — ten jim dají až axiómy. Axiómy popisující eukleidovskou geometriirozdělíme v souladu s Hilbertem do pěti skupin. Dnes se však skupiny axiómůuvádějí v jiném pořadí a rovněž najdeme nejrůznější upravená znění jednotli-vých axiómů.

Skupiny budeme nazývat

� axiómy incidence (symbolicky I)� axiómy uspořádání (symbolicky U)� axiómy shodnosti (symbolicky S)� axiómy spojitosti (symbolicky D, popř. AC)� axióm rovnoběžnosti (symbolicky R)

2.3 Axiómy incidence

Podívejme se nyní podrobněji na znění jednotlivých Hilbertových axiómů —resp. na jejich dnešní moderní formulace. Začneme axiómy incidence.

I-1: Dvěma navzájem různými body prochází jediná přímka.

I-2: Na každé přímce existují alespoň dva různé body.

I-3: Existují alespoň 3 body, které neleží v přímce.

Po axiómech následují definice (slovní vymezení pojmů uvedením jejich ty-pických znaků) a věty (platné poučky odvozené ze základních předpokladů).Zdůrazněme, že axiomatický systém je logicky uspořádaný, tj. nová věta můžebýt přiřazena pouze a výhradně vyvozením z axiómů a z vět již dokázaných:

(((I-1, I-2, I-3 =⇒ V 1) =⇒ V 2) =⇒ · · ·) =⇒ Vn,

7dnes používáme termín axiómy incidence8dnes používáme název axióm(y) spojitosti9K Archimédovu axiómu Hilbert posléze doplnil ještě tzv. axióm úplnosti.

16


DEFINICE 2.3.1: Tři body, které leží na téže přímce se nazývají kolineární;tři body nenáležející téže přímce budeme nazývat nekolineární. �

DEFINICE 2.3.2: Dvě různé přímky, jejichž průnikem je jediný bod se nazývajírůznoběžné a jejich společný bod nazýváme průsečík. �

Tři axiómy, které máme k dispozici, není mnoho, přesto můžeme dokázat ně-kolik jednoduchých tvrzení, které platí v každé geometrii vyhovující axiómůmI-1 až I-3.

Věta 2.3.1: Dvě různé přímky mohou mít společný nejvýše jeden bod. �

Důkaz: Předpokládejme, že dvě různé přímky p a q mají společné alespoňdva různé body — řekněme P a Q. Axiom I-1 říká, že dva různé body určujíjedinou přímku, a proto musí platit p = q, což je spor! Proto dvě různé přímkymají společný nejvýše jeden bod. Q.E .D.

Věta 2.3.2: Mimo každou přímku leží alespoň jeden bod. �

Důkaz: Jestliže tato věta neplatí, potom existuje taková přímka, na níž ležívšechny body. Toto je však spor s axiómem I-3. Q.E .D.

Věta 2.3.3: Ke každému bodu lze určit přímku, která jím neprochází. �

Důkaz: Nechť P je daný bod. Podle axiómu I-3 existují alespoň dva dalšíbody – jeden z nich nechť je Q. Podle axiómu I-1 existuje jediná přímka aprocházející body P a Q. Použijeme-li větu 2.3.2 (str. 17), potom existuje bodR mimo přímku a. Nechť přímka b prochází body Q a R (podle I-1). Jelikoža a b jsou různé přímky (R ∈ b, ale R 6∈ a), které se protínají v bodě Q, víme,že podle věty 2.3.1 (str. 17) bod P určitě neleží na přímce b. Tj. našli jsmepřímku, která neprochází daným bodem. Q.E .D.

Obdobně bychom dokázali i následující věty:

Věta 2.3.4: Ke každému bodu existují alespoň dvě přímky, které jím prochá-zejí. �

Věta 2.3.5: Existují alespoň tři přímky, které neprocházejí jedním bodem. �

Podívejme se nyní na jednoduché příklady (modely) geometrií, které jsoupopsány jen třemi axiómy incidence. Tyto modely obsahují jen konečný početbodů a přímek a poněkud se vymykají naší běžné představě o geometrickémmodelu.

Příklad 2.3.1. Uvažujme tříprvkovou množinu {A,B,C}. Bodem rozumímekaždý prvek dané množiny; tj. A, B, C jsou body. Přímku budeme interpreto-vat jako každou dvouprvkovou podmnožinu dané množiny; tj. {A,B}, {B,C}a {C,A} jsou přímky. Bod inciduje s přímkou, právě když je prvkem příslušnédvouprvkové množiny; např. bod A inciduje s přímkami {A,B} a {C,A}, aleneinciduje s přímkou {B,C}. Snadno bychom ověřili, že jsou splněny všechny

17


tři axiómy I-1 až I-3. �

Příklad 2.3.2. Uvažujme opět tříprvkovou množinu {A,B,C}. Bodem tento-krát rozumíme každou dvouprvkovou podmnožinu dané množiny; tj. {A,B},{B,C} a {C,A} jsou body. Přímku budeme nyní interpretovat jako prvekdané tříprvkové množiny; tj. A, B, C jsou přímky. Bod inciduje s přímkou,právě když obsahuje příslušný prvek; např. bod {A,B} inciduje s přímkamiA a B, ale neinciduje s přímkou C. Snadno bychom ověřili, že jsou opět spl-něny všechny tři axiómy I-1 až I-3. Tento model bývá označován jako duálník modelu uvedeném v předcházejícím příkladu. �

Jelikož pro každý z uvedených dvou modelů platí axiómy I-1 až I-3, platí vnich rovněž i všechny uvedené věty.

Druhou skutečností, kterou bychom měli zdůraznit, je problematika rovnobě-žek. Tento pojem jsme však zatím nedefinovali, a proto budeme hovořit jeno přímkách nerůznoběžných (nerůznoběžkách). Je vidět, že v obou výšeuvedených modelech neexistují nerůznoběžky — tuto vlastnost budeme ozna-čovat jako eliptickou vlastnost modelu. Existují ale i další modely geometrie[I], které však eliptickou vlastnost nesplňují — např. standardní Eukleidovageometrie, resp. další dva níže uvedené modely. Existenci, ani jednoznačnostnerůznoběžek nelze v geometrii popsané jen axiómy incidence ani dokázat,ani vyvrátit.

Příklad 2.3.3. Uvažujme čtyřprvkovou množinu {A,B, C, D}. Interpretacebodů a přímek je stejná jako v prvním příkladu. Snadno zjistíme, že ke každépřímce (např. {A,B}) existuje právě jedna nerůznoběžka ({C,D}) — říkáme,že model splňuje eukleidovskou vlastnost. �

Příklad 2.3.4. Uvažujme pětiprvkovou množinu {A,B, C, D, E}. Interpre-tace bodů a přímek je opět stejná jako v prvním příkladu. Tentokrát ke každépřímce (např. {A,B}) existují alespoň dvě nerůznoběžky ({C,D}, {C,E} a{D,E}) — říkáme, že model splňuje hyperbolickou vlastnost. �

2.4 Axiómy uspořádání

Pro zjednodušení budeme používat zápis A ∗ B ∗ C, který čteme bod B ležímezi body A a C.

U-1: Jestliže A ∗B ∗C, pak A, B, C jsou tři různé body na přímce. Platí téžC ∗B ∗A.

U-2: Ze tří různých bodů přímky leží právě jeden mezi ostatními dvěma.

U-3: Jsou-li A 6= B, pak vždy existuje aspoň jeden bod C takový, že A∗B∗C.

18


U-4: Každá přímka p rozdělí body, které na ní neleží do dvou tříd s následu-jícími vlastnostmi:(i) mezi dvěma různými body téže třídy neleží bod přímky p;(ii) mezi dvěma body z různých tříd leží právě jeden bod přímky p.

Oproti geometrii [I] (popsána jen axiómy incidence) již v geometrii [I, U ]neobstojí žádné finitní modely (konečný počet bodů, přímek), což vyplývá znásledujících vět:

Věta 2.4.1: Na každé přímce leží nekonečně mnoho navzájem různýchbodů. �

Důkaz: (obr. 2.4.1) Uvažujme přímku AB. Podle axiómu U-3 existuje vždybod C1 takový, že A ∗B ∗C1, dále existuje bod C2 takový, že A ∗C1 ∗C2, bodC3 takový, že A ∗ C2 ∗ C3,. . . Q.E .D.

A B C1 C2 C3C4

Obr. 2.4.1

A B C1 C2 C3

P

a b p1p2

p3

Obr. 2.4.2

Věta 2.4.2: Každým bodem prochází nekonečně mnoho přímek. �

Důkaz: (obr. 2.4.2) Podle věty 2.3.3 (str. 17) existuje k bodu P přímka AB,která jím neprochází. Podle věty předcházející najdeme na přímce AB ne-konečně mnoho různých bodů C1, C2, . . . , Cn, . . . , které určují nekonečněmnoho přímek a = PA, b = PB, p1 = PC1, p2 = PC2, . . . , pn = PCn,. . . procházejících bodem P . Q.E .D.

Místo axiómu U-4, bývá někdy zařazen tzv. Paschův axióm. Použijeme-li námizavedené axiómy, pak se tento „axiómÿ stává větou.

Věta 2.4.3: (Paschova věta) Buďte A, B, C tři body neležící na přímcep, která obsahuje jistý bod ležící mezi body A, B. Pak nastane právě jedna zmožností:� přímka p obsahuje bod ležící mezi A, C a neobsahuje bod ležící mezi B, C;� přímka p obsahuje bod ležící mezi B, C a neobsahuje bod ležící mezi A,C. �

19


Důkaz: (obr. 2.4.3) Podle předpokladů věty obsahuje přímka p bod D takový,že A ∗D ∗B, tj. body A, B náležejí různým třídám ve smyslu axiómu U-4.

A

B

C

Dp

Obr. 2.4.3

Nyní mohou nastat právě dvě možnosti — buďto bod C náleží téže třídě jakobod B, tj. podle U-4 přímka p obsahuje bod ležící mezi A, C a neobsahujebod ležící mezi B, C; anebo bod C náleží téže třídě jako bod A, tj. podlestejného axiómu přímka p obsahuje bod ležící mezi B, C a neobsahuje bodležící mezi A, C. Q.E .D.

Primitivní pojem „býti meziÿ umožňuje definovat řadu dalších užitečnýchpojmů — úsečka, polopřímka, polorovina, úhel, trojúhelník.

DEFINICE 2.4.1: Vnitřkem úsečky AB rozumíme množinu všech bodů Xpřímky AB takových, že A ∗X ∗ B. Úsečkou AB rozumíme vnitřek spolu skrajními body A, B; neboli

AB = {X ∈↔ AB;A ∗X ∗B} ∪ {A,B}. �

DEFINICE 2.4.2: Třídu bodů z axiómu U-4 nazveme vnitřek poloroviny,přímku p nazveme hraniční přímka. Dále, polorovinou pA rozumímevnitřek, jemuž patří bod A s hraniční přímkou p (obr. 2.4.4). �

p

q

OB

A

Obr. 2.4.4

20


DEFINICE 2.4.3: Poloroviny 7→pA a 7→pB se nazývají opačné poloroviny,jestliže jejich vnitřky jsou disjunktními třídami ve smyslu axiómu U-4. �

Je zřejmé, že pomocí axiómu U-4 lze rovněž body libovolné přímky rozdělitdo dvou disjunktních tříd.

Věta 2.4.4: (obr. 2.4.4) Je dána přímka q a na ní bod O. Všechny body X 6= Opřímky q jsou rozděleny bodem O do dvou tříd s vlastnostmi:

1. mezi dvěma různými body téže třídy neleží bod O,2. mezi dvěma body z různých tříd leží bod O. �

DEFINICE 2.4.4: Třídu bodů z předchozí věty nazveme vnitřek polo-přímky, bod O nazveme počátek polopřímky. Dále, polopřímkou OArozumíme vnitřek, jemuž patří bod A s počátečním bodem O. �

DEFINICE 2.4.5: Polopřímky 7→OA ⊂ q a 7→OB ⊂ q se nazývají opačnépolopřímky, jestliže jejich vnitřky jsou disjunktními třídami ve smyslu věty2.4.4 (str. 21).

Věta 2.4.5:(i) 7→AB ∪ 7→BA =↔AB;(ii) 7→AB ∩ 7→BA = AB. �

DEFINICE 2.4.6: Průnik polorovin 7→AV B a 7→BV A nazýváme úhel (zna-číme ∠AV B). Polopřímky V A a V B nazýváme ramena úhlu, bod V senazývá vrchol úhlu. Body úhlu neležící na ramenech náleží tzv. vnitřkuúhlu (obr. 2.4.5). �

A

B

V

Obr. 2.4.5

DEFINICE 2.4.7: Je dán úhel ∠AV B. Polopřímku 7→ V C nazveme vnitřnípolopřímkou úhlu ∠AV B, jestliže každý bod vnitřku polopřímky 7→V C jevniřním bodem úhlu ∠AV B. �

Pomocí úvah o příslušnosti k téže třídě ve smyslu axiómu U-4 bychom mohlidokázat větu:

21


Věta 2.4.6: V C je vnitřní polopřímkou úhlu ∠AV B, právě když7→V C ∩AB 6= ∅. �DEFINICE 2.4.8: Dva úhly ∠AV B a ∠AV C, jejichž ramena V B a V C jsouopačnými polopřímkami, se nazývají vedlejší úhly (obr. 2.4.6). �

DEFINICE 2.4.9: Jsou-li V A′, resp. V B′ opačné polopřímky k polopřímkámV A, resp. V B, nazýváme úhly ∠AV B a ∠A′V B′ vrcholové úhly (obr.2.4.7). �

A

B

V

C

Obr. 2.4.6

A

B

VA’

B’

Obr. 2.4.7

DEFINICE 2.4.10: Nechť A, B, C jsou tři nekolineární body Průnik poloro-vin ABC, BCA a CAB nazýváme trojúhelník. Body A, B, C se nazývajívrcholy, úsečky AB, BC a CA se nazývají strany (obr. 2.4.8). �

A

C

B

Obr. 2.4.8

A B

C

α

α’1

β’2

β’1

γ’1γ’2

α’2β

γ

Obr. 2.4.9

DEFINICE 2.4.11: Je dán trojúhelník ABC, úhly ∠CAB, ∠ABC a ∠BCAse nazývají vnitřní úhly trojúhelníka. Vedlejší úhly k úhlům vnitřnímoznačujeme jako vnější úhly trojúhelníka (obr. 2.4.9). �

22


Definice trojúhelníka umožňuje vyslovit jiné znění Paschovy věty:Jestliže ABC je trojúhelník a p přímka neprocházející žádným z vrcholů, kteráprotíná stranu AB. Potom p protíná rovněž buďto stranu BC, anebo stranuAC.

DEFINICE 2.4.12: Nechť A, B, C, D jsou čtyři body takové, že úsečky AC aBD mají společný právě jeden vnitřní bod. Sjednocení trojúhelníků 4ACBa 4ACD nazýváme (konvexní) čtyřúhelník (obr. 2.4.10). Body A, B, C,D se nazývají vrcholy, úsečky AB, BC, CD a DA se nazývají strany, úhly∠CAB, ∠ABC, ∠BCD a ∠CDA se nazývají vnitřní úhly čtyřúhelníka. �

A

B

C

D

Obr. 2.4.10

2.5 Axiómy shodnosti

Kolik z „naší geometrieÿ nezávisí na axiómu rovnoběžnosti? Které věty mů-žeme vyslovit, aniž bychom použili 5. Eukleidův postulát? Jak se ukáže jednáse o poměrně velkou část našich geometrických znalostí, jež se opírají jen oskupiny axiómů incidence, uspořádání a shodnosti.

S-1: Jestliže AB ∼= CD a CD ∼= EF , potom AB ∼= EF . Navíc každá úsečkaje shodná sama se sebou.

S-2: Nechť je AB úsečka a CD polopřímka. Potom na CD leží jediný bod Etakový, že AB ∼= CE.

S-3: Jestliže A ∗ C ∗ B a A′ ∗ C ′ ∗ B′, přičemž AC ∼= A′C ′ a BC ∼= B′C ′,potom platí AB ∼= A′B′.

S-4: Jestliže ∠A ∼= ∠B a ∠B ∼= ∠C, potom ∠A ∼= ∠C. Navíc každý úhel jeshodný sám se sebou.

S-5: Je dán úhel ABC a trojice nekolineárních bodů A′, B′, M Potom vpolorovině A′B′M existuje jediná polopřímka B′C ′ taková, že ∠ABC ∼=∠A′B′C ′.

S-6: Budiž dány dva trojúhelníky ABC a A′B′C ′. Jestliže platí AB ∼= A′B′,AC ∼= A′C ′ a ∠BAC ∼= ∠B′A′C ′, potom platí také BC ∼= B′C ′,∠ABC ∼= ∠A′B′C ′ a ∠ACB ∼= ∠A′C ′B′.

23


Na základě axiómů shodnosti můžeme pracovat s úsečkami — porovnávat je,sčítat a rovněž odčítat je.

DEFINICE 2.5.1: Bod S přímky AB se nazývá středem úsečky AB, jestližeplatí AS ∼= BS. �

Věta 2.5.1: Každá úsečka má právě jeden střed. �

DEFINICE 2.5.2: AB < CD (popř. CD > AB), jestliže existuje takový bodE mezi body CD, že AB ∼= CE (obr. 2.5.1). �

Věta 2.5.2: (Uspořádání úseček ) Pro úsečky AB a CD nastává právějedna z možností

AB < CD, AB ∼= CD, AB > CD. �

A

B

C D

E

Obr. 2.5.1

AB C

D

X YZ

Obr. 2.5.2

DEFINICE 2.5.3: Součtem úseček AB a CD rozumíme jakoukoliv úsečkuXY mající vlastnost, že existuje vnitřní bod Z úsečky XY takový, že AB ∼=XZ a že CD ∼= ZY (obr. 2.5.2). Píšeme symbolicky

AB + CD = XY. �

DEFINICE 2.5.4: Je-li AB > CD, pak rozdílem úseček AB a CD rozumímejakoukoliv úsečku MN takovou, že AB = CD +MN . Píšeme symbolicky

AB − CD =MN. �

Obdobně lze pracovat i s úhly.

DEFINICE 2.5.5: Vnitřní polopřímku V O úhlu AV B nazveme osou úhlu∠AV B, jestliže platí ∠AV O ∼= ∠BV O. �

Věta 2.5.3: Každý úhel má právě jednu osu úhlu. �

DEFINICE 2.5.6: ∠ABC < ∠DEF , jestliže existuje vnitřní polopřímka EGúhlu DEF taková, že ∠ABC ∼= ∠DEG (obr. 2.5.3). �

Věta 2.5.4: (Uspořádání úhlů ) Pro úhly α a β nastává právě jedna zmožností

α < β, α ∼= β, α > β. �

24


AB

C

DE

F

G

Obr. 2.5.3

U

XY

Z

αβ

Obr. 2.5.4

DEFINICE 2.5.7: Součtem úhlů α a β rozumíme jakýkoliv úhel γ = ∠XY Zmající vlastnost, že existuje vnitřní polopřímka Y U úhlu XY Z taková, že∠XY U ∼= α a že ∠UY Z ∼= β (obr. 2.5.4). Píšeme symbolicky

α+ β = γ. �

DEFINICE 2.5.8: Je-li α > β, pak rozdílem úhlů α a β rozumíme jakýkolivúhel δ takový, že α = β + δ. Píšeme symbolicky

α− β = δ. �

Pojem shodnosti byl zaveden pro dvě úsečky, resp. dva úhly. V dalších úvaháchnás bude zajímat především shodnost dvou trojúhelníků, přičemž vyslovímeněkolik vět, které platí pro strany a úhly v trojúhelníku — včetně vět o shod-nosti trojúhelníků.

DEFINICE 2.5.9: Dva trojúhelníky nazveme shodné, jestliže existuje vzá-jemně jednoznačná korespondence mezi jejich vrcholy taková, že odpovídajícísi strany a odpovídající si úhly jsou shodné (obr. 2.5.5). �

Obr. 2.5.5

25


Věta 2.5.5: (sus) Jestliže pro dva trojúhelníky ABC a A′B′C ′ platíAB ∼= A′B′, AC ∼= A′C ′ a ∠A ∼= ∠A′, pak jsou shodné. �

Důkaz: Věta je bezprostředním důsledkem axiómu S-6 a předcházející definiceshodných trojúhelníků. Q.E .D.

Věta 2.5.6: Jestliže v 4ABC platí AB ∼= AC, potom platí ∠B ∼= ∠C. �

Důkaz: Uvažujme korespondenci vrcholů: A → A, B → C, C → B. V tétokorespondenci jsou dvě strany (AB, AC) a úhel jimi sevřený (∠A) shodnése dvěma odpovídajícími stranami (AC, AB) a úhlem jimi sevřeným (∠A).Podle věty (sus) jsou trojúhelníky shodné, a proto odpovídající si úhly jsourovněž shodné, ∠B ∼= ∠C. Q.E .D.

DEFINICE 2.5.10: Trojúhelník, který má dvě shodné strany, se nazývá rov-noramenný. Shodné strany nazýváme ramena, třetí stranu nazýváme zá-kladna. �

Věta 2.5.7: Vedlejší úhly dvou shodných úhlů jsou shodné. �

B1 B2C1 C2C’1 C’2

A1 A2

Obr. 2.5.6

Důkaz: (obr. 2.5.6) Nechť jsou dány dvě trojice nekolineárních bodů A1, B1, C1a A2, B2, C2 takové, že platí ∠A1B1C1 ∼= ∠A2B2C2, B1A1 ∼= B2A2 a B1C1 ∼=B2C2. Na polopřímce opačné k polopřímce B1C1, resp. B2C2 zvolme bod C ′

1,resp. C ′

2 tak, že platí B1C′1∼= B2C

′2. Podle S-3 můžeme psát C1C

′1∼= C2C

′2.

Podle věty sus platí 4B1A1C1 ∼= 4B2A2C2, a proto C1A1 ∼= C2A2 a ∠C1 ∼=∠C2. Podle věty sus platí 4C1C

′1A1

∼= 4C2C′2A2, a proto C ′

1A1∼= C ′

2A2a ∠C1C

′1A1

∼= ∠C2C′2A2. A opět podle věty sus 4C ′

1B1A1∼= 4C ′

2B2A2, aproto ∠C ′

1B1A1∼= ∠C ′

2B2A2. Q.E .D.

Věta 2.5.8: Vrcholové úhly jsou navzájem shodné. �

Důkaz: Jedná se o bezprostřední důsledek předcházející věty, neboť oba vr-cholové úhly lze považovat za vedlejší úhly téhož úhlu. Q.E .D.

Věta 2.5.9: (sss) Jestliže pro dva trojúhelníky ABC a A′B′C ′ platí AB ∼=A′B′, BC ∼= B′C ′ a AC ∼= A′C ′, pak jsou shodné. �

Důkaz: (obr. 2.5.7) Stačí dokázat ∠A ∼= ∠A′, potom podle věty sus budoutrojúhelníky shodné. Předpokládejme ∠A 6∼= ∠A′, potom existuje podle S-5polopřímka AD v polorovině A′C ′B′, pro kterou je ∠A ∼= ∠C ′A′D, přičemž

26


7→A′D 6=7→A′B′. Podle S-2 leží na polopřímce A′D jediný bod B1 takový, žeAB ∼= A′B1. Podle věty sus platí 4ABC ∼= 4A′B1C

′, a proto BC ∼= B1C′.

Shodnost úseček je vztah tranzitivní (S-1), a proto rovněž trojúhelníky4A′B′C ′, 4A′B1C

′ mají shodné strany. Stejným způsobem sestrojíme trojú-helník4A′B2C

′ s vrcholem v B2 v opačné polorovině s hraniční přímkou A′C ′

než je bod B1 — tj. rovněž platí 4ABC ∼= 4A′B2C′. Jelikož A′B′ ∼= A′B2

a C ′B′ ∼= C ′B2, platí ∠A′B′B2 ∼= ∠A′B2B′ a ∠C ′B′B2 ∼= ∠C ′B2B

′ (rov-noramenné trojúhelníky). Odtud dostáváme ∠A′B′C ′ ∼= ∠A′B2C

′ (součetúhlů). Trojúhelníky 4A′B′C ′, 4A′B2C

′ jsou tudíž shodné (sus) a speciálně∠C ′A′B′ ∼= ∠C ′A′B2. Analogicky bychom dokázali ∠C ′A′B1 ∼= ∠C ′A′B2.Ovšem vzhledem k tomu, že 7→ A′B1 6=7→ A′B′ dostáváme spor a axiómemS-5 . Q.E .D.

A

B

C

A’

B’

C’

B1

B2

D

Obr. 2.5.7

Věta 2.5.10: (usu) Jestliže pro dva trojúhelníky ABC a A′B′C ′ platí AB ∼=A′B′, ∠A ∼= ∠A′ a ∠B ∼= ∠B′, pak jsou shodné. �

A

B

C

A’

B’

C’D

Obr. 2.5.8

27


Důkaz: (obr. 2.5.8) Stačí dokázat AC ∼= A′C ′, potom podle věty sus bu-dou trojúhelníky shodné. Předpokládejme AC 6∼= A′C ′, takže pro bod Dpolopřímky A′C ′, pro který je AC ∼= A′D, platí C ′ 6= D. Ze vztahu4ABC ∼= 4A′B′D plyne ∠A′B′D ∼= ∠B. Protože ale podle předpokladuje rovněž ∠B ∼= ∠A′B′C ′ a protože body C ′ a D leží v téže polorovině, jsoupodle S-5 polopřímky B′C ′ a B′D totožné. Toto je však spor, neboť bod B′

neleží na přímce A′C ′ = C ′D′. Q.E .D.

Věta 2.5.11: (O vnějším úhlu trojúhelníka) Vnější úhel trojúhelníka jevětší než kterýkoliv vnitřní, který s ním není vedlejší. �

A

B

C

A’

DE

Obr. 2.5.9

Důkaz: (obr. 2.5.9) Uvažujme trojúhelník 4ABC a na polopřímce opačné kpolopřímce BA zvolme bod A′. Chceme dokázat ∠A′BC > ∠ACB. OznačmeD střed úsečky BC a na polopřímce opačné k polopřímce DA určeme bod Etak, že AD ∼= DE. Navíc platí ∠ADC ∼= ∠EDB (vrcholové úhly), a proto4ADC ∼= 4EDB. Odtud dostáváme ∠ACD ∼= ∠DBE. Dále víme, že bod Enáleží polorovině ABC a současně opačné polorovině k polorovině CBA, tj.7→CBA′. Polopřímka BE je tudíž vnitřní polopřímkou úhlu ∠CBA′, a proto∠CBE < ∠CBA′. Jelikož ∠ACD = ∠ACB ∼= ∠DBE = ∠CBE, dostáváme∠ACB < ∠CBA′.

Věta 2.5.12: V trojúhelníku leží proti větší straně větší úhel a proti většímuúhlu větší strana. �

Důkaz: (obr. 2.5.10) Uvažujme trojúhelník ABC. Máme dokázat, že z před-pokladu AC < CB plyne ∠ABC < ∠CAB. Jestliže AC < CB, potom mezibody C a B existuje bod E takový, že AC ∼= CE. Polopřímka AE je vnitřnípolopřímkou úhlu CAB, a proto ∠CAB > ∠CAE. Trojúhelník AEC je rov-noramenný, a proto ∠CAE ∼= ∠AEC. Navíc podle věty o vnějším úhlu je

28


∠AEC > ∠ABC. Proto ∠CAB > ∠CAE ∼= ∠AEC > ∠ABC a dostáváme∠CAB > ∠ABC. Sporem bychom dokázali i druhou část věty. Q.E .D.

A

B

C

E

Obr. 2.5.10

Věta 2.5.13: (Trojúhelníková nerovnost) Součet dvou stran trojúhel-níka je větší než strana třetí. Rozdíl dvou stran trojúhelníka je menší nežstrana třetí. �

A B

C

C’C’’

Obr. 2.5.11

Důkaz: (obr. 2.5.11) Mějme dán trojúhelník ABC a nechť bod C ′ leží na po-lopřímce opačné k 7→ BA, přičemž BC ∼= BC ′. Je zřejmé, že ∠ACC ′ >∠BCC ′ ∼= ∠AC ′C, a jelikož proti většímu úhlu leží větší strana, platíAC ′ > AC. Ovšem AC ′ = AB +BC.

Druhou část věty dokážeme obdobně — za předpokladu AB > BC, existujevnitřní bod C ′′ úsečky AB takový, že BC ∼= BC ′′. Dále ∠ACC ′′ < ∠AC ′′C(Zdůvodněte!), a proto AC < AC ′′ = AB − CB. Q.E .D.

DEFINICE 2.5.11: Úhel shodný se svým úhlem vedlejším se nazývá pravý. �

29


Věta 2.5.14: Existuje pravý úhel. �

O A

B

B’

M

Obr. 2.5.12

Důkaz: (obr. 2.5.12) Vezměme libovolný úhel ∠AOB. Podle S-5 existuje polo-přímka OB′ taková, že ∠AOB ∼= ∠AOB′, přičemž body B a B′ leží v opač-ných polorovinách s hraniční přímkou AO. Volme B′ tak, aby OB ∼= OB′ —axióm S-2 zajišťuje jednoznačnost takové volby. Průsečík přímek OA a BB′

označme písmenemM . Podle S-6 je4BMO ∼= 4B′MO, a proto vedlejší úhly∠BMO a ∠B′MO jsou shodné, a proto pravé. Q.E .D.

Na tomto místě můžeme zmínit větu, kterou Eukleides zařadil mezi postuláty:

Věta 2.5.15: (Eukleidův 4. postulát) Všechny pravé úhly jsou navzájemshodné. �

DEFINICE 2.5.12: Říkáme, že přímky jsou k sobě kolmé (anebo že jsou tokolmice), jestliže jeden z úhlů jimi sevřených je pravý. �

q2

q1

q5

p

q3q7

q6q4

Obr. 2.5.13

30


DEFINICE 2.5.13: (obr. 2.5.13) Nechť L je množina přímek v rovině. Přímkap se nazývá transverzála (příčka) systému přímek L, jestliže(i) p 6∈ L,(ii) p ∩ q 6= ∅ pro všechny přímky q ∈ L. �

DEFINICE 2.5.14: (obr. 2.5.14) Nechť p je příčka dvou přímek a, b. Dvojiciúhlů, z nichž jeden svírají přímky p, a (úhel s rameny p ⊂ p, a ⊂ a) a druhýpřímky p, b (úhel s rameny p ⊂ p, b ⊂ b), nazýváme souhlasné úhly, jestliže(i) oba leží v téže polorovině s hraniční přímkou p,(ii) buďto p ⊂ p nebo p ⊂ p. �

Věta 2.5.16: (O souhlasných úhlech) Jestliže dané dvě přímky spolu sjistou svojí příčkou vytvářejí dvojici shodných souhlasných úhlů, potom danépřímky nemají žádný společný bod. �

Důkaz: Tato věta je bezprostředním důsledkem věty o vnějším úhlu trojúhel-níka. Kdybychom připustili společný bod, potom bychom dostali trojúhelník,jehož jeden vnější úhel je shodný s jistým vnitřním úhlem, se kterým nenívedlejší. A to je spor. Q.E .D.

p

a

b

Obr. 2.5.14

p

A

spor!

Obr. 2.5.15

Věta 2.5.17: Daným bodem A lze vést k přímce p jedinou kolmici. �

Důkaz: (obr. 2.5.15) Tato věta je bezprostředním důsledkem věty o souhlasnýchúhlech. Q.E .D.

Věta 2.5.18: Nechť je dána přímka p a bod A mimo ni. Je-li P průsečíkpřímky p s kolmicí vedenou bodem A k přímce p, pak pro každý bod X 6= Ppřímky p platí AX > AP . �

Důkaz: (obr. 2.5.16) Nechť X ′ je bod polopřímky opačné k polopřímce PX.Potom podle věty o vnějším úhlu trojúhelníka a vzhledem k definici pravéhoúhlu můžeme psát ∠XPA ∼= ∠X ′PA > ∠PXA. A vzhledem k tomu, že vtrojúhelníku leží proti většímu úhlu větší strana, dostáváme v AX > AP .Q.E .D.

31


p

A

P XX’

Obr. 2.5.16

2.6 Axiómy spojitosti

Axiómy spojitosti umožňují vytvořit vzájemně jednoznačnou korespondencimezi geometrickou přímkou a „přímkou reálných číselÿ, tj. reálnou osou. Z do-savadních axiómů zatím nevyplývá skutečnost, že na přímce nechybí některébody (tj. zjednodušeně řečeno nevíme, zda přímka není „děraváÿ). Zařazenídalších axiómů je nezbytně nutné k tomu, abychom mohli tvrdit (vzhledem knašim zkušenostem), že každá přímka je spojitá — proto název axiómy spoji-tosti.

O důležitosti této problematiky nás může přesvědčit následující rozbor algo-ritmu konstrukce kolmice v daném bodě přímky.

pA B

k

l m

P

a

Obr. 2.6.1

Zvolíme zadaný bod za střed kružnice a sestrojíme kružnici o libovolném polo-měru. Tato kružnice protíná zadanou přímku ve dvou bodech. Dále sestrojíme

32


dvě kružnice se středy v těchto průsečících a s týmž poloměrem větším než po-loměr první kružnice. Tyto dvě kružnice se protínají ve dvou bodech. Přímkaprocházející získanými průsečíky dvou kružnic je hledanou kolmicí.

Mlčky jsme však přešli dva problémy:

(*) Protíná vždy daná přímka zvolenou kružnici?(**) Protínají se vždy uvedené dvě kružnice?

K zodpovězení obou otázek je nutné mít k dispozici aparát související s pro-blematikou spojitosti.

Nejdůležitějšími důsledky axiómů spojitosti jsou zavedení míry úsečky a míryúhlu. V principu máme dvě možnosti pro zavedení spojitosti do geometrie.Buďto zařadíme axiómy odpovídající původnímu Hilbertovu přístupu, a toArchimédův axióm a Cantorův axióm (u Hilberta tzv. axióm úplnosti). Anebopoužijeme jen axióm jediný, a to tzv. Dedekindův axióm. Obě cesty se ukazujíjako rovnocenné.

• Archimédův axióm + Cantorův axióm

(A) Ke každým dvěma úsečkám AB, CD existuje taková konečná po-sloupnost bodů P1, P2, . . . Pn, že AP1 ∼= P1P2 ∼= P2P3 ∼= . . . ∼=Pn−1Pn

∼= CD, kde Pk−1 6= Pk+1, taková, že bod Pn neleží mezibody A, B (obr. 2.6.2).

Použití Archimédova axiómu pro měření úseček je zřejmé. Zvolíme sinějakou úsečku e jako jednotkovou a postupně ji nanášíme na měřenouúsečku x (obr. 2.6.2). Podle tvrzení axiómu (A) se tak nemůže dít done-konečna, tj. každá úsečka má konečnou délku. Pro přesnější určení délkypak volíme zlomky jednotkové úsečky — e

10 ,e100 ,

e1000 , . . . ,

e10k , . . . , tj.

a · e+ a1 ·e

10+ a2 ·

e

102+ . . .+ ak ·

e

10k5 |x| <

< a · e+ a1 ·e

10+ a2 ·

e

102+ . . .+ (ak + 1) ·

e

10k

kde (∀i) 0 5 ai 5 9.

Píšeme |x| = a, a1a2 . . . ak . . .

A

P1 P2 P3Pn-1 Pn

B

C D

e

Obr. 2.6.2

33


Ovšem pouze tohle pro účely geometrie nestačí — i množina všech racio-nálních čísel Q má uvedenou vlastnost měření. Problémy se však objevína jiném místě. Uvažujme množinu všech racionálních bodů v rovině(tj. bodů, jejichž souřadnice [x, y] jsou racionálními čísly) — označme jiQ × Q. Vezměme polopřímku, která vychází z počátku O a jde bodemA[1, 1]. Délka úsečky OA je

√2. Budeme-li nyní chtít na polopřímce OB,

kde B[1, 0] (kladná racionální poloosa x), najít bod vyhovující axiómushodnosti S-2, bohužel se nám to nepodaří. Pouhé zařazení Archimé-dova axiómu neumožňuje vyslovit větu míra úsečky nabývá všech reál-ných hodnot při dané jednotkové úsečce. K tomu je nutné požadovatsplnění silnějších podmínek, a proto musíme zařadit axióm úplnosti —Cantorův axióm.

(C) Průnik posloupnosti do sebe vřazených úseček je neprázdný.

A1 B1A2 B2A3 B3A4 B4

Obr. 2.6.3

Jak lze dokázat, z Cantorova axiómu již vyplývá skutečnost, že každékladné reálné číslo je velikostí některé úsečky.

• Dedekindův axióm

(D) Body úsečky AB rozdělíme do dvou tříd s následujícími vlast-nostmi:

1. Každý bod patří právě jedné třídě.2. Bod A patří první třídě, bod B patří druhé třídě.3. Náleží-li bod X první třídě, pak této třídě patří i každý bodležící mezi AX.

Potom existuje tzv. hraniční bod H, který patří buď první, nebodruhé třídě a má následující vlastnosti:

a) je-li H 6= A, pak každý bod X mezi A, H patří první třídě,b) je-li H 6= B, pak každý bod Y mezi B, H patří druhé třídě.

Věta 2.6.1: Platnost Dedekindova axiómu je ekvivalentní se současnou plat-ností Archimédova a Cantorova axiómu. �

Důsledek 2.6.1. Geometrie [I, U, S,A, C] a [I, U, S,D] jsou ekvivalentní. �

Jestliže vyjdeme z axiomatiky [I, U, S,D], potom (A) a (C) jsou věty — ztradičních důvodů jim však stále budeme říkat axiómy, i když jim již totooznačení nenáleží. Dedekindův axióm umožňuje jednak měřit úsečky (tj. každé

34


úsečce lze přiřadit jednoznačně kladné reálné číslo), ale současně zaručuje, žeexistuje úsečka délky

√2, ale i např. π, e (Eulerova konstanta) nebo 3

√2, popř.

jiné eukleidovsky nekonstruovatelné délky (tj. každému kladnému reálnémučíslu lze přiřadit jednoznačně třídu navzájem shodných úseček).

Zdůrazněme, že teprve Dedekindův axióm, resp. dvojice axiómů Archimédův+ Cantorův umožňuje zavést souřadný systém a tím pracovat v geometriianalytickou metodou R. Descarta a P. Fermata.

Současně můžeme odpovědět ANO na obě otázky (*), (**) z úvodu této ka-pitoly. Z Dedekindova axiómu totiž vyplývají následující dvě věty:

Věta 2.6.2: Jestliže jeden krajní bod úsečky leží uvnitř kružnice a druhý vně,potom daná úsečka protíná danou kružnici. �

Věta 2.6.3: Jestliže jeden bod kružnice k leží uvnitř kružnice l a druhý bodkružnice k leží vně kružnice l, potom se kružnice k, l protínají ve dvou bodech.�

Obdobným způsobem, jakým měříme úsečky, můžeme pracovat i s úhly. Vgeometrii [I, U, S,D] lze dokázat větu:

Věta 2.6.4: Archimédův i Cantorův axióm zůstanou v platnosti, když v nichnahradíme úsečku, resp. bod, resp. přímku úhlem, resp. polopřímkou, resp.množinou všech polopřímek s týmž počátkem. �

Shrňme některé vlastnosti, které splňuje míra úseček (úhlů):

Věta 2.6.5: Nechť je dána úsečka OI nazývaná jednotková úsečka. Potomexistuje jediné zobrazení AB → |AB| (úsečka → délka úsečky) mající násle-dující vlastnosti:

1. |AB| je kladné reálné číslo a |OI| = 1.

2. |AB| = |CD| právě tehdy, když AB ∼= CD.

3. |AB|+ |BC| = |AC| právě tehdy, když A ∗B ∗ C.

4. |AB| < |CD| právě tehdy, když AB < CD.

5. Pro každé kladné reálné číslo x existuje úsečka AB taková, že |AB| =x. �

Věta 2.6.6: Existuje jediné zobrazení ∠A → |∠A| (úhel → velikost úhlu)mající následující vlastnosti:

1. |∠A| = 90◦ právě tehdy, když ∠A je pravý úhel.

35


2. |∠A| je kladné reálné číslo takové, že 0◦ < |∠A| < 180◦.

3. |∠A| = |∠B| právě tehdy, když ∠A ∼= ∠B.

4. |∠ABC| + |∠CBD| = |∠ABD| právě tehdy, když 7→AC je vnitřní po-lopřímka úhlu ∠ABD.

5. |∠A| < |∠B| právě tehdy, když ∠A < ∠B.

6. Pro každé kladné reálné číslo x ∈ (0, 180) existuje úhel ∠A takový, že|∠A| = x◦. �

7. Jestliže úhly ∠A a ∠B jsou vedlejší, potom |∠A|+ |∠B| = |∠180◦|.

Je důležité zdůraznit základní rozdíl mezi mírou úsečky a mírou úhlu. Zatímcopro měření úseček je nutné stanovit (tj. vybrat si !) jednotkovou úsečku (např.1 metr, 1 loket, 1 yard apod.), pro měření úhlů nic takového zapotřebí není— pravý úhel existuje a priori a tudíž je vhodné od něj odvozovat i velikostiúhlů ostatních. Jednotlivé systémy pro měření úhlů se liší pouze tím, jakouvelikost pravému úhlu přiřadíme:

• ve stupňové míře pravému úhlu přiřazujeme velikost 90◦ — úhlová jed-notka 1 úhlový stupeň (viz předcházející přístup);

• v obloukové (radiánové) míře pravému úhlu přiřazujeme velikost π2 rad

— úhlová jednotka 1 radián;

• v setinné míře pravému úhlu přiřazujeme velikost velikost 100g —úhlovájednotka 1 setinný stupeň (grad).

Samozřejmě existují i další úhlové míry, např. dílec (1 dílec = π3000 rad),

dělostřelecký dílec (1 dělostřelecký dílec = π3200 rad), matematický dílec

(1 dc = π1000 rad) atd.

2.7 Absolutní geometrie

Geometrie popsaná axiómy incidence, uspořádání, shodnosti a spojitosti, tj.geometrie [I, U, S,D] se nazývá absolutní geometrie a je nezávislá na axi-ómu rovnoběžnosti. Všechny věty geometrie [I] jsou samozřejmě i větami ab-solutní geometrie, rovněž tak věty geometrie [I, U ] a [I, U, S]. Vyslovíme adokážeme ještě některá další tvrzení, které se nedotýkají otázky rovnoběžek.

Věta 2.7.1: V trojúhelníku je součet kterýchkoliv dvou vnitřních úhlů menšínež dva pravé. �

36


Důkaz: Nechť je dán trojúhelník 4ABC. Máme dokázat ∠A+ ∠B < 2R, tj.pro velikosti platí |∠A|+ |∠B| < 180◦. Podle věty o vnějším úhlu trojúhelníkaplatí ∠A < ∠B, kde ∠B je vnější úhel při vrcholu B. Dále platí |∠B|+|∠B| =180◦, a proto |∠A| < 180◦ − |∠B|. Q.E .D.

Věta 2.7.2: (Saccheriho-Legendreova věta) Součet vnitřních úhlů troj-úhelníka není větší než dva úhly pravé. �

Důkaz: Nechť je dán trojúhelník4ABC. Máme dokázat ∠A+∠B+∠C 5 2R,tj. pro velikosti musí platit

|∠A|+ |∠B|+ |∠C| 5 180◦.

D

C

BA

E

Obr. 2.7.1

Provedeme důkaz sporem. Předpokládejme, že platí negace |∠A| + |∠B| +|∠C| > 180◦, tj. existuje kladné reálné číslo x takové, že

|∠A|+ |∠B|+ |∠C| = 180◦ + x◦.

Označme D střed strany BC. Potom existuje na polopřímce opačné k polo-přímce DA bod E takový, že DE ∼= AD. Podle věty sus platí4BAD ∼= CED.Proto

∠B ∼= ∠DCE ∠E ∼= ∠BAD.

Dále

4ABC︷︸︸︷|∠A|+ |∠B|+ |∠C| = (|∠BAD|+ |∠EAC|) + |∠B|+ |∠ACB| =

= |∠E|+ |∠EAC|+ (|∠DCE|+ |∠ACB|) = |∠E|+ |∠A|+ |∠C|︸︷︷︸4ACE

,

37


tj. 4ABC a 4ACE mají stejný součet velikostí vnitřních úhlů, ačkoliv ne-musejí být shodné. Vzhledem ke vztahům ∠BAE + ∠EAC = ∠BAC a∠AEC ∼= ∠BAE je

|∠CEA|+ |∠CAE| = |∠BAC|.

Není možné, aby oba úhly ∠CEA, ∠CAE měly současně velikost většínež 12 |∠BAC|, a proto alespoň jeden z nich má velikost menší nebo rovnu12 |∠BAC|.Můžeme provést rekapitulaci prvního kroku — existuje trojúhelník 4ACE sesoučtem velikostí vnitřních úhlů 180◦ + x◦ a s jedním vnitřním úhlem, jehožvelikost je menší nebo rovna 12 |∠A|.Opakujeme předcházející konstrukci a dostaneme trojúhelník se součtem veli-kostí vnitřních úhlů opět 180◦+ x◦ a s jedním vnitřním úhlem, jehož velikostje tentokrát menší nebo rovna 14 |∠A|.Uvažujme nyní klesající posloupnost

12m,14m,

123

m,124

m, . . . ,

jejíž limita je 0, a proto ke každému kladnému ε existuje takové přirozené n,že

12n

m < ε.

Po konečném počtu kroků (výše uvedených konstrukcí) a pro m = |∠A| aε = x◦ dostaneme

12n|∠A| < x◦.

Tj. po konečném počtu kroků dostaneme trojúhelník, jehož součet vnitřníchúhlů je 180◦ + x◦ a jeden z vnitřních úhlů má velikost menší nebo rovnu12n |∠A| < x◦. Součet velikostí zbývajících dvou úhlů musí být tudíž větší než180◦, což je spor s předcházející větou. Q.E .D.

DEFINICE 2.7.1: Defekt trojúhelníka ABC je číslo δ dané vztahem

δ(4ABC) = 180◦ − (|∠A|+ |∠B|+ |∠C|). �

Věta 2.7.3: (O součtu defektů) Nechť je dán trojúhelník 4ABC a nechťD je bod mezi vrcholy A a B. Potom δ(4ADC) + δ(4DBC) = δ(4ABC).�

Důsledek 2.7.1. δ(4ABC) = 0 právě tehdy, když δ(4ADC) = δ(4DBC) =0. �

38


V eukleidovské geometrii jsme zvyklí pracovat s trojúhelníky, jejichž defekt jevesměs nulový. Ale platí to vždy? Saccheriho-Legendreova věta ukazuje,že tomu tak být nemusí. Ptejme se proto dále: Může nastat situace, že v danégeometrii existuje současně trojúhelník s nenulovým defektem i trojúhelník snulovým defektem?

DEFINICE 2.7.2: Trojúhelník s nulovým defektem (tj. pro nějž platí∑3i=1 αi = 180◦, kde αi jsou velikosti vnitřních úhlů) se nazývá eukleidov-

ský. �

DEFINICE 2.7.3: Čtyřúhelník, pro nějž platí∑4

i=1 αi = 360◦, kde αi jsouvelikosti vnitřních úhlů), se nazývá eukleidovský. �

DEFINICE 2.7.4: Čtyřúhelník, jehož všechny vnitřní úhly jsou pravé nazý-váme pravoúhelník. �

Věta 2.7.4: Pravoúhelník je eukleidovský čtyřúhelník. �

Existenci pravoúhelníků v absolutní geometrii nelze dokázat. Platí však ná-sledující věta:

Věta 2.7.5: Jestliže existuje eukleidovský trojúhelník, potom existuje pravo-úhelník. �

A B

C

A B

C

D A BD

CE

δ1=0δ=0 δ1=0

δ1=0

Obr. 2.7.2

Důkaz: Eukleidovský trojúhelník 4ABC rozdělíme kolmicí, např. z vrcholu Cna stranuAB na dva pravoúhlé trojúhelníky4ADC a4DBC, které mají rov-něž nulový defekt. Odtud vyplývá, že např. čtyřúhelník ADCE, který vzniknesložením ze dvou shodných pravoúhlých trojúhelníků 4ADC, 4CEA je pra-voúhelník. Q.E .D.

Věta 2.7.6: Jestliže existuje eukleidovský trojúhelník, potom jsou všechnytrojúhelníky eukleidovské. �

39


Důkaz: Jak víme, jestliže existuje eukleidovský trojúhelník, pak existuje pra-voúhelník. Dá se dokázat, že potom lze sestrojit libovolně velký pravoúhelník,z čehož plyne skutečnost, že každý pravoúhlý trojúhelník je eukleidovský. Li-bovolný trojúhelník (s neznámým defektem δ) rozdělíme na dva pravoúhlé snulovými defekty, a proto i δ = 0. Q.E .D.

Důsledek 2.7.2. Jestliže existuje trojúhelník s kladným defektem, potomvšechny trojúhelníky mají kladný defekt. �

Na závěr vyslovme ještě jednu důležitou větu absolutní geometrie, která za-jištuje existenci nerůznoběžné přímky vedené daným bodem k dané přímce.

Věta 2.7.7: V rovině lze každým bodem mimo přímku vést alespoň jednu sní se neprotínající přímku. �

p

q

B

A

k

Obr. 2.7.3

Důkaz: Daným bodem A vedeme k dané přímce p kolmici k (ta existuje vždy!),průsečík označíme B. V bodě A sestrojíme kolmici q tentokrát k přímce k.Jelikož úhly ∠A a ∠B jsou souhlasné a shodné (neboť pravé), potom přímkyp a q nemají žádný společný bod. Q.E .D.

Nyní se nabízí otázka, zda lze daným bodem mimo přímku vést jedinou ne-různoběžku, anebo více. O tom však na základě uvedených axiómů incidence,uspořádání, shodnosti a spojitosti nelze rozhodnout. Absolutní geometrie při-pouští interpretaci jak pomocí modelů, v nichž existuje právě jedna nerůz-noběžka, tak pomocí modelů s nekonečně mnoha nerůznoběžkami. O tompohovoříme dále.

2.8 Modely absolutní geometrie

Model M1

Pojmy bod, přímka, incidence chápeme v obvyklém smyslu názorné geo-metrie.

40


Pojem mezi má rovněž obvyklý názorný význam.

Dvě úsečky (dva úhly) jsou shodné, jestliže je lze přemístit tak, že splynou.

Každým bodem mimo danou přímku lze vést jedinou nerůznoběžku, tj. modelM1 má eukleidovskou vlastnost

Model M2

Bodem rozumíme jakoukoliv uspořádanou dvojici reálných čísel [m,n].

Přímkou rozumíme jakoukoliv rovnici

ax+ by + c = 0, a, b, c ∈ R, [a, b] 6= [0, 0],

přičemž budeme předpokládat, že rovnice ax+ by + c = 0 a (ka)x+ (kb)y +(kc) = 0 představují tutéž přímku, jestliže k je libovolné nenulové číslo.

Bod [m,n] je incidentní s přímkou ax+ by + c = 0, jestliže platí

am+ bn+ c = 0.

Bod [b1, b2] leží mezi body [a1, a2], [c1, c2] jestliže všechny tři leží na téžepřímce a jestliže současně platí buďto ai 5 bi 5 ci, nebo ai = bi = ci, přičemžalespoň pro jedno i platí ostrá nerovnost.

Dvě úsečky AB a CD (kde A[a1, a2], B[b1, b2], C[c1, c2], D[d1, d2] ) jsoushodné, jestliže platí

(a1 − b1)2 + (a2 − b2)

2 = (c1 − d1)2 + (c2 − d2)

2.

Dva úhly ∠ABC a ∠DEF jsou shodné, jestliže jsou shodné úsečky AB ∼=DE, BC ∼= EF a AC ∼= DF .

Každým bodem P [m,n] mimo danou přímku p : ax+ by+ c = 0 (am+ bn+c 6= 0) lze vést jedinou nerůznoběžku a : (ka)x + (kb)y + C = 0 (k 6= 0,(ka)m+ (kb)n+ C = 0), tj. model M2 má eukleidovskou vlastnost

Model M3 — tzv. Beltrami-Kleinův model

Tento model je často uváděn také jen jako Kleinův model.

Uvažujme obyčejnou eukleidovskou rovinu v běžném slova smyslu a v nízvolme kruh Γ (kružnici γ) se středem O a poloměrem r. Vnitřkem kruhuΓ v E2 rozumíme množinu

int Γ = {X ∈ E2; |OX| < r}.

Rovinou H2 rozumějme nadále pouze vnitřek kruhu int Γ. K-body (tj. bodyKleinova modelu) jsou všechny body vnitřku kruhu int Γ. K-přímkami (tj.

41


přímkami Kleinova modelu) rozumíme každou tětivu kruhu Γ bez krajníchbodů. Vztahům incidence a mezi ponecháme smysl, jaký mají v obyčejnérovině.

P

Q a

X R

A B C p

q

γ

Obr. 2.8.1

γ

PC

A

B

Q

Obr. 2.8.2

Shodnost úseček zavedeme tak, že K-úsečky AB a CD jsou K-shodné,jestliže mají stejnou K-délku, kterou definujeme vztahem

d(AB)K =

∣∣∣∣ln(|AP ||AQ|

· |BQ||BP |

)∣∣∣∣ ,

kde P , Q jsou krajní body tětivy, na níž leží úsečka AB (↔AB ∩ γ = {P,Q}a P ∗A ∗B ∗Q), a kde |AP |, |AQ|, |BQ|, |BP | jsou standardní eukleidovskévzdálenosti (obr. 2.8.2).

Poznamenejme ještě, že

limA→P

d(AB)K =∞ a limB→Q

d(AB)K =∞,

a proto ačkoliv má K-přímka AB eukleidovskou délku nejvýše 2r, K-délkynabývají všech kladných reálných hodnot.

Shodnost úhlů bychom opět mohli zavést pomocí shodnosti úseček: jestližeBA ∼=K ED, BC ∼=K DF , AC ∼=K DF , potom ∠ABC ∼=K ∠DEF .

V Beltrami-Kleinově modelu jsou splněny axiómy incidence, uspořádání, shod-nosti a spojitosti, a proto se jedná o model absolutní geometrie.

Navíc se ukazuje, že Beltrami-Kleinův model vykazuje hyperbolickou vlastnosttýkající se nerůznoběžek vedených k dané přímce p daným bodem P 6∈ p (obr.2.8.3).

42


γ

P

p

Obr. 2.8.3

Model M4 — tzv. Poincarého polorovinový model

Rovinou H2 rozumíme nadále otevřenou eukleidovskou polorovinu

H2 = {[x, y] ∈ E2; y > 0}.

P-body (tj. body Poincarého modelu) jsou všechny body otevřené polorovinyH2.

P-přímkami (tj. přímkami Poincarého modelu) rozumíme:

• jednak otevřené polopřímky, které vzniknou jako průniky eukleidov-ských přímek x = konst. s polorovinou H2;

• jednak otevřené polokružnice, které vzniknou jako průniky eukleidov-ských kružnic, jejichž středy leží na ose x, s polorovinou H2.

Vztahům incidence a mezi ponecháme smysl, jaký mají v obyčejné rovině.

Shodnost úseček zavedeme tak, že P-úsečky AB a CD jsou P-shodné,jestliže mají stejnou P-délku, kterou definujeme vztahem

d(AB)P =

∣∣∣∣ln tg ϕ12

tg ϕ22

∣∣∣∣ ,

kde ϕ1 je úhel, který svírá polopřímka OA (O střed kružnice procházejícíbody A, B ležící na ose x) s osou x a ϕ2 je úhel, který svírá polopřímka OBs osou x (obr. 2.8.5).

Opět platí, že

limA→P

d(AB)P =∞ a limB→Q

d(AB)P =∞,

43


a proto P-délky nabývají všech kladných reálných hodnot.

a

q p

PR

X AB C

Q

Obr. 2.8.4

B

A

C

ϕ1

ϕ2

O

Obr. 2.8.5

Shodnost úhlů koresponduje s běžnou shodností v eukleidovské rovině. Mě-řit P-úhly mezi dvěma P-přímkami znamená měřit eukleidovské úhly mezidvěma tečnami k daným dvěma P-přímkám v jejich průsečíku.

V Poincarého polorovinovém modelu jsou splněny axiómy incidence, uspořá-dání, shodnosti a spojitosti, a proto se jedná o model absolutní geometrie.

Opět se ukazuje, že i Poincarého polorovinový model vykazuje hyperbolickouvlastnost týkající se nerůznoběžek vedených k dané přímce p daným bodemP 6∈ p (obr. 2.8.6).

pP

Obr. 2.8.6

Model M5 — tzv. Poincarého kruhový model

Uvažujme opět obyčejnou eukleidovskou rovinu v běžném slova smyslu a v nízvolme kruh Γ (kružnici γ).

44


Rovinou H2 rozumíme stejně jako v Beltrami-Kleinově modelu int Γ.

P-body jsou všechny body vnitřku kruhu H2.

P-přímkami rozumíme:

• jednak všechny průměry kruhu Γ bez krajních bodů;

• jednak otevřené kruhové oblouky, které vzniknou jako průniky H2 a eu-kleidovských kružnic, jež ortogonálně protínají hraniční kružnici kruhuΓ.

Vztahům incidence a mezi ponecháme smysl, jaký mají v obyčejné rovině.

PQ

a

X

R

A

BC

p

qγ

b

Obr. 2.8.7

A

B

C

γ

P

Q

Obr. 2.8.8

Shodnost úseček zavedeme tak, že P-úsečky AB a CD jsou P-shodné,jestliže mají stejnou P-délku, kterou definujeme vztahem

d(AB)P =

∣∣∣∣ln(|AP ||AQ|

· |BQ||BP |

)∣∣∣∣ ,

kde P , Q jsou krajní body oblouku (ev. průměru), na němž leží P-úsečka AB(P ∗ A ∗ B ∗ Q), a kde |AP |, |AQ|, |BQ|, |BP | jsou standardní eukleidovskévzdálenosti (obr. 2.8.8).

Opět platí, že

limA→P

d(AB)P =∞ a limB→Q

d(AB)P =∞,

a proto P-délky nabývají všech kladných reálných hodnot.

45


Shodnost úhlů koresponduje stejně jako v předcházejícím Poincarého mo-delu s běžnou shodností v eukleidovské rovině, a proto měřit P-úhly mezidvěma P-přímkami znamená opět měřit eukleidovské úhly mezi dvěma teč-nami k daným dvěma P-přímkám v jejich průsečíku.

V Poincarého kruhovém modelu jsou splněny axiómy incidence, uspořádání,shodnosti a spojitosti, a proto se jedná o model absolutní geometrie.

Rovněž Poincarého kruhový model vykazuje hyperbolickou vlastnost týkajícíse nerůznoběžek vedených k dané přímce p daným bodem P 6∈ p (obr. 2.8.9).

γ

P

p

Obr. 2.8.9

2.9 Axióm rovnoběžnosti. Eukleidovská geometrie

Skutečnost, že absolutní geometrii [I, U, S,D] lze znázornit pomocí modelů sjedinou nerůznoběžkou (M1, M2) i modelů s více nerůznoběžkami (M3, M4,M5), je nejlepším důkazem nezávislosti 5. Eukleidova postulátu na předcháze-jících čtyřech postulátech. V Hilbertově axiomatické soustavě je 5. Eukleidůvpostulát nahrazen tzv. axiómem rovnoběžnosti, který, jak ukážeme, je s nímovšem ekvivalentní. Takovýchto vět ekvivalentních s 5. Eukleidovým postulá-tem je celá řada. Mnohé z nich byly kdysi nevědomky brány za samozřejméa byl pomocí nich proveden „důkazÿ 5. postulátu — nebyl to však skutečnýdůkaz, neboť se opíral o to, co měl ve skutečnosti dokázat. Tyto domnělé„důkazyÿ však měly svoji cenu, neboť objevovaly nové věty ekvivalentní spostulátem o rovnoběžkách.

Axióm rovnoběžnosti

(R) V rovině lze každým bodem mimo přímku vést nejvýše jednu s ní seneprotínající přímku.

46


DEFINICE 2.9.1: Geometrie [I, U, S,D,R] se nazývá eukleidovská geome-trie.

Spojením již dokázané věty absolutní geometrie 2.7.7 (str. 40) a axiómu (R)dostáváme větu:

Věta 2.9.1: V rovině lze každým bodem mimo přímku vést právě jednu s níse neprotínající přímku. �

DEFINICE 2.9.2: Jestliže lze vést daným bodem mimo přímku jednu nerůz-noběžku, potom ji nazýváme rovnoběžka. �

Věta 2.9.2: (Věty ekvivalentní s axiómem rovnoběžnosti) Následujícívěty jsou ekvivalentní:

• 5. Eukleidův postulát

• Existuje eukleidovský trojúhelník. (Součet velikostí vnitřních úhlů v troj-úhelníku je 180◦.)

• Existuje eukleidovský čtyřúhelník. (Součet velikostí vnitřních úhlů večtyřúhelníku je 360◦.)

• Existuje alespoň jeden pár trojúhelníků s odpovídajícími shodnými úhlya neshodnými stranami.

• Pythagorova věta.

• Každým vnitřním bodem úhlu lze vést alespoň jednu přímku protínajícíobě ramena mimo vrchol.

• Existují alespoň tři body, které jsou stejně vzdáleny od přímky, leží vtéže polorovině a jsou kolineární.

• Existuje bod stejně vzdálený od tří nekolineárních bodů. (Každému troj-úhelníku lze opsat kružnici.)

• Existuje alespoň jeden pár různých přímek té vlastnosti, že body jedné znich mají od druhé vzdálenosti shora omezené. �

Důkaz: Za všechny provedeme alespoň důkaz ekvivalence 5. Eukleidova po-stulátu a axiómu rovnoběžnosti.

(R): V rovině lze každým bodem mimo přímku vést nejvýše jednu s ní seneprotínající přímku.

(P-5): A když přímka protínajíc dvě přímky tvoří na téže straně přilehlé úhlymenší dvou pravých, ty dvě přímky prodlouženy jsouce do nekonečna že sesbíhají na té straně, kde jsou úhly menší dvou pravých.

47


p

B

A

b

a

C

F

E

D

Obr. 2.9.1

P

A

C

D

B

Obr. 2.9.2

(=⇒) (obr. 2.9.1)Platí (R). Na příčce p dvou přímek a, b zvolme bod C tak, že C ∗A ∗B, kdeA ∈ a a B ∈ b. Dále na přímce a zvolíme bod D a v polorovině ABD bod Etakový, že ∠DAB + ∠EBA < 2R. Buď F bod v polorovině ABD takový, že∠DAC ∼= ∠FBA. Přímky BF a BE jsou různé, přičemž BF je přímka jdoucíbodem B, která je s AD nerůznoběžná (věta o souhlasných úhlech). Podle (R)je navíc jediná (!), a proto se AD a BE protínají.

(⇐=) (obr. 2.9.2)Platí (P-5). Budiž dána přímka AB a mimo ni bod P . Uvažujme dále bodC takový, že C ∗ A ∗ P . V téže polorovině s hraniční přímkou AP zvolmebody B, D tak, aby ∠CAB ∼= ∠APD. Potom přímky AB a PD jsou nerůz-noběžné (věta o souhlasných úhlech) a současně platí ∠PAB +∠APD = 2R.Každá další přímka procházející bodem P různá od PD s příčkou AP tvořína téže straně přilehlé úhly menší dvou pravých, a proto podle (P-5) přímkuAB protíná. Takže PD je jediná nerůznoběžka vedená bodem P . Q.E .D.

2.10 Několik poznámek k neeukleidovským geometriím

Přestože je neeukleidovská geometrie produktem 19. století, svými kořeny saháo dvě tisíciletí zpátky. K jejímu objevu totiž došlo při řešení tzv. problémurovnoběžek, který se táhl historií matematiky od Eukleidových dob. A taksnaha dokázat 5. Eukleidův postulát vedla nejen k objevu jeho nezávislosti,ale rovněž i k objevu neeukleidovských geometrií.

Prvními knihami o neeukleidovské geometrii publikovanými tiskem byla jed-nak kniha N. I. Lobačevského O načalach geometrii (1829), jednak spis J.Bolyaie Appendix scientiam spatii absolute veram exhibens (1832). Ačkolivšlo o převratný objev, obě díla zůstala bohužel delší dobu bez povšimnutí. Si-

48


tuace se změnila, když několik let po smrti velkého matematika C. F. Gausse(v té době však již i po smrti Lobačevského) vyšel druhý svazek Gaussovykorespondence (1860), v němž byly mimo jiné uveřejněny i jeho dopisy, vekterých vysoko hodnotil práce Lobačevského a Bolyaie. Z uveřejněných do-pisů bylo vidět, že Gauss sám nezávisle dospěl k podobným výsledkům jakooni. Neeukleidovská geometrie se hned stala předmětem zájmu.

Vraťme se zpátky k absolutní geometrii. Jakmile jsme axiomaticky popsali ab-solutní geometrii, chyběl nám již jen krůček k tomu, abychom popsali geomet-rii eukleidovskou— stačilo přidat axióm rovnoběžnosti. Přidáme-li k axiómům[I, U, S,D] naopak negaci axiómu rovnoběžnosti, začneme vytvářet novou ge-ometrii, která se dnes nazývá Lobačevského neeukleidovská geometrie,popř. hyperbolická geometrie.

Axióm Lobačevského geometrie (non R)(L): V rovině prochází bodem mimo přímku alepoň dvě různé s ní se nepro-tínající přímky.

p

P

Obr. 2.10.1

Ovšem je takto budovaný geometrický systém, který na první pohled odpo-ruje naší každodenní zkušenosti, bezesporný? Nedostaneme se v určité fázi dosituace, kdy dokážeme dvě věty, které budou tvrdit opak? Toto je otázkameta-matematiky, tj. otázka o celém matematickém systému mimo systém samotný.Platí však následující věta, která říká, že „důvěryhodnostÿ Lobačevského ge-ometrie je právě taková jako geometrie Eukleidovy:

Věta 2.10.1: Jestliže je eukleidovská geometrie bezesporná, potom je beze-sporná i hyperbolická geometrie. �

Některé věty hyperbolické geometrie lze odvodit velice jednoduše pouhou ne-gací vět ekvivalentních a axiómem rovnoběžnosti:

Věta 2.10.2: Součet vnitřních úhlů v trojúhelníku je menší než 2R. �

Věta 2.10.3: Součet vnitřních úhlů ve čtyřúhelníku je menší než 4R. �

49


Věta 2.10.4: Neexistují trojúhelníky se shodnými odpovídajícími úhly, kteréby měly odpovídající strany neshodné. (Dva trojúhelníky jsou shodné, jestližemají shodné odpovídající úhly.) �

Věta 2.10.5: Existuje kolmice na rameno ostrého úhlu, která neprotne druhérameno. �

Věta 2.10.6: Všechny body ležící v téže polorovině s danou hraniční přím-kou ve stejné vzdálenosti od ní neleží na přímce. (Ekvidistanta přímky nenípřímka.) �

Věta 2.10.7: Existují tři nekolineární body, jež neleží na žádné kružnici(Existuje trojúhelník, jemuž nelze opsat kružnici.) �

Proveďme si klasifikaci dvojic přímek v hyperbolické rovině H2. Podle jejichincidenčních vlastností budeme rozeznávat tři typy: přímky různoběžné a ne-různoběžné, které se dále dělí na souběžné a rozběžné. Již víme, že danýmbodem lze vždy sestrojit alespoň dvě nerůznoběžky. Platí však silnější tvr-zení:

Věta 2.10.8: V rovině prochází bodem mimo danou přímku nekonečně mnohopřímek, které danou přímku neprotínají. �

Mezi nekonečně mnoha přímkami, kterých se týká předcházející věta, jsoudvě, jež hrají v Lobačevského geometrii významnou úlohu. Můžeme k nimpřijít pomocí následujícího rozboru: nechť je dána přímka p a bod P mimo ni.Všechny přímky procházející bodem P rozdělíme do dvou tříd tak, že v jednéjsou různoběžky a v druhé nerůznoběžky. Hranici mezi oběma třídami tvořídvě přímky, které neprotínají p — jedná se o dvojici přímek, které se vůčip chovají jako asymptoty. Budeme je nazývat souběžky. Všechny ostatnínerůznoběžky budeme označovat jako rozběžky.

p

P

Obr. 2.10.2

50


Modely M3 (Beltrami-Kleinův), M4 (Poincarého polorovinový) a M5 (Poin-carého kruhový) jsou modely hyperbolické geometrie, jak jsme již uvedli, aplatí v nich všechny výše uvedené věty. Následující obrázky ukazují znázor-nění souběžek a rozběžek v jednotlivých modelech:

γ

P

p

Obr. 2.10.3

pP

Obr. 2.10.4

γ

Pp

Obr. 2.10.5

Každým dvěma asymptoticky se chovajícím přímkám (soubežkám) přiřadilLobačevský tzv. úhel souběžnosti.

DEFINICE 2.10.1: Buďte p, q dvě souběžky. Zvolme na přímce q bod Q anechť P je průsečík kolmice k vedené na přímku p z bodu Q. Ostrý nebo pravýúhel mezi přímkami q, k nazveme úhel souběžnosti bodu Q vzhledem kpřímce p. Označujeme jej π(d), kde d je vzdálenost bodu Q od přímky p. �

51


p

Q

P

q

π(d)d

Obr. 2.10.6

Pro úhel souběžnosti objevil Lobačevský funkci

tgπ(x)2= a−x, kde a > 0 je libovolná konstanta.

Všimněme si závislosti úhlu souběžnosti π(x) na délce x

limx→0

π(x) =π

2;

limx→∞

π(x) = 0;

neboli slovy — úhel souběžnosti konverguje k nule, jestliže příslušná vzdá-lenost roste nade všechny meze, a úhel souběžnosti konverguje k R, jestližepříslušná vzdálenost konverguje k nule.

Zdůrazněme ještě, že v eukleidovské geometrii je úhel souběžnosti pro všechnyvzdálenosti R, a proto se neeukleidovská geometrie tím více podobá euklei-dovské, čím menší je část neeukleidovského prostoru, na níž tuto geometriiomezíme.

Platí-li např. ve vesmíru hyperbolická geometrie, potom se geometrie v ob-lasti nám dostupné (ve srovnání s vesmírem mající zanedbatelné vzdálenosti)prakticky neliší od geometrie eukleidovské.

Z Lobačevského formule však plyne ještě jeden neméně důležitý závěr —délky úseček mají absolutní míru! Úhly mají absolutní míru jak v hyper-bolické, tak v eukleidovské geometrii, neboť lze udat konstrukci úhlu určitévelikosti (např. pravého úhlu) takovou, že všechny sestrojené úhly budou vždynavzájem shodné. V Eukleidově geometrii však nelze udat konstrukci úsečkyurčité délky, která by se opírala jen o axiómy geometrie. Vždy musí být dána

52


ještě určitá úsečka braná jako měřítko (etalon). Oproti tomu v Lobačevskéhogeometrii existuje vzájemně jednoznačná korespondence mezi velikostmi úhlůa délkami úseček tg π(x)

2 = a−x, a proto lze udat univerzální, obecně platnoukonstrukci úsečky určité délky pomocí konstrukce určitého úhlu — např. vez-meme úhel R/2 a na jedno jeho rameno vedeme kolmici, která bude souběžnás druhým ramenem; pata této kolmice spolu s vrcholem úhlu určuje hledanouúsečku (absolutní jednotku délky).

Na závěr poznamenejme, že v druhé polovině 19. století se objevila ještě jednaneeukleidovská geometrie, a to geometrie Riemannova. V roce 1854 (Überdie hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen) přišel B. Riemannpomocí diferenciálně-geometrických úvah na obecnou metrickou geometrii,která zahrnovala vedle geometrie Lobačevského a Eukleidovy ještě jednu geo-metrii, která se dnes nazývá jeho jménem. Riemannova geometrie nevychází zabsolutní geometrie [I, U, S,D], a proto s ní má eukleidovská geometrie ještěméně společných vět než s geometrií hyperbolickou. V Riemannově geometriinapř. se vždy protínají dvě kolmice na společnou přímku, což má za následek,že zde neexistují nerůznoběžky a že součet úhlů v trojúhelníku je větší než 2R.Další zvlášností je, že přímky se chovají jako uzavřené křivky a mají konečnoudélku. Modelem riemannovské roviny může být např. kulová plocha, jestliže zaR-přímky vezmeme hlavní kružnice (kružnice na ploše, jejichž střed splývá sestředem kulové plochy), které se však vždy protínají ve dvou bodech kulovéplochy, a proto R-bodem rozumíme dvojici bodů souměrných podle středukulové plochy.

Jinou klasifikaci geometrií na základě grupově-kinematickém provedl F.Klein (tzv. Erlangenský program, 1872). Základem jeho úvah byla snahacharakterizovat každou geometrii pomocí grupy geometrických transformací,které zachovávají typické vlastnosti dané geometrie. Např. eukleidovskou ro-vinu asocioval s grupou shodností (zobrazení zachovávající eukleidovskouvzdálenost

√(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 dvou bodů [x1, y1], [x2, y2]); Lobačev-

ského geometrii asocioval s grupou transformací, které zobrazují jednotkovoukružnici na sebe samu; obdobným postupem získal i geometrii Riemannovu.Podle Kleina se také pro Lobačevského geometrii používá název hyperbolickáa pro Riemannovu eliptická.

53


3 Elementární geometrické objekty v rovině avztahy mezi nimi

3.1 Základní pojmy

Část geometrie, která se zabývá geometrickými útvary v rovině se označujejako planimetrie. Systematickému budování rovinné geometrie na logickémpodkladě jsme se věnovali již v kapitole věnované axiomatické metodě v geo-metrii, kde jsme zavedli pojem eukleidovská geometrie pro geometrii po-psanou axiómy incidence, uspořádání, shodnosti, spojitosti a rovnoběžnosti;rovinu, ve které se pohybujeme označujeme potom eukleidovská rovina aznačíme ji E (resp. E2).

V úvodní kapitole jsme se již setkali s některými elementárními geometrickýmiobjekty. Jak víme, základními útvary rovinné geometrie jsou bod a přímka.Bod, ani přímku nedefinujeme. Primitivním pojmem je rovněž pojem inci-dence (Bod inciduje s přímkou, popř. přímka inciduje s bodem; ve významu:Bod leží na přímce, popř. přímka prochází bodem — značíme A ∈ p, popř.p 3 A). Dalším primitivním pojmem je pojem uspořádání bodů na přímce(Bod B leží mezi body A, C; popř. bod B odděluje body A, C — značímeA ∗B ∗ C).

Množinu bodů na přímce nebo v rovině nazýváme geometrický útvar. Uza-vřenou oblast v rovině nazýváme obrazec.

BodBod označujeme obvykle písmenem velké latinské abecedy (A, P , X, . . . ).

Dva body A, B jsou navzájem různé (A 6= B), nebo totožné (A = B).

Tři různé body buďto neleží v přímce (jsou nekolinární); anebo leží v přímce(jsou kolinární).

PřímkaPřímku označujeme obvykle písmenem malé latinské abecedy (a, p, x, . . . )nebo dvojicí různých bodů na přímce (přímka AB, přímka PQ, přímka MN ,. . . ; popř. symbolicky ↔AB, ↔PQ, ↔MN , . . . ).

Dvě přímky a, b v rovině jsou navzájem

a) různoběžné (a 6‖ b), mají-li jediný společný bod — průsečík;

b) rovnoběžné různé (a ‖ b), nemají-li žádný společný bod;

c) splývající (totožné) (a = b) mají-li všechny body společné.

54

3. Elementární geometrické objekty v rovině a vztahy mezi nimi

Svazek přímek, značíme S(a, b, c, . . .), je množina všech přímek v rovině,které mají společný bod S — tzv. střed svazku (obr. 3.1.1).

S

Obr. 3.1.1

s

Obr. 3.1.2

Směr s je množina všech navzájem rovnoběžných přímek; vztah přímka análeží směru s značíme a ∈ s (obr. 3.1.2).

PolopřímkaBod O dělí přímku p na dvě navzájem opačné polopřímky se společnýmpočátkem O. Je-li bod A vnitřní bod polopřímky (tj. A 6= O), potomtuto polopřímku značíme polopřímka OA, popř. stručně 7→OA. Opačná polo-přímka k polopřímce OA se značí ←OA. Jestliže pro dvě polopřímky na téžepřímce platí 7→OA ⊂7→OB, anebo 7→OB ⊂7→OA, potom říkáme, že majístejný smysl.

Dvě polopřímky 7→AB ⊂ p a 7→CD ⊂ q na dvou různých rovnoběžkách p, qmohou být

a) souhlasně rovnoběžné — vedeme-li bodem B přímku rovnoběžnou spřímkou AC, potom protne polopřímku CD (obr. 3.1.3);

b) nesouhlasně rovnoběžné— vedeme-li bodem B přímku rovnoběžnous přímkou AC, potom protne polopřímku opačnou k polopřímce CD(obr. 3.1.4).

A B

C D

p

q

Obr. 3.1.3

A B

CD

p

q

Obr. 3.1.4

55


ÚsečkaÚsečkou AB nazýváme průnik dvou polopřímek 7→AB, 7→BA (obr. 3.1.5)— značíme úsečka AB, popř. pouze AB. Body A, B nazýváme krajní bodyúsečky AB; ostatní body se nazývají vnitřní body úsečky AB.

Otázka shodnosti úseček (značíme AB ∼= CD) a grafického součtu (popř.rozdílu) úseček byla řešena v kapitole týkající se axiómů shodnosti. Proble-matikou míry úsečky jsme se zabývali v kapitole věnované axiómům spoji-tosti (délku, popř. velikost úsečky značíme |AB|).

A B

ABBA

Obr. 3.1.5

A B

o

S

Obr. 3.1.6

Středem úsečky AB nazýváme bod S úsečky AB, pro který platí AS ∼= BS.

Osou úsečky AB nazýváme přímku o, která prochází středem úsečky AB aje k ní kolmá (obr. 3.1.6).

PolorovinaPřímka p =↔ AB dělí rovinu na dvě navzájem opačné poloroviny sespolečnou hraniční přímkou AB. Je-li bod X vnitřní bod poloroviny(tj. X 6∈ p), potom tuto polorovinu značíme polorovina ABX, popř. stručně7→ABX nebo 7→pX. Opačná polorovina k polorovině ABX se značí← ABX.

PásPásem určeným přímkami p, q rozumíme průnik dvou polorovin pB a qA,jejichž hraniční přímky p, q jsou rovnoběžné a A ∈ p, B ∈ q.

A

B

p

q

o

Obr. 3.1.7

56


Konvexní a nekonvexní množiny bodůMnožinu bodů nazveme konvexní, jestliže pro každé dva její body X, Yplatí, že úsečka XY je její podmnožinou (obr. 3.1.8). Prázdnou množinu ajednobodové množiny řadíme mezi konvexní množiny. Množina bodů, kteránení konvexní, se nazývá nekonvexní (obr. 3.1.9).

Obr. 3.1.8Obr. 3.1.9

Příklady konvexních množin, kterými jsme se již zabývali, jsou přímka, úsečka,polopřímka, polorovina a pás.

Průnik konečného počtu konvexních množin bodů je konvexní množina bodů.

ÚhelV kapitole věnované axiómům uspořádání jsme zavedli pojem úhlu následovně:průnik polorovin AV B a BV A nazýváme úhel. Uvedená definice se však týkájen jednoho speciálního typu úhlu. Na tomto místě je vhodné zavést pojemúhlu obecněji.

Konvexním úhlem AV B rozumíme:

1. průnik polorovin AV B a BV A v případě, že body A, V , B jsou třinekolineární body; tento úhel se rovněž označuje jako tzv. dutý úhel(obr. 3.1.10);

2. každou z polorovin s hraniční přímkou AB v případě, že body A, V , Bjsou tři různé kolineární body a bod V leží mezi body A, B (tj. A∗V ∗B);tento úhel se rovněž označuje jako tzv. přímý úhel (obr. 3.1.11);

A

B

V

Obr. 3.1.10

A

V

B

Obr. 3.1.11

57


3. v případě, že body A, V , B jsou tři různé kolineární body a bod V neležímezi body A, B,

(a) každou rovinu obsahující přímku AB; tento úhel se rovněž označujejako tzv. plný úhel (obr. 3.1.12);

(b) polopřímku V A (resp. V B); tento úhel se rovněž označuje jako tzv.nulový úhel (obr. 3.1.13).

AV B

Obr. 3.1.12

AV B

Obr. 3.1.13

Jestliže jsou A, V , B tři nekolineární body, potom se sjednocení polorovinopačných k polorovinám AV B a BV A nazývá nekonvexní úhel AV B (obr.3.1.14).

A

B

V

Obr. 3.1.14

Ve všech případech se polopřímky V A a V B nazývají ramena úhlu, bod Vvrchol úhlu, body úhlu neležící na ramenech označujeme jako body vnitřkuúhlu a body roviny, které nepatří do úhlu AV B, jako body vnějšku úhlu.

Pro konvexní úhel AV B používáme označení ∠AV B, pro nekonvexní úhelAV B označení ∠AV B. Je zřejmé, že konvexní (resp. nekonvexní) úhly jsoukonvexními (resp. nekonvexními) množinami bodů. Není-li uvedeno jinak, pakvždy pod pojmem úhel budeme rozumět úhel konvexní (resp. ještě přesnějiúhel dutý).

Otázka shodnosti úhlů (značíme ∠AV B ∼= ∠CUD) a grafického součtu(popř. rozdílu) úhlů byla řešena v kapitole týkající se axiómů shodnosti.

58


Problematikou míry úhlu jsme se zabývali v kapitole věnované axiómůmspojitosti (velikost úhlu značíme |∠AV B|).Osou úhlu AV B nazýváme polopřímku V C, která vychází z vrcholu V úhluAV B a tento úhel půlí tak, že platí ∠AV C ∼= ∠CV B.

V

A

B

Co

Obr. 3.1.15

Dvojice úhlů

Dva úhly v rovině se nazývají styčné, jestliže mají jedno rameno společnéa zbývající dvě ramena leží v opačných polorovinách vymezených hraničnípřímkou, v níž leží společné rameno (obr. 3.1.16).

Dva úhly v rovině se nazývají vedlejší, jestliže mají jedno rameno společnéa zbývající dvě ramena jsou polopřímky navzájem opačné (obr. 3.1.17).

Dva úhly v rovině se nazývají vrcholové, jestliže mají společný vrchol a jsou-liramena jednoho úhlu opačnými polopřímkami k ramenům druhého úhlu (obr.3.1.18). Vrcholové úhly jsou shodné.

V

A

C

B

Obr. 3.1.16

V

A

C B

Obr. 3.1.17

V A

B

A’

B’

Obr. 3.1.18

Obr. 3.1.19

a

b

P

Obr. 3.1.20

59


Úhel shodný se svým úhlem vedlejším se nazývá pravý (obr. 3.1.19). Značímejej obloučkem s tečkou, popř. písmenem R. Dvě různoběžné přímky a, b tvořícíshodné vedlejší (tj. pravé) úhly jsou k sobě kolmé, což zapisujeme a ⊥ b.Průsečík P kolmých přímek a, b nazýváme pata kolmice (obr. 3.1.20).

Jsou dány různé přímky a, b proťaté přímkou p zvanou příčka v bodech A,B. Přímky vytvářejí čtyři úhly s vrcholem A (α1, α2, α′1, α

′2) a čtyři úhly s

vrcholem B (β1, β2, β′1, β′2) (obr. 3.1.21)

Souhlasné úhly (dvojice α1, β1, resp. α′1, β′1, resp. α2, β2, resp. α

′2, β

′2) leží

na téže straně příčky p i přímek a, b.Střídavé úhly (dvojice α1, β′2, resp. α

′1, β2, resp. α2, β

′1, resp. α

′2, β1) leží

na opačných stranách příčky p i přímek a, b.Přilehlé úhly (dvojice α1, β2, resp. α2, β1, resp. α′1, β

′2, resp. α

′2, β

′1) leží na

téže straně příčky p a opačných stranách přímek a, b.

A

B

p

a

b

α1

β1

α2

β2

α’2

β’2

α’1

β’1

Obr. 3.1.21

a

b

p

Obr. 3.1.22

Každé dva souhlasné úhly i každé dva střídavé úhly jsou shodné, právě kdyžjsou přímky a, b rovnoběžné (obr. 3.1.22).

Klasifikace úhlů

Klasifikace úhlů podle jejich velikostí ve stupňové (resp. obloukové míře) míře:

– nulový úhel (α = 0◦; resp. α = 0)

– ostrý úhel (0◦ < α < 90◦; resp. 0 < α < π2 )

– pravý úhel (α = 90◦; resp. α = π2 ); značíme jej R

– tupý úhel (90◦ < α < 180◦; resp. π2 < α < π)

– přímý úhel (α = 180◦; resp. α = π); značíme jej 2R

– nekonvexní úhel (180◦ < α < 360◦; resp. π < α < 2π)

– plný úhel (α = 360◦; resp. α = 2π); značíme jej 4R

60


Orientovaný úhel

Orientovaný úhel v rovině je uspořádaná dvojice polopřímek V A, V B sespolečným počátkem V , přičemž polopřímka V A, resp. V B se nazývá počá-teční, resp. koncové rameno a bod V se nazývá vrchol orientovanéhoúhlu. Jestliže →V A 6=→V B, potom ∠AV B 6= ∠BV A.

Z definice je patrné, že na rozdíl od neorientovaného úhlu není orientovanýúhel částí roviny, ale skládá se jen ze dvou polopřímek.

α π+2kα

V A A

BB BVAAVB

Obr. 3.1.23

Velikostí orientovaného úhlu rozumíme velikost neorientovaného úhlu (vmíře stupňové, obloukové, . . . ), jehož všemi body proběhne počáteční ramenoV A při otočení do polohy koncového ramena V B. Děje-li se otáčení v klad-ném smyslu (proti směru hodinových ručiček), je velikost orientovaného úhlukladná, v opačném případě je záporná.

Je vidět, že za velikost orientovaného úhlu je možné vzít kterékoliv z čísel

α+ k · 360◦, resp. α+ 2kπ,

kde k je celé číslo a pro úhel α platí 0◦ 5 α < 360◦, resp. 0 5 α < 2π —velikost α se nazývá základní velikost orientovaného úhlu.

VzdálenostVzdáleností dvou bodů A, B rozumíme velikost úsečky AB.

Vzdáleností bodu A od přímky p nazýváme vzdálenost bodu A od patykolmice vedené z bodu A k přímce p (budeme značit |A, p|).Vzdáleností dvou rovnoběžných přímek a, b nazýváme vzdálenost libo-volného bodu jedné přímky od druhé přímky (budeme značit |a, b|). Vzdále-nost dvou splývajících a různoběžných přímek je nulová.

OdchylkaOdchylkou dvou přímek a, b nazýváme velikost nulového, ostrého nebopravého úhlu, který má libovolně zvolený vrchol V a ramena na přímkáchprocházejících bodem V rovnoběžně s přímkami a, b (budeme značit |∠a, b|).Z uvedené definice je patrné, že odchylka dvou rovnoběžek je 0◦.

61


Dělicí poměr uspořádané trojice bodůDělicím poměrem bodu C na přímce vzhledem k základním bodům A, B(B 6= C) rozumíme číslo

λ = (ABC) = ε|AC||BC|

,

kde ε = −1, resp. ε = 1, jestliže bod C leží, resp. neleží mezi body A, B.

A Bλ>10<λ<1 λ<0

λ=0 λ neexistuje

Obr. 3.1.24

Hledejme body s dělicími poměry 0 a ±1 vzhledem k základním bodům A, B:

• Jestliže A = C, potom |AC| = 0, a proto i (ABC) = 0.

• Střed úsečky S leží mezi body A, B, tj. ε = −1, a současně |AS| = |BS|,a proto (ABS) = −1.• Obdobně se ptáme, zda lze najít bod X takový, že (ABX) = 1. Jelikož(ABX) > 0, bod X neleží mezi body A, B. Označíme-li |AB| = d(d 6= 0) a v případě A ∗ B ∗ X (resp. X ∗ A ∗ B) |BX| = x (resp.|XA| = x), potom

(ABX) =d+ x

x, (resp. (ABX) =

x

d+ x).

Ovšem vzhledem k tomu, že pro všechna x ∈ R+ je d+xx 6= 1 (resp.

xd+x 6= 1), v eukleidovské rovině neexistuje bod, který by měl k základnímbodům dělicí poměr roven 1.

Každému číslu λ 6= 1 odpovídá jediný(!) bod C na přímce ↔AB takový, že(ABC) = λ.

Označme (ABC) = λ, potom platí: (BAC) = 1λ ; (ACB) = 1 − λ; (CAB) =

11−λ ; (BCA) = λ−1

λ ; (CBA) = λλ−1 .

Dvojpoměr uspořádané čtveřice bodůDvojpoměrem čtyř bodů A, B, C,D (v tomto pořadí) na přímce rozumímečíslo

(ABCD) =(ABC)(ABD)

, kde (ABD) 6= 0.

Jestliže (ABCD) = −1, potom body A, B, C, D názýváme harmonickáčtveřice bodů přímky — body A, B označujeme jako základní body;bod C (resp. D) jako vnitřní (resp. vnější) dělicí bod.

62


PromítáníMějme dány dvě různé přímky p a p′. Na přímce p zvolme různé body A, B,C,. . . a na přímce p′ zvolme různé body A′, B′, C ′,. . .Jestliže je poloha těchto bodů taková, že přímky AA′, BB′, CC ′,. . . jsounavzájem rovnoběžné, potom říkáme, že body A′, B′, C ′,. . . jsou rovno-běžné průměty bodů A, B, C,. . . na přímku p′. Směr přímek AA′, BB′,CC ′,. . . nazýváme směr promítání (obr. 3.1.25).Je-li poloha těchto bodů taková, že přímky AA′, BB′, CC ′,. . . procházejí týmžbodem S , potom říkáme, že body A′, B′, C ′,. . . jsou středové průměty bodůA, B, C,. . . na přímku p′. Bod S nazýváme střed promítání (obr. 3.1.26).

A BC

A’ B’C’

p

p’

Obr. 3.1.25

A B C

A’ B’ C’

p

p’

S

Obr. 3.1.26

Dělicí poměr se rovnoběžným promítáním nemění.

Snadno bychom se přesvědčili, že dělicí poměr není invariantní (tj. neměnný)vůči středovému promítání. Promítáme-li body A,B,C, D ∈ p na přímku p ‖p, potom se sice dělicí poměr zachovává, ale při promítání na různoběžnoupřímku p′ již invariantní není. Invariantem jak středového, tak rovnoběžnéhopromítání je dvojpoměr čtyř bodů.

Pappova věta: Jsou-li A′, B′, C ′, D′ rovnoběžné nebo středové průměty čtyřnavzájem různých bodů A, B, C, D přímky p na přímku p′ 6= p, potom

(ABCD) = (A′B′C ′D′).

A BC

A’=A B’ C’

p

p’S

D

D’

B D pC

Obr. 3.1.27

63


3.2 Kružnice, kruh

Každý bod kružnice má od pevného bodu S danou vzdálenost r > 0 . Bod Sse nazývá střed kružnice, kladné reálné číslo r (popř. úsečku o délce r, jejímžjedním krajním bodem je střed kružnice a druhým krajním bodem je libovolnýbod kružnice) nazýváme poloměr kružnice.10 Zapisujeme k(S; r). Číslo 2r(popř. úsečka o délce 2r procházející středem kružnice s oběma krajními bodyna kružnici) se nazývá průměr kružnice a označuje se d.11 Úsečka, jejíž obakrajní body leží na kružnici se nazývá tětiva kružnice; průměr je nejdelšítětivou kružnice. Body, jejichž vzdálenost od středu je menší než r, náležejítzv. vnitřku kružnice. Body, jejichž vzdálenost od středu je větší než r,náležejí tzv. vnějšku kružnice.

S rd

k

Obr. 3.2.1

S rd

K

Obr. 3.2.2

Všechny body, jejichž vzdálenost od středu je menší než poloměr nebo rovnapoloměru, náležejí kruhu K(S; r) s hraniční kružnicí k(S, r). O středu, polo-měru a průměru kruhu hovoříme ve stejném významu jako u kružnice. Body,jejichž vzdálenost od středu je menší než r, vytvářejí tzv. vnitřek kruhu.Body, jejichž vzdálenost od středu je větší než r, náležejí tzv. vnějšku kruhu.

Části kružnice, popř. kruhu

S

k

A B

Obr. 3.2.3

S

k

A B

r r

Obr. 3.2.4

S

k

A B

Obr. 3.2.5

Obloukem kružnice nazýváme souvislou část kružnice ohraničenou jejímidvěma různými body. Každé dva různé body kružnice dělí kružnici na dvaoblouky (obr. 3.2.3).

10r — z latinského radius11d — z latinského diameter

64


Kruhovou výsečí rozumíme část kruhu omezenou dvěma poloměry a oblou-kem kružnice (obr. 3.2.4).

Kruhovou úsečí rozumíme část kruhu omezenou tětivou a obloukem kruž-nice (obr. 3.2.5).

Kružnice a přímka

Označme v vzdálenost středu kružnice k(S; r) od přímky p. Přímka p mávzhledem ke kružnici k právě jednu z těchto poloh:

• Je-li v > r, potom přímka p nemá s kružnicí k žádný společný bod a jevnější přímkou kružnice (obr. 3.2.6).

Sk

p

r

Obr. 3.2.6

Sk

pT

r

Obr. 3.2.7

• Je-li v = r, potom má přímka p s kružnici k jediný společný bod T aje tečnou kružnice. Bod T se nazývá bod dotyku. Tečna kružnice jekolmá na poloměr ST . V každém bodě kružnice existuje jediná tečna; zvnějšího bodu lze setrojit ke kružnici dvě tečny (obr. 3.2.7).

• Je-li v < r, potom má přímka p s kružnici k společné právě dva body(tzv. průsečíky) a je sečnou kružnice. Úhel sečny a kružnice jeostrý nebo pravý úhel, který svírá sečna s tečnou v jednom z průsečíků(pro oba průsečíky dostáváme shodné úhly) (obr. 3.2.8). Jestliže svírápřímka p s tečnou v jednom z průsečíků (a tím i s kružnicí k) pravý úhel,říkáme, že přímka a kružnice jsou kolmé (ortogonální). Je zřejmé, žepotom přímka p prochází středem kružnice k (obr. 3.2.9).

S

kp

A

rr

B

ϕ

tA

Obr. 3.2.8

S

k

p

A

r

B

tA

Obr. 3.2.9

65


Dvě kružnice

Dvě kružnice o společném středu se nazývají soustředné. Část roviny ome-zená dvěma soustřednými kružnicemi se nazývá mezikruží.

Dvě kružnice o různých středech se nazývají nesoustředné. Úsečka spojujícístředy nesoustředných kružnic se nazývá středná.

Označme s velikost středné kružnic k1(S1; r1) a k2(S2; r2) (předpokládejmer1 6= r2). Kružnice k1, k2 mají právě jednu z těchto vzájemných poloh:

• Je-li s > r1+ r2, potom kružnice nemají žádný společný bod a leží vněsebe (obr. 3.2.10).

S1S2

k1 k2

Obr. 3.2.10

S1 S2

k1 k2

T

Obr. 3.2.11

• Je-li s = r1 + r2, potom kružnice mají jediný společný bod (bod do-tyku) a dotýkají se vně (obr. 3.2.11).

• Je-li |r1 − r2| < s < r1 + r2, potom kružnice mají společné právě dvabody (tzv. průsečíky) a protínají se. Úhel dvou protínajících sekružnic je ostrý nebo pravý úhel, který svírají tečny v jednom z prů-sečíků (pro oba průsečíky dostaneme shodné úhly) (obr. 3.2.12). Jestližesvírají tečny v jednom z průsečíků (a tím i obě kružnice) pravý úhel, ří-káme, že kružnice jsou kolmé (ortogonální). Je zřejmé, že potom středS1 kružnice k1 leží na tečně kružnice k2 sestrojené v jejich průsečíku arovněž střed S2 kružnice k2 leží na tečně kružnice k1 sestrojené v jejichprůsečíku (obr. 3.2.13).

Aϕ

1tA 2tA

S1S2

k1k2

B

Obr. 3.2.12

A

1tA 2tA

S1 S2

k1

k2

B

Obr. 3.2.13

• Je-li s = |r1 − r2|, potom kružnice mají jediný společný bod (bod do-tyku) a dotýkají se uvnitř(obr. 3.2.14).

66


S1 S2

k1 k2

T

Obr. 3.2.14

S1 S2

k1 k2

Obr. 3.2.15

S S1 2=

k1

k2

Obr. 3.2.16

• Je-li s < |r1 − r2|, potom kružnice nemají žádný společný bod a jednaleží uvnitř druhé (obr. 3.2.15). Sem by se daly zařadit i soustřednékružnice (obr. 3.2.16).

Dvě kružnice mohou mít následující počet společných tečen.

• V případě, že kružnice leží vně sebe, potom mají čtyři společné tečny.Dvě tečny protínající střednou se nazývají vnitřní tečny, dvě tečnyneprotínající střednou se nazývají vnější tečny.• V případě, že kružnice mají vnější dotyk, potom existují tři společnétečny — dvě vnější a jedna ve společném bodě dotyku.• V případě, že se kružnice protínají, potom existují dvě společné tečny—vnější tečny.• V případě, že kružnice mají vnitřní dotyk, potom existuje jedna společnátečna — tečna ve společném bodě dotyku.• V případě, že jedna kružnice leží uvnitř druhé, potom neexistuje žádnáspolečná tečna.

Obr. 3.2.17

O konstrukci společných tečen dvou kružnic se zmíníme v kapitole 4.7.

67


Úhel středový, obvodový a úsekový

Zvolme na kružnici k(S; r) tři různé body A, B, M . Úhel ∠AMB se nazýváobvodový úhel a úhel ∠ASB středový úhel oba příslušné k témuž obloukukružnice s krajními body A, B, jestliže každý bod tohoto oblouku náleží jakúhlu ∠AMB tak i úhlu ∠ASB. Pro pevně zvolený oblouk najdeme jedinýstředový úhel ∠ASB, ale nekonečně mnoho úhlů obvodových ∠AMB.

ϕ

ϕ

ϕ

ω

A

B

M

k

S

YObr. 3.2.18

Úhel ∠BAX (resp. ∠ABY ) tvořený tečnou kružnice v bodě A (resp. B) asečnou AB se nazývá úsekový úhel příslušný k oblouku kružnice s krajnímibody A, B, jestliže každý bod zvoleného oblouku náleží úhlu ∠BAX (resp.∠ABY ). Pro pevně zvolený oblouk najdeme dvojici úsekových úhlů.

Věta 3.2.1: (Základní věta o obvodových úhlech) Všechny obvodovéúhly příslušné k témuž oblouku jsou shodné mezi sebou i úsekovým úhlem pří-slušným k témuž oblouku. Každý obvodový úhel je roven polovině příslušnéhostředového úhlu. �

ϕ1 ϕ2

ϕ1ω1 ϕ2ω2

A

B

Mk

Sϕ

ϕω

A B

Mk

S β

β αω ϕ

A B

M

k

S

Obr. 3.2.19

Důkaz: Důkaz tvrzení ω = 2ϕ (ω — středový úhel ASB, ϕ — obvodový úhelAMB) je nutné provést ve třech částech, a to pro případ, že střed kružnice

68


a) náleží vnitřku obvodového úhlu; b) leží na rameni obvodového úhlu; c)leží vně obvodového úhlu. Poznamenejme jen, že když obvodový úhel AMBpřísluší polokružnici, anebo většímu oblouku s krajními body A a B, potomstřed kružnice S náleží vždy vnitřku obvodového úhlu.

Provedeme pouze důkaz části a), zbytek si můžete vyzkoušet jako cvičení.PřímkaMS rozdělí obvodový úhel ϕ na dva úhly ϕ1+ϕ2 = ϕ a středový úhel ωna dva úhly ω1+ω2 = ω. Trojúhelník AMS (a také BMS) je rovnoramenný12

— |SA| = |SM | = |SB| = r — a proto ∠MAS ∼= ∠AMS (a také ∠MBS ∼=∠BMS). Jelikož součet dvou vnitřních úhlů v trojúhelníku je roven protějšímuvnějšímu úhlu a úhel ω1 (resp. ω2) je vnějším úhlem 4AMS (resp. 4BMS),platí ω1 = 2ϕ1 (resp. ω2 = 2ϕ2). Sečtením dostaneme ω = ω1 + ω2 = 2ϕ1 +2ϕ2 = 2(ϕ1 + ϕ2) = 2ϕ.

Část věty týkající se vztahu obvodového a úsekového úhlu ihned plyne zeskutečnosti, že se jedná o úhly s rameny na sebe kolmými. Q.E .D.

Důsledek 3.2.1. (Thaletova věta) Všechny obvodové úhly sestrojené vkružnici nad průměrem jsou pravé (obr. 3.2.20). �

S

k

Obr. 3.2.20

S

k

A

Obr. 3.2.21

Thaletovu větu používáme při konstrukci tečen kružnice z vnějšího bodu (obr.3.2.21).

3.3 Trojúhelník

Jsou-li dány v rovině tři nekolineární body A, B, C, potom společná částpolorovin ABC, BCA a CAB se nazývá trojúhelník ABC, což symbolickyzapisujeme4ABC. Body A, B, C se nazývají vrcholy trojúhelníka, úsečkyc = AB, a = BC, b = CA se nazývají strany trojúhelníka. Vnitřní úhlytrojúhelníka ABC jsou úhly ∠CAB = α, ∠ABC = β, ∠BCA = γ. Vedlejší

12Zde trochu předbíháme, neboť kapitola týkající se trojúhelníka následuje až za kapitolouo kružnici, nicméně již v kapitole 2.5 jsme se o rovnoramenném trojúhelníku zmiňovali.

69


úhly k vnitřním úhlům (je jich šest, vždy dva shodné u jednoho vrcholu) senazývají vnější úhly trojúhelníka — značíme je α′1, α

′2; β

′1, β

′2; γ

′1, γ

′2.13

Sjednocení stran tvoří tzv. obvod trojúhelníka.14 Body trojúhelníka nená-ležející obvodu jsou body vnitřku trojúhelníka, body nenáležející trojúhel-níku jsou body vnějšku trojúhelníka.

S trojúhelníky jsme se setkali již v kapitolách týkajících se Hilbertovy axio-matické soustavy. Do této kapitoly tak automaticky patří všechny věty euk-leidovské geometrie, které již byly uvedeny — např. α + β + γ = 180◦ (obr.3.3.1).

A B

C

α

α

β

βγ

Obr. 3.3.1

A,a,α

C,c,γ B,b,β

Obr. 3.3.2

Abychom nemuseli vyslovovat některé definice a věty trojmo, budeme v dalšímtextu využívat tzv. cyklickou záměnu — nahradíme-li v definici (popř. větě)týkající se trojúhelníka 4ABC trojice písmen (A, a, α), (B, b, β), (C, c, γ) pořadě trojicemi (B, b, β), (C, c, γ), (A, a, α) a dále (C, c, γ), (A, a, α), (B, b, β)(obr. 3.3.2), dostaneme další tvary definic (popř. vět).

Trojúhelníky dělíme podle velikostí stran na:

různostranné(a 6= b 6= c 6= a);

A B

C

α β

γ

ab

c

Obr. 3.3.3

rovnoramenné(a = b 6= c);

A B

C

α α

γaa

c

Obr. 3.3.4

rovnostranné(a = b = c).

A B

C

α α

α

a

aa

Obr. 3.3.513V případě značení úseček (zde stran) se v geometrii objevuje nejednoznačnost. Malépísmeno latinské abecedy tak někdy označuje úsečku a někdy délku této úsečky. Totéž platíi pro označování úhlů, popř. jejich velikostí malými písmeny řecké abecedy.14Někdy se pod pojmem obvod rozumí součet velikostí stran (tj. číslo).

70


Podle úhlů dělíme trojúhelníky na:ostroúhlé(α, β, γ < 90◦);

A B

C

α β

γ

ab

c

Obr. 3.3.6

pravoúhlé(α, β < 90◦, γ = 90◦);

A

B

C

α

β

a

b

c

Obr. 3.3.7

tupoúhlé(α, β < 90◦, γ > 90◦).

A

B

Cα

β

γa

b

c

Obr. 3.3.8

Příčka trojúhelníka je úsečka spojující dva body na obvodu trojúhelníka,které neleží na jedné jeho straně. Střední příčka trojúhelníka je spojnicestředů dvou stran (obr. 3.3.9).

A B

C

C1

B1 A1

Obr. 3.3.9

Věta 3.3.1: Střední příčka je rovnoběžná se stranou, jejímž středem nepro-chází a má délku rovnou polovině délky této strany.

Výška trojúhelníka je kolmice sestrojená vrcholem trojúhelníka na přímku,v níž leží protější strana. Výšku z bodu A na stranu a budeme značit va; patutéto výšky budeme označovat A0 (obr. 3.3.10).

Věta 3.3.2: Výšky trojúhelníka se protínají v jednom bodě, zvaném ortocen-trum trojúhelníka (obr. 3.3.10).

A B

C

C0

B0

A0

V

vc

va

vb

Obr. 3.3.10

A B

C

C1

tc

ta tb

B1 A1T

Obr. 3.3.11

71


Težnice trojúhelníka je úsečka spojující vrchol trojúhelníka se středem pro-tější strany. Těžnici spojující vrchol A se středem A1 strany BC budeme zna-čit ta (obr. 3.3.11).

Věta 3.3.3: Těžnice trojúhelníka se protínají v jednom bodě, zvaném těžištětrojúhelníka (obr. 3.3.11). Vzdálenost těžiště od vrcholu trojúhelníka je rovnadvěma třetinám délky příslušné těžnice (tj. (AA1T ) = −2). �Osou strany trojúhelníka nazýváme osu úsečky, která je stranou trojúhel-níka. Osu strany a budeme značit oa (obr. 3.3.12).

Věta 3.3.4: Osy stran trojúhelníka se protínají v jednom bodě, který je stře-dem kružnice opsané trojúhelníku (obr. 3.3.12), tj. kružnice procházejícívšemi vrcholy trojúhelníka (poloměr kružnice opsané zpravidla označujemer). �

A B

C

C1

oc

oa

ob

B1 A1S

r r

r

Obr. 3.3.12

A B

C

uα

uβ

uγ

S’ρ

ρρ

Obr. 3.3.13

Osou vnitřního úhlu trojúhelníka rozumíme osu úhlu, který je vnitřnímúhlem trojúhelníka. Osu vnitřního úhlu α budeme značit uα (obr. 3.3.13).

Věta 3.3.5: Osy vnitřních úhlů trojúhelníka se protínají v jednom bodě, kterýje středem kružnice vepsané trojúhelníku (obr. 3.3.13), tj. kružnice dotý-kající se všech stran trojúhelníka (poloměr kružnice vepsané zpravidla ozna-čujeme %). �

Můžeme vyslovit několik zajímavých vět:

Věta 3.3.6: Těžiště a střed kružnice vepsané náleží vždy vnitřku trojúhelníka.Ortocentrum a střed kružnice opsané náleží jeho vnitřku v trojúhelníku ostro-úhlém, jeho obvodu v trojúhelníku pravoúhlém a jeho vnějšku v trojúhelníkutupoúhlém. �

Věta 3.3.7: V trojúhelníku ABC označme T těžiště, V průsečík výšek aS střed kružnice opsané. Potom platí, že buďto T = S = V (je-li 4ABCrovnostranný), anebo každé dva z těchto bodů jsou různé a leží na jedné přímce(tzv. Eulerova přímka), přičemž (SV T ) = − 12 (obr. 3.3.14). �

72


A

B

C

vc

ob

oc

tc

ta

tb

oa

vb va

V

T

S

Obr. 3.3.14

Věta 3.3.8: V trojúhelníku ABC označme V průsečík výšek; S střed kružniceopsané; A1, B1, C1 středy stran a, b, c; A0, B0, C0 paty výšek va, vb, vc aA′, B′, C ′ středy úseček AV , BV , CV . Potom platí:

• Na kružnici k0 procházející body A1, B1, C1 leží také body A0, B0, C0a A′, B′, C ′.

• Střed S0 kružnice k0 je středem úsečky SV , když S 6= V ; je-li S =V , potom i S0 = S. Poloměr kružnice k0 se rovná polovině poloměrukružnice k opsané trojúhelníku ABC.

Kružnice k0 se nazývá kružnice devíti bodů anebo Feuerbachova kruž-nice trojúhelníka ABC (obr. 3.3.15). �

A

B

C

vc

ob

oc

tc

ta

tbk0

C1C0

A1

A0

B1

B0oa

vb va

V

T

S

S0

A’ B’

C’

k

Obr. 3.3.15

73


Věty o shodnosti trojúhelníků

Připomeňme si definici shodnosti dvou trojúhelníků:

Dva trojúhelníky jsou shodné, jestliže existuje vzájemně jednoznačná kores-pondence mezi jejich vrcholy taková, že odpovídající si strany a odpovídajícísi úhly jsou shodné.

Věta 3.3.9: Dva trojúhelníky jsou shodné, shodují-li sea) ve všech třech stranách (věta sss);b) ve dvou stranách a v úhlu jimi sevřeném (věta sus);c) ve dvou stranách a v úhlu proti větší z nich (věta Ssu);d) v jedné straně a v obou úhlech k ní přilehlých (věta usu). �

Věty o podobnosti trojúhelníků

Pojem shodnosti trojúhelníků v sobě zahrnuje stejný tvar a stejnou velikosttrojúhelníků. Vypustíme-li požadavek stejné velikosti a ponecháme jen stejnýtvar, hovoříme o podobných trojúhelnících.

Dva trojúhelníky jsou podobné, jestliže existuje vzájemně jednoznačná ko-respondence mezi jejich vrcholy taková, že odpovídající si úhly jsou shodné.

Věta 3.3.10: Dva trojúhelníky jsou podobné, shodují-li sea) v poměrech délek všech tří odpovídajících si stran (věta sss);b) v poměrech délek dvou odpovídajících si stran a v úhlu jimi sevřeném(věta sus);

c) v poměrech délek dvou odpovídajících si stran a v úhlu proti větší z nich(věta Ssu);

d) ve dvou úhlech (věta uu). �

Věty o určenosti trojúhelníka

S větami o shodnosti trojúhelníků úzce souvisí tzv. věty o určenosti trojúhel-níka:

Věta 3.3.11: Trojúhelník je jednoznačně určen, jsou-li dány jeho určovacíprvky:a) délky tří stran, pro něž platí |a− b| < c < a+ b (věta sss);b) délky dvou stran a velikost úhlu jimi sevřeného (věta sus);c) délky dvou různých stran a velikost úhlu protilehlého k delší straně (větaSsu);

d) délka strany a velikosti dvou k ní přilehlých úhlů, jejichž součet velikostíje menší než 180◦ (věta usu). �

Obecný trojúhelník

Je jednoznačně charakterizován šesti základními proměnnými prvky: třistrany (a, b, c) a tři úhly (α, β, γ). Z nich jsou tři nezávisle proměnné (např.

74


sss, sus atd. — viz věty o určenosti trojúhelníka), a proto je uvedených šestzákladních prvků svázáno třemi nezávislými rovnicemi. Volíme např. tyto jed-noduché vztahy:

α+ β + γ = 2R,

a : b = sinα : sinβ,

a : c = sinα : sin γ.

První rovnice je zřejmá a již jsme se o ní zmiňovali (zachycuje jednu z větekvivalentních s axiómem rovnoběžnosti). Zbývající dvě rovnice vyjadřují větusinovou, tj.

a

sinα=

b

sinβ=

c

sin γ= 2r,

kde r je poloměr kružnice trojúhelníku opsané. Důkaz sinové věty snadnoprovedeme s využitím Základní věty o obvodových úhlech — 3.2.1 (str. 68)(proveďte!).

Z výše uvedených tří rovnic již můžeme odvodit všechny ostatní rovnice platícípro základní prvky trojúhelníka — jednou z nejdůležitějších je tzv. kosinovávěta

a2 = b2 + c2 − 2bc cosα.

Pravoúhlý trojúhelník

V pravoúhlém trojúhelníku ABC s pravým úhlem γ nazýváme strany a, bodvěsny a stranu c přepona. Pata C0 výšky vc rozděluje stranu c na dvěúsečky AC0, resp. C0B, které nazýváme úsek přilehlý k odvěsně b, resp.a a značíme cb, resp. ca.

A B

C

ab

α

α

β

β

C0

vc

Obr. 3.3.16

Pravoúhlý trojúhelník je jednoznačně charakterizován pěti základními pro-měnnými prvky: tři strany (a, b, c) a dva ostré úhly (α, β). Z nich jsou dvanezávisle proměnné, a proto lze uvedených pět základních prvků popsat třeminezávislými rovnicemi. Dvě z nich jsou např.

α+ β = R,

a = c · sinα.

75


Třetí rovnici si nyní odvodíme.

Platí AC ⊥ BC a AB ⊥ CC0, a proto ∠CAB = ∠BCC0 = α a∠ACC0 = ∠ABC = β. Podle věty (uu) o podobnosti trojúhelníků platí4ABC ∼ 4ACC0 ∼ 4CBC0. Z poměru odpovídajících si stran (např. zpodobnost trojúhelníků 4ABC a 4CBC0 plyne a

ca= c

a apod.) odvodímesnadno tzv. Eukleidovy věty.

Věta 3.3.12: (Eukleidova věta o odvěsně)(obr. 3.3.17)Obsah čtverce sestrojeného nad odvěsnou pravoúhlého trojúhelníkase rovná obsahu obdélníka, jehož jednou stranou je přepona a druhá strana jeshodná s úsekem přepony přilehlým k této odvěsně (a2 = c · ca, resp. b2 =c · cb). �

Věta 3.3.13: (Eukleidova věta o výšce)(obr. 3.3.18) Obsah čtverce sestrojeného nad výškou pravoúhlého trojúhelníkase rovná obsahu obdélníka sestrojeného z úseků přepony tvořených výškou(v2 = ca · cb). �

b ab

a

c

c

A B

C

cacb

Obr. 3.3.17

b a

A B

C

ca

ca

cb

v

v

Obr. 3.3.18

Z Eukleidových vět ihned vyplývá platnost tzv. Pythagorovy věty:

Věta 3.3.14: (Pythagorova věta)(obr. 3.3.17)Obsah čtverce sestrojeného nad přeponou pravoúhlého trojúhelníkaje roven součtu obsahů čtverců sestrojených nad odvěsnami. (c2 = a2+ b2). �

76


Právě rovnicia2 + b2 = c2

lze zařadit jako třetí do systému nezávislých rovnic popisujících pravoúhlýtrojúhelník.

Na tomto místě je nutné zdůraznit, že při rozhodování o tom, zdali je či nenídaný trojúhelník pravoúhlý, nepoužíváme Pythagorovu větu, ale obrácenouPythagorovu větu:

Věta 3.3.15: (Obrácená věta k Pythagorově větě)Jestliže je obsah čtverce sestrojeného nad jednou stranou trojúhelníka rovensoučtu obsahů čtverců sestrojených nad zbývajícími dvěma stranami (tj. platí-li c2 = a2 + b2), potom je daný trojúhelník pravoúhlý (s přeponou c). �

*****V mnoha matematických příručkách a učebnicích bychom mohli vyhledat de-sítky dalších vět týkajících se nejrůznějších zajímavých vztahů platících vtrojúhelnících. Za všechny uveďme závěrem alespoň dvě věty, které jsou dourčité míry pokračováním a upřesněním již zmíněné Paschovy věty. Jsou tověty platící v obecnější geometrii než je geometrie eukleidovská, a to v tzv.geometrii afinní, o které se ještě zmíníme.

Věta 3.3.16: (Menelaova věta) Je dán trojúhelník ABC a přímka p, kteráneprochází žádným z bodů A, B, C a protíná přímky AB, BC, CA po řadě vbodech C ′, A′, B′ (obr. 3.3.19). Potom je

(ABC ′) · (BCA′) · (CAB′) = 1. �

AB

C

C’

A’B’p

Obr. 3.3.19

AB

C

C’

A’B’ M

Obr. 3.3.20

Věta 3.3.17: (Cevova věta) Je dán trojúhelník ABC a bod M neležící naobvodě trojúhelníka ABC. Průsečíky přímek AM , BM , CM s přímkami BC,CA, AB označme po řadě A′, B′, C ′ (obr. 3.3.20). Potom je

(ABC ′) · (BCA′) · (CAB′) = −1. �

77


3.4 Čtyřúhelník

Čtyřúhelníkem ABCD nazýváme sjednocení dvou trojúhelníků ACB,ACD ležících v opačných polorovinách s hraniční přímkou AC, jestliže žádnétři body A, B, C, D nejsou kolineární. Uvedená definice čtyřúhelníka při-pouští, že daný útvar může být i nekonvexní. Nekonvexními čtyřúhelníky sezabývat nebudeme, a proto pod názvem čtyřúhelník budeme nadále rozumětvždy jen čtyřúhelník konvexní — v opačném případě bychom nekonvexnostčtyřúhelníka zdůraznili!

A

B

C

D

Obr. 3.4.1

A

B

C

D

Obr. 3.4.2

Body A, B, C, D se nazývají vrcholy čtyřúhelníka, úsečky a = AB, b =BC, c = CD, d = DA se nazývají strany čtyřúhelníka a úsečky e = AC,f = BD nazýváme úhlopříčky. Vnitřní úhly čtyřúhelníka ABCD jsouúhly ∠DAB = α, ∠ABC = β, ∠BCD = γ, ∠CDA = δ.

Sjednocení stran tvoří tzv. obvod čtyřúhelníka, body čtyřúhelníka nenáleže-jící obvodu jsou body vnitřku čtyřúhelníka, body nenáležející čtyřúhelníkujsou body vnějšku čtyřúhelníka.

Se čtyřúhelníky (konvexními!) jsme se setkali již v kapitolách týkajících seHilbertovy axiomatické soustavy, a proto do této kapitoly patří rovněž všechnyvěty eukleidovské geometrie, které již byly uvedeny (např. α+β+γ+δ = 360◦).

Čtyřúhelníky dělíme na

• rovnoběžníky (a ‖ c ∧ b ‖ d):

– pravoúhelníky (α, β, γ, δ = R) — čtverec (a = b = c = d) (obr.3.4.3) a obdélník (a = c 6= b = d)(obr. 3.4.4)

a

a

a

a

Obr. 3.4.3

a

b

a

b

Obr. 3.4.4

78


– kosoúhelníky (α, β, γ, δ 6= R) — kosočtverec (a = b = c = d) (obr.3.4.5) a kosodélník (a = c 6= b = d) (obr. 3.4.6)

a

a

a

a

Obr. 3.4.5

a

b

a

b

Obr. 3.4.6

• lichoběžníky (a ‖ c ∧ b 6‖ d) (obr. 3.4.7) — a, c jsou tzv. základny ab, d tzv. ramenaspeciálními případy jsou lichoběžník rovnoramenný (b = d) (obr. 3.4.8)a pravoúhlý (α = R) (obr. 3.4.9)

a

b

c

d

Obr. 3.4.7

c

a

bb

Obr. 3.4.8

a

b

c

d

Obr. 3.4.9

• různoběžníky (a 6‖ c ∧ b 6‖ d)mezi ně patří např. tzv. deltoid (d = a 6= b = c) (obr. 3.4.10)

a

b

b

a

Obr. 3.4.10

Věta 3.4.1: Protější strany rovnoběžníka jsou stejně dlouhé, protější úhlyshodné, součet sousedních úhlů dává úhel přímý a úhlopříčky rovnoběžníka senavzájem půlí. �

Věta 3.4.2: Úhlopříčky obdélníka jsou stejně dlouhé. �

Věta 3.4.3: Úhlopříčky kosočtverce jsou navzájem kolmé. �

Věta 3.4.4: Úhlopříčky čtverce jsou stejně dlouhé a navzájem kolmé. �

79


Každému trojúhelníku lze vepsat i opsat kružnici, u čtyřúhelníků však tomuobecně tak být nemusí. Některým lze opsat kružnici (tzv. tětivové čtyř-úhelníky— obdélník, rovnoramenný lichoběžník, čtverec), jiným vepsat (tzv.tečnové čtyřúhelníky— např. kosočtverec, deltoid, čtverec), většinou všaknelze kružnici ani opsat ani vepsat. Čtyřúhelník, jemuž můžeme opsat i ve-psat kružnici (středy mohou, ale nemusejí splývat) se nazývá dvojstředovýčtyřúhelník — např. čtverec.

Věta 3.4.5: Součet protějších vnitřních úhlů tětivového čtyřúhelníka je úhelpřímý (α+ γ = β + δ = 2R). �

Důkaz: (obr. 3.4.11) Podle věty o středovém a obvodovém úhlu snadno na-hlédneme, že platí 2α + 2γ = 4R (viz obr.) a odtud α + γ = 2R. Dáleα+ β + γ + δ = 4R, a proto β + δ = 2R. Q.E .D.

2γ

γ

2α

αA

B

C

D

Obr. 3.4.11

A

B

C

D

S

Ta

Tc

Td

Tb

xx y

y

z

zu

u

Obr. 3.4.12

Věta 3.4.6: Součty velikostí obou dvojic protějších stran tečnového čtyřúhel-níka jsou si rovny (a+ c = b+ d). �

Důkaz: (obr. 3.4.12) Snadno bychom dokázali, že délky tečen z bodu A (tj.velikosti úseček měřených od bodu A k dotykovým bodům Ta, Td) jsou stejné( 4ATdS ∼= 4ATaS (Ssu) ⇒ |ATd| = |ATa|) ; obdobně i pro délky tečen zbodů B, C a D. Jestliže |ATa| = x, |BTb| = y, |CTc| = z a |DTd| = u, potoma = x+y, b = y+z, c = z+u, d = u+x a odtud a+c = x+y+z+u = b+d.Q.E .D.

3.5 Mnohoúhelník

Trojúhelník a čtyřúhelník patří mezi tzv. mnohoúhelníky nebo jiným názvemn-úhelníky.

Nechť je v rovině dáno n různých bodů A1, A2,. . . ,An (n ≥ 3) takových, ževšechny vždy leží pouze v jedné polorovině určené hraniční přímkou spojujícídva po sobě jdoucí body Ai a Ai+1 (i = 1, . . . , n a An+1 = A1), přičemž

80


žádné tři body nejsou kolineární. Mnohoúhelníkem (nebo n-úhelníkem)A1A2 . . . An nazýváme průnik všech takto určených polorovin.15 Pro n = 3,resp. n = 4 obdržíme trojúhelník, resp. čtyřúhelník.

Body A1, A2,. . . , An se nazývají vrcholy mnohoúhelníka, úsečky A1A2,A2A3, . . . , AiAi+1, . . .An−1An, AnA1 se nazývají strany mnohoúhelníkaa úsečky spojující nesousední vrcholy nazýváme úhlopříčky mnohoúhel-níka. Vnitřní úhly mnohoúhelníka A1A2 . . . An jsou úhly ∠AnA1A2,∠A1A2A3,. . . , ∠An−1AnA1.

A1 A2

A3

An-1

An

Obr. 3.5.1

Sjednocení stran tvoří tzv. obvod mnohoúhelníka, body mnohoúhelníkanenáležející obvodu jsou body vnitřku mnohoúhelníka, body nenáležejícímnohoúhelníku jsou body vnějšku mnohoúhelníka.

Věta 3.5.1: Počet úhlopříček n-úhelníka je dán vztahem un =n(n−3)2 . �

Věta 3.5.2: Součet vnitřních úhlů n-úhelníka je (n− 2) · 2R. �

Jsou-li všechny strany i vnitřní úhly navzájem shodné, potom se daný mnoho-úhelník nazývá pravidelný. Pro n = 3 dostáváme rovnostranný trojúhelník,pro n = 4 čtverec. O pravidelných mnohoúhelnících se ještě zmíníme v kapitole5.2 věnované eukleidovským konstrukcím.

3.6 Souřadnicová soustava v rovině

K určení polohy bodu v rovině užíváme tzv. souřadnicových soustav,z nichž nejdůležitější jsou pravoúhlé souřadnicové soustavy. Při zavádění sou-řadnicových soustav jde o určení vzájemně jednoznačného zobrazení množinyvšech bodů roviny E2 na množinu R2 = R × R (obě množiny pak často zto-tožňujeme a píšeme E2 = R2).15Uvedená definice nepřipouští, že by daný útvar mohl být nekonvexní. Nekonvexní mno-hoúhelník by bylo nutné definovat jiným způsobem.

81


V rovině zvolíme dvě různoběžky x, y s průsečíkem O, který nazýváme po-čátek souřadnicové soustavy. Přímku x (resp. y) nazveme první (resp.druhou) souřadnicovou osou. Dále zvolme dva body X ∈ x a Y ∈ y(X, Y 6= O). Počátek O dělí každou z os na dvě polopřímky. Polopřímku OX(resp. OY ) nazveme první (resp. druhou) kladnou souřadnicovou polo-osou— značíme x+ (resp. y+). Polopřímku opačnou k polopřímce OX (resp.OY ) nazveme první (resp. druhou) zápornou souřadnicovou poloosou— značíme x− (resp. y−). Úsečku OX (resp. OY ) považujeme za jednot-kovou úsečku na ose x (resp. y) a vztahujeme k ní všechny délky na danéose.

P x y[ , ]

x

y

X

Y

0 P1

P2

Obr. 3.6.1

Polohu libovolného bodu P roviny určíme následovně: Bodem P vedeme rov-noběžky s osami x a y a jejich průsečíky s osami x a y označíme po řadě P1 aP2. První (neboli x-ovou) souřadnicí bodu P nazýváme číslo x0 = ξ|OP1|,přičemž ξ = 1, resp. ξ = −1, právě když bod P1 náleží první kladné, resp. zá-porné poloose. Druhou (neboli y-ovou) souřadnicí bodu P nazýváme čísloy0 = ν|OP2|, přičemž ν = 1, resp. ν = −1, právě když bod P2 náleží druhékladné, resp. záporné poloose. Počátek O má souřadnice x0 = 0, y0 = 0. BodP se souřadnicemi x0, y0 značíme P [x0, y0], popř. P = [x0, y0].

x

y

X

Y

0θ

Obr. 3.6.2

x

y

X

Y

0

Obr. 3.6.3

x

y

X

Y

0

Obr. 3.6.4

V závislosti na úhlu θ, který svírají osy x a y, a na délkách jednotkových

82


úseček OX, OY rozlišujeme následující typy souřadnicových soustav:

• jestliže θ = |∠x, y| 6= π2 , hovoříme o kosoúhlé souřadnicové soustavě

{O;x, y} (obr. 3.6.2);• jestliže θ = |∠x, y| = π

2 , hovoříme o pravoúhlé (ortogonální) souřad-nicové soustavě {O;x, y} (obr. 3.6.3);• jestliže θ = |∠x, y| = π

2 a navíc |OX| = |OY |, hovoříme o kartézské(ortonormální) souřadnicové soustavě {O;x, y} (obr. 3.6.4).

Je-li orientovaný úhel vymezený kladnou poloosou x+ a zápornou poloosou y+

(v tomto pořadí!) kladně orientovaný, hovoříme o kladně orientované sou-řadnicové soustavě {O;x, y} (viz předcházející obrázky); v opačném případěhovoříme o záporně orientované souřadnicové soustavě {O;x, y}.Vzorec pro eukleidovskou vzdálenost bodů P1[x1, y1] a P2[x2, y2] v kartézskésoustavě souřadnic(!) má tvar

|P1P2| =√(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2.

Každou přímku v rovině lze popsat pomocí tzv. obecné rovnice přímky

ax+ by + c = 0, kde a, b, c ∈ R ∧ [a, b] 6= [0, 0].

Rovnice kružnice s středem S[m,n] a poloměrem r v kartézských souřadni-cích(!) je

(x−m)2 + (y − n)2 = r2.

Závěrem se zmíníme o souvislosti bodů eukleidovské roviny E2 s komplexnímičísly. Každé komplexní číslo z ∈ C lze zapsat ve tvaru

z = x+ iy, kde i2 = −1 ∧ x, y ∈ R;

Re(z) = x (resp. Im(z) = y) je tzv. reálná (resp. imaginární) složkakomplexního čísla. Uvedený zápis nazýváme kartézský tvar komplexníhočísla. Číslo z∗ = x−iy je tzv. číslo komplexně sdružené s číslem z = x+iy.Dále definujeme absolutní hodnotu komplexního čísla předpisem

|z| =√

x2 + y2 =√

z · z∗.

Protože každému komplexnímu číslu z přísluší právě jedna uspořádaná dvojice[x, y] reálných čísel, lze je znázornit jako bod [x, y] v kartézské souřadnicovésoustavě. Jde tedy o vzájemně jednoznačné zobrazení množiny C = R2 = R×Rna množinu všech bodů eukleidovské roviny E2 s kartézskou soustavou souřad-nic {O;x, y}. Při této interpretaci pak přímo ztotožňujeme komplexní čísla s

83


body roviny, které jim odpovídají. Dostáváme tak tzv. rovinu komplexníchčísel (neboli komplexní rovinu, popř. Gaussovu rovinu). První souřadni-covou osu pak označujeme jako reálná osa a druhou souřadnicovou osu jakoimaginární osa.

z = = | |(cos + sin ) = ex+yi z iα α iα| |z

reálná osax

y|z|

α

Obr. 3.6.5

Od geometrické interpretace komplexních čísel je již pouhý krok k tzv. goni-ometrickému tvaru. Platí x = |z| · cosα a y = |z| · sinα, kde |z| je absolutníhodnota komplexního čísla (neboli tzv. modul) a α je velikost orientovanéhoúhlu s počátečním ramenem Re+ (kladná reálná poloosa) a koncovým rame-nem 0z (polopřímka vycházející z počátku a jdoucí obrazem komplexního číslaz) — tzv. argument komplexního čísla. Proto můžeme psát

z = |z| · (cosα+ i sinα).

Komplexní čísla je někdy vhodné psát v tzv. exponenciálním tvaru, kterýje dán vztahem

z = |z|eiα = |z|(cosα+ i sinα).

3.7 Množiny bodů dané vlastnosti

DEFINICE 3.7.1: Množina všech bodů dané vlastnosti V je množina Mvšech bodů základní množiny, které splňují tyto požadavky:(i) každý bod množiny M má danou vlastnost V,(ii) každý bod základní množiny, který má danou vlastnost V, patří do mno-žiny M . �

Uveďme příklady některých jednoduchých množin bodů dané vlastnosti v ro-vině (tj. rovina E2 je základní množinou), které se často objevují při řešeníplanimetrických konstrukčních úloh.

84


1. Množinou všech bodů roviny, které mají od daného bodu S vzdálenostr ∈ <+, je kružnice se středem S a poloměrem r.

M = {X ∈ E2; |SX| = r}, tj.M = k(S, r)

2. Množinou všech bodů roviny, které mají od dané přímky p vzdálenosta ∈ <+, je dvojice rovnoběžek s přímkou p, jejichž vzdálenost od přímkyp je a.16

a

a p

q1

q2

Obr. 3.7.1

M = {X ∈ E2; |X, p| = a}, tj.M = q1 ∪ q2,kde q1 ‖ q2 ‖ p ∧ |q1, p| = |q2, p| = a

3. Množinou všech bodů roviny, které mají od dané kružnice k(S, r) vzdá-lenost a ∈ <+ (0 < a < r), je dvojice kružnic soustředných s kružnicí ko poloměrech r − a a r + a.17

a

a

kl1

l2

S

Obr. 3.7.2

M = {X ∈ E2; |X, k| = a}, tj.M = l1 ∪ l2,kde l1(S, r − a) ∧ l2(S, r + a)

4. Množinou všech bodů roviny, které mají od dvou různých bodů A, Bstejnou vzdálenost, je osa úsečky AB.

A B

o

S

Obr. 3.7.3

M = {X ∈ E2; |AX| = |BX|}, tj. M = o,kde o ⊥ AB ∧ S ∈ o (S – střed úsečky AB)

5. Množinou všech bodů konvexního úhlu ∠AV B, které mají stejnou vzdá-lenost od obou ramen úhlu AV B, je osa úhlu AV B.

o

A

V

B

R

Obr. 3.7.4

M = {X ∈ ∠AV B; |X, 7→ V A| =|X, 7→V B|}, tj.M = 7→V R, kde R ∈ ∠AV B∧ ∠AV R ∼= ∠BV R

16tzv. ekvidistanta přímky.17tzv. ekvidistanta kružnice.

85


6. Množinou všech bodů roviny, které mají od dvou daných rovnoběžek p, qstejnou vzdálenost, je osa rovinného pásu určeného těmito rovnoběžkami.

d

d

p

q

o

Obr. 3.7.5

M = {X ∈ E2; |X, p| = |X, q|}, tj. M = o,kde o ‖ p ‖ q ∧ |o, p| = |o, q|

7. Množinou všech bodů roviny, které mají od dvou daných různoběžek p,q stejnou vzdálenost, je sjednocení os všech úhlů určených těmito růz-noběžkami.

p

q

o1

o2

Obr. 3.7.6

M = {X ∈ E2; |X, p| = |X, q|}, tj.M =o1∪o2, kde o1∪o2 je sjednocení os všech čtyřkonvexních úhlů určených různoběžkami p, q

8. Množinou vrcholů všech pravých úhlů v rovině, jejichž ramena procházejídvěma různými body A, B, je tzv. Thaletova kružnice s průměrem AB,tj. kružnice s průměrem AB s výjimkou bodů A a B.

popř.Množinou všech bodů v rovině, ze kterých je úsečku AB vidět pod pra-vým úhlem, je tzv. Thaletova kružnice s průměrem AB, tj. kružnice sprůměrem AB s výjimkou bodů A a B.

A BS

Obr. 3.7.7

M = {X ∈ E2; |∠AXB| = 90o}, tj. M =k(S, |AB|

2 )\{A,B}, kde S je střed úsečky AB

9. Jsou dány dva různé body A, B a konvexní úhel o velikosti ϕ, který nenínulový, přímý, ani plný. Množinou vrcholů X všech úhlů v rovině, jejichžramena procházejí body A, B a pro jejichž velikost platí |∠AXB| = ϕ,je sjednocení dvou shodných oblouků k1, k2 s krajními body A, B svýjimkou bodů A, B.

popř.Množinou všech bodů v rovině, ze kterých je úsečku AB vidět pod úhlemo velikosti ϕ (0 < ϕ < π), je . . .

86


A B

k1

k2

ϕ

ϕ

Obr. 3.7.8

M = {X ∈ E2; |∠AXB| = ϕ}, tj. M =k1 ∪ k2 \ {A,B}

Při důkazu tvrzení Útvar U je množinou M všech bodů dané vlastnosti V jetřeba ověřit rovnost dvou množin U =M . Musíme tedy dokázat:a) U ⊂M , tzn. (∀X ∈ E2)(X ∈ U ⇒ X ∈M) — každý bod patřící útvaru

U má vlastnost Vb) M ⊂ U , tzn. (∀X ∈ E2)(X ∈M ⇒ X ∈ U) — každý bod s vlastností Vpatří útvaru U

Implikaci b) často nahrazujeme obměněnou implikacíb)∗ (∀X ∈ E2)(X 6∈ U ⇒ X 6∈ M) — žádný bod nepatřící útvaru U nemávlastnost V

Ukažme si provedení důkazu pro případ, kdy útvar U je osa úsečky AB aM jemnožina všech bodů v rovině, které mají od bodů A, B stejnou vzdálenost︸︷︷︸

vlastnost V

:

a) Dokazujeme: každý bod patřící útvaru U má vlastnost VStřed S, který náleží ose o, má samozřejmě vlastnost V.(obr. 3.7.9) Libovolný bod X ∈ o, X 6= S, spolu s body A, S a B, S určujetrojúhelníky ASX a BSX, které jsou shodné podle věty sus (AS ∼= BS,∠ASX = R a ∠BSX = R, SX je společná strana), a proto AX ∼= BX, tj.|AX| = |BX|.

A B

o

S

X

Obr. 3.7.9

A B

o

S

X

Y

Obr. 3.7.10

87


b) Dokazujeme: žádný bod nepatřící útvaru U nemá vlastnost VNa přímce AB leží jediný bod mající od bodů A, B stejnou vzdálenost a tímje střed S, který však náleží ose.(obr. 3.7.10) Zvolme mimo přímku AB bod Y , který nenáleží ose úsečky AB.Bez újmy na obecnosti předpokládejme, že mezi body A, Y leží bod X ∈ o,tj. |AY | = |AX|+ |XY |. Pro bod X navíc podle části a) platí |AX| = |BX|.Závěrem aplikujeme trojúhelníkovou nerovnost na trojúhelník BY X, tj.

|BX|︸︷︷︸=|AX|

+|XY |

︸︷︷︸=|AY |

> |BY |,

a proto |AY | 6= |BY |. Q.E .D.

Množinami bodů dané vlastnosti mohou být přímky, kružnice, podmnožinypřímek a kružnic, může se dokonce jednat i množinu izolovaných bodů, resp.i o množinu prázdnou. Množin všech bodů dané vlastnosti lze užít přímo ik definování — například kružnice k(S, r) je množinou všech bodů v rovině,které mají od pevného bodu S danou vzdálenost r > 0.

V geometrických úlohách se množiny všech bodů dané vlastnosti objevujívelmi často. Jedná se především o úlohy typu:a) Určete množinu všech bodů dané vlastnosti.b) Sestrojte množinu všech bodů dané vlastnosti.

V kapitole 5 se zmíníme o konstrukčních úlohách řešených metodou množinbodů dané vlastnosti. Jak uvidíme, při řešení touto metodou hledáme dvěmnožiny, z nichž každá je množinou všech bodů jisté vlastnosti požadovanév zadání úlohy. Každý společný bod obou množin pak vede k řešení úlohy.Často je např. požadována konstrukce kružnice splňující dané podmínky. Ztohoto důvodu je vhodné zmínit se o některýchmnožinách středů všech kružnicsplňujících určitou vlastnost (s řadou těchto množin jsme se již setkali).

Množinou středů všech kružnic, které procházejí dvěma různými body A, B jeosa o úsečky AB.

Množinou středů všech kružnic, které se dotýkají dvou rovnoběžných přímeka, b, je osa pásu určeného těmito rovnoběžkami; poloměr % všech takovýchtokružnic je |a, b|/2.Množinou středů všech kružnic, které se dotýkají dvou různoběžných přímeka, b, jsou obě osy o1, o2 různoběžek a, b (sjednocení os všech úhlů určenýchtěmito rovnoběžkami) s výjimkou jejich průsečíku.

Množinou středů všech kružnic, které mají daný poloměr % > 0 a dotýkajíse dané přímky p, jsou dvě přímky q1, q2 rovnoběžné s p, které mají od pvzdálenost %.

88


Množinou středů všech kružnic, které mají daný poloměr % > 0 a dotýkají sedané kružnice k(S, r), jsou za předpokladu % 6= r dvě kružnice k′(S, r + %)(vnější dotyk), k′′(S, |r − %|) (vnitřní dotyk) a za předpokladu % = r jedinákružnice k′.

Množinou středů všech kružnic, které se dotýkají dané přímky a v bodě A, jepřímka p kolmá k přímce a, která prochází bodem A, s výjimkou bodu A.

Množinou středů všech kružnic, které se dotýkají dané kružnice k(S, r) v boděT , je přímka p =↔ST , s výjimkou bodů S a T .

Množinou středů všech kružnic, které se dotýkají dvou soustředných kružnick1(S, r1), k2(S, r2) (předpokládejme r1 < r2), jsou dvě kružnice l(S, r1+r2

2 )(vnější dotyk s k1 a vnitřní dotyk s k2; poloměr % všech dotýkajících se kružnicje potom r2−r1

2 ) (obr. 3.7.11) a l′(S, r2−r12 ) (vnitřní dotyk s k1 i k2; poloměr

%′ všech dotýkajících se kružnic je v tomto případě r1+r22 ) (obr. 3.7.12).

S

k1

r1

r2

k2

l

ρ ρ

Obr. 3.7.11

S

k1

r1

r2

k2

l’

ρ’

ρ’

Obr. 3.7.12

Příklad 3.7.1. Sestrojte kružnici, která se dotýká daných dvou soustřednýchkružnic k1(S, r1), k2(S, r2) (r1 < r2) a třetí kružnice k3(S3, r3). ♦

Množina středů všech kružnic, které se dotýkají soustředných kružnic k1(S, r1)a k2(S, r2) je dvojice kružnic l(S, r1+r2

2 ) a l′(S, r2−r12 ). Zároveň víme, že kruž-

nice, jejichž středy leží na l, mají poloměr % = r2−r12 a kružnice, jejichž středy

leží na l′, mají poloměr %′ = r1+r22 . Množinou středů všech kružnic, které se

dotýkají kružnice k3(S3, r3) a mají daný poloměr % (resp. %′) jsou za předpo-kladu % 6= r3 (resp. %′ 6= r3) dvě kružnice m1(S3, r3+%), m2(S3, |r3−%|) (resp.dvě kružnice m′

1(S3, r3+%′), m′2(S3, |r3−%′|)) a za předpokladu % = r3 (resp.

%′ = r3) jediná kružnice m1 (resp. m′1). Každá z kružnic m1, m2 (existuje-li)

protne kružnici l nejvýše ve dvou bodech a rovněž každá z kružnic m′1, m′

2(existuje-li) protne kružnici l′ ve dvou bodech. Úloha může mít tudíž až osmřešení. �

89


3.8 Mocnost bodu ke kružnici. Chordála. Potenční střed

Mocnost bodu ke kružnici

Věta 3.8.1: Nechť je dána kružnice k(S, r) a bod M , který na ní neleží.Nechť p a p′ jsou dvě libovolné sečny kružnice k, které procházejí bodem M aprotínají kružnici v bodech A, B a A′, B′. Potom platí

|MA| · |MB| = |MA′| · |MB′| = k,

kde k je konstantní číslo (k > 0). �

A

B

A’B’

M

p

p’

Sk

Obr. 3.8.1

A

B

A’

B’

M

p

p’

Sk

Obr. 3.8.2

Důkaz: (i) Uvažujme nejprve vnější bod M kružnice k(S, r) (obr. 3.8.1). Troj-úhelníky MAB′ a MA′B jsou podobné podle věty uu (∠AMB′ = ∠BMA′;∠MAB′ ∼= ∠MA′B, neboť se jedná o obvodové úhly nad týmž obloukem skrajními body B a B′), a proto můžeme psát

|MA||MA′|

=|MB′||MB|

.

Odtud již plyne dokazovaný závěr.

(ii) Nechť je nyní M vnitřní bod kružnice k(S, r) (obr. 3.8.2). TrojúhelníkyMAB′ a MA′B jsou rovněž podobné podle věty uu (∠AMB′ ∼= ∠A′MB, ne-boť se jedná o úhly vrcholové; ∠MAB′ ∼= ∠MA′B, neboť se jedná o obvodovéúhly nad týmž obloukem s krajními body B a B′), a proto můžeme psát

|MA||MA′|

=|MB′||MB|

.

Odtud již opět vyplývá dokazovaný závěr. Q.E .D.

90


Věta 3.8.2: Nechť je dána kružnice k(S, r) a její vnější bod M . Nechť pje libovolná sečna kružnice k, která prochází bodem M a protíná kružnici vbodech A, B, a t je tečna, která se dotýká kružnice k v bodě T . Potom platí

|MA| · |MB| = |MT |2 = k,

kde k je konstantní číslo (k > 0). �

Důkaz: (obr. 3.8.3) Trojúhelníky MAT a MTB jsou podobné podle věty uu(∠AMT = ∠BMT ; ∠MAT ∼= ∠MTB, neboť se jedná o obvodový a úsekovýúhel příslušné k témuž oblouku s krajními body B a T ), a proto můžeme psát

|MA||MT |

=|MT ||MB|

.

Odtud již plyne dokazovaný závěr. Q.E .D.

A

BM

p

S

tT

kdr

Obr. 3.8.3

A

M

p

Sk

Bd

r+d

r-d

Obr. 3.8.4

Věta 3.8.3: Jestliže označíme |MS| = d, potom pro vnější bod M kružnicek(S, r) platí

|MA| · |MB| = |MA′| · |MB′| = . . . = |MT |2 = d2 − r2

a pro vnitřní bod M kružnice k(S, r) platí

|MA| · |MB| = |MA′| · |MB′| = . . . = r2 − d2. �

Důkaz: Je-li bod M vnější (obr. 3.8.3), potom platí |MA| · |MB| = |MA′| ·|MB′|= . . . = |MT |2. Vzhledem k tomu, že 4MST je pravoúhlý s pravýmúhlem při vrcholu T , potom podle Pythagorovy věty můžeme psát |MT |2 =|MS|2 − |ST |2 = d2 − r2.Je-li bod M vnitřní (obr. 3.8.4), potom vedeme sečnu p středem S. Potom|MA| = r + d, |MB| = r − d a odtud |MA| · |MB| = |MA′| · |MB′| = . . . =(r + d) · (r − d) = r2 − d2. Q.E .D.

91


DEFINICE 3.8.1: Nechť je dán bodM a kružnice k(S, r). Označme vzdálenost|MS| = d.Mocností bodu M ke kružnici k(S, r) (značíme µM

k ) rozumímečíslo

µMk = d2 − r2. �

Důsledek 3.8.1. M je vnější bod kružnice k (tj. d > r), potom µMk =

d2−r2 > 0. M je vnitřní bod kružnice k (tj. d < r), potom µMk = d2−r2 < 0.

M je bod na kružnici k (tj. d = r), potom µMk = d2 − r2 = 0. �

Chordála dvou nesoustředných kružnic

Příklad 3.8.1. Určete množinu všech bodů v rovině, které mají stejnou moc-nost ke dvěma zadaným nesoustředným kružnicím k1, k2. ♦

Jsou dány kružnice k1(S1, r1) k2(S2, r2) (S1 6= S2). Chceme určit množinu

M = {X ∈ E2; µXk1 = µX

k2}.

X x y0 0[ , ]

x

y

S1

k1

S2

k2

Obr. 3.8.5

Pro určení uvedené množiny použijeme analytickou metodu souřadnic. Zakladnou poloosu x+ zvolíme polopřímku S1S2. Potom je S1[0, 0], S2[s, 0] (s 6=0) a libovolný bod X množinyM nechť má souřadnice [x0, y0]. Pro tento bodplatí

µXk1 = µX

k2 ,

tj. podle definice mocnosti (d2 − r2)

|XS1|2 − r21 = |XS2|2 − r22.

Použitím vzorce pro eukleidovskou vzdálenost můžeme psát

x20 + y20 − r21 = (x0 − s)2 + y20 − r22

92


a po úpravě dostáváme

x0 =s2 + r21 − r22

2s.

Bod X[x0, y0] tudíž leží na přímce rovnoběžné s osou y o rovnici x = s2+r21−r222s .

Pouhým obrácením postupu bychom snadno ověřili (Proveďte!), že pro každý

bod X přímky o rovnici x = s2+r21−r222s platí µX

k1= µX

k2.

Závěr:Množinou všech bodů v rovině, které mají stejnou mocnost ke kružnicímk1(S1, r1) a k2(S2, r2) (|S1S2| = s 6= 0) je přímka c kolmá na přímku↔ S1S2,

jejíž patou je bod P ∈7→S1S2, pro který platí |S1P | = s2+r21−r222s . �

DEFINICE 3.8.2: Přímka c, která je množinou všech bodů v rovině majícíchstejnou mocnost k nesoustředným kružnicím k1 a k2, se nazývá chordálakružnic k1, k2. �

Příklad 3.8.2. Sestrojte chordálu dvou nesoustředných kružnic k1, k2. ♦a) k1, k2 se protínají v bodech A, B. Platí A ∈ k1 ⇒ µA

k1= 0 a A ∈ k2 ⇒

µAk2= 0. Bod A je jedním bodem chordály. Ze stejného důvodu i B ∈ c,

tj. c =↔ AB (obr. 3.8.6).

b) k1, k2 se dotýkají v bodě T . Platí T ∈ k1 ⇒ µTk1= 0 a T ∈ k2 ⇒

µTk2= 0. Bod T je jedním bodem chordály. Dále víme: c ⊥↔ S1S2 (obr.

3.8.7).

c) k1 ∩ k2 = ∅ — viz dále (potenční střed) �

S1

k1

S2

k2

c

A

B

Obr. 3.8.6

S1

k1

S2

k2

c

T

Obr. 3.8.7

Potenční střed tří (po dvou nesoustředných) kružnic

Příklad 3.8.3. Jsou dány kružnice k1(S1, r1), k2(S2, r2), k3(S3, r3) (S1 6=S2 6= S3 6= S1). Vyšetřete, zdali existuje bod, který by měl stejnou mocnostke všem kružnicím. ♦

93


a) S1, S2, S3 — kolineární. Potom chordály ch12, ch23, ch31 jsou navzájemrovnoběžné, přičemž buďto všechny splynou (nekonečně mnoho hleda-ných bodů) (obr. 3.8.9), anebo žádné dvě spolu nesplynou (ani jeden bodvyhovující podmínce ze zadání) (obr. 3.8.8).

S2S1

k2

k1

S3

k3

ch12ch13 ch23

Obr. 3.8.8

S2S1

k2

k1

S3

k3

ch =ch =ch12 13 23

T

Obr. 3.8.9

b) S1, S2, S3 — nekolineární. Potom se chordály ch12, ch23, ch31 protínajív jednom bodě (jediný bod vyhovující podmínce ze zadání) (obr. 3.8.10).

S2

S1

k2

k1

S3

k3

ch12

ch13

ch23P

Obr. 3.8.10

S2S1

k2k1

k3

ch12

ch13

ch23

P

Obr. 3.8.11

DEFINICE 3.8.3: Bod P , který má stejnou mocnost ke kružnicím k1, k2, k3se nazývá potenční střed kružnic k1, k2, k3. �

Příklad 3.8.4. Sestrojte chordálu dvou nesoustředných kružnic k1, k2 bezspolečného bodu. ♦

(obr. 3.8.11) Sestrojíme libovolnou pomocnou kružnici k3(S3, r3) tak, že jejístřed S3 neleží na středné S1S2, přičemž k3 protíná k1 i k2. Chordála ch13kružnic k1, k3 protíná chordálu ch23 kružnic k2, k3 ve společném potenčnímstředu P kružnic k1, k2, k3. Kolmice z bodu P na přímku S1S2 je hledanáchordála kružnic k1, k2. �

94


3.9 Nevlastní prvky. Rozšířená Eukleidova rovina

Vlastnost býti incidentní v Eukleidově rovině E vykazuje nedostatek symetrie— zatímco každé dva body incidují s jednou přímkou, neplatí, že každé dvěpřímky (speciálně dvě různé rovnoběžky) incidují s jedním bodem! Naše dalšíúvahy jsou tudíž vedeny snahou odstranit tuto nejednotnost, a to přidánímspeciálních „bodů v nekonečnuÿ.

DEFINICE 3.9.1: Nevlastní přímkou nazýváme množinu p∞ ={s; s je směr v rovině E}; ostatní přímky roviny E označujeme jako vlastní.Prvky množiny p∞ (tj. směry) nazýváme nevlastní body (značíme A∞,B∞, P∞ apod.); ostatní body roviny E označujeme jako vlastní. Rozšířenáeukleidovská rovina E se skládá z roviny E a všech nevlastních bodů. �

p

A B

C

a1

c1

b1

a2

c2

b2 a3E2

Obr. 3.9.1

V rozšířené rovině platí pro vlastní útvary (vlastní body a vlastní přímky)všechny dříve uvedené axiómy a věty. Ovšem pro nevlastní útvary předpoklá-dáme platnost následující jednoduché věty.

Vlastní přímka prochází svým nevlastním bodem, který je asociován s jejímsměrem.

Všimněme si nyní podrobněji incidence v rovině E:

Věta 3.9.1: Každé dva různé body určují jedinou přímku. �

Důkaz: Mohou nastat tři případy:• A, B – oba vlastní. Potom tyto body podle axiómu [I-1] určují jedinouvlastní přímku p v rovině E, tj. i v E;• A – vlastní, B∞ – nevlastní. Potom podle axiómu [R] existuje jedinávlastní přímka p v rovině E, tj. i v E procházející bodem A a náležejícísměru b určeném bodem B∞;• A∞, B∞ – oba nevlastní. Potom tyto body určují jedinou nevlastnípřímku p∞ v rovině E. Q.E .D.

95


Věta 3.9.2: Každé dvě různé přímky určují jediný bod. �

Důkaz: Opět mohou nastat tři případy:

• p, q – obě vlastní a současně p 6‖ q. Potom se tyto přímky protínají vjediném vlastním bodě P v rovině E, tj. i v E;• p, q – obě vlastní a současně p ‖ q. Potom tyto přímky náležejí témužsměru v rovině E a protínají se v jediném nevlastním bodě P∞ v roviněE;• p – vlastní, q∞ – nevlastní. Potom přímka p má v rovině E jediný ne-vlastní bod P∞, který současně náleží q∞. Q.E .D.

Přirozená představa nevlastních bodů jako „bodů v nekonečnuÿ umožňujerozšířit pojem dělicího poměru:

(ABC∞) = limx→∞

d+ x

x= 1, (resp. lim

x→∞

x

d+ x= 1).

Dělicí poměr nevlastního bodu přímky p vzhledem k libovolným dvěmazákladním bodům A 6= B této přímky je roven 1 (tj. (ABC∞) = 1).

Předcházející přístup k dělicímu poměru samozřejmě umožňuje i obecnějšíchápání dvojpoměru čtyř bodů, např.

(ABCD∞) =(ABC)(ABD∞)︸︷︷︸

=1

= (ABC).

Neboť dělicí poměr středu úsečky vzhledem k jejím krajním bodům je roven−1, snadno nahlédneme, že střed úsečky AB je harmonicky sdružen s nevlast-ním bodem přímky určené body A, B vzhledem k bodům A, B.18

V kapitole 4.10 věnované kruhové inverzi se seznámíme s jiným rozšířenímeukleidovské roviny, kde na rozdíl od roviny E (přímka nevlastních bodů)vystačíme jen s jedním(!) nevlastním bodem.

18Tvrzení, že střed S úsečky AB je harmonicky sdružen s nevlastním bodem P∞ přímkyAB vzhledem k bodům A, B, můžeme jinak formulovat ve tvaru: body A, B, S, P∞ tvoříharmonickou čtveřici.

96

4. Základní geometrická zobrazení v rovině

4 Základní geometrická zobrazení v rovině

4.1 Úvodní pojmy

Je-li dán předpis, který každému bodu roviny (tzv. vzoru) přiřazuje jedinýbod téže roviny (tzv. obraz), potom říkáme, že v rovině je dáno geometrickézobrazení (popř. geometrická transformace, korespondence, příbuz-nost).

Pro označení geometrických zobrazení budeme používat velká písmena latin-ské abecedy (Z, S, P, A apod.), popř. velká písmena opatřená indexy (Z1,Z2, S1 apod.)Skutečnost, že v zobrazení Z je bodu A přiřazen bod A′ můžeme popsat ně-kolika způsoby

Z : A→ A′, Z(A) = A′, popř. [A,A′] ∈ Z.

Mezi zobrazeními sehrávají významnou roli ta zobrazení, v nichž jsou kaž-dým dvěma různým vzorům přiřazeny dva různé obrazy. Taková zobrazení senazývají prostá zobrazení.

Obrazem útvaru U (jako množiny bodů) rozumíme množinu U ′ obrazůvšech bodů útvaru U . Navzájem přiřazeným útvarům (ale i bodům) říkámeodpovídajíci si (sdružené, korespondující) útvary (body).

Bod A nazýváme samodružný bod zobrazení Z, jestliže platí Z(A) = A.

Zobrazení, v němž jsou všechny body samodružné, se nazývá identita, zna-číme I.Útvar U nazýváme samodružný útvar v zobrazení Z, právě když Z : U →U ′ = U . Rovněž říkáme, že útvar U se v zobrazení Z reprodukuje.Zdůrazněme jen, že samodružný útvar nemusí být útvarem samodružnýchbodů.

Vztahy, které se při daném zobrazení nemění (např. velikosti úseček, velikostiúhlů, smysl obíhání vrcholů trojúhelníka apod.) se nazývají invariantní (tj.neměnné); zkráceně invarianty.

Složením zobrazení Z1 a Z2 (značíme Z1 ◦Z2) rozumíme zobrazení Z danépředpisem

Z(A) = A′′ ⇐⇒ (∃A′)[ Z1(A) = A′ ∧ Z2(A′) = A′′ ].

Danou operaci nazýváme skládání zobrazení (obr. 4.1.1).

Všimněte si pořadí, ve kterém se skládání zobrazení provádí:

Z(A) = (Z1 ◦ Z2)(A) = Z2[Z1(A)]

97


Z1

Z1oZ2

Z2

A

A’

A’’

Obr. 4.1.1

Z1

Z1oZ2

Z2oZ3

Z2Z3

A A’ A’’ A’’’

Obr. 4.1.2

Věta 4.1.1: Skládání geometrických zobrazení je asociativní (obr. 4.1.2), tj.

(∀Z1,Z2,Z3)[ (Z1 ◦ Z2) ◦ Z3 = Z1 ◦ (Z2 ◦ Z3) ]. �

Věta 4.1.2: Skládání geometrických zobrazení není obecně komutativní. �

Ke každému prostému zobrazení Z můžeme sestrojit tzv. inverzní zobra-zení, značíme Z−1, které je dáno vztahem

Z ◦ Z−1 = Z−1 ◦ Z = I.

Je zřejmé, že Z−1(B) = A, právě když Z(A) = B. Bod, který je v zobrazeníZ vzorem, se stává v zobrazení Z−1 obrazem a naopak.

A

Z

Z -1

B

Obr. 4.1.3

Zobrazení Z, které není identitou, nazýváme involutorní zobrazení (invo-luce), právě když platí

Z2 = Z ◦ Z = I,tj. involutorní zobrazení je inverzní samo k sobě ; Z−1 = Z.

4.2 Identita

DEFINICE 4.2.1: Identitou v rovině nazýváme zobrazení, které každémubodu X přiřazuje týž bod X.

Všechny body a obecně všechny útvary v rovině jsou pak samodružné. Každývztah je invariantem.

98


4.3 Osová souměrnost

DEFINICE 4.3.1: Geometrické zobrazení v rovině, které každému bodu A ∈ o,kde o je pevně zvolená přímka, přiřazuje týž bod A a každému bodu X 6∈ opřiřazuje bod X ′ tak, že přímka o je osou úsečky XX ′, se nazývá osová sou-měrnost (souměrnost podle osy). Přímka o se nazývá osa souměrnosti.Značíme O(o) (popř. Oo). �

Osová souměrnost je určena osou nebo jednou nesamodružnou dvojicí odpo-vídajících si bodů.

o

p

p’

m

m’ k’=k

X Y

X’ Y’

Z’

Z

A’=A

Obr. 4.3.1

Základní vlastnosti osové souměrnosti jsou:• Odpovídající si body X, X ′ leží na kolmici k ose souměrnosti.

• Přímce odpovídá přímka. Jestliže je přímka různoběžná s osou, má sodpovídající přímkou společný bod na ose; jestliže je rovnoběžná s osou,potom rovněž odpovídající přímka je rovnoběžná s osou.

• Každý bod osy je samodružný; jiné samodružné body neexistují.• Všechny samodružné přímky jsou osa souměrnosti (přímka samodruž-ných bodů) a přímky kolmé k ose.

Věta 4.3.1: Osová souměrnost je involutorní zobrazení. �

Věta 4.3.2: Invarianty v osové souměrnosti jsou velikost úsečky a velikostúhlu.19 �

Věta 4.3.3: Osová souměrnost převádí každý orientovaný úhel v úhel nesou-hlasně orientovaný. �

DEFINICE 4.3.2: Útvar U je souměrný podle osy o, právě když je samod-ružný v osové souměrnosti podle osy o; tj. když platí O(o) : U → U ′ = U . �19Takovéto transformace nazýváme shodná zobrazení — podrobněji viz kap. 6.3.

99


4.4 Středová souměrnost

DEFINICE 4.4.1: Geometrické zobrazení v rovině, které pevnému bodu Spřiřazuje týž bod S a každému bodu X 6= S bod X ′ tak, že bod S je stře-dem úsečky XX ′, se nazývá středová souměrnost (souměrnost podlestředu). Bod S se nazývá střed souměrnosti. Značíme S(S) (popř. SS). �

Středová souměrnost je určena středem nebo jednou nesamodružnou dvojicíodpovídajících si bodů.

S

X

Y

ZX’

Y’

Z’p p’

m=m’

Obr. 4.4.1

Základní vlastnosti středové souměrnosti jsou:

• Odpovídající si body X, X ′ leží na přímce procházející středem souměr-nosti.

• Přímce odpovídá přímka s ní rovnoběžná.• Existuje jediný samodružný bod — střed souměrnosti.• Každá přímka procházející středem souměrnosti je samodružná; jiné sa-modružné přímky neexistují.

Věta 4.4.1: Středová souměrnost je involutorní zobrazení. �

Věta 4.4.2: Invarianty ve středové souměrnosti jsou velikost úsečky a velikostúhlu. �

Věta 4.4.3: Středová souměrnost převádí každý orientovaný úhel v úhel sou-hlasně orientovaný. �

Věta 4.4.4: Složením dvou osových souměrností s osami na sebe kolmými jestředová souměrnost, jejímž středem je průsečík obou kolmých os. �

Důkaz: Buďte O1, O2 osové souměrnosti s kolmými osami o1, o2. Je zřejmé, žeprůsečík S přímek o1, o2 je jediným samodružným bodem složeného zobrazení

100


Z. Libovolný bod X 6= S přejde v osové souměrnosti O1 do bodu X∗ a bodX∗ přejde v osové souměrnosti O2 do bodu X ′ (tj. Z = O1◦O2 : X → X ′). Jezřejmě |SX| = |SX∗| = |SX ′|. Dále |∠SX, o1| = |∠o1, SX∗| a |∠SX∗, o2| =|∠o2, SX ′|, tj.

|∠XSX ′| = (|∠SX, o1|+ |∠o1, SX∗|) + (|∠SX∗, o2|+ |∠o2, SX ′|) =

= 2|∠o1, SX∗|+ 2|∠SX∗, o2| = 2|∠o1, o2| = 2 · 90◦ = 180◦.Body X, X ′, S jsou tedy kolineární a navíc S je středem úsečky XX ′, tj.Z = S(S). Q.E .D.

o1

o2

S

X

X*X’

Obr. 4.4.2

K výše uvedené větě platí i věta obrácená.

Věta 4.4.5: Každou středovou souměrnost lze rozložit na dvě osové souměr-nosti, jejichž osy jsou kolmé různoběžky procházející středem souměrnosti. Zajednu osu lze volit libovolnou přímku procházející středem souměrnosti, druháosa je pak určena jednoznačně. �

Důkaz: Nechť S je střed souměrnosti S, A je libovolný bod různý od S a A′

je jeho obraz. Zvolíme o1 = AA′; potom O1 : A → A. Dále zvolíme o2 – osaúsečky AA′; potom O2 : A → A′. V zobrazení O1 ◦ O2 (o1 ⊥ o2), které jepodle předcházející věty středovou souměrností, přechází bod A do bodu A′.Dvojice A, A′ byla vybrána libovolně, a proto i osa o1 je zvolena libovolně.Osa o2 je již evidentně volena jednoznačně. Q.E .D.

DEFINICE 4.4.2: Útvar U je souměrný podle středu S, právě když jesamodružný ve středové souměrnosti podle středu S; tj. S(S) : U → U ′ = U . �Věta 4.4.6: Má-li útvar dvě osy souměrnosti, které jsou k době kolmé, pakje středově souměrný podle jejich průsečíku. �

Neplatí však věta obrácená! Připomeňme např. kosodélník, který je středověsouměrný, nikoliv ale osově souměrný.

101


4.5 Posunutí (translace)

DEFINICE 4.5.1: Geometrické zobrazení v rovině, které každému bodu Xpřiřazuje bod X ′ 6= X tak, že pro každou další dvojici odpovídajících si bodůY , Y ′ platí, že úsečky XY ′ a Y X ′ mají společný střed, se nazývá posunutí(translace). Směr, který je určen odpovídajícími body XX ′ se nazývá směrposunutí, velikost úsečky XX ′ velikost posunutí a pořadí bodů X, X ′

smysl posunutí. Značíme T (XX ′) (popř. T (X → X ′) nebo TXX′). �

Posunutí je určeno směrem, velikostí a smyslem nebo jednou uspořádanoudvojicí odpovídajících si bodů.

XX’

Y

Y’

ZZ’

p p’

m=m’

Obr. 4.5.1

Základní vlastnosti posunutí jsou:

• Všechny přímky XX ′, Y Y ′, ZZ ′,. . . jsou navzájem rovnoběžné, všechnyúsečky XX ′, Y Y ′, ZZ ′,. . . jsou navzájem shodné.

• Přímce odpovídá přímka s ní rovnoběžná.• Neexistuje žádný samodružný bod.• Všechny samodružné přímky jsou právě přímky náležející směru posu-nutí.

Věta 4.5.1: Inverzním zobrazením k translaci T (X → X ′) je translaceT (X ′ → X), tj. translace o stejném směru, stejné velikosti, ale opačnémsmyslu. �

Věta 4.5.2: Invarianty v translaci jsou velikost úsečky a velikost úhlu. �

Věta 4.5.3: Translace převádí každý orientovaný úhel v úhel souhlasně ori-entovaný. �

Věta 4.5.4: Složením dvou osových souměrností s rovnoběžnými osami vznikátranslace. Velikost translace je rovna dvojnásobku vzdálenosti os a směr

102


translace je kolmý na osy obou souměrností. Smysl translace je jednoznačněurčen pořadím os. �

Důkaz: Buďte O1, O2 osové souměrnosti s rovnoběžnými osami o1, o2. Libo-volný bod X přejde v osové souměrnosti O1 do bodu X∗ a bod X∗ přejde vosové souměrnosti O2 do bodu X ′ (tj. Z = O1 ◦ O2 : X → X ′). Z vlastnostíosové souměrnosti plyne, že přímka XX ′ je kolmá na osy souměrnosti o1, o2.Dále |X, o1| = |o1, X∗| a |X∗, o2| = |o2, X ′|, tj.

|XX ′| = (|X, o1|+ |o1, X∗|) + (|X∗, o2|+ |o2, X ′|) =

= 2|o1, X∗|+ 2|X∗, o2| = 2|o1, o2|.Všechny přímkyXX ′ jsou navzájem rovnoběžné (neboť všechny jsou kolmé nao1 ‖ o2) a navíc všechny úsečky XX ′ jsou navzájem shodné, tj. Z = T (XX ′)(při postupu záleží na pořadí os, který udává smysl translace). Q.E .D.

o1

o2

X

X*

X’

d2d

Obr. 4.5.2


Věta 4.5.5: Každou translaci lze rozložit na dvě osové souměrnosti, jejichžosy jsou rovnoběžné. Za jednu osu lze volit libovolnou přímku kolmou k přím-kám směru translace, druhá osa je pak určena jednoznačně. �

Důkaz: Translace T je určena jednou uspořádanou dvojicí odpovídajících sibodů A, A′. Zvolíme o1 ⊥ AA′ ∧ A ∈ o1; potom O1 : A→ A. Dále zvolíme o2– osa úsečky AA′ (tj. o2 ‖ o1); potom O2 : A→ A′. V zobrazení O1 ◦O2, kteréje podle předcházející věty translací, přechází bod A do bodu A′. Dvojice A,A′ byla vybrána libovolně, a proto i osa o1 je zvolena libovolně. Osa o2 je jiževidentně volena jednoznačně. Q.E .D.

4.6 Otočení (rotace)

DEFINICE 4.6.1: Geometrické zobrazení v rovině, které pevnému bodu Spřiřazuje týž bod S a každému bodu X 6= S bod X ′ tak, že XS ∼= X ′S a

103


∠X ′SX = ϕ, kde ϕ je daný orientovaný úhel, se nazývá otočení (rotace)kolem bodu S o orientovaný úhel ϕ. Bod S se nazývá střed otočení, úhel ϕse nazývá úhel otočení a orientace úhlu ϕ udává smysl otočení. ZnačímeR(S, ϕ) (popř. RS,ϕ). �

Otočení je určeno středem otočení S a orientovaným úhlem otočení ϕ nebo(nikoliv však jednoznačně — jen modulo 2kπ) středem S a jednou uspořáda-nou nesamodružnou dvojicí odpovídajících si bodů X, X ′, které leží na téžekružnici se středem S.

Otočení o úhel ϕ = (2k+1)π (k celé číslo), tj. o lichý násobek 180◦, je středovásouměrnost; otočení o úhel ϕ = 2kπ (k celé číslo), tj. o sudý násobek 180◦,je identita.

p’p

X

Z

Y

m

X’

Y’

Z’ m’

ϕ

ϕ

ϕ

S

Obr. 4.6.1

Základní vlastnosti otočení jsou:

• Odpovídající si body X 6= S, X ′ leží na kružnici se středem S a polomě-rem SX, přičemž orientovaný úhel XSX ′ je konstatní a rovná se úhluotočení.

• Přímce odpovídá přímka; obě jsou stejně vzdáleny od středu otočení asvírají úhel rovný úhlu otočení.

• Neidentické otočení (ϕ 6= 2kπ) má jediný samodružný bod, a to středotočení.

• Samodružné přímky existují pouze v případě ϕ = kπ. Pro k sudé (iden-tita!) jsou všechny přímky samodružné; pro k liché (středová souměr-nost!) jsou samodružné právě všechny přímky procházející středem oto-čení.

104


Věta 4.6.1: Inverzním zobrazením k rotaci R(S, ϕ) je rotace R(S,−ϕ), tj.rotace se stejným středem, úhlem, ale opačným smyslem. �

Věta 4.6.2: Invarianty v rotaci jsou velikost úsečky a velikost úhlu. �

Věta 4.6.3: Rotace převádí každý orientovaný úhel v úhel souhlasně oriento-vaný. �

Věta 4.6.4: Složením dvou osových souměrností s různoběžnými osami jerotace, jejímž středem je průsečík obou různoběžných os. Velikost úhlu otočeníje rovna dvojnásobku velikosti ostrého nebo pravého úhlu, který svírají osy obouosových souměrností, smysl otáčení je dán pořadím os. �

Důkaz: Buďte O1, O2 osové souměrnosti s různoběžnými osami o1, o2. Jezřejmé, že průsečík S přímek o1, o2 je jediným samodružným bodem složenéhozobrazení Z. Libovolný bod X 6= S přejde v osové souměrnosti O1 do boduX∗ a bod X∗ přejde v osové souměrnosti O2 do bodu X ′ (tj. Z = O1 ◦ O2 :X → X ′). Je zřejmě |SX| = |SX∗| = |SX ′|. Dále |∠SX, o1| = |∠o1, SX∗| a|∠SX∗, o2| = |∠o2, SX ′|, tj.

|∠XSX ′| = (|∠SX, o1|+ |∠o1, SX∗|) + (|∠SX∗, o2|+ |∠o2, SX ′|) =

= 2|∠o1, SX∗|+ 2|∠SX∗, o2| = 2|∠o1, o2|.Odpovídající si body X 6= S, X ′ leží na kružnici se středem S a poloměremSX, přičemž orientovaný úhel XSX ′ je konstatní a rovná se dvojnásobkuorientovaného úhlu ϕ určeného přímkami o1, o2, tj. Z = R(S, 2ϕ) (při postupuzáleží na pořadí os, který udává smysl rotace). Q.E .D.

o1

o2

S

X

X*

X’

ϕ

2ϕ

Obr. 4.6.2


Věta 4.6.5: Každou rotaci lze rozložit na dvě osové souměrnosti, jejichž osyjsou různoběžky procházející středem souměrnosti. Za jednu osu lze volit li-bovolnou přímku procházející středem souměrnosti, druhá osa je pak určenajednoznačně. �

105


Důkaz: Rotace R je určena středem S a jednou uspořádanou nesamodružnoudvojicí odpovídajících si bodů A, A′, které leží na téže kružnici se středemS. Zvolíme o1 = SA; potom O1 : S → S, A → A. Dále zvolíme o2 – osaúhlu ASA′; potom O2 : S → S, A → A′. V zobrazení O1 ◦ O2, které jepodle předcházející věty rotací, přechází bod A do bodu A′. Dvojice A, A′

byla vybrána libovolně, a proto i osa o1 je zvolena libovolně. Osa o2 je jiževidentně volena jednoznačně. Q.E .D.

4.7 Stejnolehlost (homotetie)

DEFINICE 4.7.1: Geometrické zobrazení v rovině, které pevnému bodu S při-řazuje týž bod S a každému boduX 6= S bodX ′ tak, že platí (X ′XS) = κ, kdeκ 6= 0, 1 je pevně zvolené reálné číslo, se nazývá stejnolehlost (homotetie).Bod S se nazývá střed stejnolehlosti, číslo κ koeficient stejnolehlosti.Značíme H(S, κ) (popř. HS,κ). �

Stejnolehlost je určena středem S a koeficientem κ nebo středem S a jednouuspořádanou dvojicí odpovídajících si bodů X, X ′ (X, X ′ 6= S), které leží napřímce procházející bodem S.

Stejnolehlost s koeficientem κ = −1 je středová souměrnost.

X

Y

Z

X’

Y’

Z’ p

p’

m=m’S

κ>0

Obr. 4.7.1

X

Y

Z

X’

Y’

Z’p p’

m=m’

S

κ<0

Obr. 4.7.2

Základní vlastnosti stejnolehlosti jsou:

• Odpovídající si body X, X ′ leží na přímce procházející středem stejno-lehlosti. pro jejich vzdálenosti od středu stejnolehlosti S platí |SX ′| =|κ| · |SX|. Je-li κ > 0, potom body X, X ′ leží na téže polopřímce 7→SX;je-li κ < 0, potom body X, X ′ leží na opačných polopřímkách s počá-tečním bodem S.

106


• Přímce odpovídá přímka s ní rovnoběžná.• Existuje jediný samodružný bod — střed stejnolehlosti.• Každá přímka procházející středem stejnolehlosti je samodružná; jinésamodružné přímky neexistují.

Věta 4.7.1: Inverzním zobrazením ke stejnolehlosti H(S, κ) je stejnolehlostH(S, 1κ ), tj. stejnolehlost se stejným středem, ale převráceným koeficientem. �

Věta 4.7.2: Úsečce odpovídá úsečka, jejíž délka je rovna délce dané úsečkynásobené číslem |κ|. Velikost úhlu je invariantem stejnolehlosti.20 �

Věta 4.7.3: Stejnolehlost převádí každý orientovaný úhel v úhel souhlasněorientovaný. �

Stejnolehlost dvou kružnic

Věta 4.7.4: Obrazem kružnice k(O, r) ve stejnolehlosti H(S, κ) je kružnicek′(O′, |κ|r). �Důkaz: Popišme kružnici k(O, r) množinově, tj.

k = {X ∈ E2; |OX| = r}.

Ve stejnolehlosti H(S, κ) přejde množina k na množinu k′ danou předpisem

k′ = {X ′ ∈ E2; |O′X ′| = |κ| · |OX| = |κ|r = r′}.

Jak vidíme, k′ je množina všech bodů v rovině, které mají od pevného boduO′ stejnou vzdálenost r′ = |κ|r — jde o kružnici. Q.E .D.

Příklad 4.7.1. Jsou dány dvě kružnice k1(O1, r1), k2(O2, r2) (r1 6= r2), kteréleží vně sebe. Zjistěte, zdali existuje stejnolehlost, která převádí kružnici k1do kružnice k2. ♦

Označme střed hledané stejnolehlosti S a koeficient κ.

Podle předcházející věty musí platit

r2 = |κ| · r1, tj. |κ| = r2r1

.

Jestliže tedy existuje hledaná stejnolehlost H(S, κ), potom zřejmě platí

κ =r2r1

, anebo κ = −r2r1

.

Nyní hledejme podmínky pro střed S.S ∈↔O1O2; přičemž z definice stejnolehlosti (resp. z definice dělicího poměru)

20Takovéto transformace nazýváme podobná zobrazení — podrobněji viz kap. 6.4.

107


plyne, že pro κ = r2r1

> 0 bod S neleží mezi body O1, O2; kdežto pro κ =r2r1

< 0 bod S leží mezi body O1, O2. První střed stejnolehlosti označme E,druhý I.

Existují tudíž dvě stejnolehlosti

H(E,r2r1) a H(I,−r2

r1).

Bod E nazýváme vnější střed stejnolehlosti kružnic k1, k2; bod I vnitřnístřed stejnolehlosti kružnic k1, k2.

O1

X1k1

O2

X2

X’2

k2

E I

p

p’

Obr. 4.7.3

Zbývá jen určit, jak vnější střed E, resp. vnitřní střed I sestrojíme. Na kružnicik1 zvolme bod X1. Ve stejnolehlosti H, která převádí k1 na k2, je obrazempřímky p = O1X1 rovnoběžka p′ procházející středem O2. Obraz X2 boduX1 leží jednak na kružnici k2, jednak na přímce p′. Průsečíky p′ ∩ k2 jsoudva — označme je X2, X ′

2 (volíme tak, že X1, X2 leží v téže polorovině shraniční přímkou ↔ O1O2). Průsečík přímky ↔ O1O2 s přímkou ↔ X1X2(resp. ↔X1X

′2) je bod E (resp. I). �

Věta 4.7.5: Každé dvě kružnice jsou stejnolehlé. �

Důkaz: V předcházejícím příkladu jsme ukázali, že věta platí pro dvě kružnices různými poloměry ležící vně sebe. Dokonce jsme nalezli dvě stejnolehlosti!Jak uvidíme dvě stejnolehlosti nemusejí existovat vždy.

Uvažujme kružnice k1(O1, r1), k2(O2, r2). Pro každý z následujících případůse podaří najít alespoň jednu stejnolehlost (jestliže r1 6= r2 nalezneme vždyprávě dvě stejnolehlosti H(E, r2

r1) a H(I,− r2

r1); jestliže r1 = r2 nalezneme

pouze jednu, a to H(I,− r2r1) = H(I,−1), tj. středovou souměrnost S(I)).

108


1. O1 6= O2(a) r1 6= r2 — vně sebe (viz obrázek u předcházejícího příkladu), vnějšídotyk, protínající se, vnitřní dotyk, jedna uvnitř druhé (obr. 4.7.4)

E T=I

k1

k2

O1 O2 E I

k1 k2

O1 O2

T=E I

k1 k2

O1 O2

E I

k1 k2

O1 O2

(b) r1 = r2 — vně sebe, vnější dotyk, protínající se (obr. 4.7.5)

I

k1 k2

O1O2

T=I

k1 k2

O1O2

I

k1 k2

O1O2

2. O1 = O2 (obr. 4.7.6)(a) r1 6= r2 — soustředné kružnice (b) r1 = r2 — totožné kružnice

k1

k2

O =1=O2

=I=E

X1

X2

X’2

k1=k2

O =I1=O2

X1

X’2

109


Z předcházejících obrázků ihned nahlédneme, že platí:

Věta 4.7.6: Dotýkají-li se dvě kružnice, potom bod dotyku je jedním ze středůstejnolehlosti (v případě vnějšího dotyku vnitřním středem, v případě vnitřníhodotyku vnějším středem). �

Středy stejnolehlosti lze úspěšně využít při konstrukci společných tečen dvoukružnic, neboť platí věty

Věta 4.7.7: Jsou-li dány 2 nesoustředné kružnice k, k (O 6= O′) a přímka t,která je tečnou kružnice k a současně prochází jedním ze středů stejnolehlosti,potom je přímka t i tečnou kružnice k′. �

Věta 4.7.8: Společná tečna 2 nesoustředných kružnic k(O, r), k(O′, r′) pro-chází některým ze středů stejnolehlosti kružnic k, k′ nebo je rovnoběžná spřímkou OO′. �

O

T1

T4

T’4T3

T’3

t1

t2

t3

t4

k

O’

T’2

T’1

k’

E I

Obr. 4.7.7

Leží-li vnější (popř. vnitřní) střed stejnolehlosti vně, resp. na, resp. uvnitřkružnice k (a tím i k′) lze jím vést dvě tečny, resp. jednu tečnu, resp. žádnoutečnu. Celkový počet tečen tak může být 4, 3, 2, 1 nebo 0 — specifikujte nazákladě obrázků u důkazu předcházející věty.

4.8 Osová afinita

DEFINICE 4.8.1: Geometrické zobrazení v rovině, pro něž platí, že zobrazujepřímku na přímku, bod a jeho obraz leží na přímce daného směru s a bodyodpovídající samy sobě leží na dané přímce o, se nazývá osová afinita. Směrv rovině s se nazývá směr afinity, přímka o se nazývá osa afinity. �

Osová afinita je určena osou a jednou uspořádanou nesamodružnou dvojicíodpovídajících si bodů. Přímka procházející danými dvěma body A, A′ určujesměr afinity.

110


o

A

B

A’

A0C0 B0=D0

B’

M=M’

p

p’

s

m

m’C’

C

n=n’

D

D’

q’

q

Obr. 4.8.1

Základní vlastnosti osové afinity jsou:

• Každé dva odpovídající si body leží na přímce náležející směru afinity.• Jestliže je přímka různoběžná s osou, má s odpovídající přímkou spo-lečný bod na ose; jestliže je rovnoběžná s osou, potom rovněž odpovída-jící přímka je rovnoběžná s osou.

• Každý bod osy je samodružný; jiné samodružné body neexistují.• Všechny samodružné přímky jsou osa afinity (přímka samodružnýchbodů) a přímky náležející směru afinity.

• V osové afinitě v rovině odpovídají dvěma rovnoběžným přímkám opětdvě rovnoběžné přímky.

Podle polohy směru afinity k ose afinity rozlišujeme tři typy osových afinit vrovině. Jestliže je směr afinity kolmý k její ose, afinita se nazývá pravoúhlá,jestliže je směr kosý k ose, afinita se nazývá kosoúhlá a jestliže je směrrovnoběžný s osou, potom se nazývá elace.

o

A

A’

A0

p

p’

s

o

A

A’

A0

p

p’

s

o

A A’p p’

s

Obr. 4.8.2

111


Věta 4.8.1: Jsou-li X 6= X ′ libovolné dva odpovídající si body v osové afi-nitě, která není elací, a X0 je průsečík přímky XX ′ s osou afinity, potomdělicí poměr k = (X ′XX0) je konstantní a nezávisí na volbě odpovídajícíchsi bodů. �

o

X

X’

X0 Y0

s Y

Y’

Mo

X

X’

X0 Y0

s Y

Y’

o

X

X’

s Z

Z’Y’

Y

Obr. 4.8.3

Důkaz: Pro dvě různé dvojice X, X ′ a Y , Y ′ různých odpovídajících si bodůmohou nastat jen tyto tři případy — přímka XY není samodružná a jes osou afinity různoběžná; resp. přímka XY není samodružná a je s osouafinity rovnoběžná; resp. přímka XY je samodružná, tj. náleží směru afi-nity. Snadno bychom dokázali, že ve všech třech případech platí |X ′X0| :|XX0| = |Y ′Y0| : |Y Y0| (např. v prvním případě bychom použili podobnosttrojúhelníků: 4XX0M ∼ 4Y Y0M ⇒ |XX0| : |Y Y0| = |X0M | : |Y0M | a4X ′X0M ∼ 4Y ′Y0M ⇒ |X ′X0| : |Y ′Y0| = |X0M | : |Y0M |). Navíc bod X0leží mezi body X a X ′, právě když bod Y0 leží mezi body Y , Y ′. Odtud jižvyplývá (X ′XX0) = (Y ′Y Y0) = konst. Q.E .D.

Číslo k z předcházející věty se nazývá charakteristika afinity.

Je zřejmé, že je-li charakteristika kladná, potom sobě odpovídající body leží vtéže polorovině určené osou afinity a navíc se zachovává smysl obíhání vrcholůtrojúhelníka; je-li charakteristika záporná, potom sobě odpovídající body ležív opačných polorovinách a navíc se smysl obíhání vrcholů trojúhelníka obrací.

o

X

X’

sZ

Z’

Y

Y’

k>0

Obr. 4.8.4

o

X

X’

sZ

Z’

Y

Y’

k<0

Obr. 4.8.5

112


Osovou afinitu různou od elace lze určit osou o, směrem s a charakteristikouk — A(o, s, k). Navíc zřejmě platí:Věta 4.8.2: Inverzním zobrazením k osové afinitě je opět osová afinita a,nejde-li o elaci, potom

A−1(o, s, k) = A(o, s, 1k). �

Pro involutorní zobrazení platí X → X ′ ∧ X ′ → X. Z toho pro osovou afinituplyne, že bod X0 musí být středem úsečky XX ′, tj. je evidentní platnost věty:

Věta 4.8.3: Osová afinita je involucí, právě když není elací a její charakte-ristika je −1. �Snadno nahlédneme, že pravoúhlá afinita s charakteristikou −1 je osová sou-měrnost.

O důležitém invariantu osové afinity hovoří následující věta:

Věta 4.8.4: Nechť jsou dány tři různé kolineární body A, B, C, které se vosové afinitě zobrazují na body A′, B′, C ′. Potom platí (A′B′C ′) = (ABC). �

Důkaz: Jestliže body A, B, C leží na ose afinity nebo na přímce rovnoběžnés osou, potom je tvrzení věty evidentní.

Dále mohou nastat tyto případy: a) přímka AB je s osou afinity různoběžná anení samodružná; b) přímka AB je s osou afinity různoběžná a je samodružná,tj. náleží směru afinity. Ukažme si důkaz části a) (důkaz části b) by probíhalobdobně).

o

AB

C

A’B’

C’

M

Obr. 4.8.6

Nechť přímka AB protíná osu o v bodě M a bez újmy na obecnosti pře-pokládejme pořadí A ∗ B ∗ C ∗ M . Osová afinita zachovává pořadí bodůna přímce, a proto i jejich obrazy leží v pořadí A′ ∗ B′ ∗ C ′ ∗ M . Jelikož

113


4MCC ′ ∼ 4MBB′ ∼MAA′, potom

|CM ||C ′M |

=|BM ||B′M |

=|AM ||A′M |

.

Dále platí |BM | = |CM | + |BC|, |B′M | = |C ′M | + |B′C ′| a také |AM | =|CM |+ |AC|, |A′M | = |C ′M |+ |A′C ′|, tj. můžeme psát

|CM |+ |BC||C ′M |+ |B′C ′|

=|CM ||C ′M |

=|CM |+ |AC||C ′M |+ |A′C ′|

.

Po úpravě dostaneme

|CM ||C ′M |

=|BC||B′C ′|

∧ |CM ||C ′M |

=|AC||A′C ′|

a odtud již plyne|AC||BC|

=|A′C ′||B′C ′|

Q.E .D.

4.9 Středová kolineace (homologie)

Na rozdíl od předcházejících kapitol má tento odstavec pouze informativnícharakter, a proto nebudeme psát definice a věty, ale jednotlivé pojmy a tvr-zení uvedeme jen jako součást běžného textu. Hlavním cílem této kapitoly jepředevším snaha ukázat, že tak odlišná zobrazení jako translace, stejnolehlosta osová afinita lze získat jako speciální případy jediné geometrické příbuznosti.

S

o

A

B

A’

A0 B0

B’

M=M’

p

p’

Obr. 4.9.1

So

A

B

A’

B’

M=M’

p

p’Obr. 4.9.2

Předpokládáme rozšířenou eukleidovskou rovinu E skládající se z eukleidov-ské roviny E a všech nevlastních bodů. Dva rovinné útvary U , U ′ nazvemehomologické (resp. středově kolineární, resp. osově kolineární, resp.perspektivně kolineární) podle určitého bodu S (tzv. středu homolo-gie) a podle určité přímky o (tzv. osy homologie), jestliže přímky spojující

114


dvojice sobě odpovídajících bodů náleží témuž svazku se středem S a dvojicesobě odpovídajích přímek se protínají na téže ose o (obr. 4.9.1).

Dané zobrazení nazýváme homologie (resp. středová kolineace, resp.osová kolineace, resp. perspektivní kolineace). Jestliže střed inciduje sosou, potom hovoříme o tzv. elaci (obr. 4.9.2).

Středová kolineace je určena středem, osou a jedním párem odpovídajících sibodů (resp. přímek), jež nejsou incidentní ani se středem, ani s osou.

Každá dvojice odpovídajících si bodů A a A′, B a B′, C a C ′, . . . tvoří sestředem S a průsečíkem A0, B0, C0, . . . přímky AA′, BB′, CC ′, . . . s osouo čtveřici téhož dvojpoměru k; platí tedy k = (A′AA0S) = (B′BB0S) =(C ′CC0S) = . . . Tato konstanta se nazývá charakteristika kolineace. In-volutorní středová kolineace má charakteristiku −1.Invariantem homologie je dvojpoměr čtyř bodů na přímce.

Zvláštními případy homologie jsou:

• osová afinita— je-li střed S v nekonečnu (tj. nevlastní) a osa o je vlastní(jestliže navíc S∞ ∈ o neboli směr afinity je rovnoběžný s osou, potomje osová afinita elací);

• posunutí — je-li střed S nevlastní a osa o je nevlastní (obr. 4.9.3);

• stejnolehlost — je-li střed S vlastní a osa o je nevlastní.

o

S

S

A B

A’ B’

C

C’

Obr. 4.9.3

Poznamenejme ještě, že název středová kolineace se často používá pouze prohomologii s vlastním středem a vlastní osou.

Vzhledem k tomu, že se pohybujeme v rozšířené eukleidovské rovině E, másmysl se ptát na obraz (resp. vzor) nevlastního (tzv. úběžného) bodu přímkya (resp. a′) ve středové kolineaci.

Obrazem nevlastního bodu U∞ přímky a je tzv. úběžník U ′ ležící na přímcea′; nevlastní přímce u∞ roviny odpovídá tzv. úběžnice u′, na níž leží úběž-

115


níky všech přímek počítaných do množiny obrazů. Obdobně vzorem nevlast-ního bodu V ′

∞ přímky a′ je úběžník V ležící na přímce a; nevlastní přímce v′∞počítané do množiny obrazů odpovídá druhá úběžnice v. Nevlastní přímka ro-viny a jí odpovídající přímka u′, popř. v mají v obou případech společný bodv nevlastním bodě osy kolineace, tj. osa kolineace a obě úběžnice procházejítýmž nevlastním bodem; jinými slovy obě úběžnice jsou rovnoběžné s osou.

S

o

V

U’

V’ U

UV’

M=M’

a

a’

u’

v

Obr. 4.9.4

4.10 Kruhová inverze

DEFINICE 4.10.1: K eukleidovské rovině E2 přidáme jeden prvek – tzv. ne-vlastní bod (značíme P∞, popř. jen∞), který je prvkem každé přímky a ležívně každé kružnice v rovině E2. Množina M2 = E2 ∪ {P∞} se nazývá Möbi-ova rovina. Bodům roviny E2 říkáme body vlastní. Přímky roviny doplněnéo bod nevlastní se nazývají rozšířené přímky. �

Na následujících obrázcích je symbolicky naznačen základní rozdíl (srovnejte!)mezi rozšířenou eukleidovskou rovinou E2 a Möbiovou rovinou M2.

p

A B

C

a1

c1

b1

a2

c2

b2 a3E2

Obr. 4.10.1

P

a1

c1

b1

a2

c2

b2a3M2

Obr. 4.10.2

116


DEFINICE 4.10.2: Přímky a kružnice označujeme společným názvem kru-hové křivky. �

Můžeme shrnout některá základní fakta platící o kruhových křivkách v roviněM2. Nechť p, q jsou kruhové křivky, potom• p je rozšířená přímka, právě když P∞ ∈ p, v opačném případě jde okružnici;

• jsou-li p, q rozšířené přímky, potom se vždy protínají alespoň v jednombodě;

• p, q se vždy protínají nejvýše ve dvou bodech;

• libovolné tři body jednoznačně určují kruhovou křivku.

Zastavme se jen u poslední poznámky. Je-li jeden z bodů A, B, C nevlastní,potom je danou kruhovou křivkou rozšířená přímka; v opačném případě mu-síme ještě rozlišovat, zdali jsou body A, B, C kolineární — potom je kruhovoukřivkou opět rozšířená přímka, anebo nekolineární — potom je daná kruhovákřivka kružnicí opsanou trojúhelníku 4ABC.

DEFINICE 4.10.3: Nechť je dána kružnice ω se středem S a poloměrem r.Uvažujme zobrazení INV(ω) v Möbiově rovině M2 = E2 ∪ {P∞}, které jeurčeno následujícím předpisem:

(i) Obrazem bodu S je nevlastní bod P∞.

(ii) Obrazem nevlastního bodu P∞ je bod S.

(iii) Obrazem bodu X 6= S, P∞ je bod X ′ takový, že X ′ ∈7→SX a současně|SX ′| · |SX| = r2

Zobrazení INV(ω) se nazývá kruhová inverze (inverze podle kružnice),kružnice ω se nazývá základní kružnice inverze, bod S nazýváme středkruhové inverze a kladné reálné číslo r2 je koeficient kruhové inverze. �

Příklad 4.10.1. Sestrojte obraz a) bodu na kružnici ω(S, r); b) vnějšího bodukružnice ω; c) vnitřního bodu kružnice ω v kruhové inverzi INV(ω). ♦

X=X’Y

Y’

T

T’

Z Z’S

ω

rr

Obr. 4.10.3

117


a) Je zřejmé, že bod základní kružnice je samodružný, neboť |SX| · |SX| =r · r = r2.

b) Z vnějšího bodu Y vedeme tečnu Y T ke kružnici ω s bodem dotyku T .Pata Y ′ kolmice z bodu T na přímku SY je hledaným obrazem bodu Y .

c) Ve vnitřním bodě Z vztyčíme kolmici na přímku SZ, která protne kružniciω v bodě T ′. Tečna kružnice ω v bodě T ′ protne přímku SZ v hledaném boděZ ′ – obrazu bodu Z.

Zdůvodnění části b) i c) plyne ihned z Eukleidovy věty o odvěsně, neboť platí|SY | · |SY ′| = |SZ| · |SZ ′| = r2. �

Základní vlastnosti kruhové inverze plynoucí přímo z definice jsou:

• X = X ′, právě když X ∈ ω, tj. základní kružnice je množinou samod-ružných bodů;

• X ′ náleží vnějšku kružnice, právě když X náleží vnitřku — a naopak;

• kruhová inverze je involutorní zobrazení, tj. (X ′)′ = X.

Věta 4.10.1: Nechť je dána kružnice ω(S, r) a dva různé body P,Q 6= S, P∞,které v inverzi INV(ω) přecházejí na body P ′ a Q′. Potom platí ∠SPQ ∼=∠SQ′P ′. (Všimněte si pořadí bodů!) �

S

ω

PP’

Q

Q’

Obr. 4.10.4

Důkaz: Jelikož P a P ′ (resp. Q a Q′) jsou body sdružené v inverzi podlekružnice ω, potom platí

|SP | · |SP ′| = r2,

|SQ| · |SQ′| = r2,

odkud dostáváme|SP ||SQ′|

=|SQ||SP ′|

.

Vzhledem k tomu, že ∠PSQ = ∠P ′SQ′, potom 4SPQ ∼ 4SQ′P ′ (sus).Odtud již plyne dokazovaný závěr. Q.E .D.

118


Věta 4.10.2: Nechť je dána kružnice ω se středem S a dva různé bodyP,Q 6= S, P∞, které v inverzi INV(ω) přecházejí na body P ′ a Q′. Dálena přímce SQ uvažujme bod R 6= S, Q, P∞, který v téže inverzi přechází nabod R′.(i) Jestliže R leží na polopřímce SQ, potom |∠Q′P ′R′| = |∠QPR|.(ii) Jestliže R leží na polopřímce opačné k polopřímnce SQ, potom|∠Q′P ′R′| = 180◦ − |∠QPR|. �

S

ω

P

P’

Q

Q’

R

R’

Obr. 4.10.5

S

ω

P

P’Q

Q’

RR’

Obr. 4.10.6

Důkaz: Tato věta je přímým důsledkem věty předcházející.Jestliže např. S ∗Q ∗R (obr. 4.10.5), potom |∠QPR| = |∠SPR| − |∠SPQ| =|∠SR′P ′| − |∠SQ′P ′| = |∠Q′P ′R′|.21Jestliže R ∗ S ∗ Q (obr. 4.10.6), potom |∠QPR| = |∠SPR| + |∠SPQ| =|∠SR′P ′|+ |∠SQ′P ′| = 180◦ − |∠Q′P ′R′|. Q.E .D.

Věta 4.10.3: Nechť je dána kružnice ω se středem S. Uvažujme kruhovouinverzi INV(ω). Potom platí(i) Obrazem přímky p procházející středem kruhové inverze S je přímka

p′ = p (samodružná přímka).

(ii) Obrazem přímky p neprocházející středem kruhové inverze S je kružnicep′ procházející středem kruhové inverze.

(iii) Obrazem kružnice k procházející středem kruhové inverze S je přímkak′ neprocházející středem kruhové inverze.

(iv) Obrazem kružnice k neprocházející středem kruhové inverze S je kruž-nice k′ neprocházející středem kruhové inverze. �

Důkaz:(i) Předpokládejme, žeX ∈ p je libovolný bod různý od S a P∞. Podle definicekruhové inverze platí X ′ ∈ 7→SX ⊂ p. A vzhledem k tomu, že kruhová inverze

21Velikost vnějšího úhlu trojúhelníka je rovna součtu velikostí vnitřních úhlů u zbývajícíchdvou vrcholů.

119


zobrazuje střed inverze S na bod nevlastní P∞ (a naopak), je tato část větydokázána.

(ii) (obr. 4.10.7) Nechť L je pata kolmice vedené ze středu inverze S na přímkup. Předpokládejme dále , že X ∈ p je libovolný bod různý od L; ∠SLX = R.Podle dokázané věty ∠SLX ∼= ∠SX ′L′, tj. ∠SX ′←−L′ = R, a proto bod X ′

leží na Thaletově kružnici nad průměrem SL′. Nevlastní bod P∞ se zobrazína střed S. Rovněž tato část věty je dokázána.

(iii) Jelikož je kruhová inverze involucí, plyne tato část věty bezprostředně zčásti (ii).

S

ω

LL’

X

X’

p

p’

Obr. 4.10.7

S

ωX

X’

OA BA’B’a

k

k’

Obr. 4.10.8

(iv) (obr. 4.10.8) Nechť a je přímka spojující střed inverze S a střed O kružnicek, která neprochází středem inverze S. Přímka a protne kružnici k v bodechA, B. Předpokládejme dále , že X ∈ k je libovolný bod různý od bodů A,B; ∠AXB = R. Podle dokázané věty je v závislosti na uspořádání bodů A,B, S na přímce a buďto |∠A′X ′B′| = |∠AXB|, anebo |∠A′X ′B′| = 180◦ −|∠AXB|. Ovšem vzhledem k tomu, že ∠AXB = R, je v obou případechrovněž ∠A′X ′B′ = R. Bod X ′ tudíž leží na Thaletově kružnici nad průměremA′B′. Zdůrazněme ještě, že obraz středu kružnice k, tj. bod O′, není středemkružnice k′! Q.E .D.

Důsledek 4.10.1. V kruhové inverzi je obrazem kruhové křivky opět kruhovákřivka. �

Věta 4.10.4: Jestliže dvě kruhové křivky určují úhel velikosti ϕ, potom jejichobrazy v kruhové inverzi určují úhel téže velikosti, avšak opačného smyslu. �

Důkaz: Určování úhlu dvou protínajících se kružnic převádíme na určováníúhlu jejich tečen v jednom z průsečíků, rovněž v případě úhlu přímky a kruž-nice nahradíme kružnici tečnou. Proto je možné úvahy zjednodušit a pracovatjen s úhlem dvou přímek. Nechť a, b jsou dvě přímky protínající se ve vlastnímbodě M , různém od středu inverze. Jestliže ani a, ani b neprochází středeminverze S, potom se zobrazí na kružnice a′, b′, které obě procházející jednak

120


středem inverze S a jednak obrazem M ′ průsečíku M přímek a, b. Zajímánás úhel kružnic a′, b′. Úhel jejich tečen v M ′ je samozřejmě stejný jako úheljejich tečen v bodě S. Tečny v bodě S jsou však rovnoběžné s přímkami a, b,a proto určují úhel téže velikosti jako přímky a, b. Opačný smysl obou úhlůje zřejmý. Kdyby některá z přímek a, b procházela středem inverze S, byla bysamodružná a důkaz by se zjednodušil. Q.E .D.

a

b

tSa’

tSb’

tMa’tM

b’

ω S

B’

A’ A

M

B

ϕ

ϕ ϕ

b’

a’

M’

Obr. 4.10.9

Věta 4.10.5: Kružnice k 6= ω je samodružná v kruhové inverzi INV(ω) právětehdy, když k ⊥ ω. �

Důkaz:(i) Předpokládáme, že k(O, r0) ⊥ ω(S, r); chceme dokázat, že k je samodružnáv INV(ω), tj. obraz každého bodu kružnice k leží opět na kružnici k.Průsečíky A, B kružnice k s kružnicí ω jsou samodružné. Z ortogonality kruž-nic k, ω plyne SA ⊥ S0A (samozřejmě rovněž SB ⊥ S0B). Uvažujme libo-volný bod X 6= A,B kružnice k a označme X ′ průsečík přímky SX s kružnicík. Mocnost bodu S vzhledem ke kružnici k je |SX| · |SX ′| = |SA|2 = r2. Podledefinice kruhové inverze je potom bod X ′ obrazem bodu X v kruhové inverziINV(ω).(ii) Předpokládáme naopak, že k′ = k(O, r0) 6= ω; chceme dokázat, že k ⊥ ω.Jelikož samodružná kružnice k není kružnicí samodružných bodů, musí obsa-hovat jak vnitřní, tak vnější body základní kružnice ω(S, r). Odtud plyne, že

121


kružnice k protíná kružnici ω ve dvou bodech — označme je A, B. V kruhovéinverzi INV(ω) se libovolný bodX 6= A,B kružnice k zobrazí na bodX ′ ležícírovněž na kružnici k (samodružná kružnice!) a platí |SX| · |SX ′| = r2. BodA leží na základní kružnici ω, a proto se jedná o samodružný bod (A′ = A).Odtud plyne |SX| · |SX ′| = |SA| · |SA| = r2. Přímka SA má tudíž s kružnicíω jediný společný bod, tj. bod A — jedná se o tečnu kružnice ω. Přímky SAa S0A jsou tedy kolmé, z čehož plyne k ⊥ ω. Q.E .D.

Závěrem této kapitoly se pokusíme sjednotit úvahy týkající se inverzí podlekruhových křivek. Zbývá tedy doplnit, co myslíme inverzí podle přímky. Na-bízí se využít již zavedené souměrnosti podle přímky, neboť splňuje obdobnépodmínky jako kruhová inverze (např. X = X ′, právě když X ∈ p, tj. osasouměrnosti je množinou samodružných bodů — obdoba základní kružniceinverze; X náleží jedné polorovině s hraniční přímkou p, právě když X ′ leží vpolorovině opačné — analogicky jako u kruhové inverze vztah mezi vnitřkema vnějškem základní kružnice; osová souměrnost je stejně jako kruhová inverzeinvolutorní zobrazení, tj. (X ′)′ = X.) Ve skutečnosti je osová souměrnost li-mitním případem kruhové inverze, když mocnost inverze roste nade všechnymeze a střed se blíží nevlastnímu bodu.

ω

X’ X

Obr. 4.10.10

X’

X

p

Obr. 4.10.11

Rovněž konstrukce bodů je u obou zobrazení stejná — na výše uvedenýchobrázcích je znázorněna základní kružnice inverze ω a osa souměrnosti p;obraz X ′ bodu X je sestrojen v obou případech pomocí samodružné přímkya samodružné kružnice (obě kolmé na ω, resp p):

DEFINICE 4.10.4: Nechť je dána rozšířená přímka p. Předpis pro osovou sou-měrnost podle přímky p, který byl v rovině E2 dán pro vlastní body, doplnímev rovině M2 o podmínku O(p) : P∞ → P∞. Rozšířenou osovou souměrnostbudeme nazývat inverze podle přímky. �

Obecně pak můžeme hovořit o inverzi podle kruhové křivky INV(k) — je-lik kružnice, jde o kruhovou inverzi; je-li k přímka, jde o osovou souměrnost.

122

5. Konstrukční planimetrické úlohy

5 Konstrukční planimetrické úlohy

5.1 Řešení konstrukčních úloh

Konstrukční úlohou rozumíme úlohu, ve které je požadováno sestrojeníjistého geometrického útvaru (alespoň jednoho, resp. všech) splňujícího danépodmínky.

Je třeba zdůraznit, že narýsování hledaného útvaru není podstatou řešení kon-strukční úlohy — vlastní řešení konstrukční úlohy je deduktivní úvaha, kterámá za cíl vyhledat geometrický útvar. Jádrem řešení je nalezení posloupnostielementárních konstrukcí K1, K2, K3, . . . (viz str. 131), které vedou na hle-daný objekt. Útvar přitom považujeme za sestrojený, je-li určen každý jehobod; např. přímku považujeme za sestrojenou, jsou-li sestrojeny dva její různébody – dvěma body je přímka určena, tudíž jsou určeny i všechny její body(samozřejmě nelze sestrojit všechny(!) body přímky).

Klasické řešení konstrukční úlohy se zpravidla člení na následující fáze:

1. rozbor — cílem rozboru je nalezení takových souvislostí mezi da-nými a hledanými prvky, které umožní objevit posloupnost základníchkonstrukcí K1,K2,K3, . . .; vždy předpokládáme, že útvar je sestroji-telný, načrtneme ilustrační obrázek s alespoň jedním útvarem poža-dovaných vlastností a ukážeme, že jej lze sestrojit jistou konstrukcí(K1,K2,K3, . . .);

2. konstrukce— konstrukce spočívá ve stanovení konstrukčního předpisu,který je výsledkem rozboru a formulujeme jednotlivé kroky konstrukce(K1,K2,K3, . . .); tato fáze zpravidla zahrnuje též grafické provedeníúlohy;

3. zkouška (důkaz, zdůvodnění konstrukce) — konstrukční předpisnám dává všechna možná řešení úlohy, může se však stát, že některésestrojené útvary nevyhovují všem podmínkám úlohy, tj. ukážeme, žekaždý útvar sestrojený konstrukcí (K1,K2,K3, . . .) má všechny požado-vané vlastnosti;

4. diskuse — tato fáze je součástí řešení v případě, že řešíme množinuúloh, tj. objevují-li se v úloze proměnné prvky (parametry); úkolemdiskuse je určení podmínek řešitelnosti úlohy a roztřídění množiny úlohna úlohy neřešitelné, úlohy s jedním výsledkem, se dvěma výsledky atd.,a to v závislosti na hodnotách zadaných či skrytých (avšak volitelných)číselných parametrů (vzdálenosti bodů a velikosti úseček, velikosti úhlůa odchylky včetně jejich goniometrických funkcí,. . . )

(Pokud se v úloze nevyskytují proměnné prvky, pouze konstatujemepočet vyhovujících výsledků úlohy.)

123


Již podle zadání úlohy poznáme, zdali budeme řešit jen jednu konkrétní úlohu,anebo celou množinu úloh. Vyskytují-li se v úloze proměnné prvky (parame-try), hovoříme o úlohách s jedním parametrem, o úlohách se dvěma avíce parametry, v opačném případě pak o úlohách bez parametrů.

Řešení konstrukční úlohy spočívá v nalezení neznámého bodu nebo bodů,které určují hledaný geometrický útvar. Podle počtu těchto bodů rozeznávámeúlohy s jedním neznámým bodem, se dvěma neznámými body, setřemi neznámými body, atd.

Další způsob třídění konstrukčních úloh je dělení na úlohy polohové a ne-polohové. U polohových úloh je dána poloha některých zadaných prvků, unepolohových úloh neznáme polohu žádného ze zadaných prvků. Postup řešenínepolohové konstrukční úlohy je následující:

1. umístění (lokalizace) nepolohové úlohy— volba polohy některého bodu,úsečky, úhlu atd., čímž získáme polohovou úlohu; lokalizaci je možnézpravidla provést vícero způsoby, přičemž příslušné úlohy mohou mít irozdílný počet neznámých bodů;

2. řešení polohové úlohy;

3. určení počtu řešení nepolohové úlohy — úvahou o shodnosti výslednýchútvarů polohové konstrukční úlohy stanovíme počet tříd navzájem shod-ných útvarů, jež mají nepolohové vlastnosti.

Při řešení konstrukčních úloh užíváme nejčastěji tyto metody:

• Konstrukce metodou množin bodů dané vlastnostiPři této metodě určujeme neznámé body jako prvky průniku dvou mno-žin všech bodů dané vlastnosti. První z množin vytvoříme tak, že vy-loučíme jednu z podmínek zadání a to takovou, aby body vyhovujícízbývajícím podmínkám tvořily jistou dobře popsatelnou (resp. známou)množinu všech bodů dané vlastnosti. Obdobně určíme i druhou mno-žinu všech bodů dané vlastnosti. Body náležející průniku splňují všechnypodmínky ze zadání.

• Konstrukce metodou geometrického zobrazeníŘadu konstrukčních úloh se podaří vyřešit, jestliže nejprve útvar danýnebo hledaný transformujeme pomocí jistého vhodně zvoleného geomet-rického zobrazení. Máme-li např. sestrojit lichoběžník z jeho stran a, b, c,d, použijeme posunutí T (D → C) a tím úlohu převedeme na konstrukcitrojúhelníka se stranami a− c, b, d.

Často se používá transformace v útvar stejnolehlý nebo podobný: nej-prve sestrojíme útvar, jenž vyhovuje všem podmínkám až na jednu tak,

124


že je stejnolehlý (podobný) s útvarem hledaným; potom již k sestroje-nému útvaru snadno nalezneme stejnolehlý (podobný) útvar, který vy-hovuje i podmínce poslední. Např. při řešení úlohy sestrojit trojúhelník,známe-li jeho dva úhly (nebo úhel a poměr dvou stran) a dále výšku(resp. težnici, resp. poloměr vepsané či opsané kružnice, resp. obvodatd.), sestrojíme nejprve trojúhelník s danými úhly a poté trojúhelníkjemu podobný, který splňuje i podmínku konkrétní délky výšky (resp.težnice, resp. poloměru vepsané či opsané kružnice, resp. obvodu atd.)

• Konstrukce algebraicko-geometrickou metodou.Při této metodě vhodně kombinujeme konstrukce a výpočty některýchprvků. Samozřejmě se snažíme, je-li to možné, používat konstrukce al-gebraických výrazů (viz následující kapitolu).

Příklad 5.1.1. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dána velikost strany c, výškyvc a úhlu γ. ♦

Rozbor:

pk

A B

C

c

γ

Obr. 5.1.1

Jedná se o nepolohovou úlohu setřemi parametry c, vc a γ. Umís-tíme stranu AB a tím převedemeúlohu na polohovou s jedním ne-známým bodem C. Řešení prove-deme užitím metody množin všechbodů dané vlastnostiVelikost výšky vc udává vzdálenostbodu C od přímky AB. Bod C tudížmusí náležet množině M1 = {X ∈E2; |X,↔ AB| = vc}, což je sjedno-cení dvou rovnoběžek p1, p2 s přím-kou AB ve vzdálenosti vc.

Jelikož známe velikost úhlu γ, musí bod C náležet množiněM2 = {X ∈E2; |∠AXB| = γ}, což je sjednocení dvou kruhových oblouků k1, k2 skrajními body A, B s výjimkou bodů A, B.

Bod C je tedy prvkem průniku množinM1,M2.

Konstrukce:1. AB; |AB| = c2. M1;M1 = {X ∈ E2; |X,↔ AB| = vc}3. M2;M2 = {X ∈ E2; |∠AXB| = γ}4. C; C ∈M1 ∩M25. 4ABC

Důkaz konstrukce: PokudM1∩M2 6= ∅, potom každý bod průniku splňujepodmínky pro vrchol C hledaného trojúhelníka ABC.

125


Diskuse:

p

k γ/2

A B

T

Sc/2

Obr. 5.1.2

Úloha má alespoň jedno řešení, právě kdyžjeM1∩M2 6= ∅. Z bodu 4 plyne, že přímkap1 (resp. p2) může mít s obloukem k1 (resp.k2) dva společné body, popř. jeden společnýbod, anebo s ním nemá žádný společný bod.Zabývejme se řešením jen v jedné poloro-vině, tj. zajímá nás průnik přímky p1 a kru-hového oblouku k1. Přímka p1 může býtvnější přímkou, tečnou a sečnou kružnicek1. Podívejme se na mezní případ tečny —bod dotyku označme T . Tento případ na-stává právě tehdy, když |TS| = vc (S –střed úsečky AB).

Trojúhelník AST je pravoúhlý s úhlem o velikosti γ2 u vrcholu T ,

protější stranou o velikosti |AS| = c2 , a proto

|TS| = c

2tg γ2

.

Odtud — jestližea) vc > |TS|, potom úloha nemá řešení;b) vc = |TS|, potom úloha má v jedné polorovině jedno řešení;c) vc < |TS|, potom úloha má v jedné polorovině dvě řešení. �

Příklad 5.1.2. Jsou dány dvě různoběžky a, b a kružnice k′(S′, r′), která senedotýká žádné z obou různoběžek. Sestrojte kružnici k tak, aby se dotýkalapřímek a, b a kružnice k′. ♦

Rozbor:

a

b

V

k

a’b’

S

k’ S’

V’

T

o

Obr. 5.1.3

Řešení provedeme užitím me-tody geometrických zobrazení,konkrétně využijeme stejnoleh-losti.Víme, že každé dvě kružnice jsoustejnolehlé, a proto i hledanákružnice k a zadaná kružnice k′;navíc střed stejnolehlosti je udvou dotýkajících se kružnic vbodě jejich dotyku — označmejej T .

V této stejnolehlostiH odpovídá tečně a kružnice k tečna a′ ‖ a kružnicek′, tečně b kružnice k tečna b′ ‖ b kružnice k′ a průsečíku V přímeka, b průsečík V ′ přímek a′, b′. Vzhledem k definici stejnolehlosti jsou

126


vzor, obraz a střed stejnolehlosti kolineární, a proto přímka V V ′ protínákružnici k′ v bodě T , který je bodem dotyku obou kružnic. Střed Skružnice k pak musí ležet na přímce S′T a na ose úhlu vymezenéhopřímkami a a b, ve kterém leží bod T .

Konstrukce:1. a, b, a ∩ b = {V }; k′(S′, r′) nedotýkající se a, b2. a′; a′ ‖ a ∧ a′ je tečna kružnice k′

3. b′; b′ ‖ b ∧ b′ je tečna kružnice k′

4. V ′; V ′ ∈ a′ ∩ b′

5. T ; T ∈↔V V ′ ∩ k′

6. o — osa úhlu vymezeného přímkami a, b, ve kterém leží bod T7. S; S ∈ o ∩ ↔S′T8. k(S, |ST |)

Důkaz konstrukce: Z konstrukce plyne, že a′ ‖ a a b′ ‖ b jsou tečnamikružnice k′. Ve stejnolehlosti určené středem T a párem odpovídajícíchsi bodů [V ′, V ] odpovídá tečně a′ přímka a a tečně b′ přímka b, a protose kružnice k dotýká přímek a, b. Střed stejnolehlosti leží na kružnicik′, a proto mají v tomto bodě obě kružnice dotyk. Kružnice k vyhovujepodmínkám úlohy.

Diskuse: Jelikož lze ke kružnici k′ vždy sestrojit dvě tečny rovnoběžné spřímkou a (bod konstrukčního předpisu 2) a dvě tečny rovnoběžné spřímkou b (bod 3), existují čtyři průsečíky V ′ 6= V (1a′ ∩ 1b′ = {1V ′},1a′ ∩ 2b′ = {2V ′}, 2a′ ∩ 1b′ = {3V ′}, 2a′ ∩ 2b′ = {4V ′}), které jsouvrcholy rovnoběžníka opsaného kružnici k′ — bod 4. Každá z přímekV V ′ buď protne kružnici k′ ve dvou bodech T , anebo nemá s kružnicížádný společný bod — bod 5. Může tedy vzniknou až osm bodů T .Úloha může mít za daných podmínek nejvýše 8 řešení. �

Doposud jsme předpokládali, že nákresna, na které provádíme konstrukce jeneomezená. Je-li však nákresna omezená— což samozřejmě ve skutečnostije (papír, tabule, . . . ) — musíme v některých případech určité konstrukcepřizpůsobit konkrétní situaci. Tak vznikají např. úlohy typu: sestrojte přímkuprocházející daným bodem a nepřístupným průsečíkem daných dvou přímek ;nebo v daném bodě sestrojte tečnu kružnice, která je dána svým obloukem ajejíž střed je nepřístupný. V úlohách na omezené nákresně využíváme stejno-lehlost, podobnost, mocnost bodu ke kružnici, kruhovou inverzi apod.

Příklad 5.1.3. Sestrojte přímku p procházející daným bodem C a nepřístup-ným průsečíkem daných dvou různoběžek a, b. ♦

(obr. 5.1.4) Sestrojíme libovolný trojúhelník ABC (A ∈ a, B ∈ b) a pomocírovnoběžek s ním stejnolehlý trojúhelník A′B′C ′ (A′ ∈ a, B′ ∈ b). Trojú-helníky ABC a A′B′C ′ jsou stejnolehlé ve stejnolehlosti, jejímž středem je

127


nepřístupný průsečík přímek a, b. Vzhledem k tomu, že u stejnolehlosti jsouvzor, obraz a střed kolineární, prochází přímka CC ′ nepřístupným průsečíkempřímek a, b. �

a

b

C

A

B

A’

C’B’ p

Obr. 5.1.4

T

ω

t’=t

k k’

Obr. 5.1.5

Příklad 5.1.4. Je dána kružnice k, jejíž střed je nepřístupný. V daném pří-stupném bodě T sestrojte tečnu kružnice k. ♦

(obr. 5.1.5) V kruhové inverzi se středem T přejde zadaná kružnice k na přímkuk′, bod T na nevlastní bod ∞ a tečna t procházející středem inverze T jesamodružná, tj. t′ = t. Kruhové křivky k a t se dotýkají v bodě T , a protopřímky k′ a t′ jsou rovnoběžné. Přímka t = t′ tedy prochází bodem T a jerovnoběžná s přímkou t′. �

Jiný druh omezení konstrukční úlohy spočívá v zúžení výběru rýsovacíchpomůcek. Zatím jsme připouštěli možnost použití libovolné rýsovací po-můcky (pravítko, trojúhelníkové pravítko s ryskou, kružítko, úhloměr apod.),omezíme-li však tento výběr, dostáváme řadu zajímavých úloh i výsledků.

Mezi uvedený typ úloh patří úlohy řešené jen s využitím pravítka a kružítka— tzv. eukleidovské konstrukce. Jedná se o konstrukce, které měly velkývliv na vývoj geometrie, a proto jim věnujeme celou následující kapitolu.

Pouhým pravítkem nesvedeme mnoho konstrukcí; je-li však dán v rovině určitýútvar, který lze při konstrukci použít, je počet „pravítkových konstrukcíÿvětší.

Příklad 5.1.5. V rovině jsou dány dvě rovnoběžky a, b a bod P mimo ně.Pouhým pravítkem sestrojte rovnoběžku daným bodem k daným přímkách. ♦

(obr. 5.1.6) Úlohu řešíme s využitím vlastností lichoběžníka — platí: Přímkaspojující průsečík prodloužených ramen lichoběžníka s průsečíkem jeho úh-

128


lopříček prochází středy obou základen. Postup konstrukce sledujte na ob-rázku. �

a

b

pP

1.

2.

3.

8.

4.

6.5.

7.

Obr. 5.1.6

A B

C

D

PQ

Obr. 5.1.7

Je zajímavé, že na rozdíl od „pravítkových konstrukcíÿ lze pouhým kružítkemřešit všechny(!) úlohy proveditelné pravítkem a kružítkem — tyto úlohy nazý-vámeMascheroniovy konstrukce podle Lorenza Mascheroniho (1750–1800), který se uvedenými konstrukcemi zabýval ve své knize Geometria delCompasso (1797). O 125 let dříve popsal konstrukce jen pomocí kružítka vesvé knize Euclides Danicus Georg Mohr (1640–1697), avšak jeho kniha bylaomylem považována za pouhý komentář Eukleidových Základů, a tak se ne-dostala do podvědomí matematického světa — uvedené konstrukce se někdynazývají také Mohr-Mascheroniovy konstrukce .

Věta 5.1.1: (Mohr-Mascheroniova věta) Každá eukleidovská konstrukceje proveditelná jen kružítkem. �

Příklad 5.1.6. Jsou dány přímka AB (určena body A, B – ne sestrojena!) amimo ni bod P . Jen pomocí kružítka sestrojte rovnoběžku daným bodem kdané přímce, tj. určete bod Q takový, že PQ ‖ AB. ♦

(obr. 5.1.7) Nechť C, D jsou průsečíky kružnic k1(A, |AB|) a k2(B, |AB|). Po-tom CD je osa úsečky AB, tj. CD ⊥ AB. Dále sestrojíme kružnice l1(C, |CP |)a l2(D, |DP |) — druhý průsečík označíme Q. Trojúhelníky CDP a CDQ jsouosově souměrné (dokažte!), tj. PQ ⊥ CD. Odtud již plyne PQ ‖ AB. �

Dalšími typy úloh jsou např. konstrukce kružítkem, jehož rozevření se nemění,konstrukce pravoúhlým pravítkem, konstrukce pravítkem se dvěma rovnoběž-nými hranami atd.

129


5.2 Eukleidovské konstrukce

Sestrojení hledaných útvarů provádíme pomocí rýsovacích pomůcek, nejčastějiužitím pravítka a kružítka. Často však používáme i doplňkové pomůcky jakonapř. trojúhelníkové pravítko s ryskou pro sestrojení kolmice, úhloměr prokonstrukci úhlu dané velikosti apod. Konstrukce proveditelné výhradně po-mocí pravítka a kružítka označujeme jako eukleidovské konstrukce. Tytokonstrukce mají úzký vztah k prvním třem Eukleidovým postulátům:

P-1: Budiž úkolem od kteréhokoli bodu ke kterémukoli bodu vésti přímku.P-2: A přímku omezenou nepřetržitě rovně prodloužiti.P-3: A z jakéhokoli středu a jakýmkoli poloměrem narýsovati kruh.

Je nutné zdůraznit, že pod názvy pravítko a kružítko v eukleidovském smyslusi nelze představit pomůcky, které běžně používáme. Eukleidovské pravítkolze použít výhradně ke konstrukci přímek (tj. ke spojení dvou bodů, za tolibovolně vzdálených, úsečkou; resp. k prodloužení, a to i opakovanému, danéúsečky), nikoliv však k měření či nanášení délky, ani ke konstrukci kolmicnebo rovnoběžek. Co se týče eukleidovského kružítka, pak to lze použít jen ksestrojení kružnice o daném středu a procházející daným, libovolně vzdálenýmbodem, nikoliv však k přenášení délky — oproti tomu pomocí moderníhokružítka můžeme sestrojit kružnici, jestliže je dán její střed a poloměr mádélku rovnou délce dané úsečky.

Následující věta ukazuje, že mezi oběma „modelyÿ kružítek není nutné rozli-šovat, neboť i eukleidovské kružítko má vlastnost přenášení délky.

rr

BA

D

C

EP

k

l m

n

Obr. 5.2.1

130


Věta 5.2.1: Eukleidovsky (tj. jen pomocí eukleidovského pravítka a eukleidov-ského kružítka) lze sestrojit shodný obraz k′ kružnice k(B, r) tak, že zadanýbod A je středem kružnice k′. �

Důkaz: (obr. 5.2.1) Uvažujme kružnici k(B, r). Úkolem je sestrojit kružnici k′

se středem v bodě A a poloměrem r. Nejprve sestrojíme kružnice l(A, |AB|) am(B, |AB|). Tyto kružnice se protínají ve dvou bodech — označme je C a D.Zadaná kružnice k(B, r) a sestrojená kružnice l(A, |AB|) se protínají v boděE. Uvažujme dále kružnici n(C, |CE|), která protne kružnici m(B, |AB|) vbodě P . Tvrdíme, že |AP | = r — tuto skutečnost bychom snadno dokázalipomocí vět o shodnosti trojúhelníků. Q.E .D.

Uveďme příklady některých jednoduchých eukleidovských konstrukcí:

Konstrukce 1: Sestrojte osu dané úsečky. ♦

Konstrukce 2: Sestrojte střed dané úsečky. ♦

Konstrukce 3: Sestrojte osu daného úhlu. ♦

Konstrukce 4: Daným bodem mimo danou přímku veďte kolmici k danépřímce. ♦

Konstrukce 5: V daném bodě dané přímky vztyčte kolmici. ♦

Konstrukce 6: Daným bodem mimo danou přímku veďte rovnoběžku s da-nou přímkou. ♦

Konstrukce 7: Jsou dány úsečky s délkami a, b. Sestrojte úsečku, jejíž délkaje a+ b. ♦

Konstrukce 8: Jsou dány úsečky s délkami a, b (a > b). Sestrojte úsečku,jejíž délka je a− b. ♦

Konstrukce 9: Danou úsečku rozdělte na n shodných částí. ♦

D1

B1

D2

B2

D3

B3

Dn-1

Bn-1

Dn

B

C

Obr. 5.2.2

131


Nechť je dána úsečka AB. Zvolíme bod C 6∈↔ AB. Na polopřímceAC vyznačíme libovolný bod D1. Sestrojíme konečnou posloupnost bodůD1, D2, . . . , Dn tak, že AD1 ∼= D1D2 ∼= D2D3 ∼= . . . ∼= Dn−1Dn, kde Dk−1 6=Dk+1. Konečně sestrojíme přímku BDn. Každým z bodů D1, D2, . . . , Dn−1vedeme rovnoběžku s přímkou BDn. Tyto rovnoběžky protnou úsečku ABpostupně v bodech B1, B2, . . . , Bn−1 a platí AB1 ∼= B1B2 ∼= B2B3 ∼= . . . ∼=Bn−1B, jak bychom snadno dokázali. �

Konstrukce 10: Jsou dány úsečky s délkami a, b, c. Sestrojte úsečku, jejíždélka je ab

c . ♦

O X

Y

A

B

C

D

Obr. 5.2.3

Budeme postupovat obdobně jako v předcházející úloze. Zvolíme tři různénekolineární body O, X, Y . Na polopřímce OX sestrojíme bod A tak, že|OA| = a. Na polopřímce OY sestrojíme postupně body B, C tak, že |OB| = ba |OC| = c. Sestrojíme přímku AC a bodem B vedeme rovnoběžku s přímkouAC. Tato rovnoběžka protne polopřímku OX v bodě D. Platí |OD| = ab

c ,neboť z podobnosti trojúhelníků 4OAC ∼ 4ODB (uu) plyne

|OD||OA|︸︷︷︸

a

=

b︷︸︸︷|OB||OC|︸︷︷︸

c

.

Je evidentní, že pro c = 1 (OC volíme jako jednotkovou úsečku) reprezentujedaná konstrukce součin ab a pro b = 1 (OB volíme jako jednotkovou úsečku)reprezentuje daná konstrukce podíl a

c .

Poznamenejme ještě, že úsečka s délkou x, pro kterou platí c : b = a : x, kdea, b, c jsou délky daných úseček, se nazývá čtvrtá geometrická úměrná. �

Konstrukce 11: Je dána úsečka o délce a. Sestrojte úsečku, jejíž délka je√a. ♦

132


A B C

D k

q

p

Obr. 5.2.4

Na přímce p zvolíme body A ∗ B ∗ C tak, že |AB| = 1 a |BC| = a. Dálesestrojíme kružnici k s průměrem AC. V bodě B vztyčíme kolmici q k přímcep. Přímka q protne kružnici k ve dvou bodech — označme jeden z nich D.Trojúhelník ACD je pravoúhlý s pravým úhlem ∠D (k je Thaletova kružnice),a proto podle Eukleidovy věty o výšce platí

|AB|︸︷︷︸1

· |BC|︸︷︷︸a

= |BD|2.

Uvedená konstrukce úsečky, jejíž délka je x =√

a, je speciálním případemkonstrukce úsečky o délce x =

√ab pro b = 1. V obecném případě bychom

postupovali naprosto stejně, pouze bychom nevolili |AB| = 1, ale |AB| = b.

Úsečka s délkou x, pro kterou platí a : x = x : b (tj. x2 = ab neboli x =√ab), kde a, b jsou délky daných úseček, se nazývá střední geometrickáúměrná. �

V souvislosti s eukleidovskými konstrukcemi připomeňme jednu starořeckoulegendu, která pojednává o tzv. Delském problému. Legenda praví, že jedinoumožností, jak ukončit mor, který propukl na ostrově Délos, bylo podle radydelfské věštírny zdvojnásobení zlatého oltáře, který byl zasvěcen bohu Apo-lónovi a měl dokonalý krychlový tvar. Úkolem pro řecké matematiky se takstalo sestrojení krychle s dvakrát větším objemem, než byl objem původníkrychle. Není pravda, že starořečtí geometři neuměli sestrojit hranu krychlepožadované délky, ale nepodařilo se jim to jen pomocí pravítka a kružítka.Duplikace krychle je jedním ze tří klasických problémů starověku. Zbylé dvajsou trisekce úhlu a kvadratura kruhu a ani u těchto problémů nebyli Řekovéúspěšní. Teprve v 19. století se podařilo dokázat, že neúspěch Řeků, ale i jejichnásledovníků zapříčinila skutečnost, že tyto úlohy prostě eukleidovsky vyřešitnelze! Tento fakt dokážeme.

133


Oproti starověkým řeckým matematikům jsme dnes ve výhodě, neboť díkyR. Descartovi máme k dispozici moderní nástroj pro zachycení bodů a dal-ších geometrických objektů — kartézský souřadný systém. V rovině opatřenékartézskou soustavou souřadnic začneme postupně vytvářet množinu všecheukleidovsky konstruovatelných bodů. Do této množiny nebudou mít „pří-stupÿ všechny body, ale jen ty z nich, které se podaří sestrojit podle výšeuvedených pravidel. Na druhou stranu je jasné, že abychom mohli začít pro-vádět eukleidovské konstrukce, potřebuje jistou výchozí množinu sestávajícíalespoň ze dvou bodů — bez újmy na obecnosti volíme body [0, 0] a [1, 0].

DEFINICE 5.2.1: Bod nazveme bodem sestrojitelným pravítkem a kru-žítkem (zkr. PK-bodem), jestliže je posledním bodem konečné posloup-nosti bodů P1, P2, . . . Pn takové, že každý bod Pi je buďto prvkem množiny{[0, 0], [1, 0]} nebo je získán jednou z následujících tří konstrukcí:(i) jako průsečík dvou přímek, z nichž každá je určena dvěma body, které seobjevují v dané posloupnosti již dříve;(ii) jako průsečík přímky, jež je určena dvěma body, které se objevují v danéposloupnosti již dříve, a kružnice, jež je určena středem a bodem na obvodu,což jsou rovněž body, které se objevují v dané posloupnosti již dříve;(iii) jako průsečík dvou kružnic, jež jsou obě určeny středem a bodem na ob-vodu jakožto body, které se objevují v dané posloupnosti již dříve.Přímka sestrojitelná pravítkem a kružítkem (zkr. PK-přímka) jepřímka procházející dvěma PK-body.Kružnice sestrojitelná pravítkem akružítkem (zkr. PK-kružnice) je kružnice, jejímž středem je PK-bod a kteráprochází dalším PK-bodem. Reálné číslo x nazveme číslem sestrojitelnýmpravítkem a kružítkem (zkr. PK-číslem), jestliže [x, 0] je PK-bod. �Uveďme několik příkladů posloupností, které vyhovují podmínkám předchá-zející definice (Ověřte!)

[1, 0];

[1, 0], [0, 0], [2, 0];

[0, 0], [1, 0], [−1, 0], [0,√3];

[0, 0], [1, 0], [12,

√32], [12,−√32], [12, 0].

Jelikož je možné eukleidovsky sestrojit kolmici i rovnoběžku k dané přímcedaným bodem, je evidentní platnost následující věty.

Věta 5.2.2: Osy souřadnic jsou PK-přímkami. Každý z bodů [p, 0], [−p, 0],[0, p], [0,−p] je PK-bodem, je-li alespoň jeden z nich PK-bodem. Číslo x jePK-číslem, právě když −x je PK-číslem. Celá čísla jsou PK-čísly. Bod [p, q]je PK-bodem, právě když každé z čísel p, q je PK-číslem. �

134


Zdůrazněme jeden důležitý fakt — ačkoliv osa x je PK-přímkou, neznamenáto, že každý její bod je PK-bodem! Totéž platí i pro ostatní PK-přímky asamozřejmě i pro PK-kružnice.

Pro další zpracování teorie eukleidovských konstrukcí je nutné zavést jedenpojem moderní algebry, a to pojem tělesa. Pro naše účely však není zapotřebívyslovit obecnou definici tělesa, ale vystačíme jen se speciálními tělesy, jejichžprvky jsou reálná čísla. Připomeňme, že racionálním číslem rozumíme poměr(resp. přesněji celou třídu poměrů) m

n , kde m a n 6= 0 jsou celá čísla. Reálnéčíslo, které není racionální se nazývá iracionální.

DEFINICE 5.2.2: Tělesem T nazveme každou podmnožinu reálných čísel,která obsahuje 0 a 1 a současně pro všechna a, b, c ∈ T (c 6= 0) jsou rovněžčísla

a+ b, a− b, ab,a

cprvky množiny T . Symbolem Q budeme značit těleso racionálních čísel a sym-bolem R těleso reálných čísel. Těleso T nazveme eukleidovské, jestliže provšechna x ∈ T (x > 0) je rovněž

√x ∈ T . �

Věta 5.2.3: PK-čísla tvoří eukleidovské těleso. �Důkaz: Platnost této věty je zřejmá vzhledem k dříve uvedeným eukleidov-ským konstrukcím reprezentujícím součet, rozdíl, součin, podíl a druhou od-mocninu (konstrukce 7, 8, 10 a 11). Q.E .D.

Věta 5.2.4: Nechť T je těleso a nechť d je takové kladné číslo, že d ∈ T , ale√d 6∈ T . Potom {p+ q

√d; p, q ∈ T} je těleso. �

Důkaz: Snadno bychom dokázali, že součet, rozdíl, součin a podíl čísel p1 +q1√

d a p2 + q2√

d je číslo ve tvaru p3 + q3√

d, kde všechna pi, qi ∈ T . Q.E .D.

Konkrétním příkladem tělesa z předcházející věty může být např. množinavšech čísel ve tvaru p+ q

√3, kde p, q jsou racionální čísla — takovéto těleso

budeme značit T = Q(√3). Půjdeme-li v našich úvahách dále, můžeme vytvo-

řit další těleso jakožto množinu všech čísel ve tvaru a+b√5, kde a, b jsou ten-

tokráte prvky tělesa T — takovéto těleso budeme značit T (√5) = Q(

√3,√5).

DEFINICE 5.2.3: Jestliže T je těleso a d je kladné reálné číslo takové, že d ∈ T ,ale√

d 6∈ T , potom symbolem T (√

d) označujeme těleso {p+ q√

d; p, q ∈ T}a nazýváme je (jednoduché) kvadratické rozšíření tělesa T . JestližeT1 = T (

√d1), T2 = T1(

√d2), . . . , Tn = Tn−1(

√dn), potom píšeme Tn =

T (√

d1,√

d2, . . . ,√

dn) a těleso Tn nazýváme vícenásobné kvadratické roz-šíření tělesa T . �

DEFINICE 5.2.4: Symbolem E budeme značit sjednocení všech vícenásobnýchkvadratických rozšíření tělesa Q. �

Ptáme se, jaká čísla lze najít v množině E . Zřejmě se jedná o taková reálná

135


čísla, k jejichž zápisu použijeme jen závorky, celá čísla, symboly čtyř aritme-tických operací +, −, · (resp. ×), : (resp. /, resp. ÷) a symbol √ pro druhouodmocninu. Příkladem může být „divoce vypadajícíÿ číslo

1023√3 + 2342

√√321−

√81 +

√15−

√6 + 7

√15− 2

√√5

245893456

√√√17−

√64− 5

√19 +

√356871

Věta 5.2.5: Jestliže všechna čísla tělesa T jsou PK-čísly, potom také všechnačísla v kvadratickém rozšíření T (

√d) jsou PK-čísly. �

Důkaz: Tato věta ihned plyne ze skutečnosti, že všechna PK-čísla vytvářejíeukleidovské těleso. Q.E .D.

Věta 5.2.6: Jestliže x ∈ E, potom x je PK-číslo. �Důkaz: Platnost této věty plyne z opakovaného použití věty předcházející a zeskutečnosti, že E je sjednocením všech vícenásobných kvadratických rozšířenítělesa Q. Q.E .D.

Dá se dokázat i obrácená věta

Věta 5.2.7: Jestliže je x PK-číslo, potom x ∈ E. �Věta 5.2.8: Bod P je PK-bodem, právě když souřadnice bodu P jsouprvky E. �Důkaz: Bod [p, q] je PK-bodem, právě když každé z čísel p, q je PK-číslem. Akaždé z čísel p, q je PK-číslem, právě když p, q ∈ E . Q.E .D.

Příklad 5.2.1. Nejprve uvedeme známý předpis pro konstrukci pravidelnéhopětiúhelníka vepsaného do zadané kružnice.

1. k(S, r)2. p; S ∈ p3. A,K; k ∩ p = {A,K}4. q; S ∈ q ∧ q ⊥ p5. L,M ; k ∩ q = {L,M}6. N ; N — střed úsečky SL7. l; l(N, |AN |)8. O; O ∈ l ∩ SM9. |AO| = a5 (délka strany pravidelného pětiúhelníka)10. pravidelný pětiúhelník ABCDE

136


P1 P2P3

P10

P11

P12

P13

P4

P5 P6

P8P9

a5

P7

Obr. 5.2.5

Na obrázku je znázorněna podrobná eukleidovská konstrukce pravidelného pě-tiúhelníka vepsaného do jednotkové kružnice. Jeho vrcholy jsou P5, P10, P11,P12 a P13. Oproti předcházejícímu předpisu jsou zde nyní zachyceny i euklei-dovské konstrukce pomocných bodů — např. body P6 a P7 potřebujeme prosestrojení středu P8 úsečky P1P2.

Ukážeme si souvislost konstrukcí jednotlivých PK-bodů a příslušných kvad-ratických rozšíření tělesa Q.

P1 = [0, 0] = S T1 = QP2 = [1, 0] = L T2 = QP3 = [−1, 0] =M T3 = QP4 = [0,

√3] T4 = Q(

√3)

P5 = [0, 1] = A T5 = Q(√3)

P6 = [12 ,√32 ] T6 = Q(

√3)

P7 = [12 ,−√32 ] T7 = Q(

√3)

P8 = [12 , 0] = N T8 = Q(√3)

P9 =[1−√5

2 , 0]= O T9 = Q(

√3,√5)

P10 =[−√10+2

√5

4 , −1+√5

4

]= B T10 = Q

(√3,√5,

√10 + 2

√5

)137


P11 =[−√10−2

√5

4 , −1−√5

4

]= C T11 = Q

(√3,√5,

√10 + 2

√5

)P12 =

[√10−2

√5

4 , −1−√5

4

]= D T12 = Q

(√3,√5,

√10 + 2

√5

)P13 =

[√10+2

√5

4 , −1+√5

4

]= E T13 = Q

(√3,√5,

√10 + 2

√5

)Obecně bereme za Tk buďto Tk−1, anebo kvadratické rozšíření Tk−1. Tímje zaručeno, že souřadnice všech bodů Pj , kde j 5 k, jsou prvky tě-

lesa Tk. Zastavme se jen u konstrukce tělesa T11 — jelikož√10 + 2

√5 ·√

10− 2√5 = 4

√5, potom T11 = Q

(√3,√5,

√10 + 2

√5,

√10− 2

√5

)=

Q(√3,√5,

√10 + 2

√5

)= T10. �

Nyní již můžeme přistoupit k důkazu neřešitelnosti klasických problémů sta-rověku pravítkem a kružítkem.

Trisekce22 úhluPomocí pravítka a kružítka rozdělte daný úhel na tři shodné úhly.

Jedná se o eukleidovsky neřešitelnou úlohu, jak jsme se již zmínili a jak zachvíli ukážeme. Hned zpočátku je však nutné zdůraznit, že samozřejmě existujíúhly, jejichž trisekci lze provést, např. pravý úhel, přímý úhel, . . . Řekneme-li,že tato úloha je neřešitelná, máme na mysli, že je neřešitelná obecně.

Abychom mohli avizovanou neřešitelnost dokázat, vyslovíme několik vět, kterépři důkazu využijeme.

Věta 5.2.9: Jestliže má polynomická rovnice s celočíselnými koeficientyanxn + an−1x

n−1 + . . . a1x + a0 = 0 (an 6= 0) racionální kořen pq , kde p,

q jsou nesoudělná čísla, potom p dělí a0 a q dělí an. �

Věta 5.2.10: Nechť T ′ = T (√

d) je kvadratické rozšíření tělesa T . Potomkaždý prvek tělesa T ′ je kořenem kvadratické rovnice s koeficienty z tělesaT . �

Důkaz: Jestliže p + q√

d ∈ T ′ (p, q, d ∈ T ,√

d 6∈ T ), potom samozřejmě ip− q

√d ∈ T ′. Číslo p+ q

√d ∈ T ′ je potom kořenem např. rovnice

[x− (p+ q√

d)][x− (p− q√

d)] = x2 − 2px+ p2 − q2d = 0,

jejíž všechny koeficienty 1, −2p, p2 − q2d jsou prvky tělesa T . Q.E .D.

Věta 5.2.11: Jestliže nemá kubická rovnice s racionálními koeficienty racio-nální kořen, potom žádný z jejích kořenů není PK-číslem. �22trisekce — z lat. rozdělení na tři stejné části

138


Důkaz: Provedeme důkaz sporem. Nechť a, b, c jsou racionální čísla a nechťkubická rovnice f(x) = x3 + ax2 + bx + c = 0 nemá racionální kořen, alemá kořen, který je PK-číslem (neboli leží v nějakém kvadratickém rozšířenítělesa Q). Označme T0 = Q a dále Tk = Tk−1(

√dk) (k = 1, 2, . . .), tj. Tk =

Q(√

d1,√

d2, . . . ,√

dk). Předpokládejme dále, že v tělese Tk−1 neleží žádnýkořen rovnice f(x) = 0, ale v tělese Tk leží kořen r ve tvaru

r = p+ q√

dk, p, q ∈ Tk−1,√

dk 6∈ Tk−1.

Podle předcházející věty musí být číslo r = p+q√

dk kořenem jisté kvadratickérovnice g(x) = 0. Označme t třetí kořen kubické rovnice. Potom můžeme psát

x3 + ax2 + bx+ c = (x− t)(x2 − 2px+ p2 − q2dk).

Porovnáním koeficientů u kvadratického členu x2 dostáváme

a = −t− 2p a odtud t = −a− 2p.

Jelikož a ∈ Q ⊂ Tk−1 a p ∈ Tk−1, potom rovněž t ∈ Tk−1, což je spor. Q.E .D.

Věta 5.2.12: PK-body P , Q, R takové, že |∠PQR| = α, existují, právě kdyžcosα je PK-číslo. �

1 A

B

x

y

α

P

R

Q3

α

3

αcos

Obr. 5.2.6

Důkaz: Jinými slovy věta říká: máme-li zadán úhel ∠PQR, kde P , Q, R jsoueukleidovsky sestrojitelné body, potom lze eukleidovsky sestrojit úsečku, jejíždélka je rovna kosinu daného úhlu. A naopak. Důkaz je evidentní a plyne zeukleidovské sestrojitelnosti kolmice — stačí vhodně zvolit kartézskou sou-stavu souřadnic; cosα pak představuje x-ovou souřadnici bodu A, který jeprůsečíkem PK-přímky QR a PK-kružnice k(Q, 1). Q.E .D.

139


Sestrojit úhel α3 je tedy problém ekvivalentní s úlohou najít x-ovou souřadnici

bodu B , tj. cos α3 . Obecnou eukleidovskou neřešitelnost trisekce úhlu stačí

dokázat pro jeden úhel — zvolme např. α = 60◦. Vyjdeme z goniometrickéhovztahu

cosα = 4 cos3α

3− 3 cos α

3

a dokážeme, že číslo x = cos 20◦ není PK-číslem. Dosazení cos 60◦ = 12 a

cos 20◦ = x dává kubickou rovnici

8x3 − 6x− 1 = 0.

Přesvědčíme se, že tato kubická rovnice nemá racionální kořen. Pro poten-ciální racionální kořen p

q (p, q celá nesoudělná) by muselo platit, že p dělí−1 (tj. připadají v úvahu jen čísla 1, −1) a q dělí 8 (tj. připadají v úvahučísla 1, −1, 2, −2, 4, −4, 8, −8). Racionální kořeny musíme tudíž hledat meziprvky množiny {±1,± 12 ,±

14 ,±

18}. Pouhým dosazením snadno dokážeme, že

ani jedno z nabízených racionálních čísel kořenem není, a proto kubická rovnice8x3 − 6x− 1 = 0 nemá racionální kořen. Číslo cos 20◦ tudíž není PK-číslem,a proto úhel o velikosti 60◦ nelze euklediovsky rozdělit na tři shodné části.Trisekce úhlu je eukleidovsky neřešitelná úloha.

Duplikace23 krychlePomocí pravítka a kružítka sestrojte hranu krychle, jejíž objem se rovná dvoj-násobku objemu zadané krychle.

Bez újmy na obecnosti můžeme předpokládat, že daná krychle je jednotková.Jestliže délku hledané hrany označíme x, potom musí platit

x3 = 2.

Ovšem kubická rovnice x3 − 2 = 0 nemá racionální kořen, jak se snadnopřesvědčíme, a proto číslo 3

√2, které je délkou hrany hledané krychle, není

PK-číslem. Duplikace krychle je eukleidovsky neřešitelná úloha.

Kvadratura24 kruhuPomocí pravítka a kružítka sestrojte k danému kruhu čtverec o stejném obsahu.

Eukleidovskou neřešitelnost prvních dvou klasických problémů dokázal poprvév 19. století francouzský inženýr Pierre Laurent Wantzel (1814–1848);k důkazu eukleidovské neřešitelnosti třetího problému bylo nutné nejprve do-kázat trancendentnost čísla π. Každé PK-číslo je tzv. algebraické, neboť je23duplikace — z lat. zdvojení24kvadratura — z lat. přeměna na čtverec, popř. určení obsahu

140


řešením nějaké polynomické rovnice s celočíselnými koeficienty. (Pozor! - ale nevšechna algebraická čísla jsou PK-čísly; příkladem je výše uvedené číslo 3

√2.)

Reálná čísla, která nejsou algebraická se nazývají transcendentní. V roce1882 dokázal německý matematik Ferdinand Lindemann (1852–1939), žečíslo π je trancendentní.

Bez újmy na obecnosti můžeme předpokládat, že daný kruh je jednotkový.Jestliže délku strany čtverce označíme x, potom musí platit

x2 = π.

Kořen√

π kvadratické rovnice x2−π = 0 je transcendentní, a proto číslo√

π,které je délkou strany hledaného čtverce, není PK-číslem. Kvadratura kruhuje eukleidovsky neřešitelná úloha.

K uvedeným třem klasickým úlohách se často přidávají ještě dvě další —rektifikace kružnice a konstrukce pravidelného n-úhelníka.

Rektifikace kružnicePomocí pravítka a kružítka sestrojte k dané kružnici úsečku, jejíž délka jerovna délce kružnice.

Úvahy jsou stejné jako u kvadratury kruhu. Bez újmy na obecnosti můžemepředpokládat, že daná kružnice je jednotková. Jestliže délku úsečky označímex, potom musí platit

x = 2π.

Kořen 2π rovnice x − 2π = 0 je transcendentní, a proto číslo 2π, které jedélkou hledané úsečky, není PK-číslem. Rektifikace kružnice je eukleidovskyneřešitelná úloha.

r

r r r

S

B

C D

A30o

| |=πBD r

Obr. 5.2.7

V souvislosti s rektifikací kružnice se zmíníme o tzv. přibližných konstruk-cích. Pod termínem přibližná konstrukce rozumíme konstrukci, pro kterou jižteorie ukazuje jistou chybu, jíž jsme si vědomi — hovoříme o tzv. přesnosti

141


konstrukce. Příkladem může být Kochanského rektifikace kružnice, jejíž přes-nost je |πr − |BD|| < 6 · 10−5r.

Konstrukce pravidelných n-úhelníkůPomocí pravítka a kružítka sestrojte pravidelný n-úhelník.

Každý si samozřejmě vybaví konstrukci pravidelného 3-úhelníku (rovno-stranného trojúhelníku), pravidelného 4-úhelníku (čtverce) i pravidelného 6-úhelníku. Konstrukci pravidelného 5-úhelníku jsme uvedli v této kapitole. Dal-ším v pořadí je pravidelný 7-úhelník. Je možné i pro něj najít algoritmuseukleidovské konstrukce?

Pro zjednodušení se pokusíme vepsat pravidelný sedmiúhelník do jednotkovékružnice a jako výchozí vrchol zvolíme bod [1, 0]. Úkolem je eukleidovskyrozdělit úhel o velikosti 360◦ na 7 shodných úhlů.

Obdobně jako v případě trisekce úhlu můžeme využít goniometrický vzorec,tentokrát

cos 7α = 64 cos7 α− 112 cos5 α+ 56 cos3 α− 7 cosα.

Vynásobíme-li uvedený vztah 2 a upravíme jej, dostaneme

(2 cosα)7 − 7(2 cosα)5 + 14(2 cosα)3 − 7(2 cosα)− 2 cos 7α = 0.

Odtud už je pouhý krok k rovnici sedmého stupně (substituce x = 2 cosα a7α = 360◦)

x7 − 7x5 + 14x3 − 7x− 2 = 0.

která má sedm kořenů

xk = 2 cosk · 360◦

7, k = 0, 1, . . . , 6.

Pro tyto kořeny platí x0 = 2, x1 = x6, x2 = x5, x3 = x4 a uvedenou rovnicilze navíc upravit na přijatelnější tvar

(x− 2)(x3 + x2 − 2x− 1)2 = 0,

jak se snadno přesvědčíme pouhým roznásobením.

Kubická rovnice x3 + x2 − 2x − 1 = 0 však nemá racionální kořeny, a protočísla x1 = 2 cos 360

◦

7 , x2 = 2 cos 2·360◦

7 a x3 = 2 cos 3·360◦

7 nejsou PK-čísla.Konstrukce pravidelného sedmiúhelníku je eukleidovsky neřešitelná úloha.

Eukleidovské konstrukce pravidelných n-úhelníků začali hledat už starořečtímatematici a podařilo se jim najít postupy pro

n = 3 · 2k, 4 · 2k, 5 · 2k, 15 · 2k, k = 0, 1, 2, . . .

142


Nezdarem však skončily pokusy o eukleidovskou konstrukci např. pro n =7, 9, 11, a tak vznikly pochybnosti zdali kromě výše uvedených n vůbec exis-tují nějaké další eukleidovsky konstruovatelné pravidelné n-úhelníky. Tytopochybnosti trvaly dvě tisíciletí, až roku 1796 dokázal K. F. Gauss, že lze eu-kleidovsky sestrojit pravidelný 17-úhelník. Posléze ještě dokázal, že pravidelnýn-úhelník se dá sestrojit nejen pro n = 24+1 = 17, ale i pro n = 28+1 = 257a n = 216 + 1 = 65 537 a obecně pro každé prvočíslo ve tvaru

n = 22a

+ 1, kde a = 0, 1, 2, . . .

Uvedená prvočísla se nazývají Fermatova prvočísla. Pierre Fermat sedomníval, že všechna tato čísla jsou prvočísly, ale již v roce 1732 LeonhardEuler (1701–1783) ukázal se, že pro a = 5 nedostaneme prvočíslo, ale složenéčíslo 232 + 1, které je součinem prvočísel 641 a 6 700 417. Dodnes známe jenpět Fermatových prvočísel a je možné, že ani žádná další neexistují.

Všechny eukleidovsky konstruovatelné pravidelné n-úhelníky popisuje násle-dující věta:

Věta 5.2.13: (Gaussova-Wantzelova věta) Pravidelný n-úhelník je eu-kleidovsky sestrojitelný, právě když buďto n = 4 · 2k (k = 0, 1, . . ., anebon = p1 · · · · pm ·2k (k = 0, 1, . . .), kde p1, p2, . . . pm jsou Fermatova prvočísla. �

5.3 Apolloniovy úlohy

Řecký matematik, fyzik a astronom Apollónios z Pergy proslul nejen stu-diem kuželoseček jako rovinných řezů kuželové plochy (mj. zavedl názvy elipsa,parabola, hyperbola), ale je dobře znám i díky své knize O dotycích, v níž sezabýval konstrukcemi kružnic, které se dotýkají zadaných tří útvarů (bodů,přímek, kružnic). Tyto úlohy dodnes nazýváme Apolloniovy úlohy. Dílose sice nedochovalo, ale z citací známe jeho obsah — Apollónios požadovalkonstrukce jen pravítkem a kružítkem, znal stejnolehlost i kruhovou inverzi.

Apolloniova úloha: Jsou dány tři různé prvky (kružnice, přímky, body).Sestrojte kružnici, která se dotýká zadaných kružnic nebo přímek a procházízadanými body. ♦

Celkem můžeme najít 10 základních typů Apolloniových úloh, a to BBB (bod-bod-bod), BBp (bod-bod-přímka), BBk (bod-bod-kružnice), Bpp, Bpk, Bkk,ppp, ppk, pkk a kkk.

Platí, že obecná Apolloniova úloha má nejvýše osm řešení.

Je samozřejmé, že každá z výše uvedených úloh zahrnuje opět zvláštní případy(podúlohy), které mohou mít specifické způsoby řešení. Například pro úlohu

143


Bpp musíme rozlišovat, zda jsou přímky rovnoběžné, anebo různoběžné; zdabod leží na jedné z přímek, na žádné z nich, resp. na obou.

Speciálními případy Apolloniových úloh jsou tzv. Pappovy úlohy

Pappova úloha: Jsou dány tři různé prvky (kružnice, přímky, body), z nichžalespoň jeden je kruhová křivka a alespoň jeden je bod, přičemž tento bod ležína dané kruhové křivce. Sestrojte kružnici, která se dotýká zadané kruhovékřivky v daném bodě a dále se dotýká další kruhové křivky nebo prochází dalšímzadaným bodem. ♦

Rozlišujeme celkem 6 typů Pappových úloh, a to pT B (přímka s bodem dotykua další bod), pT p′, pT k, kT B, kT p a kT k′. Uvědomíme-li si však, že jednodu-chou konstrukcí tečny p v bodě dotyku T převedeme úlohy typu kT . . . naúlohy pT . . ., stačí řešit jen první tři typové úlohy.

Sk

TB

p

Obr. 5.3.1

Jednotlivé zvláštní případy obecné Apolloniovy úlohy řešíme různými způ-soby. Některé jsou jednoduché (např. BBB — konstrukce kružnice opsanétrojúhelníku), jiné vyžadují složitější úvahy. Při řešení budeme většinou pou-žívat konstrukci metodou množin všech bodů dané vlastnosti a konstrukci me-todou geometrických zobrazení; použití algebraicko-geometrické metody nenítak časté.

Příklad 5.3.1. Je dána přímka a s vyznačeným bodem T a další přímka b,která protíná přímku a v bodě V 6= T . Sestrojte kružnici k, která se dotýkápřímky a v bodě T a přímky b. ♦

Rozbor: Jedná se o Pappovu úlohu pT p′ (speciální případ úlohy Bpp). Ře-šení provedeme užitím metody množin všech bodů dané vlastnosti, tj.neznámé body určíme jako prvky průniku dvou takových množin.

Pro sestrojení hledané kružnice k musíme určit její střed S a poloměr r— vzhledem k tomu, že kružnice k má procházet bodem T , je r = |ST |,a proto stačí určit jen střed S.

144


S’

S k

k’

a

b

T

l

V

Obr. 5.3.2

MnožinouM1 středů všech kruž-nic, které se dotýkají různoběžeka, b, jsou dvě navzájem kolmépřímky (sjednocení čtyř os úhlůvymezených přímkami a, b) bezbodu V .MnožinouM2 středů všech kruž-nic, které se dotýkají přímky av bodě T , je přímka l kolmá kpřímce a procházející bodem T ,s výjimkou bodu T .Pro bod S máme tedy dvě pod-mínky, tj. S ∈M1 ∩M2

Konstrukce:1. a, b, a ∩ b = {V }; T (T ∈ a, T 6= V )2. M1;M1 = {X ∈ E; |X, a| = |X, b| ∧X 6= V }3. M2;M2 = l \ {T}, kde l ⊥ a ∧ T ∈ l

4. S; S ∈M1 ∩M2

5. k(S, |ST |)

Důkaz konstrukce: Správnost konstrukce je zřejmá z rozboru.

Diskuse: Z bodu 4 plyne, že přímka l protne množinuM2 ve dvou bodech.Úloha má dvě řešení. �

Poznámka Kdyby byly přímky a, b z předcházejícího příkladu rovnoběžné,řešili bychom Apolloniovu úlohu obdobně pouze s tím rozdílem, že množinouM1 středů všech kružnic, které se dotýkají rovnoběžek a, b, by byla osa pásuvymezeného přímkami a, b. Úloha by pak měla 1 řešení.

Příklad 5.3.2. Jsou dány různoběžky p, q a bod B (B 6∈ p, B 6∈ q). Sestrojtekružnici k, která se dotýká přímek p, q a prochází bodem B. ♦

Rozbor: Jedná se o Apolloniovu úlohu Bpp. Řešení provedeme užitím me-tody zobrazení.

Střed každé kružnice, která se dotýká různoběžek p, q, musí ležet najedné ze dvou navzájem kolmých přímek (sjednocení čtyř os úhlů). Prořešení této úlohy vystačíme s osou o úhlu, jemuž náleží bod B. Sestro-jíme libovolnou kružnici k′(S′, r′), která se dotýká přímek p, q (tj. jevepsána do téhož úhlu jako hledaná kružnice k; pouze nesplňuje pod-mínku incidence s bodem B).

145


p

q

V

kS

k’S’T ’1 T1

oB

B’

Obr. 5.3.3

Každé dvě kružnice jsou stej-nolehlé, tj. speciálně v tomtopřípadě jsou stejnolehlé hledanákružnice k a zvolená kružnice k′

— a to ve stejnolehlosti se stře-dem V ({V } = p ∩ q). Bod Bleží na kružnici k, a proto s nímstejnolehlý bod B′ musí ležet nakružnici k′. Navíc vzhledem k de-finici stejnolehlosti jsou vzor, ob-raz a střed stejnolehlosti koline-ární, a proto B′ ∈↔V B.

Ve stejnolehlosti je každý směr samodružný, a proto jsou přímky SB aS′B′ rovnoběžné. Bod S tak leží na ose o a současně na přímce vedenébodem B rovnoběžně s přímkou S′B′.

Konstrukce:

1. p, q, p ∩ q = {V }; B (B 6∈ p, B 6∈ q)2. o — osa úhlu vymezeného p, q, ve kterém leží B3. S′; S′ ∈ o, S′ 6= V

4. T ′1; T′1 ∈ p ∧ S′T ′1 ⊥ p

5. k′(S′, |S′T ′1|)6. B′; B′ ∈ 7→ V B ∩ k

7. S; S ∈ o ∧ S′B′ ‖ SB

8. T1; T1 ∈ p ∧ ST1 ⊥ p

9. k(S, |ST1|)

Důkaz konstrukce:Uvažujme stejnolehlost se středem V (p ∩ q = {V }), která převádí bodB′ do bodu B. Protože body S i S′ leží oba na o (samodružná přímka)a současně SB ‖ S′B′, je obrazem bodu S′ bod S. Obrazem kružniceve stejnolehlosti je opět kružnice, a proto se k′(S′, |S′B′|) zobrazí nak(S, |SB|). Přímka p (resp. q) je tečnou kružnice k′ procházející středemstejnolehlosti kružnic k′ a k, a proto je společnou tečnou těchto kružnic.Kružnice k se dotýká přímek p, q a prochází bodem B — tj. jsou splněnypodmínky ze zadání úlohy.

Diskuse:Z bodu 6 plyne, že polopřímka V B protne kružnici k′ ve dvou různýchprůsečících, tj. dostáváme dva body B′

1, B′2. Dle bodu 7 k bodu B′

1(resp. B′

2) sestrojíme jediným způsobem bod S1 (resp. S2). Úloha mádvě řešení. �

146


Příkladem použití algebraicko-geometrické metody může být řešení následujícíApolloniovy úlohy:

Příklad 5.3.3. Sestrojte kružnici k, která se dotýká dané přímky t a pro-chází danými body A 6= B (A, B náleží vnitřku téže poloroviny s hraničnípřímkou t. ♦

Jestliže AB ‖ t, potom střed S kružnice k leží na ose úsečky AB. Protože jeo ⊥ AB, je rovněž o ⊥ t, a proto bod T ∈ o∩ t je bodem dotyku kružnice k apřímky t. Úloha má jedno řešení.

Jestliže AB 6‖ t, označímeM jejich průsečík. Jelikož body A, B leží na kružnicik, je mocnost bodu M ke kružnici k µM

k = |MA| · |MB|. Pro dotykový bodT na tečně t potom musí platit |MT |2 = |MA| · |MB|. Stačí tedy sestrojitstřední geometrickou úměrnou |MT | — viz str. 133.

T T’

S

S’

tM

k

k’

A

B

Obr. 5.3.4

Na přímce t existují dva body T a T ′, jejichž vzdálenost od bodu M je√|MA| · |MB|; úloha má dvě řešení. �

Významnou roli při řešení Apolloniových úloh sehrává použití kruhové inverze.V některých případech (zvláště je-li mezi zadanými prvky bod) je vhodné po-mocí kruhové inverze (zadaný bod pak volíme za střed inverze) převést danouúlohu na úlohu jednodušší — tzv. vnitřní úloha — tu vyřešíme (metodoumnožin všech bodů dané vlastnosti nebo metodou geometrických zobrazení)a výsledek vnitřní úlohy převedeme pomocí téže kruhové inverze (involuce!) navýsledek původní úlohy. Zdůrazněme jen, že v tomto případě kruhová inverzeúlohu neřeší, ale pouze ji převádí na jednodušší!

Příklad 5.3.4. Jsou dány kružnice l,m a bod A, který neleží na žádné z nich.Sestrojte kružnici k, která prochází bodem A a dotýká se kružnic l, m. ♦

Jedná se o Apolloniovu úlohu Bkk. Provedeme jen stručný rozbor konstrukčníúlohy, zbytek ponecháme čtenáři.

Použijeme transformaci úlohy na jednodušší úlohu pomocí kruhové inverze.Mezi zadanými prvky je bod, který zvolíme za střed inverze. Základní kružnici

147


inverze ω můžeme volit libovolně, ovšem z praktických důvodů se nabízejíněkterá usnadnění. Na kružnici ω leží samodružné body, a proto je možnévolit ω tak, aby protla kružnici l, resp. m, resp. obě (samozřejmě je-li tomožné). Jinou možností je volit ω tak, aby l (resp. m) a ω byly ortogonální— kružnice kolmá na základní kružnici inverze je totiž samodružná.

Nezávisle na volbě poloměru základní kružnice obecně platí:

• bod A (střed inverze) přechází na nevlastní bod ∞;

• daná kružnice l neprocházející středem inverze se zobrazí na kružnici l′

neprocházející středem inverze;

• daná kružnice m neprocházející středem inverze se zobrazí na kružnicim′ neprocházející středem inverze;

• hledaná kružnice k procházející středem inverze se zobrazí na přímku k′;

Nyní zformulujeme zadání vnitřní úlohy. O přímce k′ víme, že prochází ne-vlastním bodem ∞ (tak jako všechny přímky v Möbiově rovině M2), a vzhle-dem k tomu, že k se dotýká l a m, musí se i k′ dotýkat l′ a m′. Hledáme tedypřímku, která se dotýká dvou kružnic.

Vnitřní úloha: Sestrojte společnou tečnu dvou kružnic.

Řešení vnitřní úlohy je snadné (použití středů stejnolehlosti). Jakmile mámesestrojenou společnou tečnu k′ kružnic l′ a m′, je možné sestrojit i kružnicik, neboť INV(ω) : k′ → k.

Řešitelnost a počet řešení dané úlohy závisí samozřejmě na počtu společnýchtečen kružnic l′ a m′; úloha má nejvýše čtyři řešení. �

Otázkou je, jak a zdali vůbec můžeme použít kruhovou inverzi v případech,kdy mezi zadanými prvky nefiguruje žádný bod. Potom záleží na vzájemnépoloze zadaných kruhových křivek. Jestliže se protínají, resp. dotýkají, volímeza střed inverze průsečík, resp. bod dotyku — viz následující příklad.

Příklad 5.3.5. Jsou dány kružnice k1, k2, k3, které se po dvou navzájemprotínají a všechny tři procházejí bodem O. Sestrojte kružnici k, která sedotýká všech tří zadaných kružnic. ♦

V inverzi se středem O přejdou kružnice k1, k2, k3 na po dvou různoběžnépřímky k′1, k

′2, k

′3. Obrazem hledané kružnice k je kružnice k′, která se dotýká

přímek k′1, k′2, k

′3.

Vnitřní úlohou je tak opět Apolloniova úloha, a to úloha ppp, která má obecněaž 4 řešení — kružnice vepsaná trojúhelníku a 3 kružnice připsané trojúhel-níku (středy kružnic připsaných nalezneme jako průsečíky os vnějších úhlůtrojúhelníka). �

148


Nefiguruje-li mezi zadanými prvky bod a navíc neexistuje žádný společnýbod zadaných kruhových křivek, můžeme použít algoritmus z následujícíhopříkladu:

Příklad 5.3.6. Jsou dány dvě nesoustředné kružnice k1(O1, r1), k2(O2, r2),které nemají žádný společný bod. Ukažte, že potom existuje kruhová inverze,která převede zadané dvě kružnice na kružnice soustředné. ♦

Nejprve sestrojíme kružnici k se středem R na středné↔O1O2 takovou, že or-togonálně protíná obě zadané kružnice k1, k2 (víme, že R je průsečík chordálych kružnic k1, k2 se střednou a poloměr kružnice k je roven úseku na tečněvedené z bodu R ke kružnici k1, resp. k2). Průsečíky kružnice k s přímkou↔O1O2 označme A a B. Zvolíme základní kružnici inverze ω(A, |AB|). Platí,že v takto zadané inverzi INV(ω) přejdou kružnice k1, k2 na soustředné(!)kružnice k′1, k

′2.

k1

k’1

k2

k’2

O2O1

ch

k

k’

RA B

ω

Obr. 5.3.5

Zdůvodnění předcházejícího závěru je následující. O kružnici k víme, že pro-chází středem inverze A a dotýká se základní kružnice ω v samodružném boděB. Proto přejde na přímku k′, která prochází bodem B a dotýká se základníkružnice ω, neboli jedná se o kolmici na přímku O1O2 v bodě B. Jelikož platík1 ⊥ k a k2 ⊥ k, musí rovněž platit k′1 ⊥ k′ a k′2 ⊥ k′ (kruhová inverze zacho-vává úhel kruhových křivek). Ovšem přímka je kolmá na kružnici v případě,že prochází jejím středem, a proto střed kružnice k′1 resp. k

′2 leží na přímce

k′. Dále je zřejmé, že střed kružnice k′1 resp. k′2 musí ležet na přímce AO1,

149


resp. AO2, tj. v obou případech na přímce O1O2. Vidíme, že střed kružnicek′1 leží na přímce k′ a na přímce O1O2, tj. jedná se o bod B. Totéž platí ipro kružnici k′2, a proto jsou obrazy daných kružnic soustředné kružnice sestředem v bodě B. �

Příklad 5.3.7. Jsou dány kružnice k1, k2, k3 vždy po dvou ležící vně sebe.Sestrojte kružnici k, která se dotýká všech tří zadaných kružnic. ♦

Pomocí algoritmu z předcházejícího příkladu zobrazíme dvě kružnice, např.k1, k2, na dvě soustředné kružnice. V závislosti na tom, zda střed inverzeleží či neleží na třetí kružnici k3 se tato zobrazí buďto na kružnici, anebo napřímku. Dostáváme tak vnitřní úlohu:

Jsou dány dvě soustředné kružnice k′1, k′2 a další kružnice (popř. přímka) k′3.

Sestrojte kružnici k′, která se dotýká všech tří uvedených křivek.

Tato Apolloniova úloha má až 8 řešení — viz příklad 3.7.1. Označíme-li E,resp. I vnější, resp. vnitřní dotyk kružnice k a ki, je zřejmé, že pro početřešení 8 nastávají tyto možnosti: EEE, EEI, EIE, IEE, EII, IEI, IIE,III. �

k3

k1

O1O2

O3

k2

Obr. 5.3.6

150

6. Grupy geometrických transformací

6 Grupy geometrických transformací

6.1 Pojem grupy

Množinu G, na které je definována alespoň jedna binární operace, nazývámealgebraická struktura — např. množina přirozených čísel s operací sčítání(N,+), množina reálných čísel s operacemi sčítání a násobení (R,+, ·) apod.Podle počtu definovaných binárních operací pak hovoříme o algebraické struk-tuře s jednou binární operací, se dvěma binárními operacemi, se třemi apod.

DEFINICE 6.1.1: Říkáme, že algebraická struktura (G, ~) je grupa a binárníoperace ~ je grupovou operací, právě když platí:(g1) operace ~ je uzavřená — tj. (∀a, b ∈ G)(a ~ b ∈ G);

(g2) operace ~ je asociativní — tj. (∀a, b, c ∈ G)[(a ~ b)~ c = a ~ (b ~ c)];

(g3) existuje neutrální prvek — tj. (∃e ∈ G)(∀a ∈ G)(a ~ e = e ~ a = a);

(g4) ke každému prvku existuje prvek inverzní— tj. (∀a ∈ G)(∃a−1 ∈ G)(a~a−1 = a−1 ~ a = e).

Jestliže navíc platí, že

(g5) operace ~ je komutativní — tj. (∀a, b ∈ G)(a ~ b = b ~ a),

potom hovoříme o tzv. komutativní (neboli Abelově či abelovské)grupě. �

Každá grupa má právě jeden neutrální prvek a ke každému prvku grupy exis-tuje právě jeden prvek inverzní. Je-li počet prvků grupy G konečný, nazývámejej řádem grupy G a říkáme, že grupa G je konečná, v opačném případěhovoříme o nekonečné grupě G.

Příkladem grupy může být aditivní grupa celých čísel (Z,+) nebo multiplika-tivní grupa nenulových racionálních čísel (Q \ {0}, ·) atd.DEFINICE 6.1.2: Říkáme, že algebraická struktura (H,~) je podgrupougrupy (G, ~), jestliže platí1. H ⊂ G,

2. (H,~) je grupa.Podgrupy (G, ~) a ({e},~) nazýváme triviálními podgrupami grupy(G, ~). �

A tak např. aditivní grupa celých čísel (Z,+) je netriviální podgrupou aditivnígrupy racionálních čísel (Q,+) apod.

Uvažujme dále množinu G geometrických zobrazení a binární operaci ◦ sklá-dání geometrických zobrazení. Potom operace ◦ na množině G je asociativní,není obecně komutativní a každá podmnožina množiny G obsahující identitumá neutrální prvek.

151


6.2 Kleinův grupově-kinematický pohled na geometrii

V roce 1872 se Felix Klein stal profesorem na univerzitě v Erlangen. Ve svénástupní přednášce Vergleichende Betrachtungen über neuere geometrischeForschungen objasnil nový sjednocující pohled na geometrii využívající grupygeometrických zobrazení. Tato přednáška se stala známou pod názvem Er-langenský program.

Geometrický prostor v Kleinově smyslu je dvojice (S, G), kde S je nějaká ne-prázdná množina základních objektů, které nazýváme body, a G je jistá grupageometrických transformací, která operuje na množině S. Za charakteristickévlastnosti každé geometrie (eukleidovská geometrie, hyperbolická geometrie,projektivní geometrie apod.) vzal Klein ty vlastnosti, které jsou invariantnívůči určité grupě geometrických zobrazení (eukleidovská grupa (grupa shod-ností), hyperbolická grupa, projektivní grupa apod.). Pomocí grupové termi-nologie pak provedl klasifikaci jednotlivých geometrií a ukázal jejich vzájemnévztahy a souvislosti.

Kleinova geometrie zahrnovala v době svého vzniku všechny tehdy známé ge-ometrie, tj. jak uvidíme i geometrii eukleidovskou či hyperbolickou. Z tohotodůvodu se v této kapitole objeví nové definice těchto geometrií v souladu sKleinovým přístupem, ačkoliv jsme již jejich definice uvedli v kapitole vě-nované Eukleidově-Hilbertově axiomatickému systému. Rozdílnost obou pří-stupů výstižně charakterizuje např. zpracování shodnosti: v Kleinově pojetíbudeme pracovat se shodností dynamicky, nikoliv staticky; oproti tomu Hil-bert místo toho, aby uvažoval pohyb objektů (zobrazení jednoho na druhý),pouze předpokládal možnost konstrukce objektu se stejnými geometrickýmivlastnostmi, jaké má zadaný objekt (možnost vytvoření „přesné kopieÿ).

Klein charakterizuje každou geometrii pomocí

• množiny S objektů — bodů geometrie;

a• grupy G transformací na množině S.

DEFINICE 6.2.1:Geometrický útvar je množina bodů, tj. každá podmnožina množiny S.G-vlastnost je geometrická vlastnost invariantní vůči prvkům grupy G.Geometrické útvary P aQ jsouG-kongruentní, jestliže existuje takový prvekgrupy G, který zobrazuje P na Q. �

Poznamenejme, že jestliže útvary P a Q jsou G-kongruentní, potom majístejné G-vlastnosti, neboť všechny G-vlastnosti jsou invariantní vzhledem kegrupě G.

152


Z vlastností grupy navíc plyne, že vztah „býti G-kongruentníÿ je reflexivní,symetrický a tranzitivní a je tedy relací ekvivalence. Všechny útvary stejnéhotypu lze tudíž pomocí grupy G rozdělit na třídy navzájem G-kongruentníchútvarů.

Studium geometrie, která je asociována s grupou G, se skládá z:

• určování G-vlastností;• popisu tříd G-kongruentních útvarů;• formulací a důkazů vět týkajících se G-kongruencí a G-vlastností.

Jak uvidíme v další kapitole, např. eukleidovskou geometrii lze popsat pomocí• množiny R2 uspořádaných dvojic reálných čísel [x, y] (souřadnic bodů v ro-vině)• a grupy E(2) generované translacemi, rotacemi a osovými souměrnostmi naR2.

Jelikož každá z uvedených transformací zachovává vzdálenost dvou bodů, jevzdálenost E(2)-vlastností eukleidovské geometrie neboli eukleidovskou vlast-ností.

Výhodou Kleinova přístupu je fakt, že přirozeným způsobem umožňuje nachá-zet vztahy mezi jednotlivými geometriemi a zavést tak klasifikaci geometrií.Předpokládejme, že G je grupa transformací na množině S a H je podgrupagrupy G. Potom H je rovněž grupa transformací na množině S a definuje tímpádem jinou geometrii na téže množině S.

Věta 6.2.1: Nechť G je grupa transformací na množině S a H je pod-grupa grupy G. Jestliže jsou dva útvary H-kongruentní, potom jsou i G-kongruentní. �

Důkaz: Nechť P a Q jsou H-kongruentní, potom existuje taková transformaceh ∈ H, že h(P ) = Q. Ovšem H je podgrupou grupy G, a proto rovněž h ∈ G,tj. P a Q jsou také G-kongruentní. Q.E .D.

Odtud vyplývá, že každá třída G-kongruentních útvarů je sjednocením třídH-kongruentních útvarů, tj. v geometrii definované grupou G je méně, avšakvětších tříd navzájem kongruentních útvarů než v geometrii definované pod-grupou H. Ukažme si tuto skutečnost na konkrétním příkladu:

Příklad 6.2.1. Od grupy shodností E(2) můžeme přejít ke grupě podobnostíP (2) (o grupách E(2) a P (2) podrobněji v kapitolách 6.3 a 6.4) pouhýmpřidáním transformace, která násobí délky všech úseček konstantou k ∈ R+(stejnolehlost!). Uvažujme třídu E(2)-kongruentních útvarů, která obsahujekružnici k: x2 + y2 = 1 (střed [0, 0], poloměr 1). Nechť T ∈ E(2) je translace.Jelikož T zachovává délku úsečky, je obrazem kružnice k kružnice k′ = T (k)se středem T ([0, 0]) a poloměrem 1. Naopak — jestliže kružnice k′ má střed P

153


a poloměr 1, potom translace, která zobrazuje počátek O do bodu P , zobrazíkružnici k do kružnice k′. A proto třída obsahující kružnici k obsahuje všechnykružnice s poloměrem 1. Obdobně bychom postupovali pro libovolný poloměrr > 0. V eukleidovské geometrii tak existuje nekonečně mnoho disjunktníchtříd E(2)-kongruentních kružnic.

Nyní nechť H ∈ P (2) je stejnolehlost se středem [0, 0] a koeficientem κ > 0.Jelikož homotetie zobrazuje kružnici na kružnici, je k′ = H(k) kružnice sestředem [0, 0] a poloměrem κ. Jestliže naopak k′ má střed P a poloměr r,potom zobrazíme k na k′ nejprve pomocí translace, která zobrazuje počátek Odo bodu P , a poté pomocí stejnolehlosti se středem P a koeficientem r. Třídaobsahující kružnici k obsahuje nyní všechny kružnice s jakýmkoliv poloměrem!

Vidíme, že třída P (2)-kongruentních útvarů, jejímž reprezentantem je kruž-nice k, obsahuje třídu E(2)-kongruentních útvarů s týmž reprezentantem k aje sjednocením všech eukleidovských tříd E(2)-kongruentních kružnic. �

Věta 6.2.2: Nechť G je grupa transformací na množině S a H je podgrupagrupy G. Jestliže V je G-vlastnost, potom je rovněž i H-vlastností. �

Důkaz: Nechť V je G-vlastnost, tj. je invariantní vzhledem ke všem prvkům gz grupy G. Speciálně h ∈ H j G, a proto vzhledem ke všem transformacím hje V rovněž invariantem a jedná se o H-vlastnost. Q.E .D.

Odtud vyplývá, že geometrie definovaná na množině S grupou G má méněvlastností než geometrie definovaná pogrupou H. Oproti tomu geometrie ur-čená podgrupou H je bohatší co do invariantů, pojmů a vět.

Příklad 6.2.2. Uvažujme opět grupy E(2) a P (2) na množině R×R. Jelikožvšechny osové souměrnosti, rotace a translace zachovávají délku úsečky i ve-likost úhlu, každý prvek grupy shodností, která je uvedenými transformacemigenerována, musí také zachovávat délku úsečky i velikost úhlu. Délka úsečkya velikost úhlu jsou E(2)-vlastnostmi (eukleidovskými vlastnostmi).

Každá stejnolehlost zobrazuje úhel na úhel shodný, a proto každý prvek ekvi-formní grupy (grupy podobností) zachovává velikost úhlu, avšak pro |κ| 6= 1dochází ke změně délek úseček. Velikost úhlu je vlastností obou geometrií,avšak délka úsečky je vlastností výhradně eukleidovskou. �

6.3 Eukleidovská grupa

Symbol E (resp. E2) značí eukleidovskou rovinu se souřadným systémem, vněmž je každému bodu X přiřazena uspořádaná dvojice reálných čísel [x, y].Označení „bod Xÿ a „bod [x, y]ÿ budeme považovat za ekvivalentní. OznačeníX[x, y] budeme číst bod X se souřadnicemi [x, y]; označení X = [x, y] čtemebod X je totožný s bodem [x, y]. Připomeňme ještě vzorec pro eukleidovskou

154


vzdálenost dvou bodů [x1, y1], [x2, y2] v kartézské soustavě souřadnic

d =√(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2.

DEFINICE 6.3.1: Shodné zobrazení (shodnost, izometrie) je zobrazenína množině E, které zachovává vzdálenost dvou bodů. �

Typickými příklady shodných zobrazení, se kterými jsme se již setkali, jsou

• identita I;

• osová souměrnost O(o) podle přímky o;

• rotace R(S, ϕ) kolem středu S o úhel ϕ — včetně speciálních případůR(S, (2k + 1)π), což je středová souměrnost S(S), a R(S, 2kπ), což jeidentita I;

• translace T (AA′) zobrazující bod A do bodu A′.

[ , ]x y

[- , ]y x

[- ,- ]x y [ ,- ]x y

[ +1, -1]x y

-11 x

y+90o

Obr. 6.3.1

Příklad 6.3.1. Nechť v zobrazení Z přejde bod X[x, y] do bodu X ′[x′, y′],potom snadno nahlédneme, že:

• je-li Z identita, lze ji v kartézské soustavě souřadnic popsat rovnicemi

x′ = x

y′ = y

• je-li Z osová souměrnost podle osy x, lze ji popsat rovnicemi

x′ = x

y′ = −y

155


• je-li Z středová souměrnost podle počátku, lze ji popsat rovnicemi

x′ = −x

y′ = −y

• je-li Z rotace podle počátku o +π2 , lze ji popsat rovnicemi

x′ = −y

y′ = x

• je-li Z translace zobrazující počátek do bodu [1,−1], lze ji popsat rov-nicemi

x′ = x+ 1

y′ = y − 1 �

Věta 6.3.1: Všechny izometrie v rovině tvoří vzhledem k operaci skládánígrupu. �

Důkaz: Platí, že skládání geometrických zobrazení je obecně asociativní a platíto samozřejmě speciálně i pro shodnosti, identita jako neutrální prvek patřímezi shodnosti, a proto zbývá ověřit jen uzavřenost operace skládání shodnostía existenci inverzní shodnosti ke každé shodnosti.

Nechť ve shodnosti S1 přejde bod X na bod X ′ a bod Y na bod Y ′, tj. platí|X ′Y ′| = |XY | a ve shodnosti S2 bod X ′ na bod X ′′ a bod Y ′ na bod Y ′′, tj.|X ′′Y ′′| = |X ′Y ′|. Potom ve složeném zobrazení S1 ◦ S2 přejde bod X na bodX ′′ a bod Y na bod Y ′′, pro něž platí |X ′′Y ′′| = |X ′Y ′| = |XY |, a proto sejedná opět o shodnost. Skládání shodností je uzavřená operace.

Shodnost je prosté zobrazení. (V opačném případě by existovaly různé bodyX, Y , které by v jisté shodnosti přešly na dva totožné body X ′ = Y ′. Alepotom by evidentně neplatila rovnost |X ′Y ′| = |XY |, neboť první číslo bybylo nulové a druhé nenulové). Ke shodnému zobrazení můžeme tedy vytvořitzobrazení inverzní a vzhledem k symetrii rovnosti |X ′Y ′| = |XY | ⇒ |XY | =|X ′Y ′| je zřejmé, že inverzní zobrazení ke shodnosti je opět shodností. Q.E .D.

DEFINICE 6.3.2: Grupu všech izometrií nazýváme eukleidovská (izomet-rická) grupa. Eukleidovskou grupu budeme značit E(2). �

DEFINICE 6.3.3: Geometrie na množině R2 charakterizovaná grupou E(2) senazývá eukleidovská geometrie. �

Věta 6.3.2: Shodná zobrazení zachovávají velikosti úhlů

Důkaz: Podle kosinové věty závisí velikosti vnitřních úhlů trojúhelníka navelikosti jeho stran, a proto shodná zobrazení zachovávají kromě velikostiúseček i velikosti úhlů. Q.E .D.

156


DEFINICE 6.3.4: Izometrie, která zachovává orientaci úhlů se nazývá přímá.Izometrie, která obrací orientaci úhlů se nazývá nepřímá.

Translace a rotace (tj. i středová souměrnost a identita) jsou přímými shod-nostmi, zatímco osová souměrnost je nepřímá shodnost. Je zřejmé, že každáshodnost je buďto přímá, nebo nepřímá. Navíc je zřejmá platnost následujícívěty:

Věta 6.3.3: Všechny přímé izometrie v rovině tvoří vzhledem k operaci sklá-dání grupu, která je podgrupou eukleidovské grupy E(2). Grupu přímých shod-ností značíme E+(2). �

Příklad 6.3.2. Snadno bychom dokázali, že množina všech translací doplněnáidentitou tvoří grupu, která je podgrupou grupy přímých shodností, a tím ipodgrupou eukleidovské grupy. �

Lemma 6.3.1. Nechť Z je izometrie a nechť body O[0, 0] a X[1, 0] jsou sa-modružné. Potom

• buďto Z je identita;• nebo Z je osová souměrnost podle x. �

[ , ]x y

X [1,0]O [0,0]

Y [0,1]

x

y

P

Obr. 6.3.2

Důkaz: (obr. 6.3.2) Nechť P = [x, y] a nechť Z(P ) = Q, kde Q = [x′, y′].Jelikož počátek O je samodružný bod a Z je izometrie (tj. zachovává délky),potom musí platit |OP | = |OQ| a po drobné úpravě můžeme psát

x2 + y2 = x′2 + y′

2.

Rovněž X je samodružný bod, a proto |XP | = |XQ|, tj.

(x− 1)2 + y2 = (x′ − 1)2 + y′2

Odečtením první rovnice od druhé dostaneme

−2x+ 1 = −2x′ + 1,

157


a protox′ = x.

Nechť Y [0, 1] a nechť Z(Y ) = Y ′. Jelikož Z je izometrie, potom |OY ′| = 1.Neboť přímka OY (osa y) je kolmá na přímku OX (osa x) a body O, Xjsou samodružné, potom rovněž přímka OY ′ musí být kolmá na přímku OX(izometrie zachovává úhly) a tudíž bod Y ′ leží na ose y. A vzhledem k faktu|OY ′| = 1, je zřejmé, že buďto Y ′ = Y , nebo Y ′ = [0,−1].V prvém případě z |PY | = |QY ′| plyne

x2 + (y − 1)2 = x′2 + (y′ − 1)2

a po úpravě dostávámey′ = y,

neboli jedná se o identitu.

V druhém případě z |PY | = |QY ′| plyne

x2 + (y − 1)2 = x′2 + (y′ + 1)2

a po úpravě dostávámey′ = −y,

neboli jedná se o osovou souměrnost podle osy x. Q.E .D.

Zvolíme-li dva různé body A, B za body O, X kartézské soustavy, potom jemožné předcházející větu zobecnit:

Věta 6.3.4: Shodnost v rovině, která má alespoň dva různé samodružné body,je buďto identita, nebo osová souměrnost. �

Důsledek 6.3.1. Přímka spojující dva různé samodružné body obsahuje pouzesamodružné body. �

Nyní nás bude zajímat shodné zobrazení, které má přímku samodružnýchbodů a mimo ni další samodružný bod. Takové zobrazení existuje a je toidentita.

Věta 6.3.5: Shodnost v rovině, která má alespoň tři nekolineární samodružnébody, je identita. �

Důkaz: (obr. 6.3.3) Uvažujme nekolineární samodružné body A, B, C. Jelikožjsou body A, B samodružné, potom je každý bod přímky AB samodružnývzhledem k dané shodnosti. Nechť bod X probíhá přímku AB. Stejnou úvahuzopakujeme ještě jednou: jelikož jsou body C, X samodružné, potom je rovněžkaždý bod přímky CX samodružný. Dostáváme svazek přímek se středem vbodě C, přičemž všechny body všech přímek svazku jsou samodružné. Každýbod roviny je tedy samodružný a daná shodnost je identitou. Q.E .D.

158


A X2X1 B X3

C

x1

x2x3

Obr. 6.3.3

Věta 6.3.6: (O určenosti shodného zobrazení:) Nechť jsou dány dvatrojúhelníky ABC a A′B′C ′ takové že platí

|A′B′| = |AB|, |B′C ′| = |BC|, |C ′A′| = |CA|.

Potom existuje jediné shodné zobrazení, které převádí bod A do bodu A′, bodB do bodu B′ a bod C do bodu C ′. �

Důkaz: Nejprve dokážeme existenci takového zobrazení.

A

B

C

A’ B’

C’

B1

C1

C2

Obr. 6.3.4

Jestliže A 6= A′, potom translace T (A→ A′) převádí bod A do bodu A1 = A′,bod B do bodu B1 a bod C do bodu C1, přičemž platí |A′B1| = |AB|,|B1C1| = |BC| a |C1A′| = |CA|.Jestliže B1 6= B′, potom rotace R′(A,B1 → B′) převede bod A′ do bodu A′,bod B1 do bodu B′ a bod C1 do bodu C2, přičemž platí |A′B′| = |A′B1| =|AB|, |B′C2| = |B1C1| = |BC| a |C2A′| = |C1A′| = |CA|.

159


Jestliže C2 6= C ′, potom osová souměrnostO(↔A′B′) převede bod A′ do boduA′, bod B′ do bodu B′ a bod C2 do bodu C ′, přičemž platí |A′B′| = |A′B1| =|AB|, |B′C ′| = |B′C2| = |B1C1| = |BC| a |C ′A′| = |C2A′| = |C1A′| = |CA|.Hledané zobrazení Z složené z translace T , rotace R a osové souměrnosti O25převádí bod A do bodu A′, bod B do bodu B′ a bod C do bodu C ′.

Nyní dokážeme unicitu, tj. dokážeme, že existuje jediná shodnost dané vlast-nosti. Předpokládejme, že kromě výše sestrojeného zobrazení Z existujedalší shodnost Z1 6= Z. Jelikož Z : [A,B,C] → [A′, B′, C ′] a rovněžZ1 : [A,B,C]→ [A′, B′, C ′], vidíme, že shodnost

Z ◦ Z−11

zobrazuje body A, B, C samy na sebe. Ovšem shodnost se třemi nekolineár-ními samodružnými body je identita, tj. Z ◦ Z−1 = I, a proto Z = Z1. To jevšak spor! Q.E .D.

Věta 6.3.7: Každou shodnost v rovině lze vytvořit skládáním konečného po-čtu (přesněji nejvýše tří) osových souměrností. (Grupa E(2) je generovánaosovými souměrnostmi.) �

Důkaz: Jelikož každá osová souměrnost je involucí, platí O ◦ O = I, a protoidentitu lze nagenerovat pomocí osových souměrností.

Nechť Z je izometrie, která není identitou, a nechť Z(O) = A a Z(X) = B(kde O[0, 0] aX[1, 0] jsou nesamodružné body dané izometrie). Platí |OX| = 1a jelikož Z je izometrie, potom je rovněž |AB| = 1. Označme o1 osu úsečkyOA; potom O(o1) zobrazuje bod A do bodu O a naopak. Nechť dále O(o1)zobrazuje bod B do jistého bodu C. O(o1) je izometrie, a proto |OC| = |AB|(= |OX| vzhledem k výše uvedenému). Označme o2 osu úhlu ∠XOC26; potomO(o2) zobrazuje bod C do bodu X (neboť |OC| = |OX|).

Uvažujme složené zobrazení Z◦O1◦O2. Potom OZ→ A

O1→ OO2→ O aX

Z→ BO1→

CO2→ X, neboli body O a X jsou v tomto složeném zobrazení samodružné.

Podle předcházejícího lemmatu je Z ◦O1 ◦ O2 buďto identita, anebo O(x) —osová souměrnost podle osy x. A vzhledem k tomu, že každá osová souměrnostje involucí (tj. pro inverzní zobrazení platí O−1 = O), dostáváme

buďto Z = O2 ◦ O1,

nebo Z = Ox ◦ O2 ◦ O1.Jak je vidět, každá shodnost vznikne složením nejvýše tří osových souměrností.Q.E .D.

25Ne nutně ze všech tří — jestliže např. A 6= A′, B1 = B′, C2 6= C′, potom Z = T ◦ Oapod.26V případě B = C bereme za osu o2 přímku OB, tj. osu x.

160


Příklad 6.3.3. Vyšetřete všechny možné případy skládání nejvýše tří osovýchsouměrností. ♦

• 2 souměrnosti O1, O2, jejichž osy o1, o2 jsou

1. splývající (o1 = o2) — O1 ◦ O2 = O1 ◦ O1 = I2. rovnoběžné (o1 ‖ o2) — O1 ◦ O2 = T3. různoběžné (o1 6‖ o2) — O1 ◦ O2 = R (speciálně pro o1 ⊥ o2 jeO1 ◦ O2 = S)

• 3 souměrnosti O1, O2, O3, pro jejichž osy o1, o2, o3 platí

1. všechny tři osy splývají (o1 = o2 = o3)O1 ◦ O2 ◦ O3 = O1 ◦ O1 ◦ O1 = I ◦ O1 = O1

2. všechny tři osy jsou různoběžné a procházejí jedním bodem(o1 ∩ o2 ∩ o3 = {S})O1 ◦ O2 ◦ O3 = O1 ◦ (O2 ◦ O3)︸︷︷︸

o2 ∩ o3 = {S}∠o2o3 = ϕ

O2 ◦ O3 = R(S, 2ϕ)

= O1 ◦ R(S, 2ϕ)︸︷︷︸R = O1 ◦ O′3o1 ∩ o′3 = {S}

∠o1o′3 = ϕ

=

= (O1 ◦ O1) ◦ O′3 = I ◦ O′3 = O′33. všechny tři osy jsou rovnoběžné (o1 ‖ o2 ‖ o3)

O1 ◦ O2 ◦ O3 = O1 ◦ (O2 ◦ O3)︸︷︷︸o2 ‖ o3

O2 ◦ O3 = T

= O1 ◦ T︸︷︷︸T = O1 ◦ O′3

o1 ‖ o′3|o1, o′3| = |o2, o3|

=

= (O1 ◦ O1) ◦ O′3 = I ◦ O′3 = O′34. alespoň dvě osy jsou různoběžné a současně třetí neprochází jejichprůsečíkem(např. o2 ∩ o3 = {M} ∧ M 6∈ o1)

O1 ◦O2 ◦O3 = O1 ◦ (O2 ◦ O3)︸︷︷︸o2 ∩ o3 = {M}

∠o2o3 = ϕO2 ◦ O3 = R(M, 2ϕ)

= O1 ◦ R(M, 2ϕ)︸︷︷︸R = O′2 ◦ O′3

o′2 ⊥ o1, o′2 ∩ o1 = {S}

∠o′2o′3 = ϕ

=

= (O1 ◦ O′2) ◦ O′3︸︷︷︸O1◦O′2=S(S)

= S(S) ◦ O′3︸︷︷︸S(S) = O′1 ◦ O′′2

o′1 ⊥ o′′2 , o′1 ∩ o′′2 = {S}

o′′2 ‖ o′3

= O′1 ◦ (O′′2 ◦ O′3)︸︷︷︸O′′2 ◦O′3=T

=

161


= O′1 ◦ T , kde směr posunutí T je rovnoběžný s osou o′1. �

o1

o1

o’1

o2

o’2

o’’2

o3o’3 o’3

Mϕ ϕ

S S

M

XX

X’

X0

Obr. 6.3.5

Jak je z výše uvedeného příkladu vidět, při skládání nejvýše tří osových sou-měrností se objeví pouze jedna dosud neznámá shodnost. Tato shodnost bezsamodružných bodů se dá vždy složit z osové souměrnosti a z posunutí vesměru osy této souměrnosti.

o

A B

X

Y

Z

X’

Y’

Z’

X

Y

Z

Obr. 6.3.6

DEFINICE 6.3.5: Shodné zobrazení, které lze složit z osové souměrnosti O atranslace T (

−→AB) ve směru osy souměrnosti, se nazývá posunutá souměr-

nost nebo posunuté zrcadlení. Značíme PS(o,−→AB) (popř. PS

o,−→AB). �

Každá osová souměrnost je nepřímá, a proto je zřejmá platnost následujícívěty:

162


Věta 6.3.8: Shodnost, která vznikne složením sudého počtu osových sou-měrností (identita, rotace včetně středové souměrnosti a translace) je přímá;shodnost, která vznikne složením lichého počtu osových souměrností (osovásouměrnost, posunutá souměrnost) je nepřímá. �

Grupu E(2) lze tedy rozložit na 5 tříd. Jedna třída obsahuje jediný prvek(identitu), zbylé třídy obsahují nekonečně mnoho prvků — např. třída obsa-hující všechny osové souměrnosti má stejnou mohutnost jako množina všechpřímek v rovině (obr. 6.3.7). Z obrázku je rovněž dobře patrná i strukturapodgrupy E+(2) — identita, všechny translace, všechny rotace.

E(2)

Obr. 6.3.7

Pokusíme se podat algebraický popis grupy E(2). Zde je vhodné uvažovateukleidovskou rovinu E jako Gaussovu rovinu komplexních čísel C — tj. každýbod X se dvěma reálnými souřadnicemi [x, y] je reprezentován komplexnímčíslem z = x+ iy.

z = = | |(cos + sin ) = ex+yi z iα α iα| |z

reálná osax

y|z|

α

Obr. 6.3.8

163


Eukleidovská vzdálenost bodů z = x + yi a w = u + vi je pak vyjádřenaabsolutní hodnotou |z − w|, neboť

|z − w| =√(x− v)2 + (y − v)2,

jak vyplývá z elementární teorie komplexních čísel.

Popsat např. posunutí, rotaci kolem počátku nebo osovou souměrnost podleosy x je nyní velmi jednoduché.

• TOA(z) = z + a, kde a je komplexní číslo reprezentující bod A[a1, a2](obr. 6.3.9);

• RS,ϕ(z) = eiϕz, kde eiϕ je komplexní jednotka cosϕ+i sinϕ (obr. 6.3.10);

• Ox(z) = z∗, kde z∗ je číslo komplexně sdružené k číslu z = x + yi, tj.z∗ = x− yi (obr. 6.3.11).

Re

z

a

z+a

a1

a2

x

y

Obr. 6.3.9

Re

z

x

y

eiϕ

eiϕ·z= | |[cos ( + + sin ( + ]z iα ϕ) α ϕ)

e iϕ·z

α

α+ϕ

ϕ

Obr. 6.3.10

Re

z

x

y

-y z*

Obr. 6.3.11

164


Věta 6.3.9: Jestliže je Z přímá shodnost, potom

Z(z) = az + b, kde a, b ∈ C a |a| = 1;

jestliže je Z nepřímá shodnost, potom

Z(z) = az∗ + b, kde a, b ∈ C a |a| = 1. �

Důkaz: Nechť Z je libovolná izometrie, přičemž Z(0) = b a Z(1) = c. Určímepředpis pro takové zobrazení Z1, které bude mít na body O[0, 0] (0 + 0i = 0)a X[1, 0] (1 + 0i = 1) stejný efekt jako daná shodnost Z .Předpokládejme, že Z1 zobrazuje bod z na bod az + b. Potom Z1(0) = b aZ1(1) = a+ b. Volme a = c− b, potom Z1(1) = a+ b = c.Jelikož Z je izometrie, potom |c− b| = |1− 0| = 1, a proto |a| = 1.Nyní dokážeme, že rovněž Z1 je izometrie. Neboť platí

|Z1(z)−Z1(w)| = |(az+ b)− (aw+ b)| = |a(z−w)| = |a|︸︷︷︸=1

·|z−w| = |z−w|,

potom vzdálenost obrazů i vzorů je stejná, a proto Z1 je shodné zobrazení.Pokusme se popsat tuto shodnost podrobněji:

• z → az, kde a ∈ C (|a| = 1)– jelikož a · z = |a|︸︷︷︸

=1

eiϕ · z = eiϕ · z, a proto se jedná o rotaci kolem počátku

o úhel ϕ

• az → az + b, kde b ∈ C– jedná se o posunutí bodu az do bodu (az) + b

Jak rotace, tak posunutí jsou shodnosti přímé, a proto i zobrazení Z1 : z →az + b, které lze chápat jako složení rotace a translace, je přímou shodností.

Dále jelikož Z(0) = b, Z(1) = c a Z1(0) = b, Z1(1) = c, potom pro složenézobrazení Z2 = Z ◦ Z−11 platí

Z2(0) = 0 a Z2(1) = 1,

tj. body O[0, 0] a X[1, 0] jsou samodružné body zobrazení Z2. Podle výšeuvedeného lemmatu je Z2 buďto identita, anebo osová souměrnost podle osyx. Odtud

buďto Z = Z1, anebo Z = Z2 ◦ Z1.

V prvém případě dostáváme vyjádření

Z(z) = az + b

165


a zobrazení Z je stejně jako Z1 přímá shodnost.V druhém případě (neboť osová souměrnost podle osy x převádí z na z∗)obdržíme vyjádření

Z(z) = az∗ + b

a vzhledem k tomu, že složením přímé shodnosti Z1 a osové souměrnostivzniká nepřímá shodnost, je Z nepřímá shodnost. Q.E .D.

Ačkoliv má předchozí věta využívající komplexní čísla jednoduché znění idůkaz, přesto budeme chtít zachytit shodnosti v rovině i pomocí reálnýchsouřadnic.

Nechť jsou dány a, b ∈ C, kde |a| = 1. Potom a = a1 + a2i = cosα + i sinα.Nechť dále b = b1 + b2i.

Předpokládejme, že Z je přímá izometrie s vyjádřením z′ = az+b. Porovnáme-li reálnou a imaginární složku komplexního čísla z′ = x′ + iy′ a komplexníhočísla az+b = (cosα+i sinα)(x+iy)+(b1+b2i), potom zjistíme, že izometrie Zzobrazuje bod [x, y] na bod [x′, y′] = [x cosα−y sinα+b1, x sinα−y cosα+b2],tj. platí

x′ = x cosα− y sinα+ b1y′ = x sinα+ y cosα+ b2.

Zobrazení Z lze rovněž popsat maticově(x′

y′

)=

(cosα − sinαsinα cosα

) (xy

)+

(b1b2

)neboli

X ′ = AX +B,

kde X ′ =

(x′

y′

), X =

(xy

), A =

(cosα − sinαsinα cosα

), B =

(b1b2

).

Všimněme si navíc, že pro matici A platí

AT ·A = A ·AT = I a det(A) = 1.

Nyní předpokládejme, že Z je nepřímá izometrie s vyjádřením z′ = az∗ + b.Obdobným postupem jako v případě přímé shodnosti dospějeme k rovnicím

x′ = x cosα+ y sinα+ b1y′ = x sinα− y cosα+ b2,

popř. maticově(x′

y′

)=

(cosα sinαsinα − cosα

) (xy

)+

(b1b2

)

166


neboliX ′ = AX +B,

kde X ′ =

(x′

y′

), X =

(xy

), A =


), B =

(b1b2

).

Pro matici A tentokrát platí

AT ·A = A ·AT = I a det(A) = −1.

Výše uvedené matice A(cosα − sinαsinα cosα

)a


)jsou prvky grupy ortonormálních matic.27 Naopak můžeme dokázat, žekaždá ortonormální matice 2× 2 nabývá jednoho z těchto dvou tvarů.Dospěli jsme k maticovému popisu grupy E(2).

Věta 6.3.10: E(2) = {X ′ = AX + B; kde A je reálná ortonormální matice2× 2 a B je reálná matice 2× 1 }. Pro přímé shodnosti platí det(A) = 1, pronepřímé det(A) = −1. �

Závěrem této kapitoly se podívejme na několik příkladů E(2)-kongruentníchútvarů, pro které zavedeme tradiční pojem shodné útvary.

DEFINICE 6.3.6: Útvar U se nazývá shodným s útvarem U ′, jestliže existujeshodnost, která převádí útvar U na útvar U ′. Značíme U ∼= U ′. �

Ptáme se, které trojúhelníky jsou E(2)-kongruentní, tj. shodné. Jelikož délkaúsečky je E(2)-vlastností, jedná se samozřejmě o trojúhelníky, které se shodujíve všech stranách (a tím i ve všech vnitřních úhlech). Každou třídu shodnýchtrojúhelníků tak lze popsat jednou neuspořádanou trojicí kladných reálnýchčísel (a, b, c). Speciálně pro rovnostranné trojúhelníky dostáváme korespon-denci mezi kladnými reálnými čísly (délky stran) a třídami navzájem shodnýchrovnostranných trojúhelníků. Obdobná korespondence platí i mezi množinoukladných reálných čísel (délky poloměrů) a množinou tříd navzájem shodnýchkružnic.

6.4 Ekviformní grupa

DEFINICE 6.4.1: Podobné zobrazení (podobnost, ekviformita) je zob-razení na množině E, v němž každé úsečce odpovídá úsečka, jejíž délka se27Regulární matici C nazveme ortonormální, jestliže CT · C = C · CT = I, kde I jejednotková matice.

167


rovná délce dané úsečky násobené reálným číslem k > 0, které se nazývápoměr podobnosti. V případě k 6= 1 hovoříme o vlastní podobnosti, vpřípadě k = 1 hovoříme o nevlastní podobnosti. �

Mezi podobnosti patří rovněž shodná zobrazení — potom je samozřejmě po-měr podobnosti k = 1 a tudíž každá shodnost je nevlastní podobností. Existujívšak i podobnosti, které nejsou shodnostmi (tj. vlastní podobnosti). Typic-kým příkladem je stejnolehlost H(S, κ), jejíž koeficient je různý od −1; proκ = −1 bychom dostali středovou souměrnost, tj. opět shodnost a tím ne-vlastní podobnost.

Věta 6.4.1: Stejnolehlost s koeficientem κ je podobnost s poměrem podobnosti|κ|. �

Re

z

x

y

κzκy

κx

Obr. 6.4.1

Příklad 6.4.1. Jde-li o stejnolehlost se středem v počátku a koeficientem κ,potom pro souřadnice bodu X ′[x′, y′], který je obrazem bodu X[x, y] platí

x′ = κx

y′ = κy

popř. pomocí zápisu v komplexních souřadnicích

z′ = κz, κ ∈ R. �

Věta 6.4.2: Každá vlastní podobnost má nejvýše jeden samodružný bod. �

Důkaz: Kdyby vlastní podobnost P s poměrem podobnosti k 6= 1 měla alespoňdva různé samodružné body R 6= S, potom by platilo

|RS| = |R′S′| = k · |RS|.

Odtud dostáváme k = 1, což je spor s předpokladem vlastní podobnosti.Q.E .D.

168


Obdobně jako v případě shodných zobrazení bychom snadno dokázali větu:

Věta 6.4.3: Všechny podobnosti v rovině tvoří vzhledem k operaci skládánígrupu. �

Zdůrazněme jen, že při důkazu předcházející věty bychom mj. odvodili, žesložením podobnosti P1 s poměrem podobnosti k1 a podobnosti P2 s pomě-rem podobnosti k2 vznikne podobnost P s poměrem podobnosti k1k2. Rovněžbychom odvodili, že inverzním zobrazením k podobnosti P s poměrem podob-nosti k je podobnost s poměrem podobnosti 1k .

DEFINICE 6.4.2: Grupu všech podobností nazýváme ekviformní grupa(grupa podobností). Ekviformní grupu budeme značit P (2). �

DEFINICE 6.4.3: Geometrie na množině R2 charakterizovaná grupou P (2) senazývá ekviformní (popř. elementární) geometrie. �

Jelikož každá shodnost je současně podobností, je zřejmá platnost následujícívěty:

Věta 6.4.4: Eukleidovská grupa E(2) je podgrupou ekviformní grupy P (2). �

Věta 6.4.5: Každou vlastní podobnost lze vyjádřit jako složení jisté shodnostia stejnolehlosti s kladným koeficientem. �

Důkaz. Nechť Pk je vlastní podobnost s kladným poměrem podobnosti k 6= 1.Podle definice Pk zobrazuje všechny úsečky XY o délce d na úsečky X ′Y ′ odélce k · d.Určíme inverzní zobrazení ke stejnolehlosti HO,k (koeficient stejnolehlosti jeroven poměru podobnosti), tj.

H−1O,k = HO, 1k.

Složené zobrazení Z = HO, 1k◦Pk musí být shodnost (neboť 1k ·k = 1), a proto

Pk = HO,k ◦ Z. Q.E .D.

Věta 6.4.6: Podobná zobrazení zachovávají velikosti úhlů. �

Důkaz: Jelikož všechny izometrie zachovávají velikosti úhlů a rovněž tak ikaždá stejnolehlost, je tato věta bezprostředním důsledkem předcházející věty.Q.E .D.

DEFINICE 6.4.4: Podobnost, která zachovává orientaci úhlů se nazývá přímá.Podobnost, která obrací orientaci úhlů se nazývá nepřímá. �

Jelikož každá stejnolehlost zachovává orientaci úhlů, je evidentní, že o tom,zda je daná podobnost přímá či nepřímá rozhoduje shodné zobrazení, z něhoža ze stejnolehlosti podobnost vznikne.

169


Věta 6.4.7: Všechny přímé podobnosti v rovině tvoří vzhledem k operaciskládání grupu, která je podgrupou ekviformní grupy P (2). Grupu přímýchpodobností značíme P+(2). �

Řetězec inkluzí zachycující vztahy mezi doposud studovanými grupami jemožné zapsat ve tvaru:

E(2) ⊂ P (2)∪ ∪

{I} ⊂ E+(2) ⊂ P+(2)

Obdobou věty 6.3.6 (str. 159) je věta:

Věta 6.4.8: (O určenosti podobného zobrazení:) Nechť jsou dány dvatrojúhelníky ABC a A′B′C ′ takové že platí

|A′B′| = k · |AB|, |B′C ′| = k · |BC|, |C ′A′| = k · |CA|,

kde k je kladné reálné číslo. Potom existuje jediné podobné zobrazení, kterépřevádí bod A do bodu A′, bod B do bodu B′ a bod C do bodu C ′. �

Důkaz: Důkaz by probíhal obdobně jako v případě zmiňované věty6.3.6 (str. 159). Pouze pro případ vlastní podobnosti (k 6= 1) bychom muselinejprve provést nultý krok, kterým by bylo zobrazení trojúhelníka ABC vestejnolehlosti H(A, k)na trojúhelník AB0C0. Trojúhelníky AB0C0 a A′B′C ′

již splňují předpoklady věty O určenosti shodného zobrazení. Q.E .D.

Stejně jako v případě grupy E(2) podáme algebraický popis grupy S(2).

Věta 6.4.9: Jestliže je P přímá podobnost, potom

P(z) = az + b, kde a, b ∈ C a |a| 6= 0;

jestliže je Z nepřímá shodnost, potom

P(z) = az + b, kde a, b ∈ C a |a| 6= 0. �

Důkaz: Pro nevlastní podobnosti (tj. shodnosti) věta evidentně platí – viz6.3.9 (str. 165).

Víme, že každou vlastní podobnost lze složit z jisté shodnosti a stejnolehlosti,tj.

Pk = HO,k ◦ Z,

170


kde Z je shodnost a HO,k je stejnolehlost se středem v počátku O[0, 0] akoeficientem k.Dále víme, že stejnolehlost se středem v počátku popisuje vztah

z → kz, kde k ∈ R

a přímou (nepřímou) shodnost vztah

z → αz + β (z → αz + β), kde α, β ∈ C a |α| = 1.

A proto můžeme psát

z → kz → α(kz) + β = (kα)z + β,

popř.z → kz → α(kz) + β = (kα)z + β.

Odtud vidíme, že a = kα (|a| = k|α| = k 6= 0), b = β a každá vlastnípodobnost P je tudíž popsána výše uvedenou rovnicí. Q.E .D.

Rovněž můžeme vyslovit větu, která je obdobou věty 6.3.10 (str. 167). MaticeA však již nemusí být nutně ortonormální, ale bude tentokrát prvkem grupyortogonálních matic.28

Věta 6.4.10: P (2) = {X ′ = AX + B; kde A je reálná ortogonální matice2 × 2 a B je reálná matice 2 × 1 }. Pro přímé podobnosti platí det(A) > 0,pro nepřímé det(A) < 0. �

Závěrem se opět podívejme na příklady některých P (2)-kongruentní útvarů,pro které zavedeme tradiční pojem podobné útvary.

DEFINICE 6.4.5: Útvar U se nazývá podobným s útvarem U ′, jestliže exis-tuje podobnost, která převádí útvar U na útvar U ′. Značíme UsimU ′. �

Opět se můžeme ptát, které trojúhelníky jsou P (2)-kongruentní, tj. podobné.Jelikož velikost úhlu je P (2)-vlastností, jedná se samozřejmě o trojúhelníky,které se shodují ve všech vnitřních úhlech (a tím i v poměrech odpovídajících sistran). Oproti třídám shodných trojúhelníků tak lze každou třídu podobnýchtrojúhelníků popsat nekonečně mnoha neuspořádanými trojicemi kladnýchreálných čísel (ka, kb, kc) (k libovolné kladné). Speciálně pro rovnostrannétrojúhelníky dostáváme jedinou třídu P (2)-kongruentních útvarů. A rovněžvšechny kružnice se nacházejí v jediné třídě P (2)-kongruentních útvarů.

28Regulární matici C nazveme ortogonální, jestliže CT · C = C · CT = k2I, kde k2I jediagonální matice s prvky k2 na diagonále.

171


6.5 Mongeova grupa

Nejprve se budeme zabývat otázkou, jaké zobrazení vznikne složením dvoulibovolných stejnolehlostí H1(S, κ1) a H2(R, κ2), poté se zmíníme o některýchpodgrupách ekviformní grupy P (2).

Příklad 6.5.1. Jde-li o stejnolehlost se středem v počátku a koeficientem κ,potom pro souřadnice bodu X ′[x′, y′], který je obrazem bodu X[x, y] platí

x′ = κx

y′ = κy,

popř. pomocí zápisu v komplexních souřadnicích

z′ = κz, κ ∈ R.

Neleží-li střed S[s1, s2] v počátku, potom stejnolehlost H(S, κ) popisuje rov-nice

z′ − s = κ(z − s), κ ∈ R, s = s1 + s2i ∈ C. �

Stejnolehlost H1(S, κ1) tedy popíšeme rovnicí

H1 : z′ − s = κ1(z − s)

a stejnolehlost H2(R, κ2) rovnicí

H2 : z′ − r = κ2(z − r).

Pro složené zobrazení Z = H1 ◦ H2 můžeme tedy psát

H1 ◦ H2 : z −→ z′ −→ z′′, kde

H1 : z′ = κ1(z − s) + s

H2 : z′′ = κ2(z′ − r) + r.

Po dosazení za z′ dostáváme rovnici složeného zobrazení

H1 ◦ H2 : z′′ = κ2(z′ − r) + r = κ2[κ1(z − s) + s− r] + r =

= κ1κ2z + κ2(s− r)− κ1κ2s+ r.

Proveďme diskusi výše uvedené rovnice v závislosti na hodnotách koeficientůκ1, κ2 a na vzájemné poloze středů S[s1, s2], R[r1, r2]:

1. κ1κ2 = 1, potom lze rovnici upravit

z′′ = κ1κ2︸︷︷︸=1

z + κ2(s− r)− κ1κ2︸︷︷︸=1

s+ r = z + (κ2 − 1)(s− r)

172


(a) s = r, tj.

z′′ = z

a složené zobrazení Z je identita(b) s 6= r, tj.

z′′ = z + (κ2 − 1)(s− r)︸︷︷︸=a6=0

= z + a

a složené zobrazení Z je translace

2. κ1κ2 6= 1z′′ = κ1κ2z + κ2(s− r)− κ1κ2s+ r

(a) s = r, tj.

z′′ = κ1κ2z − κ1κ2s+ s = κ1κ2(z − s) + s

a složené zobrazení Z je stejnolehlost se středem S = R a koefici-entem κ = κ1κ2

(b) s 6= r, tj.

z′′ = κ1κ2z + κ2(s− r)− κ1κ2s+ r a po jednoduché úpravě

z′′ = κ1κ2

(z − κ2(s−r)−κ1κ2s+r

1−κ1κ2

)+ κ2(s−r)−κ1κ2s+r

1−κ1κ2

a složené zobrazení Z je stejnolehlost se středem T [t1, t2] (kde t =t1 + t2i =

κ2(s−r)−κ1κ2s+r1−κ1κ2

) a koeficientem κ = κ1κ2

Odvodili jsme větu:

Věta 6.5.1: (Mongeova věta) Nechť jsou dány stejnolehlosti H1(S, κ1) aH2(R, κ2). Složením H1 ◦ H2 vznikne

1. identita I ⇔ S = R ∧ κ1κ2 = 1;

2. translace T ⇔ S 6= R ∧ κ1κ2 = 1;

3. stejnolehlost H(T, κ1κ2) ⇔ κ1κ2 6= 1. �

Věta 6.5.2: Množina S obsahující identitu, všechny stejnolehlosti a všechnytranslace tvoří vzhledem k operaci skládání grupu. �

Důkaz: Ověříme jen uzavřenost operace, zbývající grupové vlastnosti jsouzřejmé. Z Mongeovy věty plyne, že složené zobrazení H1 ◦H2 je vždy prvkemmnožiny S. Složením dvou translací vznikne buďto translace, anebo identita— v obou případech opět prvek množiny S.

Zbývá ověřit jen složení H ◦ T a T ◦ H. Nechť

H : z′ = κ(z − s) + s a T : z′ = z + a,

173


potom

H ◦ T : z′′ = z′ + a = κ(z − s) + s+ a = κ

(z − a+ s− κs

1− κ

)+

a+ s− κs

1− κ

a složené zobrazení je stejnolehlost s koeficientem κ, tj. opět prvek množiny S.Obdobně

T ◦H : z′′ = κ(z′−s)+s = κ(z+a−s)+s = κ

(z − κa− κs+ s

1− κ

)+

κa− κs+ s

1− κ

a složené zobrazení je opět stejnolehlost, tj. prvek množiny S. Q.E .D.

DEFINICE 6.5.1: Grupa z předcházející věty se nazývá Mongeova grupa.Mongeovu grupu budeme značit S(2).

Věta 6.5.3: Mongeova grupa S(2) je podgrupou ekviformní grupy P (2) igrupy přímých podobností P+(2) �

Poznamenejme ještě, že průnikem Mongeovy grupy S(2) a eukleidovské grupyE(2) je grupa tvořená středovými souměrnostmi, translacemi a identitou (zna-číme C(2)). Další podgrupou Mongeovy grupy je např. translační grupa tvo-řená všemi translacemi a identitou (značíme T (2)).

/

E(2)

S(2)

Obr. 6.5.1

Řetězec inkluzí ze strany 170 můžeme lehce doplnit o Mongeovu grupu S(2)včetně podgrup C(2) a T (2).

174


E(2) ⊂ P (2)∪ ∪

E+(2) ⊂ P+(2)∪ ∪

{I} ⊂ T (2) ⊂ C(2) ⊂ S(2)

Opět se můžeme ptát, které útvary jsou S(2)-kongruentní. Víme, že jak každátranslace, tak i každá stejnolehlost zobrazí přímku na přímku rovnoběžnou,tj. všechna zobrazení z grupy S(2) zachovávají směr. Směr je S(2)-vlastností.A proto třídu S(2)-kongruentních trojúhelníků tvoří ty trojúhelníky, jejichžodpovídající strany jsou rovnoběžné. Dále víme, že každé dvě kružnice jsoustejnolehlé, tj. existuje jediná třída S(2)-kongruentních kružnic.

6.6 Afinní grupa

Ukázali jsme, že každý prvek eukleidovské grupy E(2) lze popsat maticovourovnicí

X ′ = AX +B, kde A je reálná ortonormální matice 2× 2;

dále jsme ukázali, že každý prvek ekviformní grupy P (2) lze popsat maticovourovnicí

X ′ = AX +B, kde A je reálná ortogonální matice 2× 2.

Obě grupy E(2), P (2) jsou podgrupami grupy, jejíž prvky lze popsat matico-vou rovnicí

X ′ = AX +B,

kde na matici A typu 2× 2 klademe jediný požadavek — její regularitu.DEFINICE 6.6.1: Afinní grupa A(2) obsahuje všechny transformace na mno-žině R× R, které lze popsat maticovou rovnicí

X ′ = AX +B,

kde A je je reálná regulární matice 2 × 2 a B je reálná matice 2 × 1. Prvkymatice A(2) se nazývají afinní zobrazení (afinity).

Jestliže det(A) > 0, potom řekneme, že afinita je přímou afinitou; jestližedet(A) < 0, potom řekneme, že afinita je nepřímou afinitou. �

DEFINICE 6.6.2: Geometrie na množině R2 charakterizovaná grupou A(2) senazývá afinní geometrie. �

175


Jelikož grupa E(2) je podgrupou grupy A(2), je eukleidovská geometrie sou-částí afinní geometrie. Mnoho klasických vět (např. Menelaova, Cevova) jsouvětami afinní geometrie.

Přímá afinita zachovává smysly obíhání vrcholů trojúhelníka ABC a jehoobrazu A′B′C ′; nepřímá afinita smysly obíhání vrcholů trojúhelníka ABC ajeho obrazu A′B′C ′ obrací.

X

Y

Z

X’

Y’

Z’

X

Y

Z

Obr. 6.6.1

Věta 6.6.1: Všechny přímé afinity v rovině tvoří vzhledem k operaci skládánígrupu, která je podgrupou afinní grupy A(2). Grupu přímých afinit značímeA+(2). �

Lemma 6.6.1. Nechť je dána trojice nekolineárních bodů bodů [P,Q,R]. Po-tom existuje jediná afinita A z grupy A(2), která zobrazí trojici bodů [O,X, Y ](kde O[0, 0], X[1, 0], Y [0, 1]) na zadanou trojici. �

Důkaz: Nechť A je afinní transformace popsaná rovnicí X ′ = AX +B, resp.

(x′, y′)T =

(a11 a12a21 a22

)· (x, y)T + (b1, b2)

T .

Jestliže A : O → P , potom (p1, p2)T = A · (0, 0) +B, a proto

b1 = p1, b2 = p2.

Dále A : X → Q, potom (q1, q2)T = A · (1, 0)T +B, a proto

q1 = a11 + b1, q2 = a21 + b2.

A konečně A : Y → R, potom (r1, r2)T = A · (0, 1)T +B, a proto

r1 = a12 + b1, r2 = a22 + b2.

176


Prvky reálné matice A i vektoru B jsou určeny jednoznačně, a proto existujejediná afinita požadovaných vlastností. Q.E .D.

Věta 6.6.2: (O určenosti afinního zobrazení:) Nechť jsou dány dvatrojúhelníky ABC a A′B′C ′. Potom existuje jediná afinita, která převádí bodA do bodu A′, bod B do bodu B′ a bod C do bodu C ′. �

Důkaz: Podle předcházejícího lemmatu, existuje jediná afinita A1, která pře-vádí (O,X, Y ) na (A,B, C) a jediná afinita A2, která převádí (O,X, Y ) na(A′, B′, C ′). Odtud vidíme, že afinita

A = A−11 ◦ A2

zobrazuje (A,B,C) na (A′, B′, C ′).

Ukážeme, že tato afinita je jediná! Nechť rovněž afinita Z (6= A) zobra-zuje (A,B, C) na (A′, B′, C ′). Potom afinita A1 ◦ Z převádí (O,X, Y ) na(A′, B′, C ′), a vzhledem k podmínce jednoznačnosti (viz předcházející lemma)musí být A1 ◦ Z = A2. Odtud dostáváme Z = A−11 ◦ A2, a proto Z = A, cožje spor. Q.E .D.

V teorii afinit sehrávají významnou roli osové afinity, jak ukazuje následujícívěta:

Věta 6.6.3: Každou afinitu v rovině lze vytvořit skládáním konečného po-čtu (přesněji nejvýše tří) osových afinit. (Grupa A(2) je generována osovýmiafinitami.) �

Důkaz: Nechť jsou dány dvě trojice nekolineárních bodů (A,B,C),(A′, B′, C ′). Potom podle již dokázané věty existuje právě jedna afinita A,která převádí (A,B,C) na (A′, B′, C ′).

Zvolme přímku o1 tak, aby neprocházela body A, A′. Potom je osová afinitaA1 jednoznačně určena osou o1 a párem sobě odpovídajících bodů [A,A′].Platí

A1(o1, [A,A′]) : A→ A′, B → B1, C → C1.

Dále zvolme přímku o2 tak, aby neprocházela body B, B′ a současně pro-cházela bodem A′. Potom je osová afinita A2 jednoznačně určena osou o2 apárem sobě odpovídajících bodů [B,B′]. Platí

A2(A′ ∈ o2, [B,B′]) : A′ → A′, B1 → B′, C1 → C2.

A konečně vezměme přímku o3, která prochází body A′, B′. Potom je osováafinita A3 jednoznačně určena osou o3 a párem sobě odpovídajících bodů[C,C ′]. Platí

A3(o3 =↔A′B′, [C,C ′]) : A′ → A′, B′ → B′, C2 → C ′.

177


Obě afinity A a A1 ◦A2 ◦A3 zobrazují trojici bodů (A,B,C) na (A′, B′, C ′),a proto se podle věty o určenosti afinního zobrazení musí jednat o totéž zob-razení, a proto A = A1 ◦ A2 ◦ A3.Poznamenejme ještě, že některý krok můžeme v některých případech vyne-chat. Je-li např. B1 = B′ vynecháme osovou afinitu A2. Afinita A je paksložena ze dvou afinit. V případě, že navíc C1 = C ′, potom je afinita A = A1přímo osovou afinitou. Q.E .D.

Zdůrazněme jen, že každá osová afinita je afinní transformací, ale ne každáafinita musí být osovou afinitou.

Jak shodná, tak podobná zobrazení zachovávají velikosti úhlů, osová afi-nita však velikost úhlu obecně nezachovává, a proto velikost úhlu není A(2)-vlastností. A(2)-vlastnostmi jsou ale např. kolinearita a rovnoběžnost přímek.Další důležitou A(2)-vlastností je dělicí poměr tří bodů.

Věta 6.6.4: Afinní zobrazení zachovává dělicí poměr tří bodů. �

Důkaz: Uvedená věta bezprostředně vyplývá ze skutečnosti, že každou afi-nitu lze rozložit na osové afinity a osová afinita zachovává dělicí poměr tříkolineárních bodů. Q.E .D.

Důsledek 6.6.1. Afinní transformace zobrazuje střed úsečky AB na středúsečky A′B′, těžnice trojúhelníka ABC na těžnice trojúhelníka A′B′C ′ a tě-žiště trojúhelníka ABC na těžiště trojúhelníka A′B′C ′. �

E(2)E (2)+

P (2)+

A (2)+

P(2)

A(2)

Obr. 6.6.2

Řetězec inkluzí zachycující vztahy mezi doposud uvedenými grupami rozšíříme

178


o grupu afinit a grupu přímých afinit, čímž dostáváme

E(2) ⊂ P (2) ⊂ A(2)∪ ∪ ∪

E+(2) ⊂ P+(2) ⊂ A+(2)∪ ∪

{I} ⊂ T (2) ⊂ C(2) ⊂ S(2)

Podívejme se opět na příklad A(2)-kongruentních útvarů. Obdobně jako ugrupy E(2) a P (2) se ptáme, které trojúhelníky jsou A(2)-kongruentní. Vzhle-dem k větě O určenosti afinního zobrazení je vždy možné zobrazit libovolnýtrojúhelník ABC na libovolný trojúhelník A′B′C ′, proto každé dva trojúhel-níky jsou A(2)-kongruentní, tj. v afinní geometrii nalezneme jedinou třídusestávající ze všech trojúhelníků. Dalším příkladem by mohla být A(2)-třídaobsahující všechny rovnoběžníky.

6.7 Grupa kruhových transformací

V kapitole věnované kruhové inverzi a obecně inverzi podle kruhové křivkybyla zavedena tzv. Möbiova rovina M2. Připomeňme jen, že inverze INV(k)je

• kruhová inverze, jestliže k je kružnice;

• osová souměrnost, jestliže k je přímka.

K popisu jak osové souměrnosti, tak i kruhové inverze lze opět s úspěchemvyužít znalostí komplexních čísel. Pro vlastní body je popis pomocí kom-plexních čísel stejný jako v E2; nevlastnímu bodu P∞ přiřadíme „nekonečnéÿkomplexní číslo ∞. Množinu C = C ∪ {∞} nazýváme rozšířenou Gausso-vou rovinou. Samozřejmě je nutné definovat vhodné algebraické operace skomplexním číslem ∞ (pro všechna z ∈ C: ∞± z = z ±∞ =∞; pro všechnaz ∈ C, z 6= 0: ∞ · z = z · ∞ = ∞; pro všechna z ∈ C: z

∞ = 0; pro všechnaz ∈ C, z 6= 0: z

0 =∞; pro všechna z ∈ C: ∞z =∞).

• Ox :

{z → z∗ pro z 6=∞∞→∞

• INV(k) :

z → r2

z∗ , pro z 6= 0,∞0→∞∞→ 0

; k je kružnice o rovnici |z| = r.29

29|z| = r = konst ∈ R můžeme rozepsat jakop

x2 + y2 = r, tj. dostáváme rovnicikružnice x2 + y2 = r2.

179


DEFINICE 6.7.1: Grupa obsahující všechny transformace v Möbiově roviněM2, které lze vytvořit skládáním inverzí podle kruhových křivek, se nazývágrupa kruhových transformací. Budeme ji značit I(2). Prvky grupy I(2)nazýváme kruhové transformace. �

Z vlastností osové souměrnosti a kruhové inverze ihned plyne

Věta 6.7.1: Každá kruhová transformace zobrazí kruhovou křivku na kruho-vou křivku. �

Věta 6.7.2: Každá kruhová transformace zachovává velikost úhlu kruhovýchkřivek. �

Dále víme, že inverze (tj. jak kruhová inverze, tak osová souměrnost) zacho-vává velikost, ale otáčí orientaci úhlu kruhových křivek. Jestliže složíme dvěinverze dostaneme kruhovou transformaci, která orientaci úhlu nemění.

DEFINICE 6.7.2: Kruhová transformace, která zachovává orientaci úhlů kru-hových křivek se nazývá přímá. Kruhová transformace, která orientaci obracíse nazývá nepřímá.

Kruhová inverze i osová souměrnost podle rozšířené přímky jsou nepřímýmikruhovými transformacemi.

Věta 6.7.3: Všechny přímé kruhové transformace v Möbiově rovině tvořívzhledem k operaci skládání grupu, která je podgrupou grupy I(2). Grupupřímých kruhových transformací budeme značit I+(2). �

Jak jsme dokázali v kapitole o eukleidovské grupě, každou izometrii v roviněE2 lze nagenerovat pomocí osových souměrností. Stejný závěr platí i v roviněM2, pracujeme-li ovšem s osovými souměrnostmi podle rozšířených přímek —příslušnou grupu v Möbiově rovině označíme E(2).

Věta 6.7.4: Grupa E(2) je podgrupou grupy I(2). �

Grupa I(2) tak obsahuje „rozšířené verzeÿ např. translací nebo rotací, kteréjsou konkrétními příklady přímých kruhových transformací.

Rovněž je možné získat ekvivalent ekviformní grupy P (2). Stačí doplnit de-finici stejnolehlosti o podmínku H(O, κ) : P∞ → P∞. Příslušnou grupu vMöbiově rovině označíme P (2).

Věta 6.7.5: Grupa P (2) je podgrupou grupy I(2) a obsahuje všechny trans-formace grupy I(2), vůči nimž je nevlastní bod P∞ samodružný. �

Důkaz: V kapitole týkající se ekviformní grupy jsme dokázali, že každý prvekPk grupy P (2) je buďto izometrie, anebo jej lze nagenerovat pomocí jisté izo-metrie z grupy E(2) a stejnolehlosti HO,k. Obdobně každý prvek grupy P (2)lze vytvořit pomocí určité izometrie z grupy E(2) a rozšířené stejnolehlostiHO,k. Již jsme ukázali, že E(2) je podgrupou I(2) a zbývá jen dokázat, že i

180


stejnolehlost patří do grupy I(2). Označme k = r2. Jestliže l(O, 1) a j(O, r)(kde O[0, 0]), potom snadno nahlédneme, že platí

INV(j) ◦ INV(l) : z → 1z∗→ r2

1(z∗)∗

= r2z,

Odtud plyne

INV(j) ◦ INV(l) = H(O, k),

a proto H(O, k) je prvkem grupy I(2) a tudíž i každý prvek grupy P (2) jeprvkem grupy I(2). A vzhledem k rozšířeným definicím osové souměrnostia stejnolehlosti je nevlastní bod P∞ samodružným bodem každé izometrie,stejnolehlosti i podobnosti.

Předpokládejme nyní naopak že nevlastní bod P∞ je samodružným bodemjisté transformace Z ∈ I(2). Kruhová transformace Z zobrazuje kruhovékřivky na kruhové křivky — navíc leží-li nevlastní bod P∞ na kruhové křivce p(tj. jde o rozšířenou přímku), potom bod P∞ leží i na kruhové křivce p′ (opětrozšířená přímka). Z tudíž zobrazuje přímky na přímky a navíc zachovávávelikost úhlu — jde o podobnost. Q.E .D.

Samozřejmě ne všechny kruhové transformace patří do grupy P (2). Např.inverzi INV(k), kde k je kružnice o rovnici |z| = r, lze popsat

INV(k) :

z → r2

z∗ , kde z 6= 0,∞,0→∞,∞→ 0,

tj. bod P∞ není samodružným bodem.

DEFINICE 6.7.3: Kruhové transformace, vůči nimž je nevlastní bod P∞ sa-modružný nazýváme nevlastní; ostatní nazýváme vlastní. �

Tak, jako jsme rozšířili každou podobnost, lze v M2 rozšířit i každou afinitu;položíme-li prostě P∞ → P∞. Příslušnou grupu afinit v Möbiově rovině ozna-číme A(2). Průnikem afinní grupy a grupy kruhových zobrazení je ekviformnígrupa (obr. 6.7.1). Příkladem afinity, která není kruhovým zobrazením je např.každá osová afinita, která není osovou souměrností — tato afinita sice zobra-zuje dvojici přímek na dvojici přímek, ale nezachovává jejich úhel, tj. neplatípro ni věta 6.7.2 (str. 180).

181


A(2)

I(2)

P(2)

Obr. 6.7.1

Víme, že grupa I+(2) obsahuje „rozšířené verzeÿ přímých izometrií např.translací, popř. ta kruhová zobrazení, která vzniknou složením sudého počtu(např. dvou) inverzí. Konkrétně

• T :{

z → z + c pro z 6=∞∞→∞

• Z = Ox ◦ INV(k) :

z → z∗ → r2

z , kde z 6= 0,∞0→ 0→∞∞→∞→ 0

, kde k je kruž-

nice o rovnici |z| = r.

Z předcházejícího je patrné, že obě uvedené přímé kruhové transformace jsouspeciálním případem tzv. Möbiovy transformace o rovnici

m(z) =

αz+βγz+δ , jestliže z 6=∞ a z 6= − δ

γ

αγ , jestliže γ 6= 0 a z =∞

∞, jestliže γ = 0 a z =∞, nebo γ 6= 0 a z = − δγ

kde α, β, γ, δ ∈ C a αδ − βγ 6= 0.Dá se dokázat, že všechny Möbiovy transformace tvoří grupu (tzv.Möbiovagrupa — značíme M(2)) a dokonce platí následující věta:

Věta 6.7.6: I+(2) =M(2). �

Odtud ihned dostáváme tvrzení pro celou grupu I(2)

182


Věta 6.7.7: Nechť Z je kruhová transformace.Jestliže je Z přímá transformace, potom Z : z → m(z), pro jisté m ∈M(2);Jestliže je Z nepřímá transformace, potom Z : z → m(z∗), pro jisté m ∈M(2). �

Důkaz: Jestliže je Z přímá kruhová transformace, potom tvrzení z → m(z)plyne z předcházející věty.

Jestliže je Z nepřímá kruhová transformace, potom Ox ◦ Z je přímá trans-formace, a proto podle předcházející věty existuje m ∈ M(2) takové, žeOx ◦ Z = m. Odtud Z = O−1x ◦m = Ox ◦m, tj.

z → z∗ → m(z∗). Q.E .D.

6.8 Hyperbolická grupa

Pro zachycení situace v hyperbolické rovině použijeme Poincarého kruhovýmodel, kde

H2 = {X ∈ E2; |OX| < 1}.

Body hraniční kružnice γ kruhu Γ = {X ∈ E2; |OX| < 1} nepatří do hy-perbolické roviny H2 a sehrávají obdobnou roli jako nevlastní body („body vnekonečnuÿ) v eukleidovské geometrii.

Označme H(2) podgrupu grupy I(2) obsahující ty transformace, které zob-razují int Γ na int Γ a γ na γ. Samozřejmě prvky grupy H(2) zobrazujíkromě bodů náležejících kruhu Γ všechny ostatní body, a proto je v případěhyperbolické grupy nutné hovořit o restrikci.

DEFINICE 6.8.1: Hyperbolická grupa H(2) je grupa obsahující restrikce(zúžení) všech prvků grupy H(2) na vnitřek kruhu Γ(tj. na int Γ). Prvkygrupy H(2) nazýváme hyperbolické transformace. �

DEFINICE 6.8.2: Geometrie na množině R2 charakterizovaná grupou H(2) senazývá hyperbolická geometrie. �

Zřejmě všechny osové souměrnosti, jejichž osy procházejí středem kruhu Γsplňují požadovanou podmínku, a proto patří do grupy H(2). Jejich restrikcena int Γ pak patří do grupy H(2).

Dále víme, že jsou-li kružnice k a γ ortogonální, potom v kruhové inverziINV(k) je kružnice γ samodružná a navíc int Γ se zobrazuje na int Γ. Všechnykruhové inverze INV(k) takové, že k ⊥ γ, patří do grupy H(2) a tím pádemjejich restrikce na int Γ patří do hyperbolické grupy H(2).

183


Předcházející zobrazení (uvedené restrikce osových souměrností a kruhovýchinverzí) označujeme jako h-inverze a platí věta:

Věta 6.8.1: Každou hyperbolickou transformaci lze vytvořit skládáním ko-nečného počtu (přesněji nejvýše tří) h-inverzí. (Grupa H(2) je generovánah-inverzemi.) �

H-inverze plní v hyperbolické geometrii stejnou roli jako osové souměrnostiv geometrii eukleidovské. V Poincarého modelu je tudíž můžeme označovatjako P -osové souměrnosti. Podívejme se na další paralely. Každou P -shodnostlze vytvořit skládáním nějvýše tří P -osových souměrností. Na následujícíchobrázcích jsou uvedeny dvě P -shodnosti — první vzniká složením dvou P -osových souměrností podle dvou souběžných P -přímek (P -translace); druhávzniká složením dvou P -osových souměrností podle dvou kolmých P -přímek(P -středová souměrnost). Zdůrazněme ještě, že v obou případech jsou zobra-zeny P -shodné P -trojúhelníky 4ABC ∼=P 4A′B′C ′ ∼=P 4A′′B′′C ′′.

o1

o2

A

B

C

A’C’

B’

A’’ C’’

B’’

Obr. 6.8.1

o1

o2

A

BC

A’

C’

B’

A’’

C’’

B’’

S

Obr. 6.8.2

6.9 Grupy zobrazení reprodukujících daný útvar

Motivací pro zavedení grup bývá často studium zobrazení, která reprodukujídaný útvar, nejčastěji studium souměrností.

Příklad 6.9.1. Obdélník je osově souměrný podle přímek spojujících středyprotějších stran. Protože jsou tyto přímky k sobě kolmé, je středově souměrnýi podle jejich průsečíku. U čtverce najdeme navíc další dvě osy spojující ne-sousední vrcholy. Kružnice a kruh jsou osově souměrné podle každé přímkyprocházející středem a středově souměrné podle svého středu. Pravidelný n-

184


úhelník má n os souměrnosti, které všechny procházejí středem S. Pro n lichéje osa určena vrcholem Ak, k = 1, 2, . . . , n, n-úhelníka a středem. Pro n sudéjsou dva druhy os — jednak přímky AkS a jednak kolmice spuštěné z boduS na strany n-úhelníka. Středově souměrné jsou pouze n-úhelníky se sudýmn. �

Nechť G je grupa geometrických transformací na množině S — tj. grupa Gpopisuje na množině S určitou geometrii. V této geometrii je dán útvar Pjakožto bodová podmnožina základní množiny S. Budeme se zabývat těmiprvky grupy G, které reprodukují útvar P .

DEFINICE 6.9.1: Nechť je dána grupa geometrických transformací G na mno-žině S a geometrický útvar P ⊂ S. Prvek g grupy G nazveme G-symetrieútvaru P , jestliže g(P ) = P . Množinu G-symetrií útvaru P budeme značitSym(P,G). �

Množina Sym(P,G) poskytuje řadu informací o útvaru P .

Příklad 6.9.2. Vrátíme-li se k úvodnímu příkladu, kde jsme uvedli některéshodnosti reprodukující čtverec, potom uvedené 4 osové souměrnosti a jednastředová souměrnost jsou příklady E(2)-symetrií čtverce. Těchto pět souměr-ností však nevyčerpává všechny prvky množiny Sym(čtverec, E(2)) — patřísem dále samozřejmě identita, ale např. i rotace kolem průsečíku úhlopříčeko ±90◦. �Věta 6.9.1: Jestliže je G grupa transformací na množině S a P ⊂ S jegeometrický útvar, potom Sym(P,G) je podgrupou grupy G. �

Důkaz: (i) Jestliže g1(P ) = P a g2(P ) = P , potom (g1 ◦g2) (P ) = g2[g1(P )] =g2(P ) = P , tj. operace je uzavřená; (ii) skládání geometrických transformacíje obecně asociativní; (iii) identita I evidentně patří do Sym(P,G), neboťI(P ) = P ; (iv) pro g ∈ Sym(P,G) je g(P ) = P , a proto g−1(P ) = P , tj. iinverzní zobrazení g−1 ∈ Sym(P,G). Q.E .D.

Jak víme, jestliže H je určitá podgrupa grupy G, potom stejně jako grupa Gi podgrupa H určuje na množině S jistou geometrii. A tak mužeme rovněžhovořit o grupě H-symetrií útvaru P

Věta 6.9.2: Jestliže je G grupa transformací na množině S, H je určitápodgrupa grupy G a P ⊂ S je geometrický útvar, potom grupa Sym(P,H) jepodgrupou grupy Sym(P,G). �

Důkaz: Jelikož je Sym(P,H) grupa, stačí dokázat, že Sym(P,H) ⊂Sym(P,G). Nechť h ∈ Sym(P,H), potom h(P ) = P . Vzhledem k tomu,že H je podgrupa grupy G, je zřejmě h ∈ G. Odtud h ∈ Sym(P,G). Q.E .D.

Příklad 6.9.3. Nechť útvar P je polopřímka {[x, 0] ∈ R2; x = 0} (tj. kladnápoloosa x). Snadno nahlédneme, že Sym(P,E(2)) (tj. grupa všech shodností

185


reprodukujících kladnou poloosu x) obsahuje pouze identitu a osovou sou-měrnost podle osy x. Oproti tomu Sym(P, P (2)) (tj. grupa všech podobnostíreprodukujících kladnou poloosu x) obsahuje navíc všechny stejnolehlosti sestředem v počátku a koeficientem κ > 0. �

Příklad 6.9.4. Určete všechny shodnosti reprodukující daný čtverec ABCDa popište grupu těchto shodností. ♦

A B

CD

A1o3

o4

o2o1

B1D1

C1

S

Obr. 6.9.1

Útvar P je čtverec ABCD, grupa G je eukleidovská grupa — chceme popsatprvky grupy Sym(P,E(2)). Označme o1 =↔AC, o2 =↔BD, o3 =↔A1C1,o4 =↔B1D1, kde A1, B1, C1, D1 jsou středy stran a, b, c, d, a S průsečíkúhlopříček. Potom shodnosti reprodukující čtverec ABCD jsou identita, čtyřiosové souměrnosti, středová souměrnost a dvě rotace:

I =(

A B C DA B C D

), 30 O1(o1) =

(A B C DA D C B

),

O2(o2) =(

A B C DC B A D

), O3(o3) =

(A B C DB A D C

),

O4(o4) =(

A B C DD C B A

), S(S) =

(A B C DC D A B

),

R1(S,+90◦) =

(A B C DB C D A

), R2(S,+270◦) =

(A B C DD A B C

).

30V prvním řádku matice najdeme vzory, v druhém obrazy; tj. A → A, B → B, C → Ca D → D.

186


Vyplníme tzv. Cayleyovu tabulku, která zachycuje binární operaci skládáníshodností reprodukujících čtvrec ABCD:31

◦ I O1 O2 O3 O4 S R1 R2I I O1 O2 O3 O4 S R1 R2O1 O1 I S R1 R2 O2 O3 O4O2 O2 S I R2 R1 O1 O4 O3O3 O3 R2 R1 I S O4 O2 O1O4 O4 R1 R2 S I O3 O1 O2S S O2 O1 O4 O3 I R2 R1R1 R1 O4 O3 O1 O2 R2 S IR2 R2 O3 O4 O2 O1 R1 I S

Z Cayleyovy tabulky snadno vyčteme inverzní zobrazení ke každé shodnosti.Dále mj. vidíme, že grupa shodností reprodukujících čtverec ABC je nekomu-tativní, např. O1 ◦ O3 = R1, ale O3 ◦ O1 = R2.Příkladem netriviální podgrupy grupy Sym(�ABCD,E(2)) může být H ={I,O1,O2,S} nebo H ′ = {I,R1,R2,S} atd. �

6.10 Projektivní grupa

V kapitole 4.9 jsme se zabývali homologií jakožto zobrazením, jehož speciál-ními typy jsou osová afinita, stejnolehlost nebo translace. Podívejme se nynína homologické transformace z hlediska grupového.

p

p’’

p’

o1

o2

S2

S1

AB

CDA B

C D

A’B’

C’D’

Obr. 6.10.131Vybereme zobrazení z prvního sloupce (např. O3) a zobrazení z prvního řádku (např.

O2) — v tomto pořadí, neboť skládání zobrazení není komutativní! Do políčka, které od-povídá vybranému řádku a sloupci, vepíšeme složené zobrazení (O3 ◦ O2 = R1).

187


Zobrazíme-li útvar U1 na homologický útvar U2 podle daného středu a osyhomologie a poté útvar U2 na homologický útvar U3 podle jiného středu a osyhomologie, potom útvary U1 a U3 již nejsou obecně homologické!32

Homologické transformace v rovině netvoří grupu.

V útvarech U1 a U3 (jenž vznikl z útvaru U1 opakováním homologické trans-formace) se zobrazí bod na bod, přímka na přímku a bod na přímce na bodna přímce, jež odpovídá dané přímce. O takových útvarech řekneme, že jsouprojektivní33 a dané zobrazení nazýváme projektivnost (projektivita),resp. kolineace (ne však již nutně středová kolineace).

Projektivní transformace v rovině tvoří grupu.

Invariantem homologií, a proto i projektivností, je dvojpoměr čtyř bodů napřímce; tj. platí (A′B′C ′D′) = (ABCD).

F. Klein použil v Erlangenském programu pro studium vztahů mezi jednotli-vými geometriemi následující řetězec inkluzí grup:

grupa shodností ⊂ grupa podobností ⊂ grupa projektivit .34

Již jsme se zmínili o eukleidovské geometrii zabývající se studiem invariantůgrupy shodností, o elementární geometrii studující invarianty grupy podob-ností, o afinní geometrii studující invarianty grupy afinit. Geometrie pro-jektivní vyšetřuje ty vlastnosti geometrických útvarů, jež se nemění vzhledemke grupě projektivních transformací. V projektivní geometrii nelze tedy mluvito velikosti úseček, o vzdálenostech, o velikostech úhlů, o přímkách kolmých, opřímkách rovnoběžných, . . .Můžeme mluvit jen o incidenci bodů a přímek ao dvojpoměru čtyř prvků.

Grupa transformací projektivních je mnohem širší než grupa transformacíafinních (a tím i podobných a shodných), proto obsah geometrie projektivní jemenší než obsah geometrie afinní. Za to ovšem jsou věty geometrie projektivníobecnější.

Závěrem uveďme zajímavý vztah platící mezi větami projektivní geometrie:

Princip duality:Každá věta projektivní geometrie v rovině přechází v rovněžplatnou větu projektivní geometrie v rovině, nahradíme-li v ní slovo bod slovempřímka a naopak se současným zachováním incidence.

32Na obrázku (obr. 6.10.1) je znázorněno zobrazení bodů A, B, C, D ∈ p v kolineaci sestředem S1 a osou o1 na body A, B, C, D ∈ p a následně zobrazení bodů A, B, C, D ∈ p vkolineaci se středem S2 a osou o2 na body A′, B′, C′, D′ ∈ p′.33Projektivní útvary lze vytvořit tzv. promítáním (projekcí) — odtud plyne jejich název.34Nezařadil grupu afinit, jejichž studium zažilo rozmach až ve století dvacátém.

188


Paralelu mezi větami rovinné projektivní geometrie si můžeme dokumentovatna dvou jednoduchých větách:

Dva různé body určují právě jednu přímku (spojnici).Dvě různé přímky určují právě jeden bod (průsečík).

Uvedené věty nazýváme duální věty. Obdobně hovoříme i o útvarech du-álních— např. průsečík dvou přímek (tj. bod incidentní se dvěma přímkami)a spojnice dvou bodů (tj. přímka incidentní se dvěma body) jsou duálnímiútvary.

Samozřejmě některé pojmy dualizovat nelze. Není možno např. dualizovatpojem vzdálenosti bodů nebo pojem odchylky dvou přímek — obojí se totižpromítáním může měnit. Dále kdybychom se např. snažili dualizovat středúsečky jako osu souměrnosti dvou přímek, narazili bychom mj. na problém,že každá úsečka má právě jeden střed, kdežto dvojice přímek má dvě osysouměrnosti.

Princip duality nebyl dlouho znám — poprvé se o něm zmiňuje až francouzskýmatematik J. V. Poncelet (1788–1867) ve svém spise Traité des propriétésprojectives des figures (1822). Velký přínos principu duality je ovšem evidentní— stačí dokazovat jen polovinu všech vět; z každé věty totiž plyne dualizacívěta další.

Zdůrazněme ještě, že princip duality používáme jen v geometrii projektivníroviny, kde nečiníme rozdíl mezi útvary vlastními a nevlastními a pokládámeje za rovnocenné. V afinní (tj. ani v eukleidovské) rovině princip duality ne-zavádíme!

189


Literatura

[1] Bär, G.: Geometrie. Eine Einführung in die analytische und konstruktiveGeometrie. Stuttgart, Teubner 1996.

[2] Boček, L. – Šedivý, J.: Grupy geometrických transformací. Praha, MFFUK 1982.

[3] Bohne, E. – Klix, W. D.: Geometrie — Grundlagen für Anwendungen.Leipzig, Fachbuchverlag 1995.

[4] Coxeter, H. S. M.: The Real Projective Plain. New York, Springer-Verlag1993.

[5] Martin, G. E.: Geometric Constructions. New York, Springer-Verlag1998.

[6] Menšík, M. – Setzer, O. – Špaček, K.: Deskriptivní geometrie. Praha,SNTL 1966.

[7] Nečas, J. a kol.: Aplikovaná matematika I. a II. Praha, SNTL 1977.

[8] Pavlíček, J. B.: Základy neeukleidovské geometrie Lobačevského. Praha,Přírodovědecké vydavatelství 1953.

[9] Sekanina, M. – Boček, L. – Kočandrle, M. – Šedivý, J.: Geometrie II.Praha, SPN 1988.

[10] Stillwell, J.: Mathematics and Its History. New York, Springer-Verlag1991.

[11] Struik, D. J.: Dějiny matematiky. Praha, Orbis 1963.

[12] Šedivý, J. – Folta, J.: Světonázorové problémy matematiky I. Praha,MFF UK 1983.

[13] Šulista, M.: Základy analýzy v komplexním oboru. Praha, SNTL 1981.

[14] Urban, A.: Deskriptivní geometrie I. Praha, SNTL 1977.

[15] Vyšín, J. a kol.: Geometrie pro pedagogické fakulty I. Praha, SPN 1965.

[16] Vyšín, J. a kol.: Geometria pre pedagogické fakulty II. Bratislava, SPN1970.

[17] http://www.maths.gla.ac.uk/∼wws/cabripages/cabri0.html

[18] http://www.math.uncc.edu/∼droyster/courses/spring99/math3181/

190

Miroslav Lávička - GVP

Documents