Minion and conic section

ค ำน ำ ภำคตดกรวย (conic section หรอ conic) ในทำงคณตศำสตรคอเสนโคงทไดจำกกำรตดพนผวกรวยกลม ดวยระนำบแบน ภำคตดกรวยนถกตงเปนหวขอศกษำตงแตสมย 200 ปกอนครสตศกรำชโดย อพอลโลเนยส แหง เพอรกำ ผซงศกษำภำคตดกรวยและคนพบสมบตหลำยประกำรของภำคตดกรวย ตอมำกรณกำรศกษำภำคตดกรวยถกน ำไปใชประโยชนหลำยแบบ ไดแก ในป พ.ศ. 2133 (ค.ศ. 1590) กำลเลโอ กำลเลอ พบวำขปนำวธทยงขนไปในมมทก ำหนดมวถกำรเคลอนทโคงแบบพำรำโบลำ, ใน พ.ศ. 2152 (ค.ศ. 1609) โยฮนส เคปเลอร พบวำวงโคจรของดำวเครำะหรอบนอกเปนรปวงร ภำคตดกรวยนนยงเปนเนอหำทใชเรยนในระดบชนมธยมศกษำปท 4 อก ตำมหลกสตรของกระทรวงศกษำธกำร ดงนนแลวผจดท ำเลงเหนวำเรองนอยรอบตวในกำรใชชวตประจ ำวนทวไป ผจดท ำเลยจดท ำสอนขนเพอเปนประโยชนตอผอำน เพอใหผอำนนนไดพฒนำควำมรและน ำควำมรไปตอยอด เพรำะเนอหำในนนนลวนแตเปนเนอหำทสรปสนๆ เขำใจงำยตอกำรศกษำ

นำยเสฏฐวฒ เรองบญ ผจดท ำ

สำรบญ

ค ำน ำ ก สำรบญ ข แผนผง ค ภำคตดกรวย 1 จดก ำเนดภำคตดกรวย 1 กำรศกษำภำคตดกรวย 1 วงกลม 3 พำรำโบลำ 5 วงร 7 ไฮเปอรโบลำ 10 ปญหำ 13

เตรยมตวกนใหพรอมนะจะ

วงกลม วงร

พำลำโบลำ ไฮเปอรโบลำ

นยำม สวนประกอบ สตร

นยำม สวนประกอบ สตร

นยำม สวนประกอบ สตร

นยำม สวนประกอบ

สตร

ภำคตดกรวย

ภำคตดกรวย (Conic Section) ก ำเนดภำคตดกรวย

ภำคตดกรวย (conic section) เปนเนอหำแขนงหนงจำกเรองเรขำคณตวเครำะหในวชำคณตศำสตรทไดรบบรรจใหอยในเนอหำคณตศำสตร ม.4 ภำคตดกรวยหมำยถง เสนโคงทไดจำกกำรตดพนผวกรวยกลม ดวยระนำบแบน ภำคตดกรวยนถกตงเปนหวขอศกษำตงแตสมย 200 ปกอนครสตศกรำชโดย อะพอลโลเนยสแหงเพอรกำ (Apollonius of Perga) ผทมชวตอยในชวง 262 – 190 ปกอนครสตศกรำช ผซงศกษำภำคตดกรวยและคนพบสมบตหลำยประกำรของภำคตดกรวย พบวำภำคตดกรวยไมเพยงแตเปนเสนโคงทสวยงำมแตน ำไปใชประโยชนไดหลำยดำนตอมำกรณกำรศกษำภำคตดกรวยถกน ำไปใชประโยชนหลำยแบบ ไดแก

กำลเลโอ กำลเลอ

กรวยเปนรปเรขำคณตทมวธกำรสรำงในเชงคณตศำสตร ดงน ให a และ b เปนเสนตรงใดๆ สองเสนตดกนทจด V เปนมมแหลม ใหเสนตรง a และจด V ตรงอยกบท ผวทเกดจำกกำรหมนเสนตรง b รอบเสนตรง a (โดยมม ระหวำงเสนตรง a และ b มขนำดคงตว) เรยกวำ กรวยกลมตรง (right circular cone) ดงแสดงในรปท 1 ในทนเรำจะศกษำเฉพำะกรวยกลมตรงเทำนนและจะเรยกสนๆ วำ กรวย เสนตรงทตรงอยกบท เรยกวำ แกน (axis) ของกรวย จด V เรยกวำ จดยอด (vertex) เสนตรง b ทผำนจด V ท ำมม กบแกนของกรวย เรยกวำ ตวกอก ำเนด (generator) ของกรวย จดยอด V แบงกรวยออกเปนสองขำง (nappes) ซงอยคนละดำนของจดยอด ภำคตดกรวย คอรปในระนำบทเกดจำกกำรตดกนของระนำบกบกรวย ภำคตดกรวยทจะศกษำกนเกดจำกระนำบทไมผำนจดยอดของกรวยดงแสดงในรปท2 เมอระนำบตงฉำกกบแกนของกรวย ระนำบตดกรวยขำงเดยว ไดภำคตดกรวยทเรยกวำ วงกลม (circle) เมอระนำบไมตงฉำกกบแกนของกรวยแตท ำมมแหลมกบแกนของกรวยขนำดใหญกวำ ระนำบจะตดกรวยขำงเดยวไดภำคตดกรวยทเรยกวำ วงร (ellipse) เมอระนำบขนำนกบตวกอก ำเนดของกรวยระนำบจะตดกรวยขำงเดยว ไดภำคตดกรวยทเรยกวำพำรำโบลำ (parabola) และเมอระนำบขนำนกบแกนของกรวยระนำบจะตดกรวยสองขำงไดภำคตดกรวยสองขำงไดภำคตดกรวยทเรยกวำ ไฮเพอรโบลำ (hyperbola)

รปท 2: ภำคตดกรวยชนดตำงๆ c

วงกลม (Circle) สมกำรวงกลม

วงกลม คอเซตของจดทกจดซงหำงจำกจดคงทจดหนงเปนระยะทำงคงตว จดคงท เรยกวำ จดศนยกลำง สวนระยะคงทเรยกวำ รศม

นยำมของสมกำรวงกลมคอ

วงกลม (circle)คอเซตของจดทงหมดในระนำบทหำงจำกจดๆหนงตรงอยกบทเปนระยะทำงคงตวจดทตรงอยกบทนเรยกวำ จดศนยกลำง (center)ของวงกลม และระยะทำงคงตวดงกลำวเรยกวำ รศม (radius) ของวงกลม

รปท 1: สมกำรวงกลม

จด C(h,k) เปนจดคงท เรยกวำ จดศนยกลำง

|CP| = ระยะทำงคงท เรยกวำรศม

รปแบบของสมกำรวงกลม

รปท 2: รปแบบของสมกำรวงกลม

ขอสงเกต

1.ถำ D2 + E2 – 4F = 0 กรำฟทไดจะเปนจดวงกลม 2.ถำ D2 + E2 – 4F > 0 กรำฟทไดจงเปนวงกลม ถำ D2 + E2 – 4F < 0 จะไมเกดกรำฟในระบบจ ำนวนจรง

กำรหำจดศนยกลำงของวงกลม กำรหำจดศนยกลำงของวงกลม จะหำไดดวยวธดงตอไปน โจทยก ำหนดมำใหโดยตรง เชนใหจดศนยกลำงคอ C(h,k) โจทยก ำหนดมำใหทำงออม เชนจดทเสนตรงตดกน โจทยห ำหนดมำให โดยมควำมสมพนธกบกรำฟอนๆ กำรหำควำมยำวรศม กำรหำควำมยำวรศม จะหำไดดวยวธดงตอไปน โจทยก ำหนดมำใหโดยตรง (2 r) โจทยก ำหนดมำใหทำงออม เชนควำมยำวระหวำงจดสองจด หำไดจำกสตร โจทยก ำหนดจดศนยกลำง (h, k) และเสนสมผส Ax + By + C = 0 เรำจะหำทงเสนผำนศนยกลำงและรศมไดจำกสตรตอไปน

ควำมยำวของเสนสมผส ให |PQ| เปนควำมยำวของเสนสมผสทลำกจำกจด P มำสมผสวงกลมทจด Q ถำสมกำรวงกลมคอ (x-h)2 + (y-k)2 = r2 แลว |PQ|

= ดงรป

ถำสมกำรวงกลมคอ x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0

แลว |PQ| = ดงรป

พำรำโบลำ (Parabola) นยำมของสมกำรพำรำโบลำ

พำรำโบลำ คอเซตของจดบนพนระนำบซงมระยะหำงจำกจดคงทเทำกบระยะทหำงจำกเสนคงท

จดคงท คอจดโฟกส (Focus)

เสนตรงทคงท คอเสนไดเรกตรกซ (Directrix)

เสนลำตสเลกตม (Latus Rectum) คอเสนตรงทลำกผำนจดโฟกสและตงฉำกกบแกนของรป

แกนของรปหรอแกนสมมำตร คอเสนตรงทลำกผำนจดยอดและผำนจดโฟกส

คอรดของพำรำโบลำ คอเสนตรงทลำกเชอมจด 2 จด ทตำงกนของพำรำโบลำและคอรดทลำกผำนจดโฟกสเรยกวำ Foculสวนคอรดทลำกผำนจดโฟกสดวยและตงฉำกกบแกนของรปดวย เรยกวำ ลำตสเรกตม(Latus Recrum)

ขอสงเกต

จำกสมกำร จะตองมตวแปรใดตวแปรหนงอยในรปก ำลงสอง และอกตวหนงยกก ำลงหนง และอยทเทอมทบวกลบกน กรำฟทไดจงจะเปนกรำฟพำรำโบลำ

รปแบบของพำรำโบลำทมจดศนยกลำงอยทจด (0,0)

พำรำโบลำซงมจดยอดทจด (0,0) และแกนของรปทบแกน x

เรำสำมำรถสรปสมกำรพำรำโบลำออกมำไดดงน

วงร (Ellipse) วงรคอเสนโคงรปไขทเหมอนกำรดงวงกลมใหยดออกตำมเสนผำนศนยกลำงเสนใดเสน

หนง

นยำมสมกำรวงร

วงร (Ellipse) คอเซตของจดทงหมดในระนำบซงผลบวกของระยะทำงจำกจดใดๆจดหนงในเซตไปยงจดคงท 2 จดมคำคงตว

สวนประกอบของวงร

F, F’ เปนจดคงท เรยกวำจดโฟกส (Focus)

V, V’ เปนเสนตรงทผำนจดโฟกส และมจดปลำยทงสองเปนจดยอด เรยกวำ แกนนอก

B, B’ เปนเสนตรงทผำนจดศนยกลำงและตงฉำกกบแกนเอก โดยมจดปลำยทงสองอยบนวงร เรยกวำ แกนโท

m1m2, m1‘m2‘ เปนเสนตรงทผำนจดโฟกส และตงฉำกกนแกนของรป เรยกวำเสนลำตสเรกตม

วงรทมจดศนยกลำงอยทจด (0,0)

วงรทมจดศนยกลำงอยทจดก ำเนดและแกนเอกอยบนพกด

สรปสมกำรวงร

อยำลมนะจะ คำ a เปนคำทมำกทสด ถำ a อยใตอนไหน อนนนเปนแกนเอก แกนเอกคอแกนทยำวทสด

ไฮเพอรโบลำ (Hyperbola)

หลำยคนอำจจะยงไมรจกวำไฮเพอรโบลำคออะไร เรำมำลองท ำควำมรจกกนมนดกนนะครบ สมกำรไฮเพอรโบลำในปจจบนไดถกตงชอโดยนกคณตศำสตรชำวกรกทชอวำ Apol-lonius ตอมำนกคณตศำสตรชอ Pappus ไดคนพบจดทเรยกวำจดโฟกส (Focus) และเสนไดเรกตรกซ (Directrix) โดยสมกำรไฮเพอรโบลำนมรปรำงมำจำกวงโคจรของดำวบรวำรรอบดวงอำทตย

นยำมของสมกำรไฮเพอรโบลำ

ไฮเพอรโบลำ (Hyperbola) คอเซตของจดทงหมดในระนำบซงผลตำงของระยะทำงจำกจดใดๆไปยงจด F1 และ F2 ทตรงอยกบทมคำคงตว โดยคำคงตวนอยกวำระยะหำงระหวำงจดคงททตรงอยกบททงสอง จด F1 และ F2 ดงกลำวนเรยกวำ โฟกส (Focus) ของไฮเพอรโบลำ ใหระยะทำงจำกจด F1 และ F2 ไปยงเสนกรำฟมคำเทำกบ r1=F1 และ r2=F2 และ

ระยะทำงระหวำงจด F และจด F2 มคำเทำกบ 2c หรอเรยกอกอยำงวำคำ k ซงคำ k นจะมคำเปนบวกเสมอ

r2-r1 = k ถำจด P ซงอยบนเสนกรำฟดำนซำยมออยบนแกน x แลว k = (c+a) – (c-a) = 2a ดงนนเรำสำมำรถค ำนวณคำ k=2a ได หรอนนกคอระยะทำงระหวำงจดยอดของกรำฟ

ไฮเพอรโบลำทงสอง ขอสงเกตคอ เสนกรำฟพำรำโบลำทเกดจำดจด โฟกส F1 จะมเสนกรำฟทเกดจำด F2 สะทอนเหมอนกนอยในฝงตรงขำมเสมอ

ไฮเพอรโบลำตะแคง

สมกำรไฮเพอรโบลำคอ ถำจดศนยกลำงของสมกำร c อยทจด (0,0) เรำจะไดสมกำรไฮเพอรโบลำทจดก ำเนดดงน สงเกตวำหนำ x เปนบวก ดงนนแกนตำมขวำงจงวำงตวในแนวแกน x (a อยกบ x)แกนตำมขวำง (แกนทลำกตดกงกลำงของกรำฟ) มควำมยำวเปน 2a แกนสงยค มควำมยำวเปน 2b ระยะโฟกส มควำมยำว

ไฮเพอรโบลำตง

สมกำรไฮเพอรโบลำคอ ถำจดศนยกลำงของสมกำร c อยทจด (0,0) เรำจะไดสมกำรไฮเพอรโบลำทจดก ำเนดดงน สงเกตวำหนำ x เปนบวก ดงนนแกนตำมขวำงจงวำงตวในแนวแกน x (a อยกบ x)แกนตำมขวำง (แกนทลำกตดกงกลำงของกรำฟ) มควำมยำวเปน 2a แกนสงยค มควำมยำวเปน 2b ระยะโฟกส มควำมยำว

ปญหำ จงเขยนกรำฟของสมกำร (x + 2)2 + (y – 3)2 = 16 วธท ำ กรำฟของสมกำรทก ำหนดใหเปนวงกลม ในกำรเขยนกรำฟ จะตองทรำบต ำแหนงของจดศนยกลำงและควำมยำวของรศมของวงกลม ซงหำไดโดยกำรเทยบสมกำรทก ำหนดใหกบรปแบบมำตรฐำนของสมกำรวงกลม จะพบวำ h = -2, k = 3 และ r – 4 ดงนน วงกลมมจดศนยกลำงอยท (-2, 3) และรศมยำว 4 หนวย กำรเขยนวงกลมขนแรก ลงจด ศนยกลำงทจด (-2, 3) และเนองจำกรศมของวงกลมยำว 4 หนวย ลงจดอก 4 จดหำงไปจำกจดศนยกลำงไปทำงดำนซำย ทำงดำนขวำ ทำงดำนลำง และทำงดำนบน 4 หนวย แลววำดวงกลมผำนจด 4 จดนจะไดวงกลมดงแสดงในรป

ไปดขอตอไปกนเลย

จงเขยนรปแบบมำตรฐำนของสมกำรวงกลมทมรศมยำว 3 หนวย และจดศนยกลำง อยท (2, -1) วธท ำ จำกรปแบบมำตรฐำนของวงกลม (x – h)2 + (y – k)2 = r2 แทน r, h และ k ดวย 3, 2 และ -1 ตำมล ำดบ (x – 2)2 + (y – (-1))2 = 32 (x – 2)2 + (y + 1)2 = 9 รปแบบมำตรฐำนของสมกำรวงกลมทมรศมยำว r หนวย และจดศนยกลำงอยทจดก ำเนด (0, 0) คอ x2 + y2 = r2 วงกลมทมจดศนยกลำงอยทจดก ำเนดและรศมยำว 1 หนวย เรยกวำ วงกลมหนงหนวย (unit circle) และมสมกำรเปน x2 + y2 = 1 ดงแสดงในรป

จำกสมกำรของวงกลมในตวอยำงท 2 (x – 2)2 + (y + 1)2 = 9 เมอหำผลกำรยกก ำลงสองของ x – 2 และ y + 1 จะได x2 – 4x + 4 + y2 + 2y + 1 = 9 หรอ x2 + y2 – 4x + 2y – 4 = 0 ซงเปนกรณหนงของสมกำร x2 + y2 + ax + by + c = 0 เมอ a, b และ c เปนคำคงตว สำมำรถพสจนไดวำสมกำรใน รปแบบ x2 + y2 + ax + by + c = 0 มกรำฟเปนวงกลม หรอจดหนงจด หรอไมมกรำฟ ตวอยำงเชน กรำฟของสมกำร x2 + y2 = 0 คอจดหนงจดคอ จด (0, 0) สมกำร x2 + y2 + 5 = 0 หรอ x2 + y2 = -5 ไมม กรำฟ เพรำะวำผลบวกของก ำลงสองของจ ำนวนจรงเปนจ ำนวนลบไมได ในกรณทสมกำร x2 + y2 + ax + by + c = 0 มกรำฟเปนวงกลม เรยกสมกำรนวำ รปแบบทวไปของสมกำรวงกลม ถำสมกำรของวงกลมอยในรปแบบทวไป สำมำรถเขยนสมกำรใหมใหอยในรปแบบมำตรฐำนไดโดยใชวธกำรท ำใหเปนก ำลงสองสมบรณ

จงแสดงวำ สมกำร x2 + y2 + 2x – 6y + 6 = 0 เปนสมกำรของวงกลม แลวหำจดศนยกลำงและควำมยำวของรศมของวงกลม พรอมทงเขยนกรำฟ

วธท ำ ขนแรก เขยนสมกำรทก ำหนดใหในรปแบบมำตรฐำนของสมกำรวงกลม โดยจดกลมของพจนทม ตวแปร x และตวแปร y แลวท ำใหเปนก ำลงสองสมบรณ กลำวคอ ท ำให x2 + 2x เปนก ำลงสองสมบรณโดยกำรบวกดวย ( 1/2• 2)2 = 1 และท ำให

y2 – 6y เปนก ำลงสองสมบรณโดยกำรบวกดวย (1/2 (-6))2 = 9

(x2 + 2x) + (y2 – 6y) = -6

(x2 + 2x + 1) + (y2 – 6y + 9) = -6 + 1 + 9

(x + 1)2 + (y – 3)2 = 4

เปรยบเทยบสมกำรนกบรปแบบมำตรฐำนของสมกำรวงกลมจะไดวำ h = -1, k = 3 และ r = 2 ดงนน สมกำรทก ำหนดใหเปนสมกำรของวงกลมทม (-1, 3) เปนจดศนยกลำง และรศมยำว 2 หนวย กรำฟเปนวงกลมแสดงในรป

จงหำสมกำรเสนสมผสวงกลม x2 + y2 = 13 ทจด (2, 3)

วธท ำ

ควำมชนของรศมทผำนจด (2, 3) คอ

เสนสมผสของวงกลมทผำนจด (2, 3) เปนเสนตรงทตงฉำกกบรศมของวงกลมเสนท

มควำมชน

ดงนน ควำมชนของเสนสมผสคอ

และสมกำรเสนตรงทสมผสวงกลมทจด (2, 3) คอ

จงหำสมกำรของพำรำโบลำทมจดโฟกส (0,3) และจดยอด (0,0)

วธท ำ จำกโจทยทก ำหนดให เรำสำมำรถวำดกรำฟพำรำโบลำไดดงน

จำกรปเปนพำรำโบลำหงำย มจดยอดคอ (0,0) จดโฟกสคอ (0,3) และไดคำ c=3

สมกำรพำรำโบลำของกรำฟนคอ x2=4cy แทนคำ c=3 ในสมกำรจะได

x2=(4)(3)y

x2=12y

จงหำสมกำรของพำรำโบลำทมจดยอด (0,0) มแกน x เปนแกนพำรำโบลำ

ควำมยำวของลำตสเลกตมเทำกบ 12 หนวย

วธท ำ จำกโจทยทก ำหนดให เรำสำมำรถหำคำ c ไดจำกสตร

ลำตสเลกตม = |4c|

12 = |4c|

c = +- 3

จำกรปเรำจะไดกรำฟพำรำโบลำสองอน เปนเปดขวำและเปดซำยอยำงละอน

สมกำรพำรำโบลำรปขวำคอ

y2=(4)|3|x

y2= 12x

สมกำรพำรำโบลำรปซำยคอ

y2= -(4)|3|x

y2= -12x

วงรรปหนงมจดยอดอยท (-4, 0), (4, 0) และโฟกสอยท (-3, 0), (3, 0) จงหำสมกำรและเขยน

วงร

วธท ำ จำกสงทก ำหนดใหจะไดวำ แกนเอกของวงรอยบนแกน X และเมอเทยบกบ

รปแบบมำตรฐำนของสมกำรวงร = 1 จะไดวำ a = 4, c = 3

จำก c2 = a2 – b2 จะได 32 = 42 – b2

b2 = 42 – 32 = 16 – 9 = 7

ดงนน สมกำรของวงร คอ

= 1

กรำฟเปนวงรแสดงในรปน

วงรรปหนงมสมกำรเปน = 1

จงหำโฟกส จดยอด ควำมยำวของแกนเอกและแกนโท และเขยนวงร

วธท ำ จำกสมกำร = 1 เมอเทยบกบรปแบบมำตรฐำน = 1

จะไดวำ a2 = 16, b2 = 4 นนคอ a = 4, b = 2

เนองจำกพจน a2 เปนตวสวนของพจน x2

แกนเอกจงอยบนแกน X ถำใหจด (-c, 0) และ (c, 0) เมอ c > 0 เปนโฟกส

จะไดวำ c2 = a2 – b2 = 16 – 4 = 12 นนคอ c =

ดงนน สรปไดวำ

โฟกสของวงร คอ (- , 0) และ ( , 0)

จดยอด คอ (-4, 0) และ (4, 0)

แกนเอกมควำมยำว 8 หนวย

แกนโทมควำมยำว 4 หนวย

กรำฟวงรแสดงไดดงรปน

จงหำโฟกสและเขยนวงรทมสมกำรเปน 25×2 + 9y2 = 225

วธท ำ จำกสมกำรวงรทก ำหนดให เขยนในรปแบบมำตรฐำนไดดงน = 1

จำกรปแบบมำตรฐำน จะไดวำแกนเอกของวงรอยบนแกน Y

และ a2 = 25, b2 = 9

นนคอ c2 = a2 – b2 = 25 – 9 = 16

ดงนน c = 4 และโฟกสของวงร คอ (0, -4) และ (0, 4)

กรำฟของวงรแสดงในรปน

จะเหนไดวำ ถำ 2a มำกกวำ 2c เพยงเลกนอย วงรมรปรำงเรยวยำว (วงรมควำมรมำก) แตถำ 2a มำกกวำ 2c วงรมรปรำงเกอบจะกลม (วงรมควำมรนอย) โดยทวไป จะใชอตรำสวนของ c ตอ a วดควำมรของวงร อตรำสวนนเรยกวำ ควำมเยองศนยกลำง

ควำมเยองศนยกลำงของวงรมคำระหวำง 0 และ 1 นนคอ 0 < e < 1 ถำ e มคำใกล 1 หรอ c มคำเกอบจะเทำกบ a แลววงรมควำมรมำก (มรปรำงเรยวยำว) แตถำ e มคำใกล 0 แลววงรมควำมรนอย (รปรำงเกอบจะกลม) รปท 10 แสดงวงรทมควำมเยองศนยกลำง ตำงๆ กน

จงหำจดศนยกลำง จดโฟกส จดยอด ควำมยำวของแกนตำมขวำง ควำมยำวแกนสงยค ควำมยำวเสนลำตสเรกตม คำเอคเซนตรกซต (e) และสมกำรเสนก ำกบของไฮเพอรโบลำตอไปน พรอมทงวำดกรำฟ

วธท ำ

ตวเลขสวนของสมกำรไฉเพอรโบลำทโจทยใหมำเปนก ำลงหนง แตเรำตองกำรก ำลงสองเพอเขำสตรไฮเพอรโบลำ จงแปลงสมกำรนใหอยในรปก ำลงสองไดดงน

ซงเมอน ำไปเทยบกบสมกำรมำตรฐำนของไฮเพอรโบลำ

เรำจะไดคำ a=4, b=3

ใชสตรพธำกอรสเพอหำคำ c ไดดงน

c2 = a2 + b2

c2 = 42 + 32

c2 = 25

c = 5

เมอเรำไดคำ a, b, และ c มำครบแลว จะสำมำรถเขยนรปกรำฟไดดงน

จำกรปและสมบตของไฮเพอรโบลำ จะได

จดศนยกลำงคอ (0,0)

จดโฟกส คอ ( 5,0)

จดยอด คอ ( 4,0)

ควำมยำวของแกนตำมขวำง 2a = 8

ควำมยำวแกนสงยค 2b = 3

ควำมยำวเสนเลตสเรกตม

สมกำรเสนก ำกบ

คำเอคเซนตรกซต (e) = c/a = 5/4 = 1.25

งำยนดเดยว ใชไหมละ

บนทกเพมเตม

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

บนทกเพมเตม

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

บนทกเพมเตม

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

บนทกเพมเตม

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................