Minimizacija Logičkih funkcija. A 1 - vpts.edu.rs · 5.3. Tabelarna metoda / W. Quine - McCluskey method • Tabelarna metoda podrazumeva objedinjenu metodu odnosno W.Quine – McCluskey

1 Др Милован Миливојевић дипл. инж. /// ВПТШ •♣• Ужице

5. MINIMIZACIJA LOGIČKIH FUNKCIJA A1

06.12.17

1 Sl

ajdo

vi s

u ge

nera

lno

bazir

ani n

a re

fere

nci [

2]

5. Minimizacija Logičkih funkcija. A 1 5.1. Osnovni pojmovi

• Za praktičnu primenu najznačajnija je teorija minimizacije logičkih funkcija koje su izražene u normalnoj formi.

• Funkcija se najpre izrazi u obliku savršene normalne forme (SDNF ili SKNF), a potom se nekom od metoda svodi na što prostiji ekvivalent pod nazivom Minimalna Disjunktivna Normalna Forma (MDNF) ili Minimalna Konjuktivna Normalna Forma (MKNF).

• Ekonomičnost opredeljuje da li će se se koristiti MDNF ili MKNF.

• Postoji niz različitih analitičkih, tabelarnih i grafičkih metoda minimizacije logičkih funkcija.



06.12.17

1 Sl

ajdo

vi s

u ge

nera

lno

bazir

ani n

a re

fere

nci [

2]

5.2. Metoda algebarskih transformacija

Postupak algebarskih transformacija je jednostavan ali ne predstavlja sistematsku metodu tako da je pogodan za relativno jednostavnije funkcije.

Zasniva se na simultanom korišćenju ranije opisanih postulata i teorema, kojom se početni oblik logičke funkcije uprošćava do forme koja je pogodna za tehničku realizaciju.

Nekoliko baznih postulata i teorema daju se sažeto u Tabeli 5.1.



06.12.17

1 Sl

ajdo

vi s

u ge

nera

lno

bazir

ani n

a re

fere

nci [

2]

Tabela 5.1. Osnovni postulati i teoreme pogodni za algebarsku minimizaciju LF

21 2 1 1

11 2 1 2

1 11 2 3 2 3 1 2 3

....

01 1

nx x x x

x xx

x x x x x

x x x x x

x x x x x x x x x x

⋅ ⋅ = =

⋅ =⋅ =

⋅ + ⋅ =

+ ⋅ = +

⋅ + ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅

1 1 2 1

11 2 1 2

1 11 2 3 2 3 1 2 3

....

11 1( )

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

x x n x x

x xxx x x x

x x x x x

x x x x x x x x x x

+ + = ⋅ =

+ =+ =⋅ + =

⋅ + = ⋅

+ ⋅ + ⋅ + = + ⋅ +

11 2 3 1 2 3 2 3

11 2 3 1 2 3 2 3

( , , ,..., ) (1, , ,..., ) (0, , ,..., )

( , , ,..., ) [ (0, , ,..., )][ (1, , ,..., )]n n n

n n n

y f x x x x x f x x x x f x x x

f x x x x x f x x x x f x x x

= = ⋅ +

= = + +



06.12.17

1 Sl

ajdo

vi s

u ge

nera

lno

bazir

ani n

a re

fere

nci [

2]

Primer: Minimizirati logičku funkciju metodom algebarskih transformacija

1 2 1 3 2 3 1 33 2 1 2 3 1 2y x x x x x x x x x x x x x x x= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅

Rešenje:

1 2 1 3 1 23 2 2 1 1 2

1 2 3 1 23 2 2 1 2

1 3 1 1 3 13 2 1 3 2 1

1 33 1 2

[ ] [ ]

[ ( )] [ ( )]

1 [ 1] ( )

( )

y x x x x x x x x x x x x

x x x x x x x x x x

x x x x x x x x x x x x

x x x x x

= ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅

= ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅

= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ ⋅ +

= ⋅ + ⋅ +

Na Slici 5.1. dat je prikaz originalne i minimizovane zadate logičke funkcije u programu Logic.ly [3]



06.12.17

1 Sl

ajdo

vi s

u ge

nera

lno

bazir

ani n

a re

fere

nci [

2]

Originalna LF

Minimizovana LF

Slika 5.1 Minimizacija LF metodom algebarskih transformacija: primer [softver: Logic.ly]



06.12.17

1 Sl

ajdo

vi s

u ge

nera

lno

bazir

ani n

a re

fere

nci [

2]

5.3. Tabelarna metoda / W. Quine - McCluskey method

• Tabelarna metoda podrazumeva objedinjenu metodu odnosno W.Quine – McCluskey algorithm (Kvajn- Mak-Klaski algoritam) (Slika 5.2, Slika5.3 [xxx]) za određivanje potpunog skupa prostih implikanata i postupak minimalnog pokrivanja za određivanje minimalnog skupa u potpunom skupu prostih imlikanata.

Slika 5.2. Willard Van Orman Quine (1908 -

2000)

Slika 5.3. Edward J. McCluskey (1929 –2016)

Harvard University (Ph.D., 1932) Thesis: The Logic of Sequences: A Generalization of Principia

Mathematica (1932) Awards: Rolf Schock Prizes in Logic and Philosophy (1993)

Kyoto Prize (1996) Main interests: Logic, ontology, epistemology, philosophy of

language, philosophy of mathematics, philosophy of science, set theory

Notable ideas: New Foundations, indeterminacy of translation, naturalized epistemology, ontological relativity, Quine's paradox, Duhem–Quine thesis, Quine–Putnam indispensability thesis, radical translation, inscrutability of reference, confirmation holism, two dogmas of empiricism, cognitive synonymy, observational statement, Quine–McCluskey algorithm, Plato's beard

Was a Professor at Stanford University. He was a pioneer in the field of Electrical Engineering. McCluskey worked on electronic switching systems at the Bell Telephone Laboratories from 1955 to 1959. In 1959, he moved to Princeton University, where he was Professor of Electrical Engineering and Director of the University Computer Center. In 1966, he joined Stanford University, where he was Emeritus Professor of Electrical Engineering and Computer Science, as well as Director of the Center for Reliable Computing. The Stanford Computer Forum (an Industrial Affiliates Program) was started by McCluskey and two colleagues in 1970 and he was its Director until 1978. Professor McCluskey led the Reliability and Testing Symposium (RATS). McCluskey served as the first President of the



06.12.17

1 Sl

ajdo

vi s

u ge

nera

lno

bazir

ani n

a re

fere

nci [

2]

Slika 5.2. Willard Van Orman Quine (1908 -

Slika 5.3. Edward J. McCluskey (1929 –2016)

Willard Van Orman Quine was an American philosopher and logician in the analytic tradition, recognized as "one of the most influential philosophers of the twentieth century." From 1930 until his death 70 years later, Quine was continually affiliated with Harvard University in one way or another, first as a student, then as a professor of philosophy and a teacher of logic and set theory, and finally as a professor emeritus who published or revised several books in retirement. He filled the Edgar Pierce Chair of Philosophy at Harvard from 1956 to 1978. A 2009 poll conducted among analytic philosophers named Quine as the fifth most important philosopher of the past two centuries. He won the first Schock Prize in Logic and Philosophy in 1993 for "his systematical and penetrating discussions of how learning of language and communication are based on socially available evidence and of the consequences of this for theories on knowledge and linguistic meaning." In 1996 he was awarded the Kyoto Prize in Arts and Philosophy for his "outstanding contributions to the progress of philosophy in the 20th century by proposing numerous theories based on keen insights in logic, epistemology, philosophy of science and philosophy of language."

He was known for his disarming wit and occasional eccentric habits, like his hat collection. Focus of research McCluskey developed the first algorithm for designing combinational circuits - the Quine-McCluskey logic minimization procedure as a doctoral student at MIT.

At Bell Labs and Princeton, he developed the modern theory of transients (hazards) in logic networks and formulated the concept of operating modes of sequential circuits. He collaborated with Signetics researchers in developing one of the first practical multivalued logic implementations and then worked out a design technique for such circuitry. His Stanford research focuses on logic testing, synthesis, design for testability, and fault-tolerant computing. Professor McCluskey and his students at the Center for Reliable Computing worked out many key ideas for fault equivalence, probabilistic modeling of logic networks, pseudo-exhaustive testing, and watchdog processors



06.12.17

1 Sl

ajdo

vi s

u ge

nera

lno

bazir

ani n

a re

fere

nci [

2]

• Kvajn- Mak-Klaski algoritam je funkcionalno identičan Vejč- Karno-ovim mapama, ali je njegova tabelarna forma (zbog čega se često i naziva: Tabelarnom metodom) daleko efikasnija za računarsku implementaciju.

• Kvajn-MakKlaski algoritam, takođe, daje deterministički (algoritamski utemeljeni) način za proveru: Da li je logička funkcija (Bulova funkcija) dovedena do nivoa minimalne forme?



06.12.17

1 Sl

ajdo

vi s

u ge

nera

lno

bazir

ani n

a re

fere

nci [

2]

Kompleksnost

• Iako je praktičniji od Karno-ovih mapa, kada operiše sa više od 4 logičke varijable, i Quine–McCluskey algoritam ima ograničenja jer je problem koji rešava NP-težak: vreme izvršavanja računarskog programa za Quine–McCluskey algoritma raste eksponencijalno kada je broj varijabli veliki.

• Može se pokazati da je za funkciju od n varijabli gornja granica broja primarnih

implikanata 3 ln( )n n⋅ . Za 32n = , postoji preko 156.5 10⋅ primarnih

implikanata!!!.

• Iz prethodnog sledi da LF sa velikim brojem logičkih varijabli nije lako minimizirati klasičnim metodama. Zbog toga se u poslednje dve decenije primenjuju različiti oblici heurističkih metoda optimizacije. Tako je u poslednjoj dekadi XX veka Espresso heuristic logic minimizer bio de-facto standard u minimizaciji složenijih LF [4].



06.12.17

1 Sl

ajdo

vi s

u ge

nera

lno

bazir

ani n

a re

fere

nci [

2]

Definicije:

• Za funkciju 2 1 2( , ,..., )nf x x x se kaže da je IMPLIKANTA funkcije 1 1 2( , ,..., )nf x x x, ako funkcija 2f ima vrednost 0 na svim slogovima na kojima 1f ima vrednost

0, dok na mestima na kojima 1f ima vrednost 1, funkcija 2f može imati

vrednost 0 ili 1. Tada funkcija 2f pokriva funkciju 1f (piše se: 2 1f f⊆ ).

• Proizvodi i sume u logičkim funkcijama, mogu se posmatrati kao logičke funkcije pa se i za njih mogu razmatrati pravila pokrivanja.



06.12.17

1 Sl

ajdo

vi s

u ge

nera

lno

bazir

ani n

a re

fere

nci [

2]

• Primer:

Proizvod 22 1:p x x⋅ pokriva proizvod 2 31 1:p x x x⋅ ⋅ jer je

2 2 3 2 2 31 1 3 1 3 1( )x x x x x x x x x x x x⋅ = ⋅ ⋅ + = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅

• Postupak minimizacije realizuje se u DVE faze:

• FAZA A: podrazumeva iznalaženje potpunog skupa prostih implikanata

o Zadata logička funkcija se dovede na kanonični oblik (npr. SDNF ) (Kvajn)

o Višestruko se primenjuje Teorema o potpunom sažimanju

1 2 ( )iip p p x x p+ = ⋅ + =

za proizvode (mintermove) za koje je moguće izvršiti sažimanje i sve dok je sažimanje moguće. Rezultujući proizvod p je nižeg ranga i naziva se

IMPLIKANTA. Sažimanje se sprovodi u etapama.



06.12.17

1 Sl

ajdo

vi s

u ge

nera

lno

bazir

ani n

a re

fere

nci [

2]

o Prvu etapu sačinjava sažimanje proizvoda n -tog ranga (MINTERMOVA koji ulaze u sklop SDNF). Posle svih mogućih sažimanja ostaće potencijalno deo mintermova (proizvoda n -tog ranga) i oni predstavljaju PROSTE IMPLIKANTE.

o Drugu etapu predstavlja dalje sažimanje proizvoda 1n− ranga, tako da se dobijaju proizvodi 2n − ranga. Ovde takodje može preostati odredjeni broj proizvoda 1n − ranga, te i oni predstavljaju PROSTE IMPLIKANTE.

o Postupak se zaustavlja kada dalje sažimanje nije moguće. Ukoliko postoji više istih IMPLIKANTI, onda su sve osim jedne redundantne.

o Potpuni skup PROSTIH IMPLIKANTI vezanih disjunktivno sačinjava UPROŠĆENU DISJUNKTIVNU NORMALNU FORMU (UDNF).



06.12.17

1 Sl

ajdo

vi s

u ge

nera

lno

bazir

ani n

a re

fere

nci [

2]

o Prvu etapu sačinjava sažimanje proizvoda n -tog ranga (MINTERMOVA koji ulaze u sklop SDNF). Posle svih mogućih sažimanja ostaće potencijalno deo mintermova (proizvoda n -tog ranga) i oni predstavljaju PROSTE IMPLIKANTE.

o Drugu etapu predstavlja dalje sažimanje proizvoda 1n − ranga, tako da se dobijaju proizvodi 2n − ranga. Ovde takodje može preostati odredjeni broj proizvoda 1n − ranga, te i oni predstavljaju PROSTE IMPLIKANTE.

o Postupak se zaustavlja kada dalje sažimanje nije moguće. Ukoliko postoji više istih IMPLIKANTI, onda su sve osim jedne redundantne.

o Potpuni skup PROSTIH IMPLIKANTI vezanih disjunktivno sačinjava UPROŠĆENU DISJUNKTIVNU NORMALNU FORMU (UDNF).

Dobijena UDNF ne mora biti u minimalna, jer može sadržati suvišne PROSTE IMPLIKANTE. Minimalni skup PROSTIH IMPLIKANTI dobija se pomoću TABLICE POKRIVANJA.



06.12.17

1 Sl

ajdo

vi s

u ge

nera

lno

bazir

ani n

a re

fere

nci [

2]

• FaZA B: Kreiranje Tablice Pokrivanja

o Tablica pokrivanja sadrži kolone, čiji broj je jednak broju MINTERMOVA, i vrste čiji broj je jednak broju PROSTIH IMPLIKANTI koje su označene sa a, b, c ...

o U ćelije tablice stavlja se znak +, ako dotična PROSTA IMPLIKANTA pokriva dotični MINTERM. PROSTA IMPLIKANTA pokriva MINTERM ako se sastoji od izvesnog broja istih varijabli i sa istim vrednostima kao MINTERM (Primer: PROSTA

IMPLIKANTA 2 3x x⋅ , pokriva MINTERMOVE: 21 3 4x x x x⋅ ⋅ ⋅ ,

2 41 3x x x x⋅ ⋅ ⋅ , 1 2 3 4x x x x⋅ ⋅ ⋅ , 1 2 43x x x x⋅ ⋅ ⋅ ).



06.12.17

1 Sl

ajdo

vi s

u ge

nera

lno

bazir

ani n

a re

fere

nci [

2]

o Izbor minimalnog skupa iz potpunog skupa implikanata vrši se tako da minimalni skup pokriva sve mintermove.

o Proste implikante koje JEDINE pokrivaju neki od mintermova, nazivaju se ESENCIJALNIM i označavaju sa * a čitava vrsta se takođe nazva esencijalnom. One se tokom procesa minimizacije moraju uzeti. U takvim slučajevima oznake + se zaokružuju u oblik ⊕ .

o U poslednjoj vrsti Tablice pokrivanja se MINTERMOVI koji odgovaraju esencijalnim vrstama se označavaju sa V.

o Zatim ostaje da se odaberu ostale PROSTE IMPLIKANTE tako da svi mintermovi budu pokriveni.



06.12.17

1 Sl

ajdo

vi s

u ge

nera

lno

bazir

ani n

a re

fere

nci [

2]

Primer: Data je Tablica pokrivanja:

Tabela 5.2. Primer tablice pokrivanja

Mintermovi Proste implikante p1 p2 p3 p4 p5 p6 p7

*a + ⊕ b + + + + *c + + ⊕ + d + + + +

Pokrivanje v v v v v v

Iznalaženje MDNF nije jednoznačno. Dakle, SDNF može dati više MDNF.

Na osnovu Tabele 5.2. slede dva moguća rešenja kao MDNF:

1min

1min

y a c by a c d

= + += + +

Kao konačno rešenje bira se ono koje je ekonomski efikasnije.



06.12.17

1 Sl

ajdo

vi s

u ge

nera

lno

bazir

ani n

a re

fere

nci [

2]

Primer:

Data je LF u obliku SDNF. Potrebno je odrediti MDNF.

4

(3,7,8,9,12,13,15)y =∑ Rešenje:

FAZA A: podrazumeva iznalaženje potpunog skupa prostih implikanata

3 7 8 9 12 13 15 1 2 3 4x x x x⋅ ⋅ ⋅ 1 2 3 4x x x x⋅ ⋅ ⋅ 2 3 41x x x x⋅ ⋅ ⋅ 2 31 4x x x x⋅ ⋅ ⋅ 3 41 2x x x x⋅ ⋅ ⋅ 31 2 4x x x x⋅ ⋅ ⋅ 1 2 3 4x x x x⋅ ⋅ ⋅

• Prvo sažimanje (znakom + oзначавају се производи који се први пут сажимају)

1 2 1 13 4 2 3 4 3 43 7 x x x x x x x x x x x+ ++ = ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

1 2 3 4 1 2 3 4 2 3 47 15 x x x x x x x x x x x++ = ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

2 3 4 2 3 2 31 1 4 18 9 x x x x x x x x x x x+ ++ = ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

2 3 4 3 4 3 41 1 2 18 12 x x x x x x x x x x x++ = ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

2 3 3 31 4 1 2 4 1 49 13 x x x x x x x x x x x++ = ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

3 4 3 31 2 1 2 4 1 212 13 x x x x x x x x x x x+ = ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

31 2 4 1 2 3 4 1 2 413 15 x x x x x x x x x x x++ = ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅



06.12.17

1 Sl

ajdo

vi s

u ge

nera

lno

bazir

ani n

a re

fere

nci [

2]

Proizvodi koji nisu učestvovali u sažimanju predstavljaju PROSTE IMPLIKANTE. Dakle rezultat prvog sažimanja je:

3,7 7,15 8,9 8,12 9,13 12,13 13,15 y = 1 3 4x x x⋅ ⋅ + 2 3 4x x x⋅ ⋅ + 2 31x x x⋅ ⋅ + 3 41x x x⋅ ⋅ + 31 4x x x⋅ ⋅ + 31 2x x x⋅ ⋅ + 1 2 4x x x⋅ ⋅

U ovom primeru nema PROSTIH IMPLIKANTI 4. reda, jer svi proizvodi ( p ) imaju +.

• Drugo sažimanje (znakom + oзначавају се производи који се први пут сажимају)

2 3 3 31 1 2 18,9 12,13 x x x x x x x x+ ++ = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅

3 4 3 31 1 4 18,12 9,13 x x x x x x x x+ ++ = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅

Sledi da su nesažeti proizvodi: 3,7 ( 1 3 4x x x⋅ ⋅ ); 7,15 ( 2 3 4x x x⋅ ⋅ ); 13,15 (

1 2 4x x x⋅ ⋅ ), tako da oni predstavljaju PROSTE IMPLIKANTE 3. Reda.



06.12.17

1 Sl

ajdo

vi s

u ge

nera

lno

bazir

ani n

a re

fere

nci [

2]

• Treće sažimanje

odi (implikante) drugog reda su identični (redudansa) pa se jedan može odbaciti tako da o

31x x⋅ .

evanjem PROSTIH IMPLIKANTI u disjunktnu formu dobija se UDNF:

1 33 4 2 3 4 1 2 4 1y x x x x x x x x x x x= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅



06.12.17

1 Slajdovi su generalno bazirani na referenci [2]

FaZA B: Kreiranje Tablice Pokrivanja

Za dobijenu UDNF Tablica pokrivanja ima oblik:

Tabela 5.3. Tablica pokrivanja za odabrani primer

Mintermovi

3

1 2 3 4x x x x⋅ ⋅ ⋅ 7

1 2 3 4x x x x⋅ ⋅ ⋅ 8

2 3 41x x x x⋅ ⋅ ⋅ 9

2 31 4x x x x⋅ ⋅ ⋅ 12

3 41 2x x x x⋅ ⋅ ⋅ 13

31 2 4x x x x⋅ ⋅ ⋅ 15

1 2 3 4x x x x⋅ ⋅ ⋅

⊕ + + +

⊕ +

+ +

+ + v v v v v v

Vidi se da su esencijalne IMPLIKANTE a i b, tako da su moguća dva minimalna rešenja (MDNF):

3 11min 1 3 4 2 3 4

3 11min 1 3 4 1 2 4

y a b c x x x x x x x x

y a b d x x x x x x x x

= + + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅

= + + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅



06.12.17

1 Sl

ajdo

vi s

u ge

nera

lno

bazir

ani n

a re

fere

nci [

2]



06.12.17

Reference

[1] Drndarevic D., Upravljanje procesima – priručnik, Visoka poslovno-tehnička škola, Užice 2015.

[2] Zarić S., Automatizacija proizvodnje, Mašinski fakultet, Beograd, 1987.

[3] http://www.williamson-labs.com/480_logic.htm#pos-neg-logic

[4] http://www.vivaxsolutions.com/physics/allogicgates.aspx


Hvala na PAŽNJI!!!

4. 5. MINIMIZACIJA LOGIČKIH FUNKCIJA A1

06.12.17

Minimizacija Logičkih funkcija. A 1 - vpts.edu.rs · 5.3. Tabelarna metoda / W. Quine - McCluskey method • Tabelarna metoda podrazumeva objedinjenu metodu odnosno W.Quine – McCluskey

Documents