Jun 13, 2015
IntroducciónConceptos Básicos de A E
Arquitectura GISRepresentaciones geométricas del AE
Medidas globalesEl Variograma
Un ejemplo
Introducción al Análisis Estadístico EspacialUna aplicación con el software R
Juan de Jesús Sandoval
UNIVERSIDAD FEDERAL DE MINAS GERAISCEDEPLAR/UFMG
Doctorado en DemografíaFac. de Ciencias Económicas
Lima, PerúSeptiembre de 2012
Juan de Jesús Sandoval Introducción al Análisis Estadístico Espacial
IntroducciónConceptos Básicos de A E
Arquitectura GISRepresentaciones geométricas del AE
Medidas globalesEl Variograma
Un ejemplo
Esquema
1 Introducción
2 Conceptos Básicos de A E
3 Arquitectura GIS
4 Representaciones geométricas del AE
5 Medidas globales
6 El Variograma
7 Un ejemplo
Juan de Jesús Sandoval Introducción al Análisis Estadístico Espacial
IntroducciónConceptos Básicos de A E
Arquitectura GISRepresentaciones geométricas del AE
Medidas globalesEl Variograma
Un ejemplo
Que es un A E
Comprender la distribución de datos que vienen dedatos relacionados con el espacio es un gran reto hoydía para responder preguntas cientí�cas en diversasáreas del conocimiento. Estos estudios se tornancada vez mas comunes debido a la disponibilidad defuentes de datos geográ�cos, sistemas de informacióngeográ�co, software e interfaces amigables quepermiten la visualización espacial de las mismas.
Juan de Jesús Sandoval Introducción al Análisis Estadístico Espacial
IntroducciónConceptos Básicos de A E
Arquitectura GISRepresentaciones geométricas del AE
Medidas globalesEl Variograma
Un ejemplo
Utilidad del A E
Algunos interrogantes que busca resolver el uso del análisisespacial, apuntan a identi�car:
Distribución espacial de fenómenos
Patrones espaciales
Asociaciones y concentración
Estimación o predicción
Elección de variables
Juan de Jesús Sandoval Introducción al Análisis Estadístico Espacial
IntroducciónConceptos Básicos de A E
Arquitectura GISRepresentaciones geométricas del AE
Medidas globalesEl Variograma
Un ejemplo
Dependencia Espacial
La primera ley dela geografía (Waldo Tobler) �Todas las cosas
son parecidas, pero las cosas mas próximas se parecen mas que
las cosas mas distantes�
Noel Cressie �La dependencia espacial está presente en todas
las direcciones y se torna mas débil a medida que aumenta la
dispersión en la localización de los datos�
Respecto a lo anterior, se puede a�rmar que la mayoría de los
eventos, sean de forma natural, epidemiológicos o sociales, entre
otros, presentan entre si una relación que depende de la distancia.
Juan de Jesús Sandoval Introducción al Análisis Estadístico Espacial
IntroducciónConceptos Básicos de A E
Arquitectura GISRepresentaciones geométricas del AE
Medidas globalesEl Variograma
Un ejemplo
Problema de las Unidades de ÁreaModificable
Problema práctico causado por la escala o la agrupación de los
datos.
Falacia ecológica: inferencia causal inadecuada sobre
fenómenos individuales con base en observaciones de grupos.
al cambiar de un sistema de zonas a los datos individuales, el
análisis estadístico da resultados diferentes.
Efecto de escala: al calcular una estadística a diferentes
escalas, se obtengan resultados distintos
Efecto de la división en zonas: al reagrupar los datos en
sistemas de zonas diferentes aunque a la misma escala, se
obtengan distintos valores para una misma estadística.
Juan de Jesús Sandoval Introducción al Análisis Estadístico Espacial
IntroducciónConceptos Básicos de A E
Arquitectura GISRepresentaciones geométricas del AE
Medidas globalesEl Variograma
Un ejemplo
Arquitectura GIS
Figura: Arquitectura de los sistemas de información geográ�co.Juan de Jesús Sandoval Introducción al Análisis Estadístico Espacial
IntroducciónConceptos Básicos de A E
Arquitectura GISRepresentaciones geométricas del AE
Medidas globalesEl Variograma
Un ejemplo
Auto-correlación Espacial
La expresión concepto de la dependencia espacial es la
auto-correlación espacial. Este término proviene del concepto
estadístico de correlación, que sirve para medir la relación entre dos
variables aleatorias. La preposición �auto� indica que la medición de
la correlación se hace con la misma variable aleatoria, medida en
distintos lugares en el espacio.
Los indicadores de auto correlación espacial son casos particulares
de un estadístico de productos cruzados del tipo:
Γ(d) =n∑
i=1
n∑j=1
wij(d)ψij (1)
Juan de Jesús Sandoval Introducción al Análisis Estadístico Espacial
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Arquitectura GISRepresentaciones geométricas del AE
Medidas globalesEl Variograma
Un ejemplo
Auto-correlación Espacial I
Una forma para medir la correlación es por medio del índice de
Moran. Este índice expresa la relación entre diferentes variables
aleatorias como producto de dos matrices. Dada una distancia d , el
valor wij establece una continuidad espacial entre las variables
aleatorias zi e zj , informando por ejemplo si son separadas a una
distancia menor de d , una matriz digamos ψij establece una medida
de correlación entre las variables como producto de estas (ver
ecuación 2):
I =
n∑i=1
n∑i=1
wij(zi − z)(zj − z)
n∑i=1
(zi − z)2(2)
Juan de Jesús Sandoval Introducción al Análisis Estadístico Espacial
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Arquitectura GISRepresentaciones geométricas del AE
Medidas globalesEl Variograma
Un ejemplo
Auto-correlación Espacial II
Otro indicador para medir relación espacial es el variograma, que se
calcula como el cuadrado de la diferencia entre dos valores, como la
siguiente expresión:
γ̂(d) =1
2N(d)
N(d)∑i=1
[z(xi )− z(xi + d)]2 (3)
Donde N(d) es el numero de muestras separadas por una distancia
d . En ambos casos los valores de los indices deben ser comparados
con valores para los cuales se supone que no habría auto correlación
espacial.
Juan de Jesús Sandoval Introducción al Análisis Estadístico Espacial
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Arquitectura GISRepresentaciones geométricas del AE
Medidas globalesEl Variograma
Un ejemplo
La hipótesis espacial
Valores signi�cativos de los indices de auto correlación espacial son
evidencia de dependencia espacial y están indicando que el supuesto
de que las muestras son independientes es inválido, en este caso
según los procedimientos de la inferencia estadística. La hipótesis a
plantearse seria la siguiente:
Hiptesis :
H0 : No hay autocorrelación espacial
H1 : Si hay autocorrelación espacial
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Medidas globalesEl Variograma
Un ejemplo
Poligonal
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Arquitectura GISRepresentaciones geométricas del AE
Medidas globalesEl Variograma
Un ejemplo
Grado regular
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Medidas globalesEl Variograma
Un ejemplo
Modelo Geo-relacional
Juan de Jesús Sandoval Introducción al Análisis Estadístico Espacial
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Arquitectura GISRepresentaciones geométricas del AE
Medidas globalesEl Variograma
Un ejemplo
Medidas globales de la agrupación espacial
Estos métodos proporcionan un resumen estadístico único que
describe el grado de agrupamiento en la pauta asignada. El
valor de la estadística indica si el patrón está agrupado, al
azar, o dispersos
La hipótesis nula es de aleatoriedad.Métodos de datos de área
Estadística join-countMoran IAjuste a la varianza heterogeneaGeary CGetis-Ord G
Métodos de datos de puntos
Análisis cuadráticoAnálisis del vecino más próximoFunción K de RipleyPatrones de punto bivariado
Juan de Jesús Sandoval Introducción al Análisis Estadístico Espacial
IntroducciónConceptos Básicos de A E
Arquitectura GISRepresentaciones geométricas del AE
Medidas globalesEl Variograma
Un ejemplo
El Variograma y Kriging
Estadística espacial y geoestadística se han desarrollado paradescribir y analizar la variación de los fenómenos naturales yprovocados por el hombre, sobre o debajo de la super�cie de latierra. Estadística espacial incluye cualquiera de las técnicasformales de que las entidades de estudio que tienen un índiceespacial (Cressie 1993). La mayoría de las propiedadesespaciales varían de forma compleja que la variación no puedeser de�nido de manera determinista.
Juan de Jesús Sandoval Introducción al Análisis Estadístico Espacial
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Arquitectura GISRepresentaciones geométricas del AE
Medidas globalesEl Variograma
Un ejemplo
El Variograma y Kriging
Para hacer frente a esta incertidumbre espacial unenfoque diferente de los métodos tradicionalesdeterminista de análisis espacial se requiere que serbasado en un enfoque estocástico o probabilista. Labase de la bioestadística moderna para el tratamientode la variable de interés como una variable aleatoria.
Juan de Jesús Sandoval Introducción al Análisis Estadístico Espacial
IntroducciónConceptos Básicos de A E
Arquitectura GISRepresentaciones geométricas del AE
Medidas globalesEl Variograma
Un ejemplo
El Variograma y Kriging
Estimación del variograma
Método Matheron de momentos (MoM)
Metodo de máxima verosimilitud residual (REML)
Características del variograma
Continuidad
Creciente monótona
Umbral y rango
Efecto agujero y periodicidad
Límites
Anisotropía.
Variación anidada.
Juan de Jesús Sandoval Introducción al Análisis Estadístico Espacial
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Arquitectura GISRepresentaciones geométricas del AE
Medidas globalesEl Variograma
Un ejemplo
Un análisis espacial TMI Colombia
Para el análisis se tuvieron las siguientes variables: tasas demortalidad infantil (TMI) de Colombia años 2005 - 2009, oíndice de necesidades básicas insatisfechas (%), índice demiseria e índice de dependencia económica (%) que fueronvalores que median de alguna forma la desigualdad social.Todos estos índices tuvieron variación o de 0− 100 y un valorpequeño dice que hay mayor carencia de algo.
Juan de Jesús Sandoval Introducción al Análisis Estadístico Espacial
IntroducciónConceptos Básicos de A E
Arquitectura GISRepresentaciones geométricas del AE
Medidas globalesEl Variograma
Un ejemplo
Resumen estadístico
Tabla: Resumen estadístico de las principales variables del análisis de
correlación
Variables Media Mediana D.E Asimetría Curtosis Min Max
TMI2005 36,13 33,7 14,48 1,44 3,43 9,46 116,69TMI2006 35,78 33,3 14,58 1,42 3,33 9,29 110,61TMI2007 35,17 32,9 14,41 1,38 3,10 8,92 106,30TMI2008 33,81 31,6 13,86 1,33 2,93 8,71 106,30TMI2009 33,14 31,0 13,59 1,33 2,90 8,49 106,30NBI (%) 44,18 41,8 20,41 0,68 0,15 5,23 100,00
Miseria (%) 19,50 14,3 18,65 2,36 7,16 0,23 100,00D.Econ (%) 20,73 17,8 15,40 3,60 15,94 1,60 100,00
Juan de Jesús Sandoval Introducción al Análisis Estadístico Espacial
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Arquitectura GISRepresentaciones geométricas del AE
Medidas globalesEl Variograma
Un ejemplo
Análisis exploratorio I
● ●● ●● ● ●● ● ●●● ●●● ●●● ● ●●● ●● ●●● ●● ●●●●
20 40 60 80 100 120
TMI 2005
● ●● ●● ● ●● ● ●●● ●●● ●●● ● ●●● ●● ●●● ●● ●●●●
20 40 60 80 100 120
TMI 2006
● ●● ●● ● ●● ● ●●● ●●● ●●● ● ●●● ●●●● ●● ●●●●
20 40 60 80 100
TMI 2007
● ●● ●● ● ●● ● ●●● ●●● ●●●● ● ●●● ●●●● ●● ●●●● ●
20 40 60 80 100
TMI 2008
● ●● ●● ● ● ● ●● ● ● ●●●●●● ● ●●● ●●● ●● ●● ●●●● ●
20 40 60 80 100
TMI 2009
Figura: diagrama de cajas de las TMI a nivel nacional 2005-2009.Juan de Jesús Sandoval Introducción al Análisis Estadístico Espacial
IntroducciónConceptos Básicos de A E
Arquitectura GISRepresentaciones geométricas del AE
Medidas globalesEl Variograma
Un ejemplo
Análisis exploratorio II
% das necessidades básicas insatisfeitas
dados$NBI
Fre
quen
cy
0 20 40 60 80 100
050
100
150
200
% da miséria
dados$Miseria
Fre
quen
cy
0 20 40 60 80 100
010
020
030
040
0
% fogueiros alta dependência econômica
dados$dep_econ
Fre
quen
cy
0 20 40 60 80 100
010
020
030
040
050
0
●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●
20 40 60 80 100
% das necessidades básicas insatisfeitas
●● ●●●●●● ●●●● ● ●● ●● ●●●●● ●●●● ●●●●●●●●●●●●● ●
0 20 40 60 80 100
% da miséria
● ●●●●●●●●● ● ●●● ●●●●●●●●●●●●●●●● ●●●●●
0 20 40 60 80 100
% fogueiros alta dependência econômica
Figura: diagrama de cajas e histogramas de las variables explicativas.Juan de Jesús Sandoval Introducción al Análisis Estadístico Espacial
IntroducciónConceptos Básicos de A E
Arquitectura GISRepresentaciones geométricas del AE
Medidas globalesEl Variograma
Un ejemplo
Nube de puntos Moran I
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20 40 60 80 100 120
010
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040
050
060
0
TMI 2005
Lag
espa
cial
●●●
10305
10367
10378
10420 10439
1047010480
1055910612
10653
10660
10681
10682
10684
10685
10690
10692
10698
10702
10703
10709
10710
10716
10728
10742
10743
10744
10745
10747
1074810749
10750
10753
10754
10755
10758
1075910762
1076410775
10868
10907
10908
10909
10910
1091510932
1093410940
10957
10960
10980
1100011002
11009
11015
11023
11027
11038
11042
11044
11047
1104811050
11052
11057
11058
11061
11066
11071
11074
11100
11118
1115211153
1121911238
11356
11358
11359
11360
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10682
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10742
10744
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Figura: Grá�co dispersión TMI nacional 2005-2009.Juan de Jesús Sandoval Introducción al Análisis Estadístico Espacial
IntroducciónConceptos Básicos de A E
Arquitectura GISRepresentaciones geométricas del AE
Medidas globalesEl Variograma
Un ejemplo
Moran I para las TMI
Tabla: Estimativo de la correlación espacial con el estadístico de Moran
Moran I Hipótesis est. dos colas
sample estimares:
deviance statistic Expec. Var Pr(> |t|)30.9407 0.5652 -0.00094 0.0003 2.2e-16
Juan de Jesús Sandoval Introducción al Análisis Estadístico Espacial
IntroducciónConceptos Básicos de A E
Arquitectura GISRepresentaciones geométricas del AE
Medidas globalesEl Variograma
Un ejemplo
El modelo
yij = β0 +n∑
i=1
βjXij + εij (4)
Donde yij es la TMI del año 2009 y Xij son las variables explicativas
del modelo linear, os valores βj son estimaciones de los efectos y εijes el error aleatorio, que en este caso tiene un supuesto de
distribución Gamma(α, θ).
Juan de Jesús Sandoval Introducción al Análisis Estadístico Espacial
IntroducciónConceptos Básicos de A E
Arquitectura GISRepresentaciones geométricas del AE
Medidas globalesEl Variograma
Un ejemplo
Modelo en R
El modelo tenía un mejor ajuste fue �nalmente con su notación en
R:
Modelo em R para TMI2009
modf=glm(TMI2009 �
dif+NBI+Miseria+dep-econ+coordx + coordy , data =espacial , family = Gamma(link = “log”))
Juan de Jesús Sandoval Introducción al Análisis Estadístico Espacial
IntroducciónConceptos Básicos de A E
Arquitectura GISRepresentaciones geométricas del AE
Medidas globalesEl Variograma
Un ejemplo
Resumen del modelo
Tabla: Resultados del modelo linear generalizado con residual de
distribución gamma
Estimate Std. Error t value Pr(> |t|)(Intercept) 4.1000 0.3311 12.38 0.0000
dif -0.0003 0.0038 -0.08 0.9340
NBI 0.0232 0.0009 24.87 0.0000
Miseria -0.0069 0.0015 -4.77 0.0000
dep_econ -0.0039 0.0010 -3.71 0.0002
coord_x 0.0178 0.0044 4.03 0.0001
coord_y -0.0237 0.0028 -8.41 0.0000
Juan de Jesús Sandoval Introducción al Análisis Estadístico Espacial
IntroducciónConceptos Básicos de A E
Arquitectura GISRepresentaciones geométricas del AE
Medidas globalesEl Variograma
Un ejemplo
análisis residual
3.0 3.5 4.0
−1.
0−
0.5
0.0
0.5
1.0
Predicted values
Res
idua
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Cook's distance
Residuals vs Leverage
10960
1106611153
Valores residuais
Residuos
Fre
quen
cy
−0.5 0.0 0.5 1.0
010
020
030
040
0
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−0.5 0.0 0.5 1.0
Valores residuais
Residuos
Figura: Grá�co residual del modelo ajustado.Juan de Jesús Sandoval Introducción al Análisis Estadístico Espacial
IntroducciónConceptos Básicos de A E
Arquitectura GISRepresentaciones geométricas del AE
Medidas globalesEl Variograma
Un ejemplo
Un ejemplo-variograma
En este caso (observe se la linea azul), Se ha hecho una modelación
de la varianza del modelo con la distribución exponencial �powered�,
es decir, modelo con distribución exponencial potencial, como sigue:
f (|x |) =
0 si x = 0
1− exp(|x |a
)αsi x 6= 0
Juan de Jesús Sandoval Introducción al Análisis Estadístico Espacial
IntroducciónConceptos Básicos de A E
Arquitectura GISRepresentaciones geométricas del AE
Medidas globalesEl Variograma
Un ejemplo
Un ejemplo-variograma
Figura: Resultados do semivariograma para o analise residual no
modelo linear generalizado ajustado.Juan de Jesús Sandoval Introducción al Análisis Estadístico Espacial
IntroducciónConceptos Básicos de A E
Arquitectura GISRepresentaciones geométricas del AE
Medidas globalesEl Variograma
Un ejemplo
Resultado del AE
Juan de Jesús Sandoval Introducción al Análisis Estadístico Espacial
IntroducciónConceptos Básicos de A E
Arquitectura GISRepresentaciones geométricas del AE
Medidas globalesEl Variograma
Un ejemplo
Seguimiento en el tiempo TMI
−80 −75 −70
−5
05
1015
Variação nas TMI
(9.46,27.6]
(27.6,38.8]
(38.8,52.9]
(52.9,74.1]
(74.1,117]
TMI Municipios da Colômbia 2005
−80 −75 −70
−5
05
1015
Variação nas TMI
(9.29,27.3]
(27.3,38.8]
(38.8,52.9]
(52.9,73.7]
(73.7,117]
TMI Municipios da Colômbia 2006
−80 −75 −70
−5
05
1015
Variação nas TMI
(8.92,26.9]
(26.9,38.6]
(38.6,52.4]
(52.4,72]
(72,111]
TMI Municipios da Colômbia 2007
−80 −75 −70
−5
05
1015
Variação nas TMI
(8.71,25.4]
(25.4,36]
(36,48.5]
(48.5,67.7]
(67.7,106]
TMI Municipios da Colômbia 2008
−80 −75 −70
−5
05
1015
Variação nas TMI
(8.49,24.9]
(24.9,35.1]
(35.1,47.2]
(47.2,66.8]
(66.8,106]
TMI Municipios da Colômbia 2009
Distribuição Espacial das TMI 2005−2009, municípios na Colômbia
Juan de Jesús Sandoval Introducción al Análisis Estadístico Espacial
IntroducciónConceptos Básicos de A E
Arquitectura GISRepresentaciones geométricas del AE
Medidas globalesEl Variograma
Un ejemplo
½MUCHAS GRACIAS!
Juan de Jesús Sandoval Introducción al Análisis Estadístico Espacial