Milene Andressa Mondek Apreçamento de Opções Utilizando o Método de Monte Carlo com Cobertura de Risco Dissertação de Mestrado Dissertação apresentada como requisito parcial para obtenção do título de Mestre pelo Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica da PUC-Rio. Orientador: Prof. Cristiano Augusto Coelho Fernandes Co-orientador: Prof. Jorge Passamani Zubelli Rio de Janeiro Outubro de 2012
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Milene Andressa Mondek
Apreçamento de Opções Utilizando o Método de Monte Carlo com Cobertura de Risco
Dissertação de Mestrado
Dissertação apresentada como requisito parcial para obtenção do título de Mestre pelo Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica da PUC-Rio.
Orientador: Prof. Cristiano Augusto Coelho Fernandes Co-orientador: Prof. Jorge Passamani Zubelli
Rio de Janeiro
Outubro de 2012
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Milene Andressa Mondek
Apreçamento de Opções Utilizando o Método de Monte Carlo com Cobertura de Risco
Dissertação apresentada como requisito parcial para obtenção do grau de Mestre pelo Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica do Departamento de Engenharia Elétrica do Centro Técnico Científico da PUC-Rio. Aprovada pela Comissão Examinadora abaixo assinada.
Prof. Cristiano Augusto Coelho Fernandes Orientador
Departamento de Engenharia Elétrica – PUC-Rio
Prof. Jorge Passamani ZubelliCo-Orientador
IMPA
Prof. Fernando Antonio Lucena Aiube Departamento de Engenharia Industrial
Prof. Edgardo Brigatti UFRJ
Prof. Paulo Henrique Soto da Costa UERJ
Prof. José Eugenio Leal Coordenador Setorial do Centro
Técnico Científico
Rio de Janeiro, 19 de outubro de 2012
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Todos os direitos reservados. Proibida a reproducao total ouparcial do trabalho sem autorizacao da universidade, do autore do orientador.
Milene Andressa MondekGraduou-se em Matematica Industrial pela Universidade Fe-deral do Parana. Durante este perıodo fez estagio no Departa-mento de Pesquisa da Petrobras, unidade Sao Mateus do Sul.Em 2010 iniciou Mestrado no IMPA (Instituto de MatematicaPura e Aplicada) em Matematica Computacional e Mode-lagem, transferindo este para o mestrado de Metodos de Apoioa decisao na PUC-Rio, Departamento de Engenharia Eletrica.Durante este perıodo participou do Grupo de Pesquisa deAnalise de Modelos Matematicos em Ciencias Aplicadas doIMPA.
Ficha CatalograficaMondek, Milene A.
Aprecamento de Opcoes Utilizando o Metodo de MonteCarlo com Cobertura de Risco / Milene Andressa Mondek; ori-entador: Cristiano Augusto Coelho Fernandes; co–orientador:Jorge Passamani Zubelli. — Rio de Janeiro : PUC-Rio, De-partamento de Engenharia Eletrica, 2012.
v., 85 f: il. ; 29,7 cm
1. Dissertacao (Mestrado em Metodos de Apoio a De-cisao) - Pontifıcia Universidade Catolica do Rio de Janeiro,Departamento de Engenharia Eletrica.
Inclui referencias bibliograficas.
1. Engenharia Eletrica – Tese. 2. Aprecamento de Deriv-ativos. 3. Metodo de Monte Carlo. 4. Cobertura de Risco.5. GARCH. 6. Movimento Browniano Geometrico. 7. Movi-mento Browninano Geometrico com Saltos. 8. Mercados In-completos. 9. Medida Historica. I. Fernandes, Cristiano Au-gusto Coelho. II. Zubelli, Jorge Passamani. III. Pontifıcia Uni-versidade Catolica do Rio de Janeiro. Departamento de En-genharia Eletrica. IV. Tıtulo.
CDD: 510
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Dedico esta dissertacao a minha famılia, amigos, colegas de trabalho eorientadores pelo apoio, forca, incentivo, companheirismo e amizade. Sem
eles nada disso seria possıvel.
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Agradecimentos
Ao Professor Jorge Zubelli, que acompanha minha trajetoria ha longa
data e com quem muito aprendi muito mais que apenas sobre matematica
e financas. Uma pessoa com um grande coracao, sempre disposto a ajudar,
indicando-me o caminho correto e sempre me lembrando de nao me perder nas
diversas ideias que surgiram durante o processo de construcao deste trabalho.
Obrigada por tudo, sou muito grata em te-lo como meu orientador.
Ao meu orientador Cristiano Fernandes, pela orientacao, dicas e de-
dicacao, sempre fornecendo comentarios e sugestoes para a melhoria da qua-
lidade do conteudo e da redacao deste trabalho.
Ao meus pais, sem voces nao teria conseguido chegar onde cheguei.
Obrigada por todo amor, confianca e incentivo. Um agradecimento especial
a minha mae por ser um exemplo de vida, perseveranca e dedicacao.
Aos meus irmaos, Michele Mondek e Marino Mondek, que sempre se
orgulharam de mim e confiaram em meu trabalho.
Ao meu amigo Luca Mertens, alguem que confio incondicionalmente.
Que mesmo distante continua sempre presente na minha vida, me guiando e
incentivando. Obrigada pelas conversas, pela paciencia e por sempre acreditar
em mim. Sou grata e orgulhosa em te-lo como amigo.
Aos meus amigos Conrado da Costa, Michael Deustsch, Rafael de Araujo,
Ulisses Lacerda, Carolina Cardoso, Ana Beatriz Mattos, Andrea Alzuguir e
Luciana Schmid. Alguns sao de longa data, outros mais recentes, mas a todos
tenho a mesma gratidao pelo companherismo e momentos que passamos juntos.
As teorias mais avancadas de financas nao conseguiriam estimar o valor de
voces.
Ao professor Luiz Matioli, mesmo longe uma pessoa que sempre pude
contar e a quem sou eternamente grata pela confianca e incentivo. Voce e um
dos responsaveis por eu estar onde estou e pela pessoa que me tornei.
Ao Alexandre Street, uma pessoa maravilhosa que considero muito mais
que um professor. Obrigada pelas conversas, incentivos e risadas.
Aos colegas do LAMCA pelos momentos compartilhados e aprendizado
divido. Um agradecimento especial ao Max Souza e ao Ewan Mackie por sempre
estarem dispostos a me ajudar no que fosse preciso.
A todos os demais amigos e amigas que, indiretamente, estiveram parti-
cipando comigo desta jornada, meus sinceros agradecimentos. Sem voces, nao
tenho duvida, o caminho teria sido muito mais arduo.
Agradeco, finalmente, a Petrobras pelo apoio financeiro durante o desen-
volvimento do meu projeto de mestrado.
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E do buscar e nao do achar que nasce o queeu nao conhecia.
Clarice Lispector.
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Resumo
Mondek, Milene A.; Fernandes, Cristiano Augusto Coelho (Orientador); Zubelli, Jorge Passamani (Co-orientador). Apreçamento de Opções Utilizando o Método de Monte Carlo com Cobertura de Risco. Rio de Janeiro, 2012. 85p. Dissertação de Mestrado - Departamento de Engenharia Elétrica, Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro.
Palavras-chaveApreçamento de Derivativos; Método de Monte Carlo; Cobertura de Risco;
GARCH; Movimento Browniano Geométrico; Movimento Browninano Geométrico
com Saltos; Mercados Incompletos; Medida Histórica.
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Abstract
Mondek, Milene A.; Fernandes, Cristiano Augusto Coelho (Advisor); Zubelli, Jorge Passamani (Co-adivsor). Pricing Options Using the Hedged Monte Carlo Method. Rio de Janeiro, 2012. 85p. MSc Dissertation – Departamento de Engenharia Elétrica, Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro.
KeywordsPricing of Derivatives; Monte Carlo Method; Hedge; GARCH; Geometric
Brownian Motion; Geometrics Brownian Motion with Jumps; Incomplete
⎞⎠Logo o Problema (3-15) pode ser aproximado pelo seguinte problema de
otimização
minx
‖Ax− b‖2 (3-20)
ou seja, é um problema de mínimos quadrados. O qual possui uma solução analítica
e conhecida. Ver [16].
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Apreçamento de Opções através do MétodoHMC
Nesta seção analisaremos os resultados do apreçamento de opções utilizando
o modelo de HMC. Relembrando que utilizamos como modelos para o ativo sub-
jacente o Movimento Browniano Geométrico (MBG), Movimentos Browniano Ge-
ométrico com Saltos (MBGS) e GARCH(1,1).
Para o subespaço do preço da opção e Ct escolhemos como base os polinômio
{1, St, S2t } e para o subespaço de φt a base escolhida foi {1, St}, sendo St o preço
do ativo subjacente no tempo t.
Os ativos subjacentes escolhidos foram o Ibovespa (IBOV11) e Vale PN
(Vale5), ambos negociados na Bolsa Brasileira BM&FBovespa. Para realizar as
estimações, utilizamos dados diários do período de 01/01/2009 à 08/08/2012.1
Nas Figuras 4.1(a) e 4.1(b) temos, respectivamente, os gráficos da série de
preços e dos log-retornos do Ibovespa e na Tabela 4.1 apresentamos algumas es-
tatísticas do log-retorno desta série de preços. Da mesma forma, nas Figuras 4.2(a)
e 4.2(b) temos, respectivamente, a série de preços e dos log-retornos da ação Vale5
e na tabela 4.2 algumas estatística do log-retorno desta série.
As linhas vermelhas presentes nos Gráfico 4.1(b) e 4.2(b) representam os in-
tervalos utilizados para a separação dos saltos ocorridos na série. Consultar Seção
2.2.2.
Já nas Figuras 4.3(a) e 4.3(b) encontram-se a FAC (Função de Autocorrelção
Amostral) do log-retorno e log-retorno ao quadrado do Ibovespa. Nas figuras 4.4(a)
e 4.4(b) FAC do log retorno e log retorno ao quadrado da Vale5.
Para ambos os ativos encontramos o mesmo comportamento das FACs: au-
tocorrelações estatísticamente não significativas para o log-retorno enquanto existe
autocorrelação estatísticamente significante para o log-retorno ao quadrado, indi-
cando dependência temporal da variância do log retorno. Sendo estas característi-
cas típicas dos ativos financeiros. Esses resultados mostram que o Garch(1,1) é uma
boa escolha como modelo para o ativo subjacente.
1 Foram feitas algumas análises com dados anteriores a janeiro de 2009, e percebemos uma quebra
de estrutura das séries, por isto a escolha desta data de início da série temporal.
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(a) Série de Preços Ibovespa
(b) Log Retorno Ibovespa
Fig. 4.1: Gráficos da série de preço e do log-retorno do ativo IBOV11. No Gráfico (b),μ = 5.42578 ∗ 10−4 e σ = 0.0159.
Retorno
Média 0.0004 Curtose 5.0357
Desvio Padrão 0.0159 Percentil 1% -0.0407
Máximo 0.0638 Percentil 5% -0.0254
Mínimo -0.0843 Percentil 10% -0.0186
Mediana 0.0007 Percentil 90% 0.0190
Moda 0 Percentil 95% 0.0261
Assimetria -0.0968 Percentil 99% 0.0440
Tab. 4.1: Estatísticas do Log Retorno do Ibovespa.
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(a) Série de Preços Vale PN
(b) Log Retorno Vale PN
Fig. 4.2: Gráficos da série de preços e do log-retorno do ativo Vale5. No Gráfico (b), μ =5.8768 ∗ 10−4 e σ = 0.0202.
Retorno
Média 0.0004 Curtose 5.5838
Desvio Padrão 0.0202 Percentil 1% -0.0528
Máximo 0.0925 Percentil 5% -0.0304
Mínimo -0.0962 Percentil 10% -0.0226
Mediana 0.0002 Percentil 90% 0.0233
Moda 0 Percentil 95% 0.0317
Assimetria 0.1224 Percentil 99% 0.0604
Tab. 4.2: Estatísticas do log-retorno do ativo Vale5.
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(a)
(b)
Fig. 4.3: FAC do log-retorno e log-retorno ao quadrado do IBOV11.
(a)
(b)
Fig. 4.4: FAC do log-retorno e log-retorno ao quadrado da ação Vale5.
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4.1 Comparação com Black-Scholes
Antes da comparação dos diferentes modelos, realizamos a comparação do
método HMC com o Black-Scholes. Para isto supomos que o preço do ativo subja-
cente segue o Movimento Browniano Geométrico (MBG).
Realizamos 500 simulações de Monte Carlo, cada uma com 5000 cenários
e através do método HMC, apreçamos para o Ibovespa uma opção americana de
compra2 e para Vale 5, uma opção europeia de venda.
Nas Figuras 4.5 e 4.6 apresentamos os respectivos histogramas dos preços
simulados pelo HMC. Em ambas o algoritmo encontrou o valor calculado pelo
Black-Scholes, com uma estimativa de erro relativo máximo de 0, 37%. De fato,
observe o desvio padrão em ambas a situações é relativamente baixo, sendo de
0, 063 para a opção da Ibovespa e de 0, 057 para a opção da Vale3.
Portanto, verificamos que, no caso do modelo do preço do ativo subjacente
ser o MBG, o HMC de fato reproduz os habituais resultados de Black-Scholes,
como deveria. Este resultado permite-nos extender este método para outros tipos de
processos estocásticos para o ativo subjacente e outros tipos de opções.
Fig. 4.5: Histograma do preço atual da opção americana de compra do IBOV11 com venci-mento em 10 dias, taxa livre de risco de 7% a.a., valor de exercício sendo R$57, 00.
2 No caso de opção de compra americana sem dividendos, como demonstrado em [17], o preço
de uma opção americana é equivalente ao preço da mesma opção do tipo europeia, por isto podemos
realizar esta comparação com o modelo de Black-Scholes utilizando este tipo de opção.3 É importante observar que o erro calculado depende da variação do tempo (Δt), a base escolhida
para os subespaços, a amostra tomada, o preço de exercício (K), tempo de expiração e S0.
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Fig. 4.6: Histograma do preço da opção europeia de venda da Vale5 com vencimento em20 dias, taxa livre de risco de 7% a.a. e valor de exercício de R$ 46, 00.
4.2 Diferentes Modelos para o Ativo Subjacentes
Como indicado anteriormente, o objetivo desta dissertação é analisar o efeito
que a utilização de diferentes modelos para o ativo subjacente tem sobre o preço da
opção simulado pelo método de HMC.
Na Figura 4.7, vemos o gráfico do preço de uma opção europeia da Vale 5
como função do preço do ativo subjacente no tempo t0, ou seja, em função de S0.
Na Figura 4.8 vemos o gráfico do preço de uma opção americana de compra da
Vale5 em função do diferentes preços de exercício (K) e em 4.9 o gráfico do preço
da opção europeia de compra do Ibovespa em função do tempo de expiração.
Fig. 4.7: Opção americana de venda da ação Vale5 com preço de exercício de R$ 40, 64,taxa livre de risco de 7% a.a., tempo de exercício de 10 dias e considerando dife-rentes valores de S0.
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Analisando estes gráficos, vemos que o preço simulado pelo HMC, apesar
de ter alguns intervalos com preços aproximados para os três modelos, apresenta
resultados onde o preço da opção difere de maneira significativa, ou seja, que a
função que nos dá o preço da opção é diferente para cada modelo.
Estes resultados estão também presentes nas Tabelas 4.3, 4.4 e 4.5, onde apre-
sentamos as estatísticas do valor da opção dos gráficos 4.7, 4.8 e 4.9, respectiva-
mente. Analisando os percentis, vemos que apesar de alguns serem iguais, em
outros pontos encontramos percentis diferentes para os três modelos.
Observamos nos três exemplos que o preço da opção quando utilizamos MBG
é menor que o preço da opção quando utilizamos MBGS e GARCH. Acreditamos
isto ser consequência do fato de que, ao utilizarmos MBGS e GARCH, não estarmos
mais sob a hipótese de mercado completo, desta forma não conseguimos realizar a
cobertura total do risco, o que resulta na existência de um Prêmio de Risco4. Valor
este que é adicionado ao valor da opção.
Fig. 4.8: Opção americana de compra da ação Vale5 com S0 de R$ 55, 00, taxa livre derisco de 7% a.a., tempo de exercício de 12 dias e considerando diferentes preçosde exercício.
4 É o retorno adicional que os investidores desejam obter para aceitar correr determinado grau de
risco. Quanto maior for o risco, maior será o prêmio. Para mais informações, consultar [18].
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Fig. 4.9: Opção europeia de compra do Ibovespa com S0 de R$ 60.36, preço de exercíciode R$ 60.83, taxa livre de risco de 7% a.a. e diferentes tempos de expiração.
GARCH MGBS MBG
Média 3.37 3.31 3.24
Variância 4.07 4.10 4.15
Máximo 12.84 12.84 12.84
Mínimo 0 0 0
Percentil 1% 0 0 0
Percentil 5% 0 0 0
Percentil 10% 0 0 0
Percentil 20% 0.01 0 0
Percentil 30% 0.07 0.01 0
Percentil 40% 0.33 0.17 0.004
Percentil 50% 1.05 0.81 0.38
Percentil 60% 2.81 2.68 2.59
Percentil 70% 5.16 5.16 5.16
Percentil 80% 7.73 7.73 7.73
Percentil 90% 10.30 10.30 10.30
Percentil 95% 11.58 11.58 11.58
Percentil 99% 12.61 12.61 12.61
Tab. 4.3: Tabela de estatísticas do valor da opção americana de venda da ação Vale5 compreço de exercício de R$ 40, 64, taxa livre de risco de 7% a.a. e tempo de exercíciode 10 dias, considerando diferentes valores de S0.
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GARCH MGBS MBG
Média 3.10 3.00 2.91
Variância 3.38 3.42 3.48
Máximo 10.70 10.70 10.70
Mínimo 0 0 0
Percentil 1% 0.01 0 0
Percentil 5% 0.02 0 0
Percentil 10% 0.03 0 0
Percentil 20% 0.09 0.02 0
Percentil 30% 0.22 0.10 0.01
Percentil 40% 0.68 0.42 0.10
Percentil 50% 1.56 1.30 0.92
Percentil 60% 2.99 2.85 2.73
Percentil 70% 4.80 4.74 4.73
Percentil 80% 6.73 6.73 6.73
Percentil 90% 8.73 8.73 8.73
Percentil 95% 9.73 9.73 9.73
Percentil 99% 10.53 10.53 10.53
Tab. 4.4: Tabela de estatísticas do valor da opção americana de compra da ação Vale5 comS0 de R$ 40.64, taxa livre de risco de 7% a.a., tempo de exercício de 12 dias econsiderando diferentes preços de exercício.
GARCH MGBS MBG
Média 0.29 0.16 0.05
Variância 0.23 0.14 0.07
Máximo 0.73 0.44 0.22
Mínimo 0 0 0
Percentil 1% 0 0 0
Percentil 5% 0.01 0 0
Percentil 10% 0.04 0 0
Percentil 20% 1.06 0.01 0
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Percentil 30% 0.10 0.03 0
Percentil 40% 0.18 0.07 0
Percentil 50% 0.26 0.12 0.01
Percentil 60% 0.36 0.18 0.03
Percentil 70% 0.46 0.24 0.07
Percentil 80% 0.55 0.31 0.11
Percentil 90% 0.64 0.38 0.16
Percentil 95% 0.69 0.41 0.19
Percentil 99% 0.73 0.44 0.22
Tab. 4.5: Tabela de estatísticas do valor, para diferentes tempos de expiração, da opçãoeuropeia de compra do Ibovespa com S0 de R$ 60.36, preço de exercício de R$60.83, taxa livre de risco de 7% a.a. e considerando diferentes tempos de exercí-cio.
Nas Figuras 4.10, 4.11 e 4.12 apresentamos a diferença do preço calculado pelo
HMC com o preço calculado pelo Black-Scholes. O erro quadratico máximo esti-
mado foi de 0.000135. Assim, como esperado, a diferença entre o preço simulado
pelo HMC com MBG e o preço de Black-Scholes são muito próximos.
Fig. 4.10: Diferença do preço de Black-Scholes e do HMC para uma opção americana decompra do Ibovespa com S0 de R$ 55, 00, taxa livre de risco de 7% a.a. e tempode expiração de 30 dias. Intensidade λ do MBGS igual a 1.
5 Erro quadrático é dado por E(X,Y ) = (X − Y )2
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Na Figura 4.10 temos o diferença do preço da opção simulado pelo HMC com
o preço de Black-Scholes em função do preço de exercício e com intensidade λ = 1
no processo MBGS. Já na Figura 4.11 temos a mesma diferença em função do preço
de exercício, mas com intensidade λ = 5 no processo MBGS. Ao compararmos
essas figuras, vemos que quanto mais saltos maior a diferença entre o preço da
opção com o preço de Black-Scholes, resultado condizendo com o encontrado na
literatura: quanto mais saltos, maior o Prêmio de Risco.
Da mesma forma, ao considerar a volatilidade estocástica, ou seja, o modelo
GARCH, o preço simulado pela HMC foi maior que do preço do Black-Scholes,
com erro quadratico estimado de 0, 1924.
Fig. 4.11: Diferença do preço de Black-Scholes e do HMC para uma opção americana decompra do Ibovespa com S0 de R$ 55, 00, taxa livre de risco de 7% a.a. e tempode expiração de 30 dias; Intensidade λ do MBGS igual a 5.
Na Figura 4.13 temos o histograma de uma opção americana de compra do
ativo Vale5 para 500 simulações de Monte Carlo, cada uma com 5000 cenários.
Vemos que a distribuição amostral simulada para cada modelo é diferente. Para
comprovar este resultado utilizamos o teste de Kolmogorov-Smirnov, que compara
a distribuição amostral de dois vetores de dados, onde a hipótese nula é que os dois
vetores seguem a mesma distribuição. 6
Os resultados deste teste encontram-se na Tabela 4.6, mostrando o que já era
esperado: as distribuições amostrais do preço da opção gerada quando utilizamos
HMC são distintas para os diferentes modelos do ativo subjacentes. Portanto, a
escolha do modelo afeta o resultado do valor da opção calculado pelo HMC.
6 Para mais informações sobre este teste consultar [6].
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Fig. 4.12: Diferença do preço de Black-Scholes e do HMC para uma opção americana decompra do Ibovespa com preço de exercício de R$ 40, 64, taxa livre de risco de7% a.a. e tempo de expiração de 30 dias.
Fig. 4.13: Histograma para os diferentes modelos do ativo subjacente de uma opção amer-icana de compra do ativo Vale5 com S0 sendo R$ 40, 00, preço de exercício deR$ 45, 00, tempo de expiração de 40 dias e taxa livre de risco de 7% a.a.
MGB MGBS
KS KS
MGBS 0.931 (0.005) -
GARCH 0.986 (0.008) 1.0 (0.003)
Tab. 4.6: Teste Kolmogorov-Smirnov para compararmos distribuição amostral para 500simulações de Monte Carlo do preço de uma opção americana de compra doativo Vale5 com S0 sendo R$ 40, 00, preço de exercício de R$ 45, 00, tempo deexpiração de 40 dias e taxa livre de risco de 7% a.a.
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5Conclusões
A escolha do modelo a ser utilizado para o apreçamento de derivativos é um
fator muito importante em finanças quantitivas. Apesar dos modelos analíticos exis-
tentes calcularem o valor exato do preço do derivativo, limitam muito o número
de derivativos que podem ser apreçados, pois fazem hipóteses muito restritivas no
modelo do ativo subjacente. Nesta dissertação utilizamos como método alternativo
para apreçamento de derivativos o Método de Cobertura de Risco (HMC), o qual
pertence a classe de Métodos de Monte Carlo.
Sob a suposição de que os preços do ativo subjacente seguem o Movimento
Browniano Geométrico, comparamos o preço de opções européias simulados pelo
HMC com os preços obtidos via Black-Scholes. Os resultados encontrados foram
similares aqueles reportados em [5], ou seja, o HMC reproduz os preços obtidos via
Black-Scholes, com um erro relativo máximo estimado de 0, 37%1.
O próximo passo da nossa investigação consistiu na análise dos preços si-
mulados pelo HMC para diferentes modelos para o preço do ativo subjacente,
nomeadamente modelos GARCH, Movimento Browniano Geométrico com Saltos
e Movimento Browniano Geométrico. Com isto, nosso objetivo foi analisar o efeito
da escolha de diferentes modelos para o ativo subjacente no preço da opção sim-
ulada por HMC. Os resultados da nossa análise indicam que a escolha do modelo
afeta o preço simulado da opção via HMC.
Em particular, os preços obtidos quando utilizamos GARCH e MBGS foram
maiores do que quando utilizamos MBG e por consequência, maiores que o cal-
culado por Black-Scholes. Este resultado já era esperado, pois ao considerar esses
modelos (GARCH e MBGS) não temos mais a hipótese de completude do mercado,
ou seja, não é possível fazer a cobertura total do risco, gerando um prêmio de risco,
valor este que é incorporado ao preço da opção.
Um outro resultado encontrado foi, que ao se aumentar a intensidade dos
saltos no MBGS, maior torna-se o preço encontrado para a opção. Este resultado
também pode ser explicado a partir do efeito do prêmio de risco: quanto mais saltos
no preço do ativo subjacente, maior o prêmio de risco, e portanto maior o valor da
opção.
1 É importante observar que o erro calculado depende da variação do tempo (Δt), a base escolhida
para os subespaços, a amostra tomada, o preço de exercício (K), tempo de expiração e S0.
DBD
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 1121527/CA
DBD
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 1121527/CB
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Como o foco deste trabalho foi fazer uma análise do efeito da utilização de
diferentes modelos para o ativo subjacente no preço simulado por HMC, não nos
preocupamos em analisar qual o modelo mais apropriado para a opção apreçada.
Para isto é necessário um estudo comparativo com os preços apresentados pelo mer-
cado, e deixamos isto como indicação para trabalhos futuros.
Deixamos também como sugestão de trabalhos futuros a análise do método
HMC para diferentes medidas de risco convexas, como por exemplo CVaR2.