Miguel Cabrerizo, 2003 . Foucault’s Pendulum and Gyroscope. The other Pendulums Miguel Cabrerizo, 2003 Departamento Física Aplicada, Universidad.

Miguel Cabrerizo, 2003

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Foucault’s Pendulum and Gyroscope. The other Pendulums

Miguel Cabrerizo, 2003

Departamento Física Aplicada, Universidad de Granada. [email protected]

Introduction

With this new collection of experiments, I hope to be able to acknowledge the confidence and consideration that you have always shown to me and to my work.

In the collection, I show you, first of all, my experience with Foucault’s pendulums, of which I have built quite a few in the last years. I also present my experiments with an equipment suited for the study of motion in non-inertial reference frames, which I learnt from my colleagues of the Polish delegation in CERN, Geneve. This system is, in my opinion, particularly useful for the visualization of the gyroscopic motion, to which Foucault contributed so significantly. I also point out the technological interest of that motion.

Under the subtitle “THE OTHERS” (pendulums) I have grouped a number of pendulums and oscillators very easy to set up, and that are good examples of physical phenomena as important as resonance, coupled oscillations, energy conservation, rotational dynamics, and so on.

I conclude this collection with a model of “O Botafumeiro”, a giant incenser hanging from the transept of the cathedral of Santiago de Compostela, in Spain. This enormous pendulum is periodically pumped by six “Tiraboleiros” pulling and releasing the suspending rope at precise moments of the trajectory, thus making it gain energy and amplitude of oscillation.

Many people have made possible “Física en Acción” and “Physics on Stage”, led by Rosa María Ros and Wubbo Ockels, respectively. I hereby express my deepest gratitude to both of them, and I hope that they will extend this acknowledgement to their team members.

Miguel Cabrerizo

Foucault’s PendulumPHYSICAL PRINCIPLE

Motion in non-inertial reference frames

EXPERIMENTAL

Materials: A pendulum, a rotating platform with TV camera, and TV monitor.

Methodology: Set the pendulum to oscillate while the platform rotates. Compare your observation of the pendulum’s oscillations with the TV image captured by the rotating camera.

EXPLANATION

You are very approximately in an inertial frame of reference and hence you observe a plane oscillation; the TV camera is a manifestly non-inertial observer, because of its rotational (accelerated) motion. The trajectory seen on the TV monitor can be extremely different to that observed directly by you.

Foucault’s pendulum in Granada Science Park

It was set up in may 1995. The bob is made of serpentine marble and weighes 29 kg. The steel suspending cable is 6 mm in diameter and 13 m long. In order to keep the pendulum oscillating and compensate for friction, every quarter of period a piece of iron attached to the cable is attracted by a ring electromagnet. The exact moment in which the electromagnet is powered and the duration of the current through it is controlled by a programmable logic controler (plc) that captured the signal asssociated to the passage of the cable through a set of two crossed photogates.

The apparent (for an observer on earth) rotation of the plane of oscilation is visualized by means of a set of cilindrical sticks that the pendulum tips as it oscillates in differents planes. The cilinders are placed on a wooden platform with a nice rose of winds illustration.

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Foucault’s pendulum in the Science School of the University of Granada

It was set up in Chrismas 2001. Its bob is a sphere made of polished stainless steel with lead inside. The bob weighes 120 kg. The suspension cable is 18.3 m long and 4 mm thick.

The control mechanism is very similar to the one installed in the Science Park. The mechanism is mounted on a supertructure located over the ceiling skylights. The bob oscillates above a platform where a graduated angular scale allows to determine the orientation of the orbit, and its evolution with time. In Granada, the angular velocity of the oscillation place it about 9º/h

The Centennial Foucault’s pendulum

It was built in July of 2003 on the occasion of the 1st centennial of the Spanish Royal Physical Society. It has been designed to be portable, its different sections amounting to a total 7 m height.

This pendulum allows an lasy measurement of the apparent angular velocity of the oscillation plane. A mirrored surface sourronds the graduated circular scale with that aim: place yourself in the plane and facing the bob; observe its motion and find the image of the cable reflected on the mirror; the parallax error can be minimized if you move slightly left and right until the image of the cable when it come towards you coincides with that when goes away. The correspondig angle and the time of the observation must be recorder during a certain time, and you will finally get the latitude of the place.

Foucault’s gyroscope

PHYSICAL PRINCIPLE

Description of motion by non-inertial observers

EXPERIMENTAL

Materials: A gyroscope, a rotating platform with a TV camera, and a TV monitor.

Methodology: Compare your observations (in the approximatelly inercial reference frame of the lab) of the position of the gyroscope axis with therein the TV monitor.

EXPLANATION

You are an inertial observer: the axis of the gyroscope showed not change, as it is not subjected to any external torque. The TV camera is rotating, and thus it is in a non-inertial frame: The TV image of the gyroscope tip does change with time.

(PENDULUMS)

Miguel Cabrerizo Vílchez

The “Nosecracker”PHYSICAL PRINCIPLE

Energy conservations. Friction

EXPERIMENTAL

Materials: A heavy object hanging from a rope.

Methodology: The rope is tied to a hook or beam in the ceiling of the lab. A person will be seated close to one of the extremes of the orbit of the object when it is set into oscillation. The motion will start from the nose of the person and away from it. Release the object and let swing away from the subject and return to him. With a bit of cold bled, the person will be hurt.

EXPLANATION

The object can only lose energy because of friction, and so it will remain further from the subject’s noise the larger the number of oscillations.

Pieces of a ringPHYSICAL PRINCIPLE Oscilations of a physical pendulum. Moment of inertiaEXPERIMENTALMaterials: A complete metal ring, 50 cm in diameter, and two ring fractions measuring 1/3 and 2/3 of the full ring. A rod for suspending the rings. Methodology: Hang the ring and the two portions in the rod and make the three of the oscillate. Observe that they all oscillate with the same period. EXPLANATIONThe period of the pendulum is given by T=2(I/mgL)1/2; here I is the moment of inertia of each object with respect to an axis coinciding with the suspension rod, m is the mass and L is the distance between the point of suspension and the center of mass. It so happens that I/mL is identical (=2R) for the three objects.

Sand pendulum

PHYSICAL PRINCIPLE

Superposition of oscillations.

EXPERIMENTAL

Materials: The pendulum bob is a funnel filled with fine sand, and a tray.

Methodology: Fill the funned with sand and make it oscillating. Not how the elliptical trajectories get wider and wider until the pendulum finally inverts its direction of rotation around the ellipses. EXPLANATION

To the pendular oscillation a torsion oscillation of the cable is superimposed. There exist similar pendulums where a v-shaped cable allows visualization of Lissajous figures.

PHYSICAL PRINCIPLE

Resonance.

EXPERIMENTAL

Materials: Two candles, two barbecue rods, a cork and two glasses.

Methodology: Insert the rods in the cork and in a candle each. The whole setup is placed on two glasses and equilibrated. Then the candles are ligthed and an oscillation is observed as wax is melted and falls from the candles. EXPLANATION

When the drop of wax falls on the table, the system loses equilibrium, and it bends towards the side of the heaviest candle. This favors melting of more wax in this side, so wax fall from it and the candle inclines towards the opposite side. This feeds up the oscillation in a sort of resonance phenomenon.

The spirit of the candles

Coupled oscillatorsPHYSICAL PRINCIPLECoupled oscillatory motion.EXPERIMENTALMaterials: Two spheres, two springs and a chainMethodology: Each sphere is hanging from one spring, and the chain is connecting them. Depending on how the vertical motion of the spheres is started, different types of oscillation are observed: Symmetrical oscillations if both are initially displaced in the same direction and by the same amount; antisymmetric oscillations, if they are displaced in opposite directions; beats can be observed if one is displaced while the other is kept fixed and then released. EXPLANATIONA system of two oscillations as this proposed here has two degrees of freedom and hence two normal modes. The exchange of energy from one oscillation to the other is made possible by means of the connecting chain.

Coupled pendulums

PHYSICAL PRINCIPLE Coupled oscillationsEXPERIMENTALMaterials: Two pendulums and a string. Methodology: The pendulums (of identical lengths and masses) are suspended from the string, which is stretched horizontally. Depending on the initial conditions, simmetrical, antisimmetrical and beaating oscillations can be osbserved.EXPLANATIONThe two pendulums: when one of them oscillates, its slightly displaced the strings that thus transmits the motions to the other pendulum since this is of thesame length, it will oscillated with the same frequecy at the first one.

The Wilbreforce pendulumPHYSICAL PRINCIPLE

Coupling of torsion and displacement oscilators

EXPERIMENTAL

Material: A heavy cylinder and a suitable spring.

Methodoly: The cylinder-spring pair must be properly chosen, so that the periods of translation and torsion oscillations are as close as possible. Then all we need is starting with a vertical displacement of the cylindrical bob. We will observe how the displacement oscillations progresively reduce its amplitude while a torsion oscillation appears. The exchange between the two modes continues until all energy is lost by friction.

EXPLANATION

When a vertical spring is streched, it is simultaneously twist. The resulting force has both vertical and tangential components, so vertical displacement and rotational oscillations are necessarily linked.

Magnetically coupled pendulums

PHYSICAL PRINCIPLE

Magnetically coupling

EXPERIMENTAL

Materials: Two magnetic masses, two springs, two coils.

Methodology: Make the magnets oscillate inside the coils.

EXPLANATION

In each oscillation of the magnet in the coil, an electric courrent is induced in it. This courrent provokes the motion of the magnet in the sencond coil. Both magnets will be oscillating synchronouslly before coming to a definitive stop.

Parametric péndulo Model of “O Botafumeiro”

PHYSICAL PRINCIPLEParametric pendulumEXPERIMENTALMaterials: A 1:20 model of “O Botafumeiro” existing in the Cathedral of Santiago de Compostela in Spain. The original piece is in fact a giant censer that is made to oscillate all along the transept of the cathedral during special celebrations. Our model is automatically controlled by a servomechanism that detects the low passage of the oscillating mass thanks to a hall sensor. Methodology: Is sufficient to slightly separate the bob from the vertical for the “operators” to starting their job: They pull from the string when the pendulum is in the lowest point of its trajectory, and release it when it id in each of the extremes. EXPLANATIONSee the Figure. When we pull the rope in the lowest position, we increase the potential energy of the pendulum by an amount mg L, (L is the shutering BC or B’C’ of the radius). When we release at an angle the energy returned is only LmgcosThus there is a net positive energy balance of Lmg(1-cos every half period. This more than compensates frictions and the amplitud of the oscillation increases with time.

To be continued…

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El péndulo y el giroscopio de Foucault. Los otros péndulos.

Miguel Cabrerizo, 2003

Departamento Física Aplicada, Universidad de Granada. [email protected]

Introducción

Con esta recopilación de experimentos, quiero corresponder a la consideración que habéis tenido siempre conmigo y con mi trabajo.En ella os presento, por una parte, mi experiencia con los péndulos de Foucault; cómo observaréis, son varios los que he construido a lo largo de los últimos años, así como un equipo para el estudio de los sistemas de referencia no inerciales, que aprendí de los colegas de la delegación polaca en el CERN en Ginebra. Este sistema, es en mi opinión, especialmente útil a la hora de visualizar el movimiento del giroscopio, a cuyo desarrollo contribuyó Foucault muy significativemente y que presenta tanto interés desde el punto de vista tecnológico.Bajo el subtítulo “LOS OTROS péndulos” he agrupado un conjunto de péndulos y osciladores muy fáciles de realizar y que constituyen ejemplos de fenómenos y principios físicos tan importantes como la resonancia, el acoplamento de osciladores, la conservación de la energía, la dinámica de la rotación, etc. Concluyo esta colección con un modelo a escala del Botafumeiro, incensario gigante que cuelga en el transepto de la catedral de Santiago de Compostela, y que es ciclicamente bombeado por seis tiraboleiros tirando de la cuerda que lo soporta.Son muchas las personas que hacen posible “Física en Acción” y “Physics on Stage”, capitaneadas respectivamente por Rosa María Ros y Wubbo Ockels. Desde aquí mi más sincera gratitud y reconocimiento, que confío harán extensivo a sus equipos.

Miguel Cabrerizo

El péndulo de Foucault

PRINCIPIO FÍSICO

Sistemas de referencia no inerciales

EXPERIMENTO

Materiales

Un péndulo, una plataforma giratoria con una cámara de TV y un monitor

Realización

Coloque el péndulo sobre la plataforma. En el monitor, el plano de oscilación del péndulo parece que cambia de dirección, cuando visto desde el laboratorio no es así.

EXPLICACIÓN

El observador ve cómo el plano de oscilación permanece constante, mientras que la imagen de TV, vista en el monitor, corresponde a un observador no inercial.

El péndulo de Foucault del Parque de las Ciencias de Granada

Instalado en mayo de 1995, la esfera es de mármol serpentina de 29 Kg. de peso y el cable, de acero antitorsión de 6 mm y 13 m de longitud.

Cada cuarto de oscilación, un trozo de hierro ensartado en el cable es atraído por un electroimán anular. El momento exacto del disparo del electroimán y su duración lo determina un controlador de lógica programable (plc) que recibe la señal de sincronismo cuando el cable del propio péndulo cruza por un conjunto de dos fotopuertas cruzadas.

Para visualizar el giro aparente del plano de oscilación, en el suelo se ha preparado una tarima que tiene una rosa de los vientos grabada, y unos testigos cilíndricos que el péndulo va volcando conforme trascurre el tiempo

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El péndulo de Foucault de la Facultad de Ciencias de Granada

Instalado en la Navidad de 2001, tiene una esfera de acero inoxidable pulido, rellena de plomo con un peso de 120 Kg., un cable de acero inoxidable de 4 mm y 18.3 m de longitud.

El mecanismo, es similar al del Parque de las Ciencias. Esta montado en una superestructura sobre las claraboyas de la terraza del edificio de Física.

Este péndulo dispone de una escala graduada que permite medir la velocidad de giro aparente del plano de oscilación.

Recuerde que la velocidad aparente de giro del plano de oscilación es ω = ω0 sen λ, donde ω0 es la velocidad de rotación de la Tierra (15 º /h) y λ la latitud del lugar. En España, la velocidad de giro del plano de oscilación es de 9 º/h aproximadamente.

El péndulo de Foucault del Centenario

Para celebrar el centenario de la fundación de la Real Sociedad Española de Física, se ha construido un péndulo de Foucault portátil de 7 m de altura.

Lo hemos diseñado para que fácilmente pueda usted medir la velocidad de giro aparente del plano de oscilación del péndulo. Para ello deberá usar la escala graduada circular y el espejo situado en torno a ella. Colóquese de cara al péndulo y en el plano de oscilación de este y observe el movimiento de la esfera. Mire la imagen del cable reflejado en el espejo que rodea la escala. Para corregir el error de paralaje muévase ligeramente de un lado a otro hasta conseguir que la imagen del cable no se desplace con respecto a la escala, a medida que el péndulo avanza y se aleja de Vd. Anote el ángulo correspondiente y la hora. Transcurrido un cierto tiempo vuelva a repetir esta operación.

El giroscopio de Foucault

PRINCIPIO FÍSICO

Sistemas de referencia no inerciales

EXPERIMENTO

Materiales

Un giróscopo, una plataforma giratoria con una cámara de TV y un monitor

Realización

Coloque el giróscopo sobre la plataforma. En el monitor, el eje de giro del giróscopo parece que cambia de dirección, cuando en realidad no es así.

EXPLICACIÓN

El observador ve cómo el eje de giro permanece constante, mientras que la imagen de TV, vista en el monitor, corresponde a un observador no inercial.

CascanaricesPRINCIPIO FÍSICO

Principio de conservación de la energía. Rozamiento

EXPERIMENTO

Materiales

Un objeto pesado y una cuerda

Realización

Cuelgue el objeto pesado del techo por medio de la cuerda construyendo un péndulo. Coloque al observador cerca de uno de los puntos de amplitud máxima con el objeto pegado a la nariz del mimo. Suelte el objeto y observe cómo va hasta el otro extremo de la trayectoria para después volver. Con un poco de sangre fría, el observador no se moverá.

EXPLICACIÓN

Para que le diera en la nariz tendría que ganar energía, cuando lo que hace es perderla por rozamiento.

Trozos de aro

PRINCIPIO FÍSICO

Ley del péndulo

EXPERIMENTO

Materiales

Un aro completo y un trozo de aro de 2/3 y otro de 1/3, una varilla para la suspensión

Realización

Se insertan los aros en la varilla, y se hacen oscilar. Se observa que los tres lo hacen con el mismo periodo.

EXPLICACIÓN

El momento de inercia crece cuando lo hace la fuerza recuperadora, como se demuestra en el análisis adjunto.

soraaros

Péndulo de arenaPRINCIPIO FÍSICO

Figuras de Lissajous

EXPERIMENTO

Materiales

Un péndulo hecho con un embudo y arena fina, una bandeja

Realización

Se llena el embudo con la arena y se le da un impulso para que empiece a oscilar. Observaremos cómo describe trayectorias elípticas que se van ensanchando hasta invertir el sentido de giro.

EXPLICACIÓN

Este movimiento se debe a la torsión del cable. Existen otros péndulos que están construidos con un cable en v, con los que se pueden observar las figuras de Lissajous.

PRINCIPIO FÍSICO

Resonancia.

EXPERIMENTO

Materiales

Dos velas, varillas de bambú, un corcho y dos vasos.

Realización

Se insertan las varillas en el corcho y en éstas las velas. El conjunto se apoya sobre los vasos y se encienden las velas. Se observa cómo al ir goteando la cera fundida el sistema empieza a oscilar.

EXPLICACIÓN

Cada vez que cae una gota de cera, el lado desde el que lo hace pierde una cantidad de masa por lo que el sistema queda desequilibrado y empieza a oscilar. El sistema entra en resonancia al ir perdiendo cada vez más masa.

El espíritu de las velas

Osciladores acopladosPRINCIPIO FÍSICO

Oscilaciones acopladas

EXPERIMENTO

Materiales

Dos esferas, dos muelles y una cadena

Realización

Se cuelgan las esferas de los muelles y se coloca la cadena por debajo. Si hacemos oscilar el sistema simétricamente, observaremos oscilaciones lentas. Si desplazamos una esfera hacia arriba de la posición de equilibrio y otra hacia abajo observaremos oscilaciones rápidas. Si desplazamos una solamente, observaremos como se va transmitiendo el movimiento de un oscilador a otro.

EXPLICACIÓN

Cuando conectamos dos o más osciladores, aparece un fenómeno de retroalimentación entre ellos, dando lugar a un trasvase continuo de energía

Péndulos acopladosPRINCIPIO FÍSICOOscilaciones acopladasEXPERIMENTOMaterialesDos masas y un trozo de cuerdaRealizaciónSe cuelgan los péndulos, que deben ser de la misma longitud para tener la misma frecuencia y entrar en resonancia, de una cuerda tensada horizontal. Se hacen oscilar y dependiendo de las condiciones iniciales podemos ver los modos normales de vibración y el fenómeno de los batidosEXPLICACIÓNAl oscilar el péndulo desplaza un poco la cuerda de la que cuelga, movimiento que se trasmite a otro péndulo que como es de la misma longitud tiene la misma frecuencia, y entra en resonancia.

Péndulo de WilbreforcePRINCIPIO FÍSICO

Acoplamiento de los movimientos oscilatorios de desplazamiento y torsión

EXPERIMENTO

Materiales

Un cilindro pesado y un muelle

Realización

Ha de buscarse un conjunto muelle- cilindro de forma que coincida el periodo de oscilación de traslación y de rotación. Se cuelga el cilindro del muelle y se hace oscilar.

EXPLICACIÓN

Se produce un acoplamiento mecánico merced al hecho de que cuando un muelle espiral real varía su longitud se produce una torsión del alambre de acero del que está hecho. La fuerza recuperadora tiene componentes vertical y tangencial. Se produce por ello un trasvase continuo de energía de un modo a otro de oscilación.

Péndulos acoplados magnéticamente

PRINCIPIO FÍSICO

Acoplamiento magnético

EXPERIMENTO

Materiales

Dos osciladores con imanes, dos bobinas

Realización

Se hacen oscilar los imanes en el interior de las bobinas

EXPLICACIÓN

En cada oscilación del imán al moverse en el interior de la bobina genera una corriente eléctrica que induce un movimiento en el imán que se encuentra en el interior de la otra bobina. Como los péndulos tienen el mismo periodo terminan moviéndose los dos antes de pararse definitivamente

Péndulo paramétrico.Modelo a escala del botafumeiro

PRINCIPIO FÍSICOPéndulo paramétricoEXPERIMENTOMaterialesUn botafumeiro a escala 1:20 del de Santiago de Compostela, con un sistema de servomecanismo para el movimiento, disparado por una sensor de efecto Hall y un imán colocado en la base del incensarioRealizaciónDesplace el péndulo ligeramente de su posición de equilibrio e inmediatamente se inicia el movimiento de los muñecos elevando el péndulo en el punto central de la trayectoria y dejándolo caer en los extremos.EXPLICACIÓNComo podemos observar en la Figura donde se representa la trayectoria, se tira de la cuerda en el punto medio de la trayectoria, comunicándosele al péndulo una energía mg L, siendo L el acortamiento de la trayectoria. Se suelta esta misma longitud en el punto mas alejado de la vertical, con lo que la energía disminuye en mg L (cos ). Hay un balance neto de energía comunicada el péndulo mg L (1-cos ) cada medio periodo

Continuará…

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