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Diseo en Acero y Madera
1Miembros Bajo Fuerzas Combinadas y Torsin
1. Introduccin:
Si bien muchos miembros estructurales
pueden tratarse como columnas
cargadas de manera axial o como vigas
con slo carga de flexin, la mayora de
las vigas y columnas estn sometidas, en
cierto grado, a la flexin y a la carga axial.
Esto se cumple para las estructuras
estticamente indeterminadas. Incluso,
el rodillo de apoyo de una viga simple
puede experimentar la friccin que
restringe longitudinalmente a la viga, al
inducir la tensin axial cuando se aplican las cargas
transversales. Sin embargo, en este
caso particular, los efectos secundarios son usualmente pequeos
y pueden ser
despreciados. Muchas columnas son tratadas como miembros en
compresin pura con
poco error. Si la columna es un miembro de un solo piso y puede
tratarse como articulada
en ambos extremos, la nica flexin resultar de excentricidades
accidentales menores
de la carga.
La mayora de las columnas en marcos rgidos son en realidad
vigas-columnas y los
efectos de la flexin no deben ser ignorados. Sin embargo, muchas
columnas aisladas de
un solo piso son tratadas como miembros cargados axialmente en
compresin.
Otro ejemplo de viga-columna puede a veces encontrarse en las
armaduras de techo.
Aunque la cuerda superior es, por lo comn, tratada como un
miembro cargado
axialmente en compresin, si se colocan polines entre los nudos,
sus reacciones causarn
flexin, la que debe tomarse en cuenta.
2. Frmulas de Interaccin:
La desigualdad de la ecuacin puede escribirse de la forma
siguiente:
0.1
n
ii
R
Q
o 0.1
arg___
aresistenci
asclasdeefectos
Si ms de un tipo de resistencia est implicada, la ecuacin se
emplear para formar la
base de una frmula de interaccin. Por ejemplo, si actan la
flexin y la compresin
axial, la frmula de la interaccin sera:
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2Miembros Bajo Fuerzas Combinadas y Torsin
0.1nb
u
nc
u
M
M
P
P
Dnde:
uP Carga de compresin axial factorizada.
ncP Resistencia de diseo por compresin.
uM Momento flexionante factorizado.
nbM Momento de diseo.
Para la flexin biaxial, habr dos razones de flexin:
0.1
nyb
uy
nxb
ux
nc
u
M
M
M
M
P
P
Donde los subndices x y y se refieren a la flexin
respecto a los ejes x y y.
La ecuacin es la base para las frmulas del AISC, para los
miembros sometidos a la
flexin ms la carga de compresin axial. Dos frmulas se dan en las
Especificaciones:
una para la carga axial pequea y otra para la carga axial
grande. Si la carga axial es
pequea, el trmino de la carga axial se reduce. Para una carga
axial grande, el trmino
de flexin se reduce ligeramente. Los requisitos del AISC estn
dados en el Captulo H
sobre los "Miembros Bajo Fuerzas y Torsin Combinadas", y se
resumen como sigue:
Para: 2.0nc
u
P
P
0.19
8
nyb
uy
nxb
ux
nc
u
M
M
M
M
P
P
(Ecuacin H1-1 a del AISC)
Para: 2.0nc
u
P
P
0.12
nyb
uy
nxb
ux
nc
u
M
M
M
M
P
P
(Ecuacin H1-1b del AISC)
Amplificacin del Momento: El enfoque anterior para el anlisis de
los miembros
sometidos a la flexin ms la carga axial es satisfactorio en
tanto que esta ltima no sea
muy grande. La presencia de Ia carga axial produce momentos
secundarios y a menos
que la carga axial sea relativa pequea, esos momentos
adicionales deben tomarse en
cuenta. Para entender esto, observe la figura 6.3, la cual
muestra una viga-columna con
una carga axial y una carga transversal uniforme.
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3Miembros Bajo Fuerzas Combinadas y Torsin
En un punto O cualquiera, hay un momento flexionante causado por
la carga uniforme y
un momento adicional Py originado por la carga axial al actuar
con una excentricidad
respecto al eje longitudinal del miembro. Este momento
secundario es mximo donde la
deflexin es mxima, en este caso a la mitad de la altura, donde
el momento total es
PwL 8/2 . Por supuesto, el momento adicional causa una deflexin
adicional por
encima de la resultante de la carga transversal. Como la
deflexin total no puede
encontrarse directamente, este problema no es lineal y sin
conocer la deflexin, no
podemos calcular el momento.
Los mtodos de anlisis estructural ordinario, que no toman en
cuenta la geometra
desplazada, se denominan de primer orden. Los procedimientos
numricos iterativos,
llamados mtodos de segundo orden, pueden emplearse para
encontrar las deflexiones
y los momentos secundarios, pero esos mtodos son impracticables
para los clculos
manuales y son, por lo regular, implementados con un programa de
computadora. La
mayora de los reglamentos y de las especificaciones de diseo,
incluyendo las
Especificaciones del AISC, permiten el uso de un anlisis de
segundo orden o del mtodo
de la amplificacin del momento. Este mtodo implica calcular el
momento flexionante
mximo que resulta de las cargas de flexin (cargas transversales
o momentos de
extremo del miembro) por medio de un anlisis de primer orden
para luego multiplicarlo
por un factor de amplificacin de momento para tomar en cuenta el
momento
secundario. Se desarrollar, enseguida una expresin para este
factor.
La siguiente figura muestra un miembro simplemente apoyado con
una carga axial y cierto
desalineamiento inicial. Este desalineamiento inicial puede ser
aproximado por:
L
xeseny
0
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4Miembros Bajo Fuerzas Combinadas y Torsin
Donde e es el desplazamiento mximo inicial que ocurre a la mitad
del claro. Para el
sistema coordenado mostrado, la relacin momento-curvatura puede
escribirse como:
EI
M
dx
yd
2
2
El momento flexionante M es causado por la excentricidad de la
carga axial Pu con
respecto al eje del miembro. Esta excentricidad consiste en el
desalineamiento inicial y0
ms la deflexin adicional y que resulta de la flexin. En
cualquier posicin, el momento
es: yyPM u 0
Al sustituir esta expresin en la ecuacin diferencial,
obtenemos:
y
L
xesen
EI
P
dx
yd u 2
2
Al reordenar los trminos, resulta: L
xsen
EI
ePy
EI
P
dx
yd uu 2
2
Es una ecuacin diferencial ordinaria no homognea. Como es una
ecuacin de segundo
orden, habr dos condiciones de frontera. Para las condiciones de
soporte mostradas, las
condiciones de frontera son:
En x = 0, y = 0 y en x = L, y = 0
Es decir, el desplazamiento es cero en cada extremo. Una funcin
que satisface la
ecuacin diferencial y las condiciones de frontera es:
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5Miembros Bajo Fuerzas Combinadas y Torsin
L
xBseny
Donde B es una constante. Sustituyndola en la ecuacin
diferencial, obtenemos:
L
xsen
EI
eP
L
xBsen
EI
P
L
xBsen
L
uu 2
2
Al despejar la constante se obtiene:
112
2
2
2
u
e
u
u
u
P
P
e
LP
EI
e
LEI
P
EI
eP
B
Dnde:
2
2
L
EIPe
La carga de pandeo de Euler .:
Lx
senPP
e
L
xBseny
ue
1/
yyPM u 0
L
xsen
PP
e
L
xesenP
ue
u
1/
El momento mximo ocurre en x = L/2:
1/ ueumx
PP
eePM
1/
11/
ue
ueu
PP
PPeP
eu PPM
/1
10
Donde Mo es el momento mximo no amplificado. En este caso, esto
resulta del
desalineamiento inicial, pero en general, esto puede resultar de
las cargas transversales
o de momentos en los extremos. El factor de amplificacin de
momento es por lo tanto:
eu PP /11
Pandeo Local del Alma en Vigas-Columnas: La determinacin del
momento de diseo
requiere que se revise la compacidad de la seccin transversal.
El alma es compacta para
todos los perfiles tabulados, en tanto que no se tenga carga
axial. En presencia de la carga
axial, el alma puede ser no compacta. Cuando usamos la notacin
wth / tenemos lo
siguiente:
Si p , el perfil es compacto.
Si rp , el perfil es no compacto.
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6Miembros Bajo Fuerzas Combinadas y Torsin
Si r , el perfil es esbelto.
La seccin B5 del Manual AISC, en la Tabla B5.1, prescribe los
siguientes lmites:
Para ,125.0yb
u
P
P
yb
u
y
pP
P
F
75.21
640
Para ,125.0yb
u
P
P
yyb
u
y
pFP
P
F
25333.2
191
Para cualquier valor de yb
u
P
P
,
yb
u
y
rP
P
F 74.01
970
Donde ygy FAP es la carga axial requerida para alcanzar el
estado lmite de fluencia.
Como Pu es una variable, la compacidad del alma no puede
revisarse ni tabularse de
antemano. Sin embargo, algunos perfiles rolados satisfacen el
peor caso lmite de 253/
Fy, lo que significa que esos perfiles tienen almas compactas
sin importar cul sea la carga
axial. Los perfiles dados en las tablas de cargas para columnas,
en la Parte 3 del Manual,
que no satisfacen este criterio, estn marcadas, y slo esos
perfiles deben revisarse por
compacidad del alma. Los perfiles cuyos patines no son
compactos, estn tambin
marcados; por lo que, si no hay indicacin contraria, los
perfiles en las tablas de cargas
para columnas son compactos.
3. Miembros Sometidos a Flexin y Tensin Axial: Sitio de
incidencia: Los miembros estructurales sujetos a una combinacin de
esfuerzo
por flexin y carga axial son muchos ms comunes de lo que uno se
imagina. Las columnas
que forman parte de una estructura de acero deben soportar, casi
siempre, momentos
flexionantes, adems de sus cargas usuales de compresin. Es casi
imposible montar y
centrar exactamente las cargas axiales sobre las columnas aun en
los caso de pruebas de
laboratorio, y en las construcciones dicha dificultad es an
mayor. Aunque las cargas en
un edificio o estructura pudieran centrarse perfectamente en un
momento determinado,
no permaneceran estacionarias. Adems, las columnas pueden tener
defectos iniciales
o tener otras fallas, dando como resultado el que se produzcan
flexiones laterales. Las
vigas generalmente se unen a las columnas mediante ngulos o
mnsulas colocadas a los
lados de estas, que originan as cargas aplicadas excntricamente
que producen
momentos. El viento y otras cargas laterales ocasionan flexin
lateral en las columnas y
las de marcos rgidos edificios, estn sometidas a momentos, aun
cuando el marco
soporte solo cargas verticales. Los elementos de los portales y
de puentes deben resistir
esfuerzos combinados en forma semejante a las columnas de
edificios; entre las causas
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Diseo en Acero y Madera
7Miembros Bajo Fuerzas Combinadas y Torsin
que los originan se encuentras los fuertes vientos laterales,
cargas verticales de trnsito,
sea o no simtricas y la fuerza centrfuga debida a la transito en
los puentes con curva.
Posiblemente ha considerado que las armaduras se cargan en los
nudos y como
consecuencia, sus miembros estn axialmente cargados; sin
embargo, en ocasiones los
largueros de la cubierta quedan colocados entre los nudos de la
cuerda cargada de la
armadura, haciendo que dicha cuerda se flexione; de modo
semejante, la cuerda inferior
puede flexionarse por el peso de las instalaciones de alumbrado,
ductos u otros
elementos colocado entre los nudos de las armaduras. Todos los
miembros horizontales
o inclinados de las armaduras estn sometidos a un momento
ocasionado por su propio
peso, en tanto que todos los miembros
de las armaduras sean o no verticales,
quedan sujetos a esfuerzos de flexin
secundaria. Los esfuerzos secundarios
se ocasionan por que los miembros no
se conectan mediante pasadores sin
friccin, como se supone por el anlisis
que se hizo de esfuerzos y los ejes de
gravedad de los miembros, o los de sus
elementos de conexin no coinciden
exactamente en las juntas, etc.
Los momentos flexionantes en los miembros sujetos a tensin no
son tan peligrosos
como en los miembros sujetos a compresin, porque la tensin
tiende a reducir las
deflexiones laterales, en tanto que la compresin las incrementa.
A su vez, el incremento
de deflexin lateral se traduce en incremento de momento, con el
resultado de mayores
deflexiones laterales, etc. Es de esperarse que los miembros en
tal situacin sean
suficientemente rgidos como para impedir que las deflexiones
laterales lleguen a ser
excesivas.
Miembros Simtricos Sometidos A Flexin Y Tensin Axial: Algunos
tipos de miembros
sometidos a flexin y tensin axial se muestran en la figura.
En la seccin H1 de las especificaciones LRFD se dan las
siguientes ecuaciones de
interaccin para perfiles simtricos sujetos simultneamente a
flexin y a tensin axial.
Esas ecuaciones tambin se aplican a miembros sujetos a flexin y
a compresin axial.
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8Miembros Bajo Fuerzas Combinadas y Torsin
Algunos miembros sometidos a flexin y tensin axial.
Si Pu
tPn> 0.2
PutPn
+8
9[
MuxbMnx
+Muy
bMny] 1.0
(Ecuacin H1-1a del LRFD)
Si Pu
tPn< 0.2
Pu2tPn
+ [Mux
bMnx+
MuybMny
] 1.0
(Ecuacin H1-1b del LRFD)
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Diseo en Acero y Madera
9Miembros Bajo Fuerzas Combinadas y Torsin
Los trminos en esas ecuaciones se han definido previamente; Pu y
Mu son las
resistencias requeridas por tensin y por flexin, Pn y Mn son las
resistencias nominales
por tensin y por flexin, t y b son los factores de resistencia.
Por lo general se hace
solo un anlisis de primer orden (es decir, sin incluir ninguna
fuerza secundaria) para
miembros sujetos a flexin y tensin. Se sugiere a los
proyectistas efectuar anlisis de
segundo orden para esos miembros y usar los resultados en sus
diseos. Los ejemplos 1
y 2 ilustran la aplicacin de esas expresiones de interaccin a
miembros sujetos
simultneamente a flexin y a tensin axial.
Ejemplo 1:
Un miembro de acero 50 ksi tiene una seccin W12x35 sin agujeros
y est sujeto a una
tensin factorizada Pu de 80 klb y a un momento flexionante
factorizado Muy de 35 klb-
pie. Es satisfactorio el miembro si < ?
Solucin:
La seccin W12x35 tiene una A = 10.3 pulg3 y una = 11.5
pulg3.
tPn = t Fy Ag = (0.9)(50)(10.3) = 463.5 klb
Pu
tPn=
80
463.5= 0.173 < 0.2
Por lo que rige la ecuacin del H1-1b LRFD
= =(0.9)(50)(11.5)
12= 43.13
Pu2tPn
+ [Mux
bMnx+
MuybMny
] =80
(2)(463.5)+ [0 +
35
43.12]
= 898 < 1.0 ()
Ejemplo 2:
Un miembro de acero 50 ksi tiene una seccin W10x30 sin agujeros
y una de 12.0 pie;
est sujeto a una tensin factorizada de 120 klb y a los momentos
factorizados =
90 klb-pie y = 0. Si =1.0 Es adecuado el miembro?
Solucin:
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10Miembros Bajo Fuerzas Combinadas y Torsin
La seccin W10x30 (A = 8.84 pulg2, = 4.8 pie y = 14.5 pie)
tPn = t Fy Ag = (0.9)(50)(8.84) = 397.8 klb
Pu
tPn=
120
397.8= 0.302 > 0.2
Por lo que rige la ecuacin del H1-1a LRFD
En la tabla de seleccin se ve que > ; entonces
= 137 klb-pie
= 97.2 klb-pie
BF = 4.13
= [ ( )]
= 1.0[137 4.13(12.0 4,8)] = 107.26
PutPn
+8
9[
MuxbMnx
+Muy
bMny] =
120
397.8+
8
9(
90
107.26+ 0) = 1.048 > 1.0 ()
4. Miembros Simtricos Sometidos a Flexin y Compresin Axial:
El miembro sujeto a compresin axial y a flexin es conocido como
una viga- columna a flexocompresion. Como se mencion anteriormente,
en las uniones de miembros en estructuras de acero se pueden
generar excentricidades en la transmisin de cargas que pueden
producir momentos flexionantes. Los momentos flexionantes tambin
pueden ser producidos por cargas transversales o por momentos
aplicados en los extremos o en el claro del miembro.
Independientemente del origen de los momentos, si sus valores son
significativos, estos no pueden ser despreciados y debern
considerarse actuando en combinacin con los otros efectos de carga
presentes en el miembro. En este Captulo se tratan los miembros
estructurales sujetos a combinacin de esfuerzos de compresin axial
y flexin (o flexocompresin). Dichos miembros son conocidos como
vigas-columnas y se encuentran frecuentemente en marcos, armaduras
y en puntales de muros exteriores. La Fig. 7.1 ilustra las
condiciones tpicas de carga que generan flexocompresin.
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Diseo en Acero y Madera
11Miembros Bajo Fuerzas Combinadas y Torsin
El comportamiento estructural de las vigas-columnas depende
principalmente de la configuracin y dimensiones de la seccin
transversal, de la ubicacin de la carga excntrica aplicada, de la
longitud de columna y de las condiciones de apoyo lateral. Por esta
razn, el AISI 1980 clasific a las vigas-columnas en las siguientes
cuatro categoras, de acuerdo a la configuracin de la seccin
transversal y el modo de pandeo:
Secciones con simetra doble y secciones no sujetas a pandeo por
torsin o por flexotorsin.
Secciones con simetra simple o componentes de secciones armadas
unidos intermitentemente, no sujetos a pandeo local y cargados en
el plano de simetra, los cuales pueden estar sujetos a pandeo por
flexotorsin.
Secciones simtricas o componentes de secciones armadas unidos
intermitentemente, sujetos a pandeo local y cargados en el plano de
simetra, los cuales pueden estar sujetos a pandeo por
flexotorsin.
Secciones con simetra simple sujetas a carga asimtrica. Como
resultado de la aplicacin del concepto unificado de diseo, el AISI
1986 determin que las vigas-columnas sujetas y no sujetas a pandeo
local sean diseadas usando la misma ecuacin de diseo. El AISI 1996
mantiene el mismo concepto e incluye a las ecuaciones de diseo en
la Seccin C5. A continuacin se presenta la fundamentacin terica en
la que se basa las especificaciones de del AISI para el diseo de
vigas-columnas. Secciones con simetra doble y secciones no sujetas
a pandeo por torsin o flexotorsion: Las secciones doblemente
simtricas sujetas a compresin axial y flexin con respecto al eje
menor pueden fallar por fluencia o por pandeo local por flexin en
la ubicacin del mximo momento. Sin embargo, cuando la seccin es
sujeta a carga excntrica que produce momentos flexionantes con
respecto al eje mayor, el miembro puede fallar por flexin o por
flexotorsin debido a que la carga excntrica no pasa por el centro
de cortante. Las secciones torsionalmente estables, como las
secciones tubulares rectangulares, sujetas a momentos flexionantes
aplicados con respecto al eje menor, pueden fallar por flexin en la
regin del momento mximo, pero si el momento es aplicado con
respecto al eje mayor, pueden fallar por flexin con respecto al eje
mayor o menor, dependiendo de la magnitud de las excentricidades.
Atendiendo a la dualidad ASD/LRFD presente en el AISI 1996, a
continuacin se presenta el desarrollo de las ecuaciones de diseo
para vigas-columnas segn los Mtodos ASD y LRFD.
El mtodo LRFD usa las mismas ecuaciones de interaccin que el
mtodo ASD, excepto que cPn y bMn son usadas como las resistencias
de diseo a compresin axial y flexin, respectivamente. Adems, la
resistencia requerida para carga axial Pu y la resistencia
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Diseo en Acero y Madera
12Miembros Bajo Fuerzas Combinadas y Torsin
requerida a flexin Mu debern ser determinadas a partir de las
cargas factorizadas de acuerdo a los requisitos de la Seccin A6.1.2
(ver Art. 3.3.2). Debe mencionarse que, comparado con las primeras
especificaciones de LRFD del AISI (1991), la definicin del parmetro
a fue modificada en el AISI 1996 al eliminar el factor de
resistencia c, ya que la variable Pe es determinista (no aleatoria)
y por lo tanto no requiere un factor de resistencia. Las ecuaciones
de interaccin del AISI 1996 son las mismas que fueron usadas en las
primeras especificaciones de LRFD del AISI pero son diferentes a
las especificaciones de LRFD del AISC (1993), ya que la informacin
disponible actualmente del comportamiento de columnas de acero
laminado en fro no permite adoptar libremente los criterios de LRFD
del AISC. A continuacin se presentan las ecuaciones de interaccin
del AISI 1996:
Para Pu 0.15cPn:
La definicin de todos los trminos de estas ecuaciones est dada
en el Art. 7.5.
Secciones Abiertas de Pared Delgada Sujetas a Pandeo por Flexo
torsin: Las secciones con simetra simple y las secciones abiertas
asimtricas usadas como vigas-columnas pueden estar sujetas a pandeo
por flexotorsin. Las ecuaciones diferenciales de equilibrio que
gobiernas dichas secciones estn dadas por las Ecs. (7.20) a
(7.22).
Dnde: Ix = momento de inercia con respecto al eje x Iy = momento
de inercia con respecto al eje y u = desplazamiento lateral en la
direccin x v = desplazamiento lateral en la direccin y
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Diseo en Acero y Madera
13Miembros Bajo Fuerzas Combinadas y Torsin
f = ngulo de rotacin xo = coordenada en x del centro de cortante
yo = coordenada en y del centro de cortante E = mdulo de
elasticidad G = mdulo de cortante J = constante torsional de St.
Venant de la seccin Cw = constante torsional de alabeo de la seccin
ro = radio de giro polar de la seccin con respecto al centro de
cortante P = carga axial aplicada
Mx, My = momentos flexionantes con respecto a los ejes x y y,
respectivamente
Todas las primas representan diferenciacin con respecto a z.
Asumiendo que los momentos de extremo Mx y My se deben a cargas
excntricas aplicadas en ambos extremos a excentricidades ex y ey
(ver Fig. 7.3), los momentos Mx y My pueden expresarse como:
Por consiguiente, las Ecs. (7.20) a (7.22) pueden replantearse
de la siguiente manera:
5. Efectos de Segundo Orden:
En un miembro sometido a carga axial y momentos, aparecern
momentos flexionantes
y deflexiones laterales adicionales a las iniciales. Cuando se
realiza un anlisis elstico
convencional, obtenemos momentos y fuerzas de primer orden. En
una columna de un
prtico arriostrado se puede presentar momentos secundarios
debido a la flexin lateral
de la columna. En la figura 1, se presenta un momento adicional
Pu. Este es un efecto
de tipo local y slo se presentar en la columna ms dbil o
sometido a una mayor carga
axial. En un prtico no arriostrado, se pueden presentar momentos
adicionales P,
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Diseo en Acero y Madera
14Miembros Bajo Fuerzas Combinadas y Torsin
debido a la deflexin lateral que se presenta. Este es un fenmeno
global y se puede
presentar en todas las columnas de un entrepiso.
La resistencia a fuerzas horizontales en ciertos edificios puede
ser provista por slo
algunos planos resistentes que proporcionen adems la estabilidad
de todos los planos
frente a fuerzas gravitatorias mayoradas.
En otros edificios cada plano mediante la accin de prtico de
nudos rgidos proveer
dicha resistencia y estabilidad. En los prticos de nudos rgidos
(o semirgidos)
desplazables lateralmente, bajo la accin combinada de fuerzas
gravitatorias y
horizontales, se producen desplazamientos laterales de sus
nudos.
Como consecuencia de dicho desplazamiento , se pueden
desarrollar en vigas y
columnas momentos secundarios adicionales, conocidos como efecto
P. En cada piso, P
es la carga gravitatoria total actuante por encima del piso
considerado y es el
desplazamiento de dicho piso. Cuando la carga o el
desplazamiento son de cierta
magnitud, este efecto produce momentos adicionales de segundo
orden de importancia
que se deben considerar en el proyecto de las barras del
prtico.
En prticos de nudos articulados cuya estabilidad est provista
por otros planos de
arriostramiento, el efecto P produce un incremento de las
fuerzas axiles en sus barras y
en las de los sistemas de arriostramiento aunque, en general,
esos efectos son de poca
importancia.
El Proyectista o Diseador Estructural deber valorar su
importancia relativa y
considerarlos o no en el dimensionado. Por otra parte, cuando en
las barras comprimidas
actan cargas transversales entre los nudos, se puede producir un
aumento de los
momentos flexores en tramo y extremos de la barra por efecto de
la deformacin del eje
Efectos P y P en elementos
flexocomprimidos
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Diseo en Acero y Madera
15Miembros Bajo Fuerzas Combinadas y Torsin
de la barra, (P). En este caso P es la fuerza de compresin en la
barra y la deformacin
en el tramo. Puesto que los efectos (P y P) pueden generar en
los prticos
deformaciones mayores que las resultantes de las solicitaciones
de primer orden, los
efectos de segundo orden debern ser incluidos en el anlisis para
determinar las
deformaciones en servicio.
Para determinar las solicitaciones de seccin requeridas,
producidas por las cargas
mayoradas que incluyan los efectos P y P, se puede utilizar el
anlisis elstico de
segundo orden. Alternativamente, a partir de los momentos
flexores obtenidos por
anlisis elstico de primer orden, se pueden obtener los momentos
flexores de segundo
orden en forma aproximada con los factores de amplificacin B1 y
B2.
En un caso general, una barra puede tener momentos de primer
orden no asociados con
los desplazamientos laterales (Mnt), los que sern amplificados
con B1, y momentos de
primer orden producidos por las fuerzas que provocan los
desplazamientos laterales
(Mlt), que sern amplificados con B2. En prticos de nudos
desplazables se pueden
producir momentos de primer orden de ambos tipos aunque slo
existan cargas
gravitatorias. Esto ocurre si la estructura y/o las cargas no
son simtricas. Los Mnt son los
momentos resultantes en el prtico cuando se impide el
desplazamiento lateral mediante
vnculos ficticios. Los momentos resultantes en el prtico al
cargarlo con las acciones
contrarias a las reacciones de dichos vnculos ficticios son los
momentos Mlt.
En el diseo de las estructuras aporticadas se considerarn los
efectos P- o de segundo
orden, en las estructuras diseadas mediante un anlisis plstico,
los momentos finales
satisfaga los requisitos de estabilidad de porticos.
En las estructuras diseadas mediante un anlisis elstico, el
momento final Mu en las
columnas, viga-columnas, conexiones y miembros conectados se
determinar mediante
un anlisis elstico de segundo orden; El AISC-LRFD especifica que
el momento final que
estima los momentos de primer y segundo orden en un miembro
sometido a flexo
compresin es:
Donde:
B1 =es el factor de amplificacin que toma en cuenta los efectos
P.
B2 =es el factor de amplificacin que toma en cuenta los efectos
P.
Pe = es la carga crtica de Euler. Cm es un factor de
reduccin.
Mnt = resistencia a la flexin requerida del miembro, suponiendo
que no hay
translacin lateral del prtico. Incluye los momentos de primer
orden
resultantes de la aplicacin de las cargas gravitacionales.
Mlt: =Resistencia a la flexin requerida por un miembro, como
resultado de la
translacin lateral del prtico. En un prtico arriostrado, Mlt es
cero.En
prticos no arriostrados, Mu debe incluir los momentos producidos
por
las cargas laterales . si tanto el prtico como las cargas son
simtricas ,
Mu = B1Mnt + B2Mlt
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Diseo en Acero y Madera
16Miembros Bajo Fuerzas Combinadas y Torsin
Mlt por cargas verticales ser cero; sin embargo ,si bien el
prtico o las
cargas gravitacionales son asimtricas , en los prticos no
arriostrados se
presentara desplazamiento lateral, y Mlt ser diferente de cero.
Para
determinar Mlt (a) se analizara el prtico con cargas
gravitacionales,
ubicando restricciones horizontales ficticias en cada piso, por
lo que no
habr translacin lateral, y (b) al prtico sin carga alguna , se
le aplicaran
fuerzas horizontales iguales a las reacciones encontradas en
(a).
Finalmente, Mlt para un prtico no arriostrado, es la suma
delos
momentos hallados en los dos pasos anteriores.
La suma algebraica dada por la expresin anterior amplificando
los momentos por B1 y
B2 respectivamente, da un valor aproximado a los momentos de
segundo orden del
prtico. En prticos de nudos desplazables los momentos producidos
por cargas laterales
aplicadas a los nudos o las acciones contrarias a las reacciones
de vnculos ficticios que
impidan el desplazamiento lateral frente a cargas laterales
aplicadas en los tramos, sern
los momentos Mlt que deben ser amplificados por B2 (Fig.
C-C.1.1.).
Los momentos amplificados (por B1 y/o B2) de los extremos de las
barras comprimidas
debern satisfacer el equilibrio del nudo. En forma general esto
se puede cumplir
mediante la distribucin a las otras barras unidas en el nudo a
la barra comprimida,
de la diferencia entre el momento amplificado y el de primer
orden. Esa distribucin
se har en funcin de la rigidez relativa de las otras barras no
comprimidas. Si las
diferencias son pequeas, pueden ser
Ignoradas, quedando dicha valoracin a juicio del proyectista. Si
la distribucin de las
diferencias de momento resultara compleja ser necesario realizar
un anlisis elstico
de segundo orden. Las uniones sern proyectadas para resistir los
momentos
amplificados (Figura C-C.1.2.).
-
Diseo en Acero y Madera
17Miembros Bajo Fuerzas Combinadas y Torsin
El clculo de B2 se realiza para un piso completo. Cuando se
proyectan edificios
aporticados a partir de un valor oh/L predeterminado, el factor
B2 puede ser la base
para el predimensionado de las barras comprimidas.
Tambin, en algunas categoras de edificios, se pueden fijar
desplazamientos laterales
lmites a fin de que el efecto de los momentos adicionales de
segundo orden sea
insignificante. Es conservador aplicar el factor B2 a la suma de
los momentos
correspondientes al prtico indesplazable y al desplazable, (Mnt
+ Mlt).
El clculo de B1 se realiza para cada barra comprimida del prtico
:
Donde:
B1= el factor utilizado en la determinacin de Mu para amplificar
momentos
determinados por anlisis de primer orden, cuando actan
simultneamente fuerzas axiles.
Pu= La resistencia requerida a compresin axil para la barra
analizada, en kN.
Pe1 = Ag Fy (10-1)/ c2 donde c es el factor de esbeltez
adimensional, calculado
utilizando el factor de longitud efectiva k en el plano de
flexin.
-
Diseo en Acero y Madera
18Miembros Bajo Fuerzas Combinadas y Torsin
Cm el coeficiente basado en un anlisis elstico de primer orden
suponiendo que el
prtico como conjunto no se traslada lateralmente. Se pueden
adoptar los siguientes
valores:
(a) Para barras comprimidas, que en el plano de flexin no estn
sometidas a cargas
transversales entre sus apoyos:
Donde (M1 / M2) es la relacin entre los valores absolutos de los
momentos
menor y mayor respectivamente, en los extremos de la porcin no
arriostrada de
la barra, y en el plano de flexin considerado. (M1/ M2) es
positivo cuando la barra
est deformada con doble curvatura, y negativo cuando est
deformada con
simple curvatura.
(b) Para barras comprimidas, que en el plano de flexin estn
sometidas a cargas
transversales entre sus apoyos, el valor de Cm ser determinado
por anlisis
estructural o utilizando los siguientes valores
conservativos:
Cm = 0.85 para miembros con extremos restringidos.
Cm = 1.0 para miembros con extremos no restringidos.
La relacin M1/M2 es positiva cuando el elemento se flexiona en
curvatura doble y
negativa en curvatura simple. Adems M1 M2. En caso de que M1= 0
o M2 = 0 la
relacin M1/M2 = 1.
El valor de B1 nunca ser menor que 1. Para barras comprimidas no
sometidas en el
plano de flexin a cargas transversales entre sus extremos, se
utiliza para Cm la
expresin anterior, propuesta en la AISC-LRFD.
En la Figura C-C.1-3 se comparan los resultados de la aplicacin
de esta expresin
aproximada con las soluciones exactas (Ketter, 1961).
-
Diseo en Acero y Madera
19Miembros Bajo Fuerzas Combinadas y Torsin
Para simple curvatura la expresin de Cm es levemente
deficitaria, para un momento
extremo nulo es casi exacta y para doble curvatura es
conservadora. El factor Cm se
aplica sobre el momento mximo M2. Es de hacer notar que la
expresin supone los
extremos de la barra articulados por lo que no incrementa los
momentos de apoyo.
Esto en general no es real en las barras de los prticos por lo
que en los extremos con
alguna restriccin hay un incremento en los momentos extremos.
Para cubrir esta
situacin se puede considerar el momento amplificado como
actuante en cualquier
punto de la barra. Esta condicin resulta excesivamente
conservadora cuando los
momentos extremos generan doble curvatura o son muy distintos
cuando generan
simple curvatura (M1 < 0,5 M2). En este ltimo caso se puede
suponer
conservadoramente que el momento amplificado se dar en el tramo
o en el extremo
correspondiente a M2. Para barras con cargas transversales
actuando en el plano de
flexin y entre sus extremos indesplazables, el momento de
segundo orden puede ser
calculado, aproximadamente, a partir de la expresin C.1.2 con Cm
dado por la
siguiente expresin obtenida del anlisis estructural:
-
Diseo en Acero y Madera
20Miembros Bajo Fuerzas Combinadas y Torsin
Donde:
B2 el factor utilizado en la determinacin de Mu para amplificar
momentos
determinados por anlisis de primer orden, cuando actan
simultnea-mente
fuerzas axiles.
Pu la resistencia axil requerida para todas las columnas de un
piso, en kN.
oh el desplazamiento lateral relativo del piso considerado, en
cm. H la suma
de todas las fuerzas horizontales que producen oh, en kN. L la
altura del piso,
en cm.
Donde:
c es el factor de esbeltez adimensional, calculado usando el
factor de longitud
efectiva k en el plano de flexin. La sumatoria se extender solo
a las columnas
(i) que aportan rigidez lateral al prtico, en kN.
K es el factor de longitud efectiva, Lb y rb son la longitud
real sin soporte y el
radio de giro correspondiente al plano de flexin.
En general, cuando no se trata de prticos rectangulares ms o
menos regulares, la
aplicacin del mtodo aproximado de amplificacin de momentos de
primer orden
puede generar incertidumbres o solicitaciones deficitarias, por
lo que en esos casos
es conveniente realizar un anlisis elstico de segundo orden.
-
Diseo en Acero y Madera
21Miembros Bajo Fuerzas Combinadas y Torsin
-
Diseo en Acero y Madera
22Miembros Bajo Fuerzas Combinadas y Torsin
Las diferencias entre los momentos amplificados por los factores
B1 y B2 y los
momentos de primer orden en los extremos de las columnas, debern
ser distribuidas
entre las vigas que concurran al nudo en funcin de su rigidez a
flexin relativa, de
manera de respetar el equilibrio del nudo. Si dicha distribucin
resultara compleja no
se podr utilizar el mtodo aproximado de amplificacin de momentos
de primer
orden, debiendo considerarse el efecto de las deformaciones por
medio de un anlisis
elstico de segundo orden.
No se podr utilizar el mtodo aproximado de amplificacin de
momentos de primer
orden si B2 > 1,5. Las uniones se debern proyectar para
resistir los momentos
amplificados. En vigas reticuladas resueltas por anlisis
elstico, los momentos
flexores requeridos (Mu) en las barras comprimidas sometidas a
flexin y en las
uniones de las barras si correspondiere, podrn ser obtenidos por
el mtodo
aproximado de amplificacin de momentos de primer orden con B2 =
0.
-
Diseo en Acero y Madera
23Miembros Bajo Fuerzas Combinadas y Torsin
6. Prticos arriostrados: En prticos y reticulados cuya
estabilidad lateral es provista por un sistema de
arriostramiento, el factor de longitud efectiva k para barras
comprimidas se deber tomar
igual a la unidad, a menos que un anlisis estructural demuestre
que se puede adoptar
un valor menor.
En prticos arriostrados de varios pisos el sistema vertical de
arriostramiento deber ser
resuelto por anlisis estructural.
El sistema vertical de arrostramiento para prticos arriostrados
de varios pisos, puede
ser considerado como actuando en conjunto con tabiques
exteriores o interiores, losas
de piso y cubiertas de techo siempre que las mismas estn
adecuadamente unidas a los
prticos. Para el anlisis del pandeo y la estabilidad lateral de
los prticos arriostrados,
las columnas, vigas, vigas armadas y barras diagonales que
formen parte de un plano del
sistema vertical de arriostramiento pueden ser consideradas como
integrantes de una
viga reticulada en voladizo con nudos articulados. La deformacin
axil de todas las barras
del sistema vertical de arriostramiento deber ser incluida en el
anlisis de la estabilidad
lateral. El sistema horizontal de arriostramiento en cada piso
deber ser resuelto por
anlisis estructural. Sus elementos constitutivos sern
proyectados para resistir los
efectos producidos por las cargas mayoradas actuando sobre los
prticos arriostrados y
los efectos resultantes de la estabilizacin de los prticos que
arriostra. En estructuras
proyectadas a partir de un anlisis global plstico la fuerza axil
en las barras (en kN),
causada por las cargas verticales y horizontales, ambas
mayoradas, no deber exceder
de:
7. Prticos no arriostrados
En prticos cuya estabilidad lateral depende de la rigidez a
flexin de la unin rgida de
vigas y columnas, el factor de longitud efectiva k para barras
comprimidas ser
determinado por anlisis estructural. Los efectos
desestabilizantes de columnas
sometidas a cargas gravitatorias que por estar biarticuladas al
prtico no aportan rigidez
lateral, debern ser incluidos en el dimensionamiento de las
columnas del prtico que
aportan rigidez lateral al mismo. Se podr realizar la correccin
por inelasticidad de la
rigidez de las columnas del prtico. En el anlisis de la
resistencia requerida en prticos
no arriostrados de varios pisos se debern incluir los efectos de
la inestabilidad del
prtico y de la deformacin axil de sus columnas.
-
Diseo en Acero y Madera
24Miembros Bajo Fuerzas Combinadas y Torsin
En estructuras proyectadas a partir de un anlisis global plstico
la fuerza axil en las
barras (en kN), originada por las cargas verticales y
horizontales, ambas mayoradas, no
deber exceder de:
8. Diseo de Vigas-Columnas
Existen tres mtodos por los cuales se pueden disear
vigas-columnas, de acuero a este
tipo de estado de los elementos, estos son:
1). Mtodo de AISC 1999: Este mtodo es de los ms complicados en
calcular, pero da
el perfil ms econmico. En este mtodo se utiliza el manual del
AISC de dicho ao, se
debe de determinar un Puequivalente y calcular los momentos y
cargas ultimas que
actuaran en el perfil, posterior a eso se debe de escoger un
perfil comprobar su
Puequivalente. Si la Puequivalente segunda es menor que la
primera que se conoci, ese es el
perfil resultante.
2). Mtodo AISC 2005: este mtodo se conoce como Aminmmansur. En
este mtodo,
se le realiza una alteracin a la frmula que se aplica en los
elementos a flexo-
compresin, en donde se disminuye el momento y se le da prioridad
a la compresin,
se calculan diversos trminos que facilitan el proceso de
diseo.
3). Mtodo Yura: este mtodo se realiza en menos iteraciones pero
no da el perfil ms
econmico. Este es uno de los mtodos ms fciles de calcular, ya
que se sugiere un
perfil al inicio, el cual se recomienda que sea W10,W12,W14 por
medio de valores
como la K y L se comprueba que este perfil cumpla para lo
diseado, al final se realiza
un proceso iterativo.
- Mtodo de AISC 1999: Debido a las muchas variables en las
frmulas de interaccin, el
diseo de vigas-columna es esencialmente un proceso de tanteos.
Se selecciona un perfil
de prueba y luego se revisa si ste satisface la frmula de
interaccin gobernante. Es claro
que entre ms cerca est el perfil de prueba a la seleccin final,
se tratar de un perfil
mejor. Un procedimiento muy eficiente para escoger un perfil de
prueba, originalmente
desarrollado para el diseo por esfuerzos permisibles
(Burgett,1973), ha sido adaptado
para el LRFD y se da en la Parte 3 del Manual sobre "Diseo de
Columnas". La esencia de
este mtodo es "convertir" los momentos flexionantes a las cargas
axiales equivalentes.
Esas cargas ficticias se suman a las cargas reales y se
selecciona en las tablas de cargas
para columnas un perfil que soporte la carga total. Esta
seleccin debe entonces
investigarse con la Ecuacin H1-1a o la H1-1b del AISC. La carga
axial efectiva total est
dada por:
-
Diseo en Acero y Madera
25Miembros Bajo Fuerzas Combinadas y Torsin
Donde:
La base de este procedimiento puede examinarse al rescribir la
ecuacin 6.3 como sigue.
Primero, multiplique ambos lados por
El lado derecho de esta desigualdad es la resistencia de diseo
del miembro bajo
consideracin y el lado izquierdo puede estimarse como la carga
factorizada aplicada por
ser resistida. Cada uno delos tres trminos en el lado izquierdo
debe tener unidades de
fuerza ya que las constantes "convierten" los momentos
flexionantes Mux y Muy en
componentes de carga axial.
Los valores promedio de la constante m se han calculado para
diferentes grupos de
perfiles W y estn dados en la Tabla 3-2 en la Parte 3 del
Manual. Los valores de u estn
dados en las tablas de carga para columnas para cada perfil en
la lista. Para seleccionar
un perfil de prueba para un miembro con carga axial y flexin
respecto a ambos ejes,
proceda como sigue:
- Mtodo AISC 2005: Debido a la gran cantidad de variables en las
frmulas de interaccin,
el diseo de vigas-columnas es un proceso que requiere de
mltiples intentos. Un
procedimiento develado por Aminmansour (2000) simplifica los
pasos, especialmente en
la evaluacin de perfiles. En la parte 6 del manual del LRFD
Design of Members subject
to Combined Loading (Diseo de Miembros sometidos a Cargas
Combinadas), podemos encontrar tablas que contienen ayudas de diseo
elaboradas por Aminmansour. Las principales
ecuaciones a tomar en cuenta son:
Si Pr/Pc2, o su equivalente, pPr0.2 asumimos la ecuacin del AISC
H1-1a:
-
Diseo en Acero y Madera
26Miembros Bajo Fuerzas Combinadas y Torsin
La cual puede ser escrita como:
O tambin:
Donde:
Si Pr/Pc
-
Diseo en Acero y Madera
27Miembros Bajo Fuerzas Combinadas y Torsin
Los valores para Cb, B1 y B2 deben ser calculados
independientemente para ser usados en
el clculo de Mr (Mu para el LRFD). El procedimiento de diseo es
el siguiente:
1. Seleccionamos un perfil de prueba de la tabla 6-1 del
manual.
2. Usamos la longitud efectiva KL para seleccionar p, y usamos
la longitud no
arriostrada Lb para seleccionar bx (la constante by determina la
flexin en el eje
dbil, de forma que es independiente de la longitud no
arriostrada). Los valores
de las constantes estn basados en que el pandeo en el eje dbil
controla la fuerza
de compresin axial y que Cb=1.0.
3. Calculamos pPr. Si es mayor o igual que 0.2, usamos la
ecuacin H1-1a, y si es menos,
usamos la ecuacin H1-1b.
4. Evaluamos la ecuacin seleccionada con los valores de p, bb y
by para el perfil de
prueba.
5. Si el resultado no est muy prximo a 1.0, escogemos otro
perfil. Examinando el
valor de cada trmino en las ecuaciones H1-1a y H1-1b podemos
ganar intuicin
sobre que constante necesita ser mayor o menor.
6. Continuamos con el proceso hasta encontrar un perfil que
brinde un resultado de
la ecuacin de interaccin menor, pero cerca a 1.0 (mayor que
0.9).
Verificacin de Tanteo:
Si el pandeo en el eje fuerte controla la resistencia a la
compresin, usamos la
longitud efectiva :
Para obtener p de la tabla 6-1.
Si Cb no es igual a 1.0, el valor de bx debe ser ajustado. Este
procedimiento
propuesto por Aminmansou (2009), se desarrolla desde el punto de
vista del LRFD
de la siguiente manera, para modificar bx en consideracin de
Cb.
-
Diseo en Acero y Madera
28Miembros Bajo Fuerzas Combinadas y Torsin
De esta manera el valor modificado de bx (antes de chequear el
lmite superior)
es el valor de bx que encontramos en la tabla divido entre Cb
porque bMpx es el
valor de bMnx cuando Lb=0, la desigualdad en la ecuacin anterior
ser
satisfactoria cuando:
Por lo tanto:
=
= 0
O tambin:
= max (
, = 0)
Ntese que esta modificacin es independiente del enfoque de diseo
usado.
Diseo de Vigas-Columnas no arriostradas: El diseo preliminar de
vigas-columnas en
prticos arriostrados ya ha sido especificado. El factor de
Amplificacin B1 fue asumido
como 1.0 para propsitos de seleccionar un perfil adecuado; B1
podra entonces ser
evaluado segn frmulas para este perfil seleccionado. En la
prctica, B1 puede casi
siempre ser igual a 1.0. Para vigas-columnas sujetas a
desplazamiento lateral, el factor de
amplificacin B2 es usualmente mayor que 1.0 y debe ser
determinado como se vio
anteriormente. El clculo de B2 ser revisado nuevamente a
continuacin:
Donde Pe story (Pe piso) puede ser obtenido de la siguiente
ecuacin:
-
Diseo en Acero y Madera
29Miembros Bajo Fuerzas Combinadas y Torsin
Donde
Pmf = Suma de cargas verticales en todas las columnas del piso
que son parte del
momento del prtico.
L = Altura de piso
= Desplazamiento lateral del piso en consideracin
= Suma de todas las fuerzas horizontales que generan
Las columnas en un piso deben estar diseadas para un
desplazamiento referencial,
/, el cul es el proporcional al desplazamiento del piso sobre el
alto del mismo. El uso
de un desplazamiento mximo permisible referencial es un
requerimiento que es similar
al lmite en deflexin de vigas. A pesar de que no existen lmites
de desplazamientos
referenciales, usualmente se usan valores entre 1/500 y 1/200.
Recordemos que es el
desplazamiento causado por H, as que si el desplazamiento
referencial est basado en
cargas de servicio, las fuerzas lateral H deben ser tambin de
servicio. Usando
desplazamientos referenciales permisibles prescritos, el
diseador determina el valor
final para B2 desde el principio.
- Mtodo Yura: Aunque el mtodo presentado para seleccionar un
perfil de prueba
converge rpidamente, unenfoque algo ms simple ha sido sugerido
por Yura (1988). La
carga axial equivalente por usar es:
-
Diseo en Acero y Madera
30Miembros Bajo Fuerzas Combinadas y Torsin
9. Ejercicios de Aplicacin:
6.2-1 Determine si la viga- columna que se muestra en la figura
P6.2-2 satisface a la
ecuacin de interaccin apropiada del AISC. La carga y los
momentos mostrados estn
factorizados (las fuerzas cortantes en los extremos no se
muestran) y la flexin es
respecto al eje fuerte.
Solucin:
De la tabla de carga para columnas, la resistencia de diseo por
compresin axial de
un perfil W10x54 con Fy=50 ksi y una longitud efectiva = 1.0 x
13 = 13 pies es
=512 kips.
El momento de diseo para = 1.0 y = 13 , entonces:
= 250 = 80
= 200
Determinando la ecuacin de iteracin
=
80
512= 0.16 < 0.2 Entonces se usa la ecuacin H1-1b del LRFD
Pu2tPn
+ [Mux
bMnx+
MuybMny
] =80
(2)(512)+ [
200
250+ 0] = 0.87 1.0 ()
-
Diseo en Acero y Madera
31Miembros Bajo Fuerzas Combinadas y Torsin
6.2-2 Determine si la viga-columna que se muestra en la figura
P6.2-2 satisface la ecuacin de interaccin apropiada del AISC. Las
cargas y los momentos mostrados estn factorizados (las fuerzas
cortantes en los extremos no se muestran) y la flexin es respecto
al eje fuerte.
SOLUCION: De las tablas de carga para columnas, la resistencia
de diseo por compresin axial de un perfil W8 x 67 con Fy = 36 ksi y
una longitud efectiva Ky L= 1.0 x 16 = 15 pies es: . = 935.07 .
Para una longitud no soportada: = 15ft nbM = 551 ft-kips.
Propiedades geomtricas del perfil w12x96:
A = 28.2 in2 Sx = 131 in3
Zx = 147 in3 Ix = 833 in4
Luego:
Pc = b Pn = 935.07 kips
1 =
1 /
= 1.0
=2
(1)2=
2 29000 833 4
(1.0 16 12
. )2
= 6467.56
1 = 1.0
1 1.0 (600 6467.56 )
= 1.10
-
Diseo en Acero y Madera
32Miembros Bajo Fuerzas Combinadas y Torsin
Mux = 1.02 (220 ft-kips) = 224.4 ft-kips
Mnx = Mp = FyZx = 36 ksi (147 in3) = 5292 kip-in = 441
kip-ft
Mcx = bMnx = 0.90 (441 kips-ft) = 396.9 kip-ft
Chequeamos si cumple con las especificaciones de las frmulas
H1.1
=
=
600
935.07 = 0.64 < 2
Entonces:
2
+ (
+
) 1.0
600
2 (935.07)+ (
224.4
396.9 + 0) 1.0
0.6208 + 0.5654 = 0.8862 1.0 SI CUMPLE
6.3-1 Resuelva el problema 6.2-1, pero incorpore el factor de
amplificacin de la
expresin 6.4:
-
Diseo en Acero y Madera
33Miembros Bajo Fuerzas Combinadas y Torsin
La carga axial factorada es:
Pu = 80 kips
Los momentos factorados son:
Mux = 200 ft-kips
La longitud efectiva para compresin y la longitud no arriostrada
para flexin son las
mismas:
KL = Lb = 13 ft
Propiedades geomtricas del perfil w10x54:
A = 15.8 in2 Sx = 60 in3
Zx = 66.6 in3 Ix = 303 in4
Luego:
Pc = b Pn = 543 kips
1 =
1 /
= 1.0
=2
(1)2=
2 29000 303 4
(1.0 13 12
. )2
= 3563.62
1 = 1.0
1 1.0 (80 3563.62)
= 1.02
Mux = 1.02 (200 ft-kips) = 204 ft-kips
Mnx = Mp = FyZx = 50 ksi (66.6 in3) = 3330 kip-in = 277.5
kip-ft
Mcx = bMnx = 0.90 (277.5 kips-ft) = 249.75 kip-ft
Chequeamos si cumple con las especificaciones de las frmulas
H1.1
-
Diseo en Acero y Madera
34Miembros Bajo Fuerzas Combinadas y Torsin
=
=
80
543 = 0.147 < 2
Entonces:
2
+ (
+
) 1.0
80
2 (543 )+ (
204
249.75 + 0) 1.0
0.0737 + 0.8168 = 0.8905 1.0 Si cumple
6.3-2 Resuelva el problema 6.2-2, pero incorpore el factor de
amplificacin de la
expresin 6.4.
Para W12x96
=
=
(1.0)(15)(12)
5.44= 33.09
=2
()2=
2(29000)(28.2)
(33.09)2= 7371.46
Entonces.
1 =
1 1
=1.0
1 600
7371.46
= 1.09
Entonces el momento de amplificacin es :
1.09 = 239.8
6.4.1 Un perfil W14x43 de acero A572 grado 50 se usa como
viga-columna. Si la carga axial factorizada es de 65kips. Es
compacta el alma? SOLUCIN: Este perfil es compacto para cualquier
valor de la carga axial porque no hay un pie de pgina en la tabla
aplicable de cargas para columnas que indique lo contrario. Sin
embargo, como ilustracin, revisamos aqu la razn ancho-espesor:
. =
.(.) =
65
(0.90)(12.6)(50) = 0.1146 0.125
-
Diseo en Acero y Madera
35Miembros Bajo Fuerzas Combinadas y Torsin
= 640
. (1-
2.75
.) =
640
50. (1-2.75 (0.1146))= 61.99
De las tablas de dimensiones y propiedades:
=
=
13.66
0.305 = 44.79 <
El alma es por lo tanto compacta. Note que, para cualquier Fy
disponible, h/tw ser
menor que yF/253 , que es el menor valor posible de p , por lo
que el alma de un
perfil W14 x 43 siempre ser compacta.
6.4.2 Si la viga-columna del problema 6.4-1 est sometida a una
carga axial de 480 kips,
es el alma compacta?
yb
u
P
P
=
ygb
u
FA
P
480
(0.90)(12.6)(50)= 0.85 > 0.125
.: 98.3985.033.250
19133.2
191
yb
u
y
pP
P
F
253
50= 35.78 < 39.90 98.39p
De las tablas de dimensiones y propiedades, 98.394.37 pt
h
w
Por lo tanto el alma es compacta.
-
Diseo en Acero y Madera
36Miembros Bajo Fuerzas Combinadas y Torsin
6.6.1 Un perfil W12x58 de acero A572 grado 50 est cargado como
se muestra en la figura
P6.6-1. La carga axial y los momentos flexionantes se calcularon
con las cargas factorizadas
(las fuerzas cortantes en los extremos no se muestran). La
flexin es respecto al eje fuerte
y Kx= Ky=1.0. se tiene soporte lateral solo en los extremos.
Cumple este miembro con las
especificaciones AISC?
SOLUCIN: Determinamos cul es la frmula de interaccin que debe
usarse: .
mx. =
.
=
16(12)
2.51 = 76.49
De la Tabla 3-50 del AISC, . = 27.73, por lo que:
. = . . = 17(0.85). (32.62) = 471.4 kip.
. =
300
471.4 = 0.6364 > 0.2 :. Use ecuacin H1-1a del AISC.
En el plano de flexin: .
Mx. =
.
=
16(12)
5.28 = 36.36
1= .
2 =
2..
( .
) =
2.(29000)(17)
36.362 = 3680 kips.
= 0.6 0.4 ( 1
2) = 0.6- 0.4 (-
100
100) =1
-
Diseo en Acero y Madera
37Miembros Bajo Fuerzas Combinadas y Torsin
1 =
1( 1) =
1
1(300
3680) = 1.089
De las cartas para Diseo de Vigas, con Cb = 1.0 y Lb = 16 ft, la
resistencia por momento es: . = 324 ft-kips. Para el valor real de
Cb, es: Cb= 1.32
:. . = (324)= 428 ft-kips.
Pero:
. = 324 kips (de las cartas) < 428 ft-kips.
:. Use: . = 324 kips
Los momentos por carga factorizada son:
Mnt = 100 . 0tlM
De la Ecuacin C1-1 del AISC, = 1. + 2. = 1.089(100) + 0 = 108.9
=
De la ecuacin H1-1a del AISC,
.
+ 8
9(
.
+
.) = 0.6364 +
8
9(
108.9
324) = 0.935 < 1.00 (Satisfactorio)
RESPUESTA: Este miembro es satisfactorio.
-
Diseo en Acero y Madera
38Miembros Bajo Fuerzas Combinadas y Torsin
6.6-2 Un perfil W10x77 de acero A572 grado 50 est sometido a una
carga axial
factorizada de 140 kips, como se muestra en la figura. Si Kx=0.8
y Ky=1.0 Cul es el
momento factorizado mximo Mmax que puede aplicarse alrededor del
eje fuerte en el
extremo superior del miembro? Se tiene soporte lateral slo en
los extremos y el
extremo inferior est articulado.
Encontramos la resistencia a la compresin. Para KL = 0.8 (13.5)
= 10.8 ft., la resistencia
de diseo por compresin axial, de las tablas de carga para
columnas es:
= 801.20 Calculamos los momentos flexionantes respecto al eje
fuerte:
= 0.6 0.4 (12
) = 0.6 0.4(0) = 0.6
=
0.8 13.5 12
4.49= 28.86
= 2
(/)2=
2(29 000)(22.6)
(28.86)2= 7766.29
1 =
1 (/)=
0.6
1 (140
7766.29)= 0.611 < 1.0 1 = 1
= 1 + 2 = 1.0 () + 0 =
De las cartas de diseo de vigas con Lb = 13.5 ft., = 350 ft-kips
para Cb = 1.0 y = 366 ft-kips. Cb = 1.67 y
-
Diseo en Acero y Madera
39Miembros Bajo Fuerzas Combinadas y Torsin
( = 1.0) = 1.67 (350) = 584.5
Este resultado es mayor que por lo tanto, usamos = =
366 . Calculamos los momentos flexionantes respecto al eje
dbil:
= 0.6 0.4 (12
) = 0.6 0.4(0) = 0.6
=
1.0 13.5 12
2.60= 62.31
= 2
(/)2=
2(29 000)(22.6)
(62.31)2= 2666.06
1 =
1 (/)=
0.6
1 (140
2666.06)= 0.633 < 1.0 1 = 1
= 1 + 2 = 1.0 () + 0 =
Como el perfil es compacto:
=
2= 5.9
= 65
=
65
50= 9.192
Lp = 9.2 < = 13.5 < = 39.9
= [ ( ) (
)]
= = = 50(45.9)
12= 191.25
= = ( ) = (50 10)30.1 = 1204
= 100.33
= 1.67 [191.25 (191.25 100.33) (13.5 9.2
39.9 9.2)] = 298.12
-
Diseo en Acero y Madera
40Miembros Bajo Fuerzas Combinadas y Torsin
298.12 > 191.25
= 0.9( 191.25) = 172.13
=
140
801.20= 0.175 < 0.2
Entonces:
2+ (
+
) = 1.0
0.175 + (366
+
172.13) = 1.0
(172.13 + 366
6299.58) = 0.825
172.13 + 366 = 51 974.65
= 301.95
6.6-4 Un perfil W8x67 de acero A36 est cargado como se muestra
en la figura P6.6-4. La flexin es con respecto al eje fuerte y
Kx=Ky=1.0. se tiene un soporte lateral solo en los extremos. Cul es
la carga axial factorizada mxima Pu que puede aplicarse?
-
Diseo en Acero y Madera
41Miembros Bajo Fuerzas Combinadas y Torsin
SOLUCIN:
De las tablas de carga para columnas, la resistencia de diseo
por compresin axial de un perfil W8 x 67 con Fy = 36 ksi y una
longitud efectiva Ky L= 1.0 x 16 = 16 pies es: . = 162.4 .
Para una longitud no soportada: = 16ft nbM = 263 ft-kips.
Para las condiciones de extremo y carga de este problema, bC =
1.32.
Para bC = 1.32, nbM = 263 ft kips.
El momento flexionante mximo ocurre a media altura, por lo
que:
= 22(16)
4= 88 .
Determinamos qu ecuacin de interaccin gobierna:
.
=
162.4
Usamos la Ecuacin H1-1 a del AISC.
.+
8
9(
.+
.) =
162.4+
8
9(
88
263) < 1.00 (Satisfactorio)
162.4+ 0.2974 < 1.00
162.4< 1.00 0.2974
162.4< 0.7026
< 114.10 = 114
Usamos la Ecuacin H1-1 b del AISC.
2..+ (
.+
.) =
2162.4+ (
88
263) 1.00 (Satisfactorio)
2162.4< 0.6654
< 216.12 = 216
RESPUESTA La carga factorizada mxima que se aplicara ser de =
216
.
-
Diseo en Acero y Madera
42Miembros Bajo Fuerzas Combinadas y Torsin
6.7-1 Un perfil W14x109 de acero A572 grado 50 debe investigarse
para usarse como
viga-columna en un marco no arriostrado. La longitud es de 14
pies y no hay cargas
transversales sobre el miembro. Se efectuaron los anlisis de
primer orden del marco
para los casos con y sin desplazamiento lateral. Las cargas
factorizadas y los momentos
correspondientes a una de la combinaciones de carga por
investigarse estn dadas para
este miembro en la siguiente tabla:
Tipo de Anlisis Pu (kips) Mtop (ft-kips) Mbot (ft-kips)
Sin desplazamiento Lateral 300 62 35
Con desplazamiento Lateral - 54 135
La flexin es con respecto al eje fuerte y todos los momentos
causan una flexin de
curvatura doble (todos los momentos de extremo actan en la misma
direccin, es decir,
todos son horarios o todos son antihorarios). Los siguientes
valores se obtienen tambin
de un diseo preliminar:
2 = 54 000 = 8200
Use Kx = 1.0 (caso sin desplazamiento lateral), Kx= 1.7 (caso
con desplazamiento lateral)
y Ky = 1.0. Determine si este miembro satisface las
Especificaciones AISC
Determinamos la fuerza de compresin axial de diseo. Usamos Kx
para la condicin
no arriostrada:
/=
1.7 14
1.68= 14.17 > = 14 .
De las tablas de cargas en columnas con KL = 14.17 ft., =
1166.16
=
300
1166.16= 0.2573 > 0.2
Chequeamos primero la condicin arriostrada. Para el eje de
flexin:
= 0.6 0.4 (35
62) = 0.3742
= 2
(1)2=
2(1)2
= 2(29 000)(1240)
(1.01412)2= 12574.79
1 =
1 (/)=
1 (1.00/)
=0.3742
1 (300
12574.79)
-
Diseo en Acero y Madera
43Miembros Bajo Fuerzas Combinadas y Torsin
= 0.383 < 1.0 1 = 1.0
Condicin sin arriostramiento:
2 =1
1
2
= 1
1 1.00(8200)
54000
= 1.176
El momento total amplificado en la parte de arriba es:
= 1 + 2 = 1.0 (62) + 1.176(54) = 123.50
El momento total amplificado en el pie es:
= 1.0 (35) + 1.176(135) = 193.76
Usamos Mu = 193.76 ft-kips. Calculamos la magnitud del momento.
De las tablas de
diseo de vigas con Lb = 14 ft.
bMn = 714 kip-ft para Cb = 1.0 y bMp = 720 kip-ft
Usando el momento total amplificado, calculamos Cb:
= 12.5
2.5 + 3 + 4 + 3
= 12.5(193.76)
2.5 (193.76) + 3(35.11) + 4(21.83) + 3(78.77)= 2.652
Para Cb = 2.652, bMn = 2.652( 714) = 1893.53 ft-kips
Como 1893.53 > bMp, usamos bMn = bMp = 720 kips-ft
+ 8
9(
+
) = 0.2573 +
8
9 (
193.76
720+ 0) = 0.497
0.497 < 1.0
-
Diseo en Acero y Madera
44Miembros Bajo Fuerzas Combinadas y Torsin
6.8-4 Use acero A572 grado 50 y seleccione el perfil W ms ligero
para el miembro
mostrado en la figura. La carga axial y los momentos flexionante
estn calculados con las
cargas factorizadas. La flexin es con respecto al eje fuerte y
se tiene un arriostramiento
lateral en los puntos A, B y C.
Pu = 10 kips
Wu = 2 kips/ft
Qu = 0
= 1
8
2 +
4=
1
8 (2)(10)2 +
0 (10)
4= 25
Para fines de seleccionar un perfil de prueba, suponemos que B1
= 1.0.
= 1 + 2 = 1.0 (25) + 0 = 25
Para la condicin arriostrada, usamos Kx = 1.0. De la tabla 3-2,
el factor de flexin m
es 2.8 para perfiles W6 con KL = 10 pies
= + + = 10 + 25(2.8) + 0 = 80
Para KL = 10 ft, un W6x15 tiene una resistencia de diseo de cPn
= 115 kips. Para el
eje x.
=
1.0 10 12
2.56= 46.88
= 2
(/)2=
2(29 000)(4.43)
(46.88)2= 576.93
= 0.6 0.4 (12
) = 0.6 0.4(0) = 0.6
-
Diseo en Acero y Madera
45Miembros Bajo Fuerzas Combinadas y Torsin
1 =
1 (/)=
0.6
1 (10
576.93)= 0.611 < 1.0 1 = 1
De las cartas de diseo para vigas con Lb = 5 ft, el momento de
diseo para un w6x15
con Cb=1.0
= 38.5
Para un momento flexionante que vara linealmente desde cero en
un extremo hasta
un mximo en el otro, el valor de Cb es de 1.67. el valor
corregido del momento de
diseo es por lo tanto:
= 1.67 (38.5) = 64.30
Sin embargo, este momento es de mayor capacidad por momento
plstico de =
38.6 . Por lo tanto, la resistencia de diseo debe limitarse
a
= = 38.6
Determinamos la frmula de interaccin apropiada:
=
10
115 = 0.0870 < 2
Entonces:
2+ (
+
) 1.0
0.0870
2+ (
25
35.6 + 0) 1.0
0.746 1.0 Si cumple
-
Diseo en Acero y Madera
46Miembros Bajo Fuerzas Combinadas y Torsin
6.8-9 El marco de un solo piso no arriostrado que se muestra en
la figura est sometido
a una carga muerta, una carga viva de techo y viento. Los
resultados de un anlisis
aproximado estn resumidos en la figura. La carga axial y los
momentos de extremo estn
dados por separado para carga muerta, carga viva de techo,
viento hacia arriba sobre el
techo y carga de viento lateral. Todas las cargas verticales
estn simtricamente
colocadas y contribuyen slo a los momentos Mnt. La carga lateral
produce momentos
Mtl. Considere acero a 572 grado 50 y seleccione un perfil W12
para las oclumnas
(miembros verticales). Disee para un ndice de ladeo de 1/400
basado en la carga de
servicio del viento. La flexin es con respecto al eje fuerte y
cada columna est
lateralmente arriostrada en la parte superior e inferior.
Las combinaciones de cargas que incluyen carga muerta D, carga
viva de techo Lr y
viento W son las siguientes:
A4.2: 1.2D + 0.5Lr
Pu = 1.2 (11) + 0.5 (19) = 22.7 kips
Mnt = 1.2 (45) + 0.5 (74) = 91 ft-kips
Mtl = 0
A4.3: 1.2D + 1.6Lr + 0.8W
Pu = 1.2 (11) + 1.6 (19) + 0.8 (-11 + 1.4) = 35.92 kips
Mnt = 1.2 (45) + 1.6 (74) + 0.8 (-45) = 136.4 ft-kips
Mtl = 0.8 (32) = 25.6 ft-kips
-
Diseo en Acero y Madera
47Miembros Bajo Fuerzas Combinadas y Torsin
A4.4: 1.2D + 1.3 W + 0.5Lr
Pu = 1.2 (11) + 1.3 (-11 +1.4) + 0.5 (19) = 10.22 kips
Mnt = 1.2 (45) + 1.3 (-45) + 0.5 (74) = 32.5 ft-kips
Mtl = 1.3 (32) = 41.6 ft-kips
La combinacin de cargas que gobierna es la A4.3. Esta combinacin
produce la carga
axial mxima y el momento total mximo (la combinacin A4-4 no
puede gobernar a
menos que B2, el factor de amplificacin para Mtl fuese sumamente
grande).
Para fines de seleccionar un perfil de prueba, suponemos que B1
= 1.0. El valor de B2
puede ser calculado:
2 = 1
1 (/ )=
1
1 ( / ) (/)
=1
1 (2(35.92)
3.6 ) (1
400)= 1.053
La carga horizontal no factorizada LH se usa porque el ndice de
ladeo se basa en el
ladeo mximo causado por las cargas de servicio, por lo
tanto:
= 1 + 2 = 1.0 (136.4) + 1.053 (25.6) = 163.36
Debido a que no conocemos los tamaos de los miembros del marco,
no podemos
emplear los nomogramas para el clculo de la longitud efectiva.
Dela C-C2.1
obtenemos que Kx = 2.0. Para la condicin arriostrada, usamos Kx
= 1.0. como el
miembro est arriostrado en la direccin fuera del plano se usar
Ky = 1.0. Podemos
entonces hacer una leccin de prueba. De la tabla 3-2, el factor
de flexin m es 1.4
para perfiles W12 con KL = 18 pies
= + + = 35.92 + 163.36(1.4) + 0 = 264.62
Para KL = KyL = 18 ft, un W12x50 tiene una resistencia de diseo
de cPn = 285 kips.
Para el eje c.
=
1.0 18 12
5.18= 41.70
= 2
(/)2=
2(29 000)(14.7)
(41.70)2= 2419.60
-
Diseo en Acero y Madera
48Miembros Bajo Fuerzas Combinadas y Torsin
= 0.6 0.4 (12
) = 0.6 0.4(0) = 0.6
1 =
1 (/)=
0.6
1 (35.92
2419.60)= 0.609 < 1.0 1 = 1
De las cartas de diseo para vigas con Lb = 18 ft, el momento de
diseo para un w12x50
con Cb=1.0
= 215
Para un momento flexionante que vara linealmente desde cero en
un extremo hasta
un mximo en el otro, el valor de Cb es de 1.67. el valor
corregido del momento de
diseo es por lo tanto:
= 1.67 (215) = 359.05
Sin embargo, este momento es de mayor capacidad por momento
plstico de =
272 . Por lo tanto, la resistencia de diseo debe limitarse a
= = 272
Determinamos la frmula de interaccin apropiada:
=
35.92
285 = 0.126 < 2
Entonces:
2
+ (
+
) 1.0
0.126
2+ (
163.36
272 + 0) 1.0
0.063 + 0.601 = 0.664 1.0 Si cumple
-
Diseo en Acero y Madera
49Miembros Bajo Fuerzas Combinadas y Torsin
6.9-1 Considere acero A36 y seleccione un perfil T para la
cuerda superior de la armadura
mostrada P6.9-1. las armaduras estn espaciadas a cada 18 pies y
estn sometidas a alas
siguientes cargas:
Largueros: M6x4.4, situados en los nudos y a la mitad entre
estos.
Nieve: 20 lb/ft2 de proyeccin de la superficie del techo
Cubierta metlica: 2 lb/ft2
Techado: 4 lb/ft2
Aislante: 3 lb/ft2
SOLUCIN:
Las cargas transmitidas son:
Nieve = 20 (3) (25) = 1500lb = 1.500 kips
Cubierta de metal = 2 libras por pie cuadrado
Techos = 4 libras por pie cuadrado
Aislamiento = 3 libras por pie cuadrado
Total = 9 libras por pie cuadrado
9(3) (25) = 670 lb
Correas = 8.5 (25) = 212.5 lb
Carga muerta total = 675 + 212.5 = 887.5 lb = 0.8875 kips
Combinacin de 3 cargas:
= 1.2 + 1.6 = 1.2(0.8875) + 1.6(1.500) = 1.465
En el momento de extremo fijo para cada miembro de la cuerda
superior es:
= =
8=
3.465(6)
8= 2.599
La reaccin en cada extremo del miembro de cuerda
superior-extremo fijo es:
2
=3.465
2= 1.733
-
Diseo en Acero y Madera
50Miembros Bajo Fuerzas Combinadas y Torsin
Carga puntual del panel interior total: 3.465 + 2(1.733) = 6.931
kips
Carga puntual del panel Exterior:
Nieve = 1500/2 = 750 lb
Techo = 675/2 = 337.5 lb
Correas = 212.5 lb
= 1.2(0.3375 + 0.2125) + 1.6(0.750) = 1.860
Total de la Carga puntual del panel exterior = 1.733 + 1.860 =
3.593 kips
Reaccin en cada extremo = 2(3.593)+7(6.931)
2 = 27.85 kips
Considere un cuerpo libre de la parte de la armadura izquierda
de la seccin a-a:
1 = (27.85 3.593)(18) 6.931(12 + 6) (5) = 0
= 62.37
-
Diseo en Acero y Madera
51Miembros Bajo Fuerzas Combinadas y Torsin
Diseo para una carga de compresin axial de 62.37 kips y un
momento de flexin
de 2.59 ft-kips.
Pruebe con WT5x15. De las tablas de carga de columna con = 6 y
=
3 .
= 166 kips
Para el eje de flexin:
1 =2
()2=
2(29000)(9.28)
(612)2= 512.4
= 1.0 (Miembro cargado transversalmente)
1 =
1 1
=1.0
1 62.37512.4
= 1.139
= 1 + 2 = 1.139(2.599) + 0 = 2.96
La forma es compacta para la flexin. Compruebe el estado lmite
de rendimiento.
Porque el momento mximo es un momento de extremo fijo, estar en
compresin,
suponiendo que la brida est en la parte superior. Para tallos en
compresin.
= = (AISC Equation F9-3)
Desde < el momento en el rendimiento
= = = 50(2.24) = 112
Comprobando el pandeo lateral. De AISC Ecuacin F9-5,
= 2.3 (
)
= 2.3 (5.24
612)
8.35
0.310= 0.8687
-
Diseo en Acero y Madera
52Miembros Bajo Fuerzas Combinadas y Torsin
(El signo menos se utiliza cuando la madre est en compresin en
cualquier lugar a lo
largo del arriostrado longitud.) De AISC Ecuacin F9-4.
= =2
[ + 1 + 2]
=(29000)(8.35)(11200)(0.310)
612[0.8687 + 1 + 0.86872]
= 5755.8
El estado lmite de los controles de rendimiento.
= 0.90(112.0) = 100.8 = 8.4
Determine qu interaccin ecuacin de empleo:
=
62.37
166= 0.3757 < 0.2 Entonces se usa la ecuacin H1-1a del
LRFD
PutPn
+8
9[
MuxbMnx
+Muy
bMny] = 0.3757 +
8
9[2.96
8.4+ 0] = 0.689 1.0 ()