We Analyze and Design the Future MIDAS Family Program은 주식회사 마이다스아이티에서 개발한 구조해석 및 설계, 지반 및 터널해석, 가시설전용 해석 및 설계용 소프트웨어 패키지입니다. MIDAS Family Program과 관련 책자는 컴퓨터 프로그램 보호법과 저작권법에 의하여 보호를 받고 있습니다. 프로그램이나 관련 자료에 대한 문의는 아래 연락처를 참조 바랍니다. 본 사용자 지침서의 작성에 인용된 상표(trademark) 및 등록상표(registered trademark)는 다음과 같습니다. ADINA is a trademark of ADINA R&D, Inc. AutoCAD is a registered trademark of Autodesk, Inc. SAP2000 is registered trademark of Computer and Structure, Inc. Excel is a trademark of Microsoft Corporation. IBM is a registered trademarks of International Business Machines Corporation. Intel 386, 486, and Pentium are trademark of Intel Corporation. MIDAS is a trademark of MIDAS Information Technology Corporation. MSC/NASTRAN is a registered trademark of the National Aeronautics and Space Administration(NASA). NISAⅡis a trademark of Engineering Mechanics Research Corporation. ScreenCam is a trademark of Lotus Development Corporation. Sentinel is a trademark of Rainbow Technologies, Inc. Windows is a trademark of Microsoft Corporation. Internet Explorer is a trademark of Microsoft Corporation. 경기도 성남시 분당구 삼평동 633 판교세븐벤처밸리 마이다스아이티동 Phone : 031-789-2000 Fax : 031-789-2100 E-mail : [email protected]http : //www.midasuser.com Modeling, Integrated Design & Analysis Software
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MIDAS Family Program은 주식회사 마이다스아이티에서 개발한 · Civil, midas FEA, midas UMD, midas Abutment, midas Pier, midas Deck, midas GTS, SoilWorks, GeoXD, midas
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We Analyze and Design the Future
MIDAS Family Program은
주식회사 마이다스아이티에서 개발한
구조해석 및 설계, 지반 및 터널해석, 가시설전용 해석 및 설계용 소프트웨어 패키지입니다.
MIDAS Family Program과 관련 책자는
컴퓨터 프로그램 보호법과 저작권법에 의하여 보호를 받고 있습니다.
프로그램이나 관련 자료에 대한 문의는 아래 연락처를 참조 바랍니다.
본 사용자 지침서의 작성에 인용된 상표(trademark) 및 등록상표(registered trademark)는
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ADINA is a trademark of ADINA R&D, Inc.
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SAP2000 is registered trademark of Computer and Structure, Inc.
Excel is a trademark of Microsoft Corporation.
IBM is a registered trademarks of International Business Machines Corporation.
Intel 386, 486, and Pentium are trademark of Intel Corporation.
MIDAS is a trademark of MIDAS Information Technology Corporation.
MSC/NASTRAN is a registered trademark of the National Aeronautics and Space Administration(NASA).
NISAⅡis a trademark of Engineering Mechanics Research Corporation.
ScreenCam is a trademark of Lotus Development Corporation.
Sentinel is a trademark of Rainbow Technologies, Inc.
Windows is a trademark of Microsoft Corporation.
Internet Explorer is a trademark of Microsoft Corporation.
경기도 성남시 분당구 삼평동 633 판교세븐벤처밸리 마이다스아이티동Phone : 031-789-2000 Fax : 031-789-2100 E-mail : [email protected] http : //www.midasuser.com
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프로그램 검증과 사용전 유의 사항
MIDAS Family Program은 개발단계에서 수천종의 예제 문제를 통하여 이론치 그리고 타 S/W와의 비교검증
을 마친바 있으며 최신의 이론을 내장하여 우수한 해석결과를 산출합니다.
그리고 1989년 개발 이후 관공서를 포함해 국내외 5,000여 프로젝트에 적용하여 정확성과 효용성이 입증되
었습니다.
MIDAS Family Program은 사단법인 한국전산구조공학회와 사단법인 한국터널공학회의 엄격한 검증과정을
거친 프로그램입니다.
그러나 방대한 양의 이론과 설계지식이 집적되는 구조해석 및 설계 프로그램의 특성상, MIDAS Family
Program을 사용함으로써 발생될 수 있는 어떠한 이익과 손실에 대해서도 MIDAS Family Program의 개발
후원자와 개발자 그리고, 검증참여기관에게는 권리와 책임이 없습니다.
따라서 프로그램을 사용하기 전에 사용자지침서에 대한 충분한 이해과정이 필요하며 프로그램의 수행결과에
대해서도 사용자의 검증이 반드시 필요합니다.
DISCLAIMER
Developers and sponsors assume no responsibility for the use of MIDAS Family Program (midas
유한요소(Fnite Element)란 구조물을 구성하는 각 구조요소의 구조적 특성을 수학적
인 방법으로 이상화한 것이기 때문에 해당 구조요소의 특성을 모든 경우에 대해 완
벽하게 묘사하기는 어렵습니다.
따라서 전술한 바와 같이 사용하고자 하는 유한요소의 특성을 충분히 파악하고, 각
유한요소간의 접합시 나타나는 거동을 정확하게 분석하여 설계에 적용하는 것이 바
람직합니다.
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midas Civil에서는 다음과 같은 좌표계를 사용하고 있습니다.
전체좌표계 (Global Coordinate System)
요소좌표계 (Element Coordinate System)
절점좌표계 (Node Local Coordinate System)
전체좌표계는 오른손법칙을 따르는 X, Y, Z축의 직교좌표계(Conventional Cartesian
Coordinate System)를 사용하며, 대문자로 “X, Y, Z”축으로 표현합니다. 절점데이터,
절점과 관련하여 입력되는 대부분의 데이터, 절점변위 그리고 반력 등이 본 좌표계를
따르게 됩니다.
전체좌표계는 구조해석을 수행하고자 하는 구조물의 기하학적 위치를 입력하는데 사
용되며, 이때의 기준점(Reference Point)은 프로그램 내부에서 X=0, Y=0, Z=0인 위치
에 자동으로 설정됩니다. midas Civil에서는 프로그램 화면의 수직방향이 전체좌표계
Z축방향으로 구성되어 있기 때문에 구조물의 수직방향(중력가속도 작용방향의 반대
방향)을 전체좌표계 Z방향과 평행하도록 입력하는 것이 편리합니다.
요소좌표계는 오른손법칙을 따르는 x, y, z축의 직교좌표계를 사용하며, 소문자 “x, y,
z”로 축을 표현합니다.
요소내력, 응력 등과 요소와 관련되어 입력되는 대부분의 데이터가 이 좌표계를 따릅
니다.
절점좌표계(Node local Coordinate System)는 절점에 전체좌표계와 일치하지 않는 임
의의 방향으로 구속조건, 경계스프링 또는 강제변위 등의 경계조건을 입력하거나 임
의의 방향으로 반력을 계산하여 출력하고자 할 경우에 사용됩니다.
절점좌표계는 오른손법칙을 따르는 x, y, z축의 직교좌표계를 사용하며, “x, y, z”축으
로 표현합니다.
Chapter 2. 좌표계와 절점
Chapter 2 | 좌표계와 절점
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그림 1.2.1 전체좌표계와 절점좌표
a node(Xi, Yi, Zi)
Reference point (origin)of the GlobalCoordinate System
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midas Civil에서 사용 가능한 유한요소의 종류(Element Library)는 다음과 같습니다.
트러스요소 (Truss Element)
인장력전담요소 (Tension-only Element, Hook 기능 포함)
케이블요소 (Cable Element)
압축력전담요소 (Compression-only Element, Gap 기능 포함)
보요소/변단면요소 (Beam Element/Tapered Beam Element)
평면응력요소 (Plane Stress Element)
평면변형요소 (2D Plane Strain Element)
축대칭요소 (2D Axisymmetric Element)
판요소 (Plate Element)
입체요소 (Solid Element)
유한요소의 입력은 유한요소종류와 재료적 성질, 강성데이터 그리고 위치, 모양, 크기
를 입력하기 위한 연결절점번호를 입력함으로써 이루어 집니다.
Chapter 3. 유한요소의 종류
Chapter 3 | 유한요소의 종류
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3-1-1 일반사항
이 요소는 2개의 절점에 의해 정의되는 "Uniaxial Tension-Compression 3D Line
Element"로서, 일반적으로 공간트러스(Space Truss) 또는 대각부재(Diagonal Brace)
등을 모델링 하는데 사용되며 요소 축방향의 힘만 전달할 수 있습니다.
3-1-2 요소자유도 및 요소좌표계
요소자유도는 요소좌표계 x방향의 변위자유도만 갖습니다.
요소좌표계는 모든 요소의 부재력 또는 응력의 출력 기준이 되고, 특히 보요소의 전
단강성과 휨강성의 입력방향을 정하는 기준이 되기 때문에 이 개념을 정확히 이해하
는 것이 중요합니다.
트러스나 인장력/압축력 전담요소와 같이 축방향 강성만 가지는 요소의 경우는 요소
좌표계 x축만 의미를 가지며 y, z축은 의미를 가지지 않지만, 그래픽 화면상에 부재
단면의 배치방향을 지정하는데 필요합니다.
midas Civil은 사용자 편의를 위해 요소좌표계 y, z축의 방향을 지정하는데 Beta
Angle(β) 개념을 사용합니다.
모든 선요소의 요소좌표계 x축은 N1 절점에서 N2 절점으로 진행하는 방향이 됩니
다. ( 그림 1.3.2 참조) 선요소의 요소좌표계 x축이 전체좌표계 Z축과 평행하면 Beta
Angle은 전체좌표계 X축과 요소좌표계 z축이 이루는 각도가 됩니다. 각도의 부호는
요소좌표계 x축을 회전축으로 한 오른손법칙을 따릅니다. 그리고, 요소좌표계 x축이
전체좌표계 Z축과 평행하지 않으면 Beta Angle은 전체좌표계 Z축과 요소좌표계 x-z
평면이 이루는 수직각도가 됩니다.
midas Civil에서 선요소란
트러스, 인장력전담, 압축
력전담, 보, 변단면요소와
같이 선형인 요소를 통칭
하며, 면요소(또는 판형요
소)는 평면응력요소, 판요
소, 평면변형요소, 축대칭
요소 등을 의미한다.
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(a) 수직부재인 경우 (요소좌표계 x축이 전체좌표계 Z축과 평행할 경우)
(b) 수평 또는 대각부재인 경우 (요소좌표계 x축이 전체좌표계 Z축과 평행하지 않을 경우)
그림 1.3.1 Beta Angle의 개념도
X′: axis passing through node N1 and parallel with the global X-axis Y′: axis passing through node N1 and parallel with the global Y-axis Z′: axis passing through node N1 and parallel with the global Z-axis
GCS
GCS
Chapter 3 | 유한요소의 종류
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3-1-3 요소관련 기능
Create Elements 요소의 입력
Material 재료적 성질 입력
Section 단면성질 입력
Pretension Loads 프리텐션하중 입력
3-1-4 요소내력 출력내용
요소내력의 출력치에 대한 부호규약은 그림 1.3.2와 같고, 화살표 방향이 양(+)의 방
향을 의미합니다.
그림 1.3.2 트러스요소의 요소좌표계 및 요소내력(또는 응력) 출력치의 부호규약
ECS z-axis
Axial Force
ECS x-axis
ECS y-axis
Axial Force
※ 화살표 방향이 양(+)의 방향을 의미한다.
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그림 1.3.3 트러스요소의 요소내력 및 요소응력 출력 예
Chapter 3 | 유한요소의 종류
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3-2-1 일반사항
이 요소는 2개의 절점에 의해 정의되는 “Tension-only 3D Line Element”로서,
일반적으로 Wind Brace나 Hook Element 등을 모델링 하는데 사용되며, 요소 축방
향의 인장력만 전달할 수 있습니다.
인장력전담요소에서 입력할 수 있는 요소의 종류는 다음과 같습니다.
Truss
인장력전담요소로 인장력만을 받을 수 있는 트러스요소를 정의하는데 사용됩
니다.
Hook
인장력전담요소로 일정한 초기간격(Hook Distance)을 가지며, 이 간격만큼
변위가 발생한 후에 요소의 강성이 발현됩니다.
그림 1.3.4 인장력 전담요소의 형태에 따른 개념도
(a) Truss Type (b) Hook Type
if hook distance = 0 if hook distance > 0
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3-2-2 요소자유도 및 요소좌표계
“트러스요소”와 동일한 요소자유도를 가지며, 요소좌표계도 동일한 체계를 따릅니다.
3-2-3 요소관련 기능
Main Control Data 인장력전담요소의 반복해석시 사용되는 수렴조건 입력
Material 재료적 성질 입력
Section 단면성질 입력
Pretension Loads 프리텐션하중 입력
3-2-4 요소내력 출력 내용
“트러스요소”와 동일한 부호체계를 따릅니다.
Chapter 3 | 유한요소의 종류
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3-3-1 일반사항
이 요소는 2개의 절점에 의해 정의되는 “Tension-only 3D Line Element”로서,
요소 축방향의 인장력만 전달할 수 있으며, 부재의 장력에 따라 강성이 변화하는 케
이블의 특성을 고려하는데 사용됩니다.
케이블요소는 선형해석시 등가 트러스요소로, 기하비선형 해석시 탄성현수선 요소로
자동 전환되어 해석에 적용됩니다.
그림 1.3.5 케이블 요소의 개념도
3-3-2 등가 트러스요소
등가 트러스요소의 강성은 일반 탄성강성과 처짐(Sag)에 의한 강성으로 구성되며 장
력의 변화에 따른 강성은 아래와 같은 식으로 산정합니다.
1
1/ 1/combsag elastic
KK K
2
3
( )1
12
comb
H
EAK
wL EAL
T
elastic
EAK
L ,
3
2 2
12sag
H
TK
w LL
여기서 E : 탄성계수 A : 단면적
L : 길이 w : 단위길이당 자중
T : 장력 LH : 수평 길이
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3-3-3 탄성현수선요소 (Elastic Catenary Cable Element)
midas Civil에서 기하비선형 해석에 적용하는 케이블요소에 대한 접선강성은 다음과
같은 방법으로 계산합니다.
그림 1.3.6과 같이 두 점을 갖는 케이블 요소에 i점에서의 변위 1 , 2 , 3 와 j점에
서의 변위 4 , 5 , 6 가 발생하여 절점력이 0 0 0 0 0 01 2 3 4 5 6, , , , ,F F F F F F 에서
1 2 3 4 5 6, , , , ,F F F F F F 으로 변환되었을 때 절점력과 변위의 평형관계는 다음과 같습니다.
4 1F F
5 2F F
6 3 0 0F F L (단, 0 로 가정 가능)
01 2 3( , , )x x 1 4l l f F F F
01 2 3( , , )y y 2 5l l g F F F
01 2 3( , , )z z 3 6l l h F F F
그림 1.3.6 탄성현수선요소(케이블)의 접선강성 개념도
Chapter 3 | 유한요소의 종류
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케이블의 전체좌표계 방향별 길이에 대한 미분식은 아래와 같고, 변위와 하중에 대한
관계를 정리하면 유연도 행렬([F])을 구할 수 있습니다. 유연도 행렬의 역행렬을 계
산하여 케이블의 접선강성([K])을 구합니다. 케이블의 강성은 한번에 구해지는 것이
아니라 평형 상태에 도달할 때까지 반복적인 해석을 통하여 구할 수 있습니다.
1 2 31 2 3
1 2 31 2 3
x 1 2 31 2 3
y
z
f f fdl = dF + dF + dF
F F F
g g gdl dF dF dF
F F F
h h hdl dF dF dF
F F F
1
2
3
x
y
z
dl dF
dl F dF
dl dF
, 1 2 3
11 12 13
21 22 231 2 3
31 32 33
1 2 3
f f f
F F Ff f f
g g gF f f f
F F Ff f f
h h h
F F F
1
2
3
x
y
z
dF dl
dF K dl
dF dl
, ( 1K F )
유연도 행렬의 각 원소들은 아래 식과 같이 구성됩니다.
011 3 0 3
1 0
1f Lf ln F wL B ln F A
F EA w
2
12 2
3 0 3
1 1F
w B F wL B A F A
1 2
12 2 22 3 0 3
1 1f F Ff
F w B F wL B A F A
1 3 0 3
13 2 23 3 0 3
f F F wL B F Af
F w B F wL B A F A
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21 121
gf f
F
022 3 0 3
2 0
1g Lf ln F wL B ln F A
F EA w
2
22 2
3 0 3
1 1F
w B F wL B A F A
223 13
3 1
g Ff f
F F
131
1
1 1h Ff
F w B A
232 31
2 1
h Ff f
F F
0 3 0 333
3 0
1h L F wL Ff
F EA w B A
1/ 21/ 2 22 2 2 2 21 2 3 1 2 3 0,A F F F B F F F wL
)
TdF K d
(단,
1 1 1 1 1 1
1 2 3 4 5 6
2 2 2 2 2 2
1 2 3 4 5 6
3 3 3 3 3 3
1 2 3 4 5 6T
1 1 1 1 1 1
1 2 3 4 5 6
1 2 2 2 2 2
1 2 3 4 5 6
1
F F F F F F
F F F F F F
F F F F F F
KF F F F F F
F F F F F F
F
ii ij
ii ij
3 3 3 3 3
1 2 3 4 5 6
F F
F F
F F F F F
)
Chapter 3 | 유한요소의 종류
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3-4-1 일반사항
이 요소는 2개의 절점에 의해 정의되는 “Compression-only 3D Line Element”로서,
접촉문제나 지반경계조건 등을 모델링 하는데 사용되며, 요소 축방향의 압축력만 전
달할 수 있습니다. 압축력전담요소에서 입력할 수 있는 요소의 종류는 다음과 같습니
다.
Truss
압축력전담요소로 압축력만을 받을 수 있는 트러스요소를 정의하는데 사용됩
니다.
Gap
압축력전담요소로 일정한 초기간격(Gap Distance)을 가지며, 그 간격만큼
변위가 발생한 후에 요소의 강성이 발현 됩니다.
3-4-2 요소자유도 및 요소좌표계
“트러스요소”와 동일한 요소자유도를 가지며, 요소좌표계도 동일한 체계를 따릅니
다.
3-4-3 요소관련 기능
Main Control Data 인장력전담요소의 반복해석시 사용되는 수렴조건 입력
Material 재료적 성질 입력
Section 단면성질 입력
Pretension Loads 프리텐션하중 입력
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We Analyze and Design the Future 17
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3-4-4 요소내력 출력내용
“트러스요소”와 동일한 부호체계를 따릅니다.
그림 1.3.7 압축력 전담요소의 형태에 따른 개념도
if gap distance = 0 if gap distance > 0
(a) Truss Type (b)Gap Type
Chapter 3 | 유한요소의 종류
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3-5-1 일반사항
이 요소는 2개의 절점에 의해 정의되는 보요소(Prismatic/Non-prismatic 3D Beam
Element)로서, 인장 및 압축, 전단, 굽힘, 비틀림 등의 거동에 대한 강성을 갖도록
정식화(Timoshenko Beam Theory) 되어 있습니다.
보요소의 단면이 전체길이에 걸쳐 균일한 경우(Prismatic Beam Element)에는 한개
의 단면을 Section 대화상자에서 입력하고, 비균일단면(Non-prismatic Beam
Element)을 가진 경우에는 양단의 단면 두개를 각각 입력하게 됩니다.
midas Civil에서 비균일단면을 가진 보요소의 단면성질 중 단면적과 유효전단면적,
비틀림강성에 대해서는 요소좌표계 x축을 따라 한쪽 단부에서 반대쪽 단부까지 1차
적으로 변화(Linear Variation)하는 것으로 가정하고, 강축 또는 약축방향에 대한 단
면2차모멘트에 대해서는 사용자의 선택에 따라 1차, 2차 또는 3차(Linear, Parabolic
or Cubic Variation) 함수 형태의 변화를 고려할 수 있습니다.
3-5-2 요소자유도 및 요소좌표계
요소자유도는 요소좌표계 또는 전체좌표계에 관계없이 절점당 세 가지의 이동변위
(Translation) 성분과 세 가지의 회전변위(Rotation) 성분을 가지게 됩니다.
요소좌표계는 트러스요소와 동일한 체계를 따릅니다.
Analysis for Civil Structure
We Analyze and Design the Future 19
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3-5-3 요소관련 기능
Create Elements 요소 입력
Material 재료적 성질 입력
Section 단면성질 입력
Beam End Release 양 절점의 접속상태 (단부해제, 강접 또는 힌
지접합 등) 지정
Beam End Offsets 양단의 강체이격거리(rigid end offset distance)
입력
Element Beam Loads 보하중의 입력 (보요소의 중간에 작용하는 집
중 또는 분포하중)
Line Beam Loads 재하범위를 지정하여 보하중을 입력
Assign Floor Loads 바닥판하중을 보하중 형태로 치환하여 입력
Prestress Beam Loads 프리스트레스하중 입력
Temperature Gradient 온도구배 입력
Beam Section Temperature 비선형 온도 분포 하중 입력
Tendon Prestress Loads 텐던을 사용한 프리스트레스 하중 입력
Chapter 3 | 유한요소의 종류
20We Analyze and Design the Future
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3-5-4 요소내력 출력내용
요소내력의 출력치에 대한 부호규약은 그림 1.3.8과 같고, 화살표 방향이 양(+)의 방
향을 의미합니다.
부재응력의 부호규약은 요소내력과 동일합니다.
단, 휨모멘트에 의한 응력의 경우는 인장일 때 ‘+’ 그리고 압축일 때 ‘-’부호를
가집니다.
그림 1.3.8 보요소의 요소좌표계 및 요소내력(또는 응력) 출력치의 부호규약
Sheary
Shearz
Sheary
Shearz
Axial Force
Axial Force
Torque
ECS z-axis
ECS y-axis
Momenty
Momentz
Torque
Momenty
ECS x-axis
Momentz
1/4pt.
1/2pt.
3/4pt.
※ 내력 출력치의 부호는 화살표 방향이 양(+)의 부호를 가진다.
Analysis for Civil Structure
We Analyze and Design the Future 21
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그림 1.3.9 보요소의 요소내력 및 요소응력 출력 예
Chapter 3 | 유한요소의 종류
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3-6-1 일반사항
이 요소는 동일평면상에 위치한 3개 또는 4개의 절점에 의해 정의되는 평면응력요소
(3D Plane Stress Element)로서, 평면방향으로만 하중을 받을 수 있고 두께가 요소면
의 전체에 걸쳐 균일한 박판(Membrane)의 모델링에 사용됩니다.
midas Civil에서 이 요소는 비적합모드를 가진 등매개 평면응력이론(Isoparametric
Plane Stress Formulation with Incompatible Modes)을 사용하여 정식화 되었습니다.
따라서 이 요소의 두께방향 응력성분은 존재하지 않으며 두께방향의 변형율은
Poisson Effects에 의해 존재하는 것으로 가정합니다.
3-6-2 요소자유도 및 요소좌표계
요소자유도는 요소좌표계를 기준으로 x, y방향의 변위자유도만을 가지게 됩니다.
요소좌표계는 오른손법칙에 준한 x, y, z축의 직교좌표계를 따르며, 요소좌표계의 방향
은 그림 1.3.10과 같이 설정됩니다.
사각형요소의 경우는 연결절점의 입력순서대로 오른손법칙에 따라 회전할 때(N1→
N2→N3→N4) 요소중심에서 요소면의 수직방향으로 엄지손가락 방향이 요소좌표계 z
축이 됩니다. 그리고 요소좌표계 x축 방향은 N1과 N4를 잇는 선분의 중심에서 N2와
N3을 잇는 선분의 중심까지 직선으로 연결할 때 그 직선의 진행방향이 되며, 요소평
면상에서 오른손 좌표계를 기준으로 x축과 수직을 이루는 축이 요소좌표계 y축이 됩
니다.
삼각형요소의 경우는 면의 중심점에서 N1부터 N2로 진행하는 방향이 요소좌표계의
x방향이 되고, 나머지 y, z축 방향은 사각형요소의 경우와 동일합니다.
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(a) 사각형요소의 요소좌표계
(b) 삼각형요소의 요소좌표계
그림 1.3.10 평면응력요소의 배치 및 요소좌표계
ECS z-axis (normal to the element surface)
Node numbering order for creating the element (N1N2N3N4)
ECS y-axis (perpendicular to ECS x-axis in the element plane)
Center of Element
ECS x-axis (N1 to N2 direction)
N3
N2
N1
N4
Node numbering order for creating the element (N1N2N3)
ECS z-axis (normal to the element surface)
ECS y-axis (perpendicular to ECS x-axis in the element plane)
ECS x-axis (N1 to N2 direction)
Center of Element N2
N1
N3
Chapter 3 | 유한요소의 종류
24We Analyze and Design the Future
mid
as C
ivil
3-6-3 요소관련 기능
Create Elements 요소 입력
Material 재료적 성질 입력
Thickness 요소두께의 입력
Pressure Loads 요소의 변에 수직방향으로 압력하중 입력
평면응력요소의 압력하중은 그림 1.3.11과 같이 각 변에 수
직방향으로 입력됩니다.
그림 1.3.11 평면응력요소의 압력하중
Edge No.1
Edge No.2 Edge No.4
Edge No.3 N4 N3
N1N2
Analysis for Civil Structure
We Analyze and Design the Future 25
mid
as C
ivil
3-6-4 적분점
3절점 삼각형 요소
이 요소는 1 Point Gauss 적분을 이용하므로, 적분에 적용되는 자연좌표계에서 적분
점 좌표는 (1/3, 1/3) 입니다.
그림 1.3.12 3절점 평면응력요소의 적분점위치
이 요소의 기하학적 형상함수는 1 1N , 2N , 3N 이므로 요소내 특정
위치에서의 좌표값은 형상함수를 이용하여 다음 식과 같이 구할 수 있습니다.
1
,N N
p i i p i ii i
x N x y N y
이 요소의 적분점 좌표인 1/ 3 , 1/ 3 을 형상함수에 대입하면 전체좌표계에서
적분점의 좌표를 구할 수 있습니다.
3
1 2 3 1 2 31
1 1 1 1 11
3 3 3 3 3p i ii
x N x x x x x x x
1 2 3
1
3py y y y
xy
N1
N2
N3
P
1 1,
3 3P
Chapter 3 | 유한요소의 종류
26We Analyze and Design the Future
mid
as C
ivil
4절점 사각형 요소
이 요소는 4 Point Gauss 적분을 이용하므로, 적분에 적용되는 자연좌표계에서 적분
점 좌표 iP 는 다음 그림과 같습니다.
그림 1.3.13 4절점 평면응력요소의 적분점위치
이 요소의 기하학적 형상함수는 다음 식과 같습니다.
1 2 3 4
1 1 1 11 1 , 1 1 , 1 1 , 1 1
4 4 4 4N N N N
이 요소의 적분점 좌표인 iP 를 형상함수에 대입하면 전체좌표계에서 적분점의 좌표
를 구할 수 있습니다. 예를 들어 첫 번째 적분점 좌표 1P 에 대한 전체좌표계에서 x
좌표를 구하면 다음과 같습니다.
4
1 1 2 3 41
12 3 2 3
6p i ii
x N x x x x x
같은 방법으로 각 적분점에 대해 전체좌표계에서 좌표를 구하면 다음과 같습니다.
1
2
3
4
2 3 1 2 3 1
2 3 1 2 31
6 2 3 1
2 3
p
x
xx
x
xsymmetry
xy
1
3
1
3
1
3
1
3
N1
N2
N3
N4
P4P3
P1P2
1
2
3
4
1 1,
3 3
1 1,
3 3
1 1,
3 3
1 1,
3 3
P
P
P
P
Analysis for Civil Structure
We Analyze and Design the Future 27
mid
as C
ivil
1
2
3
4
2 3 1 2 3 1
2 3 1 2 31
6 2 3 1
2 3
p
y
yy
y
ysymmetry
3-6-5 응력계산법(Extrapolation)
3절점 삼각형 요소의 경우 1 Point Gauss 적분을 하므로 모든 절점에 대해 적분점에
서 계산된 응력을 동일하게 적용합니다.
그림 1.3.14 4절점 평면응력요소에 대한 적분점에서 응력에 대한 외삽법
4절점 사각형 요소의 경우 각 적분점은 요소좌표계의 좌표절점과 다음과 같은 관계
를 갖습니다.
3 , 3s t
요소 내부의 특정 위치에서 응력은 형상함수를 이용하여 구할 수 있습니다.
1, 2, 3, 4N i iN i
1s 1s
1t
1t
1
1
1
1 1
1
1
1
Chapter 3 | 유한요소의 종류
28We Analyze and Design the Future
mid
as C
ivil
예를 들어 절점 1에서 응력을 계산하면 다음과 같습니다.
4
1 1 2
1
3 4
1 2 3 4
11 3 1 3 1 3 1 3
4
1 3 1 3 1 3 1 3
14 2 3 2 4 2 3 2
4
N i i
i
N
같은 방법으로 각 절점에서 응력을 구하면 다음과 같습니다.
1 1
2 2
3 3
4 4
2 3 1 2 3 1
2 3 1 2 31
2 2 3 1
2 3
N
N
N
N
3-6-6 요소내력 출력내용
평면응력요소의 요소내력 및 응력은 다음과 같이 출력되며 부호와 방향은 요소좌표
계 또는 전체좌표계를 따릅니다. 여기서는 요소좌표계를 기준으로 설명합니다.
연결절점에서의 요소내력 출력
연결절점과 요소중심에서 요소응력 출력
연결절점에서의 요소내력은 절점에서 산출된 각 성분별 변위와 해당요소 강성성분을
곱한 값으로 출력됩니다. 연결절점과 요소중심에서의 응력은 요소내의 적분점(Gauss
Point)에서 연산된 응력을 이용하여 외삽법(Extrapolation)에 의해 산출됩니다.
요소내력의 출력
요소내력의 출력치에 대한 부호규약은 그림 1.3.15와 같고, 화살표방향이 양
(+)의 방향을 의미합니다.
Analysis for Civil Structure
We Analyze and Design the Future 29
mid
as C
ivil
요소응력의 출력
요소응력의 출력치에 대한 부호규약은 그림 1.3.16과 같고, 화살표방향이 양
(+)의 방향을 의미합니다.
그림 1.3.15 평면응력요소의 연결절점에서의 내력출력치 부호규약
(a) 사각형요소의 절점내력
(b) 삼각형요소의 절점내력
Center of Element
Center of Element
Chapter 3 | 유한요소의 종류
30We Analyze and Design the Future
mid
as C
ivil
(a) 축응력 및 전단응력 성분 (b) 주응력 성분
:
:
:
:
:
x
x
xy
2
x y x y 21 xy
2
σ
σ
τ
σ +σ σ σσ = + +τ
2 2
σσ =
Axial stress in the ECS x - direction
Axial stress in the ECS y - direction
Shear stress in the ECS x - y plane
Maximum principal stress
Minimum principal stress
:
:
: ( )
2
x y x y 2xy
2
x y 2xy xy
2 2eff 1 1 2 2
+σ σ σ+τ
2 2
σ στ = +τ
2
θ
σ = σ σ σ +σ
Maximum shear stress
Angle between the x - axis and the principal axis,1
von - Mises Stress
그림 1.3.16 평면응력요소의 응력출력위치 및 출력치의 부호규약
※ 요소응력의 출력은 요소좌표계를 따르며 화살표 방향이 양(+)의 방향을 의미한다. σy
σy
σx σx
σ2
σ2 σ1
σ1 τxy
τxy
τxy
y y
x x
τxy
τxy
σx
Analysis for Civil Structure
We Analyze and Design the Future 31
mid
as C
ivil
3-7-1 일반사항
이 요소는 댐(Dam) 또는 터널(Tunnel) 등과 같이 일정한 단면을 유지하면서 길이가
긴 구조물의 해석에 사용될 수 있으며, 등매개 평면변형이론(Isoparametric Plane
Strain Formulation with Incompatible Modes)을 근거로 개발되었습니다.
이 요소는 다른 종류의 요소와 혼용할 수 없으며 요소의 특성상 선형정적해석에만
적용 가능합니다.
midas Civil에서는 요소가 X-Z 평면상에 위치하도록 입력되며 요소의 두께는 그림
1.3.17과 같이 1.0(단위 폭)으로 자동 고려됩니다.
이 요소는 평면변형적 특성을 근거로 하기 때문에 두께방향 변형율성분은 존재하지
않으며, 두께방향의 응력성분은 Poisson Effects에 의해 존재하는 것으로 가정합니
다.
그림 1.3.17 2차원 평면변형요소의 두께
1.0(Unit thickness)
Plane strain elements
Chapter 3 | 유한요소의 종류
32We Analyze and Design the Future
mid
as C
ivil
3-7-2 요소자유도 및 요소좌표계
midas Civil에서 평면변형요소의 요소좌표계는 프로그램 내부에서 요소강성행렬을
계산하거나, 후처리 모드(Post-processing Mode)에서 사용자가 요소좌표계를 기준
으로 응력성분을 도화처리할 때 사용됩니다.
요소자유도는 전체좌표계를 기준으로 X, Z방향의 변위자유도만을 가지게 됩니다.
요소좌표계는 오른손법칙에 준한 x, y, z축의 직교좌표계를 따르며, 요소좌표계의 방
향은 그림 1.3.18과 같이 설정됩니다.
사각형요소의 경우는 연결절점의 입력순서대로 오른손법칙에 따라 회전할 때(N1→N2
→N3→N4) 요소중심에서 요소면의 수직방향으로 엄지손가락 방향이 요소좌표계 z축
이 됩니다. 그리고 요소좌표계 x축 방향은 N1과 N4를 잇는 선분의 중심에서 N2와
N3을 잇는 선분의 중심까지 직선으로 연결할 때 그 직선의 진행방향이 되며, 요소평
면상에서 오른손 좌표계를 기준으로 x축과 수직을 이루는 축이 요소좌표계 y축이 됩
니다.
삼각형요소의 경우는 면의 중심점에서 N1부터 N2로 진행하는 방향이 요소좌표계의
x방향이 되고, 나머지 y, z축 방향은 사각형요소의 경우와 동일합니다.
Analysis for Civil Structure
We Analyze and Design the Future 33
mid
as C
ivil
그림 1.3.18 평면변형요소의 배치 및 요소좌표계, 절점내력
ESC y-axis (perpendicular to ESC x-axis in the element plane)
Node numbering order for creating the element
(N1N2N3N4)
ECS x-axis (N1 to N2 direction)
ECS z-axis (normal to the element surface, out of the paper)
Center of Element
GCS (a) 사각형요소
(b) 삼각형요소 GCS
ECS y-axis (perpendicular ECS x-axis in the element plane
Node numbering order for creating the element (N1N2N3)
ECS z-axis (normal to the element surface, out of the paper)
ECS x-axis (N1 to N2 direction)
Center of Element
X
Z
Chapter 3 | 유한요소의 종류
34We Analyze and Design the Future
mid
as C
ivil
3-7-3 요소관련 기능
Create Elements 요소 입력
Material 재료적 성질 입력
Pressure Loads 요소의 변에 수직방향으로 압력하중 입력
평면변형요소의 압력하중은 그림 1.3.19와 같이 각 변에 수직방향으로 입력되며, 압
력하중의 작용면적은 그림 1.3.17과 같이 단위폭(1.0)만큼 자동 고려됩니다.
그림 1.3.19 평면변형요소의 압력하중
edge number 1
edge number 2 edge number 4
edge number 3
GCS
N3
N2 N1
N4
Analysis for Civil Structure
We Analyze and Design the Future 35
mid
as C
ivil
3-7-4 적분점
3절점 삼각형 요소
이 요소는 1 Point Gauss 적분을 이용하므로, 적분에 적용되는 자연좌표계에서 적분
점 좌표는 (1/3, 1/3) 입니다.
그림 1.3.20 3절점 평면변형률요소의 적분점위치
이 요소의 기하학적 형상함수는 1 1N , 2N , 3N 이므로 요소내 특정
위치에서의 좌표값은 형상함수를 이용하여 다음 식과 같이 구할 수 있습니다.
1
,N N
p i i p i ii i
x N x z N z
이 요소의 적분점 좌표인 1/ 3 , 1/ 3 을 형상함수에 대입하면 전체좌표계에서
적분점의 좌표를 구할 수 있습니다.
3
1 2 3 1 2 31
1 1 1 1 11
3 3 3 3 3p i ii
x N x x x x x x x
1 2 3
1
3pz z z z
xz
N1
N2
N3
P
1 1,
3 3P
Chapter 3 | 유한요소의 종류
36We Analyze and Design the Future
mid
as C
ivil
4절점 사각형 요소
이 요소는 4 Point Gauss 적분을 이용하며, 적분에 적용되는 자연좌표계에서 적분점
좌표 iP 는 다음 그림과 같습니다.
그림 1.3.21 4절점 평면변형률요소의 적분점위치
이 요소의 기하학적 형상함수는 다음 식과 같습니다.
1 2 3 4
1 1 1 11 1 , 1 1 , 1 1 , 1 1
4 4 4 4N N N N
이 요소의 적분점 좌표인 iP 를 형상함수에 대입하면 전체좌표계에서 적분점의 좌표
를 구할 수 있습니다. 예를 들어 첫 번째 적분점 좌표 1P 에 대한 전체좌표계에서 x
좌표를 구하면 다음과 같습니다.
4
1 1 2 3 41
12 3 2 3
6p i ii
x N x x x x x
같은 방법으로 각 적분점에 대한 전체좌표계에서 좌표를 구하면 다음과 같습니다.
1
2
3
4
2 3 1 2 3 1
2 3 1 2 31
6 2 3 1
2 3
p
x
xx
x
xsymmetry
x
z1
3
1
3
1
3
1
3
N1
N2
N3
N4
P4P3
P1P2
1
2
3
4
1 1,
3 3
1 1,
3 3
1 1,
3 3
1 1,
3 3
P
P
P
P
Analysis for Civil Structure
We Analyze and Design the Future 37
mid
as C
ivil
3-7-5 응력계산법(Extrapolation)
3절점 삼각형 요소의 경우 1 Point Gauss 적분을 하므로 모든 절점에 대해 적분점
에서 계산된 응력을 동일하게 적용합니다.
그림 1.3.22 4절점 평면응력요소에 대한 적분점에서 응력에 대한 외삽법
4절점 사각형 요소의 경우 각 적분점은 요소좌표계의 좌표절점과 다음과 같은 관계
를 갖습니다.
3 , 3s t
요소 내부의 특정 위치에서 응력은 형상함수를 이용하여 구할 수 있습니다.
4
1N i i
i
N
예를 들어 절점 1에서 응력에 대해 형상함수에 , 대신 앞의 s, t 를 대입하여 정
리하면 다음과 같습니다.
4
1 1 2
1
3 4
1 2 3 4
11 3 1 3 1 3 1 3
4
1 3 1 3 1 3 1 3
14 2 3 2 4 2 3 2
4
N i i
i
N
1s 1s
1t
1t
1
1
1
1 1
1
1
1
Chapter 3 | 유한요소의 종류
38We Analyze and Design the Future
mid
as C
ivil
같은 방법으로 각 절점에서 응력을 구하면 다음과 같습니다.
1 1
2 2
3 3
4 4
2 3 1 2 3 1
2 3 1 2 31
2 2 3 1
2 3
N
N
N
N
3-7-6 요소내력 출력내용
평면변형요소의 요소내력 및 응력은 다음과 같이 출력되며 부호와 방향은 요소좌표
계 또는 전체좌표계를 따릅니다. 그림 1.3.23은 요소좌표계의 축방향 또는 주응력방
향의 단위 segment에서 발생되는 응력의 부호규약을 설명한 것입니다.
연결절점에서의 요소내력 출력
연결절점과 요소중심에서 요소응력 출력
연결절점에서의 요소내력은 절점에서 산출된 각 성분별 변위와 해당요소 강성성분을
곱한 값으로 출력됩니다.
연결절점과 요소중심에서의 응력은 요소내의 적분점(Gauss Point)에서 연산된 응력
을 이용하여 외삽법(Extrapolation)에 의해 산출됩니다.
요소내력의 출력
요소내력의 출력치에 대한 부호규약은 그림 1.3.18과 같고, 화살표방향이 양
(+)의 방향을 의미합니다.
요소응력의 출력
요소응력의 출력치에 대한 부호규약은 그림 1.3.23과 같고, 화살표방향이 양
(+)의 방향을 의미합니다.
Analysis for Civil Structure
We Analyze and Design the Future 39
mid
as C
ivil
(a) 축응력 및 전단응력 성분 (b) 주응력 성분
:
:
:
:
:
xx
yy
zz
xy yx
1, 2, 3
σ
σ
σ
σ σ
σ σ σ
Axial stress in the ECS x - direction
Axial stress in the ECS y - direction
Axial stress in the ECS z - direction
Shear stress in the ECS x - y plane
Principal stresses in the direc
, 0
3 21 2 3
1 xx yy zz
xx xy yy yzxx xz2
xy yy yz zzxz zz
xx xy xz
3 xy yy yz xz zy
xz yz zz
σ - I σ - I σ - I = 0
I = σ σ σ
σ σ σ σσ σ I =
σ σ σ σσ σ
σ σ σ
I σ σ σ σ σ
σ σ σ
tions of the principal axes, 1, 2 and 3
where,
2 2 2
:
: , ,
1: ( ) ( ) ( )
2
:
1 2 2 3 3 1max
eff 1 2 2 3 3 1
oct
=
θ
σ σ σ σ σ στ
2 2 2
σ σ σ σ σ σ σ
σ
Angle between the x - axis and the principal axis,1 in the ECS x - y plane
Maximum shear stress max
von - Mises Stress
Octahedral
2 2 2
1( )
3
1: ( ) ( ) ( )
9
1 2 3
oct 1 2 2 3 3 1
σ +σ +σ
τ σ σ σ σ σ σ
Normal Stress
Octahedral Shear Stress
그림 1.3.23 평면변형요소의 요소내력 및 요소응력 출력 예
※ 요소응력의 출력은 요소좌표계를 따르며 화살표 방향이 양(+)의 방향을 의미한다.
Chapter 3 | 유한요소의 종류
40We Analyze and Design the Future
mid
as C
ivil
그림 1.3.24 평면변형요소의 요소내력 및 요소응력 출력 예
Analysis for Civil Structure
We Analyze and Design the Future 41
mid
as C
ivil
3-8-1 일반사항
이 요소는 형상, 재질, 하중조건 등이 임의 축에 대해 회전대칭 조건을 만족하는 구
조체(Pipe, Cylinderical Vessel Body 또는 Head 등)의 해석에 사용될 수 있으며
등매개변수 정식화이론(Isoparametric Formulation)을 근거로 개발되었습니다.
이 요소는 다른 종류의 요소와 혼용할 수 없으며 요소의 특성상 선형정적해석에만
적용 가능합니다.
축대칭 요소는 3차원 축대칭 모델을 축대칭적 특성을 고려하여 2차원 요소로 이상화
한 것입니다. midas Civil에서는 전체좌표계 Z축이 회전대칭을 위한 기준축이 되고,
전체좌표계 X-Z 평면의 Z축의 오른쪽 평면에 위치하도록 입력되어야 합니다. 이 경
우 반경방향은 전체좌표계 X축 방향이 되며, 모든 절점의 X방향 좌표는 양(X≥0)의
값을 가지도록 모델링 되어야 합니다.
요소의 두께는 그림 1.3.25와 같이 1.0 Radian(단위폭)으로 자동 고려됩니다.
이 요소는 구조물의 축대칭적 특성을 근거로 하기 때문에 원주방향에 대한 변위, 전
단변형률( XY YZ, ) 그리고 원주방향 전단응력( XY YZ, )은 모두 존재하지 않습니다.
Chapter 3 | 유한요소의 종류
42We Analyze and Design the Future
mid
as C
ivil
그림 1.3.25 축대칭요소의 단위 폭
3-8-2 요소자유도 및 요소좌표계
midas Civil에서 축대칭요소의 요소좌표계는 프로그램 내부에서 요소강성행렬을 계
산하거나, 후처리 모드(Post-processing Mode)에서 사용자가 요소좌표계를 기준으
로 응력성분을 도화처리할 때 사용됩니다.
요소자유도는 전체좌표계를 기준으로 X, Z방향의 변위자유도만을 가지게 됩니다.
요소좌표계는 오른손법칙에 준한 x, y, z축의 직교좌표계를 따르며, 요소좌표계의 방
향은 그림 1.3.26과 같이 설정됩니다.
사각형요소의 경우는 연결절점의 입력순서대로 오른손법칙에 따라 회전할 때(N1→N2
→N3→N4) 요소중심에서 요소면의 수직방향으로 엄지손가락 방향이 요소좌표계 z축
이 됩니다. 그리고 요소좌표계 x축 방향은 N1과 N4를 잇는 선분의 중심에서 N2와
N3을 잇는 선분의 중심까지 직선으로 연결할 때 그 직선의 진행방향이 되며, 요소평
면상에서 오른손좌표계를 기준으로 x축과 수직을 이루는 축이 요소좌표계 y축이 됩
니다.
Z (axis of rotation)
1.0 radian (unit width)
an axisymmetric element
(radial direction)
Analysis for Civil Structure
We Analyze and Design the Future 43
mid
as C
ivil
삼각형요소의 경우는 면의 중심점에서 N1부터 N2로 진행하는 방향이 요소좌표계의
x방향이 되고, 나머지 y, z축 방향은 사각형요소의 경우와 동일합니다.
그림 1.3.26 축대칭요소의 배치 및 요소좌표계, 절점내력
GCS
ECS y-axis (perpendicular to ECS x-axis in the element plane)
Node numbering order for creating the element (N1N2N3N4)
ECS z-axis (normal to the element surface, out of the paper)
ECS x-axis (N1 to N2 direction)
Center of Element
ECS y-axis (perpendicular to ECS x-axis
i th l t l )
Node numbering order for creating the element (N1 N2 N3)
ECS z-axis (normal to the element surface,
t f th )ECS x-axis (N1 N2 direction)
GCS
Center of Element
※ 요소내력의 출력은 전체좌표계를 따르며 화살표 방향이 양(+)의 방향을 의미한다.
(a) 사각형 요소
(b) 삼각형 요소
Chapter 3 | 유한요소의 종류
44We Analyze and Design the Future
mid
as C
ivil
3-8-3 요소관련 기능
Create Elements 요소 입력
Material 재료적 성질 입력
Pressure Loads 요소의 변에 수직방향으로 압력하중 입력
축대칭요소의 압력하중은 그림 1.3.27과 같이 각 변에 수직방향으로 입력되며, 압력
하중의 작용면적은 그림 1.3.25와 같이 1.0 Radian의 폭만큼 자동 고려됩니다.
그림 1.3.27 축대칭요소의 압력하중
edge number 3
edge number 2 edge number 4
edge number 1
GCS
Analysis for Civil Structure
We Analyze and Design the Future 45
mid
as C
ivil
3-8-4 요소내력 출력내용
축대칭요소의 요소내력 및 응력은 다음과 같이 출력되며 부호와 방향은 요소좌표계
또는 전체좌표계를 따릅니다. 그림 1.3.28은 요소좌표계의 축방향 또는 주응력방향의
단위 Segment에서 발생되는 응력의 부호규약을 설명한 것입니다.
연결절점에서의 요소내력 출력
연결절점과 요소중심에서 요소응력 출력
연결절점에서의 요소내력은 절점에서 산출된 각 성분별 변위와 해당요소 강성성분을
곱한 값으로 출력됩니다.
연결절점과 요소중심에서의 응력은 요소내의 적분점(Gauss Point)에서 연산된 응력을
이용하여 외삽법(Extrapolation)에 의해 산출됩니다.
요소내력의 출력
요소내력의 출력치에 대한 부호규약은 그림 1.3.26과 같고, 화살표방향이 양
(+)의 방향을 의미합니다.
요소응력의 출력
요소응력의 출력치에 대한 부호규약은 그림 1.3.28과 같고, 화살표방향이 양
(+)의 방향을 의미합니다.
Chapter 3 | 유한요소의 종류
46We Analyze and Design the Future
mid
as C
ivil
(a) 축응력 및 전단응력 성분 (b) 주응력 성분
:
:
:
:
:
xx
yy
zz
xy yx
1, 2, 3
σ
σ
σ
σ σ
σ σ σ
Axial stress in the ECS x - direction
Axial stress in the ECS y - direction
Axial stress in the ECS z - direction
Shear stress in the ECS x - y plane
Principal stresses in the direc
,
3 21 2 3
1 xx yy zz
xx xy yy yzxx xz2
xy yy yz zzxz zz
xx xy xz
3 xy yy yz yz
xz yz zz
σ - I σ - I σ - I = 0
I = σ σ σ
σ σ σ σσ σ I =
σ σ σ σσ σ
σ σ σ
I σ σ σ σ
σ σ σ
tions of the principal axes, 1, 2 and 3
where,
2 2 2
0
: , ,
1: ( ) ( ) ( )
2
:
zx
1 2 2 3 3 1max
eff 1 2 2 3 3 1
oct
=
σ
θ
σ σ σ σ σ στ
2 2 2
σ σ σ σ σ σ σ
σ
Angle between the x - axis and the principal axis,1 in the ECS x - y plane
입력할 수 있으나 시공단면(Construction Section)인 경우에는 미리 입력된 2개의
단면특성을 사용하여 입력하게 됩니다. 시공단면은 철골과 콘크리트의 합성형태로 구
성되어 구조물의 시공단계(큰크리트의 타설 및 양생)에 따라 다른 단면특성을 갖는
경우에 사용됩니다.
다음은 midas Civil 내부에서 단면성질을 계산하는데 사용된 방법과 각 단면성질을
계산할 때 고려해야 하는 일반적인 사항을 서술합니다.
Analysis for Civil Structure
We Analyze and Design the Future 91
mid
as C
ivil
단면적(Cross Sectional Area)은 부재가 인장 또는 압축력(Axial Force)을 받는 경
우 이에 저항하는 강성(Axial Stiffness)을 계산하거나 부재에 발생한 응력을 계산하
는데 사용되며 계산방법은 그림 1.5.1과 같습니다.
midas Civil 내부에서 단면적을 계산하거나 데이터베이스로부터 입력되는 경우에는
접합부의 볼트접합구멍 또는 리벳접합구멍 등에 의한 단면적의 감소요인은 고려하지
않으므로 필요시 전술한 “단면성질 입력방법 2”를 사용하여 사용자의 판단에 따라
조정된 단면적을 입력해야 합니다.
그림 1.5.1 단면적의 계산 예
Area = ∫dA = A1 + A2 + A3
= (300×15) + (573×10) + (320×12)
= 14070
Chapter 5 | 요소의 강성 데이터
92We Analyze and Design the Future
mid
as C
ivil
전단력에 대한 유효전단면적(Effective Shear Area)은 부재단면의 요소좌표계 y축 또는
z축 방향으로 작용하는 전단력(Shear Force)에 저항하는 강성(Shear Stiffness)의 계산
에 필요합니다.
만약 유효전단면적을 입력하지 않았을 경우 해당 방향의 전단변형이 무시됩니다.
midas Civil내부에서 단면성질을 계산하거나 데이터베이스로부터 입력되는 경우에는
해당 전단강성성분이 자동고려되며 계산방법은 표 1.5.2와 같습니다.
Asy : 요소좌표계 y축 방향으로 작용하는 전단력에 저항하는 유효전단면적
Asz : 요소좌표계 z축 방향으로 작용하는 전단력에 저항하는 유효전단면적
Analysis for Civil Structure
We Analyze and Design the Future 93
mid
as C
ivil
Section Shape Effective Shear Area Section Shape Effective Shear Area
1. Angle
5
6
5
6
sy f
sz w
A B t
A H t
2. Channel
5(2 )
6sy f
sz w
A B t
A H t
3. I-Section
5(2 )
6sy f
sz w
A B t
A H t
4. Tee
5( )
6sy f
sz w
A B t
A H t
5. Thin Walled Tube
2
2
sy f
sz w
A B t
A H t
6. Thin Walled Pipe
sy w
sz w
A r t
A r t
7. Solid Round Bar
2
2
0.9
0.9
sy
sz
A r
A r
8.Solid Rectangular Bar
5
6
5
6
sy
sz
A BH
A BH
표 1.5.2 단면형상별 유효전단면적
Chapter 5 | 요소의 강성 데이터
94We Analyze and Design the Future
mid
as C
ivil
비틀림강성은 비틀림모멘트에 저항하는 강성으로 식 (1)과 같이 표현됩니다.
xx
TI
(1)
여기서 Ixx : 비틀림강성 (Torsional Resistance)
T : 비틀림모멘트 (Torsional Moment or Torque)
θ : 비틀림각도 (Angle of Twist)
비틀림강성은 상기 식에서와 같이 비틀림에 저항하는 강성이며, 비틀림에 의한 전단
응력을 결정하는 극관성 단면 2차 모멘트(Polar Moment of Inertia)와는 다릅니다.
(단, 원형단면 또는 두께가 두꺼운 원통단면의 경우는 비틀림모멘트와 극관성 단면 2
차 모멘트가 일치합니다.)
그리고 단면의 형태가 개방형단면(Open Section)인지 또는 밀폐형단면(Closed
Section)인지에 따라 비틀림강성의 계산방법이 다르고, 단면의 두께가 얇은지 또는
두꺼운지에 따라서도 계산방법이 다르기 때문에 모든 종류의 단면에 공통적으로 적
용할 수 있는 일반식은 없습니다.
개방형단면의 비틀림강도 계산은 개방형단면을 여러 개의 직사각형 단면으로 분할하
여 식 (2)를 이용하여 계산하고, 그 계산 결과치를 합산함으로써 근사적으로 구할 수
있습니다.
xx xxI i
43
4
163.36 1
3 12xx
b bi ab
a a
단, a ≥ b (2)
여기서 ixx : 분할단면(직사각형)의 비틀림강성
2a : 분할단면의 긴 변의 길이
2b : 분할단면의 짧은 변의 길이
Analysis for Civil Structure
We Analyze and Design the Future 95
mid
as C
ivil
그리고 얇은 튜브형태의 밀폐형 단면에 대한 비틀림강성의 계산식은 식 (3)과 같습니
다. (그림 1.5.2 참조)
24
/xxs
AI
d t
(3)
여기서 A : 튜브의 단면적
dS : 임의 위치에서 튜브단면 중립선의 미소길이
t : 임의 위치에서의 튜브벽 두께
또한 교량의 박스형 단면과 같이 두꺼운 튜브형태의 밀폐형 단면에 대한 비틀림강성
은 상기의 식(1)과 (3)을 합산함으로써 구할 수 있습니다.
그림 1.5.2 얇은 튜브형 밀폐단면의 비틀림강성 및 전단응력
Torsional resistance : 24
/xx
s s
AI
d t
Shear stress at a given point : 2
T
s
T
At
st : Thickness of tube at a given point
Chapter 5 | 요소의 강성 데이터
96We Analyze and Design the Future
mid
as C
ivil
Section Shape Torsional
Resistance Section Shape
Torsional
Resistance
1. Solid Round Bar
21
2xxI r
2. Solid Square Bar
42.25xxI a
3. Solid Rectangular Bar
43
4
163.36
3 12xx
b bI ab I
a a
(where, a≥b)
표 1.5.3 Solid Section의 비틀림강성
Section Shape Torsional
Resistance Section Shape
Torsional
Resistance
1. Rectangular Tube
(Box)
22( )xx
wf
b hI
b ht t
2. Circular Tube(Pipe)
표 1.5.4 두께가 얇은 폐쇄형 단면의 비틀림 강성
4412 2 2xx
o iDDI
Analysis for Civil Structure
We Analyze and Design the Future 97
mid
as C
ivil
Section Shape Torsional Resistance
1. Angle
41 2
43
1 4
43
2 4
10.21 1
3 12
10.105 1
3 192
0.07 0.076
2 3 2 2 2
xxI I I D
b bI ab
a a
d dI cd
c c
d r
b b
D d b r r b r d
(where, b < 2(d + r))
2. Tee
IF b<d : t=b, t1=d IF b>d : t=d, t1=b
41 2
43
1 4
43
2 4
1
22
10.21 1
3 12
10.105 1
3 192
0.15 0.10
42
xxI I I D
b bI ab
a a
d dI cd
c c
t r
t b
db r rd
Dr b
(where, d < 2(b + r))
3. Channel
Sum of torsional stiffnesses of 2 angles
4. I-Section
IF b<d : t=b, t1=d IF b>d : t=d, t1=b
4
1 2
43
1 4
3
2
1
22
2 2
10.21 1
3 12
1
3
0.15 0.10
42
xxI I I D
b bI ab
a a
I cd
t r
t b
db r rd
Dr b
(where, d < 2(b + r))
표 1.5.5 두께가 두꺼운 개방형 단면의 비틀림강성
Tee1
Angle 1
Angle 2
Tee2
Chapter 5 | 요소의 강성 데이터
98We Analyze and Design the Future
mid
as C
ivil
Section Shape Torsional Resistance
1. Angle
3 31
3xx w fI h t b t
2. Channel
3 312
3xx w fI h t b t
3. I-Section
3 312
3xx w fI h t b t
4. Tee
3 31
3xx w fI h t b t
5. I-Section
3 331 1 2 2
1
3xx w f fI h t b t b t
표 1.5.6 두께가 얇은 개방형 단면의 비틀림강성
Analysis for Civil Structure
We Analyze and Design the Future 99
mid
as C
ivil
2개 이상의 형강을 조합하여 하나의 단면으로 만들 경우, 조합하는 형태에 따라 폐
쇄형 단면과 개방형 단면이 동시에 생길 수 있습니다. 이 경우 비틀림강성의 계산은
폐쇄형 단면 부분과 개방형 단면 부분으로 나누어 각각 계산한 다음 그 값을 더하는
방법을 사용합니다.
예를 들면, 이중 H형 단면(Double H-section)의 경우 1.5.3(a)와 같이 단면의 중앙
에는 폐쇄형 단면이 형성되고, 외곽 플랜지들은 개방형 단면이 됩니다.
- 폐쇄형 단면 부분(빗금친 부분)의 비틀림강성
2
1 1
1 1
2( )C
f w
b hI
b h
t t
(4)
- 개방형 단면 부분(돌출된 플랜지 부분)의 비틀림강성
3
1
12 2
3O w w
I b b t t
(5)
- 전체단면에 대한 비틀림강성
xx C OI I I (6)
H형 단면을 2개의 Flat Bar로 보강할 경우에는 그림 1.5.3(b)와 같이 폐쇄형 단면이
2개 이상 생길 수 있으며 이 때의 단면 비틀림강성은 다음과 같이 계산합니다.
플랜지 끝단부의 개방형 단면에 대한 비틀림강성이 전체단면의 비틀림강성에 비해
무시할 정도로 작은 값일 경우, H형 단면의 상 하 플랜지와 보강재로 사용된 2개의
Flat Bar에 의해 형성되는 최외곽의 폐쇄 단면에 대하여 비틀림강성을 계산하면 다
음과 같습니다.
2
1 1
1 1
2( )xx
f w
b hI
b h
t t
(7)
Chapter 5 | 요소의 강성 데이터
100We Analyze and Design the Future
mid
as C
ivil
그리고 전체단면을 구성하는 요소중에서 개방형 단면의 비틀림강성이 무시할 수 없
을 정도로 큰 값일 경우 개방형 단면에 대한 비틀림강성을 계산하여 더합니다.
(a) 폐쇄형과 개방형 단면이 함께 존재하는 경우
(b) 폐쇄형 단면이 2개 이상 존재하는 경우
그림 1.5.3 두개 이상의 형강을 조합한 단면의 비틀림강성
Analysis for Civil Structure
We Analyze and Design the Future 101
mid
as C
ivil
단면2차모멘트(Area Moment of Inertia)는 휨모멘트(Bending Moment)에 저항하는
강성(Flexural Stiffness)을 계산하는데 사용되며, 해당 단면의 도심축에서 다음의 식
에 따라 계산됩니다.- 요소좌표계 y축에 대한 단면2차모멘트
2
yyI z dA
(8)
- 요소좌표계 z축에 대한 단면2차모멘트
2
zzI y dA
(9)
iA : area
iz : distance from the reference point to the centroid of the section element in the z′-axis direction
iy : distance from the reference point to the centroid of the section element in the y′-axis direction
yiQ : first moment of area relative to the reference point in the y′-axis direction
ziQ : first moment of area relative to the reference point in the z′-axis direction
① ② ③ Total
b 10 2 8 -
h 4 10 3 -
iA 40 20 24 84
iz 2 9 15.5 -
yiQ 80 180 372 63.2
iy 5 5 5 -
ziQ 200 100 120 420
Centroid
Neutral axis
Reference point for the centroid position calculation
②
①
③
Chapter 5 | 요소의 강성 데이터
102We Analyze and Design the Future
mid
as C
ivil
- 중립축 위치 계산 ( Z ,Y )
6327.5238
84y
zdA QY
Area Area
4205.0000
84z
ydA QZ
Area Area
- 단면 2차 모멘트 계산 (Iyy, Izz )
Section element i
A iZ z iY y 1z
I 2z
I zz
I
① 40 5.5328 1224.5 53.3 1277.8 0 0 333.3 333.3
② 20 1.4672 43.1 166.7 209.8 0 0 6.7 6.7
③ 24 7.9762 1526.9 18.0 1544.9 0 0 128.0 128.0
Total 2794.5 238.0 3032.5 0 468.0 468.0
21 ( )y i iI A Z z ,
3
2 12y
bhI , 1 2yy y yI I I
21 ( )z i iI A Y y ,
3
2 12z
hbI , 1 2zz z zI I I
1yI
2yI
yyI
Analysis for Civil Structure
We Analyze and Design the Future 103
mid
as C
ivil
단면상승모멘트(Area Product Moment of Inertia)는 비대칭단면의 응력성분을 계산
하는데 사용되며 그 정의는 식 (10)과 같습니다.
yzI y zdA (10)
H, Pipe, Box, Channel, Tee형 단면과 같이 요소좌표계 y, z축 어느 1개의 축에 대
해서 대칭인 경우에는 Iyz=0이 되며, Angle형 단면과 같이 어느 1개 축에 대해서도
대칭이 아닌 경우에는 Iyz≠0 이므로 응력성분 계산시 고려하여야 합니다.
Angle형 단면의 단면상승모멘트의 계산방법은 아래와 같습니다.
Section Element
①
②
centroid
fB t / 2B Y ( / 2)fH t Z
( / 2)fH t Z ( ) wfH t t / 2wt Y
yie
zie
iA
( ) ( / 2 ) {( / 2) }
{( ) } { / 2 ) {( / 2) }
yz i yi zj
f f
w wf f
I A e e
B t B Y H t Z
H t t t Y H t Z
Chapter 5 | 요소의 강성 데이터
104We Analyze and Design the Future
mid
as C
ivil
그림 1.5.4 비대칭형 단면에서의 휨응력 분포도
중립축(Neutral Axis)은 휨모멘트에 의한 부재내 휨응력이 '0(Zero)' 이 되는 위치를
통과하는 축을 말하며, 그림 1.5.4의 우측 그림에서와 같이 n-축이 중립축이 됩니다.
m-축은 n-축에 대하여 수직을 이루는 축입니다.
중립축에서는 휨모멘트에 의한 휨응력이 '0' 이므로 식 (11)로부터 중립축 방향을 구
할 수 있습니다.
( ) ( ) 0y zz z yz z yy y yzM I M I z M I M I
tan y zz z yz
z yy y yz
M I M Iy
z M I M I
(11)
휨모멘트에 의한 단면의 휨응력을 계산하는데 적용되는 일반식은 식 (12)와 같습니다.
2 2
/ /
/ /
y z yz zz z y yz yy
b
yy yz zz zz yz yy
M M I I M M I If z y
I I I I I I
(12)
Analysis for Civil Structure
We Analyze and Design the Future 105
mid
as C
ivil
만일 H형 단면일 경우에는 Iyz= 0 이 되므로,
y zb by bx
yy zz
M Mf z y f f
I I (13)
여기서,Iyy : 요소좌표계 y축에 대한 단면2차모멘트
Izz : 요소좌표계 z축에 대한 단면2차모멘트
Iyz : 단면상승모멘트
y : 요소단면의 중립축으로부터 휨응력을 계산하고자 하는 위치까지의 요소좌
표계 y축 방향의 거리
z : 요소단면의 중립축으로부터 휨응력을 계산하고자 하는 위치까지의 요소좌
표계 z축 방향의 거리
My : 요소좌표계 y축에 대한 휨모멘트
Mz : 요소좌표계 z축에 대한 휨모멘트
요소좌표계 y축 및 z축 방향으로 작용하는 전단력에 대한 전단응력을 계산하는데 적
용되는 일반식은 식 (14), (15)와 같습니다.
2 2( )y yy z yz y y
y yy z yz yzz yy zz yz yy zz yz
V I Q I Q VI Q I Q
bb I I I I I I
(14)
2 2( )zz y yz zz z
z zz y yz zyy yy zz yz yy zz yz
I Q I QV VI Q I Q
bb I I I I I I
(15)
여기서,Vy : 요소좌표계 y축 방향으로 작용하는 전단력
Vz : 요소좌표계 z축 방향으로 작용하는 전단력
Qy : 요소좌표계 y축에 대한 단면 1차모멘트
Qz : 요소좌표계 z축에 대한 단면 1차모멘트
by : 전단응력을 계산하는 위치에서의 요소좌표계 z축과 직각을 이루는 단면
의 두께
bz : 전단응력을 계산하는 위치에서의 요소좌표계 y축과 직각을 이루는 단면
의 두께
Chapter 5 | 요소의 강성 데이터
106We Analyze and Design the Future
mid
as C
ivil
단면 1차모멘트(First Moment of Area)는 단면의 임의 위치에서의 전단응력을 계산
하는데 사용되며 아래와 같이 계산합니다.
yQ zdA (16)
zQ ydA (17)
단면이 y, z 양축 중에서 어느 한 축에 대하여 대칭일 경우, 임의 위치에서의 전단응
력은 다음과 같이 계산합니다.
y zy
zz z
V Q
I b
(18)
z yz
yy y
V Q
I b
(19)
여기서,Vy : 요소좌표계 y축 방향으로 작용하는 전단력
Vz : 요소좌표계 z축 방향으로 작용하는 전단력
Iyy : 요소좌표계 y축에 대한 단면2차모멘트
Izz : 요소좌표계 z축에 대한 단면2차모멘트
by : 전단응력을 계산하고자 하는 위치에서의 요소좌표계 z축과 직각을 이루
는 단면의 두께
bz : 전단응력을 계산하고자 하는 위치에서의 요소좌표계 y축과 직각을 이루
는 단면의 두께
Analysis for Civil Structure
We Analyze and Design the Future 107
mid
as C
ivil
전단계수는 휨모멘트에 의한 전단응력을 계산하는데 사용되며 부재단면중 전단응력
을 계산하고자 하는 위치에서의 단면1차모멘트를 동일한 위치의 단면두께로 나눈 값
입니다.
y z y yzy zb
zz z zz z zz
V Q V VQQ
I b I b I
, z
zbz
QQ
b (20)
z y yz zz yb
yy y yy y yy
V Q QV VQ
I b I b I
, y
yby
QQ
b (21)
그림 1.5.5 전단계수의 계산 예
z yyb
yy y yy
zz
V Q VQ
I b I
( )y fQ zdA B t z
y wb t
{( ) }/yb f wQ B t z t
point of shear stress calculation
tw
Chapter 5 | 요소의 강성 데이터
108We Analyze and Design the Future
mid
as C
ivil
midas Civil에서 철골-철근콘크리트 합성부재의 강성은 콘크리트 단면(철근의 단면
은 콘크리트단면에 포함됨)과 철골단면이 구조적으로 완전 합성된 것으로 가정하여
등가환산단면성질(Equivalent Sectional Properties) 형태로 고려됩니다.
등가환산 단면성질의 계산에서 강재의 탄성계수(Es)와 콘크리트의 탄성계수(Ec)는 철
골-철근콘크리트규준(SSRC79(Structural Stability Research Council, 1979, USA))
에 명기된 수치를 사용하되, Ec값은 Eurocode 4에 따라 20% 감소한 값을 사용합니
다.
- 등가환산 단면적
0.80.8c con
eq stl con stl
s
E AArea A A A
E REN
- 등가환산 유효전단면적
0.8c con
eq stl con stl
s
E AsAs As As As
E REN
- 등가환산 단면2차모멘트
0.80.8c con
eq stl con stl
s
E II I I I
E REN
여기서,stl
A : 철골의 단면적
conA
: 콘크리트의 단면적
stlAs
: 철골의 유효전단면적
conAs
: 콘크리트의 유효전단면적
stlI
: 철골의 단면2차모멘트
conI
: 콘크리트의 단면2차모멘트
REN : 콘크리트의 탄성계수(Ec)에 대한 철골의 탄성계수(Es)의 비 (Es/Ec)
Analysis for Civil Structure
We Analyze and Design the Future 109
mid
as C
ivil
midas Civil에서 경계조건은 다음과 같이 절점 경계조건과 요소의 경계조건으로
구분할 수 있습니다.
절점 경계조건
자유도 구속 (Support)
탄성 경계요소 (Spring Support)
탄성연결요소 (Elastic Link)
비선형연결요소 (General Link)
요소의 경계조건
요소의 단부해제 조건 (Beam End Release, Plate End Release)
강성역 (Beam End Offsets 참조)
강체연결기능 (Rigid Link 참조)
Chapter 6. 경계조건
Chapter 6 | 경계조건
110We Analyze and Design the Future
mid
as C
ivil
자유도 구속(Constraint) 기능은 임의 절점의 변위를 구속시키거나 자유도가 부족
한 요소(트러스, 평면응력, 판요소 등)끼리 접합될 때 해당 자유도성분을 구속하는
데 사용됩니다.
자유도 구속조건은 임의 절점에 전체좌표계(Global Coordinate System) 또는 절점
좌표계(Node Local Coordinate System)를 기준으로 6개 자유도에 대해 입력됩니다.
예를 들어 그림 1.6.1과 같은 평면골조모델에 자유도 구속조건을 부여하는 방법은
다음과 같습니다.
이 모델은 전체좌표계 X-Z 평면내에서만 거동이 허용되는 2차원 모델이기 때문에
Boundary탭>Supports그룹>Supports 기능으로 모든 절점에 대해 전체좌표계 Y방
향 변위자유도와 X방향 및 Z방향에 대한 회전자유도를 구속하여야 합니다.
그림 1.6.1 자유도 구속조건이 고려된 평면골조모델
그리고 고정지지조건인 N1 절점에 대해서는 Supports기능으로 전체좌표계 X, Z방
향 변위자유도와 Y방향에 대한 회전자유도를 추가로 구속합니다.
: pinned support condition
GCS : fixed support condition
: roller support condition
angle of inclination
NCS
Analysis for Civil Structure
We Analyze and Design the Future 111
mid
as C
ivil
핀접합이면서 로울러 지지조건인 N3에 대해서는 Z방향 변위자유도를 추가로 구속
합니다.
절점좌표계에 대해 로울러 지지조건이 부여된 N5 절점에 대해서는 전체좌표계 X
축에 대해 경사각만큼 회전한 절점좌표계를 설정한 다음, Supports기능으로 전체좌
표계 Z축 방향 변위자유도를 구속합니다. 절점좌표계가 선언되어 있는 절점에 입
력되는 구속조건은 절점좌표계를 따라 구속을 수행하게 됩니다.
절점변위를 구속하는 기능은 변위를 무시할 수 있는 지지조건(Supports) 등에 주로
이용되며 임의 절점에 대해 구속조건이 주어지면 해당절점에 대한 반력이 발생합
니다.
절점에서의 반력은 전체좌표계를 기준으로 출력되며, 절점좌표계가 부여된 경우에
는 절점좌표계 기준으로 반력을 출력할 수 있습니다.
그림 1.6.2는 Supports기능을 부족한 자유도의 구속조건에 사용한 예입니다.
그림 1.6.2(a)의 경우는 트러스요소가 축방향의 변위자유도만 가지기 때문에 연결
절점에서의 X방향 변위와 모든 회전방향 변위성분은 구속되었습니다.
그림 1.6.2(b)는 상 하부 플랜지를 보요소로 대신한 예로써 보요소가 절점당 6개
의 자유도를 가지기 때문에 보요소와 연결되는 절점에서는 별도의 구속조건이 필
요없고, 평면응력요소끼리 만나는 절점에 대해서는 평면응력요소가 면내의 거동에
대한 자유도만 가지기 때문에 면외변위성분인 Y방향 변위자유도와 모든 회전자유
도를 구속해야 합니다.
Chapter 6 | 경계조건
112We Analyze and Design the Future
mid
as C
ivil
그림 1.6.2 자유도 구속조건의 사용 예
connecting node (DX, RX, RY and RZ are constrained)
supports (all degrees of freedom are constrained)
(a) 트러스요소끼리 접합된 경우
supports (all degrees of freedom are constrained)
bottom flange (beam element)
in-plane vertical load
web (plane stress element)
top flange (beam element)
●: nodes without constrains ○: DY, RX, RY and RZ are constrainedDX: displacement in the GCS X directionDY: displacement in the GCS Y directionDZ: displacement in the GCS Z directionRX: rotation about the GCS X-axis RY: rotation about the GCS Y-axis RZ: rotation about the GCS Z-axis
Rigid Body Connection은 주절점과 종속절점들이 3차원 강체로 연결된 것처럼 상
호거동이 구속되는 방법으로, 각 절점간의 거리가 일정하게 유지되며 상호구속방
정식은 다음과 같습니다.
Xs Xm Ym ZmU U R ΔZ R ΔY
Ys Ym Zm XmU U R ΔX R ΔZ
Zs Zm Xm YmU U R ΔY R ΔX
Xs XmR R
Ys YmR R
Zs ZmR R
여기서, m sΔX X X , m sΔY Y Y , m sΔZ Z Z
상기 식에서 첨자 m과 s는 각각 주절점과 종속절점을 의미하며, UX, UY, UZ는 각
각 전체좌표계 기준의 X방향변위, Y방향변위, Z방향변위 성분을, 그리고 RX, RY,
RZ는 각각 전체좌표계 기준의 X방향에 대한 회전변위, Y방향에 대한 회전변위, Z
방향에 대한 회전변위 성분을 의미합니다. 그리고 Xm, Ym, Zm은 주절점의 좌표를
Chapter 6 | 경계조건
146We Analyze and Design the Future
mid
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ivil
Xs, Ys, Zs는 종속절점의 좌표를 각각 의미합니다. 이 기능은 강성이 타 구조부재
보다 훨씬 커서 변형효과를 무시할 수 있는 부재의 모델링이나 Stiffened Plate에
서 Plate와 Stiffener를 상호 연결하는데 활용될 수 있습니다.
Rigid Plane Connection은 주절점과 종속절점들이 X-Y평면 또는 Y-Z평면, 또는
Z-X평면들과 평행한 평면상에서 평면강체로 연결된 것처럼 상호거동이 구속되는
방법으로, 평면상에 투영된 각 절점간의 거리가 일정하게 유지되며 상호구속 방정
식은 다음과 같습니다.
- X-Y 평면거동에 대해 Rigid Plane Connection을 부여할 경우
Xs Xm ZmU U R ΔY
Ys Ym ZmU U R ΔX
Zs ZmR R
- Y-Z 평면거동에 대해 Rigid Plane Connection을 부여할 경우
Ys Ym XmU U R ΔZ
Zs Zm XmU U R ΔY
Xs XmR R
- Z-X 평면거동에 대해 Rigid Plane Connection을 부여할 경우
Zs Zm YmU U R ΔX
Xs Xm YmU U R ΔZ
Ys YmR R
이 기능은 평면내 상대거동이 무시될 수 있는 바닥판의 모델링에 주로 활용됩니다.
Analysis for Civil Structure
We Analyze and Design the Future 147
mid
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Rigid Translation Connection은 주절점과 종속절점들의 X축, Y축 또는 Z축방향 거
동을 상호 구속시키는 방법으로 상호구속 방정식은 다음과 같습니다.
- X축방향 거동에 대해 상호구속할 경우
Xs XmU U
- Y축방향 거동에 대해 상호구속할 경우
Ys YmU U
- Z축방향 거동에 대해 상호구속할 경우
Zs ZmU U
Rigid Rotation Connection은 주절점과 종속절점들의 X축, Y축 또는 Z축에 대한 회
전거동을 상호 구속시키는 방법으로 상호구속방정식은 다음과 같습니다.
- X축에 대한 회전거동을 상호구속할 경우
Xs XmR R
- Y축에 대한 회전거동을 상호구속할 경우
Ys YmR R
- Z축에 대한 회전거동을 상호구속할 경우
Zs ZmR R
다음은 강체연결기능에 대한 이해를 돕기 위해 Rigid Plane Connection 기능을 구
조물 바닥판의 모델에 적용한 예를 개념적으로 서술한 것입니다.
일반적으로 구조물이 횡력을 받을 때 바닥판 내의 모든 위치에서의 횡방향 상대변
위는 다른 구조부재(기둥, 벽, 대각부재)의 상대변위에 비해 거의 무시할 만큼 작
습니다. 이와 같은 바닥판의 강막작용(Rigid Diaphragm Action)은 바닥판 내의 모
Chapter 6 | 경계조건
148We Analyze and Design the Future
mid
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든 면내거동을 상호 구속함으로써 고려될 수 있습니다. 이때 면내거동은 바닥판의
면내 이동변위 2개의 성분과 면의 수직방향에 대한 회전변위성분입니다.
그림 1.6.19 바닥판이 있는 일반구조물이 횡력을 받는 경우
그림 1.6.19에서 구조물에 횡력이 가해질 때 바닥판의 면내강성이 수직기둥부재의
횡방향강성에 비해 무한대로 클 경우, 바닥판의 면내변형은 구조적으로 무시될 수
있고, 따라서 δ1과 δ2는 거의 같은 값을 가지게 됩니다.
floor diaphragm
lateral load
after deformation
before deformation
1 2
1 2
X
X
Z
Y
Z
Analysis for Civil Structure
We Analyze and Design the Future 149
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그림 1.6.20 바닥판이 있는 단층구조물이 수직축에 대해 비틀림모멘트를 받는 경우
그림 1.6.20의 예에서 바닥판이 있는 단층구조물이 비틀림모멘트를 받을 때, 바닥
판의 면내강성이 수직기둥부재의 강성에 비해 무한히 클 경우, 바닥판 전체가 만
큼 회전하게 되고 가 됩니다. 따라서 4개의 자유도를 1개의
자유도로 축약시킬 수 있습니다.
그림 1.6.21는 강막작용을 고려하여 절점당 6개씩의 자유도(64), 총 24개의 자유
도를 15개의 자유도로 축약하는 과정을 나타낸 그림입니다.
floor diaphragm
torsional moment
Chapter 6 | 경계조건
150We Analyze and Design the Future
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UX : displacement degree of freedom in the X-direction at the corresponding node
UY : displacement degree of freedom in the Y-direction at the corresponding node
UZ : displacement degree of freedom in the Z-direction at the corresponding node
RX : rotational degree of freedom about the X-axis at the corresponding node
RY : rotational degree of freedom about the Y-axis at the corresponding node
RZ : rotational degree of freedom about the Z-axis at the corresponding node
그림 1.6.21 면내 무한강성을 가진 바닥판의 자유도 축약 개념도
Analysis for Civil Structure
We Analyze and Design the Future 151
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UXm : X-direction displacement of master node
UYm : Y-direction displacement of master node
RZm : rotation about Z-axis at master node
UXs : X-direction displacement of slave node
UYs : X-direction displacement of slave node
RZs : rotation about Z-axis at slave node
그림 1.6.22 무한강성을 가진 바닥판이 횡력에 의해 변위가 발생하였을 경우
그림 1.6.22에서 무한강성을 가진 바닥판에 횡력에 의한 평면방향변위 및 회전변
위가 동시에 발생하였을 경우 바닥판내의 임의 점에서의 변위는 아래와 같이 계산
됩니다.
Xs Xm ZmU U R ΔY
Ys Ym ZmU U R ΔX
Zs ZmR R
Chapter 6 | 경계조건
152We Analyze and Design the Future
mid
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ivil
기구학적 구속기능을 이용하여 자유도를 축약시키게 되면 해석 소요시간을 단축시
키는데도 상당히 효과적입니다. 가령 구조물의 구조해석시 바닥판을 판요소(또는
평면응력요소) 등으로 모델링 한다면 층당 수많은 절점이 필요합니다. 이 경우 횡
방향 자유도만 고려해도 절점갯수×3 만큼의 자유도수가 늘어나기 때문에 몇 개 바
닥만 모델링 하더라도 구조해석 프로그램의 해석능력을 초과하거나, 해석이 가능
하더라도 상당한 시간이 소요됩니다. 일반적으로 해를 구하는데 소요되는 시간은
자유도수의 세제곱에 비례하기 때문에 해의 정확도를 크게 떨어뜨리지 않는 한도
내에서 자유도수를 줄이는 것이 효과적입니다.
그림 1.6.23은 Rigid Body Connection과 Rigid Plane Connection 기능을 이용한 예
를 나타낸 것입니다.
그림 1.6.23(a)는 사각튜브의 구조적 거동을 정밀해석하기 위해 정밀검토가 필요한
부분에 대해서는 판요소로 세분화하고 나머지 부분은 보요소를 사각튜브의 중립축
선상에 모델링하여 두 모델사이를 Rigid Body Connection 기능을 이용하여 강체연
결시킨 예입니다.
그림 1.6.23(b)는 2차원 평면상에 있는 두 개의 기둥이 편심되어 만나는 경우에 절
점에서의 편심효과를 고려하기 위해 Rigid Plane Connection 기능을 이용한 예입니
다. 이와 같이 임의 평면내에 강체연결기능을 사용하고자 할 때에는 반드시 평면
내의 두 개의 선변위성분과 수직방향에 대한 회전변위성분에 대해 기구학적 구속
조건을 부여해야 합니다. 마찬가지로 그림 1.6.23(a)와 같이 모든 방향성분에 대해
강체연결을 할 경우에는 6개 자유도 전부에 대해 기구학적 구속조건을 부여해야
합니다.
기구학적 구속조건을 동적해석모델에 고려하고자 할 경우에는 주절점의 위치가 종
속절점에 입력된 모든 질량성분(자중을 질량으로 환산하여 고려할 경우에는 자중
에 의한 질량성분도 포함)의 질량중심(Mass Center)과 일치하도록 입력되어야 합
니다.
Analysis for Civil Structure
We Analyze and Design the Future 153
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(a)한 개의 튜브를 보요소와 판요소로 부위별로 모델링하여 상호연결한 경우 (Rigid Body Connection)
(b) 두개의 기둥이 편심되어 만나는 경우 (Rigid Plane Connection)
그림 1.6.23 강체연결기능의 사용 예
rectangular tube modeled with plate elements
Rigid Link
rectangular tube modeled as a beam element
master node ○ : slave nodes (12 nodes) * all 6 degrees of freedom of
the slave nodes are linked to the master node.
* all slave node’s d.o.f in the X-Z plane are linked to the master node(translational displacement d.o.f in the X and Z–directions and rotational d.o.f about the Y-axis
eccentricity eccentricity
master node slave node
Chapter 6 | 경계조건
154We Analyze and Design the Future
mid
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지지점의 강제변위(Specified Displacements)는 구속되어 있는 자유도의 변위량
을 알고 있을 때 그 변위 조건하에서의 구조적 거동을 분석하는데 사용됩니다.
일반적으로 실무문제에 있어서 이 기능이 효과적으로 사용되는 경우는 다음과 같
습니다.
기존의 구조물에 변형이 발생하여 정밀안전진단이 요구될 경우
특정부위의 거동에 대해 상세모델을 이용하여 정밀분석하고자 할 경우, 구
조물의 전체모델에 대한 해석을 수행하여 해당부위의 변위값을 상세모델
의 경계조건으로 이용할 경우
기존의 구조물에 지점침하가 발생하여 이를 고려한 해석을 수행하고자 할
경우
교량구조물의 지점침하를 고려한 해석을 수행할 경우
midas Civil에서 지지점의 강제변위는 하중조건별로 입력이 가능합니다. 또한 구
속되지 않은 자유도에 강제변위를 입력하면 프로그램 내부에서 자동으로 해당 자
유도에 구속조건을 도입하고 강제변위를 적용하게 됩니다. 만일 강제변위를 부여
하고자 하는 자유도에 구속을 도입하지 않은 해석결과를 원한다면 별도의 모델을
만들어 해석을 수행하여야 합니다.
강제변위를 입력할 때는 미소한 차이에도 구조적 거동이 민감하게 변하기 때문에
정확한 값을 사용하여야 하며, 가능한 한 6개 자유도에 대해 모두 고려하는 것이
바람직합니다. 변형된 구조물의 안전성을 평가할 때와 같이 회전변위를 측정하기
가 어려울 경우에는 이동변위만으로도 근사적 해석이 가능하지만 이 경우에는 해
석 후 해당부위의 변형형상이 구조물의 실제 변형형상과 유사한지 검토하여야 합
니다.
특정부위의 정밀해석을 위해 전체모델의 해석결과로부터 도출된 변위량을 사용할
경우에는 정밀해석 모델의 경계면에 위치한 절점에는 반드시 6개 자유도 모두에
대해 이동변위 및 회전변위성분을 입력해야 하며, 정밀해석 모델 내에 존재하는
모든 하중조건에 대해서도 추가로 고려하여야 합니다.
Analysis for Civil Structure
We Analyze and Design the Future 155
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강제변위는 일반적으로 전체좌표계를 따라 입력되지만 절점에 절점좌표계가 도입
되는 경우에는 절점좌표계를 따라 입력됩니다.
(a) 전체 모델과 접합부 상세도
(b) 접합부에 대한 상세유한요소 해석모델
그림 1.6.24 강제변위 기능을 이용한 접합부 정밀해석 예
Rigid links (master and slave nodes) are assigned to the boundary sections, and the specified displacements, the displacements obtained from the initial analysis for the entire structure, are assigned to the master node at the centroid of each section.
connection for a detail analysis boundary section column member
boundarysection
beam (girder)member
boundary section
beam (girder) member
boundary section
● : node ○ : boundaries for the detail model (displacements of the total analysis at this node are assigned to the detail model as specified displacements
Chapter 6 | 경계조건
156We Analyze and Design the Future
mid
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그림 1.6.24은 구조물의 모서리 접합부에 대한 정밀해석을 수행한 예로써 그 절차
는 다음과 같습니다.
1. 그림 1.6.24(a)의 전체모델에 대한 해석을 수행한 후 정밀해석을 요하는 접
합부와 경계부분에서의 변위를 발췌합니다.
2. 경계부분 4개소에서 발췌된 24개(각 절점당 6개 성분)의 변위성분을 그림
1.6.24(a)의 모델에 입력합니다. 이때 상세모델의 경계부분에 주절점
(Master Node)과 종속절점(Slave Nodes) 관계를 지정하여 전체모델 중
하나의 절점으로부터 추출한 변위성분을 상세모델의 전 경계면에 영향을
미칠 수 있도록 강체연결기능을 이용하면 편리합니다. 그리고 강체연결기
능을 이용하는데 따른 오차를 줄이기 위해 경계면은 가능한 정밀분석 대상
부위에서 먼거리에 위치해야 합니다.
3. 전체모델에 고려된 하중조건 중에서 상세해석 모델의 범위 내에 포함되는
하중조건을 추가로 입력하고 해석을 수행합니다.
m
idas
Civ
il
Analysis for Civil Structure
We Analyze and Design the Future
Part 2 midas Civil의 구조해석 기능
Analysis for Civil Structure
mid
as C
ivil
We Analyze and Design the Future 157
하중조건하에서 구조물의 실제거동은 엄밀히 재료적으로 비선형성을 가지게 되지만
구성부재의 내력이 설계규준에서 정하고 있는 허용범위 내에 있는 경우에는 거의 선
형적 거동에 근접하므로 설계목적의 구조해석에서 재료적 비선형성은 일반적으로 고
려하지 않습니다.
midas Civil은 선형해석을 근간으로 하고 있으며 인장 또는 압축력전담요소, P-Delta
해석 등의 기하학적 비선형을 고려할 수 있습니다. midas Civil의 구조해석기능은 기
본적인 선형해석과 비선형해석으로 구성되어 있고, 실무에서 필요로 하는 다양한 해
석기능들을 포함하고 있습니다.
midas Civil의 구조해석기능의 구체적인 내용들은 다음과 같습니다.
정적해석 (Static Analysis)
선형 정적해석 (Linear Static Analysis)
열응력 해석 (Thermal Stress Analysis)
재료비선형 해석 (Material Nonlinear Analysis)
기하비선형 해석 (Geometric Nonlinear Analysis)
대변형 해석 (Large Displacement Analysis)
P-Delta 해석 (P-Delta Analysis)
좌굴해석 (Buckling Analysis)
정적증분해석 (Pushover Analysis)
수화열 해석 (Heat of Hydration Analysis)
시공단계별 해석 (Construction Stage Analysis)
이동하중 해석 (Moving Load Analysis)
영향선 해석 (Influence Line Analysis)
영향면 해석 (Influence Surface Analysis)
동적해석 (Dynamic Analysis)
자유진동해석 (Free Vibration Analysis)
고유벡터해석 (Eigen Vector Analysis)
Ritz벡터 해석 (Ritz Vector Analysis)
Chapter 1. 구조해석 기능
Chapter 1 | 구조해석 기능
mid
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158We Analyze and Design the Future
응답스펙트럼 해석 (Response Spectrum Analysis)
시간이력해석 (Time History Analysis)
경계비선형 시간이력해석 (Boundary Nonlinear Time History Analysis)
비탄성 시간이력해석 (Inelastic Time History Analysis)
구조물의 지점침하를 고려한 해석 (Analysis of Structures subjected to Support
Settlement)
강합성단면의 합성 전후 단면성질을 고려한 해석 (Composite Section
Analysis)
최적화 기법을 사용한 미지하중 계산기능 (Calculation of Unknown Loads by
Optimizing Techniques)
midas Civil은 상기의 각종 하중조건에 대한 해석이 동시에 수행되도록 고안되었습니
다. (단, 응답스펙트럼과 시간이력해석은 동시수행 불가)
Analysis for Civil Structure
mid
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We Analyze and Design the Future 159
midas Civil의 선형정적해석(Linear Static Analysis)에 사용된 기본방정식은 다음과
같습니다.
K U P
여기서, [ ]K : 구조물의 전체강성행렬 (Stiffness Matrix)
{ }U : 모든 자유도의 변위벡터 (Displacement Vector)
{ }P : 작용된 하중벡터 (Load Vector)
midas Civil은 정적 단위하중 조건과 하중조합 수에 제한이 없습니다.
Chapter 2. 정적해석
Chapter 3 | 자유진동해석
160We Analyze and Design the Future
mid
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구조물의 동적 특성을 나타내는 지표인 고유진동수와 모드 형상을 계산하는 방법
으로서 midas Civil에서는 고유벡터 해석과 Ritz벡터 해석의 두 가지 방법을 채택하
력곡선은 Masing의 법칙을 따르고 있습니다. 지반 비선형 Ramberg-Osgood 모델
의 골격곡선과 이력곡선은 다음과 같이 표현됩니다.
골격곡선 : 0
1
G
이력곡선 : 0 0 0
0
12 22
G
max
max
2
2
h
h,
0
2
rG
여기서, : 전단변형율,
: 전단응력,
0G : 전단탄성계수
r : 기준 전단변형율
, : Ramberg-Osgood 모델의 파라메터
Analysis for Civil Structure
mid
asCi
vil
We Analyze and Design the Future 395
골격곡선의 정의
이력모델의 비선형특성은 이하의 값으로 정의됩니다.
0G , : 초기강성(전단탄성계수)
r : 기준 변형율
maxh : 최대감쇠정수
그림 2.9.27 Ramberg-Osgood 이력모델
0G
0G
0 0( , )
0 0( , )
0
0
Skeleton Curve
Hysteresis Curve
Chapter 9 | 비선형 시간이력해석
396We Analyze and Design the Future
mid
asCi
vil
9-4-17 Hardin-Drnevich Type
이력의 개요
Hardin-Drnevich 모델의 이력곡선은 흙의 정적인 응력-변형율관계에 주로 사용되는
쌍곡선 모델을 그대로 골격곡선에 사용합니다.
골격곡선 : 0
1
r
G
이력곡선 : 0 ( )
1 / 2
m
mm r
G(하강곡선)
0 ( )
1 / 2
m
mm r
G(상승곡선)
여기서, : 전단변형율,
: 전단응력,
0G : 전단탄성계수
r : 기준 전단변형율
( , ) m m : 이력곡선상의 반전점
Analysis for Civil Structure
mid
asCi
vil
We Analyze and Design the Future 397
골격곡선의 정의
이력모델의 비선형특성은 이하의 값으로 정의됩니다.
0G
: 초기강성(전단탄성계수)
r
: 기준 변형율
0G
0G
0 0( , )
0 0( , )
0
0
그림 2.9.28 Hardin-Drnevich 이력모델
Chapter 9 | 비선형 시간이력해석
398We Analyze and Design the Future
mid
asCi
vil
지진과 같은 복잡한 형태의 하중에 대해서 축력과 2축 휨을 받는 기둥은 3개 성분
사이에 복잡한 상호작용이 존재합니다. 이와 같은 상호작용을 보다 상세하게 모델
링하기 위해서는 하나의 기둥을 입체요소로 세분하여 해석할 수 있으나, 상당한
계산량이 요구되기 때문에 요소의 갯수를 줄이기 위해 다축-힌지 모델(Hysteresis
Model for Multi-axial Hinge)이 일반적으로 사용되고 있습니다. 다축-힌지 모델은 요
소내에 복수의 비선형 힌지를 할당하여 힌지의 상태에 의해 부재의 비탄성거동을
해석하는 모델로서, 파이버 모델(Fiber Model)과 다축-힌지 이력모델로 구분할 수
있습니다.
파이버 모델(Fiber Model)
파이버 모델은 부재내에 비탄성 거동을 모니터링 하는 단면을 섬유로 세
분하여, 단일 보요소로 모델링하는 모델입니다. 따라서, 복수개의 요소로
분할하지 않고도, 정밀한 비선형 거동을 파악할 수 있는 장점이 있습니다.
그러나, 대규모 구조물의 비선형 시간이력해석시에 모든 구조부재를 파이
버 모델로 모델링할 경우, 계산시간이 과도하게 소요되며 및 메모리 문제
가 발생할 수 있습니다.
다축-힌지 이력모델
다축-힌지 이력모델은 축력과 2축 휨성분을 항복곡면에 의해 정의하고, 소
성이론(Plasticity Theory)에 의해, 축력과 2축 휨성분들 사이의 상호작용을
고려하는 모델입니다. 축력과 휨성분은 연성하지만 각각의 성분은 이력모
델로서 정의되므로, 단면을 세분하는 파이버 모델에 비해 힌지의 상태판정
에 소요되는 계산량이 대폭 감소되어 대규모 구조물의 비선형 시간이력해
석에도 적용가능합니다.
midas Civil에서는 다축-힌지 모델로서 파이버 모델과 소성이론을 응용한 이동경화
형 이력모델을 제공합니다.
Analysis for Civil Structure
mid
asCi
vil
We Analyze and Design the Future 399
9-5-1 이동경화형 (Kinematic Hardening Type)
다축-힌지를 대상으로 하는 이동경화형 이력모델은 2개의 항복면을 사용한 이동경
화 법칙을 따릅니다. 이는 기본적으로 일축-힌지를 대상으로 하는 3선형 이동경화
형 Trilinear이력을 축성분과 2축 휨성분으로 확장시킨 것입니다. 힌지의 상태 판정
및 그에 따른 유연도 행렬 계산은 정해진 항복면에 대한 하중점의 상대적 위치관
계에 의해 결정됩니다. 제하강성은 탄성강성과 동일하며, 2개의 항복면은 항복에
의해 위치만 이동하고 형태나 크기 변화는 없다고 가정합니다.
항복의 판정은 그림 2.9.29에 나타낸 것과 같이 하중점이 1차 항복면 내부에 위치
한 경우에는 탄성상태로 간주합니다. 재하 과정에서 하중점이 1차 항복면과 만나
면 1차 항복이 발생한 것으로 간주하며 계속해서 하중점이 2차 항복면에 도달하면
2차 항복이 발생한 것으로 간주합니다.
(a) Elastic Loading (b) Post Crack (c) Post Yielding (d) UnLoading
그림 2.9.29 항복면의 이동 및 강성변화
힌지의 유연도 행렬은 세 개의 직렬 연결된 스프링의 유연도의 합으로 가정됩니다.
직렬 연결된 스프링은 각각 탄성 스프링과 두개의 비탄성 스프링으로 구성되며 초
기에는 탄성 스프링만 유연도를 갖고 나머지는 강체(Rigid)로 가정합니다. 하중점
이 각각의 항복면과 접할때 마다 관련된 비탄성 스프링의 유연도가 발생하는 것으
로 간주합니다. N-차 항복 후에 유연도 행렬의 계산식은 다음과 같습니다. 여기서
항복면과 관련된 항목은 현재의 하중점이 접하고 있는 항복면에 대해서만 계산됩
니다.
( ) ( )1,(0)
1 ( ) ,( ) ( )
TNi i
s s Ti i s i i
a aF K
a K a
Chapter 9 | 비선형 시간이력해석
400We Analyze and Design the Future
mid
asCi
vil
여기서,
, ( ) , ( ) , ( 1) , (0)
1 1 1 1( 1,2,3; 1,2)
n i n i n i n
n ik r r k
i : 현재의 하중점이 접하고 있는 항복면의 차수
Fs : 힌지의 접선 유연도 행렬
a(i) : i-번째 항복면의 하중점 위치에서의 법선 벡터
kn,(i) : n-번째 성분의 i-번째 직렬 스프링 강성(i=0인 경우에는 탄성강성)
rn,(i) : n-번째 성분의 i-번째 항복 시 강성 저감률(i=0인 경우에는 1.0)
rn,(i) : n-번째 성분의 i-번째 항복 시 강성 저감률(i=0인 경우에는 1.0)
상기 식의 유연도 행렬 Fs는 탄성상태에서는 대각행렬로서 3개 성분이 완전히 독
립적이며 항복 변형 중에는 대각성분에 의해 3개 성분 사이의 상관작용이 발생합
니다. 하중점이 도달 항복면의 외측으로 이동하게 되면 항복면은 하중점과 접해있
는 상태를 유지하도록 함께 이동합니다. 이동 방향은 변형된 Mroz의 경화법칙
(Hardening Rule)을 따릅니다. 하중점이 항복면상에서 내측으로 이동하게 되면 제
하로 판정하며 제하강성은 탄성강성과 동일하다. 제하과정에서 항복면은 이동하지
않습니다.
SSc
C2
S
C1
C1
Mz
My
Mz
My
Sc : conjugate loading point C1 : translation of the 1st yield surface centerS : translation of loading point C2 : translation of the 2nd yield surface center
(a) 1차 항복 이후의 경화 상태 (b) 2차 항복 이후의 경화 상태
그림 2.9.30 경화법칙
1, ( )
, ( ) 2, ( )
3, ( )
0 0
0 0
0 0
i
s i i
i
k
K k
k
Analysis for Civil Structure
mid
asCi
vil
We Analyze and Design the Future 401
9-5-2 P-M 및 P-M-M 상관작용
기둥이나 교각과 같이 축력과 휨 모멘트가 동시에 작용하는 부재의 경우, 축력과
모멘트의 상관작용에 의해 각 성분이 독립적으로 작용할 때와는 다른 항복강도를
갖게 됩니다. 특히 3차원 시간이력해석에서는 2방향 지진에 의해 기둥 부재 내부
의 2축 휨 모멘트 및 축력 사이에 복잡한 상관작용이 발생하고 이는 구조물의 동
적응답에 큰 영향을 미칠 수 있습니다. midas Civil의 비선형 시간이력 해석에서는
P-M 상관작용 또는 P-M-M 상관작용을 고려한 해석을 수행할 수 있습니다.
P-M 상관작용
P-M 상관작용은 축력의 영향을 고려하여 힌지의 휨 항복강도를 산정함으로써 반
영됩니다. 이 때 2축 휨 모멘트의 상관작용은 무시됩니다. 각각의 시간증분에 대한
힌지 상태판정에 있어서는 축력과 두개의 휨 모멘트는 모두 상호 독립적인 것으로
간주됩니다. 축력을 고려한 휨 모멘트 항복강도의 재산정을 위해서는, 비선형 정적
해석을 수행하여 정적해석에 의한 축력을 계산하고, 연속해서 시간이력 해석을 수
행하도록 각각의 하중을 별도의 하중조건으로 만든 뒤 재하순서 및 하중의 연속성
을 부과하여 해석을 수행하여 합니다.
대상 요소는 P-M 상관작용이 적용되는 힌지 속성이 부여된 비탄성 보요소입니다.
이 때 초기단면력은 시간변동 정적하중(Time Varying Static Load)에 포함되는 모
든 정적하중에 대한 선형탄성 해석결과의 조합으로 가정되며 조합에 사용되는 계
수는 시간변동 정적하중에 입력하는 Scale Factor에 의해 정의됩니다.
P
M
P P
MC MY MC MY MC MYM M
(a)
MC : 1st Yield Moment MY : 2nd Yield Moment S : Loading Point by Static Loads
Material(Creep/Shrinkage)과 Time Dependent Material(Comp. Strength)를
선택하여 시간의존적 부재재질을 입력하고, Properties탭>Time Dependent
Material그룹>Time Dependent Material Link에서 일반 부재재질과 시간의
존적 부재재질을 연결합니다.
2. Load탭>Load Type그룹>Heat of Hydration>Heat of Hydration Analysis
Data그룹의 하위메뉴에서 수화열 해석에 필요한 데이터를 입력합니다.
3. Analysis탭>Analysis Control그룹>Heat of Hydration Analysis Control에서
시간이산계수, 초기온도, 응력출력위치, 크리프와 건조수축 고려여부를 입
력합니다.
4. Analysis탭>Perform그룹>Perform Analysis메뉴로 해석을 수행합니다.
5. 해석이 완료되면 해석결과를 등고선도, 그래프, 동영상 등으로 확인합니다.
그림 2.11.1 분할타설을 고려한 Extradosed PSC Box 주두부 수화열해석 모델
Chapter 11 | 수화열해석
468We Analyze and Design the Future
mid
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그림 2.11.2 열특성 및 시간의존적 재료특성 대화상자
그림 2.11.3 분할타설을 고려하기 위한 Construction Stage 대화상자
(각 시공단계의 요소, 경계조건 등을 정의)
Analysis for Civil Structure
mid
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We Analyze and Design the Future 469
1st Stage
2nd Stage
3rd Stage
그림 2.11.4 각 시공단계별 해석결과 그래프
Chapter 12 | PSC 해석
470We Analyze and Design the Future
mid
asCi
vil
프리스트레스트 콘크리트 구조물의 거동은 작용하는 유효 프리스트레스에 따라 크
게 변화됩니다. 따라서 프리스트레스트 콘크리트 구조물을 해석할 때에는 각각의
시공단계마다 가해지는 다양한 하중이력을 거치는 동안 PS 텐던의 인장력 변화를
정확히 계산해내는 것이 중요합니다. PS 텐던의 인장력은 텐던을 긴장하는 방법에
따른 여러 가지 원인에 의해서 손실됩니다.
프리텐션방식의 경우 인장력의 손실을 단계별로 보면 인장력이 도입되기 전까지는
콘크리트의 건조수축 및 텐던의 이완에 의해 손실이 발생하고, 인장력이 도입될
때에는 콘크리트의 탄성변형에 의하여 손실이 발생하며, 인장력이 도입된 이후에
는 콘크리트의 크리프, 건조수축 및 텐던의 이완과 하중 및 온도의 변화에 의하여
손실이 발생하게 됩니다.
포스트텐션방식의 경우에는 인장력을 도입할 때 텐던과 쉬스사이의 마찰에 의한
손실, 정착구의 활동에 의한 손실이 발생하고, 인장력이 도입된 후에는 콘크리트의
크리프, 건조수축 및 텐던의 이완과 하중 및 온도의 변화에 의하여 손실이 발생하
게 됩니다.
midas Civil을 사용하여 프리스트레스트 콘크리트의 해석을 수행할 때 고려할 수
있는 인장력의 손실은 다음과 같습니다.
프리스트레스를 도입할 때 일어나는 즉시손실(Instantaneous Loss)
프리스트레스 도입 후에 일어나는 시간적 손실(Time Dependent Loss)
midas Civil에서는 보다 정확한 해석을 위하여 PS 텐던이 설치되어 긴장되고 정착
되기 이전까지는 단면적, 휨강성 등의 단면특성치를 계산할 때 총단면(Gross Cross
Section)에서 덕트의 면적을 제외한 순단면(Net Cross Section)을 사용하고, 텐던이
정착된 이후에는 텐던의 단면적을 고려한 환산단면을 사용합니다.
Chapter 12. PSC 해석
Analysis for Civil Structure
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We Analyze and Design the Future 471
텐던을 고려한 환산단면은 텐던의 강성이 콘크리트보다 훨씬 크기 때문에 단면의
도심이 변화하고, 변경된 도심을 기준으로한 텐던의 편심을 계산하여 텐던의 인장
력을 계산하게 됩니다.
midas Civil에서는 PS 텐던을 해석모델 상에서 고려할 때 트러스 등과 같은 요소로
서 모형화하지 않고 텐던에 의한 프리스트레스를 등가의 하중으로 계산하여 고려
합니다. 이때 위에 설명한 바와 같이 텐던의 강성은 단면계산시 포함됩니다. 등가
하중을 계산하기 위한 텐던의 인장력은 매 시공단계마다 여러가지 원인에 의한 프
리스트레스 손실을 고려하여 계산되므로 해석모델에 재하되는 등가하중에는 앞서
설명한 프리스트레스 손실이 모두 반영됩니다.
midas Civil에서 프리스트레스트 콘크리트의 해석을 수행하기 위한 절차는 다음과
같습니다.
1. 구조물을 모델링합니다.
2. 시간의존재질 및 시공단계를 정의한 후 시공단계별로 요소, 경계조건, 하중
의 변화를 정의하여 시공단계를 생성합니다.
3. PS 텐던의 단면적, 재질, 극한강도, 덕트의 직경, 마찰계수 등 사용할 텐던
의 특징을 정의합니다.
4. 원하는 부재에 텐던을 할당하고 텐던의 배치형상(Profile)을 정의합니다.
5. 텐던에 작용하는 인장력을 정의하고, 긴장하기를 원하는 시공단계에서 긴
장력을 입력합니다.
6. 해석을 수행합니다.
Chapter 12 | PSC 해석
472We Analyze and Design the Future
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vil
PS 텐던에 가해진 인장응력은 여러 가지 원인에 의해서 감소하게 됩니다. 텐던의
인장응력이 감소하면 콘크리트에 도입된 프리스트레스트도 감소하게 됩니다. 이러
한 프리스트레스 감소의 원인은 다음과 같습니다.
프리스트레스를 도입할 때 일어나는 즉시손실(Instantaneous Loss)
정착장치의 활동(Anchorage Slip)
PS 텐던과 쉬스 사이의 마찰
콘크리트의 탄성변형(Elastic Shortening)
프리스트레스 도입 후에 일어나는 시간적 손실(Time Dependent Loss)
콘크리트의 크리프
콘크리트의 건조수축
PS강재의 이완(Relaxation)
포스트텐션 방식에서는 이상의 여섯 가지의 프리스트레스 손실 원인을 모두 고려
하지만, 프리텐션 방식에 있어서는 PS 텐던과 쉬스 사이의 마찰은 고려하지 않습
니다. 프리스트레스의 즉시손실 및 시간적손실을 합한 텐던 인장력의 총 손실량은
재킹 힘(Original Jacking Force)의 15~20%의 범위입니다. PSC 부재의 콘크리트 응
력계산에서 가장 중요한 것은 즉시손실 후의 긴장력과 시간적 손실까지 끝난 후에
최종적으로 텐던에 작용하는 긴장력인 eP (Effective Prestress Force)입니다. iP 와
eP 의 관계를 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.
e iP RP
여기서, R을 프리스트레스의 유효율(Effective Ratio)이라고 합니다. 이 유효율의 일
반적인 값은 프리텐션 방식의 경우 R=0.80, 포스트텐션 방식의 경우 R=0.85입니
다.
다음은 위에서 설명한 프리스트레스 손실을 midas Civil에서 고려하는 방법에 대해
서 설명한 것입니다.
Analysis for Civil Structure
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We Analyze and Design the Future 473
12-2-1 정착장치의 활동에 의한 손실
PS 텐던의 긴장이 완료된 후 인장단을 정착시킬 때 정착장치에 따라서 약간의 정
착부 이동이 발생하게 됩니다. 이로 인하여 PS 텐던의 인장단 부근에서 인장력의
손실이 발생하게 되는데 이것을 정착장치의 활동에 의한 손실이라고 합니다. 이러
한 손실은 포스트텐션 방식뿐 아니라 프리텐션 방식에서도 발생하는데 어떤 경우
든 긴장작업시 초과긴장(Overstressing)함으로써 보정할 수 있습니다.
일반적으로 PS 텐던과 쉬스 사이에 마찰이 있기 때문에 정착장치의 활동으로 인
한 인장력의 손실은 정착장치 근처, 즉 인장단에 가까운 부위에 한정되며, 인장단
에서 멀어지면 그 영향이 미치지 않게 됩니다.
그림 2.12.1에서 정착부에서 정착장치의 활동에 의하여 영향을 받는 긴장재의 길
이( setl )는 마찰손실의 함수로써 마찰손실이 크면 짧아지고 마찰손실이 작으면 길
어지게 됩니다. 정착장치의 활동량을 l 이라 하고, 여기에 강재의 단면적( pA )과
탄성계수( pE )를 곱하면 그림 2.12.1의 삼각형부분의 면적과 같게 되므로 식 (1)이
성립됩니다.
삼각형의 면적( 0.5 setPl ) = p pA E l (1)
긴장재의 단위길이에 대한 마찰손실을 p 라고 하면, 인장력의 손실 P 는 그림
2.12.1로부터 식 (2)와 같이 나타낼 수 있습니다.
2 setP pl (2)
따라서, 정착부에서 정착장치의 활동의 영향을 받는 긴장재의 길이( setl )는 식(1)과
(2)로부터 식 (3)과 같이 유도할 수 있습니다.
p pset
A E ll
p
(3)
Chapter 12 | PSC 해석
474We Analyze and Design the Future
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그림 2.12.1 정착장치의 활동이 긴장력에 미치는 영향
그림 2.12.1에서 텐던의 인장력의 분포가 직선으로 나타나지만 실제로는 곡선의
형태로 분포하게 되므로, midas Civil에서는 이러한 인장력의 곡선분포를 고려하여
정착장치의 활동에 의한 프리스트레스의 손실을 계산하고 있습니다.
12-2-2 텐던과 쉬스 사이의 마찰에 의한 손실
포스트텐션방식에서는 PS 텐던과 쉬스 사이의 마찰로 인하여 PS 강재의 인장력이
긴장재의 끝으로부터 멀어질수록 작아집니다. 이러한 마찰손실은 긴장재의 각도변
화(Curvature Effect)에 의한 손실인 곡률마찰(Curvature Friction) 손실과 긴장재의
길이의 영향(Length Effect)에 의한 손실인 파상마찰(Wobble Friction) 손실로 나눌
수 있으며 각각 단위각도당 마찰계수 (Radian)와 단위길이당 마찰계수 k를 사용
하여 나타낼 수 있습니다.
긴장단에서 0P 로 긴장했을 경우 텐던의 곡선길이 만큼 떨어진 곳에서의 총 각
변화가 이면 그 지점에서의 인장력 xP 는 식 (4)와 같이 나타낼 수 있습니다.
( )0
klxP P e (4)
Analysis for Civil Structure
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We Analyze and Design the Future 475
긴장재의 종류 k(/m) ( /Rad)
부착시킨 긴장재
강선 0.0033~0.0050 0.15~0.25
강봉 0.0003~0.0020 0.08~0.30
고강도 스트랜드 0.0015~0.0066 0.15~0.25
부착시키지
않은 긴장재
수지방수피복 강선 0.0033~0.0066 0.05~0.15
고강도 스트랜드 0.0033~0.0066 0.05~0.15
그리스 도포 강선 0.0010~0.0066 0.05~0.15
고강도 스트랜드 0.0010~0.0066 0.05~0.15
표 2.12.1 k 및 의 값 (도로교 및 콘크리트 설계기준)
긴장재의 종류 덕트의 종류 k(/m) ( /Rad)
PS강선
및 PS 강연선
금속쉬스 0.0066 0.30
아연도금 금속쉬스 0.0050 0.25
그리스 또는 아스팔트로 코팅하고 또 피
복된 것 0.0066 0.30
아연도금된 강성덕트 0.0007 0.25
PS 강봉 금속 쉬스 0.0010 0.20
아연도금 금속쉬스 0.0007 0.15
표 2.12.2 k 및 의 값 (철도교 설계기준)
12-2-3 콘크리트의 탄성변형에 의한 손실
콘크리트에 프리스트레스를 도입하면 콘크리트는 압축되어 그만큼 부재의 길이가
줄어들게 되고 콘크리트에 정착된 텐던의 길이 역시 줄어들게 되어 텐던의 인장응
력이 감소하게 됩니다. 이러한 탄성변형에 의한 손실은 프리텐션방식이나 포스트
텐션방식에서 모두 발생하지만 그 형태는 조금 다르게 나타납니다.
프리텐션방식의 경우에는 인장재(고정지주)의 긴장력(Jacking Force)을 부재에 가하
는 순간 탄성수축이 일어나고 텐던의 길이가 짧아져서 프리스트레스의 손실이 일
어나게 됩니다. 즉, 그림 2.12.2에 나타난 것처럼 인장재에 가하는 긴장력( jP )과
실제로 부재에 가해지는 긴장력( jP )은 다르게 됩니다.
Chapter 12 | PSC 해석
476We Analyze and Design the Future
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그러나 포스트텐션방식의 경우 따로 인장대가 있는 것이 아니라 경화한 콘크리트
부재를 받침으로 하여 텐던을 긴장합니다. 따라서 콘크리트 부재가 단축하는 것은
프리텐션방식과 같지만 이 때 텐던의 인장력은 콘크리트 부재가 탄성 단축된 후에
측정되기 때문에 콘크리트의 탄성변형으로 인한 인장력의 감소는 있을 수 없습니
다. midas Civil에서는 임의의 시공단계에서 요소가 생성된 후 긴장력이 가해지는
포스트텐션방식과는 달리 시공단계에서 모형화가 불가능한 프리텐션방식의 경우에
는 콘크리트 탄성변형에 의한 프리스트레스의 손실은 고려하지 않습니다. 따라서
프리텐션방식으로 긴장을 할 때는 하중값 입력시에 인장대에 가하는 긴장력( jP )이
아니라 실제로 부재에 가해지는 긴장력( iP )을 입력해 주어야 합니다.
대부분의 포스트텐션 부재는 많은 수의 긴장재가 배치되어 미리 정해 놓은 긴장
순서에 따라 긴장하고 정착하는 것이 일반적이므로, 콘크리트의 탄성수축도 순차
적으로 일어납니다. 따라서 그림 2.12.3(b)의 Tendon 1과 같이 제일 먼저 정착하는
텐던은 그 시점에서 인장력의 감소가 없지만 두번째 텐던을 정착하면 이 탄성수축
때문에 그림 2.12.3(c)과 같이 첫번째 텐던의 인장력이 감소하게 됩니다. midas
Civil은 매 시공단계마다 텐던의 긴장에 의한 탄성수축으로 발생하는 프리스트레스
의 손실 뿐 아니라 외부하중에 의한 탄성수축으로 발생하는 프리스트레스의 손실
모두 고려하고 있습니다.
그림 2.12.2 탄성수축으로 인한 인장력의 감소 (프리텐션 부재)
Analysis for Civil Structure
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We Analyze and Design the Future 477
그림 2.12.3 프리스트레스의 순차적인 도입에 의한 인장력의 감소
(포스트텐션 부재)
12-2-4 시간의존적 손실
프리스트레스는 콘크리트의 크리프와 건조수축 및 PS 텐던의 이완(Relaxation) 때
문에 시간의 경과와 더불어 감소하게 됩니다. midas Civil에서는 각각의 시공단계마
다 콘크리트 부재의 시간의존적인 특성을 고려하여 크리프 및 건조수축에 의해 발
생하는 변형을 계산하고 있습니다. 또한 계산된 콘크리트 부재의 변형으로 발생하
는 PS 텐던의 인장응력의 감소도 고려합니다. 계산된 프리스트레스의 시간적 손실
은 매 시공단계마다 그래프를 통하여 쉽게 확인할 수 있습니다.
이완(Relaxation)이란 PS 텐던에 인장응력을 작용시켜서 그 변형률을 일정하게 유
지하면, PS 텐던에 준 인장응력이 시간의 경과와 더불어 점차 감소하는 현상으로
정의되며, 이완에 의한 손실은 재하된 초기응력의 크기, 경과된 시간, 제품의 성질
에 따라 각각 다르게 나타납니다. midas Civil에서는 PS 텐던의 이완을 고려하기
위하여 널리 사용되고 있는 Magura1) 의 식과 CEB-FIP의 식을 사용합니다.
1) ; Magura, D.D., Sozen, M.A., and Siess, C.P., “A Study of Stress Relaxation in Prestressing
Reinforcement,” PCI Journal, Vol. 9, No. 2, April, 1964.
Chapter 12 | PSC 해석
478We Analyze and Design the Future
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Magura식을 사용한 Relaxation 계산식
log1 0.55s si
si y
f t f
f C f
여기서, 0.55si
y
f
f (5)
여기서, sif 는 초기응력, sf 는 재하 후 t시간 후의 응력, yf 는 항복응력(0.1%
Offset Yield Stress), C는 제품에 관한 상수로서 일반강재인 경우 10, 저 릴랙세이
션 강재를 사용한 경우 45를 사용합니다. 이 식은 이완의 정의에서 설명한 것처럼
텐던의 응력이 일정하게 유지될 때를 가정하고 있습니다. 그러나 실제 PS 텐던의
인장력은 시간에 따라서 크리프, 건조수축, 외부하중의 변화에 의하여 불연속적으
로 변화하기 때문에 식 (5)를 직접 적용하기에는 어려움이 있습니다. 따라서 midas
Civil에서는 매 시공단계마다 이완에 의한 손실을 제외한 다른 요인에 의한 텐던의
인장력의 변화를 계산한 후에 각각의 시공단계에 해당하는 가상의 초기응력
(Fictitious Initial Prestress)2)을 구한 후 이완에 의한 손실을 계산합니다.
CEB-FIP식을 사용한 Relaxation 계산식
이 식은 시간에 따라서 초기응력의 일정한 비율이 감소하는 것으로 계산합니다.
1100n si n n
RPf f DL DL
- 1,n nt t 1000 (days)
11
16 10n s
n
t tDL ln
, 11
11
16 10n s
n
t tDL ln
- 1000 1,n nt t 500000 (days)
0.2
500000n s
n
t tDL
, 0.2
11 500000
n sn
t tDL
- 1,n nt t 500000 (days)
1 1.0n nDL DL
2) ; Kan, Y.G., “Nonlinear Geometric, Material and Time Dependent Analysis of Reinforced and
Prestressed Concrete Frames”, Ph. D. Dissertation, Department of Civil Engineering, University of
California, Berkeley, June 1977.
Analysis for Civil Structure
mid
asCi
vil
We Analyze and Design the Future 479
여기서, sif : 초기응력
RP : Relaxation 발생 비율 (%)
1,n nt t : 시공단계 n , n-1 의 시간 (days)
st : 긴장력 도입 시간 (days)
midas Civil에서 PS 텐던에 의해 구조물에 가해지는 프리스트레스 하중을 등가의
하중으로 치환하는 방법은 그림 2.12.4와 같습니다.
iθ
jθ
그림 2.12.4 텐던의 프리스트레스에 의한 등가하중
그림 2.12.4은 하나의 보요소에 텐던이 배치되어 있는 형상을 나타낸 것입니다. 설
명의 편의상 2차원으로 표현하였지만 요소좌표계 xy평면에 대해서도 동일한 방법
으로 계산됩니다. 그림에서 보는 바와 같이 midas Civil에서는 내부적으로 하나의
보요소를 4등분을 하여 등가하중을 계산합니다. 이때 4등분한 요소 내에서의 텐던
형상은 그림 2.12.4(b)와 같이 실제적인 텐던의 형상을 따르며, 다만 구간내에서
등가하중은 그림 2.12.4(c)와 같이 일정하다고 가정합니다. 텐던에 가해지는 인장
Chapter 12 | PSC 해석
480We Analyze and Design the Future
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력 iP 와 jP 는 마찰에 의한 손실 때문에 다르게 되므로, i 와 j 단 양쪽의 3개의
집중하중( xp , ym , zp ) 만으로는 내부적으로 평형이 될 수 없습니다. 따라서 부재
내에서 자체로 평형을 이루도록 등분포하중을 고려합니다. 식 (6)과 (7)에 의해서
양단의 집중하중을 계산하고 식 (8)과 (9)를 이용해서 요소 내부의 등분포하중을
계산합니다.
cos
sin
i i ix
i i iz
i i iy x z
p p
p p
m p e
(6)
cos
sin
j j jx
j j jz
j j jy x z
p p
p p
m p e
(7)
2
0
0
02
i jx x x x
i jz z z z
j i i jy y z z y y
F p w l p
F p w l p
lM m p l w m m l
(8)
2
j ix x
x
i jz z
z
i jy yi
y z z
p pw
l
p pw
l
m mlm p w
l
(9)
midas Civil에서는 매 시공단계마다 크리프, 건조수축, 텐던의 이완 등 프리스트레
스의 시간적 손실 뿐 아니라 외부하중이나 온도의 변화로 인한 구조물의 변형으로
인해 이미 설치된 텐던에서 발생하는 프리스트레스의 손실도 고려하고 있습니다.
먼저 시공단계 해석시 발생하는 변형에 의한 텐던의 인장력의 변화를 계산하고 계
산된 인장력의 변화량을 앞서 설명한 방법대로 등가하중으로 치환하여 요소에 부
여합니다.
Analysis for Civil Structure
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We Analyze and Design the Future 481
midas Civil의 이동하중 해석기능은 구조물의 설계시 정적차량이동하중(Static
Vehicle Moving Load) 조건을 반영하는데 사용되며 주요한 기능은 다음과 같습니다.
이동하중에 따른 처짐, 부재내력, 반력 등에 대한 영향선(Influence Line)과
영향면 (Influence Surface)의 산출
산출된 영향선과 영향면을 이용하여 주어진 차량이동하중조건에 대한 최
대최소 절점변위, 부재내력, 지점반력의 산출
구조물에 대한 이동하중해석은 차량하중이 이동하면서 유발하는 하중에 대한 해석
을 수행하는 것으로 차량하중의 이동경로 전체에 대해 해석을 수행하여 최대값,
최소값을 계산하고 이동하중조건 결과로 사용합니다.
구조물에 대한 이동하중해석을 수행하기 위해서는 재하해야 할 차량하중, 차량하
중이 재하되는 차선이나 차선면, 차량하중의 재하방법 등을 정의하고, 차선이나 차
선면에 단위하중을 재하하여 영향선이나 영향면을 계산합니다.
영향선은 구조물의 차선을 따라가면서 단위하중을 재하하여 정적해석을 수행하고
각 성분들의 해석결과를 차선상에 나타낸 것입니다. 영향면은 구조물의 차선면내
에 위치한 판요소의 절점에 단위하중을 재하하여 해석한 결과를 하중작용점에 나
타낸 것입니다. 영향선이나 영향면의 계산이 가능한 결과에는 구조모델에 포함된
절점의 변위와 트러스요소, 보요소, 판요소의 부재력과 지점반력이 포함됩니다.
차량이동하중해석의 해석과정을 간략하게 정리하면 다음과 같습니다.
1. 차량하중, 이동하중재하방법, 차선이나 차선면 등을 정의합니다.
2. 차선이나 차선면을 사용하여 단위하중조건을 만들고 각 단위하중에 대한
정적해석을 수행하여 각 성분별 영향선이나 영향면을 계산합니다.
3. 차량하중의 재하방법에 따라 영향선 또는 영향면을 사용하여 차량의 이동
에 따른 해석결과들을 산출합니다.
Chapter 13. 이동하중해석
Chapter 13 | 이동하중해석
482We Analyze and Design the Future
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이러한 과정을 거쳐 산출되는 해석결과들은 한 개의 이동하중조건에 대해 최대와
최소의 두 가지 해석결과를 갖게 되고 다른 하중조건들과의 조합이 가능합니다.
이동하중조건이 최대와 최소의 두 가지 해석결과를 갖기 때문에 하중조합을 하게
되면 조합된 결과 역시 최대와 최소의 두 가지 해석 결과를 갖게 됩니다. 해석의
결과로는 절점변위, 지점반력, 트러스, 보, 판요소의 부재내력 등이 출력되며, 이외
의 입력된 요소에 대해서는 강성만 고려되고 해석결과는 산출하지 않습니다
차량이동하중해석에서 사용하는 영향선 또는 영향면의 단위하중은 전체좌표계의 -
Z방향으로 작용하게 되며 이동하중해석 조건의 수는 무제한으로 사용이 가능합니
다.
영향선해석과 영향면해석은 동시에 수행될 수 없으며, 표 2.13.1은 각각의 특징과
용도를 정리한 것입니다.
표 2.13.1 영향선 및 영향면 해석의 용도 및 특징
구 분 영향선 해석 영향면 해석
용 도
주형에 의한 거동이 지배적인 교량
또는 교량의 입면 2차원 해석에 적
용(강박스교 등)
교축직각방향으로 차량이동하중
에 의한 구조적 거동의 변화가
큰 경우 (슬래브교, 라멘교 등)
영향 해석
결과의 표현
차선요소(보요소)상의 영향선으로
표현
차선면요소(판요소)상의 영향면으
로 표현
해석성분 절점변위, 지점반력, 부재내력 절점변위, 지점반력, 부재내력
해석대상요소 트러스, 보, 판요소 (기타요소는 해
석과정에서 강성효과만 기여)
트러스, 보, 판요소 (기타요소는
해석과정에서 강성효과만 기여)
하중
재하
방법
차륜하중 및
차선집중
하중
차선요소(보요소)에 집중하중으로
재하
차선을 구성하는 절점에 집중하
중으로 재하
차선분포
하중
차선요소(보요소)에 분포하중으로
재하
차선면요소(판요소)에 압력하중으
로 재하
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We Analyze and Design the Future 483
영향선은 보요소상의 차선(Traffic Lane)을 따라가면서 단위하중(수직력 또는 편심
비틀림모멘트)을 재하하여 해석되며, 모델에 포함된 모든 절점과 트러스요소, 보요
소, 판요소, 그리고 지지점에 대해 절점변위, 요소내력, 반력성분으로 산출됩니다.
영향면은 차선면(Traffic Surface Lane)내에 위치한 판요소 절점에 단위하중(수직력)
을 재하한 해석 결과로부터 산출됩니다.
그리고 midas Civil은 산출된 영향선 또는 영향면을 이용하여 한국 도로교설계기준,
AASHTO1), Caltrans2), AREA3) 또는 사용자가 임의로 입력한 차량하중(Vehicle Live
Load) 및 재하조건에 대해서 변위, 반력, 트러스요소, 보요소, 판요소, Link요소에
대한 최대최소 설계치(Design Quantities)를 계산하여 출력하며, 보요소에 대해서는
보 부재력중 축력과 강약축에 대한 모멘트의 각 성분별 최대최소치 뿐 아니라 해
당 최대최소부재력과 동시에 발생하는 기타 내력성분도 산출합니다.
midas Civil은 입력된 다수의 차선과 차선면에 대해 양방향 주행조건, 편심비틀림조
건을 포함한 모든 재하가능 조건과 각 지간(Span)별로 입력된 충격계수(Impact
Fraction)를 고려하여 차량하중을 재하하게 되며, 재하되는 모든 차량하중(차륜, 차
선, 기타)에 대해 가장 불리한 조건에 대한 해석결과를 산출합니다.
해석모델에 트러스요소, 보요소, 판요소 이외의 요소(평면응력요소, 입체요소 등)가
포함되면 이 요소들은 구조물의 해석시 강성효과에만 반영되고 차량하중에 의한
부재력은 산출되지 않습니다.
이와 같은 제약은 차량하중이 재하되면 프로그램 내부에서 하중재하점의 개수만큼
에 해당하는 하중조건이 발생하게 되고, 이를 해석적으로 소화하기 위해서는 해석
소요시간에 대한 문제뿐 아니라 대용량의 데이터에 따른 문제를 해소하기 위한 것
입니다.
1) ; ASSHTO, Standard Specifications for Highways Bridges, The American Association of State
Highway and Transportation Officials, Inc in USA. 2) ;Caltrans, Bridges Design Specifications Manual, State of California, Department of Transportation
in USA. 3) ;AREA, Manual for Railway Engineering , American Railway Engineering Association in USA.
Chapter 13 | 이동하중해석
484We Analyze and Design the Future
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midas Civil에서 이동하중해석을 수행하기 위한 절차는 다음과 같습니다.
1. 구조물을 모델링 합니다. 이 때 차선을 배치하고자 하는 차선요소는 보요
소(변단면 보요소)를 사용해야 하고, 차선면을 배치하고자 하는 차선면요소
는 판요소를 사용하여 모델링 하여야 합니다.
2. 구조물 모델상에 차량이동경로 및 설계차선수, 차선폭 등을 고려하여 차선
이나 차선면을 배치합니다.
3. 연속교일때 내부지지점의 위치를 지정합니다. 이 과정은 한국 도로교설계
기준과 AASHTO Standard에서 정하고 있는 “연속보에서 차선하중으로 최
대 부모멘트를 구할때는 고려하는 지점의 좌우 두 지간의 분포차선 하중과
두 지간에 가장 불리한 위치에 같은 크기의 집중하중을 각각 두어야 하며
…” 조건을 고려하기 위한 것입니다.
4. 차선이나 차선면상에 재하할 차량하중을 정의합니다. 차량하중은 한국 도
로교설계기준 또는 AASHTO Standard 등에서 정하고 있는 표준차량하중을
사용할 수 있고, 별도로 사용자가 원하는 차륜하중 또는 차선하중을 만들
어서 입력할 수도 있습니다.
5. 요구되는 설계조건을 고려하여 차량하중을 재하 하고자 하는 차선 또는 차
선면과 재하조건을 입력합니다.
6. 해석을 수행합니다.
7. 차량하중조건과 기타 정적 동적하중조건에 대한 해석결과를 조합합니다.
영향선이나 영향면만을 구할 경우에는 두번째 단계까지만 필요하며, 세번째 단계
인 지지점의 입력단계는 최대 부모멘트 연산용 집중차선하중을 지점을 기준으로
좌우 두 지간에 동시에 같은 크기로 재하하는 경우에만 사용되기 때문에 설계시
그러한 조건을 고려하지 않을 경우에는 별도로 입력할 필요가 없습니다.
midas Civil에서 차량하중은 전체좌표계 Z축의 반대방향으로 입력되기 때문에 구조
물의 모델은 중력방향이 전체좌표계 -Z축의 방향이 되도록 입력되어야 합니다.
차량하중은 지정된 차선(Traffic Lane)이나 차선면(Traffic Surface Lane)을 통하여 구
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We Analyze and Design the Future 485
조물에 재하 됩니다. 그리고 차선이나 차선면은 설계기준에서 요구하는 설계차선
수 및 설계차선폭을 고려하여 교축직각방향으로 여러 개를 배치할 수 있습니다.
일반적인 경우에 차선간의 간격이나 차선과 차선요소간의 간격은 상호 평행하게
배치되지만 곡선형 입체교차로에서와 같이 2개 이상의 도로가 만나는 교차구간에
대해서 반드시 평행되게 배치할 필요는 없습니다.
midas Civil을 이용하여 구조물을 모델링할 때 상부구조를 단일차선 요소열로 모델
링할 수도 있고, 필요에 따라 격자형 모델을 이용할 경우에는 각 종형을 여러 개
의 차선요소열로 모델링할 수도 있습니다. 또한 슬래브나 라멘 형태의 교량인 경
우에는 판요소를 사용하여 모델링 하면 됩니다.
13-1-1 차선 (Traffic Lane)
영향선해석에서 차선은 그림 2.13.1과 같이 한 개의 보요소(이하 변단면 보요소 포
함) 또는 상호 연결 입력되어 있는 일련의 보요소열 상에 놓이거나 보요소열과 편
심을 이루면서 배치됩니다. 여기서 차선을 배치하는데 사용된 보요소열을 차선요
소열이라 합니다.
차선요소열에서 임의 요소의 j (또는 N2)절점의 위치는 반드시 후행하는 요소의 i
(또는 N1)절점으로 사용되거나 동일위치에 있도록 배치되어야 하며, 불가피한 경
우 비록 위치가 일치하지 않더라도 동일 차선요소열의 인접 차선요소간의 길이방
향 이격거리를 최소화하는 것이 해석결과의 정확도 확보에 유리합니다. 가령 일정
간격을 가진 2개 이상의 차륜집중하중이 배치될 때 차륜간격보다 인접 차선요소간
의 이격거리가 클 경우에는 일부 차륜집중하중을 고려할 수 없게 됩니다. 그러나
차선의 폭방향 및 수직방향 이격거리는 크게 영향을 미치지 않습니다. 차선요소의
요소좌표계 z축은 전체좌표계 Z축과 평행하거나 평행에 근접하도록 배치되어야 하
며, 차선요소의 요소좌표계 x축은 전체좌표계 Z축에 평행하게 배치될 수 없습니다.
영향선에서 모든 차량하중은 차선의 중심선에 재하되어 차선요소로 전달됩니다.
그리고 영향선을 구하기 위해 차선과 차선요소의 위치가 일치하면 단위수직하중만
차선을 통해 차선요소로 입력되고, 차선의 위치가 차선요소와 횡방향으로 편심배
치되어 있는 경우에는 단위수직하중과 추가로 단위비틀림 모멘트가 차선요소에 입
력됩니다.
Chapter 13 | 이동하중해석
486We Analyze and Design the Future
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차선과 차선요소 사이의 편심량(Eccentricity)은 차선요소의 중심에서 요소좌표계
(+)y축 방향(또는 (-)y축 방향)으로 차선위치까지의 수직거리입니다. 그리고 편심량
의 부호는 해당차선의 하중이 요소좌표계 x축에 대해 정방향의 비틀림을 유발하게
되는 경우, 즉 해당차선이 요소좌표계 x축을 기준으로 (-)y축 방향쪽으로 위치하면
양(+)이 되고, (+)y축 방향쪽에 위치하면 음(-)이 됩니다. (“보요소” 참조)
(a) 차선요소와 차선의 배치개념도
(b) 편심량의 부호
그림 2.13.1 차선, 차선요소 및 편심량의 상관관계
positive torsion about ECS x-axis
traffic lane element
vehicle load
traffic lane (centerline)
vehicle load
traffic lane (centerline)
negative torsion about ESC x-axis
ECC (negative) traffic lane element
ECC (positive)
traffic lane (centerline) with negative eccentricity
- - - - : traffic rain (centerline) —— : line of traffic lane elements
traffic lane (centerline) with positive eccentricity
traffic lane element
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We Analyze and Design the Future 487
편심량은 차선요소 별로 각각 별도로 주어질 수 있기 때문에 차선이 차선요소 열
을 따라가면서 가변적으로 배치될 수 있습니다.
그림 2.13.1와 같이 차선이 입력되면 영향선을 구하기 위해 차선요소에 단위 수직
하중과 단위 비틀림모멘트(편심이 주어졌을 경우)를 작용시키게 되는데, 이때 하중
작용점의 위치는 차선요소의 양단부 절점과 요소길이의 1/4, 1/2, 3/4 위치로 프로
그램 내부에서 자동 설정됩니다. 그리고 이 하중은 i쪽 절점부터 j쪽 절점으로 진
행하면서 순차적으로 가해집니다.
차량이동하중을 고려할 때 모든 해석결과치의 정확도는 상기의 하중작용점(보요소
의 양절점과 길이를 4등분한 점)의 간격에 직접적인 영향을 받기 때문에 보다 정
밀한 해석을 요하는 부위나 차선요소(보요소)의 길이가 너무 긴 경우 요소를 보다
세분하는 것이 바람직합니다.
13-1-2 차선면 (Traffic Surface Lane)
차선면(Traffic Surface Lane)은 이동하중의 2방향 분포효과가 큰 라멘이나 슬래브
구조물에서 차량이 이동하는 영역을 지정하는데 사용되며, 차선면요소와 차선절점
열로 구성됩니다. 차선면은 구조물의 영향면해석과 이를 사용한 차량이동하중해석
에 사용되며, 그림 2.13.2와 같이 일련의 차선면요소와 차선절점열로 구분됩니다.
영향면이란 하중의 재하가 2방향 분포를 갖는 구조물에서 하중재하가 가능한 모든
위치에 단위하중을 작용하여 발생하는 결과값들을 하중재하의 위치에 나타낸 것으
로, 특정한 성분(변위, 반력, 부재력 등)에 대한 하중의 재하위치별 영향을 의미하
며, 이동하중해석에 필수적으로 사용됩니다. 이러한 영향면을 구하기 위한 해석과
정을 영향면 해석이라 하고, 이에 필요한 입력은 하중의 재하가 가능한 영역이 됩
니다. midas Civil에서는 차량이 직접 이동하는 차선면과 사용자가 필요한 영역에
대해 추가적으로 입력된 판요소를 영향면 해석을 위한 하중재하영역으로 간주합니
다. midas Civil은 영향면영역으로 입력한 모든 판요소의 각 절점에 각각 단위 연직
하중을 가하여 정적해석을 수행하고, 이 해석결과로부터 각 성분별(변위, 반력, 부
재력) 영향면을 구합니다.
Chapter 13 | 이동하중해석
488We Analyze and Design the Future
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차선면요소는 차량이 이동하는 차선면 영역을 지정하는 것으로 차선폭, 차선절점
열과 편심거리로 입력되며 중복입력이 가능합니다. 또한 각 요소별로 경간길이에
따른 충격계수의 입력이 가능하고 차선하중(DL)의 분포압력하중 재하에 사용됩니
다.
그림 2.13.2 차선면의 차선면요소와 차선절점열
차선절점열과 편심거리는 집중차량하중이 이동하는 선을 구성합니다. 차선면의 중
심이 교축방향을 기준으로 차선절점열의 오른쪽에 있으면 양(+)의 편심거리를 갖
게 되고, 차선절점열의 왼쪽에 놓이게 되면 음(-)의 편심거리를 갖게 됩니다. 차선
절점열은 차선면내의 절점으로 입력되며, 입력순서로 차량진행방향을 결정하기 때
문에 반드시 입력순서를 고려하여야 하고, 중복입력은 허용하지 않습니다. 각 절점
별로 경간 길이에 따른 충격계수의 입력이 가능합니다. 차선절점열은 편심거리와
차선폭을 사용하여 차선면을 구성하는데 기준이 되므로, 가능한한 차선면의 중심
에 가까운 절점열을 사용하는 것이 바람직합니다.
지점과 인접한 요소를 입력하여 설계기준에서 요구하는 차선하중(DL)의 추가적인
부(-)모멘트 계산이 가능합니다
midas Civil은 차선 또는 차선면이 입력되면 상기의 과정을 통해 다음과 같은 5가
지 종류의 설계 변수에 대해 영향선 또는 영향면을 산출합니다.
: line of traffic lane nodes : zone of traffic lane surface : centerline of traffic surface lane
range of loading effect in influence surface analysis
axis of bridge
centerline of traffic surface lane
traffic lane node
eccentricity width of traffic lane
traffic surface lane element
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We Analyze and Design the Future 489
(a) 점 A 위치의 전단력 영향선도
(b) 점 A 위치의 굽힘모멘트 영향선도
(c) 점 B 위치에서의 수직변위 영향선도
(d) 지지점 C 위치에서의 수직반력 영향선도
그림 2.13.3 3개의 지지점을 가진 사장교의 각 성분별 영향선도
MAX. 0.8933
MIN. 0
MAX. –0.0001288
MIN. 0
MAX. 20.7436
MIN. –2.4523
Pylon Cable MAX. 0.6277
MIN. –0.3723
Chapter 13 | 이동하중해석
490We Analyze and Design the Future
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(a) 좌측 경간 중앙 절점의 변위(Dz)에 대한 영향선도
(b) 중앙교각부의 중앙 절점 반력(Fz)에 대한 영향면도
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We Analyze and Design the Future 491
(c) 좌측 경간 중앙부 판요소의 모멘트(Mxx)에 대한 영향면도
(d) 좌측 경간 중앙부 판요소의 전단력(Vxx)에 대한 영향면도
그림 2.13.4 2경간 슬래브교에 대한 각 성분별 영향면도
Chapter 13 | 이동하중해석
492We Analyze and Design the Future
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전체좌표계를 기준으로 모든 절점에서 6개 자유도성분에 대한 변위 영향
선 또는 영향면
전체좌표계를 기준으로 각 지지점에서 6개 자유도성분에 대한 반력 영향
선 또는 영향면
요소좌표계를 기준으로 모든 트러스요소의 축력에 대한 영향선 또는 영향
면
요소좌표계를 기준으로 모든 보요소(또는 변단면 보요소)의 양 절점과 요
소의 길이를 4등분한 위치(5개소)에서 6개 내력성분에 대한 영향선 또는
영향면
요소좌표계를 기준으로 모든 판요소의 단위길이에 대한 8개의 부재내력에
대한 영향선 또는 영향면
상기의 영향선 또는 영향면은 후처리모드(Post-Processing Mode)를 통해 화면상에
도화 처리되거나 프린터로 출력됩니다.
midas Civil은 차량이동하중에 의한 구조적 응답을 계산하는데 영향선 또는 영향면
을 사용하고, 하중작용점 사이의 구간에 대해서는 선형보간한 값을 사용합니다.
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We Analyze and Design the Future 493
midas Civil에서 차량하중을 입력하는 방법은 다음과 같이 두 가지가 있습니다.
1. 차륜하중과 차선하중을 사용자가 직접 입력하는 방법
2. 한국 도로교설계기준, AASHTO, Caltrans Standard 등에서 정하고 있는 각종
표준차량하중을 입력하는 방법
첫째 방법은, 차륜하중과 차선하중을 사용자가 직접 입력하는 방법입니다. 차륜의
입력시에는 그림 2.13.5와 같이 집중차륜하중과 차축간의 간격을 지정하게 됩니다.
그리고 최후륜축과 인접한 차축간의 간격이 가변적일 때는 차축간격을 입력하는
마지막항에 가변범위의 최소간격과 최대간격을 동시에 입력합니다. 차선하중은 그
림 2.13.6과 같이 위치가변성 차선집중하중과 차선분포하중으로 구성됩니다. 차선
집중하중에는 최대최소모멘트 계산용 하중(PLM), 최대최소전단력 계산용 하중
(PLV), 그리고 모멘트 및 전단력에 대한 구분없이 모든 해석결과에 적용되는 하중
(PL) 등이 있습니다. 차선분포하중은 차선 전체길이에 걸쳐서 작용할 수 있는 것으
로 가정되며, 발생가능한 조건중 가장 불리한 설계치를 산출하는 구간에만 프로그
램 내부에서 조정, 재하됩니다. 대부분의 설계기준에서는 차륜하중과 차선하중이
동시에 작용하지 않는 것으로 정하고 있으나, midas Civil에서는 사용자의 필요에
따라 동시에 작용하는 조건을 고려할 수도 있습니다.
둘째 방법은, 각종 설계기준에서 정하고 있는 표준차량하중의 명칭을 지정함으로
써 프로그램 내부에 등록되어 있는 데이터베이스로부터 표준차량하중을 자동으로
재하하도록 하는 방법입니다. midas Civil의 차량하중 데이타베이스에 대한 내용은
다음 표와 그림을 참조하기 바랍니다.
Chapter 13 | 이동하중해석
494We Analyze and Design the Future
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규 준 표준차량하중 명칭
한국 도로교설계기준 DB-24, DB-18, DB-13.5,
DL-24, DL-18, DL-13.5
한국 철도설계기준
L-25, L-22, L-18, L-15,
S-25, S-22, S-18, S-15,
HL, EL25, EL22, EL18
AASHTO Standard
H15-44, HS15-44, H15-44L, HS15-44L,
H20-44, HS20-44, H20-44L, HS20-44L,
HS-25, HS-25L, AML
AASHTO LRFD HL-93TRK, HL-93TDM, HS20-FTG
Caltrans Standard P5, P7, P9, P11, P13, P15
PENNDOT PHL-93TRK, PHL-93TDM, PHS20-FTG,
P-82, ML-80, TK-527
China CH-CD, CH-CL, CH-RQ
India Class A, Class B, Class 70R,
Class 40R, Class AA, Footway
Taiwan
HS20-44(MS18), HS15-44(MS13.5), H20-44(M18),
H15-44(M13.5), H10-44(M9), HS-20-44(MS18),
HS-15-44(MS13.5), H-20-44(M18),
H-15-44(M13.5), H-10-44(M9), C-AML
Canada CL-625 Truck, CL-625 Lane
BS HA & HB
Eurocode Load Model 1~4, Fatigue Load Model
Russia SK, SK Fatigue, AK, N14, N11,
Subway Trains, Trancars, NK-80, NG-60
기타차량하중 CE-80(Cooper E80 Train Load)
UIC80(UIC80 Train Load)
표 2.13.2 각 규준별 표준차량하중 명칭
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We Analyze and Design the Future 495
그림 2.13.5 집중차륜하중의 정의방법
Influence Line
(b) influence Surface
그림 2.13.6 차선하중의 정의방법
centerline of traffic surface
variable location
variablelocation
variable location
concentrated trafficlane load
W distributed traffic lane load
W width of traffic lane
traffic surface lane
W distributed traffic lane load
traffic lane
variable location
variable location
variable location
concentrated traffic lane load
P# : Concentrated wheel load
traffic lane
From minimum Dn-1 to
Chapter 13 | 이동하중해석
496We Analyze and Design the Future
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Load Class P1
[kN]
P2
[kN]
P3
[kN]
PS
[kN]
PM
[kN]
W
[kN/m]
w
[kN/m2]
DB-24 or DL-24 48 192 192 156 108 12.70 12.70/3
DB-18 or DL-18 36 144 144 117 81 9.50 9.50/3
DB-13.5 or DL-13.5 27 108 108 878 608 0710 0710/3
그림 2.13.7 한국 도로교설계기준의 DB 및 DL 하중
DB load
P1 : front axle load P2 : middle axle load P3 : rear axle load Ps : concentrated lane load for shear calculation Pm : concentrated lane load for moment calculation W : distributed lane load(for influence line) w : distributed lane load (for influence surface) 4.2 m 4.2m ~ 9.0m
DL load
variable location variable location
variable range of loading application(∞)
[ For influence surface ]
wdith of traffic lane
w
DL load
[ For influence line ]
variable location variable location
W
variable range loading application(∞)
Analysis for Civil Structure
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We Analyze and Design the Future 497
그림 2.13.8 AASHTO Standard H 또는 HS Vehicle Loads, Alternative Military Load
H20-44 Truck load
14
18 kips
32 kips
H20-44 Truck load
14 14' ~ 30'
8 kips
32 kips 32 kips
variable location
variable location
variable (∞)
[ For influence line ]
0.640 kips/ft
18 kips 26 kips
AML Load
[ For influence surface ]
variable (∞)
H20-44L or HS20-44L Lane Load
0.064 kips/ft
18 kips 26 kips
24kips24kips
variable location
variable location
Chapter 13 | 이동하중해석
498We Analyze and Design the Future
mid
asCi
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그림 2.13.9 Caltrans Standard Permit Loads
54 kips
18` 18` 18` 18` ~ 60` 18` 18` 18` 18`
26 kips
54 kips54 kips
P15 Permit Load
54 kips 54 kips 54 kips 54 kips 54 kips
18'18'P5 Permit
26
4848
18'18'18'P7 Permit
26
48 48 48
P9 Permit18' 18' 18' 18'
26
48 48 48 48
P11 Permit18' 18' 18' 18' 18'
26
48 48 48 48 48
P13 Permit
18' 18' 18' 18' 18' 18'
26
48 4848 484848
Analysis for Civil Structure
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asCi
vil
We Analyze and Design the Future 499
Class P1
[kN]
P2
[kN]
P3
[kN]
P4
[kN]
P5
[kN]
P6
[kN]
W
[kN/m]
L-15 75 150 100 75 150 100 50
L-18 90 180 120 90 180 120 60
L-22 110 220 440/3 110 220 440/3 220/3
L-25 125 250 500/3 125 250 500/3 250/3
(a) 표준열차하중 (L하중)
(b) 표준열차하중 (S하중)
(c) HL 표준열차하중 (고속철도)
그림 2.13.10 한국 표준열차하중
Class P1[kN]
S-15 1650/9
S-18 220
S-22 2420/9
S-25 2750/9
80 kN/m 80 kN/m 250 kN 250 kN 250 kN 250 kN
Chapter 13 | 이동하중해석
500We Analyze and Design the Future
mid
asCi
vil
그림 2.13.11 는 특수목적 차량의 모델링에 사용할 수 있는 Permit 차량입니다. 차
량의 차축의 개수나 바퀴의 개수는 사용자가 임의로 선언할 수 있습니다. Permit
차량은 Permit 이동하중 조건을 사용하여 재하할 수 있습니다. 차량의 바퀴의 위치
마다 자동으로 내부적인 차선을 만들어 영향선 해석을 수행하고 차량의 진행에 따
른 결과를 계산하여 최대/최소값으로 이동하중조건의 결과를 생성합니다. Permit
하중은 각 횡방향 차선에 대하여 독립적인 영향선을 계산하고 이를 활용하여 결과
를 구합니다. Permit 차량은 항상 일체된 차량으로 가정하기 때문에 일반 차량과
달리 영향선의 부호에따라 일부 차축의 하중을 재하하지 않는 경우는 발생하지 않
습니다.
그림 2.13.11 Caltrans Permit Load(User Defined)
Axle 1Center ofVehicle
EccentricityWheel
Center of Ref. Lane
Axle 2 Axle 3
P1
P1
P1
P1P1
P1
P1
P1
P1
P1
P1P1
P1
P1
P1
P1P1
P1
P1
P1
P1
P1
P2
P2
P2
P2
P2
P2
P2
P2
P2
P2
P2
P2
P2
P2
P2
P2
P2
P2
Analysis for Civil Structure
mid
asCi
vil
We Analyze and Design the Future 501
상기와 같은 방법을 통해 차량하중이 입력되면 차량하중은 전체좌표계 -Z축 방향
으로 재하되고, 계산된 영향선 또는 영향면을 이용하여 지정된 이동하중조건에 따
라 최대최소 설계변수(부재내력, 절점변위, 지점반력)를 산출합니다.
영향선 또는 영향면을 이용하여 최대최소 설계변수를 산출하는 개념은 다음과 같
습니다. 차량집중하중의 경우는 임의 위치의 설계변수를 구하기 위하여 해당 영향
선 또는 영향면의 값과 차량집중하중의 값을 곱하게 되고, 차선분포하중의 경우는
차선 전구간의 영향선(영향면)을 양(+)과 음(-)의 구간 또는 영역으로 구분하여 구
분된 영향선 또는 영향면 영역을 해당구간 또는 영역에 대하여 적분한 값과 차선
분포하중값을 곱함으로써 최대최소 설계변수를 구하게 됩니다. (그림 2.13.12 참조)
(a) 집중차량하중(P)의 재하시 최대최소 휨모멘트의 연산방법
(b) 차선분포하중(W)의 재하시 최대최소 휨모멘트 연산방법
그림 2.13.12 집중 및 분포차량하중의 재하시 최대최소 설계변수의 연산방법
Influence line for bending moment at point B
distributed lane load
concentrated vehicle load
influence line for bending moment at point A
maximum positive moment at point A = P Imax maximum negative moment at point A = P Imin
Chapter 13 | 이동하중해석
502We Analyze and Design the Future
mid
asCi
vil
그리고 차선하중에서 지지점이 입력되면 한국 도로교설계기준과 AASHTO Code에
서 정하고 있는 “연속보에서 차선하중으로 최대 부모멘트를 구할 때는 고려하는
지점의 좌우 두 지간에 등분포 차선하중과 두 지간에서 가장 불리한 위치에 같은
크기의 집중하중을 각각 두어야 하며…”의 규정에 따라 최대최소모멘트 계산용 차
선집중하중이 재하 됩니다. (그림 2.13.13 참조)
그림 2.13.13 연속보에서 최대부모멘트 연산용 차선하중의 재하방법
concentrated design lane loads placed at the maximum points of influence line to find the maximum negative moment
distributed design lane loads
placed over the negative (-)
loading condition
influence line for negative momement at support B
location of maximum negative moment influence line in span A-B
location of maximum negative moment influence line in span B-C
Analysis for Civil Structure
mid
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We Analyze and Design the Future 503
차량의 바퀴간의 횡방향폭을 반영하여 이동하중 해석을 하고자하는 경우에는 차선
의 선언시에 Wheel Spacing 을 입력하면 됩니다. Wheel Spacing 을 입력한 경우에
는 Wheel Spacing을 고려하여 그림 2.13.14과 같이 영향선을 생성하고, 각 Wheel
하중을 재하하여 해석을 수행합니다. Wheel Spacing 이 영인 경우에는 1개의 Line
에 대한 영향선을 사용합니다. 입력창에서는 Code에 따라 Default 값을 보여주고
있습니다.
그림 2.13.14 Wheel Spacing 을 입력한 경우의 차량하중의 재하방법
Chapter 13 | 이동하중해석
504We Analyze and Design the Future
mid
asCi
vil
다축의 집중차륜하중이 한 조로 재하될 때 해석작업의 효율성을 고려하여 midas
Civil에서 사용할 수 있는 재하방법은 다음과 같습니다
1. 이 방법은 다축 집중차륜하중을 구성하고 있는 개개의 집중하중을 순차적
으로 차선을 따라 이동하면서 매 하중작용점에 재하하게 되고, 다축의 집
중차륜하중 중의 나머지 집중하중이 하중작용점 사이에 위치할 경우에는
인접한 두 개의 하중작용점에서의 영향선(또는 영향면) 값을 보간하여 계
산하는 방법입니다. 따라서 이 방법은 주어진 영향선(또는 영향면)의 정확
도 범위 내에서 정확한 설계치를 산출합니다. 그러나 이 방법은 차선을 따
라가면서 모든 하중작용점에 재하하기 때문에 해석소요시간이 길어지는 단
점이 있습니다. 사용자지침서에서는 이 방법을 ‘E’(Exact)라고 약칭합니
다. (그림 2.13.15 참조)
2. 방법 1에서는 개개의 집중하중을 차선을 따라 이동하면서 매 작용점에 재
하하는 반면, 이 방법은 영향선(또는 영향면) 내에서 최대최소 설계변수가
발생한 위치에만 재하시키게 되며 나머지는 방법 1과 같습니다. 사용자지
침서에서는 이 방법을 ‘Q’(Quick)라고 약칭합니다. (그림 2.13.16 참조)
3. 방법 1에서는 다축 집중차륜하중을 구성하고 있는 개개의 집중하중을 순차
적으로 매번 차선을 따라 이동재하하는 반면, 이 방법에서는 1개의 기준차
축을 선정하여 매 하중작용점에 재하하고 나머지 차축에 의한 영향은 보간
한 값을 사용합니다. 여기서 기준차축은 차량무게중심에서 가장 가까운 위
치에 있는 차축으로 midas Civil 내부에서 자동 설정됩니다. 사용자지침서에
서는 이 방법을 ‘P’(Pivot)라고 약칭합니다. (그림 2.13.17 참조)
상기 재하방법중 예비설계 단계에서는 방법 2를 이용하고, 방법 1 또는 3은 최종
설계 단계에서 사용하는 것이 효과적입니다.
또한, 2개 이상의 집중차륜하중이 한 조로 재하될 때, 앞뒤의 하중값 또는 차축간
격이 서로 상이해서 비대칭으로 재하될 경우에는 차량의 주행방향에 따라 차량하
중이 미치는 영향이 다르기 때문에 양방향 주행효과를 고려하여 차선요소에 재하
됩니다.
Analysis for Civil Structure
mid
asCi
vil
We Analyze and Design the Future 505
그림 2.13.15 ‘E’(Exact) 방법에 따른 집중차륜하중의 재하개념
Stage 3
Axle load applied to the line 2nd point of loading application Axle load applied between the starting point and the 2nd point of loading application
Stage 4
Last stage
Axle load applied between the 2nd & 3rd pointsof loading application Axle load applied to the 2nd point of loading application
Axle load applied to the end point
A moving vehicle load composed of two axle loads &
Axle load applied to the starting point of load application
Stage 1
Starting point of traffic lane
point of loading application
End point of traffic lane
Stage 2
Axle load applied between the starting point and the 2nd point of loading application Axle load applied to the starting point
Chapter 13 | 이동하중해석
506We Analyze and Design the Future
mid
asCi
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그림 2.13.16 ‘Q’(Quick) 방법에 따른 집중차륜하중의 재하개념
Node
A moving vehicle load composed of two axle loads &
location of maximum positive moment
influence line for moment
Axle load applied to the location of maximum positive moment Axle load applied next to the location of maximum positive moment
Traffic lane
location of maximum positive moment
Stage 1
Axle load applied to the location of maximum positive moment Axle load applied next to the location of maximum positive moment
Stage 2
Axle load applied to the location of maximum negative moment Axle load applied next to the location of maximum negative
tStage 4
Axle load applied to the location of maximum negative moment Axle load applied next to the location of maximum negative moment
Stage 3
Analysis for Civil Structure
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asCi
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We Analyze and Design the Future 507
그림 2.13.17 ‘P’(Pivot ) 방법에 따른 집중차륜하중의 재하개념
A moving vehicle load composed of two axle loads & if axle load is reference axle
Only the reference axle is sequentially applied to the points of loading application, and the remaining axle is applied between the points of loading application
Stage 1
Stage 2
Stage 3
Stage 4
Chapter 13 | 이동하중해석
508We Analyze and Design the Future
mid
asCi
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교량구조물의 해석시 가장 불리한 조건의 설계변수(부재내력, 변위, 지지점반력 등)
를 도출하기 위해서는 모든 차량이동하중 재하조건이 고려되어야 합니다. 즉, 설계
차량하중의 그룹과 차선수가 여러 개일 경우, 고려해야할 설계차량하중이 동시에
재하되어야 하는 것인지, 아니면 여러 설계차량하중 그룹 중에서 가장 불리한 조
건의 차량하중만 고려되어야 하는지, 그리고 동시에 재하가능한 임의의 차량하중
이 여러 차선중 특정 차선에만 재하되는 것인지, 또한 여러 차선에 차량하중을 동
시에 재하할 경우 감소율은 동시 재하차선수에 따라 얼마나 적용할 것인지 등 설
계변수에 영향을 미치는 모든 조건을 고려하여야 합니다.
midas Civil는 이와 같은 설계조건을 고려하여 순열조합방법을 통해 모든 발생가
능한 조건에 대한 최대최소 설계변수를 산출합니다.
midas Civil에서 최대최소 설계변수를 산출하는데 필요한 데이터는 다음과 같습니
다.
설계차량하중 그룹과 재하할 차선번호
동시에 재하할 수 있는 최소최대차선수
동시에 재하할 차선수에 따른 차량하중 감소율
Permit Load 인 경우에는 특성에 맞는 입력방법 사용
그림 2.13.18 구조물 모델
Centerline of traffic lane 1
CL of 2
CL of 3
CL of 4
(a) 평면도
(b) 입면도
Analysis for Civil Structure
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asCi
vil
We Analyze and Design the Future 509
다음은 midas Civil에서 이동하중 순열조합에 대한 개념을 설명하기 위한 예입니다.
[ 예제1 ] 한국도로교설계기준의 DB-24, DL-24 하중조건을 고려하여 4개 차선을
가진 구조물의 해석
1. 이동하중으로 “한국도로교설계기준 을 선택합니다.
Main Menu에서 Load탭>Load Type그룹>Moving Load>Moving Load
Code>Korea를 선택합니다.
2. 차선을 입력합니다.
Moving Load Analysis Data그룹>Traffic Line Lanes을 선택하면 아래와 같
이 Traffic Line Lanes의 입력상황을 보여주는 대화상자가 활성화됩니다.
새로운 차선을 정의하기 위해선 아래 그림과 같은 차선입력 대화상자를 호
출합니다. Lane Name에 차선 이름을 입력하고, 차선을 이루는 일련의 보요
소를 선택한 후 편심거리(Eccentricity)와 충격계수를 입력하여 차선을 정의
합니다.
차선입력 대화상자
Chapter 13 | 이동하중해석
510We Analyze and Design the Future
mid
asCi
vil
3. 차량하중을 입력합니다.
Moving Load Analysis Data그룹>Vehicles의 Add Standard에서 원하는 기준
을 선택한 후(여기에서는 Korean Standard Load), 원하는 하중을 선택하여
입력합니다.
차량하중의 정의
DB-24와 DL-24 중에서 불리한 조건을 고려하기 위해 다음 그림과 같이 동
일한 차량하중그룹(Class 1)을 사용합니다.
차량하중그룹입력
Analysis for Civil Structure
mid
asCi
vil
We Analyze and Design the Future 511
4. 차량하중의 재하방법을 입력합니다.
Main Menu의 Analysis탭>Analysis Control그룹>Moving Load Analysis
Control 에서 그림과 같이 ‘Exact’을 선택하고 차량하중의 재하방법을
지정합니다.
차량하중의 재하방법
Chapter 13 | 이동하중해석
512We Analyze and Design the Future
mid
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vil
5. 차량하중이 동시에 재하되는 차선수에 대한 차량하중 감소율을 입력합니다.
아래 그림과 같이 동시에 재하되는 차선수가 1에서 4까지 변할 때의 차량
하중감소율을 입력합니다.
차량하중이 동시에 재하되는 차선수에 대한 차량하중 감소율
다음과 같이 차량하중그룹, 재하될 차선, 재하되는 최대ㆍ최소 차선 수를
사용하여 차량하중 재하조건을 입력합니다
차량하중그룹과 차선을 사용한 차량하중 재하조건의 입력
이상의 입력된 조건에 따라 midas Civil에서 자동으로 순열 조합되는 조건
의 개수는 아래의 표와 같이 15가지가 되고, 최대 최소설계변수는 이 15가
지 조건에 대해 가장 불리한 값으로 각각 산출됩니다
Analysis for Civil Structure
mid
as C
ivil
We Analyze and Design the Future 513
순열조합 조건번호
재하될 차선번호 차량하중
감소율 #1 #2 #3 #4
1 DB-24 or
DL-24 1.0
2 DB-24 or
DL-24 1.0
3 DB-24 or
DL-24 1.0
4 DB-24 or
DL-24 1.0
5 DB-24 or
DL-24 DB-24 or
DL-24 1.0
6 DB24 or DL-24
DB-24 or
DL-24 1.0
7 DB-24 or
DL-24
DB-24 or DL-24
1.0
8 DB-24 or
DL-24 DB-24 or
DL-24 1.0
9 DB-24 or
DL-24
DB-24 or DL-24
1.0
10 DB-24 or
DL-24 DB-24 or
DL-24 1.0
11 DB-24 or
DL-24 DB-24 or
DL-24 DB-24 or
DL-24 0.9
12 DB-24 or
DL-24 DB-24 or
DL-24
DB-24 or DL-24
0.9
13 DB-24 or
DL-24
DB-24 orDL-24
DB-24 or DL-24
0.9
14 DB-24 or
DL-24 DB-24 or
DL-24 DB-24 or
DL-24 0.9
15 DB-24 or
DL-24 DB-24 or
DL-24 DB-24 or
DL-24 DB-24 or
DL-24 0.75
“DB-24 or DL-24”는 두
가지 차량하중조건에 대해
불리한 최대•최소 설계변
수를 산출한다는 의미이
다.
Chapter 13 | 이동하중해석
514We Analyze and Design the Future
mid
asCi
vil
[ 예제2 ]. “예제1”의 모델을 이용하여 Caltrans Combination Group Ipw에 따라 임의
의 1개 차선에 P13 하중과, 나머지 1개 차선에 AASHTO의 HS Vehicle Load를 재
하하는 이동하중에 대한 해석
1. “예제1”과 같이 차선요소에 차선을 배치합니다.
2. 다음과 같이 차량하중을 입력하고 차량하중그룹을 Class 1(HS20-44, HS20-
44L)과 Class 2(P13)로 분류합니다.
차량하중과 차량하중그룹의 입력
3. 하중재하방법을 “예제 1”과 같이 Exact 방법을 사용합니다
4. 다음과 같이 차량하중그룹, 재하될 차선, 재하되는 최대ㆍ최소 차선 수를
사용하여 차량하중 재하조건을 입력합니다.
차량하중그룹과 차선을 사용한 차량하중 재하조건의 입력
Analysis for Civil Structure
mid
asCi
vil
We Analyze and Design the Future 515
5. Caltrans Combination Group Ipw에서는 P13 하중은 반드시 임의 1개 차선
에 재하되어야 하고, 나머지 임의 1개 차선에 HS 하중을 재하하도록 정하
고 있으며, HS 하중이 재하되지 않는 조건에 대해서도 검토하도록 하고 있
습니다. 따라서 2단계에서 HS 하중과 P13 하중에 대해서는 별도의 차량하
중그룹을 1, 2로 각각 부여하고, 4단계에서 HS 하중에 대해서는 최대·최소
재하가능 차선수를 0, 1로 그리고 P13 하중의 경우는 반드시 임의 1개 차
선에 재하되어야 하기 때문에 1, 1로 입력합니다. 이상의 조건에 따라
midas Civil에서 자동으로 순열조합되는 조건의 개수는 아래 표와 같이 P13
하중만 재하되는 조건 4가지 그리고 P13과 HS 하중이 동시에 재하되는
조건 12가지로 재하가능한 하중조건은 모두 16가지가 됩니다.
Chapter 13 | 이동하중해석
516We Analyze and Design the Future
mid
as C
ivil
순열조합 조건번호
재하될 차선번호 차량하중
감소율#1 #2 #3 #4
1 P13 1.0
2 P13 1.0
3 P13 1.0
4 P13 1.0
5 P13 HS20-44 orHS20-44L
1.0
6 P13 HS20-44 orHS20-44L
1.0
7 P13 HS20-44 or HS20-44L
1.0
8 HS20-44 orHS20-44L
P13 1.0
9 P13 HS20-44 orHS20-44L
1.0
10 P13 HS20-44 or HS20-44L
1.0
11 HS20-44 orHS20-44L
P13 1.0
12 HS20-44 orHS20-44L
P13 1.0
13 P13 HS20-44 or HS20-44L
1.0
14 HS20-44 orHS20-44L
P13 1.0
15 HS20-44 orHS20-44L
P13 1.0
16 HS20-44 orHS20-44L
P13 1.0
“HS20-44 or HS20-44L”
는 두가지 차량하중에 대
해 불리한 최대•최소 설계
변수를 산출한다는 의미이
다.
Analysis for Civil Structure
mid
asCi
vil
We Analyze and Design the Future 517
특수목적 차량인 Permit Vehicle을 사용하여 이동하중조건을 생성하는 경우에는 하
중의 특성에 맞는 데이터 입력이 필요하다. midas Civil 에서 Permit Vehicle 하중
을 사용하여 하중조건을 입력하는 방법은 아래와 같다. Permit Vehicle의 재하시에
는 Wheel Line 마다 독립적인 영향선을 필요하기 때문에 내부적으로 하중형태에
따른 차선을 자동생성한다. 이러한 하중특성 때문에 차량, 차선, 그리고 이동하중
조건이 일대일 대응되도록 한다. Permit Vehicle의 재하위치를 횡방향으로 이동하기
위해서는 추가적인 하중조건을 생성해야 한다. Permit Vehicle은 특정한 차량을 기
준으로 정의하기 때문에 영향선의 부호를 고려한 재하는 하지 않습니다. Permit
Vehicle의 재하는 그림 2.13.15의 Exact 방법을 사용합니다.
그림 2.13.19 Permit Vehicle 을 사용한 이동하중조건 데이터 입력
Chapter 14 | 구조물의 지점침하를 자동 고려한 해석
518We Analyze and Design the Future
mid
asCi
vil
일반구조물에서 지점침하조건을 고려한 해석을 수행하기 위해서는 동시에 침하가
발생하는 지점들을 한 개의 침하그룹으로 하고, 각 침하그룹을 단위하중조건으로
하여 정적해석을 수행합니다. 그 후 단위하중조건들을 사용하여 침하가 가능한 경
우의 수에 대한 조합을 만들고, 그 결과들을 비교하여 최대 최소값을 구하여 이 값
들을 최종 설계조건으로 사용하게 됩니다. 이러한 일련의 작업들은 상당한 양의
해석, 하중조합, 결과들의 비교를 통한 최대 최소값의 선택 등의 작업을 필요로 합
니다. midas Civil은 이와 같은 지점침하조건을 프로그램 내부에서 자동적으로 처리
하는 기능을 내장하고 있으며 해석절차는 다음과 같습니다.
1. 사용자에 의해 사전에 입력된 지점침하가 동시에 발생가능한 지점침하그룹
과 침하의 크기를 사용하여 내부적인 단위하중조건을 생성합니다.
2. 각 단위하중조건에 대한 정적해석을 수행합니다.
3. 지점침하가 가능한 모든 경우의 수를 만들고, 그에 따라 해석결과들을 조
합하여 최대 최소값을 산출합니다.
이러한 과정을 거쳐 산출되는 해석결과들은 다른 하중조건의 결과들과 조합이 가
능합니다. 해석의 결과로는 절점변위, 지점반력, 트러스, 보, 판요소의 부재내력,
Link의 부재력 등이 출력되며, 그 이외에 입력된 요소에 대해서는 강성만 고려되고
해석결과는 산출하지 않습니다.
침하가 가능한 지점은 절점으로 입력되고 침하의 크기는 절점에 따라 다르게 입력
할 수 있습니다. 지점침하의 방향은 전체좌표계 Z축 방향을 따라야 하며 지점침하
그룹의 개수는 10개 이하로 제한되나, 1개 지점침하 그룹내에 입력되는 절점의 수
는 제한이 없습니다.
Chapter 14. 구조물의 지점침하를 자동 고려한 해석
Analysis for Civil Structure
mid
asCi
vil
We Analyze and Design the Future 519
강합성단면의 합성전 후 단면성질의 변화를 고려하기 위해서는 합성전 모델과 합
성후 모델에 대한 구조해석을 독립적으로 수행한 다음, 두 모델의 해석결과를 조
합하여 설계에 적용하는 과정을 거치게 됩니다. midas Civil은 이와 같은 해석과정
을 자동 처리하는 기능을 내장하고 있으며 해석 알고리즘은 다음과 같습니다.
1. 사용자에 의해 사전에 구분 입력된 합성전 단면성질과 해당조건을 고려하
여 정적 해석을 수행하고, 그 해석된 결과를 저장합니다.
2. 합성후 단면특성을 사용하여 합성전 하중조건을 제외한 정적, 동적, 차량이
동, 지점 침하 하중조건 등에 대한 해석을 수행하고 그 결과를 저장합니다.
합성전 하중조건에 사용되는 것은 정적하중 조건이어야 하고 하중조건의 개수는
15개 이하로 제한됩니다.
Chapter 15. 강합성단면의 합성전후 해석
Chapter 16 | 최적화기법을 사용한 미지하중의 해
520We Analyze and Design the Future
mid
asCi
vil
대공간 구조물의 설계과정에는 그림 2.16.1과 같이 주어진 설계조건을 만족하는데
필요한 미지의 하중조건을 구하는 문제를 자주 접하게 됩니다. midas Civil에서는
이러한 문제들을 해결할 수 있도록 최적화기법을 도입하여 주어진 구속조건과 선
택한 목적함수에 대하여 최적의 변수값들을 산정해주는 기능을 내장하고 있습니다.
제한조건의 입력은 평형조건(Equality Condition) 및 부등평형조건(Inequality
Condition)에 대하여 가능하고, 목적함수(Object Function)의 종류로는 변수의 절대
값의 합( ), 변수 제곱의 합( )이 있고 변수들의 절대값의 최대값
( 1 2( , , )nMax X X X )의 선택이 가능합니다.
그림 2.16.1(a)는 장경간 보의 설계시 요구되는 모멘트의 분포를 인위적으로 만들
거나 보에 일정량의 초기변위를 부여하는데 필요한 Jack-up 하중을 구하는 문제입
니다.
그림 2.16.1(b)는 장경간 구조물의 시공단계 해석에서 구조물이 특정 변형형상을
가지도록 하는데 필요한 Leveling 하중을 구하는 문제입니다.
그림 2.16.1(c)는 사장교의 설계시 사하중 또는 활하중조건에 대해 주탑 상부의 횡
변위의 크기를 일정한 값 이하로 제한하고, B점과 C점에서의 수직변위가 양(+)의
값을 갖도록 제한하는데 필요한 케이블의 인장력을 구하는 문제입니다.
위와 같은 문제들은 평형조건(Equality Condition)이나 부등평형조건(Inequality
Condition)을 만들게 되며 midas Civil에서는 최적화기법을 사용하여 해석을 수행하
게 됩니다.
2
1
n
ii
X
1
n
ii
X
Chapter 16. 최적화기법을 사용한 미지하중의 해
Analysis for Civil Structure
mid
asCi
vil
We Analyze and Design the Future 521
다음은 그림 2.16.1(a)와 같은 구조물에서 평형조건(Equality Condition)을 사용하여
A점과 B점에 Jack-up 하중을 구하는 문제의 해석절차입니다.
1. 구하고자 하는 하중 대신 가상의 단위하중을 가하여 요구되는 미지하중의
개수만큼 단위하중조건을 생성합니다.
그림 2.16.1 (a)에서는 Jack-up 하중을 구하고자 하는 지점과 방향으로 단
위하중을 가하는 단위하중조건을 생성합니다.
2. 설계하중조건을 고려한 하중조건을 생성하고 해석을 수행합니다.
그림 2.16.1(a)의 경우에는 설계하중인 균일분포하중을 가하는 하중조건을
생성하고 정적해석을 수행합니다.
3. 제한조건들을 사용하여 평형조건(Equality Condition)을 구성합니다.
그림 2.16.1(a)의 경우에는 다음과 같은 평형조건(Equality Condition)이 구
성됩니다.
1 1 2 2A A AD AM P M P M M
1 1 2 2B B BD BM P M P M M
여기서
AiM : iP 작용방향으로 단위하중을 가한 단위하중조건의 A점 모멘트
BiM : iP 작용방향으로 단위하중을 가한 단위하중조건의 B점 모멘트
ADM : 설계하중조건의 A점 모멘트
BDM : 설계하중조건의 B점 모멘트
AM : 설계하중조건과 미지하중 1 2,P P 의 조합에서 가져야하는 A점 모멘트
BM : 설계하중조건과 미지하중 1 2,P P 의 조합에서 가져야하는 B점 모멘트
4. 선형대수법을 사용하여 평형조건(Equality Condition)을 만족하는 해를 구합
니다. 평형조건(Equality Condition)에서 미지수의 개수와 조건식의 수가 같
은 경우에는 행렬식이나 선형대수법을 사용하여 쉽게 해를 구할 수 있습니
다.
1
1 1 2
2 1 2
A A A AD
B B B BD
P M M M M
P M M M M
Chapter 16 | 최적화기법을 사용한 미지하중의 해
522We Analyze and Design the Future
mid
asCi
vil
다음은 그림 2.16.1(c)와 같은 구조물에서 부등평형조건(Inequality Condition)을
만족하는 케이블의 인장력을 구하는 문제에 대한 해석절차입니다.
1. 구하고자 하는 하중 대신 가상의 단위하중을 가하여 요구되는 미지하중의
개수만큼 단위하중조건을 생성합니다.
그림 2.16.1(c)의 구조물에서는 인장력을 구하고자 하는 케이블 부재에 단
위크기의 Pre-tension 하중을 도입하는 단위하중조건을 미지의 인장력 개수
만큼 생성합니다.
2. 설계하중조건을 고려한 하중조건을 생성하고 해석을 수행합니다.
그림 2.16.1(c)의 경우에는 설계하중인 균일분포하중을 가하는 하중조건을
생성하고 정적해석을 수행합니다.
3. 제한조건들을 사용하여 부등평형조건(Inequality Condition)을 구성합니다.
그림 2.16.1(c)의 경우에는 다음과 같은 부등평형조건(Inequality Condition)
이 구성됩니다.
1 1 2 2 3 3A A A AD AT T T
1 1 2 2 3 3 0B B B BDT T T
1 1 2 2 3 3 0C C C CDT T T
0iT ( 1,2,3)i
여기서
1A : iT 작용방향으로 Pre-tension 을 도입한 단위하중조건의 A점 수평변위
1B : iT 작용방향으로 Pre-tension 을 도입한 단위하중조건의 B점 수직변위
1C : iT 작용방향으로 Pre-tension 을 도입한 단위하중조건의 C점 수직변위
AD : 설계하중조건의 A점 수평변위
BD : 설계하중조건의 B점 수직변위
CD : 설계하중조건의 B점 수직변위
A :설계하중조건과 케이블 인장력 하중의 조합조건에서 가져야 되는 A점 수평변위
Analysis for Civil Structure
mid
asCi
vil
We Analyze and Design the Future 523
4. 최적화기법을 사용하여 부등평형조건(Inequality Condition)을 만족하는 해
를 구합니다. 조건에 따라 부등평형조건(Inequality Condition)을 만족하는
미지계수는 많은 해를 가질 수 있습니다. 많은 해들 중에서 필요로 하는
해를 선택해야 하는데 midas Civil에서는 목적함수(Object Function)를 최
소로 하는 변수를 부등평형조건(Inequality Condition)의 해로 사용하게 됩
니다. midas Civil에서의 목적함수(Object Function)는 변수의 선형 합, 변
수의 제곱의 합 그리고 변수들의 절대값의 최대값 등 3가지를 선택할 수
있습니다. 그리고 특정한 변수에 가중치를 입력하여 변수의 중요도를 조정
할 수 있고 변수의 사용 가능한 범위를 입력할 수도 있습니다.
위에서 설명한 최적화기법을 사용하여 필요로 하는 설계 변수들을 구하는 방법을
사용할 경우에는 구조물에 대한 충분한 이해를 필요로 합니다. 평형조건(Equality
Condition)이나 부등평형조건(Inequality Condition)은 경우에 따라 해를 갖지 않
을 수도 있기 때문에 적절한 설계조건의 입력 및 목적함수의 선택을 필요로 합니
다.
(a) 주어진 하중조건에서 A점에서의 모멘트가 M1이 되고, B점에서의 모멘트가 M2가 되는
Jack-up 하중 P1, P2를 구하고자 할 경우
Design condition: MA = M 1
Unknown design variables: P1, P2
Design load
Moment diagram
Chapter 16 | 최적화기법을 사용한 미지하중의 해
524We Analyze and Design the Future
mid
asCi
vil
(b) 주어진 하중조건에서 A, D, G점의 수직변위가 같고,
B, C, F, F에서의 반력이 같게 되는 Leveling 하중 P1, P2를 구하고자 할 경우
(c) 주어진 하중조건에서 A점의 횡력변위가 Aδ 보다 작고, B, C점에서의
수직변위가 0보다 크게 되는 초기케이블인장력 T1, T2, T1을 구하고자 할 경우
그림 2.16.1 각종 설계조건을 만족하기 위한 미지의 하중조건을 구하는 문제
Design conditions : AX ≤ A
BZ ≥ 0
CZ ≥ 0
Unkown design variables: T1, T2, T3 Cable
Design load
Design conditions : AZ = DZ = GZ
RB = RC = Rξ = Rƒ
Unknown design variables: P1, P2 Design load
Analysis for Civil Structure
mid
asCi
vil
We Analyze and Design the Future 525
기둥은 계수축하중 Pu와 확대된 최대모멘트 Mc에 대하여 설계됩니다. 여기서 확대
된 최대모멘트 Mc 는 장주효과의 근사방법인 모멘트 확대계수 설계법을 사용하여
계산됩니다. 한국 도로교설계기준 (2005, 2010)에서 철근콘크리트 기둥의 확대모멘
트 계산방법은 다음과 같습니다.
17-1-1 구조물의 횡구속 여부 판정
층안정지수(Q)를 계산하여 구조물의 횡구속 여부를 판정합니다. 구조물의 한 층의
안정지수(Q)가 0.05이하이면 구조물의 그 층은 횡변위가 방지되어 있다고 말할 수
있습니다.
0.05u o
u c
PQ
V l
→ 횡구속 골조
0.05u o
u c
PQ
V l
→ 비횡구속 골조
여기서, ∑Pu : 해당층의 총 연직계수축력
Vu : 해당층의 전단력
∆o Vu : Vu 에 의한 해당층의 상 · 하부의 1차 상대처짐
lc : 골조에서 절점간 거리로 측정된 압축부재의 길이
17-1-2 장주효과의 고려
klu/r 의 값에 따라 장주효과의 고려 여부를 판단합니다.
- 횡구속 구조인 경우
Chapter 17. 임의형상 기둥의 부재설계
Chapter 17 | 임의형상 기둥의 부재설계
526We Analyze and Design the Future
mid
asCi
vil
1
2
34 12ukl M
r M → 장주효과 무시
1
2
34 12 100uM kl
M r → 장주효과 고려
100ukl
r → P-∆ 해석
여기서, M1/M2 ≥ -0.5 이어야 하며, 기둥이 단일곡률로 휘는 경우 M1/M2는 정(+)입
니다.
- 비횡구속 구조인 경우
22ukl
r → 장주효과 무시
22 100ukl
r → 장주효과 고려
100ukl
r → P-∆ 해석
klu/r 의 값이 100을 초과하는 모든 압축부재에 대해서는 P-∆ 해석을 해야 합니다.
17-1-3 횡구속 구조물의 확대모멘트
횡구속 구조물의 확대모멘트 Mc는 다음과 같이 계산됩니다.
2c nsM M
여기서, M2 : 기둥의 상·하부 단모멘트 중 큰 값, 2,min 15 0.05uM P h 이상
δns : 횡구속 골조에서 압축부재의 양단 사이의 부재곡률의 영향을 반영한
모멘트 확대계수
1.01
0.75
mns
u
c
CP
P
Analysis for Civil Structure
mid
asCi
vil
We Analyze and Design the Future 527
2
2c
u
EIP
kl
이 경우, EI값의 산정은 다음의 식을 이용하여도 좋으며, βd=0.6으로 가정하여
EI=0.25EcIg 로 사용할 수도 있습니다.
0.2
1c g s se
d
E I E IEI
또는
0.4
1c g
d
E IEI
βd = 축방향 계수고정하중에 의한 최대 계수축력 / 전체 계수축력, Cm은 등가모멘
트 계수로서 아래 식을 따릅니다.
1
2
0.6 0.4 0.4m
MC
M (횡하중이 없는 경우)
1.0mC (횡하중이 있는 경우)
17-1-4 비횡구속 구조물의 확대모멘트
비횡구속 구조물의 확대모멘트는 모멘트 확대계수 δs를 고려하여 계산된 횡변위
가 가능한 모멘트 δsMs와 횡변위가 방지된 모멘트 Mns의 합으로 계산됩니다.
1 1 1ns s sM M M
2 2 2ns s sM M M
확대된 횡변위가 가능한 모멘트 δsMs는 다음 방법으로 계산됩니다.
1s
s s s
MM M
Q
(단, δs ≤ 1.5)
Chapter 17 | 임의형상 기둥의 부재설계
528We Analyze and Design the Future
mid
asCi
vil
10.75
ss s s
u
c
MM M
P
P
(단, δs > 1.5)
여기서, ∑Pu : 해당층의 총 연직계수축력
∑Pc : 해당층의 횡변위를 지지하는 기둥들의 임계축력의 합
2
2c
u
EIP
kl
,
0.2
1c g s se
d
E I E IEI
또는
0.4
1c g
d
E IEI
βd = 해당층의 최대계수지속전단력 / 해당층의 전체 계수전단력단,
35
/
u
u ck g
l
r P f A 인 경우에는 최대모멘트가 기둥 단부가 아닌 기둥의 양단 사이
에서 발생하게 되며, 최대모멘트의 값은 다음과 같습니다.
2 2 2
10.75
mc ns ns s s
u
c
CM M M M
P
P
단, δns 는 1.0 이상입니다.
Analysis for Civil Structure
mid
asCi
vil
We Analyze and Design the Future 529
기둥부재는 부재 방향에 대하여 압축 또는 인장력이 작용하고 동시에 휨 모멘트를
받는 부재이며, 작용하는 하중의 형태에 따라 다음과 같이 구분할 수 있습니다.
중심 축하중을 받는 기둥
축하중 및 1축 휨모멘트를 받는 기둥
축하중 및 2축 휨모멘트를 받는 기둥
한국 도로교설계기준 (2005, 2010)에서 극한강도 설계법에 의한 기둥부재 설계시,
기둥부재는 세장비에 따라 단주 또는 장주로 구분하여 단면설계(강도검증)를 수행
합니다. 그러므로 세장비가 정해진 한계를 초과하는 장주는 모멘트 확대계수를 구
하여 계수휨모멘트에 곱함으로써 설계용 계수모멘트를 산출합니다. 그리고 이 휨
모멘트 값을 적용하여 단면설계(강도검증)를 수행합니다.
편심이 없는 순수 축하중을 받는 압축재의 최대 축하중강도는 다음 식과 같이 구
할 수 있습니다.
0.85 ( )o ck g st y stP f A A f A
여기서 Po : 편심이 없을 때의 공칭 축하중
fck : 콘크리트의 설계기준 압축강도
Ag : 전단면적
Ast : 기둥 주철근의 단면적
fy : 철근의 항복강도
그러나 압축재의 설계축하중 ( Pn)은 압축재에 존재할 수 있는 예측치 못한 편심
하중에 대비해야 합니다. 따라서 순수 압축재에서 단면의 축하중 설계강도를 최대
공칭축하중( Po)의 80 ~ 85% 감소하도록 제한하고 있습니다.
띠철근 기둥 : (max) 0.80n oP P
나선철근 기둥 : (max) 0.85n oP P
Chapter 17 | 임의형상 기둥의 부재설계
530We Analyze and Design the Future
mid
asCi
vil
따라서 편심이 없는 순수 축하중을 받는 압축재의 계수축하중은 다음 식을 만족하
도록 설계합니다.
(max) n uP P
축하중과 1축 휨모멘트를 동시에 받는 기둥부재는 힘의 평형조건식과 변형율의 적
합조건을 만족하여야 하며, 다음과 같은 기본조건을 만족시키도록 설계합니다.
(max) (max) , Mn u n uP P M
Analysis for Civil Structure
mid
asCi
vil
We Analyze and Design the Future 531
midas Civil 에서는 설계단면에 대한 정확한 소요철근량 산출을 위하여 축력-모멘트
상관도 분석을 수행합니다. 그리고 계수축력과 계수휨모멘트에 의한 편심거리를
고려하여 단면설계(강도검증)를 수행하므로 기둥부재가 축인장을 받는 경우에도 설
계가 가능합니다.
그림 2.17.1 축하중과 1축 휨모멘트의 상관도
Pure bending
Region 3 (tensile failure)
balanced failure condition
Region 2 (compression failure)
Region 1 (design axial load stregth)
(max) . n oP P0 80 (tied reinforcement)
(max) . n oP P0 85 (spiral reinforcement)
tP (max)
nP
oP
nP (max)
0 n M
b M
tP
e b
e min
Chapter 17 | 임의형상 기둥의 부재설계
532We Analyze and Design the Future
mid
asCi
vil
축하중과 2축 휨모멘트를 동시에 받는 기둥부재는 공칭 축하중(Pn) 및 공칭 휨모
멘트(Mny, Mnz)에 의한 3차원 축력-모멘트 상관도 분석을 수행합니다. 그리고 이 결
과를 근거하여 정밀해에 의한 정확한 소요철근량을 산출하며 다음과 같은 기본조
건을 만족시키도록 설계합니다.
n u ny uy nz uz P P , M M , M M
그림 2.17.2 축하중과 2축 휩모멘트의 상관도
e = Mu/Pu
Mnz
Mny
ey = 0ez= Muy/Pu
Pn(max)
ey = Muz/Pu
ez= 0
+Pn
-Pn
Pb
MbzMby
0
Analysis for Civil Structure
mid
as C
ivil
We Analyze and Design the Future 533
임의 단면의 3차원 축력-모멘트 상관도 분석은 다음과 같이 수행합니다.
계산시간의 단축을 위하여 단면의 대칭 여부를 미리 판별하여 대칭시에는 대칭부
분만 계산을 수행하며, 타 영역에 대해서는 대칭되는 계산된 값을 적용합니다.
대칭형태는 축대칭, 방사대칭, 역대칭으로 구분되며 분류기준은 콘크리트 단면과
철근의 배근형태를 축을 중심으로 단면1차모멘트와 단면적을 이용하여 자동으로
판별합니다.
그림 2.17.3 대칭 형태에 따른 계산 수행 범위
임의 단면의 경우 형태가 일정하지 않으므로 직사각형 형태의 단면에 주로 적용되
는 Whitney가 제안한 등가 직사각형 응력분포대신 Parabolic-Plateau형식의 응력분
포를 적용하여 축력-모멘트 상관도를 계산합니다.
0<εc<εo
εo εu
fc = 0.85·fck 2 -εc
εo
εc 2
εo
εo =2(0.85 ·fck)
Ec
0.85·fck
εu = 0.003
Strain
Stress
그림 2.17.4 Parabolic-Plateau형식의 응력분포도
1:비대칭 2:방사대칭 3:z축에 대칭(좌우대칭) 4:y축에 대칭(상하대칭)
Y
Z
Y
Z
Y
Z
Y
Z
My
Mz
일치
일치
일치 일치
일치
일치
일치
My
Mz
My
Mz
My
Mz
Chapter 17 | 임의형상 기둥의 부재설계
534We Analyze and Design the Future
mid
as C
ivil
임의 형태의 단면에 비선형 응력-변형율을 적용하므로 중립축과 평행하게 단면을
미소요소로 자른 후 각 미소요소에 작용하는 응력은 동일하다고 가정하여 각 요소
의 도심에서의 변위를 이용하여 응력-변형율에서 응력을 산출, 각각의 요소에 대한
작용력을 계산합니다. 계산된 작용력들을 각 요소의 도심에 작용하는 것으로 보
고 모든 요소의 작용력 및 철근의 작용력을 취합하여 공칭 축하중(Pn) 및 공칭 휨
모멘트(Mny, Mnz)를 산출합니다.
해석시 단면의 중심을 도심을 기준으로 하므로 공칭강도 설계시의 중심점을 소성
중심이 아닌 도심을 기준으로 계산을 수행합니다.
Pn = ∑(Cci) + ∑(Fsi)
Mny = ∑(Cci·zci) + ∑(Fsi·zsi)
Mnz = ∑(Cci·yci) + ∑(Fsi·ysi)
여기서, Cci : 각각의 미소요소의 작용력
Fsi : 각각의 철근의 작용력
zci, yci : 단면의 도심에 대한 미소요소 Ci 의 도심의 좌표
zsi, ysi : 단면의 도심에 대한 철근 Si 의 중심좌표
0.85·fck
FS4F
S5FS3F
Si
FS2F
S7
FS1
CC1C
C2ㆍCCiㆍ
ㆍㆍ
εC
εS1
εS2
εS3
εS4
εS5
εSi
εS7
z
yS3
S1
S2
S4
S5
S7
Si
Ci
C1
C2
ㆍ
εCi
zSi
ySi
yCi
zCi
ㆍㆍ
ㆍ단면의 도심
미소요소 Ci의 도심
그림 2.17.5 임의단면에 적용되는 비선형·응력 변형율
Analysis for Civil Structure
mid
as C
ivil
We Analyze and Design the Future 535
각각의 하중조합에 대해 발생하는 Pu, Muy, Muz에 대한 검토는 계산된 3차원 축력-
모멘트 상관도에서 원점을 기준으로 Pu, Muy, Muz 방향으로 3차원 직선을 그려서
교차하는 평면으로부터 해당 Pn, Mny, Mnz를 산출해 내며, 해당 하중조합의
축력-모멘트 상관도는 교차점의 양 옆에 있는 2개의 계산되어진 3차원 축력-모멘
트 상관도와의 인접된 비율로 산출합니다.
P
M
Pu, Muy, Muz 방향과 교차하는 3차원 축력-모멘트 상관도 상의 평면
인접한 2개의계산되어진축력-모멘트 상관도
인접비율로 산출된축력-모멘트 상관도
그림 2.17.6 ΦPn, ΦMny, ΦMnz 및 인접비율을 이용한 해당 하중조합의 축력-모멘트 상관도
Chapter 17 | 임의형상 기둥의 부재설계
536We Analyze and Design the Future
mid
as C
ivil
최대 위험 하중조합에 대해서는 평면상의 교차점이 아닌 정밀한 Pn, Mny,
Mnz를 산출하여 이때 계산된 중립축을 이동하며 해당 하중조합에 대한 하중-모
멘트 상관도를 산출합니다.
P
M
z
y
z
y
z
yz
z
y
순수 압축
균형파괴
상태
압축 파괴 구간
인장 파괴 구간
순수 인장
Pn(max) 0.80 P0
띠철근 기둥 :
그림 2.17.7 기둥강도 상관도 ( P-M 상관도)
Analysis for Civil Structure
mid
asCi
vil
We Analyze and Design the Future 537
한국 도로교설계기준 (2005, 2010)에서는 전단을 받는 단면은 다음의 식을 만족하
도록 설계합니다.
Vu≤ Vn
여기서 Vu는 해당 단면의 계수전단력이며, Vn은 다음식에 의해 계산되는 공칭 전단
강도입니다.
Vn = Vc + Vs
Vc : 콘크리트에 의한 공칭전단강도
Vs : 전단철근에 의한 공칭전단강도
압축 선단부에서 최 외측 인장철근 사이의 길이를 유효높이 d로 산정하여 사이의
단면적만 전단면적으로 적용하며, 전단면적을 d를 기준으로 동일한 면적의 직사각
형으로 환산하여 적용합니다.
따라서 인장철근의 도심을 기준으로 유효높이를 산출하고 정밀하게 전단면적을 산
출하는 정형단면의 전단설계에 비해 큰 콘크리트의 전단강도를 나타낼 수 있으므
로 사용상에 주의가 필요합니다.
그림 2.17.8 환산 전단단면적
Chapter 17 | 임의형상 기둥의 부재설계
538We Analyze and Design the Future
mid
asCi
vil
축방향력을 받는 부재의 경우 콘크리트에 의한 전단강도
압축력을 받는 경우: 1
16 14
uc ck w
g
NV f b d
A
인장력을 받는 경우: 1
16 3.5
uc ck w
g
NV f b d
A
여기서 Nu는 인장력일 때, 부(-)이며, Nu/Ag의 단위는 MPa입니다.
부재축의 직각으로 설치되는 스트럽의 간격은 철근 콘크리트부재의 경우 0.5d 이
하, 600mm 이하로 배치하여야 합니다.
철근이 부담하는 전단강도 Vs가 (√(fck)/3)bw·d 를 초과하는 경우 규정된 철근간
격을 절반으로 감소시켜야 하며, 철근이 부담해야 하는 전단강도 Vs는 2(√
(fck)/3)bw·d이하로 하여야 합니다.
압축부재의 경우에는 단면의 최소치수 이하 및 300mm이하 이어야 합니다.
계수전단력 Vu가 콘크리트에 의한 설계전단강도 Vc/2를 초과하는 경우 최소 단
면적의 전단철근을 배치합니다.
Av = 0.35·bw·s/fy
여기서, bw와 s의 단위는 mm입니다.
Analysis for Civil Structure
mid
as C
ivil
We Analyze and Design the Future 539
midas Civil에서 제공하는 Wave Load는 해양 구조물에 작용하는 파력에 대해 입
력한 파랑정보를 통해 정적/동적해석을 위한 파랑하중을 생성하는 기능입니다. 일
반적으로 해양구조물의 부재에 걸리는 파력은 Morrison의 식을 이용하여 산정할
수 있습니다.
18-1-1 Wave Parameters의 용어정리
그림 2.18.1 Wave Parameters의 정의
(1) H = 파고
(2) C = L/T = : 파속
(3) L = gT2/2π : 파장(천해 = T tanhL
, 심해 : tanhL
1
(4) η = 파형 (η=0, 정수면), η x, t
(5) h = 수심
(6) k = : 파수 (Wave Number)
(7) σT
⇒ T
(8) σ gk tanh kh : dispersion relationship, ⇒ CL
T tanh gh
Chapter 18. Wave Load 하중 생성
Chapter 18 | Wave Load 하중생성
540We Analyze and Design the Future
mid
as C
ivil
상대수심 h/L의 크기로 파의 종류를 분류할 수 있습니다.
(심해파: h/L>1/2, 천해파: 1/25<h/L≤ 1/2, 장파 혹은 극천해파: h/L≤1/25)
18-1-2 해양 구조물의 부재에 작용하는 파력
일반적으로 해양구조물의 부재에 걸리는 파력은 Morrison의 식을 이용하여 산정할
수 있습니다.
dFT dFD dFI = 항력 + 질량력
dFD CD D |u|, dFI CM V
Total force on a vertical pile
F dF 12
CD ρD |u|dz 12
CM ρVDuDt
dz
여기서, :
F : Wave force, 파력(t)
u : Water particle velocity, 수립자 속도(m/s)
ρ : Fluid density, 해수밀도(w/g)
V : Volume of the Pile per Unit Length, 단위길이당 체적
D : Piling diameter or projected area/unit elevation of the cylinder, 부재의 외경(m)
CD : Drag coefficient, 항력계수(0.6~2.0) - 파이프에 대해서 1.0
CM : Inertia coefficient, 질량력 계수(1.5~2.0) - 파이프에 대해서 2.0
CM 1 k 1 ab
dF CMFB, FB ρV : Hydrostatic buoyancy force
즉, 해양구조물에 작용하는 파랑하중을 산정하는 것은 복잡한 해양환경을 모식화
하여 임의 위치에서 수립자 속도와 가속도를 구하는 문제입니다.
Analysis for Civil Structure
mid
as C
ivil
We Analyze and Design the Future 541
18-1-3 해양파랑의 공학적 성질
(1) 수립자 운동
연직 및 수평방향 수립자 속도성분을 공간의 함수로 나타내 보면, 상호간 90˚의
위상차를 갖습니다.
그림 2.18.2 진행파의 수립자 속도
(2) 수립자 궤적 : 타원 방정식
2 2
1A B
그림 2.18.3 타원형 수립자의 궤적
천해역(상대수심 h/L<1/20)에서는 4
HT gA
h , 1
2
H zB
h
이고 A는 z의 함수가
아니므로 수평방향의 수립자 이동거리는 수심에 따라 모두 일정합니다.
심해역(상대수심 h/L>1/2)에서는 2
kzHA e , B A 이므로 원운동을 하며 수심에 따
라 지수함수적으로 감소합니다.
Direction of progressive wave propagation
x= L
x= L/2 x
z
Chapter 18 | Wave Load 하중생성
542We Analyze and Design the Future
mid
asCi
vil
그림 2.18.4 상대수심에 따른 진행파의 수립자 궤적
Morrison equation에서는 기본적으로 입사하는 Wave에 비해 Pile의 지름이 크지 않
다( 0.2D
)고 가정하고 Diffraction을 고려하지 않으며, Member 간 Interaction 또
한 고려하지 않습니다. 하지만, Diffraction 효과의 경우 Pile의 지름이 파장에 비해
커지게 되면( 0.2D
) Drag force는 Inertia force 에 비해 무시할만하게 되고, 이 때
는 Pile의 지름 효과를 고려해야 합니다.. 이 경우에 대해서는 MacCamy and
Fuchs(1954)나, Mogridge and Jamieson(1976) 등이 원형 실린더에 대해 해석해를