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Rechnerstrukturen
Michael Engel und Peter Marwedel
TU Dortmund, Fakultät für Informatik
SS 2013
Hinweis: Folien a. d. Basis von Materialien von Gernot Fink und
Thomas Jansen 13. Mai 2013
Sequenzielle Schaltungen Synchrone Schaltwerke
Schaltwerk-Entwurf
http://ls12-www.cs.tu-dortmund.de/~engel/
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1 Sequenzielle SchaltungenEinleitung (Wiederholung)Modellierung
mit Automaten
2 Synchrone SchaltwerkeEinleitungFlip-Flops
3 Schaltwerk-EntwurfEinleitungvon Neumann-Addierwerk
Sequenzielle Schaltungen Synchrone Schaltwerke
Schaltwerk-Entwurf
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Eine konkrete sequenzielle Schaltung
x≥ 1
1y
Was passiert in dieser Schaltung?
x y x ∨ y
0 0 10 1 01 0 11 1 1
klar und immer so weiter. . .
natürlich in der Realität viel schnellerdarum heißt die
Schaltung Flimmerschaltung
Sequenzielle Schaltungen Synchrone Schaltwerke
Schaltwerk-Entwurf
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Bi-stabile NAND-Kippstufe
S
R
& Q
& P
Anmerkung
heißt auch Latch
positiv kippt, flimmert nicht
negativ Verhalten hängt von Schaltzeiten derbeiden Gatter
ab
genauer beobachtet Verhalten hängt manchmalvon Schaltzeiten der
beiden Gatter ab
Sequenzielle Schaltungen Synchrone Schaltwerke
Schaltwerk-Entwurf
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Fazit der Analyse der bi-stabilen
NAND-Kippstufe
1. Fall oberes NAND-Gatter schnellerPt+2∆ = R ∨ S QtQt+2∆ = S ∨
R Qt
2. Fall unteres NAND-Gatter schnellerPt+2∆ = R ∨ S PtQt+2∆ = S ∨
R Pt
also Wenn Qt = Pt , so ist das Verhaltenstabil, von den
Schaltzeiten der Gatter unabhängig.
also Forderung Pt 6= Qt
Sequenzielle Schaltungen Synchrone Schaltwerke
Schaltwerk-Entwurf
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Wertetabelle bi-stabile NAND-Kippstufe
oberes Gatter schneller unteres Gatter schnellerRt St Pt+2∆
Qt+2∆ Pt+2∆ Qt+2∆0 0 1 1 1 10 1 1 0 1 01 0 0 1 0 1
1 1 Qt Qt Pt Pt
Beobachtung Wir müssen nur R = S = 0 ausschließen.
Rt St Pt+2∆ Qt+2∆0 1 1 01 0 0 1
1 1 Pt Pt
◮ (R,S) = (0, 1) setzt P = 1
◮ (R,S) = (1, 0) setzt P = 0
◮ (R,S) = (1, 1) lässt P unverändert
Fazit Bi-stabile NAND-Kippstufe realisiert
1-Bit-Speicher!Sequenzielle Schaltungen Synchrone Schaltwerke
Schaltwerk-Entwurf
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Erstes Fazit zu sequenziellen Schaltungen
Bi-stabile NAND-Kippstufe realisiert 1-Bit-Speicher.
also
◮ Kreise in”Schaltnetzen“ manchmal sinnvoll
◮ neue Funktionalität
◮ Analyse schwierig
Wunsch strukturierter Entwurf
Sequenzielle Schaltungen Synchrone Schaltwerke
Schaltwerk-Entwurf
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Automaten
Wunsch formales Modell eines Automaten
Was ist überhaupt ein Automat?
Beispiele
◮ Getränke-Automat
◮ einfache Ampelsteuerung
◮ Steuerung einer Waschmaschine
Gegenbeispiele
◮ Geldspielautomatwegen der Zufalls-Komponente
◮ Computerzu komplex
◮ Menschfür uns nicht formal beschreibbar
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Schaltwerk-Entwurf
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Automatenmodell
Grobbeschreibung
◮ verarbeitet eine Eingabe
◮ erzeugt eine Ausgabe
◮ ist in einem Zustand
◮ arbeitet in Takten
◮ arbeitet deterministisch (exakt vorhersagbar)
jetzt exakte, formale Beschreibung
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Schaltwerk-Entwurf
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Definition Mealy-Automat
Definiton 19
Ein Mealy-Automat M = (Q, q0,Σ,∆, δ, λ) ist definiert durch:
◮ endliche Zustandsmenge Q
◮ Startzustand q0 ∈ Q
◮ endliches Eingabealphabet Σ
◮ endliches Ausgabealphabet ∆
◮ Zustandsüberführungsfunktion δ : Q × Σ → Q
◮ Ausgabefunktion λ : Q × Σ → ∆ ∪ {ε}
In einem Takt mit aktuellem Zustand q und Eingabesymbol w
◮ schreibt der Automat λ(q,w),
◮ wechselt der Automat in den Zustand δ(q,w).
Sequenzielle Schaltungen Synchrone Schaltwerke
Schaltwerk-Entwurf
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Beispiel Mealy-Automat
Q = {q0, q1, q2}, Σ = {0, 1}, ∆ = {a, b, c}
q0
0/a
0/c q1
1/b 0/a
q2
1/c
1/b
Eingabe 0 1 0 0 Ausgabe a b a c
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Äquivalenz von Automaten
Definition
Zwei Mealy-Automaten heißen äquivalent, wenn sie für
jedeEingabe w ∈ Σ∗ die gleiche Ausgabe a ∈ ∆∗ erzeugen.
klar Äquivalente Automaten können unterschiedlich groß
sein.
klar Man wünscht sich möglichst kleine Automaten.
Anmerkung Komplexer Problemkreis,umfasst auch effiziente
Minimierung von Automaten⇒ Näher i.d. Theoretischen Informatik
(GTI/TIfAI)
Hier: noch ein anderes (ähnliches!)
Automaten-ModellSequenzielle Schaltungen Synchrone Schaltwerke
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Definition Moore-Automat
Definiton 20
Ein Moore-Automat M = (Q, q0,Σ,∆, δ, λ) ist definiert durch:
◮ endliche Zustandsmenge Q
◮ Startzustand q0 ∈ Q
◮ endliches Eingabealphabet Σ
◮ endliches Ausgabealphabet ∆
◮ Zustandsüberführungsfunktion δ : Q × Σ → Q
◮ Ausgabefunktion λ : Q → ∆ ∪ {ε}
In einem Takt mit aktuellem Zustand q und Eingabesymbol w
◮ schreibt der Automat λ(δ(q,w)),
◮ wechselt der Automat in den Zustand δ(q,w).
Unterschied zum Mealy-Automaten: Ausgabe ↔ ZustandSequenzielle
Schaltungen Synchrone Schaltwerke Schaltwerk-Entwurf
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Mealy- und Moore-Automaten
Beobachtung Zu jedem Moore-Automaten gibt eseinen äquivalenten
Mealy-Automaten.
denn zu Moore-Automat A = (Q, q0,Σ,∆, δ, λ)ist Mealy-Automat A′
= (Q, q0,Σ,∆, δ, λ
′)mit λ′(q,w) := λ(δ(q,w))offensichtlich äquivalent
Beobachtung Zu jedem Mealy-Automaten gibt eseine äquivalenten
Moore-Automaten.
denn zu Mealy-Automaten A = (Q, q0,Σ,∆, δ, λ)ist Moore-Automat
A′ = (Q ′, q′0,Σ,∆, δ
′, λ′)mit Q ′ := Q × (∆ ∪ {ε}), q′0 := (q0, ε),δ′(q′,w) = δ′((q,
v),w) := (δ(q,w), λ(q,w)),λ(δ(q′,w)) = λ′((q, v)) :=
voffensichtlich äquivalent
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Einfacher Beispiel-Automat
Aufgabe einfache”Datenglättung“
Filtere isolierte Bits aus Datenstrom aus.
klar Σ := {0, 1}, ∆ := {0, 1}
Mealy-Automat
00/0
1/0
?
1/1
0/0
1
0/1
1/1
übrigens Q := {0, 1, ?}, q0 := 0
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Äquivalente Automaten”Bit-Filter“
Mealy-Automat
00/0
1/0
?
1/1
0/0
1
0/1
1/1
Moore-Automat
001
0 10 ?0
?1 1
0
1 10
10
0
1
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Automaten und Schaltungen: Synchrone
Schaltwerke
Erinnerung bi-stabile NAND-Kippstufe
S
R
& Q
& P Rt St Pt+2∆ Qt+2∆0 1 1 01 0 0 1
1 1 Pt Pt
0 1
01/1
10/0
11/0
10/0
11/1
01/1
Q = {0, 1}, q0 = 0
Σ = {01, 10, 11}
∆ = {0, 1}Sequenzielle Schaltungen Synchrone Schaltwerke
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Vergleich Automat und NAND-Kippstufe
nicht getaktet
S
R
& Q
& P Rt St Pt+2∆ Qt+2∆0 1 1 01 0 0 1
1 1 Pt Pt
getaktet
0 1
01/1
10/0
11/0
10/0
11/1
01/1
Q = {0, 1}, q0 = 0
Σ = {01, 10, 11}
∆ = {0, 1}
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Synchrone Schaltwerke
ab jetzt getaktete Schaltwerke
also Führe Taktsignal T ein
verschiedene technische Möglichkeiten
◮ Pegelsteuerung: aktiv, wenn 1 anliegt
◮ positive Flankensteuerung: aktiv, wenn Wechsel von 0 nach
1
◮ negative Flankensteuerung: aktiv, wenn Wechsel von 1 nach
0
digital-logische Ebene technisches Detail ignorieren
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RS-Flip-Flop
&S
&R
T
& Q
& P
R S Q
0 0 Q0 1 11 0 01 1 nicht erlaubt
Zustandstabelle NAND-Kippstufe Wertetabelle NANDRt St Pt+2∆
Qt+2∆0 0 nicht erlaubt0 1 1 01 0 0 1
1 1 Qt Qt
x y x y
0 0 10 1 11 0 11 1 0
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D-Flip-Flop
D 1 R Q
T T
S Q
R S Q
0 0 Q0 1 11 0 01 1 nicht erlaubt
D Q
0 01 1
Sinnlos? Verzögerung um 1 Takt
Name Delay
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JK-Flip-Flop
K&
J&
R Q
T T
S Q
R S Q
0 0 Q0 1 11 0 01 1 nicht erlaubt
J K R S Q
0 0 0 0 Q0 1 Q 0 0
1 0 0 Q 1
1 1 Q Q Qpositiv alle Eingaben erlaubt, sinnvolle
Funktionalität, vielseitig
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T-Flip-Flop
T J Q
Clk Clk
K Q
J K Q
0 0 Q0 1 01 0 1
1 1 Q
T Q
0 Q
1 Q
Name Toggle
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Flip-Flops
Wir haben also hier 4 verschiedene Flip-Flop-Typen
Wozu brauchen wir eigentlich Flip-Flops?
klar Realisierung von Speicher
Was müssen wir für den Einsatz als Speicher wissen?
klar gezielte Änderung von Speicherinhalten
also Zustandstabellen eigentlich nicht interessant
besser Ansteuertabellen
etwas präziser
Zustandstabelle Ansteuertabelle
Eingabe ⇒ ZustandIst-Zustand,Soll-Zustand
⇒ Eingabe
Anmerkung Ansteuertabellen können”don’t care“ enthalten
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Ansteuertabelle D-Flip-Flop
ZustandstabelleD Q
0 01 1
AnsteuertabelleQalt Qneu D
0 0 00 1 11 0 01 1 1
Beobachtung Ansteuerung D vom alten Zustand unabhängig
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Ansteuertabelle T -Flip-Flop
ZustandstabelleT Q
0 Q
1 Q
AnsteuertabelleQalt Qneu T
0 0 00 1 11 0 11 1 0
Beobachtung Kenntnis des”alten“ Zustands erforderlich
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Ansteuertabelle RS-Flip-Flop
ZustandstabelleR S Q
0 0 Q0 1 11 0 01 1 nicht erlaubt
AnsteuertabelleQalt Qneu R S
0 0 ∗ 00 1 0 11 0 1 01 1 0 ∗
Beobachtung wenn Zustand nicht wechselt, gibt esFreiheit in der
Ansteuerung
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Ansteuertabelle JK-Flip-Flop
ZustandstabelleJ K Q
0 0 Q0 1 01 0 1
1 1 Q
AnsteuertabelleQalt Qneu J K
0 0 0 ∗0 1 1 ∗1 0 ∗ 11 1 ∗ 0
Beobachtung immer Freiheit in der Ansteuerung
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Unvollständig definierte Ansteuerfunktionen
Wir haben für RS-Flip-Flops und JK-Flip-Flopsnur partiell
definierte Ansteuerfunktionen
Ist das ungünstig?
Nein!
Erinnerung Minimalpolynome für partiell definierte
Funktionen
Erinnerung Realisierungen können wesentlich einfacher sein
Erinnerung Minimalpolynom für partiell definiertes f
durch PI für f1 und Überdeckung von f0
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Huffmann Schaltwerk-Modell
ein allgemeines, formales Schaltwerkmodell
x1x2...
xnSchaltnetz
z1z2...zm
...
...
y1
yk
Speicherw1
wl
Beobachtung führt Gelerntes über Schaltnetze, Flip-Flops
undAutomaten sinnvoll zusammen
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Huffmann Schaltwerk-Modell
etwas detaillierter
x1...
xn
...Ausgabe-
Schaltnetz
z1
zm
...
wl
w1...
...... Speicher
Ansteuer-
Schaltnetz
y1
yk
...
...
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Schaltwerk-Entwurf
Wunsch strukturierter Schaltwerk-Entwurf
Was können wir überhaupt als Schaltwerk realisieren?
klar alles, was als Automat beschrieben werden kannzum
Beispiel
◮ Getränke-Automat
◮ Ampelsteuerung
◮ Waschmaschinen-Steuerung
◮ . . .
Anmerkung Heuristiken und Erfahrung sind wichtig
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Schritte beim Schaltwerk-Entwurf
0. Verstehen der Aufgabe
1. Spezifikation des Verhaltens (z. B. als Mealy-Automat)
2. Wahl der Coderierung von Eingaben, Zuständen, Ausgaben
3. Wertetabelle mit Eingaben, Zustand, Ausgaben, neuem
Zustand
4. Wahl der Flip-Flop-Typen
5. Ergänzung der Wertetabelle um die Flip-Flop-Ansteuerung
6. Entwurf passender boolescher Funktionen
7. Entwurf passender Schaltnetze
8. Entwurf vollständiges getaktetes Schaltwerk
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Beispiel zum Schaltwerk-Entwurf
zur Einführung ein”praktisches“ Beispiel
hilfreich besonders gut verstandenes Problem
Aufgabe Addition von zwei Betragszahlen
Erinnerung wir haben
Verfahren Größe Tiefe
Schul-Methode ≈ 5n ≈ 2nCarry-Look-Ahead ≈ n2 ≈ 2 log2 n
jetzt klein und flach mit einem Schaltwerkaber extrem
langsam
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Entwurf Addierwerk: Schritt 0
Schritt 0 verstehen der Aufgabe
Wunsch Summanden bitweise eingebenSumme bitweise erhalten
klar geht nur von rechts nach links
Was muss man sich merken?
klar nur den aktuellen Übertragalso 1 Bit
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Entwurf Addierwerk: Schritt 1
Schritt 1 Spezifikation des Verhaltens
Entscheidung Beschreibung durch Mealy-Automat
Eingabealphabet Σ = {00, 01, 10, 11}Ausgabealphabet ∆ = {0,
1}Zustandsmenge Q = {0, 1}
0 1
11/0
00/1
01/1
10/1
00/0
01/0
10/0
11/1
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Entwurf Addierwerk: Schritt 2
Schritt 2 Wahl der Codierung: Eingaben, Zuständen, Ausgaben
klar im Allgemeinen (fast) jede Freiheit
hier kanonische Codierung naheliegend
Codierung von Q
q ∈ Q Codierung
0 01 1
Codierung von Σ
w ∈ Σ Codierung
00 0 001 0 110 1 011 1 1
Codierung von ∆
w ∈ ∆ Codierung
0 01 1
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Entwurf Addierwerk: Schritt 3
Schritt 3 Wertetabelle Eingaben, Zustand,neuer Zustand,
Ausgaben
naheliegend Eingaben heißen x , yalter Zustand heißt caltneuer
Zustand heißt cneuAusgabe heißt s
calt x y cneu s
0 0 0 0 00 0 1 0 10 1 0 0 10 1 1 1 01 0 0 0 11 0 1 1 01 1 0 1 01
1 1 1 1
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Entwurf Addierwerk: Schritt 4
Schritt 4 Wahl der Flip-Flop-Typen
Entscheidung JK-Flip-Flops
Anmerkung
◮ nicht viele überzeugende Gründe
◮ weil es besonders viele Freiheiten erlaubt
◮ weil der Zustandswechsel nichts nahelegt
◮ weil es oft benutzt wird
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Enturf Addierwerk: Schritt 5
Schritt 5 Ergänzung der Wertetabelle um
Flip-Flop-Ansteuerungcalt x y cneu s J K
0 0 0 0 0 0 ∗0 0 1 0 1 0 ∗0 1 0 0 1 0 ∗0 1 1 1 0 1 ∗1 0 0 0 1 ∗
11 0 1 1 0 ∗ 01 1 0 1 0 ∗ 01 1 1 1 1 ∗ 0
Ansteuertabelle JK-Flip-FlopQalt Qneu J K
0 0 0 ∗0 1 1 ∗1 0 ∗ 11 1 ∗ 0
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Entwurf Addierwerk: Schritt 6
Schritt 6 Entwurf passender boolescher Funktionencalt x y cneu s
J K
0 0 0 0 0 0 ∗0 0 1 0 1 0 ∗0 1 0 0 1 0 ∗0 1 1 1 0 1 ∗1 0 0 0 1 ∗
11 0 1 1 0 ∗ 01 1 0 1 0 ∗ 01 1 1 1 1 ∗ 0
calt
0
1
00 01 11 10x y
J(calt, x , y) = x y
K (calt, x , y) = x y
s(calt, x , y) = calt ⊕ x ⊕ y
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Entwurf Addierwerk: Schritt 7
Schritt 7 Entwurf passender Schaltnetze
J(calt, x , y) = x y
K (calt, x , y) = x y
s(calt, x , y) = calt ⊕ x ⊕ y
1
1
&
= 1x
y
& K
J
= 1 scalt
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Entwurf Addierwerk: Schritt 8
Schritt 8 Entwurf des vollständigen Schaltwerks
1
1
&
= 1x
y
&
= 1 s
T T
K
J Q
Q
0 1 0 0 1 1+ 0 1 0 1 0 1
000101
Beobachung Eingabe (0, 0) im letzten Takt
wichtigInitialisierung? Eingabe (0, 0)
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Unser Addierwerk: Serien-Addierer
Fazit
◮ addiert beliebig lange Betragszahlen
◮ ist sehr klein und flach
◮ ist sehr leicht zu initialisieren
◮ ist extrem langsam
Warum ist das Schaltwerk so langsam?
klar und bekannt wegen der Überträge
Müssen Überträge so lange dauern?
bekannt im Allgemeinen nicht (siehe Addierer)
aber Bei bit-weiser Eingabe schon!
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Über unsere Modelle
Wir wissen schon Überträge werden nur manchmallange
weitergereicht.
Kann man ein Schaltwerk bauen, dass nur manchmal langsam
ist?Problem unsere Automaten können das zunächst nicht
Beobachtung bei Mealy- und Moore-Automat bestimmtLänge der
Eingabe die Anzahl der Rechentakte
darum Modifikation des Automatenmodells
neu Erlaube leere Eingabe ε undsignalisiere Ende der Rechnung
durch Rechenende-Zeichen
Beobachtung Das ist fundamental neu für uns.Rechenzeit kann von
der Eingabe abhängen(nicht nur von der Eingabelänge).
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Auf dem Weg zum besseren Addierwerk
Wie wollen wir vorgehen?
Beobachtung Eingaben müssen sofort ganz zur Verfügung
stehensonst kann man nicht schneller sein
also Eingabealphabet Σ = {0, 1}2n
Eingabe xn−1xn−2 · · · x1x0yn−1yn−2 · · · y1y0 ∈ {0, 1}2n
interpretieren alsxn−1 xn−2 · · · x0
+ yn−1 yn−2 · · · y0
bekannte Idee zur LösungErsetze x und y durch x ′ und y ′ mit x
+ y = x ′ + y ′
so lange, bis y ′ = 0 gilt.
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Eine gute Idee verallgemeinern
Erinnerung Wir kennen das schon vom Halbaddierer. . .
HAx
y
s
cmit x + y = 2c + s = (c0)2 + s
klar Das funktioniert auch für alle n Stellen parallel.
HA
y3 x3
c3 s3
HA
y2 x2
c2 s2
HA
y1 x1
c1 s1
HA
y0 x0
c0 s0
x ′3 x′
2 x′
1 x′
0 = s3 s2 s1 s0Ü y ′3 y
′
2 y′
1 y′
0 = c3 c2 c1 c0 0Fortschritt? in y hinten
”neue“ 0
also nach ≤ n Takten y = 0Sequenzielle Schaltungen Synchrone
Schaltwerke Schaltwerk-Entwurf
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Noch offene Fragen
Was ist mit dem Ü?
klar potenziell kann in jedem Takt vorne ein Überlauf
entstehen
Also bis zu n Überläufe speichern?
zum Glück nein
Wir wissen höchstens 1 Überlauf insgesamt
Wann ist die Rechnung fertig?
klar Rechnung fertig ⇔ y = 0
also”done“ d = y0 ∨ y1 ∨ · · · ∨ yn−1 = ¬
n−1∨
i=0
yi
jetzt unsere Ideen zusammensetzen
Sequenzielle Schaltungen Synchrone Schaltwerke
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Sequenzielle SchaltungenEinleitung (Wiederholung)Modellierung
mit Automaten
Synchrone SchaltwerkeEinleitungFlip-Flops
Schaltwerk-EntwurfEinleitungvon Neumann-Addierwerk