Mécanique des fluides - DS1 4 mai 2013 Calculatrice autorisée. Résumé individuel distribué au début du DS unique document autorisé. PARTIE I - Pèse-liquide (40 min) Un pèse-liquide ou densimètre ( ou encore aréomètre) est un système utilisé pour déter- miner la densité des liquides. Ce système est constitué d’une tige cylindrique (fermée à ses extrémités) graduée de diamètre d =1 cm et de longueur L = 20 cm fixée à un corps arrondi qui sert de lest. La masse totale du système est m = 30 g. Quand on place le système dans l’eau de masse volumique ρ e , le niveau de la surface libre coïncide avec la graduation de position verticale z 0 située au milieu de la tige (figure du haut). Quand on place le système dans un liquide de masse volumique ρ inconnue, le niveau de la surface libre coïncide avec une graduation située à une position verticale z (figure du bas dans le cas où ρ<ρ e ). ρ e z 0 ρ<ρ e z On considère le densimètre comme système mécanique que l’on place dans l’eau. Le densimètre est au repos. 1. Faites la liste des forces qui s’exercent sur le densimètre. En déduire, à l’aide d’un bilan de forces le volume V e immergé du densimètre. L`e `d`e›n¯sfi˚i‹m`èˇtˇr`e `e˙sfi˚t ¯sfi`o˘u‹m˚i¯s : – `àffl ¯sfi`o“nffl ¯p`o˘i`d¯s m #« g – `àffl ˜l´affl ¯p`o˘u¯sfi¯sfi`é´e `dffl’A˚r`c‚h˚i‹m`è´d`e #« F Ae `qfi˚u˚iffl `c´o˘r˚r`e˙sfi¯p`o“n`dffl `àffl ˜l´affl ˚r`é˙sfi˚u˜lˇt´a‹n˚t´e `d`e˙s ˜f´o˘r`c´e˙s `d`e ¯p˚r`e˙sfi¯sfi˚i`o“nffl `qfi˚u`e ˜l„`e´a˚uffl `e›x´eˇr`c´e ¯sfi˚u˚rffl ˜l´e `d`e›n¯sfi˚i‹m`èˇtˇr`e. L`e `d`e›n¯sfi˚i‹m`èˇtˇr`e `e˙sfi˚t `a˚uffl ˚r`e˙p`o¸s `d`o“n`c ˜l´affl ¯sfi`o“m‹m`e `d`e `c´e˙s `d`eˇu‹x ˜f´o˘r`c´e˙s `e˙sfi˚t ”n˚u˜l¨l´e : m #« g + #« F Ae = #« 0 L’˚i‹n˚t´e›n¯sfi˚i˚t´é `d`e ˜l´affl ¯p`o˘u¯sfi¯sfi`é´e `dffl’A˚r`c‚h˚i‹m`è´d`e ¯s’`é´cˇr˚i˚t `e›nffl ˜f´o“n`cˇtˇi`o“nffl `d˚uffl ”vˆo˝lˇu‹m`e `d`e ˜f¨lˇu˚i`d`e ˚i‹m‹m`eˇr`g´é F Ae = V e ρ e g `d`o“n`c mg = V e ρ e g expression littérale : V e = m ρ e valeur numérique : V e = 3.10 −5 m 3 1/2
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Mécanique des fluides - DS14 mai 2013
Calculatrice autorisée.Résumé individuel distribué au début du DS unique document autorisé.
PARTIE I - Pèse-liquide (40 min)
Un pèse-liquide ou densimètre ( ou encore aréomètre) est un système utilisé pour déter-
miner la densité des liquides. Ce système est constitué d’une tige cylindrique (fermée
à ses extrémités) graduée de diamètre d = 1 cm et de longueur L = 20 cm fixée à un
corps arrondi qui sert de lest. La masse totale du système est m = 30 g.
Quand on place le système dans l’eau de masse volumique ρe, le niveau de la surface
libre coïncide avec la graduation de position verticale z0 située au milieu de la tige
(figure du haut).
Quand on place le système dans un liquide de masse volumique ρ inconnue, le niveau
de la surface libre coïncide avec une graduation située à une position verticale z (figure
du bas dans le cas où ρ < ρe).
ρe
z0
ρ < ρe
z
On considère le densimètre comme système mécanique que l’on place dans l’eau. Le densimètre est au repos.
1. Faites la liste des forces qui s’exercent sur le densimètre. En déduire, à l’aide d’un bilan de forces le
volume Ve immergé du densimètre.
L`e `d`e›n¯sfi˚i‹m`èˇtˇr`e `e˙sfi˚t ¯sfi`o˘u‹m˚i¯s :– `àffl ¯sfi`o“nffl ¯p`o˘i`d¯s m #«g
Calculatrice autorisée.Résumé individuel distribué au début du DS unique document autorisé.
PARTIE II - Barrage poids (50 min)
On considère un barrage-poids en béton dont le profil est assimilé à un triangle rectangle. La hauteur dubarrage est H = 70 m. La largeur de la base est b. La longueur (dans la direction perpendiculaire au plandu schéma) est L = 1000 m. La masse volumique du béton est ρb = 2,2.103 kg.m−3.On note ρe la masse volumique de l’eau. On suppose que l’eau arrive au sommet du barrage.
eau airα
A
C
B
# «Ff
# «Fs
m#«g
# «Fp
Figure 1 – Vue en coupe du barrage-poids. Les forces représentées sont la résultante horizontale des forces defrottement entre le sol et le barrage �Ff et la réaction du sol dans la direction verticale �Fs.
1. Le système étudié est le barrage-poids immobile dans le référentiels terrestre. Faites la liste des forcesqui s’exercent sur le système (on suppose que le barrage repose sur un sol très imperméable, il n’y apas d’eau sous le barrage). Complétez le schéma de la figure en ajoutant les forces qui n’ont pas étéreprésentées sur la figure 1.
2. Représentez les forces infinitésimales de pression qui s’exercent sur la face du barrage en contact avecl’eau. Vous prendrez comme pression de référence la pression atmosphérique considérée comme nulle(cela revient à utiliser la pression relative). Donnez l’expression de la pression pr en fonction de laprofondeur h.
expression littérale : pr(h) = ρegh
3. Soit # «Fp la composante horizontale de la résultante des forces de pression s’exerçant sur le système.
Etablir l’expression littérale de l’intensité Fp de cette force.
Fp = L
�H
0prdh
= ρgLH
2
2
expression littérale : Fp = ρegLH
2
2valeur numérique : Fp = 2,40.1010 N
4. Quelle est l’expression du poids mg du barrage en fonction des dimensions du triangle et de la massevolumique du béton.
et la direction verticale. On note α l’angle au sommet du barrage. Pour être certainque le barrage ne bascule pas, la largeur b de sa base est dimensionnée de sorte quetanα > tanβ.
Evacuation du barrageAfin d’éviter que l’eau ne déborde en cas de crue des rivières alimentant la retenue, cinqconduites d’évacuation ont été creusées sous le barrage. L’entrée de chaque conduite estéquipée d’une crépine (voir photo ci-contre) qui joue le rôle de filtre et empêche tout élémentsusceptible d’endommager ou de boucher la conduite d’y pénétrer. Chaque crépine, de formecylindrique (diamètre D et hauteur Hc = D), ne laisse entrer l’eau que par sa surface latéralegrillagée.La sortie des conduite d’évacuation de diamètre d est situé à une profondeur Hs = 20 m sous le niveaude la base du barrage. L’eau sort de la conduite à la pression atmosphérique. Les cinq tuyères doivent êtrecapables d’évacuer l’eau avec un débit total maximal Qt = 30 m3.s−1.
7. En supposant qu’il n’y a aucune perte de charge, déterminez la vitesse v de l’écoulement dans laconduite en fonction de H, Hs et g. Si besoin, vous noterez zs l’altitude de la surface libre et zB
9. Complétez le graphique de la figure 2 en traçant qualitativement la pression motrice pm et la pressiondynamique pd en fonction de la position x entre les A et le point B de la ligne de courant dessinée surla figure 1. Le point C marque l’entrée de la conduite.
p
xA x•xC
•xB
pm
pd
Figure 2 – Pression motrice et pression dynamique en fonction de la position x
expression littérale : D = 5d valeur numérique : D = 2,1 m
Séisme
Suite à un séisme, le sol s’est fracturé et l’eau s’est infiltrée entre le sol et la base du barrage. On supposealors que la pression sous le barrage est uniforme et égale à la pression à la profondeur H.
12. Le poids du barrage est-il suffisant pour maintenir la stabilité verticale du barrage ? Justifiez votreréponse.L`affl ˚r`ésfi˚u˜lˇt´a‹n˚t´e `d`e˙s ˜f´o˘r`c´e˙s `d`e ¯p˚r`e˙sfi¯sfi˚i`o“nffl ¯sfi˚u˚rffl ˜l´affl ˜bˆa¯sfi`e `d˚uffl ˜bˆa˚r˚r`a`g´e `e˙sfi˚t `d`a‹n¯s `c´e `c´a¯s `é´g´a˜l´e `àffl ˜l´affl