✬ ✫ ✩ ✪ Photo: Vladimir Batagelj, Univerza v Ljubljani Razvoj matematike in raˇ cunalniˇ stva Poreˇ cja Vladimir Batagelj Univerza v Ljubljani FMF, matematika Zapiski, Ljubljana, 5. marec 2005 razliˇ cica: 9. marec 2005 / 02 : 41
'
&
$
%
Photo:Vladimir Batagelj,Univerza v Ljubljani
Razvoj matematikein ra cunalnistvaPorecja
Vladimir Batagelj
Univerza v Ljubljani
FMF, matematika
Zapiski, Ljubljana, 5. marec 2005
razlicica: 9. marec 2005 / 02 : 41
V. Batagelj: Razvoj matematike in racunalnistva / Porecja 1'
&
$
%
Kazalo1 Prve civilizacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
2 Branje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
4 Mezopotamija. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
6 Matematicni prispevki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
7 Mestnistevilski sestav . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
8 Koren iz 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
9 Tabele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
10 Pitagorejske trojice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
12 Drugo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12
13 Egipt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13
14 Rhindov ali Ahmesov papirus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
17 Moskovski papirus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Ljubljana, 5. marec 2005 ▲ ▲ ❙ ▲ ● ▲ ❙ ▲▲ ☛ ✖
V. Batagelj: Razvoj matematike in racunalnistva / Porecja 2'
&
$
%
18 Povzetek. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18
19 Viri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .19
Ljubljana, 5. marec 2005 ▲ ▲ ❙ ▲ ● ▲ ❙ ▲▲ ☛ ✖
V. Batagelj: Razvoj matematike in racunalnistva / Porecja 1'
&
$
%
Prve civilizacijePrve civilizacije so se pojavile v porecjih veletokov Nil (Egipt), Mezopotamija
(Evfrat, Tigris), Indija (Ind), Kitajska (Jangce), Donava.
• V Mezopotaniji so nasli veliko glinenih tablic, predvsem knjigovodske
narave;
• Napisi na spomenikih in grobnicah v Egiptu. Papirusi.
Malo matematike. Problem branja.
Ljubljana, 5. marec 2005 ▲ ▲ ❙ ▲ ● ▲ ❙ ▲▲ ☛ ✖
V. Batagelj: Razvoj matematike in racunalnistva / Porecja 2'
&
$
%
Branje
Tablice so se naucili brati okrog
leta 1870. Na skaliBehistun
je trojezicni (perzijski, medejski
in asirski) napis o zmagi Darija.
Ker so perzijski jezik poznali, so
tako zaceli prodirati v asirski, ki
je blizu babilonscini.
Ljubljana, 5. marec 2005 ▲ ▲ ❙ ▲ ● ▲ ❙ ▲▲ ☛ ✖
V. Batagelj: Razvoj matematike in racunalnistva / Porecja 3'
&
$
%
Branje
Egipcanskehieroglifeso ugnalize prej.
Napoleonova odprava v Egipt (1799) je
prinesla plosco Rosetta, ki vsebuje tro-
jni napis (grscina, hieroglifi in ljudsko
(demoticno) pisavo). Francoz Cham-
pollion.
Pisave v Egiptu: hieroglifi; sveceniska
(hieraticna) – hitropisna; ljudska (de-
moticna).
Ljubljana, 5. marec 2005 ▲ ▲ ❙ ▲ ● ▲ ❙ ▲▲ ☛ ✖
V. Batagelj: Razvoj matematike in racunalnistva / Porecja 4'
&
$
%
Mezopotamija
Civilizacija se je pojavila vcetrtem
tisocletju pred n.s. Pisava – glinene
tablice, kolo. Ceprav je vladalo
vec ljudstev: Sumerci, Kaldejci,
Akadijci, Elamiti, Hititi, Asirci,
Medejci, Perzijci, so se kulturni
dosezki prenasali - pogosto govo-
rimo z enotnim imenom o Babilon-
cih – po mestu Babilon. Obdobje
zakljucuje Perzijska osvojitev leta
538 pred n.s.
Ljubljana, 5. marec 2005 ▲ ▲ ❙ ▲ ● ▲ ❙ ▲▲ ☛ ✖
V. Batagelj: Razvoj matematike in racunalnistva / Porecja 5'
&
$
%
Mezopotamija
Poljedelci, namakalni sistem, kovine (baker, srebro,
zlato), ekonomija, sodstvo (Hamurabi), izobrazevanje,
umetnost, arhitektura, religija, inzenirstvo.
Glinene tablice: pravni spisi: pogodbe, posojila, lastnina,
dedovanje, poroke; astronomski podatki – koledar, re-
ligija. Samo v Nipurju so nasli okrog 50000 tablic.
Ljubljana, 5. marec 2005 ▲ ▲ ❙ ▲ ● ▲ ❙ ▲▲ ☛ ✖
V. Batagelj: Razvoj matematike in racunalnistva / Porecja 6'
&
$
%
Matematicni prispevki
• mestnistevilski sestav z niclo
• natancni astronomski izracuni
• prvi problemi teorijestevil
• tabele - reciprocnih stevil, kvadratov,
kubov
Ljubljana, 5. marec 2005 ▲ ▲ ❙ ▲ ● ▲ ❙ ▲▲ ☛ ✖
V. Batagelj: Razvoj matematike in racunalnistva / Porecja 7'
&
$
%
Mestni stevilski sestavMestnistevilski sestav so izumili okrog 2000 pred n.s. Temeljil je na osnovisestdeset. Obstaja vec razlag te osnove: veliko deliteljev,stetje poclenkih.Za zapisstevk so uporabljali desetiski podsestav.
<< YYY59 = < YYY
<< YYY
No,
< YY YY
predstavljastevilo10 · 602 + 2 · 60 + 2 = 36122.
Niclo so spocetka nakazovali s praznim mestom, kar je lahko dvoumno.Znak za niclo // zasledimosele okrog leta 300 pred n.s.
Babilonci so svoj zapisstevil uprabljali relativno – ni nicel na zadnjihmestih. TakoYY YYlahko pomeni2 ·60+2 = 122, 2 ·602 +2 ·60 = 7320,. . . pa tudi2 + 2 · 60−1 = ∗ ∗ ∗, . . .
Ljubljana, 5. marec 2005 ▲ ▲ ❙ ▲ ● ▲ ❙ ▲▲ ☛ ✖
V. Batagelj: Razvoj matematike in racunalnistva / Porecja 8'
&
$
%
Koren iz 2Obvladali so sestevanje, odstevanje in mnozenje podobno danasnjemu.
Na tablici 7289, ki jo hranijo na univerzi v Yaleu,
je podan izracun korena iz 2 na trisestdesetiska
mesta. Dobili soY <<YY <<<Y < = 1;24,51,10
YY << = 1.414222
kar le za 0.000008 odstopa od prave vred-
nosti. Za izracun priblizka so uporabili tri ko-
rake Newtonovega postopkax′ = 12 (x + a
x ) kar
je enakovredno prvima dvemaclenoma razvoja
izraza√
a2 + b ≈ a + b2a .
Ljubljana, 5. marec 2005 ▲ ▲ ❙ ▲ ● ▲ ❙ ▲▲ ☛ ✖
V. Batagelj: Razvoj matematike in racunalnistva / Porecja 9'
&
$
%
TabeleVec tablic vsebuje tabele. Na primer
2 303 204 155 126 108 7,309 6,40
10 612 5
to so obratnastevila glede na 60. Manjkata 7 in 11, ki se ne izteceta. Naneki tablici je 60/7 omejeno med 0;8,34,16,59 in 0;8,34,18.
Tablice obratnihstevil so pomembne pri prevedbi deljenja na mnozenje.
Obstajajo tudi tabele, ki vsebujejo potencestevil (obrestni racun). Te soucinkovito uporabljali pri resevanju problemov. Na primer:cez kolikocasa se bo vrednost zneska podvojila pri 20% obrestni meri? Odgovor je3;47,13,20. Po potrebi so uporabljali linearno interpolacijo.
Ljubljana, 5. marec 2005 ▲ ▲ ❙ ▲ ● ▲ ❙ ▲▲ ☛ ✖
V. Batagelj: Razvoj matematike in racunalnistva / Porecja 10'
&
$
%
Pitagorejske trojiceTablica 322 iz Plimptonove zbirke (Columbia University), 1900-1600 pred
n.s:
Ljubljana, 5. marec 2005 ▲ ▲ ❙ ▲ ● ▲ ❙ ▲▲ ☛ ✖
V. Batagelj: Razvoj matematike in racunalnistva / Porecja 11'
&
$
%
Pitagorejske trojice
Prepisano v naso pisavo (c2/b2, a, c, i ):
1,59,0,15 1,59 2,49 11,56,56,58,14,50,6,15 56,7 1,20,25 21,55,7,41,15,33,45 1,16,41 1,50,49 31,53,10,29,32,52,16 3,31,49 5,9,1 41,48,54,1,40 1,5 1,37 51,47,6,41,40 5,19 8,1 61,43,11,56,28,26,40 38,11 59,1 7
1,35,10,2,28,27,24,26,40 1,22,41 2,16,1 10
1,27,0,3,45 2,41 4,49 131,25,48,51,35,6,40 29,31 53,49 141,23,13,46,40 56 1,46 15
Ljubljana, 5. marec 2005 ▲ ▲ ❙ ▲ ● ▲ ❙ ▲▲ ☛ ✖
V. Batagelj: Razvoj matematike in racunalnistva / Porecja 12'
&
$
%
DrugoObvladali so resevanje kvadratnih in kubicnih
enacb (z uporabo tabel).
Za stevilo π so poznali priblizka 3 in 3;7,30 =
3.125.
Tisoc let pred grki so poznali Pitagorov in Talesov
izrek (kot nad premerom je pravi).
Poznali so vsoto kvadratov in geometrijsko vsoto.
Sestdesetiski sistem so strogo uporabljali v
matematiki in astronomiji; drugod zmesnjava sis-
temov – osnove: 2, 12, 10, 24, 60.Sestdesetiski
sistem delno uporabljamose danes – koti,cas.
Ljubljana, 5. marec 2005 ▲ ▲ ❙ ▲ ● ▲ ❙ ▲▲ ☛ ✖
V. Batagelj: Razvoj matematike in racunalnistva / Porecja 13'
&
$
%
Egipt
Koneccetrtega tisocletja pred n.s.
Koledar; letne poplave sledijo malo
za tem, ko Sirius vzide na vzhodu
malo pred Soncem. Razmak med
zaporednimi je 365 dni – 12 mese-
cev po 30 dni + 5 praznicnih.
Opazili so, da je prekratko za 1/4
dneva; po 1460 letih se zopet
ujema.
Na spomenikih in grobnicah ni
matematike, kvecjemu knjigovod-
stvo. Obstaja pa nekaj papirusov
matematicne vsebine.
Ljubljana, 5. marec 2005 ▲ ▲ ❙ ▲ ● ▲ ❙ ▲▲ ☛ ✖
V. Batagelj: Razvoj matematike in racunalnistva / Porecja 14'
&
$
%
Rhindov ali Ahmesov papirus
Najvecji egipcanski papirus (5.65m
x 33cm). Vsebuje 84 problemov.
Skotski starinar Henry Rhind ga
je kupil leta 1858. Sedaj je v
British Museum, delci v Brooklyn
Museum. Po starejsih virih ga je
okrog 1650 pred n.s. prepisal pisar
Ahmes.
Ljubljana, 5. marec 2005 ▲ ▲ ❙ ▲ ● ▲ ❙ ▲▲ ☛ ✖
V. Batagelj: Razvoj matematike in racunalnistva / Porecja 15'
&
$
%
Rhindov ali Ahmesov papirus
Egipcanska kultura jeze cutila potrebo po ulomkih. Pri racunanju so
uporabljali leenotne ulomkeoblike 1n in vcasih n
n+1 . Posebno vlogo je imel
ulomek 23 . Splosne ulomke so zapisali kot vsoto ulomkov oblike1
n . Za
mnozenje in deljenje so uporabljalidvojiskipostopek. Npr:
35
=13
+15
+115
Papirus ima na zacetku tabelo izrazav 2n , n = 5, 7, ..., 101
2/5 = 1/3 + 1/152/7 = 1/9 + 1/28...2/11 = 1/6 + 1/662/13 = 1/8 + 1/52 + 1/1042/15 = 1/10 + 1/30...2/101 = 1/101 + 1/202 + 1/303 + 1/606
Ljubljana, 5. marec 2005 ▲ ▲ ❙ ▲ ● ▲ ❙ ▲▲ ☛ ✖
V. Batagelj: Razvoj matematike in racunalnistva / Porecja 16'
&
$
%
Rhindov ali Ahmesov papirus
Nato sledi tabelan10 , n = 2, ..., 9. Npr
9/10 = 1/5 + 1/30 + 2/3
V nadaljevanju uporablja te tabele pri resevanju problemov.
Problem 24: Neka kolicina in njena17 data sesteta 19. Katera kolicina je
to?
odgovor: 16 + 1/2 + 1/8 in 2 + 1/4 + 1/8.
V problemu 50 je podan priblizek zasteviloπ – ploscina kroga je enaka
ploscini kvadrata s stranico89 premera. Kar da oceno25681 = 3.16.
Ljubljana, 5. marec 2005 ▲ ▲ ❙ ▲ ● ▲ ❙ ▲▲ ☛ ✖
V. Batagelj: Razvoj matematike in racunalnistva / Porecja 17'
&
$
%
Moskovski papirusNajden 1890, kupil ga je rus Goleniscev, profesor Egipcanskega jezikoslovjav Kairu. Po smrti zapustil Moskovskemu muzeju. (2700-1670, Srednjekraljestvo) Vsebuje 25 problemov z resitvami. Med njimi sostirje geometri-jski.
Problem 6: Dan je pravokotnik z znano ploscino in znanim razmerjemdolzin stranic. Doloci dolzini obeh stranic.
Problem 14: Dana je prisekana piramida s kvadratno osnovo. Znane sodolzine visine in obeh osnovnic. Doloci prostornino.
Ce opisani postopek izracuna izrazimo algebrajsko, dobimo pravilniobrazec:
V =v
3· (a2 + a · b + b2)
V vseh problemih so postopki resitve opisani na konkretnih primerihpodatkov.
Ljubljana, 5. marec 2005 ▲ ▲ ❙ ▲ ● ▲ ❙ ▲▲ ☛ ✖
V. Batagelj: Razvoj matematike in racunalnistva / Porecja 18'
&
$
%
PovzetekPo ohranjenih gradivih so imeli Babilonci precej bolj razvito matematiko
kot Egipcani. Zanje je znacilna precejsnja racunska vescina, ki jo je
omogocil mestni stevilski sestav. Geometrija je praviloma metricna -
usmerjena v prakso. Poznali so vec pomembnih zvez med posameznimi
kolicinami v likih in telesih. Nekateri iz teh sklepajo, da so obvladli pojem
podobnosti.
Pomanjkljivosti:
• v ohranjenih gradivih je najti le konkretne primere – ni splosnih pravil,
ceprav so ta najbrz obstajala (analogija).
• niso dobro razlocevali med tocnim in pribliznim rezultatom. Problema
so se delno zavedali (spusceni zapisi za17 , . . . )
• pojem dokazase ni razvit. Poznajo posamezne logicne odvisnosti.
Znani so primeri preverjanja izracunov.
Ljubljana, 5. marec 2005 ▲ ▲ ❙ ▲ ● ▲ ❙ ▲▲ ☛ ✖
V. Batagelj: Razvoj matematike in racunalnistva / Porecja 19'
&
$
%
Viri1. Art of the First Cities, Metropolitan Museum 2003
2. Louvre: Mezopotamija, Faraonski Egipt
3. Richard J. Gillings:Mathematics in the time of the pharaohs. Dover,
Mineola, 1982.
4. Henrietta Midonick: The treasury of mathematics. Pelican Book.
Penguin Books, Harmondsworth, 1968.
5. Egyptian Mathematics Papyri
6. Eli Maor: Trigonometric Delights
7. Squaring the Circle
8. Egyptian Mathematics
9. Egyptian Fractions
Ljubljana, 5. marec 2005 ▲ ▲ ❙ ▲ ● ▲ ❙ ▲▲ ☛ ✖