Az ´ Obabyloni Birodalom aritmetik´ aja ´ es sz´ amelm´ elete. Klukovits Lajos TTIK Bolyai Int´ ezet 2016. febru´ ar 18. Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet) Aritmetika - Sz´ amelm´ elet 2016. febru´ ar 18. 1 / 42 T¨ort´ enelmi m´ erf¨oldk¨ ovek Mezopot´ amia a II. ´ evezred el˝ ott. 1 M´ ar a I.e. VIII. ´ evezred elej´ en is lakott volt a kellemetlen ¨ okol´ ogiai viszonyok ellen´ ere. 2 Kev´ es ´ asv´ anyi nyersanyag, puszt´ ıt´ o´ arvizek: ¨ oz¨ onvizek. 3 Az els˝ o v´ arosok (falvak) kultikus helyeken 7000-t˝ ol: 1 Dzsarmo (Kurdiszt´ an) kb. 150 lakos, 2 Jerico (Palesztina) kb. 2000 lakos 6000 k¨ or¨ ul, 3 Ur (D´ el-Mezopot´ amia) kb. 34.000 (!) lakos 2800 k¨ or¨ ul. Az itt ´ el˝ o n´ epek 1. 1 Az ˝ oslak´ ok ismeretlenek. 2 Az els˝ o ismert bev´ andorl´ ok a SUMEROK. 3 Nem tudjuk merr˝ ol j¨ ottek, 4 biztosan nem tartoztak a semi-, ill. az indoeur´ opai n´ epek csal´ adj´ aba. Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet) Aritmetika - Sz´ amelm´ elet 2016. febru´ ar 18. 2 / 42 T¨ort´ enelmi m´ erf¨oldk¨ ovek Mezopot´ amia a II. ´ evezred el˝ ott. Az itt ´ el˝ o n´ epek 2. Sumerok. 1 V´ aros´ allamokat alap´ ıtottak, 2 a IV. ´ evezred v´ eg´ en ¨ osszeolvadtak az ˝ oslak´ okkal. 3 Megb´ ızhat´ o r´ eg´ eszeti (´ ır´ asos) forr´ asok kb. 2750-t˝ ol vannak, z¨ ommel a v´ aros´ allamok harcair´ ol a hegem´ oni´ a´ ert. 4 P´ eld´ aul Uruk ↔ Kis, ´ es Ur ↔ Lagas. 5 2500-t´ ol Ur, a kor legnagyobb lakoss´ ag´ u v´ arosa, hegem´ oni´ aja. 6 2400 k¨ or¨ ul Lagas a vezet˝ o hatalom, az els˝ o t´ arsadalmi reform: Urukagina a kistermel˝ ok ´ erdek´ eben, majd az els˝ o k´ ıs´ erlet egys´ eges birodalom l´ etrehoz´ as´ ara. 7 2370 k¨ or¨ ul Sarrukin (Szargon) vezet´ es´ evel AKK ´ AD h´ od´ ıt´ ok, az els˝ o s´ emi n´ ep e t´ ajon. ´ Atveszik ´ es terjesztik a sum´ er kult´ ur´ at. Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet) Aritmetika - Sz´ amelm´ elet 2016. febru´ ar 18. 3 / 42 T¨ort´ enelmi m´ erf¨oldk¨ ovek Mezopot´ amia a II. ´ evezred el˝ ott. Az itt ´ el˝ o n´ epek kult´ ur´ aja. 1 Ismeretlen eredet˝ u k´ ep´ ır´ as. 2 2600 k¨ or¨ ul: a Gilgames eposz, az els˝ o irodalmi alkot´ as. 3 ¨ Oz¨ onv´ ız legend´ ak. 1 Mintegy 250 ilyen legenda ismert. 2 G¨ or¨ og¨ ok: Zeusz bossz´ uja az emberi romlotts´ ag miatt. 3 Maj´ ak: A gy´ ek´ enyen ¨ ul˝ o b¨ olcsek k¨ onyve. 4 A ” klasszikus” bibliai t¨ ort´ enet. 4 Fontos tal´ alm´ anyaik. 1 fazekaskorong, 2 lovak haszn´ alata, 3 l´ o vontatta kerekes j´ arm˝ uvek. 5 Kezdetleges, helyi´ ert´ ekes jegyeket is hordoz´ o, sz´ am´ ır´ as: jele az 1-nek ´ es a 10-nek, meg a 60 hatv´ anyainak volt. Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet) Aritmetika - Sz´ amelm´ elet 2016. febru´ ar 18. 4 / 42
11
Embed
Mezopot amia a II. evezred el}ott. Az Obabyloni Birodalom ...klukovit/Hallgatoknak/SzameTort/szametort16/...Az Obabyloni Birodalom aritmetik aja es sz amelm elete. Klukovits Lajos
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Az Obabyloni Birodalom aritmetikaja es szamelmelete.
Klukovits Lajos
TTIK Bolyai Intezet
2016. februar 18.
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Intezet) Aritmetika - Szamelmelet 2016. februar 18. 1 / 42
Tortenelmi merfoldkovek
Mezopotamia a II. evezred elott.
1 Mar a I.e. VIII. evezred elejen is lakott volt a kellemetlen okologiaiviszonyok ellenere.
1 Dzsarmo (Kurdisztan) kb. 150 lakos,2 Jerico (Palesztina) kb. 2000 lakos 6000 korul,3 Ur (Del-Mezopotamia) kb. 34.000 (!) lakos 2800 korul.
Az itt elo nepek 1.
1 Az oslakok ismeretlenek.
2 Az elso ismert bevandorlok a SUMEROK.
3 Nem tudjuk merrol jottek,
4 biztosan nem tartoztak a semi-, ill. az indoeuropai nepek csaladjaba.
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Intezet) Aritmetika - Szamelmelet 2016. februar 18. 2 / 42
Tortenelmi merfoldkovek
Mezopotamia a II. evezred elott.
Az itt elo nepek 2. Sumerok.
1 Varosallamokat alapıtottak,
2 a IV. evezred vegen osszeolvadtak az oslakokkal.
3 Megbızhato regeszeti (ırasos) forrasok kb. 2750-tol vannak, zommel avarosallamok harcairol a hegemoniaert.
4 Peldaul Uruk ↔ Kis, es Ur ↔ Lagas.
5 2500-tol Ur, a kor legnagyobb lakossagu varosa, hegemoniaja.
6 2400 korul Lagas a vezeto hatalom, az elso tarsadalmi reform:Urukagina a kistermelok erdekeben, majd az elso kıserlet egysegesbirodalom letrehozasara.
7 2370 korul Sarrukin (Szargon) vezetesevel AKKAD hodıtok, az elsosemi nep e tajon. Atveszik es terjesztik a sumer kulturat.
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Intezet) Aritmetika - Szamelmelet 2016. februar 18. 3 / 42
Tortenelmi merfoldkovek
Mezopotamia a II. evezred elott.
Az itt elo nepek kulturaja.
1 Ismeretlen eredetu kepıras.
2 2600 korul: a Gilgames eposz, az elso irodalmi alkotas.
3 Ozonvız legendak.1 Mintegy 250 ilyen legenda ismert.2 Gorogok: Zeusz bosszuja az emberi romlottsag miatt.3 Majak: A gyekenyen ulo bolcsek konyve.4 A
”klasszikus” bibliai tortenet.
4 Fontos talalmanyaik.1 fazekaskorong,2 lovak hasznalata,3 lo vontatta kerekes jarmuvek.
5 Kezdetleges, helyiertekes jegyeket is hordozo, szamıras: jele az 1-nekes a 10-nek, meg a 60 hatvanyainak volt.
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Intezet) Aritmetika - Szamelmelet 2016. februar 18. 4 / 42
2 Letelepednek, ujabb varosokat alapıtanak, koztuk BABILONT. Gyors
”lakossagcsere”, a sumer holt nyelv lesz, az akkad valik altalanosan
hasznaltta.
3 A XVIII. szazad elejen HAMMURAPI megalapıtja az ObabiloniBirodalmat.
4 Hammurapi torvenyei, 1801, Susa.
5 Ma is ervenyes es hasznalt matematikai eredmenyek.
6 1600 korul a hettita hodıtok megdontik a birodalmat. Rovidesen akassuk is jonnek, elterjesztik a lotenyesztest.
7 Asszir hodıtok.
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Intezet) Aritmetika - Szamelmelet 2016. februar 18. 5 / 42
Tortenelmi merfoldkovek
Mezopotamia a II. evezred elso harmadaban
Irasos emlekek.1 A legkorabban megtalalt szamottevo leletegyuttes: Asszurbanipal
asszir uralkodo Ninive-i konyvtara.2 1870. A Behistum kotabla megtalalasa:
1 perzsa, asszir es med nyelven tudosıt I. Dareiosz perzsa uralkodoKambuzesz folotti gyozelmerol
2 A perzsa ismereteben megfejtettek a masik kettot, majd az assziralapjan az akkadot.
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Intezet) Aritmetika - Szamelmelet 2016. februar 18. 6 / 42
Tortenelmi merfoldkovek
Behistum tabla
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Intezet) Aritmetika - Szamelmelet 2016. februar 18. 7 / 42
Aritmetika
Mezopotamia a II. evezred elso harmadaban
A mezopotamiai szamıras.
60-as alapu — kovetkezetesen helyiertekes — szamırast alkalmaztak.Mindossze ket jelet hasznaltak: sajat jele az 1-nek es a 10-nek volt.Hianyossaga: nem volt jele a szamjegy hianyanak.
A szamjegyek ırasa.
Az 1 jele, az”
ek”:H|
Nemcsak az 1-et, hanem a 60 barmely egesz kitevos hatvanyatjelolhette.
A 10 jele, a”
sarokpant”:J<
Ez szolgalt a 60 barmely egesz kitevos hatvanya tızszeresenekjelolesere is.
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Intezet) Aritmetika - Szamelmelet 2016. februar 18. 8 / 42
Aritmetika
Szamıras
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Intezet) Aritmetika - Szamelmelet 2016. februar 18. 9 / 42
Aritmetika
A mezopotamiai szamıras.
A lehetseges jelentesek.
H| J<J<J<
H| H| H|H| H|
Ha egesz szam, akkor lehet peldaul
1× 603 + 10× 602 + 20× 60 + 5 = 253.205,
vagy1× 602 + 30× 60 + 5 = 5.405,
vagy akar60 + 35 = 95
sot meg1× 602 + 35 = 3635
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Intezet) Aritmetika - Szamelmelet 2016. februar 18. 10 / 42
Aritmetika
A mezopotamiai szamıras.
DE ok hatvanados tortekkel is szamoltak. Ujabb hianyossag: hatvanadosvesszo nincs.A lehetseges jelentesek szama novekszik.
Tortek.
Nehany lehetseges jelentes:
1 + 10× 60−1 + 20× 60−2 + 5× 60−3
= 1 +1
6+
1
180+
1
43.200= 1
7.441
43.200,
60 +35
60= 60
7
12.
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Intezet) Aritmetika - Szamelmelet 2016. februar 18. 11 / 42
Aritmetika
A mezopotamiai szamıras.
Neugebauer otlete.
A 60-as szamrendszerben megadott szamok decimalis jegyekkel valofolırasara Neugebauer adott meg egy modszert: a 60-ados jegyeketdecimalisan ırjuk, es vesszovel valasztjuk el egymastol. A
”hatvanados-vesszot” pontosvesszovel jeloljuk. Igy az elobbi szamok a
mai fejjel” gondolkodunk:I 58 szorzotablat kellett keszıteniuk: a 2-tol 59-ig terjedo szamokra.
Ok”
meg praktikusabbak” voltak, rovidıtettek a legtobb tablat:I 1-20-ig minden szam szerepel, de utana csak a 30, 40 es az 50.I Vilagos miert: a hianyzo ertekek osszeadassal megkaphatok.
DE nem kerult elo egyetlen teljes, 58 tablas kollekcio,
SOT a kulonbozo lelohelyekrol sem.
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Intezet) Aritmetika - Szamelmelet 2016. februar 18. 13 / 42
Aritmetika
Aritmetika Hammurapi koraban.
Egyszeru eszrevetelek 2.
Olyan tablakat (is) talaltak, amelyek
1, 20 1, 30 1, 40 3, 20 es 3, 45
tobbszoroseit (szorzatait) tartalmaztak.
Ha ezek az ismertek folytatasai, akkor 602 = 3600 tablabol allt volnaegy
”kollekcio”.
Ez nehezen kepzelheto el, mert agyagtablak voltak, nem konnyupapirusz-tekercsek.
Sot, olyan tablat is talaltak, amelyen a 44, 26, 40 szam szorzataiszerepelnek.
Ha meg ezek is egy”
teljes kollekcio” reszei, akkor az 603 = 216000darabos lett volna.
Ez elkepzelhetetlen, mert kezelhetetlen is.
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Intezet) Aritmetika - Szamelmelet 2016. februar 18. 14 / 42
Aritmetika
Aritmetika Hammurapi koraban.
Egyszeru eszrevetelek 3.
Megleponek tunhet, hogy nem talaltak tablakat a 11-gyel, 13-mal, 14-gyel,17-tel es a 19-cel valo szorzasra.Mi lehet ennek az oka?
A rejtely kulcsa nehany elso latasra nehezebben ertelmezheto tabla.
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Intezet) Aritmetika - Szamelmelet 2016. februar 18. 15 / 42
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Intezet) Aritmetika - Szamelmelet 2016. februar 18. 27 / 42
Plimpton 322
A Plimpton 322 agyagtabla.
Nehany egyszeru eszrevetel.
Az eredeti tabla nehany hibat tartalmaz:I (a) II.9-ben 9,1 all, a helyes ertek 8,1 lenne,I (b) II.13-ban 7,12,1 all 2,41 helyett,I (c) III.15-ben 53 talalhato 1,46 helyett,I (d) III.2-ben 3,12,1 all 1,20,25 helyett.
E hibak velheto okai.
(a) egyszeru elıras lehet, pl. masolasi hiba,
(b) a szereplo ertek a helyes szam negyzete: 2, 412 = 7, 12, 1
(c) az ırnok a helyes ertek felet ırta oda: 53 · 2 = 1, 46
(d) nincs ra magyarazat.
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Intezet) Aritmetika - Szamelmelet 2016. februar 18. 28 / 42
Plimpton 322
A Plimpton 322 agyagtabla.
??? eszrevetele.
I.8. helyes erteke a fontivel (amely Neugebauer konyveben szerepel)szemben [1]41, 33, 45, 14, 3, 45. E hiba okat sem magyarazza Neugebauer.Az elemzes alapjan amennyiben d2 leırasanal 7, 13, 20, 01 helyettegyszeruen 7, 13, 21-et ırunk, a tablazabeli ertekhez jutunk.
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Intezet) Aritmetika - Szamelmelet 2016. februar 18. 29 / 42
Plimpton 322
A Plimpton 322 agyagtabla.
Neugebauer elemzese 1.
A II. es a III. oszlopban allo b, d szamok un pithagoraszi szamok,ugyanis
d2 = l2 + b2,
Az l szam ugyan nem talalhato meg a (jelenlegi) tablazaton, dekonnyen kiszamıthato b es d ismereteben.
Velhetoen egy idokozben letorott (es vissza nem ragasztott)oszlopban szerepeltek.
Az elso oszlop pedig ad2
l2szamokat tartalmazza.
Itt a Pithagorasz-tetel?,
sot itt kezdodott a pithagoraszi-szamharmasok vizsgalata?
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Intezet) Aritmetika - Szamelmelet 2016. februar 18. 30 / 42
Plimpton 322
A Plimpton 322 agyagtabla.
Az elobbi l ertekek.
sor l sor l sor l1 2, 0 6 6, 0 11 1, 02 57, 36 7 45, 0 12 40, 03 1, 20, 0 8 16, 0 13 4, 04 3, 45, 0 9 10, 0 14 45, 05 1, 12 10 1, 48, 0 15 1, 30
Harom megvalaszolando kerdes.
1 Milyen elv szerint rendeztek el a szamharmasokat?
2 Hogyan szamoltak ki a tablazaton szereplo szamokat? Hogyanhataroztak meg olyan negyzetszamokat, amelyek osszegenegyzetszam?
3 Milyen”
szinten”, milyen”
melysegben” ismertek a Pithagorasz-tetelt?
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Intezet) Aritmetika - Szamelmelet 2016. februar 18. 31 / 42
Plimpton 322
A valaszok.
1. Kerdes.
Az elso sorbolb
l=
1, 59
2, 0= 0; 59, 30 ≈ 1
azaz a haromszog egyenloszaru, egy negyzet fele.
Egyszeruen kaphato, hogy a 15. sornak megfelelo derekszoguharomszog ket hegyesszoge kozelıtoleg 30◦ es 60◦.
A kozbulso etekek pedig olyanok, hogy az I. oszlopbelid2
l2ertekek
kozelıtoleg linearisan csokkennek, ami meg inkabb teljesul ad
lertekekre.
3. Kerdes.
A valasz egyszeru: empırikus eredmenykent.
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Intezet) Aritmetika - Szamelmelet 2016. februar 18. 32 / 42
Plimpton 322
A valaszok.
2. Kerdes.
Tudjuk (MA), hogy minden pithagoraszi szamharmas megkaphato akovetkezo formula alapjan.
l = 2pq, b = p2 − q2, d = p2 + q2,
ahol p, q ∈ N, amelyekre ln. k. o.(p, q) = 1, p > q, nem lehetmindketto paratlan.
Ezekbold
l=
1
2(pq + pq).
Vilagos, hogy dl csak akkor veges hatvanados tort (a tablan ez mindig
teljesul), ha p, q szabalyos szamok, azaz csak a 2,3,5 lehetnekprımosztoik.
Sot, mindegyik olyan, hogy reciproka szerepel majd mindegyiktablazatban, DE hogyan szamoltak???
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Intezet) Aritmetika - Szamelmelet 2016. februar 18. 33 / 42
Plimpton 322
A valaszok.
2. Kerdes, a szamolas menete.
Sok olyan feladat szerepel az agyagtablakon, amelyekben ketmennyiseget kell meghatarozni akkor, ha ismerjuk szorzatukatvalamint osszeguket vagy kulonbseguket.
Ha modern jeloleseket hasznalunk, akkor
x · y = a
x ± y = b
alaku egyenletrendszerhez jutunk, amelybol
x =b
2+
√(b
2
)2
∓ a
y = ±b
2∓
√(b
2
)2
∓ a
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Intezet) Aritmetika - Szamelmelet 2016. februar 18. 34 / 42
Plimpton 322
A valaszok.
2. Kerdes, a szamolas menete.
Eljarasukat ismerjuk, ugyanaz, ami”
osszeg es szorzat modszerekent”szerepel az alexandriai Diophantosznal I.sz. 250 korul.
Alkalmazasahoz tudni kell az (a± b)2 = a2 ± 2ab + b2 azonossagot,es tudni kell negyzetgyokot vonni.
A pithagoraszi szamharmasok eseten az
a = x + y
b = x − y
egyenletrendszerbol lehet kiindulni, de teljesulnie kell meg az
a2 = b2 + c2, es c2 = 4xy
foltetel parnak.
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Intezet) Aritmetika - Szamelmelet 2016. februar 18. 35 / 42
Plimpton 322
A valaszok.
2. Kerdes, a szamolas menete.
Ha x , y egesz, akkor a, b is egeszek,
de c = 2√
xy csak akkor (pozitıv) egesz, ha√
xy egesz, tehat
x = p2, es y = q2,
valamely p, q ∈ N-re.
Ebbol mar egyszeruen adodik, hogy a, b, c pithagoraszi szamharmas,ha valamely p, q ∈ N-re, ahol p > q es nem lehetnek egyszerreparatlanok, es
a = p2 + q2, b = p2 − q2, c = 2pq.
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Intezet) Aritmetika - Szamelmelet 2016. februar 18. 36 / 42
Negyzetgyokvonas
Egy BM agyagtabla alapjan.
Negyzetgyokvonas.
Ha a 2 negyzetgyoket akarjuk meghatarozni akkor egy olyan szamotkell keresnunk, amelyiket onmagaval megszorozva 2-t kapunk.
Az is vilagos, hogy a keresett szam nagyobb 1-nel, de kisebb 2-nel.
Az agyagtablarol tudjuk, hogy lepesenkent egymas utan olyanszamokat szamoltak ki, amelyeket onmagukkal szorozva a 2-hoz egyrekozelebb kerultek.
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Intezet) Aritmetika - Szamelmelet 2016. februar 18. 37 / 42
Negyzetgyokvonas
Egy BM agyagtabla alapjan.
A szamolas (egy lehetseges) menete.
1. lepes: Legyen az elso kozelıtes 1; 30 es osszuk el ezzel a 2-t,1; 20-at kapunk. A
√2 e ket szam koze esik.
2. lepes: Vegyuk e ket szam osszegenek felet (szamtani kozepuket),ami az elobbi ketto kozott van. Ez
0; 30(1; 30 + 1; 20) = 0; 30 · 2; 50 = 1; 25.
Ha ezzel elosztjuk a 2-t, akkor 1; 24, 42, 21-et kapunk. E ket szam iskozrefogja a
√2-t, de mar kozelebrol.
3. lepes: Vegyuk e ket utobbi szam szamtani kozepet: